Tema 2 Proiect IRA [PDF]

Zitiervorschau

1

2006-2007: PROIECT LA DISCIPLINA DE INGINERIA REGLARII AUTOMATE ©-StP TEMA-2. PROIECTAREA UNOR STRUCTURI DE CONDUCERE AUTOMATA A TEMPERATURII UNUI PROCES TERMIC “CUPTOR DE TOPIT (MENTINEREA TEMPERATURII CONSTANTE)” A. Obiectivele proiectului: Parcurgerea principalelor etape de proiectare algoritmică a unei structuri cu conducere automată (SCA) cu aplicaţia "reglarea temperaturii unui proces termic". In principal este vorba de reglarea temperaturii aluminiuliu intr-un cuptor de topit aluminiu (siluminiu) cu schema functionala data in fig.B.1.1. Principalele etape de abordare a temei de proiectare sunt urmatoarele: cunoasterea principiului de functionare a unui sistem de incalzire a temperaturii procesului termic şi intocmirea schemei bloc funcţionale aferente SRA. Analiza de proces: - fixarea marimilor de intrare si de iesire, posibilitati de modelare matematica; - determinarea MM aferent PC: EE, PT si EM; întocmirea schemei bloc informaţionale aferente; calculul VRSC pentru regimuri particulare de funcţionare a PC; - alegerea unor structuri de conducere automată si tratarea unor variante de proiectare (calculul) algoritmic al regulatoarelor; - proiectarea dimensional-constructivă a blocurilor de conducere (a regulatoarelor aferente) in varianta FA cu AO; implementarea numerica CVC; includerea masurii AWR; - implementarea numerica a a.r.n. obtinuti prin proiectare numerica directa; - calculul VRSC pentru unele regimuri particulare de funcţionare; - simularea pe calculator numeric a unora din variantele de SRA proiectate. B. Prezentarea obiectivelor conducerii. 1. Schema bloc funcţională aferenta unui SCA a unui cuptor de topit aluminiu este prezentată în fig.B-1.1. Cuptorul de topire a aluminiului este alimentat cu energie electrica printr-o punte cu tiristoare PTr, comandata cu tensiunea de comanda uc(t); ua(t) este tensiunea la iesirea puntii, ∆vm(t) - este perturbatia, constand din materialul topit scos din cuptor (semnul de aplicare a perurbatiei (+)) respectiv materialul solid (considerat preincalzit la o temperatura adecvata) introdus in cuptor (semnul de aplicare a perturbatiei (–)), in vederea completarii materialului scos din cuptor. θm(t) - temperatura materialului topit. Se pune problema mentinerii constante a temperaturii θm materialului din baia de topitura (reglarii temperaturii θm). SRA trebuie sa fie astatic.

Fig.B.1.1. Schema de principiu a SRA a temperaturii unui cuptor industrial (a) si tehnologia identificării experimentale a parametrilor procesului (b). Elementul de executie (E) si respectiv elementului de masura (M) pot fi caracterizate prin f.d.t.: ua(s) -sTmE uθm(s) -sTmM HE(s) =—— = kE e , HM(s) =——— = kM e (B.1.1-1) uc(s) θm(t) Valorile parametrilor { kE ,TmE , kM , TmM } se particularizeaza pentru fiecare aplicatie, (tabelul B.1.1). Determinarea pe cale analitica a unui MM exact aferent PT este relativ dificila; aceasta determinare are la baza ecuatii de bilant energetic relative la cuptor. Fiind vorba de un sistem care va functiona cu referinta constanta, in vederea dezvoltarii SRA (conducerii) PC va fi caracterizat prin MM simplificat liniarizat in jurul unui p.d.f.s.c. {uc0, ua0 ,∆ vm0 , θm0} acceptat a fi de tip PT-2 in raport cu refernta si de tip PT1 in raport cu perturbatia. Dependenta operationala intrari {ua(s),vm(s)} -> iesire de apreciere θm(s) este data de relatia: -sTm0 kP2 kP1 kP2 θm(s)= ———————— e · ua(s) – ———— ∆vm(s) cu T1 >T2 >Tm0 , kPT= kP1 kP2 , (1+sT2) (1+sT1) (1+sT2)

(B.1.1-2)

Pentru determinarea unui MM de aproximare care sa fie utilizat in proiectare se va calcula raspunsul indicial θm(t) la o modificare treapta a comenzii uc(t) in jurul unui p.d.f.s.c. dat, bine precizat, de ex. o anumita incarcare si o anumita temperatura. la perturbatie constanta ∆vm(t) – constant, in particular egala cu 0 (nu se scoate si nu se introduce material in cuptor). Pentru determinarea MM de aproximare aferent PC, se procedeaza la o identificare experimentala prin metoda raspunsului sistemului la semnal treapta calculat, fig.B.1.1-1.b, obtinandu-se MM de aproximare:

2

kEPT -sTm θm(s) T HEE-PT(s) = ——— = ———— e in care: kEPT= kE kPT si uθm (s) = kM e-s mM θm(s) . (B.1.1-3) 1+T s uc(s) 2. Cerinţe legate de functionarea si conducerea PC. Cerinte legate de calitatea. Cerinţele de conducereale unui cuptor de topit aluminu se impun relativ la: a.) Comportarea in raport cu referinţa (prescrierea de temperatura, uθm0 )( conditile vor fi specifice si impuse pentru fiecare metoda de proiectare): - eroare de reglare de RSC egala cu zero eθ∞ = uθm0∞ – uθm∞ = 0 (sau uθm∞ = uθm0∞ ); - suprareglajul in raport cu variaţia treaptă a referinţei, sub o valoare maxim acceptata; conditia va fi impusa pentru fiecare metoda de proiectare: σ1 ≤ σ1imp; - timpul de reglare in raport cu variaţia treaptă a referinţei, sub o valoare impusa: tr ≤ tr,max.adm.. - rezervă de fază de valoare minimă impusă, φr imp . b.) Comportarea in raport cu perturbaţia (momentul de sarcina): - caracter astatic in RSC in raport cu o perturbatie constanta, γn=0. In scopul realizarii acestor cerinte se abordeaza diferite variante de SCA /DC: • Structura de conducere automată in circuit deschis fara sau cu compensare după perturbaţie, SCA-CD, SCACD-v respectiv DC aferent; • Structura de conducere automată în circuit inchis dupa marimea de iesire, cu RG acordat pe baza urmatoarelor metode: 1. Proiectarea bazata pe relatiile antecalculate date de Ziegler-Nichols; 2. Proiectare bazata pe aducerea sistemului la limita de stabilitate sirelatiile antecalculate date de ZieglerNichols; 3. Utilizarea predictorului Smith in varianta continuala sau in varianta cu timp discret, 4. Proiectare Dead-beat (DB), varianta Dahlin si varianta Dahlin modificata. 5. Alte structuri la propunerea studentului. C. Schema bloc informationala a PC. Modelarea matematică de aproximare a comportarii PC. 1. Schema bloc informationala si date initiale. Tinanad seama de relatiile (B.1.1-1) ...(B.1.1-3) se construieste schema bloc informationala a PC. Valori nominale pentru parametrii PC in diferite p.d.f.s.c. ale PC sunt sintetizate in tabelul C.1. kE kM Tabelul C.1. Valorile parametrilor PC (valori de referinta) Val. caract 1 Max

± Δvm kg 0 0 ±10% X

P.d.f.s.c. caracteristic al PC uc ua

θm0 C

min

max

min

max

min

max

0

7,0

0

X

0

X

Valori numerice ale parametrilor T2 kP1 KE kPT Tm0 kP2 TmE sec X C C C X X X

T1 sec X

KM TmM C X

X – valori care se dau; C – valori care se calculeaza.

kE =

∆ua ua max − ua min = ∆uc uc max − uc min

,

k PT =

∆ϑm ϑm max − ϑm min = u a max − u a min ∆u a

,

kM =

∆uϑm uϑm max − uϑm min = ϑ m max − ϑ m min ∆ϑ m

Construcţia caracteristicilor statice (CS) aferente PC se face pe baza datelor din tabelul cu datele initialeVRSC si al relatiilor (B.1.1-3): - CS de prescriere; - CS de sarcina, fig.C.1.1

‰

Θm θ

θm v ms =0

v ms n Θ m1

n

u c1

Θ m2

0

u c0

uc

u c2

V mn

Δ Vm

CS de prescriere CS de sarcina Fig.C.1.1. Aluri de principiu pentru caracteristicile statice (CS) ale PC

2. Identificarea PC in vederea proiectarii RG. F.d.t. de aproximare a comportarii PC in raport cu comanda uc este de forma (B.1.1.3); parametrii aferenti se obtin dupa cum urmeaza (a se vedea si constructia grafica din fig.C.1):

3

a. b.

Se simuleaza pe CN raspunsul la semnal treapta a PC in relatia {uc(t) -> uθm(t), (θm(t))} in urmatoarele conditii date in tabelul B.3.1: - valori t0: {uc∞, uθm∞ (θm∞)} Curba de raspuns obtinuta - raspunsul la semnal treapta - este prelucrata conform constructiei grafice din fig.C.1). Cu parametrii {kPC , T , Tm } astfel obtinuti se expliciteaza f.d.t. HPC(s); aceasta va trebui sa reflecte, in final dependenta uc(t) -> uθm(t).

Fig.C.1. Elementele de baza ale identificarii prin metodaraspunsului la semnal treapta D. Structuri de conducere automata. Metode de calcul a DC (RG). Se accepta ca viabile următoarele soluţiile de conducere (structuri de SCA) mentionate la punctul A. Dezvoltarea structurilor de conducere comportă utilizarea unor metode de proiectare specifice. 1. Structura de SCA-CD. Proiectarea DC pentru SCA-CD si SCA-CD-v (cu compensare dupa perturbatie). Schemele bloc aferente SCA-CD si SCA-CD-v sunt prezentate în fig. D.1.-a si b.

A.

B.

Fig.D.1.1 SCA în circuit deschis (a) şi în circuit închis (b): A. - fara , B - cu compensare dupa perturbatie. Dependenta operationala intrari {ua(s), Δvm(s)} -> iesire θm(s) este data de relatia: kP1kP2 -sTm0 kP2 θm(s)= ———————— e . ua(s) – ————Δ vm(s) (1+sT1) (1+sT2) (1+sT2)

(D.1-1)

la care se asociaza elementul de executie E si apoi elementul de masura M. DC se va proiecta astfel incat sa fie compensata constanta de timp mare a PC (z(t) = θm(s)). uθm(s) = Hθm w(s)w(s) + HPv(s)v(s) = HDC(s)HPC(s)w(s) + HPv(s)v(s) Pentru a realizare o comportare cat mai rapida a sistemului, este necesar ca: Hθm w(s)=HDC(s) HPC(s) = 1

ceea ce conduce la conditia:

Q(s) HDC(s)·= ——— şi P(s)

B(s) HPC(s) = ——— A(s)

(D.1-2)

HDC(s) = HPC(s)-1, in care, (D.1.3) A(s)= Å(s)Ã(s)

(D.1.4)

In care Å(s) – contine partea dominanta a dinamicii PC, Ã(s) - contine partea neglijabila a dinamicii PC. Compensarea părţii dominante a dinamicii PC se realizeaza astfel: Zerouri ale f.d.t. HDC(s) vor compensa poli dominanti ai PC, HPC(s), Polii f.d.t. HDC(s) vor compensa (la nevoie)zerourile PC, HPC(s): Q(s) = Å(s) in care Å(s) caracterizeaza partea dominanta a PC, P(s) =B(s)

;

(D.1.5)

Numarul constantelor de timp mari care pot fi compensate este marginit de limitarile care se manifesta la nivelul iesirii RG si a E (energia transferabila prin aceasta). Astfel, structura de SCA-CD bazat pe “modelul invers al procesului” asigura: uθm(s) = Ĥθm w(s) w(s)+ HPv(s)Δv(s) ,

uθm (s) = kM θm(s)

(D.1.6-a)

In baza rel. (D.1.6), in RSC se va putea scrie: uθm ∞ = Ĥθm w(0) w∞+ HPv(0)v∞= kDC kPC w∞+ kPv Δv∞

(D.1.6-b)

Observaţie: In cazul in care mărimea de perturbaţie v(t) se consideră accesibila măsurărilor, se pot realiza legături de "compensare" după perturbaţia Δv (SCA-CD-v). In aceste conditii, după calculul coeficientului de compensare dupa perturbatiie kbcv (cap.8) se poate asigura conditia in RSC: y∞ = Hzw(0) w∞+ γa ∆v∞

(D.1.7)

4

unde γa este statismul artificial realizat de SCA-CD-v (se calculează conform curs SACAP, cap.8. Construcţia caracteristicilor statice (CS) aferente SCA-CD se face pe baza relatiilor de RSC. • Se dimensioneaza DC calculat algoritmic in varianta FA cu AO. • Se simuleaza comportarea SC-CD cu DC realizat in varianta FA cu AO. Scenariul de simulare adoptat: • Sistemul se considera aflat in starea initiala: {uc0 , uθm0 (θm0),Δvm=0 }; Se modifica sub forma de treapta referinta cu Δuc ; sistemul se stabilizeaza la valorile finale {uc∞, uθm∞ (θm∞)}; Dupa stabilizarea marimilor SRA se modifica perturbatia sub forma treapta cu o valoare Δvm stabilita pe parcursul elaborarii temei. Se inregisreaza variatia in timp a urmatoarelor marimi: { referinta, uc(t), ua(t), uθm(t) , θm(t), Δvm (t)}; se pot imagina si realiza si alte scenarii de simulare. Se analizeaza performantele realizate de SCA-CD. Aceste rezultate se vor analiza comparativ si la diferitele • structuri de SRA. Observaţii: 1. Se va analiza daca pentru aplicatia de fata realizarea SCA-CD-v este sau nu posibila. In caz afirmativ se proiecteaza un SCA-CD-v care sa asigure γa = 0. 2. Se propune şi analiza efectului forţării comenzii (mărimii de execuţie) asupra instalaţiei tehnologice (a rezistenţelor). 2. Structura de SRA-c. Acordarea parametrilor RG pe baza relatiilor de acordare datorate lui Ziegler si Nichols. Metoda este destinata acordarii parametrilor in cazul conducerii unor PC lente de tip temperatura; ea se aplica pentru cazul in care: perturbatiile determinate de sarcina au o durata relativ mare ; f.d.t. de aproximare a PC este de forma (B.1.1-3) si a fost obtinuta conform punctului C.2. Regulatorul de utilizat este de tip PI eventual PID; parametrii regulatorului {kR, Ti , (Td)} - dupa caz - se calculeaza pe baza valorilor {kPC , T1 Tm } si a raportului ρ = T1/ Tm , cu ajutorul unor relatii justificate din considerente analitice (criteriul integral ISE) si verificate si corectate pe baze experimentale. Relatiile datorate lui Ziegler si Nichols sunt prezentate in tabelul D.2.1. Tabelul D.2.1. Relatii de acordare datorate lui Ziegler si Nichols Regulator HPC(s) P PI PID (ρ = Tm / T) q* = 0 q* = 1 kR·kPC·ρ 1 0.9 1.5 2.2 Ti / Tm − 3.3 2.5 2 Td / Tm − − < 0.3 0.5

q* = 2 1 2 0.25

•

Se expliciteaza f.d.t. aferente SRA si dependentele ce caracterizeaza iesirea functie de intrari (referinta, perturbatie) si se construiesc caracteristicile statice (CS) aferente SRA-c.

•

Se construieste schema bloc informationala aferenta RG si se dimensioneaza RG calculat algoritmic in varianta FA cu AO cu includerea masurii AWR. Schema de principiu este prezentata in fig.D.2.1 Se discretizaeaz l.d.r. continuala si implementeaza varianta cu masura AWR evidentiata. Se simuleaza comportarea SRA cu una din variantele de regulator C sau CvC. PC se considera prin MM detaliat initial. Scenariul de simulare este similar cu cel din cazul SCA-CD: Sistemul se considera aflat in starea initiala: {uc0 , uθm0 (θm0),Δvm=0 }; Se modifica sub forma de treapta referinta cu Δuc ; sistemul se stabilizeaza la valorile finale {uc∞, uθm∞ (θm∞)}; Dupa stabilizarea marimilor SRA se modifica perturbatia sub forma treapta cu o valoare Δvm stabilita pe parcursul elaborarii temei. Se inregisreaza variatia in timp a urmatoarelor marimi: {referinta uc(t), ua(t), uθm(t) , θm(t), Δvm (t)}; se pot imagina si realiza si alte scenarii de simulare.

• • -

Fig.D.2.1. Varianta FA cu AO cu includerea masurii AWR (curs SACAP)

5

•

Se analizeaza performantele realizate de SRA in raport cu cele realizate de SCA-CD. Aceste rezultate se vor analiza comparativ cu celelalte structuri de SRA.

3. Structura de SRA-c. Acordarea parametrilor RG cu atingerea limitei de stabilitate pe baza relatiilor lui Ziegler si Nichols. Utilizarea metodei presupune faptul că procesul (SRA) acceptă d.p.d.v. tehnologic, pe o perioadă scurtă, funcţionare în regim „la limită de stabilitate”. In acest regim în sistem se stabilesc oscilaţii întreţinute, fig. D.3.1 (a). (v2) ∆v=0 (ct) y(t) w

e

u

RG

-

PC

y t

{Ti , Td}

(a) T0

(b)

Fig. D.3.1. Stabilirea regimului „la limită de stabilitate” a SRA Regimului oscilant întreţinut se asigură: - Prin utilizarea RG ca regulator proporţional {kR≠ 0, Ti= ∞, Td= 0}. In cazul considerat, soluţia poate aplicată prin teste de simulare pe CN. - Prin creşterea treptată a amplificării kR pana la atingerea regimului oscilant; fie kRcrt = kRo amplificarea critică si To perioada oscilaţiilor permanentizate de amplitudine constantă, fig.D.3.1. Pe baza informatiilor obtinute { kRcrt , To }, parametrii de acordare a RG de bază (PID, PI sau I) se pot calcula pe baza următoarelor relaţiilor datorate lui Ziegler şi Nichols, date in tabelul D.3.1. Tabelul D.3.1 Relatii de acordare Ziegler-Nichols bazate pe atingerea limitei de stabilitate Parametrii de acordare Tipul RG kR Ti P 0,5.kRcrt PI 0,5.kRcrt 0,85.T0 PID 0,5.kRcrt 0,5.T0

Td 0,12.T0

Observaţii: 1. Performanţele SRA în raport cu referinţa nu sunt deosebite (σ1 > 40%); metoda este utilizată cu precădere pentru situaţiile în care SRA este cu referinţă constantă (w∞= ct) sau foarte lent variabilă in timp, esenţiale fiind modificările perturbaţiei; mai mult, aceste perturbaţii pot să acţioneze pe intrarea PC. 2. In practică, metoda prezintă dezavantajul că aducerea PC în apropierea limitei de stabilitate este însoţită de inconvenientele: - timp de experimentare mare; - consum de energie mare; - solicitări puternice în instalaţia tehnologică. ‰ Varianta analitica de aplicare a metodei. Dacă se acceptă ca PC poate fi caracterizat printr-un MM de tip PT1-Tm, atunci nu este neaparat necesara aducerea PC la limita de stabilitate si paramerii {kRo, To} se pot determina pe cale analitică. Se accepta PC identificat experimental şi un regulator P:

H PC (s) =

kPC −s⋅Tm ⋅e 1 + sT

si H R (s) = k R

respectiv

H0 (s) =

k R ⋅ k PC −s⋅Tm ⋅e 1 + sT

(D.3-1)

Starea de oscilaţii permanentizate (limita de stabilitate) se atinge pentru cazul în care rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt complex conjugate:

∆w (s) = 1+ Ho (s) → 1+ Ho ( jω) = 0 dar

ko ⋅ e− jωTm +1+ Tjω = 0

e − jωTm = cos ωTm − j ⋅ sin ωTm si corespunzator ko cosωTm − j ⋅ k o sinωTm +1+ Tjω = 0

(k0 = kR kPC ) (D.3-2) (D.3-3)

Relaţia se poate descompune în două relaţii: kocos(ωTm) = -1 (a)

kosin(ωTm) = ωT

(b)

(D.3-4)

Aceste două relaţii permit determinarea valorilor ko şi ω care asigură rădăcini complexe conjugate situate pe axa imaginară. Din relaţia (D.3-4) se obţine: tg ωTm = -Tω Notând ωTm = Ω respectiv

(a) şi

ω=

ko2 = 1+ω2T2

Ω relaţia (D.3-5) devine: Tm

(b)

(D.3-5)

6

tg Ω =

T Ω Tm

.

(D.3-6)

Pentru raportul Tm/T = ρ cunoscut, ecuaţia (D.3-6) se rezolvă grafic, fig.D.3.2. In acest scop in prealabil se traseaza graficul tangentei, fig.D.3, cu valori numerice concrete. Prezintă interes ”prima soluţie pozitivă ” Ωo care oferă tocmai valoarea: k0 crt = kR crt.kp .; Din (D.3-5) (b) rezultă: tg Ω

k 02 = 1 + -π/2

0

π/2

π

Ω0

3π/2

Ω

-T/Tm Ω

T2 2 Ω Ω 0 şi ω 0 = 0 respectiv kR0 = kRcrt 2 Tm Tm

 k R = 1 1 +  Ω 0 T   0 k PC Tm   Tm  2π T0 = ω = 2π Ω 0 0 

  

2

(D.3-7)

Fig.D.3.2. Rezolvă grafica a ec.(D.3-6) Valorile {T0 ,kRo} astfel calculate servesc la calculul parametrilor RG (tabelul D.3.1). Situaţii extreme de interes pentru practica proiectarii: (1)

Tm >>T’ – proces cu timp mort dominant. Din relatia:

tg Ω =

T Ω se obtine: tg Ω = 0 şi Ω = π Tm

Corespunzător din (D.3-7) se obţine:

T0 =

T 2π = 2π m ω0 Ω0

→ T0 ≈ 2Tm

Pe de altă parte acceptand aproximarea

(a)

1+ x2 ≈ 1+

x2 , 2

(D.3-9.a)

(x > 1) rezultă apoi: k R0 ≈

(a)

1 k PC

(D.3-10.b)

⋅

π T (b) ⋅ 2 Tm

(D.3-10.b)

In continuare finalizarea proiectarii urmeaza punctele de la paragraful anterior: Se simuleaza comportarea SRA cu una din variantele de regulator C sau CvC. PC se considera prin MM • detaliat initial. Scenariul de simulare este similar cu cel din cazul SCA-CD: Sistemul se considera aflat in starea initiala: {uc0 , uθm0 (θm0),Δvm=0 }; Se modifica sub forma de treapta referinta cu Δuc ; sistemul se stabilizeaza la valorile finale {uc∞, uθm∞ (θm∞)}; Dupa stabilizarea marimilor SRA se modifica perturbatia sub forma treapta cu o valoare Δvm stabilita pe parcursul elaborarii temei. Se inregisreaza variatia in timp a urmatoarelor marimi: {referinta uc(t), ua(t), uθm(t) , θm(t), Δvm (t)}; se pot imagina si realiza si alte scenarii de simulare. Se analizeaza performantele realizate de SRA in raport cu celelalte structuri de SRA. •

7

4. Structura de SRA-c. Utilizarea predictorului Smith in varianta continuala sau in varianta cu timp discret. Utilizarea schemelor de reglare cu predictor Smith prezintă avantajul “scoaterii timpului mort în afara buclei de reglare”. Structura unui SRA cu predictor Smith este prezentată în fig.D.4.1 (a) şi (b). Blocul CR - poartă denumirea de compensator în reacţie sau predictor Smith.

w

e yc -

HR

u

RE – regulator extins

y

HPC(s)

w y

uc -

HC(s)

e

ē

HR

-

-

u

H 'P (s) ⋅ e −s⋅Tm

y

uc HC(s) CR

y+uc (a)

(b) u

H 'P

e

−s⋅Tm

(c) Fig. D.4.1. Structura unui SRA cu predictor Smith (a),(b). Separarea informationala a f.d.t. Hc(s) Pentru aprecierea efectului compensatorului CR şi calcului f.d.t. aferente Hc(s) se pleacă de la explicitatea schemei dată în fig.D.4.1.(b). În f.d.t. HPC(s) se separă partea cu timp mort (Tm) şi partea raţională Hp’(s), fig.D.4.1.(c):

H PC ( s ) = H P* ( s )e − s⋅Tm = H P* ( s ) H Tm ( s )

în care

H Tm ( s ) = e − sTm

(D.4.1)

Se explicitează f.d.t. a sistemului deschis (fig.D.4.1.(b)), H0(s) şi f.d.t a sistemului închis Hw(s):

H 0 (s) =

H R (s) H P* ( s ) ⋅ e − s⋅Tm 1 + H R ( s) ⋅ H C ( s )

H w (s) =

H R ⋅ H *p ( s) H 0 (s) = ⋅ H Tm ( s ) 1 + H 0 ( s) 1 + H R ( s) H P* ( s )(1 − H Tm ( s ))

(D.4.2)

(D.4.3)

Alegând compensatorul CR astfel ca să fie îndeplinită condiţia:

H C (s) = H P* (s)(1 − H Tm (s)) H w ( s) =

HR ⋅

H *p ( s)

1 + H R ( s ) ⋅ H *p ( s )

se obţine:

(D.4.4)

⋅ e s⋅Tm

(D.4.5)

Consecinte: - proprietăţile buclei nu sunt afectate de timpul mort si ca urmare RG se poate proiecta ca si cum procesul nu ar contine timp mort, - între intrarea w şi iesirea y timpul mort se manifestă in afara buclei si în această formă efectul lui poate fi anticipat, - parametrii compensatorului depind exclusiv de parametrii PC:

H C ( s ) = H P* ( s )(1 − e − s⋅Tm ) = H P* ( s) − H PC ( s )

(D.4.6)

În acord cu rel.(D.4.6) schema bloc a SRA se rearanjeaza la una din formele din fig.D.4.2 (a) şi (b). e w u HR H 'P (s ) ⋅ e −s ⋅Tm yc uc

H ’P yc=y+uc

HC(s)

-

e

− s⋅Tm

(a)

8

RG - extins e

w y

ē

HR

-

uc -

u

H ’P

+

y

H 'P (s ) ⋅ e −s⋅Tm compensator în reacţie (CR)

H 'P (s ) ⋅ e −s⋅Tm

HC(s)

(b)

Fig.D.4.2. Rearanjarea schemei bloc a SRA cu compensator Smith Etapele proiectării SRA cu compensator Smith: F.d.t. a PC se presupune bine cunoscută şi separabilă în forma

H PC ( s ) = H P* ( s) ⋅ e − s⋅Tm -

(D.4.1)

' Se proiectează regulatorul principal HR(s) cu referire la H P (partea fără timp mort a PC); în acest sens se poate apela oricare metodă de proiectare, Se proiectează componentele compensatorului Smith, fig.D.4.2.(b)).

Realizarea efectivă a compensatorului, varianta analogică impune realizarea fizica a elementului cu timp mort Tm. Cea mai convenabilă realizare o constituie o realizare de tip Pade, de forma:

e − s⋅T ≈

1 − s ⋅ Tm / 2 1 + s ⋅ Tm / 2

(D.4.7)

Corespunzător (D.4..6) se rescrie si devine:

 1 − s ⋅ Tm / 2  s ⋅ Tm / 2  = H P* ( s ) ⋅ H c ( s ) = H P* ( s ) ⋅ 1 − 1 + s ⋅ Tm / 2  1 + s ⋅ Tm / 2 

(D.4.8)

Caracterul derivativ al reacţiei adusa de CR va menţine în RSC caracterul RG de bază, HR(s). Acest lucru se poate demonstra în doua moduri: In baza relaţiei (D.4.8) rezultă: • uc(s) = Hc(s) . u(s) •

1 u c∞ = lim s ⋅ H c (s) ⋅ u ∞ = 0 s s →0

.

(D.4.9)

Proiectarea se deruleaza in baza schemei bloc din fig.D.4.2 (b), acceptând că: - procesul este de tip PT2-Tm cu T1 > T2 >Tm0 , - regulatorul este de tip PI şi s-a aplicat principiul compensării constantei de timp mari a PC , Tr=T1

H PC ( s ) =

k PC k ⋅ e − s⋅Tm , H R ( s ) = r (1 + sTr ) , Tm= TmE+ TmM +Tm0 (1 + sT1 )(1 + sT2 ) s

(D.4.10)

atunci, în baza relaţiei (D.4.8) se obţine:

H C ( s) =

s k PC Tm (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sTm / 2)

H R (s) H Re ( s ) = = 1 + H R (s)H C (s)

(cu caracter anticipativ), respectiv

(D.4.11)

kr (1 + sT r ) s s k PC T m k 1 1 + r (1 + sT r ) s (1 + sT 1 )(1 + sT 2 ) (1 + sT m / 2 )

şi în final:

H Re ( s ) =

k r (1 + sTr )(1 + sT 2)(1 + sTm / 2) ⋅ s (1 + sT2 )(1 + sTm / 2) + k r k PC Tm

(D.4.11)

Prin relaţia (D.4.11) se evidenţiaza faptul ca RG-echivalent îsi menţine caracterul PI, care este extins cu un filtru PD2T2. In continuare se pot explicita f.d.t. H0(s), Hw(s) şi analiza toate proprietăţile SRA. - Avantajele reglarii cu predictor Smith: - procesul de reglare este îmbunătăţit, - simplitate în proiectare şi în implementare. - Dezavantajele reglării cu predictor Smith:

9

- relizarea analogică a RG-e, a blocului cu timp mort este greoaie (numai aproximativa), - sensibilitate in raport cu cunoaşterea si realizarea aproximativă a parametrilor. Regulatorul de baza recomandat este de tip PI. In cazul aplicatiei de fata RG-PI va fi proiectat pe baza criteriului modulului var. CM2: kr = 1/(2 kPC T2 ) , Tr = T1 . (D.4.12) In continuare finalizarea proiectarii urmeaza punctele de la paragraful anterior: Se implementeaza RG-e in varianta FA cu AO sau varianta CvC. La propunerea studentului se poate • discuta si proiectarea directa a RG-cu predictor Smith discret. Se simuleaza comportarea SRA cu una din variantele de regulator C sau CvC. PC se considera prin MM • detaliat initial. Scenariul de simulare este similar cu cel din cazul SCA-CD: Sistemul se considera aflat in starea initiala: {uc0 , uθm0 (θm0),Δvm=0 }; Se modifica sub forma de treapta referinta cu Δuc ; sistemul se stabilizeaza la valorile finale {uc∞, uθm∞ (θm∞)}; Dupa stabilizarea marimilor SRA se modifica perturbatia sub forma treapta cu o valoare Δvm stabilita pe parcursul elaborarii temei. Se inregisreaza variatia in timp a urmatoarelor marimi: {referinta uc(t), ua(t), uθm(t) , θm(t), Δvm (t)}; se pot imagina si realiza si alte scenarii de simulare. Se analizeaza performantele realizate de SRA in raport cu celelalte structuri de SRA. • ‰ Observatie: Proiectarea prediktorului Smith discret are la baza relatia compensatorului continual si a regulatorului echivalent:

H C (s) = H P* (s)(1 − H Tm (s))

H Re ( s ) =

H R (s) 1 + H R ( s) H C (s)

explicitandu-se echivalentele lor discrete (cu luarea in consideratie a elementului de retinere), se obtine:

H C ( z −1 ) =

H R ( z −1 )

,

1 + H R ( z −1 )(1 − z − d ) H P* ( z −1 )

in care HR(z-1) si H’P (z-1) au formele rationale cunscute:

H R ( z −1 ) =

Q ( z −1 ) P ( z −1 )

si

H P* ( z −1 ) =

B ( z −1 ) A( z −1 )

.

5. Structura de SRA-c. Proiectarea regulatorului dead-beat (a.r.n.-DB). Variante.Tinand seama de forma particulara a f.d.t. a PC obtinuta prin IE (rel.(B.1.1-3) ) este posibila utilizarea unor variante simplifiicate de proiectare dead-beat a regulatorului. ‰ Varianta I de proiectare după Dahlin a unui a.r.n. DB. Se aplică pentru situaţiile în care procesul are un răspuns indicial aperiodic, care este aproximat printr-un ET PT1-Tm , cu f.d.t. de foma (B.1.1-3), care include toate blocurile PC (E, PT, M):

k ~ H PC ( s ) = PC e − sTm , 1 + sT

kp =

∆y ∞ ∆u ∞

(D.3.1)

MM-II impus SRA este de forma PT1 - Tm, cu f.d.t.:

H w ( s) =

1 e − sτ m 1 + sτ

(D.3.2)

raspunsul indicial al SRA fiind calculabil cu relatia:

1 y ( s ) = H w ( s ) ⋅ w∞ s

cu

w∞ = 1

(D.3.3)

Privind alegerea lui τ si τm : valoarea lui τ va fi comparabila cu valoarea cu T ; valori τ