Rezolvari Probleme Manual Mate11M2 [PDF]

Zitiervorschau

Marius Burtea

Georgeta Burtea

REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE

MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile profesionale (TC). 3 ore/s`pt`m@n`.

1

Instruc\iuni de utilizare Lucrarea de fa\` a fost g@ndit` pentru a veni [n sprijinul elevilor [n rezolvarea problemelor din manual, fiind modele de rezolvare pentru orice tip de exerci\ii ]i probleme pe care ace]tia le pot [nt@lni [n culegeri sau alte manuale de clasa a XI-a, ajut@ndu-i [n preg`tirea pentru Olimpiadele de matematic` sau examenul de Bacalaureat. Materialul este format [n esen\` din dou` p`r\i distincte: Partea [nt@i, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare, ce cuprinde capitolele: Matrice, Determinan\i ]i Sisteme de ecua\ii liniare. Partea a doua, intitulat` Elemente de analiz` matematic`, este format` din urm`toarele capitole: Limite de func\ii, Func\ii continu`, Func\ii derivabile ]i Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor. Fi]ierul este organizat astfel: Ø Partea I, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare ü Enun\uri ü Rezolv`ri Ø Partea a II-a, intitulat` Elemente de analiz` matematic` ü Enun\uri ü Rezolv`ri Am conceput Cuprinsul acestei lucr`ri astfel [nc@t s` se poat` urm`ri u]or, [n paralel, cele dou` problematici tratate: Enun\uri ]i Rezolv`ri. {n cazul [n care ave\i dubii asupra unui enun\ din acest material, pentru a g`si u]or [n manual problema propus` am notat [n cadrul Cuprinsului ]i pagina din manual unde se afl` aceste exerci\ii ]i probleme (coloana scris` cu albastru). Modul de utilizare a fi]ierului Pentru a u]ura g`sirea unei anumite probleme din manual sau a rezolvarii unui anumit exerci\iu am conceput acest material [ntr-o manier` simpl` de utilizare. Astfel, dac` utilizatorul dore]te s` vizualizeze setul de exerci\ii de la o anumit` tematic`, este suficient ca, [n pagina de Cuprins (pag.3), [n coloana Enun\uri exerci\ii ]i probleme propuse [n manual, s` se pozi\ioneze deasupra capitolului sau temei care [l intereseaz` ]i s` ac\ioneze butonul din st@nga a mouseului. Automat fi]ierul sare la pagina corespunz`toare. Similar se ac\ioneaz` ]i pentru ajungerea rapid` la pagina de rezolv`ri dorit`, ac\ion@nd mouseul de data aceasta [n coloana Rezolv`ri exerci\ii ]i probleme. O dat` ajuns [n pagina dorit`, [ntoarcerea la Cuprins se face prin ap`sarea casetei cu s`geat` aflat` [n partea dreapt` sus a fiec`rei pagini ini\iale a fiec`rei sec\iuni. V` dorim mult succes la matematic` AURORII 2

CUPRINS PARTEA I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniare Enun\uri exerci\ii ]i probleme propuse [n manual

pag.

Capitolul 1. Matrice

pag. manual 7

1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Opera\ii cu matrice . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. {nmul\irea unei matrice cu un scalar . . 7 1.2.4. {nmul\irea matricelor . . . . . . . . . . 9 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Capitolul 2. Determinan\i 2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei . . . . . . . . . . 13 2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare 3.1. Matrice inversabile din Mn (C| ) . . . . . 3.2. Ecua\ii matriceale . . . . . . . . . . . . 3.4. Metode de rezolvare a sistemelor lineare Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . Probleme recapitulative . . . . . . . . . . .

. . . . .

19 21 22 26 27

14 24 24 32 34 37 52 62 64 66 70 74 90 96 97

Rezolvari exerci\ii ]i probleme

pag.

Capitolul 1. Matrice 1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice . . . . . . . . . . . . 1.2. Opera\ii cu matrice. . . . . . . . . . . . 1.2.3. {nmul\irea unei matrice cu un scalar 1.2.4. {nmul\irea matricelor . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

30 33 33 38 51

Capitolul 2. Determinan\i 2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei . . . . . . . . . . 54 2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare 3.1. Matrice inversabile din Mn (C| ) . . . . . . 73 3.2. Ecua\ii matriceale . . . . . . . . . . . . . 80 3.4. Metode de rezolvare a sistemelor lineare . 83 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 102 Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . . 106

PARTEA a II-a. Elemente de analiz` matematic` Enun\uri exerci\ii ]i probleme propuse [n manual

pag. manual

pag. manual

Rezolvari exerci\ii ]i probleme

103 113 134 140 151

Capitolul 1. Limite de func\ii

112 114 116 118

. 120

160

. 122 . 124 . 125

167 176 177 179 183 187

Capitolul 1. Limite de func\ii 1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` . . 1.4. Calculul limitelor de func\ii . . . . . . 1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice . 1.5. Opera\ii cu limite de func\ii . . . . . . 1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii . . . . . . . . . 1.7 Asimptotele func\iilor reale . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

Capitolul 2. Func\ii continue 2.1. Func\ii continue [ntr-un punct . 2.2. Opera\ii cu func\ii continue . . 2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval . . . . . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . .

. . . . . 127 . . . . . 129 . . . . . 130 . . . . . 131 133 135 136 138 139 141 141

191 192 194 202 209 213 220 224 229 230

. 143

235 239

. . . .

246 255 256 258

Capitolul 3. Func\ii derivabile 3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct . 3.2. Derivatele unor func\ii elementare . 3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile . . . . 3.3.5 Derivarea func\iilor inverse . . 3.4. Derivata de ordinul doi . . . . . . . 3.5 Regulire lui l'Hôspital . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor 4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor 4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . Probleme recapitulative . . . . . . . . . . .

145 147 148 150

3

pag.

1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` . . 1.4. Calculul limitelor de func\ii . . . . . . 1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice . 1.5. Opera\ii cu limite de func\ii . . . . . . 1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii . . . . . . . . . 1.7 Asimptotele func\iilor reale . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

156 160 162 165

. 168 . 172 . 176 . 185

Capitolul 2. Func\ii continue 2.1. Func\ii continue [ntr-un punct . 2.2. Opera\ii cu func\ii continue . . 2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval . . . . . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . .

. . . . . 188 . . . . . 192 . . . . . 196 . . . . . 200

Capitolul 3. Func\ii derivabile 3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct . . . . 203 3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile . . 3.3.5 Derivarea func\iilor inverse 3.4. Derivata de ordinul doi . . . . . 3.5 Regulire lui l'Hôspital . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

208 214 219 222 226

Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor 4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor 4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . Probleme recapitulative . . . . . . . . . . .

. 228 . . . .

237 243 260 264

PARTEA I ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL SISTEME DE ECUA|II LINIARE

Ø Capitolul 1. Matrice Ø 1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice Ø 1.2. Opera\ii cu matrice Ø Exerci\ii ]i probleme Ø Teste de evaluare Ø Capitolul 2. Determinan\i13 Ø 2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei Ø 2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie Ø Teste de evaluare Ø Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare Ø 3.1. Matrice inversabile din Mn (C| ) Ø 3.2. Ecua\ii matriceale Ø 3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute. Forma matriceal` Ø Teste de evaluare Ø Probleme recapitulative

4

PARTEA I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniare

Capitolul 1. Matrice 1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 14 manual

Exersare E1. S` se scrie o matrice A Î M3,2 (Z), B Î M2 ,2 (Q ), C Î M3,4 (R ), X Î M2 ,3 (C| ). E2. S` se scrie: a) o matrice coloan` cu 4 linii; c) matricea unitate de ordinul 5;

b) o matrice linie cu 4 coloane; d) matricea nul` de tipul (3, 4).

E3. Se consider` matricele: æ 1 -3 4 ö æ 2 -3 ç ÷ ç A =ç-7 8 -2÷; B =ç ç-2 -5 ç ÷ è è 0 -4 1 ø

æ 8 ö ç ÷ 3ö æ2 ÷ ç 4 ÷; C = -1 ÷; D =ç -i ÷ è5 ç ÷ 3ø è1+ i ø

ö 5 -7÷. ø

a) S` se precizeze tipul matricelor A, B, C, D. b) S` se scrie elementele matricei B ]i D preciz@nd linia ]i coloana pe care sunt a]ezate. Exemplu: b11 = 2, d13 = 5 , ... . c) S` se completeze: a23 =..., a32 =..., a22 =..., c 31 =..., c 21 =..., 1+ i =..., 3 =..., - 4 =..., b23 =..., d14 =... ]i altele. d) S` se precizeze valoarea de adev`r a afirma\iilor: • a11 + a22 + a33 reprezint` diagonala principal` a matricei A. • diagonala secundar` a matricei A are suma elementelor egal` cu 12. • a31 + b22 + c 21 - d14 = 3 +1. 2 2 • a23 × b13 × c 31 × d12U-12 . • a23 = b21 = 5d11 .

æ 3a - 6

1- b 2 è b - b c - 12 determine a, b, c, m Î R.

E4. Matricea X =ç ç

a2 - 4 ö ÷reprezint` matricea nul` de tipul (2, 3). S` se ÷ 4 - 2m ø

æ x +1 0 0 ö ç ÷ 2 E5. Matricea A =ç 4 - y 3u 1- t ÷ reprezint` matricea unitate de ordinul 3. S` se ç 2 ÷ è z +1 v 2 1- x 2 ø determine numerele complexe x, y, z, t, u, v. 5

E6. S` se determine elementele necunoscute astfel [nc@t s` aib` loc egalitatea: æ2x +1 -1 ö æ-y + 6 -1 ö ÷; ÷ a)ç ç ÷=ç ç ÷ 4 - 2x + y ø x - y ø è -5 è 5

æ x + y 2x - y ö æ 3 ÷ b)ç ç ÷=ç ç 2x + y ø è x + 2 y è 4

y + 2ö ÷ ÷. 5 ø

E7. Se consider` matricele A Î M4 , 5-n (C| ) ]i B Î Mm2 , 2 (C| ). S` se determine m, n Î Z astfel [nc@t s` fie posibil` rela\ia A = B.

Sintez` S1. S` se scrie matricea A = ( aij ) 4´4 , ]tiind c` aij = max{i, j}, i, j = 1, 4 . S2. S` se scrie matricea B = ( bij ) 3´3, ]tiind c` bij = j i+1 , i, j = 1, 3. ì 2, dac` i = j ï ï dac` i > j . S3. S` se scrie matricea C = ( c ij ) 3´4 , ]tiind c` c ij = í1, ï i+ j i ï î(-1) A j , dac` i < j æ4 2 ç S4. Se dau matricele A =ç 3 -2x ç 6 è5

æ 4 x -6 4 ö 2 ö ÷ ç ÷ 1 ÷ ]i B =ç 0 -x 2 -10÷. ÷ ç ÷ y 2 + 6ø 0 2y ø è-4

a) S` se scrie tr (A) ]i tr (B). b) Pentru ce valori ale lui y are loc egalitatea a33 + b33 = a21 - b12 ? c) Pentru ce valori ale lui x are loc egalitatea a22 + 2b22 = a32 + b23? d) S` se determine x , y Î R astfel ca tr ( A) - tr (B ) = a13 + b31 .

S5. Se dau matricele p`tratice æ y 2 -2 y ö æ 2 x-1 ö ç 3x - 9 x ÷ 0 lg ç ÷ A =ç ] i B = ç ÷. 3 ÷ 2 ç è log 2 (a -1) 4 y - 3x ø 2 ÷ 3!- C n ø è a + 3bi -1 a) S` se determine x , y, a Î R astfel [nc@t A = I 2 . b) Pentru ce numere x , y, a, b, n Î R are loc egalitatea O 2 = B?

S6. S` se determine elementele necunoscute din urm`toarele egalit`\i de matrice: æ a2 - 4 æ ö æ 2 a + bö ÷=ç 2 - a -1 ÷;b)çC n+1 a)ç ÷ ç ÷ ç 3 z ø è2x -1 x - 2ø ç è 3x (1- 2x ) è b2

ö 2×C 2 x 2 + 7÷ æ n ç ÷=ç -3 ø è 4

4 ö ÷. ÷ log 2 aø

S7. S` se determine numerele reale pozitive x, y, z, m, p pentru care urm`toarele matrice sunt egale: æ æx 2 - x 2 ö ÷, B =ç2 A =ç ç ÷ ç 2m ø è 3 è3

æ y - 3ö ÷, C =ç 3x - 4 ç 2 ÷ è C z +1 m2 ø

6

y - 5ö ÷ ÷. p ø

1.2. Opera\ii cu matrice 1.2.1. Adunarea matricelor

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 24 manual

Exersare æ2 -1 3 ö æ-7 ÷ a)ç ç ÷+ç ç 5 4 2 è ø è 3 æ ö æ ç-6 2 -5 ÷ ç 2 ç ÷ ç æ-2a æ a -5 b ö b ö ÷ ç ÷ b)ç c) + ; 1 0 1 ç ÷+ç 4 ç ÷ ç ÷ è 3x -8 y ø è2x 6 y ø ç2 4 2÷ ç 5 ç ÷ çè 3 5 3 ø è 3 æi 2 ç æ-1 4 ö æ-6 1ö æ1 0ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ E2. S` se calculeze: a)ç ÷-ç ÷-ç ÷; b)ç 2 ç è 2 -5 ø è 0 2 ø è 0 1 ø ç1 è

E1. S` se calculeze:

8 5ö ÷ ÷; 0 4ø ö -7 3 ÷ ÷ -1 2 ÷. 1 8÷ ÷ 5 3 ø ö æ ö -i 4 ö ÷ æ ç 1 2÷ ç 0 i ÷ 3 ÷+ç-2 0÷-ç-3 2 ÷. ÷ ç ÷ ç ÷ -1 ÷ ø è 3 4ø è 4 6ø

E3. Se dau matricele: æ-1 2 ö ç ÷ æ-1 2 0ö æ1 -3 2 ö ÷ ç ÷ ç ÷. A =ç ; B = ; C = 0 3 ç ÷ ç ÷ è 1 -3 2 ø è 0 -1 2 ø ç ÷ è-4 -5ø a) S` se calculeze A + B, A - B, t A+t B, t ( A + B ), t ( A - B ). b) S` se calculeze A+t C , B-t C , t ( A - B+t C ) .

E4. Se dau matricele p`tratice: æ 2x 4 y ç A =ç 1 u ç è-v -2v

æ1 æ 3 -2 3 ö 3z ö z v ö ÷ ç ÷ ç ÷ -4 ÷, B =ç-y -v x ÷, C =ç2 3 -3÷. ÷ ç ÷ ç ÷ t + 3ø 2ø è-x 2 y x - z ø è2 4 S` se determine x, y, z, u, v, t astfel ca A + B = C.

E5. S` se determine matricea X Î M2 (R ) dac`

æ 1 ç æ 2 ö æ1 -1ö ç1- 2 1 ç ÷- X +ç ÷ ç ÷= ç ÷ è 3 -1ø ç è 4 - 5ø ç 2 è

æ5 ç E6. Se d` matricea de ordinul trei, A =ç a 2 ç ç3 è

ö ÷ ÷ . 4 ÷ ÷ 1- 5 ø 1

6- a bö ÷ -1 -10÷. S` se determine numerele reale a, b, ÷ 3c + 2 n ÷ ø

c, n astfel ca t A = A .

7

æ-2 è5

E7. Se d` matricea A =ç ç

3ö ÷ ÷. S` se scrie matricea A sub forma: 2ø

A = B + C , A = A1 - A2 , A = I 2 + E, A = D - I 2 .

E8. S` se calculeze: æ-1- 2 æ18 -6 12 ö ç ö 6 8 1æ 2 ç ÷ ç ÷ 15 ( ) a) ç ; c) 2 -1 ç 1 ÷; b) - ç C 32 15 , ÷ 2è 12 0,2 ø 3è ç ø 2 è 1- 2

ö ÷ æ 2 i 3 1- i ö ÷. ÷; d) iç ç ÷ 3+ 8 ÷ 4 ø è-3i ø 0

E9. S` se determine matricea X ]tiind c` are loc egalitatea: æ 1 -1 5 ö æ-1 4 3ö æ 1 3ö ç ÷ 5 ç0 ÷ ÷ X = 2ç + ( 1 ) × 3 ç ÷ ç ÷ ç 2 5 - 1 ÷. è 1 0 1ø è2 -5 -4 ø è 3 3ø

E10. S` se determine constantele x, y, z, a, b, c din egalitatea: æ x -2 y 4 z ö æ1 -3 -2 ö æ 7 13 22ö ÷ ÷ ÷ 2×ç ç ÷+ 5×ç ç ÷=ç ç ÷. 4 -1ø è-3 è a 4b 3c ø è-21 -2 8 ø

Sintez` æ2 x æ2 5 ö ç ÷ ÷, B =ç y è5 6ø è3

S1. Se dau matricele: A =ç ç

æ x 6ö -4 ö ÷. ÷, C =ç 4 ÷ ç 2÷ log z C 9ø è 2 nø

S` se determine elementele necunoscute ]tiind c` t A+t B = C.

S2. S` se determine x , y, z , t Î R pentru care are loc egalitatea: æ x +1 2 ö æ0 1ö æ 9 4+ yö ÷ ÷ ÷ x ×ç ç ÷+ 3I 2 + x ×ç ç ÷=ç ç ÷. è -1 x ø è2 0ø è z + 2 t + 4 ø

S3. S` se determine matricea A [n fiecare caz: æ1 a) 2 A+ç ç è3 æ-1 ç c) -4ç 0 ç è 12

æ 5 6ö æ 4 -1 2 ö æ2 1 1 ö 2ö ÷ ÷ ÷ ÷ b) 3A+ 5ç ÷=ç ç ÷; ç ÷=ç ç ÷; 1ø è-1 3ø è 3 1 0 ø è 0 -4 9 ø æ-3 0 ö æ 0 1,5ö -3ö ÷ ç ÷ 4ç ÷ 4 ÷+ 7A =ç 1 -2÷- ç 6 0 ÷. ÷ ç ÷ 3ç ÷ -1ø 6 ø è 3 12 ø è5

S4. S` se determine matricele A, B ]tiind c`: æ 3 2ö æ 1 -1ö ÷ ÷ a) A + 2B =ç ç ÷]i 2 A - B =ç ç ÷; è2 3ø è-1 1 ø æ2 + i æ2 - i 1- i ö 1 ö ÷ ÷ b) (1+ i ) A + B =ç ç ÷]i A + (1- i ) B =ç ç ÷. 2+ iø è 1 è1- i 2 - i ø

S5. S` se calculeze matricea: n

æ1 a) A = åç ç 3 èk k=1

ö k ÷ ÷; k (k +1) ø

n

æ1 b) A = åç ç k k=1è2

8

2 k × 3k+1 ö ÷. k -k ÷ 2 ×3 ø

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 32 manual

Exersare E1. S` se calculeze: æ 4 5 öæ 2 1 ö ÷ ÷ a)ç ç ÷×ç ç ÷; è 6 – 1øè –3 – 2ø

æ1 – 2öæ1 4ö ÷ ÷ b)ç ç ÷×ç ç ÷; è 4 1 øè2 1ø æ ö ç ÷ –1 – 1 cos 0 ÷ æ –1 2 ö ç æ ö ç ÷æ 0 – 2 3 ö ç 3 1 2÷ç p÷ ç ÷ ç ÷ c) 1 0 ×ç d)ç2 1 2÷×ç 2 – 1 sin ÷; ÷; ç ÷ 2÷ ç ÷ ç ÷è1 – 1 – 4ø è1 2 3øç è 2 i2 ø p÷ ç ç 0 1 tg ÷ è 4ø æ1 1 ö ÷ æ1 – 1 2 4 öç ÷ç –1 2 ÷ æ1 2 3öç ÷ e)ç 1 2 ÷×ç ç ÷×ç1 2 ÷. è 3 – 1 1øç ÷ç 0 1÷ è1 3 – 1 – 1 øç ÷ è –2 2 ø

E2. Pentru fiecare pereche de matrice (A, B) s` se determine AB, BA, tA tB, tB tA . æ 1 ö æ1 ö ç– ÷ 1 ç ÷ æ1 3ö ç 2 ÷ ÷ ç2÷, B = (–3 1 – 1) ; a) A =ç b) , B = ; A = ç ÷ ç 1÷ è 3 1ø ç ÷ ç 1 – ÷ è 3ø è ø 2 æ ö æ1 0 0ö æ 0 0 – 4ö æ –2 1 ö ç – 1 1 sin p ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 6÷ ç ç ÷ ç ÷ ç ÷. c) A =ç d) , B = 1 3 ; A = 0 1 0 , B = – 3 0 0 ÷ p ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç cos 1 2 ÷ – 2 tg 0 1 0 1 1 – 1 1 è ø è ø è ø è ø 2 æ –1 2 ö ç ÷ æ 3 1 – 4 0ö ç 0 1÷ ÷ E3. Pentru matricele A =ç ç ÷ s` se verifice egalitatea ÷, B =ç – 3 1 0 1 0 5 è ø ç ÷ ç ÷ è 2 0ø t

( A× B) = tB× tA. ]i s` se calculeze AB + tB× t A.

E4. Se dau matricele p`tratice: æ –1 0 3 ö æ5 1 – 2ö æ0 2 0 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ A =ç 2 – 1 2 ÷; B =ç 1 1 3 ÷; C =ç –1 3 – 1÷. ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 0ø è1 è –1 1 – 2 ø è –4 0 – 2ø S` se verifice egalit`\ile matriceale: a) A× (B ×C ) = ( A× B )×C ; b) A× (B + C ) = A× B + A×C ; c) ( A + B ) ×C = A×C + B ×C .

9

E5. S` se calculeze urm`toarele puteri de matrice: æ2 1 1 ö2 ÷ æ2 1 ö2 æ1 – 1ö3 æ 2 – 1ö5 ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ . ; ; ; 3 – 1 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ è1 – 3ø è 3 2 ø è –1 1 ø ç ÷ è 0 1 – 2ø æ –1 2 – 2ö ç ÷ E6. Fie matricea A =ç 4 – 3 4 ÷. S` se calculeze A 2 , A 3 , A 2006 ]i ( A 3 + I ) 10 . ç ÷ è4 –4 5ø æ1 1ö ÷ ÷. Folosind metoda induc\iei matematice s` se calculeze è 0 1ø

E7. Se d` matricea A =ç ç A n , n Î N* .

E8. S` se determine X Î M2 (R ) care verific` egalitatea matriceal`: æ –1 2 ö æ5 10ö ÷ ÷ a) X ×ç ç ÷=ç ç ÷; è 3 4ø è 4 2ø æ –1

E9. Se d` matricea E =ç ç

è2

æ –1 3ö æ5 ÷ b) ç ç ÷× X =ç ç è 2 1ø è4

7ö ÷ ÷. 0ø

0ö 3 ÷ ÷]i f ( X ) = X – 4 X + 2I 2 . S` se determine matricele: – 1ø b) C = f ( A) + 2 f ( A – t A).

a) B = 2 f ( A) – f ( A + I 2 );

Sintez` S1. S` se determine matricea X care verific` egalitatea: æ-1 4 1ö æ-3ö ç ÷ ç ÷ b)ç 0 1 3÷× X =ç 8 ÷; ç ÷ ç ÷ è-2 2 5ø è9ø

æ1 -1 1 ö æ 0 3ö ÷ ÷ a)ç ç ÷× X =ç ç ÷; è 0 1 -1ø è 3 2ø æ1 -1 1 ö æ8 2 -1ö ç ÷ ç ÷ c)ç2 0 3 ÷× X =ç 9 5 4 ÷. ç ÷ ç ÷ è1 1 -2ø è-3 -1 5 ø

æ1 5ö æ2 1ö ÷ ÷ ÷, B =ç ç ÷. S` se rezolve [n M2 (R ) ecua\iile è 0 1ø è1 1ø

S2. Se dau matricele p`tratice A =ç ç matriceale: a) AX = I 2 ;

b) AX = B;

c) XA = B ;

d) AX = XB ;

e) BXB = A.

æ a -bö ÷ ÷, care verific` egalitatea èb a ø

S3. S` se determine matricea A Î M2 (R ), de forma ç ç æ-1 -1ö ÷ A 2 - 3A + 2I 2 =ç ç ÷. è 1 -1ø

æ 1 2ö æ 3 1ö æ 0 -3ö ÷ ÷ ÷ ÷× A×ç ç ÷=ç ç ÷+ I 2 . è-1 1ø è-1 1ø è 4 1 ø

S4. S` se rezolve ecua\ia matriceal`: 2 A -ç ç

10

æ1 -1ö æ1 -1ö ÷ ÷ S5. Exist` matrice A Î M2 (R ) care verific` egalitatea ç ç ÷× A = A×ç ç ÷? è3

2ø

è3

2ø

æ-1 0 2 ö ç ÷ S6. S` d` matricea A =ç 0 1 0 ÷. S` se determine numerele x , y Î R astfel [nc@t s` fie ç ÷ è 2 0 -1ø verificat` egalitatea A 3 = xA 2 - yA . Facultatea de Inginerie economic` Tg. Mure], 2002

æ 3 ç ç S7. S` se determine puterea n a matricei A =ç 2 1 çè 2

1 ö ÷ 2 ÷. 3÷ ÷ 2 ø Facultatea de inginerie Sibiu, 2002

æ2 1 0ö ç ÷ S8. S` se determine puterea n a matricei A =ç 0 1 0÷. ç ÷ è0 0 2ø Universitatea Politehnic` Timi]oara, 2002

æ1- 2x x ö ÷ ÷Î M2 (R ) . è -6x 1+ 3x ø

S9. Fie matricea A(x ) =ç ç

a) S` se arate c` A(x ) × A( y ) = A(x + y + xy ), " x , y Î R . b) S` se verifice egalit`\ile: A 2 (x ) = A( (x +1) 2 -1), A 3 (x ) = A( (x +1) 3 -1). c) S` se calculeze A 2006 (1) . æ1 1 2ö æ0 1 2ö ç ÷ ç ÷ S10. Fie matricele A =ç 0 1 1÷, B =ç 0 0 1 ÷. ç ÷ ç ÷ è 0 0 1ø è 0 0 0ø a) S` se arate c` A = I 3 + B ]i s` se calculeze A n , n Î N *. b) S` se calculeze suma S = A + A 2 + A 3 +...+ A 20 . æ1 1ö æ1 ÷ ÷, B =ç ç 2 è 0 1ø èk

S11. Se dau matricele A =ç ç

kö ÷ ÷. 1ø

a) S` se determine matricea C (k ) = A× B×t A . b) S` se calculeze suma de matrice S = C (1) + C (2) +...+C (20) .

11

pag. 32 manual

Teste de evaluare Testul 1 æ1 x x 2 ö ç ÷ ç ÷]i a = 2a + 3a . Dac` a = 5, atunci: Fie A Î M ( R ), A = 0 1 x 1. 3 13 23 ç ç0 0 1 ÷ ÷ è ø ì 5 ü a) x =1; b) x =-2,5 ; c) x Î {0, 1}; d) x Î í- , 1ý. î 2 þ

2. S` se determine numerele reale x, y cu proprietatea c` æ1 2 ö æ y 1 ö æ4 5ö ÷ ÷ ÷ xç ç ÷+ 3yç ç ÷=ç ç ÷. è2 x ø è 1 x ø è5 4ø æ1 1 1 ö ç ÷ ç 3. Fie A = 0 1 0÷Î M3 (R ) ] i B = A10 + A 9 . ç ÷ è1 0 1 ø a) S` se calculeze Tr (B ) ] i b31 + b22 + b13; b) S` se calculeze A n , n Î N*

Testul 2 ì ï ï î

ü ï x ö ÷ ý. x Î Z x÷ ï è 0 (-1) ø þ æ1

1. Se consider` mul\imea de matrice M = í A(x ) =ç ç

a) S` se arate c` I 2 Î M . b) S` se arate c` dac` A, B Î M , atunci A× B Î M . c) S` se calculeze A n , n Î N* ] i A Î M .

2. S` se determine numerele x , y, z , t Î N pentru care: æ2 x + 4 x ç ç 2 è Cz

4 18ö 3y + 9 y ö ÷= 5×æ ç ÷ ç ÷. ÷ è 9 12ø 5 At2+1 ø æ1 1ö æ ö æ ö t ç1 1÷ ç 4 7÷ ÷ × A + A = 3. S` se determine matricea A Î M2 (Z) ]tiind c`:ç ç ÷ ç ÷ ç ÷. è 0 1ø è 0 1ø è 3 7ø æ 0 aö æx 0ö ÷ ÷ 4. Fie A, B Î M2 (C| ), A =ç ç ÷, B =ç ç ÷. è b 0ø è0 yø S` se arate c` matricea ( AB - BA) 2 are cel pu\in dou` elemente nule.

12

Capitolul 2. Determinan\i 2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mult trei

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 52 manual

Exersare E1. S` se calculeze urm`torii determinan\i de ordinul doi: a)

-2 -5 ; 8 10

b)

2 -3

-6 ; 32

c)

15 , -72 , ; 5 8

d)

2 + i -1 . i 2 2- i

E2. S` se calculeze, scriind sub forma cea mai simpl`, determinan\ii: 7 8 a) 5 3 ; 9 25

3 - 32 ; 2 - 75

b)

c)

-1- 3 1+ 5

5 -1 ; 3 -1

d)

log100 0,5 ; -8 lg 01 ,

A33 2 x+1 32 y (1- i ) 2 -i g) h) ; ; . 3 -y+1 -x C4 9 2 i (1+ i ) 2 æ2 -1ö æ 4 -5 ö ÷ ÷ E3. S` dau matricele p`tratice A =ç ç ÷, B =ç ç ÷. Compara\i numerele: è7 4 ø è6 2 ø a) det ( A) + det (B ) ]i det ( A + B ) . b) det ( AB ) ] i det ( A) × det (B ) ; c) det[ 3 ( A - I 2 )] ] i det ( A + 2I 2 ) . e)

3! 5! ; 0! 4!

f)

A42 C 51

E4. S` se rezolve ecua\iile: x -3x a) = 20; 4 -2 d)

-5 3x -1 b) = 10 ; 2 -x

3x 2 c) x

3- x 4x -1 x -i i 3 x 3x = x - 5 ; e) = ; f) x +1 x 2x x i 3 1

x +1 = 4; 2 x 2 x -1 = . 2x -x 18 x

E5. S` se calculeze determinan\ii de ordinul al treilea prin cele trei reguli de calcul: 3 -1 2 a) 1 4 5 ; -2 -1 -1 P0 e) C 20 A31

P1 C 21 A32

P2 C 22 ; A33

2 1 3 b) 3 2 1 ; 1 3 2

1 2 -5 c) 2 -1 0 ; 4 -1 0

10 20 40 f) -1 -5 -7 ; 100 200 400

0! 1! 2! d) 1! 2! 0! ; 2! 0! 1!

11 21 47 g) -1 18 7 ; 0 0 0

-8 2 8 h) 3 7 -3 . -1 5 1

E6. Enun\a\i c@te o proprietate a determinan\ilor ]i da\i un exemplu de aplicare a acesteia. E7. Folosind propriet`\ile determinan\ilor s` se calculeze determinan\ii: 300 400 500 a) 1 -1 4 ; 3 4 5

10 -1 3 b) 50 1 1 ; 100 2 1 13

5 11 -1 c) 15 22 -3 ; 25 44 - 5

1 a d) 1 b 1 c

m n ; p

x y e) y x y y

y y ; x

a b f) b c c a

c a . b

8 -9 10 E8. Se consider` determinantul d = 4 6 -3 . 12 5 1 a) S` se determine complemen\ii algebrici ai elementelor determinantului d. b) S` se calculeze d folosind dezvoltarea dup` coloana a doua ]i apoi dup` linia a treia. c) Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se formeze dou` zerouri pe coloana [nt@i, apoi s` se calculeze determinantul ob\inut folosind dezvoltarea deter- minantului dup` coloana [nt@i.

Sintez` 4 -1 2 -1 4 - 6× 3 5 -1 + 2×-5 . S1. S` se calculeze valoarea expresiei: 8 -25 2 1 0

S2. S` se verifice dac` urm`toarea egalitate este adev`rat`: 3 4 -3 4 -1 7 -1 5 - 2 4 - 17 5 2 5 20 + 0 2 1 = . 6 7 7 1 4 + 17 - 5 - 2 3 5 1 3 3 10

S3. S` se rezolve ecua\iile: a)

x (x + 2) x + 3 =-14 ; 5 4

b)

x 2 +x 3x

3x+2 d) 4

x (x -1) 4 - x -5 x 2 c) = ; 5 2 x +1 x

i 3+ i x -2 = ; 3- i -i 2 9 2 3x = . 1 1 3x+1

S4. S` se rezolve ecua\iile: x a) 1

1 x

1 7 -1 2 -x 1 = -3 9 4 ; b) 1

1 x

1

1

2

1

7

-1

2x -1 2 1 1 c) 3x + 2 -1 3 = x 4 -2 2

5

1

1 -1 -1 x (1+ i ) 2 1 1 - -1 x -1 = ; -2 i x x -1 -1

x x +1 x + 2 x x +1 x ; d) x + 3 x + 4 x + 5 = . 3 4 5 2x 2x -1 x - 3

x +1 1 S5. Se consider` ecua\ia x -1 x 0 x

2 x 1 -3 = . Dac` x 1 , x 2 , x 3 sunt solu\iile ecua\iei, s` -1 5 1- x

se calculeze S = x 13 + x 23 + x 33 .

14

S6. Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se calculeze urm`torii determinan\i scriind rezultatul sub form` de produs: a2 a) b 2 c2

a 1 b 1; c 1

a- b d) b - c c-a

m-n n- p p-m

x-y y-z ; z -x

a a +1 a + 2 b) b b +1 b + 2 ; c c +1 c + 2

a a 2 +1 a +1 c) b b 2 +1 b +1 ; c c 2 +1 c +1

x e) x 2 yz

a +1 a -1 a 2 -1 f) b +1 b -1 b 2 -1 . c +1 c -1 c 2 -1

y y2 xz

z z2 ; xy

S7. S` se verifice egalit`\ile: 2a 2a a- b- c a) b - c - a 2b 2b = (a + b + c ) 3 ; 2c c - a- b 2c x+y b) x 2 + y 2 x 3+ y3

y+z y2 +z 2 y3 +z 3

z +x z 2 + x 2 = 2xyz (x - y ) (y - z ) (z - x ) . z 3 +x 3

S8. Fie A Î M2 (R ). S` se arate c` are loc egalitatea A 2 - tr ( A) × A + det ( A) ×I 2 = O 2 (rela\ia lui Hamilton-Cayley). æ1 -2 1 ö ç ÷ S9. Se d` matricea A =ç1 -1 3÷. ç ÷ è 0 1 4ø a) S` se calculeze d = det ( A) ] i t = tr ( A). b) S` se calculeze s = d11 + d 22 + d 33, unde d ii reprezint` complementul algebric al elementului aii din matricea A, i =1, 2, 3. c) C@t este suma s1 = a13d12 + a23d 22 + a33d 32 ? d) S` se verifice egalitatea matriceal` A 3 - tA 2 + sA - d ×I 3 = O 3 . æ-2 1 -4ö ç ÷ S10. Se dau matricele A =ç 1 -1 3 ÷] i B = (bij ) 3´3, unde bij = i, dac` i = j ] i bij = i - j , ç ÷ 1 0ø è2 dac` i ¹ j . a) S` se determine det ( A), det (B ) ] i det ( A× B ) . b) S` se verifice dac` are loc egalitatea det ( A× B ) = det ( A) × det (B ) . c) C@t este suma s = b11d 31 + b12 d 32 + b13d 33 ? C`rei propriet`\i a determinan\ilor corespunde rezultatul?

S11. Aplic@nd propriet`\ile determinan\ilor, s` se arate c` urm`torii determinan\i sunt nuli: a+ b a) b + c c+a

3 c 3 a; 3 b

a- b b) a 2 + b 2 -2ab

2 a- b a - b -2ab ; a- b a2 + b2

15

a2 c) b 2 c2

(b + c ) 2 (a + c ) 2 (a + b) 2

b+ c - a a+ c - b . a+ b- c

2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 62 manual

Exersare E1. Se dau punctele A (2, - 4) ] i B (-1, 3). S` se scrie ecua\ia dreptei AB ]i s` se verifice dac` punctul C(5, -11) este coliniar cu punctele A, B.

E2. Care din urm`toarele triplete de puncte sunt formate din puncte coliniare: a) A (-1, - 9); B (2, - 3); C (4, 1) . b) M (2, - 3); N (1, -1) ; P (1, 5) . c) E (-4, - 2) ; F (2, 1) ; G (6, 3). d) T (2, -1) ; U (3, 1) ; V (m, 2m - 5). E3. Se dau punctele A(2, - 3) , B (m +1, 2m ) , C (1, 5). a) S` se determine ecua\ia dreptei AC. b) Pentru ce valori ale parametrului m, punctele A, B, C sunt coliniare. c) S` se determine triunghiul ABC cu aria 22,5.

E4. Se dau punctele A (-3, - 2), B (5, - 4) , C (-1, - 3) . a) S` se scrie ecua\iile laturilor triunghiului ABC. b) S` se determine lungimile [n`l\imilor triunghiului ABC. c) S` se determine A ( ABC ) .

E5. Patrulaterul ABCD are v@rfurile A (1, 2) , B (8, 2) , C (6, 4) , D (3, 4) . a) S` se scrie ecua\iile laturilor patrulaterului. b) S` se scrie ecua\iile diagonalelor patrulaterului. c) S` se compare distan\ele punctelor A ]i C la diagonala [ BD] . d) S` se calculeze aria suprafe\ei (ABCD).

Sintez` S1. Se dau punctele A (1, 0), B (-2, 4) , C (-1, 4) ] i D (3, 5). a) S` se reprezinte punctele [n plan ]i s` se scrie ecua\iile dreptelor AB, BC, CA, CD. b) S` se determine distan\ele de la v@rfurile B ]i D la dreapta AC. c) S` se compare ariile suprafe\elor (ABD), (BCD) ]i (COD). d) Dac` punctul M (m, m +2) este coliniar cu B ]i C, calcula\i aria suprafe\ei (MAD).

S2. S` se determine x Î R astfel [nc@t punctele A (1, 1), B (2 x , 2 x+1 - 2), C (2 x+1 - 2, 2 x ) s` fie coliniare.

S3. Se dau punctele A (sin 2 a, cos 2 a), B (sin 2 b, cos 2 b), C (sin 2 c, cos 2 c ). 1 a) S` se verifice dac` A ( OAB ) = sin(a - b) ×sin(a + b)) . 2 b) S` se arate c` pentru oricare a, b, c Î R, punctele A, B, C sunt pe o dreapt`. 16

S4. Se dau punctele distincte A (2, m ), B (m +1, m ), C (1, 2) . a) S` se determine m Î R astfel [nc@t punctele s` fie coliniare. b) S` se determine m Î R astfel ca aria suprafe\ei (ABC) s` fie 1. S5. Se consider` punctele A (m, 2m -1), B (m +1, - m + 2) . Pentru ce valori ale lui m are loc 23 egalitatea A ( OAB ) = . 2

S6. S` se determine m, n Î R astfel ca punctele A, B, C s` fie coliniare [n cazurile: a) A (m -1, 3), B (2m, - m ), C (2m - 3, 1+ m ) . b) A (m - n, 1+ m ) , B (2m - n, 1) , C (m, n +1) .

S7. S` se determine m Î R astfel ca punctul A (1, 1) s` fie la distan\a 3 fa\` de dreapta BC, unde æ 2 - 6m ö æ 7m -1 ö ÷, Cç1, ÷. Bç 0, è 1- m ø è m -1 ø

S8. Se consider` punctele A (3, 2), B (2, 4). S` se determine punctele M situate pe dreapta x - y - 3 = 0 pentru care A ( OAM ) = A ( OBM ) .

S9. Exist` puncte A (m, 1) , B (1, m ), C (m, m ) astfel [nc@t A (ABC ) = 2 ? pag. 64 manual

Teste de evaluare Testul 1 1 0 2 1 4 -5 2 - 5-1 1 5 - (-1) 3 ×-6 . 1. Se d` expresia E = 22 3 3 -2 1 Valoarea expresiei este:

a) –2;

b) 2;

c) 20;

d) –36.

æ 2 -1 3 ö ç ÷ 2. Se d` matricea A =ç-1 4 -5÷. S` se calculeze det ( A) utiliz@nd: ç ÷ è 4 -2 6 ø a) regula lui Sarrus; b) regula triunghiului; c) dezvoltarea dup` linia a doua; d) dezvoltarea dup` coloana a doua; e) dezvoltarea dup` coloana [nt@i dup` ce s-au ob\inut dou` zerouri pe aceasta. f) o proprietate a determinan\ilor nuli. æ x æ 3 2x +1ö æ x 1ö -2 ö ÷ ç ÷ ç ÷ , B = , C = 3. Se dau matricele A =ç ç ÷ ç ÷ ç ÷. Suma solu\iilor ecua\iei è x -1 1 ø è5 x -1 ø è 2 3ø det ( A + B ) = det (C 2 ) este ... .

4. Punctele A (2m +1, 3), B (1, m ) ] i C (-4, 2) sunt coliniare dac` m =... . 17

Testul 2 1. Fie S1, respectiv S2 mul\imile solu\iilor ecua\iilor: a)

x - 4 1- 3x 2 8 -2 3 5 1, (6) = ; 32 7 2 3 -1 5 -3

y + 4 -y - 5 b) 1 y -1 y +2 -1

y +1 2 y +1 -1 3 = . 1 2y y

S` se determine S1 , S 2 , S1 È S 2 , S1 ´ S 2 . æ 1 -e e 2 ö ç ÷ 2 ç 1 ÷, unde e este solu\ie a ecua\iei x 2 + x +1 = 0. Atunci 2. Se d` matricea A = -e e ç ç e 2 1 -e÷ ÷ è ø æ1 ö det( A) + detç A 2 ÷= ... . è2 ø æx y ç 3. Se dau matricele A =ç a 0 ç è-c -z

æ x 0 bö æx bö ÷ ç ÷ ç z ÷, B =ç a y z ÷, C =ç a ÷ ç ÷ ç 0ø è-c b 0ø è-c n = x det ( A) + a det (B ) + c det (C ) . Atunci n =... . æ

ö æ

ö

ø è

4ø

0 yö ÷ y 0 ÷]i ÷ b -z ø

2m 1 4. Se consider` triunghiul ABC, cu Aç- , 1÷ Bç 3- m, - ÷] i C (1, 2). Valoarea lui m Î Z è

3

pentru care d (C , AB ) = 3 este ... .

18

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare 3.1. Matrice inversabile din M n (C| )

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme Exersare

pag. 70 manual

E1. S` se determine care din urm`toarele matrice sunt inversabile: æ-2 5ö ÷ a)ç ç ÷; è 4 3ø

æ2 -5ö ÷ b)ç ç ÷; è 3 -7ø

æ5 ö ç -2 ÷ c)ç 2 3 ÷; è9 4 ø

æ 2 -1 ö ç ÷ d)ç 2 ÷. ç1 ÷ è 2 ø

E2. S` se determine inversa matricei: æ2 -1ö ÷ a)ç ç ÷; è8 -5ø æ1 1 1 ö ç ÷ e)ç1 1 0÷; ç ÷ è2 1 1 ø

æ-8 6 ö ç ÷ 1 ÷; b)ç 2 è 3 4ø æ2 1 3ö ç ÷ f)ç 0 -1 4 ÷; ç ÷ è 0 0 -5 ø

æ-1 0ö ÷ c)ç ç ÷; è 0 1ø

æ 3 d)ç ç è2 2

2ö ÷; ÷ 3 3ø

æ 3 -2 0 ö ç ÷ g)ç 0 2 2 ÷; ç ÷ è1 -2 -3ø

æ1 3 2ö ç ÷ h)ç2 0 1÷. ç ÷ è1 2 1ø

E3. S` se determine m Î C| pentru care matricea este inversabil`: æ m 2 - 3m m ö ÷; d)ç ç ÷ 1ø è m-3 æ 3m +1 ö ç -1 7 ÷ 2 æ m m +1 2 ö æ æ2 + m ç 2 ÷ 4 3ö 1 1ö ÷ ç ÷ çm ç ÷ m 7 ç ÷ e)ç 1 1 -3÷; f)ç 2 -1 0÷; g)ç m m -1 1÷; h)ç 4 9 ÷. ÷ 2 ç ÷ ç ç ÷ 2 ç 2 m 1ø ç 11 9÷ m 1ø è0 è 1 -1 7 ÷ èm ø ç ÷ è ø æ-1 2 ö æ 7 5ö ÷ ÷ E4. Se dau matricele A =ç ç ÷]i B =ç ç ÷. è-4 10ø è 3 2ø a) S` se arate c` matricele A, B, AB ]i BA sunt inversabile ]i s` se calculeze inversele lor. b) Este adev`rat` egalitatea ( AB ) -1 = B -1 × A-1 ? æ2 m ö ÷ a)ç ç ÷; è 3 -6 ø

æ m 5ö ÷ b)ç ç ÷; è-20 m ø

æm - 3 7 ö ÷ c)ç ç ÷; m + 2ø è 2

c) S` se verifice egalit`\ile ( A 2 ) -1 = ( A-1 ) 2 ]i (B 2 ) -1 = (B -1 ) 2 .

E5. S` se determine matricea A a c`rei invers` este: a) A

-1

æ-5 8 ö ç ÷ =ç 3 1 ÷; è 2 2ø

æ-2 -1 1 ö ç ÷ c) A-1 =ç 0 4 -1÷; ç ÷ è 1 -2 0 ø

æ-1 0ö ÷ b) A-1 =ç ç ÷; è 4 2ø æ 1 11 7ö ç - ÷ 5÷ ç5 5 d) A-1 =ç 0 -2 1 ÷. 4 3 ÷ ç1 ç ÷ 5 5 ø è5 19

Sintez` S1. Care din urm`toarele matrice sunt inversabile: æ2 x a)ç ç x è4

5x ö ÷; x÷ 10 ø

æ lg1 2 ö ÷ b)ç ç ÷; è-2 lg 5ø

æC 2 A 2 ö 4 3÷ d)ç ç ÷? è-1 1 ø

æ 0! 3 ö ÷ c)ç ç ÷; è 8 4!ø

S2. S` se determine inversa matricei: æ ö ç-1 C m2 C m1 ÷ æ æ i -i æ ç ÷ cos x ö 1- i ö ÷; c)ç sin x ÷; b)ç 2 + 3 ÷ a)ç d)ç 4 -3 5 ÷. ç ÷; ç ÷ ç ÷ è- cos x sin x ø 3- 2ø è 3 -4 i ø è 1+ i 1 ç ç÷ 3 2 ÷ è 2 ø S3. S` se determine valorile parametrului real m pentru care matricea A este inversabil`, oricare ar fi x Î R. æ 1 x 2ö æ1 3 x ö æ1 2 xö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç a) A = 2 -1 x ; b) A = 1 x -1 ; c) A = m -1 3÷. ç ÷ ç ÷ ç ÷ è m x 3ø èm 2 x ø è 2 1 2ø 2ö

S4. S` se determine m Î R astfel [nc@t A* = A-1 dac`: æ2 0 1ö ç ÷ a) A =ç 3 m + 3 1 ÷; ç ÷ è-3 m - 4 -3ø

æm - 3 m 1 ö ç ÷ b) A =ç 3 5 2 ÷; ç ÷ 1 mø è 0 æ 4 m -1 0 ö ç ÷ d) A =ç 3 1 -3÷. ç ç2 m -1 1 ÷ ÷ è ø

æ 2m -1 -1 4ö ç ÷ c) A =ç m -1 1 ÷; ç ÷ è 3m - 2 2 3ø

S5. Fie A, B Î Mn (C| ), n Î {1, 2, 3} , dou` matrice inversabile astfel [nc@t AB = BA . S` se arate c`: a) AB -1 = B -1 A ;

b) A-1B = BA-1 ;

c) A-1B -1 = B -1 A-1 .

æ1 1 -1ö ç ÷ S6. Se d` matricea A =ç2 2 -2÷. ç ÷ è 3 3 -3ø a) S` se determine produsul (I 3 - A) (I 3 + A) . b) S` se arate c` I 3 - A este matrice inversabil` ]i s` se calculeze (I 3 - A) -1 .

20

3.2. Ecua\ii matriceale Enun\uri Exerci\ii ]i probleme Exersare

pag. 74 manual

E1. S` se rezolve ecua\iile matriceale: æ1 2ö æ2 1ö ÷ ÷ a) X ç ç ÷=ç ç ÷; è 3 5ø è 3 1ø æ2 3ö æ-1 1 ö ÷ ÷ c)ç ç ÷X =ç ç ÷; è 3 4ø è 1 0ø E2. S` se rezolve ecua\ia matriceal`: æ 3 2ö æ 4 1ö æ1 0ö ÷ ÷ ÷ a)ç ç ÷× X ×ç ç ÷=ç ç ÷; è 4 3ø è5 1ø è 0 1 ø

æ2 1ö ÷ æ1 2ö ç ÷ ç ÷; b) X ç = 3 1 ç ÷ è 3 5ø ç ÷ è 0 1ø æ2 æ 3i 1 ö 1ö ÷ ÷ d)ç ç ÷=ç ç ÷X . è-1 -1ø è-5 2i ø æ-1 2ö æ2 -1ö æ1 4 ö ÷ ÷ ÷ b)ç ç ÷×Y ×ç ç ÷= 2ç ç ÷; è 3 1 ø è 0 3 ø è 4 -5 ø

æ1 0ö æ-2 1 ö æ 3 2öæ1 0ö æ-1 1 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ c)ç ç ÷× X ×ç ç ÷-ç ç ÷ç ç ÷= 2ç ç ÷- 3I 2 . è2 1 ø è 2 0ø è 0 1øè1 2 ø è 3 0ø

E3. S` se determine matricea necunoscut` din egalit`\ile: æ-2 3 -1ö æ1 ö ç ÷ ç ÷ a)ç 3 -4 2 ÷× X =ç 0 ÷; ç ÷ ç ÷ è 1 -1 -2 ø è-2ø

æ1 -1 2 ö ç ÷ æ1 -2 1 ö ÷ b) X ×ç1 0 -1÷=ç ç ÷; ç ÷ è 0 -1 3ø è1 -1 1 ø

æ2 æ1 2 -3ö æ 0 -1 -1ö 2 3ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ c)ç 1 -1 0÷× X ×ç 0 1 2 ÷=ç 0 1 1 ÷. ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1ø è-1 2 1 ø è0 0 1 ø è0 0 æ1 -1 1ö æ2 1 ö ç ÷ ç ÷ æ2 3ö ÷ E4. Se dau matricele A =ç1 1 1÷, B =ç ç ÷, C =ç1 0÷. è 3 4ø ç ÷ ç ÷ è 0 0 1ø è0 1ø S` se determine matricea X care verific` rela\ia: a) AXB = C ;

b) BXA=t C .

21

3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute. Forma matriceal` Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 90 manual

Exersare E1. S` se scrie matricele asociate urm`toarelor sisteme de ecua\ii: ìx - 2 y = 3 ìx - 2 y + z = 1 ï ï b) í2x - 4 y = 1 ; c) í4x + y + 3z = 0 ; ï ï î5x - 6 y =-8 î9x - 2 y - z = 4 ì3x + 2 y - z =-x + y +1 ì3(x -1) + 4(2 - y ) = 3(z - 2) ìa + b - c = 6 ï ï d) í ; e) íx - y + 3z = ix - 2 ; f) í2(1+ x ) + 3(z - y ) = 5(x - y ) . î3a - 2b + c = 11 ï ï îix - iy + z = 2(x -1) î3(x - y ) + 4( y - z ) = 2(x + y - z ) ì3x + 5 y = 7 a) í ; î8x - y = 2

E2. Care din sistemele de numere (-3, - 2) ; (-2 , - 4) ; (-6, 2) ; (i , 1) sunt solu\ii ale sistemelor de ecua\ii: ì2x + y =-8 ìx + y =-4 a) í b) í ; ; î3x - 4 y = 10 î2x + 5 y =-2 ì(2 - i ) x - 4 y =-3+ 2i ì3(x - i ) + i ( y -1) = 0 c) í d) í ; . î2ix + iy =-2 + i î(1+ i ) (x +1) + (1- i ) ( y +1) = 2 ì(a + 3) x - 3y = 8 , a, b Î R . S` se determine a ]i b astfel [nc@t E3. Se d` sistemul de ecua\ii í î4x - (2b + 3) y = 18 solu\ia sistemului s` fie: æ 7 ö a) (1, - 2); b)ç- , - 5÷. è 4 ø E4. S` se scrie sub form` matriceal` ]i s` se rezolve sistemele de ecua\ii: ì3x - 4 y = 7 ì2x - 3y = 1 ì3(x + y ) - 2(x + 2 y ) = 5 a) í b) í c) í ; ; ; î2x - 3y = 5 î5x - 7y = 3 î4(x - y ) - y + 2x = 2 ì2x + y - 3z =-6 ì2(3x - y ) + 5z = 3+ y ìx + y + z = a ï ï ï d) í4x + y + z = 10 e) í4(x + y - z ) + 2 y = 3+ z ; f) í2x + 5 y - 3z = b . ; ï ï ï î-3x + y + 2z =-1 î2x - 3y +10z = 2 îx + 3y - 2z = c

E5. S` se determine care din urm`toarele sisteme sunt de tip Cramer ]i s` se rezolve prin regula lui Cramer: ìx - 8 y = 5 a) í ; î3x + 9 y = 11 ì3x - 4 y + 2z = 3 ï c) í5x + y + 3z = 6 ; ï îx - 6 y + z =-4

ì2(x - y ) - 3(x + y ) = 1 b) í ; î8x - 5(x - 3y ) = 4 ìx - 2 y + 2z = 10 ï d) í2x - y - z = 2 . ï îx + y - z = 4

E6. S` se rezolve sistemele de ecua\ii prin regula lui Cramer: ìx + 2 y = 4 a) í ; î2x + 5 y = 9

ì-2x + 5 y =-1 b) í ; î3x - 7y = 2 22

ì4x + 3y = 17 c) í ; î6x + 5 y =-3

ìx + y + z = 2 ï d) í2x + 3y - z = 5 ; ï î3x + y + 3z = 4

ìx + 2 y - 4z =-2 ï e) í-3x + 4 y + z = 13 ; ï î2x - y + 3z = 9

ì-2x + y + 3z =-1 ï f) íx + y + 2( y + z ) = 4 . ï î2(x + z ) - (3y + x ) = 10

E7. Se consider` sistemul de ecua\ii A× X = B , unde æ-3 2 1ö æx ö æ 4ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ A =ç 4 -1 2÷, X =ç y ÷, B =ç8 ÷. ç ÷ ç ÷ ç ÷ è-5 2 3ø èz ø è8 ø a) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin metoda matriceal`. b) S` se scrie ecua\iile sistemului. c) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin regula lui Cramer.

E8. S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii: ìx + y = 4 a) í ; î2x + 3y = 9 ìx + y + z = 1 ï c) íx + 2 y + 2z =-1; ï îx - y + 2z = 2 ìx + y - 3z =-1 ï ï2x + y - 2z = 1 e) í ; ï2x + 3y - 2z = 4 ï îx + 2 y - 3z = 1 ì2x - 3y + z =-1 ï ïx + 2 y - 3z = 0 g) í ; ï2x -10 y + 8z =-1 ï î4x -15 y + 9z = 0 ìa - 2b + c = 10 i) í ; î3a - 2b - c = 7

ì2x + y = 3 b) í ; îx + 2 y = 0 ì2x + 5 y + 3z = 17 ï ï4x - 6 y - 3z = 0 d) í ; ï6x +10 y -10z = 8 ï îx + y + z = 6 ìx + y + 2z = 4 ï ïx + 2 y - z = 2 f) í ; ï2x + 3y + z = 6 ï î3x + 4 y + 3z = 10 ì2x - 3y - z = 1 h) í ; îx - y - 2z =-3 ìx + y + z = 1 ï j) í2x - y + z = 2 . ï îx + 3y - z = 1

Sintez` S1. S` se determine m Î R astfel [nc@t sistemul s` fie de tip Cramer ]i s` se rezolve [n acest caz: ìx - my + z = 2m ï a) íx - 2 y + z =-1 ; ï îmx + m 2 y - 2z = 2

ìx + my - z = 8 ï b) í2x - y - 2z = 6 . ï îmx + 2 y + z = 4

S2. Pentru ce valori ale parametrului m sistemul de ecua\ii nu este de tip Cramer? ìx + (m +1) y + z = 2 ï a) ímx + y - z = 0 ; ï îx - 2 y - mz = 3

ì2x + 3y + (m + 2) z = 0 ï b) í3x + y + mz = 4 . ï î3x - y + z = 6

23

S3. S` se rezolve prin metoda matriceal`, metoda lui Cramer ]i metoda lui Gauss sistemul de ecua\ii: ì 7 ïx + 3y = (5x +12z ) 9 ï í b) 9 y + 20z = 6(x - 48 y ) . ï ï2x + 3y + 4z = 128 î S4. S` se rezolve prin regula lui Cramer sistemele de ecua\ii: ìC 1x - C 2 y + 4C 3z = 2 ìx + y - (2 - i ) z =-2 + 2i 3 3 3 ï ï ï 1 0 a) íx + iy - (1+ i ) z =-1 b) í2C 5 x - 4C 5 y + C 52 z = 6 . ; ï ï 2 1 3 îix - iz =-1- i ï îA x -2 A y + A z = 0 ì1 1 ï ï 4 (5x - 2 y ) +1 = x - 5 ( y + 2) a) í ; 1 ï1 (5x + 3y ) + (9 y -11) = x + y ï î7 14

3

3

3

S5. S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii: ì2(x + 2 y ) = 3z +11 ì2x + y = 2 - z ï ï ï5x - 3y = 6 - 5z - 2x ïx + 3y = 5 - z a) í ; b) í ; ï3(x - z ) = 15 - y + 5z ïx + y =-7- 5z ï ï î6(x - y ) +11z =-4 - y î2x + 3y = 14 + 3z ì3x + 4z =-2(2 + y ) ì2x + 7y - 4z = 0 ï ï d) í5 y + 7z = 4(x + 2) e) í5x - 2 y - 8z = 0 ; ; ï ï î11x - 31y - 47z =-68 î12x + 3y - 20z = 0 ì2x + y + (m +1) z = m ï S6. Se d` sistemul de ecua\ii íx + (m -1) y + mz = 2m . ï î5x + 4 y + 3(m +1) z = 3

ìx + y = 3z -1 ï ï2x + y = 2z +1 c) í ; ïx + y + z - 3 = 0 ï îx + 2 y - 3z -1 = 0 ìx - 4 y + (2m + 3) z = 0 ï f) íx - my - z = 0 . ï î2x + y = 8, m Î R

a) Pentru ce valori ale parametrului m Î R sistemul este compatibil determinat? b) S` se rezolve sistemul de ecua\ii ob\inut pentru m = 0, m =-1, m = 2 . ìx + y + z = 1 ï . }tiind c` a, b, c sunt numere reale diferite, S7. Se d` sistemul de ecua\ii íax + by + cz = 2 ï 2 îa x + b 2 y + c 2 z = 4 s` se rezolve sistemul. ì(2m -1) x + 3y - mz = 1 ï S8. Se consider` sistemul de ecua\ii í3x + (2m -1) y + (m -1) = 3. ï î(m - 2) x + (m - 2) y + z = 2 a) S` se scrie matricea A a sistemului ]i s` se rezolve ecua\ia det ( A) = 0 . b) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul nu este de tip Cramer? c) Dac` sistemul este de tip Cramer s` se determine solu\ia sistemului notat` (x m , y m , z m ) . d) S` se determine m Î R astfel [nc@t s` aib` loc rela\ia x m + 2 y m - z m > 1. ì2x + y + z = 1 ï S9. Se consider` sistemul de ecua\ii íx + y + z = 2 a , a Î R . ï îx + y + 2z = 4 a a) S` se determine solu\ia (x (a), y (a), z (a)) a sistemului de ecua\ii. b) S` se determine mul\imea A = {a Î R y (a) > 1}. ASE Bucure]ti, 1998

24

ìax + y + z = 4 ï S10. Sistemul de ecua\ii í(a +1) x + ( b +1) y + 2z = 7, a, b Î R este compatibil determinat ï îx + 2 by + z = 4 pentru: 1 a) a = 1, b ¹ 0; b) a ¹ 1, b ¹ 0 ; c) a, b Î R ; d) a = 1, b = . 2 Universitatea Gala\i, 2004

ì2x + y + 3z = 1 ï S11. S` se discute dup` m Î R ]i s` se rezolve sistemul: íx - y + z =-1 . ï îx + 2 y + mz = m ìmx + y + z = 0 ï S12. Sistemul de ecua\ii íx + my + 2z = 0 are numai solu\ia nul` (0, 0, 0) dac`: ï îx - y - z = 0 a) m ¹-1, m ¹ 2 ;

b) m = 0;

c) m = 2;

d) m Î R. Politehnic` Bucure]ti, 2004

S13. Pentru golirea unui bazin cu ap` se utilizeaz` trei robinete. Timpul de func\ionare a fiec`rui robinet ]i cantitatea de ap` evacuat` exprimat` [n hectolitri sunt date [n tabelul matriceal al`turat. Tabelul 3.3. Robinetul I (nr. de ore)

Robinetul II (nr. de ore)

Robinetul III (nr. de ore)

Cantitatea de ap` evacuat` ([n hl)

2 ore

3 ore

6 ore

220 hl

3 ore

2 ore

6 ore

210 hl

2 ore

2 ore

3 ore

145 hl

S` se determine debitul fiec`rui robinet.

S14. Dac` tat`l ar avea cu 7 ani mai mult dec@t are, atunci v@rsta actual` a fiului mai mic ar fi

1 6

1 din v@rsta tat`lui. S` se determine 2 v@rsta fiec`ruia, dac` peste 18 ani cei doi copii vor avea [mpreun` c@t v@rsta tat`lui lor. din v@rsta tat`lui. Peste 15 ani v@rsta fiului mai mare va fi

ìx + my - 2z = 2 ï S15. Se consider` sistemul de ecua\ii: í2x + (2m -1) y + z = n , m, n Î R . ï îx + 2 y + 3z = 1 a) S` se rezolve sistemul pentru m = 1 ] i n = 5 . b) S` se discute dup` valorile lui m, n Î R ]i s` se rezolve sistemul. Universitatea Bra]ov, 2002

25

pag. 96 manual

Teste de evaluare Testul 1 æ 2 0 1ö ç ÷ 3- x x ÷Î M3 Î (R ) . 1. Se d` matricea A =ç 5 ç ÷ è x + 6 -2 8 ø a) S` se determine x Î R astfel ca matricea A s` nu fie inversabil`. b) S` se calculeze A-1 dac` x = 2. ìx + 2 y + z = 1 ï . 2. Fie sistemul de ecua\ii: íx - y + 2z = 2 ï î2mx + m 2 y + 3z = 3m a) S` se determine m Î R pentru care sistemul are solu\ie unic`. b) S` se rezolve sistemul ob\inut dac` m = 3. Universitatea Construc\ii Bucure]ti, 2004

3. Pentru 3 creioane, o gum` ]i 7 caiete un elev pl`te]te 45 lei. Dac` ar cump`ra 5 creioane, 3 gume ]i dou` caiete ar pl`ti 28 lei. }tiind c` 4 creioane, 5 gume ]i 5 caiete cost` [mpreun` 42 lei, s` se afle pre\ul fiec`rui obiect.

Testul 2 1. S` se calculeze inversele matricelor: æ 2 3 1ö ç ÷ æ öæ ö 3ö ÷; B =ç-1 2 0÷; C =ç 3 2÷×ç-2 1 ÷. ç ÷ ç ÷ ÷ è 4 3ø è 3 -1ø 2ø ç ÷ è 1 2 2ø ìC i , i > j æ-4ö ç ÷ ï 2i 2. Se dau matricele A = (aij ) 3´3 , unde aij = íi, i = j ]i B =ç 2 ÷ ç ÷ ï è 45 ø î-i, i < j æ 2 A =ç ç è1

S` se rezolve ecua\ia matriceal` AX = B . ì(1+ m ) x + y + z = 1 ï 3. Se d` sistemul de ecua\ii: íx + (1+ m ) y + z = m , m 2 Î R ï îx + y + (1+ m ) z = m 2 a) S` se calculeze determinantul sistemului. b) Pentru ce valori ale lui m sistemul este compatibil determinat? c) S` se rezolve sistemul pentru m = 2. d) S` se rezolve sistemul pentru m = 0. Universitatea Baia Mare, 2005

26

pag. 97 manual Probleme recapitulative æ1 3ö 3 2 ÷ ÷Î M2 (R ) . S` se determine a, b Î R pentru care A + aA + bA = O 2 . è2 4ø

1. Fie A =ç ç

æx

yö 2 ÷ ÷Î M2 (R ) ]tiind c` A + 4I 2 = 4 A , ]i apoi s` se afle èy xø

2. S` se determine matricea A =ç ç A n , nU1.

}tiin\e economice Cluj, 1996

æ1 0 0ö ç ÷ 3. Se consider` matricea A =ç a 1 0÷Î M3 (R ) . ç ÷ èb c 1ø a) S` se calculeze A 2 ]i A 3 . b) S` se determine a, b Î R cu proprietatea c` A 3 = aA 2 + bA + I 3 . Universitatea Bac`u, 1997

æ 0 a 0ö ç ÷ 4. Fie E ( X ) = X 2 - 4 X + 4I 3 . Dac` A =ç1 0 1 ÷, s` se determine a Î R pentru care ç ÷ è1 0 1 ø æ 3 4 -1ö ç ÷ E ( A) =ç-3 3 -3÷. ç ÷ è-3 -1 1 ø Universitatea Craiova, 2003

æ 0 1 -1ö ç ÷ 5. Fie A =ç 0 0 1 ÷. S` se calculeze (I 3 + A) n , nU1. ç ÷ è0 0 0 ø Universitatea Politehnic`, 1994

æ1 0 -1ö ç ÷ ç 6. Fie A = 0 1 1 ÷. S` se calculeze S = A + A 2 + A 3 +...+ A10 . ç ÷ è0 0 1 ø æ a 0 bö ç ÷ ç 7. Se consider` matricea A = 0 c 0÷Î M3 (R ) , cu proprietatea c` ae = bd . ç ÷ èd 0 eø æ 0 0 0ö ç ÷ a) S` se demonstreze c` exist` x , y Î R astfel [nc@t A 2 = xA + yE , unde E =ç 0 1 0÷. ç ÷ è 0 0 0ø b) S` se arate c` pentru oricare nU1, exist` an , bn Î R , cu proprietatea c` A n = x n A + y n E . Facultatea de Sociologie, 1997

27

æ1ö ç ÷ 8. Fie A =ç 1 ÷Î M3, 1 (R ), B = (1 2 -1) Î M1, 3 (R ) . Dac` C = AB , s` se calculeze C 101 . ç ÷ è-1ø

9. S` se rezolve sistemele de ecua\ii: ì æ1 ï A + 3B =ç ç è-2 ï b) í æ0 ï ç ï3A + 4B =ç è1 î

ìA + B = I 2 ï æ 1 1ö; a) í ÷ ï2 A + 3B =ç ç ÷ 1 1 è ø î

2ö ÷ ÷ 1ø . 1ö ÷ ÷ 0ø

æ1 è1 æ1 A×ç ç èa

aö ÷ ÷Î M2 (R ) ]tiind c` 1ø æ1 1ö æ 4 4ö 1ö ÷ ÷ ÷ ÷+ç ç ÷× A =ç ç ÷. 1ø è a 1ø è 4 4ø 11. S` se determine A Î M2 (C| ) , ]tiind c`:

10. S` se determine matricea A =ç ç

æ1 i ö æ1 i ö æ2 4i ö ÷ ÷ ÷ A×ç ç ÷+ç ç ÷× A =ç ç ÷. è 0 1ø è 0 1ø è0 2 ø

12. S` se rezolve [n R ecua\iile: x x 1 a) 1 x 1 = 0 ; 4 -5 4

x 1 2 b) -1 x 1 = 5 ; 1 -2 x

x c) 1 1

1 x 1

1 1 = 0. x2

13. S` se rezolve ecua\iile: 1 x ab a) 1 a bx = 0, dac` a ¹ b . 1 b ax

2x +1 x +1 x + 2 b) 2x + 7 x + 4 x + 5 = 0 ; 2x +13 x + 7 x + 8

1 1 1 c) a + b x + b x + a = 0 , dac` a ¹ b . x2 a2 b2

14. S` se determine a Î R pentru ca matricea A s` fie inversabil`: æ1 1 1 ö ç ÷ a) A =ç1 a +1 1 ÷; ç ÷ 1 a 2 +1ø è1

æ1+ a 1 1 ö ç ÷ b) A =ç 1 1+ a 2 1 ÷. ç ÷ 1 1+ a 3 ø è 1

15. S` se rezolve ecua\iile: æ1 1ö æ1 2ö ÷ ÷ a) X ×ç ç ÷=ç ç ÷; è1 2ø è1 1ø

æ 1 2 3ö æ-1 5 3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç b) X × 0 1 2 = 2 1 -1÷. ç ÷ ç ÷ è-1 2 1ø è-3 4 5 ø Universitatea Bac`u, 1998

28

æx + m

16. Fie A Î M2 (R ), A =ç ç

è 1- m

m ö ÷ ÷. S` se determine m Î R pentru care matricea A este x + 2m ø

inversabil` " x Î R. æ1 1ö 4 ÷ ÷Î M2 (R ) . S` se calculeze inversa matricei A . è1 2ø

17. Fie A =ç ç

æ1 2ö æ ö -1 ç 3 2÷ -1 ÷ ]i B = A × ÷ ç ÷. S` se calculeze B . è1 1ø è2 1ø

18. Fie A =ç ç

19. S` se rezolve sistemele: ìx + 3y - z = 3 ï a) í2x + y - 4z =-1; ï îx + y - 2z = 0

ìx + y + z = 1 ï b) í2x + y - 3z = 1 ; ï î4x + y - 5z = 1

ìx + y + z = 2 ï ï2x + y + 2z = 3 c) í . ï3x + y + 4z = 1 ï îx - y + 3z = 1

ì2x + y + 3z = 1 ï . Dac` 20. Se consider` sistemul ímx + y - 2z = 1 ï î(2m - 1)x + 2 y + z = n A = {(m, n) Î R ´ R sistemul este compatibil nedeterminat} ]i a=

å (m 2 + n 2 ) , atunci: ( m, n )ÎA

a) a =18;

b) a = 26;

c) a = 32;

d) a =13;

e) a = 25.

ìx - my + z = 0 ï ïx - 2 y + z = m - 2 21. Se consider` sistemul í 2 2 . ïmx + m y - z = 2m ï î2mx + (m +1) z = 2m 2 Dac` A = {m Î R sistemul este incompatibil a) A = {-1, 0, 2} ;

b) A = {0, 2} ;

d) A = {-1, 0} ;

e) A = {-1, 2} .

}, atunci:

c) A = Æ; ASE Bucure]ti, 2003

29

REZOLVĂRI Partea I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecuaţii liniare Capitolul I. Matrice 1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice Exersare E1. Rezolvare: ⎛ ⎛ 2 0⎞ ⎜ 0 −1 0 ⎛ 1 −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ A =⎜−1 3 ⎟; B = 3 5 ; C =⎜ 2 5 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 2 4 ⎝ 4 -5⎠ ⎜ 4 9 −1 ⎝3 2

⎞ ⎟ ⎛ 2 + i 1 −5⎞ ⎟ ⎟. ⎟; X =⎜ 3i 2⎠ ⎝ 4 ⎟ 3⎟ ⎠

1 0

E2. Rezolvare: ⎛2 ⎞ ⎜ ⎟ −1⎟ 1 a) A =⎜ ⎜ 5 ⎟; b) B = 3 4 1 + i ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠

(

⎛1 ⎜0 ⎜ 2 ; c) C = ⎜ 0 5 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

0 0 0 0⎞ ⎛0 1 0 0 0 ⎟⎟ ⎜0 0 1 0 0 ⎟ ; d) D = ⎜ ⎜0 ⎟ 0 0 1 0⎟ ⎜ ⎝0 ⎟ 0 0 0 1⎠

)

0 0 0⎞ 0 0 0 ⎟⎟ . 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎠

E3. Rezolvare: a) A i M3(m); B i M2,3(Z); C i M3,1( ^ ); D i M1,4( ^ ); b) b11 = 2; b12 = –3, b13 = 3 ; b21 = –2; b22 = –5; b23 = 4 ; d11 = 2 ; d12 = −i ; d13 = 5; d14 = −7 . 3

5

c) a23 = –2; a32 = –4; a22 = 8; c31 = 1 + i; c21 = –1; 1 + i = c31; 3 = b13 ; − 4 = a32 ; b23 = 4 ; d14 = −7 . 3

d) • Suma a11 + a22 + a33 reprezintă urma matricei A şi nu diagonala principală. • Suma elementelor diagonalei secundare a matricei A este 12. • a31 + b22 + c21 – d14 = 0 + (–5) + (–1) – (–7) = 1 ≠ 3 + 1 . • a23 ⋅ b132 ⋅ c312 ⋅ d12 = −2 ⋅ ( 3)2 ⋅ (1 + i)2 ⋅ (−i) = −2 ⋅ 3 ⋅ 2i ⋅ (−i) = −12 U − 12 . • a23 = b21 = –2 şi 5d11 = 2. Aşadar –2 @ 2 şi a23 = b21 @ 5d11. E4. Rezolvare: Se egalează fiecare elemente cu zero şi se obţine: • 3a – 6 = 0 şi a2 – 4 = 0. Se obţine a = 2. • 1 – b = 0 şi b2 – b = 0. Se obţine b = 1. • c − 12 = 0 , cu soluţia c = 2 3 . • 4 − 2m = 0 , cu soluţia m = 4 = 2 2 . 2

E5. Rezolvare: Se pune condiţia ca să aibă loc egalitatea de matrice A = I3. Se obţin succesiv egalităţile: x + 1 = 1; 4 – y2 = 0; 3u = 1; 1 – t = 0; z2 + 1 = 0; v2 = 0; 1 – x2 = 1. Rezolvând ecuaţiile se obţine: x = 0, y i {–2, 2}, u = 1 ; t = 1; z i {–i, i}, v = 0. 3

30

E6. Rezolvare: Se aplică egalitatea a două matrice. Se obţin următoarele egalităţi: a) 2x + 1 = –y + 6 şi x – y = 4 – 2x + y. ⎧2x + y = 5 cu soluţia x = 2, y = 1. ⎩3x − 2 y = 4

Avem sistemul de ecuaţii: ⎨

b) x + y = 3; 2x – y = y + 2; 4 = x + 2y; 2x + y = 5. Se obţine soluţia x = 2, y = 1.

E7. Rezolvare: Se pune condiţia ca matricele să fie de acelaşi tip. Rezultă că 4 = m2 şi 5 – n = 2. Se obţine m i {–2, 2}, n = 3.

Sinteză S1. Rezolvare: Au loc egalităţile: a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3, a14 = 4 a21 = 2, a22 = 2, a23 = 3, a24 = 4 a31 = 3, a32 = 3, a33 = 3, a34 = 4 a41 = 4, a42 = 4, a43 = 4, a44 = 4. S2. Rezolvare: Au loc egalităţile: b11 = 11+1 = 1; b12 = 21+1 = 4; b13 = 31+1 = 9 b21 = 12+1 = 1; b22 = 22+1 = 8; b23 = 32+1 = 27 b31 = 13+1 = 1; b32 = 23+1 = 16; b33 = 33+1 = 81. S3. Rezolvare: Se obţin următoarele elemente: c11 = c22 = c33 = 2; c21 = c31 = c32 = 1; c12 = (−1)1+ 2 ⋅ A21 = −2; c13 = (−1)1+3 A31 = 3; c14 = (−1)1+ 4 A41 = −4; c23 = (−1)2+ 3 ⋅ A32 = −6; c24 = (−1)2 + 4 A42 = 12; c34 = (−1)3+ 4 ⋅ A43 = −24 . S4. Rezolvare: a) tr(A) = 4 + (–2x) + y2 + 6 = 10 – 2x + y2 tr(B) = 4x + (–x2) + 2y = 4x – x2 + 2y b) Relaţia din enunţ se scrie sub forma: (y2 + 6) + 2y = 3 – (–6). Se obţine ecuaţia de gradul doi: y2 + 2y – 3 = 0 cu soluţiile y1 = –3; y2 = 1. c) Se obţine ecuaţia de gradul doi: x2 + x – 2 = 0 cu soluţiile x1 = –2, x2 = 1. d) Se obţine relaţia 10 – 2x + y2 – 4x + x2 – 2y = 4 – 4 care se scrie sub forma: (y – 1)2 + (x – 3)2 = 0, x, y i Z. Rezultă că y – 1 = 0 şi x – 3 = 0. Aşadar, x = 3, y = 1. S5. Rezolvare: a) Din egalitatea matriceală A = I2 se obţin egalităţile: 2x–1 = 1, log2(a – 1) = 0 şi 4y2 – 3x = 1. Din egalitatea 2x–1 = 1, rezultă x – 1 = 0, deci x = 1. Înlocuind x = 1 în ecuaţia 4y2 – 3x = 1 se obţine 4y2 = 4, deci y i {–1, 1}. 31

Ecuaţia log2(a – 1) = 0 conduce la ecuaţia a –1 = 20 cu soluţia a = 2. b) Deoarece O2 = B se obţin ecuaţiile: 3x – 9x = 0, lg

y2 − 2 y = 0 , a + 3bi – 1 = 0 şi 3!− Cn2 = 0 . 3

• Ecuaţia 3x – 9x = 0 este echivalentă cu 3x(1 – 3x) = 0, adică 3x = 0 sau 1 – 3x = 0. Se obţine soluţia x = 0. • Ecuaţia lg

y2 − 2 y y2 − 2 y = 0 este echivalentă cu = 1 cu soluţia y i {–1, 3}. 3 3

• Din egalitatea a + 3bi – 1 = 0, a, b i Z se obţine a – 1 = 0 şi 3b = 0, adică a = 1 şi b = 0. • Din egalitatea 3!− Cn2 = 0 se obţine 6 −

n(n − 1) = 0 , n i Z, n U 2, ecuaţia cu soluţia n = 4. 2

S6. Rezolvare: ⎧ a2 − 4 = 2 − a ⎪ ⎪a + b = −1 a) Aplicând egalitatea matricelor se obţine următorul sistem de ecuaţii: ⎨ ⎪3x(1 − 2x) = 2x − 1 ⎪⎩ z = x − 2

Din ecuaţia a2 – 4 = 2 – a se obţine a2 + a – 6 = 0 cu soluţia a i {–3, 2}. Din ecuaţia a + b = –1 se obţine b = –a – 1. Pentru a = –3, se obţine b = 2 şi pentru a = 2, se obţine b = –3. Ecuaţia 3x(1 – 2x) = 2x – 1 se scrie sub forma echivalentă 6x2 – x – 1 = 0 şi se obţine

{

}

x∈ 1, − 1 . 2 3 Pentru x = 1 se obţine z = − 3 şi pentru x = − 1 se obţine z = − 7 . 2 2 3 3

b) Se obţin succesiv ecuaţiile: (n + 1) ⋅ n n(n − 1) = 2⋅ cu soluţia n i {3}. 2 2 x2 + 7 = 4 ⇔ x2 + 7 = 16 , cu soluţia x ∈{−3, 3} .

• Cn2+1 = 2Cn2 , n i q, n U 2, echivalentă cu •

• 3 b2 = 4 ⇔ b2 = 64 , cu soluţia b i {–8, 8}. • log2 a =−3 ⇔ log2 a = log2 2−3 , a > 0 cu soluţia a = 1 . 8 S7. Rezolvare: Din egalitatea matriceală A = B = C se obţin următoarele egalităţi care dau valorile necunoscutelor din problemă: • x2 – x = 2 = 3x – 4 • y −3 = 2 = y −5

• Cz2+1 = 3 • 2m = m2 = p

Se obţine: x = 2, y = 7, z = 2; m = 2 şi p = 4 sau m = 4 şi p = 16.

32

1.2. Operaţii cu matrice 1.2.3. Înmulţirea unei matrice cu un scalar Exersare E1. Rezolvare: Se aplică regula de adunare a două matrice şi se obţine succesiv: ⎛ −2a + a

3 + 5 ⎞ ⎛ −5 7 8 ⎞ ⎛ 2 + (−7) (−1) + 8 ; = 4 + 0 (−2) + 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 4 2 ⎟⎠

a) ⎜ ⎝ 5+3

⎛ ⎜ −6 + 2 2 − 7 c) ⎜⎜ 1 + 4 0 − 1 ⎜ ⎜ 2−5 4+1 ⎝3 3 5 5

b − 5b ⎞ ⎛ −a

−4b ⎞

b) ⎜ ⎟=⎜ ⎟; ⎝ 3x + 2x −8 y + 6 y ⎠ ⎝ 5x −2 y ⎠

⎞ −5 + 3 ⎟ ⎛ −4 −5 −2 ⎞ −1 + 2 ⎟ = ⎜⎜ 5 −1 1 ⎟⎟ . ⎟ 2 ⎠⎟ 2 + 8 ⎟⎟ ⎝⎜ −1 1 3 3 ⎠

E2. Rezolvare: Se obţine succesiv: ⎛ −1 − (−6) − 1

a) ⎜ ⎝ 2−0−0

4 −1− 0 ⎞ ⎛ 4 3 ⎞ = −5 − 2 − 1⎟⎠ ⎜⎝ 2 −8 ⎟⎠

⎛ i2 + 1 − 0 −i4 + 2 − i ⎞ ⎛ i2 + 1 −i4 + 2 − i ⎞ ⎛ −1 + 1 −1 + 2 − i ⎞ ⎛ 0 1 − i ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜3 1 ⎟. 1 1 b) ⎜ 2 − 2 − (−3) 3 + 0 − 2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟=⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 −3 ⎟ ⎜ 1+ 3 − 4 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝⎜ 0 − + − − − 1 4 6 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E3. Rezolvare: ⎛ −1 + 1 2 − 3 0 + 2 ⎞ ⎛ 0 −1 2 ⎞ A+ B =⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 1 + 0 −3 − 1 2 + 2 ⎠ ⎝ 1 −4 4 ⎠ ⎛ −1 − 1 2 − (−3) 0 − 2 ⎞ ⎛ −2 5 −2 ⎞ A− B =⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 1 − 0 −3 − (−1) 2 − 2 ⎠ ⎝ 1 −2 0 ⎠ ⎛−1 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛−1+1 1+ 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t t A + B =⎜ 2 −3⎟+⎜−3 −1⎟=⎜ 2 − 3 −3 −1⎟=⎜−1 −4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝2 2 ⎠ ⎝ 0+2 2+2 ⎠ ⎝ 2 4⎠ ⎝0 ⎛0 ⎛−2 1 ⎞ 1⎞ t t ⎛ 0 −1 2⎞ ⎜ ⎛−2 5 −2⎞ ⎜ ⎟ ⎟ t t ( A + B) = ⎜ ( A − B) = ⎜ ⎟=⎜−1 −4⎟; ⎟=⎜ 5 −2⎟; ⎝1 −4 4⎠ ⎜ ⎝ 1 −2 0 ⎠ ⎜ ⎟ ⎟ 4⎠ ⎝2 ⎝−2 0 ⎠

⎛−1 2 0⎞ ⎛−1 ⎟+⎜ ⎝ 1 −3 2⎠ ⎝ 2 ⎛1 −3 2 ⎞ ⎛−1 B − tC =⎜ ⎟−⎜ ⎝ 0 −1 −2⎠ ⎝ 2

b) A + t C =⎜

0 −4⎞ ⎛−2 ⎟=⎜ 3 −5⎠ ⎝ 3 0 −4⎞ ⎛ 2 ⎟=⎜ 3 −5⎠ ⎝−2

2 −4⎞ ⎟ 0 −3⎠ −3 6⎞ ⎟ −4 7 ⎠

t

t

t ⎡⎛−1 2 0⎞ ⎛1 −3 2⎞ ⎛−1 0 −4⎞⎤ ⎛−1−1−1 2 + 3 + 0 0 − 2 − 4⎞ ( A− B + C) = ⎢⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎜ ⎟⎥= ⎜ ⎟= ⎣⎝ 1 −3 2⎠ ⎝0 −1 2⎠ ⎝ 2 3 −5⎠⎦ ⎝ 1− 0 + 2 −3 +1+ 3 2 − 2 − 5⎠ t

⎛−3 3 ⎞ ⎛−3 5 −6⎞ ⎜ ⎟ =⎜ 1 ⎟. ⎟=⎜ 5 ⎝ 3 1 −5⎠ ⎜ ⎟ ⎝−6 −5⎠ t

33

E4. Rezolvare: Egalitatea A + B + C este echivalentă cu următoarea egalitate de matrice: 3z + v ⎞ ⎛ 3 −2 3 ⎞ ⎛ 2x + 1 4 y + z ⎜ 1− y u −v −4 + x ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 3 −3 ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −v − x −2v + 2 y t + x − z + 3 ⎠ ⎝ 2 4 2 ⎠

Aplicând egalitatea a două matrice se obţine că: x = 1, y = –1, z = 2, v = –3, u = 0, t = 0. E5. Rezolvare: Folosind operaţiile cu matrice egalitatea din enunţ conduce la: 0 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 2 +1 ⎛ −1 − 2 ⎜ ⎟− X =⎜ ⎟, − 5 − 1⎠ −1 − 5 ⎠ ⎝ 7 ⎝ 2 0 ⎞ ⎛ −1 − 2 1 ⎞ ⎛ 2 +1 ⎟−⎜ ⎟. − 5 − 1⎠ ⎝ 2 −1 − 5 ⎠ ⎝ 7

egalitate din care se obţine X = ⎜ ⎛ 2 + 2 2 −1⎞ ⎟. 0⎠ ⎝ 5

Rezultă că X = ⎜

E6. Rezolvare: Egalitatea tA = A se scrie sub forma echivalentă: ⎛ 5 a2 3 ⎞ ⎛ 5 6−a b⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ −1 −10 ⎟ ⎜ 6 − a −1 3c + 2 ⎟ = ⎜ a ⎜ b −10 n ⎟⎠ ⎜⎝ 3 3c + 2 n ⎟⎠ ⎝

Se obţin ecuaţiile: a2 = 6 – a; 3 = b , 3c + 2 = –10; n = n cu soluţiile: a i {–3, 2}, b = 9, c = –4, n i Z. E7. Rezolvare: ⎛ −1

0 ⎞ ⎛ −1 3 ⎞ sau + 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 0 ⎟⎠ ⎛ −3 5 ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ A=⎜ ⎟−⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ 6 2 2⎠ ⎝ 1

Avem: A = ⎜ ⎝2

Să se dea şi alte scrieri pentru A ca sumă, respectiv diferenţă de două matrice. ⎛−3 A = I2 +⎜ ⎝5

⎛−1 3 ⎞ ⎟; A =⎜ 2 −1⎠ ⎝5

E8. Rezolvare: Se înmulţeşte fiecare element al matricei cu numărul real ⎛ 6 −8 ⎞ ⎜ 2 2 ⎟ ⎛ 3 −4 ⎞ a) ⎜ ⎟; ⎟=⎜ ⎜ 12 0, 2 ⎟ ⎝ 3 0,1⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 12 ⎛ − 36 − 24 ⎞ −12 4 −8 ⎞ ⎜ 3 3 3⎟ ⎛ =⎜ b) ⎜ ⎟. ⎟ ⎜ − 30 − 2 ⋅ 3 − 3 ⎟ ⎝ −5 −2 −1 ⎠ ⎝ 6 3 3⎠

c) Se va folosi că 3 + 8 = 3 + 2 2 = ( 2 + 1)2 = 2 + 1 . 34

3 ⎞ ⎟− I . 2 +1⎠ 2

0 ⎛ −( 2 − 1)( 2 + 1) ⎞ −1 0 ⎞ ⎜ ⎟=⎛ . Se obţine: ⎜ ⎟ 2 − 1 ⎜ ( 2 − 1)( 2 + 1) ⎟ ⎝ −1 1 ⎠ 1− 2 ⎝ ⎠

d) Se foloseşte faptul că i2 = –1 din care se deduce că i3 = –i, i4 = 1. Se obţine: ⎛ 2i4 i − i2 ⎞ ⎛ 2 i + 1⎞ ⎜ 2 ⎟=⎜ ⎟. 4i ⎠ ⎝ 3 4i ⎠ ⎝ −3i

E9. Rezolvare. Se obţine succesiv: ⎛ −2 8 6 ⎞ ⎛ 0 −1 −3 ⎞ ⎛ −3 3 −15 ⎞ X =⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ 2 0 2 ⎠ ⎝ −2 5 4 ⎠ ⎝ −2 −15 1 ⎠ ⎛ −2 + 0 − 3 8 − 1 + 3 6 − 3 − 15 ⎞ ⎛ −5 10 −12 ⎞ X =⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 2 − 2 − 2 0 + 5 − 15 2 + 4 + 1 ⎠ ⎝ −2 −10 7 ⎠ ⎛ −5 10 −12 ⎞ Aşadar, X = ⎜ ⎟. ⎝ −2 −10 7 ⎠

E10. Rezolvare: Se efectuează înmulţirea cu un număr real a unei matrice şi operaţia de adunare a două matrice şi se obţine egalitatea matriceală: ⎛ 2 x + 5 −4 y + (−15) 8z + (−10)⎞ ⎛ 7 13 22⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟. −2 +15c ⎠ ⎝−21 −2 8 ⎠ 8 + 20b ⎝−6 + 5a Din egalitatea acestor două matrice rezultă următoarele ecuaţii de gradul întâi: 2x + 5 = 7, –4y – 15 = 13, 8z – 10 = 22, –6 + 5a = –21, 8 + 20b = –2, –2 + 15c = 8 cu soluţiile

x = 1, y = –7; z = 4, a = –3; b = − 1 ; c = 2 . 2

3

Sinteză S1. Rezolvare: Egalitatea matriceală din enunţ se scrie sub forma echivalentă astfel: 6⎞ ⎛ 2 5 ⎞ ⎛ 2 x 3y ⎞ ⎛ 4 x . ⎟=⎜ ⎜ 5 6⎟ + ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −4 9 ⎠ ⎝ log2 z Cn ⎠

⎛ 2 + 2x

Efectuând adunarea matricelor se obţine egalitatea matriceală ⎜ ⎝

1

6⎞ 5 + 3y ⎞ ⎛ 4x ⎟ ⎟=⎜ 15 ⎠ ⎝ log2 z Cn2 ⎠

din care se obţin ecuaţiile: 2 + 2x = 4x, 5 + 3y = 6, log2z = 1, Cn2 = 15 . • Ecuaţia 2 + 2x = 4x se scrie sub forma 4x – 2x – 2 = 0. Cu notaţia 2x = m se obţine ecuaţia de gradul doi m2 – m – 2 = 0, m > 0 cu soluţia pozitivă m = 2. Se obţine x = 1. • Din 5 + 3y = 6, rezultă 3y = 1 şi y = 0. • Ecuaţia log2z = 1 are soluţia z = 2, iar ecuaţia Cn2 = 15 se scrie sub forma echivalentă n(n − 1) = 15 , n i q, n U 2. Se obţine n = 6. 2

Aşadar, x = 1, y = 0, z = 2, n = 6.

35

S2. Rezolvare: Egalitatea matriceală din enunţ se scrie succesiv 4 + y ⎞ ⎛ x2 + x + 3 4 + y⎞ ⎛ x2 + x 2 x ⎞ ⎛ 3 0 ⎞ ⎛ 0 x ⎞ ⎛ 9 3x ⎞ ⎛ 9 + + = ⎜ ⎟=⎜ ⎜ 0 3 ⎟ ⎜ 2x 0 ⎟ ⎜ z + 2 t + 4 ⎟ ⇔ ⎜ ⎟. 2⎟ 2 x ⎠ ⎝ x x + 3⎠ ⎝ z + 2 t + 4 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ −x

Aplicând egalitatea a două matrice se obţin ecuaţiile: x2 + x + 3 = 9, 3x = 4 + y, x = z + 2, x2 + 3 = t + 4. Ecuaţia x2 + x + 3 = 9 are soluţiile x1 = –3, x2 = 2. • Pentru x1 = –3 se obţine: y = –13, z1 = –5, t1 = 8 • Pentru x2 = 2 se obţine: y = 2, z2 = 0, t2 = 3. S3. Rezolvare: ⎛ 5 6⎞ ⎛1 2⎞ ⎛ 4 4⎞ , adică 2 A = ⎜ −⎜ ⎟ ⎟ ⎟. ⎝ −1 3 ⎠ ⎝ 3 1 ⎠ ⎝ −4 2 ⎠

a) Din egalitatea dată rezultă că 2 A = ⎜ ⎛ 2

2⎞

Se obţine A = ⎜ ⎟. ⎝ −2 1 ⎠

⎛ 2 1 1 ⎞ ⎛ 20 −5 10 ⎞ ⎛ −18 6 −9 ⎞ −⎜ , deci 3A = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟. ⎝ 0 −4 9 ⎠ ⎝ 15 5 0 ⎠ ⎝ −15 −9 9 ⎠ ⎛ −6 2 −3 ⎞ Se obţine A = ⎜ ⎟. ⎝ −5 −3 3 ⎠ ⎛ −3 0 ⎞ ⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ −4 −12 ⎞ c) 7 A = ⎜⎜ 1 −2 ⎟⎟ + ⎜⎜ −8 0 ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 16 ⎟⎟ , egalitate din care se obţine: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 6 ⎠ ⎝ −4 −16 ⎠ ⎝ 48 −4 ⎠

b) 3A = ⎜

⎛ −7 −14 ⎞ ⎛ −1 −2 ⎞ ⎜ ⎟ 7 A = ⎜ −7 14 ⎟ . Rezultă că A = ⎜⎜ −1 2 ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ 7 −2 ⎟ ⎝ 49 −14 ⎠ ⎝ ⎠

S4. Rezolvare: a) Înmulţim prima ecuaţie cu –2 şi adunăm ecuaţia obţinută cu cealaltă ecuaţie. Se obţine: ⎛ −6 −4 ⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ −5 −5 ⎞ −5B = ⎜ +⎜ ⇔ −5B = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟. ⎝ −4 −6 ⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ −5 −5 ⎠ ⎛ 1 1⎞

Rezultă că B = ⎜ ⎟ . Înlocuind pe B în prima ecuaţie din enunţ şi efectuând operaţiile cu ⎝ 1 1⎠ matrice se obţine: ⎛ 3 2⎞ ⎛ 2 2⎞ A=⎜ ⎟−⎜ ⎟ . Aşadar, A = I2. ⎝ 2 3⎠ ⎝ 2 2⎠

b) Înmulţim prima ecuaţie cu –(1 – i) şi adunăm ecuaţia obţinută cu a doua ecuaţie din enunţ. Se obţine egalitatea matriceală: ⎛ 2 + i 1 ⎞ ⎛ 2 − i 1− i ⎞ −(1 + i)(1 − i) A + A = −(1 − i) ⋅ ⎜ + 2i ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − i 2 − i ⎟⎠ ⎝ 1

care se scrie sub forma:

Rezultă că A = I2.

⎛ −3 + i −1 + i ⎞ ⎛ 2 − i 1 − i ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ −2 A + A = ⎜ +⎜ , sau − A = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟. ⎝ −1 + i −3 + i ⎠ ⎝ 1 − i 2 − i ⎠ ⎝ 0 −1⎠

36

Pentru determinarea matricei B se înlocuie, de exemplu, matricea A în prima ecuaţie a ⎛ 1 1⎞

enunţului şi efectuând calculele se obţine B = ⎜ ⎟. ⎝ 1 1⎠ S5. Soluţie: a) Se scrie sub forma: ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 A=⎜ 3 ⎟+⎜ 3 ⎝1 1 ⋅ 2 ⎠ ⎝ 2

⎛ n ⎜ =⎜ n ⎜ k3 ⎜∑ ⎝ k =1

2 ⎞ ⎛1 3 ⎞ ⎛1 +⎜ 3 + ... + ⎜ 3 ⎟ ⎟ 2 ⋅ 3⎠ ⎝ 3 3 ⋅ 4 ⎠ ⎝n

1 + 2 + 3 + ... + n ⎞ ⎛ 1 + 1 + 1 + ... + 1 ⎞ =⎜ 3 3 3 = ⎟ 3 n(n + 1) ⎠ ⎝1 + 2 + 3 + ... + n 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + n(n + 1) ⎟⎠ n

⎞ ⎟ ⎟. n ∑ k (k + 1) ⎟⎟ ⎠ k =1 n

∑k

k =1

2

n n(n + 1) n 2 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) ⎤ , ∑k = Se ştie că ∑ k = şi ∑ k 3 = ⎡⎢ . 2 6 ⎣ 2 ⎥⎦ k =1 k =1 k =1 n

Vom calcula suma următoare:

n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

∑ k (k + 1) = ∑ (k 2 + k ) = ∑ k 2 + ∑ k .

Folosind formulele scrise mai înainte se obţine că n

∑ k (k + 1) =

k =1

⎛ n ⎜ Aşadar, A = ⎜ 2 2 ⎜ n (n + 1) ⎝ 4

n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) . + = 6 2 3

n(n + 1) ⎞ ⎟ 2 ⎟ , n i q*. n(n + 1)(n + 2) ⎟ ⎠ 3

(3)

k

b) Scriem mai întâi că: 2k · 3k+1 = 2k · 3k · 3 = 6k · 3 şi 2k ⋅ 3−k = 2 . Cu acestea matricea A se scrie sub forma: ⎛ n1 ⎜ k∑ =1 A=⎜ n ⎜ 2k ⎜∑ ⎝ k =1

n 3∑ 6k ⎞⎟ k =1 ⎟. k n 2 ⎟ ∑ ⎟ ⎠ k =1 3

()

Reamintim că suma a n termeni aflaţi în progresie geometrică cu raţia q @ 1 şi primul termen notat a1 este: S =

a1(qn − 1) . q −1

Rezultă că: n

6(6n − 1)

n

2(2n − 1)

• ∑ 6k = 6 + 62 + ... + 6n = = 6 ⋅ (6n − 1) 6 −1 5 k =1 • ∑ 2k = 2 + 22 + ... + 2n = = 2(2n − 1) 2 − 1 k =1

2 −1 ) = −2 ⎡ 2 ) − 1⎤ = 2 ⎡1 − 2 ) ⎤ . ( 2 2 2 2 2 • ∑ ( ) = + ( ) + ... + ( ) = ⋅ 3 ( ( n

n

n

k =1

3

n

2

3

3

3

n

3

2 −1 3

⎢ 3 ⎣

18 ⋅ (6n − 1) ⎞ ⎛ n ⎜ ⎟ 5 Rezultă că A = ⎜ n ⎟. ⎜⎜ 2(2n − 1) 2 ⎡1 − 2 ⎤ ⎟⎟ ⎢ 3 ⎥⎦ ⎠ ⎣ ⎝

()

37

n

⎥ ⎦

⎢ ⎣

3 ⎥⎦

1.2.4. Înmulţirea matricelor Exersare E1. Rezolvare: ⎛4

5⎞ ⎛2

1 ⎞ ⎛ 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ (−3)

4 ⋅ 1 + 5 ⋅ (−2) ⎞ ⎛ −7 −6 ⎞ 8 ⎟⎠

a) ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎝ 6 −1⎠ ⎝ −3 −2 ⎠ ⎝ 6 ⋅ 2 + (−1) ⋅ (−3) 6 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−2) ⎠ ⎝ 15

⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 4 ⎞ ⎛ 1 ⋅ 1 + (−2) ⋅ 2 1 ⋅ 4 + (−2) ⋅ 1⎞ ⎛ −3 2 ⎞ ⋅ = = 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 4 ⋅ 4 + 1 ⋅ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 17 ⎟⎠ 0 −11 ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 −1 ⋅ (−2) + 2(−1) −1 ⋅ 3 + 2(−4) ⎞ ⎛ 2 ⎛ 0 −2 3 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ c) ⎜ 1 0 ⎟ ⋅ ⎜ = ⎜ 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ (−2) + 0 ⋅ (−1) 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ (−4) ⎟ = ⎜ 0 −2 3 ⎟⎟ = ⎟ −1 −4 ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝1 2 2 2 2 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎝2 i ⎠ ⎝ 2 ⋅ 0 + i ⋅ 1 2 ⋅ (−2) + i ⋅ (−1) 2 ⋅ 3 + i ⋅ (−4) ⎠ ⎝ i (−4 − i ) 6 − 4i ⎠

b) ⎜ ⎝4

⎛ 2 0 −11⎞ = ⎜⎜ 0 −2 3 ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ −1 −3 10 ⎠ d) Se înlocuie cos0 = 1, sin π = 1, tg π = 1 şi avem de efectuat următoarea înmulţire de matrice: 2 4 ⎛ 3 1 2 ⎞⎛ −1 −1 1⎞ ⎛ 3 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 3 ⋅ (−1) + 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 1 3 ⋅ 1 + 1 ⋅1 + 2 ⋅1 ⎞ ⎛ −1 −2 6 ⎞ ⎜ 2 1 2 ⎟⎜ 2 −1 1⎟ = ⎜ 2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅1 2 ⋅1 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1⎟ = ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 3 ⎟⎜ 0 1 1⎟ ⎜ 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−1) + 3 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅1 ⎟ ⎜ 3 0 6 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e) Se aplică proprietatea de asociativitate a înmulţirii matricelor: ⎛1 ⎛ 1 −1 2 4 ⎞ ⎜ ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎜ 3 −1 1 ⎟ ⋅ ⎜ 1 2 1 2 ⎟ ⋅ ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 1 3 −1 −1⎠ ⎜ ⎝ −2

1⎞ 2 ⎟⎟ = 1⎟ ⎟ 2⎠

⎛1 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1) 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ (−1) ⎞ ⎜⎜ −1 ⎛ 1 ⋅1 + 2 ⋅1 + 3 ⋅1 =⎜ ⎟⋅ ⎝ 3 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 3 ⋅ (−1) + (−1) ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 3 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 1 + 1 ⋅ (−1) 3 ⋅ 4 + (−1) ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1) ⎠ ⎜ 0 ⎜ −2 ⎝ ⎛ 1 1⎞ ⎜ ⎟ 6 ⋅ 1 + 12 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 ⎞ ⎛ −16 ⎛ 6 12 1 5 ⎞ ⎜ −1 2 ⎟ ⎛ 6 ⋅ 1 + 12 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 0 + 5 ⋅ (−2) =⎜ ⋅ =⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎝ 3 −2 4 9 ⎠ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ 3 ⋅ 1 + (−2)(−1) + 4 ⋅ 0 + 9 ⋅ (−2) 3 ⋅ 1 + (−2) ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 + 9 ⋅ 2 ⎠ ⎝ −13 ⎜ ⎟ ⎝ −2 2 ⎠

E2. Rezolvare:

( ) ( )

( ) ( )

⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⋅ − 1 + 3 ⋅1 1 ⋅1 + 3 ⋅ − 1 ⎞ ⎛ 5 − 1 ⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎜ − 2 1 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2⎟ a) AB = ⎜ ⋅⎜ =⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 3 1 1 1 5 1 1 ⎝ ⎠ ⎜ 1 − ⎟ ⎜ 3 ⋅ − + 1 ⋅1 3 ⋅1 + 1 ⋅ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ − 1 ⋅1 + 1 ⋅ 3 ⎛−1 1 ⎞ − 1 ⋅ 3 + 1 ⋅1 ⎞ ⎛ 5 − 1 ⎞ ⎟ ⎜ 2 2 ⎜ 2 ⎟ ⎛ 1 3⎞ ⎜ 2 2⎟ BA = ⎜ =⎜ =⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎝ 3 1 ⎠ ⎜ 1 ⋅ 1 + − 1 ⋅ 3 1 ⋅ 3 + − 1 ⋅ 1⎟ ⎜ − 1 5 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎠

( )

( ) 38

1⎞ 2 ⎟⎟ = 1⎟ 2 ⎟⎠ 41⎞ . 21⎟⎠

⎛ 1 ⎛ 1 3⎞ ⎜ − 2 A⋅ B = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎝ 3 1⎠ ⎜ 1 ⎝ ⎛−1 1 ⎞ ⎜ 2 ⎟⎛1 t t B⋅ A=⎜ ⎟⎜ ⎜ 1 − 1 ⎟⎝3 ⎝ 2⎠ ⎛1 ⎞ b) A ⋅ B = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⋅ ( −3 1 ⎜3⎟ ⎝ ⎠ t

t

⎛ 5 −1⎞ 1 ⎞ ⎟ ⎜ 2 2⎟ ⎟ = A⋅ B = ⎜ 1 5 ⎟ 1 ⎜− ⎟ − ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ 2⎠ 3⎞ = B ⋅ A = AB 1 ⎟⎠

⎛ 1 ⋅ (−3) 1 ⋅ 1 1 ⋅ (−1) ⎞ ⎛ −3 1 −1 ⎞ −1) = ⎜⎜ 2 ⋅ (−3) 2 ⋅ 1 2 ⋅ (−1) ⎟⎟ = ⎜⎜ −6 2 −2 ⎟⎟ ⎜ 3 ⋅ (−3) 3 ⋅ 1 3 ⋅ (−1) ⎟ ⎜ −9 3 −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎞ B ⋅ A = ( −3 1 −1) ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = (−3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 3) = (−4) ∈ M1(Z) ⎜3⎟ ⎝ ⎠

⎛ −3 ⎞ A ⋅ B = (1 2 3) ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = (1 ⋅ (−3) + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1)) = (−4) ∈ M1(Z) ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⋅ 1 −3 ⋅ 2 −3 ⋅ 3 ⎞ ⎛ −3 −6 −9 ⎞ ⎜ ⎟ t t B ⋅ A = ⎜1 ⎟ ⋅ (1 2 3) = ⎜⎜ 1 ⋅ 1 1 ⋅ 2 1 ⋅ 3 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 2 3 ⎟⎟ ⎜ −1 ⋅ 1 −1 ⋅ 2 −1 ⋅ 3 ⎟ ⎜ −1 −2 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −1 ⎠ t

t

⎛ −1 1 1 ⎞ ⎛ −2 1 ⎞ ⎛ −1 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 −1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 0 ⎞ ⎛ 4 2 ⎞ 2 ⎟ ⋅ ⎜ 1 3⎟ = ⎜ 2 2 ⎟=⎜ c) A ⋅ B = ⎜ ⎟. ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜⎜ 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 ⎠⎟ ⎝ 5 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 0 ⎟⎠ ⎝ 0 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⎛ −2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 0 −2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 −2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 −1 1 ⎞ 2 ⎛ −2 1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ −1 1 1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ 1 2 ⎟ = ⎜ 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ 0 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 BA = ⎜ 1 3 ⎟ ⋅ ⎜ 1 + 3 ⋅ 2 ⎟ = ⎜ −1 4 6,5 ⎟⎟ 2 ⎜ 2 0 ⎟ ⎜⎝ 0 1 2 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜ −2 2 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎜⎜ 2 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 0 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ −1 0 ⎟ ⎜ −1 ⋅ (−2) + 0 ⋅ 1 −1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 −1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⎟ ⎛ 2 −1 −2 ⎞ ⎛ −2 1 2 ⎞ ⎜ t A ⋅ tB = ⎜ 1 1 ⎟ ⋅ ⎜ 1 ⋅1 + 1 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 ⎟ = ⎜⎜ −1 4 2 ⎟⎟ = t (BA) = 1 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 1 ⎜ ⎟ ⎝ 1 3 0 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⋅ (−2) + 2 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 ⎟⎟ ⎝ 1 6,5 1 ⎟⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ −1 0 ⎟ ⎛ −2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 −2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⎞ ⎛ −2 1 2 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎛ 4 5⎞ t 2 t ⋅ 1 1⎟ = ⎜ B ⋅ tA = ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ 2 3 ⎟ = ( AB) ⎟ 1 ⎝ 1 3 0⎠ ⎜ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 ( 1) 3 1 0 1 0 3 1 0 2 ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎝2 ⎠

d) A · B = I3 · B = B B · A = B · I3 = B t A · tB = I 3 · tB = tB t B · tA = t B · I 3 = tB

39

E3. Rezolvare: Calculăm ⎛−1 ⎜ ⎜0 AB =⎜ −3 ⎜ ⎝2

⎛−1⋅3 + 2⋅0 −1⋅1+ 2⋅1 −1⋅(−4) + 2⋅0 −1⋅0 + 2⋅5⎞ 2⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎛ 3 1 −4 0⎞ ⎜ 0⋅3 +1⋅0 0⋅1+1⋅1 0⋅(−4) +1⋅0 0⋅0 +1⋅5 ⎟ ⋅⎜ = ⎟= 1 ⎟ ⎝ 0 1 0 5⎠ ⎜−3⋅3 +1⋅0 −3⋅1+1⋅1 −3⋅(−4) +1⋅0 −3⋅0 +1⋅5 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎠ 2⋅1+ 0⋅1 2⋅(−4) + 0⋅0 2⋅0 + 0⋅5 ⎠ ⎝ 2 ⋅ 3 + 0⋅ 0

⎛ −3 1 4 10 ⎞ ⎜ 0 1 0 5⎟ ⎟. =⎜ ⎜ −9 −2 12 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 2 −8 0 ⎠ ⎛ −3 0 −9 6 ⎞ ⎜ 1 1 −2 2 ⎟ ⎟. Rezultă că t ( AB) = ⎜ ⎜ 4 0 12 −8 ⎟ ⎜ 10 5 5 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 0 3 ⋅ 0 + 0 ⋅1 ⎛ ⎞ ⎛ 3 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 2 ⎜ 1 1 ⎟ −1 0 −3 2 ⎜ 1 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 1 ⋅ 0 + 1 ⋅1 ⎞ ⎜ t ⎟⎛ B ⋅ tA = ⎜ = ⎜ ⎟ ⎜ −4 0 ⎟ ⎝ 2 1 1 0 ⎠ ⎜ −4 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 2 −4 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⋅ 0 + 5 ⋅1 ⎝ 0 5⎠ ⎝ 0 ⋅ (−1) + 5 ⋅ 2 ⎛ −3 0 −9 6 ⎞ ⎜ 1 1 −2 2 ⎟ ⎟. =⎜ ⎜ 4 0 12 −8 ⎟ ⎜ 10 5 5 0 ⎟ ⎝ ⎠

3 ⋅ (−3) + 0 ⋅ 1 3 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⎞ 1 ⋅ (−3) + 1 ⋅ 1 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 ⎟⎟ = −4(−3) + 0 ⋅ 1 −4 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ⎟ ⎟ 0 ⋅ (−3) + 5 ⋅ 1 0 ⋅ 2 + 5 ⋅ 0 ⎠

Se observă că t(AB) = tB · tA.

⎛ −6 1 ⎜1 2 Avem de asemenea: AB + t B t A = ⎜ ⎜ −5 −2 ⎜ 16 7 ⎝

−5 16 ⎞ −2 7 ⎟⎟ . 24 −3 ⎟ −3 0 ⎟⎠

E4. Rezolvare: 5 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 0 5 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−1) + (−2)(−2) ⎞ ⎛ 5 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−1) + (−2)(−4) ⎜ A ⋅ (B ⋅ C ) = A ⋅ ⎜ 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−4) 1⋅ 2 + 1⋅ 3 + 3 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−2) ⎟⎟ = ⎜ −1 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−1) + (−2) ⋅ (−4) (−1) ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 0 (−1) ⋅ 0 + 1 ⋅ (−1) + (−2)(−2) ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 0 3 ⎞ ⎛ 7 13 3 ⎞ ⎛ −1 ⋅ 7 + 0 ⋅ (−13) + 3 ⋅ 7 −1 ⋅13 + 0 ⋅ 5 + 3 ⋅1 −1 ⋅ 3 + 0 ⋅ (−7) + 3 ⋅ 3 ⎞ = ⎜⎜ 2 −1 2 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ −13 5 −7 ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⋅ 7 + (−1)(−13) + 2 ⋅ 7 2 ⋅13 + (−1) ⋅ 5 + 2 ⋅1 2 ⋅ 3 + (−1)(−7) + 2 ⋅ 3 ⎟⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ 1 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 ⋅ 7 + 1 ⋅ (−13) + 0 ⋅ 7 1 ⋅13 + 1 ⋅ 5 + 0 ⋅1 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ (−7) + 0 ⋅ 3 ⎠⎟ ⎝ 1 1 0⎠ ⎝ 7 ⎛ 14 −10 6 ⎞ = ⎜⎜ 41 23 19 ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ −6 18 −4 ⎠ ⎛−1⋅5 + 0⋅1+ 3⋅(−1) −1⋅1+ 0⋅1+ 3⋅1 −1⋅(−2) + 0⋅3 + 3⋅(−2) ⎞ ⎛−8 2 −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( A⋅ B)⋅C =⎜ 2⋅5 + (−1)1+ 2⋅(−1) 2⋅1+ (−1)1+ 2⋅1 2⋅(−2) + (−1)3 + 2⋅(−2)⎟⋅C =⎜ 7 3 −11⎟⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⋅1+1⋅1+ 0⋅1 1⋅(−2) +1⋅3 + 0⋅(−2) ⎠ ⎝ 1⋅5 +1⋅1+ 0⋅(−1) ⎝6 2 1 ⎠

40

⎛ 0 2 0 ⎞ ⎛ 0 − 2 + 16 −16 + 6 + 0 0 − 2 + 8 ⎞ ⎛ 14 −10 6 ⎞ ⋅ ⎜⎜ −1 3 −1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 − 3 + 44 14 + 9 + 0 0 − 3 + 22 ⎟⎟ = ⎜⎜ 41 23 19 ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 0 −2 ⎠ ⎝ 0 − 2 − 4 12 + 6 + 0 0 − 2 − 2 ⎠ ⎝ −6 18 −4 ⎠

Aşadar, A · (B · C) = (A · B) · C. ⎛ −1 b) A ⋅ (B + C ) = ⎜⎜ 2 ⎜1 ⎝ − 1 0 ⎛ ⎜ AB + AC = ⎜ 2 −1 ⎜1 1 ⎝

0 3 ⎞ ⎛ 5 3 −2 ⎞ ⎛ −5 + 0 − 15 −3 + 0 + 3 2 + 0 − 12 ⎞ ⎛ −20 −1 2 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 4 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 10 + 0 − 10 6 − 4 + 2 −4 − 2 − 8 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ −5 1 −4 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 + 0 + 0 3 + 4 + 0 −2 + 2 + 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 3 ⎞ ⎛ 5 1 −2 ⎞ ⎛ −1 0 3 ⎞ ⎛ 0 2 0 ⎞ ⎛ −5 + 0 − 3 −1 + 0 + 3 2 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 1 3 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 −1 2 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ −1 3 −1⎟⎟ = ⎜⎜ 10 − 1 − 2 2 − 1 + 2 0 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 1 −2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ −4 0 −2 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 + 1 + 0 1+1+ 0

0 −10 ⎞ 4 −14 ⎟⎟ 7 0 ⎟⎠ 2+0−6 ⎞ −4 − 3 − 4 ⎟⎟ + −2 + 3 + 0 ⎟⎠

⎛ 0 + 0 − 12 −2 + 0 + 0 0 + 0 − 6 ⎞ ⎛ −8 2 −4 ⎞ ⎛ −12 −2 −6 ⎞ ⎛ −20 0 −10 ⎞ + ⎜⎜ 0 + 1 − 8 4 − 3 + 0 0 + 1 − 4 ⎟⎟ = ⎜⎜ 7 3 −11⎟⎟ + ⎜⎜ −7 1 −3 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 4 −14 ⎟⎟ . ⎜ 2 + 3 + 0 0 − 1 − 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 6 2 1 ⎠⎟ ⎝⎜ −1 5 −1 ⎠⎟ ⎝⎜ 5 7 0 ⎠⎟ ⎝ 0 −1+ 0

Aşadar A · (B + C) = AB + AC. c)

⎛ 4 1 1 ⎞ ⎛ 0 2 0 ⎞ ⎛ 0 − 1 − 4 8 + 3 + 0 0 − 1 − 2 ⎞ ⎛ −5 11 −3 ⎞ ( A + B) ⋅ C = ⎜⎜ 3 0 5 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ −1 3 −1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 + 0 − 20 6 + 0 + 0 0 + 0 − 10 ⎟⎟ = ⎜⎜ −20 6 −10 ⎟⎟ . ⎜ 0 2 −2 ⎟ ⎜ −4 0 −2 ⎟ ⎜ 0 − 2 + 8 0 + 6 + 0 0 − 2 + 4 ⎟ ⎜ 6 6 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Pentru calculul expresiei A · C + B · C vom folosi calculul lui A · C făcut la punctul b) şi al lui B · C făcut la a). ⎛ −12 −2 −6 ⎞ ⎛ 7 13 3 ⎞ ⎛ −5 11 −3 ⎞ Avem: A ⋅ C + B ⋅ C = ⎜⎜ −7 1 −3 ⎟⎟ + ⎜⎜ −13 5 −7 ⎟⎟ = ⎜⎜ −20 6 −10 ⎟⎟ . ⎜ −1 5 −1 ⎟ ⎜ 7 1 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 6 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Aşadar, (A + B) · C = A · C + B · C. E5. Rezolvare: 2

⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 4 + 1 2 − 3 ⎞ ⎛ 5 −1⎞ ⎜ 1 −3 ⎟ = ⎜ 1 −3 ⎟ ⋅ ⎜ 1 −3 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 + 9 ⎟ = ⎜ −1 10 ⎟ ; ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 − 3 −1 − 2 ⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ −2 −3 ⎞⎛ 1 −1⎞ ⎜ 3 2 ⎟ = ⎜ 3 2 ⎟ ⋅ ⎜ 3 2 ⎟ ⋅ ⎜ 3 2 ⎟ = ⎜ 3 + 6 −3 + 4 ⎟ ⋅ ⎜ 3 2 ⎟ = ⎜ 9 1 ⎟⎜ 3 2 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ −2 − 9 2 − 6 ⎞ ⎛ −11 −4 ⎞ =⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 9 + 3 −9 + 2 ⎠ ⎝ 12 −7 ⎠ 2

⎛ 2 −1⎞ ⎛ 2 −1⎞⎛ 2 −1⎞ ⎛ 4 + 1 −2 − 1⎞ ⎛ 5 −3 ⎞ Avem: ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ −1 1 ⎠⎝ −1 1 ⎠ ⎝ −2 − 1 1 + 1 ⎠ ⎝ −3 2 ⎠ 4

2

5

4

2

⎛ 2 −1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 5 −3 ⎞ ⎛ 5 −3 ⎞ ⎛ 25 + 9 −15 − 6 ⎞ ⎛ 34 −21⎞ ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ −1 1 ⎟ ⋅ ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ −3 2 ⎟ ⋅ ⎜ −3 2 ⎟ = ⎜ −15 − 6 9 + 4 ⎟ = ⎜ −21 13 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 34 −21⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 68 + 21 −34 − 21⎞ ⎛ 89 −55 ⎞ ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ −1 1 ⎟ ⋅ ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ −21 13 ⎟ ⋅ ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ −42 − 13 21 + 13 ⎟ = ⎜ −55 34 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E6. Rezolvare: ⎛−1 2 −2⎞⎛−1 2 −2⎞ ⎛ 1+ 8 − 8 −2 − 6 + 8 2 + 8 −10 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A =⎜ 4 −3 4 ⎟⎜ 4 −3 4 ⎟=⎜−4 −12 +16 8 + 9 −16 −8 −12 + 20⎟= I3 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 −4 5 ⎠⎝ 4 −4 5 ⎠ ⎝−4 −16 + 20 8 +12 − 20 −8 −16 + 25⎠ 2

41

Aşadar

A2 = I3. A3 = A2 · A = I3 · A = A A2006 = ( A2 )1003 = I32003 = I3 ( A3 + I )10 = ( A + I3 )10

⎛ 0 1 −1⎞ not Dar A + I3 = 2 ⋅ ⎜⎜ 2 −1 2 ⎟⎟ = 2 ⋅ B şi B2 = B. ⎜ ⎟ ⎝ 2 −2 3 ⎠ Rezultă că ( A + I3 )10 = (2B)10 = 210 ⋅ B10 = 210 ⋅ B .

E7. Rezolvare: Calculăm câteva puteri consecutive ale lui A ⎛1 A2 = A ⋅ A = ⎜ ⎝1 ⎛1 A3 = A2 ⋅ A = ⎜ ⎝2 ⎛1 A4 = A3 ⋅ A = ⎜ ⎝3

0 ⎞ ⎛1 ⋅ 1 ⎟⎠ ⎜⎝1 0 ⎞ ⎛1 ⋅ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 ⎞ ⎛1 ⋅ 1 ⎟⎠ ⎜⎝1

0⎞ ⎛ 1 = 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 0⎞ ⎛1 = 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 0⎞ ⎛ 1 = 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 4

0⎞ 1 ⎟⎠ 0⎞ 1 ⎟⎠ 0⎞ . 1 ⎟⎠ ⎛ 1 0⎞ ⎟ , formulă care o ⎝ n 1⎠

Din forma de scriere a matricelor A, A2, A3, A4 se deduce că An = ⎜ demonstrăm prin inducţie matematică după n i q, n U 1.

⎛1 0 ⎞ ⎟ = A , ceea ce este evident adevărat. ⎝1 1 ⎠ 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 Presupunem că Ak = ⎜ şi demonstrăm că Ak +1 = ⎜ ⎟ ⎟. ⎝ k 0⎠ ⎝ k +1 1⎠ 0⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1 Avem că Ak +1 = Ak ⋅ A = ⎜ ⋅⎜ =⎜ ⎟ ⎟ ⎟ , ceea ce trebuia demonstrat. ⎝ k 1 ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝ k + 1 1 ⎠

Pentru n = 1, rezultă că A1 = ⎜

⎛ 1 0⎞ ⎟ , ¼n i q*. ⎝ n 1⎠

Aşadar, An = ⎜

E8. Rezolvare: ⎛a b⎞

Luăm matricea X de forma: X = ⎜ ⎟ , a, b, x, y i Z. ⎝ x y⎠

⎛ a b ⎞⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 5 10 ⎞ , = 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 2 ⎟⎠ ⎛ −a + 3b 2a + 4b ⎞ ⎛ 5 10 ⎞ ⎜ − x + 3 y 2x + 4 y ⎟ = ⎜ 4 2 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Înlocuind în relaţia de la a) avem: ⎜ ⎟⎜ ⎝ x y ⎠⎝ 3 relaţie echivalentă cu

⎧−a + 3b = 5 ⎧− x + 3 y = 4 şi ⎨ ⎩2a + 4b = 10 ⎩2x + 4 y = 2

Se obţin sistemele de ecuaţii: ⎨

cu soluţiile a = 1, b = 2, respectiv x = –1, y = 1. ⎛1

2⎞

Aşadar, X = ⎜ ⎟. ⎝ −1 1 ⎠ 42

⎛ −1 3 ⎞⎛ a b ⎞ ⎛ 5 7 ⎞ ⎟=⎜ ⎟, 1 ⎟⎜ ⎠⎝ x y ⎠ ⎝ 4 0 ⎠ ⎛−a + 3x −b + 3 y ⎞ ⎛ 5 7 ⎞ relaţie echivalentă cu: ⎜ ⎟=⎜ ⎟. 2b + y ⎠ ⎝ 4 0⎠ ⎝ 2a + x

• Înlocuind în relaţia de la punctul b) se obţine: ⎜ ⎝2

Din această egalitate de matrice se obţin sistemele de ecuaţii: ⎧−a + 3x = 5 ⎧−b + 3 y = 7 şi ⎨ ⎨ ⎩2a + x = 4 ⎩2b + y = 0

⎛ 1 −1⎞ . 2 ⎟⎠

care au soluţiile a = 1, x = 2, respectiv b = –1, y = 2. Aşadar, X = ⎜ ⎝2 E9. Rezolvare: a) B = 2f(A) – f(A + I2). Avem: f(A) = A3 – 4A + 2I2

⎛ −1 0 ⎞⎛ −1 0 ⎞⎛ −1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ −1 0 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 2 −1⎠⎝ 2 −1⎠⎝ 2 −1⎠ ⎝ −4 1 ⎠⎝ 2 −1⎠ ⎝ 6 −1⎠ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ 4 0 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 5 0 ⎞ Rezultă că f ( A) = ⎜ − 4⎜ + 2⎜ ⎟ ⎟ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 6 −1⎠ ⎝ 2 −1⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 6 −1⎠ ⎝ −8 4 ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ −2 5 ⎠

Dar A3 = A2 ⋅ A = ⎜

f(A + I2) = (A + I2)3 – 4(A + I2) + 2I2.

⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0 ⎞⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ , ( A + I2 )2 = ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ = O2 ⎝ 2 0⎠ ⎝ 2 0 ⎠⎝ 2 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ şi ( A + I2 )3 = ( A + I2 )2 ⋅( A + I2 ) = O2 .

Dar A + I2 = ⎜

⎛ 0 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛ 2 0⎞ + 2⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 2 0⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ −8 0 ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ −8 2 ⎠

Rezultă că f ( A + I2 ) = O2 − 4 ⋅ ⎜

Înlocuind în expresia matricei B se obţine:

⎛ 5 0⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛ 8 0⎞ B = 2⋅⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ −2 5 ⎠ ⎝ −8 2 ⎠ ⎝ 4 8 ⎠ ⎛ −1 0 ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 0 −2 ⎞ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 2 −1⎠ ⎝ 0 −1⎠ ⎝ 2 0 ⎠

b) Calculăm A − t A = ⎜

⎛ 5 0⎞ ⎟ ⎝ −2 5 ⎠

Din punctul a) avem că f ( A) = ⎜

f(A – tA) = (A – tA)3 – 4(A – tA) + 2I2. 3

⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 0 −2 ⎞⎛ 0 −2 ⎞⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ −4 0 ⎞⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 0 8 ⎞ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 2 0 ⎠ ⎝ 2 0 ⎠⎝ 2 0 ⎠⎝ 2 0 ⎠ ⎝ 0 −4 ⎠⎝ 2 0 ⎠ ⎝ −8 0 ⎠

Dar ( A − t A)3 = ⎜

⎛ 0 8 ⎞ ⎛ 0 8 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 2 16 ⎞ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ −8 0 ⎠ ⎝ −8 0 ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ −16 2 ⎠

Rezultă că f ( A − t A) = ⎜

Înlocuind în expresia matricei C se obţine: ⎛ 5 0⎞ ⎛ 2 16 ⎞ ⎛ 5 0 ⎞ ⎛ 4 32 ⎞ ⎛ 9 32 ⎞ C =⎜ + 2⋅⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ −2 5 ⎠ ⎝ −16 2 ⎠ ⎝ −2 5 ⎠ ⎝ −32 4 ⎠ ⎝ −34 9 ⎠

43

Sinteză S1. Rezolvare: a) Matricea X trebuie să fie de tipul (3, 2) pentru a avea loc egalitatea de matrice din enunţ. ⎛a ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎜ Înlocuind pe X avem: ⎜ ⎟⋅⎜b ⎝ 0 1 −1⎠ ⎜ ⎝c

x⎞ ⎛ 0 3⎞ y ⎟⎟ = ⎜ ⎟. ⎝ 3 2⎠ ⎟ z⎠

Efectuând înmulţirea de matrice se obţine următoarea egalitate de matrice: ⎛ a − b + c x − y + z ⎞ ⎛ 0 3⎞ , = ⎜ b−c y − z ⎟⎠ ⎜⎝ 3 2 ⎟⎠ ⎝ ⎧a − b + c = 0 ⎪b − c = 3 ⎪ din care se obţine sistemul de ecuaţii: ⎨ ⎪x − y + z = 3 ⎪⎩ y − z = 2

Din primele două ecuaţii se obţine a = b – c = 3, b = 3 + c şi c i Z. Din următoarele două ecuaţii se obţine x = 5, y = 2 + z şi z i Z. 5 ⎞ ⎛ 3 ⎜ Aşadar X = ⎜ 3 + c 2 + z ⎟⎟ , c, z i Z. ⎜ z ⎠⎟ ⎝ c

b) În egalitatea aceasta se impune condiţia ca X i M3,1(Z). Avem: ⎛ −1 4 1 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ 0 1 3 ⎟ ⋅ ⎜ b ⎟ = ⎜ 8 ⎟ , egalitate care se scrie sub forma: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 2 5 ⎠ ⎝ c ⎠ ⎝ 9 ⎠

⎛ −a + 4b + c ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ b + 3c ⎟ = ⎜ 8⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2a + 2b + 5c ⎟ ⎜ 9 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Identificând elementele corespunzătoare ale acestor matrice se obţine sistemul de ecuaţii: ⎧−a + 4b + c = −3 ⎪ ⎨b + 3c = 8 ⎪−2a + 2b + 5c = 9 ⎩

Înmulţind prima ecuaţie cu –2 şi adunând-o la ecuaţia a treia se obţine un sistem de două ecuaţii cu necunoscutele b şi c: ⎧−6b + 3c = 15 cu soluţia: b = –1, c = 3. ⎨ ⎩b + 3c = 8

Înlocuind b şi c în una din ecuaţiile care conţin a se obţine a = 2. ⎛2 ⎞ Aşadar, X = ⎜⎜ −1⎟⎟ ⎜3 ⎟ ⎝ ⎠

c) În această relaţie matriceală matricea X este pătratică de ordinul 3:

⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎛ a Avem: ⎜⎜ 2 0 3 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ b ⎜ 1 1 −2 ⎟ ⎜ c ⎝ ⎠ ⎝

x m ⎞ ⎛ 8 2 −1⎞ y n ⎟⎟ = ⎜⎜ 9 5 4 ⎟⎟ z p ⎟⎠ ⎜⎝ −3 −1 5 ⎟⎠

Efectuând înmulţirea de matrice se obţine egalitatea matriceală: ⎛ a−b+c ⎜ 2a + 3c ⎜ ⎜ a + b − 2c ⎝

x − y + z m − n + p ⎞ ⎛ 8 2 −1⎞ 2 x + 3z 2m + 3 p ⎟⎟ = ⎜⎜ 9 5 4 ⎟⎟ x + y − 2z m + n − 2 p ⎟⎠ ⎜⎝ −3 −1 5 ⎟⎠

44

Punând condiţia egalităţii celor două matrice se structurează trei sisteme de ecuaţii cu câte trei necunoscute de forma: ⎧a − b + c = 8 ⎧x − y + z = 2 ⎧m − n + p = −1 ⎪ ⎪ ⎪ , ⎨2 x + 3z = 5 , ⎨2m + 3 p = 4 ⎨2a + 3c = 9 ⎪a + b − 2c = −3 ⎪ x + y − 2z = −1 ⎪m + n − 2 p = 5 ⎩ ⎩ ⎩

Se obţin soluţiile: a = 3, b = –4; c = 1 x = 1; y = 0; z = 1 m = 2; n = 3; p = 0 ⎛ 3 1 2⎞ Aşadar, X = ⎜⎜ −4 0 3 ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 0⎠

S2. Rezolvare: ⎛ 1 5⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 0⎞

a) Avem egalitatea: ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟, ⎝ 0 1⎠ ⎝ x y ⎠ ⎝ 0 1 ⎠

⎛ a + 5x b + 5 y ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ = y ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎝ x

care este echivalentă cu: ⎜

Se obţin egalităţile de elemente: • a + 5x = 1 • b + 5y = 0 •x=0

⎛ 1 −5 ⎞

Rezultă că: a = 1, b = –5 şi X = ⎜ ⎟, ⎝0 1 ⎠ b) Înlocuind A, X şi B se obţine egalitatea: ⎧ a + 5x = 2 ⎪b + 5 y = 1 ⎛ 1 5 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎪ ⋅ = . Procedând ca la a) se obţine sistemul de ecuaţii: ⎨ ⎜ 0 1 ⎟ ⎜ x y ⎟ ⎜ 1 1⎟ x =1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎩ y =1 ⎛ −3 −4 ⎞ . 1 ⎟⎠ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 5 ⎞ ⎛ 2 1⎞ c) După înlocuirea matricelor X, A şi B se obţine egalitatea ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ , care este ⎝ x y ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 1⎠ ⎛ a 5a + b ⎞ ⎛ 2 1⎞ echivalentă cu: ⎜ ⎟=⎜ ⎟ . ⎝ x 5 x + y ⎠ ⎝ 1 1⎠

cu soluţiile a = –3; b = –4, x = 1, y = 1. Aşadar, X = ⎜ ⎝1

Rezultă că: a = 2, x = 1, 5a + b = 1, 5x + y = 1. ⎛ 2 −9 ⎞

Se obţine că X = ⎜ ⎟. ⎝ 1 −4 ⎠

⎛ 1 5 ⎞⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞⎛ 2 1⎞ ⎛ a + 5x b + 5 y ⎞ ⎛ 2a + b = ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⇔⎜ y ⎠⎟ ⎝⎜ 2 x + y ⎝ 0 1 ⎠⎝ x y ⎠ ⎝ x y ⎠⎝ 1 1⎠ ⎝ x

d) AX = XB ⇔ ⎜

Se obţine sistemul de ecuaţii:

a + b⎞ . x + y ⎠⎟

⎧a + 5x = 2a + b ⎧ a + b − 5x = 0 ⎪b + 5 y = a + b ⎪a − 5 y = 0 ⎪ ⎪ ⇔ , cu soluţia x = y = a = b = 0. Rezultă că X = O2. ⎨ ⎨ = + x x y 2 ⎪ ⎪x + y = 0 ⎪⎩ y = x + y ⎪⎩ x = 0

45

⎛ 2 1 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 5 ⎞

e) Egalitatea BXB = A este echivalentă cu: ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ x y ⎠ ⎝ 1 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠ Efectuând înmulţirea de matrice se obţine succesiv: ⎛ 2a + x 2b + y ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 5 ⎞ ⎛ 4a + 2x + 2b + y 2a + x + 2b + y ⎞ ⎛ 1 5 ⎞ = ⎜ a + x b + y ⎟ ⋅ ⎜ 1 1⎟ = ⎜ 0 1 ⎟ ⇔ ⎜ 2a + 2 x + b + y a + x + b + y ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Identificând elementele celor două matrice egale se obţine sistemul de ecuaţii: ⎧4a + 2x + 2b + y = 1 ⎪2a + x + 2b + y = 5 ⎪ ⎨ ⎪2a + 2x + b + y = 0 ⎪⎩a + x + b + y = 1

Scădem primele două ecuaţii între ele şi ultimele două ecuaţii între ele. Se obţine un nou ⎧2a + x = −4 , cu soluţia: a = –3; x = 2 ⎩a + x = −1

sistem de ecuaţii: ⎨

Înlocuim pe a şi x în prima şi a treia ecuaţie a sistemului iniţial şi se obţine un sistem cu două ⎧2b + y = 9 , cu soluţia b = 7, y = –5. ⎩b + y = 2

ecuaţii cu necunoscutele b şi y: ⎨ ⎛ −3

Aşadar X = ⎜ ⎝2

7⎞ . −5 ⎟⎠

S3. Rezolvare: ⎛ a −b ⎞ ⎛ a −b ⎞ ⎛ a2 − b2 A2 = A ⋅ A = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎝ b a ⎠ ⎝ b a ⎠ ⎝ 2ab

−2ab ⎞ ⎟ a 2 − b2 ⎠

Înlocuind în egalitatea din enunţ se obţine egalitatea matriceală: ⎛ a 2 − b2 ⎜ ⎝ 2ab

−2ab ⎞ ⎛ −3a 3b ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ −1 −1⎞ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟ a2 − b2 ⎠ ⎝ −3b −3a ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ 1 −1⎠

echivalentă cu: ⎛ a2 − b2 − 3a + 2 −2ab + 3b ⎞ ⎛ −1 −1⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟. 2 a − b2 − 3a + 2 ⎠ ⎝ 1 −1⎠ ⎝ 2ab − 3b

Din această egalitate matriceală se obţine sistemul de ecuaţii: ⎧a2 − b2 − 3a + 2 = −1 ⎧a2 − b2 − 3a = −3 ⇔⎨ ⎨ ⎩2ab − 3b = 1 ⎩2ab − 3b = 1 ⎧b2 = a2 − 3a + 3 Sistemul de ecuaţii se aduce la forma: ⎨ ⎩b(2a − 3) = 1

Se ridică la pătrat a doua ecuaţie şi se substituie b2 obţinându-se ecuaţia: (a2 – 3a + 3)(2a – 3)2 = 1,

(a2 – 3a + 3)[4(a2 – 3a) + 9] = 1.

sau

Se notează a2 – 3a = y şi se obţine ecuaţia (y + 3)(4y + 9) = 1 cu soluţiile y1 = –2, y2 = −13 . 4

Revenind la notaţia făcută se obţine: a2 – 3a = –2, cu soluţia a i {1, 2}, respectiv a2 − 3a = − 13 care nu are soluţii reale. 4

Pentru a = 1 se obţine b = –1, iar pentru a = 2 se obţine b = 1. ⎛1

1⎞

⎛ 2 −1⎞ . 2 ⎟⎠

Aşadar, A = ⎜ ⎟ sau A = ⎜ 1 ⎝ −1 1⎠ ⎝

46

S4. Rezolvare: ⎛a b ⎞ ⎟∈ M2 (Z) . Ecuaţia matriceală devine: ⎝ x y⎠ ⎛ 2a 2b ⎞ ⎛ 1 2 ⎞⎛ a b ⎞⎛ 3 1⎞ ⎛ 1 −3 ⎞ ⎜ 2 x 2 y ⎟ − ⎜ −1 1 ⎟⎜ x y ⎟⎜ −1 1⎟ = ⎜ 4 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fie A =⎜

echivalentă cu:

⎛ 2a 2b ⎞ ⎛ a + 2x b + 2 y ⎞⎛ 3 1⎞ ⎛ 1 −3 ⎞ ⎜ 2 x 2 y ⎟ − ⎜ −a + x −b + y ⎟⎜ −1 1⎟ = ⎜ 4 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sau încă:

⎛ 2a 2b ⎞ ⎛ 3a + 6 x − b − 2 y a + 2x + b + 2 y ⎞ ⎛ 1 −3 ⎞ ⎜ 2 x 2 y ⎟ − ⎜ −3a + 3x + b − y −a + x − b + y ⎟ = ⎜ 4 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Efectuând scăderea de matrice şi respectând egalitatea de matrice se obţine sistemul de ecuaţii cu necunoscutele a, b, x, y. ⎧−a − 6x + b + 2 y = 1 ⎪−a − 2 x + b − 2 y = −3 ⎪ ⎨ ⎪3a − x − b + y = 4 ⎪⎩a − x + b + y = 2

(1)

Adunăm ecuaţia a treia la toate celelalte ecuaţii ale sistemului (1) şi se obţine: ⎧2a − 7 x + 3 y = 5 ⎧2a − 7 x + 3 y = 5 ⎪ ⎪ ⎨2a − 3x − y =1 ⇔ ⎨2a − 3x − y =1 ⎪ ⎪ ⎩4a − 2x + 2 y = 6 ⎩2a − x + y = 3

(2) ⎧−4x + 4 y = 4 ⎧− x + y = 1 . ⇔⎨ ⎩−6x + 2 y = 2 ⎩−3x + y = 1

Scădem prima ecuaţie din celelalte două ecuaţii şi se obţine: ⎨

Se obţine x = 0 şi y = 1. Înlocuind x şi y în una din ecuaţiile sistemului (2) se obţine a = 1. Înlocuind a, x şi y într-o ecuaţie a sistemului (1) se obţine b = 0. ⎛ 1 0⎞

Aşadar, A = ⎜ ⎟. ⎝ 0 1⎠ S5. Rezolvare: ⎛a b⎞ A=⎜ ⎟ ∈ M 2 (Z) . Egalitatea din enunţ se scrie sub forma următoare: ⎝ x y⎠ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎜3 2 ⎟⋅⎜ x y⎟ = ⎜ x y⎟⋅⎜3 2 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Efectuând înmulţirea de matrice se obţine egalitatea matriceală: b − y ⎞ ⎛ a + 3b −a + 2b ⎞ ⎛ a−x ⎜ 3a + 2x 3b + 2 y ⎟ = ⎜ x + 3 y − x + 2 y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧a − x = a + 3b ⎧ x = −3b ⎪b − y = −a + 2b ⎪ ⎪ din care se obţine sistemul de ecuaţii: ⎨ ⇔ ⎨y = a − b . ⎪3a + 2 x = x + 3 y ⎪a , b ∈ Z ⎩ ⎪⎩3b + 2 y = − x + 2 y b ⎞ ⎛ a Aşadar A = ⎜ ⎟ , a, b i Z. ⎝ −3b a − b ⎠

47

S6. Rezolvare: Să calculăm mai întâi A2 şi A3. Avem: ⎛ −1 A = A ⋅ A = ⎜⎜ 0 ⎜ ⎝2 ⎛ 5 3 2 A = A ⋅ A = ⎜⎜ 0 ⎜ ⎝ −4 2

0 2 ⎞ ⎛ −1 1 0 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 0 −1⎠⎟ ⎝⎜ 2 0 −4 ⎞ ⎛ −1 1 0 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 0 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 2

Înlocuind A2 şi A3 în relaţia din enunţ se obţine:

sau încă:

0 2⎞ ⎛ 5 1 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 0 −1⎠⎟ ⎝⎜ −4 0 2 ⎞ ⎛ −13 1 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 0 −1⎠⎟ ⎝⎜ 14

0 −4 ⎞ 1 0 ⎟⎟ 0 5 ⎠⎟ 0 14 ⎞ 1 0 ⎟⎟ 0 −13 ⎠⎟

⎛ −13 0 14 ⎞ ⎛ 5 0 −4 ⎞ ⎛ −1 0 2 ⎞ ⎜ 0 1 0 ⎟ = x ⋅⎜ 0 1 0 ⎟ − y⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 14 0 −13 ⎠ ⎝ −4 0 5 ⎠ ⎝ 2 0 −1⎠ ⎛ −13 0 14 ⎞ ⎛ 5x + y ⎜ 0 1 0 ⎟=⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 14 0 −13 ⎟ ⎜ −4x − 2 y ⎝ ⎠ ⎝

0 −4x − 2 y ⎞ ⎟. x− y 0 ⎟ 0 5x + y ⎟⎠

Identificând elementele omoloage ale acestor matrice egale se obţine sistemul de ecuaţii: ⎧5x + y = −13 ⎪ ⎨−4x − 2 y = 14 cu soluţia: x = –2, y = –3. ⎪x − y = 1 ⎩

S7. Rezolvare: ⎛ cos π sin π ⎞ ⎜ 6 6⎟ Matricea A se poate scrie sub forma: A = ⎜ ⎟. π ⎜ − sin cos π ⎟ ⎝ 6 6⎠ Pentru uşurinţa scrierii vom nota x = π . Calculăm câteva puteri ale matricei A şi obţinem: 6 ⎛ cos x sin x ⎞⎛ cos x sin x ⎞ ⎛ cos2 x − sin 2 x 2sin x cos x ⎞ ⎛ cos 2 x sin 2x ⎞ =⎜ A2 = A ⋅ A = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ 2 2 ⎟ ⎝ − sin x cos x ⎠⎝ − sin x cos x ⎠ ⎝ −2sin x cos x cos x − sin x ⎠ ⎝ − sin 2x cos 2 x ⎠ ⎛ cos2x sin 2x ⎞ ⎛ cos x sin x ⎞ ⎛ cos2x ⋅ cos x − sin 2x sin x cos2x sin x + sin 2x cos x ⎞ A3 = A2 ⋅ A = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟= ⎝ − sin 2x cos2x ⎠ ⎝ − sin x cos x ⎠ ⎝ − sin 2x cos x − cos2x sin x − sin x sin 2x + cos2x cos x ⎠ ⎛ cos(2x + x) sin( x + 2 x) ⎞ ⎛ cos3x sin 3x ⎞ =⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ − sin( x + 2x) cos(2x + x) ⎠ ⎝ − sin 3x cos3x ⎠

Din forma de scriere a matricelor A, A2, A3 se poate generaliza că ⎛ cos nx sin nx ⎞ An =⎜ ⎟, n i q*. ⎝−sin nx cos nx ⎠

Demonstrăm această relaţie prin inducţie matematică după n i q*. ⎛ cos x sin x ⎞ ⎟, ceea ce este evident adevărat. ⎝−sin x cos x ⎠ ⎛ cos k x sin k x ⎞ ⎛ cos(k + 1) x sin(k + 1) x ⎞ k +1 Presupunem că Ak =⎜ ⎟ şi demonstrăm că A = ⎜ ⎟. ⎝−sin k x cos k x ⎠ ⎝ − sin(k + 1) x cos(k + 1) x ⎠

Pentru n = 1 se obţine A1 =⎜

Avem că

⎛ cos kx sin kx ⎞ ⎛ cos x sin x ⎞ ⎛ cos kx ⋅ cos x − sin kx ⋅ sin x cos kx sin x + sin kx cos x ⎞ Ak +1 = Ak ⋅ A = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟= ⎝ − sin kx cos kx ⎠ ⎝ − sin x cos x ⎠ ⎝ − sin kx cos x − cos kx sin x − sin kx sin x + cos kx cos x ⎠

48

⎛ cos(kx + x) sin(kx + x) ⎞ ⎛ cos(k + 1) x sin(k + 1) x ⎞ =⎜ ⎟=⎜ ⎟ , ceea ce trebuia arătat. ⎝ − sin(kx + x) cos(kx + x) ⎠ ⎝ − sin(k + 1) x cos(k + 1) x ⎠ ⎛ cos nx sin nx ⎞ π Aşadar, A n = ⎜ ⎟ , ¼n i q*, unde x = 6 . − sin cos nx nx ⎝ ⎠

S8. Rezolvare:

Avem:

⎛2 A = ⎜⎜ 0 ⎜0 ⎝ ⎛4 3 2 A = A ⋅ A = ⎜⎜ 0 ⎜0 ⎝ 2

1 0 ⎞⎛ 2 1 1 0 ⎟⎜ ⎟⎜ 0 1 0 2 ⎟⎜ ⎠⎝ 0 0 3 0 ⎞⎛ 2 1 1 0 ⎟⎜ ⎟⎜ 0 1 0 4 ⎟⎜ ⎠⎝ 0 0

0⎞ ⎛ 4 3 0⎞ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 4 ⎟⎠ 0⎞ ⎛ 8 7 0⎞ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 8 ⎟⎠

⎛ 8 7 0 ⎞⎛ 2 1 0 ⎞ ⎛16 15 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ A = A ⋅ A = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎜ ⎟⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 8 ⎟⎜ 0 0 2 ⎟ ⎜ 0 0 16 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4

3

Analizând forma de scriere a matricelor A, A2, A3, A4 se observă că An se poate scrie sub ⎛ 2n ⎜ forma: An = ⎜ 0 ⎜0 ⎝

2n − 1 0 ⎞ ⎟ 1 0 ⎟ , n i q*. 0 2n ⎟⎠

Demonstrăm această formulă prin inducţie matematică după n i q*. Pentru n = 1 se obţine A1 = A. ⎛ 2k ⎜ Presupunem că Ak = ⎜ 0 ⎜0 ⎝

Avem că

⎛ 2k ⎜ Ak +1 = Ak ⋅ A = ⎜ 0 ⎜0 ⎝

⎛ 2k +1 2k +1 − 1 0 ⎞ 2k − 1 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 ⎟ şi demonstrăm că Ak +1 = ⎜ 0 1 0 ⎟. ⎜ 0 0 2k ⎟⎠ 0 2k +1 ⎟⎠ ⎝

2k − 1 0 ⎞ ⎛ 2 1 0 ⎞ ⎛ 2k +1 2k + 2k − 1 0 ⎞ ⎛ 2k +1 2k +1 − 1 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 ⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟=⎜ 0 1 0 ⎟, 0 2k ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 2k +1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 2k +1 ⎟⎠

ceea ce trebuia demonstrat. ⎛ 2n ⎜ Aşadar An = ⎜ 0 ⎜0 ⎝

2n − 1 0 ⎞ ⎟ 1 0 ⎟ , ¼n i q*. 0 2n ⎟⎠

S9. Rezolvare: x ⎞ ⎛1 − 2 y y ⎞ ⎛ (1 − 2x)(1 − 2 y) + x(−6 y) (1 − 2x) y + x(1 + 3 y) ⎞ ⎛1 − 2x ⋅⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎟= ⎝ −6x 1 + 3x ⎠ ⎝ −6 y 1 + 3y ⎠ ⎝ −6x(1 − 2 y) − 6 y(1 + 3x) −6xy + (1 + 3x)(1 + 3 y) ⎠ y − 2 xy + x + 3xy ⎞ ⎛1 − 2( x + y + xy) x + y + xy ⎞ ⎛ 1 − 2x − 2 y + 4 xy − 6xy =⎜ =⎜ ⎟ ⎟= ⎝ −6x + 12xy − 6 y − 18xy −6xy + 1 + 3x + 3 y + 9 xy ⎠ ⎝ −6( x + y + xy) 1 + 3( x + y + xy) ⎠

a) A(x) ⋅ A( y) = ⎜

= A( x + y + xy) , ¼x, y i Z.

Aşadar, A(x), A(y) = A(x + y + xy), ¼x, y i Z.

49

b) Vom respecta regula de înmulţire a două matrice A(x), A(y) dată de punctul a). a)

Avem: A2 ( x) = A( x) ⋅ A( x) = A( x + x + x ⋅ x) = A(2x + x2 ) A((x + 1)2 – 1) = A(x2 + 2x + 1 – 1) = A(x2 + 2x) Aşadar A2 ( x) = A(( x + 1)2 − 1) , ¼x i Z. a)

A3 ( x) = A2 ( x) ⋅ A( x) = A( x2 + 2 x) ⋅ A( x) = A( x2 + 2 x + x + x( x2 + 2 x)) = A( x3 + 3x2 + 3x) = A(( x + 1)3 − 1) .

Aşadar A3(x) = A((x + 1)3 – 1), ¼x i Z. c) Folosind punctul b) se poate generaliza că: A(nx) = A(( x +1)n −1) , ¼n i q*, ¼x i Z. Vom demonstra această formulă prin inducţie matematică după n i q*. Pentru n = 1, formula devine: A1( x) = A( x + 1 − 1) ⇔ A( x) = A( x) Presupunem că Ak ( x) = A(( x + 1)k − 1) şi demonstrăm că Ak+1(x) = A((x + 1)k+1 – 1) a)

Dar Ak +1( x) = Ak ( x) ⋅ A( x) = A(( x + 1)k − 1) ⋅ A( x) = A (( x + 1)k − 1 + x + x( x + 1)k − x ) = = A(( x + 1)k (1 + x) − 1) = A(( x + 1)k +1 − 1) , ceea ce trebuia demonstrat.

Aşadar An(x) = A((x + 1)n – 1), ¼n i q*, x i Z. Rezultă că pentru n = 2006 şi x = 1 se obţine ⎛ 1 − 2(22006 − 1) 22006 − 1 ⎞ A2006 (1) = A((1 + 1)206 − 1) = A(22006 − 1) = ⎜ ⎟. 2006 2006 ⎝ −6(2 − 1) 1 + 3(2 − 1) ⎠

S10. Rezolvare: ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 0 1 2⎞ ⎛ 1 1 2⎞ a) I3 + B = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 0 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 1 1 ⎟⎟ = A . ⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Aşadar I3 + B = A. Pentru calculul lui An folosim că A = I3 + B şi aplicăm formula binomului lui Newton: An = (I3 + B)n = Cn0 I3 + Cn1 B + Cn2 B2 + Cn3 B3 + ... + Cnn Bn . ⎛ 0 0 1⎞ Dar B = B ⋅ B = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ şi B3 = O3, deci Bn = O3, n U 3. ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ n(n − 1) 2 n Rezultă că A = I3 + n ⋅ B + (1) ⋅B . 2 2

Pentru calculul sumei S se foloseşte formula 1 dând lui n valori de la 1 la 20 şi însumând. Se obţine: S = I3 + B + I3 + 2B + 2 ⋅ 1 ⋅ B 2 + 2 I3 + 3B + 3 ⋅ 2 ⋅ B2 + 2

........................... I3 + 20B + 20 ⋅ 19 ⋅ B2 = 2 20 = 20I3 + (1+ 2 + 3 + ... + 20)B + 1 (2⋅1+ 3⋅ 2 +... +19⋅ 20)B2 = 20I3 + 20⋅ 21⋅ B + 1 ⋅ ∑ k (k −1)⋅ B2 = 2 2 2 k=1 20⋅ 21⋅ 41 − 20⋅ 21⎤⋅ B2 = 20I + 210B + 2660B2 . = 20I3 + 210B + 1⎡ 3 2⎣ 6 2 ⎦

50

S11. Rezolvare: k ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 + k 2 k + 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ k 2 + k + 2 k + 1⎞ ⋅ =⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎟=⎜ 1 ⎟⎠ ⎜⎝1 1 ⎟⎠ ⎝ k 2 1 ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝ k 2 + 1 1 ⎠ ⎛ 20 (k 2 + k + 2) 20 (k + 1) ⎞ ∑ ⎜ k∑ ⎟ 20 =1 k =1 b) S = ∑ C (k ) = ⎜ 20 ⎟. 20 k =1 2 ⎜ k ( 1) 1 + ∑ ⎟⎟ ⎜ ∑ ⎝ k =1 ⎠ k =1 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 ⎟⋅⎜ 2 ⎝ 0 1⎠ ⎝ k

a) C (k ) = ⎜

Calculăm separat fiecare termen al matricei S. 20

20

20

20

∑ (k 2 + k + 2) = ∑ k 2 + ∑ k + ∑ 2 = k=1

k=1

k=1

k=1

n(n +1)(2n +1) 6

+

n=20

n(n +1) 2

n=20

+ 20⋅ 2 =

= 20⋅ 21⋅ 41 + 20⋅ 21 + 40 = 2870 + 210 + 40 = 3120 . 6 2 20 20 20 ∑ (k + 1) = ∑ k + ∑ 1 = 202⋅ 21 + 20 = 210 + 20 = 230 . k =1 k =1 k =1 20

20

20

k =1

k =1

k =1

⋅ 41 + 20 = 2870 + 20 = 2890 . ∑ (k 2 + 1) = ∑ k 2 + ∑ 1 = 20 ⋅ 21 6

⎛ 3120 230 ⎞ Aşadar, S = ⎜ ⎟. ⎝ 2890 20 ⎠

TESTE DE EVALUARE TESTUL 1 1. Rezolvare: Relaţia = 5 este echivalentă cu 2x2 + 3x – 5 = 0.

Se obţine x1 = 1, x2 = − 5 . Aşadar, răspunsul este d). 2

2. Rezolvare: ⎛ x

2x ⎞ ⎛ 3 y

2

Avem: ⎜ +⎜ 2⎟ ⎝ 2x x ⎠ ⎝ 3 y

3y ⎞ ⎛ 4 5 ⎞ ⎛ x + 3y ⎟=⎜ ⎟⇔⎜ 3xy ⎠ ⎝ 5 4 ⎠ ⎝ 2 x + 3 y 2

Din prima ecuaţie se obţine x = 4 – 3y2.

⎧ x + 3y2 = 4 2x + 3 y ⎞ ⎛ 4 5 ⎞ ⎪ ⇔ ⎨2x + 3 y = 5 ⎟=⎜ ⎟ 2 x + 3xy ⎠ ⎝ 5 4 ⎠ ⎪ 2 ⎩ x + 3xy = 4

(1)

Substituind în a doua ecuaţie se obţine ecuaţia 2y2 – y – 1 = 0 cu soluţiile y1 = 1, y2 = − 1 . 2

• Pentru y = 1 se obţine x = 1, valori care satisfac şi ecuaţia a treia a sistemului (1) • Pentru y = − 1 se obţine x = 13 , valori care nu satisfac ecuaţia a treia a sistemului (1). 2

4

Aşadar, x = y = 1. 3. Rezolvare: a) Să determinăm A9, respectiv A10. ⎛ 1 1 1 ⎞⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 2 2 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎜ ⎟⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ . ⎜ 1 0 1 ⎟⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 2 1 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

⎛ 4 4 4⎞ ⎜ ⎟ A = A ⋅ A =⎜ 0 1 0⎟, ⎜ ⎟ ⎝ 4 3 4⎠ 3

2

51

⎛8 8 8⎞ ⎜ ⎟ A = A ⋅ A =⎜ 0 1 0⎟. ⎜ ⎟ ⎝8 7 8⎠ 4

3

⎛ 2n −1 2n −1 2n −1 ⎞ ⎜ ⎟ 1 0 ⎟ , n i q*. Se demonstrează prin inducţie că An = ⎜ 0 ⎜ 2n −1 2n −1 − 1 2n −1 ⎟ ⎝ ⎠

Pentru n = 9, respectiv n = 10 se determină A9, A10 şi ⎛ 28 ⎜ B = A9 + A10 = ⎜ 0 ⎜ 28 ⎝

28 ⎞ ⎛ 29 ⎟ ⎜ 0 ⎟+⎜ 0 28 − 1 28 ⎟⎠ ⎜⎝ 29

29 ⎞ ⎛ 640 640 640 ⎞ ⎟ 0 ⎟ = ⎜⎜ 0 2 0 ⎟⎟ . 29 − 1 29 ⎟⎠ ⎜⎝ 640 638 640 ⎟⎠

28 1

29 1

Rezultă că tr(B) = 640 + 2 + 640 = 1282 şi b31 + b22 + b13 = 1282. ⎛ 2n −1 2n −1 2n −1 ⎞ ⎜ ⎟ b) Demonstrăm prin inducţie matematică faptul că An = ⎜ 0 1 0 ⎟ , ¼n i q*. ⎜ 2n −1 2n −1 − 1 2n −1 ⎟ ⎝ ⎠

Pentru n = 1, egalitatea este evidentă.

⎛ 2k −1 ⎛ 2k 2k −1 2k −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ Presupunem că Ak = ⎜ 0 1 0 ⎟ şi demonstrăm că Ak +1 = ⎜ 0 ⎜ 2k −1 2k −1 − 1 2k −1 ⎟ ⎜ 2k ⎝ ⎠ ⎝

Dar

2k 2k ⎞ ⎟ 1 0 ⎟. 2k − 1 2k ⎟⎠

⎛ 2k −1 2k −1 2k −1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 2 ⋅ 2k −1 2 ⋅ 2k −1 2 ⋅ 2k −1 ⎞ ⎛ 2k ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Ak +1 = Ak ⋅ A = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟=⎜ 0 ⎜ k −1 2k −1 − 1 2k −1 ⎟ ⎝⎜ 1 0 1 ⎟⎠ ⎜ 2 ⋅ 2k −1 2 ⋅ 2k −1 − 1 2 ⋅ 2k −1 ⎟ ⎜ 2k ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

ceea ce trebuia demonstrat.

2k ⎞ ⎟ 0 ⎟, 2k − 1 2k ⎟⎠ 2k 1

⎛ 2n −1 2n −1 2n −1 ⎞ ⎜ ⎟ Aşadar, An = ⎜ 0 1 0 ⎟ , ¼n i q*. ⎜ 2n −1 2n −1 − 1 2n −1 ⎟ ⎝ ⎠

Testul 2 1. Rezolvare: ⎛1

0 ⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎟=⎜ ⎟= I 2 ⇒ I2 ∈ M . ⎝ 0 (−1)0 ⎠ ⎝ 0 1⎠

a) Luând x = 0 se obţine A(0) =⎜

b) Fie A, B i M. Rezultă că există x, y i m astfel încât A = A(x) şi B = A(y). În acest caz, x ⎞ ⎛1 y ⎞ ⎛1 ⎛1 A ⋅ B = A( x) ⋅ A( y) = ⎜ ⋅ =⎜ x⎟ ⎜ y⎟ ⎝ 0 (−1) ⎠ ⎝ 0 (−1) ⎠ ⎝ 0 y

y

(

Deoarece (−1) y + (−1) ⋅x = (−1) y ⋅ (−1)(−1) ⋅ x = (−1) y ⋅ (−1)(−1)

y

)

x

= (−1) y ⋅ (−1)x = (−1)x + y , rezultă că A · B i M.

c) Fie A = A(x), x i m. ⎛1 x⎞ 2 ⎛ 1 2x ⎞ 3 ⎛ 1 3x ⎞ , A ( x) = ⎜ A ( x) = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟. ⎝0 1⎠ ⎝0 1 ⎠ ⎝0 1 ⎠ ⎛ 1 nx ⎞ Prin inducţie se arată că An ( x) = ⎜ ⎟ , n i q*. ⎝0 1 ⎠

• Pentru x = 2k, A( x) = ⎜

52

y + (−1) y ⋅ x ⎞ ⎟. (−1) x + y ⎠

⎛1 x ⎞ 2 ⎟ , A ( x) = I2 . ⎝ 0 −1⎠

• Pentru x = 2k + 1, A( x) = ⎜

⎧ I2 , n = par . ⎩ A , n = impar

A3(x) = A(x). În general, se obţine că An ( x) = ⎨ 2. Rezolvare: Se obţin ecuaţiile:

2x + 4x = 20, 3y + 9y = 90,

Cz2 = 45, 5 At2+1 = 60 .

• Ecuaţia 2x + 4x = 20 se scrie sub forma 4x + 2x – 20 = 0. Notând 2x = m > 0 se obţine ecuaţia m2 + m – 20 = 0 cu soluţiile m1 = 4 şi m2 = –5, de unde se obţine x = 2. • Notând 3y = a se obţine ecuaţia de gradul doi a2 + a – 90 = 0 cu soluţiile a1 = 9, a2 = –10 din care se obţine y = 2. • Ecuaţia Cz2 = 45 este echivalentă cu

z( z − 1) 2 = 45 sau încă z – z – 90 = 0 cu soluţia naturală 2

z = 10. • Din 5 At2+1 = 60 se obţine (t + 1)t = 12, adică t2 + t – 12 = 0, cu soluţia naturală t = 3. Aşadar, x = 2, y = 2, z = 10, t = 3. 3. Rezolvare: ⎛ 1 1⎞⎛ a b ⎞ ⎛ a

x ⎞⎛ 1 1⎞ ⎛ 4 7 ⎞

Înlocuind A i M2(m) se obţine ecuaţia ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ , a, b, x, y i m, ⎝ 0 1⎠⎝ x y ⎠ ⎝ b y ⎠⎝ 0 1⎠ ⎝ 3 7 ⎠ care se scrie sub forme echivalente astfel: ⎛ a + x b + y ⎞ ⎛ a a + x ⎞ ⎛ 4 7 ⎞ ⎛ 2a + x b + a + y + x ⎞ ⎛ 4 7 ⎞ + = ⇔ = ⎜ x y ⎟⎠ ⎜⎝ b b + y ⎟⎠ ⎜⎝ 3 7 ⎟⎠ ⎜⎝ x + b b + 2 y ⎟⎠ ⎜⎝ 3 7 ⎟⎠ ⎝ ⎧ 2a + x = 4 ⎪x + b = 3 ⎪ Rezultă că: ⎨ ⎪b + a + y + x = 7 ⎪⎩b + 2 y = 7

Se obţine: a = 4 – y; b = 7 – 2y, x = 2y – 4, y i m. ⎛ 4 − y 7 − 2y ⎞ , y i m. y ⎟⎠ ⎝ 2y − 4

Aşadar A = ⎜

4. Rezolvare: ⎛ 0 a ⎞⎛ x 0 ⎞ ⎛ x 0 ⎞⎛ 0 a ⎞ ⎛ 0 ay ⎞ ⎛ 0 ⋅ AB − BA =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎝b 0 ⎠⎝ 0 y ⎠ ⎝ 0 y ⎠⎝b 0 ⎠ ⎝bx 0 ⎠ ⎝by

xa ⎞ ⎛ 0 ay − ax ⎞ ⎟=⎜ ⎟ 0 ⎠ ⎝bx − by 0 ⎠

⎛ 0 ⎞ ay − ax ⎞⎛ 0 ay − ax ⎞ ⎛ (ay − ax)(bx − by) 0 ( AB − BA)2 =⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟. 0 ⎠⎝bx − by 0 ⎠ ⎝ 0 (bx − by)(ay − ax)⎠ ⎝bx − by

Aşadar (AB – BA)2 are cel puţin două elemente nule.

53

Capitolul II. Determinanţi 2.1. Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult trei Exersare E1. Rezolvare −2 −5 = (−2) ⋅10 − 8(−5) = 20 ; a) 8 10 b)

2

−6

−3

32

= 2 ⋅ 32 − (−3)(−6) = 64 − 18 = 46

1,5 −7, 2 = 1,5 ⋅ 8 − 5 ⋅ (−7, 2) = 12 + 36 = 48 ; 5 8 2 + i −1 d) 2 = (2 + i)(2 − i) − i2 (−1) = 4 ⋅ i2 (−1) = 4 − i2 + i 2 = 4 . i 2−i c)

E2. Rezolvare. 7 8 a) 5 3 = 7 ⋅ 25 − 9 ⋅ 8 = 35 − 24 = 11 ; 5 3 9 25 3 − 32

b)

2 − 75

= 3 ⋅ (− 75) − 2 ⋅ (− 32) = − 225 + 64 = −15 + 8 = −7 ;

−1− 3 5 −1 =−(1+ 3)( 3 −1) − (1+ 5)( 5 −1) =−− 2 − 4 =−6 ; 1+ 5 3 −1 lg100 0,5 d) = lg100 ⋅ lg 0,1 + 8 ⋅ 0,5 = 2 ⋅ (−1) + 4 = 2 ; lg 0,1 −8 3! 5! = 3!4!− 0!5! = 6 ⋅ 24 − 1⋅120 = 24 ; e) 0! 4! c)

f) g) h)

A42

A33

1 5

3 4

C

C

= A42 ⋅ C43 − C51 ⋅ A33 = 12 ⋅ 4 − 5 ⋅ 6 = 18 ;

2x +1

32 y

− y +1

−x

9

(1 − i) i

2 2

= 2x +1 ⋅ 2− x − 9− y +1 ⋅ 32 y = 2 − 9 = −7 ; −i

(1 + i)

2

= (1 − i)2 (1 + i)2 − i(−i) = (1 − i2 )2 + i 2 = 4 − 1 = 3 .

E3. Rezolvare

2 −1 4 −5 + = (8 + 7) + (8 + 30) = 53 7 4 6 2 6 −6 det( A + B) = = 48 + 78 = 126 . 13 8 Rezultă că det(A) + det(B) < det(A + B), pentru matricele date. a) det( A) + det( B) =

54

b) det( AB) =

2 −12 = −54 + 624 = 570 52 −27

det(A) · det(B) = 15 · 38 = 570 Aşadar, det(AB) = det(A) · det(B); 3 − 3 ⎡ ⎛ 1 −1⎞ ⎤ = = 9 + 21 = 30 . c) det[ 3( A − I 2 )] = det ⎢ 3 ⋅ ⎜ ⎥ ⎟ ⎝ 7 3 ⎠⎦ 7 3 3 3 ⎣ ⎛ 4 −1⎞ 4 −1 det( A + 2I 2 ) = det ⎜ = 24 + 7 = 31 . ⎟= ⎝7 6 ⎠ 7 6

Rezultă că det[ 3( A − I 2 )] < det( A + 2I2 ) . E4. Rezolvare a) Ecuaţia se scrie sub forma: –2x + 12x = 20 ® 10x = 20 ® x = 2. b) Se obţine: 5x – 6x + 2 = 10 ® x = –8. c) Se obţine: 6 x2 − x2 − x = 4 ⇔ 5x2 − x − 4 = 0 cu soluţiile: x1 = 1, x2 = − 4 ; 5 2 2 d) Ecuaţia este: 3x – x – 4x + x – 4x + 1 = x – 5 ® 5x2 + x – 6 = 0 cu soluţiile: x1 = 1, x2 = − 6 ; 5 e) Avem: x2 – xi – 2xi = 9 – xi ® x2 – 2xi – 9 = 0 cu soluţiile: x1,2 = 1 ± 2 2 ;

f) Se obţine succesiv:

6 x – x = 36 x – x – 30 ® 36x – 6x – 30 = 0.

Notând 6x = y se obţine ecuaţia y2 – y – 30 = 0 cu soluţiile: Se obţine soluţia x = 1.

y1 = 6, y2 = –5.

E5. Rezolvare: Regula lui Sarrus

3 −1 2 1 4 5 −2 −1 −1 = 3⋅4(−1) +1⋅(−1)⋅2 + (−2)(−1)⋅5− 2⋅4(−2) − 5(−1)⋅3− (−1)(−1)⋅1= 26 . 3 −1 1 4

2 5

Regula triunghiului

3

−1

2

1 4 5 = 3⋅4⋅(−1) +1⋅(−1)⋅2 +(−2)⋅(−1)⋅5⋅(−2)−2⋅4⋅(−2)−(−1)⋅1⋅(−1)−(−1)⋅5⋅3 = −2 −1 −1 = 26 55

Regula minorilor 3 −1 2 4 5 1 5 + (−1)⋅(−1)1+2 ⋅ + 1 4 5 = 3⋅δ11 + (−1)⋅δ12 + 2⋅δ13 = 3⋅ −1 −1 −2 −1 −2 −1 −1 1 4 = 3(−4 + 5) + (−1 + 10) + 2(−1 + 8) = 26 . − 2 −1 Se procedează analog pentru ceilalţi determinanţi şi se obţin rezultatele: b) 18; c) –10; d) –4; e) 3; f) 0; g) 0; h) 0. +2 ⋅ (−1)1+3

E7. Rezolvare: a) Se observă că elementele liniilor „unu” şi „trei” sunt proporţionale. Rezultă că determinantul este nul.

b) Se dă factor comun 10 de pe coloana I şi se obţine: 1 −1 3 10 5 1 1 =10(1+ 30 −10 − 30 + 5 − 2) =−60 ; 10 2 1 c) Se observă că determinantul are prima şi a treia coloană proporţionale, factorul de proporţionalitate fiind k = –5. Rezultă că determinantul este nul. d) Se formează două zerouri scăzând prima linie din celelalte. Avem: 1 a m b−a n−m = (b − a)( p − m) − (n − m)(c − a) ; 0 b−a n−m = c−a p−m 0 c−a p−m e) Se adună coloana a doua şi a treia la prima coloană, se dă factor comun de pe această coloană şi se obţine: x + 2y y y 1 y y x + 2 y x y = ( x + 2 y) 1 x y . x + 2y y x 1 y x Se formează zerouri pe prima coloană scăzând prima linie din celelalte linii. 1 y y 0 x− y 0 = ( x + 2 y) = ( x + 2 y)( x − y)2 ; Se obţine: ( x + 2 y) 0 x − y 0 x− y 0 0 x− y f) Se adună toate coloanele la prima coloană şi se dă factor comun pe coloana întâi. Se obţine: a+b+c b c 1 b c a + b + c c a = (a + b + c) 1 c a . a+b+c a b 1 a b Se formează zerouri pe coloana întâi scăzând prima linie din celelalte linii. Se obţine: 1 b c c −b a − c = (a + b + c)⋅ 0 c − b a − c = (a + b + c)⋅ a −b b − c 0 a −b b − c = (a + b + c)[−(c − b)2 − (a − b)(a − c)] = (a + b + c)(ab + bc + ca − a2 − b2 − c2 ) .

56

E8. Rezolvare:

a) δ11 = (−1)1+1d11 =

6 −3 5

1

δ12 = (−1)1+2 d12 =− δ13 = (−1)1+3 d13 =

4 −3 =−40 12 1

4 6 =−52 12 5

δ21 = (−1)2+1d21 =− δ22 = (−1)2+2 d22 =

−9 10 1

= 59

8 −9 =−148 12 5

−9 10 6

δ32 = (−1)3+2 d32 =− δ33 = (−1)3+3 d33 =

5

8 10 = 8−120 =−112 12 1

δ23 = (−1)2+3 d23 =− δ31 = (−1)3+1d31 =

= 21

−3

=−33

8 10 = 64 4 −3

8 −9 = 84 4 6

b) d = −9 ⋅ δ12 + 6δ22 + 5δ32 = −9(−40) + 6(−112) + 5 ⋅ 64 = 8 d = 12 ⋅ δ31 + 5 ⋅ δ32 + 1⋅ δ33 = 12(−33) + 5 ⋅ 64 + 84 = 8 . c) Înmulţim linia a doua cu –2 şi o adunăm la prima linie, apoi o înmulţim cu –3 şi o adunăm la a treia linie. Se obţine: 0 −21 16 −21 16 4 6 −3 = 0⋅δ′11 + 4⋅δ′21 + 0⋅δ′31 = 4⋅δ′21 = 4⋅(−1)2+1d′21 =−4⋅ = −13 10 0 −13 10 = −4(−210 + 208) = −4 ⋅ (−2) = 8 .

Sinteză S1. Rezolvare: Calculăm cei trei determinanţi şi obţinem:

(25 – 32) – 6(6 + 2 – 20 + 4) – 10 = 31. S2. Rezolvare: Calculăm determinanţii şi obţinem: 20 21 − 24 − (−3 + 1) + 5 (−18 + 20 + 10 + 3) = 14 ⇔ 16 = 14 ; fals. 20 15 3

(

)

57

S3. Rezolvare: a) Ecuaţia se scrie sub forma echivalentă:

4x2 + 8x – 5x – 15 = –14 ® 4x2 + 3x – 1 = 0, cu soluţiile x1 = –1, x2 = 1 ; 4 b) Ecuaţia este echivalentă cu: 2x2 + 2x – 3x2 + 6x = –i2 – (9 – i2) ® x2 – 8x – 9 = 0 cu soluţiile x1 = –1, x2 = 9. c) Se obţine ecuaţia: 2x2 – 2x – 20 + 5x = –5x2 – 2x – 2 ® 7x2 + 5x – 18 = 0 cu soluţiile x1 = 9 ; x2 = −2 ; 7 d) Se obţine succesiv: 3x+2 – 36 = 2 · 3x+1 – 3x ® 3x(9 – 6 + 1) = 36 ® 3x = 9 ® x = 2. S4. Rezolvare: a) Calculând determinanţii se obţine: 2x2 + 1 + 1 – x – 2 – x = 315 + 6 – 28 – 126 – 15 + 28 ® x2 – x – 90 = 0 cu soluţiile x1 = 10, x2 = –9;

b) Calculând determinanţii se obţine: –x3 + 2 – x – (3x – x3 + 2) = 0 ® 4x = 0 ® x = 0; c) Ecuaţia este echivalentă cu: –2(2x – 1) – 2(3x + 2) + 24 + 4 + 6(2x – 1) – 4(3x + 2) = 3 – x2 ® x2 – 10x + 9 = 0, cu soluţiile x1 = 1, x2 = 9; d) Pentru calcule mai restrânse aplicăm de câteva ori proprietăţi ale determinanţilor pentru determinantul de ordin 3. De exemplu: Scădem coloana întâi din celelalte şi se obţine ecuaţia: x 1 2 2 = 5( x +1) − 4 x x +3 1 2x

−1 −x − 3

Scădem linia întâi din a doua şi o adunăm la a treia şi se obţine: x 1 2 3 0 0 = x + 5 ⇔ 3x + 3 = x + 5 , 3x 0 − x − 1 cu soluţia x = 1. S5. Rezolvare: Calculând determinanţii se obţine ecuaţia: x3 – 6x2 + 5x = 0 ® x(x2 – 6x + 5) = 0, cu soluţiile x1 = 0, x2 = 1, x3 = 5.

Rezultă că S = 126. S6. Rezolvare:

a2 a 1 2 2 a) Se scade succesiv linia întâi din a doua şi a treia, obţinându-se: d = b − a b − a 0 . c2 − a2 c − a 0 58

Se dă factor comun (b – a) şi (c – a) de pe linia a doua, respectiv linia a treia şi se obţine: a2 a 1 b+a 1 d = (b − a)(c − a) b + a 1 0 = (b − a)(c − a) = (b − a)(c − a)(b − c) ; c+a 1 c+a 1 0 b) Se scade coloana întâi din celelalte şi se obţine: a 1 2 a 1 1 d = b 1 2 = 2 b 1 1 = 0 (două coloane sunt identice, deci d = 0); c 1 2 c 1 1 c) Se scade linia întâi din celelalte apoi se dă factor comun pe linia a doua şi a treia. Se obţine succesiv: a a2 + 1 a + 1 a a2 + 1 a + 1 d = b − a b2 − a2 b − a = (b − a)(c − a) 1 c − a c2 − a2 c − a 1

b+a c+a

1 . 1

Se scade coloana întâi din a treia şi se obţin două zerouri pe coloana a treia: a a2 + 1 1 1 b+a d = (b − a)(c − a) 1 b + a 0 = (b − a)(c − a) = (b − a)(c − a)(c − b) ; 1 c+a 1 c+a 0 d) Se adună la prima linie celelalte linii obţinându-se: 0 0 0 d = b − c n − p y − z = 0 (o linie are toate elementele nule); c−a p−m z−x e) Se scade coloana întâi din celelalte coloane, apoi se dă factor comun pe coloana a doua şi a treia şi se obţine: x y−x z−x x 1 1 2 2 2 2 2 2 d = x y −x z − x = ( y − x)( z − x) x y + x z + x . yz xz − yz xy − yz yz − z −y Se scade coloana a doua din a treia şi se dă factor comun pe coloana a treia obţinându-se: x 1 0 x 1 0 2 2 d = ( y − x)( z − x) ⋅ x y + x z − y = ( y − x)( z − x)( z − y) x y + x 1 = yz − z z−y yz − z 1 x 1 0 2 y+x 1= = ( y − x)( z − x)( z − y) x 2 yz − x −x − y − z 0

= ( y − x)( z − x)( z − y)⋅(−1)⋅

x

1

yz − x2 −x − y − z = ( x − y)( x − z)( z − y)( xy + xz + yz) ;

= ( x − y)( z − x)( z − y)(−xy − xz − yz) =

f) Se scade coloana întâi din coloana a doua şi se adună la a treia şi apoi se formează două zerouri pe coloana a doua.

59

Avem: a + 1 −2 a2 + a a + 1 −2 a2 + a a + 1 −2 a2 + a d = b + 1 −2 b2 + b = b − a 0 b2 − a2 + b − a = (b − a)(c − a) 1 0 b + a +1 = c + 1 −2 c2 + c = (b − a)(c − a) ⋅ 2

c−a

0

c2 − a2 + c − a

1

0

c + a +1

1 b + a +1 = 2(b − a)(c − a)(c − b) . 1 c + a +1

S7. Rezolvare:

a+b+c a +b+c a+b+c 2b 2b . Se adună linia a doua şi a treia la prima obţinându-se d = b − c − a 2c c−a −b 2c Se dă factor pe linia întâi apoi se fac zerouri pe aceasta. Avem succesiv: 1 1 1 1 0 0 d = (a + b + c) ⋅ b − c − a 2b 2b = (a + b + c) b − c − a a + b + c a + b + c . 2c c − a − b 2c 2c −a − b − c 0 Se dă factor pe coloana a doua şi a treia şi se obţine: 1 0 0 3 d = (a + b + c) ⋅ b − c − a 1 1 = (a + b + c)3 . 2c −1 0 Aşadar egalitatea este verificată. b) Se scade coloana întâi din celelalte şi se dă factor comun pe aceste coloane obţinându-se succesiv: x+ y z−x z− y x+ y 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 d = x + y z − x z − y = ( z − x)( z − y) x + y z+x z+ y . 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 x +y z −x z −y x + y z + xz + x z + zy + y Se formează un zerou pe linia întâi, scăzând coloana a doua din a treia. Avem: x+ y 1 0 2 2 = d = ( z − x)( z − y) x + y z+x y− x x3 + y3 z 2 + xz + x2 z( y − x) + ( y 2 + x2 ) x+ y = ( z − x)( z − y)( y − x)⋅ x2 + y 2 x3 + y 3

1 z+x 2 z + xz + x2

0 1 = 2 xyz( z − x)( z − y)( y − x) = . x+ y+ z

= 2 xyz( x − y)( y − z)( z − x) S8. Rezolvare: ⎛a b ⎞ Fie A =⎜ ⎟∈ M2 (Z) . Avem: ⎝ x y⎠ ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a2 + bx ab + by ⎞ A2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ 2⎟ ⎝ x y ⎠ ⎝ x y ⎠ ⎝ ax + yx bx + y ⎠

60

⎛ a b ⎞ ⎛ a 2 + ay ab + by ⎞ . tr ( A) ⋅ A = (a + y) ⋅ ⎜ ⎟=⎜ 2⎟ ⎝ x y ⎠ ⎝ ax + yx ay + y ⎠ det(A) = ay – bx.

Înlocuind în expresia A2 – tr(A) · A + det(A) · I2 se obţine matricea O2, ceea ce trebuie arătat. S9. Rezolvare: 1 −2 1 a) d = 1 −1 3 = −4 + 1 + 0 − 0 + 8 − 3 = 2

0 1 4 t = tr(A) = 1 + (–1) + 4 = 4

−1 1 1 δ22 = (−1)2+ 2 d22 = 0

b) δ11 = (−1)1+1d11 =

δ33 = (−1)3+3 d33 =

3 = −4 − 3 = −7 4 1 =4 4

1 −2 1 −1

=−1+ 2 =1

Rezultă că s = –2; c) Avem: s1 = a13δ12 + a23δ22 + a33δ32 =1⋅(−1)1+2 d12 + 3(−1)2+2 d22 + 4(−1)3+2 d32 = =−1

1 3 1 1 + 3⋅4 + 4(−1) =0 0 4 1 3

d) Calculăm mai întâi A2 şi A3 obţinând: ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎛ −1 1 −1⎞ 2 A = A ⋅ A = ⎜⎜ 1 −1 3 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 −1 3 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 2 10 ⎟⎟ ⎜ 0 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 4 ⎟ ⎜ 1 3 19 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 − 2 ⎛ ⎞ ⎜ 3 2 A = A ⋅ A = ⎜ 2 8 46 ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 14 86 ⎠ Rezultă că: 4 ⎞ ⎛ −2 4 −2 ⎞ ⎛ 0 0 −2 ⎞ ⎛ 4 −4 ⎜ ⎟ ⎜ A − t ⋅ A + s ⋅ A − d ⋅ I3 = ⎜ 2 8 46 ⎟ + ⎜ 0 −8 −40 ⎟⎟ + ⎜⎜ −2 2 −6 ⎟⎟ + ⎜ 4 14 86 ⎟ ⎜ −4 −12 −76 ⎟ ⎜ 0 −2 −8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 2 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎜ 0 −2 0 ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟⎟ , ceea ce trebuia găsit. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 −2 ⎠ ⎝ 0 0 0 ⎠ 3

2

61

S10. Rezolvare: −2 1 −4 a) det( A) = 1 −1 3 = 0 − 4 + 6 − 8 + 6 = 0 .

2

1

0

⎛ 1 −1 −2 ⎞ B = ⎜⎜ 1 2 −1 ⎟⎟ şi det(B) = 6 – 2 + 2 + 8 + 3 + 1 = 18. ⎜2 1 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2 1 −4 ⎞ ⎛ 1 −1 −2 ⎞ ⎛ −9 0 −9 ⎞ A ⋅ B = ⎜⎜ 1 −1 3 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 2 −1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 6 0 8 ⎟⎟ şi det(AB) = 0, având o coloană cu ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 1 0 ⎠ ⎝ 2 1 3 ⎠ ⎝ 3 0 −5 ⎠ elementele nule; b) Evident, 0 = 0 · 18; c) s = b11δ31 + b12δ32 + b13δ33 = 1⋅ (−1)3+1 ⋅ d31 + (−1)(−1)3+ 2 d32 + (−2) ⋅ (−1)3+3 d33 =

−1 −2 1 −2 1 −1 + − 2⋅ = 0. 2 −1 1 −1 1 2 Rezultatul corespunde proprietăţii P10. =

S11. Rezolvare:

a) Se adună coloana a treia la prima, se dă factor comun pe coloana întâi şi pe coloana a doua şi se obţin două coloane identice. Avem: 3 c 1 1 c a+b+c 3 a = (a + b + c) ⋅ 3 ⋅ 1 1 a = 0 . d = a+b+c 3 b 1 1 b a+b+c b) Se adună coloana a treia la prima şi se obţin două coloane proporţionale, factorul de proporţionalitate fiind (a – b); c) Se scade coloana întâi din a doua şi se vor obţine coloane proporţionale. Avem: a2 (b + c)2 − a2 b + c − a a2 (a + b + c)(b + c − a) (b + c − a) d = b2 (a + c)2 − b2 a + c − b = b2 (a + b + c)(a + c − b) a + c − b = 0 . c2 (a + b)2 − c2 a + b − c c2 (a + b + c)(a + b − c) a + b − c

62

2.2. Aplicaţii ale determinanţilor în geometrie Exersare E1. Rezolvare:

x y 1 Ecuaţia dreptei AB are forma: 2 −4 1 = 0 , echivalentă cu 7x + 3y – 2 = 0. −1 3 1 2 −4 1 Punctele A(2, –4), B(–1, 3), C(5, –11) sunt coliniare dacă −1 3 1 = 0 . 5 −11 1 Calculând determinantul se obţine că este nul, deci punctele sunt coliniare. E2. Rezolvare: −1 −9 1 a) Avem: 2 −3 1 = 3 + 2 − 36 + 12 + 18 + 1 = 0 . 4 1 1 Rezultă că A, B, C sunt coliniare.

2 −3 1 b) 1 −1 1 = −2 + 5 − 3 + 1 + 3 − 10 = −6 ≠ 0 . 1 5 1 Rezultă că punctele M, N, P sunt necoliniare; −4 −2 1 c) 2 1 1 = −4 + 6 − 12 − 6 + 4 + 12 = 0 . 6 3 1 Aşadar E, F, G sunt puncte coliniare; −1 2 1 1 1 = 2 + 6m − 15 − m − m + 3 − 4m + 10 = 0 . d) 3 m 2m − 5 1 Rezultă că punctele T, U, V sunt coliniare, oricare ar fi m i Z. E3. Rezolvare: a) Ecuaţia dreptei AC are forma: x

y 1 2 −3 1 = 0 ⇔ 8x + y − 13 = 0 ; 1 5 1 b) Punem condiţia de coliniaritate a trei puncte: 2 −3 1 m + 1 2m 1 = 0 ⇔ 10m − 5 = 0 ⇔ m = 1 ; 2 1 5 1 63

c) Folosind formula ariei unei suprafeţe triunghiulare cu ajutorul determinantului se obţine egalitatea: 2 −3 1 1 ⋅ ∆ = 22,5 , unde ∆ = m + 1 2m 1 . 2 1 5 1 Aşadar, 1 ⋅ 10m − 5 = 22,5 sau încă, 10m − 5 = 45 . 2 Rezultă că 10m – 5 = 45 şi m = 5 sau 10m – 5 = –45 şi m = –4. În concluzie, există două triunghiuri ABC în condiţiile problemei. E4. Rezolvare: x y 1 a) AB : −3 −2 1 = 0 ⇔ x + 4 y + 11 = 0 5 −4 1

x AC : −3 −1 x BC : 5 −1

y −2 −3 y −4 −3

1 1 = 0 ⇔ x + 2y + 7 = 0 1 1 1 = 0 ⇔ x + 6 y + 19 = 0 ; 1

ax0 + by0 + c ; A(−3, − 2); BC : x + 6 y + 19 = 0 ; a 2 + b2 −3 + 6 ⋅ (−2) + 19 • d ( A , BC ) = = 4 ; 37 12 + 62 5 + 2(−4) + 7 = 4 ; • d ( B , AC ) = 2 2 5 1 +2 −1+ 4(−3) +11 • d (C , BA) = = 2 . 2 2 17 1 +4 • d ( A , BC ) =

−3 −2 1 1 c) A( ABC ) = ⋅ ∆ ,unde ∆ = 5 −4 1 =−4 . 2 −1 −3 1 Rezultă că A(ABC) = 2. E5. Rezolvare: x y 1 a) AB : 1 2 1 = 0 ⇔ y = 2

8 2 1 x y 1 BC : 8 2 1 = 0 ⇔ x + y − 10 = 0 6 4 1

64

x CD : 6 3 x AD : 1 3

y 4 4 y 2 4

1 1 =0⇔ y=4 1 1 1 = 0 ⇔ x − y +1 = 0 ; 1

x b) AC : 1 6 x BD : 8 3

y 2 4 y 2 4

1 1 = 0 ⇔ 2x − 5 y + 8 = 0 1 1 1 = 0 ⇔ 2x + 5 y − 26 = 0 ; 1

c) d ( A , BD) = d (C , BD) =

2 ⋅1 + 5 ⋅ 2 − 26 2

2

2

2

2 +5 2 ⋅ 6 + 5 ⋅ 4 − 26

= 14 29 = 6 . 29

2 +5 Rezultă că 14 > 6 , adică d ( A , BD) > d (C , BD) ; 29 29 d) A( ABCD) = A( ABC ) + A( ACD) 1 1 A( ABC ) = ⋅ ∆1 , unde ∆1 = 8 2 6 1 1 A( ACD) = ∆2 , unde ∆2 = 6 2 3 Se obţine A(ABCD) = 10.

2 2 4 2 4 4

1 1 = 14 . 1 1 1 =6. 1

Sinteză S1. Rezolvare: a) Reprezentăm punctele într-un reper cartezian B

y

C

D(3, 5)

5 4 3 2 1

A x

65

x AB : 1 −2 x BC : −2 −1 x CD : −1 3 x CA : −1 1

y 0 4 y 4 4 y 4 5 y 4 0

b) d ( B , AC ) = d ( D , AC ) =

c) A( ABD)

A( BCD)

1 1 = 0 ⇔ 4x + 3 y − 4 = 0 1 1 1 =0⇔ y=4 1 1 1 = 0 ⇔ x − 4 y + 17 = 0 1 1 1 = 0 ⇔ 2x + y − 2 = 0 ; 1 2 ⋅ (−2) + 4 − 2 2

2

2 +1 2⋅3 + 5 − 2 22 + 12

= 2 5

= 9 ; 5

1 0 1 1 = ∆1 , unde ∆1 = −2 4 1 = −23 . 2 3 5 1

Rezultă că A( ABD) = 23 . 2

−2 4 1 1 = ⋅ ∆2 , unde ∆2 = −1 4 1 = 1 . 2 3 5 1

Rezultă că A( BCD) = 1 . 2

−1 4 1 A(COD) = 1 ⋅ ∆3 , unde ∆3 = 0 0 1 = +17 . Rezultă că A(COD) = 17 . 2 2 3 5 1 În concluzie, A(BCD) < A(COD) < A(ABD).

d) Din condiţia M, B, C sunt coliniare rezultă: m m+2 1 −2 4 1 = 0 , rezultă m = 2 şi M(2, 4). −1 4 1 A(MAD)

2 4 1 1 = ∆ , unde ∆ = 1 0 1 = 3 . 2 3 5 1

Rezultă că A( MAD) = 3 . 2

66

S2. Rezolvare: Din condiţia de coliniaritate a trei puncte se obţine: 1 1 1 x x +1 2 2 −2 1 = 0, x +1 2 −2 2x 1 2 x relaţie echivalentă cu 3 · (2x) – 10 · 2 + 8 = 0 cu soluţiile: 2x = 2 şi 2x = 4 . 3 Rezultă că x ∈ 1, log2 4 . 3

{

}

S3. Rezolvare: A( AOB) = 1 ⋅ ∆ , unde 2 0 0 1 2 2 ∆ = sin a cos a 1 = sin 2 a⋅cos2 b − sin 2 b⋅cos2 a = sin 2 b cos2 b 1 = (sin a cos b − sin b cos a)⋅(sin a cos b + sin b cos a) = sin(a − b)⋅sin(a + b) . Rezultă că A( AOB) = 1 ⋅ sin(a − b) ⋅ sin(a + b) . 2

b) Revinde la a studia că punctele sunt coliniare, oricare ar fi a, b, c i Z. Avem: sin 2 a cos2 a 1 sin 2 a − 1 cos2 a 1 − cos2 a cos2 a 1 sin 2 b cos2 b 1 = sin 2 b − 1 cos2 b 1 = − cos2 b cos2 b 1 = 0 . sin 2 c

cos2 c 1

sin 2 c − 1 cos2 c 1

− cos2 c

cos2 c 1

(două coloane sunt proporţionale). Aşadar, punctele A, B, C sunt coliniare, ¼a, b, c i Z. S4. Rezolvare: a) Punem condiţia ca punctele A, B, C să fie coliniare: m 1 2 m + 1 m 1 = 0 ⇔ m2 − 3m + 2 = 0 1 2 1 cu soluţiile m1 = 1, m2 = 2; m 1 2 1 b) A( ABC ) = 1 ⇔ ⋅ ∆ = 1 , unde ∆ = m + 1 m 1 = −m2 + 3m − 2 . 2 1 2 1 Rezultă că 1 ⋅ −m2 + 3m − 2 = 1 ⇔ m2 − 3m + 2 = 2 . 2 Semnul expresiei m2 – 3m + 2 este dat în următorul tabel de semn:

m m2 – 3m + 2

1 2 +++0––0++++

Pentru m i (–∞, 1] N [2, +∞) ecuaţia 1 devine: m2 – 3m = 0, cu soluţiile m1 = 0, m2 = 3. 67

Pentru m i (1, 2) ecuaţia 1 devine: –m2 + 3m – 2 = 2 ® m2 – 3m + 4 = 0 care nu are soluţii reale. Aşadar, m i {0, 3}. S5. Rezolvare:

m 2m − 1 1 1 Calculăm A( AOB) = ⋅ ∆ ∆ = m + 1 −m + 2 1 = −3m2 + m + 1 . 2 0 0 1 Condiţia din enunţ se scrie sub forma: 1 ⋅ −3m2 + m + 1 = 23 ⇔ 3m2 − m − 1 = 23 . 2 2 Tabelul de semn al expresiei 3m2 – m – 1 este 1 − 13 1 + 13 +∞ 2 2 ++++ 0–––––0++++

–∞

m 3m2 – m – 1

(

)

Pentru m ∈ −∞ , 1 − 13 ⎤ ∪ ⎡1 + 13 , + ∞ ecuaţia 2 devine: 3m2 – m – 24 = 0 cu soluţiile 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 m1 = − 8 ; m2 = 3 . 3 Pentru m ∈ 1 − 13 , 1 + 13 ecuaţia (2) devine: 2 2 –3m2 + m + 1 = 23 ® 3m2 – m + 22 = 0, care nu are soluţii reale. Aşadar, m ∈ − 8 , 3 . 3

(

)

{

}

S6. Rezolvare:

m −1 3 1 −m 1 a) Avem relaţia 2m 2m − 3 1 + m 1 m − m 1+ m b) Avem condiţia: 2m − n 1 m n +1

= 0 ⇔ m2 − 4 = 0 ⇔ m ∈ {−2, 2} ; 1 1 = 0 ⇔ 2mn − m2 = 0 ⇔ m(2n − m) = 0 ⇔ m = 0 sau 1

m = 2n, n i Z. S7. Rezolvare:

x

y 1 BC : 0 2 − 6m 1 = 0, m ≠ 1 ⇔ (m + 1) x + (1 − m) y + 6m − 2 = 0, m ≠ 1 . 1− m 7 m −1 1 1 m −1 m +1+1− m + 6m − 2 = 3 ⇔ 6m = 3 2m2 + 2 . d ( A , BC ) = 3 ⇔ 2 2 (m +1) + (1− m) = 3 Ridicând la pătrat se obţine ecuaţia m2 = 1, m @ 1 cu soluţia m = –1.

68

S8. Rezolvare: Fie M(α, β) situat pe dreapta de ecuaţie x – y – 3 = 0. Rezultă că α – β – 3 = 0. Egalitatea A(OAM) = A(OBM) se scrie sub forma: 1 ⋅ ∆1 = 1 ∆2 unde: 2 2 0 0 1 0 0 1

∆1 = 3 2 1 = 3β − 2α şi ∆2 = 2 4 1 = 2β − 4α . α β 1 α β 1 Rezultă că 3 β− 2α = 2 β− 4α şi α− β− 3 = 0 . Înlocuind α = β + 3, ecuaţia cu moduli devine: β− 6 = 2 β+12 Tabelul de semn al expresiile din moduli este:

β β–6 2β + 12

(*)

–∞ –6 6 +∞ ––––––– 0+++++++ ––––0++++++++++

• Pentru β i (–∞, –6] ecuaţia (*) devine: –β + 6 = –2β – 12, cu soluţia β = –18 i (–∞, –6] • Pentru β i (–6, 6) ecuaţia (*) devine: –β + 6 = 2β + 12, cu soluţia β = – 2 i (–6, 6) • Pentru β i [6, + β) se obţine ecuaţia: β – 6 = 2β + 12, cu soluţia β = –18 h [6, + ∞). Aşadar există două puncte cu proprietatea din enunţ: M1(–15, –18), M2(+1, –2). S9. Rezolvare:

m 1 1 A( ABC ) = ⋅ ∆ , unde ∆ = 1 m 2 m m Condiţia din problemă se scrie sub forma: 1 ⋅ −m2 + 2m − 1 = 2 ⇔ m2 − 2m + 1 2 ecuaţie care are soluţiile m1 = –1, m2 = 3.

69

1 1 = −m2 + 2m − 1 . 1 = 4 ⇔ (m − 1)2 = 4 ,

TESTE DE EVALUARE TESTUL 1 1. Rezolvare: Calculăm determinanţii şi obţinem: E = 1 (12 + 10) − 5(1 + 4 − 6 + 10) + 36 = 2 . Rezultă că răspunsul corect este b). 2 2. Rezolvare:

2 −1 3 −1 4 −5 a) det( A) = 4 −1 3 = 48 + 6 + 20 − 48 − 20 − 6 = 0 . 2 −1 3 −1 4 −5 c) det( A) = −1⋅ δ21 + 4 ⋅ δ22 − 5 ⋅ δ23 = (−1) ⋅ (−1)2+1d21 + 4 ⋅ (−1)2+ 2 d22 − 5 ⋅ (−1)2+3 d23 = =

−1 3 2 3 2 −1 +4 + 5⋅ = (−6 + 6) + 4(12 − 12) + 5(−4 + 4) = 0 . 4 6 4 −2 −2 6

−1 −5 2 3 2 3 + 4⋅ − 2 ⋅ (−1)3+ 2 = 4 6 4 6 −1 −5 = −6 + 20 + 4(12 − 12) + 2(−10 + 3) = 14 − 14 = 0 ;

d) det( A) = (−1)δ12 + 4 ⋅ δ22 − 2 ⋅ δ32 = (−1)(−1)1+ 2 ⋅

e) Înmulţim succesiv linia a doua cu 2 şi 4 şi o adunăm la prima, respectiv a treia linie. 0 7 −7 7 −7 det( A) = −1 4 −5 = (−1) ⋅ (−1)2+1 ⋅ = 0; 14 −14 0 14 −14 f) Coloana a treia este o combinaţie liniară a celorlalte două coloane: 3 = 2 + (–1) · (–1); –5 = –1 + 4(–1); 6 = 4 + (–2)(–1). Rezultă că det (A) = 0. 3. Rezolvare:

det( A + B) =

x + 3 2x − 1 = − x2 − 4 x + 4 x+4 x

⎛ x 1 ⎞ ⎛ x 1 ⎞ ⎛ x2 + 2 x + 3 ⎞ C2 = ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 2x + 6 2 + 9 ⎠ x2 + 2 x + 3 2 det(C ) = = 9 x2 − 12 x + 4 . 2 x + 6 11 Ecuaţia det(A + B) = det(C2) este echivalentă cu:

–x2 – 4x + 4 = 9x2 – 12x + 4 ® 10x2 – 8x = 0 cu soluţiile x1 = 0, x2 = 4 . 5 Rezultă că suma soluţiilor ecuaţiei este 4 . 5 70

4. Rezolvare:

2m + 1 3 1 1 m 1 = 0 ⇔ 2m2 + m − 15 = 0 , 2 1 −4 cu soluţiile m1 = –3, m2 = 5 . 2

TESTUL 2 1. Rezolvare: Rezolvăm ecuaţia a). Avem succesiv: −3( x − 4) − 5(1 − 3x) − 2 (56 + 4) = 3 (−5 − 5) ⇔ 12 x = 18 ⇔ x = 3 . 3 2 2 Aşadar S1 = 3 . 2 Ecuaţia b) se scrie sub forme echivalente astfel:

{}

y(y – 1)(y + 4) – y – 1 – 3(y + 2)(y + 5) – (y2 – 1)(y + 2) + y(y + 5) + 3(y + 4) = 4y2 + 2y + 1 ® ® 5y2 + 19y + 18 = 0 cu mulţimea soluţiile S2 = −2, − 9 . 5 Aşadar, S1 = 3 , S2 = −2, − 9 , S1 ∪ S2 = 3 , − 2, − 9 , S1 × S2 = 3 , − 2 , 3 , − 9 . 2 2 2 5 2 2 5

{}

{

}

{

{

}

}

{(

)(

)}

2. Rezolvare: Soluţia ε a ecuaţiei x2 + x + 1 = 0 are proprietatea că ε 2 + ε + 1 = 0 şi ε 3 + ε 2 + ε = 0, de unde se obţine ε 3 = – ε 2 – ε = 1. det(A) = –ε3 – ε3 – ε3 – ε6 + ε3 – 1 = –4 ⎛ 0 2ε2 2ε2 ⎞ ⎛ 0 ε2 ε2 ⎞ 0 ε2 ε2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A2 = ⎜ 2ε2 0 2ε2 ⎟ = 2 ⎜ ε2 0 ε2 ⎟ şi det 1 ⋅ A2 = ε2 0 ε2 = ε6 + ε6 = 2 . 2 ⎜ 2ε2 2ε2 0 ⎟ ⎜ ε2 ε2 0 ⎟ ε2 ε2 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Rezultă că det( A) + det 1 A2 = −4 + 2 = −2 . 2

(

)

( )

3. Rezolvare:

Avem:

det(A) = –abz – cyz + z2x = z(xz – ab – cy) det(B) = ab2 + bcy – bxy = b(ab + cy – xz) det(C) = –xyz + aby + cy2 = y(–xz + ab + cy).

Rezultă că n = xz(–ab – cy + xz) + ab(ab + cy – xz) + yc(–xz + ab + cy) = (ab + cy – xz)(–xy + ab + yc) = = (ab + cy – xz)2.

71

4. Ecuaţia dreptei AB este: x

y

1

− 2m 3

1

1 = 0 ⇔ x + m + y(3− m) − 3 + m + 2m ⋅ y + x = 0 ⇔ 6 3 4

3− m − 1 1 4 ⇔ 15x + (36 − 4m) y + (14m − 36) = 0

d (C , AB) = 3 ⇔

15 + 2(36 − 4m) + 14m − 36 225 + (36 − 4m)2

= 3, m ∈ m ⇔ 6m + 51 = 3 ⋅

⋅ 225 + (36 − 4m)2 , m ∈ m ⇔ 2m + 17 = 225 + (36 − 4m)2 , m ∈ m .

După ridicare la pătrat se obţine ecuaţia de gradul doi: 6m2 – 178m + 616 = 0 cu soluţia întreagă m = 4.

72

Capitolul III. Sisteme de ecuaţii liniare 3.1. Matrice inversabile din Mn ( ) Exersare E1. Rezolvare: O matrice pătratică este inversabilă dacă şi numai dacă determinantul ei este nenul. −2 5 ⎛ −2 5 ⎞ a) = −6 − 20 = −26 ≠ 0 ; matricea ⎜ ⎟ este inversabilă; 4 3 ⎝ 4 3⎠

2 −5 ⎛ 2 −5 ⎞ =−14 +15 =1≠ 0 ; matricea ⎜ ⎟ este inversabilă; 3 −7 ⎝ 3 −7 ⎠ 5 −2 ⎛ 5 − 2⎞ 2 3 3 ⎟ este inversabilă; c) = 10 + 6 = 16 ≠ 0 ; matricea ⎜ 2 ⎜ ⎟ 9 4 ⎝9 4 ⎠ 2 −1 ⎛ 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ = + = ≠ ; matricea d) 1 1 2 0 2 2 ⎟ este inversabilă. ⎜ 1 1 ⎝ 2 2 ⎠ b)

E2. Rezolvare:

Vom folosi formula: A−1 =

1 ⋅ A* . det( A)

2 −1 = −10 + 8 = −2 ≠ 0 8 −5 ⎛2 8 ⎞ * ⎛ δ11 δ12 ⎞ t A =⎜ ⎟, unde δij sunt complemenţii algebrici ai elementelor aij ale ⎟; A =⎜ ⎝−1 −5⎠ ⎝ δ21 δ22 ⎠

a) det( A) =

matricei transpuse tA . ⎛ −5 1 ⎞ ⎛ −5 1 ⎞ Aşadar, A* = ⎜ şi A−1 = − 1 ⋅ ⎜ . ⎟ 2 ⎝ −8 2 ⎟⎠ ⎝ −8 2 ⎠ −8 6 b) det( A) = 2 = 2 − 4 = −2 ≠ 0 . −1 3 4 ⎛ ⎞ 2 ⎛ − 1 −6 ⎞ ⎜−8 3 ⎟ ⎜ 4 ⎟ t * A =⎜ ⎟ şi A = ⎜ ⎟. 1 2 ⎜6 − ⎟ ⎜− −8 ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛ − 1 −6 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜8 Rezultă că A−1 = − 1 ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜1 2 2 ⎜− −8 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠

⎛−1 0⎞ −1 0 ⎛1 0 ⎞ * =−1≠ 0; tA =⎜ ⎟ şi A = ⎜ ⎟. 0 1 ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 −1⎠ ⎛ −1 0 ⎞ Rezultă că A−1 = − A* = ⎜ ⎟. ⎝ 0 1⎠

c) det( A) =

73

⎛ 3 2 2⎞ 3 2 = 9 − 4 = 5 ≠ 0; tA =⎜ ⎟ 2 2 3 3 ⎝ 2 3 3⎠ ⎛ 3 3 − 2⎞ 1⋅⎛ 3 3 − 2 ⎞ −1 = A şi A* = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 5 ⎝−2 2 3⎠ 3 ⎠ ⎝ −2 2

d) det A =

⎛1 1 2⎞ ⎛1 1 1 1 0 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e) det A = 1 1 0 =−1 ≠ 0, tA =⎜1 1 1 ⎟, A* =⎜−1 −1 1 ⎟ şi ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 1 1 0⎠ ⎝1 0 1 ⎠ ⎝−1 1 ⎛ −1 0 1 ⎞ −1 * A = − A = ⎜⎜ 1 1 −1⎟⎟ ; ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛2 0 ⎛5 2 1 3 0⎞ 5 7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f) det A = 0 −1 4 =10; tA =⎜ 1 −1 0 ⎟, A* =⎜ 0 −10 −8⎟ şi A−1 = 1 ⋅ A* . 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 −5 0 −2⎠ ⎝ 3 4 −5⎠ ⎝0 3 −2 0 g) det( A) = 0 2 2 = −18 − 4 + 12 = −10 1 −2 −3 ⎛ 3 0 1⎞ ⎛−2 −6 −4⎞ ⎜ ⎟ * ⎜ ⎟ t A =⎜−2 2 −2⎟, A =⎜ 2 −9 −6⎟ şi A−1 = − 1 ⋅ A* 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6⎠ ⎝ 0 2 −3⎠ ⎝−2 4 ⎛1 2 1⎞ 1 3 2 ⎛ −2 1 3 ⎞ ⎜ ⎟ * ⎜ t h) det( A) = 2 0 1 = 8 + 3− 6 − 2 = 3, A =⎜ 3 0 2⎟; A = ⎜ −1 −1 3 ⎟⎟ ; A−1 = 1 ⋅ A* . 3 ⎜ ⎟ ⎜ 4 1 −6 ⎟ 1 2 1 ⎝ 2 1 1⎠ ⎝ ⎠ E3. Rezolvare: Pentru fiecare matrice se pune condiţia ca determinantul să fie nenul. 2 m =−12 − 3m ≠ 0 ⇒ m ≠−4 ⇒ m ∈ \{−4} ; a) 3 −6

b)

m

5

−20 m

= m2 +100 ≠ 0 ⇒ m ≠±10i ⇒ m ∈

\{−10i , 10i} ;

m−3 7 = m2 − m − 20 ≠ 0 . m+2 2 2 Dacă m – m – 20 = 0 ⇒ ∆ = 81 şi m1,2 i {–4, 5}. Rezultă că matricea este inversabilă dacă m i \ {–4, 5}. c)

d)

m2 − 3m m m −3

1

= ( m − 3)

m m 1

1

= 0, ∀m ∈

. Rezultă că m ∈ Φ .

74

m m +1 2 −3 = 3m2 + 2m − 1 ≠ 0 . 1 e) 1 0 m 1

{ }

Dacă 3m2 + 2m − 1 = 0 ⇒ m ∈ −1, 1 . 3

Rezultă că matricea este inversabilă dacă m ∈

{

}

\ −1, 1 . 3

m2 4 3 f) 2 −1 0 = −6m2 − 6 ≠ 0 . m2 11 9 Dacă –6m2 – 6 = 0 ⇒ m i {–i, i}. Rezultă că matricea este inversabilă pentru m i

\ {–i, i}

2+m 1 1 g) m m − 1 1 = m2 − 3m = m(m − 3) ≠ 0 . 1 m 1 \ {0, 3}.

Rezultă că m i 3m + 1 −1 2 h)

4 2

7

m − 7 = 1 (3m2 + 354m − 357) ≠ 0 . 2 4 −1 7 9

Dacă 3m2 + 354m – 357 = 0, împărţind cu 3 rezultă ecuaţia m2 + 118m – 119 = 0 pentru care

∆ = 1182 – 476 = 14400.

Se obţine m1 = 1, m2 = –19. Aşadar, matricea este inversabilă pentru m i

\ {1, –19}.

E4. Rezolvare: a) det(A) = –2 @ 0; det(B) = –1 @ 0. det(AB) = det(BA) = det(A) · det(B) = 2 @ 0. Rezultă că matricele A, B, AB, BA sunt inversabile. ⎛ −5 1 ⎞ ⎛ −1 −4 ⎞ * ⎛ 10 −2 ⎞ −1 1 ⋅ A* = ⎜ ⎟. A = − • tA = ⎜ A = şi , ⎟ ⎜ 4 −1 ⎟ 2 ⎜ −2 1 ⎟ ⎝ 2 10 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 7 3 2 5 2 5 − − * −1 * • t B =⎜ ⎟, B =⎜ ⎟, B =−B =⎜ ⎟ ⎝ 5 2⎠ ⎝−3 7 ⎠ ⎝ 3 −7 ⎠ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 7 5 ⎞ ⎛ −1 −1⎞ • AB = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ , det(AB) = 2 ⎝ −4 10 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 2 0 ⎠ t

1 ⎞ ⎛ ⎛−1 2⎞ ⎛ 0 +1⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎜0 2 ⎟ −1 * 1 =⎜ ( AB) =⎜ ⎟, ( AB) =⎜ ⎟ şi ( AB) = ⋅ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎝ −2 −1⎠ ⎝−1 0⎠ ⎝−2 −1⎠ ⎜ −1 − 1 ⎟ ⎝ 2⎠

75

⎛ 7 5 ⎞⎛ −1

2 ⎞ ⎛ −27 64 ⎞

• BA = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ , det(BA) = 2 ⎝ 3 2 ⎠⎝ −4 10 ⎠ ⎝ −11 26 ⎠ ⎛−27 −11⎞ ⎛ 26 −64⎞ * (BA) =⎜ ⎟, (BA) =⎜ ⎟ 26 ⎠ ⎝ 64 ⎝ 11 −27 ⎠ ⎛ 13 −32 ⎞ Rezultă că (BA)−1 = 1 ⋅ (BA)* = ⎜ 11 27 ⎟ 2 ⎜ − ⎟ ⎝2 2⎠ t

b) Se verifică prin calcul, folosind rezultatele de la punctul a) ⎛ −1 2 ⎞⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −7 18 ⎞ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ −4 10 ⎠⎝ −4 10 ⎠ ⎝ −36 92 ⎠ ⎛−7 −36⎞ det A2 = (det A)2 = 4; t ( A2 ) =⎜ ⎟ ⎝ 18 92 ⎠ ⎛ −2 −18 ⎞ ( A2 )* = ⎜ ⎟. ⎝ 36 −7 ⎠ ⎛ 9⎞ ⎛92 −18⎞ ⎜ 23 − 2 ⎟ 1 2 −1 Rezultă că ( A ) = ⋅⎜ =⎜ ⎟ 4 ⎝36 −7 ⎟ ⎠ ⎜ 9 −7 ⎟ ⎝ 4⎠

c) • A2 = ⎜

9 ⎛ −5 1 ⎞⎛ −5 1 ⎞ ⎛ 23 − ⎞ ⎜ 2⎟ ⎟⎜ ⎟= (A ) = ⎜ . ⎜ −2 1 ⎟⎜ −2 1 ⎟ ⎜⎜ 9 − 7 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ 2 −1 −1 2 Aşadar, ( A ) = ( A ) . −1 2

⎛ 7 5 ⎞⎛ 7 5 ⎞ ⎛ 64 45 ⎞ 2 2 ⎟⎜ 3 2 ⎟ = ⎜ 27 19 ⎟ ; det(B ) = (det(B)) = 1 . 3 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 64 27 19 −45⎞ t 2 * (B2 ) =⎜ ⎟, (B ) =⎜ ⎟. ⎝ 45 19 ⎠ ⎝−27 64 ⎠

• B2 = ⎜

Rezultă că (B2 )−1 = (B2 )* . ⎛ −2 5 ⎞⎛ −2 5 ⎞ ⎛ 19 −45 ⎞ (B−1)2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 3 −7 ⎠⎝ 3 −7 ⎠ ⎝ −27 64 ⎠ Aşadar, (B2 )−1 = (B−1)2 .

E5. Rezolvare: Se foloseşte formula (A–1)–1 = A. ⎛ −5

8⎞

⎝ 2 5 19 det( A ) = − + 12 = . 2 2 ⎛ ⎛1 ⎞ 3⎞ ⎜−5 − 2 ⎟ −1 * ⎜ 2 −8⎟ t −1 ( A ) =⎜ ⎟, ( A ) =⎜ ⎟. 1 ⎟ ⎜8 ⎜ 3 −5⎟ ⎝ ⎝2 ⎠ 2 ⎠

2⎠

a) Determinăm inversa matricei A−1 = ⎜ 3 1 ⎟ . ⎜− ⎟ −1

76

⎛ 1 −8 ⎞ ⎟ 2 Rezultă că ( A ) = A = ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟. 19 3 ⎜ −5 ⎟ ⎝2 ⎠ −1 −1

⎛ −1 4 ⎞ ⎟ ⎝ 0 2⎠

b) det(A–1) = –2; t ( A−1) = ⎜

−1 0 ⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛ ⎛ 2 0⎞ ⎟. =⎜ şi ( A−1)−1 = A = − 1 ⋅ ⎜ ( A−1)* = ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎝ −4 −1⎠ ⎜ 2 1 ⎟ ⎝ −4 −1⎠ ⎝ 2⎠ −2 0 1 c) det(A ) = 1; ( A ) = −1 4 −2 ; 1 −1 0 –1

t

−1

⎛ −2 ( A ) = ⎜⎜ −1 ⎜ ⎝ −4 1 5 −1 d) det A = 0 1 5 1 5 t −1 11 (A ) = 5 −7 5

−2 −3 ⎞ ⎛ −2 −2 −3 ⎞ ⎟ −1 −1 −1 −2 ⎟ şi ( A ) = A = ⎜⎜ −1 −1 −2 ⎟⎟ ⎜ ⎟ −5 −8 ⎠⎟ ⎝ −4 −5 −8 ⎠ 11 − 7 1 11 −7 5 5 1 −2 1 = ⋅ 0 −2 1 = 1 ⋅ (−5) = − 1 . 25 25 5 1 −4 3 −4 3 5 5 1 ⎛−2 −1 −3⎞ 0 ⎜ 5 5 5 5⎟ ⎜ 1 ⎟ −1 * 4 2 1 −2 − ; ( A ) = ⎜ − ⎟. 5 5 5⎟ ⎜ 5 3 3 − 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 1 5 5 5⎠ ⎝ 5 ⎛ +2 +1 +3 ⎞ −1 −1 −1 * Rezultă că ( A ) = A = −5( A ) = ⎜⎜ −1 −2 1 ⎟⎟ . ⎜ −2 −3 2 ⎟ ⎝ ⎠ −1 *

Sinteză S1. Rezolvare: ⎛ 2x 2 x 5x x x = − = Rezultă că matricea 20 20 0 ⎜ x 4x 10x ⎝4 lg1 2 0 2 b) = = 4 ≠ 0 . Rezultă că matricea −2 lg 5 −2 lg 5

a)

⎛ lg1 2 ⎞ ⎜ −2 lg 5 ⎟ este inversabilă. ⎝ ⎠

⎛ 0! 3 ⎞ = 4!− 24 = 0 . Matricea ⎜ ⎟ nu este inversabilă. 8 4! ⎝ 8 4!⎠ 6 6 C 2 A32 d) 4 = = 6 + 6 = 12 ≠ 0 ; −1 1 −1 1

c)

0! 3

5x ⎞ ⎟ nu este inversabilă. 10x ⎠

⎛ C42

A32 ⎞ ⎟ este inversabilă. ⎝ −1 1 ⎠

Rezultă că matricea ⎜

77

S2. Rezolvare: ⎛i

−i2 ⎞ ⎛ i 1 ⎞ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 3 −4i ⎠ ⎝ 3 −4i ⎠

a) A = ⎜

det(A) = –4i2 – 3 = 4 – 3 = 1. t

⎛ i 3 ⎞ * ⎛−4i −1⎞ A =⎜ ⎟; A =⎜ ⎟. ⎝1 −4i ⎠ ⎝ −3 i ⎠

Rezultă că A–1 = A*. ⎛ 2+ 3 ⎝ 1+ i

b) A = ⎜ t

⎛ 2+ 3 A =⎜ ⎝ 1− i

1− i 3−

⎞ 2 ⎟ ; detA = (3 – 2) – (1 – i ) = –1. 2⎠ 1+ i ⎞ * ⎛ 3 − 2 −1+ i ⎞ ⎟, A =⎜ ⎟. 3− 2⎠ 2 + 3⎠ ⎝ −1− i

Rezultă că A–1 = –A*. ⎛ sin x

cos x ⎞

2 2 c) A = ⎜ ⎟ , detA = sin x + cos x = 1 − x x cos sin ⎝ ⎠ t

⎛ sin x −cos x ⎞ ⎛ sin x −cos x ⎞ * A =⎜ ⎟ iar A =⎜ ⎟ ⎝ cos x sin x ⎠ ⎝ cos x sin x ⎠

Rezultă că A–1 = A*.

⎛ 2 1 ⎞ ⎜ −1 Cm Cm ⎟ d) A = ⎜ 4 −3 5 ⎟ ; ⎜ ⎟ ⎜⎜ − 1 3 2 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ det( A) = 21 (−m2 + 3m + 4) , m i q, m U 2. 4

Din det(A) = 0, rezultă că m = 4. Aşadar, A este inversabilă dacă şi numai dacă m i q* \ {1, 4} şi A−1 =

1 ⋅ A* . det( A)

S3. Rezolvare: Pentru fiecare matrice A punem condiţia ca det(A) @ 0, ¼x i Z. a) detA = (m – 1)x2 – 2x + 2m – 3. Punem condiţia ca (m – 1)x2 – 2x + 2m – 3 @ 0, ¼x i Z. Rezultă că discriminantul ∆ al ecuaţiei (m – 1)x2 – 2x + 2m – 3 = 0 este număr negativ.

(

)

Aşadar 4 – 4(m – 1)(2m – 3) < 0 ⇔ 2m2 – 5m + 2 > 0 ⇔ m ∈ −∞, 1 ∪ (2, +∞) . 2

b) detA @ 0, ¼x i Z ⇔ (1 – m)x2 – x – 3m + 2 @ 0, ¼x i Z ® ⇔ ∆ < 0 ® 1 – 4(1 – m)(2 – 3m) < 0. Se obţine inecuaţia de gradul doi 12m2 – 20m + 7 > 0 cu mulţimea soluţiilor

(−∞ , 12 ) ∪ ( 76 ; + ∞ ) .

c) detA @ 0, ¼x i Z ® (m + 2)x + 7 – 4m @ 0, ¼x i Z ⇔ m + 2 = 0 şi 7 – 4m @ 0. Rezultă că m = –2. S4. Rezolvare: Condiţia A* = A–1 este echivalentă cu faptul că det(A) = 1.

78

a) det(A) = 1 ® –2m – 13 = 1 ® m = –7;

{2 }

b) det( A) = 1 ⇔ 2m2 −17m + 9 = 1 ⇔ m ∈ 1 ; 8 ; c) det( A) =1 ⇔ 10m −1=1 ⇔ m = 1 ; 5

d) det(A) = 1 ® –2 · 4m + 3 · 2m + 3 = 1 ® –2 · 4 m + 3 · 2m + 2 = 0. Notăm 2m = y şi se obţine ecuaţia de gradul al doilea: –2y2 + 3y + 2 = 0 cu soluţiile: y1 = 2, y2 = − 1 . 2

Revenind la notaţie se obţine m = 1. S5. Rezolvare: a) Pornim de la ipoteza AB = BA. Înmulţim egalitatea matriceală cu B–1, pe partea dreaptă şi obţinem: ABB–1 = BAB–1 ® A = BAB–1. Înmulţim această egalitate în partea stângă cu B–1 şi obţinem: B–1A = B–1BAB–1 ® B–1A = AB–1, ceea ce trebuia demonstrat.

b) Înmulţim egalitatea AB = BA, în partea stângă, cu A–1 şi obţinem: A–1AB = A–1BA ® B = A–1BA. Înmulţim această ultimă egalitate în partea dreaptă cu A–1 şi se obţine BA–1 = A–1B, ceea ce trebuia arătat. c) În egalitatea de la a) înmulţim în stânga cu A–1 şi se obţine B–1 = A–1B–1A. Înmulţim acum cu A–1 în dreapta şi obţinem B–1A–1 = A–1B–1. S6. Rezolvare: ⎛ 1 1 −1 ⎞⎛ 1 1 −1 ⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ a) (I3 − A)(I3 + A) = I + I3 A − AI3 − A = I3 − A = I3 − ⎜ 2 2 −2 ⎟⎜ 2 2 −2 ⎟ = I3 − ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ = I3 . ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 3 −3 ⎠⎝ 3 3 −3 ⎠ ⎝ 0 0 0⎠ b) Deoarece (I3 − A)(I3 + A) = (I3 + A)(I3 − A) = I3 , rezultă că I3 – A este inversabilă şi 2 3

2

2

(I3 – A)–1 = (I3 + A). Observaţie. Se poate deduce prin calcul că I3 – A este inversabilă şi apoi i se determină inversa după

(

)

regula cunoscută B−1 = 1 ⋅ B* . det B

79

3.2. Ecuaţii matriceale Exersare E1. Rezolvare: ⎛1 2⎞

⎛ 2 1⎞

a) Ecuaţia este de forma XA = B unde A = ⎜ ⎟ , B = ⎜ 3 1⎟ . ⎝3 5⎠ ⎝ ⎠ Deoarece det(A) = –1, rezultă că A este inversabilă şi ecuaţia matriceală dată este echivalentă cu X = B · A–1. 1 ⋅ A* = − ⎛ 5 −2 ⎞ = ⎛ −5 2 ⎞ . ⎜ −3 1 ⎟ ⎜ 3 −1⎟ det( A) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 − 5 2 − 7 3 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Rezultă că X = ⎜ ⎟⎜ 3 −1⎟ = ⎜ −12 5 ⎟ . 3 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dar A−1 =

⎛ 2 1⎞ ⎛1 2⎞ ⎜ ⎟ b) Ecuaţia este de forma XA = B, unde A = ⎜ ⎟ , B = ⎜ 3 1⎟ . 3 5 ⎝ ⎠ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠

Deoarece det(A) = –1, rezultă că există A–1 şi ecuaţia matriceală este echivalentă cu X = BA–1. −2 ⎞ ⎛ −5 2 ⎞ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ −3 1 ⎠ ⎝ 3 −1⎠

⎛5 Dar A−1 = 1 ⋅ A* = − ⎜ det A

⎛ 2 1⎞ ⎛ −7 3 ⎞ ⎛ −5 2 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ Rezultă că X = ⎜ 3 1⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ −12 5 ⎟ . 3 1 − ⎠ ⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3 −1⎠ ⎛ 2 3⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ,B = ⎜ ⎟ ⎟. ⎝ 3 4⎠ ⎝ 1 0⎠

c) Ecuaţia este de forma AX = B, unde A = ⎜

Deoarece det(A) = –1, rezultă că există A–1 şi se obţine soluţia X = A–1B. 1 ⋅ A* = − A* = − ⎛ 4 −3 ⎞ = ⎛ −4 3 ⎞ . ⎜ −3 2 ⎟ ⎜ 3 −2 ⎟ det( A) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −4 3 ⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ 7 −4 ⎞ Rezultă că X = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 3 −2 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ −5 +3 ⎠

Dar A−1 =

⎛2

1⎞

⎛ 3i

1⎞

d) Ecuaţia este de forma A = BX unde A = ⎜ ⎟ şi B = ⎜ −5 2i ⎟ . ⎝ −1 −1⎠ ⎝ ⎠ Deoarece det(B) = –1, rezultă că matricea B este inversabilă şi 1 ⋅ B* = −B* = − ⎛ 2i −1⎞ = ⎛ −2i 1 ⎞ . ⎜ 5 3i ⎟ ⎜ −5 −3i ⎟ det(B) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 2 i 1 2 1 − 4 i − 1 −2i − 1 ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ =⎜ Rezultă că soluţia ecuaţiei este X = B−1 A = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟. ⎝ −5 −3i ⎠⎝ −1 −1⎠ ⎝ −10 + 3i −5 + 3i ⎠ B−1 =

E2. Rezolvare: ⎛ 3 2⎞

⎛ 4 1⎞

a) Ecuaţia este de tipul AXB = C, unde A = ⎜ ⎟ , B = ⎜ 5 1⎟ şi C = I2. Deoarece det(A) = 1, ⎝ 4 3⎠ ⎝ ⎠ –1 –1 det(B) = –1, rezultă că există A şi B , iar soluţia ecuaţiei matriceale este X = A–1CB–1. 80

1 ⋅ A* = A* = ⎛ 3 −2 ⎞ şi B−1 = 1 ⋅ B* = −B* = − ⎛ 1 −1⎞ = ⎛ −1 1 ⎞ . ⎜ −4 3 ⎟ ⎜ −5 4 ⎟ ⎜ 5 −4 ⎟ det( A) det(B) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 − 2 1 0 − 1 1 3 − 2 − 1 1 − 13 11 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Rezultă că X = ⎜ ⎟⎜ 0 1 ⎟⎜ 5 −4 ⎟ = ⎜ −4 3 ⎟⎜ 5 −4 ⎟ = ⎜ 19 −16 ⎟ . 4 3 − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dar A−1 =

⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛2 8 ⎞ , B=⎜ ,C =⎜ ⎟ ⎟ ⎟. 1⎠ ⎝0 3 ⎠ ⎝ 8 −10 ⎠

b) Ecuaţia este de forma A · Y · B = C, unde A = ⎜ ⎝3 Deoarece det(A) = –7 şi det(B) = 6 rezultă că există este de forma: Y = A–1CB–1.

A–1 şi B–1, iar soluţia ecuaţiei matriceale

1 ⋅ A* = − 1 ⋅ ⎛ 1 −2 ⎞ = 1 ⎛ −1 2 ⎞ det( A) 7 ⎜⎝ −3 −1 ⎟⎠ 7 ⎜⎝ 3 1 ⎟⎠ ⎛ 3 1⎞ . B−1 = 1 ⋅ B* = 1 B* = 1 ⎜ det(B) 6 6 ⎝ 0 2 ⎟⎠

Dar A−1 =

Se obţine

⎛ −1 2 ⎞ ⎛ 2 8 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ 1 ⎛14 −28 ⎞⎛ 3 1 ⎞ 1 ⎛ 42 −42 ⎞ ⎛1 −1⎞ ⋅ ⋅ = Y = 1 ⋅1⎜ ⎟= ⎜ ⎟=⎜ ⎟. 7 6 ⎝ 3 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 −10 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 ⎟⎠ 42 ⎜⎝14 14 ⎟⎜ ⎠⎝ 0 2 ⎠ 42 ⎝ 42 42 ⎠ ⎝1 1 ⎠

c) Ecuaţia se scrie succesiv sub forme echivalente astfel: ⎛ 1 0⎞ ⎛ −2 1 ⎞ ⎛ 5 4 ⎞ ⎛ −2 2 ⎞ ⎛ 3 0 ⎞ ⎛ 1 ⎜ 2 1⎟ ⋅ X ⋅ ⎜ 2 0⎟ − ⎜ 1 2⎟ = ⎜ 6 0⎟ − ⎜ 0 3⎟ ⇔ ⎜ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 0 ⎛ ⎞ ⎛ −2 , B=⎜ Ecuaţia s-a adus la forma AXB = C unde A = ⎜ ⎟ ⎝ 2 1⎠ ⎝ 2

0 ⎞ ⎛ −2 X 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 1⎞ ⎛0 ,C =⎜ ⎟ 0⎠ ⎝7

1⎞ ⎛ 0 6 ⎞ . = 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 −1⎟⎠ 6⎞ . −1⎟⎠

Deoarece det(A) = 1, det(B) = –2, rezultă că A şi B sunt inversabile şi soluţia ecuaţiei matriceale este de forma X = A–1CB–1. Dar A−1 =

1 ⋅ A* = A* = ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ −2 1 ⎟ det( A) ⎝ ⎠

⎛ 1 ⋅ B* = − 1 ⋅ ⎛ 0 −1 ⎞ = ⎜ 0 det(B) 2 ⎜⎝ −2 −2 ⎟⎠ ⎜ ⎝1 ⎛ 1 0 ⎞⎛ 0 6 ⎞ ⎛ 0 Se obţine soluţia X = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ −2 1 ⎠⎝ 7 −1⎠ ⎜⎝ 1 B−1 =

1⎞ 2⎟ . 1 ⎠⎟ 1⎞ 0 6 ⎛0 1⎞ ⎛ 6 6 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ = ⎜ 2 = ⎟⎜ 19 ⎟⎟ . ⎟ ⎟ ⎜ 7 13 − 13 − − ⎝ ⎠ 1⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝ 2⎠

E3. Rezolvare: a) Ecuaţia este de tipul AX = B. Deoarece det(A) = 3, rezultă că există A–1 şi ecuaţia matriceală are soluţia X = A–1B. ⎛−2 3 ⎛10 7 2 ⎞ 1⎞ ⎛10 7 2 ⎞ ⎜ ⎟ * ⎜ ⎟ −1 1 Dar A =⎜ 3 −4 −1⎟, A =⎜ 8 5 1 ⎟ şi A = ⋅ ⎜⎜ 8 5 1 ⎟⎟ . 3 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝−1 2 −2⎠ ⎝ 1 1 −1⎠ ⎝ 1 1 −1⎠ t

⎛ 6⎞ ⎛ 2⎞ ⎛10 7 2 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 Rezultă că X = ⋅ ⎜ 8 5 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜⎜ 6 ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ . 3 ⎜ ⎟⎜ ⎟ 3 ⎜ 3 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ 1 1 −1⎠⎝ −2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Ecuaţia este de forma X · A = B. Deoarece det(A) = –1, rezultă că există A–1 şi ecuaţia matriceală are soluţia X = BA–1. 81

⎛1 1 1⎞ ⎛ −1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 1 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ * −1 Dar A = ⎜ −1 0 −1⎟ , A = ⎜ −2 −1 3 ⎟ şi A = ⎜⎜ 2 1 −3 ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 −1⎟ ⎝ 2 −1 1 ⎠ ⎝ −1 0 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 1 −1⎞ ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎜ ⎛ −2 −1 4 ⎞ Rezultă că X = ⎜ ⋅ ⎜ 2 1 −3 ⎟⎟ = ⎜ ⎟ ⎟. ⎝ 0 −1 3 ⎠ ⎜ ⎝ 1 −1 0 ⎠ ⎟ ⎝ 1 0 −1⎠ t

c) Ecuaţia matriceală este de tipul AXB = C. Avem: det(A) = –1 şi det(B) = 1. Rezultă că matricele A şi B sunt inversabile, deci soluţia ecuaţiei matriceale se poate scrie sub forma X = A–1CB–1. Să calculăm A–1 şi B–1. ⎛ 2 1 −1⎞ ⎛ −1 4 3 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ * −1 • Avem A = ⎜ 2 −1 2 ⎟ , A = ⎜ −1 5 3 ⎟ şi A = ⎜⎜ 1 ⎜3 0 1 ⎟ ⎜ 1 −6 −4 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −1 ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 −2 7 ⎞ ⎜ ⎟ t * • B = ⎜ 2 1 0 ⎟ , B = ⎜⎜ 0 1 −2 ⎟⎟ şi B–1 = B*. ⎜ −3 2 1 ⎟ ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −4 −3 ⎞⎛ 0 −1 −1⎞⎛ 1 −2 ⎟⎜ −1 −1 Rezultă că X = A CB = ⎜⎜ 1 −5 −3 ⎟⎜ ⎟⎜ 0 1 1 ⎟⎜ 0 1 ⎜ −1 6 4 ⎟⎜ 0 0 1 ⎟⎜ 0 0 ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ t

−4 −3 ⎞ −5 −3 ⎟⎟ . 6 4 ⎠⎟

7 ⎞ ⎛ 0 −5 −8 ⎞⎛ 1 −2 7 ⎞ ⎟ −2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 −6 −9 ⎟⎜ ⎟⎜ 0 1 −2 ⎟ = ⎟ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 7 11 ⎟⎜ ⎠⎝ 0 0 1 ⎠

⎛ 0 −5 2 ⎞ = ⎜⎜ 0 −6 3 ⎟⎟ . ⎜ 0 7 −3 ⎟ ⎝ ⎠

E4. Rezolvare: a) Să calculăm det(A) şi det(B). Avem: det(A) = 2 şi det(B) = –1. Rezultă că matricele A şi B sunt inversabile, caz în care soluţia ecuaţiei matriceale se scrie sub forma X = A–1CB–1. Să determinăm A–1 şi B–1. ⎛1 Avem: A = ⎜⎜ −1 ⎜1 ⎝ ⎛2 t B=⎜ ⎝3 t

1 0⎞ ⎛1 1 ⎟ * 1 0 ⎟ , A = ⎜⎜ −1 1 ⎜0 0 1 1 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎞ * ⎛ 4 −3 ⎞ , B =⎜ ⎟ şi 4 ⎟⎠ ⎝ −3 2 ⎠

−2 ⎞ 0 ⎟⎟ şi A−1 = 1 ⋅ A* . 2 2 ⎟⎠ ⎛ −4 3 ⎞ B−1 = −B* = ⎜ ⎟. ⎝ 3 −2 ⎠

⎛ 1 1 −2 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 3 −1⎞ ⎛ −15 11 ⎞ ⎛ −4 3 ⎞ 1 ⎜ ⎛ −4 3 ⎞ 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 1 −1 ⎟⎟ . Rezultă că X = ⎜ −1 1 0 ⎟ ⋅ ⎜ 1 0 ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 2 ⎜ −1 −1⎟ ⋅ ⎜ 3 −2 ⎟ = 2 ⎜ 1 2⎜ − 3 2 ⎠ ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎜0 2⎟ ⎝ ⎜ 6 −4 ⎟ ⎝ 0 0 2 ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Deoarece A şi B sunt matrice inversabile, soluţia ecuaţiei matriceale BXA = tC este X = B–1 · tC · A–1, adică ⎛ 1 1 −2 ⎞ ⎛ 1 1 −2 ⎞ ⎛ −4 3 ⎞ ⎛ 2 1 0 ⎞ 1 ⎜ ⎛ −5 −4 3 ⎞ 1 ⎜ ⎛ −1 −9 16 ⎞ ⎟ ⋅⎜ ⋅ ⎜ −1 1 0 ⎟ = ⎜ ⋅ ⎜ −1 1 0 ⎟⎟ = 1 ⋅ ⎜ X =⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. 2 2 2 ⎝ 3 −2 ⎠ ⎝ 1 0 1 ⎠ ⎜ ⎝ 4 3 −2 ⎠ ⎜ ⎝ 1 7 −12 ⎠ ⎟ ⎟ ⎝0 0 2⎠ ⎝0 0 2⎠

82

3.4. Metode de rezolvare a sistemelor liniare Exersare E1. Rezolvare: Matricele asociate sistemului de ecuaţii sunt: ⎛3

5⎞

⎛ 7⎞

⎛x⎞

a) A = ⎜ ⎟; B = ⎜ 2⎟; X = ⎜ y ⎟ ⎝ 8 −1⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ b) A = ⎜ 2 −4 ⎟ ; B = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ; X = ⎜ ⎟ . ⎝ y⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 −6 ⎠ ⎝ −8 ⎠ ⎛1 ⎞ ⎛x⎞ ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c) A = ⎜ 4 1 3 ⎟ ; B = ⎜ 0 ⎟ ; X = ⎜⎜ y ⎟⎟ . ⎜ 9 −2 −1⎟ ⎜ 4⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛a⎞ ⎛6 ⎞ ⎛ 1 1 −1⎞ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ ⎟ ; B = ⎜11⎟ ; X = ⎜ b ⎟ 3 − 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝c ⎠ ⎧4x + y − z = 1 ⎪ ⎨(1 − i) x − y + 3z = −2 ⎪(i − 2) x − iy + z = −2 ⎩

e) Sistemul se aduce la forma cea mai simplă:

Matricele asociate sunt:

1 −1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛x⎞ ⎛ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 − i −1 3 ⎟ ; B = ⎜ −2 ⎟ ; X = ⎜⎜ y ⎟⎟ . ⎜ i − 2 −i 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f) Forma simplă a sistemului este:

⎧3x − 4 y − 3z = −11 ⎪ ⎨−3x + 2 y + 3z = −2 ⎪ x − y − 2z = 0 ⎩

Matricele asociate sistemului sunt:

⎛ −11⎞ ⎛x⎞ ⎛ 3 −4 −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −3 2 3 ⎟ ; B = ⎜ −2 ⎟ ; X = ⎜⎜ y ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −1 −2 ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝z⎠

E2. Rezolvare: a) • Verificăm dacă perechea (–3, –2) este soluţie a sistemului înlocuind x = –3, y = –2. ⎧−6 − 2 = −8 (adevărat) ⎩9 + 8 = 10 (fals)

Obţinem: ⎨

Rezultă că (–3, –2) nu e soluţie a sistemului de ecuaţii. • Verificăm dacă perechea (–2, –4) este soluţie, înlocuind x = –2, y = –4. ⎧−4 − 4 = −8 (adevărat) ⎩−6 + 16 = 10 (adevărat)

Obţinem: ⎨

Rezultă că perechea (–2, –4) este soluţie a sistemului de ecuaţii.

83

• Verificăm dacă perechea (–6, 2) este soluţie. ⎧−12 + 2 =−8 (fals)

Obţinem: ⎨

⎩−18 − 8 =10 (fals)

.

Rezultă că (–6, 2) nu este soluţie. • Verificăm dacă perechea (i, 1) este soluţie. Obţinem: 2i + 1 = –8 (fals). Rezultă că (i, 1) nu este soluţie. b) Se verifică pe rând fiecare pereche dacă este soluţie înlocuind pe x cu primul număr şi pe y cu al doilea număr al perechii. Pentru acest sistem verifică perechea (–6, 2). c) Soluţia este perechea (i, 1). d) Soluţia este perechea (i, 1). E3. Rezolvare: a) Se înlocuie x = 1 şi y = –2 şi se obţine succesiv ⎧a + 3 + 6 = 8 ⎧a = −1 ⎧a = −1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎩4 − (2b + 3) ⋅ (−2) = 18 ⎩4b + 10 = 18 ⎩b = 2

b) Se înlocuie x = − 7 , y = −5 şi obţinem succesiv: 4 7 7 ⎧ ⎧a + 3 = 4 ⎧a = 1 ⎪(a + 3) − 4 + 15 = 8 ⎪⎧− 4 (a + 3) = −7 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎩2b + 3 = 5 ⎩b = 1 ⎪⎩−7 + 5(2b + 3) = 18 ⎩⎪5(2b + 3) = 25

( )

E4. Rezolvare: a) Forma matriceală a sistemului de ecuaţii este: ⎛ 3 −4 ⎞ ⎛7⎞ ⎛x⎞ AX = B, unde A = ⎜ ; B = ⎜ ⎟, X = ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2 −3 ⎠ ⎝5⎠ ⎝ y⎠ Deoarece det(A) = –1 @ 0, matricea A este inversabilă şi soluţia ecuaţiei matriceale este: X = A–1B. ⎛ −3 4 ⎞ ⎛ 3 −4 ⎞ Dar A−1 = 1 ⋅ A* = − A* = − ⎜ ⎟=⎜ ⎟. det( A) ⎝ −2 3 ⎠ ⎝ 2 −3 ⎠ ⎛ 3 −4 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Se obţine soluţia X = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . ⎝ 2 −3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ −1⎠ Aşadar, soluţia sistemului este perechea de numere reale (1, –1).

b) Forma matriceală a sistemului de ecuaţii este: AX = B, unde ⎛ 2 −3 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛x⎞ , B = ⎜ ⎟, X = ⎜ ⎟ . A=⎜ ⎟ ⎝ 5 −7 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ y⎠ Deoarece det(A) = 1, matricea A este inversabilă şi soluţia ecuaţiei matriceale este X = A–1B. ⎛ −7 3 ⎞ Dar A−1 = 1 ⋅ A* = A* = ⎜ ⎟. det( A) ⎝ −5 2 ⎠ 84

⎛ −7 3 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ Rezultă că X = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. ⎝ −5 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 ⎠ Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este perechea de numere reale (2, 1). ⎧x − y = 5 , c) Forma generală a sistemului de ecuaţii este: ⎨ ⎩6 x − 5 y = 2 iar forma matriceală este: ⎛ 1 −1 ⎞ ⎛5⎞ ⎛x⎞ AX = B, unde A = ⎜ , B = ⎜ ⎟, X = ⎜ ⎟ . ⎟ ⎝ 6 −5 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ y⎠ Deoarece det(A) = 1, rezultă că A este matrice inversaiblă, iar soluţia ecuaţiei matriceale este: ⎛ −5 1⎞ X = A–1B, unde A−1 = A* = ⎜ ⎟. ⎝ −6 1 ⎠ ⎛ −5 1⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −23 ⎞ Se obţine X = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. ⎝ −6 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −28 ⎠ Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este perechea de numere reale (–23, –28). d) Forma matriceală a sistemului este ecuaţia matriceală AX = B unde: ⎛ 2 1 −3 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 1 1 ⎟ , B = ⎜10 ⎟ , X = ⎜⎜ y ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 1 2 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝z⎠ ⎛ 1 −5 4 ⎞ −1 * Avem că det(A) = –30, deci există A = 1 A = − 1 ⎜⎜ −11 −5 −14 ⎟⎟ . det( A) 30 ⎜ ⎟ ⎝ 7 −5 −2 ⎠ Soluţia ecuaţiei matriceale este: ⎛ 1 −5 4 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛ −60 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 1 1 X = A ⋅ B = − ⎜ −11 −5 −14 ⎟ ⎜ 10 ⎟ = − ⎜⎜ 30 ⎟⎟ = ⎜⎜ −1 ⎟⎟ . 30 ⎜ 30 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 7 −5 −2 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝ −90 ⎠ ⎝ 3 ⎠ Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul de numere reale (2, –1, 3). e) Forma generală a sistemului de ecuaţii este: ⎧6 x − 3 y + 5 z = 3 ⎪ ⎨ 4 x + 6 y − 5z = 3 , ⎪2 x − 3 y + 10z = 2 ⎩ iar forma matriceală este AX = B, unde ⎛ 6 −3 5 ⎞ ⎛3⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 6 −5 ⎟ , B = ⎜ 3 ⎟ , X = ⎜⎜ y ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 −3 10 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝z⎠ ⎛ 45 15 −15 ⎞ −1 * Avem că det(A) = 300 @ 0, deci există A = 1 ⋅ A = 1 ⋅ ⎜⎜ −50 50 50 ⎟⎟ , det A 300 ⎜ ⎟ ⎝ −24 12 48 ⎠ 85

iar soluţia ecuaţiei matriceale este: ⎛1⎞ 45 15 15 3 150 − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ X = A−1 ⋅ B = 1 ⎜⎜ −50 50 50 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = 1 ⎜⎜100 ⎟⎟ = ⎜ 1 ⎟ . 300 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 300 ⎜ 60 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ −24 12 48 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul 1 , 1 , 1 . 2 3 5

(

)

f) Forma matriceală a sistemului de ecuaţii este: ⎛1 1 1 ⎞ ⎛a⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AX = B unde A = ⎜ 2 5 −3 ⎟ , B = ⎜ b ⎟ , X = ⎜⎜ y ⎟⎟ . ⎜ 1 3 −2 ⎟ ⎜c ⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 5 −8 ⎞ −1 * * 1 Avem că det(A) = 1, deci există A = ⋅ A = A = ⎜⎜ 1 −3 5 ⎟⎟ , iar soluţia ecuaţiei det( A) ⎜ 1 −2 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛−1 5 −8⎞⎛ a ⎞ ⎛ a + 5b −8c ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ b ⎟=⎜ a − 3b + 5c ⎟. matriceale este X = A−1B =⎜ 1 −3 5 ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −2 3 ⎠⎝ c ⎠ ⎝ a − 2b + 3c ⎠ Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul de numere (– a + 5b – 8c, a – 3b + 5c, a – 2b + 3c). E5. Rezolvare: Un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute este de tip Cramer dacă determinantul matricei sistemului este nenul. ⎛ 1 −8 ⎞ a) Matricea sistemului este A = ⎜ ⎟ cu det(A) = 33 @ 0. ⎝3 9 ⎠ Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi are soluţia unică: 5 −8 1 5 dx dy x= , y= , unde dx = = 133 şi dy = = −4 . 11 9 3 11 det( A) det( A) 133 4 Rezultă că: x = , y=− . 33 33

b) Matricele asociate sistemului sunt: ⎛ −1 −5 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛x⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ , X = ⎜ ⎟ . ⎝ 3 15 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ y⎠ Avem că det(A) = 0. Rezultă că sistemul nu este de tip Cramer.

86

⎛ 3⎞ ⎛ 3 −4 2 ⎞ ⎜ ⎟ c) Avem că A = ⎜ 5 1 3 ⎟ , cu det(A) = 3 @ 0 şi B = ⎜⎜ 6 ⎟⎟ . ⎜ −4 ⎟ ⎜ 1 −6 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi are soluţia: dy dz dx , y= , z= , unde: x= det( A) det( A) det( A) 3 −4 2 3 3 2 3 −4

dx = 6 −4 65 Rezultă că x = , 3

3 1 3 = 65; d y = 5 6 3 =−4, d z = 5 1 6 =−101 . 1 −4 1 1 −6 −4 −6 1 4 101 y=− , z=− . 3 3

⎛ 1 −2 2 ⎞ d) Matricea sistemului de ecuaţii este A = ⎜⎜ 2 −1 −1⎟⎟ cu det(A) = 6 @ 0, deci sistemul este ⎜ 1 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠

de tip Cramer.

10 −2 dx = 2 4

2

1 10

−1 −1 = 36, d y = 2 1 −1 1

2 4

2

1 −2 10

−1 = 24, d z = 2 −1 −1 1 1

2 = 36 . 4

Rezultă că soluţia sistemului este: dy dx dz = 6; y = = 4, z = = 6. x= det( A) det( A) det( A) E6. Rezolvare: ⎧x + 2 y = 4 a) ⎨ ⎩2 x + 5 y = 9

⎛1 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛x⎞ Matricele asociate sistemului sunt: A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟, X = ⎜ ⎟ . ⎝2 5⎠ ⎝9⎠ ⎝ y⎠ 4 2 1 4 = 2; d y = = 1. Avem că det(A) = 1, d x = 9 5 2 9 Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este dată de formulele lui Cramer: dx dy x= = 2, y = = 1. det( A) det( A) ⎧−2 x + 5 y = −1 b) ⎨ ⎩3x − 7 y = 2 ⎛ −2 5 ⎞ Matricea sistemului de ecuaţii este A = ⎜ ⎟ cu det(A) = –1. ⎝ 3 −7 ⎠ Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia se află cu formulele lui Cramer: dy −1 5 −2 −1 dx = −3 , d y = = −1 . , y= , unde d x = x= 2 −7 3 2 det( A) det( A) Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este x = 3, y = 1. 87

⎧4 x + 3 y =17 . c) ⎨ ⎩6 x + 5 y =−3 ⎛ 4 3⎞ Matricea sistemului de ecuaţii este A = ⎜ ⎟ cu det(A) = 2. Rezultă că sistemul este de tip ⎝ 6 5⎠ Cramer şi soluţia se află cu formulele lui Cramer: dy dx , y= , x= det( A) det( A) unde: 17 3 4 17 = 94, d y = = −114 . dx = −3 5 6 −3 Se obţine soluţia sistemului de ecuaţii: x = 47, y = –57. ⎧x + y + z = 2 ⎪ d) ⎨2 x + 3 y − z = 5 ⎪3 x + y + 3 z = 4 ⎩ ⎛1 1 1 ⎞ Matricea sistemului este A = ⎜⎜ 2 3 −1⎟⎟ cu det(A) = –6. ⎜3 1 3 ⎟ ⎝ ⎠ Rezultă că sistemul de ecuaţii este de tip Cramer şi soluţia se află folosind formulele lui Cramer: dy dx dz , y= , z= , x= det( A) det( A) det( A) unde 2 1 1 1 2 1 1 1 2 d x = 5 3 −1 = −6; d y = 2 5 −1 = −6; d y = 2 3 5 = 0 . 4 1

3

3 4

3

3 1 4

Rezultă că soluţia sistemului este: x = y = 1, z = 0. ⎧ x + 2 y − 4 z = −2 ⎪ e) ⎨ −3 x + 4 y + z = 13 ⎪2 x − y + 3z = 9 ⎩ ⎛ 1 2 −4 ⎞ ⎜ ⎟ Matricea sistemului este: A = ⎜ −3 4 1 ⎟ cu det(A) = 55. ⎜ 2 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠ Rezultă că sistemul de ecuaţii este de tip Cramer şi soluţia se află cu formulele lui Cramer: dy dx dz , y= , z= , unde x= det( A) det( A) det( A) 1 −2 −4 1 2 −2 −2 2 −4 d x = 13 4 1 = 110; d y = −3 13 1 = 220 , d z = −3 4 13 = 167 . 9

−1

3

2

9

3

Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este: x = 2, y = 4, z = 3. 88

2

−1

9

⎧−2 x + y + 3 z = −1 ⎪ f) Sistemul de ecuaţii are următoarea formă generală: ⎨ x + 3 y + 2 z = 4 . ⎪ x − 3 y + 2 z = 10 ⎩ ⎛ −2 1 3 ⎞ Matricea sistemului de ecuaţii este A = ⎜⎜ 1 3 2 ⎟⎟ cu det(A) = –42. ⎜ 1 −3 2 ⎟ ⎝ ⎠ Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia se calculează cu formulele lui Cramer: dy dx dz , y= , z= , unde: x= det( A) det( A) det( A) −1 1 3 −2 −1 3 −2 1 −1 d x = 4 3 2 = −126; d y = 1 4 2 = 42, d z = 1 3 4 = −84 . 10 −3 2

1

10 2

−3 10

1

Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este: x = 3, y = –1, z = 2. E7. Rezolvare: −3

2

1

a) Calculăm det( A) = 4 −1 2 = 9 + 8 − 20 − 5 − 24 + 12 = −20 . −5 2 3 ⎛ −7 −4 5 ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ * Rezultă că A este matrice inversabilă şi A = ⋅ A = − ⋅ ⎜ −22 −4 10 ⎟ . det( A) 20 ⎜ ⎟ ⎝ 3 −4 −5 ⎠ Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este X = A–1B, adică: ⎛ −7 −5 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −20 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ X = − ⎜ −22 −4 10 ⎟ ⋅ ⎜ 8 ⎟ = − ⎜ −40 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ . 20 ⎜ 20 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 −4 −5 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ −60 ⎠ ⎝ 3 ⎠ −1

⎧−3x + 2 y + z = 4 ⎪ b) Sistemul de ecuaţii este: ⎨4 x − y + 2 z = 8 . ⎪ ⎩−5 x + 2 y + 3z = 8 ⎛−1 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ c) Matricea sistemului este A =⎜ 4 −1 2⎟. ⎜ ⎟ ⎝−5 2 3⎠ Avem că det(A) = –20. Formulele Cramer sunt: x = 4

2

1

dy dx dz , y= , z= , det( A) det( A) det( A) −3 4 1 −3 2

4

unde d x = 8 −1 2 = −20, d y = 4 8 2 = −40, d z = 4 −1 8 = −60 . 8 2 3 −5 8 3 −5 2 8 Se obţinem soluţia: x = 1; y = 2, z = 3. 89

E8. Rezolvare: ⎧ ⎪ x + y = 4 ⋅(−2) a) ⎨ . ⎪2 x + 3 y = 9 ⎩ Eliminăm necunoscuta x din a doua ecuaţie înmulţind prima ecuaţie cu (–2) şi adunând-o la a doua. Se obţine sistemul echivalent: ⎧x + y = 4 ⎧x = 4 − y ⎧x = 3 ~⎨ ~⎨ . ⎨ ⎩ y =1 ⎩y =1 ⎩y =1 Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este perechea (3, 1).

⎧2 x + y = 3 b) ⎨ ⎩x + 2 y = 0

⎧ ⎪ x + 2 y = 0 ⋅(−2) Permutăm cele două ecuaţii şi observăm sistemul: ⎨ ⎪2 x + y = 3 ⎩ Eliminăm necunoscuta x din a doua ecuaţie înmulţind prima ecuaţie cu (–2) şi aduând-o la cealaltă. ⎧x + 2 y = 0 . Se obţine: ⎨ ⎩ −3 y = 3 Rezultă că y = –1 şi x = 2. Aşadar soluţia sistemului de ecuaţii este perechea (2, – 1). ⎧x + y + z =1 ⋅(−1) ⎪ . c) ⎨ x + 2 y + 2 z =−1 ⎪ ⎩x − y + 2 z = 2 Eliminăm x din ecuaţia a doua şi a treia păstrând prima ecuaţie neschimbată. ⎧x + y + z =1 ⎪ Rezultă sistemul de ecuaţii: ⎨ y + 2 z =−2 ⋅2 ⎪ ⎩ − 2 y + z =1 Eliminăm y din ecuaţia a treia înmulţind ecuaţia a doua cu 2 şi adunând-o la ultima ecuaţie. ⎧x + y + z =1 ⎪ Se obţine: ⎨ y + z =−2 ⎪ 3z =−3 ⎩ Pornind de la ultima ecuaţie a sistemului spre prima ecuaţie se obţine: z = –1, y = –1, x = 3. Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul (3, –1, –1).

d) Permutăm ecuaţia întâi cu a patra şi se obţine sistemul echivalent: ⎧ x+ y+ z = 6 ⋅(−4); ⋅(−6); ⋅(−2) ⎪ ⎪4 x − 6 y − 3 z = 0 ⎨ (1) ⎪6 x +10 y −10 z = 8 ⎪2 x + 5 y + 3z =17 ⎩ Eliminăm necunoscuta x din a doua, a treia şi a patra ecuaţie, păstrând prima ecuaţie neschimbată. Pentru aceasta înmulţim succesiv prima ecuaţie cu –4, –6, –2 şi o adunăm la a doua, a treia, respectiv a patra ecuaţie a sistemului (1). 90

⎧x + y + z = 6 ⎪ ⎪ −10 y − 7 z =−24 . Se obţine sistemul echivalent: ⎨ 4 y −16 z =−28 :4 ⎪ ⎪ 3y+ z =5 ⎩ Împărţim ecuaţia a treia cu 4 şi o permutăm cu a doua ecuaţie după care procedăm la eliminarea necunoscutei y din ultimele două ecuaţii raportându-se la a doua ecuaţie a sistemului. Se obţin sistemele echivalente: ⎧x + y + z = 6 ⎪ ⎪ y − 4 z =−7 ⋅10; ⋅(−3) ⎨ ⎪ −10 y − 7 z =−24 ⎪ 3y+ z = 5 ⎩ ⎧x + y + z = 6 ⎪ ⎪ y − 4 z =−7 ⎨ . − 47 z =−94 ⎪ ⎪ 13z = 26 ⎩ Din ultimele două ecuaţii se obţine z = 2, apoi se obţine y = 1 şi x = 3. Aşadar soluţia sistemului este tripletul (3, 1, 2). e) Eliminăm necunoscuta x din ecuaţiile a doua, a treia şi a patra înmulţind prima ecuaţie cu (–2), (–2) şi (–1) şi adunând-o respectiv la a doua, a treia şi a patra ecuaţie. Se obţine sistemul echivalent: ⎧ x + y − 3 z =−1 ⎪ ⎪ − y +4z = 3 ⎨ . y +4z = 6 ⎪ ⎪ y =0 ⎩ Înlocuind y = 0 în ecuaţia a doua şi a treia se obţin două ecuaţii contradictorii: 4z = 3 şi 4z = 6. Rezultă că sistemul este incompatibil. f) • Eliminăm x din ecuaţia a doua, a treia şi a patra. Se obţine sistemul echivalent. ⎧x + y + 2 z = 4 ⎪ ⎪ − y − 3 z =−2 ⎨ y − 3z =−2 ⎪ ⎪ y − 3z =−2 ⎩ • Eliminăm y din ecuaţia a treia şi a patra, raportându-ne la ecuaţia a doua. Se obţine: ⎧x + y + 2 z = 4 ⎪ ⎪ − y − 3 z =−2 ⎨ 0⋅ z = 0 ⎪ ⎪ 0⋅ z = 0 ⎩

Rezultă că z poate fi orice număr real sau complex. Notăm z = α, α ∈ y = 3α− 2 şi x =−5α+ 6 Aşadar sistemul este simplu nedeterminat şi mulţimea soluţiilor este: S = {(−5α+ 6, 3α− 2, α) α ∈ } 91

şi se obţine:

g) Permutăm prima şi a doua ecuaţie între ele. Se obţine sistemul echivalent: ⎧ x + 2 y − 3 z = 0 ⋅(−2); (−2); ⋅(−4) ⎪ ⎪2 x − 3 y + z =−1 ⎨ ⎪2 x −10 y +8 z =−1 ⎪4 x −15 y + 9 z = 0 ⎩ Eliminăm x din a doua, a treia şi a patra ecuaţie. Se obţine sistemul echivalent: ⎧x + 2 y − 2 z = 0 ⎪ ⎧x + 2 y − 3z = 0 ⎪ − y + z =− 1 ⎪ ⎪ − 7 y + 7 z =−1 ⎪ 7 ⎨ ~⎨ . ⎪ −14 y +14 z =−1 ⎪ − y + z =− 1 ⎪ ⎪ 14 ⎩ − 23 y + 21z = 0 ⎪ ⎩ 23 y − 21z = 0 Se observă că a doua şi a treia ecuaţie sunt contradictorii. Rezultă că sistemul este incompatibil. h) Sistemul se scrie sub forme echivalente astfel: ⎧ ⎪ x − y − 2 z =−3 ⋅(−2) ⎧ x − y − 2 z =−3 ⎨ ~⎨ ⎪ ⎩ − y +3z = 7 ⎩2 x − 3 y − z =1 Se consideră z necunoscută secundară, notată parametric z = α, a ∈ y = 3α− 7, x = α−10 .

Soluţia sistemului este mulţimea S = {(5 α−10, 3α− 7, α) α ∈

şi se obţine

}

i) Sistemul se scrie sub forma echivalentă succesiv: ⎧ a − 2b + c =10 ⎧a − 2b + c =10 ⎨ ~⎨ . ⎩3a − 2b − c = 7 ⎩ 4b − 4c =−23 Se ia c = α, α ∈

şi se obţine b =

4 x − 23 2 α− 3 , a= . 4 2

⎧⎛ 2 α− 3 4 α− 23 ⎞ ⎫ Aşadar, mulţimea soluţiilor sistemului de ecuaţii este S = ⎨⎜ , , α⎟ α ∈ ⎬ . ⎠ 4 ⎩⎝ 2 ⎭

j) Sistemul este echivalent cu: ⎧x + y + z =1 ⎧x + y + z =1 ⎪ ⎪ ⎨ −3 y − z = 0 ~ ⎨ z +3 y = 0 . ⎪ ⎪ 8y = 0 ⎩ 2 y −2z = 0 ⎩ Rezultă că y = 0, z = 0 şi x = 1. Aşadar, sistemul este compatibil determinat cu soluţia tripletul (1, 0, 0).

92

Sinteză S1. Rezolvare: a) Sistemul este de tip Cramer dacă determinantul matricei sistemului este nenul. Aşadar, avem condiţia: 1 −m 1 det( A) = 1 −2 1 = 4 − m 2 . m m 2 −2

Din condiţia 4 – m2 @ 0 rezultă că m i Z \ {–2, 2}. Soluţia sistemului se calculează cu formulele lui Cramer: x = 2m − m

unde d x = −1 2 1 dy = 1

dy dx dz , y= , z= det( A) det( A) det( A)

1

−2

1 = −2m3 − m 2 + 8m + 4 = − m 2 (2m + 1) + 4(2m + 1) = (2m + 1)(4 − m 2 ) .

m2

−2

2m −1

1 1 = 2m 2 + 5m + 2 = (2m +1)(m + 2) ,

m

2

−2

1

− m 2m

dz = 1

−2

−1 = 2m3 + 6m 2 + 2m − 4 = (m + 2)(2m 2 + 2m − 2) .

m

m2

2

Se obţine soluţia sistemului: x = 2m + 1, y =

2m + 1 2m 2 + 2m − 2 , z= . 2−m 2−m

b) Punem condiţia: det(A) @ 0, adică: 1 m −1 2 −1 −2 = −2m 2 − 3m − 1 = −(2m + 1)(m + 1) . m 2 1 ⎧ 1 ⎫ Sistemul este de tip Cramer dacă m ∈ Z \ ⎨− , − 1⎬ şi soluţia se calculează cu formulele: ⎩ 2 ⎭ dy dx dz x= , y= , z= , unde det( A) det( A) det( A) 8 m −1 1 8 −1 1 m 8 d x = 6 −1 −2 = −14m + 8, d y = 2 6 −2 = −10(m + 1) , d z = 2 −1 6 = 6m 2 + 16 . 4

2

1

Se obţine soluţia: x =

m 4

1

m

2

14m −8 10 −6m 2 −16 , y= , z= . (m +1)(2m +1) 2m +1 (m −1)(2m +1)

93

4

S2. Rezolvare: Sistemul de n ecuaţii cu n necunoscute nu este de tip Cramer dacă determinantul matricei sistemului este nul: det(A) = 0. a) Avem: 1 m +1 1 det( A) = m 1 −1 = m3 + m 2 − 4m − 4 = m 2 (m + 1) − 4(m + 1) = (m + 1)(m 2 − 4) = 1 −2 − m

= (m + 1)(m − 2)(m + 2) . Condiţia det(A) = 0 conduce la m i {–2, –1, 2}. 2 3 m+2 19 b) det A = 0 ⇔ 3 1 m = 0 ⇔ 5m − 19 = 0 ⇔ m = . 5 3 −1 1 S3. Rezolvare: a) Forma simplă a sistemului de ecuaţii este: ⎧5 x − 6 y = −28 . ⎨ ⎩ 4 x − y = −11 Matricele asociate sistemului sunt: ⎛ 5 −6 ⎞ ⎛ −28 ⎞ ⎛x⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟, X = ⎜ ⎟ . ⎝ 4 −1 ⎠ ⎝ −11 ⎠ ⎝ y⎠ • Rezolvarea sistemului prin metoda matriceală: Forma matriceală a sistemului este AX = B. det(A) = 19 @ 0. 1 1 ⎛ −1 6 ⎞ Rezultă că există A−1 = ⋅ A* , adică A−1 = ⋅ ⎜ ⎟ şi soluţia ecuaţiei matriceale este det A 19 ⎝ −4 5 ⎠ 1 ⎛ −1 6 ⎞ ⎛ −28 ⎞ matricea X = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟. 19 ⎝ −4 5 ⎠ ⎝ −11 ⎠

1 ⎛ −38 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟. 19 ⎝ 57 ⎠ ⎝ 3 ⎠ Aşadar soluţia sistemului de ecuaţii este perechea (–2, 3). Se obţine X =

• Rezolvarea sistemului prin metoda lui Cramer. Avem că det(A) = 19, deci sistemul este de tip Cramer şi soluţia lui se calculează cu formulele lui Cramer: −28 −6 5 −28 dy dx x= , y= unde d x = =−38, d y = = 57. −11 −1 4 −11 det( A) det( A) Rezultă că soluţia sistemului este: x = –2; y = 3. • Rezolvarea sistemului prin metoda lui Gauss. Forma simplă a sistemului este: ⎧ ⎛ 4⎞ ⎪5 x − 6 y =−28 ⋅⎜− ⎟ ⎝ 5⎠ . ⎨ ⎪ ⎩4 x − y =−11 94

Eliminăm necunoscuta x din a doua ecuaţie, înmulţind prima ecuaţie cu −

4 şi adunând-o la a 5

doua. Se obţine sistemul echivalent: ⎧5 x − 6 y = −28 ⎪ 57 . ⎨ 19 ⎪⎩ 5 ⋅ y = 5 Din a doua ecuaţie rezultă y = 3 iar din prima ecuaţie se obţine x = –2. S4. Rezolvare:

⎛1 1 −2 + i ⎞ ⎛−2 + 2i ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) Matricele asociate sistemului sunt: A =⎜1 i −1− i ⎟; B =⎜ −1 ⎟; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −i ⎠ ⎝i 0 ⎝−1− i ⎠ Determinantul matricei A este det(A) = i @ 0. Sistemul este de tip Cramer şi soluţia se află cu formulele: dy dx dz x= , y= , z= , unde det( A) det( A) det( A) −2 + 2i 1 −2 + i 1 −2 + 2i −2 + i 1 d x = −1 i −1− i =−1 ; d y = 1 −1 −1 − i = 0 ; d z = 1 −1− i 0 −i i −1 − i i −i

⎛x⎞ ⎜ ⎟ X =⎜ y ⎟. ⎜ ⎟ ⎝z ⎠

1 −2 + 2i i 0

−1 = i . −1 − i

Se obţine soluţia x = i, y = 0, z = 1. b) Forma simplă a sistemului este: ⎧ 3x − 3 y + 4 z = 2 ⎧3x − 3 y + 4 z = 2 ⎪ ⎪ ⎨10 x − 4 y +10 z = 6 ~ ⎨ 5 x − 2 y + 5 z = 3 ⎪ ⎪ x− y + z = 0 ⎩ 6x−6 y +6z = 0 ⎩ Matricele asociate sunt: ⎛ 3 −3 4 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 5 −2 5 ⎟ , B = ⎜ 3 ⎟ , X = ⎜ y ⎟ . ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎜0⎟ ⎜z ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Avem că det(A) = –3 @ 0. Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia se calculează cu formulele: dy dx dz x= , y= , z= unde dx = 3, dy = –3, dz = –6. det( A) det( A) det( A) Se obţine soluţia: x = –1, y = 1, z = 2. S5. Rezolvare: a) Formula simplă a sistemului este:

⎧2 x + 4 y − 3 z = 11 ⎪7 x − 3 y + 5 z = 6 ⎪ ⎨ ⎪3x + y − 8 z = 15 ⎪⎩6 x − 5 y + 11z = −4 Pentru uşurinţa calculelor vom permuta în cadrul fiecărei ecuaţii termenii cu necunoscutele x şi y şi totodată vom schimba între ele prima şi a treia ecuaţie. Se obţine sistemul echivalent:

95

⎧ y + 3x −8 z =15 ⋅−4; ⋅3; ⋅5 ⎪ ⎪ 4 y + 2 x − 3 z =11 ⎨ . ⎪ −3 y + 7 x +5z = 6 ⎪−5 y + 6 z +11z =−4 ⎩ ⎧ y + 3 x − 8 z =15 ⎪ ⎪ −10 x + 29 z =−49 Eliminăm necunoscuta y din ecuaţiile a II-a, a III-a, a IV-a, obţinând ⎨ . ⎪ 16 x −19 z = 51 ⎪ ⎩ 21x − 29 z = 71 Din ecuaţia a doua şi a patra se obţine, după adunarea lor, 11x = 22, deci x = 2. Pentru x = 2 din ecuaţia a doua se obţine z = –1. Perechea x = 2, z = –1 verifică şi ecuaţia a treia şi a patra. Din prima ecuaţie se obţine y = 17. Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul (2, 1, –1). ⎧2 x + y + z = 2 ⎪ ⎪ x +3 y + z = 5 b) Sistemul se scrie sub următoarea formă echivalentă: ⎨ . ⎪ x + y + 5 z =−7 ⎪ ⎩2 x + 3 y − 3z =14 Schimbăm prima ecuaţie cu a doua şi apoi eliminăm din celelalte ecuaţii necunoscuta x: ⎧ x +3 y + z = 5 (−2); (−1); (−2) ⎧ x + 3 y + z = 5 ⎪ ⎪ ⎪2 x + y + z = 2 ⎪ − 5 y − z =−8 ⎨ ~⎨ ~ ⎪ x + y + 5 z =−7 ⎪ − 2 y + 4 z =−12 ⎪2 x + 3 y − 3 z =14 ⎪ ⎩ −3 y − 5z = 4 ⎩ ⎧x + z +3 y = 5 ⎧x + z +3 y = 5 ⎪ ⎪ z +5 y = 8 ⎪ z + 5 y = 8 ⋅(−2); ⋅(−5) ⎪ ~⎨ ~⎨ . −11 y =−22 ⎪ 2 z − y =−6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ − 22 y =−44 ⎩ 5 z + 3 y =−4 Din ultimele două ecuaţii se obţine y = 2, apoi z = –2, x = 1. Aşadar soluţia sistemului iniţial este tripletul (1, 2, –2).

c) Sistemul se scrie în următoarea formă echivalentă: ⎧ x + y − 3z =−1 ⋅(−2); (−1); ⋅(−1) ⎪ ⎪2 x + y − 2 z =1 ⎨ ⎪ x+ y+ z =3 ⎪ x + 2 y − 3z =1 ⎩ Se elimină necunoscuta x din ecuaţiile a doua, a treia şi a patra şi se obţine sistemul echivalent: ⎧ x + y − 3 z = −1 ⎪ − y + 4z = 3 ⎪ ⎨ 4z = 4 ⎪ ⎪⎩ y + 0 ⋅ z = 2 Din ultimele două ecuaţii se obţine că: y = 2, z = 1 soluţii care nu verifică ecuaţia a doua. Rezultă că sistemul este incompatibil. 96

d) Sistemul se scrie sub următoarea formă echivalentă: ⎧ 4 ⎛ 11⎞ ⎪ 3 x + 2 y + 4 z =−4 ⋅ ; ⋅⎜− ⎟ 3 ⎝ 3⎠ ⎪ ⎪ ⎨−4 x + 5 y + 7 z = 8 ⎪ ⎪ ⎪ 11x − 31 y − 47 z =−68 ⎩ Eliminăm x din a doua şi a treia ecuaţie obţinând sistemul echivalent: ⎧3 x + 2 y + 4 z =−4 ⎪ ⎪ ⎧3 x + 2 y + 4 z =−4 ⎪ 23 ⎪ 37 8 ⎨ y+ z= ~ ⎨ 23 y + 37 z = 8 3 3 3 ⎪ ⎪ ⎩ 23 y + 37 z = 32 ⎪ 115 185 160 ⎛ 3 ⎞ ⎪− ⋅⎜− ⎟ y− z =− 3 3 ⎝ 5⎠ ⎩ 3 Se observă că ultimele două ecuaţii sunt contradictorii. Rezultă că sistemul de ecuaţii este incompatibil. e) Sistemul se scrie sub următoarele forme echivalente: ⎧ ⎛ 5⎞ ⎪ 2 x + 7 y − 4 z = 0 ⋅⎜− ⎟; ⋅(−6) ⎧2 x + 7 y − 4 z = 0 ⎝ 2⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 39 ⎨ 5x − 2 y − 8z = 0 ~ ⎨− y + 2 z = 0 ~ ⎪ ⎪ 2 + − = 12 x 3 y 20 z 0 ⎪ ⎪ ⎩−39 y + 4 z = 0 ⎪ ⎩ ⎧2 x + 7 y − 2 z = 0 ⎧2 x + 7 y − 4 z = 0 ⎪ ⎪ ~ ⎨ − 39 y + 2 z = 0 ~ ⎨ − 39 y + 2 z = 0 ⎪ ⎪ 0⋅ z = 0 ⎩ − 39 y + 2 z = 0 ⎩ Rezultă că z poate fi orice număr real sau complex. 2α 71α ; x= . Notăm z ∈ α, α ∈ şi apoi se obţine că y = 39 39 ⎧x − 4 y + (2m + 3) z = 0 ⎪ f) • Eliminăm necunoscutele x şi obţinem: ⎨ (4 − m) y − (2m + 4) z = 0 ⎪ 9 y − 2(2m + 3) z = 8 ⎩ ⎧ x − 4 y + (2m + 3) z = 0 m−4 ⎪ Rescriem sistemul sub forma: 9 y − 2(2m + 3) z = 8 /⋅ ⎨ 9 ⎪(4 − m) y − (2m + 4) z = 0 ⎩ ⎧ ⎪ x − 4 y + (2m + 3) z = 0 ⎪⎪ • Eliminăm y din ecuaţia a treia: ⎨ 9 y − 2(2m + 3) z = 8 ⎪ −4m 2 − 8m − 12 8(m − 4) ⎪ ⋅z = ⎪⎩ 9 9 2 2(4 − m) 4(m + 2) 2(2m + 3m + 4) Se obţine: z = 2 ; y= 2 ; x= , m ∈Z . m + 2m + 3 m + 2m + 3 m 2 + 2m + 3 97

S6. Rezolvare: a) Sistemul este compatibil determinat dacă şi numai dacă determinantul matricei sistemului este nenul. 2 1 m +1 Avem: 1 m − 1 m ≠ 0. 5 4 3(m + 1)

Se obţine m2 – 2m @ 0 ® m i Z \ {0, 2}. b) Pentru m = 0 se obţine sistemul de ecuaţii: ⎧ 2x + y + z = 0 ⎛ 2 1 1⎞ ⎪ ⎜ ⎟ x − y = 0 şi A = ⎜ 1 −1 0 ⎟ . ⎨ ⎪5 x + 4 y + 3 z = 3 ⎜ 5 4 3⎟ ⎩ ⎝ ⎠ Se găseşte că det(A) = 0, deci sistemul nu este de tip Cramer. Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss. Rescriem sistemul sub următoarea formă: ⎧ x− y = 0 ⋅(−2); ⋅(−5) ⎪ ⎨2 x + y + z = 0 ⎪ ⎩5 x + 4 y + 3 z = 3 Eliminăm necunoscuta x din a doua şi a treia ecuaţie păstrând prima ecuaţie neschimbată. Se obţine sistemul echivalent: ⎧x − y =0 ⎪ ⎨ 3 y + z = 0 (−3) ⎪ ⎩ 9 y + 3z = 3 Eliminăm necunoscuta y din a treia ecuaţie înmulţind pe a doua cu (–3) şi adunând-o la a treia: ⎧ x− y = 0 ⎪ Avem sistemul: ⎨ 3 y + z = 0 ⎪ 0⋅ z = 3 ⎩ Se observă că ultima ecuaţie este contradictorie (0 = 3) şi ca urmare sistemul este incompatibil. • Pentru m = –1 sistemul de ecuaţii devine: ⎧ 2 x + y = −1 ⎪ ⎨ x − 2 y − z = −2 ⎪ 5x + 4 y = 3 ⎩

⎧z + 2 y − x = 2 ⎪ Rescriem sistemul sub următoarea formă: ⎨ y + 2 x =−1 ⋅(−4) ⎪ ⎩ 4 y +5x = 3 ⎧z + 2 y − x = 2 ⎪ Eliminăm pe y din ultima ecuaţie raportându-ne la ecuaţia a doua şi obţinem: ⎨ y + 2 x = −1 ⎪ − 3x = 7 ⎩

7 11 23 Se obţin soluţiile: x = − , y = , z = − . 3 3 3 98

⎧2 x + y + 3 z = 2 ⎪ • Pentru m = 2 sistemul de ecuaţii devine: ⎨ x + y + 2 z = 4 ⎪ ⎩5 x + 4 y + 9 z = 3 Determinantul matricei sistemului este zero, deci sistemul nu este de tip Cramer. Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss. Sistemul de ecuaţii se scrie sub următoarea formă echivalentă: ⎧ x + y + 2 z = 4 ⋅(−2); ⋅(−5) ⎪ ⎨2 x + y + 3 z = 2 ⎪ ⎩5 x + 4 y + 9 z = 3 Eliminăm x din ecuaţiile a doua şi a treia păstrând prima ecuaţie neschimbată. Se obţine: ⎧x + y + 2z = 4 ⎪ ⎨ − y − z = −6 ⎪ − y − z = −17 ⎩

Se observă deja că din ultimele două ecuaţii rezultă că 6 = 17, ceea ce este fals. Aşadar, pentru m = 2 sistemul de ecuaţii este incompatibil. S7. Rezolvare: 1

1

1

Determinantul matricei sistemului este d = a a2

b b2

c = (b − a)(c − a)(c − b) (vezi exerciţiul c2

rezolvat de la pagina 51 din manual). Deoarece a @ b @ c rezultă că d @ 0 şi sistemul este de tip Cramer. Aplicăm formulele lui Cramer şi obţinem: 1 1 1 dx • x = , unde d x = 2 b c = (b − 2)(c − 2)(c − b) (determinant Vandermonde de ordinul 3) d 4 b2 c2 (b − 2)(c − 2) . (b − a)(c − a ) 1 1 1 dy unde d y = a 2 c = (2 − a )(c − a)(c − 2) . • y= d a2 4 c2 Rezultă că x =

(2 − a)(c − 2) . (b − a)(c − b) 1 1 1 dz • z= , unde d z = a b 2 = (b − a )(2 − a )(2 − b) . d a 2 b2 4 Se obţine y =

Se obţine z =

(2 − a)(2 − b) . (c − a )(c − b)

99

S8. Rezolvare: 3 −m ⎞ ⎛ 2m − 1 ⎜ ⎟ a) A = ⎜ 3 2m − 1 m − 1 ⎟ ; ⎜ m−2 m−2 1 ⎟⎠ ⎝

det( A) = 0 ⇔ 6m(m − 2) = 0 ⇔ m ∈ {0, 2} .

b) Sistemul nu este de tip Cramer dacă det(A) = 0, deci pentru m i {0, 2}. c) Pentru m i Z \ {0, 2} soluţia sistemului este dată de formulele lui Cramer: 1 3 −m dy dx dz xm = , ym = , z= unde d x = 3 2m − 1 m − 1 = 3(5m − 6) det( A) det( A) det( A) 2 m−2 1 2m − 1 1 dy =

−m

2m − 1

3 m − 1 = −3(m + 2) , d z = 3 2 1 m−2

3 m−2

3

2m − 1 3 = 24(m − 2) . m−2 2

Se obţine soluţia: xm =

5m − 6 −m − 2 4 ; ym = , zm = . 2m(m − 2) 2m(m − 2) m

d) xm + 2 ym − zm > 1 ⇔

5m − 6 m+2 − − 2m(m − 2) m(m − 2)

2 m − 4)

4

m

1

>1⇔

5m − 6 − 2m − 8m + 16 >1⇔ 2m(m − 2)

2

−5m + 6 −2 m − m + 6 −1 > 0 ⇔ >. 2m(m − 2) 2m(m − 2) Tabelul de semn pentru expresia fracţionară este: ⇔

3 2 + 2 –––– 0 ++++++0––––––– +++++++0–––––– 0++++ –

m –2m2 – m + 6 2m(m – 2) −2m 2 − m + 6 2m(m − 2)

–2

0

– – – 0 + + + | – – – –0 + + | – – – –

⎛3 Soluţia inecuaţiei este mulţimea: S = ( −2, 0 ) ∪ ⎜ , ⎝2

⎞ 2⎟ . ⎠

S9. Rezolvare: 2 1 1 d = 1 1 1 = 1. 1 1 2

a) Determinantul matricei sistemului este:

Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia este dată de formulele: 1 1 1 dy dx dz x(a) = , y (a ) = , z (a ) = , unde d x = 2a 1 1 = 1 − 2a , d d d 44 1 2 2

1

dy = 1 2

a

1 4a

1

2 1 a

a

1 = −4 + 3 ⋅ 2 − 1 ,

1

d z = 1 1 2a = 4a − 2a . 1 1 4a

2

Se obţine soluţia: x(a) = 1 – 2a, y(a) = –4a + 3 · 2a – 1, z(a) = 4a – 2a, a i Z. 100

b) y(a) > 1 ® –a4 + 3 · 2a – 1 > 1 ® –4a + 3 · 2a – 2 > 0. Notăm 2a = m şi se obţine inecuaţia –m2 + 3m – 2 > 0. Dar –m2 + 3m – 2 = 0 pentru m i {1, 2}. Tabelul de semn pentru expresia –m2 + 3m – 2 este: m –2m + 3m – 2 2

1 2 + – ––––––0++++0–––––

Soluţia inecuaţiei cu necunoscuta m este: m i (1, 2). Revenind la notaţia făcută se obţine că 2a i (1, 2) adică a i (0, 1). S10. Rezolvare: Sistemul este compatibil determinat dacă determinantul matricei sistemului este nenul. Aşadar, avem condiţia: α 1 1 α + 1 β + 1 2 ≠ 0 ⇔ −αβ + β ≠ 0 ⇔ β (1 − α ) ≠ 0 ⇔ β ≠ 0 şi α ≠ 1 . 1

2β

1

Rezultă că răspunsul corect este b) S11. Rezolvare: Matricele asociate sistemului sunt: ⎛2 1 3 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 −1 1 ⎟ ; B = ⎜ −1⎟ ; X = ⎜ y ⎟ ; det(A) = –3m + 6 = –3(m – 2). ⎜1 2 m⎟ ⎜m ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • Dacă m @ 2, atunci det(A) @ 0, atunci det(A) @ 0 şisistemul este compatibil determinat cu soluţia dată de formulele: dy dx dz x= , y= , z= , unde dx = 4(m – 2), dy = –2(m – 2), dz = –3(m – 2). det( A) det( A) det( A) 4 2 Se obţine soluţia x = − , y = , z = 1, m ≠ 2 . 3 3 ⎧2 x + y + 3 z = 1 ⎪ • Dacă m = 2 sistemul devine: ⎨ x − y + z = −1 ⎪x + 2 y + 2z = 2 ⎩

Deoarece det(A) = 0, sistemul nu este de tip Cramer. Pentru rezolvare aplicăm metoda lui Gauss. Sistemul este echivalent cu următoarele sisteme: ⎧ x − y + z =−1 ⋅(−2) ⎧ x − y + z =−1 ⎧ x − y + z =−1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨2 x + y + 3 z =1 ∼ ⎨ 3 y + z = 3 ⋅(−1) ~ ⎨ 3 y + z = 3 . ⎪ ⎪ ⎪ 0⋅ z = 0 ⎩ ⎩ 3y + z = 3 ⎩x + 2 y + 2 z = 2

3 −α 4α , x=− . 3 3 Aşadar, pentru m = 2 sistemul este compatibil nedeterminat cu mulţimea soluţiilor: ⎧⎛ 4 α 3− α ⎞ ⎫ S = ⎨⎜− , , α⎟ α ∈ ⎬ . ⎠ 3 ⎩⎝ 3 ⎭ Rezultă că z = α, α ∈

, y=

101

S12. Rezolvare: Dacă sistemul de ecuaţii are numai soluţia nulă rezultă că este de tip Cramer şi se pune condiţia ca det(A) @ 0, unde A este matricea sistemului. m 1 1 Avem det( A) = 1 m 2 = −m 2 + m + 2 . 1

−1 −1

Dacă –m2 + m + 2 = 0, rezultă că m i {–1, 2}, iar det(A) @ 0 pentru m i Z \ {–1, 2}. Răspunsul corect este a). S13. Rezolvare: Notăm cu x, y, z debitul robinetului I, debitul robinetului II, respectiv debitul robinetului III. Se obţine sistemului de 3 ecuaţii liniare cu 3 necunoscute: ⎧2 x + 3 y + 6 z = 220 ⎪ ⎨3 x + 2 y + 6 z = 210 ⎪2 x + 2 y + 3 z = 145 ⎩

Matricea sistemului are determinantul d = 9. Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia dy d d este dată de formulele x = x , y = , z = z . d d d Se obţine x = 20 hl, y = 30 hl, z = 15 hl.

S14. Rezolvare: Notăm cu t, f, F vârstele tatălui, fiului mic şi fiului mare.

1 1 Din datele problemei se obţin următoarele relaţii între t, f, F. f = (t + 7); F + 15 = (t + 15) , 6 2 t − 15 şi f + 18 + F + 18 = t + 18. adică F = 2 Aceste relaţii se constituie în sistemul de 3 ecuaţii liniare cu 3 necunoscute f, F, t. ⎧6 f − t = 7 ⎪ ⎨2 F − t = −15 . ⎪ f + F − t = −18 ⎩ Matricea A a sistemului are det(A) = –4 @ 0, deci sistemul este de tip Cramer. Se obţin soluţiile f = 7, F = 10, t = 35. S15. Rezolvare: a) Pentru m = 1 şi n = 5 se obţine sistemul de ecuaţii: ⎧ x + y − 2z = 2 ⎪ ⎨ 2x + y + z = 5 . ⎪ x + 2 y + 3z = 1 ⎩ 1 1 −2

Matricea A a sistemului are det( A) = 2 1 1 2

1 = −10 . 3

Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia este dată de formulele lui Cramer.

102

dy dx dz −30 10 0 = = 3; y = = = −1; z = = =0. det( A) −10 det( A) −10 det( A) −10 b) Fie A matricea sistemului de ecuaţii: m −2 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 2m − 1 1 ⎟ cu det(A) = 5(m – 3). ⎜1 2 3 ⎟⎠ ⎝ Se observă că det(A) = 0 dacă m = 3. • Dacă m i Z \ {3}, det(A) @ 0 şi sistemul este compatibil determinat cu soluţia dată de formulele lui Cramer: dx 17m − 4n − 3mn − 12 = x= det( A) 5(m − 3) dy 5(n − 3) d mn − 4m − 2n + 9 , z= z = , n∈Z . y= = det( A) 5(m − 3) det A 5(m − 3) • Dacă m = 3, det(A) = 0, caz în care vom rezolva sistemul cu metoda lui Gauss. Avem următorul sistem: ⎧ x + 3 y − 2 z = 2 ⋅(−2) , ⋅(−1) ⎪ ⎨2 x + 5 y + z = n . ⎪ ⎩ x + 2 y + 3z =1 Eliminăm necunoscuta x din a doua şi a treia ecuaţie păstrând pe prima neschimbată. Se obţine sistemul echivalent: ⎧x + 3 y − 2z = 2 ⎪ ⎨ − y + 5z = n − 4 . ⎪ − y + 5 z = −1 ⎩ Din acest moment se poate începe discuţia compatibilităţii sistemului referindu-ne la ultimele două ecuaţii (n – 4 = –1 etc.) sau, încă, eliminăm y din ultima ecuaţie raportându-ne la a doua. Se obţine sistemul echivalent. ⎧x + 3 y − 2z = 2 ⎪ ⎨ − y + 5z = n − 4 . ⎪ 0⋅ z = n −3 ⎩ Dacă n – 3 @ 0, adică n = 3, sistemul este compatibil simplu nedeterminat. Se ia z = α, α ∈ Z şi se obţine y = 5 α+1, x =−13α−1 . x=

Aşadar, pentru m = 3, n = 3, mulţimea soluţiilor este S = {(−13α−1, 5α+1, α) α ∈R} .

103

TESTE DE EVALUARE Testul 1. 1. Rezolvare: a) A nu este inversabilă dacă det( A) = 0 . Se obţine ecuaţia x 2 − 9 x + 20 = 0 cu sluţiile: x1 = 5, x2 = 4 ⎛2 0 1⎞ ⎜ ⎟ b) Pentru x = 2, se obţine matricea A = ⎜ 5 1 2 ⎟ , cu det(A) = 6 şi ⎜ 8 −2 8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 12 −2 −1⎞ 1 * 1 ⎜ ⎟ −1 A = ⋅ A = ⋅ ⎜ −24 8 1 ⎟ . 6 6 ⎜ ⎟ ⎝ −18 4 2 ⎠

2. Rezolvare: a) Sistemul are soluţie unică dacă determinantul matricei A a sistemului este nenul.

Avem: det(A) @ 0 ® –m2 + 10m – 9 @ 0. Se obţine m i Z \ {1, 9}. b) Pentru m = 3 se obţine sistemul de ecuaţii: ⎧ x + 2 y + z =1 ⋅(−1); ⋅(−6) ⎪ ⎨ x− y + 2z = 2 ⎪ ⎩6 x + 9 y + 3 z = 9 Rezolvăm sistemul prin metoda lui Gauss. Obţinem succesiv următoarele sisteme echivalente: ⎧x + 2 y + z = 1 ⎧x + 2 y + z = 1 ⎪ ⎪ ⎨ − 3y + z = 1 ~ ⎨ − 3y + z = 1 . ⎪ − 3 y − 3z = 3 ⎪ 4 z = −2 ⎩ ⎩ 1 1 5 Se obţine soluţia: z = − , y = − ; x = . 2 2 2 3. Rezolvare: Modelul matematic al problemei este următorul sistem liniar de ecuaţii: ⎧3 x + y + 7 z = 45 ⎪ ⎨5 x + 3 y + 2 z = 28 ⎪4 x + 5 y + 5 z = 42 ⎩ Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss reordonând mai întâi necunoscutele în cadrul fiecărei ecuaţii. Se obţin succesiv următoarele sisteme echivalente: ⎧ y + 3 x + 7 z = 45 ⋅(−3); ⋅(−5) ⎧ y + 3 x + 7 z = 45 ⎧ y + 3 x + 7 z = 45 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨3 y + 5 x + 2 z = 28 ~ ⎨ − 4 x −19 z =−107 ∼ ⎨ 4 x +19 z =107 ⎪ ⎪ ⎪ 89 z = 445 ⎩ −11x − 30 z =−183 ⎩ ⎩5 y + 4 x + 5 z = 42 Începând cu ultima ecuaţie a sistemului se obţine: z = 5, x = 3, y = 5. 104

Testul 2. 1. Rezolvare:

⎛ 2 −3 ⎞ ⎛ − 2 3 ⎞ 1 ⋅ A* = − A* = − ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ det( A) 2 2 − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 4 −4 −2 ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ −1 * B = ⋅ B = ⋅ ⎜ 2 3 −1 ⎟ . det( B ) 10 ⎜ ⎟ ⎝ −4 −1 7 ⎠ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ 0 1⎞ −1 * C =⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎟ şi C = −C = − ⎜ ⎝ 1 1⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ A−1 =

2. Rezolvare: ⎛ 1 −1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 2 −2 ⎟ cu det(A) = 12 @ 0. ⎜ 6 15 3 ⎟ ⎝ ⎠ Rezultă că soluţia ecuaţiei matriceale este matricea ⎛ 36 −12 4 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 * 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 X = A ⋅ B = ⋅ A ⋅ B = ⋅ ⎜ −24 9 −2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ −168 ⎟ = ⎜ −14 ⎟ . 12 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 12 ⎜ 36 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ 48 −21 6 ⎠ ⎝ 45 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Rezolvare: m +1

a) Dacă A este matricea sistemului, atunci det( A) =

1 1

1

1

m +1 1 = m3 + 3m 2 . m +1 1

b) Sistemul de ecuaţii este compatibil determinat dacă det(A) @ 0. Dar det(A) = 0, dacă m2(m + 3) = 0, adică m = 0, m = –3. c) Pentru m = 2 sistemul de ecuaţii devine: ⎛3 1 1⎞ ⎧3 x + y + z = 1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎨ x + 3 y + z = 2 cu A = ⎜ 1 3 1 ⎟ şi detA = 20. ⎪ x + y + 3z = 4 ⎜ 1 1 3⎟ ⎩ ⎝ ⎠ Prin regula lui Cramer se obţine: dy dx 4 1 6 3 26 13 dz x= =− =− ; y= = = ; z= = = . det( A) 20 10 det( A) 20 10 det( A) 20 5 ⎧x + y + z = 1 ⎪ d) Pentru m = 0 sistemul devine: ⎨ x + y + z = 0 ⎪x + y + z = 0 ⎩

Se observă că prima şi a doua ecuaţie sunt contradictorii (ar rezulta că 1 = 0). Rezultă că pentru m = 0 sistemul obţinut este incompatibil.

105

Probleme recapitulative Soluţii ⎛ 7 15 ⎞ 3 ⎛ 37 81 ⎞ ⎧b + 7 a = −37 1. Avem A2 =⎜ cu ⎟, A =⎜ ⎟. Se obţine sistemul de ecuaţie ⎨ ⎝10 22⎠ ⎝54 118⎠ ⎩3 b + 15 a = −81 soluţia a = –5, b = –2. ⎛ x2 + y2 2. A = ⎜⎜ ⎝ 2 xy 2

2 xy ⎞ ⎟ şi se obţine egalitatea: x 2 + y 2 ⎟⎠ ⎛ x2 + y2 2 xy ⎞ ⎛ 4 0 ⎞ ⎛ 4 x 4 y ⎞ ⎜⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟ x 2 + y 2 ⎟⎠ ⎝ 0 4 ⎠ ⎝ 4 y 4 x ⎠ ⎝ 2 xy

⎧ x2 + y2 + 4 = 4 x de unde rezultă sistemul de ecuaţii ⎨ . ⎩2 xy = 4 y Se deosebesc cazurile: ⎛ 2 0⎞ n ⎛ 2n ⎧y = 0 • ⎨ 2 deci x = 2, y = 0, A =⎜ ⎟, A =⎜ ⎝ 0 2⎠ ⎝0 ⎩x + 4 = 4 x

0⎞ ⎟. 2n ⎠

• y ≠ 0 şi astfel x = 2 .

Din prima ecuaţie se află y = 0 fals. 0 ⎛ 1 ⎜ 3. A = ⎜ 2 a 1 ⎜ 2 b + ac 2 c ⎝ ⎧α+ β = 0 obţine că ⎨ ⎩2 α+ β = 3 2

0⎞ 1 0 0⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 3 0 ⎟ , A = ⎜ 3a 1 0 ⎟⎟ . Din relaţia dată, pentru a , b , c ∈ Z * se ⎜ ⎟ 1 ⎠⎟ ⎝ 3 ac + 3 b 3c 1 ⎠

şi α = 3, β =−3.

Pentru a = c = b = 0, A = I3 şi vom avea că ( α+ β ) I3 = O3 , deci α+ β = 0 . Soluţia α = m , β =−m , m ∈ Z . ⎛ a 0 a⎞ ⎛ a + 4 −4 a a ⎞ ⎜ ⎟ 4. A = ⎜ 1 a 1 ⎟ , E ( A ) = ⎜⎜ −3 a + 4 −3 ⎟⎟ . Se obţine a = –1. ⎜ 1 a 1⎟ ⎜ −3 a + 4 −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

⎛0 0 1⎞ 5. Fie B = I3 + A . Avem A = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ , A3 = O3 şi astfel An ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ Cu formula binomului lui Newton se obţine: ⎛ ⎜1 n ( n −1) 2 ⎜ Bn = Cn0 I n3 +Cn1 A +Cn2 A2 = I3 + nA + A =⎜ 0 2 ⎜0 ⎜ ⎝ 2

106

= O3 , ∀n U 3 .

n ( n −1) ⎞ 2 ⎟ ⎟ 1 n ⎟, n ∈ q * . 0 1 ⎟ ⎟ ⎠ n

⎛ 1 0 −2 ⎞ ⎛ 1 0 −3 ⎞ ⎜ ⎟ 3 6. A = ⎜ 0 1 0 ⎟ , A = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ . ⎜0 0 1 ⎟ ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 −n⎞ n Prin inducţie se obţine că A = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ etc. ⎜ ⎟ ⎝0 0 1 ⎠ 2

⎛ a2 + bd 0 ⎜ 7. a) A2 =⎜ 0 c2 ⎜ ⎝d ( a+e ) 0

b ( a + e ) ⎞ ⎛ a2 + ae 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟=⎜ 0 c2 ⎟ ⎜ e 2 + bd ⎠ ⎝ d ( a + e ) 0

b ( a + e )⎞ ⎟ 0 ⎟. ⎟ e 2 + ae ⎠

Se obţine x = a + e , y = c2 − ac − ce . b) Folosim metoda inducţiei matematice. Pentru n = 1, a1 = x, b1 = y. Presupunem că Ak = xk ⋅ A + yk I 3 . Atunci: Ak +1 = ( xk A + yk I3 ) A = xk A2 + yk A = xk ( xA + yI3 ) + yk A = ( x⋅ xk + yk ) A + yxk I3

Aşadar există xk +1 = x ⋅ xk + yk , yk +1 = y ⋅ xk cu proprietatea că Ak +1 = xk +1 A + yk +1 I3 deci egalitatea are loc şi pentru k + 1. Aşadar are loc pentru oricare n ∈q * . ⎛ 1 0 −1 ⎞ ⎛ 4 8 −4 ⎞ ⎜ ⎟ 2 8. C = ⎜ 1 2 −1⎟ , C = ⎜⎜ 4 8 −4 ⎟⎟ = 4 C . ⎜ −1 −2 1 ⎟ ⎜ −4 −8 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 2 2 n C = 4 C = 4 C şi prin inducţie C = 4n−1 C . 9. Folosim metoda reducerii sau substituţiei.

a) B = I 2 − A şi din a doua ecuaţie se obţine că: ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ 2 A + 3 I2 − 3 A = ⎜ sau A = 3 I 2 − ⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ ⎛ −1 1 ⎞ Rezultă B = ⎜ ⎟. ⎝ −1 −1⎠ 10. Egalitatea se scrie:

⎛ 1 a ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 a ⎞ ⎛ 4 ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ a 1⎟ + ⎜ a 1⎟ ⎜ 1 1 ⎟ = ⎜ 4 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 2 a +1 ⎞ ⎛ 4 ⎛1 + a 1 + a ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ 2 ⎠ ⎝ a + 1 a2 + 1⎠ ⎝ 4 ⎝ 1+ a ⎛ a2 + 3 2 a + 2⎞ ⎛ 4 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟. ⎜ ⎟=⎜ ⎝ 2 a + 2 a2 + 3 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠

Rezultă că a = 1. 107

4⎞ sau 4 ⎟⎠ 4⎞ sau 4 ⎟⎠

⎛ x y⎞ 11. Fie A = ⎜ ⎟. ⎝z t ⎠ Avem succesiv ⎛ x y ⎞⎛ 1 i ⎞ ⎛ 1 i ⎞⎛ x y ⎞ ⎛ 2 4 i ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⇒ ⎝ z t ⎠⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1⎠⎝ z t ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎛ x y + ix ⎞ ⎛ x y + it ⎞ ⎛ 2 4 i ⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟⇒ t ⎠ ⎝0 2 ⎠ ⎝ z t + iz ⎠ ⎝ z ⎛ 2 x 2 y + i ( x + t )⎞ ⎛ 2 4 i ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟. 2 t + iz ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝2 z

Se obţine x = 1, z = 0, t = 1 şi 2 y + 2 i = 4 i deci y = i.

{ }

12. a) Se obţine ∆ = 4 x2 + x − 5 şi soluţiile x ∈ 1, − 5 . 4 3 2 b) ∆ = x + 2 x + 3 = ( x +1)( x − x + 3), x =−1 .

x −1 −1 1 x 1− x 1− x 2 1 = 1 x −1 0 = ( x − 1) ⋅ 1 1 0 = ( x −1)2 ( x2 +2 x +2), x ∈{1} 1 0 x +1 1 1 x2 1 0 x2 − 1

x 1 c) ∆ = 1 x

1 1 x ab x ab 13. a) ∆ = 0 a − x b ( x − a ) = ( a − x )( b − x ) 0 1 − b = ( a − x )( b − x )( b − a ) . 0 b − x a( x − b) 0 1 −a Se obţine x ∈{ a , b} . 2 x +1 x +1 x + 2 b) ∆ = 6 3 3 = 0, ∀x ∈ Z . 12 6 6 0

c) ∆ = b − x

0

1

b−a

x+a =

x 2 − b2 a2 − b2 b2 = ( b − x )( b − a )( x − a ) . Soluţie x ∈{ a , b} .

b− x 2

b−a 2

x −b

2

2

a −b

= ( b − x )( b − a )

1 1 = − x − b −a − b

14. Se pune condiţia ca determinantul să fie nenul: a) det( A ) = a3 , deci a ∈ Z \{0} . b) det( A ) = a3 (1 + a )(1 + a2 ) , deci a ∈ Z \{0, − 1} . 16. det( A ) = ( x + m )( x + 2 m ) − m (1 − m ) = x 2 + 3 mx + 3 m2 − m . Se pune condiţia ca det( A ) ≠ 0, ∀x ∈ Z deci ∆ = 9 m2 − 4(3 m2 − m ) < 0 . Se obţine m ∈ ( −∞ , 0) ∪ 4 , + ∞ . 3

(

)

108

⎛ 2 −1⎞ 17. Avem A−1 = ⎜ , iar ( A4 )−1 = ( A−1 )4 . ⎟ ⎝ −1 1 ⎠ −1

⎡ ⎛ 3 2⎞⎤ 18. B =⎢ A−1⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ 2 1⎠⎦ ⎛−1 2 ⎞⎛1 =⎜ ⎟⎜ ⎝ 2 −3⎠⎝1 −1

⎛ 3 2⎞−1 −1 −1 ⎛ 3 2⎞−1 ⎛−1 2 ⎞ =⎜ ⎟ ( A ) =⎜ ⎟ A =⎜ ⎟⋅ A = ⎝ 2 1⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎝ 2 −3⎠ 2⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎟=⎜ ⎟. 1⎠ ⎝−1 1⎠

⎛ 1 3 −1 ⎞ 19. a) A = ⎜⎜ 2 1 −4 ⎟⎟ , det( A ) = 1 deci sistemul este un sistem Cramer. ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 −2 ⎠

Se obţine x = 1, y = 1, z = 1. ⎛1 1 1 ⎞ b) A = ⎜⎜ 2 1 −3 ⎟⎟ , det( A ) = −6 . deci sistemul este un sistem de tip Cramer. ⎜ ⎟ ⎝ 4 1 −5 ⎠ Se obţine x = 0, y = 1, z = 0. ⎛1 1 1⎞ 1 1 1 ⎜2 1 2⎟ ⎜ ⎟ . Deoarece ∆ = 2 1 2 = −1 rezultă că rang(A) = 3. c) A = ⎜ 3 1 4⎟ 3 1 4 ⎜ ⎟ ⎝ 1 −1 3 ⎠ Primele 3 ecuaţii sunt ecuaţii principale, iar x, y, z necunoscute principale.

Sistemul principal are soluţia x = 4, y = 1, z = –3 care nu verifică ecuaţia a patra. Aşadar sistemul este incompatibil. Altfel, se arată că rang ( A ) = 4 ≠ rang ( A ) . 1 3⎞ ⎛ 2 ⎜ 1 −2 ⎟⎟ . Sistemul este nedeterminat dacă det(A) = 0. Se obţine m = 3. 20. A = ⎜ m ⎜ 2m −1 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ Pentru m = 3 se pune condiţie ca rang ( A ) = rang ( A ) = 2 . ⎛ 2 1 3 1⎞ Se obţine că A = ⎜⎜ 3 1 −2 1 ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎝5 2 1 n⎠ 2 1 1 Punem condiţia ca 3 1 1 = 0 . Se obţine n = 2 şi α = 9 + 4 = 13 . 5 2 n

109

1 ⎞ ⎛ 1 −m ⎜ 1 −2 1 ⎟⎟ ⎜ 21. A = . Calculând determinanţii de ordinul 3 se obţin rezultatele: ⎜ m m2 −1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 m 0 m + 1⎠ ∆1 = ( m + 1)( m − 2) , ∆2 = − ( m − 1)( m − 2) , ∆3 = 4 m2 .

Se observă că nu pot fi nuli toţi cei 3 determinanţi deci rang(A) = 3. 1 0 ⎞ ⎛ 1 −m ⎜ 1 −2 m − 2 ⎟⎟ 1 ⎜ A= . ⎜ m m2 −1 2 m2 ⎟ ⎜⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎝ 2m 0 m +1 2m ⎠

det( A ) =

1 1

−m −2

1 1

0 m−2

m

m2

−1

2 m2

2m

0

m +1

2 m2

.

Înmulţim cu m prima coloană şi adunăm rezultatul la a doua coloană. Rezultă:

det( A ) =

1 1

0 m−2

1 1

0 m−2

m

2 m2

−1

2 m2

2m

2 m2

m +1

2 m2

=0

deoarece există două coloane egale. Aşadar rang ( A ) = 3 = rang ( A ) deci sistemul este compatibil pentru oricare m ∈Z . Răspuns corect c) A = ∅ .

110

PARTEA a II-a ELEMENTE DE ANALIZ~ MATEMATIC~

Ø Capitolul 1. Limite de func\ii Ø 1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` Ø 1.4. Calculul limitelor de func\ii Ø 1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice Ø 1.5. Opera\ii cu limite de func\ii Ø 1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii Ø 1.6.4. Limite fundamentale [n calculullimitelor de func\ii Ø 1.7 Asimptotele func\iilor reale Ø Teste de evaluare Ø Capitolul 2. Func\ii continue Ø 2.1. Func\ii continue [ntr-un punct Ø 2.2. Opera\ii cu func\ii continue Ø 2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval Ø Teste de evaluare Ø Capitolul 3. Func\ii derivabile Ø 3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct Ø 3.2. Derivatele unor func\ii elementare Ø 3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile Ø 3.3.5 Derivarea func\iilor inverse Ø 3.4. Derivata de ordinul doi Ø 3.5 Regulire lui l'Hôspital Ø Teste de evaluare Ø Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor Ø 4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor Ø 4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor Ø 4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor Ø Teste de evaluare Probleme recapitulative

111

PARTEA a II-a. Elemente de analiz` matematic` Capitolul 1. Limite de func\ii 1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real`

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 113 manual

Exersare E1. S` se determine mul\imile de minoran\i ]i majoran\i pentru mul\imile: a) A = (-3, 5] ; b) A = (-2, 3) ; c) A = [-5, 4] ; d) A = (-2, 1) U (3, 5) ; e) A = (1, 5] U[ 6, 11] ; f) A = [-1, 1) U{3}. E2. S` se determine mul\imea minoran\ilor ]i mul\imea majoran\ilor pentru mul\imile:

{ } c) A ={x Î R x - 3T2}; e) A = {x Î (0, ¥) 2 T 0, 25};

b) A = x Î R x 2 - 3x T 0 ;

g) A = {x Î R log 2 (x -1)T2};

h) A = {x Î R log 2 (x -1)T log 4 (3- x )}.

a) A = x Î R x 2 - 3x = 0 ;

x-3

{

}

d) A = {x Î R x - 3 T 1};

{

}

f) A = x Î R 0, 125T 4 x T 0, 25 ;

E3. S` se arate c` urm`toarele mul\imi sunt mul\imi m`rginite: ì 2n ü b) A = í n Î N ý; î n +1 þ ì ü 48 d) A = ín Î N Î N ý; n +1 î þ ì x +1 ü f) A = í 2 x Î R ý. î x + x +1 þ

a) A = {sin x x Î R }; c) A =

{

}

n +1 - n n Î N ;

ì 2 ü e) A = í 2 x Î R ý; î x +1 þ

E4. S` se scrie cu ajutorul intervalelor mul\imile: a) A = {x Î R x T3};

b) A = {x Î R x -1 T2}; ì d) A = íx Î R î ì ï f) A = íx Î R ï î

c) A = {x Î R x - 2 U1}; ì ü x -1 e) A = íx Î R 2 U 0ý; î x -4 þ

{

}

g) A = x Î R 2 x+1T16 x × (0,25) x+1 ;

1 ü T1ý; x þ ü ï ý; T 1 x 2 -9 ï þ x 2 -4

{

h) A = x Î R

}

x - 3Tx - 3 .

E5. S` se precizeze care dintre mul\imile urm`toare sunt vecin`t`\i ale num`rului x 0 = 0, respectiv x 1 =-1;

a) V1 = (-5, 7) ;

b) V 2 = (-1, 0) ;

c) V 3 = (0, ¥) ;

d) V 4 = (-1, ¥) ;

e) V 5 = N;

f) V 6 = Z;

g) V7 = Q;

h) V 8 = R;

i) V 9 = R \ {0} . 112

E6. S` se precizeze care dintre mul\imile urm`toare sunt vecin`t`\i pentru +¥ : a) V1 = (-6, ¥) ;

b) V 2 = (100, ¥) ;

c) V 3 = ( 2 , ¥) ;

d) V 4 = (-¥, 10) ;

e) V 5 = Z;

f) V 6 = Q;

g) V7 = R \ Q;

h) V 8 = R \ Q;

i) V 9 = R;

E7. S` se determine punctele de acumulare [n R pentru mul\imile: a) A = [ 0, 3) ; b) A = {0, 3} ; c) A = (-¥, 3) ; d) A = (-2, 2) U (3, 5) ; e) A = N \ {0, 1} ;

f) A = (1, 2) U{5} .

E8. S` se demonstreze c` urm`toarele mul\imi sunt nem`rginite (inferior sau superior): a) A = (-¥, 3] ; b) A = (-1, ¥) ;

{

}

c) A = (-1) n n n Î N ; e) A = {x Î R x -1 U2};

ì1 ü d) A = í x Î (0, 1)ý; îx þ ì x -1 ü f) A = í x Î (2, ¥)ý; î x -2 þ

g) A = {x Î N 7 divide x }.

113

1.4. Calculul limitelor de func\ii

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 134 manual

Exersare E1. S` se calculeze limitele: b) lim 5 3 ;

a) lim 3; x®3

3

c) lim

x®0

x® 2

d) lim(2x +1) ;

3;

x® 2

æ x ö e) limç- +1÷; f) lim(3x 2 - x + 2) ; g) lim (5 3 +1) ; h) lim ln 3. x® pè p x®-1 x®1 x®+¥ ø E2. S` se calculeze: a) lim[(x +1) 2 +1]; b) lim[2x + (x -1) 2 ]; c) lim (x 2 - 3) ; d) lim (-3x + 2 + x 2 ) ; x®1

x®¥

x®-¥

2

e) lim (-5x - 7x ) ; f) lim( x ) ;

g) lim log 3 x ;

x®9

x®+¥

x® 0 x>0

x®-¥

h) lim log 0 ,3 x . x® 0 x>0

E3. S` se calculeze: æ 1 öx a) lim(2 b) lim 3 c) lim log 5 2 ; d) lim log 3ç ÷ . ; ); x® 0 x®-¥ x®1 x®5 è 3ø E4. S` se studieze existen\a limitei func\iei f [n punctele specificate: ì2x 2 + 3, xT1 a) f :R ® R, f (x ) = í , x 0 Î {1, 2} ; î5x -1, x > 0 ìx + 3, x Î (0, 1) b) f : D ® R, f (x ) = í x , x 0 Î {1, 0, +¥} . î4 , x Î (1, +¥) log 2 x

log 3 ( x 2+1)

x

Sintez` S1. S` se determine parametrii reali pentru care: a) lim[ (a -1) x + 3]= 6 ; b) lim(5 + 6ax ) = 23; x® 3

x®1

c) lim(ax + 3x - 3) = 5 ; x® a

2

2

d) lim x = 3; x® a

3

e) lim(a x + 2ax +11) = a +14 ;

f) lim

g) lim

h) lim 2 ax = 16 .

x®1

x® a-1

x = a -1;

x® a+1

x = 3;

x® a

S2. S` se studieze existen\a limitei func\iei f :D ® R pe domeniul de defini\ie: ì æ 1ö ïlog2 x , x Îç 0, ÷ è 2ø ï a) f :(0, 1) ® R, f (x ) = í ; é1 ö ï 2x - 2 , x Îê , 1÷ ï ë2 ø î ì2 x , x Î (0, 1) ï b) f :(0, 2) È {3} ® R, f (x ) = ílog 2 x , x Î [1, 2] . ï x =3 î0 , 114

S3. S` se determine constantele reale pentru care func\ia f are limit` [n punctele specificate: ì ïax 2 + (a + 2) x , xT1 a) f :R ® R, f (x ) = í , x 0 = 1; ï x >1 î3 x , ì(x + a) 2 + (x -1) 2 , xT1 b) f :R ® R, f (x ) = í , x 0 = 1; î(x -1+ a) (x + 4 - a) , x > 1 ìax + b, xT2 ï c) f :R ® R, f (x ) = ílog 2 x , x Î (2, 4) , x 0 Î {2 , 4} ; ï 2 îax + bx + 6 , xU4 ì2 ax , xT1 ï ï d) f :R ® R, f (x ) = í4 bx , x Î (1, 3) , x 0 Î {1, 3} . ï ( a+2 ) x ï , xU3 î8

S4. S` se studieze existen\a limitei func\iei f :D ® R [n punctele specificate: a) f :R ® R, f (x ) = x , x 0 Î {-1, 0, 1} ; b) f :R ® R, f (x ) = x - 3 , x 0 Î {0, 3, 4} ; c) f :R ® R, f (x ) = x - 3 + x , x 0 Î {-5, 3, 5} ; ì ï x , xT1 d) f :R ® R, f (x ) = í , x 0 Î {0, 1} ; ï î x , x >1 ì x 2 -1, xT2 ï e) f :R ® R, f (x ) = í , x 0 Î {-1, 1, 2} . ï î x 2 +1, x > 2

115

1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 140 manual

Exersare E1. S` se calculeze: a) lim sin x ; x®

p 6

e) lim sin x ; x® p xp

p x®6

x® 2 p x>2 p

x®-p xp

x® p xlim 23p x® 2 x®

g) lim ctg x ; p x®4

x® 2 p x>2 p

E3. S` se calculeze: a) lim arcsin x ; 1 x®2

d) lim arcsin x ; 3 x®2

b) lim arccos x ; 1 x®2

c) lim arccos x ; x®-

e) lim arccos x ; 2 x®2

3 2

f) lim arcsin x . x®

2 2

E4. S` se calculeze: a) lim arctg x ; 3 x® 3

d) lim arcctg x ; 3 x®3

b) lim arcctg x ; 3 x® 3

c) lim arctg x ; x®-

e) lim arctg x ; x®- 3

3 3

f) lim arctg x . x® 3 x> 3

Sintez` S1. S` se determine valorile parametrului a Î R pentru care au loc egalit`\ile: p ; x® a 2 p d) lim arcsin x = ; x® a 4 a) lim arcsin x =

b) lim arccos x = 0 ; x® a

e) lim arccos x = p ; x® a

p ; x® a 4 p f) lim arctg x =- . x® a 4 c) lim arctg x =

S2. S` se studieze existen\a limitei func\iei f :D ® R [n punctele specificate: ìsin x , xT0 a) f :R ® R , f (x ) = í 2 , x 0 Î {0, -¥, +¥} ; îx , x > 0 ìsin x , xTp b) f :R ® R , f (x ) = í , x 0 Î {0, p, 2p} ; î3(x - p ) 2 , x > p 116

ctg x ;

ìarccos x , x Î [-1, 0) ï c) f :[-1, 1] ® R , f (x ) = í 2 , x 0 Î {-1, 0,1} ; p ïx + 2x + , x Î [ 0, 1] î 2 ìarctg x , xT0 ï d) f :R ® R , f (x ) = íarcsin x , x Î (0, 1) , x 0 Î {-¥, 0, 1, +¥} . ï îarcctg x , x Î [1, +¥)

S3. S` se determine valorile parametrilor reali, pentru care func\ia f :D ® R are limit` pe domeniul de defini\ie. ìsin x , xT0 ï a) f :R ® R , f (x ) = íax + b , x Î (0, 1) ï îarctg x , xU1 ìa, x Î [-2, -1) ï b) f :[-2, 2] ® R , f (x ) = íarcsin x , x Î [-1, 1] ; ï x Î (1, 2] îb,

S4. S` se studieze existen\a limitei func\iei f :D ® R [n punctele specificate: a) f :R ® R , f (x ) = sin x , x 0 Î {-1, 0, 1} ; ì p é p ù pü b) f :ê- , p ú® R , f (x ) = sin x , x 0 Î í- , 0, ý; ë 2 û î 2 2þ ì p pü c) f :R ® R , f (x ) = - cos x , x 0 Î í- , 0, ý; î 2 2þ d) f :R ® R , f (x ) = arctg x , x 0 Î {-1, 0, 1} .

117

1.5. Opera\ii cu limite de func\ii

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 151 manual

Exersare E1. S` se calculeze: a) lim( x 2 - 3x + x );

æ xö b) limç2x -1+ ln ÷; x® 3è 3ø

c) lim(sin x + 3 cos x ) ;

d) lim(2 x + 3x - 4 x );

x® 4

x® p

x®1

f) lim (2 x + 3x - 3 x ).

2

e) lim (3x - 27x + log 3 x ) ;

x®-1

x® 9

E2. S` se calculeze:

a) lim( x 2 - 2)( x 2 - 3); b) lim( x 2 log 3 x ); x®1

x®1

c) lim( x 2 + 2 x ) 3 x ; x® 0

æ2 3 ö ÷ (2 x +1)(3 x + x ); f) xlim d) limç (1- cos x ) (1+ sin x ) . ç × ÷; e) lim x® 0 ®2p x® 3è 8 27 ø x

x

E3. S` se calculeze: a) lim x®1

x -1 2

x + x +1 3

d) lim x®1

x+ x 2+ x

x 2 + 4x -10 ; x® 2 2x - 3

c) lim

sin x + tg x ; x® p sin x + 2

f) lim

b) lim

;

e) lim

;

sin x + cos x

x® 0 1+ sin x + x>0

x

;

arcsin x + arccos x . x®1 p + arctg x

E4. S` se calculeze: a) lim(x +1) x®1

x

;

b) lim(sin x ) 1+x ;

c) lim( x 2 + x -1)

e) lim(sin x + tg x ) p+x ;

f) lim(arctg x )

x® 0 x>0

d) lim(1+ sin x ) cos x ; x® p

x+1

x® 2

x® p x>p

x®1

x

;

.

Sintez` S1. S` se calculeze: 2

a) lim( x + 3 x ) ; x®1

4

b) lim(2 x - 33 x ) ; x® 0

c) lim (sin x + cos x ) 2 ; x® 2 p

æ 2x +1 ö ÷; f) lim(2 x - 3x +1) d) lim (sin x tg x ) x+1 ; e) limç x x + 2 x®1è x®1 x® 0 x - x +1 ø arctg x arccos x g) lim(2 arcsin x + arccos x ) x ; h) lim ; i) lim . 1 x® 0 1+ arcsin x arcctg x x ® 3 x® 2

118

x

;

S2. S` se determine constantele reale pentru care au loc egalit`\ile: ap + arcsin x = 2; x®1 p + arccos x

a) lim c) lim x® a

x + 2x 2+ x

= 1;

(x +1) 2 + (x - 2) 2

b) lim

a+ 3 x 2x + 4x

x®-1

= 1;

3 = . x® a 2×2 + 3× 4 8

d) lim

x

x

S3. S` se studieze existen\a limitelor func\iei f :D ® R [n punctele specificate: ì æ pö ïx tg x , x Îç 0, ÷ ì pü è 2ø ï a) f (x ) = í , x 0 Î í0, ý; ö î 2þ ép ï sin x , x Îê , +¥÷ ï ë2 ø î ì ï(x -1) x , x Î (0, 1) b) f (x ) = í , x 0 Î {0, 1} ; 3 ( ] [ ) ( ) 1 x , x Î -¥ , 0 È 1 , +¥ ï î ìæ x -1 ö3 ÷ , x Î (-¥, 0] ïç c) f (x ) = íè x 2 + x +1 ø , x 0 = 0. ï î(-1+ sin x ) 3 , x Î (0, +¥)

S4. S` se calculeze: a) lim(sin x )3 x -1 ; x®1

c) lim(2 x -1) lg (x + 8) ; x® 2

e) lim

e

2

b) lim( x 2 + x ln(x +1)) ; x® 0

(

d) lim x®1

3

7x + x

x+1

x®-1 1+ 2

x +2 + 3 x + 6

f) lim

; x+1

2

x® 2

arcsin (x sin x ) g) lim ; x® 0 1+ sin (arccos x )

5

); 3

x +12 - 10 - x

;

h) lim log 2 (2 + log 3 (x + 9)) . x® 0

S5. S` se calculeze: é 1 ù a) lim x 2ê 2 ú; ëx û x® 0 d) lim

x®¥

cos x + x x2

b) lim

[x]

x®¥

;

e) lim

x®¥

x

c) lim

;

x cos x x 2 +1

119

; x2 [ x ] +[ 3x ] f) lim . x®¥ x x®¥

;

sin x

1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 160 manual

Exersare E1. S` se calculeze: x 2 + x +1 b) lim ; x® 0 3x +1

x a) lim ; x® 2 x +1

c) lim x® 2

2x 2 3x + x 2 +1

d) lim

;

3x + 2

x®-1 4x 2

-3

E2. S` se calculeze: x ; x®-1 2x + 2

2 ; x® 0 x

a) lim

b) lim

x>0

x>-1

d) lim x® 4 x>4

2x

x®1 x1

.

E3. S` se calculeze: a) lim

x®¥

2x 3 + 4x + 9 3

x + 3x +16

ln(2x ) ; x® 0 ctg(3x )

d) lim

;

b) lim

3x 2 - x + ln x

x®¥ 2x

2

+ x - ln x

;

ln(1+ sin 2x ) ; x® 0 ln(1+ sin x )

ln(sin 2x ) ; x® 0 ln(sin x )

c) lim x>0

ln(x 2 + x +1) . x®¥ x

e) lim

f) lim

b) lim(x - p ) ctg x ;

c) lim x ln

x>0

E4. S` se calculeze: a) lim x ln x®¥

x ; x +1

d) lim arcsin x ln x ; x® 0 x>0

x® p

e)

1 lim e x x® 0 x>0

ln x ;

x® 0 x>0

f) lim

x®-2 x>-2

x

; x 2 +1

1 x + (x + 2) e 2 .

pag. 230 manual

Teste de evaluare Testul 1 3

1. Fie f :R ® R, f (x ) = x + ax +1. S` se determine a Î R pentru care tangenta la graficul func\iei f [n punctul x 0 = 1 trece prin punctul M (2, 1).

ì x ï , x U0 [n punctul 2. S` se determine derivatele laterale ale func\iei f :R ® R, f (x ) = í x +1 ï îsin x , x < 0 x 0 = 0. 3. S` se calculeze derivatele de ordinul doi pentru func\ia f, [n cazurile: a) f :(0, +¥) ® R, f (x ) = x ln(x +1); b) f :R ® R, f (x ) = arctg x - ln(x 2 +1).

141

Testul 2 ìx sin x ,

x >0

1. S` se determine derivabilitatea func\iei f :R ® R, f (x ) = í

îax 2 + a 2 -1, x T 0

pe mul\imea R.

2. S` se calculeze derivatele func\iilor f :D ® R: a) f (x ) =

x 2 - x +2 2

x + x +2

b) f (x ) = x x 2 + x + 2.

;

3. S` se calculeze: a) lim x® 0

x 2 + x +1 -1 ; x +1 -1

2x + ln(x +1) . x®¥ 3x + ln(2x +1)

b) lim

Testul 3 1. S` se calculeze: a) lim

1- cos x × cos 2x × cos 3x

x® 0

x2

2

;

b) lim x® 0

e x - cos x sin 2 x

.

2. S` se calculeze derivatele func\iilor f :D ® R: a) f (x ) = arcsin

2x 1+ x 2

;

b) f (x ) = ln

1- x 2 1+ x 2

.

3. S` se determine valorile parametrilor a, b, c Î R pentru c are func\ia f :D ® R este de dou` ori derivabil` pe D. ìa x - x -1, x T 0 a) f (x ) = í ; îb sin x + c, x > 0

ìx 3 ln x + a, x > 0 b) f (x ) = í . îb cos x +1, x T 0

142

Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor 4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 239 manual

Exersare E1. S` se studieze dac` se poate aplica teorema lui Lagrange func\iilor: a) f :[-3, 2] ® R, f (x ) = 2x 2 - 3x ; b) f :[1, e] ® R, f (x ) = ln x ; x -1 ; c) f :[ 0, 1] ® R, f (x ) = x 2x -1 . x +1 E2. S` se stabileasc` intervalele de monotonie ale func\iei f :D ® R: a) f (x ) = x 2 - 4x ; b) f (x ) = 3x - x 3; c) f (x ) = x 4 - 8x 2 ; c) f :[1, 2] ® R, f (x ) =

d) f (x ) = x e x ;

e) f (x ) = x ln x ;

f) f (x ) = x - ln x ;

x -1 x 2 -1 ; h) f (x ) = 2 . x +1 x +1 S` se determine punctele de extrem pentru func\ia f : D ® R: E3. g) f (x ) =

x 2 + 4x -1 b) f (x ) = (x -1) e ; c) f (x ) = ; x -1 x e) f (x ) = x -2arctg x ; f) f (x ) = ; ln x x

3

a) f (x ) = x - 6x ; d) f (x ) =

x +1

; x 2 + x +1 g) f (x ) = (x 2 - x +1) e-x ;

h) f (x ) = x -1.

Sintez` S1. S` se determine constantele reale pentru care se poate aplica teorema lui Lagrange func\iei f: ì ïx 2 + ax , x T1 ; ï î5x + bx 2 , x > 1

a) f :[-1, 2] ® R, f (x ) = í

ìa + sin x , x Tp b) f :[ 0, 2p] ® R, f (x ) = í . îa cos x + bx , x > p

S2. S` se studieze monotonia func\iei f :D ® R ]i s` se determine punctele de extrem, [n cazurile: a) f (x ) =

x 2- 4x -1 x2 ; b) f (x ) = 4 ; x +1 x +4

d) f (x ) = x x -1;

e) f (x ) = x - 2 x 2 +1;

5 f) f (x ) = ln x - arctg x ; 2

(

g) f (x ) = 3 x 3 - 3x ;

(

c) f (x ) = x 2 ln x ;

)

h) f (x ) = ln 1+ x 2 +1 ;

)

i) f (x ) = arctg x + 1- x 2 ;

j) f (x ) = arcsin

143

2x 1+ x 2

.

S3. S` se determine valoarea parametrului m Î R pentru care func\ia f :D ® R este monoton` pe D. a) f (x ) = x 3 + mx ;

b) f (x ) = (x 2 + m ) e 2 x ;

c) f (x ) = 2x 3 + 5mx 2 + 6x -1; d) f (x ) = x 2 + x - m ln x . S4. S` se determine m Î R pentru care func\ia f :R ® R , f (x ) = (x 2 + mx +1) e 2 x are dou` puncte de extrem. m-x . S` se determine m Î R pentru care func\ia f nu S5. Fie f :R \ {1, 2} ® R, f (x ) = 2 x - 3x + 2 admite puncte de extrem. x 2 + 2bx + 5 . S` se determine a, b Î R pentru care func\ia f S6. Fie f :R \ {a} ® R, f (x ) = x -a admite puncte de extrem punctele x =-1 ]i x = 3 S7. Se d` func\ia f :R ® R, f (x ) = mx 3 + nx 2 + p (x +1). S` se determine m, n, p Î R pentru care punctul A(1,1) este punct de extrem al func\iei, iar tangenta la graficul func\iei f [n punctul B (0, p ) formeaz` cu axa Ox un unghi cu m`sura de 45 o . x 2 + ax + b . S` se studieze monotonia func\iei x -b f ]i s` se determine punctele de extrem, ]tiind c` dreptele x =1 ]i y = x + 4 sunt asimptote ale func\iei f.

S8. Se consider` func\ia f :R \ {b} ® R, f (x ) =

S9. S` se determine dreptunghiul de perimetru maxim [nscris [ntr-un cerc dat. S10. Dintre toate dreptunghiurile care au aceea]i arie, s` se determine cel de perimetru minim. S11. Un triunghi isoscel cu perimetrul 3P se rote]te [n jurul bazei. S` se determine triunghiul care genereaz` un corp de volum maxim.

S12. Se consider` func\ia f :(0, ¥) ® R, f (x ) = ln x ]i intervalele: I n = [ n, n +1], n Î N* a) S` se arate c` func\iei f i se poate aplica teorema lui Lagrange pe intervalul I n . b) S` se aplice teorema lui Lagrange func\iei f pe intervalul I n . Dac` c n Î I n are proprietatea c` f ¢(c n ) = f (n +1) - f (n), s` se determine c n . c) S` se arate c` pentru orice n Î N* are loc inegalitatea 1 1 < ln(n +1) - ln n < . n +1 n * d) S` se demonstreze c` pentru oricare n Î N are loc: 1 1 1 1 + + +...+ > ln n. 1 2 3 n

144

4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 246 manual

Exersare E1. S` se determine intervalele de convexitate ]i de concavitate pentru func\iile f :D ® R : a) f (x ) = x 2 - 3x ;

b) f (x ) =-3x 2 + 6x -11;

c) f (x ) = x 3 -12x ; x e) f (x ) = ; x +3 x g) f (x ) = 3 ; x +1

d) f (x ) = 3x 2 - 2x 3 ; x f) f (x ) = 2 ; x +4 h) f (x ) = x 2 e-x ;

x3 . 3 E2. S` se determine punctele de inflexiune pentru func\iile f :D ® R : a) f (x ) = x 3 -1; b) f (x ) = x 4 - 4x 3 ; 1 c) f (x ) = (x 2 +1) e-x ; d) f (x ) = 2 ; x -1 i) f (x ) = x ln x ;

j) f (x ) = arctg x +

2

e) f (x ) = ln (x 2 +1) ; f) f (x ) = xe-x ; 1 g) f (x ) = arctg ; h) f (x ) = sin 2 x . x E3. S` se determine intervalele de convexitate, de concavitate ]i punctele de inflexiune pentru f :D ® R : ì ì ïx 2 - 3x + 2 , xT1 ïx 3 + x +1, xT0 a) f (x ) = í ; b) f (x ) = í ; ï ï î2x 2 - 5x + 3, x > 1 îx + ln (x 2 +1) , x > 0 ì ïxe x , xT0 c) f (x ) = í . ï îx 2 + x , x > 0

Sintez` S1. S` se determine intervalele de monotonie, convexitate ]i concavitate pentru func\iile f :D ® R :

a) f (x ) = x 4 - 4x 2 +1; d) f (x ) = x + x 2 +1 ;

b) f (x ) =

4x - x 2 ; x +2

c) f (x ) = x - arcsin x ;

e) f (x ) = (x 2- x + 2) e x ; f) f (x ) = x 3 ln x .

S2. Se consider` func\ia f :R ® R , f (x ) = (x 2 + ax + b) e x . a) S` se determine a, b Î R ]tiind c` x =1 este punct de extrem, iar x =-2, este punct de inflexiune pentru func\ia f. b) Pentru valorile lui a, b g`site, s` se determine intervalele de monotonie, convexitate, concavitate ]i punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei f.

145

S3. S` se determine punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei f :R ® R , f (x ) = x 5 + ax 3 + 85x - 2 , ]tiind c` f ¢¢(-3) = 0 .

S4. Se consider` func\ia f :R ® R , f (x ) = ax + b arctg x . a) S` se determine a, b Î R ]tiind c` f ¢(1) = 2 ]i f ¢¢(-1) = 1. b) Pentru valorile lui a ]i b g`site, determina\i intervalele de monotonie, convexitate ]i concavitate ]i punctele de inflexiune ale func\iei f.

S5. Fie f :R ® R , f (x ) =

x

, a Î (0, +¥). x 2 + a2 a) S` se determine a ]tiind c` ecua\ia tangentei la graficul func\iei f [n punctul de inflexiune cu abscisa pozitiv` este x + 24 y - 9 = 0. b) Pentru a = 3, s` se studieze monotonia func\iei, intervalele de convexitate-concavitate ]i s` se afle punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei.

146

4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme

pag. 255 manual

Exersare E1. S` se reprezinte grafic func\iile f :D ® R : a) f (x ) = x 3 - 3x 2 ;

b) f (x ) = 8 - x 3 ;

c) f (x ) =-2x 3 + 3x 2 ;

d) f (x ) = x 5 - 5x 4 ;

e) f (x ) = x 4 - 5x 2 + 4; f) f (x ) = 2x 3 - 3x 2 + 5;

g) f (x ) = 16 - x 4 ;

h) f (x ) = x 4 - 2x 2 +1; i) f (x ) = (x -1) 2 (x +1);

j) f (x ) = x 3 (1- x );

k) f (x ) = (1- x ) 3 x ;

l) f (x ) = (x -1) 2 (x + 2) 2 .

E2. S` se reprezinte grafic func\iile f :D ® R : a) f (x ) = d) f (x ) = g) f (x ) =

x -1 ; x +1 x2

b) f (x ) = ;

2

x +1 x 2 -1

x 2 -9

;

e) f (x ) =

1- x ; x -2

c) f (x ) =

x

; x +1 x3 f) f (x ) = 2 ; x -1

x

2

; x -1 x3 h) f (x ) = . (x -1) (x - 2) 2

E3. S` se reprezinte graficul func\iei f :D ® R : a) f (x ) = x x ;

b) f (x ) = x 2 +1 ;

c) f (x ) = x 2 -1 ;

d) f (x ) = xe x ;

e) f (x ) = x 2 e x ;

f) f (x ) = x ln x ;

2

2

g) f (x ) = ln(x +1) ;

h) f (x ) = ln(x -1);

j) f (x ) = 2arctg x ;

k) f (x ) = x - ln x ;

i) f (x ) = x 2 ln x ; ln x l) f (x ) = . x

Sintez` S1. S` se reprezinte grafic func\ia f :D ® R : a) f (x ) = x x ; ì ïx 2 , xT1 c) f (x ) = í ; ï î2x 3 -1, x > 1 ì ï3 x , xT0 e) f (x ) = í ; ï î1- x +1, x > 0

b) f (x ) = x x -1 ; ìxe x , xT0 d) f (x ) = í ; îx ln x -1, x > 0 f) f (x ) = x ln (x 2 ) .

x 2 + ax , a ÎR. x -1 S` se reprezinte graficul func\iei f ]tiind c` are asimptota y = x -1.

S2. Se consider` f :R \ {1} ® R, f (x ) =

x 2 + ax , ]tiind c` are un extrem S3. S` se reprezint` graficul func\iei f :R \ {-1} ® R, f (x ) = x +1 [n x =-3.

147

x 2 - 4x + 3 . ax + 3 a) S` se determine a Î R pentru care func\ia are o asimptot` paralel` cu a doua bisectoare. b) S` se determine a Î R pentru care func\ia are un punct de extrem situat pe axa Oy. c) Pentru a =-4, s` se reprezinte grafic func\ia f. x3 S5. Fie f :R ® R , f (x ) = + x - sin x . S` se reprezinte grafic func\ia f ¢¢ . 3 x +a S6. Fie f :R ® R , f (x ) = 2 2 . S` se reprezinte grafic func\ia f ]tiind c` tangenta [n origine x +b este prima bisectoare. ax 2 + 2 . S7. Se consider` f :D ® R , f (x ) = x -1 a) Pentru care a Î R, graficul func\iei este tangent dreptei y + 2x = 10 ? b) S` se traseze graficul func\iei f pentru a =1.

S4. Se consider` func\ia f :D ® R , f (x ) =

pag. 256 manual

Teste de evaluare Testul 1 1. S` se studieze monotonia func\iei f :R ® R , f (x ) =

x +a 2

x + x +1

, ]tiind c` f ¢(1) = 0 .

2. S` consider` func\ia f :R ® R , f (x ) = ln (x 2 + 4x + m ) . a) S` se determine m Î R pentru care func\ia este definit` pe R. b) Pentru ce valori ale lui m Î R, punctul A (-2, 0) este punct de extrem al graficului func\iei f. c) Pentru m = 9, s` se studieze monotonia func\iei f ]i s` se afle punctele de extrem ale acesteia.

3. Studia\i convexitatea ]i concavitatea func\iei f :R ® R , f (x ) = arctg x - ln (x 2 +1) .

Testul 2 5

1. Fie f :R ® R , f (x ) = x . a) S` se arate c` f este derivabil` pe R. b) S` se arate c` f ¢(0) = 0 . Este x = 0 un punct de extrem al func\iei f ?

2. Fie f :R ® R , f (x ) = arcsin

2x

. 1+ x 2 a) S` se studieze derivabilitatea func\iei f. b) S` se precizeze extremele func\iei f. c) S` se arate c` semitangentele laterale [n punctul x =1 sunt perpendiculare.

x2 . S` se determine punctele [n care tangenta la graficul x +1 func\iei este paralel` cu prima bisectoare.

3. Fie f ;R \ {-1} ® R, f (x ) =

148

Testul 3 ìx 2 + a, xT2 . îax + b, x > 2

1. Se consider` func\ia f :R ® R , f (x ) = í

a) S` se determine a, b Î R pentru care f este continu` pe R. b) Exist` valori ale lui a pentru care f este derivabil` pe R ? c) Dac` f (1) = 5 ]i f ¢(3) = 4 + b , s` se traseze graficul func\iei g:R ® R , g (x ) = f (x 2 +1) .

2. Fie f :[ 0, +¥) ® R , f (x ) = ln (1+ x ) -

2x . x +2

a) S` se calculeze f ¢(x ), x Î [ 0, +¥). b) S` se studieze monotonia func\iei f. 2x c) S` se arate c` ln (1+ x )U , "x Î [ 0, +¥) . x +2

3. Se dau func\iile f :D1 ® R, g :D2 ® R, f (x ) = x - 2 , g (x ) = e x (x 2 + x - 6) . a) S` se afle D1 ]i D2 . b) S` se studieze derivabilitatea func\iilor f ]i g ]i s` se calculeze f ¢ ]i g ¢. g (x ) c) S` se calculeze lim . x® 2 f (x ) x>2

Testul 4 1. Se consider` func\ia f :[ 0, +¥) ® R , f (x ) = arctg x - x +

x3 . 3

a) S` se calculeze f ¢ ]i f ¢¢. b) S` se studieze monotonia func\iei f. x3 c) S` se arate c` arctg xUx - , x Î [ 0, +¥) . 3

2. S` se reprezinte grafic func\ia f :R ® R , f (x ) = x 2 +1 3. Fie f :R \ {0} ® R , f (x ) =

1- x

x 2

.

]i M (a, f (a)) Î G f , a Î R \ {0, 2, 3}. Not`m cu N punctul x2 [n care tangenta la grafic [n punctul M intersecteaz` din nou graficul func\iei. S` se determine valorile parametrului a pentru care coeficientul unghiular al tangentei la grafic [n punctul N este egal cu 3.

149

pag. 258 manual Probleme recapitulative 1. S` se determine limitele de func\ii: a) lim

x 20 - 2x 10 +1

(x -1) 2 sin x + sin 2x+...+sin nx c) lim ; x® 0 tg x + tg 2x +...+ tg nx x®1

e) lim

1- cos x cos 2x

x® 0

2. Fie L = lim

x®¥

a) L = 3;

3x +1 b) L = 0;

x +2 - 3 arcsin(8x ) d) lim ; x®0 sin (2x ) x®1

f) lim

;

x2 [x + x + ln 2 x ]

x +1 - 2

b) lim

;

;

2 x + 3x + 4 x - 3

x® 0

5 x + 6 x -2

.

. Atunci:

c) L = ln 2;

1 d) L = ; 3

(

3. S` se determine a, b Î R pentru care lim

x®¥

e) L =1.

)

x 2 - x +1 - ax - b = 0 . Facultatea de Chimie Constan\a, 1997

4. S` se determine a, b, c Î R pentru care lim

a cos x + b cos 2x + c

x® 0

x4

= 1.

5. S` se studieze continuitatea func\iilor f :D ® R: ì 1 ïx sin , x 1 ìx 2 + ax + b , xT1 ï c) f (x ) = í2x + a , x Î (1, 2) . ï 3 îx - ax + 2, xU2

6. S` se studieze continuitatea func\iei f :R ® R , ìa + e x , xT0 ï f (x ) = í x + 4 - b . ï , x >0 î x Universitatea Pite]ti, 1995

7. S` se determine parametrii reali a, b, c pentru care func\ia f :R ® R , ì ïe x , xT0 f (x ) - f (o) este continu` ]i lim f (x ) = í ÎR. 2 ï x® 0 x îax + bx + c , x > 0 Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 2004

8. S` se determine a, b, c Î R , pentru care func\ia f :R ® R , ìae 2 x , xT0 este derivabil` pe R. f (x ) = í î-2 sin x + b cos 4x , x > 0

150

ì x x ü ý. , î x -1 x +1þ

9. Se consider` func\ia f ;R \ {-1, 1} ® R, f (x ) = maxí

a) S` se expliciteze f (x ). b) S` se studieze continuitatea ]i derivabilitatea func\iei f. ì ïax 2 - 3x +1, x Î [-1, 0) . 10. Fie f :[-1, 1] ® R , f (x ) = í 2 ï ,] îx + bx - c , x Î [ 01 a) S` se determine a, b, c Î R , pentru care func\ia este derivabil` pe (-1, 1) ]i f (-1) = f (1) . b) Perntru valorile g`site, s` se studieze derivabilitatea func\iei æ 2x ö ÷. g :[-1, 1] ® R, g (x ) = f ç è1+ x 2 ø x - ln (x +1) ]i 11. Se consider` f :(-1, ¥) ® R, f (x ) = x +1 F:(-1, 0) È (0, +¥) ® R, c + bx + a ln (x +1) F (x ) = . x Dac` lim F (x ) = 1 ]i x 2 F ¢(x ) = f (x ), "x Î (-1, 0) È (0, +¥), iar a = F (2) , atunci: x® 0

a) a = ln 3 ;

b) a = 2;

c) a = ln 6;

d) a =1;

e) a = 2 ln 2 . ASE Bucure]ti, 2001

ì ï2x - x 2 m 2 + mx +1 , x T1 . 12. Fie f :R ® R , f (x ) = í ï x >1 î x -1 + m x , Dac` A = {m Î R f este continu` pe R} ]i a =

å m 2 , atunci: mÎA

a) a =1;

b) a =

34 ; 25

c) a =

25 ; 4

d) a =

58 ; 9

æ

e) a = éx ù

81 . 64

ö

[ ] + b÷+ 3, unde a, b Î R . 13. Se consider` func\ia f :R ® R , f (x ) = (-1) x ç ç x + aê ë2ú û ÷ è ø

Dac` A = {(a, b) Î R ´ R f este periodic` de perioad` 2 ]i este continu` [n x =1} , iar S=

å (a + b) , atunci: ( a , b )ÎA

a) S = 2;

b) S =-1;

c) S = 0;

d) S =-3;

e) S = 4. ASE Bucure]ti, 2002

14. Se consider` func\ia f :[ 0, 2] ® R , ì px , x Î [ 0, 1) ï f (x ) = ím, x =1 ï 3 îx + q , x Î (1, 2]

]i mul\imea A = {( p, m, q) Î R ´ R ´ R f este derivabil` pe (0, 2)} .

151

Dac` S =

å ( p + m + q) , atunci: ( p ,m,q )ÎA

a) S = 7;

b) S =-1;

c) S = 0;

d) S =10;

e) S = 8. ASE Bucure]ti, 1998

15. S` se determine asimptotele func\iei f :D ® R : x 2 - 3 x -2 ; x -1 x 3 - 3 x -2 c) f (x ) = . x (x -1)

b) f (x ) = x + x 2 -1 ;

a) f (x ) =

6x - x 2 + 4 ln x - 2 . 16. Se consider` func\ia f :(0, +¥) ® R , f (x ) = 2x a) S` se calculeze limitele func\iei f [n punctele x 0 = 0 ]i x 0 =+¥. b) S` se determine asimptota oblic` a func\iei f la +¥. c) S` se afle punctele [n care tangenta la grafic este paralel` cu asimptota oblic` a func\iei. Bacalaureat, 1997

4 ln x . S` se determine coordonatele punctului [n care x tangenta la graficul func\iei este paralel` cu asimptota oblic` a func\iei.

17. Fie f :(0, +¥) ® R , f (x ) = 2 - x -

2x 2 + ax + b . x +1 a) S` se afle parametrii a, b Î R pentru care dreapta y = 2x + 3 este asimptot` a func\iei. b) Pentru a = 5, s` se determine b astfel [nc@t func\ia f s` admit` asimptot` vertical`.

18. Fie f :D ® R , f (x ) =

Facultatea de }tiin\e Economice Timi]oara, 1995

19. Pentru ce valori ale lui m Î R, func\ia f :R ® R , f (x ) = 3 x 2 + (m - 2) x + 2 - m are domeniul de derivabilitate R ? Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1990

20. Se consider` func\ia f ;R \ {-1, 1} ® R, f (x ) =

1+ ax 1- x

2

× e 2x , a Î R .

2

a) S` se calculeze lim x f (x ). x®-¥

b) Pentru care valori ale lui a exist` egalitatea 3 f ¢(0) - f (0) = 11 ? (x + 2) 33 + (x - 2) 33 ]i T = f ¢(-2) + f ¢(0) + f ¢(2) . Atunci: 21. Fie f :R ® R , f (x ) = (x + 2) 33 - (x - 2) 33 1 33 3 22 a) T = ; b) T = ; c) T =1; d) T = ; e) T = . 2 2 2 3 ASE Bucure]ti, 2000

152

ìln (1- x ) ,

xT0

22. Fie f :R ® R , f (x ) = í

îax 2 + bx + c, x > 0 care func\ia f este de dou` ori derivabil` pe R.

. S` se determine valorile lui a, b, c Î R pentru ASE Bucure]ti, 1990

23. Pentru ce valori ale parametrilor a, b, c Î R, func\ia f :R ® R , ìx 3 + ax 2 + bx + c , xT1 f (x ) = í x >1 îarctg(x -1), este de dou` ori derivabil` pe R. ASE Bucure]ti, 1994

24. Se consider` func\ia f :R ® R , f (x ) = x - p sin x . a) S` se arate c` func\ia f este derivabil` [n x = p . b) Func\ia f este de dou` ori derivabil` [n x = p ?

25. Fie f :R ® (1, +¥) , f (x ) = 4 x + 2 x +1. a) S` se arate c` f este func\ie inversabil`. ¢ b) S` se determine f -1 ]i ( f -1 ) (3) . Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1987

1 . x (x +1) (x + 2) a) S` se arate c` exist` numerele a, b, c Î R pentru care: a b c f (x ) = + + . x x +1 x + 2

26. Fie f ;R \ {-2, -1, 0} ® R, f (x ) =

b) S` se calculeze S = f ¢¢(1) + f ¢¢(2) +...+ f ¢¢(10) .

27. S` se calculeze lim

sin x - tg x x 2 tg x

x® 0

. ASE Bucure]ti, 1990

e x - e sin x . x® 0 x - sin x

28. S` se calculeze lim

Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1990

ì

29. Fie M = ín Î N lim î

a) m = 3;

x cos x - sin x

x® 0

b) m = 6;

xn c) m = 4;

ü Î Rý. Dac` m = å n , atunci: þ nÎM d) m =15;

e) m =10. ASE Bucure]ti, 2000

30. Se consider` func\ia f :[-1, +¥) ® R , f (x ) = x + 5 - 4 x +1 + x +10 - 6 x +1 . 153

2

Dac` B = {x 0 Î (-1, +¥) f nu este derivabil` [n x 0 } ]i S = å( f d¢ (b) - f s¢ (b)) , atunci: bÎB

1 13 a) S = ; b) S = ; 4 36

1 c) S = ; 9

d) S =

11 ; 36

3 e) S = . 2 ASE Bucure]ti, 1998

31. Se consider` func\ia f a :R ® R , f a (x ) = 3 4(e x - x -1) - x 3 + (a - 3) x 2 , a Î R . Dac` A = {a Î R f a este derivabil` [n x = 0} , atunci: æ 1ö a) A Ìç-3, - ÷; è 2ø

æ 1 3ö b) A Ìç- , ÷; è 2 2ø

æ 9 13 ö d) A Ìç , ÷; è2 2 ø

e) A Ì (7, 15) .

æ5 ö c) A Ìç , 5÷; è2 ø

ASE Bucure]ti, 2000

32. Se consider` func\ia f :R ® R , f (x ) = x 2 x - a - x - b , a, b Î R . Fie A = {(a, b) Î R ´ R f este derivabil` pe R} ]i S =

å (a 2 + b 2 ) , atunci: ( a , b )ÎA

a) S =13;

b) S = 26;

c) S =17;

d) S = 5;

e) S = 4. ASE Bucure]ti, 2001

ìxe x , xT1 . îax + b , x > 1

33. Fie func\ia f :R ® R , f (x ) = í

10

Dac` f este derivabil` pe R ]i A = å f ¢(k ) , atunci: k=1

a) A = 20e;

b) A = 0;

c) A =100e;

d) A =11e;

e) A = e .

34. S` se determine num`rul de elemente ale mul\imii: ì ü ï ï x 2 n - 2x n - a í ý. A = a Î R lim = b Î R 2 x ® 1 ï ï ( x 1 ) î þ

35. Fie a = lim

ln (1+ x 5 ) - ln 5(1+ x ) x6

x® 0

5 a) a = ; 2

5 b) a = ; 6

c) a =

. Atunci:

e ; 2

6 d) a = ; 5

3 e) a = . 2 ASE Bucure]ti, 2001

36. S` se calculeze lim

ln (x 2 + e x )

x®¥ ln (x 4

+ e 2x )

.

154

ax 2 + bx + 2 . 37. Fie f :R \ {1} ® R, f (x ) = x -1 a) S` se determine a, b, c Î R pentru care func\ia admite asimptota y = x +2. b) S` se reprezinte graficul func\iei f pentru a =1 ]i b =1. c) Pentru a = b =1, s` se determine aria triunghiului determinat de axa Ox ]i asimptotele func\iei f. x2 . 38. Se consider` func\ia f :R \ {1, 2} ® R, f (x ) = (x -1) (x - 2) a) S` se traseze graficul func\iei f. x b) S` se determine [n ce raport [mparte dreapta y = aria patrulaterului determinat de axa 2 Ox ]i asimptotele func\iei f.

39. S` se demonstreze c` pentru oricare m Î R, func\ia f :R ® R , f (x ) = (x 2 + mx ) e-x , admite un maxim ]i un minim local.

40. Se consider` func\ia f :D ® R , f (x ) = ax + bx 2 + cx +1 , a, b, c Î (0, +¥) . a) S` se determine a, b, c ]tiind c` func\ia admite o asimptot` oblic` la +¥ paralel` cu dreapta y = 4x + 5, iar c`tre -¥ o asimptot` orizontal` y =-1. b) S` se construiasc` graficul func\iei pentru valorile lui a, b, c determinate. x 2 + ax . bx + 2 a) S` se determine a, b Î R pentru care extremele func\iei se ob\in pentru x =-8 ]i x = 4. b) Pentru valorile lui a, b determinate, s` se reprezinte graficul func\iei f.

41. Se d` func\ia f :D ® R , f (x ) =

42. Fie f :D ® R , f (x ) =

m (x +1) 3 2

, m Î R* .

x +x +m a) Pentru ce valori ale lui m func\ia admite dou` asimptote paralele cu axa Oy? b) Pentru ce valori ale lui m func\ia este monoton` pe R ? c) Pentru m =1, s` se reprezinte graficul func\iei f. d) Fie A, B punctele [n care graficul func\iei f, pentru m =1, intersecteaz` axele de coordonate. {n ce puncte graficul func\iei admite tangente paralele cu dreapta AB?

155

REZOLVĂRI Partea a II-a. Elemente de analiză matematică Capitolul I. Limite de funcţii 1.1. Mulţimi de puncte pe dreapta reală Exersare E1. Soluţie: Mulţimile de minoranţi şi majoranţi sunt respectiv: a) m = (–∞, –3], M = [5, +∞), b) m = (–∞, –2], M = [3, +∞), c) m = (–∞, –5], M = [4, +∞), d) m = (–∞, –2], M = [5, +∞), e) m = (–∞, 1], M = [11, +∞), f) m = (–∞, –1], M = [3, +∞). E2. Soluţie: Mai întâi se rezolvă ecuaţiile şi inecuaţiile de gradul 2, cu radicali, cu modul, exponenţiale şi logaritmice. a) x2 – 3x = 0 ± x(x – 3) = 0 ± x i {0, 3}. Aşadar A = {0, 3} şi avem: m = (–∞, 0], M = [3, +∞). b) Alcătuim tabelul de semn pentru f(x) = x2 – 3x. x x – 3x 2

–∞ 0 3 +∞ +++++0–––––0+++++

Se obţine x i [0, 3], deci A = [0, 3]. Rezultă m = (–∞, 0] şi M = [3, + ∞). c) Condiţii impuse: x – 3 U 0, deci domeniul de lucru este D = [3, +∞). Prin ridicare la pătrat obţinem succesiv x − 3 T 2 ⇒ x − 3 T 4 ⇒ x T 7 ⇒ x i (–∞, 7].

Aşadar A = (–∞, 7) O D = [3, 7] şi se obţine: m = (–∞, 3], M = [7, +∞). d) Folosim proprietatea modulului: E( x) T M ⇔ −M T E ( x) T M . Se obţine succesiv: x − 3 T 1 ⇔ −1 T x − 3 T 1 ⇔ 2 T x T 4 . Rezultă că x [2, 4], A = [2, 4], iar m = (–∞, 2], M = [4, +∞). e) Avem succesiv 2x −3 T 0, 25 ⇔ 2x −3 T 25 ⇔ 2x −3 T 1 ⇔ 2x −3 T 2−2 ⇔ x − 3 T − 2 ⇔ x T 1 . 100 4

Aşadar x i (–∞, 1] iar A = (0, +∞) O (–∞, 1] = (0, 1]. Rezultă că: m = (–∞, 0], M = [1, +∞). f) Deoarece 0,125 = 125 = 1 = 13 = 2−3 , iar 0, 25 = 1 = 2−2 se obţine: 1000

8

2

4

2–3 T 4x T 2–2 ® 2–3 T 22x T 2–2 ® –3 T 2x T –2 ⇔ − 3 T x T − 1 . 2

(

Aşadar A = ⎡⎢ − 3 , − 1⎤⎥ , m = −∞ , − 3 ⎤⎥ , M = [–1, +∞). 2⎦ ⎣ 2 ⎦ 156

g) Condiţii: x – 1 > 0 ± x > 1 ± D = (1, + ∞). Folosim proprietatea logaE(x) T b, a > 1 ± E(x) T ab. Se obţine succesiv: log2(x – 1) T 2 ± x – 1 T 22 ± x T 5. Aşadar A = (–∞, 5) O D = (1, 5), iar m = (–∞, 1], M = [5, + ∞). ⎧x −1 > 0 ⎩3x > 0

h) Condiţii de existenţă pentru logaritmi: ⎨

Se obţine domeniul de existenţă: D = (1, +∞) O (–∞, 3) = (1, 3). Folosim formula de schimbare a bazei pentru logaritmi loga N =

logb N . logb a

Se obţine succesiv: log2 ( x −1) T log4 (3 − x) ⇔ log2 ( x −1) T

log2 (3 − x) ⇔ log2 4

⇔ log2 ( x −1) T 1 log2 (3− x) ⇔ log2 ( x −1) T log2 3 − x 2 Din monotonia logaritmilor rezultă că x − 1 T 3 − x .

Cum x – 1 > 0, prin ridicare la pătrat avem ( x − 1)2 T 3 − x ⇒ x2 − 2 x + 1 T 3 − x ⇒ x2 − x − 2 T 0 . Tabelul de semn pentru f(x) = x2 – x – 2 este: x x –x–2 2

–∞ –1 2 +∞ +++++0–––––0+++++

Soluţia inecuaţiei este x i [–1, 2]. Rezultă A = [–1, 2] O (1, 3) = (1, 2], iar m = (–∞, 1], M = [2, +∞). E3. Soluţie: a) Avem că –1 T sinx T 1, ¼x i Z, deci A = [–1, 1], care este interval mărginit. 2(n + 1) − 2 = 2 − 2 < 2 , deci M = 2 este un majorant pentru b) Avem: 2n = 2n + 2 − 2 = n +1

n +1

n +1 n +1 n +1 mulţimea A. Deoarece n ∈ q ⇒ 2n U 0 , ¼n i q deci m = 0 este un minorant pentru A. n +1

Aşadar A este mulţime mărginită.

( n + 1 − n )( n + 1 + n ) 1 = n +1− n = . n +1 + n n +1 + n n +1 + n 1 < 1 , deci A _ (0, 1). Aşadar 0 < n +1 + n

c) n + 1 − n =

d) Deoarece 48 ∈ q , rezultă că n + 1 este divizor pozitiv pentru 48. n +1

Dar D48 = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48}. Rezultă că n + 1 i {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} şi astfel n i {0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 47}. Aşadar A = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 47} _ [0, 47]. e) Deoarece x2 U 0 ⇒ x2 + 1 U 1 ⇒ 0 < 21 T 1 ⇒ 0 < 22 T 2 , deci A _ [0, 2]. x +1

x +1

157

f) Fie y =

x +1 ∈ A . Rezultă, după aducerea la acelaşi numitor: yx2 + (y – 1)x + y – 1 = 0. x2 + x +1

Ecuaţia are soluţie dacă ∆ U 0. Se obţine ∆ = (y – 1)2 – 4y(y – 1) = (y – 1)(–3y – 1). Soluţiile inecuaţiei ∆ U 0 sunt y ∈ ⎡⎢ − 1 , 1⎤⎥ . Aşadar A = ⎡⎢ − 1 , 1⎤⎥ . ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ E4. Soluţie: a) Avem: x T 3 ⇔ − 3 T x T 3 . Aşadar x i [–3, 3] = A. b) Avem: x − 1 T 2 ⇔ −2 T x − 1 T 2 ⇔ −1 T x T 3 . Aşadar x i [–1, 3] = A.

⎧ x − 2, dacă x − 2 U 0 ⎧ x − 2, dacă x U 2 . Rezultă că x − 2 = ⎨ . ⎩− x + 2, dacă x − 2 < 0 ⎩− x + 2, dacă x < 2 • Pentru x U 2, inecuaţia x − 2 U 1 se scrie x – 2 U 1 cu soluţia x U 3, deci x i [3, +∞).

c) Avem: x − 2 = ⎨

• Pentru x < 2, inecuaţia x − 2 U 1 se scrie –x + 2 U 1 şi are soluţia x T 1, deci x i (–∞, 1]. Rezultă că x − 2 U 1 ⇔ x ∈ (−∞ , 1] ∪ [3, + ∞) = A . d) Avem succesiv: 1 T 1 ⇔ 1 − 1 T 0 ⇔ 1 − x T 0 . x

x

x

Alcătuim tabelul de semn pentru f ( x) = 1 − x . x

x 1–x x f(x)

–∞ 0 1 +∞ +++++0+++++0–––––– ––––– 0+++++++++++ ––––– |+++++0–––––

Se obţine că x i (–∞, 0) N [1, +∞) = A. e) Tabelul de semn pentru f ( x) = x2 − 1 este x −4

x x–1 x2 – 4 f(x)

–∞ –2 1 2 +∞ –––––––––––– 0++++++++++ +++++ 0––––––––––0++++++ ––––– |+++++ 0––– |++++++

Se obţine: x i (–2, 1] N (2, +∞) = A. 2 2 f) Avem că: x2 − 4 T 1 ⇔ x2 − 4 − 1 T 0 ⇔

x −9

x −9

5 T 0 ⇔ x2 − 9 < 0 . x2 − 9

Se obţine că x i (–3, 3) = A. g) Deoarece 0,25 = 2–2 obţinem că: 2x+1 T 24x · 2–2(x+1) ® 2x+1 T 24x–2x–2 ® 2x+1 T 22x–2 ® x + 1 T 2x – 2 ® 3 T x. Aşadar, x i [3, +∞) = A. h) Condiţiile de existenţă pentru radical: x – 3 U 0. Deoarece x − 3 U 0 ± că x − 3 U x − 3 U 0 deci domeniul de existenţă este x i [3, +∞). Prin ridicare la pătrat se obţine: (x – 3) T (x – 3)2 sau x2 – 7x + 12 U 0, cu soluţia x i (–∞, 3] N [4, +∞). Aşadar, A = {(–∞, 3] N [4, +∞)) ∩ [3, +∞) = [4, +∞) N {3}. 158

E5. Soluţie: Vecinătăţi pentru x0 = 0 sunt: V1, V4, V8, iar vecinătăţi pentru x = –1 sunt: V1, V8, V9. b) V2 nu este vecinătate pentru x0 şi x1 deoarece nu conţine aceste puncte. c) 0 h V2, –1 h V2. d) –1 h V4, e) –1 h q, iar 0 nu aparţine unui interval inclus în q. e), f) m şi { nu conţine intervale deschise care să conţină pe 0 şi –1. i) 0 h V9. E6. Soluţie: O mulţime V _ Z este vecinătate pentru +∞, dacă există a i Z, astfel încât V = (a, +∞). Vecinătăţi ale lui +∞ sunt. V1, V2, V3, V9. E7. Soluţie: a) A′ = [0, 3], b) A′ = l, deoarece A este mulţime finită; c) A′ = (–∞, 3] N {–∞} = [–∞, 3], Numărul x = 5 este punct izolat al mulţimii A.

d) A′ = [–2, 2] N [3, 5], e) A′ = {+∞}, f) A′ = [1, 2].

E8. Soluţie: a), b) Mulţimea A este interval nemărginit. c) Mulţimea A este nemărginită şi superior şi inferior deoarece conţine toate numerele pare pozitive şi numerele impare negative. d) A = (1, +∞). Într-adevăr dacă y i A, atunci rezultă că există x i (0, 1) cu y = 1 . x

Dar, atunci x = 1 < (0, 1) 0 < 1 < 1 . y

y

Rezultă că y > 0 şi 1 < 1 . Cum y este pozitiv, rezultă că din 1 < 1 se obţine y > 1. y

y

Aşadar y i (1, +∞) = A. e) Inecuaţia x − 1 U 2 conduce la x – 1 U 2 sau –x + 1 U 2, deci x ∈ [3, +∞) au x ∈ (–∞, –1]. Aşadar x i (–∞, –1] N [3, +∞) = A. 2y −1 f) Fie y i A. Atunci există x i (2, + ∞) cu y = x − 1 . Se obţine că x = iar din condiţia y −1

x−2

x > 2 rezultă că

2y −1 > 2 , inecuaţie cu soluţia y i (1, +∞). Aşadar A = (1, + ∞). y −1

Observaţie. Deoarece x − 1 = x − 2 + 1 = 1 + 1 x−2

x−2

x−2

şi x – 2 > 0 rezultă că x − 1 > 1, ∀x ∈ (2, + ∞) etc. x−2

g) A = {0, 7, 14, ...} = {7n | n i q}. Dacă M i Z ar fi un majorant pentru A, atunci 7n T M, ¼n i q, sau n T M , ∀n ∈ q , ceea ce ar însemna că mulţimea q ar fi mărginită superior de 7 M , absurd. Aşadar A este nemărginită superior. 7

159

1.4. Calculul limitelor de funcţii Exersare E1. Soluţie: a) 3;

b) 125;

e) =− π +1= 0 ,

f)

π

c) 3 3 ;

= 3 · 12 – 1 + 2 = 4;

g)

d)

= 2 · 2 + 1 = 5;

= 53 + 1 = 126,

E2. Soluţie: b) = ∞ + ∞2 = + ∞, a) = (1 + 1)2 + 1 = 5, d) = 3 · ∞ + 1 + ∞2 = +∞, e) = –7 · ∞2 = –∞, g) = log3(0+) = –∞, h) = log0,3(0+) = +∞.

h)

= ln3.

c) = (–∞)2 – 3 = +∞, f) = 9 = 3 ,

E3. Soluţie: Aplicăm proprietăţi ale logaritmilor. a) = lim x =1 ; b) = lim( x2 +1) =1 ; c) = lim( x log5 2) = 5log5 2 . x →1

( 3)

x →0

x →5

d) = lim x⋅log3 1 =−∞⋅(−1) =+∞ . x→−∞

E4. Soluţie: Funcţia f are limită în x0 i D′ dacă limitele laterale f(x0 – 0) şi f(x0 + 0) există şi sunt egale. a) f(1 – 0) = 2 · 12 + 3 = 5, f(1 + 0) = 5 · 1 – 1 = 4, f(2 – 0) = f(2 + 0) = 5 · 2 – 1 = 9. Funcţia f nu are limită în x0 = 1, iar în x0 = 2 limita este l = 9. b) Avem: lim f ( x) = lim( x + 3) = 3, lim f ( x) = lim (4x ) = +∞ . x →0

x →0 x >0

x →+∞

x →+∞

De asemenea, f (1 − 0) = lim( x + 3) = 4, f (1 + 0) = lim 4x = 4 . x →1 x 1

Aşadar f are limită în x0 i {0, 1, +∞}.

Sinteză S1. Soluţie: a) Avem: 6 = a – 1 + 3 ± a = 4; b) 5 + 6a · 3 = 23 ± a = 1; c) a2 + 2a – 3 = 5 ± a2 + 2a – 8 = 0 ± a i {2, –4}; d)

a =3 ⇒ a =9 ;

e) a2 + 3a + 11 = a + 14 ± a2 + 2a – 3 = 0 ± a i {–3, 1]; f)

3

g)

a −1 = a −1 . Condiţia de existenţă a – 1 U 0 deci a U 1. Se obţine a – 1 = (a – 1)2 cu soluţia a i {1, 2};

a +1 = 3 ⇒ a +1= 27 ⇒ a = 26 ;

2

2

h) 2a = 16 ⇒ 2a = 24 ⇒ a2 = 4 ⇒ a ∈{−2, 2} . 160

S2. Soluţie:

( 2) (2 )

a) Pe mulţimea 0, 1 ∪ 1 , 1 funcţia f are limite. Studiem existenţa limitei funcţiei f în x0 = 1 .

2 1 1 =−1 , iar f 1 + 0 = lim(2 x − 2) = 2 ⋅ 1 − 2 = −1 . Rezultă că: f − 0 = lim1 log2 x = log2 1 2 2 2 2 x→ x→ 2 2

(

)

( )

()

Aşadar f are limită şi în x0 = 1 . 2

b) Pentru x0 i (0, 1) N (1, 2) f are limită. Avem: f (1− 0) = lim 2x = 2, f (1+ 0) = lim log2 x = log2 1= 0 . x→1

x→1

Aşadar f nu are limită în x0 = 1. Punctul x0 = 3 este punct izolat pentru domeniul de definiţie şi în el nu se pune problema existenţei limitei. S3. Soluţie: a) Avem: f (1 − 0) = lim[ax2 + (a + 2) x] = a + a + 2 = 2a + 2 şi f (1+ 0) = lim 3 x =1 . x →1

x→1

Din egalitatea f(1 – 0) = f(1 + 0) se obţine că 2a + 2 = 1 deci a = − 1 . 2

2

2

2

b) Avem: f (1 − 0) = lim[( x + a) + ( x − 1) ] = (a + 1) şi f (1 + 0) = lim( x − 1 + a)( x + 4 − a) = a ⋅ (5 − a) . x →1

2

x →1

Din egalitatea f(1 – 0) = f(1 + 0) se obţine ecuaţia (a + 1) = a(5 – a) sau 2a2 – 3a + 1 = 0 cu

{2 }

soluţia a ∈ 1 , 1 . c) Avem: f (2 − 0) = lim(ax + b) = 2a + b , x →2

f (2 + 0) = lim log2 x =1, x →2

f (4 − 0) = lim log2 x = log2 4 = 2,

,

x →4

f (4 + 0) = lim(ax2 + bx + 6) = 16a + 4b + 6 . x →4

Din egalităţile f(2 – 0) = f(2 + 0) şi f(4 – 0) = f(4 + 0) rezultă sistemul de ecuaţii ⎧ 2a + b = 1 cu soluţia a = –1, b = 3; ⎨ ⎩16a + 4b + 6 = 2

d) Avem: f(1 – 0) = 2a, f(1 + 0) = 4b, f(3 – 0) = 43b, f(3 + 0) = 83(a+2). ⎧ ⎪2a = 4b

Rezultă sistemul de ecuaţii: ⎨

3b

3( a+2)

⎪ ⎩4 = 8

⎧ a = 2b cu soluţia a = –3, b = − 3 . 2 = + b a 6 9( 2) ⎩

sau ⎨

S4. Soluţie: a) f (−1 − 0) = −1 = 1, f (−1 + 0) = −1 , f (0 − 0) = 0 = f (0 + 0) , f (1− 0) = 1 =1= f (1+ 0) .

Aşadar f are limite în x0 i {–1, 0, 1}; b) f(0 – 0) = 3 = f(0 + 0), f(3 – 0) = 0 = f(3 + 0), f(4 – 0) = 1 = f(4 + 0); d) f(–5 – 0) = 8 – 5 = 3 = f(–5 + 0), f(3 – 0) = 3 = f(3 + 0), f(5 – 0) = 7 = f(5 + 0); lim f ( x) = lim x2 −1 = 0 , e) Avem: lim f ( x) = lim x2 −1 = 0, x→−1

x →−1

x→1

2

f (2 − 0) = lim x −1 = 3, x→2

x→1

f (2 + 0) = lim x2 +1= 3 . x →2

161

1.4.3. Limitele funcţiilor trigonometrice Exersare E1. Soluţie: Se obţine: a) = sin π = 1 , b) = cos π = 3 , c) = sin− π =− 2 , d) = cos − π = cos π = 3 , 6 2 6 6 2 6 2 4 2 h) = cos(−π) = cos π =−1 . e) = sin π = 0 , f) = cos π =−1 , g) = sin 2 π = 0 ,

( )

E2. Soluţie: a) = tg π = 3 , 3

b) = tg − π =−tg π =− 3 , 3 3

d) =−∞ ;

e) = tgπ = 0 ,

( )

( )

g) = ctg − π =−ctg π =−1 ; 4 4

( )

h) = ctg 3π = 0 ; 2

( )

c) = tg − π =−tg π =−1 ; 4 4 f) = ctg π = 0 ; 2 i) =−∞ ;

E3. Soluţie:

( ) () = arccos (− 1 ) = π− arccos ( 1 ) = π− π = 2π ; 2 2 3 3

j) =+∞ .

( ) = arccos (− 2 ) = 3π ; 2 4 = arcsin ( 2 ) = π . 2 4

a) = arcsin − 1 =−arcsin 1 = π ; 2 2 6

d) = arcsin − 3 =− π ; 2 3

b)

e)

( )

( )

c) = arccos − 3 = π− arccos 3 = π− π = 5π 2 2 6 6

f)

E4. Soluţie:

d) = arcctg (− 3 ) = π− arcctg ( 3 ) = π− π = 5π ; ( 33 ) = π6 ; 3 3 6 6 = arcctg ( 3 ) = π ; e) = arctg(− 3) =− π ; 3 3 3 = arctg (− 3 ) =−arctg ( 3 ) =− π ; f) = arctg( 3) = π . 3 3 6 3

a) = arctg b) c)

Sinteză S1. Soluţi:.

a) Se obţine egalitatea arcsin a = π şi rezultă că a = sin π =1 ; 2 2 b) arccosa = 0 ± a = cos0 = 1; c) arctg a = π ⇒ a = tg π = 1 ; 4 4 e) arccos a = π ⇒ a = cos π =−1 ; d) arcsin a = π ⇒ a = sin π = 2 ; 4 4 2 f) arctg a =− π ⇒ a = tg − π =−1 . 4 4

( )

162

S2. Soluţie: a) f(0 – 0) = sin 0 = 0, f(0 + 0) = 02 = 0, deci lim f ( x) = 0 x →0

• lim f ( x) ]i lim sin x nu există x→−∞

x→−∞

lim f ( x) = lim x2 =+∞ .

x→+∞

x→+∞

b) lim f ( x) = lim sin x = 0 , x→0

x→0

• f (π− 0) = lim sin x = sin π = 0 x→π

f (π+ 0) = lim 3( x − π)2 = 0 , deci lim f ( x) = 0 . x→π

x→π

2

• lim f ( x) = lim 3( x − π) = 3π x →2 π

2

x→2 π

c) lim f ( x) = f (−1+ 0) = arccos(−1) = π ; x→−1

• f (0 − 0) = lim arccos x = arccos 0 = π , 2 x→∞ f (0 + 0) = lim x2 + 2 x + π = π , deci lim f ( x) = π ; 2 2 2 x→0 x→0 • lim f ( x) = lim f ( x) = lim x2 + 2x + π = 3+ π . 2 2 x→1 x→1 x→1

(

x 0

Se obţine: • lim f ( x) = lim (− sin x) = − sin(−1) = sin1 ; x →−1

x →−1

• lim f ( x) = limsin x = sin1 ; x →1

x →1

• f (0 − 0) = lim(−sin x) = 0, f (0 + 0) = limsin x = 0 , deci lim f ( x) = 0 . x →0

x →0

x→0

⎧ ⎡− π , 0 ⎤ ⎪−sin x , x ∈⎣ 2 ⎦. b) f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩sin x , x ∈ (0, π] Rezultă că: • limπ f ( x) =−sin − π =1 ; 2 x→−

( )

2

• limπ f ( x) = limπ sin x = sin π =1 ; 2 x→ x→ 2

2

• f(0 – 0) = –sin0 = 0, f(0 + 0) = sin0 = 0, deci lim f ( x) = 0 . x→0

( )

c) • limπ f ( x) = cos − π = 0, 2 x→− 2

• limπ f ( x) = cos π = 0 , 2 x→ 2

• lim f ( x) = cos 0 =1 . x→0

⎧−arctg x , x T 0 . d) Avem: f ( x) = ⎨ ⎩ arctg x , x > 0 Se obţine: • lim f ( x) =−arctg (−1) = π , 4 x→−1 • lim f ( x) = arctg 0 = 0 , x→0

• lim f ( x) = arctg1= π . 4 x→1

164

1.5. Operaţii cu limite de funcţii Exersare E1. Soluţie: a) = lim x2 − lim 3x + lim x = 42 − 3⋅4 + 4 = 6 ; x →4

x →4

x →4

b) = 2⋅3−1+ ln 3 = 5 ; 3 c) = –3; d)

= 2 + 3 – 4 = 1;

e)

= 2;

f) = 1 + 1 +1 = 11 . 2 3 6 E2. Soluţie: a) = lim( x2 − 2)⋅lim( x2 − 3) = (−1)⋅(−2) = 2 ; x→1

(

)(

x→1

)

b) = lim x2 ⋅ lim log3 x =1⋅log3 1= 0 ; c)

x→1

x→1

= 0;

x ⎞⎛ x ⎞ ⎛ d) =⎜ lim 2 ⎟⎜ ⋅ lim 3 ⎟= 8⋅ 27 =1 ; ⎝ x→3 8 ⎠⎝ x→3 27 ⎠ 8 27 e) = 0;

f)

= 0.

E3. Soluţie: lim( x −1) = 0 =0 ; a) = x→12 lim( x + x +1) 3

b) =

lim( x2 + 4 x −10) x →2

lim(2x − 3) x →2

x→1

c)

d) = 2 ; 3

= 1;

e)

= 2=2; 1

f) = 2 . 5

= 0;

E4. Soluţie:

(

a) = lim( x +1) c)

x→1

lim x

)

x→1

= 53 = 125;

(

=2 1=2 ; d)

b) = lim sin x

= 1;

e)

x→0

lim(1+x)

)

x→0

= 01 = 0 ;

f) = π . 4

= 0;

Sinteză S1. Soluţie:

(

2

) (

2

)

a) = lim( x + 3 x ) = lim x + lim 3 x = (1+1)2 = 4 ; d)

x→1

= 0;

e)

= 4;

x→1

f)

x→1

= 0;

(

165

= 0;

1

)

2 g) = 2⋅ π + π = 2π ; 6 3 3

S2. Soluţie:

b) h)

= 2;

c)

= 1;

i) = π . 2

Folosim operaţiile cu limite de funcţii. Se obţine: a π+ π 2 = 2 ⇒ a+1 = 2 ⇒ a = 3 ; a) π+ 0 2 2 b) 9 =1 ⇒ a −1 = 9 ⇒ a = 10 ; a −1 c) a + 2a =1 ⇒ 2a + a = a + 2 ⇒ a =1 ; 2+ a a a d) 2a + 4 a = 3 ⇒ 8 ⋅ 22 + 8 ⋅ 4 a = 6 ⋅ 2a + 9 ⋅ 4a ⇒ 2 ⋅ 2a = 4a ⇒ 2a +1 = 22a ⇒ 2 ⋅ 2 + 3⋅ 4 8 ⇒ a + 1 = 2a ⇒ a = 1 . S3. Soluţie: a) • lim f ( x) = lim f ( x) = lim( x⋅tgx) = 0 ; x→0

x→0 x>0

(

)

x→0

(

)

• f π − 0 = limπ x⋅tgx = π (+∞) =+∞ , iar f π + 0 =1 . 2 2 2 x→ 2 x 0 avem inegalitatea 4 − 2 < x x

167

1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii Exersare E1. Soluţie: a) = 2 = 2 ; 2 +1 3

b) = 0 + 0 +1 =1 ; 3⋅0 +1

c) =

E2. Soluţie: a) = 2 =+∞ ; 0+

b) = −1 =−∞ ; 2⋅0+

c) = 4 =−∞ ; 0−

2⋅4 = 8 ; 6 + 4 +1 11

2 1 e) = lim 2 x + 3x − 4 = = 1 =+∞ ; (0−)⋅(−1) 0+ x→1 ( x −1)( x − 2) x−2

c) = 2 =+∞ ; 0+ f) = −1 =−∞ . 0+

E4. Soluţie:

Cazuri de nedeterminare 0 . Se aduc expresiile date la forme mai simple. 0 4( x − 1) 4( x −1) = = 4 , =2; a) 4 x2− 4 = 2 9 9 x − 9 9( x −1) 9( x −1)( x +1) 9( x +1)

x2 −1 = ( x −1)( x +1) = x −1 , =−2 ; x + 3x + 2 ( x +1)( x + 2) x + 2 2 ( x − 2)( x + 2) x + 2 = , =4 ; c) 2 x − 4 = x − 3x + 2 ( x −1)( x − 2) x −1 2 x( x − 3) = x , =−3 ; d) 2 x − 3x = ( − 3)( − 4) x x x−4 x − 7 x +12 ( x − 2)2 ( x − 2)2 x − 2 e) 2 = = , =0 ; x x − 2 x x( x − 2) b)

2

2 ( x + 2)2 f) x +2 4 x + 4 = = x+2 , = 0 . 2 x( x + 2) 2x 2x + 4x

E5. Soluţie:

Caz de nedeterminare ∞ . Fiind limite de funcţii raţionale se compară gradele numitorului şi ∞ numărătorului. a) = 2 =−2 ; −1

b) = −1 ; 2

c) = −2 =− 1 ; 6 3

d) = −1 ; 3

e) = 3 ⋅(+∞) =+∞ ; 2

f) = 6 ⋅(−∞) =−∞ ; 2

g) = 0 ;

h) = 0 .

168

E6. Soluţie:

Cazuri de nedeterminare ∞ . Se foloseşte metoda factorului comun forţat. ∞ 2 x 1+ 1 2 1+ 1 x x = 2⋅ 1+ 0 = 2 ; a) = lim = lim x→∞ x→∞ 3 0 +1 3 +1 x +1 x x x2 1+ 1 x 1+ 1 1+ 1 x x x = 1+ 0 = 1 ; b) = lim = lim = lim x→−∞ x →−∞ x →−∞ 4+0 2 x ⋅ 4 + 32 4 + 32 x2 4 + 32 x x x x 1+ 1 1+ 1 x+ x = x x , =1 ; c) Avem: = 2 3 3x + 2 x +1 x⋅ 3 + 2 + 1 3+ + 1 x x x x ⎛ 1 ⎞ x ⋅ + 1 ⎜ ⎟ 3 1 2 +1 3 2 3 ⎝ x ⎠ = x , =1 ; d) x + x = 2x +3 3 2 3 2+ x⋅ 2 + x x

( ) ( ) ( )

(

)

(

(

(

)

)

)

(

( (

)

) )

x2 1+ 12 + 2 x x 1+ 12 + 2 1+ 12 + 2 2 x + + x x x 1 2 x = = = e) , =3 ; 2 2 2 x −1 + x 2 x2 1− 1 + x x 1− 1 +1 1− 12 +1 2 2 x x x 1+ 2 1+ 1 x + 2 x + 1 x f) = , = 1+ 2 = 3 ; 3 x −1 + 4 x +1 3⋅ 1− 1 + 4 + 1 3+ 4 5 x x 1 x⋅ 3− x 3− 1 3− 1 x x x − 3 1 x = = = , pentru x < 0, =−1 ; g) 1 7 1 7 2 1 7 9 x2 − x + 7 − + − − + x 9 9 x 9− + 2 x x2 x x2 x x x 2 − 3 + 52 − 2 − 3 + 52 2 x x x x x x 2 3 5 − + , pentru x < 0, =− 2 . h) = = 3 x 3 −4 3− 4 x 3− 4 x x

(

(

)

( )

)

( )

( )

Sinteză S1. Soluţie: Se aduc funcţiile raţionale la forma cea mai simplă. 2 x2 − 2 x +14 = 2 x2 − 2 = 2 . Limita este = 2 . f ( x) = x + 2 x +1+ x2 −1 x2 −1 ( x +1)3 −8 − ( x −1)2 | x −1| ( x −1)( x2 + 2 x +1− 2 x − 2 + 4) − ( x −1)2 | x −1| = = b) f ( x) = ( x −1)( x − 2) ( x −1)( x − 2) 2 ( x −1) | x −1| ; = 4 =−4 ; = x +3 − −1 x−2 x−2 2 ( x − 2)(5x + 4) 5x + 4 c) f ( x) = 5x2 − 6 x −8 = = ; =7 ; 2 x − 6 x + 4 2( x −1)( x − 2) 2( x −1)

169

d) f ( x) =

( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) x + 3 = = , =1 ; ( x − 3)( x − 3 + x + 3) ( x − 3)⋅2x 2x

2 ( x −1)2 = x −1 , = 0 ; e) f ( x) = x − 2 x +1 = (2 x −1)( x −1) ( x −1)(2 x −1) 2 x −1 2 2( x −1)( x +1) 2( x −1) = , =1 . f) f ( x) = 22 x − 2 = 3 3x − 6 x − 9 3( x +1)( x − 3) 3( x − 3)

S2. Soluţie:

a) f (2 − 0) = lim x −1 = 1 =−∞; a x →2 x − 2 x2 x>2

Aşadar lim f ( x) = −∞ . x→2

b) f (1 − 0) = lim x →1 x 1

x >1

Aşadar f nu are limită în x0 = 1. S3. Soluţie:

⎧⎪ ±∞ , dacă a + 2 ≠ 0 a) lim 2 x + a = 2 + a = ⎨ 0 . x →1 x − 1 0− , dacă + 2 = 0 a ⎪⎩ 0 x −1 x >−1

Aşadar x = –1, x = 1 sunt asimptote verticale bilaterale. 2 Deoarece lim f ( x) = lim 2x = lim x = 0 , f(0 + 0) = 0, dreapta x = 0 nu este asimptotă x →0 x →0 x + x x →0 x + 1 x 0 . Se obţine xe + 1 > 0 cu soluţia: x ∈ −∞ , − 1 ∪ (0, + ∞) = D . e x x • Asimptote orizontale. lim f ( x) = lim x ln e + 1 = ∞ ⋅ ln e = ∞ , x →∞ x →∞ x lim f ( x) = lim x ln e + 1 =−∞⋅ln e =−∞ . x x→−∞ x→−∞ Nu există asimptote orizontale.

( ) (

)

181

(

)

• Asimptote verticale f (0 + 0) = lim x ln e + 1 = lim x x→0 y →∞

)

(

x>0

ln(e + y) =0, y

( )

ln(e + y) −∞ f − 1 − 0 = lim1 x ln e + 1 = lim = = +∞ . y →−e e x y e − x →− e x 0 . Rezultă că x i (–∞, –1) (0, +∞) = D. x • Asimptote orizontale ln(1 + y) lim f ( x) = lim( x − 1) ln 1 + 1 = lim ⎜⎛ 1 − 1⎞⎟ ln(1 + y) = lim ⎛⎜ (1 − y) ⎞⎟ = 1⋅1 ⋅1 x →∞ x →∞ y →0 ⎝ y y →0 ⎝ x y ⎠ ⎠ y >0

( )

( )

ln(1 + y) ⋅ (1 − y) ⎞⎟ = 1 . lim ( x − 1) ln 1 + 1 = lim ⎜⎛ 1 − 1⎟⎞ ln(1 + y) = lim ⎛⎜ y →0 ⎝ y y → 0 x y ⎠ ⎝ ⎠

x →−∞

y 1

• Asimptote oblice 3 3 f ( x) = lim 1 x + 1 = lim 2x + 1 = 1 , • m = lim x →∞ x →∞ x x x − 1 x→∞ x ( x − 1) x3 + 1 − x 2 x2 + 1 ⎛ x3 + 1 ⎞ x −1 n = lim( f ( x) − x) = lim ⎜ − x ⎟ = lim x −3 1 = lim = x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ − x 1 x +1 + x ⎛ x+ 1 ⎞ ⎝ ⎠ x −1 x2 ⎟ + x x2 ⎜⎜ x −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 = lim x + 1 ⋅ x →∞ x( x − 1)

1 = 1⋅ 1 = 1 . 2 2 1 x+ 2 x +1 x −1

Dreapta y = x + 1 este asimptotă oblică spre +∞. 2 3 3 f ( x) • m = lim = lim 1 x + 1 = lim − 2x + 1 = −1 , x →−∞ x →−∞ x x x − 1 x→−∞ x ( x − 1) ⎛ 1− y3 ⎞ ⎛ y3 −1 ⎞ ⎛ x3 +1 ⎞ + x ⎟= lim ⎜ − y ⎟= lim⎜ − y ⎟= n = lim ( f ( x) + x) = lim ⎜ x −1 x→−∞ x→−∞⎝ ⎠ y→+∞⎝ −y −1 ⎠ y→∞⎝ y +1 ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −y −1 y −1 2 ⎜ 2 ⎟ −y −y −1 y +1 y +1 1 ⎜ ⎟=− 1 . = lim 3 = lim 3 = lim ⋅ + y y ( 1) 2 y →∞ y →∞ y →∞ ⎜ ⎟ y −1 y −1 y + 12 +y +y ⎜ ⎟ y y +1 y +1 ⎜ +1⎟ + y 1 ⎝ ⎠ Dreapta y = − x − 1 este asimptotă oblică spre –∞. 2 3

2

S3. Soluţie: Pentru numitor avem ∆ = a 2 − 4a − 4 . Deosebim următoarele cazuri: • ∆ < 0 . Atunci domeniul de definiţie pentru funcţia f este D = Z şi nu există asimptote verticale. • ∆ = 0 . Atunci x2 – ax + a + 1 = (x – x0)2 şi dreapta x = x0 este asimptotă verticală. Se obţine: a ∈ {2 − 2 2 , 2 + 2 2} . ( x − 1)( x + 1) . • ∆ > 0 . Atunci x2 – ax + a + 1 = (x – x1)(x – x2) şi f ( x) = ( x − x1)( x − x2 ) Dreptele x = x1 şi x = x2 sunt posibile asimptote. Pentru a rămâne doar o asimptotă, fracţia f(x) trebuie să se simplifice fie cu x – 1, fie cu x + 1. Dacă x – x1 = x – 1 atunci x1 = 1 şi 12 – a + a + 1 = 2 @ 0.

183

2 Dacă x – x1 = x + 1 atunci x1 = –1 şi (–1)2 + a + a + 1 = 0 ± a = –1, iar f ( x) = x2 − 1 = x − 1 , x x +x cu singura asimptotă verticală x = 0. În concluzie există o singură asimptotă verticală dacă a ∈ {2 − 2 2 , − 1, 2 + 2 2} .

S4. Soluţie: 2 f ( x) = lim ax + 2a + bx = a . x →∞ x →∞ x x( x − 1) 2 Din egalitatea a = a se obţine a i {0, 1}. Pentru a = 0, f ( x) = bx , y = 2 . Atunci este necesar ca 2 = lim f ( x) = b . x →∞ x −1 2 Pentru a = 1, f ( x) = x + bx + 2 , y = x + 2 . x −1 ⎛ 2 ⎞ (b +1) x + 2 Se pune condiţia 2 = n = lim( f ( x) − x) = lim⎜ x + bx + 2 − x ⎟= lim = b +1 . x −1 x −1 x→∞ x→∞⎝ ⎠ x→∞ Aşadar b + 1 = 2 ± b = 1.

a) Avem: m = lim

b) Avem m = 1. Rezultă că ⎛ ( x + a)( x + a +1) ⎞ (a −1) x + a2 + a −a + 3 = n = lim( f ( x) − x) = lim⎜ − a ⎟= lim = a −1 . ( x + a + 2) x+a+2 ⎠ x→∞ x→∞ x→∞⎝ Aşadar –a + 3 = a – 1 ± a = 2.

184

Teste de evaluare Testul 1 Soluţii 1.

( x − 3)2 = lim x − 3 = 0, x→3 ( x − 3)( x + 3) x→3 x + 3

1 = lim

2

=1,

1

+

2

=1 . Răspuns: a).

( ) ⎛ sin( x2 − 5x + 4) x − 1 x2 − 5x + 4 ⎞ sin( x2 − 5x + 4) 0 2. a) lim = lim ⎜ ⋅ ⋅ = 2 x →1 x →1 sin( x − 1) x − 1 ⎟⎠ ⎝ x − 5x + 4 sin( x − 1) 0

2 ( x − 1)( x − 4) = 1 ⋅1 ⋅ lim x − 5x + 4 = lim = lim( x − 4) = −3 ; x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 2 2 b) lim x + 3x = lim x + 3x2 = 1 = 1 . x →∞ 2 x + 1 x →∞ (2 x + 1) 4 2 2 f ( x) + 3 = 1, = lim x + ax x →∞ x →∞ x x2 2 2 = n = lim( f ( x) − x) = lim ⎜⎛ x + ax + 3 − x ⎟⎞ = lim ax + 3 = a . x →∞ x →∞ ⎝ x ⎠ x →∞ x Aşadar a = 2, b = 1, a + b = 3. Răspuns corect a).

3. b = m = lim

Testul 2 Soluţii ⎛ ⎞ 1. a) lim x arcsin x = lim⎜ x ⋅ arcsin x ⋅ x ⎟=1⋅1⋅1 = 1 ; x arctg x ⎠ x→0 sin x⋅arctg x x→0⎝ sin x b) lim

x→−∞

2.

1

x2 + x −1 = lim 3x −1 x→−∞

x 1+ 1 + 12 − 1+ 1 + 12 x x x x = lim =− 1 . 1 3 1 x→−∞ 3− x 3− x x

(

)

x x x ⎛ x ⎞ = lim 3 −1+1− a = lim⎜ 3 −1− a −1⎟= ln 3− ln a = ln 3 . x x ⎠ a x→0 x→1⎝ 3

Aşadar ln 3 = 1 ⇒ 3 = e deci a = 3 . Răspuns corect c). a a e ax2 +1 = a , rezultă că dreapta y = a este asimptotă orizontală. 2 x→∞ x→∞ x + 2bx +1 Este necesar ca f să nu mai admită alte asimptote. Pentru a nu exista asimptote verticale se pune condiţia ca ecuaţia x2 + 2bx + 1 = 0 să nu aibă soluţii reale. Se obţine ∆ = 4b2 – 4 < 0, deci b i (–1, 1). Răspuns corect c). 3. Deoarece lim f ( x) = lim

185

Testul 3 Soluţii 2 ( x − 2)(3x + 2) 1. a) lim 3x −2 4 x − 4 = lim = lim 3x + 2 = 8 = 2 ; x→2 x → x →2 x + 2 2 ( x 2)( x 2) 4 − + x −4 x ⎞2 x ⎛ x ⎛ x ⎞2 (2x − 3x )2 b) lim = lim⎜ 2 − 3 ⎟ ⋅ x = lim⎜ 2 −1− 3 −1⎟ = (ln 2 − ln 3)2 . x sin x x ⎠ sin x x x ⎠ x→0 x→0⎝ x→0⎝

(

)

( x − a)( x + a) ( x − a)( x + a)( x + a ) ( x + a)( x + a ) = lim = lim = x→a x→a x →a ( x − a) 1 x− a = 2a ⋅ 2 a = 4a a . Rezultă că a a = 1 şi a = 1.

2. 4 = lim

3. Avem: 2 2 a = m = lim x + a = 1 , iar x →∞ x 2 2 1 = n = lim ( f ( x) − x) = lim( x2 + 1 − x) = lim x 2+ 1 − x = lim 2 1 = 0, x →−∞ x →∞ x →∞ x + 1 + x x→∞ x + 1 + x ceea ce nu se poate. 2 2 2 2 a = m = lim x + a = −1 , deci a = –1, iar a + 1 = n = lim ( x2 + 1 + x) = lim x 2+ 1 − x = 0 . x →−∞ x →−∞ x →−∞ x x +1 − x Aşadar a = –1 are proprietatea cerută.

4. Pentru x → –x se obţine egalitate 2f(–x) + 3f(x) = x2 – 1, ¼x i Z. ⎧⎪2 f ( x) + 3 f (− x) = x2 − 1 Formăm sistemul ⎨ . 2 ⎪⎩3 f ( x) + 2 f (− x) = x − 1 Prin scădere se obţine că f(–x) = f(x) deci f este funcţie pară. 2 Aşadar, din prima ecuaţie se obţine: f ( x) = x − 1 . 5 2 x −1 Avem că lim f ( x) = 0 , ¼x0 i Z. x → x0 5

Testul 4 Soluţii 1. Funcţia f are limită pentru ¼x i (–∞, a) N (a, +∞). Avem: f (a − 0) = lim( x3 + a3 ) = 2a3 , x →a . f (a + 0) = lim( x +1) = a +1 x →a

Funcţia are limită în a dacă f(a – 0) = f(a + 0), deci 2a3 = a + 1. Avem succesiv: 2a3 – a – 1 = 0 ± a3 – a + a3 – 1 = 0 ± a(a – 1)(a + 1) + (a – 1)(a2 + a + 1) = 0 ± (a – 1)(a2 + a + a2 + a + 1) = 0 de unde a = 1 şi 2a2 + 2a + 1 = 0, fără soluţii reale. 186

2. Calculăm limitele laterale în x0 = 1.

Rezultă că f (1 − 0) = lim( x2 + ax + 3) = a + 4 , f (1 + 0) = lim 3x2 + b = b + 3 . x →1 x →1 x + 2 3 Aşadar a + 4 = b + 1 deci b = 3a + 9. 3 Avem că: 2 f ( x) − f (1) ( x − 1)( x + a + 1) lim = lim x + ax + 3 − a − 4 = lim = lim( x + a + 1) = x →1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 ( x − 1) x 1

( x − 1)[−(b + 3)( x + 1) + 9] −(b + 3)( x + 1) + 9 9 − 2(b + 3) 3 − 2b = lim = = . 2 x →1 x →1 9 9 3( x − 1)( x + 2) 3( x2 + 2)

= lim

⎧⎪a + 2 = 3 − 2b 9 se obţine că a = − 11 , b = 12 . Din egalităţile ⎨ 5 5 ⎩⎪b = 3a + 9 3. Se obţine: 2 2 f ( x) −1 = a + b . = lim ax + bx + cx −1 = a + lim bx + cx x x→+∞ x x→∞ x→∞ x2 2 2 2 (b − a2 ) x2 + cx − 1 −1 = lim f ( x) = lim (ax + bx2 + cx − 1) = lim bx +2 cx − 1 − a x = lim . x →−∞ x →−∞ x →−∞ bx + cx − 1 − ax x →−∞ bx 2 + cx − 1 − ax

2 = m = lim

Se impune condiţia b – a2 = 0, pentru ca limita să fie finită. Rezultă că:

(

)

x⋅ c − 1 c− 1 x 1 cx c − x . −1= lim = lim = lim = x→−∞ bx 2 + cx −1 − ax x→−∞ x→−∞ 1 1 c c a b − − x b + − 2 − ax b+ − 2 −a x x x x ⎧ ⎪a + b = 2 ⎪ , cu soluţia c = 2, b = 1, a = 1. Aşadar se obţine sistemul de condiţii ⎨a = b2 ⎪ c =1 ⎪ ⎩a + b

187

Capitolul II. Funcţii continue 1.1. Mulţimi de puncte pe dreapta reală Exersare E1. Soluţie: a) Folosind operaţiile cu limite de funcţii se obţine: lim f ( x) = lim( x2 − 7 x) = lim x2 − lim 7 x = x02 − 7 x0 , ¼x0 i Z. x→ x0

x→ x0

x→ x0

x→ x0

2 0

Deoarece f ( x0 ) = x − 7 x0 rezultă că funcţia f este continuă pentru ¼x0 i {–1, 0, 1}.

b) Fie x0 i {–1, 0, 2}. Rezultă că: lim f ( x) = lim( x + 2 x ) = lim x + 2 lim x = x0 + 2 x 0 = f ( x0 ) , x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

deci f este funcţie continuă în x0 i {–1, 0, 2}. 2 x2 c) Pentru x0 i {–2, 1} se obţine că lim f ( x) = lim x = 0 = f ( x0 ) , deci f este continuă în x0; x → x0 x → x0 x + 1 x0 + 1

E2. Soluţii: a) Avem: f (1 − 0) = lim x2 = 1, f (1 + 0) = lim(2x − 1) = 1, f (1) = 1 , deci funcţia este continuă în x →1

x →1

x0 = 1; b) Se obţine: f (0 − 0) = lim sin x = 1, f (0 + 0) = lim( x + 1) = 1, f (0) = 1 , deci f este continuă în x →0 x →0 x x0 = 0. c) Se obţine:

f (0 − 0) = lim(3x + 1) = 1, f (0 + 0) = lim arcsin x = 1, f (0) = 1 , deci f este x →0 x →0 x

continuă în x0 = 0. • f (1 − 0) = lim arcsin x = arcsin1 = π , f (1 + 0) = lim ln x = 0 , f(1) = 0, deci f este discontinuă x →1 x →1 x 2 în x0 = 1. d) Punctul x0 = –1 este punct izolat al domeniului de definiţie, deci funcţia f este continuă în x0 = –1. Avem: f (1 − 0) = lim(3 + x) = 4, f (1 + 0) = lim x + 3 = 4, f (1) = 4 , x →1 x →1 2 x − 1 deci funcţia f este continuă în x0 = 1. E3. Soluţie: a) Funcţia este continuă pe x0 ∈ (−∞, 1) ∪ (1, +∞) . Studiem continuitatea în x0 = 1. Se obţine: f (1 − 0) = lim( x2 − x + 2) = 2, f (1 + 0) = lim(2 x − 1) = 1, f (1) = 2 . x →1

x →1

Limitele laterale există, sunt finite, deci punctul de discontinuitate x0 = 1 este de prima speţă. b) Studiem continuitatea în x0 = 0. Se obţine: f (0 − 0) = lim(2x − 2) =−1, f (0 + 0) = lim(2x − 3x ) = 0 . x→0

x→0

Rezultă că x0 = 0 este punct de discontinuitate de prima speţă. 188

2 c) Se obţine: f (1− 0) = lim x = 1 =−∞ , f (1 + 0) = lim(3x − 1) = 2 , deci x0 = 1 este punct 0− x→1 x −1 x →1 x0

x 0 şi rezultă ecuaţia y2 – 12y + 27 = 0 cu soluţiile y1 = 3, y2 = 9. Aşadar 3a = 3 cu soluţia a = 1 şi 3a = 9 cu soluţia a = 2. b) Deosebim cazurile. ⎧⎪3bx + 2 x , x T 1 . • 2a – 1 = a deci a = 1 când D = Z, iar f ( x) = ⎨ bx ⎪⎩9 x − 4 , x > 1 Funcţia f este continuă în x = 1, dacă f(1 – 0) = f(1 + 0) = f(1), deci dacă 3b + 2 = 9 – 4b. Rezultă ecuaţia exponenţială 3b + 4b = 7 cu soluţia unică b = 1. 2

• 2a – 1 @ a2. În acest caz avem 2a – 1 < a2 şi D = (−∞ , 2a − 1] ∪ [a2 , + ∞) , iar funcţia este continuă ¼a i Z \ {1}, b i Z. c) Se obţine: f(1 – 0) = 2a – 3b, f(1 + 0) = 3a–1 · 21+b, f(1) = 12. a b ⎪⎧ 2 ⋅ 3 = 12 . Funcţia este continuă în x0 = 1 dacă ⎨ a −1 1+b ⎪⎩3 ⋅ 2 = 12 a b ⎪⎧2 ⋅ 3 = 12 Sistemul se scrie sub forma ⎨ a b . ⎪⎩3 ⋅ 2 = 18 Înmulţind şi împărţind cele două ecuaţii ale sistemului se obţine: ⎧6a+b = 63 ⎧6a ⋅ 6b = 12 ⋅18 ⎪ ⎪ 1 ⎨ 2 a 3 b 12 sau mai simplu scris: ⎨ 2 a−b 2 . = ⋅ = ⎪ ⎪ 3 ⎩ 3 3 2 18 ⎩ ⎧a + b = 3 Aşadar ⎨ şi rezultă soluţia a = 2, b = 1. ⎩a − b = 1

()()

()

190

()

d) Obţinem: f(1 – 0) = 2a + 3b, f(1 + 0) = 5, f(2 – 0) = 5, f(2 + 0) = 22a + 32b – 8. Funcţia f este continuă în x = 1 şi x = 2 dacă 2a + 3b = 5 şi 22a + 32b – 8 = 5. a b ⎪⎧2 + 3 = 5 . Se obţine sistemul de ecuaţii exponenţiale ⎨ 2a 2b ⎪⎩2 + 3 = 13 ⎧u + v = 5 Se notează 2a = u, 3b = v şi avem ⎨ 2 2 . ⎩u + v = 13 Se substituie v = 5 – u în a doua ecuaţie şi rezultă ecuaţia de gradul 2 în u: u2 + (5 – u)2 = 13 cu soluţiile u1 = 2, u2 = 3. Pentru u = 2 se obţine v = 3 iar pentru u = 3 se obţine v = 2. ⎧⎪2x = 2 ⎧⎪2x = 3 şi ⎨ y Aşadar rezultă sistemele de ecuaţii: ⎨ y ⎪⎩3 = 3 ⎪⎩3 = 2 cu soluţiile x = y = 1, respectiv x = log23, y = log32.

S3. Soluţie: a) Avem: f(1 – 0) = 2, f(1 + 0) = a + b + 3, f(1) = 2. Funcţia f este continuă şi în punctul x0 = 1 dacă 2 = a + b + 3, deci a + b = –1. Avem: 2 f ( x) − f (1) ( x −1)(3x + 2) • lim = lim 3x − x − 2 = lim = lim(3x + 2) = 5 . x −1 x −1 x −1 x→1 x→1 x→1 x→1 x1

2 f ( x) − f (1) ( x − 1)(a( x + 1) + b) = lim ax + bx + 3 − a − b − 3 = lim = lim a( x + 1) + b = x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1

= 2a + b .

Limita dată există dacă 2a + b = 5. ⎧ a + b = −1 Rezultă sistemul de ecuaţii ⎨ cu soluţia a = 6, b = –7. ⎩2a + b = 5 ⎛ ln(1 + sin 2 x) sin 2 x ⎞ ln(1 + sin 2 x) = lim ⎜ ⋅ = 1⋅ 0 = 0, f (0 + 0) = b . 2 x →0 x →0 x x ⎟⎠ ⎝ sin x

b) Obţinem: f (0 − 0) = lim

Funcţia este continuă şi în punctul x0 = 0 dacă b = 0. Avem: lim x →0 x0

⎛ ln(1 + sin 2 x) sin 2 x ⎞ f ( x) − f (0) ln(1 + sin 2 x) lim = lim = ⋅ 2 ⎟ = 1⋅1 = 1 , iar 2 x →0 x →0 ⎜ x x2 x ⎠ ⎝ sin x

f ( x) − f (0) = lim ax − 0 = a . x →0 x x

Limita există dacă a = 1. Aşadar a = 1, b = 0.

191

2.2. Operaţii cu funcţii continue Exersare E1. Soluţie.

Toate funcţiile f şi g sunt funcţii continue deci f + g, f – g, f · g şi

f sunt funcţii continue pe g

domeniul de definiţie. E2. Soluţie: a) Avem: ( f g )( x) = f ( g ( x)) = g ( x) − 1 = (2 x − 3) − 1 = 2 x − 4 , ( g f )( x) = g ( f ( x)) = 2 f ( x) − 3 = 2( x − 1) − 3 = 2 x − 5 . Funcţiile compuse sunt continue pe Z deoarece sunt funcţii elementare (funcţii de gradul 1);

b) Avem: ( f g )( x) = f ( g ( x)) = g 2 ( x) + 1 = ( x − 1)2 + 1 = x2 − 2 x + 2 , ( g f )( x) = g ( f ( x)) = f ( x) − 1 = ( x2 + 1) − 1 = x2 . Funcţiile obţinute prin compunere sunt funcţii de gradul 2 şi sunt continue pe Z. c) Avem: ( f g )( x) = f ( g ( x)) = g 2 ( x) +1 = ( x −1)2 +1 = x2 − 2 x + 2 , ( g f )( x) = g ( f ( x)) = f ( x) −1 = x2 +1−1 . Funcţiile compuse sunt continue deoarece f şi g sunt continue.

d) Funcţiile f, g sunt continue deci şi f g , g f sunt continue. Avem ( f g )( x) = ln[(2 x − 1)2 + 1] = ln(4 x2 − 4 x + 2) , ( g f )( x) = 2 ln(1 + x2 ) − 1 .

Sinteză S1. Soluţie: Fie h = f + g.

⎧ x + a , x T 0 ⎧2ax , x T 0 ⎧ x + a + 2ax , x T 0 ⎨ h( x) = ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) = ⎨ 2 . +⎨ = ⎩ x +1, x > 0 ⎩ x − x2 , x > 0 ⎩ x +1, x > 0 Avem că h(0 – 0) = a şi h(0 + 0) = 1. Aşadar f + g este continuă şi în x0 = 0 dacă a = 1. S2. Soluţie: a) Deoarece f(1 – 0) = –1 şi f(1 + 0) = 1, funcţia f nu este continuă în x0 = 1. Domeniul său de continuitate este C = Z \ {1}. ⎧ ⎪(−1)2 , x T 1, ∀x ∈ Z Funcţia f 2 : Z → Z este f 2 ( x) = ⎨ 2 şi este continuă pe Z. ⎪1 , x >1 ⎩

b) Avem: f(1 – 0) = 1, f(1 + 0) = –1 deci f este discontinuă în x0 = 1. ⎧ x2 , x T 1 2 2 Pentru f avem: f ( x) = ⎨ . ⎩1, x > 1 Se observă că funcţia f 2 este continuă pe Z. 192

c) Avem: f(1 – 0) = a + 1, f(1 + 0) = 3. Dacă a + 1 = 3, deci a = 2, atunci funcţia f este continuă pe Z şi se obţine că f 2 este continuă pe Z. ⎧ ⎪( x + a)2 , x T 1 2 Avem g ( x) = f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩(2 x +1)2 , x >1 Studiem continuitatea funcţiei f 2 în x0 = 1. Se obţine: g(1 – 0) = (1 + a)2, g(1 + 0) = 9. Funcţia f 2 este continuă în x0 = 1 dacă (1 + a)2 = 9 deci dacă a i {2, –4}. Aşadar: • pentru a = 2, f şi f 2 sunt continue pe Z; • pentru a = –4, f este continuă pe Z \ {1} iar f 2 este continuă pe Z; • pentru a i Z \ {–4, 2} funcţiile f şi f 2 sunt continue pe Z \ {1}. ⎧⎪(2 x + a)2 , x T 2 d) Avem f ( x) = ⎨ . 2 ⎪⎩( x + a) , x > 2 Se obţine f(2 – 0) = a + 4, f(2 + 0) = a + 2, deci f este discontinuă în x0 = 2 pentru oricare a i Z. De asemenea, f 2 (2 – 0) = (a + 4)2, f 2 (2 + 0) = (a + 2)2. Din egalitatea (a + 4)2 = (a + 2)2 se obţine că a = –3. • Pentru a = –3, f este continuă pe Z \ {2}, iar f 2 este continuă pe Z. • Pentru a i Z \ {–3}, funcţiile f şi f 2 sunt continue pe Z \ {2}. 2

S3. Soluţie:

⎧−1, x < 0 ⎧−6, x < 0 ⎪ ⎪ a) ( f g )( x) = f ( g ( x)) = 2sgn( x) − 4 = 2⋅⎨ 0, x = 0 − 4 = ⎨−4, x = 0 . ⎪ ⎪ ⎩ 1, x > 0 ⎩−2, x > 0 Rezultă că f g este discontinuă în x0 = 0 şi continuă pe Z \ {0}. b) f g este continuă pe Z deoarece funcţiile f şi g sunt continue pe Z.

⎧1, g ( x) T 1 ⎧1, 2 x − 1 T 1 ⎧1, x T 1 =⎨ =⎨ c) ( f g )( x) = f ( g ( x)) = ⎨ . ⎩2, g ( x) > 1 ⎩2, 2 x − 1 > 1 ⎩2, x > 1 Rezultă că f g este continuă pe Z \ {1}. ⎧1 − g ( x) , g ( x) T 1 d) ( f g )( x) = f ( g ( x)) = ⎨ . ⎩0, g ( x) > 1 Să rezolvăm inecuaţia g(x) < 1. • Dacă x T 1, se obţine că g(x) = a2 şi inecuaţia este a2 T 1. Se deosebesc situaţiile: • a2 T 1 deci a i [–1, 1], şi soluţia inecuaţiei este x T 1. • a2 > 1, deci a i (–∞, –1) N (1, +∞), şi inecuaţia nu are soluţii. • Dacă x > 1, atunci g(x) = x şi inecuaţia este x > 1, cu soluţia x i (1, +∞). Aşadar • pentru a i [–1, 1], soluţia inecuaţiei g(x) T 1 este x i Z, şi obţinem că: ⎧1 − a2 , x T 1 . ( f g )( x) = 1 − g ( x) = ⎨ ⎩1 − x , x > 1 193

Rezultă că ( f g )(1 − 0) = 1 − a2 , ( f g )(1 + 0) = 0 . Funcţia f g este continuă dacă 1 – a2 = 0, deci dacă a i {–1, 1}. • Pentru a i (–∞, –1) N (1, + ∞) soluţia inecuaţiei g(x) T 1 este x > 1, deci x i (1, +∞). ⎧1 − g ( x) , x > 1 ⎧1 − x , x > 1 funcţie continuă pe Z. =⎨ Rezultă că ( f g )( x) = ⎨ ⎩ 0 , x T 1 ⎩0, x T 1 S4. Soluţie: ⎧e g ( x) , g ( x) T 0 . a) ( f g )( x) = f ( g ( x)) = ⎨ ⎩ g ( x) + 1, g ( x) > 0 Rezolvăm inecuaţia g(x) T 0. • Pentru x > 1 avem g(x) = lnx şi inecuaţia este ln x T 0, deci x i (0, 1]. Nu sunt soluţii. • Pentru x T 1, g(x) = x şi inecuaţia este x T 1 cu soluţia x i (–∞, 1]. Aşadar soluţia inecuaţiei g(x) T 1 este x i (–∞, 1]. Rezultă că: ⎧e g ( x ) , x T 1 ⎧e x , x T 1 iar f g este discontinuă în x = 1 şi ( f g )( x) = ⎨ =⎨ ⎩ g ( x) + 1, x > 1, x > 1 ⎩1 + ln x , x > 1 continuă pe Z \ {1}.

⎧ln f ( x) , f ( x) > 1 • Avem ( g f )( x) = g ( f ( x)) = ⎨ . ⎩ f ( x) , f ( x) T 1 Rezolvăm inecuaţia f(x) > 1. • Pentru x T 0, f(x) = ex şi inecuaţia este ex > 1 care are soluţia x > 0. Nu există soluţii pentru f(x) > 1. • Pentru x > 0, f(x) = x + 1 şi inecuaţia este x + 1 > 1, deci x > 0. ⎧ln f ( x) , x > 0 ⎧ln( x + 1) , x > 0 Aşadar f(x) > 1 dacă x i (0, + ∞). Se obţine că ( g f )( x) = ⎨ =⎨ x ⎩ f ( x) , x T 1 ⎩ e , xT0 şi g f continuă pe Z \ {0}. ⎧ ⎪ g ( x) , g ( x) U 0 b) ( f g )( x) = ⎨ . ⎪ ⎩ 3 g ( x) , g ( x) < 0 Rezolvăm inecuaţia g(x) U 0. • Pentru x U 0 ⇒ g(x) = x2 U 0. • Pentru x < 0 ⇒ g(x) = 1 + x3 > 0, dacă 1 + x > 0, deci x > –1. Soluţia este în acest caz x i (–1, 0). Rezultă că g(x) U 0 dacă x i (–1, 0) N [0, +∞) = (–1, +∞). Aşadar:

⎧ 1 + x3 , x ∈ (−1, 0) ⎧ g ( x) , x ∈ (−1, 0) ⎧⎪ g ( x) , x ∈ (−1, + ∞) ⎪ ⎪⎪ = ⎨ g ( x) , x ∈ [0, ∞) = ⎨ x2 , x ∈ [0, + ∞) ⇒ ( f g )( x) = ⎨ ⎪⎩ 3 g ( x) , x ∈ (−∞ , − 1] ⎪ 3 ⎪3 3 ⎩ g ( x) , x ∈ (−∞ , − 1] ⎪⎩ 1 + x , x ∈ (−∞ , − 1] 194

⎧ 3 1 + x3 , x T − 1 ⎪⎪ ( f g )( x) = ⎨ 1 + x3 , x ∈ (−1, 0) . Rezultă că f g este continuă pe Z \ {0}. ⎪ x , x ∈ [0, + ∞) ⎪⎩ ⎧⎪ f 2 ( x) , f ( x) U 0 . • ( g f )( x) = g ( f ( x)) = ⎨ 3 ⎪⎩1 + f ( x) , f ( x) < 0 Rezolvăm inecuaţia f(x) U 0. • Pentru x U 0 avem f ( x) = x şi inecuaţia este x U 0 cu soluţia x U [0, +∞). • Pentru x < 0 avem f ( x) = 3 x şi inecuaţia este 3 x U 0 fără soluţii pe (–∞, 0). Aşadar f(x) U 0 dacă x i [0, +∞). ⎧⎪ f 2 ( x) , x U 0 ⎧⎪( x )2 , x U 0 ⎧x , x U 0 = = Rezultă că ( g f )( x) = ⎨ . ⎨ ⎨ 3 3 ⎪⎩1 + f ( x) , x < 0 ⎪⎩1 + ( 3 x ) , x < 0 ⎩1 + x , x < 0 Funcţia g f este continuă pe Z \ 0}.

195

2.3. Semnul unei funcţii continue pe un interval Exersare E1. Soluţie: Funcţia f este funcţie de gradul 1, deci este funcţie continuă pe Z. Aşadar f are proprietatea lui Darboux pe oricare interval I _ Z. E2. Soluţie: a), b) Se arată că funcţiile sunt continue deci au proprietatea lui Darboux pe I. c) Funcţia f este discontinuă în x0 = 0, punctul x0 = 0 fiind punct de discontinuitate de prima speţă. Cum 0 i I rezultă că funcţia f nu are proprietatea lui Darboux pe I. E3. Soluţie: a) D = Z. Rezolvăm ecuaţia f(x) = 0. Se obţine succesiv: x3 – x = 0 ⇒ x(x2 – 1) = 0 ⇒ x i {0, –1, 1}. Alcătuim tabelul de semn:

x x3 – x

–∞ –1 0 1 +∞ ––––0+++0–––0++++++

( )

()

Avem: f − 1 = − 1 + 1 > 0, f (−3) = −24 < 0, f 1 > 0 , f(3) = 24 > 0. 2 8 2 2

b) D = 0. Ecuaţia f(x) = 0 este 2x – 1 = 0 cu soluţia x = 0. Tabelul de semn, având în vedere că f(–1) < 0, f(1) > 0 este: x f(x)

0 +∞ –∞ ––––––––0++++++++

c) D = Z. Ecuaţia f(x) = 0 se scrie 3x+1 – 9 = 0 sau 3x+1 = 32 şi are soluţia x = 1. 3x+1 = 32 şi are soluţia x = 1. Tabelul de semn: x f(x)

1 +∞ –∞ ––––––––0++++++++

d) D = [0, 2π]. Ecuaţia f(x) = 0 este sinx = 0 şi are soluţiile x i {0, π, 2π}. Tabelul de semn: x sinx

π 2π 0 0++++++0–––––––0

Sinteză S1. Soluţie: Se arată că funcţiile sunt continue pe Z, deci au proprietatea lui Darboux pe oricare interval I _ Z. Vom studia continuitatea funcţiilor doar în punctele de legătură, în rest funcţiile fiind continue. 1− x 1 a) f (1− 0) = lim 1− 2x = lim = lim = 1 , iar 4 x→1 1− x x→1 (1− x)(1+ x)(1+ x ) x→1 (1+ x)(1+ x )

f (1 + 0) = lim x →1

⎛ sin(4 x − 4) 4( x − 1) ⎞ sin(4 x − 4) 4( x − 1) = lim ⎜ ⋅ 2 = lim = lim 1 = 1 . 2 ⎟ x → x → x →1 2( x + 1) 1 1 4( x 1) 8( x 1)( x 1) 4 − + − 8x − 8 8( x − 1) ⎠ ⎝ 196

Având f (1) = 0, 25 = 1 rezultă că funcţia f este continuă în x0 = 1. 4 ⎛ sin( x −1) x −1 ⎞ x −1sin( x −1) ⎟=1⋅0 = 0 . b) f (1− 0) = 0, f (1+ 0) = lim = lim⎜ ⋅ 2 x −1 3( x +1) ⎠ x→1 x→1⎝ 3( x −1) x>1

x>1

Rezultă că f este continuă în x0 = 1. 1 ⎞−1 1 ⎞−1 ⎛ ⎛ 0+ − x 2 c) f(2) = 0, f (2 + 0) = lim⎜1+ 3 ⎟ =⎜1+ 3 ⎟ = (1+ 3+∞)−1 =∞−1 = 1 = 0 . ∞ x→2⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x>2

Aşadar f este continuă în x0 = 2. d) Dacă x0 i m avem că f(x0) = 0 şi lim f ( x) = lim sin πx = sin πx0 = 0 . x → x0

x → x0

Aşadar f este continuă în x0 i m. . S2. Soluţie: a) Fie f : [0, 2] → Z, f(x) = x3 + 4x2 – 5. Funcţia f este funcţie continuă, deci are proprietatea lui Darboux pe I. Avem că f(0) = –5 < 0, f(2) = 19 > 0, deci există x0 i (0, 2) cu f(x0) = 0. b) Funcţia f : [0, 3] → Z, f(x) = x3 + 5x – 27 este continuă şi are proprietatea lui Darboux pe [0, 3]. Deoarece f(0) = –27 < 0, f(3) = 15 > 0 există x0 i (0, 3) cu f(x0) = 0; c) Funcţia f : [0, 1] → Z, f(x) = x + 2x – 2 este continuă şi f(0) · f(1) = (–1) · 1 = –1 < 0. Din proprietatea lui Darboux rezultă că există x0 i (0, 1) cu f(x0) = 0;

( )

d) Funcţia f : ⎡⎢ − π , 0 ⎤⎥ → Z , f(x) = x + 1 + sinx. Avem f − π = − π < 0, f (0) = 1 > 0 . 2 2 ⎣ 2 ⎦ Din continuitatea funcţiei f rezultă că ∃x0 ∈ − π , 0 cu f(x0) = 0. 2 e) Considerăm f : (0, 1) → Z, f(x) = x + lnx. Funcţia f este continuă. Avem f(1) = 1 > 0 şi f (0 + 0) = lim f ( x) = lim( x + ln x) =−∞< 0 .

(

x→0 x>0

)

x→0 x>0

Aşadar există x0 i (0, 1) cu proprietatea că f(x0) = 0. S3. Soluţie: a) D = Z. Ecuaţia f(x) = 0 este x(2x – 1) = 0 şi are soluţia x = 0. Tabelul de semn al funcţiei:

x f(x)

–∞ 0 +∞ +++++++ 0++++++++

b) D = Z. Ecuaţia (x – 1)(3x – 2x) = 0 au soluţiile x = 1, x = 0. Tabelul de semn: x f(x)

–∞ 0 1 +∞ +++++ 0–––– 0++++++

c) D = (–2, +∞). Avem: f ( x) = 0 ⇒ (3x − 1) log2 ( x + 2) = 0 ⇒ 3x = 1 sau log2 ( x + 2) = 0 ⇒ x1 = 0 sau x + 2 = 1 deci x i {–1, 0}.

197

Tabelul de semn: x f(x)

–2 –1 0 +∞ +++++ 0–––– 0+++++++

d) D = Z \ {2}. Ecuaţia f(x) = 0 are soluţia x = 0. Tabelul de semn: x f(x) e) D = [1, 3) N (3, +∞). Ecuaţia f(x) = 0 conduce la Tabelul de semn: x f(x)

0 2 +∞ –∞ +++++ 0–––– |+++++++

x − 1 − 1 = 0 sau

x − 1 = 1 cu soluţia x = 2.

1 2 3 +∞ +++++0––––|+++++++++

f) D = Z. Ecuaţia f(x) = 0 se scrie (x3 – x) (x4 – 16) = 0 de unde x3 – x = 0 sau x4 – 16 = 0. Se obţin soluţiile x i {–1, 0, 1, –2, 2}. Tabelul de semn: x f(x)

–∞ –2 –1 0 1 2 +∞ ––––––0++++0––––0++++0––– 0++++

S4. Soluţie: a) Considerăm f : Z → Z, f(x) = (2x – 1)(x2 – 1), funcţie continuă pe Z. Avem de rezolvat inecuaţia f(x) U 0. Soluţiile ecuaţiei f(x) = 0 sunt x i {–1, 0, 1}. Stabilim semnul funcţiei f. Se obţine tabelul de semn:

x f(x)

–∞ −1 0 1 +∞ ––––– 0++++0 ––– 0++++

Rezultă că f(x) U 0 dacă x i [–1, 0] N [1, +∞), care reprezintă soluţia inecuaţiei date. b) Fie f : [–1, +∞) → Z, f ( x) = ( x − x3 )(1 − x + 1) . Avem de rezolvat inecuaţia f(x) T 0. Soluţiile ecuaţiei f(x) = 0 sunt date de ecuaţiile x – x3 = 0 şi 1 − x + 1 = 0 . Se obţine x i {0, 1, –1}. Stabilim semnul funcţiei continue f. Se obţine tabelul de semn: x f(x)

–1 0 1 +∞ 0 – – – 0 – – – – 0 + + ++ + + + + +

Rezultă că f(x) T 0 pentru x i [–1, 1], iar soluţia inecuaţiei date este x i [–1, 1]. c) Considerăm funcţia continuă f : [0, +∞) → Z, f ( x) = ( x − 1 + x2 + 1)( x − 1) . Soluţiile ecuaţiei f(x) = 0 sunt date de ecuaţiile x − 1 = 0 şi x − 1 + x2 + 1 = 0 . Obţinem x = 1, respectiv x2 + 1 = 1 − x . Punem condiţia 1 – x U 0 şi prin ridicare la pătrat se obţine ecuaţia x2 + 1 = (1 – x)2 cu soluţia x = 0. Aşadar f(x) = 0 dacă x i {0, 1}. Tabelul de semn al funcţiei f este: 198

x f(x)

0 1 +∞ 0–––– 0 +++++++

Rezultă că soluţia inecuaţiei f(x) T 0 este x i [0, 1]. d) Fie f : (–1, +∞) → Z, f(x) = (2x – 3x)(2 – log2(x + 1)). Funcţia f este continuă. Din egalitatea f(x) = 0 se obţin ecuaţiile 2x – 3x = 0 şi 2 – log2(x + 1) = 0. Rezultă x = 0 şi respectiv log2(x + 1) = 2, de unde x + 1 = 22 = 4 sau x = 3. Semnul funcţiei f este dat de tabelul: x f(x)

–1 0 3 +∞ +++++0–––– 0++++++

Soluţia inecuaţiei f(x) T 0 este x i [0, 3]. S5. Soluţie: a) Funcţiile g, h : Z → Z, g(x) = x, h(x) = ex sunt funcţii strict crescătoare pe Z. Atunci şi suma lor f = g + h este funcţie strict crescătoare pe Z.

b) Avem: lim f ( x) = lim ( x + ex ) = −∞ + e−∞ = −∞ + 0 = −∞ şi lim f ( x) = ∞ + e∞ = +∞ . x →−∞

x →−∞

x →∞

Funcţia f fiind continuă rezultă, folosind proprietatea lui Darboux, că ia toate valorile intermediare dintre –∞ şi +∞, adică Imf = (–∞, +∞) = Z. Aşadar funcţia f este surjectivă. Observaţie. Funcţia f fiind strict crescătoare pe Z este funcţie injectivă. Aşadar funcţia f este funcţie bijectivă.

199

Teste de evaluare Testul 1 Soluţii 1. Funcţia f este continuă pe mulţimea Z \ {–1, 0, 1} având în vedere operaţiile cu funcţii continue. Studiem continuitatea funcţiei f în punctele –1, 0, 1. Obţinem: 2 x2 + x = lim x2 − x = lim x − 1 = −2 = +∞ • f (−1 − 0) = lim f ( x) = lim 2 x →−1 x →−1 x − x x →−1 x + x x →−1 x + 1 0− x 1

Rezultă că domeniul de derivabilitate este (1, +∞) . 1 e x , x ∈ (0, +∞) = D f ' . b) f ′( x) = 2 x

⎧ ⎪( x 2 −1)3 , x ∈ (−∞,−1]∪ [1, +∞) c) f ( x) = ⎨ ⎪(1− x 2 )3 , x ∈ (−1,1) ⎩ Funcţia este derivabilă pe R −{−1,1} . Studiem derivabilitatea în x0 ∈ {−1,1} . ( x 2 − 1)3 = lim ( x + 1) 2 ⋅ ( x − 1)3 = 0 şi f s′(−1) = 0 . x →−1 x →−1 + x 1 x >−1

f d′ (−1) = lim

Analog se obţine că f ′(1) = 0 . Aşadar f este derivabilă pe R. d) Pentru x ∈ R −{0} se obţine că f ′( x) = Pentru x = 0 avem

ex −e−x ′ x f x , 0 şi ( ) , x = 1+ e x 1+ e−x

⎛ ⎛ e−x −1⎞ ⎞ ⎛1+ e−x ⎞ ⎜ ⎟ + ln ln 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ e−x −1⎟ ln(1+ e x ) − ln 2 ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎝ f s′(0) = lim = lim = lim⎜ ⋅ −x ⎟= x→0 x→0 x→0 e 1 − x x 2 x ⋅ x0 ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ Aşadar f nu este derivabilă în x0 = 0. 1 ⎧ , x ∈ (−1, 0) − ⎪ ⎧− ⎪ arcsin x, x ∈ [−1, 0] ⎪ 1 − x2 e) f ( x) = ⎨ . Avem f ′( x) = ⎨ . 1 ⎪⎩+ arcsin x, x ∈ (0,1) ⎪ , x ∈ (0,1) ⎪⎩ 1 − x 2 −arcsin x arcsin x =−1 şi f d′(0) = lim =1 . Pentru x = 0, f s′(0) = lim x→0 x → 0 x x x0 Aşadar f nu este derivabilă în x = 0. De asemenea f nu este derivabilă în x0 = –1.

215

⎧arccos(−x ), x ∈ [−1, 0] ⎧ ⎪π− arccos x, x ∈ [−1, 0] f) f ( x) = ⎨ =⎨ . ⎪ ⎩arccos x, x ∈ (0,1] ⎩arccos x, x ∈ (0,1] Funcţia f nu este derivabilă în x0 ∈ {−1,1} deoarece funcţia arccos nu este derivabilă în x0 ∈ {−1,1} . Pentru x = 0 avem:

π π − arcsin x − arccos x − arc cos 0 2 = −1 şi f d′ (0) = lim = lim 2 x →0 x → 0 x x π π − arccos x − 2 = lim arcsin x = 1 . f s′(0) = lim x →0 x →0 x x x 0 (1 + x ) −4 x f ′( x) = . ⋅ =⎨ 4 x (1 + x 2 ) 2 ⎪ 1 ,x 0 Funcţia f’ este şi ea derivabilă în x0=0, avînd f ′′(0) = 0 .

⎧⎪ − x 4 , x ≤ 0 ⎧⎪−4 x3 , x ≤ 0 , f '( x) = ⎨ 3 , f ''(0) = 0 . c) f ( x) = ⎨ 4 ⎪⎩ x , x > 0 ⎪⎩4 x , x > 0 2 ⎪⎧ x (3ln x + 1), x > 0 d) Funcţia f este continuă şi derivabilă pe (0,+∞) şi f '( x) = ⎨ 2 . Se obţine x≤0 ⎪⎩3x , apoi că f ′′(0) = 0 .

219

E3. Soluţii:

a) D = R, f ′( x) = 4 x + 5, x ∈ R, f ′′( x) = 4, x ∈ R . b) D = R, f ′( x) = 3x 2 − 4, x ∈ R, f ′′( x) = 6 x, x ∈ R . c) D = R, f ′( x) = e x +1, x ∈ R, f ′′( x) = e x , x ∈ R . 1 1 d) D = (0, +∞), f ′( x) =1+ , x > 0, f ′′( x) =− 2 , x > 0 . x x 1 e) D = (0,+∞), f ′( x) = ln x +1, x ∈ (0, +∞), f ′′( x) = , x ∈ (0,+∞) . x f) D = R, f ′( x) = e x ( x 2 + 2 x), x ∈ R, f ′′( x) = e x ( x 2 + 4 x + 2), x ∈ R . g) D = (0, +∞), f ′( x) = 2 x ln x + x, x ∈ (0,+∞), f ′′( x) = 2 ln x + 3, x ∈ (0, +∞) . h) D = R, f ′( x) = 2sin x cos x = sin 2 x, x ∈ R, f ′′( x) = 2 cos 2 x, x ∈ R . i) D = R, f ′( x) =−3cos 2 x sin x, x ∈ R, f ′′( x) = 6sin 2 x cos x − 3cos3 x, x ∈ R . j) D = R, f ′( x) = x cos x, x ∈ R, f ′′( x) = cos x − x sin x, x ∈ R . k) D = (0, +∞), f '( x) =

5 15 x x , x ∈ (0, +∞), f ''( x) = x , x ∈ (0, +∞) . 2 4

⎧ π ⎫ x l) D = R−⎨± + 2k π k ∈ Z ⎬ f ′( x) = tgx + 2 , cos x ⎩ 2 ⎭ f ′′( x) =

1 cos 2 x + x sin 2 x + ,x∈ D. cos 2 x cos 4 x

m) D = R−{−2} , f ′( x) = n) D = R, f ′( x) =

3 −6 ′′ ,x∈ D. 2 , f ( x) = ( x + 2) ( x + 2)3

1− x 2 2 x( x 2 − 3) ′ ′ , f ( x ) ,x∈R . = ( x 2 +1) 2 ( x 2 +1)3

Sinteză S1. Soluţie: Folosim formulele trigonometrice: • sin( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x , • cos( x + y ) = cos x⋅cos y − sin x⋅sin y ⎛ π⎞ π π a) Avem • sin⎜ x + ⎟= sin x cos + sin cos x = cos x şi ⎝ 2⎠ 2 2 • sin( x + π) = sin x cos π+ sin π cos x =−sin x .

π⎞ ⎛ Aşadar f '( x) = cos x = sin ⎜ x + ⎟ , f ''( x) = − sin x = sin( x + π ) . 2⎠ ⎝ 220

π⎞ ⎛ b) Se arată că au loc relaţiile: cos ⎜ x + ⎟ = − sin x şi cos( x + π ) = − cos x . 2⎠ ⎝ S2. Soluţie: Avem f ′( x) = e2 x (8 x +10), f ′′( x) = e2 x (16 x + 28), x ∈ R şi relaţia este verificată. S3. Soluţie: Avem f ′( x) = e x (sin x + cos x), f ′′( x) = e x 2 cos x, x ∈ R . Înlocuind în relaţia dată se obţine că e x ⋅cos x⋅(2 − a ) = 0, ∀x ∈ R , deci a=2. S4. Soluţie: Avem f ′( x) = e−2 x (−3sin x − cos x) şi f ′′( x) = e−2 x (7 sin x − cos x), x ∈ R . Înlocuind în relaţia dată rezultă că e−2 x [ (9 + ab − 3(a + b)) sin x + (ab − a − b −1) cos x ] = 0, x ∈ R . π Pentru x = 0 se obţine ab – ( a + b) = 1, iar pentru x = se obţine ab – 3(a + b) = –9. 2 ab ( a b ) 1 − + = + = a b 5 ⎧ ⎧ Sistemul ⎨ conduce la ⎨ cu soluţiile a=2, b=3, şi a=3, b=2. ⎩ab − 3(a + b) = −9 ⎩ab = 6 S5. Soluţie: Obţinem f ′( x) = 2ax + b, f ′′( x) = 2a, x ∈ R şi 4a + 2b + c = 9, 2a + b = 2, 2a = 8.

Aşadar a = 4, b = –6 , c = 5 şi f ( x) = 4 x 2 − 6 x + 5 . S6. Soluţie: Avem f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c, f ′′( x) = 6ax + 2b, x ∈ R şi se obţine sistemul ⎧ − a + b − c + 1 = −6 ⎪ ⎨3a + 2b + c = −3 ⎪12a + 2b = 4 ⎩

cu soluţia a = 1, b = –4, c = 2, iar f ( x) = x3 − 4 x 2 + 2 x +1 . S7. Soluţie: Se pune condiţia ca funcţiile să fie continue, derivabile în x0 şi ca f s′( x0 ) = f d′( x0 ) . a) f (0 − 0) = 0, f (0 + 0) = c , deci f este continuă dacă c = 0. x3 + ax = lim( x 2 + a) = a , • f s′(0) = lim x→0 x→0 x x0

x3 + bx 2 = lim( x 2 + bx) = 0 , x→0 x

deci f este derivabilă în x0 = 0 pentru a = 0. 3 2 ⎪⎧ x , x ≤ 0 ⎪⎧3 x , x ≤ 0 , f '( x) = ⎨ 2 Se obţine f ( x) = ⎨ 3 . 2 ⎩⎪ x + bx , x > 0 ⎩⎪3 x + 2bx, x > 0

221

• f s′ (0) = lim x→0 x π ⎩c sin x + x , x > π Se obţine: ⎛ π 2 sin( x − π) 1+ cos x ⎞ −2 π cos x + π 2 sin x − 2 π • f s′′ ( π) = lim = lim⎜ − 2π ⎟= x→π x→π⎝ x x x − π − π − π ⎠ x 2 Se obţine că 3x 2 + 3−15 3( x 2 − 4) = lim = lim 3( x + 2) =12 şi • f s′′ (2) = lim x →2 x →2 x →2 − − x 2 x 2 x1

a) = lim b) c) d) e) f) =

n(n +1)(n + 2) − n(n +1) 2 n(n +1) . = 2 2

224

E3. Soluţii:

∞ ∞ 2 6x +4 12 x = lim 2 = lim =2. x→∞ 3 x + 3 x →∞ 6 x 1 6 x −1+ 6 x 2 − x +1 12 x −1 12 3 x = lim = lim = lim = lim = . x→∞ 1 x→∞ 4 x 2 + x −1 x→∞ 8 x +1 x→∞ 8 2 4 x +1− x cos 2 x ⋅2 ⎛ 2sin x cos 2 x ⎞ sin x cos x 2 = lim sin 2 x = lim⎜ ⋅ = 2 lim = =1 . ⎟= 2 lim x→0 x→0⎝ sin 2 x x →0 sin 2 x x→0 2 cos 2 x cos x cos x ⎠ 2 x>0 sin x 1 1 sin 2 3 x x = lim =− lim =0. x→0 x →0 3 x 3 x>0 − sin 2 3 x 2 cos 2 x = lim 1+ sin 2 x = 2 . x→0 cos x 1+ sin x 2 x +1 2 2 x +1 = lim x + x +1 = lim 2 =0 x→∞ x →∞ x + x +1 1

Cazuri de nedeterminare a)

b)

c)

d)

e)

f)

E4. Soluţii: Cazuri de nedeterminare 0· ∞. 1 1 − −x 2 x ln x − ln( x + 1) =−lim =−1 . a) l = lim = lim x x + 1 = lim x →∞ x →∞ x→∞ x ( x +1) x→∞ x +1 1 ⎛1⎞ − 2 ⎜ ⎟ x ⎝x⎠ x −π 1 b) l = lim = lim = 1. x →π tgx x →π ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ cos x ⎠ 1 2x − 2 2 −(1− x 2 ) x 2 x( x 2 −1) ln x − ln( x + 1) lim = =0 c) l = lim = lim x x + 1 = lim x →0 x→0 x →0 x →0 1 x( x 2 +1) x 2 +1 ⎛1⎞ − 2 ⎜ ⎟ x ⎝x⎠ 1 ⎛ arcsin x ⎞ ln x = lim x = lim(−x) = 0 . d) l = lim⎜ ( x ln x)⎟= lim x ln x = lim x →0 ⎛ 1 ⎞ x→0 x→0 x→0⎝ x→0 1 ⎠ x x>0 x>0 x>0 ⎜ ⎟ x>0 − 2 x ⎝ x⎠

225

⎛1⎞ 1 − ⎜ ⎟ ln x e x x = e) l = lim 1 = lim 1 ⎝ ⎠ = lim x →0 x →0 x →0 1 1 ⎛ ⎞ x >0 x >0 ex e x ⎜ − 2 ⎟ x >0 − x ⎝ x ⎠ '

1 x

⎛ 1⎞ e ⎜− ⎟ 1 ⎝ x ⎠ = lim e− x = e −∞ = 0 . = lim ' x →0 x →0 ⎛ 1⎞ x >0 x >0 − ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ −

1 x+2

'

⎛ 1 ⎞ e ⎜ 1 ⎟ e ⎝ x + 2 ⎠ = lim e x + 2 = e∞ = +∞ = lim f) l = lim ' x →−2 x →−2 x →−2 1 ⎛ 1 ⎞ x >−2 x >−2 x >−2 ⎜ ⎟ x+2 + x 2 ⎝ ⎠ 1 x+2

Teste de evaluare Testul 1 Soluţii 1. Tangenta la graficul funcţiei f în punctul ( x0 , f ( x0 ) ) are ecuaţia

y − f ( x0 ) = f '( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) . Aceasta trece prin M (2,1) dacă 1 − f ( x0 ) = f '( x0 )(2 − x0 ) . Deoarece f ( x0 ) = f (1) = a + 2 şi f ′( x0 ) = f ′(1) = a + 3 se obţine că: 1 − (a + 2) = (a + 3) ⋅ 1 de unde a =−2 . x sin 1 x = 1, f d' (0) = lim x + 1 = lim = 1 , deci f este derivabilă în x0=0. 2. f s' (0) = lim x →0 x →0 x →0 x + 1 x x x 0 3.

a) f ′( x) = ln( x +1) + b) f ′( x) =

x x+2 1 1 , f ′′( x) = , x ∈ (0,+∞) . + = 2 x +1 x +1 ( x +1) ( x +1) 2

−2( x 2 +1) − (1− 2 x)2 x x 2 − 2 x − 2 1 2x 1− 2 x ′ ′ − = = = f x , ( ) , x ∈ R. x 2 +1 x 2 +1 x 2 +1 ( x 2 +1) 2 ( x 2 +1) 2

226

Testul 2 Soluţii 1. Funcţia este continuă şi derivabilă pe R −{0} . Studiem continuitatea şi derivabilitatea în x0=0. Avem: f (0 + 0) = 0, f (0 − 0) = a 2 − 1 . Funcţia este continuă în x0=0 dacă a2–1=0, deci dacă

a ∈ {−1,1} . 2

±x x sin x Pentru a =±1, f s′ (0) = lim = 0, f d′ (0) = lim = 0 , deci f este derivabilă în x0=0. x→0 x →0 x x x0 Aşadar Pentru a ∈R−{−1,1} , f nu este continuă în x0=0, iar f este derivabilă pe R −{0} . Pentru a ∈ {−1,1} , f este derivabilă pe R . 2. a) f '( x) =

(2 x −1)( x 2 + x + 2) − ( x 2 − x + 2)(2 x +1) 2 x2 − 4 = , x ∈R . ( x 2 + x + 2) 2 ( x 2 + x + 2) 2

b) D =R, f ′( x) = x 2 + x + 2 + x

=

4 x 2 +3x + 4 2 x2 + x + 2

3. a) Caz de nedeterminare

b) Caz de nedeterminare

2 x +1 2 x2 + x + 2

=

2( x 2 + x + 2) + 2 x 2 + x 2 x2 + x + 2

,x∈R.

0 . Aplicăm regula lui L’Hôspital. 0 2 x +1 1 2 2 x + x +1 2 = lim = =1 ; x→0 1 1 2 2 x +1

∞ . Se obţine: ∞

1 x +1 = 2 + 0 = 2 . = lim x→∞ 2 3+ 0 3 3+ 2 x +1 2+

227

=

Capitolul IV. Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor 4.1. Rolul derivatei întâi în studiul funcţiilor Exersare E1. Soluţie: Se verifică continuitatea şi derivabilitatea funcţiei f pe intervalul [a, b], respectiv (a, b). a) Funcţia este restricţia unei funcţii de gradul 2 pe [–3,2], deci este continuă şi derivabilă. Aşadar se poate aplica teorema lui Lagrange. f (2) − f (−3) , adică : Avem că ∃c ∈ (−3, 2) astfel încât f '(c) = 5 2 − 27 1 4c − 3 = de unde c = − . 5 2

b) Funcţia este continuă şi derivabilă pe [1, e] şi se poate aplica teorema lui Lagrange. ln e − ln1 1 1 deci c = e −1 ∈ (1, e) . sau = Rezultă că există c ∈ (1, e) cu f ′(c) = e −1 c e −1

c) Se poate aplica teorema lui Lagrange funcţiei f. f (2) − f (1) 1 Se obţine că f ′(c) = = . 2 −1 3 2 2 1 deci = de unde c = 6 − 1 . Dar f '( x) = ( x + 1) 2 (c + 1) 2 3 d) Funcţia f nu este derivabilă în x0 =

1 , deci nu se poate aplica teorema lui Lagrange. 2

E2. Soluţie: Funcţiile sunt derivabile pe domeniul de definiţie. Se studiază semnul primei derivate. a) D = R, f ′( x) = 2 x −1, x ∈ R . Alcătuim tabelul de semn şi de monotonie pentru f.

x –∞ f ′(x)

– – – – – – f (x) 1

1 2

+∞

0

+ + + + + + 0

b) D =R, f ′( x) = 3− 3x 2 , x ∈ R . Tabelul de monotonie: +∞ –1 1 x –∞ f ′(x) – – – – 0 ++++ 0 – – – – f (x) 1 0 1 3 c) D =R, f ′( x) = 4 x −16 x, x ∈ R . Soluţiile ecuaţiei f ′( x) = 0 sunt x ∈ {0,− 2, 2} . Rezultă tabelul: +∞ –2 0 2 x –∞ ′ f (x) – – – – 0 + + + 0 – – – 0 + + + + f (x) 1 0 1 0 x d) D = R, f ′( x) = ( x +1)e , x ∈ R . Avem tabelul de monotonie: +∞ –1 x –∞ f ′(x) – – – – – – 0 + + + + + + f (x) 1 0 228

e) D = (0,+∞), f ′( x) = ln x +1, x ∈ (0,+∞) . Ecuaţia f ′( x) = 0 este ln x = –1, cu soluţia x = e −1 . Tabelul de monotonie: +∞ e–1 x –∞ f ′(x) – – – – – – 0 + + + + + + f (x) 1 0 1 x

f) D = (0, + ∞), f ′( x) = 1 − =

x −1 , x ∈ (0, + ∞) . Rezultă tabelul: x

+∞ 1 x 0 – – – – – – 0 + + + + + + f (x) 1 0

f ′(x)

g) D = R \{−1}, f ′( x) =

2 , x∈D. ( x +1) 2

Tabelul de monotonie: +∞ –1 x –∞ f ′(x) + + + + + + | + + + + + + f (x) | 0 0 Funcţia f este crescătoare pe fiecare din intervalele (−∞, 1) şi (−1, +∞) . h) D = R, f ′( x) =

4x , x ∈R . ( x +1) 2 2

Rezultă tabelul: +∞ 0 x –∞ – – – – – – 0 + + + + + + f (x) 1 0

f ′(x)

E3. Soluţie Se alcătuieşte tabelul de semn al primei derivate şi de monotonie pentru funcţia f. a) D =R, f ′( x) = 3x 2 − 6 x, x ∈R . Avem tabelul: +∞ x –∞ − 2 2 f ′(x) + + + + 0 – – – 0 ++++ f (x) 0 M 1 m 0

Punctul x = − 2 este punct de maxim local, iar x = 2 este punct de minim local. b) D =R, f ′( x) = xe x , x ∈R . Rezultă tabelul: +∞ 0 x –∞ – – – – 0 + ++++ f (x) m 0 1 Punctul x = 0 este punct de minim. f ′(x)

229

c) D =R \{1}, f ′( x) = Rezultă tabelul:

x2 − 2 x −3 , x∈D. x −1

+∞ –1 1 3 x –∞ f ′(x) + + + + 0 – – | – – – 0 + + + + f (x) 0 M 1 | 1 m 0 Rezultă că x =−1 este punct de maxim local, iar x = 3 este punct de minim local. −x 2 − 2 x d) D =R, f ′( x) = 2 , x ∈R . ( x + x +1) 2 Se obţine tabelul: +∞ –2 0 x –∞ f ′(x) – – – – 0 ++++ 0 – – – – f (x) 1 m 0 M 1 Rezultă că x = −2 este punct de minim local, iar x = 0 este punct de maxim local. e) D =R, f ′( x) =1− Se obţine tabelul:

2 x 2 −1 = , x ∈R . x 2 +1 x 2 +1

+∞ –1 1 x –∞ f ′(x) + + + + 0 – – – 0 + + + + f (x) 0 M 1 m 0 Aşadar, x =−1 este punct de maxim local, iar x = 1 este punct de minim local. f) D = (0,1) ∪ (1,+∞), f ′( x) =

ln x −1 , x∈ D. (ln x) 2

Avem tabelul: x 0 f ′(x) – – – f (x) 1

+∞ 1 e | – – – 0 + + + + | 1 m 0

Punctul x = e este punct de minim local. g) D = R, f ′( x) = (−x 2 + 3 x − 2)e x , x ∈ R . Avem tabelul: +∞ +1 2 x –∞ f ′(x) – – – – 0 ++++ 0 – – – – f (x) 1 m 0 M 1 h) D = [1, + ∞), f ′( x) =

1 2 x −1

, x ∈ (1, + ∞) .

Se obţine tabelul: +∞ x 1 f ′(x) | + + + + + + + + + f (x) 0 0 0 Punctul x = 1 este de minim relativ.

230

Sinteză S1. Soluţie: a) Se pune condiţia ca funcţia f să fie continuă şi derivabilă în x = 0. Avem: • f (1− 0) =1+ a, f (1+ a) = 5 + b, deci este necesar ca a = 4 + b . • f s′(1) = 2 + a, f d′(1) = 5 + 2b . Se pune condiţia ca 2 + a = 5 + 2b . ⎧a = 4 + b Rezultă sistemul: ⎨ , cu soluţia a = 5, b = 1. ⎩a = 3+ 2b b) Se pune condiţia ca funcţia f să fie continuă şi derivabilă în x0 = π . • f ( π− 0) = a, f ( π+ 0) =−a + b π , deci rezultă că 2a = b π . π 2

• f s′( π) =−1, f d′( π) = b. Aşadar, b =−1 şi a = − . S2. Soluţii x2 + 2 x −3 , x∈D. ( x +1) 2 Se obţine tabelul de monotonie: –∞ +∞ –3 –1 1 x f ′(x) + + + + 0 – – | – – – 0 + + + + f (x) 0 M 1 | 1 m 0

a) D = R \{−1}, f ′( x) =

Funcţia este monoton crescătoare pe intervalele (−∞, − 3) şi (1, +∞) , descrescătoare pe intervalele (−3, −1) şi (−1, 1), x =−3 este punct de maxim local, iar x =1 este punct de minim local. −2 x 5 +8 x −2 x( x 4 − 2) , x∈R. = b) D = R, f ′( x) = 4 ( x + 4) 2 ( x 4 + 4) 2 Rezultă tabelul: +∞ –∞ 0 x − 2 2 f ′(x) + + + + 0 – –– – 0 + + + 0 – – – – f (x) 0 M 1 m 0 M 1 c) D = (0,+∞), f ′( x) = 2 x ln x + x = x(2 ln x +1), x ∈ (0,+∞) . Se obţine tabelul: x f ′(x)

f (x)

d) D = [1,+∞), f ′( x) = x −1 + x⋅ Se obţine tabelul:

0

−

– – – – 1

1 2

e 0 m

+∞ + ++++ 0

1 3x − 2 = , x ∈ (1,+∞) . 2 x −1 2 x −1

+∞ 1 | + + + + + + + + + f (x) 0 0 0 Punctul x = 1 este punct de minim local. x

f ′( x)

231

2x

e) D = R, f ′( x) =1− x=

, x ∈ R . Ecuaţia f ′( x) = 0 conduce la

2

x +1

x 2 + 1 = 2 x, cu soluţia

3 . Se obţine tabelul: 3

x f ′(x)

f (x)

–∞

3 3

+∞

+ + + + 0

0 M

– – – – – 1

1 5 2 x2 −5x + 2 = + 2, x ∈ (0, +∞) . f) D = (0, +∞), f ′( x) = − x 2( x 2 +1) 2 x( x 2 +1) Se obţine tabelul: 1 2

0

x f ′(x)

+ + + + 0 – – – 0 M 1

f (x)

3( x 2 −1)

+∞

2 0 m

+ + + + 0

x 2 −1

= , x ∈ R \{0, 3, − 3} . 3 3 3 ( x3 − 3x) 2 ( x3 − 3x)2 Se obţine tabelul de monotonie: –1 +∞ 0 1 x –∞ − 3 3 f ′(x) + + + + | + + + + 0 – – – – | – – – – 0 + + + | + + + + f (x) 0 0 M 1 1 m 0 0

g) D = , f ′( x) =

h) D = R, f ′( x) =

′ ⋅ 1+ x 2 +1 =

1 1+

( x +1 2

)

x

(1+

x 2 +1

)

x 2 +1

, x∈ R.

Rezultă tabelul de monotonie: x f ′(x)

f (x)

+∞ 0 −∞ – – – – 0 + + + + + m 1 0

⎛ x ⎞ 1− x2 − x [ ] ⎜ ⎟ ⋅ − = 1 2 2 , x ∈ −1,1 . 2 2 2⎡ 2 ⎤ ⎝ ⎠ 1 − x 1+ x + 1− x 1− x ⎣1+ x + 1− x ⎦ Se obţine tabelul de monotonie:

i) D =[−1,1] , f ′( x) =

1

(

)

x f ′( x)

f (x)

(

2 2

–1 + + + + π − 0 4

0 M

1 – – – – – π 1 4

Punctele x = – 1, x = 1 sunt puncte de minim local, iar x =

232

)

2 , de maxim local. 2

⎧ −2 , x ∈ (−∞,−1) ∪ (1, ∞) ⎪ ⎪ x 2 +1 . j) D =R, f ′( x) = ⎨ ⎪ 2 , x ∈ (−1, 1) ⎪ ⎩ x 2 +1 Se obţine tabelul de monotonie: –∞ +∞ –1 1 x ′ f ( x) – – – – | ++++ | – – – – f (x) 1 m 0 M 1

S3. Soluţie a) D =R, f ′( x) = 3x 2 + m, x ∈R . Funcţia este monotonă pe R dacă f ′( x) are semn constant pe R . Cum f ′ este funcţie de gradul 2, punem condiţia ∆ ≤ 0 şi se obţine m ∈ [0,+∞) .

b) D =R, f ′( x) = (2 x)e 2 x + 2( x 2 + m)e 2 x = 2e 2 x ( x 2 + x + m), x ∈R . ⎡1

⎞

Punem condiţia ca x 2 + x + m U 0, ∀x ∈R şi se obţine că ∆ = 1 − 4m ≤ 0 , deci m ∈ ⎢ , + ∞ ⎟ . ⎠ ⎣4 c) D =R, f ′( x) = 6 x 2 +10mx + 6, x ∈R . ⎡ 6 6⎤

Condiţiile f ′( x) ≥ 0 şi x ∈R conduc la ∆ =100m 2 −144 ≤ 0 , de unde m ∈ ⎢− , ⎥ . ⎣ 5 5⎦ m 2x2 + x − m , x ∈ (0, +∞) . d) D = (0, +∞), f ′( x) = 2 x +1− = x x Este necesară condiţia 2 x 2 + x − m ≥ 0, ∀ x ∈ (0,+∞) .

Avem că m 2 ≤ 2 x 2 + x, ∀x ∈ (0, + ∞) , deci m este cel mult valoarea, minimă a expresiei 2 x 2 + x pe (0, +∞) . Se obţine m ≤ 0, deci m ∈ (−∞, 0) . S4. Soluţie Se obţine că f ′( x) = (2 x + m)e 2 x + 2e 2 x ( x 2 + mx +1) = (2 x 2 + 2mx + 2 x + m + 2)e 2 x , x ∈R . Se pune condiţia ca ecuaţia f ′( x) = 0 , deci 2 x 2 + 2mx + 2 x + m + 2 = 0 să aibă două soluţii reale

diferite. Rezultă că ∆ = 4(m +1) 2 −8(m + 2) > 0 , cu soluţia m ∈ (−∞,− 3) ∪ ( 3,+∞) . S5. Soluţie

Se obţine f ′( x) =

−( x 2 − 3 x + 2) − (m − x)(2 x − 3) x 2 − 2mx + 3m − 2 , x ∈R \{1, 2} . = ( x 2 − 3 x + 2) 2 ( x 2 − 3 x + 2) 2

Se impune condiţia x 2 − 2mx + 3m − 2 ≠ 0, ∀x ∈ D f . Rezultă că ∆ = 4m 2 − 4(3m − 2) < 0 , cu soluţia m ∈ (1, 2). Pentru x = 1 obţinem 12 − 2m + 3m − 2 = 0 ⇒ m = 1, iar pentru x = 2 se obţine m = 2. În concluzie, mulţimea valorilor lui m este [1, 2] . S6. Soluţie

Avem: f ′( x) =

( 2 x + 2b)( x − a ) − x 2 − 2bx − 5 x 2 − 2ax − 2ab − 5 . = ( x − a) 2 ( x − a) 2

233

Punem condiţiile: f ′(−1) = 0 şi f ′(3) = 0. ⎧ a − ab = 2 Se obţine sistemul de ecuaţii: ⎨ , deci a = 1, b = – 1. ⎩3a + ab = 2 Se verifică apoi că funcţia obţinută f ( x) =

x 2 − 2x − 5 verifică proprietăţile cerute. x −1

S7. Soluţie Punem condiţiile f (1) = 1, f ′(1) = 0 pentru ca A(1, 1) să poată fi punct de extrem. Avem: f ′( x) = 3mx + 2nx + p şi se obţin egalităţile m + n +2p = 1, 3m + 2n + p = 0 (1). Panta tangentei la grafic în B(0, p) este m = f ′(0) = tg 45° = 1 . Se obţine că p = 1. Din relaţiile (1) va rezulta că m = 1, n = –2. S8. Soluţie • Dreapta x = 1 este asimptotă verticală. Rezultă că b = 1. • Dreapta y = x + 4 este asimptotă oblică. ⎛ x 2 + ax +1 ⎞ (a +1) x +1 f ( x) − x ⎟= lim = a +1 , deci Se obţine 1 = m = lim = 1 şi 4 = n = lim⎜ x →∞ x→∞⎝ x −1 x −1 x ⎠ x→∞ a = 3. x 2 + 3 x +1 Funcţia este f ( x) = , x ∈R \{1} x −1 S9. Soluţie Fie ABCD dreptunghiul înscris în cercul de centru O şi rază R. Notăm x lungimea laturii AD, cu x ∈ [0, 2 R] . (fig. 1)

A

D

Rezultă că AB = 4 R 2 − x 2 , deci perimetrul dreptunghiului ABCD este dat de relaţia f ( x) = 2⎛⎜ x + 4 R 2 − x 2 ⎞⎟ . ⎝

R

x O

⎠

Se obţine că: ⎛ ⎞ x 4R2 − x2 − x ⎜ ⎟ =2 , x ∈ [0, 2 R) . f ′( x) = 2 1− ⎝ 4R2 − x2 ⎠ 4R2 − x2 Determinăm punctele de extrem ale funcţiei f. Avem tabelul: 2R x 0 R 2 f ′(x) + + + + 0 – – – – – f (x) 4R 0 M 1 4R

B

C

Figura 1

Rezultă că x = R 2 este punct de maxim şi se obţine că AB = R 2 , deci ABCD este un pătrat. S10. Soluţie Fie ABCD un dreptunghi de arie S. Notăm cu x lungimea laturii AD (fig. 2).

Obţinem că x ⋅ AB = S , deci AB =

A

D x

S , x

⎛ S⎞ iar perimetrul dreptunghiului este f ( x) = 2⎜ x + ⎟, x > 0 . ⎝ x⎠

234

S

B

Figura 2

C

⎛ ⎝

Avem f ′( x) = 2⎜1 −

S ⎞ ⎟ şi rezultă tabelul de monotonie: x2 ⎠ +∞ x 0 S f ′( x) – – – – 0 + + +++

f (x)

1

Rezultă că x = S este punci de minim şi AB =

m S S

0

∞

= S.

Aşadar, patrulaterul ABCD este pătrat. S11. Soluţie Fie O mijlocul bazei [BC] a triunghiului ABC.

Notăm x = OB. Rezultă că AB =

A

3P − 2 x . 2

Prin rotaţie în jurul bazei [BC] se obţine un corp format din două conuri cu aceeaşi bază (fig. 3). Înălţimea conului este x, iar raza sa este

B

x O

x

C

Figura 3

2

⎛ 3P ⎞ OA = AB 2 − x 2 = ⎜ − x ⎟ − x2 . 2 ⎝ ⎠

⎛ 3P ⎞2 πRh 2 π 2π = OA⋅ x = x⋅ ⎜ − x ⎟ − x 2 . Volumul corpului este f ( x) = 2⋅ ⎝ 2 ⎠ 3 3 3

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2 π⎜ 9 p 2 3Px ⎟= π 9 P( P − 2 x) . − 3Px − Aşadar f ′( x) = ⎟ 6 9P2 3⎜ 4 9P2 ⎜ 2 − 3Px ⎟ − 3Px ⎝ ⎠ 4 4 Tabelul de monotonie este: x f ′(x)

f (x)

0

P 2

+ + + + 0

0 – – – – – M 1

Punctul de maxim pentru f(x) este x =

3P 2

P când BC = P, AB = AC = P, deci triunghiul ABC este 2

echilateral. S12. Soluţie a) Funcţia f este derivabilă pe In, deci i se poate aplica teorema lui Lagrange.

b) Avem că există c n ∈ ( n, n + 1) , cu proprietatea că f ′(c n ) = f (n + 1) − f (n) şi se obţine că: 1 1 = ln ( n + 1) − ln n , deci c n = . cn ln (n + 1) − ln n

c) Deoarece c n ∈ ( n, n + 1) rezultă că

1 ⎛ 1 1⎞ 1 1 1 ∈⎜ < < deci , ⎟ şi astfel cn ⎝ n + 1 n ⎠ n + 1 cn n

1 1 < ln (n +1) − ln n < , ∀n ∈ N* n +1 n 235

(1)

d) În relaţia (1) dăm lui n valori şi rezultă că avem: 1 1 < ln 2 − ln 1 < 2 1 1 1 < ln 3 − ln 2 < 3 2

................................... 1 1 < ln (n + 1) − ln n < n +1 n

Prin adunarea acestor inegalităţi obţinem, după reduceri: 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + < ln (n + 1) < + + ... + 2 3 n n +1 1 2 n

Aşadar

1 1 1 1 + + + ... > ln (n + 1) > ln n 1 2 3 n

236

4.2. Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilor Exersare E1. Soluţie Se stabileşte semnul derivatei a doua a funcţiei f. a) D =R, f ′( x) = 2 x − 3, f ′′( x) = 2, x ∈R . Rezultă că funcţia f este convexă pe R .

b) D = R, f ′( x) =−6 x + 6, f ′′( x) =−6 < 0, x ∈ R . Rezultă că funcţia f este concavă pe R . c) D =R, f ′( x) = 3x 2 −12, f ′′( x) = 6 x, x ∈R . Tabelul de convexitate: x f ′′( x)

–∞ +∞ 0 – – – – – 0 + + +++

f (x) d) D = R, f ′( x) = 6 x − 6 x 2 , f ′′( x) = 6 −12 x, x ∈R . Se obţine tabelul: x f ′′(x)

–∞

1 2

+ +++ +

0

+∞ –

– – – –

f (x) e) D = R \{−3}, f ′( x) =

f) D = R, f ′( x) =

−6 3 ′′ , x ∈ D . Rezultă tabelul: 2 , f ( x) = ( x + 3) ( x + 3)3 –∞ +∞ –3 x f ′′( x) + + + + + | – – – – – | f (x)

4− x2 2 x( x 2 −12) ′ ′ , f ( x ) = , x∈R. ( x 2 + 4) 2 ( x 2 + 4)3

Rezultă tabelul: x

–∞ – 12 – – – – 0

f ′′( x)

+++

0 12 0 – – – – 0

+∞ + + + +

f (x) g) D = R \{−1}, f ′( x) =

1− 2 x 3 6 x 2 ( x 3 − 2) ′ ′ , f ( x) = , x∈ D. ( x 3 +1) 2 ( x 3 +1)3

Se obţine tabelul: x f ′′( x)

–∞ –1 + + + + |

– – –

f (x)

237

0 0 – – –

3

2

0

+∞ + + + +

h) D = R, f ′( x) = (2 x − x 2 )e−x , f ′′( x) = (2 − 4 x + x 2 )e−x , x ∈ R Se obţine tabelul: –∞ x 2− 2 2+ 2 f ′′(x) + + + + 0 – – – – – – 0 f (x)

+∞ + + + +

1 x

i) D = (0, + ∞), f ′( x) = ln x + 1, f ′′( x) = , x ∈ (0, + ∞) . Funcţia este convexă pe D. 1 2x ( x 2 +1) 2 −1 2 x3 ( x 2 + 2) 2 , x ∈R + x 2 , f ′′( x) = 2 x − 2 = x = j) D = R, f ′( x) = 2 x +1 ( x +1) 2 ( x 2 +1) 2 ( x 2 +1) Se obţine tabelul: –∞ +∞ 0 x f ′′( x) – – – – – 0 + + + + + f (x) E2. Soluţii a) D = R, f ′( x) = 3x 2 , f ′′( x) = 6 x, x ∈ R . Avem tabelul: +∞ 0 x –∞ f ′′(x) – – – – – 0 + + + + + f (x) i

Punctul x = 0 este punct de inflexiune. b) D = R, f ′( x) = 4 x3 −12 x 2 , f ′′( x) =12 x 2 − 24 x, x ∈ R . –∞ +∞ 0 2 x f ′′( x) + + + + 0 – – – – – – 0 + + + + f (x) i i Punctele de inflexiune sunt x = 0 şi x = 2 . c) D = R, f ′( x) = (−x 2 + 2 x −1)e−x , f ′′( x) = e−x ( x 2 − 4 x + 3), x ∈ R . Se obţine tabelul: –∞ +∞ 1 3 x f ′′(x) + + + + 0 – – – – – – 0 + + + + f (x) i i −2 x 6 x 2 + 2) , f ′′( x) = 2 , x∈ D. d) D = R \{−1,1}, f ′( x) = 2 ( x −1) 2 ( x −1)3 Rezultă tabelul: –∞ +∞ –1 1 x f ′′(x) + + + + | – – – – – – | + + + + | f (x) |

Funcţia nu are puncte de inflexiune.

238

e) D = R, f ′( x) =

2x 2(1− x 2 ) ′ ′ , ( ) , x ∈R . f x = x 2 +1 ( x 2 +1) 2

Se obţine tabelul: –∞ +∞ –1 1 – – – – – – 0 + + + + 0 – – – – – – i i

x f ′′( x)

f (x)

2

2

f) D = R, f ′( x) = (1− 2 x 2 )e−x , f ′′( x) = e−x (4 x3 − 6 x), x ∈ R . Se obţine tabelul: –∞ 0 x − 3 f ′′( x) – – – – 0 + + + + 0 – – – f (x) i i g) D = R \{0}, f ′( x) =

3

0 i

+∞ + + + +

−1 2 x) , f ′′( x) = 2 , x∈ D. 2 x +1 ( x +1) 2

Se obţine tabelul: +∞ 0 x –∞ – – – – – 0 + + +++ f (x) i

f ′′(x)

h) D = R, f ′( x) = sin 2 x, f ′′( x) = 2 cos 2 x, x ∈ R . ⎧ π ⎫ Ecuaţia f ′′( x) = 0 , adică cos 2x = 0, are soluţiile x ∈ ⎨± + k π k ∈ Z⎬ . Alcătuim tabelul de ⎩ 4 ⎭ semn pentru a doua derivată: x

f ′′( x)

..... −

–∞

–––

5π 4 0 i

f (x)

− ++

3π 4 0 i

− ––

π 4

0 i

π 4 ++

0 i

3π 4 ––

0 i

5π 4 ++

0 i

7π ... 4 ––

0 i

+∞

+ ++

π Punctele de inflexiune sunt xk =± + k π, k ∈ Z . 4 E3. Soluţii ⎧2 x − 3, x ≤ 1 ⎧2, x < 1 , f ′′( x) = ⎨ . Rezultă că funcţia este convexă pe fiecare ⎩4 x − 5, x > 1 ⎩4, x > 1

a) Se obţine f ′( x) = ⎨

din intervalele (–∞, 1) şi (1, ). Nu există puncte de inflexiune. ⎧6 x, x < 0 ⎧3x 2 + 1, x < 0 ⎪ ⎪ , f ′′( x) = ⎨ 2(1 − x 2 ) . b) Se obţine f ′( x) = ⎨ 2x , x>0 x 1 + , > 0 ⎪ ⎪ 2 2 ⎩ x2 +1 ⎩ ( x + 1)

Tabelul de semn pentru a doua derivată este: –∞ +∞ 0 1 x f ′′(x) – – – – – – | + + + + 0 – – – – – – f (x) i Punct de inflexiune este x =1 ; punctul x = 0 nu este de inflexiune deoarece f nu este continuă în x0 = 0 . 239

⎧( x + 1)e x , x ≤ 0

c) Se obţine f ′( x) = ⎨

⎧( x + 1)e x , x ≤ 0

x>0 ⎩2 x + 1, Tabelul de semn pentru f ′′(x) este:

x f ′′(x)

f (x)

, f ′′( x) = ⎨

x>0

⎩2,

.

–∞ +∞ –2 0 – – – – – – 0 + + + + + + + + + i

Sinteză S1. Soluţii: a) D = R, f ′( x) = 4 x3 −8 x, f ′′( x) =12 x 2 −8, x ∈ R . Se obţine tabelul de variaţie: x

–∞

f ′(x)

–––

f (x)

1 m + + + + +++ ++

f ′′(x)

0

6 3

−

− 2

6 3

0

+ + + + +++ ++ 0

– – – – – –

1 M – – – – – 0 i

0 0 i

+∞

2 0

+ + + + +

0 m + + + + +++ ++

−x 2 − 4 x +8 −24 , f ′′( x) = , x∈D . 2 ( x + 2) ( x + 2)3 Se obţine tabelul de variaţie: –2 –∞ x −2 + 12 −2 − 12

b) D =R \{−2}, f ′( x) =

f ′(x)

– – – – – –– – – – 0+++++

f (x)

0

|

+ + + +++ ++++++++

|

m

1

f ′′(x)

|

1

c). D = [−1, 1], f ′( x) =1−

1− x 2

, f ′′( x) =−

+∞

++ 0 – – – – – – – – – – 0 M

1

– – – – – – – – – – – –

x (1− x 2 ) 1− x 2

, x ∈ (−1, 1)

Tabelul de variaţie: x

–1 f ′(x) (– ∞) – – – – – – – – – – – – – – – – – –

0 0

f (x)

0 0 i

1

1

1

f ′′(x) + + + + + + + + + + + +

d) D = R, f ′( x) =1+

x 2

x +1

, f ′′( x) =

1 –––––––––––––––––– (– ) 1 1 1 – – – – – – – – – – – – – –

1 2

( x +1) x 2 +1

, x ∈R .

Tabelul de variaţie: x

f ′(x)

–∞

+∞ +

f (x)

f ′′(x)

+

+

0 +

+

+ +

+

+

0 +

+

+ + +

+

+

+

+

0 +

+

240

+

+

+ +

+

+

0 + +

+

+ +

+

0 + +

+

+

e) D = R, f ′( x) = ( x 2 + x +1)e x , f ′′( x) = e x ( x3 + 3x + 2), x ∈ R . Rezultă tabelul de variaţie: –∞

x

f ′(x)

+

f (x)

+

+

+

+ +

0 0 + + + + +++ ++

f ′′(x)

–2 +

+

+

+

+

0 0 i

– – – – –

–1 + + 0 0 i

+∞ + +

+

+

+

0 0 + + + + +++ ++

f) D = (0, + ∞), f ′( x) = x 2 (3 ln x + 1), f ′′( x) = x(6 ln x + 5), x ∈ (0, + ∞) . Rezultă tabelul de variaţie: x

0

f ′(x)

e

−

5 6

e

– – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – –

f (x)

1

1

1

−

1 3

0 m

1

+∞ + + + + + 0

0

f ′′(x) – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + i

S2. Soluţie a) Funcţia este de două ori derivabilă pe R . Se obţine: f ′( x) = e x [ x 2 + (a + 2) x + a + b], f ′′( x) = e x [ x 2 + (a + 4) x + 2a + b + 2], x ∈ R . Condiţiile f ′(1) = 0, f ′′(−2) = 0 conduc la sistemul de ecuaţii: ⎧2a + b = −3 5 , cu soluţia a = − , b = 2 . ⎨ 2 ⎩b = 2

⎛ 1 x 1⎞ 1 f ′( x) = e x⎜ x 2 − − ⎟= (2 x 2 − x −1)e x , f ( x) = (2 x 2 − 5 x + 4)e x , ⎝ 2 2⎠ 2 2 1 f ′′( x) = (2 x 2 + 3x − 2)e x , x ∈R . 2 b) Avem tabelul de variaţie:

Rezultă că

x –∞ f ′(x)

+ + + 0 f (x) f ′′(x) + + +

–2

−

1 2

1 2

1

+∞

+ + + + 0– – – – – –0++ + + + + + M 0 1 1 0 m + 0 – – – – 0 + + + + + + + + + i i

S3. Soluţie Funcţia este de două ori derivabilă pe R . Avem: f ′( x) = 5 x 4 + 3ax 2 +85, f ′′( x) = 20 x3 + 6ax, x ∈ R . Condiţia f ′′(−3) = 0 conduce la a = −30 . Rezultă că f ′( x) = 5 x 4 − 90 x 2 +85, f ′′( x) = 20 x3 −180 x, x ∈ R . • Rezolvăm ecuaţia f ′′( x) = 0 .

{

}

Notând x2 = y obţinem 5 y 2 − 90 y + 85 = 0 , de unde y = 1, y = 17 şi se obţine x ∈ ±1, ± 17 . • Rezolvăm ecuaţia f ′′( x) = 0 . Se obţine că 20 x 3 − 180 x = 0 sau 20 x( x 2 − 9) = 0 , cu soluţiile x ∈ {0, − 3, 3} . Se obţine tabelul de variaţie: 241

–3 x –∞ − 17 f ′(x) + + + + 0 – – – 0 1 f (x) M ′ ′ f (x) – – – – – – 0 i

–1 –0+ m + +

1

0 + 0 0 i

3 – – 1 0 i

+0– M – – – –

17

+∞

0 + + + 0 m + + + + +

S4. Soluţie a) Funcţia este de două ori derivabilă pe R . − 2bx b , f ′′( x) = , x R. 2 x +1 x2 +1 b 2b Din condiţiile date se obţin relaţiile: a + = 2, = 1, deci b = 2, a = 1. 4 2

Se obţine: f ′( x) = a +

(

2

)

b) Rezultă că f(x) = x + 2 arctg x, f ′( x) = 1 +

2 − 4x , f ′′( x) = , x 2 x +1 x2 +1

(

2

Rezultă tabelul de variaţie: 0 x –∞ f ′(x) + + + + + + + + 0 0 0 f (x) ′ ′ 0 f (x) + + + + + + i

+ +

R.

)

+ + 0 0 – – – – – –

+∞ + + 0

S5. Soluţie a) Funcţia este de două ori derivabilă pe R .

Se obţine: f ′( x) =

a2 − x2

(x

2

+ a2

)

2

, f ′′( x) =

2 x 3 − 6a 2 x

(x

2

+ a2

)

3

R.

, x

{

}

Ecuaţia f ′′( x) = 0 conduce la 2 x 3 − 6a 2 x = 0 , cu soluţiile x ∈ 0, ± a 3 .

( ) ( )(

)

Ecuaţia tangentei la grafic în x 0 = a 3 este: y − f a 3 = f ′ a 3 ⋅ x − a 3 .

( )

Deoarece f a 3 =

( )

3 1 , f ′ a 3 = − 2 , se obţine ecuaţia tangentei: 4a 8a

y =−

x 3 3 . 2 + 8a 8a

3 se obţine că 8 3 3 3 1 1 = şi = , deci a = 3 . 2 8a 8 8a 24 x2 3 − x2 2 x 3 − 18 x ′ ′ f x b) f ( x) = 2 , f ′( x) = , ( ) = , x R. 2 3 x +3 x2 + 3 x2 + 3

Identificând cu ecuaţia dată y = − x +

(

Rezultă tabelul de variaţie: x –∞ ′ f (x) – – – – f (x) f ′′(x) – – – – – –

)

(

–3 – – 0 i

)

− 3

– 0 + m + +

242

0 + 0 i

3

+0– M – –

3 – – 0 i

+∞ – –

– –

+ + + + +

4.3 Reprezentarea grafică a funcţiilor Exersare E1. Soluţie Funcţiile sunt de două ori derivabile pe D. a) Domeniul de definiţie: D ∈ R . Se obţine că lim f ( x) = lim ( x 3 − 3x 2 ) = −∞, lim f ( x) = +∞ x → −∞

x → −∞

x →∞

Asimptote. Funcţia este polinomială şi nu are asimptote. Intersecţia cu axele de coordonate Ecuaţia f(x) = 0 este x 3 − 3x = 0 şi are soluţiile x ∈{0, 3} . Graficul intersectează Ox în O(0, 0) şi A(3, 0). Studiul folosind derivatele Se obţine: f ′( x) = 3 x 2 − 6 x, f ′′( x) = 6 x − 6 , x ∈ R . Rezultă că f ′( x ) = 0 ⇒ x ∈ {0, 2}, iar f ′′( x ) = 0 ⇒ x = 1 . Tabelul de variaţie: –∞ x ′ f (x) + + +

+ +

f (x)

–∞

f ′′(x)

– – – – – –

0

0 0 – – – M 1 (0) – – – –

Graficul funcţiei:

1 – – – 1 0 i(– 2)

+∞ 2 –– 0 + + + + + (– 4) +∞ 1 0 m + + + + + + + +

y 2 1 1 −2

x

−1 −1 −2

i

−3 −4

b) D ∈ R . lim f ( x) =+∞, lim f ( x) =−∞ x→−∞

2

x→∞

Intersecţia cu axele: A(0, 8) şi B(2, 0). Studiul folosind derivatele Avem: f ′( x) = −3x 2 , f ′′( x) = −6 x , x ∈ R . 243

Tabelul de variaţie: –∞ x f ′(x) – – – – – – – 1 1 1 f (x) f ′′(x) + + + + + + + + + Graficul funcţiei:

0 0 8 0 i(8)

+∞ – – – – – – 1 1 1 – – – – – – – – – – –

1

2

y

8 i

0

x

c) D ∈ R . lim f ( x ) =+∞, lim f ( x ) =−∞ x →−∞

x →∞

⎛3 ⎞ Punctele de intersecţie cu axele: O(0, 0) şi A⎜ , 0⎟. ⎝2 ⎠ Studiul folosind derivatele Avem: f ′( x) = −6 x 2 + 6 x, f ′′( x) = −12 x + 6 , x ∈ R . Tabelul de variaţie:

x f ′(x)

f (x) f ′′( x)

–∞

1 2

0

– – – – –

0 + + (0) +∞ 1 0 m + + + + + + + + +

+ +

0

1 + +

0 – – – – M –∞ 0 1 (1) – – – – – – –

⎛1⎞ ⎝2⎠

i⎜ ⎟ Graficul funcţiei:

y

M 1 i

A −2

−1

1 2

244

+∞

1

x

d) D ∈ R . lim f ( x ) =−∞, lim f ( x ) =+∞ x →−∞

x →∞

Punctele de intersecţie cu axele: O(0, 0) şi A(5, 0). Studiul folosind derivatele Avem: f ′( x) = 5 x 4 − 20 x 3 , f ′′( x) = 20 x 3 − 60 x 2 , x ∈ R . Tabelul de variaţie: –∞ 0 3 x f ′( x) + + + + + + + + 0 – – – – – – – – M 0 1 1 f (x) – ∞ (0) f ′′(x) – – – – – – 0 + + + – –0 – – – – – – i

+∞ 4 0 + + + + 4 -4 –∞ 0 m + + + + + + +

e) D ∈ R , lim f ( x ) =+∞ x →±∞

Intersecţia cu axa Ox: Ecuaţia f(x) = 0 se scrie x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 sau ( x 2 − 1)( x 2 − 4) = 0 şi are soluţiile x ∈ {−1,1,− 2, 2} . Graficul intersectează axa Oy în punctul A(0, 4). Studiul folosind derivatele Se obţine: f ′( x) = 4 x 3 − 10 x, f ′′( x) = 12 x 2 − 10 , x ∈ R . ⎧⎪ ⎪⎩

10 ⎫⎪ ⎬ , iar 2 ⎪⎭

ecuaţia f ′′( x) = 0 are soluţiile x = ±

10 30 =± . 12 6

Ecuaţia f ′( x) = 0 are soluţiile x ∈ ⎨0, ±

Tabelul de variaţie: 10 2

–∞

−

f ′( x)

– – – –

– 0+

f (x)

+∞

x

f ′′(x)

1

m

+ + + + + +

−

30 6

30 6

0

10 2

+∞

+ + + +

+ + 0 – – – – – – 0 + + + + M +∞ 0 1 1 0 m (4) + + 0– – – – – – –0+ + + + + + + + i i ⎛

⎞

⎛

⎞

10 9 ⎟ 10 9 ⎟ Punctele de extrem sunt: ⎜⎜ − ,− , (0, 4) şi ⎜ , iar cele de inflexiune sunt ,− ⎟ ⎜ 2 4⎠ 4 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎝ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎜ − 30 , 19 ⎟, ⎜ 30 , 19 ⎟ . ⎜ 6 36 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 36 ⎟⎠ ⎝

Graficul funcţiei este simetric faţă de Oy.

245

f) D ∈ R , lim f ( x ) =−∞, lim f ( x ) =+∞ x →−∞

x→∞

Intersecţia cu axele de coordonate Punctul A(0, 5) este intersecţia cu Oy. Ecuaţia f ( x) = 0 se scrie 2 x 3 − 3x 2 + 5 = 0 sau 2 x 3 + 2 x 2 − 5 x 2 + 5 = 0 ⇒ 2 x 2 ( x + 1) − 5( x 2 − 1) ⇒ ( x + 1)(2 x 2 − 5 x + 5) = 0 , cu soluţia x = –1.

Studiul folosind derivatele f ′( x) = 6 x 2 − 6 x, f ′′( x) = 12 x − 6 , x ∈ R .

Ecuaţia f ′( x) = 0 are soluţiile x ∈{0,1} , iar ecuaţia f ′′( x) = 0 are soluţia x =

1 . 2

Tabelul de variaţie: x

–∞

1 2

0

+∞

1

f ′( x)

+ + + + + 0– – – – – – – – 0+

f (x)

–∞ 0 1 M – – – – – – –– – – –

f ′′(x)

+ + + + + + + + + + + +∞ 0 0

m + + + + + + + + + + + + +

1 0 i

⎛1 9⎞ ⎝2 2⎠

Punctele de extrem sunt: (0, 5) şi (1, 4), iar cel de inflexiune ⎜ , ⎟ . Graficul funcţiei

y M

5

i

4

m

3 2 1 −1

O

1 2

1

x s

g) D ∈ R , lim f ( x ) =−∞ x →±∞

Intersecţia cu axele Se obţin punctele A(0, 16), B(–2, 0), C(2, 0). Funcţia este pară, deci graficul este simetric faţă de Oy. Studiul folosind derivatele: f ′( x) = −4 x 3 , f ′′( x) = −12 x 2 , x ∈ R . Tabelul de variaţie: +∞ –∞ 0 1 x f ′( x) + + + + + + + + + + + 0 – – – – – – – – – – M –∞ 0 0 1 1 f (x) – ∞ (16) f ′′(x) – – – – – – – – – – – 0 – – – – – – – – – – – – 246

Graficul funcţiei

y M 16

−2

2

O

x

h) D ∈ R , lim f ( x ) =+∞ , funcţia este pară. x →±∞

Intersecţia cu axele de coordonate A(0, 1), B(–1, 0), C(1, 0). Studiul folosind derivatele f ′( x) = 4 x 3 − 4 x, f ′′( x) = 12 x 2 − 4 , x ∈ R . Soluţiile ecuaţiei f ′( x) = 0 sunt x ∈ {−1, 0,1} , iar ⎧⎪ ⎪⎩

ale ecuaţiei f ′′( x) = 0 sunt x ∈ ⎨± Tabelul de variaţie: x f ′(x)

f (x) f ′′( x)

–∞

–1

– – – – 0 +

−

3 ⎫⎪ ⎬. 3 ⎪⎭

3 3

0

+ + + + 0

+∞ 1 m + + + + + + + + 0– – i

+0– M

– –

– –

– –

3 3

1

– –

0

1

– 0+ i

+∞ + +

+ + +∞

0 m + + + + + + +

Graficul funcţiei

y

1 M

m −2

−1

i

O

i

m 1

2

x

⎛ 3 4 ⎞⎟ ⎛⎜ 3 4 ⎞⎟ , , , . Punctele de extrem sunt: (–1, 0), (0, 1), (1,0), iar cele de inflexiune: ⎜⎜ − 3 9⎟ ⎜ 3 9⎟ ⎝

247

⎠⎝

⎠

i) D ∈ R , lim f ( x ) =−∞, lim f ( x ) =+∞ x →−∞

x →∞

Intersecţia cu axele de coordonate A(0, 1), B(1, 0), C(–1, 0). Studiul folosind derivatele f ( x) = x 3 − x 2 − x + 1, f ′( x) = 3x 2 − 2 x − 1, f ′′( x) = 6 x − 2 , x ∈ R . Ecuaţia f ′( x) = 0 are soluţiile x ∈{0,1} , iar ecuaţia f ′′( x) = 0 are soluţia x =

1 . 2

Tabelul de variaţie: –∞

x

−

1 3

1 3

f ′( x)

+ + + + + + + + 0– – – – – 0 +

f (x)

–∞ 0

f ′′(x)

M

0

0 i

+ +

m

1

– – – – – – – – – –

+∞

1 +

0

+ + 0

+ + +∞

+ + + + + + + + + – – –

⎛ 1 32 ⎞ ⎛ 1 16 ⎞ ⎟, (1, 0) , iar cel de inflexiune ⎜ , ⎟ . ⎝ 3 27 ⎠ ⎝ 3 27 ⎠

Punctele de extrem sunt: ⎜ − , Graficul funcţiei

y M 1 i

m

−1

1 3

−1 3

x

1

j) D ∈ R , lim f ( x ) =−∞ . x →±∞

Intersecţia cu axele de coordonate O(0, 0), A(1, 0). Studiul folosind derivatele f ( x) = x 3 − x 4 , f ′( x) = 3x 2 − 4 x 3 , f ′′( x) = 6 x − 12 x 2 , x ∈ R . Tabelul de variaţie: x f ′(x)

f (x) f ′′(x)

–∞

0

+ + + + + + –∞

0

– – – – – –

+ + 0+ +

1 2

3 4

+ + + 0 –

0

0

M

– – 0+ + i

0 i

– –

248

+∞ – – – – – – – – – – –∞ 1 1 1 – – – – – – – – – –

⎛ 3 27 ⎞ ⎛1 1 ⎞ Punctele de extrem: ⎜ , ⎟ iar de inflexiune (0, 0) şi ⎜ , ⎟. ⎝ 4 256 ⎠ ⎝ 2 16 ⎠ Graficul funcţiei

y

M i i

1 2

O

3 4

1

x

k) D ∈ R , lim f ( x) =−∞, lim f ( x) =−∞ x→−∞

x→∞

Intersecţia cu axele de coordonate O(0, 0), A(1, 0). Studiul folosind derivatele 2 f ′( x) = (1− x ) (1− 4 x ) , f ′′( x) = 2 ( x −1)(3− 6 x ) = 6 ( x −1)(1− 2 x ) , x ∈ R . ⎧ 1⎫ ⎧1 ⎫ Soluţiile ecuaţiei f ′( x) = 0 sunt x ∈ ⎨1, ⎬ , iar ale ecuaţiei f ′′( x) = 0 sunt x ∈ ⎨ ,1⎬ . ⎩ 4⎭ ⎩2 ⎭ Tabele de variaţie x

f ′( x ) f(x) f ′′ ( x )

1 4 + + + + + + + + 0 –

1 2 – – –

−∞

1 0–

+∞

–

–

−∞ M –∞ – – – – – – – – – – – – 0 + + 0 – – – – i i

(

(

)

)

Punctele de extrem: 1 , 27 iar cele de inflexiune: 1 , 1 , (1, 0) . 4 256 2 16 Graficul funcţiei: y M 1 4

249

i 1 2

i 1

x

E2. Soluţie a) D =R \{−1}, lim f ( x ) = 1, lim f ( x ) = 1 . x →−∞

x→−∞

Dreapta y = 1 este asimptotă orizontală la +∞ şi la −∞ . Asimptotele funcţiei x −1 −2 Avem f (−1− 0) = lim = =+∞ şi lim f ( x ) =−∞ . x →−1 x +1 x →−1 0− x>−1

x0

Intersecţia cu axele A(1, 0) Studiul folosind derivatele f ′( x ) = ln x +1, f ′′( x ) = 1 , x ∈ (0, +∞ ) . x

Tabelul de variaţie x ′ f (x) f(x) f ′′ ( x )

Graficul

e−1 0 +

0 – – – – –

+

+

+

+∞ +

−1

0 +

+ +

−e m + + +

+∞

+

+

+

y

e –1

1

x

0 – e –1

m

Graficul este tangent axei Oy deoarece fd′ (0) = −∞ . h) D = (−∞, −1) ∪ (1, +∞ ), lim f ( x ) =+∞ . x →±∞

Asimptote verticale lim ln( x 2 −1) =−∞, lim ln( x 2 −1) =−∞ , deci dreptele x = 1, x = –1 sunt asimptote x →1 x>1

x →−1 x 0, ∀x ∈ Z deci g este strcit crescătoare pe Z . Deoarece g(0) = 0, rezultă că x = 0 este singura soluţie a ecuaţiei g(x) = 0. Asimptotele oblice. f (x) Avem m = lim = lim 2 x + sin x = 2 , n = lim (2 x + sin x − 2 x ) = lim sin x = nu există. x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ x x Se obţine că g nu are asimptote.

)

(

Studiul folosind derivatele Funcţia g este de două ori derivabilă pe R şi avem g ′ ( x ) = 2 + cos x , g ′′ ( x ) = − sin x , x ∈ Z Ecuaţia g ′ ( x ) = 0 nu are soluţii, iar ecuaţia g ′′ ( x ) = 0 are soluţiile x = k π , k ∈ Z . Tabelul de variaţie x ′ f (x) f(x) f ′′ ( x )

−∞ + + −∞

– –

–3 +

–2 +

– +

+

0 + +

+

2 +

+∞

3 +

+

+∞ 0 + –0 – – 0++0– –0+ +0 –– 0 + + i i i i i i i

258

Graficul y

–3π

–2π

–π π

2π

x

Graficul are o infinitate de puncte de inflexiune de coordonate ( k π , 2 k π ), k ∈ Z şi este simetric în raport cu originea O. S6. Soluţie 2

2

2 ax + b , x ∈ Z . Derivata funcţiei este f ′ ( x ) = − x − 2 ( x + b2 )2 Panta tangentei în origine este m = f ′ (0) = 12 şi trebuie să fie egală cu 1. b 2 Se obţine b = 1 . Tangenta are ecuaţia y − f (0) = 1( x − 0) sau y = x + f (0) . Rezultă că f(0) = 0. Se obţine a2 = 0 deci a = 0. b Aşadar f ( x ) = 2 x . x +1 S7. Soluţie a) Fie x0 ∈ D punctul de tangentă. Tangenta în x0 are ecuaţia y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 )( x − x0 ) sau, altfel scrisă : y = f ′ ( x0 ) x + f ( x0 ) − x0 f ′ ( x0 ) . ⎧ f ′ ( x0 ) = 2 . Identificând cu ecuaţia dată y = −2 x + 10 se obţine sistemul ⎨ ⎩ f ( x0 ) − x0 f ′ ( x0 ) = 10 2 Dar f ′ ( x ) = ax − 2 ax2 − 2 . ( x − 1) ⎧ax02 − 2 ax0 − 2 = −2( x0 − 1)2 ⎪ Sistemul se scrie: ⎨ ax02 + 2 . ⎪ x − 1 + 2 x0 = 10 ⎩ 0 Din prima ecuaţia se obţine că x0 ( x0 − 1)( a + 2) = 0 . Avem cazurile: • Pentru x0 = 0 din a doua ecuaţie se obţine că –2 = 10, fals. • Pentru x0 = 2 din a doua ecuaţie rezultă că a = 1. • Pentru a = –2, din a doua ecuaţie rezultă că x0 = 1, fals.

Aşadar a = 1 şi tangenta este dusă în punctul de abscisă x0 = 2. 2 b) Funcţia este f ( x ) = x + 2 , etc. x −1

259

Teste de evaluare Testul 1 Soluţii 1. Soluţie Funcţia f este derivabilă pe Z . 2 2 ax + 1 − a . Din condiţia f ′ (1) = 1 rezultă că a = 0, deci Se obţine că f ′ ( x ) = − x − 2 ( x + x + 1)2 1− x 2 f (x) = 2 x , x ∈Z . , iar f ′( x ) = 2 ( x + x +1)2 x + x +1 Tabelul de monotonie x f ′( x ) f(x)

−∞ – – – – –

–1 0 +

1 + 0 –

m

+∞ – – –

M

2. Soluţie a) Condiţia pusă: x 2 + 4 x + m > 0, ∀ x ∈ R . Rezultă că ∆ = 16 - 4 m < 0 , deci m ∈ (4, + ∞ ) . b) Avem: f ′ ( x ) = 2 2 x + 4 . x +4x +m Deoarece f ′ ( −2) = 0 rezultă că m ∈ (4, + ∞ ) . 2( x + 2) c) Avem: f ( x ) = ln( x 2 + 4 xc + 9), f ′ ( x ) = 2 , x∈π . x +4x +9 Tabelul de variaţie.

−∞ – –

x f ′( x ) f(x)

–2 – – – – 0 +

+

+

+

+∞ +

m

Punctul de minim x = –2. 3. Soluţie Funcţia este de două ori derivabilă pe Z . 2

2( x − x − 1) Avem: f ′ ( x ) = 21 − 22 x = 1 − 2 2x , f ′′ ( x ) = . x + 1 x + 1 1+ x ( x 2 + 1)2 Tabelul de convexitate x

f ′′( x ) f(x)

−∞ +

+

+

+

1− 5 2 + 0 – i

260

– –

1+ 5 2 – 0 + i

+∞

+

+

Testul 2 1. Soluţie Avem f ′ ( x ) = 5 x 4 , x ∈ Z . Semnul derivatei x f ′( x ) f(x)

−∞ + +

+

+

0 + 0 +

+

+

+

+

+∞

Punctul x = 0 nu este de extrem. 2. Soluţie ⎧ −2 , x ∈ ( −∞ , − 1) ∪ (1, + ∞ ) ⎪ x2 + 1 a) f ′ ( x ) = ⎨ . ⎪ 2 2 , x ∈ ( −1, 1) ⎩ x +1 Funcţia nu este derivabilă în x ∈{ −1, 1} .

b) Semnul derivatei x f ′( x ) f(x)

−∞ – – – – –

–1 | +

1 +∞ + | – – – –

m

M

c) Semitangentele în x = 1, au pantele m1 = f s′(1) = 1, m2 = fd′ (1) = 1 , deci m1 · m2 = −1 . 3. Soluţie 2 Avem f ′ ( x ) = x + 2 x2 . Se pune condiţia f ′( x0 ) =−1 . ( x + 1)

{

}

Se obţine ecuaţia x02 + 2 x0 + ( x0 + 1)2 = 0 sau 2 x02 + 4 x0 + 1 = 0 cu soluţiile x0 ∈ −2 ± 2 . 2

261

Testul 3. 1. Soluţie a) Punem condiţia f (2 − 0) = f (2 + 0) = f (2) . Rezultă egalitatea 4 + a = 2 a + b , deci a + b = 4. Putem lua a = α ∈ Z şi b = 4 − α . b) Funcţia f este derivabilă pe Z \{2} . Studiem derivabilitatea în x0 = 2 . Avem f s′(2) = 4, fd′ (2) = a , deci a = 4. Din continuitate se obţine b = 0. c) Avem 5 = f (1) = 1 + a deci a = 4. De asemenea 4 + b = f ′ (3) = a = 4 deci b = 0. ⎧ x 2 + 4, x T 2 Rezultă că funcţia f este f ( x ) = ⎨ . ⎩2 x , x > 2

2. Soluţie a) Funcţia f este derivabilă pe [0, + ∞ ) .

x2 4 = Avem f ′ ( x ) = 1 − . x + 1 ( x + 2)2 ( x + 1)( x + 2)2 b) Tabelul de monotonie x f ′( x ) f(x)

−∞ + +

+

+

+

+

+

+

+

+

+∞

+∞

0

c) Din monotonia funcţiei f se obţine că x = 0 este punct de minim. Atunci vom avea că f ( x ) U f (0) = 0, ∀x ∈ [0, + ∞ ) deci ln(1 + x ) U 2 x , ∀x ∈ [0, + ∞ ) . x+2 3. Soluţie a) D1 = [2, + ∞ ), D2 = Z

1 , iar 2 x−2 g este derivabilă pe Z şi g ′ ( x ) = ( x 2 + 3 x − 5) e x .

b) Funcţia f este derivabilă pe (2, + ∞ ) şi f ′ ( x ) =

( x2 + x −6 ) e x ( x 2 + 3 x − 5) e x = 0 = lim = lim (2 x − 2 ⋅( x 2 + 3 x − 5) e x ) = 0 . x →2 x →2 x →2 0 1 2 − x x>2 x>2 x>2 2 x−2

c) lim

()

262

Testul 4 a) Funcţia f este de două ori derivabilă pe [0, + ∞ ) şi f ′( x ) =

2 x5 + 4 x 3 , x U 0 . 1 − 1 + x2 = x4 ′′ f ( x ) = x2 + 1 x2 + 1 ( x 2 + 1)2

b) Tabelul de monotonie x f ′( x ) f(x)

0 +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+∞ +∞

0

c) Din tabelul de monotonie se obţine că x = 0 este punct de minim pentru f. 3 Aşadar f ( x ) U f (0) = 0, ∀x ∈ [0, + ∞ ) sau arctgx U x − x . 3 3. Tangenta în M are ecuaţia y - f ( a ) = f ′( a )( x − a ) sau 2 y = 1 −2 a + a −4 2 a ( x − a ) = a −3 2 x + 3 − 22 a . a a a a Punctele de intersecţie ale graficului cu tangenta sunt date de sistemul ⎧ y = 1− x ⎪ x2 ⎨ ⎪ y − 1 −2 a = a −3 2 ( x − a ) ⎩ a a A doua ecuaţie, după substituţia lui y, se scrie: 1 − x − 1 − a = a − 2 ( x − a ) sau ( x − a )( ax − x − a ) = a − 2 ( x − a ) . x2 a2 a3 x 2 a2 a3 Se obţine x – a = 0 cu soluţia x = a şi ecuaţia de gradul 2, a ( ax − x − a ) = ( a − 2) x 2 cu soluţiile x ∈ a , a . a−2 Rezultă că N a , f a . a−2 a−2 Se pune condiţia ca f ′ a = 3 . a−2 Notăm u = a şi se obţine ecuaţia u −3 2 = 3 sau 3u3 − u + 2 = 0 care se scrie a−2 u 2 ( u + 1)(3u − 3u + 2) = 0 cu soluţia u = –1. Aşadar a = −1 şi a = 1. a−2

{ (

}

( )) ( )

263

Probleme recapitulative Soluţii 1. Vom aplica regula lui l’Hospital. 19 9 18 8 a) = lim 20 x − 20 x = lim 20⋅19 x − 20⋅9⋅ x = 10⋅19 −10⋅9 = 100 ; x →1 x →1 2( x −1) 2 1 2 x +1 3 = b) = lim ; x →1 1 2 2 x +2 cos x + 2 cos x +...+ n cos nx 1+ 2 + ...+ n = = 1; c) = lim n→0 1+ 2 +...+ n 1 + 2 +...+ n cos2 x cos2 x cos2 nx 1 8⋅ 1− (8 x )2 d) = lim =4 ; x →0 2 cos 2 x e) = lim sin x cos2 x +2sin 2 x⋅cos x = lim cos x cos 2 x −2sin x sin 2 x +4cos2 x cos x −2sin 2 x sin x = x→0 x→0 2x 2 =5. 2 x x x f) = lim 2 ln 2x + 3 ln 3x+ 4 ln 4 = ln 2 + ln 3+ ln 4 . x→0 ln 5 + ln 6 5 ln 5 + 6 ln 6 2. Din proprietatea părţii întregi se obţine că x + x + ln2 x − 1 < ⎡⎣ x + x + ln2 x ⎤⎦ T x + x + ln2 x şi astfel 2 x + x + ln2 x − 1 [ x + x + ln x ] x + x + ln 2 x < T . 3x +1 3x +1 3x +1 Din criteriul cleşte se obţine că = 1 . 3

⎛ 2− + − 2 2 ⎞ (1− a2 ) x 2 − x +1 3. = lim⎜ x 2 x 1 a x − b⎟=−b + lim . x →∞⎝ x − x +1 + ax x →∞ ⎠ x 2 − x +1+ ax Se pune condiţia ca 1 − a2 = 0 . Se obţine a = 1, a = –1. Valoarea a = –1 nu este convenabilă deoarece se obţine că =+∞ . − b =− 1 − b . Pentru a = 1 se obţine = lim 2 − x +1 x →∞ 2 x − x +1+ x Din − 1 − b = 1 se obţine b = − 3 . 2 2 4. Avem = a + b + c . Se pune condiţia ca a + b + c = 0, astfel limita ar fi infinită. 0+ Rezultă = lim −a sin x − 23 b sin 2 x = lim −a cos x − 42b cos 2 x = −a − 4 b . x →0 x →0 0+ 4x 12 x Se pune condiţia ca –a – 4b = 0. 264

a sin x +8 b sin 2 x a cos x + 2 b cos 2 x a +16 b = lim = =1 . l →0 l →0 24 x 24 24 ⎧a + b + c = 0 ⎪ Se obţine sistemul ⎨a + 4 b = 0 cu soluţia a = –8, b = 2, c = 6. ⎪a + 16 b = 24 ⎩

Rezultă că = lim

5. Se studiază continuitatea în punctele de legătură în rest funcţiile fiind continue. a) f (1 − 0) = 2, f (1 + 0) = a − 1 . Funcţia este continuă în x0 = 1 dacă a = 3. b) Funcţia este continuă pentru a = 0. ⎧1 + a + b = a + 2 deci a = 2, b = 1. c) Se obţine că f este continuă dacă ⎨ ⎩ 4 + a = 10 − 2 a 6. Funcţia este continuă pe Z \{0} . În x = 0 este continuă dacă a + 1 = 1 , b = 4 . 4 7. Condiţiile de continuitate şi derivabilitate în x0 = 0 conduc la b = c = 1, a ∈Z . 8. Se obţine că a = b şi 2a = –2, deci a = b = –1. 10. a) Din continuitate se obţine că c = –1. Avem: ⎧2 ax − 3, x ∈ [ −1, 0) f ′( x ) = ⎨ . ⎩2 x + b , x ∈ [0, 1] Funcţia este derivabilă dacă b = –3. Egalitatea f(–1) = f(1) implică a + 4 = 1 + b – c. Se obţine că a = –5, b = –3, c = –1. b) Funcţia g este continuă fiind obţinută prin compunerea a două funcţii continue f şi g, g (x) = 2x2 . 1+ x

ax c + a ln( x + 1) ⎞′ x + 1 − [ c + a ln( x − 1)] f ( x ) ⎛ = 2 . 11. Obţinem F ′ ( x ) = ⎜ b + ⎟ = x x2 x ⎝ ⎠ Aşadar trebuie cu a = 1 şi c = 0. bx + ln( x + 1) . Se obţine că F ( x ) = x Deoatece lim F ( x ) = b + 1 , se obţine că b = 0. x →0

Astfel α = F (2) =

ln(3) = ln 3 . 2

12. Condiţia ca f să fie continuă pe Z este ca 2 − m2 + m + 1 = | m | . Obţinem că

m2 + m + 1 = 2 − | m | U 0 .

265

Prin ridicare la pătrat avem ecuaţia m2 + m + 1 = 4 − 4 | m | + m2 sau m + 4|m| = 3 cu soluţia m = 3 şi m = –1. 5 Se obţine că α = 9 + 1 = 34 . 25 25 13. Funcţia f are perioada T = 2 dacă f ( x + 2) = f ( x ), ∀x ∈ Z . Avem: x +2⎤ x ⎤ [ x ]+2 f ( x + 2) = (−1)[ x+2 ] x + a⎡ x + a⎡ ⎣ 2 ⎦+ b + 3 = (−1) ⎣ 2 +1⎦+ b + 3 =

(

(

)

(

)

(

)

)

x⎤ x⎤ [x] [x] = (−1)[ x ] x + a⎡ x + a⎡ ⎣ 2 ⎦+ b + a + 3 = (−1) ⎣ 2 ⎦+ b + 3+ (−1) a = = f ( x ) + (−1)[ x ] a deci a = 0. Rezultă că f ( x ) = (−1)[ x ] ( x + b ) + 3 .

Avem: f (1 − 0) = ( −1)0 (1 + b ) + 3 = b + 4 , iar f (1 + b ) = ( −1)[1 + b ] + 3 şi se obţine că: b + 4 = −1 − b + 3 deci b = –1. Aşadar S = 0 – 1 = – 1. Răspuns corect b). 14. Continuitatea funcţiei în x0 = 1 • f (1− 0) = p , f (1) = m , f (1+ 0) = 1+ q deci p = m = 1+ q . Derivabilitatea funcţiei în x0 = 1 px − p ′ • f s′ (1) = lim , fd (1) = 3 , deci p = 3 = m şi q = 2. x →1 x −1 Se obţine S = m + p + q = 8. Răspuns corect e). 15. a) x = 1 este asimptotă verticală. Asimptote oblice f (x) x 2 − 3( x − 2) • m = lim = lim = 1 , iar x →∞ x →∞ x x2 − x ⎛ 2 ⎞ n = lim⎜ x − 3 x + 6 − x ⎟= lim −2 x + 6 =−2 . x →∞⎝ ⎠ x→∞ x −1 x −1 Aşadar dreapta y = x – 2 este asimptotă oblică spre +∞ . x2 + 3( x − 2) • m = lim = 1 , iar x →−∞ x2 − x 2 n = lim ⎛⎜ x + 3 x − 6 − x ⎞⎟ = lim 4 x − 6 = 4 . x →−∞ ⎝ x −1 ⎠ x →−∞ x − 1 Aşadar dreapta y = x – 4 este asimptotă oblică spre −∞ . b) Asimptote orizontale 2 2 • lim f ( x ) = lim ( x 2 − 1 + x ) = lim x 2− 1 − x = 0 . x →−∞ x →−∞ x →−∞ x −1 − x • lim f ( x ) = +∞

x →∞

266

Dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre −∞ . Asimptotă oblică spre +∞ x + x 2 − 1 = lim ⎛ 1 + x 2 − 1 ⎞ = 2 iar • m = lim ⎜ x →∞ x →∞ x x ⎠⎟ ⎝

(

)

n = lim x + x 2 − 1 − 2 x = lim ( x 2 − 1 − x ) = lim x →∞

x →∞

x →∞

Dreapta y = 2x este asimptotă oblică spre +∞ .

−1 = 0. x −1 + x 2

c) D = Z \{0, 1} . Asimptote verticale • Dreptele x = 0, x = 1 sunt asimptote verticale. Asimptote oblice f (x) x3 − 3( x − 2) • m = lim = lim 2 = 1 iar x →∞ x →∞ x x ( x − 1) 3 2 n = lim ( f ( x ) − mx ) = lim ⎛⎜ x −2 3 x + 6 − x ⎞⎟ = lim x −2 3 x + 6 = 1 . x →∞ x →∞ ⎝ ⎠ x →∞ x − x x −x Dreapta y = x + 1 este asimptotă oblică spre +∞ . f (x) x3 + 3( x − 2) • m = lim = lim = 1 , iar x →−∞ x →−∞ x x 2 ( x − 1) 3 2 n = lim ⎛⎜ x +2 3 x − 6 − x ⎞⎟ = lim x +2 3 x − 6 = 1 x →−∞ ⎝ ⎠ x →−∞ x − x x −x Dreapta y = x + 1 este asimptotă oblică spre −∞ .

2 16. a) lim f ( x ) = lim 6 x − x + 4 ln x − 2 = 0 − ∞ − 2 = −∞ 1 = −∞ x →0 x →0 2x 0+ 0+ x >0 x >0

⎛ ⎞ −2 x + 6 + 4 ⎟ ⎜ x − x + bx + 4 ln x − 2 ∞ = = lim⎜ • lim f ( x ) = lim ⎟=−∞ ; x →∞ x →∞ x →∞ 2x 2 ∞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −2 x + 6 + 4 − x 2 + 6 x + 4 ln x − 2 L ' H x −2 x 2 + 6 x + 4 b) m = lim lim lim = = =− 2 =− 1 iar 2 2 x →∞ x →∞ x →∞ 4x 4 2 2x 4x 2 ⎛ ⎞ n = lim⎜− x + 6 x + 4 ln x − 2 + x ⎟= lim 6 x + 4 ln x − 2 = 3 x →∞⎝ 2x 2 ⎠ x→∞ 2x Asimptota oblică este y = − x + 3 . 2

( )

2

L' H

c) Panta tangentei trebuie să fie m = − 1 . 2 1 Se obţine egalitatea f ′( x0 ) =− . 2 4 6 − 2 x + 2 x − 2(6 x − x 2 + 4 ln x − 2) x −2 x 2 −8ln x +12 . = Avem că f ′( x ) = 4 x2 4 x2 3 Din egalitatea f ′( x0 ) =− 1 rexultă ecuaţia logaritmică 8ln x − 12 = 0 cu soluţia x = e 2 . 2

(

)

267

17. Avem: m = lim ⎛⎜ 2 − 1 − 4 ln2 x ⎞⎟ = −1, iar x →∞ ⎝ x x ⎠ n = lim 2 − x − 4 ln x + x = lim 2 − 4 ln x = 2 . x →∞ x →∞ x x

)

(

)

(

Asimptota oblică spre +∞ este y = –x + 2. Tangenta are panta f ′( x0 ) şi se obţine egalitatea f ′ ( x0 ) = −1. x. Dar f ′ ( x ) = −1 − 4 1 − ln 2 x 1 − ln x0 = 0 deci x0 = e . Ecuaţia f ′ ( x0 ) = −1 se scrie −4 x02

(

)

Punctul de tangenţă este M e , 2 − e − 4 . e

( a − 2) x + b ⎛ 2 ⎞ = a − 2 , deci a = 5. 18. a) Avem 3 = n = lim⎜ 2 x + ax + b − 2 x ⎟= lim x →∞⎝ ⎠ x→∞ x +1 x +1 Aşadar a = 5, b ∈ Z . 2 b) f ( x ) = 2 x + 5 x + b , D = Z \{ −1} . x +1 Funcţia poate avea dreapta x = –1 asimptotă verticală dacă 2 − 5 + b ≠ 0 , deci dacă b ≠ 3 .

19. Avem: f ′ ( x ) =

2x + m−2 . 3 ( x + ( m − 2) x + 2 − m )2 3

2

f ′ ( x ) are sens pe Z dacă x 2 + ( m − 2) x + 2 − m ≠ 0, ∀x ∈ Z . Rezultă că ∆ = ( m − 2)2 − 4(2 − m ) < 0 şi se obţine că m ∈ ( −2, 2) . ⎛ x 2 (1 + ax ) 2 x ⎞ 20. a) Se obţine lim ⎜ = 0. e ⎟ = − lim (1 + ax ) e 2 x = − lim 1 +−2ax 2 x →−∞ x →−∞ x →−∞ e x ⎝ 1− x ⎠ ax 2 + 2 x + a +1+ ax ⋅2 e 2 x , x ∈ D . b) f ′( x ) = (1− x 2 )2 1− x 2 Se obţine că f ′ (0) = a + 2, f (0) = 1 şi egalitatea 3( a + 2) − 1 = 11 cu soluţia a = 2.

21. Se obţine [33( x+2)32 +33( x−2)32 ][( x+2)33 −( x−2)33 ]−[( x+2)33 +( x−2)33 ][33( x+2)33 −33( x−2)32 ] f ′( x) = [( x+2)33 −( x−2)33 ]2 Rezultă că f ′ (0) = 33 , f ′ (2) = 0, f ′ ( −2) = 0 . 2 Aşadar T = 33 . 2

268

22. Din continuitatea în x0 = 0 se obţine că c = ln1 = 0 . Din derivabilitatea funcţiei în x0 = 0 se obţine că –1 = b, iar derivata este:

⎧ 1 , xT0 ⎪ . f ′( x ) = ⎨ x −1 ⎪⎩2 ax − 1, x > 0 1 +1 2 ax − 1 + 1 x x = −1 = 2 a şi f s′′(0) = lim − 1 = lim Rezultă că fd′′(0) = lim x →0 x →0 ( x − 1) x x →0 x x Aşadar 2a = –1 şi a = − 1 . 2 23. Continuitatea în x = 1 implică 1 + a + b + c = 0 . Din derivabilitatea funcţiei f în x0 = 1 avem f s′(1) = fd′ (1) .

arctg ( x − 1) = 1. x →1 x −1

Dar f s′(1) = 3 + 2 a + b , iar fd′ (1) = lim Aşadar 2 a + b = −2 .

⎧3 x 2 + 2 ax − 2 − 2 a , x < 1 ⎪ Derivata funcţiei f se scrie: f ′( x ) = ⎨ . 1 , 1 x > ⎪ ⎩ x2 − 2 x + 2 Se obţine că 2 3( x 2 − 1) + 2 a ( x − 1) = lim 3( x + 1) + 2 a = 6 + 2 a . f s′′(1) = lim 3 x + 2 ax − 2 − 2 a − 1 = lim x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 1 −1 2 −( x −1)2 −( x −1) − + De asemenea fd′′(1) = lim x 2 x 2 = lim lim = =0 . x →1 x →1 ( x −1)( x 2 − 2 x + 2) x →1 x 2 − 2 x + 2 x −1 Aşadar 6 + 2 a = 0 şi a = –3, apoi b = 4 şi c = –2. | x − π | sin x −( x − π ) sin x = lim =−sin π = 0 . x →π x →π x−π x−π

24. a) Avem f s′( π ) = lim xπ − sin x − ( x − π ) cos x = +2 . x →π − π x x 0 se obţine ecuaţia de gradul 2 în t:

t 2 + t + 1 − y = 0 cu soluţie acceptabilă t =

−1 + 4 y − 3 . 2

Rezultă că 2x = t . Aşadar f −1 : (1, +∞ ) → Z , f −1 ( x ) = log2 Avem ( f −1 ) ′(3) =

−1 + 4 x − 3 . 2

1 unde f ( x0 ) = 3 . f ′ ( x0 )

Din egalitatea 4 x0 + 2x0 + 1 = 3 ⇒ x0 = 0 . 1 Astfel, ( f −1 )′(3) = 1 = = 1 . f ′(0) ln 4 + ln 2 ln 8

)

(

26. a) f ( x ) = 1 1 − 2 + 1 , deci a = c = 1 , b = −1 . 2 2 x x +1 x + 2 ⎡ 2 − 1 ⎤; b) f ′ ( x ) = 1 ⎢ − 12 + 2 2 ⎣ x ( x + 1) ( x + 2)2 ⎥⎦ ⎡ 2 ⎤= 1 − 2 + 1 . f ′′ ( x ) = 1 ⎢ 23 − 4 3 + 3⎥ 3 3 2 ⎣ x ( x + 1) ( x + 2) ⎦ x ( x + 1) ( x + 2)3 S = ⎛⎜ 13 + 13 + ... + 13 ⎞⎟ − 2 ⎛⎜ 13 + 13 + ... + 13 ⎞⎟ + ⎛⎜ 13 + 13 + ... + 13 ⎞⎟ = 1 − 1 − 13 + 13 . 8 11 12 ⎝1 2 10 ⎠ ⎝ 2 3 11 ⎠ ⎝ 3 4 12 ⎠

(

)

sin x 1− 1 sin x (cos x −1) cos x = lim = lim sin x lim cos x2 −1 = 27. = lim 3 x →0 x →0 x →0 tg x x x→0 x x cos x x3 x = lim cos x2 − 1 = lim − sin x = − 1 . x →0 x →0 2x 2 x esin x ( e x−sin x −1) = e0 ⋅ln e = 1 . x →0 x − sin x

28. = lim

270

29. Pentru n = 0, l = 0. • Pentru n U 1 este caz de nedeterminare e . 0 x. Aplicăm regula lui L’Hospital. = lim − x sin x →0 nx n−1 • Pentru n = 1, = 0 , pentru n = 2, = lim sin x = 1 . x →0 2 x 2 x = lim −cos x . • Pentru n U 3 avem: = lim −sin x →0 nx n−2 x →0 n ( n − 2) x n−3 • Pentru n = 3, = −1 , iar 3 pentru n U4 , = −1 deci nu se mai obţine limită finită. 0± Aşadar n ∈{0, 1, 2 , 3} şi m = 6. 30. Notăm

x + 1 = t ⇒ x + 1 = t2 ⇒ x = t2 − 1 .

Rezultă E ( t ) = t 2 + 4 − 4 t + 9 + t 2 − 6 t =| t − 2 | + | t − 3|⇒ f ( x ) =| x + 1 − 2 | + | x + 1 − 3| = ⎧5 − 2 x + 1, x ∈ ( −1, 3] ⎪ . = ⎨1, x ∈ (3, 8) ⎪ 2 x + 1 − 9, x ∈ [8, + ∞ ) ⎩ 2(2 − x +1) 2(3− x ) 5− 2 x +1−1 Avem f s′(3) = lim = lim = lim =− 1 , iar x →3 x →3 x →3 ( x − 3)(2 + x +1) x −3 x −3 2 x1 ⎩2 e ,

− 2 x n − n = −1 − a deci este necesar ca a = –1. x →1 0+ ( x − 1)2 2 n−2 2 n −1 − 2 n ( n − 1) x n− 2 − 2 nx n−1 = lim 2 n (2 n − 1) x Avem l = lim 2 nx = x →1 x →1 2( x − 1) 2 2 n (2 n − 1) − 2 n ( n − 1) = = n2 . 2

34. l = lim x

2n

5 x4 − 5 x4 x − ln (1 + x ) ln(1 + x ) − x 1 + x5 35. a = lim + = + lim lim x →0 x →0 x →0 x6 x6 6 x5 ⎛ x − ln( x +1) x 4 + x3 ln( x +1) +...+ ln4 ( x +1) ⎞ 1−1− x5 ⋅5 + lim +lim⎜ ⋅ = ⎟ x →0⎝ x2 x4 ⎠ x→0 (1+ x5 )6 x 5

5

5

5

⎡ ln( x + 1) ⎛ ln( x + 1) ⎞2 ⎛ ln( x + 1) ⎞3 ⎛ ln( x + 1) ⎞4 ⎤ x − ln( x + 1) + lim ⋅ lim ⎢1 + +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥= x →0 x →0 x x x x x2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ 1− 1 x + 1 = 5lim x = 0 + 5lim =5. x →0 x → 0 2x 2 x ( x + 1) 2 36. Caz de nedeterminare ∞ . Se obţine cu regula lui l’Hospital ∞ 2 x +ex ⎛ ex +2 x ⎞ x2 + e x e2 x + 3 x4 lim lim = lim 2 = ⎜ ⎟ =1. x →∞ 3 x + 2 e 2 x x →∞⎝ e x + x 2 ⎠x →∞ 2 e 2 x + 3 x 2 2 4 2x x +e

f (x) = a , deci a = 1. x →∞ x 2 Apoi 2 = n = lim ( f ( x ) − mx ) = lim ⎛⎜ x + bx + 2 − x ⎞⎟ = lim bx + x + 2 = b + 1 , deci b = 1. x →∞ x →∞ ⎝ x −1 ⎠ x →∞ x − 1

37. a) Avem 1= m = lim

2 b) f ( x ) = x + x + 2 , x ∈ Z \{1} . x −1

c) Asimptotele sunt y = x + 2, şi x = 1. Triunghiul are vârfurile A(–2, 0), B(1, 0), C (1, 3), iar S = 9 . 2

272

39. Avem: f ′ ( x ) = e − x [ − x 2 + x (2 − m ) + m ], x ∈ Z . Se obţine ∆ = (2 − m )2 + 4 m = m2 + 4 > 0, ∀m ∈ Z . Aşadar ecuaţia f ′ ( x ) = 0 are două soluţii distincte, iar din semnul funcţiei f ′ se deduce că are două puncte de extrem.

⎛ ax + bx 2 + cx +1⎞ 40. a) m = lim⎜ ⎟= a + b = 4 . x →∞⎝ x ⎠ Pentru asimptota orizontală la −∞ se obţine că: −1= lim (ax + bx 2 + cx +1) = lim x →−∞

x →−∞

x 2 (b − a2 ) + cx +1 bx 2 + cx +1 − ax

Se pune condiţia b − a2 = 0 şi rezultă că: cx + 1 c −1 = lim = = − c deci c = 4. 2 x →−∞ bx + cx + 1 − ax − a − b 4 ⎧⎪a + b = 4 Din sistemul ⎨ se obţine a = 2, b = 4. 2 ⎪⎩a = b

⎧ 4 x + 1, x U − 1 ⎪ 2. b) Funcţia f este f ( x ) = 2 x + | 2 x + 1| = ⎨ ⎪ −1, x < − 1 ⎩ 2 2 41. Funcţia este derivabilă pe D şi se obţine că f ′ ( x ) = bx + 4 x +22 a . ( bx + 2) ⎧2 a + 64 b = 32 , cu soluţia Condiţia f ′ ( −8) = 0 , f ′ (4) = 0 conduce la sistemul ⎨ ⎩2 a + 16 b = −16 2 b = 1, a = –16, deci f ( x ) = x − 16 , f : Z \{ −1} → Z . 2( x + 1)

42. a) Cele două asimptote trebuie să fie asimptote verticale. Se pune condiţia ca ecuaţia x 2 + x + m = 0 să admită două soluţii reale diferite. Rezultă că ∆ = 1 − 4 m > 0 deci m < 1 . 4

( x + 1)3 b) f ( x ) = 2 , f : Z → Z . Graficul intersectează axele în A(0, 1) şi B(–1, 0). x + x +1 Asimptote oblice. ⎛ ( x + 1)3 ⎞ ( x + 1)3 2 x 2 + 2 x + 1 = 2 deci • m = lim = = − = 1, n lim x lim ⎜ ⎟ 2 x →±∞ x ( x 2 + x + 1) x →±∞ x 2 + x + 1 ⎝ ⎠ x →±∞ x + x + 1 y = x + 2 este asimptotă oblică la ±∞ . Studiul folosind derivatele ( x 2 + 2)( x +1)2 • f ′( x ) = , x ∈Z ; ( x 2 + x +1)2

f ′( x ) =

−6 x ( x +1)

( x 2 + x +1)3

273

, x ∈Z .

dreapta

Tabelul de variaţie x f ′( x ) f(x)

f ′′ ( x )

−∞ + +

–1 0 + 0 + + +

+∞ + +

−∞ +∞ – – – 0 + + +0– – i

i

y

2 1 –2 x

–1

Graficul este tangent axei Ox în x = –1

274