Rezolvari Algebra 1 [PDF]

Zitiervorschau

afv True/False Indicate whether the sentence or statement is true or false. ____ F

1. Fie G un grup. Exista o submultime stricta H a lui G (adica H sa fie strict inclusa in G) astfel incat

____ A

2. Orice subgrup al unui grup abelian este normal ?

____ A

3. Fie A un inel cu proprietatea ca x3 = x, (∀) x ∈ A. Atunci inelul este comutativ ?

____ A

4. Orice grup G de ordin p2, cu p numar prim, este comutativ ?

____ A

5. Fie H = 2n n ∈ ℕ , atunci H este submonoid al monoidului ( ℕ, +, 0 ) .

____ A

6. Dacă H = 2n + 1 n ∈ ℕ , atunci H este submonoid al monoidului ( ℕ, ⋅,1) .

____ F

7. Fie T2 ( ℝ ) = 

(∀) a∈ H si ∀b∈ G sa rezulte ab ∈ H ?

{

}

{

}

 a b   a , b , c ∈ ℝ  mulŃimea matricelor superior triunghiulare din M 2 ( ℝ ) . Atunci   0 c  

T2 ( ℝ ) nu este submonoid al monoidului ( M 2 ( ℝ ) , ⋅, I 2 ) ____ A

8. AplicaŃia f : M 2 ( ℤ ) → ℤ , f ( A) = A este morfism de la monoidul

( M ( ℤ ) , ⋅, I ) 2

2

la monoidul

( ℤ, ⋅,1) . ____ A

(

)

9. Fie n ∈ ℕ* şi ℤ n , ⋅,1ˆ monoidul multiplicativ al claselor de resturi modulo n . AplicaŃia

(

)

f : ℤ → ℤ n , f (a ) = aˆ este morfism de la monoidul ( ℤ, ⋅,1) la monoidul ℤ n , ⋅,1ˆ . ____ 10. Fie (G ,⋅, e ) un grup. Pentru orice F

a ∈ G , aplicaŃiile λ a : G → G , λ a ( x) = ax şi ρ a : G → G ,

ρ a ( x) = xa nu sunt bijective. ____ 11. 1. Fie F

H = {σ ∈ S n σ(n ) = n}, atunci H

____ 12. Fie (G ,⋅, e ) un grup finit şi A

nu este subgrup al lui S n .

H un subgrup al lui G . Atunci G = H ⋅ [G : H ].

____ 13. Dacă a este element de ordin finit, atunci numărul natural notat cu ord (a ) , A

{

}

ord (a ) = min k ∈ N * a k = e

se numeşte ordinul lui a . ____ 14. Dacă A

G este grup finit, atunci orice element a ∈ G are ordinul finit şi ord (a ) ordG .

____ 15. Fie (G,⋅, e ) un grup finit şi n = G . Atunci a n = e , ∀a ∈ G . A

n ≥ 2 , notăm cu Inv (σ ) numărul perechilor (i, j ) cu i < j astfel încât σ(i ) > σ( j ) . Vom spune că Inv (σ ) este numărul inversiunilor permutării σ .

A ____ 16. Dată σ ∈ S n ,

F ____ 17. O permutare σ ∈ S n este pară daca ε(σ ) = −1 . F ____ 18. O permutare σ ∈ S n este impară daca ε(σ ) = 1 . A ____ 19. Fie σ ∈ S n ,

n > 1 şi σ = τ1  τ 2  ...  τ m o reprezentare a lui σ ca produs de transpoziŃii. Atunci

numerele m şi Inv (σ ) au aceeaşi paritate şi deci ε(σ ) = (− 1) . m

F ____ 20. Dacă

n > 1 , atunci An = {σ ∈ S n ε(σ) = 1} nu este un subgrup de ordin

A ____ 21. Fie (G,⋅, e ) un grup. Un subgrup

A ____ 22.

n! al lui S n . 2

N al grupului G se numeşte subgrup normal al lui G dacă ∀a ∈ G , ∀x ∈ N ⇒ axa −1 ∈ N .

{

}

SL2 ( ℝ ) ⊲ GL2 ( ℝ ) , unde SL2 ( ℝ ) = X ∈ M 2 ( ℝ ) X = 1 .

A ____ 23. Dacă (G,⋅, e ) este un grup atunci subgrupul unitate 1 = {e} şi G sunt subgrupuri normale ale lui

G. F ____ 24. Dacă (G ,⋅, e ) este grup abelian atunci orice subgrup

H al lui G

nu este subgrup normal.

A ____ 25. Un grup (G ,⋅, e ) se numeşte simplu dacă are cel puŃin două elemente şi nu are subgrupuri normale

diferite de 1 = {e} şi G .

F ____ 26. Orice grup

G de ordin p , p număr prim, nu este simplu.

A ____ 27. Dacă n ≥ 5 , atunci grupul altern An este simplu. A ____ 28.

Dacă n ≥ 3 , grupul altern An este generat de ciclurile de ordin 3. A ____ 29. Fie (G ,⋅, e ) şi (G ′,⋅e ′) două grupuri. O aplicaŃie f : G → G ′ se numeşte morfism de la grupul

G

la grupul G ′ dacă f ( xy ) = f ( x) f ( y ) oricare ar fi x, y ∈ G . F ____ 30. Un inel comutativ

R cu 1 ≠ 0 şi cu divizori ai lui zero se numeşte domeniu de integritate sau inel

integru F ____ 31. Inelul ( ℤ, +, ⋅) al numerelor întregi nu este domeniu de integritate. A ____ 32. Dacă

(R,+,⋅)

este un inel, atunci ∀x ∈ R avem x ⋅ 0 = 0 ⋅ x = 0 .

A ____ 33. Dacă

(R,+,⋅)

este un inel, atunci dacă R > 1 , atunci 1 ≠ 0 .

____ 34. Dacă (R,+,⋅) este un inel, atunci x (− y ) = (− x ) y = − xy şi (− x )(− y ) = xy oricare ar fi x, y ∈ R . A A ____ 35. Dacă

(R,+,⋅)

este un inel, atunci x( y − z ) = xy − xz şi ( y − z )x = yx − zx oricare ar fi x, y, z ∈ R .

(R,+,⋅)

este un inel, atunci dacă R nu are divizori ai lui zero, iar xy = xz sau yx = zx cu x ≠ 0 , atunci y = z .

A ____ 36. Dacă

F ____ 37. M 2 ( ℤ )

nu este subinel al inelului M 2 ( ℝ ) .

F

____ 38. Dacă R este un inel. Atunci

nu este subinel al inelului M 2 (R ) , A ____ 39. MulŃimea

  a b   a, b, c ∈ R  T2 (R ) =    0 c 

S a şirurilor Cauchy de numere reale este subinel al inelului ℝℕ al şirurilor de numere

reale. A ____ 40. Dacă

n ∈ ℕ şi I = nℤ = {nq q ∈ ℤ} , atunci I este ideal al lui ℤ .

A ____ 41. Dacă I ⊲ℤ , atunci

I este subgrup al grupului ( ℤ, +, 0 ) .

F ____ 42.

 na nb   Dacă n ∈ ℕ iar I =   a, b, c, d ∈ ℤ  , atunci I  nc nd  

nu este ideal bilateral al lui R .

A ____ 43. AplicaŃia f : ℤ → ℤ n , f ( a ) = aˆ este morfism surjectiv de la inelul

( ℤ, +, ⋅)

la inelul ( ℤ n , +, ⋅) .

ˆ ˆ b ˆ a c   ∈ M 2 ( ℤ ) , A =  ˆ ˆ  , b d  c d

a F ____ 44. AplicaŃia f : M 2 ( ℤ ) → M 2 ( ℤ n ) , f ( A) = Aˆ , unde pentru A =  nu este morfism surjectiv de inele. A ____ 45.

Fie f : R → R ′ un morfism de inele, atunci Ker ( f ) este ideal bilateral al lui R , iar Im( f ) este subinel al lui R ′ .

____ 46. Dacă f : R → R ′ este un morfism de inele, atunci Im( f ) ~ A

R . Ker ( f )

A ____ 47. Fie M 2 ( nℤ ) mulŃimea matricelor pătrate cu coeficienŃi în nℤ . Dacă f : M 2 ( ℤ ) → M 2 ( ℤ n ) este

morfismul cu acŃiunea   a b    aˆ bˆ  ,   =  f    ˆ   c d    cˆ d  avem Ker ( f ) = M 2 ( nℤ ) şi Im( f ) = M 2 ( ℤ n ) . F ____ 48. M 2 ( nℤ )

nu este ideal bilateral al lui M 2 ( ℤ ) .

F ____ 49. Dacă m, n ∈ ℕ* sunt prime între ele, atunci inelul ℤ mn nu este izomorf cu produsul direct al

inelului ℤ m cu inelul ℤ n .

A ____ 50. Fie K şi K ′ două corpuri. O aplicaŃie f : K → K ′ se numeşte morfism (izomorfism) de corpuri

dacă este morfism (izomorfism) de la K la K ′ considerate ca inele. ____ 51. Un domeniu de integritate finit este corp. Inelul A

(ℤ

p

, +, ⋅) este corp dacă şi numai dacă p este

număr prim. A ____ 52. Dacă R este un domeniu de integritate există un corp comutativ K , numit corpul fracŃiilor lui R ,

astfel încât R este subinel al lui K şi pentru orice x ∈ K există a, b ∈ R , b ≠ 0 astfel încât x = ab −1 . A ____ 53.

 x T2 ( ℤ ) =   0

 y  x, y, z ∈ ℤ  ⊂ M 2 ( ℤ ) este o ℤ − subalgebră a ℤ − algebrei M 2 ( ℤ ) . z 

R este un domeniu de integritate, atunci R[X ] este domeniu de integritate şi grad ( fg ) = grad ( f ) + grad ( g ) oricare ar fi f , g ∈ R[X ], f ≠ 0 , g ≠ 0 .

A ____ 54. Dacă

A ____ 55.

 a b   K =   a, b ∈ ℝ  este corp în raport cu adunarea şi înmulŃirea matricelor şi K ~ ℂ .  −b a  

A ____ 56. Dacă f : M → M ′ este un morfism bijectiv de monoizi iar f

f

−1

−1

este inversa aplicaŃiei f , atunci

este morfism bijectiv de la monoidul (M ′,⋅, e ′) la monoidul (M ,⋅, e ) .

A ____ 57. Pentru

monoidul

( ℤ , ⋅,1ˆ ) n

mulŃimea

elementelor

inversabile

din

ℤn

este

U ( ℤ n ) = {aˆ ∈ ℤ n ( a, n ) = 1} , unde s-a notat cu (a, n ) cel mai mare divizor comun al numerelor întregi a şi n .

(

A ____ 58. Orice grup (G,⋅, e ) de ordin 3 este izomorf cu grupul aditiv ℤ 3 , +, 0ˆ

)

al claselor de resturi modulo

3. A ____ 59. Dacă (G,⋅, e ) este un grup, a ∈ G , aplicaŃia ϕ : G → G ϕ( x ) = axa −1 este bijectivă . A ____ 60. AplicaŃia f : ℂ* → ℝ*+ , f ( z ) = z =

( ℂ , ⋅,1) *

(

zz = a 2 + b 2 dacă z = a + ib , este morfism de la grupul

)

la grupul ℝ*+ , ⋅,1 .

A ____ 61. Dacă (G,⋅, e ) şi (G ′,⋅, e′) sunt două grupuri, aplicaŃia f : G → G ′ , f ( x ) = e ′ este morfism de

grupuri . F ____ 62. Fie (G,⋅, e ) şi (G ′,⋅, e′) două grupuri şi f : G → G ′ un morfism de grupuri. Atunci

f (e) = e′ şi f (x −1 ) = ( f ( x ) ) , oricare ar fi x ∈ G . −1

F ____ 63.

Grupurile ( ℤ, +, 0 ) şi ( ℚ, +,0 ) sunt izomorfe

A ____ 64. Grupurile

( ℝ , ⋅,1) *

(

)

şi ℂ* , ⋅,1 nu sunt izomorfe

(

)

A ____ 65. Grupurile ( ℚ, +,0 ) şi ℚ*+ , ⋅,1 nu sunt izomorfe

Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. B ____ 66. Fie funcŃia f : A → B cu proprietatea: ∀(x1,x2)∈A×A, x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2). Care din următoarele afirmaŃii

este adevărată? a. b. c. C ____ 67. Fie

f este surjectivă f este injectivă f este bijectivă f : ℤ → ℤ , f(x)=2x+1. Care din afirmaŃiile următoare este adevărată?

a. b. c. A ____ 68. Fie

f este bijectivă f este surjectivă f este injectivă f : ℚ → ℚ , f(x)=2x+1. Care din afirmaŃiile următoare este adevărată?

a. f este bijectivă b. f nu este bijectivă A ____ 69. Fie f : A → B , şi f : B → C două funcŃii injective. Care din afirmaŃiile următoare este adevărată? a. b.

g  f este injectivă g  f nu este injectivă

A ____ 70. Fie A={0,1,2,3,4}. Care din afirmaŃiile următoare este adevărată?

a. ∀ x∈Z, ∃a∈A astfel încât x≡a(mod 5) b. ∃ x∈Z astfel încât ∀a∈A, x≠a(mod 5) B ____ 71. Constanta a∈R este astfel încât legea de compoziŃie ‘*’ definită prin ∀(x,y)∈R2: x*y = xy+ax+ay este asociativă. Care din afirmaŃiile următoare este adevărată?

a. a∈{2,5} b. a∈{0,1} c. a=3 A ____ 72. Fie grupul simetric (S3,⊥). Atunci numărul subgrupurilor lui S3 este: a. 6 b. 4 B____ 73. Fie grupul simetric (S3,⊥). Atunci numărul subgrupurilor normale ale lui S3 este: a. 1

b. 3 ____ 74. Fie permutarea σ∈S6, C

1 2 3 4 5 6   σ =   3 1 5 2 6 4 Atunci numărul inversiunilor permutării σ este: a. b. c. A ____ 75. 1.

7 5 3 Fie permutarea σ∈S6,

1 2 3 4 5 6   σ =   3 2 4 1 6 5 Atunci ordinul lui σ în S6 este: a. 3 b. 5 c. 6 * C ____ 76. Fie f : ℤ → ℂ , f ( k ) = cos

2 kπ 2 kπ + i sin , unde n∈ N*. Atunci ∀(h,k)∈Z2: n n

a. f(h+k)=f(h)+f(k) b. f(h+k)=f(h)f(k) c. f(hk)=f(h)f(k) C

* ____ 77. Fie morfismul de grupuri f : ℤ → ℂ , f ( k ) = cos

2 kπ 2 kπ + i sin . Atunci: 5 5

a. 1 + i ∈ Im(f) b. card(Im(f))=6 c. Ker(f)=5Z={5q|q∈Z} A ____ 78. Fie Q( 2 )={a+b 2 |a,b∈Q}. Atunci (Q( 2 ),+,•) este:

a. corp comutativ b. inel comutativ cu divizori ai lui zero C ____ 79. Fie K un subcorp al corpului R. Atunci: a. Q≠K şi Q ⊄ K b. Q ∩ K=Z c. Q ⊆ K A ____ 80. Fie f = ˆ3 + ˆ2X ∈ Z4[X]. Atunci:

a. ∀ g(X) ∈ Z4[X], f(X)g(X)≠ˆ1 b. ∃ g(X) ∈ Z [X], g(X)≠0 astfel încât f(X)g(X)= ˆ0 4 c. ∃ g(X) ∈ Z4[X] astfel încât f(X)g(X)=ˆ1

2π 2π   − sin  cos  1 n n  C ____ 81. Fie A,B ∈ M2(R), A=  , B=   2π 2π  0 cos   sin n n  

0  , n∈N*. Atunci: −1

a. AB = BA b. AB = BAn-1 c. An-1 = I2 A ____ 82. Una din afirmaŃiile următoare este adevărată:

(

)

a.

∀ ˆa , ˆb ∈Z5, ˆa + ˆb

b.

∃ ˆa , ˆb ∈Z5 astfel încât ˆa + ˆb

5

= ˆa 5 + ˆb 5

(

)

5

c. ∃ f(X), g(X)∈ Z5[X] astfel încât

ˆ1  A ____ 83. Fie G=  ˆ0  ˆ  0

ˆa ˆ1 ˆ0

≠ ˆa 5 + ˆb 5

( f (X) + g (X) )5

≠ f 5 (X) + g 5 (X)

ˆb     ˆc  | ˆa , ˆb ,ˆc ∈ Z 3  . Atunci ∀A ∈ G:   ˆ1   

a. A3=A b. A3=I3 A ____ 84. Fie σ ∈ Sn, n=3, cu proprietatea ∀π∈Sn: σ  π = π  σ . Atunci: a. σ = (1 2) b. σ = e=permutarea identică B ____ 85. Fie G un grup cu proprietatea ∀x∈G: x2 = e. Atunci grupul G este: a. izomorf cu (Z6,+) b. Comutativ

 ˆa  − ˆb

A ____ 86. Fie K= 

ˆb    | ˆa ,ˆb ∈ Z 3  . Atunci (K,+,•) este: ˆa  

a. corp comutativ cu 9 elemente b. inel cu divizori ai lui zero A ____ 87.

Functia f : ( 0, ∞ ) → ( −2, 2 ) , f ( x ) = a.

injectivă si nu este surjectivă

b.

surjectivă si nu este injectivă

c.

bijectivă

2x − 2 este x +1

A____ 88.

Câte morfisme de monoizi există de la ( Z * , ⋅) la ( N , + ) ? a. niciunul b. unul c. o infinitate

B ____ 89.

Pe R se defineste legea de compozitie astfel x * y = ax + by + c, ∀x, y ∈ R unde a, b, c ∈ R . Calculati suma S = a 2 + b 2 + c 2 stiind că acestă lege de compozitie admite elementul neutru e = 3 a. b. c.

S = 21 S = 11 S =1

____ 90. B

Se consideră inelul ( Z ,*, ⊥ ) unde x* y = x + y + 2 x ⊥ y = xy + 2 x + 2 y + 2 ∀x, y ∈ Z . Fie T numărul divizorilor lui zero ai acestui inel. Atunci a. b. c. d.

T=5 T=0 T=7 T=9

C ____ 91.

Grupul ( Z × Z 20 , + ) este a. b. c.

finit generat, dar nu este ciclic infinit generat ciclic

123456  2  . Atunci ordinul permutării τ este  512436 

B

____ 92. Fie permutarea τ ∈ S6 ,τ =  a. b. c. d.

C

____ 93.

6 12 2 3

Fie G un grup cu 6 elemente. Care din următoarele afirmatii este adevărată ? ( Z6 , + )

a. G este întotdeauna izomorf cu grupul b. G este întotdeauna izomorf cu grupul c. G este izomorf sau cu grupul D ____ 94.

( S3 ,  )

( S3 ,  ) sau cu grupul ( Z 6 , + )

Fie ( S3 ,  ) grupul permutarilor de ordin 3 si H un subgrup cu 3 elemente al acestui grup. Câte elemente are grupul factor S3 / H ? a. b. c. d.

3 2 4 1

C ____ 95.

{

}

Fie multimea U = z ∈ C z 5 = 1 . Câte elemente are această multime ? a. b. c. d.

1 3 5 7

B ____ 96.

Functia f : R → R, f ( x ) = x 2007 − 4 x 2005 + 2 este a. b. c.

injectivă si nu este surjectivă surjectivă si nu este injectivă bijectivă

A ____ 97.

Câte morfisme de monoizi există de la ( Q, + ) la ( Q, + ) ? a. niciunul b. unul c. o infinitate

C ____ 98.

Se consideră inelul ( Z ,*, ⊥ ) unde x* y = x + y −3 x ⊥ y = xy − 3 x − 3 y + 12 ∀x, y ∈ Z . Fie P ∈ Z [ X ] polinomul care are drept rădăcini elementele inversabile ale

inelului si coeficientul dominant egal cu unu. Notăm cu S suma pătratelor elementelor inversabile. Atunci a. b. c. d. A

S=1 S=10 S=5 S=20

____ 99. Grupul a. b. c.

( Z15 , + )

este finit generat, dar nu este ciclic infinit generat ciclic

D ____ 100. Fie permutarea

a. b. c. d.

123456  −1  . Atunci ordinul permutării τ este  512436 

τ ∈ S6 ,τ = 

6 4 2 3

C ____ 101.

. Fie G un grup cu 4 elemente. Care din următoarele afirmatii este adevărată ? a. G este întotdeauna izomorf cu grupul b. G este întotdeauna izomorf cu grupul c. G este izomorf sau cu grupul A ____ 102.

( Z4 , + )

( Z4 , + ) (Z × Z, +) sau cu grupul ( Z × Z , + )

Fie grupul ( Z 6 , + ) si H un subgrup cu 2 elemente al acestui grup. Câte elemente are grupul factor Z 6 / H ? a. b. c. d.

3 2 6 4

D ____ 103.

{

}

Fie multimea U = z ∈ C z 7 = 1 . Câte elemente are această multime ?

B

a. b. c. d.

1 3 5 7

____ 104.

Considerăm multimea numerelor reale si relatia binară definită pe această multime astfel: ρ = {( x, y ) x, y ∈ R, x = y ∨ x + y = 3} Care din urmatoarele afirmatii este adevarată? a. b. c. C ____ 105. Fie f

a. f b. f c. f A ____ 106.

relatia este reflexivă si nu este tranzitivă relatia este de echivalentă relatia este reflexivă si un este simetrică 2 x − 3, x ≤ 0 : R → R, f ( x ) = . Care din urmatoarele afirmatii este adevarată? 7 x, x > 0 este surjectivă este injectivă este bijectivă

x Fie f : Z → Z , f ( x ) =   , unde prin [ q ] se întelege partea întreagă a numărului q. Care 2 din urmatoarele afirmatii este adevarată? a. f b. f c. f

este surjectivă este injectivă este bijectivă

A

____ 107.

Fie f : A → B si g : B → C două functii surjective. Care din urmatoarele afirmatii este adevarată? a. b. c.

g  f este surjectivă g  f nu este surjectivă g  f este surjectivă doar pentru anumite functii

D ____ 108.

Fie M o multime cu 3 elemente. Câte legi de compozitie se pot defini pe M ? a. b. c. d.

1 3

36 39

A ____ 109. Fie un grup G si x un element de ordin finit din G. Daca m, n sunt doi intregi pozitivi cu proprietatile

, atunci c. d.

a. b. A ____ 110. Fie permutarea

are descompunerea

a.

c.

b.

d.

B ____ 111. Fie permutarea

A

____ 112.

B

____ 113.

are descompunerea

a.

c.

b.

d.

Fie

.Care din relatiile urmatoare, valabile

a.

c.

b.

d.

Fie a.

.Care din relatiile urmatoare, valabile c.

face ca

sa fie un grup abelian

face ca

sa fie un grup abelian

b.

d.

B ____ 114. Elementele inversabile ale inelului

sunt c. d.

a. b. C ____ 115. Legea de compozitie

a. b.

admite ca element neutru pe c. d.

B 116. Legea de compozitie ____

admite ca element neutru pe c. d.

a. b. D

____ 117. Legea de compozitie

a. b. B ____ 118. Legea de compozitie a. b. A

____ 119.

admite ca element neutru pe c. d. admite ca element simetric pe c. d.

Fie legea de compozitie sunt a. b.

, unde

.Solutiile ecuatiei

c. d.

A ____ 120. Se considera multimea

pe care se defineste lege de compozitie , elementul neutru este

a.

c.

b.

d.

A ____ 121. Se considera multimea

pe care se defineste lege de compozitie , elementul simetrizabil este

a.

c.

b.

d.

A ____ 122.

Fie ℤ [i ] = {a + ib ∈ ℂ a, b ∈ ℤ} . DeterminaŃi mulŃimea elementelor sale inversabile,

U ( ℤ [ i ]) . a. b.

c. d.

A

+

+

____ 123. In multimea Q se defineste operatia x*y astfel incat (∀) x,y,z,t ∈ Q sa avem (x*y)(z*t)=(xz)*(yt);

x*x=1 si x*1=x. Atunci 27*43 este egal cu : a. b.

c. d. 43

A ____ 124. Cate legi de compozitie comutative se pot defini pe o multime cu 5 elemente :

a. 525 b. 515

c. 510 d. 55

C ____ 125. Daca f si g sunt doua functii monotone, de monotonii diferite, atunci gof (i.e. g compus cu f):

a. este descrescatoare

c. nu este monotona

b. este crescatoare A 126. Daca A este o multime finita cu n elemente si B o multime finita cu m elemente, atunci numarul ____

functiilor injective f :A→B (definite pe A cu valori in B) este : a. mn (m la puterea n) b.

c. m.n (m inmultit cu n)

C mn (combinari de m luate cate n)

C

____ 127. Daca A si B sunt multimi care verifica proprietatile : A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}; B-A={4,5,6,7,8};

{3,9}∩B=∅ ; A∩B={1}, atunci multimile A si B sunt : a. A={1,2,9}; B={1,3,4,5,6,7,8} b. A={1,2,3,9}; B={1,3,4,5,6,7,8,9}

c. A={1,2,3,9}; B={1,4,5,6,7,8}

B ____ 128. Se considera multimea G={ a + b 2 | a,b∈Q, a2 + b2 ≠ 0}, care impreuna cu operatia de inmultire

formeaza un grup abelian. Inversul lui 6 + 7 2 este:

c. 1 1 1 1 2 2 + − − 6 7 6 7 b. d. 3 3 7 7 − + 2 − 2 31 62 31 62 B ____ 129. Daca G e grup si H1, H2 subgrupuri ale sale, atunci H1∪H2 : a.

a. este subgrup intotdeauna

c. nu poate fi subgrup al lui G

b. este subgrup doar daca H1 ⊂ H2 sau

H2 ⊂ H1 D

____ 130. Daca definim aZ + bZ ={x+y | x ∈ aZ, y ∈ bZ}, unde prin Z am notat multimea numerelor intregi,

atunci 25Z + 20Z este egal cu :

B

a. 45Z

c. 20Z

b.

d. 5Z

25Z

7 7 5 5 *. complexe (C , ,1). Atunci ordinul lui z este :

____ 131. Se considera elementul z = cos( π ) + i sin( π ) apartinand grupului multiplicativ al numerelor

a. 5 b. 10

c. 7 d. infinit

C

____ 132. Se considera elementul z = cos( 7π ) + i sin( 7π ) apartinand grupului multiplicativ al numerelor

complexe (C*,.,1). Atunci ordinul lui z este : a.

c.

7

7 49 infinit A *. ____ 133. Daca (C , ,1) este grupul multiplicativ al numerelor complexe, atunci cate subgrupuri de ordin 10 ale acestui grup exista ? b.

d.

a. 1 subgrup

c.

o infinitate

b. 10 subgrupuri C

____ 134.

1 Se considera permutarea σ ∈ S10 , σ =  3 permutarii este : a. infinit b. 10

2

3

4

5

6

7

8

9

5

1

4

7

10

8

2

6

10   . Ordinul 9 

c. 12 d. 4

 1 2 3 4 5  1 2 3 4 5  , τ =   . Permutarea x ∈ 4 2 1 5  2 5 4 1 3

C

____ 135. Se considera permutarile σ,τ ∈ S5, σ =  3

S3 cu proprietatea ca x o σ = τ este : a. b.

1 x =  3 1 x =  2

2 3 4 5  4 2 1 5  2 3 4 5  5 4 3 1 

A ____ 136. Se considera permutarile σ,τ ∈ S4,

c. d.

1 x =  1 1 x =  1

2 3 4 5  4 2 5 3  2 3 4 5  2 3 4 5  . Sa se rezolve ecuatia

a.

c.

b.

d.

C ____ 137. Se considera permutarea σ ∈ S5,

 1 2 3 4 5

 . Atunci σ120 este egala cu: σ =   3 4 2 1 5

a. σ b. permutarea identica

c. σ2 d. σ-1

B

____ 138. Ce morfism(morfisme) de la (Q,+) (Q fiind multimea numerelor rationale) la (Z,+) (Z fiind multimea

numerelor intregi) putem defini ? a. morfismul nul

c. orice morfism de tipul ax, cu a numar

rational mai mare decat 1 b. orice morfism de tipul kx, cu k ∈ Z A

____ 139. Cu cine este izomorf grupul multiplicativ ( R +* ,⋅ ) (unde prin R+* am notat multimea numerelor reale

strict pozitive)? a. cu (R,+) (grupul aditiv al numerelor

c. cu niciunul dintre grupurile de mai sus

reale) b. cu (R*,+) (grupul aditiv al numerelor reale nenule) C

____ 140. Care sunt automorfismele grupului (Z,+) (Z fiind multimea numerelor intregi) ? a. morfismul nul

c. morfismul x si morfismul –x

b. morfismele de tipul ax , cu a numar

intreg mai mare ca 1 ____ 141. Se considera multimea M = {1,2,3,4}. Cate submultimi cu doua elemente exista? D

a. 1 b. 2

c. 3 d. 6

C

____ 142. Functia f : R → R, definita prin f(x) = sin(x) +cos(x) : a. este monoton crescatoare

c.

nu este monotona

b. este monoton descrescatoare B 143. Fie A un inel unitar cu proprietatea ca x12 = x, (∀) x ∈ A. Atunci, oricare ar fi x ∈ A : ____

a. x2 = 1 ;

b. x2 = x

B ____ 144. Fie A un inel unitar inclus in corpul C al numerelor complexe si care include intervalul (0,1).

Operatiile inelului sunt cele induse de operatiile din C. Atunci : a.

A=R , unde R este multimea numerelor reale

c. A=R sau A=C, R si C avand

semnificatia de mai sus

b. A=C, unde C este multimea numerelor

complexe 2 ____ 145. Solutiile ecuatiei 3x – 4x + 1 =0 in Z5 sunt :

C

a. x = 1ˆ , x = 3ˆ 1 2

c. x1 = 1ˆ , x2 = 2ˆ

b. x = 2ˆ , x = 3ˆ 1 2 A

____ 146. Solutiile ecuatiei 3x2 – 4x + 1 =0 in Z11 sunt :

c. x1 = 1ˆ , x2 = 2ˆ x1 = 1ˆ , x2 = 4ˆ b. x = 2ˆ , x = 3ˆ 1 2 B 2 ____ 147. Solutiile ecuatiei x – x + 5 =0 in Z7 sunt : a.

a. x = 1ˆ , x = 3ˆ 1 2 b.

c. x = 3ˆ , x = 2ˆ 1 2

x1 = 2ˆ , x2 = 6ˆ

C

____ 148. Solutiile ecuatiei x2 – x + 5 =0 in Z17 sunt : a. x = 4ˆ , x = 3ˆ 1 2 b.

c. x1 = 4ˆ , x2 = 14ˆ

x1 = 2ˆ , x2 = 14ˆ

A ____ 149. Care este polinomul g ∈ Z8[X] astfel incat (2ˆ X + 3ˆ) g = 1ˆ

a. g(X) = 4ˆ X 2 + 6ˆ X + 3ˆ

c. g(X) = 4ˆ X 2 + 4ˆ X + 3ˆ

b. g(X) = 6ˆ X 2 + 6ˆ X + 3ˆ C ____ 150. Solutiile ecuatiei 3x2 – 4x + 1 =0 in Z17 sunt :

a.

x1 = 1ˆ , x2 = 4ˆ

c. x = 1ˆ , x = 6ˆ 1 2

x1 = 2ˆ , x2 = 3ˆ 2 ____ 151. Solutiile ecuatiei 3x – 4x + 1 =0 in Z19 sunt : b.

A

a. x = 1ˆ , x = 13ˆ 1 2

c. x1 = 1ˆ , x2 = 2ˆ

x1 = 2ˆ , x2 = 13ˆ 2 ____ 152. Solutiile ecuatiei x – x + 5 =0 in Z19 sunt : b.

B

a. x = 4ˆ , x = 3ˆ 1 2

c.

x1 = 4ˆ , x2 = 14ˆ

x1 = 10ˆ , x2 = 10ˆ A 153. Care din relatiile de mai jos are loc ____ b.

a.

c.

b.

d.

A 154. Fie ____ a.

cu coeficienti in

, atunci avem c. d.

b. A 155. Stabiliti daca ____ a.

.... in c.

b. A 156. Pe multimea ____ a.

se considera legea de compozitie c.

atunci

b. A ____ 157. Pe multimea

se considera legea de compozitie

neutru va fi a. b.

c.

____ 158. Stiind ca legea de compozitie A a. b. C ____ 159. Stiind ca legea de compozitie a. b. A

____ 160. Pe multimea grupul

atunci elementul

admite element sa se determine acesta c. d. admite element neutru sa se determine acesta c. d.

se considera legea de compozitie astfel incat functia

celor doua grupuri a.

, data de relatia

. Determinati sa fie un izomorfism al

c.

b. A ____ 161. Pe multimea

a. b.

se considera legea de compozitie c.

atunci

A

____ 162. Pe multimea a. b. A ____ 163. Pe multimea a. b. A ____ 164. Pe multimea

se considera legea de compozitie c.

atunci

se considera legea de compozitie c. se considera legea de compozitie va fi c.

a. b. A ____ 165. Pe multimea se considera legea de compozitie c. alt raspuns a. este parte stabila in raport cu legea “ ” b. nu este parte stabila in raport cu legea “ ” ____ 166. Pe multimea se considera legea de compozitie a. este parte stabila in raport cu legea “ ” c. alt raspuns b. nu este parte stabila in raport cu legea “ ” B

____ 167. Pe multimea se considera legea de compozitie a. este parte stabila in raport cu legea “ ” c. alt raspuns b. nu este parte stabila in raport cu legea “ ”

B

atunci

atunci solutia ecuatiei

atunci

atunci

atunci

____ 168. Pe multimea se considera legea de compozitie a. este parte stabila in raport cu legea “ ” c. alt raspuns b. nu este parte stabila in raport cu legea “ ”

atunci

B ____ 169. Pe multimea

atunci

se considera legea de compozitie a. este parte stabila in raport cu legea “ ” c. alt raspuns b. nu este parte stabila in raport cu legea “ ”

B

____ 170. Pe multimea a. b.

A

____ 171. Pe multimea

se considera legea de compozitie c.

atunci elementul neutru va fi

se considera legea de compozitie

atunci solutia ecuatiei

va fi a. b.

c.

A

____ 172. In multimea

a.

se considera multimea

atunci

b.

A

____ 173. In multimea

se considera multimea

b.

a. B

____ 174. In multimea

se considera multimea

se considera multimea

a. B 176. In multimea ____

____ 177. In multimea astfel incat a.

atunci b.

se considera multimea

a. A

atunci

b.

a. A 175. In multimea ____

atunci

si

atunci

b. se considera multimea

gasiti doua matrice P,Q

atunci c.

b.

A ____ 178. In multimea

se considera multimea

matrice inversabila atunci a.

sa se arate ca daca

este o

c.

b.

A

____ 179. In multimea elemente din G a. 8 b. 9

A ____ 180.

se considera multimea

sa se determine numarul de c. 10

Determinati numarul de elemente din multimea

a. 16 b. 13 D 181. In ____ a. b.

c. 14 restul impartirii polinomului

la polinomul c. d.

D ____ 182. Cate elemente inversabile sunt in inelul

a. 3 b. 5

c. 4 d. 2

A

____ 183. Sa se determine polinoamele a. b. A

____ 184. Sa se calculeze elementul a. b.

in c. d.

B

____ 185. Sa se calculeze elementul a. b. D____ 186. Fie grupul simetric

a. b. c. d.

in c. d.

( S3 ,  ) . Atunci numărul subgrupurilor lui

____ 187. Fie grupul simetric

( S3 ,  ) . Atunci numărul subgrupurilorv normale ale lui

S3 este

1 2 3 4

B____ 188.

Fie

f : Z → C * , f ( k ) = cos

∀ ( h, k ) ∈ Z × Z avem: a.

f ( h + k ) = f ( h) + f ( k )

b.

f (h + k ) = f (h) f ( k )

c.

f ( hk ) = f ( h ) f ( k )

B____ 189.

Fie grupul

( Z , +)

2 kπ 2k π + i sin n n

,

unde

n ∈ N*

.

Atunci

si multimea 5Z = {5m m ∈ Z } . Care din urmatoarele afirmatii este

adevarată? a.

S3 este

1 2 4 6

C

a. b. c. d.

astfel incat c. d.

5Z este subgrup al grupului ( Z , + ) , dar nu este normal

b.

5Z este subgrup normal al grupului ( Z , + )

c.

5Z nu este subgrup al grupului ( Z , + )

B

____ 190.

{

}

. Fie multimea U = z ∈ C z = 1 . Care din urmatoarele afirmatii este adevarată? U este subgrup al grupului ( C * , ⋅) , dar nu este normal

a.

B

____ 191.

b.

U este subgrup normal al grupului ( C * , ⋅)

c.

U nu este subgrup al grupului ( C * , ⋅)

Fie M 2 ( R ) multimea matricilor cu două linii, două coloane si elemente din multimea numerelor

 0 0   a, b ∈ R  este reale. Multimea I =    a b   a. ideal la stânga al inelului ( M 2 ( R ) , +, ⋅) , dar nu este ideal la dreapta al acestui inel b. ideal la dreapta al inelului ( M 2 ( R ) , +, ⋅) , dar nu este ideal la stânga al acestui inel c. ideal bilateral al inelului ( M 2 ( R ) , +, ⋅) C ____ 192. Fie Q

( 2 ) = {a + b

a. b. c. d.

}

( ( 2 ) , +, ⋅) este

2 a, b ∈ Q . Atunci Q

inel comutativ fără divizori ai lui zero inel comutativ cu divizori ai lui zero corp comutativ corp necomutativ

ɵ X + 2ɵ ∈ Z [ X ] . Atunci C 193. Fie f = 2 ____ 4 ∀g ( X ) ∈ Z 4 [ X ] , f ( X ) g ( X ) ≠ 0ɵ b. ∀g ( X ) ∈ Z [ X ] , g ( X ) f ( X ) ≠ 0ɵ

a.

4

c.

∃g ( X ) ∈ Z 4 [ X ] astfel încât f ( X ) g ( X ) = 0ɵ

C ____ 194. Fie A un inel si I, J, L ideale bilaterale în A astfel încât

a. b. c.

I + J = A si I ⊇ JL . Atunci

I≠J I⊆J I⊇J

A ____ 195.

Fie U grupul multiplicativ al al numerelor complexe de modul 1, C * grupul multiplicativ al numerelor complexe si R+* grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive si nenule. . Care din urmatoarele afirmatii este adevarată? a. C * / R+* este izomorf cu U b.

C * / R+* nu este izomorf cu U

c.

C * / U nu este izomorf cu R+*

A ____ 196.

Care din urmatoarele afirmatii este adevarată? a. b. c.

( Z , +) ( R, + ) ( Z , +)

si ( Q, + ) nu sunt izomorfe si ( Q, + ) sunt izomorfe si ( C , + ) sunt izomorfe

B ____ 197. Fie G un grup finit si a, b ∈ G două elemente oarecare astfel încât

ab = ba . Dacă

ord ( a ) = m, ord (b) = n si ( m, n ) = 1 atunci a. b. c. A

ord ( ab ) = m + n ord ( ab ) = mn

ord (ab) = m n

d. nici una din variantele de mai sus

____ 198.

123456789  Fie permutarea τ ∈ S9 ,τ =   . Descompunerea acestei permutări în produs de  469732185  ciclii disjuncti este a. b. c. d.

(1,4,7)(2,6,)(3,9,5)(8) (1,5,4)(3,6,9,2)(7,8) (2,6,7)(1,4,9,3)(5,8) nici una din variantele de mai sus

____ 199. Fie functiile f , g : R → R date de f ( x ) = ax + b cu a, b ∈ R, a ≠ 0 , respectiv g ( x ) = 3x + 5 . Să se A

determine a si b astfel încât f  g = g  f . a. a = 1, b = 0 b. a = 2, b = 3 c. a = 4, b = −5 d. nici una din variantele de mai sus C ____ 200. Fie f : R → R o functie cu proprietatea

B

a.

f (1) = 2

b.

f (1) = −5

c.

f (1) = 1

( f  f )( x ) = x 2 − x + 1

pentru oricare x ∈ R . Atunci

d. nici una din variantele de mai sus

____ 201. . Pe R se defineste legea de compozitie x * y = xy − 2 x − 2 y + 6 pentru oricare x, y ∈ R . Atunci

suma elementelor din R care coincid cu simetricele lor fată de această lege este a. b. c. d.

3 4 5 6

B ____ 202. Care din polinoamele următoare este ireductibil ?

a.

X 3 + X + 1∈ Z 2 [ X ]

b.

X 5 + 1∈ Z3 [ X ]

c.

X 4 − 1∈ Z 7 [ X ]

d. nici unul din polinoamele de mai sus

2 x2 + 3  5 1 ,  , f ( x) = 2 . Care din urmatoarele afirmatii este adevărată? 5x + 6  11 2 

____ 203. Fie functia f : ( −1, 0 ) → 

C

a. functia este injectivă, dar nu este surjectivă b. functia este surjectivă, dar nu este injectivă c. functia este bijectivă D ____ 204. Pe R se defineste legea de compozitie x * y = x + y + mxy , unde m ∈ R , cu proprietatea că multimea [ −1, ∞ ) este parte stabilă a lui R în raport cu această operatie algebrică. Dacă e este

elementul neutru al acestei legi de compozitie, atunci e = −1 e=2 e =1 e=0

a. b. c. d.

A ____ 205. . Se consideră corpurile

( R, + , ⋅ )

si ( R, ,*) , unde ∀x, y ∈ R, x  y = x + y − 2, x * y = xy − 2 x − 2 y + 6

Dacă f : R → R, f ( x ) = ax + b este izomorfism de corpuri de la ( R, +, ⋅) la ( R, ,*) , atunci a. a = 1, b = 2 b. a = −1, b = 2 c. a = 1, b = −2 d. nici unul din raspunsurile de mai sus

(

)

B 206. Pentru orice x, y ∈ R se defineste legea de compozitie x * y = ln e x + e y . Multimea solutiilor ____

ecuatiei ( x * x ) * x = 0 este a. b. c.

x = ln 3 x = − ln 3 1 x= ln 3

d. nici unul din variantele de mai sus B

____ 207. Pe Z definim legea de compozitie x * y = xy − 6 x − 6 y + 42 . Suma elementelor simetrizabile în raport

cu această lege este a. 1 b. ∞ c. 0 d. 12

B

____ 208. . Pe R este definit[ legea de compozitie x * y = xy + 3 x + 3 y + m . Egalitatea

pentru

B

a. b. c.

m=5 m=2 m = −3

____ 209.

A

Fie grupul ( Z10 , + ) . Câte subgrupuri are acest grup ? a. b. c. d.

1 2 4 8

____ 210. Fie grupul a. b. c. d.

( Z12 , + ) . Câte grupuri factor are acest grup ?

2 4 6 8

A 211. ____

Care din următoarele afirmatii este adevărată ? a. b. c.

[G : H ] = [G : H ] =

G H H G

[G : H ] = G

H

C

____ 212.

Câte grupuri neizomorfe cu 4 elemente există ? a. b. c. d.

0 1 2 o infinitate

C 213. Câte grupuri neizomorfe cu 6 elemente există ? ____ a. 0 b. 1 c. 2 d. o infinitate D ____ 214.

Câte grupuri neizomorfe cu 8 elemente există ? a. 1 b. 2 c. 4

( 2*3) * 4 = 175

are loc

B

d. 5

____ 215. Câte grupuri neizomorfe cu 10 elemente există ? a. 1 b. 2 c. 4 d. 6 C ____ 216.

Câte grupuri neizomorfe cu 9 elemente există ?

D

a. b. c. d.

0 1 2 o infinitate

____ 217. Câte grupuri neizomorfe cu 12 elemente există ? a. 0 b. 1 c. 2 d. 5 B ____ 218. Pe orice multime nevidă există o structură de inel unitar ? a. da, întotdeauna b. nu c. da, dar numai în anumite cazuri B ____ 219. Formează divizorii lui zero un ideal într-un inel oarecare ?

a. b. c.

da, întotdeauna nu

da, dar numai în anumite cazuri

A ____ 220.

.Fie G un grup finit astfel încât orice element din G, diferit de elementul unitate, are ordinul 2. Care din următoarele afirmatii este adevărată ? a. b. c.

G este comutativ întotdeauna G nu este comutativ G este comutativ doar în anumite cazuri D ____ 221. Câte subgrupuri are grupul Z × Z ?

B

a. b. c. d.

____ 222.

Cîte morfisme există de la grupul ( Q, + ) la grupul ( Z , + ) ? a. b. c. d.

C ____ 223.

0 1 2 o infinitate

0 1 2 o infinitate

Câte structuri de inel neizomorfe se pot defini pe o multime cu p elemente, p fiind număr prim ? a. b. c. d.

0 1 2 o infinitate

A

____ 224. Câte structuri de inel neizomorfe se pot defini pe o multime cu 4 elemente ? a. 1 b. 7 c. 11 d. 15 D ____ 225.

. Câte legi de compunere se pot defini pe Z care împreună cu adunarea obisnuită formează un inel ? a. b. c. d.

0 1 2 o infinitate

B

____ 226.

Fie M si N două multimi finite având m, respectiv n elemente. Câte functii definite pe M cu valori în N există ? a. b. c. d.

mn nm

mn m+n

B ____ 227.

Fie M si N două multimi finite având m, respectiv m elemente. Câte functii bijective definite pe M cu valori în N există ? a. m+n b. m n c. n m d. m! C

____ 228.

Fie M si N două multimi finite având m, respectiv n elemente, m ≤ n . Câte functii injective definite pe M cu valori în N există ? a. b. c. C

mn nm Anm

d. mn

____ 229.

Pe multimea numerelor naturale considerăm operatia algebrică m ⊥ n = m n . Atunci

a. b. c.

operatia este asociativă si nu este comutativă operatia nu este asociativă si este comutativă operatia nu este asociativă si nu este comutativă

A

____ 230. Fie z ∈ ℂ* , z = i , atunci a. b.

c. d.

2π 2π B ____ 231. Dacă m ∈ ℕ* şi z = cos + i sin , atunci m

m

a. b.

c. d.

-1

A

____ 232. 1. Dacă z = 1 + i ∈ ℂ* , atunci a. b.

A

____ 233. 1. Fie grupul

( ℤ , +, 0ˆ ) 4

c. d.

ˆ ℤ , atunci şi 3∈ 4

a.

c.

b.

d.

A

____ 234. Dacă ∀x, y ∈ R , x ≠ 0 , y ≠ 0 , avem ..., spunem că R este inel fără divizori ai lui zero. a. b.

xy ≠ 0

c. d.

A ____ 235. Elementul zero al inelului ℤ 8 × ℤ este

a.

(0ˆ,0)

c. d.

b. A ____ 236.

Elementul unitate al inelului ℤ 8 × ℤ este a.

(1ˆ,1)

c.

b.

d.

(0ˆ,0)

A

____ 237.

Astfel în inelul ℤ 8 × ℤ , produsul direct al inelului ˆ −7 = ˆ ) + ( 3, avem ( 5,3 )

A ____ 238.

a.

c.

b.

d.

( ℤ 8 , +, ⋅ )

cu inelul

( ℤ, +, ⋅)

,

Astfel în inelul ℤ 8 × ℤ , produsul direct al inelului avem

A

( ℤ 8 , +, ⋅ )

cu inelul

ˆ −7 = ˆ ) ⋅ ( 3, (5,3 )

a.

c.

b.

d.

 a 0    a, b ∈ ℤ  , atunci  b 0   a. I este ideal la stanga al lui R şi nu c. I nu este ideal la stanga al lui R si este ideal la dreapta al lui R este ideal la dreapta

____ 239. Fie R = M 2 ( ℤ ) şi I = 

b. I este ideal la stanga al lui R si la dreapta al lui R

d. I nu este ideal la stanga al lui R si la dreapta al lui R

 0 0   R = M 2 ( ℤ ) şi J =   a, b ∈ ℤ  atunci  a b   c. J este ideal la stanga al lui R si este ideal a. J este ideal la stanga al lui R şi nu la dreapta al lui R este ideal la dreapta d. J nu este ideal la stanga al lui R si la b. J ideal la dreapta al lui R şi nu este dreapta al lui R ideal la stânga.

B ____ 240. Fie

B

____ 241. Fie f : R → R ′ un morfism de inele,atunci f este injectiv dacă şi numai dacă a. c. b.

A ____ 242. Fie

Ker ( f ) = 0

d.

f = 2 X 4 − 2 X 3 − 15 X 2 + 10 X + 3 ∈ ℤ [ X ] . Să se calculeze f (3) . c. d.

a. b.

____ 243. Fie f = 2 X 4 − 2 X 3 − 15 X 2 + 10 X + 3 ∈ ℤ [ X ] . Să se determine catul impartirii lui f la

A

c.

a. b.

d.

A ____ 244. Dacă

a b  2 A=  ∈ M 2 ( Z ) şi f = X − (a + d )X + ad − bc din ℤ [ X ] , atunci c d  

a.

c.

b.

d.

A ____ 245. Fie

R un inel astfel incat x 6 = x , ∀x ∈ R . Stabilti ca

( ℤ, +, ⋅)

,

a. 1 + 1 = 0 b.

c. d.

A

____ 246. Fie R un inel astfel incat x 6 = x , ∀x ∈ R . Stabilti ca a. b.

x 2 = x , ∀x ∈ R .

c. d.