Poutre Hyperstatique 3 [PDF]

Zitiervorschau

Résistance des matériaux II POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 = ’0 – a M0 – b M1 = 0

CHAPITRE 3

1 = ’1 + b M0 + c M1 = 0 ’0 , ’1 , a, b, c étant connus, on peut évaluer :

Poutres droites hyperstatiques à une travée

M0 =

3.1- GENERALITES Les poutres sont supposées horizontales, à plan moyen vertical, soumises uniquement à des

S

0 = 0

G0

Il en résulte que la poutre encastrée à ses deux extrémités est hyperstatique d’ordre 2 et que la

x

poutre encastrée à une extrémité et simplement appuyée à l’autre est hyperstatique d’ordre 1. M0

1 = 0

R0

R1

G0

G1

G0

G1

G1

T(x), M(x)

'0

R1

ac − b2

x

Le nombre des équations d’équilibre non identiquement satisfaites est ainsi égal à 2.

R0

b '0 + a 1'

M1 

y

uniquement des réactions verticales et des couples d’axe normal au plan des forces.

M1

ac − b

M1 = −

2

M0

charges verticales situées dans le plan moyen et reposant sur des appuis capables d’exercer

M0

c '0 + b 1'

'1 S x

x

Fig.3.1

d , (x) dx

Fig.3.2

3.1.1- Calculs préliminaires

Cas particulier : poutre de section constante.

On considère la poutre isostatique associée qui diffère de la poutre hyperstatique par le seul

Si I est le moment d’inertie d’une section droite de la poutre, on a :

fait qu’elle est simplement appuyée à ses deux extrémités et l’on calcule :

a = 2b = c =

- l’effort tranchant et le moment fléchissant provoqués dans la poutre par le système de

l 3 EI

et par conséquent :

charges S qui sollicite la poutre hyperstatique,

M0 =

- Les rotations et des sections d’appui de cette poutre dues au même système de charges S ; - Les constantes mécaniques a, b, c.

2EI ( 2 '0 + 1' ) l

M1 = −

2EI ( '0 + 2 1' ) l

3.2.2- Évaluation des efforts dans une section d’abscisse x D’après les relations établies au paragraphe 0-321, l’effort tranchant T(x) et le moment fléchissant M(x) dans la section  d’abscisse x, ont pour valeur :

3.2- POUTRE DROITE ENCASTREE A SES EXTREMITES. CALCUL DES EFFORTS

d M1 − M 0 + l dx

3.2.1- Évaluation des moments d’encastrement

T(x) =

Si M0 et M1 désignent les moments fléchissants dans les sections d’encastrement G et G1,

M(x) = (x) + M0 (1 −

l’invariabilité de ces sections s’exprime par les relations : ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTSIRANANA

16

x x ) + M1 l l

Résistance des matériaux II POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3.3- POUTRE DROITE ENCASTREE A SES EXTREMITES. LIGNES D’INFLUENCE 3.3.1-

M0() 

Propriétés de l’intégrale l

F() =

 (x, ) f(x) dx



y

0



où f(x) désigne une fonction quelconque et (x, ) désigne le moment fléchissant produit par une charge unité d’abscisse  dans la

G1 '0()

x

G0  (x, )

Fig.3.4

Fig.3.3

✓

Elle s’annule pour  = 0 et  = l. :

✓

Sa dérivée première peut se mettre sous la forme : 

f ( x) dx −



l 0

’0() = −

F(0) = F(l) = 0

’1() =

x f ( x ) dx l

✓



l 0

( 1−

x ) f ( x ) dx , l

Sa dérivée seconde a pour expression :

dF (l) = − d d2 F d 2



l 0

x f ( x ) dx l

f(x) =

l

l

 ( x, ) ( 1 −

0

 ( x, )

0

 = 0 et  = l.

➢

M0() = M0(l) = 0,

➢

pour  = 0,

➢

Les moments d’encastrement produits par une charge unité d’abscisse  sont les fonctions

ac − b 2

M1() = −

pour ’1()

M1() = M1(l) = 0 d ' 0 d '1 = −a , =b d d

par conséquent

d M0 = −1 d

d M1 =0 d

pour  = l,

d ' 0 =b, d

d '1 = −c d

par conséquent

d M0 =0 d

d M1 =1 d

M0() et M1() définies par les expressions : M0() =

x dx l E I ( x)

x 1 l E I(x)

Lignes d’influence des moments d’encastrement

c '0 ( ) + b 1' ()

x dx ) l E I ( x)

Il résulte des propriétés de la fonction F() que :

= − f()

La fonction F() est donc la primitive seconde de la fonction − f() qui s’annule aux bornes

3.3.2-





On constate que les fonctions ’0() et ’1() sont du type F() où : x 1 f(x) = − ( 1 − ) pour ’0() l E I ( x)

pour  = 0 et  = l, elle a pour valeur : dF (0) = d

1

G1 x

Cette intégrale possède les propriétés suivantes :

l

'1()



simplement appuyée de longueur l.



1

G0

1

section d’abscisse x d’une poutre droite

dF = d

M1()

b  '0 ( ) + a 1' ( ) ac − b 2

Les dérivées secondes

où ’0() et ’1() désignent les rotations sur appui provoquées par la charge unité dans la poutre simplement appuyée. ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTSIRANANA

17

d2 M0 d2

et

d 2 M1 d2

ont pour valeur :

Résistance des matériaux II POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d2 M0 d

2

=

c(l −  ) − b (ac − b ) l E I ( ) 2

,

d 2 M1 d

2

=

L’équation de la ligne d’influence M(x, ) résulte donc d’une combinaison linéaire des

a  − b(l −  )

équations des lignes d’influence (x, ), M0 () et M1().

(ac − b ) l E I ( ) 2

Suivant la position de la section  par rapport aux foyers principaux  et ’ les lignes d’influence M(x, ) se présentent sous l’une des formes indiquées sur la figure 3.6.

En remarquant que les dénominateurs des expressions précédentes sont toujours positifs, on peut en conclure que :



Si ’ est le point d’abscisse : ’ =

M0()

c l b +c

La ligne d’influence M0() a sa concavité

’



G0

tournée vers le haut à gauche de ’ et vers

G0

-1

M(x, )

(x, ) x (1M1()

b l a +b

1

G0

le haut à droite de .

x ) l

G1

M(x, )

G0

G1 

G1

x

G0

l





’

G1

’ 

G1

M(x, )

Fig.3.5 3.3.3-

’









tournée vers le bas à gauche de  et vers



G0

’

Si  est le point d’abscisse :

La ligne d’influence M1() a sa concavité

M(x, )

 G1

x

G1

le bas à droite de ’.  =

1

Foyers principaux Fig.3.6

Les points ’ et  sont appelés foyers principaux de gauche et de droite de la poutre G 0G1.

G0

 ' G1 b b = et ’ = = Les rapports  = sont appelés rapports focaux. G0  ' c  G1 a G0



3.3.5- Ligne d’influence de l’effort tranchant dans une section  d’abscisse x.

Dans le cas d’une poutre de section constante, ils sont égaux à ½.

L’effort tranchant T(x, ) produit dans la section  d’abscisse x par une charge unité, a pour 3.3.4-

expression :

Ligne d’influence du moment fléchissant dans une section  d’abscisse x.

T(x, ) =

Le moment fléchissant M(x, ) produit dans la section  d’abscisse x par une charge unité d’abscisse , a pour expression : M(x, ) = (x, ) + M0 () (1 −

La fonction de , x x ) + M1() l l

M () − M0 () d ( x,  ) + 1 dx l

d ( x,  ) est représentée par la ligne d’influence de l’effort tranchant dans dx

la section d’abscisse x de la poutre simplement appuyée.

La ligne d’influence T(x, ) présente la forme indiquée sur la figure 207 ; ses propriétés peuvent être déduites de celles des fonctions M0 () et M1().

La fonction de , (x, ) est représentée par la ligne d’influence du moment fléchissant dans la section d’abscisse x de la poutre simplement appuyée. ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTSIRANANA

18

Résistance des matériaux II POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



G0

1

La rotation 0 et le déplacement v0 de la section d’encastrement G0 sont en effet nuls et les



déformations dues à l’effort tranchant ont été négligées. 3.4.2-

G1

x

T(x, )

Utilisation de l’équation différentielle de la fibre moyenne déformée

Si M(x) désigne le moment fléchissant produit par le système de charges dans la section

d (x,) dx

d’abscisse x, de moment d’inertie I(x), on a :

T(x, )

d2 v( x ) d x2

1 

x  G0

x

d ( x ) M ( x) = dx E I ( x)

La solution particulière correspondant au cas envisagé doit être telle que :

G1

G0

=

V(0) =

G1

Fig.3.7

3.4.3-

-1

d v(0 ) =0 dx

et

v (l) =

d v(l) =0 dx

Ligne d’influence de la flèche de la section 

On démontre de la même manière qu’au paragraphe 1.23 que la ligne d’influence de la flèche de la section S d’abscisse x coïncide avec la ligne déformée de la poutre considérée,

3.4- POUTRE DROITE ENCASTREE A SES EXTREMITES. DEFORMATIONS 3.4.1-

soumise à une charge unité d’abscisse x.

Utilisation des formules de Bresse

section d’abscisse , la rotation (x) et le déplacement vertical v(x) de la section  d’abscisse

3.5- POUTRE DROITE ENCASTREE A UNE EXTREMITE ET SIMPLEMENT APPUYEE A L’AUTRE CALCUL DES EFFORTS

x sont données par les relations :

3.5.1-

Si M() désigne le moment fléchissant produit par le système de charges donné dans la

(x) =

v(x) =

 

x 0 x 0

M() d E I ( )

Évaluation du moment d’encastrement

Si la poutre est encastrée sur son appui de gauche G0, le moment M1 sur l’appui

M()( x − ) d E I ( )

M0



y

x

simple G1 est nul et le moment d’encastrement M0 doit être tel que :

G0

0 = 0

’0 et a étant connus, on a :

(x)

M0 = G0

G1 x

M() I()



ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTSIRANANA

19

T(x), M(x)

'0

'1 S

'0 a

x

x

Fig.3.8

G1 x

0 = ’0 – a M0 = 0 

S

d , (x) dx

Fig.3.9

Résistance des matériaux II POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

✓

Il résulte de cette dernière expression que la ligne d’influence M0() a sa concavité tournée

Cas particulier de la poutre de section constante :

vers le haut ; elle se présente ainsi sous la forme indiquée sur la figure 3.10.

Si I est le moment d’inertie de la section droite, on a : a=

3.5.2-

l 3EI

=>

M0 =

3EI '0 l

3.6.2- Ligne d’influence du moment dans une section  d’abscisse x. Le moment fléchissant M(x, ) produit dans la section  d’abscisse x par une charge unité d’abscisse , a pour valeur :

Evaluation des efforts dans une section d’abscisse x

M(x, ) = (x, ) + M0 () (1 −

Comme le moment M1 dans la section sur appui G1 est nul, l’effort tranchant T(x) et le moment fléchissant M(x) dans la section  d’abscisse x, ont pour valeur : T(x) =

On démontre comme au paragraphe 2.3.4 que la ligne d’influence M(x, ) se présente,

d M − 0 dx l

M(x) = (x) + M0 (1 −

suivant la position de la section  vis-à-vis du foyer principal de gauche , sous l’une des formes indiquées sur la figure 311.

x ) l



3.6- POUTRE DROITE ENCASTREE A UNE EXTREMITE ET SIMPLEMENT APPUYEE A L’AUTRE LIGNES D’INFLUENCE 3.6.1-

Le moment d’encastrement provoqué

G1



fonction M0 () définie par l’expression :

G0





G1

G1

G0 '0

la poutre simplement appuyée, soumise fonction du type F(a), on démontre que

1 x

En remarquant que la rotation ’0() de à une force unité d’abscisse , est une

M(x, )

M0()

par une charge unité d’abscisse a est la ' 0 (  ) a



1

G0

Ligne d’influence du moment d’encastrement

M0 () =

x ) l

M(x, ) 

1

x

G0

G1

G0





la fonction M0() possède les propriétés suivantes :

d 2 M0 d2

Fig.3.11

M0()

M0 () = M0 (l) = 0 d M0 (0 ) = −1, d

G1

d M0 b (l) = d a

G0

1  = (1 − ) a E I(  ) l

b/a

3.6.3- Ligne d’influence de l’effort tranchant dans une section d’abscisse x

G1 

valeur :

L’effort tranchant T(x, ) produit dans la section  d’abscisse x par une charge unité, a pour

-1

T(x, ) =

Fig.3.10

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTSIRANANA

20

M ( ) d ( x,  ) − 0 l dx

Résistance des matériaux II POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

La ligne d’influence présente la forme indiquée sur la figure 3.12, sa concavité étant tournée vers le bas. T(x, ) 1



x  G0

G1 Fig.3.12

-1

3.7- POUTRE DROITE ENCASTREE A UNE EXTREMITE ET SIMPLEMENT APPUYEE A L’AUTRE DEFORMATION L’évaluation de la rotation 𝜔(𝑥) et du déplacement 𝑣(𝑥) d’une section  d’abscisse 𝑥, sous l’action d’un système de charges donné peut être effectuée suivant l’une des méthodes indiquées au paragraphe 2.4

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTSIRANANA

21