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Résistance des matériaux II POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 = ’0 – a M0 – b M1 = 0
CHAPITRE 3
1 = ’1 + b M0 + c M1 = 0 ’0 , ’1 , a, b, c étant connus, on peut évaluer :
Poutres droites hyperstatiques à une travée
M0 =
3.1- GENERALITES Les poutres sont supposées horizontales, à plan moyen vertical, soumises uniquement à des
S
0 = 0
G0
Il en résulte que la poutre encastrée à ses deux extrémités est hyperstatique d’ordre 2 et que la
x
poutre encastrée à une extrémité et simplement appuyée à l’autre est hyperstatique d’ordre 1. M0
1 = 0
R0
R1
G0
G1
G0
G1
G1
T(x), M(x)
'0
R1
ac − b2
x
Le nombre des équations d’équilibre non identiquement satisfaites est ainsi égal à 2.
R0
b '0 + a 1'
M1
y
uniquement des réactions verticales et des couples d’axe normal au plan des forces.
M1
ac − b
M1 = −
2
M0
charges verticales situées dans le plan moyen et reposant sur des appuis capables d’exercer
M0
c '0 + b 1'
'1 S x
x
Fig.3.1
d , (x) dx
Fig.3.2
3.1.1- Calculs préliminaires
Cas particulier : poutre de section constante.
On considère la poutre isostatique associée qui diffère de la poutre hyperstatique par le seul
Si I est le moment d’inertie d’une section droite de la poutre, on a :
fait qu’elle est simplement appuyée à ses deux extrémités et l’on calcule :
a = 2b = c =
- l’effort tranchant et le moment fléchissant provoqués dans la poutre par le système de
l 3 EI
et par conséquent :
charges S qui sollicite la poutre hyperstatique,
M0 =
- Les rotations et des sections d’appui de cette poutre dues au même système de charges S ; - Les constantes mécaniques a, b, c.
2EI ( 2 '0 + 1' ) l
M1 = −
2EI ( '0 + 2 1' ) l
3.2.2- Évaluation des efforts dans une section d’abscisse x D’après les relations établies au paragraphe 0-321, l’effort tranchant T(x) et le moment fléchissant M(x) dans la section d’abscisse x, ont pour valeur :
3.2- POUTRE DROITE ENCASTREE A SES EXTREMITES. CALCUL DES EFFORTS
d M1 − M 0 + l dx
3.2.1- Évaluation des moments d’encastrement
T(x) =
Si M0 et M1 désignent les moments fléchissants dans les sections d’encastrement G et G1,
M(x) = (x) + M0 (1 −
l’invariabilité de ces sections s’exprime par les relations : ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTSIRANANA
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x x ) + M1 l l
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3.3- POUTRE DROITE ENCASTREE A SES EXTREMITES. LIGNES D’INFLUENCE 3.3.1-
M0()
Propriétés de l’intégrale l
F() =
(x, ) f(x) dx
y
0
où f(x) désigne une fonction quelconque et (x, ) désigne le moment fléchissant produit par une charge unité d’abscisse dans la
G1 '0()
x
G0 (x, )
Fig.3.4
Fig.3.3
✓
Elle s’annule pour = 0 et = l. :
✓
Sa dérivée première peut se mettre sous la forme :
f ( x) dx −
l 0
’0() = −
F(0) = F(l) = 0
’1() =
x f ( x ) dx l
✓
l 0
( 1−
x ) f ( x ) dx , l
Sa dérivée seconde a pour expression :
dF (l) = − d d2 F d 2
l 0
x f ( x ) dx l
f(x) =
l
l
( x, ) ( 1 −
0
( x, )
0
= 0 et = l.
➢
M0() = M0(l) = 0,
➢
pour = 0,
➢
Les moments d’encastrement produits par une charge unité d’abscisse sont les fonctions
ac − b 2
M1() = −
pour ’1()
M1() = M1(l) = 0 d ' 0 d '1 = −a , =b d d
par conséquent
d M0 = −1 d
d M1 =0 d
pour = l,
d ' 0 =b, d
d '1 = −c d
par conséquent
d M0 =0 d
d M1 =1 d
M0() et M1() définies par les expressions : M0() =
x dx l E I ( x)
x 1 l E I(x)
Lignes d’influence des moments d’encastrement
c '0 ( ) + b 1' ()
x dx ) l E I ( x)
Il résulte des propriétés de la fonction F() que :
= − f()
La fonction F() est donc la primitive seconde de la fonction − f() qui s’annule aux bornes
3.3.2-
On constate que les fonctions ’0() et ’1() sont du type F() où : x 1 f(x) = − ( 1 − ) pour ’0() l E I ( x)
pour = 0 et = l, elle a pour valeur : dF (0) = d
1
G1 x
Cette intégrale possède les propriétés suivantes :
l
'1()
simplement appuyée de longueur l.
1
G0
1
section d’abscisse x d’une poutre droite
dF = d
M1()
b '0 ( ) + a 1' ( ) ac − b 2
Les dérivées secondes
où ’0() et ’1() désignent les rotations sur appui provoquées par la charge unité dans la poutre simplement appuyée. ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTSIRANANA
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d2 M0 d2
et
d 2 M1 d2
ont pour valeur :
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d2 M0 d
2
=
c(l − ) − b (ac − b ) l E I ( ) 2
,
d 2 M1 d
2
=
L’équation de la ligne d’influence M(x, ) résulte donc d’une combinaison linéaire des
a − b(l − )
équations des lignes d’influence (x, ), M0 () et M1().
(ac − b ) l E I ( ) 2
Suivant la position de la section par rapport aux foyers principaux et ’ les lignes d’influence M(x, ) se présentent sous l’une des formes indiquées sur la figure 3.6.
En remarquant que les dénominateurs des expressions précédentes sont toujours positifs, on peut en conclure que :
Si ’ est le point d’abscisse : ’ =
M0()
c l b +c
La ligne d’influence M0() a sa concavité
’
G0
tournée vers le haut à gauche de ’ et vers
G0
-1
M(x, )
(x, ) x (1M1()
b l a +b
1
G0
le haut à droite de .
x ) l
G1
M(x, )
G0
G1
G1
x
G0
l
’
G1
’
G1
M(x, )
Fig.3.5 3.3.3-
’
tournée vers le bas à gauche de et vers
G0
’
Si est le point d’abscisse :
La ligne d’influence M1() a sa concavité
M(x, )
G1
x
G1
le bas à droite de ’. =
1
Foyers principaux Fig.3.6
Les points ’ et sont appelés foyers principaux de gauche et de droite de la poutre G 0G1.
G0
' G1 b b = et ’ = = Les rapports = sont appelés rapports focaux. G0 ' c G1 a G0
3.3.5- Ligne d’influence de l’effort tranchant dans une section d’abscisse x.
Dans le cas d’une poutre de section constante, ils sont égaux à ½.
L’effort tranchant T(x, ) produit dans la section d’abscisse x par une charge unité, a pour 3.3.4-
expression :
Ligne d’influence du moment fléchissant dans une section d’abscisse x.
T(x, ) =
Le moment fléchissant M(x, ) produit dans la section d’abscisse x par une charge unité d’abscisse , a pour expression : M(x, ) = (x, ) + M0 () (1 −
La fonction de , x x ) + M1() l l
M () − M0 () d ( x, ) + 1 dx l
d ( x, ) est représentée par la ligne d’influence de l’effort tranchant dans dx
la section d’abscisse x de la poutre simplement appuyée.
La ligne d’influence T(x, ) présente la forme indiquée sur la figure 207 ; ses propriétés peuvent être déduites de celles des fonctions M0 () et M1().
La fonction de , (x, ) est représentée par la ligne d’influence du moment fléchissant dans la section d’abscisse x de la poutre simplement appuyée. ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTSIRANANA
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G0
1
La rotation 0 et le déplacement v0 de la section d’encastrement G0 sont en effet nuls et les
déformations dues à l’effort tranchant ont été négligées. 3.4.2-
G1
x
T(x, )
Utilisation de l’équation différentielle de la fibre moyenne déformée
Si M(x) désigne le moment fléchissant produit par le système de charges dans la section
d (x,) dx
d’abscisse x, de moment d’inertie I(x), on a :
T(x, )
d2 v( x ) d x2
1
x G0
x
d ( x ) M ( x) = dx E I ( x)
La solution particulière correspondant au cas envisagé doit être telle que :
G1
G0
=
V(0) =
G1
Fig.3.7
3.4.3-
-1
d v(0 ) =0 dx
et
v (l) =
d v(l) =0 dx
Ligne d’influence de la flèche de la section
On démontre de la même manière qu’au paragraphe 1.23 que la ligne d’influence de la flèche de la section S d’abscisse x coïncide avec la ligne déformée de la poutre considérée,
3.4- POUTRE DROITE ENCASTREE A SES EXTREMITES. DEFORMATIONS 3.4.1-
soumise à une charge unité d’abscisse x.
Utilisation des formules de Bresse
section d’abscisse , la rotation (x) et le déplacement vertical v(x) de la section d’abscisse
3.5- POUTRE DROITE ENCASTREE A UNE EXTREMITE ET SIMPLEMENT APPUYEE A L’AUTRE CALCUL DES EFFORTS
x sont données par les relations :
3.5.1-
Si M() désigne le moment fléchissant produit par le système de charges donné dans la
(x) =
v(x) =
x 0 x 0
M() d E I ( )
Évaluation du moment d’encastrement
Si la poutre est encastrée sur son appui de gauche G0, le moment M1 sur l’appui
M()( x − ) d E I ( )
M0
y
x
simple G1 est nul et le moment d’encastrement M0 doit être tel que :
G0
0 = 0
’0 et a étant connus, on a :
(x)
M0 = G0
G1 x
M() I()
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T(x), M(x)
'0
'1 S
'0 a
x
x
Fig.3.8
G1 x
0 = ’0 – a M0 = 0
S
d , (x) dx
Fig.3.9
Résistance des matériaux II POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE POUTRE DROITES HYPERSTATIQUES A UNE TRAVEE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
✓
Il résulte de cette dernière expression que la ligne d’influence M0() a sa concavité tournée
Cas particulier de la poutre de section constante :
vers le haut ; elle se présente ainsi sous la forme indiquée sur la figure 3.10.
Si I est le moment d’inertie de la section droite, on a : a=
3.5.2-
l 3EI
=>
M0 =
3EI '0 l
3.6.2- Ligne d’influence du moment dans une section d’abscisse x. Le moment fléchissant M(x, ) produit dans la section d’abscisse x par une charge unité d’abscisse , a pour valeur :
Evaluation des efforts dans une section d’abscisse x
M(x, ) = (x, ) + M0 () (1 −
Comme le moment M1 dans la section sur appui G1 est nul, l’effort tranchant T(x) et le moment fléchissant M(x) dans la section d’abscisse x, ont pour valeur : T(x) =
On démontre comme au paragraphe 2.3.4 que la ligne d’influence M(x, ) se présente,
d M − 0 dx l
M(x) = (x) + M0 (1 −
suivant la position de la section vis-à-vis du foyer principal de gauche , sous l’une des formes indiquées sur la figure 311.
x ) l
3.6- POUTRE DROITE ENCASTREE A UNE EXTREMITE ET SIMPLEMENT APPUYEE A L’AUTRE LIGNES D’INFLUENCE 3.6.1-
Le moment d’encastrement provoqué
G1
fonction M0 () définie par l’expression :
G0
G1
G1
G0 '0
la poutre simplement appuyée, soumise fonction du type F(a), on démontre que
1 x
En remarquant que la rotation ’0() de à une force unité d’abscisse , est une
M(x, )
M0()
par une charge unité d’abscisse a est la ' 0 ( ) a
1
G0
Ligne d’influence du moment d’encastrement
M0 () =
x ) l
M(x, )
1
x
G0
G1
G0
la fonction M0() possède les propriétés suivantes :
d 2 M0 d2
Fig.3.11
M0()
M0 () = M0 (l) = 0 d M0 (0 ) = −1, d
G1
d M0 b (l) = d a
G0
1 = (1 − ) a E I( ) l
b/a
3.6.3- Ligne d’influence de l’effort tranchant dans une section d’abscisse x
G1
valeur :
L’effort tranchant T(x, ) produit dans la section d’abscisse x par une charge unité, a pour
-1
T(x, ) =
Fig.3.10
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M ( ) d ( x, ) − 0 l dx
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La ligne d’influence présente la forme indiquée sur la figure 3.12, sa concavité étant tournée vers le bas. T(x, ) 1
x G0
G1 Fig.3.12
-1
3.7- POUTRE DROITE ENCASTREE A UNE EXTREMITE ET SIMPLEMENT APPUYEE A L’AUTRE DEFORMATION L’évaluation de la rotation 𝜔(𝑥) et du déplacement 𝑣(𝑥) d’une section d’abscisse 𝑥, sous l’action d’un système de charges donné peut être effectuée suivant l’une des méthodes indiquées au paragraphe 2.4
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