Orden og kaos : om lineære og ikke-lineære differensligninger 8205212376 [PDF]

Zitiervorschau

Tom Lindstrøm

ORDEN OG KAOS Om lineære og ikke-lineære differensligninger

Norsk Matematisk Institutt Universitetet i Oslo

Gyldendal Norsk Forlag

Norsk Matematisk Forening

© Gyldendal Norsk Forlag A/S 1992

Redaktører: Helga Kufaas Tellefsen Torgeir Onstad Matematisk institutt Universitetet i Oslo Postboks 1053, Blindern N-0316 OSLO Printed in Norway HS-trykk, Oslo 1993 Figurene er tegnet av Tom Lindstrøm Matematisk institutt, Universitetet i Oslo ISBN 82-05-21237-6

Det må ikke kopieres fra denne bok i strid med åndsverkloven og fotografiloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med KOP1NOR. interesscorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndraging, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Innhold Innledning............................................................................................ 5 Del I: Orden ..................................................................................... 8 1.1 Følger ................................................................................ 8 1.2 Lineære, homogene differensligninger ............................ 9 1.3 Lineære, inhomogende differensligninger ..................... 15 Oppgaver til Del I .................................................................. 22 Del II: Kaos ................................................................................... 25 II. 1 Litt bakgrunnstoff........................................................... 25 11.2 En enkel modell ............................................................. 27 11.3 Diskrete dynamiske systemer ...................................... 30 11.4 Kaotiske dynamiske systemer...................................... 39 Oppgaver til Del II ................................................................ 44 Litteraturliste ................................................................................. 46

3

Innledning Én av vitenskapens største triumfer er å kunne forutsi fremtiden. Ikke din og min personlig fremtid, naturligvis, sett gjennom en glasskule i et dystert telt på en markedsplass en sen høstkveld, men den fremtidige oppførselen til et fysisk system når vi kjenner dets nåværende tilstand og alle kreftene som virker på det. Newtons mekanikk - det første store gjennombruddet for den moderne naturvitenskapen - formidler et strengt deterministisk verdensbilde; visste vi bare den nøyaktige po­ sisjonen til alle partiklene i universet på et bestemt tidspunkt, kunne vi i prinsippet regne oss frem til alle hendelser i fortid og fremtid. At tidens ledende vitenskapelige teori gjenspeilet et tilsynelatende deter­ ministisk og viljeløst univers, kastet lange skygger i den intellektuelle debatten på sytten- og attenhundretallet, og ledet mange til å forkaste det religiøse verdensbildet med en allmektig Gud og et menneske skapt i hans bilde, som tidligere hadde vært nesten enerådende i Europa. For noen var nok dette en velkommen befrielse, men for andre var det en stadig kilde til nagende tvil - til en konflikt mellom et personlig ønske om å tro og vitenskapens upersonlige diktat. I slutten av det nittende århundre begynte denne konflikten å løse seg opp på grunn av utviklinger innenfor vitenskapen selv. Elektrisitetslærens fremvekst ledet til resultater som rokket ved Newtons mekanikk som et fullstendig verdensbilde, og som fremtvang en ny teori som kunne forene Newtons innsikt med Maxwells ligninger - Einsteins relativitets­ teori. Selv om denne teorien i seg selv var like deterministisk som Newtons mekanikk, hadde vitenskapens jerngrep løsnet - dersom én vitenskapelig teori (til tross for sine utallige praktiske triumfer) hadde vist seg utilstrekkelig til å favne alle universets fenomener, var det ingen grunn til at ikke etterfølgeren også skulle være utilstrekkelig til å for­ klare alt. Noen tiår etter relativitetsteorien kom så kvantemekanikken og raserte de siste restene av determinismens diktatur og erstattet den med et prinsipielt tilfeldig verdensbilde — en verden som nok er lovmes­ sig i statistisk forstand, men hvor enkelthendelser på mikronivå ikke kan

5

forutsies. Paradoksalt nok viser det seg at denne vitenskapelig utviklingen egentlig ikke var nødvendig for å undergrave determinismens stilling. Allerede i Newtons teori er det bygget inn mekanismer som gjør all snakk om determinisme til løse spekulasjoner uten forankring i den fy­ siske virkeligheten. Disse mekanismene har fått stor oppmerksomhet de siste årene - det systematiske studiet av dem har fått navnet “kaosteori” og har blitt ett av tidens vitenskapelige moteområder. For å forstå hvordan tilsynelatende deterministiske systemer kan ha uforutsigbar oppførsel, må vi analysere begrepene litt nærmere. Den formen for determinisme som vanligvis finnes i fysikalske systemer, kan beskrives på følgende måte (vi tenker oss for enkelthets skyld at vi betrakter et system av partikler som påvirker hverandre med kjente krefter): Dersom vi kjenner alle partiklenes posisjon og hastighet ved tiden 0, kan vi skrive ned et ligningssystem som beskriver hvordan de beveger seg på et hvilket som helst senere tidspunkt. Dette lignings­ settet har nøyaktig én løsning, og denne løsningen beskriver partiklenes posisjon til alle tider. Kjenner vi partiklenes posisjon ved tiden 0, kan vi altså regne oss frem til alle senere posisjoner. Dette må da være den mest forutsigbare situasjonen vi kan tenke oss? Nei, ikke nødvendigvis! Det som kan skje er nemlig følgende: I utgangssituasjonen (ved tid 0) flytter vi den ene partikkelen ørlite 10-48 millimeter eller noe slikt - og løser ligningene våre med denne nye begynnelsestilstanden. Vi venter oss at de nye løsningen bare vil være ørlite forskjellige fra de opprinnelige også for senere tidspunkter t, men dét er ikke nødvendigvis tilfelle; det finnes systemer hvor nesten identiske starttilstander utvikler seg i helt forskjellige retninger. Siden det er helt umulig å måle en partikkels posisjon med en nøyaktighet på 10-48 millimeter, er det derfor i praksis umulig å avgjøre hvilket forløp partikkelen vil følge. Men denne innvendingen er ikke bare av praktisk natur; siden 10-48 millimeter er mindre enn alle fysiske størrelser som har blitt målt - og mye mindre enn diameteren til alle kjente partikler - gir det ikke fysisk mening å betrakte partikler som punktstørrelser dersom deres oppførsel avhenger av fenomener av størrelsesorden 10~48 millimeter. Det Newtonske verdensbilde bryter sammen når det blir konfrontert med disse fenomene; det er ingen grunn til at en teori basert på makroskopiske observasjoner skal være gyldig for fenomener som foregår på en (uobservert) skala av størrelsesorden 10-48 millimeter! 6

Betyr så dette at man overhodet ikke kan forutsi naturvitenskapelige fenomener? På ingen måte - fenomenet vi nettopp beskrev gjelder for visse typer ligninger, men slett ikke for alle. Svært mange av de grunnleggende ligningene i fysikken har innbygget en stabilitet som gjør at denne typen oppførsel ikke kan forekomme. Dersom ligningene er det matematikere kaller lineære, har vi god oversikt over løsningene, og vet at de vanligvis ikke er kaotiske. For ikke-lineære ligninger, derimot, er bildet et helt annet - vi har dårlig oversikt over løsningene, men vi vet at de i mange tilfeller er kaotiske eller har kaotiske trekk. Å fremskaffe en bedre forståelse av ikke-lineære ligninger og ikke-lineære fenomener er ett av de mest sentrale problemene i dagens matematiske forskning. Hensikten med dette heftet er å gi leseren et visst innblikk i denne problematikken. Dessverre ville det være et håpløst ambisiøst foretak å basere et slikt innblikk på de ligningene som faktisk styrer fysikalske systemer; dette er som regel differensialligninger, og de krever en mate­ matisk skolering som det ikke er rimelig å forutsette her. Heldigvis finnes det en annen klasse ligninger - såkalte differensligninger - som fremviser akkurat den samme typen oppførsel, og som kan studeres uten altfor store forkunnskaper. Også differensligningene er knyttet til en rekke faktiske fenomener, og vi skal få anledning til å knytte vår teori opp mot virkeligheten. Heftet er delt i to deler. I den første delen skal vi studere en klasse lineære differensligninger, og se hvordan vi kan betemme deres løsninger i detalj. I den andre delen skal vi gå over til en klasse svært enkle, men ikke-lineære differensligninger, og se at de - til tross for sitt enkle ut­ seende - har løsninger med en så komplisert og “kaotisk” oppførsel at de er umulig å forutsi. Til tross for denne uforutsigbarheten har de allikevel en indre lovmessighet som gir håp om en bedre forståelse av kaotiske og ikke-lineære fenomener - også i mer kompliserte og realis­ tiske situasjoner enn de vi tar for oss her.

7

DEL I: ORDEN I den første delen skal vi ta for oss en klasse lineære differensligninger og vise hvordan vi kan finne frem til enkle formler for deres løsninger. Dersom et fenomen kan beskrives ved hjelp av slike differensligninger, gjør disse formlene det mulig å forutsi fenomenets oppførsel i detalj. Som vi skal se gjennom eksempler, faller en rekke interessante, praktiske problemer innenfor denne klassen.

1.1

Følger

En følge er en uendelig sekvens av tall

flo, ^1; ^2, • • • , ^71) • • • Vi skal bruke {an} som en kortfattet notasjon for en slik følge. Tallene uq, Ui, (12, ■ • • kalles leddene i følgen. Av og til kan det være naturlig å starte med en annen indeks enn 0, f. eks.

a_2, a-i, flo, di,..., an, • • • og man kan da benytte skrivemåten {an}%L_2 for å fortelle hvilke nverdier man er interessert i. Eksempler på følger er følgen av alle kvadrattall: .., 1,4,9,16,25,.

følgen av alle brøker på formen

n2.......

:

0,1/2,2/3, 3/4,..., n/(n 4-1),... ,

og følgen av alle heltallige potenser av 3: 3, 9, 27, 81, 243,..., 3n,...

Konvergens er kanskje det viktigste av alle begreper om følger. Det vil spille en sentral rolle i annen del av dette heftet, men det er naturlig å ta med definisjonen allerede her. Intuitivt tenker vi oss at følgen {an} konvergerer dersom leddene an nærmer seg et tall a når n går mot uendelig. Mer presist kan vi uttrykke det slik: 8

1.1.1 Definisjon. Følgen {an} konvergerer mot en grense a dersom det for ethvert tall e > 0 finnes et naturlig tall N slik at

K - a| < £

for alle n > N. I denne definisjonen er det naturlig å tenke på e som en feilmargin som vi ønsker å få differensen |an—a| mindre enn. Definisjonen sier da at uansett hvor liten feilmargin e vi tillater, er det mulig å få differensen mindre enn denne marginen ved å gå tilstrekkelig langt ut i følgen. Av eksemplene ovenfor er det bare det midterste ({n/(n+ 1)}) som konvergerer (mot 1). 1.2

Lineære, homogene differensligninger

I anvendelser støter man ofte på følger som er gitt rekursivt - det vil si at dersom man kjenner verdien til de n første leddene i følgen, kan man benytte disse til å regne ut ledd nummer n4-l. Som regel er det bare verdien av de umiddelbart foregående leddene som inngår i denne beregningen; det vanligste er at avhenger bare av an eller av an og an-i. Et eksempel på en rekursivt definert følge er

an+1 = ± (a2 + 1),

a0 = 2.

I dette og det neste avsnittet skal vi se litt nærmere på noen spesielt enkle relasjoner hvor det faktisk er mulig å finne en eksplisitt formel for an. Problemer av denne typen kalles differensligninger eller rekurrensrelasjoner. Det aller enkleste tilfellet er relasjonen an+i = ran

n>0

(1)

hvor r er et reelt tall. Velger vi en verdi ao for det nullte leddet i følgen, ser vi at ai = rao, = r2ao, ci3 = r3ao ... ,an = rna,Q. Den generelle løsningen blir altså an = Crn (2) hvor C er en vilkårlig konstant. Er vi en smule mer ærgjerrige, kan vi prøve oss på differensligninger på formen tin+i — bcLyi A cO/fi-i n> 1 (3)

9

der b og c er reelle tall. Dette kalles en lineær, homogen differensligning av annen orden. I dette tilfellet er det slett ikke opplagt hva formelen for an blir, men vi kan i det minste observere at hvert valg av verdier for ao og ai gir oss en løsning av (3); kjenner vi ao og ai kan vi benytte (3) til å beregne 02! deretter kan vi putte 02 og di inn i (3), og få ut 03 osv. Vi har sett at løsningene av (1) er på formen an = Crn. Kanskje vil også løsningene av (3) være på denne formen dersom vi velger den rette konstanten r? La oss prøve; vi setter an = Crn inn i (3) og får

Crn+1 = bCrn + cCrn~l,

(4)

r2 — br — c = 0.

(5)

som leder til ligningen Dette betyr altså at an — Crn (med C 0) er en løsning av differensligningen an+i=ban+can-i hvis og bare hvis r er en rot i annengrads­ ligningen r2 — br — c = 0 . La oss først drøfte det tilfellet hvor denne annengradsligningen har to forskjellige røtter n og 7*2 (de kan godt være komplekse tall, se [9]). Det er da lett å sjekke at alle følger på formen fln = Cir” + C2rf

- hvor Ci og C2 er konstanter - er løsninger av (3). Men er dette alle løsningene? Siden enhver løsning er bestemt av verdiene til Oq og o,i, er dette et spørsmål om vi kan oppnå alle kombinasjoner av o,q- og a\verdier gjennom passende valg av konstantene Ci og C2\ med andre ord om ligningssystemet (med Ci og C2 som ukjente) + C2

o,q

—

ai

= Ciri + C2r2

alltid har en løsning. Siden n

r2 er svaret ja - vi får Li

ai - r2ao — ----------ri -r2

02

Ul — 7*10,0 = ---------------

r2 - ri

La oss oppsummere diskusjonen så langt.

10

1.2.1. Setning. gen

Anta at en følge {an}£L0 er gitt ved differenslignin-

CLn-1-1 — bCLfi 4~ CtZfi—1

TI > 1

og verdien til de første leddene czo og ai- Dersom den karakteristiske ligningen r2 — br — c = 0 har to forskjellige løsninger ri og r2, så er

dn = Cl r” 4- C2r?

der Ci = Qr-1QQ og C2 = QrTQ.

□

Det naturlige spørsmålet nå er hva som skjer dersom r2 — br — c = 0 bare har én rot r^. I så fall kjenner vi bare én familie av løsninger dn = Cr™, og dette er for lite til å finne den generelle løsningen til problemet. Det viser seg imidlertid at i dette tilfellet vil følger av formen dn — Cnr™

også være løsninger av differensligningen. For å innse dette, observér først at dersom n er en dobbel rot i annengradsligningen vår, så må

r2 — br — c = (r — n)2 = r2 — 2rir 4- r2 , dvs. b = 2r1} c = —r2. Vi må derfor sjekke om følgende uttrykk er like: dn+1 = C(n 4- l)r?+1

og

bdn + cdn-i

= 2riCnrJl — r2C(n — ljrj-1 - C(2n-(n-l))r?+1 =C(n+l)rJ+1,

og som vi ser, stemmer dette utmerket. Det følger at enhver følge på formen an = Cir” 4- C2nr7

er en løsning av differensligningen. Som ovenfor er det lett å se at dette uttrykket gir oss alle løsningene; alt vi behøver å sjekke er at ligningene no — Ci di

= Ciri+C2ri

alltid har en løsning, og det er opplagt tilfelle (bortsett fra når n = 0 som tilsvarer den totalt uinteressante situasjonen hvor b og c begge er lik 0). Vi har dermed vist: 11

1.2.2. Teorem.

La Un+1 — bdri T CUn—1

(6)

være en annenordens, homogen differensligning med karakteristisk lign­ ing r2 — br — c = 0. (7) (i) Hvis (7) har to forskjellige røtter n, 7*2, så er den generelle løsningen til (6) an = Ci r? + C2rJ .

(ii) Hvis (7) har en dobbel rot n, så er den generelle løsningen til (6) = Ci r™ + C2nr” .

Den mest berømte følgen som er definert ved hjelp av en annenordens, homogen differensligning, er følgen {Fn} av Fibonacci-tall. Disse tal­ lene dukker opp i forbløffende mange sammenhenger, og som regel via differensligninger! Cn+i = Fn + Fn+i

Fo = Fi = 1.

Regner vi ut de første Fibonacci-tallene, får vi følgen

.. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,. Det er ikke lett å tippe en formel for det generelle leddet i denne følgen, men teorien ovenfor forteller oss at Fn må være på formen Fn = Ci r? + C2rJ

der n og r-2 er de to røttene (1 ± a/5 )/2 til den karakteristiske ligningen r2—r—1 =0. Som tidligere kan vi bruke begynnelsesverdiene Fq = Fi = 1 til å finne Ci og C2. Resultatet blir

Dette er en ganske forbløffende formel på to måter; for det første bringer den orden i den tilsynelatende usystematiske følgen av Fibonacci-tall, og for det andre er det i seg selv temmelig overraskende at høyresiden i (8) definerer en følge av hele tall. La oss se på ett av de mange eksemplene hvor Fibonacci-tallene dukker opp på en naturlig måte. 12

1.2.3 Eksempel. Vi skal studere en dyreart hvor hver hunn føder to kull med unger. Hvert kull består av én hunn og én hann, og moren får det første kullet når hun er ett år gammel og det andre når hun er to. Vi er interessert i hvor mange etterkommere en hunn får n år etter at hun ble født. Det er opplagt nok å holde styr på antall hunner i år n. I år null vil nøyaktig én “etterkommer” være født, nemlig den opprinnelige hunnen selv. I år én vil det også bli født én etterkommer. Dersom vi lar Fn være antall kvinnelige etterkommere født i år n, vil altså Fq = F\ = 1. Videre må

Fn^-l — Fn 4- Fn— i

Tl > 1

siden hver hunn født i år n eller år n — 1 vil føde én hunn i år n 4-1. Antall hunner født i år n danner dermed en Fibonacci-følge. Dette eksemplet er selvfølgelig en smule urealistisk som biologisk modell, men det viser på en lettfattelig måte hvordan rekurrensrelasjoner dukker opp i en rekke praktiske problemer. La oss se på et eksempel til:

1.2.4. Eksempel. Per og Kari spiller om penger. Etter hvert spill må den som taper betale én krone til vinneren. De har bestemt seg for å spille til førstemann er blakk. Kari er flinkere enn Per til å spille og vinner 3/5 av spillene, men Per starter med 15 kroner mot Karis 5. Hva er sannsynligheten for at det er Kari som vinner til slutt? (Prøv å gjette!) Som så ofte i matematikken, lønner det seg først å generalisere spørsmålet en smule. Per og Kari har til sammen 20 kroner. La xn være sannsynligheten for at Kari vinner dersom hun starter med n av de 20 kronene (og Per med de gjenværende 20 —n). Vi er altså i ut­ gangspunktet interessert i å finne £5, men det viser å være like lett å finne et uttrykkk for alle xn. Det er ikke så vanskelig å se at 3 2 2?n — —27n_|-i + Xn—i 5 5 Argumentet er som følger: xn er sannsynligheten for at Kari skal vinne dersom hun starter med n kroner. Nå er det to mulige måter Kari kan vinne på: Med 3/5 sannsynlighet vinner hun første spill, innkasserer én

13

krone, og har nå sannsynlighet a?n+i for å sikre seg sluttseieren. Den totale sannsynlighet for at Kari skal vinne på denne måten er |a?n+i. Den andre måten Kari kan vinne på er gjennom å tape første spill (sannsynlighet 2/5), gi fra seg én krone, for deretter å vinne sluttseieren med sannsynlighet xn-i- Den totale sannsynligheten for å vinne på denne måten er lxn-i- Den samlede sannsynligheten for at Kari skal vinne, må være summen av de to sannsynlighetene vi nå har regnet ut, og dermed får vi formelen vi er på jakt etter — c^n+l i 5 5

1

Snur vi litt om på dette uttrykket, får vi differensligningen

5

2

Den karakteristiske ligningen er

og vi får røttene n = 1 og r 2 = 2/3. Den generelle løsningen av differ­ ensligningen er derfor

Men hvordan bestemmer vi konstantene C og D? Vi legger merke til at Xq = 0 (fordi Kari er blakk og vinner med sannsynlighet 0), mens X20 = 1 (nå er det Per som er blakk, og Kari vinner med sannsynlighet 1). Vi har altså ligningene 2\0

O'

= C’ + D

2\ 20 1 = x 20 = C + D ( - j ,

Løser vi disse ligningene, får vi D = -1/(1 - (2/3)20)

C = 1/(1 - (2/3)20) Dermed er

1

(-1 v3y

2\ 20 3)

11 14

Vi var i utgangspunktet interessert i X5, og den er nå lett å beregne: æ5 = l^Ww0.95

1- I-) \3/ Kari vinner altså med 95% sannsynlighet. Legg merke til at X\ ~0.33, så selv om hun starter med bare én krone mot Pers 19, så vinner Kari i 33% av tilfellene! 1.3

Lineære, inhomogene differensligninger

I denne seksjonen skal vi undersøke hva som skjer dersom vi kompliserer differensligningene fra forrige avsnitt ved å legge til en kjent funksjon; dvs. vi skal studere differensligninger av typen an+i = ran 4- f(n)

(1)

an+i = ban 4- can-i + /(n)

(2)

og der /(n) er en kjent funksjon. For enkelhets skyld skal vi konsentrere oppmerksomheten om (2), men alt som blir sagt, gjelder like godt for (1) (vi kan jo tenke på (1) som et spesialtilfellet av (2) med c = 0). Den grunnleggende observasjonen er svært enkel.

1.3.1. Setning. Dersom {an} og {ån} er to løsninger av den inhomo­ gene differensligningen (2), så er differansen xn=ån— dn en løsning av den homogene ligningen

Xn,-|-i — bXn 4” CXn—1 • Bevis:

Vi har 27n+l

~ ån-|-i = [bån 4- cdn-i 4- /(n)] - [ban 4- can_Y + /(n)]

— b^dfi

dn) 4* c(uti—1

du—1) — bx^i 4* cXn—1 □

Dette resultatet betyr at dersom vi kjenner én løsning {dn} av (2), så kan vi finne en hvilket som helst annen løsning ved å legge til en passende løsning {xn} av den homogene ligningen. Takket være vårt arbeid i forrige seksjon, har vi full oversikt over de homogene løsningene. 15

Men hvordan skaffer vi oss så den ene inhomogene løsningen som er alt vi trenger? Det finnes en del tommelfingerregler for hvordan man kan “tippe” den rette formen til løsningen ut i fra formen til /(n). La oss først se hvordan denne teknikken fungerer på et forholdsvis enkelt eksempel.

1.3.2. Eksempel.

Finn en løsning av

&n+i — &n 4- 2an_i 4- n 4- 2.

I dette eksemplet er /(n) = n+2 et førstegradspolynom i n, og én av tommelfingerreglene sier da at det kan lønne seg å forsøke en løsning som også er et førstegradspolynom i n. Vi tipper derfor at vi har en løsning på formen an — An 4- B , og prøver å finne konstanter A og B slik at denne følgen passer i diffferensligningen. Vi får på den ene siden (in-f-i ~ A(n 4“ 1) 4- B = An 4~ (A 4* B)

og på den andre

an 4- 2an_i + n + 2 = An + B + 2(A(n - 1) 4- B) 4- n 4- 2

= (1 4- 3A)n 4- (2 - 2A 4- 3B). Skal disse uttrykkene være like for alle n, må vi ha A = 1 4- 34

og

A 4- B = 2 - 2A 4- 3B.

Løser vi disse ligningene, får vi A = — |, B =

. Følgelig er

n 7 0" = "2 - 4

en løsning av differensligningen. Den generelle løsningen får vi ved å legge til den generelle løsningen Ci(-l)nd-C22n

til den homogene ligningen; altså

n 7 a„ = ----+C1(-l)" + C22". X* X 16

L—J

Dette eksemplet skulle gjøre strategien klar; ut i fra den generelle for­ men til funksjonen /(n) tipper vi den generelle formen til løsningen og justerer deretter parameterene gjennom en innsetting i differenslignin­ gen. Følgende tabell gir en viss idé om hva slags løsninger vi bør tippe på: Zfo)___________ fc-te grads polynom C sin bn + D cos bn

kn

Løsningsforslag fc-te grads polynom (høyere grad i noen tilfeller) ylsinbn + Bcosbn (n(A sin bn +B cosbn) i noen tilfeller) Akn ((>1 + Bn)kn må brukes i noen tilfeller)

I denne tabellen står alle uspesifiserte symboler for konstanter. Unn­ takstilfellene framkommer ved at en parameter faller ut av ligningen ved kansellering (se Eksempel 1.3.3 nedenfor). Dersom /(n) er sammensatt av flere ledd, prøver man et løsningsforslag som er satt sammen av løsningsforslagene til hvert enkelt ledd i /(n); dersom J(n) = 7 s\n7rnA3n, forsøker man an = A sin 7rn + B cos im + C 3n. Vi har altså kommet fram til en generelle strategi for løsningen av inhomogene, lineære rekurrensrelasjoner, men vi har ennå ikke sett noen overbevisende eksempler på at teorien er bryet verd å lære seg. La oss derfor avslutte med noen eksempler. 1.3.3. Eksempel.

Vi er interessert i summen

an = l2 + 22 + 32 + • • • + n2

av de n første kvadrattallene. Siden dn+l — &n + (n + l)2,

(3)

ser vi at følgen {an} løser en første ordens, inhomogen differensligning med /(n) = (n+1)2 = n2 + 2n + l. Vi prøver først å finne en spesiell løsning ahspå formen an = An2 + Bn + C, men ved innsetning ser vi fort at 4-leddene forsvinner, og at vi derfor ikke har nok parametre til å få ligningen oppfylt. Vi prøver derfor en spesiell løsning av tredje grad:

— An3 4- Bn2 + Cn -I- D.

17

Innsatt i (3) gir dette X(n + l)3 + B(n + l)2 + C(n + !) + £>) =

= An3 + Bn2 + Cn + D + n2 + 2n + 1, som etter litt opprydning blir til (3A - l)n2 + (3A + 2B - 2)n + (A 4- B + C - 1) = 0.

Skal denne ligningen være oppfylt for alle n, må 3A — 1 = 0,

3A + 2B-2 = 0,

A + B + C-l = 0,

noe som gir A = |, B = ± , C — |. Vi ser altså at

an = ^+-n2 + -niD 3

2b

er en løsning av differensligningen for alle konstanter D. Det er ikke så merkelig at vi kan velge D fritt; den generelle løsningen av den homo­ gene ligningen Gn_|_l — dn er jo nettopp en konstant følge an = a0. Dette betyr at an — In3 + ^n2 + |n + D faktisk er den generelle løsningen av vår inhomogene differensligning (3). For å finne vår opprinnelige følge {an} gjenstår det bare å bestemme konstanten D. Siden ai = 1, får vi 1 o 1 2 1 1 — ai — — 1 + — 1 + - • 1 + D — 1 + D 3

2b

som betyr at D = 0. Altså er r>2 o2 2 1 3 1 2 1 Tl(tI + l)(2n + l2 + 22 + 32 + ■ • • + n2 = -n3 + -n2 + -n = —------- . 3 2 6 o

i2

1)

|—|

Mange vil nok innvende mot eksemplet ovenfor at differensligningen spilte en svært underordnet rolle; den var nærmest en unnskyldning for å tippe den rette formen på løsningen. Den samme innvendingen kan ikke reises mot neste eksempel.

18

1.3.4. Eksempel. Vi skal studere et puslespill som er kjent under navnet “Tårnene i Hanoi”. Utstyret til dette puslespillet består av tre stående pinner og et antall (la oss si rt) sirkelformede brikker av forskjellig størrelse som kan tres ned på pinnene. I utgangspunktet er alle brikkene tredd på den ene pinnen med de største brikkene nederst (se figur).

Figur 1

Hensikten er å få flyttet alle brikkene over på én av de andre pinnene mens man overholder følgende regler: (i) Hvert trekk består i at man flytter én (og bare én) brikke fra én pinne til en annen.

(ii) En brikke må aldri ligge over en mindre brikke.

Vi skal vise at en slik flytting alltid kan gjennomføres, og finne det minste antall trekk som er nødvendig. Det er lett å se at hvis vi har bare én brikke, så kan flyttingen gjennomføres i ett trekk. Lar vi an være antall trekk som behøves for å flytte n brikker, vet vi altså at ai = 1. Videre er det ikke så vanskelig å innse at hvis vi kan flytte n brikker i an trekk, så kan vi flytte n+1 brikker i

2an T 1 trekk. Det vi gjør er først å late som den nederste brikken ikke finnes og flytte de n øverste brikkene over på en annen pinne i an skritt, så flytter vi den siste brikken over på den tredje pinnen, og deretter flytter vi de n minste brikkene oppå den største i an nye skritt. Vi ser også lett at det ikke er mulig å gjøre flyttingen i færre enn 2an + 1 skritt; både før og etter vi foretar en flytting av den nederste brikken må vi samle alle de andre på én pinne, og hver av disse operasjonene tar minst an trekk. Dette viser at

&n + l ~ 2fln + 1, 19

Gi = 1,

(4)

som er en første orden, inhomogen differensligning med /(n) = 1. For å løse denne differensligningen, observerer vi først at siden /(n) er konstant, så er det naturlig å forsøke en spesiell løsning

an+i — ° som også er konstant. Setter vi inn i (4), får vi

C = 2C + 1, som gir C — — 1. Altså er = — 1 en spesiell løsning. Den generelle løsningen av den homogene ligning

0.71-1-1 — 2an er an = C • 2n, så den generelle løsning av vår inhomogene ligning blir an = C • 2n - 1.

Siden vår følge har ai = 1, må C = 1, og vi får an = 2n - 1.

Dette betyr, f.eks., at vi trenger 1023 trekk for å flytte 10 brikker! □

La oss avslutte med et eksempel som kan være til nytte og glede for noen og enhver i disse dager. 1.3.5 Eksempel. Du har nettopp fått sparken som administrerende direktør i A/S Fallitt & Inkasso. Som en delvis kompensasjon for tort og svie, er du blitt tildelt en “fallskjerm” på 10 millioner kroner. Du lurer nå på hvordan du skal plassere pengene. En mulighet ville være å plassere pengene på en høyrentekonto som gir 10% rente, og så ta ut rentebeløpet på 1 million som “lønn” hvert år. Denne fremgangsmåten tærer ikke på kapitalen, men problemet er at inflasjon og prisstigning vil føre til at reallønnen synker for hvert år. Er det mulig å “indeksregulere” lønnsutbetalingene slik at du hvert år får utbetalt 5% mer enn året før? Du ønsker altså å ta ut a kroner det første året, a-(1.05) det neste året, a-(1.05)2 året deretter, og så videre. Hva er det største beløpet a kan være for at denne prosessen skal kunne fortsette så lenge du måtte ønske? 20

Dersom vi lar an være beløpet som står inne på kontoen etter n år, ser vi at an+i = l.lfln — a(1.05)n (beløpet fra året før har vokst med 10%, men vi har tatt ut en lønn på a(1.05)n). Omformer vi denne ligningen til

an+i — l.lan = —u(1.05)n

ser vi at det er en inhomogen, lineær differensligning. Denne differensligningen burde ha en løsning på formen Setter vi inn i ligningen, får vi

= C(1.05)n.

C(1.05)n+1 - l.lC(1.05)n = —a(1.05)n som gir C = a/0.05 — 20a. Differensligningen har altså den spesielle løsningen — 20a(1.05)n, og den generelle løsningen blir dermed

an = D(l.l)n + 20a(1.05)n Siden den opprinnelige kapitalen er 10 millioner, vet vi også at

CLq = 10

(for å slippe en mengde nuller, måler vi alle beløp i millioner). Dermed må 10 — uq — D 4- 20a som gir D = 10 — 20a. Løsningen vi er interessert i er altså

an = (10 - 20a)(l.l)n 4- 20a(1.05)n Skal dette beløpet holde seg positivt for alle n, må 10 —20a >0. Dette betyr at a < 1/2. Den største lønnen du kan tillate deg å ta ut etter dette opplegget er altså en halv million. Nå er kanskje en halv million i minste laget for en person med dine forpliktelser og levevaner, og ved nærmere ettertanke kommer du til at det ikke er noen grunn til at dine etterkommere skal ha det bedre enn aksjonærene i A/S Fallitt & Inkasso. Siden du ikke regner med å leve lenger enn høyst 50 år til, kunne det jo derfor være en idé å forandre opplegget slik at det tømte kontoen i løpet av 50 år. Dette kan vi få til ved å velge a slik at 050 = 0, det vil si

0 = (10 - 2Oa)(l.l)50 4- 2Oa(l.O5)50 21

Løser vi denne ligningen, får vi

a = 1/2(1 - (1.05/1.1)50) % 0.55413,06 Du tjener altså rundt 54000 per år på å snyte dine etterkommere i all evighet. For dem som ønsker å vite mer om differensligninger og beslektede teknikker, anbefales boken til Graham, Knuth og Patashnik [8] på det varmeste.

Oppgaver til Del I 1.

a) Finn alle løsninger av differensligningen an+i 4- 3an 4* 2an-i = 0 b) Finn følgen {6n} gitt ved b0 — 12, 6i = 6 og

bn+ i 4- 3bn 4- 26n_! = 36n

for alle n > 1

2. Regn ut sannsynligheten i Eksempel 1.2.4 dersom Per og Kari er like gode og derfor vinner hvert spill med sannsynlighet 1 /2. 3. Vi har en bunke kort som er 10 cm lange og 5 cm brede. Kortene skal legges etter hverandre i en lang rekke, og hvert enkelt kort kan legges enten på langs eller på tvers (se figur). Hvor mange forskjellige mønstre er mulig dersom hele rekken skal være 2 meter lang? (Hint: Hvis an er antall mønstre som er 5n cm lange, så er an+1 = an 4- an_1.)

En kombinasjon med lengde 70 cm.

4.

a) Hvor mye kan personen i Eksempel 1.3.5 indeksregulere sine utbe­ talinger dersom han ønsker å få utbetalt 700.000 det første året (vi ser på det tilfellet hvor utbetalingene skal fortsette evig)? b) Hvor mange år vil det gå før utbetalingene etter denne planen blir mindre enn utbetalingene etter den opprinnelige planen?

5. Et fond opprettes ved at 5 millioner kroner ved begynnelsen av et år settes inn på en høyrentekonto som gir 11% rente. I slutten av hvert år utbetales 500.000 av renteinntektene i stipendier. Hvor stort er beløpet på kontoen etter 20 år?

22

6. Hvor mange spill må Per og Kari i Eksempel 1.2.4 regne med å spille før de er ferdige (dvs. hva er det gjennomsnittlige antall spill de vil bruke dersom de gjentar forsøket mange ganger)?

7. Anta at vi har n linjer i planet som alle skjærer hverandre, men på en slik måte at det aldri går tre linjer gjennom samme punkt. Hvor mange forskjellige områder deler disse linjene planet inn i? Hvor mange av disse områdene er ubegrensede?

8. Finn et uttrykk for summen sin a + sin 2a + sin 3a + ... + sin na der a er et vilkårlig tall. 9. En sirkel er delt inn i n like store og nummererte sektorer som vist på figuren. Hver sektor skal males med én farge, og vi har i alt k{> 2) farger til rådighet. La an være antall måter å fargelegge figuren på dersom vi krever at to nabofelt aldri kan ha samme farge. Vis at — k(k

når n>2.

1)

Finn an.

10. En høyskole planlegger et nytt, to-årig studium. Hvert år ønsker man å ta opp b nye studenter, og ett år senere venter man at 60% av disse studentene vil fortsette på det andre året, 20% vil ta det første året om igjen, mens 20% vil ha sluttet. Man regner også med at 10% av annet års studenter vil ta det andre året på nytt. a) Hvis bn og cn er tallet på studenter som følger henholdsvis første og annet års undervisning n år etter at studiet har åpnet, vis at

nårn>0, bo = b

bn+i

—

bn/5 + b

cn+1

—

cn/10 + 3bn/5

23

nårn>0, cq = 0.

b) Finn bn.

c) Finn Cn. d) Dersom man ønsker at det totale studenttallet skal stabilisere seg rundt 250, hvor mange nye studenter bør man ta opp i året? 11. I denne oppgaven skal vi studere annenordens differensligninger (2n-|-l — bdn -f- CCLn — i

hvor c < — 62/4, dvs. at den karakteristiske ligningen r2 — br — c = 0 ikke har reelle røtter. a) Vis at an = |c|n//2 sin n0 og an = |c|n/2cosnØ er løsninger dersom 0 er vinkelen i [—tt/2, tt/2] med cosØ = 6/2-/—c.

b) Vis at enhver reell løsning av differensligningen er på formen dn = Ci|c|n^2 sin nØ + C2\c\n^2 cosnØ

c) (Dette og det neste punktet krever kjennskap til komplekse tall). Vis at enhver reell løsning av differensligningen er på formen

an — Cr™ + Cr^

der r1( r2 er de to (komplekse) røttene til den karakteristiske lignin­ gen, C er et vilkårlig komplekst tall og C er dets konjugerte. d) Forklar sammenhengen mellom de to løsningene ovenfor. 12. La

un-i-i = ban

cdn_\

være en annenordens, homogen differensligning (med 0). Vis at dersom k og m er to ulike naturlige tall, og a og /3 er to reelle tall, så finnes det nøyaktig én løsning av differensligningen slik at = a og = fi.

24

DEL II: KAOS De differensligningene vi studerte i Del I var lineære, det vil si at led­ dene i den ukjente følge {zn} var i første potens og ikke sto inne i mer kompliserte funksjonsuttrykk. Selv om det kanskje ikke fremgår så klart av teksten, var det denne lineariteten som gjorde det mulig å komme frem til de eksplisitte løsningsformlene som vi fant for disse ligningene. I Del II skal vi se at selv så enkle ikke-lineære ligninger som

xn+i = axn + bx„ (legg merke til at ett av æn-leddene nå er i annen potens) har en helt annerledes oppførsel, og må studeres med helt andre teknikker. Men før vi kan gå løs på disse differensligningene, trenger vi noen forberedelser. II.1

Litt bakgrunnstoff

Som verktøy trenger vi en del grunnleggende resultater om konvergente følger og kontinuerlige funksjoner. Disse resultatene er geometriske sett svært rimelige (mange vil nok si “opplagte”), og vi skal presentere dem uten bevis (fullstendige utledninger finnes i et annet hefte i denne serien [10]). La oss begynne med litt terminologi om følger. Vi skal kalle følgen {an} begrenset dersom det finnes et tall m slik at |an| < M for alle n. Videre sier vi at følgen er voksende dersom an+i > an for alle n, og vi skal kalle den avtagende dersom un+i < an for alle n. Vi skal bruke betegnelsen monoton følge som et fellesnavn på voksende og avtagende følger. II. 1.3 Setning.

Enhver monoton, begrenset følge konvergerer.

Intuitivt er dette resultatet ytterst rimelig; dersom en begrenset følge alltid vokser (eller avtar), må den etterhvert bremse farten og nærme seg et grensepunkt. De neste resultatene handler om kontinuerlige funksjoner. 25

11.1.4 Skjaeringssetningen. Anta at f : [a, b] —► R er en kontinuerlig funksjon hvor /(a) og f(b) har motsatte fortegn. Da finnes det et tall CG (a, b) slik at /(c) = 0. Dette er også en rimelig setning - en kontinuerlig funksjon kan ikke komme fra positive til negative verdi er uten å passere gjennom 0. Vi skal gjøre mye bruk av følgende konsekvens av Skjaeringssetningen 11.1.5 Korollar. Anta at g : [a, b] —> R og h : [a, 6] —* R er to kontinuerlige funksjoner slik at g(a) < /i(a) og g(b) > h(6). Da finnes det en ce(a,6) slik at g(c) = h(c).

Bevis: Siden g og h er kontinuerlige, er f = g — h det også. Vi ser at /(a) = g(a) - h(a) < 0 og /(6) = g(b) - h(b) > 0, så ifølge Skjaeringssetningen finnes det et punkt cG(a, 6) slik at /(c) = 0. Men da er g(c) = h(c), og beviset er ferdig.

La oss være enige om at c er et maksimumspunkt for en funksjon f: A —■> R dersom /(c) > /(rr) for alle x G A, og at d er et minimumspunkt for f dersom /(d) < /(a?) for alle x G A. Kontinuerlige funksjoner de­ finert på åpne intervaller behøver ikke å ha maksimums- og minimumspunkter (tenk på funksjonen f : (0,1) —* R definert ved /(æ) = 1/m), men følgende setning garanterer deres eksistens på lukkede, begrensede intervaller.

11.1.6 Ekstremalverdisetningen. La f : [a, b] —> R være en kon­ tinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall. Da har f både maksimums- og minimumspunkt(er). Intuisjonen bak dette resultatet er at siden funksjonen nå ikke kan gå mot uendelig i endepunktene, må den være begrenset og oppnå maksimums- og minimumsverdier på intervallet. Den neste setningen er kanskje det viktigste av de resultatene vi har samlet i dette avsnittet. 11.1.7 Middelverdisetningen. Anta at funksjonen / : [o,6] —> R er kontinuerlig, og at den er deriverbar i alle indre punkter x G (a, b). Da finnes det et punkt cG (a, 5) slik at

y/(c) = /W ~ b—a

26

Figuren viser den geometriske tolkningen av Middelverdisetningen: Si­ den er stigningstallet til sekanten (dvs. linjestykket) gjennom (a, /(a)) og (b, /(b)), sier setningen rett og slett at det finnes et punkt c mellom a og b hvor tangenten er parallell med denne sekanten. På grunn av denne geometriske tolkningen kalles Middelverdisetningen også for Sekantsetningen. Vi tar også med et resultat som knytter sammen kontinuitet og konvergens av følger. II.1.7 Setning. En funksjon f er kontinuerlig i et punkt a hvis og bare hvis f(xn) konvergerer mot /(a) for alle følger {xn} som konvergerer mot a.

Dette er helt i overensstemmelse med vår intuisjon som sier at f er kontinuerlig i a dersom f (x) nærmer seg /(a) når x går mot a. La oss helt til slutt legge til at til tross for at alle resultatene ovenfor er intuitivt rimelig, krever det faktisk en del arbeid å bevise dem (se [10]). II.2

En enkel modell

Vi skal begynne med å sette opp en enkel modell for hvordan antall individer i en dyrekoloni utvikler seg med tiden. Den enklest tenkbare modellen er å si at bestanden vokser med en fast faktor hvert år; dvs. at det finnes en et tall /x > 1 slik at bn-j-J = ^bn .

(1)

der bn er bestanden i år n og bn+i er bestanden i år n + 1. Ligning (1) er en førsteordens, lineær differensligning av den typen vi studerte i avsnitt LI og den generelle løsningen er rett og slett

= ^nbo .

27

(2)

I denne modellen vil altså bestanden vokse eksponentielt. For mange formål er dette en helt urealistisk antagelse; dersom vår dyrekoloni har begrensede plass- og matressurser til rådighet, er det klart at den ikke kan fortsette å vokse eksponentielt i all evighet. Lar vi B være et øvre estimat på antall dyr kolonien kan romme, kan vi erstatte (1) med den mer realistiske modellen (3) Den nye faktoren (1 — bremser veksten når vi nærmer oss den kri­ tiske bestanden B. Det er modell (3) vi skal studere i dette kapitlet. I utgangspunktet ville nok mange håpe på at man kunne finne en enkel formel for bn (noe i retning av (2) kanskje) også i dette tilfellet, men som vi skal se, oppfører bn seg så kaotisk at et slikt håp er helt urealistisk. Før vi begynner på matematikken lønner det seg å foreta et lite variabelskifte i (3). Vi innfører den relative bestanden bn

Xn=B’ og observerer at (3) kan skrives som

(4) Dersom vi lar

F^x) = /xrc(l — x),

(5)

kan vi også skrive (4) som %n+l ~ Fu(2?n) .

28

(6)

Legg merke til at grafen til FM er en parabel med nullpunkter i x = 0 og z = l, og med toppunkt , 4) (se Figur 3). Anta nå at vi starter med en bestand xq i år 0, og at vi ønsker å se hvordan bestanden utvikler seg med tiden. Figur 4 viser en enkel grafisk metode for å studere dette. Vi begynner med å sette av begynnelsesbestanden xq langs 3>aksen. Går vi så loddrett opp til grafen til FM, har vi funnet et punkt med ykoordinat xi = F^xq). Trekker vi derfor den vannrette streken bort til linjen y = x, kommer vi til et punkt med æ-koordinat (og ?/-koordinat) X\. Går vi så igjen loddrett opp til vi finner grafen til Fp, har vi funnet et punkt med y-koordinat x^ — F^(x\). Trekker vi så den vannrette streken bort til linjen y = x, kommer vi til et punkt med z-koordinat x% osv. Det er viktig å legge merke til at forskjellige startpunkter gir opp­ hav til forskjellige typer oppførsel. Velger vi for eksempel xq til å være skjæringspunktet mellom grafen y = F^,(x) og linjen y = x, så er Fm(jjo) = xq, og vi får ingen utvikling overhodet; xn = Xq for alle n. Vi har altså funnet et likevektspunkt for bestanden. Starter vi isteden med et punkt xq som ligger i nærheten av et likevektspunkt, er den “nor­ male” oppførselen at bestanden xn konvergerer mot likevektspunktet når n går mot uendelig (dette er en sannhet med modifikasjoner; vi skal komme tilbake til hva “normal” oppførsel betyr i neste avsnitt). Figur 5 viser en helt annen type oppførsel; starter vi i Xq, blir vi sent til 2:1, deretter blir vi sendt tilbake til xq, så til Xi igjen osv. Vi har altså funnet fram til en periodisk situasjon hvor bestanden svinger fram og tilbake mellom verdiene Xq og X\. På tilsvarende måte kan vi finne periodiske tilstander med periode 3,4,5 osv. Starter vi i nærheten av en periodisk begynnelsestilstand, vil bestanden i mange tilfeller nærme seg den periodiske situasjonen når n går mot uendelig. 29

1

Fra et biologisk synspunkt er det ingenting urimelig i betraktningene ovenfor; både stabile likevektstilstander og periodiske svingninger er velkjente fenomener. Det som er virkelig overraskende er måten de forskjellige utviklingsmulighetene er vevet sammen på. Men for å forstå dette, trenger vi litt mer matematisk maskineri.

IL3

Diskrete dynamiske systemer

La oss glemme for et øyeblikk og arbeide med en generell funksjon f. Gitt et tall xq, skal vi være interessert i banen til xq gitt ved = /Oo),

= /01),

= f(x2)

OSV.

Benytter vi notasjonen /(") (X) = /(/(/(.. .f(x)

har vi altså /(n)(æo)

=xn-

II.3.1. Definisjon. Vi kaller x et fikspunkt for f dersom f (x) = x. Dersom f^n\x) = x sier vi at x er periodisk med periode n, og dersom for alle k, 1 6. Denne betingelsen forteller oss at i praksis kan vi aldri forutse banen til et punkt i detalj fordi det alltid vil være punkter vilkårlig nær hverandre som oppfører seg helt annerledes i det lange løp. Betingelsen er også dårlige nyheter for dem som ønsker å bruke datamaskin til å studere et dynamisk system siden den sier at vilkårlig små avrundingsfeil vil forstørres til størrelsesorden 2 + \/5 .

Vi har altså sett at vår enkle, biologiske modell fører til en utrolig kompleks dynamikk når p er tilstrekkelig stor. Man kan selvfølgelig inn­ vende at FM er latterlig enkel som en gjenspeiling av den biologiske virke­ lighet, men noe av poenget er at når så enkle modeller kan føre til en så uoversiktlig og uforutsigbar dynamikk, så er det ingen grunn til å tro at mer realistiske og kompliserte modeller vil ha en enklere tidsutvikling. I de senere år har man da også kunnet påvise kaotisk oppførsel innenfor en rekke fagfelt - de to populærvitenskapelige bøkene til Gleick [7] og 42

Stewart [12] gir underholdende og velskrevne innføringer. For dem som ønsker å forstå mer av matematikken som ligger bak, anbefales bøkene til Devaney [4], [5]. Den siste av disse går videre med den teorien vi har begynt på her, mens den første er mer elementær og er beregnet på gym­ nasiaster og begynnerstudenter. Mer kortfattede framstillinger finnes i artiklene til Branner [2], Peitgen og Jiirgens [11], og Wallin, Fållstrbm og Wallin [13]. Det finnes også en rekke bøker som hovedsaklig tar for seg de fysikalske aspektene ved kaosterorien. En av de beste og lettest tilgjengelige av disse er skrevet av den norske fysikeren Jan Frøyland . [6] Artikkelsamlingen redigert av Cvitanovic [3] inneholder de fleste grunnleggende bidragene til kaosteorien - noen av disse er morsomme å kikke på, mens andre bare er tilgjengelige for spesialister. La oss helt til slutt oppsummere den forskjellen vi har funnet mellom våre lineære og ikke-lineære systemer. For de lineære systemene i Del I fant vi enkle formler for løsningene, og ved hjelp av disse løsningene kunne vi forutsi nøyaktig hvilken tilstand systemet ville være i til enhver tid. Selv om vi ikke sa det, er det lett å se at de lineære systemene har en høy grad av stabilitet innebygget; forandrer vi for eksempel ørlite grann på begynnelsesbetingelsene o,q ogdi til en lineær differensligning Un+l — bdfi + CCLn— 1

er det lett å se at den eneste endringen i løsningen an — er en ørliten justering av konstantene Cfi og C^. To løsninger som starter nær hverandre, vil altså ha den samme typen oppførsel også i fremtiden. For de ikke-lineære systemene i Del II var situasjonen en ganske annen; her er det ikke uvanlig at løsninger som starter nær hverandre har helt ulik oppførsel - de kan for eksempel være periodiske med vidt forskjel­ lige perioder, eller det ene kan føre til rask utryddelse, mens det andre består til evig tid. Denne oppførselen betyr for det første at vi ikke kan vente å finne pene og oversiktlige formeluttrykk for løsningen, og for det andre at systemet i praksis er uforutsigbart - variasjoner i begynnelsestilstanden som er mye mindre enn enhver tenkbar målefeil, har drastiske innvirkninger på systemets oppførsel. Dette betyr imidlertid ikke at vi rnå gi opp ethvert forsøk på å forstå ikke-lineære systemer; noen slike systemer har faktisk en pen og kontrollerbar oppførsel (f.eks. vårt system for p. < 3), og selv de med sterke kaotiske trekk har ofte en høy grad av orden innebygget - men kanskje en annen type orden enn den vi er vant til å lete etter (se Sarkovskijs Teorem). Det er her den 43

store utfordringen i dagens kaosforskning ligger - å utvikle begreper og metoder som kan fange inn den fremmedartet ordenen som disse systemene fremviser. Oppgaver til Del II 1.

a) Finn fikspunktene til funksjonen /(x) = x3 og avgjør hvilke som er tiltrekkende og hvilke som er frastøtende.

b) En følge {an} er gitt ved an+i = f(an) for n > 1. For hvilke startverdier a0 konvergerer følgen og for hvilke divergerer den? Finn grenseverdiene i de tilfellene hvor følgen konvergerer. 2. En følge er gitt ved an+i = (an + 6)/5 for n > 1. For hvilke verdier av a.Q konvergerer følgen og for hvilke divergerer den? Finn grenseverdiene i de tilfellene hvor følgen konvergerer.

3. En følge er gitt ved an+1 = sinan for n > 1. Konvergerer den? 4.

a) La xn+i = f^n)- Vis at dersom a er et fikspunkt for f, og |/z(x)| < C < 1 for alle x G I — (a — °g vis at dersom xq ± 0, så er xn = (-l)nx0. Hvorfor strider ikke dette mot punkt a)? 6. Gjennomfør beviset for Teorem II.3.8 i det tilfellet hvor /(a) — b, f(b) = c, f(c) = a og a < c 3. (Hint: FM(x) = x er en fjerdegradsligning, men siden fikspunktene til FM må være løsninger, kjenner vi to av røttene.) 8. Hvis C er et reelt tall, la Gc være gitt ved

Gc(x) = x2 + C a) Vis at når C < 1/4, så har Gc fikspunktene p=(l + VT^4C)/2

og

g=(l-Vl-4C)/2

b) Vis at p er frastøtende for alle C < 1/4, mens q er tiltrekkende for -3/4 < C < 1/4. c) Sjekk at for C < —3/4, så har Gc periodiske punkter med periode 2. (Hintet i Oppgave 7 kan brukes her også.)

d) Vis at banen til et punkt xo som ikke ligger i [-p,p], alltid går mot oo.

e) Vis at dersom C > —2, så er Gc([—p,p]) inneholdt i [— p,p].

45

f) Anta at C < — 2 og undersøk mengden {x € [—p,p] : Gc(d —* oo

når

n —» 00}

grafisk. Start med mengden Ai = {x G [-p,p] : Gc{x)

[-p,p]},

se så på

A2 = {z € [—p,p] : Gc(x) € AJ,

og så videre.

Litteraturliste [1] J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis og P. Stacey: “On Devaney’s definition of chaos”, The American Mathematical Monthly, 99 (1992), 332-334.

[2] B. Branner: “Komplekse dynamiske systemer. Fraktaler - opstået ved iteration”, NORMAT (Nordisk Matematisk Tidskrift) 37 (1989), 93-120.

[3] I. Cvitanovic:“ Bristol, 1989. [4]

in Chaos”, 2nd Edition, Adam Hilger,

R. L. Devaney: “Chaos, fractals, and dynamics”, 2nd Edition, Addison-Wesley, Redwood City, California, 1989.

[5] R. L. Devaney: “An introduction to chaotic dynamical systems”, Addison-Wesley, 2nd Edition, Menlo Park, California, 1990.

[6] J. Frøyland: “Introduction to chaos and coherence”, Institute of Physics Publishing, Bristol, 1992 [7] J. Gleick: “Chaos: Making a new science”, Viking, New York, 1987. (Boken er forøvrig oversatt til svensk og dansk.)

[8] R. L. Graham, D. E. Knuth og O. Patashnik: “Concrete mathematics”, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1989. [9] F. Holme: “Komplekse tall”, Temahefte i Matematikk 3, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo, 1992.

[10] T. Lindstrøm: “Kompletthet og kontinuitet”, Temahefte i Matem­ atikk 2, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo, 1992.

46

[11] II.-O. Peitgen: “Fraktaler: Dataeksperimenter med (av)mystifiserende komplekse strukturer”, NORMAT (Nordisk Matematisk Tidskrift) 37 (1989), 45-72. [12]

I. Stewart: “Does God play dice? The mathematics of chaos”, Basil Blackwell, Oxford, 1989.

[13] II. Wallin, A. Fållstrdm og M. Wallin: ”Matematiska bilder av fraktaler och kaos”, NORMAT (Nordisk Matematisk Tidskrift) 38 (1990), 18-31.

47

TEMAHEFTER I MATEMATIKK

Bernt Øksendal: Tall og tallsystemer. Om tallbegrepets utvikling fram til i dag, Temahefte i matematikk 1, Gyldendal Norsk Forlag, 1991, ISBN 82-05-20076-9, 29 sider. Tom Lindstrøm: Kompletthet og kontinuitet. Om grunnlaget for

differensial- og integralregningen, Temahefte i matematikk 2, Gyldendal Norsk Forlag, 1992, ISBN 82-05-21093-4, 46 sider.

Finn Holme: Komplekse tall, Temahefte i matematikk 3, Gyldendal Norsk Forlag, 1992, ISBN 82-05-211132, 48 sider.

Tom Lindstrøm: Orden og kaos. Om lineære og ikke-lineære differensligninger, Temahefte i matematikk 4, Gyldendal Norsk Forlag, 1993, ISBN 82-05-212376, 48 sider.