Kompletthet og kontinuitet : om grunnlaget for differensial- og integralregningen 8205210934 [PDF]

Zitiervorschau

Tom Lindstrøm

KOMPLETTHET OG KONTINUITET Om grunnlaget for differensial- og integralregningen

Norsk Matematisk Institutt Universitetet i Oslo

Gyldendal Norsk Forlag

'XXX

Norsk Matematisk Forening

® Gyldendal Norsk Forlag A/S 1992

Redaktører: Ragna Høgstad Jon Reed og Torgeir Onstad, Matematisk institutt, Universitetet i Oslo Printed in Norway Trykkeri: S.E. Thoresen as

ISBN 82-05-21093-4

Det må ikke kopieres fra denne bok i strid med åndsverkloven og fotografiloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndraging, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Innhold Innledning..................................................................................... I. Naturlige og rasjonale tall................................................... II. Reelle tall............................................................................. III. Konvergens av følger........................................................ IV. Kontinuerlige funksjoner................................................... V. Deriverbare funksjoner...................................................... VI. To anvendelser av Middelverdisetningen.......................... VII. Integrasjon ........................................................................ Forslag til videre lesning............................................................. Referanser....................................................................................

3 6 8 13 17 23 27 35 44 45

Innledning Det er en smule meningsløst å sammenligne størrelsen og betydnin­ gen av vitenskapelige oppdagelser, men hadde man allikevel avholdt en avstemning om hva som er det største gjennombruddet i matematikkens historie, ville nok mange stemmer gå til Isaac Newtons (1642-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz’ (1646-1716) oppdagelse av integral- og differensialregningen. Denne oppdagelsen revolusjonerte ikke bare mate­ matikken selv, men den ga fysikken det matematiske begrepsapparatet den trengte for å utvikle seg videre. Newton var fysiker enda mer enn han var matematiker, og Leibniz interesserte seg for det meste fra logikk og metafysikk til jus og his­ torie. Når opphavsmennene hadde så allsidige interesser, er det ikke underlig at integral- og differensialteorien til å begynne med først og fremst ble et Tegneverktøy i anvendelsenes tjeneste - man var så opp­ tatt av å undersøke alle de fenomenene man kunne beregne ved hjelp av disse vidunderlige, nye metodene, at man ikke hadde så mye tid til å gruble over hva som egentlig fikk dem til å fungere. Etterhvert dukket det imidlertid opp kritiske røster som påpekte at en del av de vanlige prosedyrene i teorien var meningsløse dersom man oppfattet dem helt bokstavelig, og det viste seg også snart at dess mer ærgjerrig man var, og dess lenger man prøvde å strekke metodene, dess vanskeligere ble det å bestemme deres gyldighetsområde - regneteknikker som virket utmerket i visse sammenhenger, brøt fullstendig sammen dersom man prøvde dem på andre typer problemer. På begynnelsen av 1800-tallet var denne utviklingen kommet så langt at man følte behovet for en skikkelig opprenskning for å finne fram til klare kriterier for hva som var tillatt. Denne prosessen tok lang tid, og først rundt 1870 hadde man fått full forståelse for hvilke prinsipper det er som får integral- og differensialregningen til å fungere. De to meste sentrale personene i denne utviklingen var Augustin Louis Cauchy (1789-1857) og Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-97) som gjennom sine forelesninger i Paris og Berlin utdannet nye genera3

sjoner matematikere i den moderne tenkemåten. I vårt århundre har idéene til Cauchy, Weierstrass og deres samtidig vist sin levedyktighet gjennom stadig videreutvikling og generalisering, og prinsippene de kom frem til, er i dag hjømestener i tankebygninger som de selv knapt kunne ha forestilt seg. Den historiske utviklingen av integral- og differensialregningen gjen­ speiler seg i vårt utdanningssystem i dag - også vi starter med regneteknikk og anvendelser når vi underviser elever i den videregående skolen eller begynnerstudenter ved universitetene. Nå skyldes ikke dette bare den historiske utviklingen; det er gode praktiske, pedagogiske og motivasjonsmessige grunner for å gå fram på denne måten. Dels krever anvendelser av matematikken i andre fag at man fort kommer fram til de teknikkene som har størst gjennomslagskraft i praksis, og dels viser det seg at disse metodene og teknikkene er lettere å lære for de fleste enn de litt abstrakte prinsippene som ligger bak. Allikevel føler nok noen at den utviklingen har gått for langt, og både blant elever, studenter og lærere finnes det sikkert mange som kunne tenke seg å få vite litt om hva det er som får det tekniske regnemaskineriet til å virke. Det er dem dette heftet i første rekke er skrevet for. Ved å anta at leseren kjenner de grunnlegggende regneteknikkene fra før av, er det mulig å gi en kortfattet og konsentrert framstilling av de underliggende prinsippene. Hva er så de underliggende prinsippene i differensial- og integralregningen? La oss ta utgangspunkt i et velkjent tema fra skolematem­ atikken - grafisk framstilling. Allerede i slutten av ungdomsskolen lærer elevene å tegne grafene til enkle funksjoner, og de lærer også å løse ligninger av typen f (x) = g(x) grafisk. De fleste av oss er så vant til denne teknikken at vi ikke kan se noe oppsiktsvekkende i den, men hvis vi tenker oss om en smule, vil vi kanskje innse at den en gang i tiden må ha vært ny og revolusjonerende; hva er egentlig sammenhengen mellom at to kurver krysser hverandre og at en ligning har en løsning? Undrin­ gen blir større når vi innser at denne sammenhengen er nært knyttet til det tallsystemet vi arbeider med; dersom vi hadde holdt oss til de rasjonale tallene i stedet for de reelle, ville hele metoden ha brutt sam­ men - grafen til f (x) = x2-2 krysser z-aksen mellom 1 og 2, men siden V2 er irrasjonal, har ikke /(z) noe rasjonalt nullpunkt i dette interval­ let! Det må altså være en spesiell egenskap som de reelle tallene har, men som de rasjonale mangler, som gjør det mulig å benytte grafiske 4

metoder på en fornuftig måte. Denne egenskapen kalles kompletthet, og hovedtemaet i dette heftet er å vise at på det nivået vi skal operere, så er kompletthet faktisk det eneste grunnleggende prinsippet vi skal trenge for å utlede hovedsatsene i differensial- og integralregningen. Det viser seg altså at kompletthet ikke bare har noe å gjøre med sammenhengen mellom ligningsløsning og kryssing av kurver, men at også mange andre viktige, geometriske fenomener ved funksjonsgrafer er en konsekvens av denne egenskapen ved de reelle tallene. For å illustrere betydningen av kompletthet i de forskjellige situasjonene vi skal studere, skal vi systematisk lete fram ek­ sempler som viser at resultatene våre ikke holder dersom vi innskrenker oss til å arbeide med rasjonale tall. Hvis man vil, kan man godt si at én av hensiktene med dette heftet er å gjøre det enkle vanskelig - målet er å overbevise leserne om at vår tilvante representasjon av de reelle tallene som punkter langs en tallinje, verken er en selvfølgelighet eller en tom floskel - men tvert i mot rommer en dyp innsikt. Praktiske personer vil kanskje innvende at dette er akademisk flis­ espikkeri av verste sort - å gi dypsindige begrunnelser for det som alle bestandig har trodd på, bringer ikke verden videre. Vel, det bringer faktisk verden videre i dette tilfellet; poenget er at den innsikten vi opparbeider gjennom å studere de reelle tallene i detalj, den kan vi ta med oss til situasjoner hvor vår geometriske intuisjon svikter oss kompletthet er idag ikke bare en egenskap ved de reelle tall, men det er også ett av de første prinsippene vi ser etter når vi finner en ny matem­ atisk struktur. Dessverre blir det ikke plass til å komme inn på slike videregående temaer her, men interesserte lesere kan søke mer lærdom i bøkene og artiklene presentert helt til slutt i heftet.

5

Naturlige og rasjonale tall De tallene vi bruker når vi teller 1,2,3,4,5,... kalles gjerne naturlige tall, og mengden av alle naturlige tall betegnes med N - altså N = {1,2,3,4,5,...}

(1.1)

En viktig egenskap ved naturlige tall er at de kan faktoriseres som et pro­ dukt av primtall på en entydig måte (husk at et primtall er et naturlige tall større enn 1 som ikke er delelig på andre naturlige tall enn 1 og seg selv). Mer presist betyr dette at gitt et naturlig tall n, så finnes det alltid primtall Pi, P2, P3, • • • > Pn slik at

n = pi -p2-p3-...-Pfc.

(1.2)

Dersom Qi, 92,93, • • •, 9m også er primtall med

(1-3)

n = 9i

så er k = m, og de to sekvensene pi, p2,..., Pk og q\, q2,..., qrn er like bortsett kanskje fra rekkefølgen av elementene. Ofte kan det være nyttig å utvide N slik at vi får med 0 og de negative tallene. Vi får da mengden

Z=

3,—2,—1,0,1,2,3,...}

(1.4)

av hele tall. De rasjonale tallene er de som kan skrives som en brøk av hele tall. Mengden av rasjonale tall er altså Q=
y. Aksiom 8:

Dette aksiomet sier at størrelsen på to reelle tall alltid kan sammen­ lignes; er de ikke like, må ett av dem være større enn det andre. Aksiom 9:

Hvis x, y, z G R og x < y, så er x 4- z < y + z.

Dette og det neste aksiomet knytter sammen ordningsrelasjonen og de algebraiske operasjonene, og gir oss de regnereglene vi trenger for å løse ulikheter. Aksiom 10:

Hvis x, y, z G R, x < y og z > 0, så er x • z < y • z.

Disse ti aksiomene gir opplagt en sann beskrivelse av de reelle tall, men de gir også en sann beskrivelse av andre tallsystemer; bytter vi f.eks. 9

systematisk ut symbolet R med Q, står vi igjen med ti sanne utsagn om de rasjonale tallene (kontroller!). Det finnes imidlertid et siste aksiom som virkelig setter fingeren på det som er karakteristisk for de reelle tallene, men for å kunne formulere det, trenger vi først noen begreper. Et reelt tall & kalles en øvre skranke for en mengde A C R dersom b > a for alle a € A. Vi kaller b den minste øvre skranken til A eller supremum til A dersom b er mindre enn alle andre øvre skranker til A, og i så fall skriver vi

b = sup A. En mengde som har en øvre skranke kalles opptil begrenset. Enhver ikke-tom, opptil beg­ renset delmengde av R har en minste øvre skranke. Aksiom 11 (Kompletthetsaksiomet):

Kompletthetsaksiomet kan se uskyldig ut, men ett av hovedtemaene i heftet vil være å påvise den kraften som ligger i dette prinsippet. Helt parallelt med begrepene øvre skranke og opptil begrenset, kan man selvfølgelig innføre begrepene nedre skranke og nedtil begrenset. Den største nedre skranken til en mengde A kalles gjeme infimum til mengde og betegnes med inf A. Det er en enkel konsekvens av Kom­ pletthetsaksiomet at enhver ikke-tom, nedtil begrenset delmengde av R har en største nedre skranke. Vi har allerede observert at de ti første aksiomene ovenfor passer like godt som en beskrivelse av Q som av R. Med Kompletthetsaksiomet er det annerledes; mengden

A = {ae Q : a2 1 siden det ellers ikke er noe å bevise. Mengden A = {fceN:fc0 finnes en 7V£gN slik at \a — on| Ne. Vi skriver da III. 1 Definisjon.

a = lim an. n—+oo

Det er en nær sammenheng mellom komplettheten av reelle tall og kon­ vergens av følger. Vi skal se nærmere på denne sammenhengen for monotone følger.

III.2 Definisjon. Følgen {an} er voksende dersom an+i > an for alle n og den er avtagende dersom an+i < an for alle n. Vi bruker monoton som et fellesnavn for voksende og avtagende følger. En følge {an} er begrenset dersom det finnes et tall K slik at |an| < K for alle n. III.3 Setning.

Enhver begrenset, monoton følge er konvergent.

13

La oss anta at {on} er voksende - beviset for avtagende følger er helt analogt. Siden følgen er begrenset, må mengden Bevis:

A = {an : neN} være en ikke-tom, opptil begrenset delmengde av R, og den har derfor en minste øvre skranke a. Vårt mål er å vise at {an} konvergerer til a. La e > 0 være gitt. Siden a er den minste øvre skranken til A, må det finnes et element slik at > a—e; hvis ikke ville jo a—E være en øvre skranke for A mindre enn a. Siden følgen er voksende, må dermed an > a—E for enhver n>7V, og setningen er bevist. □

Setningen ovenfor ville ikke ha vært sann dersom vi hadde innskrenket oss til å arbeide med de rasjonale tallene: Følgen

111.4. Eksempel.

ai = l,

03 = 1.41,

02 = 1.4,

04 = 1.414,

05 = 1.4142,...

av desimaltallstilnærminger til a/2 er en voksende følge av rasjonale tall som ikke konvergerer mot et rasjonalt tall (siden grensen er det irrasjonale tallet \/2). Setning III.3 kan i visse situasjoner benyttes til å finne grensen til en rekursivt definert følge. Her er et typisk eksempel:

En følge er gitt ved at

111.5. Eksempel.

ai = 0

og

an+i = i(a^ 4-1)

for n > 1.

Vi skal undersøke om {o^} konvergerer og i såfall finne grensen. Regner vi ut de første leddene, får vi

A oi = 0,

1 o2 = -, z

5 a3 = -, 0

89 a4 = —,... osv., IZo

som gir oss en mistanke om at {on} er en voksende følge som aldri blir større enn 1. Hvis vi kan bevise dette, vil Setning III.3 fortelle oss at følgen konvergerer. La oss forsøke et induksjonsbevis med induksjonshypotese Pk

: o* < 0*4-1 < 1.

14

Siden ai — 0 og 02 = |, ser vi at Pi holder. La oss anta at Pn-i holder og vise at da må også Pn være sann. Vi vet altså at Un—1 < On < 1

(3.2)

Un < On+1 < 1 .

(3.3)

og skal vise at

Fra den første ulikheten i (3.2) får vi Gn+l = ~(Gn + 1) > ^(^n-l + 1) = Un ,

som gir oss den første ulikheten i (3.3). Ved å bruke den andre ulikheten i (3.2), får vi dessuten fln+i — x(an + 1) < x(12 + 1) — 1 >

som gir oss den andre ulikheten i (3.3). Vi har dermed vist at < Ufc+i 0; det motsatte tilfellet bevises helt tilsvar­ ende. Siden Bevis:

/(a) = x-ta lim /W-/W v x—a er positiv, må det finnes en 0 slik at /(æ) - f (a) > Q x—a

når |æ—a.|