Ing Fin Suport Seminar [PDF]

Zitiervorschau

ASE BUCURESTI Facultatea de Finanţe Asigurări Bănci şi Burse de Valori

FINAS

INGINERIE FINANCIARA -note de curs-

-draft-

Ciprian Necula

2004

1. Noţiuni introductive 1.1 Funcţia de payoff a unui activ financiar

Payoff-ul la momentul T al unui activ financiar reprezintă fluxul de venituri sau cheltuieli generat de respectivul activ financiar la momentul T. Să luăm de exemplu cazul unei acţiuni. Vom nota cu S cursul la momentul 0 şi cu ST cursul acestei acţiuni la momentul T. Să considerăm un investitor care a cumpărat acţiunea la momentul 0. El are o poziţie LONG pe acţiunea în cauză. La momentul T această poziţie long va avea payoff-ul egal cu ST , deoarece dacă ar dori să închidă această poziţie la momentul T el va trebui să vândă acţiunea la cursul de pe piaţă din momentul T ( ST ) generând un flux de venituri egal cu ST . payoff

payoff

P/L

P/L

S 45o 0

S

45o

ST

0

ST Graficul 1.1 Payoff-ul unei poziţii LONG pe o acţiune

Graficul 1.2 Profitul sau pierderea unei poziţii LONG pe o acţiune

Nu trebuie confundat payoff-ul cu funcţia de profit sau pierdere (P/L). Astfel în cazul poziţiei long pe o acţiune pentru a obţine profitul pe perioada 0 – T vom scădea din payoff-ul de la momentul T suma iniţială plătită pentru iniţierea poziţiei long ( S ). Investitorul va obţine profit dacă ST > S şi va înregistra o pierdere dacă ST < S .

2

Să analizăm cazul poziţiei SHORT. In acest caz la momentul 0 investitorul a vândut acţiunea respectivă. La momentul T pentru a închide poziţia el va trebui să cumpere acţiunea la cursul ST , generându-se astfel un flux de cheltuieli.

payoff

P/L

0 o

45

S

ST

0

45o

S

ST P/L

payoff

Graficul 1.3 Payoff-ul unei poziţii SHORT pe o acţiune

Graficul 1.4 Profitul sau pierderea unei poziţii SHORT pe o acţiune

Pentru a obţine profitul sau pierderea acestei poziţii va trebui să ţinem seama că la momentul 0 s-a încasat din vânzarea acţiunii o suma de bani egală cu S . Evident că se va obţine profit dacă ST < S şi pierdere dacă ST > S . De asemenea se observă că graficul funcţiei de payoff pentru poziţia SHORT este simetric faţă de axa 0x a graficului funcţiei de payoff pentru poziţia LONG. Această proprietate este adevărată şi pentru alte tipuri de active financiare, aşa cum se va vedea în continuare.

1.2 Rata instantanee a dobânzii

Fie r1 rata dobânzii pentru un depozit cu capitalizare la 1 an. Factorul de fructificare pe o perioadă de un an este 1 + r1 . Fie r2 rata dobânzii la un depozit cu capitalizare la 6 luni. Factorul de fructificare pe 1 2

 r  an este 1 + 2  . 2 

3

Dacă se notează cu r4 rata dobânzii in cazul în care capitalizarea se face din 3 în 3 luni 4

 r  rezultă că factorul de fructificare pe un an este 1 + 4  . 4  In general în practica bancară cea mai mică perioadă pe care se face capitalizarea este 1 lună. In acest caz dacă notăm cu r12 rata dobânzii acordate avem că factorul de fructificare pe 12

 r  un an este 1 + 12  .  12  Vom considera că se poate face capitalizarea şi folosind perioade mai mici de 1 lună. Astfel dacă împărţim anul în n perioade şi notăm cu rn rata dobânzii in acest caz se obţine că n

 r  factorul de fructificare pe un an este 1 + n  . n  Relaţia dintre aceste rate de dobândă în cazul în care se doreşte ca suma după un an să fie aceeaşi indiferent de tipul de depozit ales se obţine egalând factorii de fructificare: 2

4

12

 r   r   r   r  1 + r1 = 1 + 2  = 1 + 4  = 1 + 12  ... = 1 + n  2  4   12  n  

n

Astfel avem:

(

)

rn = n n 1 + r1 − 1

Rata instantanee a dobânzii ( r ) se defineşte ca fiind aceea rată a dobânzii care trebuie folosită pentru fructificare în cazul în care perioada pe care se face capitalizarea tinde la zero. Deci: r := lim rn = ln(1 + r1 ) n →∞

Ca urmare se obţine că factorul de fructificare pe 1 an în cazul în care se foloseşte rata instantanee a dobânzii este e r . Factorul de fructificare pe 2 ani este e 2 r , iar pe o perioadă de T ani este e rT . Pentru a obţine factorul de fructificare pe perioade fracţionare trebuie exprimate aceste perioade în ani. Astfel factorul de fructificare pe 6 luni va fi e 0.5 r , iar pentru o perioadă de 15 luni este e1.25r . O obligaţiune zero cupon fără risc cu valoare nominală 1 şi scadenţă T este un activ financiar (emis de stat) care are un payoff la momentul T egal cu 1. Fiind emis de stat acest activ financiar nu are risc de credit investitorul fiind sigur că va primi la scadenţă valoarea nominală a obligaţiunii. In cazul în care rata instantanee a dobânzii este considerata constantă în timp investiţia intr-o obligaţiune zero cupon fără risc este echivalentă cu cea intr-un depozit

4

bancar. Astfel valoarea la momentul 0 (momentul emiterii) va fi egală cu B(0, T ) = e − rT , iar la un moment dat t ∈ (0, T ) valoarea acestui instrument financiar va fi B(t , T ) = e − r (T −t ) . Situaţia se

complică în cazul în care se consideră că rata instantanee a dobânzii este stocastică, in acest caz folosindu-se structura la termen a ratei dobânzii.

1.3 Principiul arbitrajului

Prin arbitraj se înţelege o strategie financiară prin care se obţine un câştig fără risc şi fără aport iniţial de capital. Fie Π un activ financiar sau un portofoliu de active financiare. Vom nota cu Π (t ) valoarea acestui portofoliu la momentul t. Conform definiţiei portofoliul Π este portofoliu de arbitraj dacă sunt îndeplinite condiţiile: •

Π (0 ) = 0 (fără aport de capital)

•

la un moment dat T avem că în mod sigur Π (T ) > 0 (câştig fără risc)

In practică există posibilităţi de arbitraj (în special pe piaţa valutară), însă aceste oportunităţi sunt de scurtă durată şi dispar repede. De aceea teoria financiară presupune că nu există oportunităţi de arbitraj. Această ipoteză este cunoscută sub numele de principiul arbitrajului.

O consecinţă a acestui principiu este că dacă două active financiare A şi B au acelaşi payoff la momentul T ( Π A (T ) = Π B (T ) ) ele vor avea aceeaşi valoare pentru fiecare moment de timp t < T . Intr-adevăr dacă am presupune că există un moment de timp t astfel încât Π A (t 0 ) > Π B (t 0 ) atunci am putea construi un portofoliu de arbitraj. Astfel am putea considera

portofoliul Π format dintr-o poziţie LONG pe o unitate din activul B, o poziţie SHORT pe o unitate din activul A şi dintr-o poziţie LONG pe un număr de

Π A (t 0 ) − Π B (t 0 ) obligaţiuni zero e − r (T −t0 )

cupon fără risc cu scadenţa T. La momentul t 0 avem: Π (t 0 ) = Π B (t 0 ) − Π A (t 0 ) +

Π A (t 0 ) − Π B (t 0 ) −r (T −t0 ) ⋅e =0 e −r (T −t0 )

iar la momentul T: Π (T ) = Π B (T ) − Π A (T ) +

Π A (t 0 ) − Π B (t 0 ) Π (t ) − Π (t ) ⋅1 = A 0−r (T −t0 )B 0 > 0 − r (T −t0 ) e e

5

Deci portofoliul Π este portofoliu de arbitraj, încălcându-se astfel principiul arbitrajului. In consecinţă Π A (t ) = Π B (t ) pentru orice moment de timp t < T .

1.4 Principiul evaluării neutre la risc

Principiul evaluării neutre la risc se referă la faptul că, în lipsa oportunităţilor de arbitraj, valoarea unui activ financiar se poate calcula ca o medie (faţă de aşa-numita probabilitate neutră la risc) a cash-flow-urilor viitoare generate de acest activ financiar actualizate la momentul la care se face evaluarea. Conform acestui principiu dacă un activ financiar are un payoff la momentul T dat de Π (T ) atunci valoarea sa la momentul zero este:

[

]

Π (0 ) = E * e − rT Π (T )

(1.1)

unde am notat cu E * media faţă de probabilitatea neutră la risc, iar pentru actualizare sa folosit rata instantanee a dobânzii ( r ) presupusă ca fiind constantă pe perioada 0-T. In cazul unei acţiuni care nu plăteşte dividende pe perioada 0-T dacă notăm cu S cursul

[

]

la momentul 0 şi cu ST cursul la momentul T vom avea că S = E * e − rT ST . De asemenea dacă considerăm o obligaţiune zero cupon fără risc cu scadenţă T şi valoare nominală 1 u.m, aplicând principiul evaluării neutre la risc obţinem că valoarea la

[

]

momentul 0 a acestui activ financiar este B(0, T ) = E * e − rT ⋅1 = e − rT .

1.5 Produse financiare derivate

Un produs financiar derivat este un activ financiar a cărui valoare depinde de cursul unui alt activ numit activul suport. Activul suport poate fi o acţiune, un indice bursier, o valută, o obligaţiune sau un alt instrument derivat.

1.5.1 Contract forward şi futures

Un contract forward este o înţelegere prin care o parte se obligă să cumpere, iar cealaltă parte să vândă un activ financiar la un moment viitor (scadenţa contractului) la un preţ stabilit în momentul încheierii contractului (preţul forward). Investitorul care se obligă să cumpere se spune ca are o poziţie LONG pe contractul forward, iar cel care se obliga să cumpere are o poziţie SHORT pe respectivul contract.

6

O caracteristică importantă a unui contract forward este că valoarea sa iniţială este

zero. Astfel nici una din părţile implicate în contract nu trebuie să plătească celeilalte părţi o sumă de bani în momentul încheierii contractului. Payoff-ul la scadenţă (momentul T) pentru o poziţie LONG pe un contract forward este egal cu ST − F unde ST este cursul activului suport la momentul T, iar F este preţul forward stabilit în momentul încheierii contractului. Intr-adevăr investitorul care are poziţia long pe contractul forward este obligat prin contract să cumpere activul suport la un preţ egal cu F . După cumpărarea activului suport investitorul va avea o poziţie long pe activul suport. Insă valoarea pe piaţă a respectivului activ suport este ST . Prin închiderea acestei poziţii long se generează un flux de venituri sau cheltuieli egal cu ST − F . Deoarece valoarea iniţială a contractului forward este zero funcţia de profit sau pierdere este identică cu funcţia de payoff. payoff

payoff

F o

45 0

45o

ST

0

F

ST

Graficul 1.5 Payoff-ul unei poziţii LONG pe un contract forward

Graficul 1.6 Payoff-ul unei poziţii SHORT pe un contract forward

Poziţia SHORT pe contractul forward va avea un payoff egal cu F − ST . Trebuie subliniat faptul că preţul forward nu reprezintă valoarea contractului

forward. Aşa cum am spus valoarea iniţială a contractului forward este zero. Preţul forward (stabilit în momentul încheierii contractului) este cursul la care se va efectua tranzacţia la momentul T (scadenţa contractului). Fie F (t , T ) preţul forward pentru un contract încheiat la momentul t şi cu scadenţă T, iar f (s, t , T ) valoarea la momentul s a unui contract forward iniţiat la momentul t şi având scadenţa

T. Ştim că f (t , t , T ) = 0 .

7

Să determinăm pentru început preţul forward pentru o acţiune care nu plăteşte

dividend pe perioada de existenţă a contractului forward. Vom nota cu S t cursul acţiunii la momentul t. Aplicăm principiul arbitrajului. Considerăm două portofolii A şi B. Portofoliul A este format dintr-o poziţie LONG pe un contract forward încheiat la momentul t şi scadenţă T şi o poziţie LONG pe un număr egal cu F (t , T ) de obligaţiuni zero cupon fără risc cu scadenţa T (prescurtate cu ozc) . Portofoliul B este format dintr-o poziţie LONG pe o unitate din activul suport. Avem că la scadenţă: Π A (T ) = ST − F (t , T ) + F (t , T ) ⋅1 = ST 14243 payoff −ul contractului forward

Π B (T ) = ST .

Deci cele două portofolii au acelaşi payoff la scadenţă şi ca urmare vor avea aceeaşi valoare si la momentul t ( Π A (t ) = Π B (t ) ). Avem că:

f (t , t , T ) + F (t , T ) ⋅ e − r (T −t ) = S t Ţinând seama de faptul ca valoarea iniţială a contractului forward este zero obţinem că preţul forward la momentul t pentru scadenţa T al unei acţiuni este dat de relaţia: F (t , T ) = S t e r (T −t )

(1.2)

Evident că F (T , T ) = ST ceea ce înseamnă că preţul forward tinde către cursul spot pe măsură ce ne apropiem de scadenţă. Care va fi însă valoarea contractului forward la un moment dat s > t . Cele două portofolii vor avea datorită principiului arbitrajului aceeaşi valoare pentru orice moment de timp s > t . Ca urmare vom avea că (preţul forward F (t , T ) pentru contractul forward încheiat la momentul t rămâne constant pentru întreaga perioadă t-T): − r (T − s ) f (s, t , T ) + F (t , T ) ⋅ e1 23 = S s

valoarea ozc la momentul s

Deci:

f (s, t , T ) = S s − F (t , T ) ⋅ e − r (T − s ) ≠ 0 In concluzie valoarea iniţială a contractului forward este zero, însă pe parcurs valoarea contractului este diferită de zero.

8

Să determinăm în continuare preţul forward pentru o valută. Vom nota cu S t cursul valutar la momentul t exprimat astfel: 1 unitate valuta straina = S t unitati de valuta interna De asemenea mai notăm cu r f rata instantanee a dobânzii în tara de provenienţă a valutei străine. Considerăm două portofolii A şi B. Portofoliul A are aceeaşi componenţă ca în cazul unei acţiuni. Portofoliul B este format dintr-o poziţie LONG pe un număr de e

− r f (T −t )

unităţi din

valuta externă. Spre deosebire de cazul anterior, deţinerea de către investitor a unei unităţi din valuta externă îi măreşte posibilităţile de investiţii el putând-o depune la o bancă din cealaltă ţară şi să fie remunerat cu rata instantanee a dobânzii rf . Astfel la scadenţă payoff-ul portofoliului B, exprimat în valută internă, va fi: − r (T −t ) r (T −t )

Π B (T ) = ST e f ef = ST 1442443 suma obtinuta din fructificare exprimata in valuta interna

Payoff-urile celor două portofolii sunt egale la scadenţă, deci şi la un moment anterior vor avea aceeaşi valoare: f (t , t , F ) + F (t , T ) ⋅ e − r (T −t ) = S t e

− r f (T −t )

Ca urmare: F (t , T ) = S t e

(r −r f )(T −t )

(1.3)

Se poate arăta că preţul forward în cazul în care activul suport are o rată instantanee a dividendului egală cu q (i.e. in fiecare moment t acest activ plăteşte un dividend

egal cu qS t , unde S t este cursul spot al activului la momentul t) este: F (t , T ) = S t e (r −q )(T −t )

(1.4)

Contractul futures este o înţelegere prin care o parte se obligă să cumpere, iar cealaltă

parte să vândă un activ financiar la un moment viitor (scadenţa contractului) la un preţ stabilit în momentul încheierii contractului (preţul futures). In condiţiile în care se consideră că rata dobânzii este constantă pe perioada analizată se poate arăta că preţul forward este egal cu preţul futures.

Spre deosebire însă de contractul forward, contractul futures este un contract standardizat care se tranzacţionează la bursă. In plus pentru contractul futures funcţionează mecanismul de marcare la piaţă. Marcarea la piaţă presupune că la sfârşitul zilei de

9

tranzacţionare contul persoanei care este LONG creşte sau scade cu diferenţa dintre preţul futures curent şi preţul futures din ziua precedentă după cum această diferenţă este pozitivă sau negativă. Situaţia este inversă pentru persoana care este SHORT. Deci un contract futures generează payoff-uri şi pe durata de existenţă a contractului şi nu numai la scadenţă ca în cazul unui contract forward. 0 = t0

t1

t2

F0 S0

F1 S1

F2 S2

….

t k −1

tk

Fk −1 S k −1

Fk Sk

….

t n−1 Fn−1 S n−1

tn = T Fn = S n Sn

Vom nota cu S k cursul spot la momentul t k , iar cu Fk preţul futures la momentul t k cu scadenţă T (i.e. preţul futures pentru un contract încheiat la momentul t k cu scadenţă T ). Vom considera că rata dobânzii este constantă, deci preţul futures este egal cu preţul forward r (T −t ) Fk = S k e k . Presupunem că iniţiem o poziţie LONG pe contractul futures la momentul t 0 = 0 . Vom nota cu ϕ 0 valoarea acestui contract la momentul 0 şi cu ϕ k valoarea acestui contract la momentul t k . Datorită marcării la piaţă la fiecare moment t k apare un payoff egal cu Fk − Fk −1 . Dacă păstrăm contractul până la scadenţă avem un payoff total egal cu:

(F1 − F0 ) + (F2 − F1 ) + ... + (Fk − Fk −1 ) + ...(Fn − Fn−1 ) = ST − F0 adică exact payoff-ul la scadenţă al unui contract forward. Totuşi faptul că apar cash-flow-uri intermediare are un impact important asupra valorii contractului futures. Astfel aplicând principiul evaluării neutre la risc avem că valoarea la momentul 0 este:

[

ϕ0 = E * e

− rt1

(F1 − F0 ) + e − rt2 (F2 − F1 ) + ... + e − rtk (Fk − Fk −1 ) + ... + e − rtn (Fn − Fn−1 )]

Ţinând seama că Fk = S k e

(

r T −t k

)

[

şi că S 0 = E * e

− rtk

]

S k se obţine că ϕ 0 = 0 , deci ca şi

contractul forward contractul futures are valoare 0 in momentul iniţierii sale. Să presupunem că dorim să renunţăm la contractul futures la momentul t k . După cum ştim valoarea unui contract forward este diferită de zero la un moment dat pe durata de existenţă a contractului. Să vedem care este situaţia în cazul contractului futures. Din nou vom aplica principiul evaluării neutre la risc şi rezultă că valoarea la momentul t k a unui contract futures iniţiat la momentul 0 este:

10

[

ϕk = E * e

(

− r t k +1 −t k

)

(Fk +2 − Fk +1 ) + ... + e −r (tn −tk ) (Fn − Fn−1 )] = 0

Deci contractul futures are valoare zero la orice moment pe durata de existenţă a contractului. Ca urmare pe investitor nu l-a costat nimic la momentul 0 când a iniţiat poziţia LONG pe contractul futures, de asemenea nu l-a costat nimic la momentul t k când şi-a închis poziţia, eventualele câştiguri sau pierderi în perioada 0 − t k apărând datorită fenomenului de marcare la piaţă:

(F1 − F0 ) + (F2 − F1 ) + ... + (Fk − Fk −1 ) = Fk − F0 In concluzie, datorită marcării la piaţă, valoarea unui contract futures este zero pe toată durata de viaţă şi nu doar în momentul iniţierii contractului.

1.5.2 Opţiuni

1.5.2.1 Proprietăţi

Opţiunile sunt produse financiare care oferă dreptul (neexistând însă şi obligaţia) de a cumpăra sau de a vinde un activ suport. Aceste instrumente financiare se tranzacţionează in special la bursă, insă unele contracte cu caracteristici mai complexe pot fi achiziţionate pe piaţa OTC. Opţiunile pot fi de tip CALL (de cumpărare) sau de tip PUT (de vânzare). Opţiunea CALL este un contract prin care se specifică că partea LONG (cumpărătorul

contractului) are dreptul să cumpere la scadenţă (T) activul suport al contractului la un preţ stabilit în momentul încheierii contractului numit preţ de exerciţiu (E). Cumpărătorul opţiunii nu are însă şi obligaţia de a cumpăra activul suport cum era în cazul unui contract forward. Vânzătorul opţiunii se spune că are poziţie SHORT. Opţiunea PUT este un contract prin care se specifică că partea LONG (cumpărătorul

contractului) are dreptul să vândă la scadenţă (T) activul suport al contractului la un preţ stabilit în momentul încheierii contractului numit preţ de exerciţiu (E). Cumpărătorul opţiunii nu are însă şi obligaţia de a vinde activul suport. Dacă partea LONG pune în aplicare dreptul specificat în contract se spune că opţiunea a fost exercitată. După momentul în care pot fi exercitate opţiunile pot fi: •

de tip european – pot fi exercitate doar la scadenţă;

•

de tip american – pot fi exercitate în orice moment până la scadenţă;

11

•

de tip bermudan – pot fi exercitate la anumite momente specificate în contract.

Deoarece opţiunile conferă un dreptul de a vinde sau de a cumpăra, însă nu presupune şi o obligaţia corespunzătoare partea LONG a contractului (cumpărătorul) va plăti vânzătorului o sumă de bani numită prima CALL ( c ) sau PUT ( p ).

Opţiunile de tip european şi american care sunt tranzacţionate la bursă mai poartă numele de opţiuni plain-vanilla. In afară de aceste opţiuni clasice, mai există şi opţiuni cu caracteristici mai complexe care pot fi achiziţionate de pe piaţa OTC: •

opţiuni asiatice – payoff-ul opţiunii depinde de media cursului activului suport pe o anumită perioadă şi nu valoarea acestuia la scadenţă;

•

opţiuni barieră – payoff-ul opţiunii depinde de atingerea sau nu de către cursul activului suport, pe durata de viaţă a opţiunii, a unui nivel prestabilit;

•

opţiuni digitale – payoff-ul opţiunii poate lua valorile 0 sau 1.

Opţiunile tranzacţionate la bursă nu trebuie să fie păstrate până la scadenţă. Ele pot fi tranzacţionate în orice moment pe piaţă. Astfel cumpărătorul unei opţiuni o poate vinde înainte de scadenţă dacă prima contractului a evoluat favorabil pentru el (a crescut). Noul posesor al opţiunii a intrat astfel în posesia dreptului de a exercita opţiunea. Nu trebuie confundată tranzacţionarea unei opţiuni cu exercitarea unei opţiuni. In cazul în care opţiunea este păstrată până la scadenţă este important să determinăm payoff-ul contractului la acel moment.

In cazul cumpărătorului unui contract CALL (poziţie long) în cazul în care cursul la scadenţă ( ST ) este mai mare decât preţul de exerciţiu ( E ) investitorul va exercita opţiunea, cumpărând activul suport la preţul E şi vânzându-l apoi la cursul de pe piaţă. Se generează astfel la scadenţă un flux de venituri egal cu ST − E . Pe de altă parte dacă cursul la scadenţă este mai mic decât preţul de exerciţiu investitorul nu are nici un motiv să exercite opţiunea CALL payoff-ul fiind în această situaţie egal cu zero. Deci: ST − E , ST > E Payoff LONG CALL =  = max(0, ST − E ) 0, ST < E

12

payoff

P/L

E 0

45o

c

ST

0

ST

E

Graficul 1.7 Payoff-ul unei poziţii LONG pe o opţiune CALL

Graficul 1.8 Profitul sau pierderea unei poziţii LONG pe o opţiune CALL

Pentru a obţine profitul acestei poziţii vom scădea din funcţia de payoff suma plătită iniţial pentru această opţiune (prima c ).

payoff

P/L

E c

0

45o

ST

E

ST

0

Graficul 1.9 Payoff-ul unei poziţii SHORT pe o opţiune CALL

Graficul 1.10 Profitul sau pierderea unei poziţii SHORT pe o opţiune CALL

− (ST − E ), ST > E Payoff SHORT CALL =  = − max(0, ST − E ) 0, ST < E

In cazul cumpărătorului unui contract PUT (poziţia long) dacă cursul activului suport este mai mic decât preţul de exerciţiu, investitorul va exercita opţiunea vânzând activul suport la

13

preţul E şi cumpărându-l la cursul de la scadenţă obţinând un flux de venituri egal cu E − ST . Dacă însă cursul este mai mare decât preţul de exerciţiu opţiunea nu va fi exercitată şi deci rezultă un payoff egal cu zero.  E − ST , ST < E Payoff LONG PUT =  = max(0, E − ST ) 0, ST > E

payoff

P/L

E 0

ST

p 0

ST

E

Graficul 1.11 Payoff-ul unei poziţii LONG pe o opţiune PUT

Graficul 1.12 Profitul sau pierderea unei poziţii LONG pe o opţiune PUT

Pentru a obţine profitul poziţiei long pe opţiunea PUT vom scădea din funcţia de payoff suma plătită iniţial pentru această opţiune (prima PUT p ).

payoff

P/L

E p

0

ST

0

E

Graficul 1.13 Payoff-ul unei poziţii SHORT pe o opţiune PUT

14

ST

Graficul 1.14 Profitul sau pierderea unei poziţii SHORT pe o opţiune PUT

Pentru a obţine profitul poziţiei LONG pe opţiunea PUT vom scădea din funcţia de payoff suma plătită iniţial pentru această opţiune (prima PUT p ). Prima CALL şi prima PUT depind de cursul activului suport, de preţul de exerciţiu şi de volatilitatea activului suport. Volatilitatea este o măsură a riscului activului suport reprezentând abaterea medie pătratică a rentabilităţii anuale a activului suport. Primele opţiunilor mai depind şi de durata până la scadenţă şi de rata instantanee a dobânzii.

S

E

σ

c

+

_

+

p

_

+

+

Tabelul 1.1 Factorii de influenţă ai primei opţiunilor CALL şi PUT

Dacă cursul activului suport din momentul evaluării creşte prima opţiunii CALL va creşte deoarece a crescut probabilitatea ca la scadenţă cursul activului suport să fie în dreapta preţului de exerciţiu şi deci ca opţiunea să fie exercitată. Situaţia este inversă în cazul opţiunilor PUT probabilitatea ca payoff-ul să fie pozitiv la scadenţă scade dacă creşte cursul activului suport. Opţiunile CALL cu preţ exerciţiu mai mic sunt mai scumpe deoarece probabilitatea de a obţine un payoff pozitiv este mai mare, situaţia fiind inversă în cazul opţiunilor PUT.

P/L

P/L

E1

E2

E1

E2

ST

0

0

c2

p1

ST

p2

c1

Graficul 1.15 Relaţia dintre primele CALL pentru două opţiuni cu preţuri de exerciţiu difertite

Graficul 1.16 Relaţia dintre primele PUT pentru două opţiuni preţuri de exerciţiu diferite

15

In ceea ce priveşte volatilitatea primele opţiunilor, indiferent de felul lor, cresc dacă creşte volatilitatea. O volatilitate mai mare conduce la faptul că variaţia cursului este mai mare. Si ca urmare creşte şi probabilitatea (şi deci şi prima) ca la scadenţă opţiunea să aibă un payoff strict pozitiv.

1.5.2.2 Paritatea PUT-CALL

Dorim să determinăm o relaţie între primele opţiunilor CALL şi PUT cu aceleaşi caracteristici (acelaşi activ suport, acelaşi preţ de exerciţiu şi aceeaşi scadenţă). Fie c(t , T ) respectiv p(t , T ) prima la momentul t a unei opţiuni CALL respectiv PUT (de tip european) cu scadenţă T, acelaşi activ suport şi acelaşi preţ de exerciţiu ( E ). Să analizăm pentru început cazul în care opţiunea are ca activ suport o acţiune care nu plăteşte dividend pe perioada de existenţă a opţiunilor. Vom nota cu S t cursul acţiunii la

momentul t. Considerăm două portofolii A şi B. Portofoliul A este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune CALL şi o poziţie LONG pe un număr egal cu E de obligaţiuni zero cupon fără risc cu scadenţa T. Portofoliul B este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune PUT şi o poziţie LONG pe o unitate din activul suport. Avem că la scadenţă: Π A (T ) = max(0, ST − E ) + E ⋅1 = max(ST , E ) Π B (T ) = max(0, E − ST ) + ST = max(ST , E ) .

Deci cele două portofolii au acelaşi payoff la scadenţă şi ca urmare vor avea aceeaşi valoare si la momentul t. Rezultă că: c(t , T ) + E ⋅ e − r (T −t ) = p(t , T ) + S t

(1.5)

Relaţia de mai sus este cunoscută sub numele de relaţia de paritate PUT-CALL. Să determinăm relaţia de paritate în cazul opţiunilor care au ca activ suport o valută. Vom nota cu S t cursul valutar la momentul t exprimat astfel: 1 unitate valuta straina = S t unitati de valuta interna Vom nota cu rf rata instantanee a dobânzii din ţara de provenienţă a valutei străine. Considerăm două portofolii A şi B. Portofoliul A are aceeaşi componenţă ca în primul caz. Portofoliul B este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune PUT şi poziţie LONG pe un

16

număr de e

− r f (T −t )

unităţi din valuta externă. Deţinerea de către investitor a unei unităţi din

valuta externă generează remunerarea acesteia cu rata instantanee a dobânzii rf . Astfel la scadenţă payoff-ul portofoliului B va fi: − r (T −t ) r (T −t )

Π B (T ) = max(0, E − ST ) + ST e f ef = max(ST , E ) 1442443 suma obtinuta din fructificare exprimata in valuta interna

Ca urmare, aplicând din nou principiul arbitrajului obţinem următoarea relaţie de paritate valabilă în cazul opţiunilor pe valută: c(t , T ) + E ⋅ e − r (T −t ) = p(t , T ) + S t ⋅ e

− r f (T −t )

(1.6)

Se poate arăta că teorema de paritate în cazul în care activul suport are o rată instantanee a dividendului egală cu q este:

c(t , T ) + E ⋅ e − r (T −t ) = p(t , T ) + S t ⋅ e − q (T −t )

(1.7)

Exerciţiu. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 100 0. Rata dobânzii este r = 10% . Se consideră următoarele opţiuni care au ca activ suport acţiunea menţionată:

1. o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E = 1000 , scadenţă peste 3 luni şi primă

c = 52,954 2. o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E = 1000 , scadenţă peste 6 luni şi primă

p = 34,008 3.

o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E = 1000 , scadenţă peste 3 luni şi primă

p = 28,323 4. o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E = 980 , scadenţă peste 3 luni şi primă

c = 65,008 5. o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E = 1020 , scadenţă peste 3 luni şi primă

p = 37,236 Să se construiască, dacă se poate, un portofoliu de arbitraj.

Rezolvare. Vom încercă să determinăm abateri de la relaţia de paritate PUT-CALL. Cum această relaţie de paritate se aplică doar opţiunilor cu aceleaşi caracteristici, vom analiza perechea de opţiuni (1,3) . Pentru a nu avea posibilităţi de arbitraj ar trebui ca:

17

p = c + Ee − r (T −t ) − S t Totuşi în cazul nostru avem că p = 28,323 , iar

c + Ee − r (T −t ) − S t = 52,954 + 1000e −0,1⋅0, 25 − 1000 = 28,264 < p Cele două portofolii folosite în demonstraţia relaţiei de paritate au valorile:

Π A = 52,954 + 975,31 = 1028,264 Π B = 28,323 + 1000 = 1028,323

Pentru a construi un portofoliu de arbitraj Π procedăm astfel: vindem (poziţie SHORT) portofoliul B şi cumpărăm portofoliul A (poziţie LONG). Cu suma obţinută cumpărăm (LONG) obligaţiuni zero cupon fără risc cu scadenţă peste 3 luni. Deci valoarea iniţială a portofoliului Π va fi zero (fără aport de capital), iar la scadenţă acest portofoliu va avea un payoff egal cu Π (T ) = (1028,323 − 1028,264)e 0,1⋅0, 25 > 0 (câştig fără risc). Problemă propusă. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 100 . Rata dobânzii

este r = 10% . Se consideră următoarele opţiuni care au ca activ suport acţiunea menţionată: 1. o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E = 100 , scadenţă peste 3 luni şi primă

c = 7,2209 2. o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E = 105 , scadenţă peste 3 luni şi primă

c = 4,9225 3. o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E = 105 , scadenţă peste 6 luni şi primă

p = 8,3816 4.

o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E = 100 , scadenţă peste 3 luni şi primă

p = 4,7519 5. o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E = 105 , scadenţă peste 6 luni şi primă

c = 8,6431 6. o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E = 110 , scadenţă peste 6 luni şi primă

c = 6,5208 Să se construiască, dacă se poate, un portofoliu de arbitraj.

18

1.5.2.3 Strategii cu opţiuni

O strategie cu opţiuni este un portofoliu format din opţiuni pe un activ suport. Acestea se folosesc pentru construirea unor funcţii de payoff mai complexe.

Straddle

Strategia „straddle” se foloseşte atunci când un investitor anticipează o mişcare mare a cursului activului suport, însă nu şi direcţia acestei mişcări. Straddle-ul este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E şi scadenţă T şi o poziţie LONG pe o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E şi scadenţă T.

Cursul

LONG CALL

LONG PUT

TOTAL

ST < E

0

E − ST

E − ST

ST > E

ST − E

0

ST − E

Tabelul 1.2 Payoff-ul unui straddle

payoff

P/L

E

ST p+c

0

0

E

ST Figura 1.18 Profitul sau pierderea unui straddle

Figura 1.17 Payoff-ul unui straddle

Preţul acestui portofoliu la momentul iniţial este egal cu p + c , unde c, p reprezintă prima opţiunii CALL respectiv PUT care intră în componenţa portofoliului.

19

Strangle

Strategia „strangle” se foloseşte atunci când un investitor anticipează o mişcare mare a cursului activului suport, însă nu şi direcţia acestei mişcări. Acest portofoliu este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E1 şi scadenţă T şi o poziţie LONG pe o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E 2 şi scadenţă T, unde E1 > E 2 .

Cursul

LONG CALL E1

LONG PUT E 2

TOTAL

ST < E2

0

E 2 − ST

E 2 − ST

E 2 < ST < E1

0

0

0

ST > E1

ST − E1

0

ST − E1

Tabelul 1.3 Payoff-ul unui strangle

P/L

payoff

E2

E1

ST p+c

0

E2

E1

0

ST Graficul 1.20 Profitul sau pierderea unui strangle

Graficul 1.19 Payoff-ul unui strangle

Preţul acestui portofoliu la momentul iniţial este egal cu p + c , unde c, p reprezintă prima opţiunii CALL respectiv PUT. După cum se observă în cazul unui strangle este nevoie de o variaţie mai mare a cursului decât pentru un straddle pentru a obţine payoff strict pozitiv. Insă în general preţul unui strangle este mai redus.

20

Bull Spread

Această strategie este formată dintr-o poziţie LONG pe o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E1 şi scadenţă T şi o poziţie SHORT pe o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E 2 şi scadenţă T, unde E1 < E2 .

Cursul

LONG CALL E1

SHORT CALL E 2

TOTAL

ST < E1

0

0

0

E1 < ST < E2

ST − E1

0

ST − E1

ST > E2

ST − E1

E 2 − ST

E 2 − E1

Tabelul 1.4 Payoff-ul unui bull spread

P/L

payoff

E1

ST

0

E2 c1 − c2 0

E1

E2

ST Graficul 1.22 Profitul sau pierderea unui bull spread

Graficul 1.21 Payoff-ul unui bull spread

Fiind format dintr-o poziţie long şi una short valoarea iniţială va fi egală cu c1 − c2 , unde c1 , c2 reprezintă prima opţiunii call cu preţ de exerciţiu E1 respectiv E 2 . Datorită relaţiei dintre

prima call şi preţul de exerciţiu c1 − c2 va fi pozitiv, ceea ce înseamnă că vânzătorul va primi această sumă de la cumpărător. In general această strategie nu este achiziţionată pentru a fi păstrată până la scadenţă ci pentru a fi folosită pentru speculaţii.

21

Bear Spread

Ca şi în cazul anterior această strategie este folosită pentru speculaţii. Portofoliul este formată dintr-o poziţie LONG pe o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E1 şi scadenţă T şi o poziţie SHORT pe o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E 2 şi scadenţă T, unde

E1 > E 2 .

Cursul

LONG PUT E1

SHORT PUT E 2

TOTAL

ST < E2

E1 − ST

ST − E2

E1 − E 2

E 2 < ST < E1

E1 − ST

0

E1 − ST

ST > E1

0

0

0

Tabelul 1.5 Payoff-ul unui bear spread

payoff

P/L

E1

ST

0

E2

0

E2

E1

p1 − p2

ST

Graficul 1.24 Profitul sau pierderea unui bear spread

Graficul 1.23 Payoff-ul unui bear spread

Fiind format dintr-o poziţie long şi una short valoarea iniţială va fi egală cu p1 − p 2 , unde c1 , c2 reprezintă prima opţiunii put cu preţ de exerciţiu E1 respectiv E 2 . Datorită relaţiei dintre prima put şi preţul de exerciţiu p1 − p2 va fi pozitiv, ceea ce înseamnă că vânzătorul va primi această sumă de la cumpărător.

22

Butterfly

Strategia „butterfly” se foloseşte atunci când un investitor anticipează o stagnare a cursului, dar doreşte să fie protejat şi în cazul în care se va înregistra o variaţie mare a preţului în ambele sensuri. Acest portofoliu este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E1 şi scadenţă T, o poziţie LONG pe o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E 2 şi scadenţă T şi o poziţie SHORT pe două opţiuni CALL cu preţ de exerciţiu E3 unde

E1 < E3 < E 2 şi E3 =

E1 + E2 . 2

Cursul

LONG CALL E1

LONG CALL E2

2 SHORT CALL E3

TOTAL

ST < E1

0

0

0

0

E1 < ST < E3

ST − E1

0

0

ST − E1

E3 < S T < E 2

ST − E1

0

2(E3 − ST )

E2 − ST

ST > E2

ST − E1

ST − E2

2(E3 − ST )

0

Tabelul 1.6 Payoff-ul unui butterfly

payoff

P/L

ST E2

E3

E1

0

0

E2

E3

E1

ST Graficul 1.26 Profitul sau pierderea unui buttefly

Graficul 1.25 Payoff-ul unui buttefly

23

Valoarea iniţială a acestui portofoliu este strict mai mare decât zero. Intr-adevăr dacă acest portofoliu nu ar costa nimic s-ar putea face un arbitraj deoarece payoff-ul portofoliului este întotdeauna pozitiv.

Protective put

Această strategie se foloseşte în situaţia în care investitorul deţine o poziţie LONG pe activul suport şi doreşte să se protejeze împotriva scăderii cursului activului suport. Pentru aceasta va cumpăra câte o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E pentru fiecare unitate de activ suport deţinută.

Cursul

LONG activ suport

LONG PUT

TOTAL

ST < E

ST

E − ST

E

ST > E

ST

0

ST

Tabelul 1.7 Payoff-ul unui protective put

payoff

E

0

E

ST

Figura 1.27 Payoff-ul unui protective put

O proprietate importantă a strategiei protective put este că payoff-ul său la scadenţă este mai mare decât preţul de exerciţiu al opţiunii PUT din componenţă. De exemplu dacă un investitor deţine un portofoliu format dintr-o poziţie long pe 1000 unităţi de activ suport al cărui curs este 100 u.m. şi doreşte să se protejeze împotriva scăderii

24

cursului el va cumpăra 1000 de opţiuni PUT. Să presupunem că acest investitor îşi propune ca să nu piardă mai mult de 5% din valoarea iniţială a portofoliului (100.000 u.m) în următoarele 3 luni. In acest caz concret el va trebui să cumpere opţiuni PUT cu scadenţă peste 3 luni şi cu preţ de exerciţiu 95. Această strategie (protective put) îi va asigura la scadenţa opţiunii (peste 3 luni) un payoff de cel puţin 95.000 u.m, abţinând astfel scopul propus (de a nu pierde mai mult de 5%). Bineînţeles pentru a abţine această protecţie investitorul trebuie să plătească prima opţiunilor PUT cumpărate.

Covered call

Această strategie se foloseşte în situaţia în care investitorul deţine o poziţie SHORT pe o opţiune CALL şi doreşte să se protejeze împotriva creşterii cursului activului suport. Pentru aceasta va cumpăra activul suport.

Cursul

LONG activ suport

SHORT CALL

TOTAL

ST < E

ST

0

ST

ST > E

ST

E − ST

E

Tabelul 1.8 Payoff-ul unui covered call

payoff

E

0

E

ST

Figura 1.28 Payoff-ul unui covered call

25

2. Evaluarea opţiunilor de tip european

In primul capitol am analizat proprietăţile generale ale derivativelor şi în special a opţiunilor. In continuare ne vom ocupa de evaluarea opţiunilor europene prezentând cele mai utilizate modele : modelul binomial şi modelul Black-Scholes.

2.1 Modelul binomial Modelul binomial (Cox, Ross şi Rubinstein) este un model cu timp discret, perioada până la scadenţă ( T ) împărţindu-se în mai multe perioade egale a căror lungime o vom nota cu h.

2.1.1 Modelul binomial cu o perioadă

Considerăm o opţiune europeană de tip call cu preţ de exerciţiu E cu scadenţă T . Vom nota cu c prima opţiunii la momentul iniţial.

T

0

max (0, ST − E )

c

Notăm cu S cursul activului suport la momentul iniţial. Modelul binomial presupune că după o perioadă, cursul activului suport se poate afla în două situaţii: să crească şi să devină egal cu u ⋅ S , u > 1 sau să scadă şi să devină d ⋅ S , d < 1 . 0

T=h

T u⋅S

S d ⋅S

26

In aceste condiţii vom avea că payoff-ul opţiunii poate avea două valori la scadenţă cu şi cd funcţie de cele două situaţii în care se poate afla cursul activului suport.

0

T=h

T cu = max(0, uS − E )

c

cd = max(0, dS − E )

Pentru a determina prima opţiunii vom folosi principiul arbitrajului. Considerăm un portofoliu Π format dintr-un număr N B de obligaţiuni zero-cupon fără risc cu scadentă T şi un număr N S (raport de hedging) de unităţi de activ suport. Dorim să determinăm N B şi N S astfel încât acest portofoliu să aibă la momentul T acelaşi payoff cu cel al opţiunii CALL considerate. Pentru început presupunem că activul suport este o acţiune care nu plăteşte dividende. Portofoliul poate lua două valori la momentul T :

0

T=h

T Π u = N B ⋅1 + N S ⋅ uS

Π Π d = N B ⋅1 + N S ⋅ dS Pentru ca opţiunea call şi portofoliul considerat să aibă acelaşi payoff la scadenţă (indiferent de stările naturii) trebuie ca:  N B + N S ⋅ uS = cu   N B + N S ⋅ dS = cd

Rezolvând acest sistem de ecuaţii se obţine că: cu − c d   N S = (u − d )S   N = ucd − dcu B u−d 

27

Deoarece cele două active financiare au acelaşi payoff la scadenţă ele vor avea aceeaşi valoare şi la momentul iniţial:

c=Π=

ucd − dcu −rh cu − cd e + S (u − d )S u−d

 e rh − d u − e rh  cu + cd  = e −rh  u−d  u−d 

Vom nota cu

π=

e rh − d . u−d

(2.1)

In aceste condiţii avem că: c = e − rh [π ⋅ cu + (1 − π ) ⋅ cd ]

(2.2)

Pentru a nu avea posibilitatea de a face arbitraj trebuie ca d < e rh < u . Intr-adevăr dacă am presupune că e rh > u s-ar putea obţine un arbitraj prin vânzarea activului suport şi prin investirea banilor obţinuţi în obligaţiuni zero cupon. Ca urmare a acestei relaţii dintre factorul de creştere al activului suport şi factorul de fructificare pe o perioadă se observă că 0 < π < 1 . Fiind un număr pozitiv şi subunitar, π poate fi interpretat ca probabilitatea unui eveniment. π se numeşte probabilitatea neutră la risc ca activul suport să crească în perioada considerată. In consecinţă relaţia 2.2 poate fi enunţată astfel: prima unei opţiuni este egală cu media faţă de probabilitatea neutră la risc a payoff-urilor de la scadenţă ( cu şi cd ) actualizate la momentul la care se face evaluarea. Am demonstrat astfel în cazul modelului binomial principiul evaluării neutre la risc. Exerciţiu. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 75 . Avem că u = 1,1 , d = 0,9 şi

r = 6,7658% . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu E = 75 şi scadenţă peste 1 an. Folosind

modelul binomial cu 1 perioadă să se determine structura portofoliului echivalent cu opţiunea call (care are acelaşi payoff cu opţiunea call considerată).

28

Rezolvare. Construim mai întâi arborele pentru evoluţia cursului:

82,5 75 67,5

In aceste condiţii arborele pentru opţiunea call este: cu = max(0;82,5 − 75) = 7,5 c

cd = max(0;67,5 − 75) = 0

Avem că: 7,5 − 0   N S = (1,1 − 0,9 )75 = 0,5   N = 1,1 ⋅ 0 − 0,9 ⋅ 7,5 = −33,75  B 1,1 − 0,9 Deci portofoliul echivalent este format dintr-o poziţia LONG pe 0,5 unităţi de activ suport şi o poziţie SHORT ( N B < 0 ) 33,75 o.z.c. T.

Exerciţiu. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 95 . Avem că u = 1,1 , d = 0,9 şi

r = 6,7658% . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu E = 95 şi scadenţă peste 1 an. Folosind modelul binomial cu 1 perioadă să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici. Rezolvare.

104,5

max(104,5-95;0) = 9,5

c

95

max(85,5-95;0) = 0

85,5

Arborele pentru cursul activului suport

Arborele pentru opţiunea CALL

29

Pentru a determina prima opţiunii avem nevoie de probabilitatea neutră la risc. Astfel:

π=

e 0,067658⋅1 − 0,9 = 0,85 1,1 − 0,9

Deci c = e −0, 067658⋅1 [0,85 ⋅ 9,5 + 0,15 ⋅ 0] = 7,5467

Pentru a determina valoarea primei opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici putem utiliza două metode. Prima metodă este utilizarea relaţiei de paritate PUT-CALL. Avem că: p = 7,5467 + 95e −0,067658⋅1 − 95 = 1,3318

A doua metodă este da a aplica principiul evaluării neutre la risc pentru opţiunea PUT. Arborele pentru opţiunea PUT este: pu = max(0;95 − 104,5) = 0 p pd = max(0;95 − 85,5) = 9,5

Prima opţiunii PUT va fi: 0 = e −0,067658⋅1 [0,85 ⋅ 0 + 0,15 ⋅ 9,5] = 1,3318

In continuare să analizăm cazul în care activul suport este o valută. In acest caz, notând cu r f rata instantanee a dobânzii, datorită fructificării dacă la începutul perioadei avem în portofoliu N S unităţi activ suport (valuta) la sfârşitul perioadei vom avea N S e 0

T=h

T

(

rf h

)⋅ uS

(

rf h

)⋅ dS

Π u = N B ⋅1 + N S e Π Π d = N B ⋅1 + N S e

30

rf h

unităţi:

Structura portofoliului care are acelaşi payoff cu cel al opţiunii call este în acest caz:  − r f h cu − c d  N S = e (u − d )S   N = ucd − dcu B u−d 

Pentru a determina prima opţiunii pe o valută se poate folosi in continuare principiul evaluării neutre la risc (2.2) însă probabilitatea neutră la risc este dată de:

π=

e

(r − rf )h

−d u−d

(2.3)

De asemenea dacă activul suport are o rată instantanee a dividendului egală cu q probabilitatea neutră la risc este egală cu:

π=

e ( r − q )h − d u−d

(2.4)

Exerciţiu. Rata dobânzii in SUA este rUSD = 2% , iar rata dobânzii în Marea Britanie este

rUK = 4% . Cursul de schimb GBPUSD este S = 1,9213 . Considerăm u = 1,05 , d = 0,95 . Fie o opţiune de cumpărare (CALL) de GBP cu preţ de exerciţiu E = 1,94 şi scadenţă peste 1 an. Folosind modelul binomial cu 1 perioadă să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

Rezolvare.

2,0174

0,0774

c

1,9213

0

1,8252

Arborele pentru cursul valutar

Arborele pentru opţiunea CALL

Activul suport este GBP, r = rUSA = 2% , iar r f = rUK = 4% Probabilitatea neutră la risc este:

π=

e (0,02−0, 04 )⋅⋅1 − 0,95 = 0,302 1,05 − 0,95

31

Deci c = e −0, 02⋅1 [π ⋅ 0,0774 + (1 − π ) ⋅ 0] = 0,0229 USD

Pentru a determina valoarea primei opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici vom utiliza relaţia de paritate PUT-CALL pentru opţiuni pe valută. Avem că: p = 0,0229 + 1,94e −0,02⋅1 − 1,9213e −0,04⋅1 = 0,0785 USD

2.1.2 Modelul binomial cu două perioade

In acest caz se presupune că perioada până la scadenţă ( T ) este împărţită în două perioade egale având lungimea h =

T . 2

Arborele pentru cursul activului suport este: 0

T 2

h

T

h

u2 ⋅ S u⋅S ud ⋅ S

S d ⋅S

d2 ⋅S

Pentru opţiunea CALL vom avea: 0

h

T 2

h

T

(

cuu = max 0, u 2 ⋅ S − E

)

cu cud = max(0, ud ⋅ S − E )

S

cd

(

cdd = max 0, d 2 ⋅ S − E

32

)

Vom aplica iterativ formula obţinută în cazul modelului cu o perioadă (2.2) folosind probabilitatea neutră la risc 2.1, 2.3 sau 2.4 funcţie de tipul activului suport. Astfel cu o perioadă înainte de scadenţă avem: cu = e − rh [π ⋅ cuu + (1 − π ) ⋅ cud ] cd = e − rh [π ⋅ cud + (1 − π ) ⋅ cdd ] La momentul iniţial avem că: c = e − rh [π ⋅ cu + (1 − π ) ⋅ cd ]

Înlocuind obţinem prima opţiunii CALL funcţie de payoff-urile de la scadenţă:

[

c = e − rT π 2 ⋅ cuu + 2π (1 − π ) ⋅ cud + (1 − π ) ⋅ cdd 2

]

(2.5)

De asemenea modelul binomial se poate extinde la mai multe perioade, determinarea primei iniţiale a opţiunii făcându-se, ca şi în cazul cu 2 perioade, prin aplicarea succesivă a principiului evaluării neutre la risc. Exerciţiu. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 100 . Avem că u = 1,05 ,

d = 0,95 şi r = 5,912% . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu E = 102 şi scadenţă peste 1 an. Folosind modelul binomial cu 2 perioade să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

Rezolvare.

Arborele cursului activului suport este: 110,25 105 100

99,75 95 90,25

33

Arborele opţiunii call:

cuu = max(0;110,25 − 102 ) = 8,25 cu cud = max(0;99,75 − 102 ) = 0

c

cd cdd = max(0;90,25 − 102 ) = 0

Activul suport este o acţiune care nu plăteşte dividende, deci probabilitatea neutră la risc se va calcula folosind relaţia 2.1:

π=

e 0,05918⋅0,5 − 0,95 = 0,8 1,05 − 0,95

Avem

cu = e −0,05912⋅0,5 [0,8 ⋅ 8,25 + 0,2 ⋅ 0] = 6,4079 cd = e −0, 05912⋅0,5 [0,8 ⋅ 0 + 0,2 ⋅ 0] = 0 iar: c = e −0,05912⋅0,5 [0,8 ⋅ 6,4079 + 0,2 ⋅ 0] = 4,977

Pentru a determina valoarea primei opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici vom utiliza relaţia de paritate PUT-CALL. Avem că: p = 4,977 + 102e −0, 05912⋅1 − 100 = 1,1216

Exerciţiu. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 100 . Avem că u = 1,1 , d = 0,9 şi

r = 6,7658% . Fie o opţiune put cu preţ de exerciţiu E = 105 şi scadenţă peste 3 ani. Folosind modelul binomial cu 3 perioade să se determine prima opţiunii PUT. De asemenea să se determine prima opţiunii CALL cu aceleaşi caracteristici.

Rezolvare.

34

Arborele cursului activului suport este:

133,1 121 108,9

110 99

100

89,1

90 81

72,9

Arborele pentru opţiunea put:

puuu = max(0;110 − 133,1) = 0 puu

puud = max(0;110 − 108,9 ) = 1,1

pu pud

p

pudd = max(0;110 − 89,1) = 20,9

pd pdd

pddd = max(0;110 − 72,9 ) = 37,1

Probabilitatea neutră la risc este:

π=

e 0,067658⋅1 − 0,9 = 0,85 1,1 − 0,9

Avem

puu = e −0, 067658⋅1 [0,85 ⋅ 0 + 0,15 ⋅1,1] = 0,1542 pud = e −0, 067658⋅1 [0,85 ⋅ 1,1 + 0,15 ⋅ 20,9] = 3,8038 pdd = e −0,067658⋅1 [0,85 ⋅ 20,9 + 0,15 ⋅ 37,1] = 21,8038 iar:

pu = e −0,067658⋅1 [0,85 ⋅ 0,1542 + 0,15 ⋅ 3,8038] = 0,6558

35

pd = e −0,067658⋅1 [0,85 ⋅ 3,8038 + 0,15 ⋅ 21,8038] = 6,0784 şi deci p = e−0,067658⋅1[0,85 ⋅ 0,6558 + 0,15 ⋅ 6,0784] = 1,3731

Pentru a determina valoarea primei opţiunii CALL cu aceleaşi caracteristici vom utiliza relaţia de paritate PUT-CALL. Avem că: c = 1,3731 + 100 − 110e −0, 067658⋅3 = 11,5801

Exerciţiu. Rata dobânzii in SUA este rUSD = 2% , iar rata dobânzii în Marea Britanie este

rUK = 4% . Cursul de schimb GBPUSD este S = 1,92 . Considerăm u = 1,05 , d = 0,95 . Fie o opţiune de cumpărare (CALL) de GBP cu preţ de exerciţiu E = 1,94 şi scadenţă peste 2 ani. Folosind modelul binomial cu 2 perioade să se determine prima opţiunii CALL. Rezolvare. Arborele cursului activului suport este: 2,1168 2,016 1,92

1,9152 1,824 1,7328

Arborele opţiunii call:

cuu = max(0;2,1168 − 1,94 ) = 0,1768 cu cud = max(0;1,9152 − 1,94 ) = 0

c

cd cdd = max(0;1,7328 − 1,94 ) = 0

36

Activul suport este o valută, deci probabilitatea neutră la risc se va calcula folosind relaţia 2.3:

π=

e (0, 02−0,04 )⋅1 − 0,95 = 0,302 1,05 − 0,95

Avem

cu = e −0, 02⋅1 [π ⋅ 0,1768 + (1 − π ) ⋅ 0] = 0,0523 cd = e −0, 02⋅1 [π ⋅ 0 + (1 − π ) ⋅ 0] = 0 iar: c = e −0, 02⋅1 [π ⋅ 0,0523 + (1 − π ) ⋅ 0] = 0,0155 USD

Folosind relaţia de paritate PUT-CALL avem că prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici este: p = 0,0155 + 1,94e −0,02⋅2 − 1,92e −0,04⋅2 = 0,107

Probleme propuse.

1. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 80 . Avem că u = 1,05 , d = 0,95 şi r = 10% . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu E = 80 şi scadenţă peste 6 luni. Folosind

modelul binomial cu 2 perioade să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici. (R: c = 4,4245, p = 0,5228 )

2. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 100 . Avem că u = 1,2 , d = 0,8 şi r = 5% . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu E = 100 şi scadenţă peste 3 ani. Folosind modelul binomial cu 3 perioade să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici. (R: c = 21,2909, p = 7,3617 )

3. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 95 . Avem că u = 1,1 , d = 0,9 şi r = 5% . Fie o opţiune put cu preţ de exerciţiu E = 100 şi scadenţă peste 3 ani. Folosind modelul binomial cu 3 perioade să se determine prima opţiunii PUT. De asemenea să se determine prima opţiunii CALL cu aceleaşi caracteristici. (R: p = 2,1629, c = 11,0921 )

37

4. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 100 . Avem că u = 1,05 , d = 0,95 şi r = 5% . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu E = 100 şi scadenţă peste 5 ani. Folosind

modelul binomial cu 10 perioade să se determine prima opţiunii CALL peste 3,5 ani (7 perioade) dacă cursul activului suport a înregistrat 3 creşteri şi 4 scăderi. De asemenea să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici. (R: c = 11,7476, p = 0,3075 )

5. Rata dobânzii in SUA este rUSD = 2% , iar rata dobânzii în Marea Britanie este rUK = 3% . Cursul de schimb GBPUSD este S = 1,90 . Considerăm u = 1,05 , d = 0,95 . Fie o opţiune de cumpărare (CALL) de GBP cu preţ de exerciţiu E = 1,92 şi scadenţă peste 2 ani. Folosind modelul binomial cu 2 perioade să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici. (R: c = 0,0269; p = 0,0823 )

2.2 Modelul Black-Scholes 2.2.1 Noţiuni introductive

Modelul Black-Scholes presupune următoarele ipoteze: •

tranzacţionarea are loc în mod continuu (model cu timp continuu)

•

rentabilitatea activului suport are o distribuţie normală

•

activul suport nu generează dividend pe perioada de existenţă a opţiunii

•

rata dobânzii este constantă

•

volatilitatea anuală a cursului suport (măsurată prin abaterea medie pătratică a rentabilităţilor anuale) este constantă

Ipoteza de bază a modelului Black-Scholes este că rentabilitatea activului suport este distribuită normal. Mai exact, rentabilitatea pe perioada (t , t + ∆t ) are o distribuţie normală cu medie µ ⋅ ∆t şi dispersie σ ⋅ ∆t , unde µ reprezintă rentabilitatea medie anuală, iar σ este volatilitatea anuală a activului suport:

38

S t + ∆t − S t ~ normal µ ⋅ ∆t ,σ ⋅ ∆t St

(

)

Folosind proprietăţile mediei şi dispersiei putem scrie că:

S t + ∆t − S t = µ ⋅ ∆t + σ ⋅ ∆t ⋅ ε St

(2.6)

unde ε are o distribuţie normală standard (i.e. ε ~ normal (0,1) ).

Figura 2.1 prezintă densitatea de repartiţie a distribuţiei normale standard. Se observă că aceasta este simetrică (în jurul lui zero). Funcţia de repartiţie a distribuţiei normale standard, N (d ) , reprezintă probabilitatea ca ε să ia valori mai mici decât d şi este aria de sub graficul

densităţii de repartiţie de la − ∞ la d . Valorile acestei funcţii nu pot fi calculate analitic, ci numai folosind metode numerice (vezi Anexa I pentru valorile lui N (d ) ).

N (d )

d

0 Figura 2.1. Repartiţia normală standard

O altă ipoteză a modelului este tranzacţionarea continuă. De aceea este nevoie de o ecuaţie de evoluţie pe un interval mic de timp ( dt ) a cursului activului suport. Dacă notăm cu

dS t modificarea cursului în intervalul (t , t + dt ) putem rescrie 2.6 astfel: dS t = µ dt + σ dzt St

(

)

unde dz t ~ normal 0, dt .

39

Rezultă că ecuaţia de dinamică în cazul modelului Black-Scholes este:

dS t = µS t dt + σS t dzt

(2.7)

Plecând de la dinamica cursului activului suport (2.7), ne interesează cum evoluează in timp o funcţie care depinde de cursul activului suport. Acest lucru este dat de lema lui Ito care spune că dacă avem o funcţie f (t , S t ) dinamica acestei este:

 ∂f ∂f 1 2 2 ∂ 2 f df (t , S t ) =  + µS t + σ St ∂S 2 ∂S 2  ∂t

 ∂f   dt +  σS t dzt ∂S   

(2.8)

Dacă aplicăm lema lui Ito pentru funcţia f (t , S ) = ln S obţinem că (

∂f ∂f 1 = ; = 0; ∂S S ∂t

1 ∂2 f = − 2 ): 2 ∂S S 1   d ln S t =  µ − σ 2 dt + σdzt 2   Din relaţia de mai sus rezultă că:   1   ln ST ~ normal  ln S 0 +  µ − σ 2 T ,σ T  2    

(2.9)

sau altfel spus cursul la momentul T al activului suport, in cazul modelului BlackScholes, este distribuit lognormal (i.e. ln ST este distribuit normal ca in 2.9)

2.2.2 Ecuaţia de evaluare a unui derivativ

In continuare vom determina o ecuaţie cu derivate parţiale care trebuie verificată de preţul oricărui derivativ pe un activ suport. Considerăm un derivativ cu payoff la scadenţă ( T ) care depinde de cursul activului suport la scadenţă (i.e. payoff = F (ST ) ). Vom nota cu Dt valoarea acestui derivativ la momentul t . Evident că valoarea acestui derivativ depinde de timp şi de cursul activului suport. Deci putem scrie Dt = D(t , S t ) . Considerăm un portofoliu Π format dintr-o poziţie SHORT pe derivativ şi un număr N S de unităţi de activ suport: Π t = − Dt + N S S t

40

Vrem să aflăm structura astfel încât portofoliu să fie fără risc. Folosind lema lui Ito obţinem că variaţia valorii portofoliului este: dΠ t = −dDt + N S dS t  ∂D = −  + µS  ∂t   ∂D = −  + µS   ∂t

 ∂D 1 2 2 ∂ 2 D  ∂D + σ S + σ dt S dz t  + N S (µ S dt + σ S dz t ) ∂S 2 ∂S ∂S 2     ∂D 1 2 2 ∂ 2 D  ∂D   + σ S S N dzt + µ S  dt + σ S  N S − 2  ∂S 2 ∂S  ∂S   

Pentru ca Π să fie portofoliu fără risc trebuie ca ∂D NS = ∂S Deoarece nu există posibilităţi de arbitraj trebuie ca portofoliul fără risc Π să aibă rentabilitatea egală cu rata dobânzii fără risc (i.e. dΠ = rΠdt ). Avem că:   ∂D 1 2 2 ∂ 2 D   dt = r  − D + ∂D S dt + σ S −  2  ∂S  ∂S     ∂t 2 Din relaţia de mai sus rezultă ecuaţia de evaluare a unui derivativ în cazul modelului Black-Scholes:  ∂D ∂D 1 2 2 ∂ 2 D + rS + σ S = rD  ∂S 2 ∂S 2  ∂t  D(T , S ) = payoff = F (S ) 

(2.10)

Exerciţiu. Se consideră un derivativ cu payoff la momentul T egal cu F (ST ) = ST . Să 2

se arate că preţul acestui derivativ la momentul t este S 2 e (σ

2

)

+ r (T −t )

.

Rezolvare Notăm cu D(t , S ) = S 2 e (σ

2

)

+ r (T −t )

. Se observă că D(t , S ) verifică 2.10 şi deci reprezintă

preţul derivativului cu payoff F (ST ) = ST la momentul t. 2

2.2.3 Formula Black-Scholes

Pentru a determina prima unei opţiuni CALL cu preţ de exerciţiu E şi scadenţă T trebuie rezolvată ecuaţia 2.10 cu condiţia limită D(T , S ) = max(S − E ,0 ) . Soluţia poartă numele de formula Black-Scholes de evaluare a unei opţiuni CALL.

41

Pentru început considerăm că activul suport este o acţiune care nu plăteşte dividend. Fie c(t , T ) prima la momentul t a unei opţiuni CALL de tip european cu scadenţă T. Preţul de exerciţiu este E , iar cursul activului suport la momentul t este S . Se poate arăta că: c(t , T ) = S ⋅ N (d1 ) − Ee − r (T −t ) N (d 2 )

(2.11)

unde ln d1 =

S  σ2  (T − t ) + r + E  2 

σ T −t

d 2 = d1 − σ T − t iar cu N (d ) s-a notat funcţia de repartiţie a distribuţiei normale standard. Valoarea acestei funcţii este tabelată (vezi Anexa I).

Prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici poate fi obţinută din relaţia de paritate sau folosind următoarea formulă: p(t , T ) = Ee − r (T −t ) N (− d 2 ) − S ⋅ N (− d1 )

(2.12)

Exerciţiu. Rata dobânzii este r = 10% . Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 100

şi cu volatilitate anuală σ = 25% . Să se determine prima unei opţiuni CALL cu preţ de exerciţiu E = 95 şi scadenţă peste 9 luni ( T − t = 0,75 ). De asemenea să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

Rezolvare: Vom aplica modelul Black-Scholes.

ln d1 =

100  0,252  0,75 +  0,1 + 95  2  0,25 0,75

= 0,6916

d 2 = 0,6916 − 0,25 0,75 = 0,4751

42

Din tabelul pentru distribuţia normală se obţine că

N (0,6916 ) = 0,7554 , iar

N (0,4751) = 0,6826

Deci: c(t , T ) = 100 ⋅ 0,7554 − 95e −0,1⋅0, 75 0,6826 = 15,3757 Pentru a determina prima opţiunii PUT se aplică relaţia de paritate: p(t , T ) = 15,3757 + 95e −0,1⋅0, 75 − 100 = 3,5113

In continuare considerăm că activul suport este o valută. Vom nota cu S cursul valutar la momentul t exprimat astfel: 1 unitate valuta straina (activul suport) = S unitati de valuta interna Cazul opţiunilor pe valute nu se încadrează în modelul Black-Scholes clasic deoarece este încălcată una din ipotezele sale (deţinerea unei unităţi din valuta străină generează venituri pe parcurs datorită dobânzii la valuta străină). Fie r f rata instantanee a dobânzii în ţara de provenienţă a valutei străine. Se poate arăta că în acest caz: c(t , T ) = Se

− r f (T −t )

N (d1 ) − Ee − r (T −t ) N (d 2 )

(2.13)

unde ln d1 =

S  σ2  (T − t ) +  r − r f + 2  E  σ T −t

d 2 = d1 − σ T − t

De asemenea se poate arăta că în cazul în care activul suport are o rată instantanee a dividendului egală cu q prima unei opţiuni CALL este:

c(t , T ) = Se − q (T −t ) N (d1 ) − Ee − r (T −t ) N (d 2 ) unde ln d1 =

S  σ2  (T − t ) +  r − q + E  2 

σ T −t

d 2 = d1 − σ T − t

43

(2.14)

Exerciţiu. Rata dobânzii in SUA este rUSD = 2% , iar rata dobânzii în Marea Britanie este

rUK = 4% . Cursul de schimb GBPUSD este 1,9213. Volatilitatea cursului de schimb este

σ = 20% . Se consideră o opţiune de cumpărare (CALL) de GBP la preţul de exerciţiu 1,95 şi scadenţă peste 6 luni. Să se determine prima acestei opţiuni precum şi prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici. Rezolvare. Activul suport al opţiunii este GBP. Avem că S = 1,9213 (1 GBP = 1,1213 USD), E = 1,95 , r = rUSD = 2% şi r f = rUK = 4% . ln d1 =

1,9213  0,2 2  0,5 +  0,02 − 0,04 + 1,95  2  0,2 0,5

= -0,1048

d 2 = -0,1048 − 0,2 0,5 = -0,2463

Din tabelul pentru distribuţia normală se obţine că

N (- 0,1048) = 0,4582 , iar

N (- 0,2463) = 0,4027

Deci: c(t , T ) = 1,9213e −0, 04⋅0,5 ⋅ 0,4582 − 1,95e −0, 02⋅0,5 0,4027 = 0,0855 USD Folosind relaţia de paritate pentru opţiuni pe valute, avem că prima PUT este: p(t , T ) = 0,0855 + 1,95e −0,02⋅0,5 − 1,9213e −0, 04⋅0,5 = 0,1328 USD

Exerciţiu. Rata dobânzii in SUA este rUSD = 2% , iar rata dobânzii în Marea Britanie este

rUK = 4% . Cursul de schimb GBPUSD este 1,9213. Volatilitatea cursului de schimb este

σ = 20% . Se consideră o opţiune de cumpărare (CALL) de USD la preţul de exerciţiu 1,95 şi scadenţă peste 6 luni. Să se determine prima acestei opţiuni precum şi prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici. Rezolvare. Activul suport al opţiunii este USD. Avem că S = GBP), E = 0,5128 , r = rUK = 4% şi rf = rUSD = 2% .

44

1 = 0,5205 (1 USD = 0,5205 1,9213

ln d1 =

0,5205  0,2 2  0,5 +  0,04 − 0,02 + 0,5128  2  0,2 0,5

= 0,2468

d 2 = 0,2468 − 0,2 0,5 = 0,1054

N (0,2468) = 0,5975 , iar

Din tabelul pentru distribuţia normală se obţine că N (0,1054 ) = 0,542

Deci: c(t , T ) = 0,5205e −0,02⋅0,5 ⋅ 0,5975 − 0,5128e −0,04⋅0,5 0,542 = 0,0355 GBP Folosind relaţia de paritate pentru opţiuni pe valute, avem că prima PUT este: p(t , T ) = 0,0355 + 0,5128e −0,04⋅0,5 − 0,5205e −0,02⋅0,5 = 0,0228 GBP

Probleme propuse.

1. Rata dobânzii este r = 8% . Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 97 şi cu volatilitate anuală σ = 20% . Să se determine prima unei opţiuni CALL cu preţ de exerciţiu E = 95 şi scadenţă peste 6 luni. De asemenea să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici. (R: c = 8,6518, p = 2,9268 ) 2. Rata dobânzii este r = 7% . Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 100 şi cu volatilitate anuală σ = 20% . Se consideră un SRADDLE cu preţ de exerciţiu E = 95 şi scadenţă peste 6 luni (SRADDLE = LONG CALL + LONG PUT). Să se

determine preţul acestui portofoliu. (R: 12,7555 ) 3. Rata dobânzii in SUA este rUSD = 2% , iar rata dobânzii în Marea Britanie este rUK = 3% . Cursul de schimb GBPUSD este 1,92. Volatilitatea cursului de schimb este σ = 15% . Se consideră o opţiune de cumpărare (CALL) de GBP la preţul de exerciţiu 1,94 şi scadenţă peste 6 luni. Să se determine prima acestei opţiuni precum şi prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici. (R: c = 0,0668, p = 0,0960 ) 4. Se consideră un derivativ cu payoff la momentul T egal cu F (ST ) = ST . Să se arate 3

că preţul acestui derivativ la momentul t este S 3 e (3σ

45

2

)

+ 2 r (T −t )

.

3 Indicatori de senzitivitate şi utilizarea acestora în hedging 3.1 Indicatori de senzitivitate

Indicatorii de senzitivitate arată cu cât se modifică valoarea unui derivativ in special al unei opţiuni sau portofoliu de opţiuni dacă se modifică unul din factorii de influenţă. Cei mai cunoscuţi indicatorii sunt DELTA ( ∆ ), GAMMA ( Γ ) şi VEGA ( υ ).

3.1.1 Indicatorii DELTA şi GAMMA

Indicatorul DELTA arată modificarea valorii unei opţiuni dacă cursul activului suport

se modifică cu 1 unitate. Folosind modelul Black-Scholes avem că indicatorul DELTA al unei opţiuni CALL pe un activ care nu plăteşte dividend este: DELTAC =

∂C = N (d1 ) > 0 ∂S

(3.1)

iar pentru o opţiune CALL pe valută este: DELTAC =

∂C − r (T −t ) =e f N (d1 ) > 0 ∂S

(3.2)

Pentru a determina indicatorul DELTA al unei opţiuni PUT derivăm relaţia de paritate PUT-CALL în funcţie de S . Astfel pentru o opţiune pe un activ fără dividend: DELTAP = DELTAC − 1 < 0

(3.3)

iar pentru o opţiune pe valută: DELTAP = DELTAC − e

− r f (T −t )

E )

46

Delta 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

6 luni

3 luni

1 luna

150

145

140

135

130

125

120

115

110

105

100

95

90

85

80

75

70

65

60

55

50

0

1 saptamina

Graficul 3.1 Evoluţia indicatorului DELTA pentru o opţiune CALL funcţie de cursul activului suport şi diferite durate până la scadenţă

Graficul 3.1 prezintă evoluţia indicatorului DELTA al unei opţiuni CALL pe un activ fără dividend cu preţ de exerciţiu E = 100 în funcţie de cursul activului suport ( S ) şi diferite durate până la scadenţă. Se observă că indicatorul DELTA creşte dacă cursul activului creşte. Intr-adevăr fiind vorba de o opţiune CALL cu cât cursul este mai mare decât preţul de exerciţiu cu atât creşte probabilitatea ca această opţiune să fie in-the-money la scadenţă şi ca urmare şi indicatorul DELTA este mai mare. Dacă cursul activului suport este mai mic decât preţul de exerciţiu probabilitatea ca opţiunea să fie in-the-money la scadenţă (deci ca preţul activului suport să crească peste E ) este mai mare cu 6 luni înainte de scadenţă decât cu 1 lună înainte de scadenţă. Ca urmare pentru acelaşi curs (mai mic decât E ) indicatorul DELTA calculat cu 6 luni înainte de scadenţă este mai mare decât cel calculat cu 1 lună înainte de scadenţă. Dacă cursul activului suport este mai mare decât preţul de exerciţiu probabilitatea ca opţiunea să fie in-the-money la scadenţă (deci ca preţul activului suport să nu scadă peste E ) este mai mică cu 6 luni înainte de scadenţă decât cu 1 lună înainte de scadenţă. Ca urmare pentru acelaşi curs (mai mare decât E ) indicatorul DELTA calculat cu 6 luni înainte de scadenţă este mai mic decât cel calculat cu 1 lună înainte de scadenţă.

47

Indicatorul GAMMA arată cu cât se modifică indicatorul DELTA dacă cursul activului

suport se modifică cu 1 unitate. Indicatorul GAMMA al unei opţiuni CALL pe un activ care nu plăteşte dividend este: GAMMAC =

∂DELTAC ∂ 2C 1 = 2 = ∂S ∂S Sσ T − t

 d2 1 exp − 1  2π  2 

(3.6)

iar pentru o opţiune CALL pe valută este: GAMMAC =

∂DELTAC ∂ 2C 1 − r (T −t ) = 2 =e f ∂S ∂S Sσ T − t

 d2 1 exp − 1  2π  2 

(3.7)

Pentru a determina indicatorul DELTA al unei opţiuni PUT derivăm relaţia de paritate PUT-CALL de două ori în funcţie de S . Astfel atât pentru o opţiune pe un activ fără dividend cât şi pentru opţiunile pe valută avem că: GAMMAP = GAMMAC

(3.8)

Aproximarea 3.5 poate fi folosită în general pentru modificări mici ale activului suport. Pentru modificări mai mari trebuie să folosim aproximarea Taylor cu doi termeni. Astfel modificarea valorii unei opţiuni CALL se poate exprima în funcţie de indicatorul DELTA şi GAMMA astfel: C1 − C0 ≈ DELTAC ⋅ (S1 − S 0 ) +

1 2 GAMMAC ⋅ (S1 − S 0 ) 2

(3.9)

Graficul 3.2 prezintă evoluţia indicatorului DELTA al unei opţiuni CALL pe un activ fără dividend cu preţ de exerciţiu E = 100 în funcţie de cursul activului suport ( S ) şi diferite durate până la scadenţă. După cum se observă indicatorul DELTA este foarte senzitiv (GAMMA mare) dacă cursul activului suport este în jurul preţului de exerciţiu, senzitivitatea acestui fiind mai redusă (GAMMA mic) dacă preţul activului suport este mai departe (în ambele direcţii) faţă de preţul de exerciţiu. De asemenea pe măsură ce ne apropiem de scadenţă creşte senzitivitatea indicatorului DELTA faţă de cursul activului suport, dacă acesta este în jurul preţului de exerciţiu.

48

Gamma 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

6 luni

3 luni

1 luna

150

145

140

135

130

125

120

115

110

105

100

95

90

85

80

75

70

65

60

55

50

0

1 saptamina

Graficul 3.2 Evoluţia indicatorului GAMMA pentru o opţiune CALL funcţie de cursul activului suport şi diferite durate până la scadenţă

Acest lucru se explică prin faptul că dacă cursul activului suport este în jurul preţului de exerciţiu probabilitatea ca opţiunea să fie in-the-money la scadenţă variază foarte mult la modificări ale cursului. Aceste modificări sunt din ce în ce mai mari când opţiunea se apropie de scadenţă.

3.1.2 Indicatorul VEGA

Indicatorul VEGA arată modificarea valorii unei opţiuni dacă volatilitatea activului suport se modifică cu 1 punct procentual. Indicatorul GAMMA al unei opţiuni CALL pe un activ care nu plăteşte dividend este: VEGAC =

∂C = S T −t ∂σ

 d2 1 exp − 1  2π  2 

(3.10)

iar pentru o opţiune CALL pe valută este: VEGAC =

∂C − r (T −t ) =e f S T −t ∂σ

49

 d2 1 exp − 1  2π  2 

(3.11)

Pentru a determina indicatorul DELTA al unei opţiuni PUT derivăm relaţia de paritate PUT-CALL în funcţie de σ . Astfel atât pentru o opţiune pe un activ fără dividend cât şi pentru opţiunile pe valută avem că: VEGAP = VEGAC

(3.12)

Folosind aproximarea Taylor obţinem că modificarea valorii unei opţiuni CALL se poate exprima în funcţie de indicatorul VEGA astfel: C1 − C0 ≈ VEGAC ⋅ (σ 1 − σ 0 )

(3.13)

Vega 30

25

20

15

10

5

6 luni

3 luni

1 luna

150

145

140

135

130

125

120

115

110

105

100

95

90

85

80

75

70

65

60

55

50

0

1 saptamina

Graficul 3.3 Evoluţia indicatorului VEGA pentru o opţiune CALL funcţie de cursul activului suport şi diferite durate până la scadenţă

Graficul 3.3prezintă evoluţia indicatorului VEGA unei opţiuni CALL pe un activ fără dividend cu preţ de exerciţiu E = 100 în funcţie de cursul activului suport ( S ) şi diferite durate până la scadenţă. Creşterea volatilităţii şi deci creşterea posibilităţii de variaţie a cursului activului suport are un impact mare asupra valorii opţiunii dacă ne situăm la o distanţă mai mare de scadenţă şi pentru curs in jurul preţului de exerciţiu.

50

3.1.3 Indicatorii de senzitivitate pentru un portofoliu. Fie un portofoliu ( Π ) de derivative care au acelaşi activ suport format din N poziţii . Fie ni mărimea poziţiei i ( ni > 0 dacă este o poziţie LONG, respectiv ni < 0 dacă este o poziţie SHORT) şi DELTAi , GAMMAi ,VEGAi indicatorii componentei i . Indicatorii portofoliului se calculează astfel: N

DELTAΠ = ∑ ni ⋅ DELTAi i =1 N

GAMMAΠ = ∑ ni ⋅ GAMMAi

(3.14)

i =1 N

VEGAΠ = ∑ ni ⋅ VEGAi i =1

Modificarea valorii portofoliului la modificarea cursului activului suport poate fi aproximată astfel 1 2

Π 1 − Π 0 ≈ DELTAΠ ⋅ (S1 − S 0 ) + GAMMAΠ ⋅ (S1 − S 0 )2

(3.15)

iar modificarea faţă de volatilitate:

Π 1 − Π 0 ≈ VEGAΠ ⋅ (σ 1 − σ 0 )

(3.16)

Modificarea valorii portofoliului la modificarea ambilor factori de influenţă este dată de: 1 2

Π 1 − Π 0 ≈ DELTAΠ ⋅ (S1 − S 0 ) + GAMMAΠ ⋅ (S1 − S 0 )2 + VEGAΠ ⋅ (σ 1 − σ 0 )

(3.17)

3.2 Hedging static Spunem că un portofoliu ( Π ) este DELTA-neutru dacă DELTAΠ = 0 . In aceste condiţii valoarea portofoliului rămâne nemodificată dacă au loc variaţii mici ale cursului activului suport. Din relaţia 3.15 rezultă că pentru variaţii mai mari ale cursului activului suport variaţia valorii unui portofoliului DELTA-neutru este: 1 2

Π 1 − Π 0 ≈ GAMMAΠ ⋅ (S1 − S 0 )2

51

Dacă acest portofoliu are indicatorul GAMMA negativ rezultă că valoarea sa se va reduce indiferent de sensul modificării cursului activului suport. Astfel deşi portofoliul este DELTA-neutru (nemodificăndu-se pentru variaţii mici ale lui S ) valoarea acestuia scade dacă au loc modificări mai mari ale cursului activului suport. Pentru

a proteja portofoliul faţă de modificările mai mari ale cursului activului suport se apelează la DELTA-GAMMA hedging. Spunem că un portofoliu ( Π ) este DELTA-GAMMA-neutru dacă DELTAΠ = 0 şi GAMMAΠ = 0 .

Pentru a proteja portofoliul şi faţă de modificarea volatilităţii cursului activului suport se foloseşte DELTA-GAMMA-VEGA hedging. Un portofoliu ( Π ) este DELTA-GAMMAVEGA neutru dacă DELTAΠ = 0 , GAMMAΠ = 0 şi VEGAΠ = 0 .

Exerciţiu. Fie un portofoliu de opţiuni pe acelaşi activ suport cu următoarea componenţă: POZITIE

DELTA

GAMMA

VEGA

SHORT 1000 optiuni CALL

0,4

2

3

SHORT 2000 optiuni PUT

-0,5

1,5

2,5

Se mai consideră o opţiune A care are DELTA = 0,6; GAMMA = 0,5 şi VEGA = 2 şi o opţiune B cu DELTA = 0,5; GAMMA = 0,8 şi VEGA = 1,2. a) Folosind activul suport să se construiască un portofoliu DELTA-neutru b) Folosind activul suport şi opţiunea A să se construiască un portofoliu DELTAGAMMA – neutru c) Folosind activul suport şi opţiunea A să se construiască un portofoliu DELTAVEGA – neutru d) Folosind activul suport, opţiunea A şi opţiunea B să se construiască un portofoliu DELTA-GAMMA-VEGA – neutru

Rezolvare

a) Indicatorul DELTA al portofoliului iniţial este: DELTAΠ = (−1000) ⋅ 0,4 + (−2000) ⋅ (−0,5) = 600

Construim un nou portofoliu ( Π ′ ) format din vechiul portofoliu şi o poziţie ( n3 ) pe activul suport.

52

Avem că: DELTAΠ ′ = DELTAΠ + n3 ⋅1

Dorim ca noul portofoliu să fie DELTA-neutru. Deci DELTAΠ ′ = 0 . Rezultă că: 0 = 600 + n3 ⇒ n3 = −600 Deci trebuie să introducem o poziţie SHORT pe 600 unităţi de activ suport.

b) Indicatorul GAMMA al portofoliului iniţial este: GAMMAΠ = (−1000) ⋅ 2 + (−2000) ⋅1,5 = −5000

Construim un nou portofoliu ( Π ′ ) format din vechiul portofoliu şi o poziţie ( n3 ) pe activul suport şi o poziţie ( n4 ) pe opţiunea A. Avem că: DELTAΠ ′ = DELTAΠ + n3 ⋅1 + n4 ⋅ 0,6 GAMMAΠ ′ = GAMMAΠ + n3 ⋅ 0 + n4 ⋅ 0,5

Dorim ca noul portofoliu să fie DELTA-GAMMA-neutru. Deci DELTAΠ ′ = 0 şi GAMMAΠ ′ = 0 . Rezultă că:

0 = 600 + n3 + n4 ⋅ 0,6 n4 = 10000 ⇒  0 = −5000 + n4 ⋅ 0,5 n3 = −6600 Trebuie deci să introducem o poziţie SHORT pe 6600 unităţi de activ suport şi o poziţie LONG pe 10000 opţiuni de tip A.

c) Indicatorul VEGA al portofoliului iniţial este: VEGAΠ = (−1000) ⋅ 3 + (−2000) ⋅ 2,5 = −8000

Noul portofoliu ( Π ′ ) format din vechiul portofoliu şi o poziţie ( n3 ) pe activul suport şi o poziţie ( n4 ) pe opţiunea A are: DELTAΠ ′ = DELTAΠ + n3 ⋅1 + n4 ⋅ 0,6 VEGAΠ ′ = VEGAΠ + n3 ⋅ 0 + n4 ⋅ 2

Dorim ca noul portofoliu să fie DELTA-VEGA-neutru. Deci DELTAΠ ′ = 0 şi VEGAΠ ′ = 0 . Avem că:

0 = 600 + n3 + n4 ⋅ 0,6 n4 = 4000 ⇒  0 = −8000 + n4 ⋅ 2 n3 = −3000

53

d) Noul portofoliu ( Π ′ ) este format din vechiul portofoliu , o poziţie ( n3 ) pe activul suport , o poziţie ( n4 ) pe opţiunea A şi o poziţie ( n5 ) pe opţiunea B. DELTAΠ ′ = DELTAΠ + n3 ⋅1 + n4 ⋅ 0,6 + n5 ⋅ 0,5 GAMMAΠ ′ = GAMMAΠ + n3 ⋅ 0 + n4 ⋅ 0,5 + n5 ⋅ 0,8 VEGAΠ ′ = VEGAΠ + n3 ⋅ 0 + n4 ⋅ 2 + n5 ⋅1,2

Dorim ca noul portofoliu să fie DELTA-GAMMA-VEGA-neutru. Deci DELTAΠ ′ = 0 , GAMMAΠ ′ = 0 şi VEGAΠ ′ = 0 . Avem că:

0 = 600 + n3 + n4 ⋅ 0,6 + n5 ⋅ 0,5 n5 = 6000   0 = −5000 + n4 ⋅ 0,5 + n5 ⋅ 0,8 ⇒ n4 = 400 0 = −8000 + n ⋅ 2 + n ⋅1,2 n = −3840 4 5   3

3.3 Hedging dinamic Presupunem că un investitor a vândut 10000 opţiuni CALL cu preţ de exerciţiu E = 75 şi scadenţă peste 6 luni. Activul suport este o acţiune care nu plăteşte dividende cu S = 75 şi

σ = 20% . Prima opţiunii, calculată cu formula Black-Scholes, este c = 6,2084 . Deci investitorul primeşte 62084 um. Indicatorul DELTA al acestei opţiuni este ∆ c = 0,6643 . Indicatorul DELTA al întregii poziţii este − 6643 . Pentru a neutraliza acest portofoliu trebuie să cumpere 6643 unităţi de activ suport. Costul acestei operaţiuni este 75 * 6643 = 498225 um. In aceste condiţii portofoliul este delta-neutru, însă cu trecerea timpului şi cu modificarea cursului acest lucru s-ar putea să nu mai fie adevărat. Ca urmare investitorul decide să analizeze situaţia portofoliului din două în două luni. Cu 4 luni înainte de scadenţă cursul devine S = 85 . Indicatorul DELTA al opţiunii va fi 0,9237, iar al întregului portofoliu este − 10000 * 0,9237 + 6643 *1 = −2594 . Deci pentru a neutraliza portofoliul trebuie să cumpere 2594 unităţi de activ suport. Costul acestei operaţiuni este 85 * 2594 = 220490 um. In total în portofoliu avem în acest moment 9237 unităţi de activ suport. Cu 2 luni înainte de scadenţă cursul este S = 95 . Indicatorul DELTA al opţiunii devine 0,9992, iar al întregului portofoliu este − 10000 * 0,9992 + 9237 *1 = −755 . Deci pentru a neutraliza portofoliul trebuie să cumpere 755 unităţi de activ suport. Costul acestei operaţiuni

54

este 95 * 755 = 71725 um. In total în portofoliu avem în acest moment 9992 unităţi de activ suport. La scadenţă cursul este S = 95 . Indicatorul DELTA al opţiunii este 1 deoarece este sigur că opţiunea CALL va fi exercitată, iar indicatorul DELTA al întregului portofoliu este − 10000 *1 + 9992 *1 = −8 . Deci pentru a neutraliza portofoliul trebuie să mai cumpere 8 unităţi de activ suport. Costul acestei operaţiuni este 95 * 8 = 760 um. In total în portofoliu avem la scadenţă 10000 unităţi de activ suport.

T-t

S

Delta c

6 4 2 0

75 85 95 95

0.6643 0.9237 0.9992 1

Nr actiuni 6643 2594 755 8

Cost op 498225 220490 71725 760

Total actiuni 6643 9237 9992 10000

La scadenţă cumpărătorul opţiunii va exercita opţiunea. Deci acesta va cumpăra de la vânzătorul opţiunii 10000 de unităţi de activul suport la preţul de exerciţiu 75. Datorită hedgingului dinamic vânzătorul opţiunii deţine deja în portofoliu 10000 de unităţi de activ suport cumpărate pe parcurs cu 791200 um. Rezultatul celui care a vândut opţiunea va fi: + 62084(prima) + 750000(vz. act. sup. la 75) - 791200(cump. act. sup.) = 20884 Dacă nu ar fi făcut hedging, la scadenţă nu ar fi avut în portofoliu nici o unitate de activ suport şi ar fi trebuit să cumpere 10000 unităţi de activ suport la cursul de la scadenţă cu un cost de 95 *10000 = 950000 um. In aceste condiţii rezultatul vănzătorului opţiunii ar fi fost: + 62084(prima) + 750000(vz. act. sup. la 75) - 950000(cump. act. sup.) = -137916

55

4. Evaluarea opţiunilor de tip american 4.1 Noţiuni introductive

Opţiunile de tip american pot fi exercitate în orice moment înainte de scadenţă. Vom nota cu C, P prima unei opţiuni CALL, respectiv PUT iar cu c, p primele opţiunilor de tip european cu aceleaşi caracteristici. Este evident că datorită faptului că opţiunile americane conferă mai multe drepturi decât cele europene avem că: C≥c P≥ p

(4.1)

O opţiune americană va fi exercitată înainte de scadenţă la momentul t dacă payoff-ul generat prin exercitatrea opţiunii este mai mare decât valoarea acesteia dacă ar fi menţinută în continuare. O opţiune CALL americană ar putea fi exercitată la momentul t dacă cursul activului suport ( S t ) este mai mare decât preţul de exerciţiu ( E ) payoff-ul în acest caz fiind egal cu S t − E . Opţiunea PUT americană are sens să fie exercitată la momentul t dacă cursul activului suport ( S t ) este mai mic decât preţul de exerciţiu ( E ) payoff-ul fiind egal cu E − S t .

O proprietate interesantă este faptul că o opţiune CALL americană care are ca activ suport o acţiune care nu plăteşte dividende nu este optim să fie exercitată înainte de scadenţă şi deci va avea aceeaşi primă cu opţiunea europeană ( C = c ). Intra-adevăr folosind relaţia de paritate PUT-CALL şi relaţia 4.1 avem că: C ≥ c = p + S t − Ee − r (T −t ) > S t − Ee − r (T −t ) > S t − E

Din relaţia de mai sus se observă că prima opţiunii CALL americane este în fiecare moment înainte de scadenţă strict mai mare decât S t − E care este payoff-ul acă ar fi exercitată înainte de scadenţă. Rezultă deci că nu este optim ca această opţiune să fie exercitată înainte de scadenţă şi deci este echivalentă cu o opţiune CALL europeană. Deci C = c . Acestă proprietate nu este adevărată şi pentru opţiunile PUT americane şi nici pentru opţiunile CALL americane dacă activul suport este o valută sau o acţiune care plăteşte dividende. O altă proprietate importantă este că teorema de paritate se aplică doar pentru opţiunile de tip european nu şi pentru cele de tip american.

56

4.2 Evaluarea opţiunilor americane folosind modelul binomial Fie o acţiune care nu plăteşte dividende al cărei curs este S = 60 . Presupunem că d = 1,2 , u = 0,8 şi r = 5% . Se consideră o opţiune PUT de tip european şi una de tip american având preţul de exerciţiu E = 65 şi scadenţă peste 2 ani. Ne propunem să folosim modelul binomial cu 2 perioade pentru a determina primele celor două opţiuni. Vom nota cu p prima opţiunii europene şi cu P prima opţiunii americane.

Arborele cursului este: 86,4 72 60

57,6 48 38,4

Probabilitatea neutră la risc în acest caz este:

π=

e 0, 05⋅1 − 0,8 = 0,6282 1,2 − 0,8

Arborele opţiunii put de tip european:

puu = max(0;65 − 86,4 ) = 0 pu pud = max(0;65 − 57,6 ) = 7,4

p pd

pdd = max(0;65 − 38,4) = 26,6

57

Aplicăm succesiv principiul evaluării neutre la risc: pu = e −0,05⋅1 [π ⋅ 0 + (1 − π ) ⋅ 7,4] = 2,6173 pd = e −0, 05⋅1 [π ⋅ 7,4 + (1 − π ) ⋅ 26,6] = 13,8299 iar: p = e −0, 05⋅1 [π ⋅ 2,6173 + (1 − π ) ⋅ 13,8299] = 6,4554

Arborele opţiunii put de tip american: Puu = max(0;65 − 86,4 ) = 0 Pu Pud = max(0;65 − 57,6 ) = 7,4

P Pd

Pdd = max(0;65 − 38,4 ) = 26,6

La orice moment posesorul opţiunii americane are două variante: să păstreze opţiunea în continuare sau să o exercite. Astfel dacă cursul după o perioadă ar creşte investitorul nu are de ce să exercite opţiunea, deoarece cursul ar fi 72 iar preţul de exerciţiu este 65. Deci el va decide să păstreze opţiunea încă o perioadă valoarea acesteia fiind Pu = 2,6173 (determinată folosind principiul evaluării neutre la risc). Dacă cursul după o perioadă ar scădea investitorul poate să păstreze opţiunea încă o perioadă valoarea acesteia fiind în acest caz 13,8299 sau o poate exercita obţinând astfel un payoff egal cu 65-48 = 17. Este clar că va alege să exercite opţiunea şi deci Pd = 17 . Aplicând din nou principiul evaluării neutre la risc avem: P = e −0,05⋅1 [π ⋅ 2,6173 + (1 − π ) ⋅ 17] = 7,5766 Aşa cum era de aşteptat se obţine că p ≤ P .

Prima opţiunii call de tip european ( c ) cu aceleaşi caracteristici se poate determina folosind teorema de paritate: c = 6,4554 + 60 − 65e −0,05⋅2 = 7,641

58

In continuare vom afla prima opţiunii CALL de tip american ( C ). Deoarece activul suport este o acţiune care nu plăteşte dividende am văzut în secţiunea 4.1 că opţiunea CALL americană nu este optim să fie exercitată înainte de scadenţă şi deci C = c . Să ne convingem de acest lucru pe acest exemplu. Arborele opţiunii call de tip american: Cuu = max(0;86,4 − 65) = 21,4 Cu Cud = max(0;57,6 − 65) = 0

C

Cd Cdd = max(0;38,4 − 65) = 0

Este evident că Cd = 0 . Dacă cursul după o perioadă ar creşte investitorul poate să păstreze opţiunea încă o perioadă valoarea acesteia fiind în acest caz 12,7874 (principiul evaluării neutre la risc) sau o poate exercita obţinând astfel un payoff egal cu 72-65 = 7. Este clar că va alege să păstreze opţiunea încă o perioadă şi deci Cu = 12,7874 . Rezultă că : C = e −0,05⋅1 [π ⋅12,7874 + (1 − π ) ⋅ 0] = 7,641 = c

Probleme propuse. 1. Se consideră o acţiune al cărei curs este S = 70 . Avem că u = 1,2 , d = 0,8 şi r = 5% . Fie o opţiune cu preţ de exerciţiu E = 75 şi scadenţă peste 3 ani. Folosind

modelul binomial cu 3 perioade să se determine prima opţiunii PUT de tip european şi de tip american. De asemenea să se determine prima opţiunii CALL de tip european şi de tip american . (R: p = 6,4957, P = 8,3686, c = C = 11,9426 )

59

5. Evaluarea opţiunilor pe rata dobânzii 5.1 Noţiuni introductive

In capitolele anterioare în care am analizat opţiunile pe acţiuni şi pe valute am presupus că rata dobânzii este constantă deoarece ne interesa în special evoluţia cursului activului suport. Insă în acest capitol dedicat derivativelor pe rata dobânzii, deoarece însăşi rata dobânzii este activul suport nu mai putem face această presupunere. Pentru evaluarea derivativelor pe rata dobânzii au fost introduse în literatura de specialitate diverse modele: •

modele pentru rata instantanee a dobânzii : Vasicek, CIR, Hull-White, Ho-Lee

•

modele pentru rata forward instantanee : HJM

•

modele pentru LIBOR : BGM

Înţelegerea acestor modele necesită cunoştinţe avansate de calcul stocastic care depăşesc nivelul acestui curs. Ca urmare ne vom concentra asupra aşa–numitelor modele de piaţă (modele folosite de practicieni) pentru evaluarea derivativelor pe rata dobânzii. Aceste modele sacrifică acurateţea teoretică pentru a obţine, aşa cum vom vedea, formule de evaluare a derivativelor asemănătoare cu formula Black-Scholes pentru evaluarea opţiunilor pe acţiuni. La baza tuturor modelelor de evaluare a derivativelor pe rata dobânzii stat două concepte majore: obligaţiunea zero cupon fără risc cu scadenţă T şi valoare nominală 1 şi structura la termen a ratei dobânzii.

Obligaţiunea zero cupon fără risc am mai întâlnit-o şi în capitolele anterioare însă în contextul unei rate a dobânzii constantă. Dacă rata dobânzii este stocastică (i.e. nu este constantă şi nici deterministă) obligaţiunea zero cupon fără risc cu scadenţă T este un derivativ pe rata dobânzii, valoarea ei la momentul t ( B (t , T ) ) depinzând de rata dobânzii. Obligaţiunea zero cupon fără risc este un activ financiar fără risc de credit însă datorită faptului că se tranzacţionează pe piaţă şi că depinde de rata dobânzii ea are risc de piaţă. Deci cursul acestui activ nu este o mărime deterministă (i.e. nu putem spune cu siguranţă ce valoare poate lua în viitor). Asemănător cu cazul unei acţiuni (2.7) avem o ecuaţie de dinamică pentru preţul unei obligaţiuni zero cupon care are o parte deterministă şi una stocastică (prin intermediul lui dz t care este o variabilă aleatoare distribuită normal): dB(t , T ) = µB(t , T )dt + σ (t , T )B(t , T )dzt

60

(4.1)

Aşa cum se observă volatilitatea obligaţiunii zero cupon ( σ (t, T ) ) nu este o constantă (ca în cazul unei acţiuni-vezi 2.7) ci o funcţie care depinde de t, T . Intr-adevăr, deoarece neavând risc de credit, la scadenţă obligaţiunea sigur va plăti 1 um (i.e. B(T , T ) = 1 ) cursul de pe piaţă al acesteia tinde către 1 şi ca urmare volatilitatea este din ce în ce mai mică pe măsură ce ne apropiem de scadenţă ( limσ (t , T ) = 0 ). t →T

Valoarea la momentul t a unei obligaţiuni zero cupon fără risc cu scadenţă T , B (t , T ) , poate fi interpretat şi ca un factor de discount. Cât valorează, în condiţiile în care rata dobănzii este stocastică, la momentul t 1 u.m. de la momentul T . Cel mai firesc răspuns este că are aceeaşi valoare cu valoarea de piaţă a activului care sigur aduce la momentul T 1 u.m. adică obligaţiunea zero cupon fără risc cu scadenţă T . Facem astfel trecerea către cel de-al doilea concept important. Structura la termen a ratei dobânzii (factorilor de discount) la momentul t arată

mărimea factorilor de discount de la momentul t pentru diferite scadenţe T (i.e. B(t , T ), T ≥ t ). De obicei aceste scadenţe variază de la o săptămână la 30 de ani. Evident că nu există pe piaţă obligaţiuni zero cupon cu scadenţă 30 de ani (acestea fiind emise de obicei pe termene sub 1 an). Insă există posibilitatea de a construi structura la termen a factorilor de discount folosind şi alte instrumente financiare care depind de rata dobânzii (nu numai obligaţiunile zero-cupon). Această procedură poartă numele de bootstrapping. Marii furnizori de date pe rata dobânzii calculează structura la termen (de exemplu pe platforma REUTERS aceasta poate fi găsită la adresa ZERO/1). Dacă este nevoie de un factor de discount care nu este calculat prin bootstrapping se pot folosi diverse metode de interpolare. Mare majoritate a derivativelor pe rata dobânzii, folosite în domeniul bancar, sunt derivative pe LIBOR sau EURIBOR care reprezintă rate de dobândă la termen cu compunere discretă. Vom defini rata forward LIBOR la momentul t pentru intervalul [S, T ] ( L(t ; S , T ) ) ca fiind rata (cu compunere discretă) stabilită printr-un FRA (forward rate agreement) încheiat la momentul t pentru intervalul [S, T ] . Folosind principiul arbitrajului (temă!) se poate arăta că: B(t , S ) −1 B(t , T ) L(t ; S , T ) = T −S

61

(4.2)

Vom defini rata spot LIBOR la momentul t pentru scadenţa T ( L(t , T ) ) astfel: 1 −1 B(t , T ) ( ) ( ) L t , T := L t ; t , T = T −t

(4.3)

Relaţiile 4.2. şi 4.3 dau legătura dintre ratele forward si spot LIBOR şi structura la termen a factorilor de discount.

5.2 Evaluarea derivativelor pe LIBOR

5.2.1 Floating Rate Notes (FRN)

FRN-urile sunt obligaţiuni cu scadenţă T (presupunem că are valoare nominală 1 u.m) care plătesc cupoane la momentele T1 , T2 ,..., Tn = T de obicei egal depărtate în timp . Vom nota cu δ = Ti − Ti −1 durata de timp între două momente de acordare a cuponului. Ce este caracteristic acestor obligaţiuni este că rata cuponului nu este constantă ci depinde de rata spot LIBOR. De obicei rata cuponului pentru perioada [Ti −1 , Ti ] se stabileşte la momentul Ti −1 ca fiind egal cu L(Ti −1 , Ti ) (i.e. rata spot LIBOR la momentul Ti −1 pentru scadenţa Ti ). Astfel la momentul Ti se primeşte un cupon: Ci = δL(Ti −1 , Ti ) . Folosind relaţia 4.3 rezultă că: Ci =

1 B(Ti −1 , Ti )

−1

Folosind principiul arbitrajului se poate arăta (temă!) că valoarea la momentul 0 (momentul la care se face evaluarea FRN-ului) a cuponului primit la momentul Ti este: B(0, Ti −1 ) − B(0, Ti ) Deci valoarea (dirty price) acestei obligaţiuni ( FRN (0 ) ) este: n

FRN (0) = B(0, Tn ) + ∑ [B(0, Ti −1 ) − B(0, Ti )] = B (0, T0 )

(4.4)

i =1

unde T0 este data la care se stabileşte rata cuponului care va fi plătit la T1 .

62

Exerciţiu. Structura la termen a factorilor de discount este T disc. fact.

0.5 0.9835

1.5 0.9423

2.5 0.8992

3.5 0.8562

Să se determine valoarea unui FRN cu T0 = 0.5 (primul moment de stabilire al ratei variabile) şi 3 perioade de câte 1 an cu rata cuponului egală cu 12M LIBOR + 10bp şi valoare nominală 1000 um. Rezolvare: Această obligaţiune este formată dintr-un FRN propriu-zis şi o obligaţiune clasică cu rată a cuponului 10bp. Folosind 4.4 valoarea obligaţiunii este: 1000[0.9835 + 0.001(0.9423 + 0.8992 + 0.8562 )] = 986.2 um

5.2.2 Interest rate swaps (SWAP)

SWAP (cu valoare nominală 1) este o contract prin care se schimbă la momentele T1 , T2 ,..., Tn (la egală distanţă în timp δ ) un flux de dobânzi plătite la o rată fixă ( R ) cu un flux de dobânzi plătite la o rată variabilă (ex. spot LIBOR). Astfel dacă se încheie un contract SWAP fixed-for-floating (numit şi payer SWAP), la momentul Ti trebuie plătită dobânda fixă Rδ (dobândă pe perioada [Ti −1 , Ti ] ) şi se primeşte dobânda variabilă δL(Ti −1 , Ti ) unde L(Ti −1 , Ti ) a fost stabilit încă de la momentul Ti −1 . Apare astfel la momentul Ti un cash-flow net

δ [L(Ti −1 , Ti ) − R ]

(4.5)

Folosind acelaşi argument ca în cazul FRN , avem că valoarea la momentul 0 (momentul la care se face evaluarea SWAP-ului) a cash-flow-ului la momentul Ti este: B(0, Ti −1 ) − (1 + Rδ )B(0, Ti ) Deci valoarea SWAP-ului este: n

SWAP(0) = ∑ [B(0, Ti −1 ) − (1 + Rδ )B(0, Ti )] i =1 n

= B(0, T0 ) − B(0, Tn ) − Rδ ∑ B(0, Ti )

(4.6)

i =1

unde T0 este data la care se stabileşte rata variabilă care va fi plătită la T1 .

63

Se numeşte rata swap forward ( RS (0, T0 ) ) acea rată fixă care face ca valoarea SWAPului la momentul 0 < T0 să fie zero: RS (0, T0 ) =

B(0, T0 ) − B(0, Tn ) n

δ ∑ B(0, Ti )

(4.7)

i =1

De obicei se consideră cazul în care T0 = 0 . In acest caz avem: n

SWAP(T0 ) = 1 − B(T0 , Tn ) − Rδ ∑ B(T0 , Ti )

(4.8)

i =1

respectiv rata swap la momentul T0 ( RS (T0 ) ): RS (T0 ) =

1 − B(T0 , Tn ) n

δ ∑ B(T0 , Ti )

(4.9)

i =1

Exerciţiu. Structura la termen a factorilor de discount este T disc. fact.

1 0.9636

2 0.9207

3 0.8777

Fie un payer swap cu 3 perioade de câte 1 an cu rata variabilă egală cu 12M LIBOR şi valoare nominală 1000 um. a) să se determine rata swap; b) sa se determine valoarea unui payer swap cu rată fixă = 4,3%. Rezolvare a) aplicând 4.9 avem că RS = 4,428% b) acest payer swap este echivalent cu un payer swap cu rată fixă = rata swap şi o obligaţiune cu rata cuponului 0,128% . Deci valoarea lui este: 1000[0 + 0.00128(0.9636 + 0.9207 + 0.8777 )] = 3.534 um

64

5.2.3 CAPS şi FLOORS

Un CAP (cu valoare nominală 1) este o contract prin care vânzătorul se obligă ca la momentele T1 , T2 ,..., Tn (la egală distanţă în timp δ ) să plătească cumpărătorului diferenţa dintre dobânda la o rată variabilă (ex. spot LIBOR) şi dobânda la o rată fixă ( R ) dacă rata variabilă este mai mare decât rata fixă. Un CAP (cu valoare nominală 1) este o contract prin care vânzătorul se obligă ca la momentele T1 , T2 ,..., Tn (la egală distanţă în timp δ ) să plătească cumpărătorului diferenţa dintre dobânda la o rată fixă ( R ) şi dobânda la o rată variabilă dacă rata variabilă este mai mică decât rata fixă. Mărimea ratei variabile pentru perioada [Ti −1 , Ti ] se stabileşte la momentul Ti −1 şi este de obicei L(Ti −1 , Ti ) . Cash-flow-ul generat de un CAP la momentul Ti este

δ max(L(Ti −1 , Ti ) − R,0)

(4.10)

δ max(R − L(Ti −1 , Ti ),0)

(4.11)

iar cel generat de un FLOOR este

Pentru a determina valoarea CAP-ului şi FLOOR-ului trebuie să determinăm valoarea acestor două cash-flow-uri la momentul 0. O observaţie importantă care rezultă din 4.9, 4.19 şi 4.11 este că un portofoliu format dintr-o poziţie LONG pe un CAP cu rata fixă R şi o poziţie SHORT pe un FLOOR cu rată fixă

R este echivalent cu un SWAP cu rată fixă R. De aici rezultă o teoremă de paritate CAP-FLOOR-SWAP : CAP(0 ) − FLOOR(0 ) = SWAP(0 )

(4.12)

Un contract cu payoff dat de 4.10 poartă numele de CAPLET , iar cel cu payoff dat de 4.11 se numeşte FLOORLET. Rezultă că valoarea unui CAP respectiv FLOOR este : n

CAP(0 ) = ∑ CAPLETi (0 ) i =1

(4.13)

n

FLOOR(0 ) = ∑ FLOORLETi (0 ) i =1

Pentru a evalua un CAPLET şi un FLOORLET vom apela la un model de piaţă (i.e. un model simplificat utilizat de practicieni) care presupune că rata LIBOR are volatilitate

65

constantă egală cu σ . De fapt în realitate structura volatilităţii ratei LIBOR este mai

complicată însă aşa cum am mai spus se sacrifică acurateţea teoretică pentru a obţine formule de evaluare de tip Black-Scholes. In aceste condiţii se poate arăta că: CAPLETi (0) = δB(0, Ti )[L(0;Ti −1 , Ti ) ⋅ N (e1 ) − R ⋅ N (e2 )]

(4.14)

FLOORLETi (0 ) = δB(0, Ti )[R ⋅ N (− e2 ) − L(0;Ti −1 , Ti ) ⋅ N (− e1 )] unde

L(0;Ti −1 , Ti ) σ 2 ln + Ti −1 R 2 e1 = σ Ti −1 e2 = e1 − σ Ti −1 iar cu N (⋅) s-a notat funcţia de repartiţie a distribuţiei normale standard (vezi Anexa I).

5.2.4 SWAPTIONS

Un (payer) SWAPTION cu scadenţă T = T0 şi preţ de exerciţiu R este un contract prin care cumpărătorul are dreptul la momentul T = T0 să iniţieze un contract (payer) SWAP cu plăţi la T1 , T2 ,..., Tn (prima dată de fixare a ratei variabile fiind T0 ) şi cu rată fixă R dacă rata swap de la momentul T = T0 ( RS (T ) ) este mai mare decât preţul de exerciţiu R . Din nou vom apela la un model simplificat care presupune că rata swap are volatilitate constantă egală cu σ .

In aceste condiţii avem că: n  SWAPTION (0 ) = δ ∑ B(0, Ti )[RS (0;T0 ) ⋅ N (h1 ) − R ⋅ N (h2 )]  i =1 

unde ln h1 =

RS (0;T0 ) σ 2 + T0 R 2 σ T0

h2 = h1 − σ T0

66

(4.15)

Exerciţiu. Structura la termen a factorilor de discount este T disc. fact.

0.5 0.9835

1.5 0.9423

2.5 0.8992

3.5 0.8562

Se consideră un SWAP, o opţiune CAP şi o opţiune FLOOR cu T0 = 0.5 (primul moment de stabilire al ratei variabile) şi 3 perioade de câte 1 an cu rată fixă 4,85% , rata variabilă egală cu 12M LIBOR şi valoare nominală 1000 um. Volatilitatea ratei LIBOR este 15%. De asemenea se consideră o opţiune SWAPTION cu scadenţă T0 şi preţ de exerciţiu 4,7%. Volatilitatea ratei swap este 10%. a) să se determine 6M LIBOR; b) să se determine rata swap forward; c) să se determine valoarea SWAP-ului; d) să se determine prima opţiunii CAP şi a opţiunii FLOOR; e) să se determine prima opţiunii SWAPTION.

Rezolvare a) aplicăm 4.3 şi avem L(0,0.5) = 3,355% ; b) aplicând 4.7 : RS (0, T0 ) = 4,719% c) acest swap este echivalent cu un swap cu rată fixă = rata swap forward şi o poziţie SHORT pe o obligaţiune cu rata cuponului 0,131% . Deci valoarea lui este: SWAP(0 ) = 1000[0 − 0.00131(0.9423 + 0.8992 + 0.8562 )] = -3.5384 um

d) Acest CAP e format din 3 caplet-uri pe care le evaluăm folosind 4.14: •

caplet-ul 1:

L(0;0.5,1.5) = 4,372% , e1 = −0.9252, e 2 = −1.0313 , N (e1 ) = 0.1774, N (e2 ) = 0.1512 CAPLET1 (0 ) = 0.3992 um

•

caplet-ul 2:

L(0;1.5,2.5) = 4,793% , e1 = 0.0275, e 2 = −0.1562 , N (e1 ) = 0.511, N (e2 ) = 0.4379 CAPLET2 (0 ) = 3.0634 um

•

caplet-ul 3:

L(0;2.5,3.5) = 5,022% , e1 = 0.2655, e 2 = 0.0284 , N (e1 ) = 0.6047, N (e2 ) = 0.5113

CAPLET3 (0 ) = 5.008 um

67

Deci prima acestei opţiuni CAP este: CAP(0 ) = 8,4706 u.m.

Pentru a determina prima opţiunii FLOOR aplicăm teorema de paritate CAP-FLOORSWAP (4.12): FLOOR (0 ) = CAP(0 ) − SWAP(0 ) = 12,009 um

e) Aplicăm 4.15: RS (0, T0 ) = 4,719% , h1 = 0.0924, h2 = 0.0217 , N (h1 ) = 0.5368, N (h2 ) = 0.5087 SWAPTION (0 ) = 3.8453 u.m

Probleme propuse.

1. Structura la termen a factorilor de discount este T disc. fact.

0.5 0.9835

1.5 0.9423

2.5 0.8992

3.5 0.8562

Se consideră un SWAP, o opţiune CAP şi o opţiune FLOOR cu T0 = 0.5 (primul moment de stabilire al ratei variabile) şi 3 perioade de câte 1 an cu rată fixă 4,75% , rata variabilă egală cu 12M LIBOR şi valoare nominală 1000 um. Volatilitatea ratei LIBOR este 15%. De asemenea se consideră o opţiune SWAPTION cu scadenţă T0 şi preţ de exerciţiu 4,8%. Volatilitatea ratei swap este 15%. 1. să se determine 6M LIBOR; 2. să se determine rata swap forward; 3. să se determine valoarea SWAP-ului; 4. să se determine prima opţiunii CAP şi a opţiunii FLOOR; 5. să se determine prima opţiunii SWAPTION.

68

ANEXA I Funcţia de repartiţie N (d ) a distribuţiei normale standard

N (− d ) = 1 − N (d ) N (0.2367 ) = N (0.23) + 0.67[N (0.24 ) − N (0.23)]

d 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49

N(d) 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5754 0.5793 0.5832 0.5871 0.5909 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

d 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

N(d) 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.7258 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7421 0.7454 0.7486 0.7518 0.7549 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7793 0.7823 0.7852 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

d 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49

N(d) 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8943 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319

d 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99

N(d) 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 0.9452 0.9463 0.9474 0.9485 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

69

d 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49

N(d) 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 0.9861 0.9865 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9930 0.9932 0.9934 0.9936

d 2.50 2.51 2.52 2.53 2.54 2.55 2.56 2.57 2.58 2.59 2.60 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65 2.66 2.67 2.68 2.69 2.70 2.71 2.72 2.73 2.74 2.75 2.76 2.77 2.78 2.79 2.80 2.81 2.82 2.83 2.84 2.85 2.86 2.87 2.88 2.89 2.90 2.91 2.92 2.93 2.94 2.95 2.96 2.97 2.98 2.99

N(d) 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9980 0.9980 0.9981 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

d 3.00 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 3.40 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.48 3.49

N(d) 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 0.9998

d 3.50 3.51 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.57 3.58 3.59 3.60 3.61 3.62 3.63 3.64 3.65 3.66 3.67 3.68 3.69 3.70 3.71 3.72 3.73 3.74 3.75 3.76 3.77 3.78 3.79 3.80 3.81 3.82 3.83 3.84 3.85 3.86 3.87 3.88 3.89 3.90 3.91 3.92 3.93 3.94 3.95 3.96 3.97 3.98 3.99

N(d) 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

70