Exercices Partie1 [PDF]

Zitiervorschau

Laboratoire de Simulation Numérique en Mécanique des Fluides - SINUMEF

Master FISE ou SDI Spécialité Mécanique des fluides et Energétique

UE : Aérodynamique fondamentale Compléments de cours

Exercices corrigés – Partie 1

Enseignante : Paola CINNELLA

Année 2008 – 2009

1

Master FISE/Mécanique des Fluides et énergétique/Aérodynamique et Aéroacoustique

Compléments de Cours de Aérodynamique Fondamentale Ecoulement irrotationnel autour d’un cylindre On considère un écoulement d’air en conditions standard et vitesse

V∞ = 30 m/s autour d’un cylindre circulaire de rayon R=3m et

envergure infinie. Déterminer, dans l’hypothèse d’écoulement irrotationnel, 1. Le module de la vitesse au point P(1,R+0.2) 2. Le coefficient de pression en A(-R,0), B(-(1/√2)R, (1/√2)R) et C(0,R)

Corrigé Dans les hypothèses considéré l’écoulement autour d’un cylindre sans circulation peut être obtenue par superposition d’un écoulement uniforme à la vitesse indiquée et parallèle à l’axe des x et d’un doublet placé dans l’origine des axes. On a vu en cours (voir planches Chapitre 2, « Aérodynamique classique » et polycopié « Ecoulements potentiels ») que la fonction de courant résultante, exprimée en coordonnées polaires est de la forme :



ψ ( r ,θ ) = V∞  r − 

R2   sin θ , r 

soit, en composantes cartésiennes :



ψ ( r , θ ) = V∞ y 1 − 

R2   x2 + y2 

Les composantes cartésiennes du vecteur vitesse peuvent être déterminée en dérivant le potentiel :

u ( x, y ) =

∂ψ x2 − y 2 = V∞ − V∞ R 2 2 ∂y ( x2 + y2 )

2 xy ∂ψ v ( x, y ) = − = −V∞ R 2 2 ∂x ( x2 + y2 )

(1)

Le module de la vitesse au point P est alors donné par :

| V |P = u P + vP = 51.6 m/s où 3.2 ) − 12 ( u P = u (1, 3.2 ) = 30 + 30 ( 3) = 49.7 m/s 2 2 2 (1 + (3.2 ) ) 2 −2 (1)( 3.2 ) vP = v (1,3.2 ) = ( 30 )( 3 ) = −13.7 m/s 2 2 2 1 + 3.2 ( ) ( ) 2

2

Pour le calcul du coefficient de pression, nous avons vu que :

1 2 ρ∞ (V∞2 − V 2 ) V  p − p∞ 2 cp = = ( Bernoulli ) = 1 −   (2) 1 1 2 2  V∞  ρ∞V∞ ρ∞V∞ 2 2 Le cp aux points considérés et donc obtenu en calculant le module de la vitesse en ces point à l’aide des relations (1) et remplaçant ces valeurs dans (2). Les résultats finaux sont fournis dans le tableau suivant :

2

Réduction de la traînée sur un obstacle cylindrique Afin de réduire la traînée aérodynamique sur un obstacle cylindrique (par exemple, un support d’un biplan), on entoure cet obstacle par une structure fuselée. Le diamètre du cylindre est D=0.1 m, la structure a une géométrie de profile d’aile d’épaisseur D et corde égale à 10 D (voir Fig. 1). La vitesse de l’écoulement incident sur l’obstacle est V∞=100 m/s, la vitesse du son est a∞=300 m/s et la viscosité cinematique est ν∞= µ∞/ ρ∞=10-5 m2/s. 1. 2.

Après avoir calculé le nombre de Reynolds et le nombre de Mach de l’écoulement autour du cylindre et autour du profil, expliquer quelles sont les principales sources de traînée sur l’un et sur l’autre corps. Evaluer de façon approchée le rapport entre la traînée aérodynamique sur le profil et sur le cylindre en utilisant les abaques sur les Figs 2 et 3. Nota: en première approximation, égaler la traînée s’exerçant sur le profil (relativement mince) à la traînées sur une plaque plane de la même longueur.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3 Corrigé 3

1.

Nous calculons s’abord le nombre de Mach caractéristique de l’écoulement. Aussi bien dans le cas du cylindre que du profil celui-ci est défini par :

M∞ =

V∞ = 0.3 a∞

Cette valeur est encore suffisamment faible pour que les effets de compressibilité puissent être négligés. On calcule maintenant les nombres de Reynolds dans les deux cas, avec :

Re∞ =

ρ ∞V∞ L µ∞

Pour le cylindre, un bon choix est représenté par L=D alors que pour le profil, le choix typique est L=c=10D dans le cas considéré. En remplaçant les valeurs numériques on trouve :

Re Profil = 107 = 10 Recyl . Dans le cas du profil, pour cette valeur élevée du nombre de Reynolds et étant donnée la forme allongée du corps la couche limite reste très fine et attachée au corps, du moins pour des faibles valeurs de l’angle d’attaque. La principale source de traînée est alors représenté par le frottement visqueux à la paroi (friction drag). Dans le cas du cylindre, par contre, le fort gradient de pression adverse existant à l’arrière du corps produit, déjà pour des valeurs très faibles du nombre de Reynolds, un décollement de la couche limite et la formation d’un sillage tourbillonnaire caractérisé par une pression presque constante et proche de la valeur à l’infini amont. La différence de pression existant entre la partie amont du cylindre (où il y a un point d’arrêt) et la partie arrière se traduit en une composante horizontale de la force de pression s’opposant à l’écoulement, appelée traînée de pression ou traînée de forme. Cette composante, pour un corps à large surface exposée est dominante par rapport au frottement visqueux à la paroi. 2.

Afin de quantifier la réduction de traînée assurée par la structure fuselée par rapport au cylindre, nous allons estimer de façon approchée la traînée aérodynamique dans les deux cas. Comme dans le cas du profil la composante dominante est la traînée de frottement, le profil étant un corps mince et allongé, nous pouvons, en première approximation, considérer la traînée produite par le profil comme égale à la traînée sur une plaque plane de même longueur et utiliser donc l’abaque sur la figure 2 pour calculer le coefficient de frottement local (que nous avons noté cf en cours et qui est indiqué comme Cτ sur l’abaque) sur la plaque en fonction de la distance du bord d’attaque de la plaque :

Cτ = Cτ ( Re x )

avec

Re x :=

V∞ x

ν∞

On peut remarquer l’existence de deux régimes d’écoulement sur la plaque. Pour les petites valeurs de Rex (i.e. tout près du bord d’attaque de la plaque) l’écoulement est laminaire, pour les grandes valeurs, il est turbulent. Entre les deux régime, il existe une phase de transition, qui peut se considérer comme achevée (critère empirique) pour Rex> 106. Dans notre cas, ce critère est satisfait déjà à 0.1 cordes de distance du bord d’attaque. Avec une très bonne approximation on peut donc considérer l’écoulement comme s’il était turbulent partout et approcher la distribution de frottement le long de la plaque par la loi

Cτ = 0.058 / ( Re x )

1/5

qui permet d’extrapoler le comportement d’écoulement turbulent pleinement développé au régions caractérisées par un faible Rex. Une fois que la distribution de frottement sur la plaque est connue, on peut calculer le coefficient de traînée par :

V x  1 L 1 L 1 L 1/5 cd = ∫ c f dx = ∫ 0.058 / ( Re x ) dx = ∫ 0.058  ∞  0 0 0 L L L  ν∞  0.058  V∞    L ν ∞ 

−1/5

0.0725 ( Re∞ )

∫

L

0

−1/5

x

−1/5

0.058  V∞  dx =   L ν ∞ 

−1/5

L

−1/5

dx =

5  V∞ L   5 4/5   4 x  = 0.058 4  ν  0  ∞ 

−1/5

=

= 0.00289

La force de traînée sur le profil, quant à elle, vaut :

1 ( FD )Profil = ρ∞V∞2 Lcd = 0.0144 ρ∞V∞2 D 2

Pour évaluer la traînée sur le cylindre, nous calculons d’abord le coefficient de traînée en faisant recours à l’abaque de figure 3. Pour la valeur du nombre de Reynolds associée à l’écoulement incident, l’écoulement autour du cylindre se trouve dans un régime dit de « crise de traînée », pour lequel l’écoulement est fortement instationnaire et le coefficient de traînée diminue brusquement suite à la transition laminaire/turbulent, qui fait basculer les points de décollement de la couche limite à l’arrière du sillage, réduisant la taille de la zone de recirculation et donc la traînée de forme sur le cylindre. Cette phase de transition se traduit en incertitudes sur les valeurs expérimentales du coefficient, qu’on peut en tout cas estimer grossièrement autour de 0.3. La force de traînée sur le cylindre, quant à elle, vaut :

4

1 ( FD )Cylindre = ρ∞V∞2 Lcd 2

= 0.15 ρ ∞V∞2 D

On peut finalement affirmer que le rapport des forces de traînée dans les deux cas est :

( FD )Profil ( FD )Cylindre

0.0144 ρ∞V∞2 D = ≃ 0.1 0.15 ρ ∞V∞2 D

Le recouvrement du cylindre par une structure fuselée permet donc de réduire la traînée aérodynamique à environ un dixième de sa valeur initiale.

Vitesse induite au sol par le passage d’un avion Un avion caractérisé par une portance par unité d’envergure L’=10000 N/m se déplace en vol plat uniforme à une altitude de 900m et à une vitesse de 100 m/s. Dans l’hypothèse que, à grande distance, l’effet global de l’avion puisse être assimilé à l’écoulement induit par un tourbillon ponctuel 2D, évaluer la vitesse horizontale de l’air au passage de l’avion mesuré par un observateur au sol (16 pt).

Fig. 4

Corrigé La distance entre l’avion et le sol étant considérable, nous pouvons négliger d’éventuelles interactions entre le tourbillon induit par l’avion et le sol. Ce tourbillon est généré par la circulation qui s’installe autour des surfaces portantes de l’avion lorsqu’une portance est généré. Cette circulation est liée à la portance par le théorème de Kutta-Joukovski :

L ' = ρ∞V∞ Γ

et peut être calculé si l’on connaît la masse volumique de l’air à l’altitude de vol. En utilisant les tables pour l’atmosphère standard, on trouve :

ρ ∞ ≃ 1.12 Kg/m 3 d’où Le potentiel induit par un tourbillon d’intensité Γ est :

Γ = 89.3 m 2 / s

ϕ ( r ,θ ) = e la vitesse radiale induite est :

uθ =

Γ θ 2π

Γ 2π r

La vitesse au sol mesurée par observateur qui se trouve à la verticale de l’avion correspond donc à :

uθ ( r = 900m ) = 0.0158 m/s

Caractéristiques aérodynamiques d’un profil NACA 4412 Le profil NACA4412 est un profil cambré d’épaisseur relatif égal au 12% de sa corde et dont la ligne de cambrure est définie par l’équation suivante (grandeurs normalisées par rapport à la corde c du profil) :

5

   x   x 2  x 0 ≤ ≤ 0.4 0.25 0.8   −    c z ( x)    c   c   = 2 c  x  x x  0.111  0.2 + 0.8  c  −  c   0.4 ≤ c ≤ 1        1. En appliquant la théorie des profils minces calculer l’angle de portance nulle αL=0 et le coefficient de portance du profil pour α=3°. 2. Tracer la courbe de portance du profil et la comparer avec les données expérimentales disponibles, évaluant notamment le pourcentage d’erreur commise en fonction de l’angle d’attaque.

Fig. 5 : Données expérimentales pour un NACA 4412 en écoulement incompressible à Re=3x106.

Corrigé 1. D’après la théorie des profils minces vue en cours, nous savons que le coefficient de portance généré par un écoulement incompressible potentiel autour d’un profil mince est donnée par :

1  cl = 2π  α + π 

∫

π

0

dz ( cos θ0 − 1) dθ 0  dx 

où le terme intégral tient compte des effets de cambrure du profil et ou la variable auxiliaire θ 0 est liée à la position le long de la corde du profil par la tranformation de Glauert :

x=

c (1 − cos θ 0 ) 2

On a aussi vue que l’angle de portance nulle est donné par :

α L =0 = −

1

π∫

π

0

dz ( cos θ0 − 1) dθ 0 dx

Pour répondre à la première question nous avons donc besoin de calculer l’intégrale ci-dessus. A cette fin, nous calculons d’abors la dérivée le la ligne de cambrure en fonction de la variable de Glauert. D’après l’équation fournie, nous savons que :

 x x 0 ≤ ≤ 0.4 0.2 − 0.5  c  c  −0.05 + 0.25cos θ 0 dz dz   ⇒ (θ 0 ) =  ( x ) =  dx  −0.0223 + 0.1111cos θ 0 0.0888-0.2222  x  0.4 ≤ x ≤ 1 dx    c c

0 ≤ θ 0 ≤ 1.3694 1.3694 ≤ θ 0 ≤ π

L’angle de portance nulle est donc donné par :

6

α L=0 = −

π 1  1.3694 dz dz cos 1 d θ − θ + ( ) ( cos θ 0 − 1) dθ 0  = 0 0 ∫ ∫  0 1.3694 dx dx π 

=−

π 1  1.3694 −0.05 + 0.25 cos θ 0 )( cos θ 0 − 1) dθ 0 + ∫ ( ( −0.0223 + 0.1111cos θ 0 )( cos θ 0 − 1) dθ 0  = ∫  0 1.3694  π

=−

π 1  1.3694 0.05 − 0.3cos θ 0 + 0.25 cos 2 θ 0 ) dθ 0 + ∫ 0.0223 − 0.13334 cos θ 0 + 0.1111cos 2 θ 0 ) dθ 0  = ( ( ∫  1.3694 0   π 1.3694

1 θ 1  = − 0.05θ − 0.3sin θ 0 + 0.25  0 + sin 2θ 0   π 2 4  0

π

1 θ 1  − 0.0223θ − 0.13334 sin θ 0 + 0.1111 0 + sin 2θ 0   = π 2 4  1.3694 −0.2281 = rad=-0.0726 rad=-4.16°

π

Une fois que cet angle est connu, le coefficient de portance à 3° d’incidence est donné par:

cl = 2π (α − α L = 0 ) = 2π ( 3° + 4.16° )

π

180°

= 0.785

2. La figure 6 présente une comparaison entre la courbe de portance théorique et celle experimentale. On peut voir que l’erreur commise devient de plus en plus importante quand l’angle d’attaque augmente et que, à partir de l’angle de décrochage, la théorie n’est plus capable de décrire le comportement du coefficient de portance même seulement d’un point de vue qualitatif.

Fig. 6 : Coefficient de portance pour un profil NACA4412. Comparaison théorie/expérience.

Efforts aérodynamiques sur un avion Un petit avion Piper-Cherokee (un petit avion léger à un seul moteur pour l’aviation civile) a les caractéristiques suivantes : - Surface ailaire S=15.7 m2 - Envergure b=9.75 m - Poids à pleine charge W=1110 Kgf - Profil de base NACA 65-415 La pente de la courbe de portance mesurée pour le profil de base correspond à a0=0.1033 deg-1 et l’angle de portance nulle est α L = 0 = −3° . Par effet des tourbillons d’extrémité cette pente théorique est réduite pour un avion d’envergure finie d’une quantité qui dépend de l’élongation de l’aile :

a=

a0 1 + ( a0 / (π AR ) ) (1 + τ )

où τ est un coefficient correctif empirique qui tient compte de la distribution de portance non elliptique sur l’aile et que l’on peut estimer égal à 0.12. 1. Sachant que l’avion se déplace à pleine charge en vol plat uniforme au niveau de la mer (conditions standard) et à une vitesse de 193 Km/h, déterminer l’angle d’attaque géométrique des ailes de l’avion. 2. Le facteur d’efficacité aérodynamique e pour l’avion complet est généralement beaucoup plus petit que pour une aile non elliptique isolée. Dans l’hypothèse que e=0.64 pour le Piper-Cherokee, calculer la traînée induite pour l’avion complet. 3. La vitesse minimale de vol dans l’hypothèse que les dispositifs hypersustentateur de l’avion sont desactivés.

7

Corrigé 1. En utilisant les données géométriques disponibles, calculons tout d’abord l’élongation de l’aile du Cherokee :

AR =

b2 = 6.05 S

Par ailleurs, on connaît le coefficient de portance relatif aux conditions de vol considérées car, pour un avion en vol plat uniforme : L=W et donc :

CL =

L W = = 0.402 1 1 2 2 ρ ∞V∞ S ρ ∞V∞ S 2 2

où on a utilisé la valeur 1.225 Kg/m3 pour la masse volumique au niveau de la mer. En utilisant la formule fournie dans l’énoncé, nous pouvons calculer la pente effective de la courbe de portance de l’aile :

a=

a0 5.92 = = 4.38 rad −1 = 0.0764 deg −1 1 + ( a0 / (π AR ) ) (1 + τ ) 1 + ( 5.92 / (15.7π ) ) (1 + 0.12 )

Sachant que :

C L = a (α − α L = 0 ) ⇒ α =

CL 0.402 + α L =0 = − 3° = 2.26° a 0.0764

Ceci répond à la première question. 2. On a vu en cours que le coefficient de traînée induite sur l’avion est proportionnelle au carré du coefficient de portance et inversement proportionnelle à l’élongation de l’aile :

( 0.402 ) = 0.0133 CL2 = = π eAR π ( 0.64 )( 6.05) 2

C D ,i

Puisque l’on connaît les conditions de vol et la surface ailaire on peut donc calculer la force de traînée induite par : 2

1 1  193  Di = ρ∞V∞2 S CD ,i = (1.225 )   (15.7 )( 0.0133) = 368 N 2 2  3.6  3. Toujours, en cours, nous avons vu que, dans la pratique, le coefficient de portance d’un profil (et donc d’une aile) suit assez bien une lois de variation linéaire avec l’angle d’attaque mais, à partir de valeurs suffisamment grandes (en valeur absolue) de α la pente de la courbe de portance devient de moins en mois accentuée jusqu’à atteindre une valeur maximale pour un angle d’attaque dit « angle de décrochage ». Comme, pour un avion en vol plat uniforme, la portance doit en tout moment égaler le poids de l’avion, et comme le coefficient de portance, à poids donné, est une fonction décroissante de la vitesse :

CL =

W 1 ρ ∞V∞2 S 2

Alors, la valeur maximale de CL correspond à la valeur minimale de vitesse permettant encore la sustentation de l’avion. Pour trouver cette vitesse il nous faut alors estimer le CL,max. Cette valeur, très délicate à determiner, est une fonction de la géométrie de l’aile et du nombre de Reynolds. Toutefois, une estimation très grossière (mais assez prudente) nous dit que on peut avoir décrochage à partir d’environ 10°-12° d’angle d’attaque. Dans ce cas, nous pouvons estimer le CL,max par :

CL,max = a ( 9° − α L= 0 ) = ( 0.0764 )( 9° + 3° ) = 0.917

où la formule a été appliquée pour un angle d’attaque de 9° pour tenir compte de la croissance moins rapide du coefficient de portance en proximité du décrochage. La vitesse minimale de vol vaut finalement :

Vmin =

W 1 ρ ∞ CL ,max S 2

=

(1110 )( 9.81) 1 (1, 225)( 0.917 )(15.7 ) 2

= 35.1 m/s=127 Km/h

Cette valeur, assez élevée se réduirait assez considérablement si l’on pouvait estimer plus précisément le CL,max et, surtout, si l’on tenait compte de l’augmentation de ce dernier due à l’utilisation des dispositifs hypersustentateur. Ces dispositifs ont justement la fonction d’augmenter le coefficient de portance maximal de l’avion et de lui permettre de se soutenir en l’air pour de plus faibles vitesses (par exemple en phase de décollage/atterrissage).

8