Élasticité Partie1 [PDF]

Zitiervorschau

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UNIVERSITE D S ECOLE POL ES CIENCES ET TECHNIQUES DE MASUKU DEPARTEMEYNTTECHNIQUE DE MASUKU S EM-GC Cours de M' • En . ecanaque des Milieux Continus (Elasticité) INGl seignant: Dr lng. Nicaise MANFOUMBI

Franceville, le 25 Janvier 2020

DEVOIR SURVEILLE N° Ill (Rattrapage) (Durée : 2 heures, Documentation non autorisée)

Exercice n° 1 : On souhaite déterminer l'état de contrainte en un point M d'un milieu continu modélisé par le cube ci-contre. Montrer que le tenseur de contraintes est complètement défini par un tenseur de 6 composantes indépendantes.

Exercice n° 2 : Un milieu élastique homogène et isotrope subit un changement de configuration plan décrit dans deux repères comme suit :

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Les paramètres a et b sont des constantes positives. 1. Déterminer pour les deux cas: a. Le champ des déplacements b. La rotation de corps rigide c. Le tenseur des déformations d. Les déformations principales 2. Déduire la relation entre les constantes a et b. 3. Faire une représentation dans le plan de Mohr et déduire l'angle entre les deux repères (1) et (2).

Exercice n °3 : On considère un cube de côté 1 dont les arêtes sont parallèles aux axes x1, x2, X3 d'un repère orthonormé. Il est chargé uniformément dans la direction x1, tandis que les faces en direction x2 sont libres, et que les faces en direction x3 restent bloquées. 1. Indiquer quels sont les termes non nuls du tenseur des contraintes et du tenseur des déformations qans le repère (x1, x2, x3) et écrire les relations contrainte-déformation lorsque le comportement est élastique et isotrope, avec un module d'Young E et un coefficient de Poisson v.

2. Définir la valeur de la contrainte m1 pour laquelle le matériau atteindra la limite du domaine d'élasticité, pour chacun des cas suivant : a. Critère de Tresca .- max a1 = ay

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b. Critère de Von Mises: (0-1 -ai)2 +(o-2 -o-3)2 +(0-3 -0- 1)2 Bon travail !

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UNIVERSITE DES S CIENCES ET T EC HNlQ UES DE MASUKU ECOLE POLYT..ECHNIQUE DE MASUKU

DEPART EMENTSEM-GC

~ou~ de Mécaniq ue des Milieux Continus (Elasticité) INGJ Enseigna nt: Dr Ing. Nicaise MANFOU MBI

Franceville, Je 25 Janvier 2020

DEVOIR SURVEILLE N° Ill (Rattrapage) (Durée : 2 heures, Documentation non autorisée) Exercice n° 1 :

On souhaite détem1iner l'état de contrainte en un point M d' un milieu continu modélisé par le -cube ci-contre. Montrer que le tenseur de contraintes est complètement défini par un tenseur de 6 composantes indépendantes. Exercice n° 2 :

Un milieu élastique homogène et isotrope subit un changement de configuration plan décrit dans deux repères comme suit : , { x~ = ax1 Repere (1): , _ (Z ) x 2 -

-

Repère (2) :{

a x2

x~

= ,x1_+ 2bx 2 Xz -

Xz

Les paramètres a et b sont des constantes positives. 1. Déterminer pour les deux cas : a. Le champ des déplacements b. La rotation de corps rigide c. Le tens__eur des déformations d. Les déformations principales 2. Déduire la relation entre les constantes a et b. 3. Faire une représentation dans le plan de Mohr et déduire l'angle entre les deux repères(] ) et (2).

Exercice n° 3: On considère un cube de côté 1 dont les arêtes sont parallèles aux axes x1, x2, XJ d'un repère orthonorm é. Il est chargé uniformément dans la direction x1 , tandis que les faces en direction x2 sont libres, et que les faces en direction x3 restent bloquées. 1. Indiquer quels sont les termes non nuls du tenseur des contraintes et du tenseur des déformations dans le repère (x1 , x2, x3) et écrire les relations contrainte-déformation lorsque le comportement est élastique et isotrope, avec un module d'Young E et un coefficient de Poisson v.

2. Définir la valeur de la contrainte

ŒJ 1 pour laquelle le matériau atteindra la limite du domaine d'élasticité, pour chacun des cas suivant: a. Critère de Tresca : max la, -ail= a y i,Je{l.2,3) i'l'-j

b. Critère de Von Mises : (a 1 -ai}2 + (a2 -a3 )2 + (a3 - a 1)2 = a; Bon travail !

UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE MASUKU ECOLE POLYTECHNIQUE DE MASUKU DEPARTEMENTS EM-GC Cours de Mécanique des Milieux Continus (Elasticité) INGl Enseignant : Dr Ing. Nicaise MANFOUMBI

Franceville, le 02 Juillet 2019

DEVOIR SURVEILLE N° Il (Durée: 2 heures, Documentation non autorisée) 2 points pour la qualité de la rédaction Exercice n° 1 : (4 points) Une poutre de section droite constante est soumise à une contrainte de traction cr.

1. Calculer la contrainte moyenne, le déviateur de contrainte ainsi que la contrainte de Von Mjes en

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traction uni-axiale.

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2. Calculer la contrainte moyenne, le déviateur de contrainte ainsi que la contrainte de Von Mises en traction hi-axiale. Chercher la forme des courbes avM = constante dans le plan des contraintes principales 01 et ail, 3. Dans l'espace des contraintes principales a 1, ail et am, chercher la forme de la surface avM = constante. Exercice n° 2 : (8 points) Soit une plaque d'acier rectangulaire mince (caractéristiques E = 210 000 MPa et v = 0,3) centrée sur le repère de son plan moyen (0,

x, y).

Les côtés de la plaque sont soumis à différentes forces surfaciques

uniformément réparties et décrites ci-dessous (figure). On considère que la plaque se comporte en élasticité plane.

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1. Quels sont les différents cas de sollicitation simples auxquels est soumise la plaque ?

2. Quelles sont pour chacun de ces cas les déformations engendrées en un point M de la plaque ? 3. Déterminer par superposition la matrice en M des contraintes et des déformations ? 4. Reprendre le problème globalement et directement par les lois de comportement en contraintes

- - - - - - -- - ---- - - - - - Exercice n° 3 : (6 points)

repère orthonormé. 11 axes. x ,, X2, X3 d'un aux s llèle para sont es arêt les t don I On cons,·dè re un cube de côté faces s en direction X2 sont libres, et que les face les que is tand , x n ctio dire st la s 1 e chargé uniform ément dan en direction x~ restent bloquées. déformations eur des contraintes et du tenseur des tens du nuls non es term les t son ls I. Indiquer que comportement est s contrainte-d~formation lorsque le tion rela les re écri et xJ) , x 2 ,, (., ère dans le rep v. d'Young E et un coefficient de Poisson élastiqu e et isotrope, avec un module domaine le matériau atteindra la limite du elle laqu r pou a, nte trai 1 con la 2. Définir la valeur de ant : d 'élasticité, pou r chacun des cas suiv la; - ail"' ay a. Critère de Tresca:

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2 (a - a )2 + (a - a )2 1 3 b. -. Critère de Von Mises : (a, - a2 ) + 2 3

Bon travail !

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DEPARTEMENTS EM-GC Cours de Mécanique des Milieux Coniinus (El::tst'icité) INGl l E nseignant • Dr In g. Nicais~-MAN .FOUM BI

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Francev ille ' le 07 Mai 20 l 8

DEVOIR SURVEILLE N° 1 (Durée : 2 h 30 rnn , Documentation non autorisée) 2 poinîs sont accordés à la réd action et clarté du raisonnem en t.

Exercice n° 1 : (4 points)

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On so uhaite déterminer l' état de contrainte en un point M d'un

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Exercice n° 2 : (7 points) . Soit un solide cylindrique d ' axe (0, z) rapporté au repè re orthonormé (0,

x, y, z) .

Le vecteur dép lacement d ' une panicule couranteA1(t. J. z) du cylindre est donné par ses composantes : u

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