Cours Decision Partie1 [PDF]

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Introduction Structuration d’un problème de décision Décision en avenir incertain La théorie de l’utilité Décision en présence de c

Outline Introduction Structuration d’un problème de décision Décision en avenir incertain Incertain strict (non probabilisé) Analyse axiomatique des critères (Milnor) Incertain probabiliste La théorie de l’utilité Décision en présence de critères multiples

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PREMIER COURS

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Introduction

La théorie de la décision vise à fournir un cadre rationnel général permettant de formuler et d’analyser les problèmes de décision dans des situations ou les données à prendre en compte sont loin d’être déterminées à l’avance.

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Introduction Comment et quelle décision prendre ? Selon la nature des données et du problème, plusieurs approches pour modéliser et résoudre le problème de décision : • La théorie du vote ;

• La théorie des jeux ;

• La théorie des graphes ;

• La programmation linéaire ; • ...

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Introduction (Théorie des jeux) Dilemme du prisonnier La forme habituelle de ce dilemme est celle de deux prisonniers (complices d’un délit) retenus dans des cellules séparées et qui ne peuvent communiquer. • si un seul des deux avoue, celui-ci est certain d’obtenir une

remise de peine alors que le second obtient la peine maximale (10 ans) ;

• si les deux avouent, ils seront condamnés à une peine plus

légère (5 ans) ;

• si aucun n’avoue, la peine sera minimale (6 mois), faute

d’éléments au dossier.

Problème Quelle sera la stratégie de chacun ?

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Introduction (Programmation linéaire) Problème de plantation Considérons un agriculteur qui possède des terres, de superficie égale à H hectares, dans lesquelles il peut planter du blé et du maïs. L’agriculteur possède une quantité E d’engrais et I d’insecticide. Le blé nécessite une quantité E1 d’engrais par hectare et I1 d’insecticide par hectare. Les quantités correspondantes pour le maïs sont notées E2 et I2 . Soit P1 le prix de vente du blé et P2 celui du maïs.

Problème Quelle serait la répartition d’hectares entre le blé et le mais afin de maximiser les gain de l’agriculteur ? 8/97

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Introduction Le processus : deux grandes étapes • Détermination et fomulation de problème • Résolution du problème

Etapes supplémentaires • la collecte d’informations ;

• l’analyse de ces informations ;

• la mise en oeuvre de la solution.

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Exemple1 : Lancement d’un produit Enoncé Une société envisage de lancer un nouveau produit compte tenu des réactions potentielles de concurrence, trois situations vont être envisagées : • accueil très favorable → gain= 900MA C; • accueil favorable → gain= 750MA C; • Echec → gain= 0sA C.

Le coût de lancement est estimé à 500MA C.

Problème ? la société doit-elle ou pas lancer le produit ? 11/97

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Exemple2 : Achat d’agendas Enoncé Au mois d’aout un papetier doit décider du nombre d’agendas à acheter pour l’année suivante. Un agenda côute 20A C et est vendu 45A C. Fin Janvier chaque agenda invendu peut être renvoyé à l’éditeur qui le rachète 5A C. La loi de la demande est : d p(D=d)

100 0.3

150 0.2

200 0.3

250 0.15

300 0.05

Problème ? Quel nombre d’agendas doit commander le papetier ? 12/97

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Fomaliser un problème de décision

Formalismes 1. A : ensemble d’actions ou de décision potentielles. A = {a1 , . . . , an } ;

2. E : ensemble des états de la nature. E = {e1 , . . . , en } ;

3. une fonction d’évaluation (ou de coût) : g : A × E → R, qui valorise le gain g(ai , ei ) = xij qui résulte du choix de l’action ai lorsque l’état de la nature ej s’est réalisé.

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Exemple1 Actions potentielles A = {a1 , a2 }

• a1 : lancer le produit ;

• a2 : ne pas lancer le produit.

États de la nature E = {e1 , e2 , e3 }

• e1 : accueil très favorable ; • e2 : acceuil favorable ; • e3 : echec ;

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Exemple1

Tableau des gains

a1 a2

e1 400 0

e2 250 0

e3 -500 0

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Exemple2 Actions potentielles A est l’ensemble des quantités commandées ; ai = qi commander.

Etats de la nature E est l’ensemble des demandes ; ej = ”D = dj ”

Tableau des gains g(q, d) : gain résultant de la commande de la quantité q lorsque la demande est égale à d. 2 cas se présentes : • si d ≤ q : g(q, d) = 45d + 5(q − d) − 20q = 40d − 15q ; • si d > q : g(q, d) = 45q − 20q = 25q

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Exemple2

Tableau des gains q-d 100 150 200 250 300

100 2500 1750 1000 250 -500

150 2500 3750 3000 2250 1500

200 2500 3750 5000 4250 3500

250 2500 3750 5000 6250 5500

300 2500 3750 5000 6250 7500

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Exercices (TD1) Exercice 1 : un investissement bien raisonné Un particulier se voit proposer deux placements a1 et a2 . Les rendements de chacun de ces deux placements dépendent d’une décision gouvernementale importante ; C’est ainsi que, pour une unité monétaire investie, a1 rapportera 1,3 unité monétaire si la décision est prise et seulement 0,8 unités monétaires si elle n’est pas prise. En revanche, a2 rapportera seulement 0,9 unités monétaires si la décision est prise et 1,1 unité monétaire si elle n’est pas prise. En fait, le particulier peut répartir librement son investissement entre a1 et a2 . On notera a(λ) le placement qui consiste à investir une proportion λ dans a1 et la proportion complémentaire 1-λ dans a2 (0≥ λ ≤1). Le particulier souhaite déterminer la meilleure répartition, c’est-à-dire trouver une valeur optimale pour λ. Question : Formaliser ce problème de décision. 18/97

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Exercices Exercice1 : Correction • 2 actions : a1 et a2 ;

• 2 états de la nature : d (la décision gouvernementale est

prise) et d¯ (la décision gouvernementale n’est pas prise).

a1 a2 a(λ)

d 0.3 -0.1 0.3 ∗ λ − 0.1(1 − λ)

d¯ -0.2 0.1 −0.2 ∗ λ + 0.1(1 − λ)

TAB .: (

tableau des gains) 19/97

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Exercices Exercice2 : Controle de qualité La société NIAKO, grand fabriquant de téléphones portables, envisage de lancer un nouveau modèle. NIAKO envisage deux stratégies pour organiser son contrôle qualité :

•

La stratégie S1 , très fiable, inclut un contrôle systématique du fonctionnement de l’appareil et le remplacement éventuel de composants défectueux. Cette stratégie conduit à un risque de panne totalement négligeable durant la période de garantie. En revanche, elle entraîne un coût de contrôle c A C.

•

La stratégie S2 consiste à n’effectuer aucun contrôle. Compte tenu du risque de fiabilité dû aux composants présents dans l’appareil, le téléphone ainsi conçu risque de tomber en panne durant la période de garantie avec une probabilité estimée par les experts à p. En ce cas, la réparation, à la charge de NIAKO, est estimée à 100 fois le coût de contrôle de la stratégie S1 .

1- Dresser le tableau des coûts.

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Exercices

Exercice2 : correction • 2 actions : S1 et S2 ;

¯ ; • 2 états de la nature : Panne (P) et pas de Panne (P) S1 S2

P c 100c

¯ P c 0

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Exercices Exercice3 : Incertitude sur les jouets Une entreprise fabriquant des jouets est confrontée à un risque de grève des transporteurs routiers pendant ce début de première semaine de décembre. L’entreprise a établi un plan de fabrication et d’expédition en régime normal de 5 000 articles par semaine qui correspond exactement à la demande hebdomadaire. le coût de fabrication est alors de 30 A C (par article). L’article est vendu 45 A C. La grève, si elle a lieu, débutera dans une semaine. Elle peut durer soit une semaine, soit deux semaine. En cas de grève, l’entreprise ne produit pas. De plus, elle perd la totalité de ses ventes si les distributeurs ne sont pas livrés auparavant car les linéaires sont vides (la distribution ne possède actuellement aucun stock). En ce début de première semaine, l’entreprise a le choix entre 3 décisions :

• •

soit produire et expédier, selon son plan, 5 000 articles,

•

soit produire et expédier 15 000 articles pour satisfaire la demande des trois semaines, avec les mêmes conditions de recours à la sous-traitance.

soit produire et expédier 10 000 articles pour satisfaire la demande des deux premières semaines ; mais il faut savoir que la capacité de production maximale de l’entreprise est de 7 000 articles par semaine et qu’au delà de cette limite, elle sous-traite la production dont le coût passe alors à 40 A C par semaine.

On cherche à maximiser la marge sur la période des 3 semaines à venir. Question : Après avoir défini les actions et états de la nature, construire le tableau de

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Exercices Exercice3 : correction • L’ensemble A = {a1 , a2 , a3 } des actions correspond aux 3

décisions envisagées en début de première semaine : produire et expédier 5 000, 10 000 ou 15 000 articles, respectivement a1 , a2 et a3 .

• L’ensemble E = {e0 , e1 , e2 } des états de la nature

correspond aux trois éventualités possibles concernant la grève : pas de grève, une semaine de grève (durant le 2ème semaine), deux semaines de grève (durant les 2ème et 3ème semaines), respectivement e0 , e1 et e2 .

• tableau des gains : attention gain=45-30(pour 5000) ou

45-40 (soustraitance) ; Faire en sorte de produire 5000*3 pour couvrir les 3 semaines ; 23/97

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Exercices

Exercice3 : correction a1 (5000) a2 (10000) a3 (15000)

e0 3*5*15 = 225 K 7*15 + 3*5 + 5*15 = 195 K 7*15 + 8*5 = 145 K

e1 2*5*15 = 150 K 7*15 + 3*5 + 5*15 = 195 K 7*15 + 8*5 = 145 K

e2 5*15 = 75 K 7*15 + 3*5 = 120 K 7*5 + 8*5 = 145 K

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DEUXIEME COURS

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Cadre de la décision Deux cas • avenir certain : état de la nature connu à priori. Un

exemple typique consiste à choisir l’itinéraire le plus court pour livrer un certain nombre de clients.

• avenir incertain, un exemple serai de lancer un nouveau

produit n’ayant pas d’équivalent.

Dans le premier cas il s’agit d’un problème d’optimisation mathématique, dans le second cas le hasard intervient de manière importante.

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Decisionn sous certitude

• Etat de la nature connu à priori ;

• Choix de l’action correspondant au gain max.

Lancer/ne pas lancer le produit si e2 (accueil favorable) alors on doit choisir a1 .

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Introduction

Pour résoudre le problème de décision • choisir un critère de décision ; • Critère de Wald(maximiser le gain minimum) ; • Critère maximiser le gain maximum ; • Critère Hurwicz ; • Critère de Laplace ; • Critère de Savage (minimisr le regret maximum). • déterminer la meilleure action selon ce critère.

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Introduction

Principe A chaque action ai est associée une valorisation vi selon le critère considèré. Nous devons retenir ak tel que vk ≥ vi ∀i = 1, . . . , n (quand il s’agit de gain) (≤ s’il s’agit de coût).

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Critère de wald

Definition Pour chaque action, on considère la pire des situations (gain min). Puis on retient l’action la moins pire, c’est à dire qui maximise le minimum des gains. maxi minj g(ai , ej ) Critère très prudent. Convient au décideur ayant une aversion au risque.

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Critère de Wald

Lancer/ne pas lancer

a1 a2

e1 400 0

e2 250 0

e3 -500 0

min gain -500 0

Choisir action a2 .

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Critère de Wald Agendas q-d 100 150 200 250 300

100 2500 1750 1000 250 -500

150 2500 3750 3000 2250 1500

200 2500 3750 5000 4250 3500

250 2500 3750 5000 6250 5500

300 2500 3750 5000 6250 7500

min gain 2500 1750 1000 250 -500

Commander 100 agendas.

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Critère de Wald

Exemple Actions/états a1 a2 a3

e1 100 125 0

e2 25 30 50

e3 40 50 75

e4 20 05 40

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Critère de Wald

Correction Actions/états a1 a2 a3

e1 100 125 0

e2 25 30 50

e3 40 50 75

e4 20 05 40

min 20 5 0

décision : a1

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critère de maximiser le gain maximum

Définition(maxmax) On considère pour chaque action le cas leplus favorable (gain max) et on retient l’action qui assure le plus grand gain max. vi = maxj g(ai , ej ), On choisit ak tel que vk = maxn vi Critère avec un gout au risque.

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Critère de maxmax

Lancer/ne pas lancer

a1 a2

e1 400 0

e2 250 0

e3 -500 0

max gain 400 0

Choisir action a1 .

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Critère maxmax Agendas q-d 100 150 200 250 300

100 2500 1750 1000 250 -500

150 2500 3750 3000 2250 1500

200 2500 3750 5000 4250 3500

250 2500 3750 5000 6250 5500

300 2500 3750 5000 6250 7500

max gain 2500 2750 3000 3250 3500

Commander 300 agendas.

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Critère du gain max

Exemple Actions/états a1 a2 a3

e1 25 30 50

e2 20 5 40

e3 100 125 0

e4 40 50 75

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Critère du gain max

Correction Actions/états a1 a2 a3

e1 25 30 50

e2 20 5 40

e3 100 125 0

e4 40 50 75

max gain 100 125 75

décision : a2

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Critère de Hurwicz

Définition il s’agit d’une famille de critères, dont le critère de wald apparait come un cas particulier. Au lieu de ne considérer que le pire des résultats, on envisage conjointement le pire et le meilleure et on en fait la moyenne en pondérant le résultat maxi par un coefficient d’optimisme 0≤α≤1 vi = α max gij + (1 − α) min gij On choisi l’action qui maximise vi → problème : choix du α.

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Critère de Hurwicz

Lancer/ne pas lancer (α = 0.5)

a1 a2

e1 400 0

e2 250 0

e3 -500 0

vi 0.5* 400+0.5*(-500)= -50 0

Choisir action a2 .

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Critère de Hurwicz Agendas q-d 100 150 200 250 300

100 2500 1750 1000 250 -500

150 2500 3750 3000 2250 1500

200 2500 3750 5000 4250 3500

250 2500 3750 5000 6250 5500

300 2500 3750 5000 6250 7500

vi 2500 2750 3000 3250 3500

Commander 300 agendas.

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Critère Hurwicz

exemple Actions/états a1 a2 a3

e1 100 125 0

e2 25 30 50

e3 40 50 75

e4 20 5 40

Quelle décision si : α = 0(décideur pessimiste) ou α = 1 (décideur optimiste).

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TROISIEME COURS

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Critère de Laplace

Définition (moyenne des gains) En absence de l’information sur les probabilités d’occurrences des états de la nature, on leur associe une probabilité p1 . pour � chaque action ai on calcule vi = p1 j gij .

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Critère de Laplace

Lancer/ne pas lancer

a1 a2

e1 400 0

e2 250 0

e3 -500 0

vi 1 3 (400+250-500)=50 0

Choisir action a1 .

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Critère de Laplace

Exemple Actions/états a1 a2 a3

e1 20 5 40

e2 25 30 50

e3 40 50 75

e4 100 125 0

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Critère de Laplace

Correction Actions/états a1 a2 a3

e1 20 5 40

e2 25 30 50

e3 40 50 75

e4 100 125 0

vi 1 4 (20+25+40+100)=46,25 1 4 (5+30+50+125)=52,5 1 4 (40+50+75+0)=41,25

Décision= a2

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Critère de Savage

Définition(Critère minmaxregret) Ce critère repose sue la notion de regret. Le regret mesure la différence entre ce que l’on aurait pu obtenir si l’in vait su quel état se réaliserait et ce que l’on obtient effectivement. Regret : rij = maxn gij − gij . On retient l’action dont le regret max est le plus faible possible.

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Critère de Savage Agendas (Tableau des regrets) q-d 100 150 200 250 300 max

100 0 750 1500 2250 3000 2500

150 1250 0 750 1550 2250 3750

200 2500 1250 0 750 1500 5000

250 3750 2500 1250 0 750 6250

300 5000 3750 2500 1250 0 7500

Regret max 5000 3750 2500 2250 3000

Commander 250 agendas.

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Critère de Savage

Exemple Actions/états a1 a2 a3

e1 20 5 40

e2 25 30 50

e3 40 50 75

e4 100 125 0

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Critère de Savage

Correction Actions/états a1 a2 a3 max

e1 20 35 0 40

e2 25 20 0 50

e3 35 25 0 75

e4 25 0 125 125

Regret max 35 35 125

Décision : a1 ou a2

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critères Remarques • critère Laplace : avantage réside dans sa simplicité, son

inconvenient : peu réaliste. On prétend raisonner en avenir incertain,c’est à dire dans le cadre d’une situation ou l’on ne peut par ou l’on ne veut pas affecter une probabilité de réalisation à chacun des états de al nature. Alors que le choix du critère de Laplace équivaut pas attribuer implicitement la même probabilité d’arrivées aux divers états de la nature. Il correspond à un type de comportement des dirigeants d’entreprise tout a fait particulier, caractérisé par une neutralité totale à l’égard du risque. 54/97

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critères

Remarques • Critère de wald : attitude prudente du preneur de décision. • Critère de savage : attitude prudente aussi. On raisonne

en terme de regret (le manque à gagner) et on essaye de le mimimiser.

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QUATRIEME COURS

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Introduction

Caractérisation et axiomes Milnor a introduit 10 axiomes qui vont lui permettre de caractériser les critères présentés auparavant. Les axiomes correspondent au conditions sous lesquelles ont peu utiliser un critère. Il a établit des conditions nécessaires pour q’un critère puisse être considéré comme raisonnable.

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Introduction

Caractérisation et axiomes Les cinq premier axiomes sont compatibles avec les 4 critères étudiés (Wald, Laplace, Savage, Hurwicz).

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Caractérisation et axiomes

Axiome1 : Ordre un critère doit permettre de classer complètement les actions avec éventuellement des ex aequo.

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Caractérisation et axiomes

Axiome2 : Symetrie le classement des actions est indépendant de leur numérotation ainsi que de celle des états de la nature. (Ex : les gens ont tendance a porté leur attention sur le premier ou le dernier item d’une liste énumérative qu’il s’agisse de décisions, d’états ou de conséquences. )

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Action dominée

Définition ai est dominée par ak si et seulement si g(ai , ej ) ≤ (ak , ej )∀j ∈ {1, . . . , p}. Avec au moins une inégalité stricte. Les action dominées peuvent être éliminée des choix possible.

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Caractérisation et axiomes

Axiome3 : Dominance strict si une action ai domine strictement une action ah , alors ai est classé avant ah .

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Caractérisation et axiomes

Axiome4 : Adjonction d’une ligne L’adjonction d’une nouvelle action ne modifie pas le classement relatif des autres actions. Remarque : critère de savage ne respect pas cet axiome.

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Adjonction d’une ligne (savage)

a b

3 6

4 2

tableau de regret a b

3 0

0 2

Décision : b.

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Adjonction d’une ligne (savage) on ajoute l’action c a b c

3 6 1

4 2 7

tableau de regret a b c

3 0 5

3 5 0

Décision : a 65/97

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Caractérisation et axiomes

Axiome5 : Convexité si deux actions ai et ah sont indifférentes, alors l’action ak tel que gkj = 12 (gij + ghj ) ∀j ne peut etre classé après ai et ah . Autrement, si des actions sont simultanément préférés vis-à-vis d’un critère, il doit être de même pour toute combinaison linéaire de ces actes. Remarque : le critère d’Hurwicz ne respecte pas cet axiome.

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Convexité(Hurwicz)

e1 e2 e3 a 2 0 0 b 0 2 0 c 1 1 0 Quelque soit le coefficient d’optimisme α, selon le critère, les deux actions a et b sont indifférentes, devant l’action c alors qu’on a g3 j = 12 (g1j + g2j )

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Caractérisation et axiomes Axiome6 : Adjonction ou retranchement d’une colonne l’ajout ou le retranchement d’un colonne identique à un autre colonne ne doit pas modifier la réponse du critère. Cet axiome traduit d’une certaine manière l’ignorance complète dans laquelle le choix est effectué : ce qui compte, c’est ed savoir quels états de la nature sont possibles, et non combien de fois tel ou tel état à été pris en compte dans la formation de la matrice. Remarque : le critère de Laplace ne respecte pas ce critère. Ce critère suppose implicitement tous les états équiprobable et il est bien claire que d’ajouter ou retrancher un état modifie la probabilité affectée à chacun des états restants.

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Adjonction ou retranchement d’une colonne

e1 e2 e3 a 4 1 1 b 1 3 3 l’action a l’emporte avec le critère de Laplace et sans la colonne e3 mais en l’ajoutant c’est b qui l’emporte.

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Caractérisation et axiomes

Axiome7 : Linéarité Le critère n’est pas modifié si on applique la même transformation linéaire à toute les mesures de conséquences. Autrement, le classement des actions n’est pas modifié si l’on remplace la matrice P = [gij ] par la matrice T = [λgij + µ]

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Caractérisation et axiomes

Axiome9 : linéarité dans les colonnes voir ploy de sidoine

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Caractérisation et axiomes

Axiome10 : adjonction d’une ligne spéciale L’adjonction d’une action dominée ne modifie pas le classement des actions initiales. cet axiome est une version affaiblie de l’axiome 6. il est vérifié par chacun des critères.

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Caractérisation et axiomes Résumé ordre symetrie dom.strict continuite linearité adjonc. ligne line. col adj. col convexité ligne spé.

Laplace × × × × × × × × ×

Wald × × × × × × × × ×

Savage × × × × × × × × ×

Hurwicz × × × × × × × ×

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Remarques

il convient de noter que le critère de Wald est d’un point de vue informationnel moins exigeant que les trois autres critères , en ce sens qu’il requiert une information moins élaborées. En effet, la mise en oeuvre des critères de Laplace, Savage et Hurwicz exigent une mesure cardinale des conséquences des actions. le critère de wald en revanche peut se contenter d’une mesure ordinale.

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remarques

autres caractérisations • il existe d’autre résultats de caractérisations que ceux de

Milnor, conernant notamment le critère de Laplace. on peut citer Chernoff(1954) et Maskin (1979), Barrett et Pattanaik (1988).

• d’autres critères existent bien sur : critère moyenne

variabilité et critère de Starr (1966).

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