Examen PR-2015-MMC ENIB [PDF]

Zitiervorschau

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique, des Technologies de l’Information et de la Communication

Université de Carthage Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte

Examen (Session principale) Filière : GI/GM Niveau : 1A Matière : Mécanique des Milieux Continus

Date : 09/01/2015 Durée : 1h30 Documents : Seul document autorisé : une feuille manuscrite recto-verso Calculatrice : autorisée

Enseignant : SHIRI S.

Exercice On donne, dans le plan physique R3 rapporté au repère orthonormé R  (O; e1 , e2 , e3 ) , la transformation définie à l’instant t par :

u  2 t X 2 e1

1. Donner la transformation linéaire tangente F, en déduire la dilatation volumique dans ce mouvement. 2. Calculer le tenseur de Cauchy à droite C et le tenseur des déformations de Green-Lagrange L. 3. Préciser l’hypothèse de la transformation infinitésimale et donner les expressions linéarisées correspondantes de C et L. 4. En transformation infinitésimale, calculer la dilatation linéaire dans la direction e1 5. Déterminer les valeurs principales et les directions principales du tenseur des déformations linéarisées. 6. Tracer le tricercle de Mohr des déformations. En déduire la valeur de la distorsion maximale.

Problème : prisme soumis à la gravité Un prisme déformable (Ω) de section triangulaire (OBH) infiniment long suivant l'axe z est posé sur un socle élastique (Γ) (Figure 1). La longueur de la base est notée b et la hauteur h. Le point O est bloqué selon les deux directions du plan, le point B est bloqué suivant y et peut glisser suivant x ; de façon générale, les points de la base [OB] sont libres de se déplacer suivant x (on supposera le frottement nul avec le socle). Ce corps est uniquement soumis à la force de gravité volumique d'accélération  g y et à la réaction du substrat sur lequel il est posé. Le matériau constitutif du prisme est supposé homogène, isotrope, élastique, de module de Young E, de coefficient de Poisson , de masse volumique . On cherche à déterminer le champ de contrainte, puis le champ de déformation, puis le champ de déplacement au sein du prisme. On traite le problème par la méthode d’Airy. La fonction d'Airy candidate en tant que solution du problème posé est de la forme :   x, y   a1 x3  a2 x 2 y  a3 xy 2  a4 y 3  c1x 2  c2 xy  c3 y 2 où les coefficients ak et ck sont des constantes. Le champ de contrainte dérive de la fonction d'Airy par les équations suivantes :   2    xx y 2  V   2    V où V (x,y)= -gy est la fonction potentiel des forces de volume.  yy x 2    2   xy   xy 

Fig.1: Prisme déformable soumis à la pesanteur 1. Problème de déformations planes Expliquer pourquoi il s'agit d'un problème de déformations planes, et donner la forme générale des tenseurs des déformations et des contraintes ε et σ. 2. Bi-harmonicité de Ф

2 f 2 f 2 f Le laplacien d'une fonction scalaire f en coordonnées cartésiennes : f  2  2  2 x y z Montrer que la fonction Ф (x; y) est bi-harmonique. 3. Champ de contraintes Donner l'expression des contraintes σxx, σyy et σxy en fonction des coordonnées x; y et des paramètres ak et ck. 4. Conditions aux limites du prisme 4.1. Condition sur le bord ӘΩ1 = (OH) 4.1.1. Quelle est l'équation de ce bord ? 4.1.2. Quel est le vecteur normal extérieur n1 à ce bord ? 4.1.3. Que vaut la force surfacique f s1 sur ce bord libre ? 4.1.4. Que vaut le vecteur contrainte  n1 agissant en tout point P de ce bord ? 4.1.5. Exprimer la condition aux limites et conclure que a4  

g 6

et que a3 = c2 = c3 = 0.

4.1.6. Simplifier l'expression des contraintes en conséquence. 4.2 Condition sur le bord ӘΩ2 = (BH) Reprendre la méthode en cinq étapes de la question précédente pour exprimer la condition aux x y limites sur ce bord (on montrera notamment que P  2    1 et que la normale n2 est b b proportionnelle au vecteur N2  hx  by )

4.2.6. Déduire que le tenseur des contraintes est :  xy  0 0   xx  0   x y     xy  0  yy   gh    1 0    b h    0  zz x , y , z  0 4.3 Condition sur le bord ӘΩ3 = (OB) 4.3.1. Quelle est l'équation de ce bord ? 4.3.2. Quel est le vecteur normal extérieur n3 à ce bord ? 4.3.3. Que vaut le vecteur contrainte  n3 agissant en tout point P de ce bord ? 4.3.4. Quel est la résultante des sous-pressions agissant sur la base du prisme ? 4.3.5. Contrôler l'équilibre global du prisme. 5. Champ de déformation 5.1. Rappeler la loi de Hooke. 5.2. Exprimer la contrainte σzz en fonction de σyy. 5.3. Exprimer Σ= tr(σ), trace du tenseur des contraintes, en fonction de σyy. 5.4. Donner les expressions des composantes de déformation en fonction de σyy puis en fonction de (x; y). 6. Champ de déplacement En tout point M du prisme le vecteur déplacement est noté

u(M )  u( x, y) x  v( x, y) y Montrer que le champ de déplacement ci-dessous est solution du problème :

  x 2 xy 1  y 2  (1  ) by  u ( x , y )    gh   x    E  2b 2h    2b h  2 2 2 v( x, y )   (1  )  gh    x  xy  y   bx  y   1  2h b 2h 1  2 h   E   