Ejercicios Desarrollados de Ecuaciones Defiferenciales [PDF]

Zitiervorschau

1. Ley de enfriamiento de Newton. Esta dada por la siguiente ecuación diferencial

𝑑𝑇 = 𝐾(𝑇 − 𝑇𝐴 ) 𝑑𝑡 Donde: 𝑇 : es la temperatura en el instante 𝑡 𝑇𝐴 : es la temperatura ambiente 𝐾 : es la constante de desintegración

 Al apagar un motor su temperatura es de 98°C y el medio en que se encuentra se conserva a 21°C. Si después de 10 minutos el motor se ha enfriado a 88°C, encuentre : a) La temperatura del motor como función del tiempo. b) El instante en la cual su temperatura es de 35°C. Solución 𝑑𝑇 = 𝐾(𝑇 − 𝑇𝐴 ) 𝑑𝑡 𝑡: Tiempo en minutos (𝑉𝑖 ) 𝑇(𝑡) : Temperatura en 𝑡 minutos Datos del problema: Cuando: 𝑡 = 0 𝑇(0) = 98°𝐶

𝑇𝐴 = 21°𝐶

Cuando: 𝑡 = 10 𝑇(10) = 88°𝐶

Por variable separable: 𝑑𝑇 = 𝐾(𝑇 − 21) 𝑑𝑡 ∫

𝑑𝑇 = ∫ 𝐾𝑑𝑡 𝑇 − 21

ln(𝑇 − 21) = 𝑘𝑡 + 𝐴

𝑒 ln(𝑇−21) = 𝑒 𝑘𝑡 . 𝑒 𝐴

𝑒 ln(𝑇−21) = 𝑒 𝑘𝑡 . 𝑃 𝑇 − 21 = 𝑒 𝑘𝑡 . 𝑃 𝑇 = 𝑒 𝑘𝑡 . 𝑃 + 21 ….ecuacion general

Reemplazando los datos obtenidos: 𝑇(0) = 𝑒 𝑘(0) . 𝑃 + 21 98 = 𝑃 + 21 𝑃 = 77°𝐶

𝑇(10) = 𝑒 𝑘(10) . 77 + 21 88 − 21 = 77. 𝑒 𝑘(10) 67 𝑙𝑛 ( ) = ln(𝑒 𝑘(10) ) 77 𝑘 = −0.013911 𝑇(𝑡) = 𝑒 𝑡(−0.013911) . 77 + 21 …………. Ecuacion en función del tiempo Nos piden hallar en tiempo cuando 𝑇 = 35°𝐶: 35 = 𝑒 𝑡(−0.013911) . 77 + 21 𝑡 = 122.54

2. Desintegración radioactiva. Bueno para este caso la velocidad de desintegración de cualquier sustancia radioactiva dado en un instante es proporcional a la cantidad presente en ese instante. Llamamos vida media a la mitad de la sustancia desintegrada en un determinado tiempo.

Cuando: 𝑡𝑜 = 0 , 𝐷0 = 0

Cuando: 𝑡𝑓 = 𝑡 , 𝐷𝑓 = 𝐷⁄2

Se denota la siguiente formula: 𝑑𝑐 =𝛼×𝐶 𝑑𝑡 𝑡 : es el tiempo en horas, minutos, etc. (variable independiente) 𝐶(𝑡) : Cantidad radioactiva existen luego de 𝑡 horas, minutos, etc. 𝛼 : es una constante



El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente.

Si inicialmente hay 𝟏𝟎 𝒈 y después de 2 horas se ha perdido el 5% de su masa original, hallar

a) La cantidad restante de uranio como función del tiempo. b) La cantidad de uranio después de 5 horas.

Solución

𝑡: Tiempo (𝑉𝑖 ) en horas. 𝐶(𝑡) : Cantidad de uranio existente luego de t horas Fórmula utilizada: 𝑑𝑐 =𝛼×𝐶 𝑑𝑡 Por variable separable: ∫

𝑑𝑐 = ∫𝛼 × 𝐶 𝑑𝑡

ln(𝑐) = 𝛼𝑡 + 𝑘

𝑒ln(𝑐) = 𝑒𝛼𝑡+𝑘 𝑐 = 𝑒𝛼𝑡 . 𝑒𝑘 𝑐 = 𝐴. 𝑒𝑘 Por datos tenemos: Cuando 𝑡 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 , 𝐶2 = 9.5 𝑔 Cuando 𝑡 = 0 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 , 𝐶0 = 10 𝑔 𝐶0 = 𝐴. 𝑒0.𝑡 𝐴 = 10 𝐶2 = 10. 𝑒2.𝛼 9.5 = 10. 𝑒2.𝛼 9.5 ln ( ) = 𝑙𝑛(𝑒2.𝛼 ) 10 𝛼 = −0.025643 a) La cantidad restante de uranio como función del tiempo: 𝐶𝑡 = 10. 𝑒−0.025643𝑡 b) La cantidad de uranio después de 5 horas: 𝐶5 = 10. 𝑒−0.025643×5 = 8.796 𝑔