Eje 1 - Ecuaciones Diferenciales [PDF]

Zitiervorschau

 

14/10/2019

Actividad evaluativa Eje 1 [P1]: ECUACIONES DIFERENCIALES_TRV - 2019/09/30 - 041

Actividad evaluativa evaluativa Eje 1 [P1]  14 de oct en 23:59  15 Fecha límite  14 Puntos  25 Preguntas 15 Preguntas Disponible 30 Disponible  30 de sep en 0:00-14 de oct en 23:59 15 días  Tiempo límite  60 minutos

Instrucciones Para responder el siguiente examen, es importante estudiar todos los contenidos y recursos del eje correspondiente. Cada referente de pensamiento, recurso o lectura complementaria le brinda herramientas para responder  las preguntas de forma correcta. Este examen tiene el objetivo de verificar el avance de su aprendizaje y representa una práctica de evaluación formal y, por tanto, otorga una calificación de desempeño.   ¡Cuidado! Le recordamos que solo tiene un intento para resolver la evaluación.

 Apreciado estudiante, estudiante, ante antess de contest contestar ar su examen, por favor le leaa las siguiente siguientess recomendac recomendaciones: iones: 1. Una vez que haya dado clic en el botón “ Realizar la evaluación”, no haga ninguna otra actividad diferente a contestar su examen (por ejemplo: dar clic en el botón atrás del navegador, leer algún tipo de documento, foro, etc.) ya que esto podrá hacer que el examen se cierre y se pierda el intento. 2. Este examen cuenta con 60 minutos para ser resuelto. 3. Al terminar el examen, siempre debe dar clic en el botón "Entregar evaluación", de otra forma el examen quedará abierto y no se calificará. 4. Recuerde que el examen debe hacerse por lo menos dos horas antes de la hora de cierre de la actividad, una vez se llegue a la hora de cierre este se enviará automáticamente. 5. Una vez cerrado el examen usted tendrá la posibilidad de revisar la solución. 6. Por favor, asegúrese de tener una buena conexión. Le recomendamos cerrar cualquier programa que pueda consumir el ancho de banda. Evite usar el Internet móvil. Si usted presenta problemas, se puede comunicar con la línea única nacional de atención al estudiante , en Bogotá 7449191, Medellín 6044508, Pereira 3401516, Valledupar 5897879, a la línea gratuita nacional 018000180099.

Tipo de preguntas: Cada examen puede contener distintos tipos de preguntas o consignas:

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Verdadero-Falso: debe indicar si la proposición se considera verdadera o falsa. Tenga en cuenta que, si un solo elemento es falso, toda la proposición también lo es. Opción múltiple: una sola de las opciones es correcta. Las alternativas están indicadas con círculos. Debe seleccionar la respuesta correcta, marcando el círculo precedente. Respuesta múltiple: más de una respuesta es correcta. Debe seleccionar todas las alternativas que considere correctas, marcando el cuadrado que precede a cada una.

En caso de no marcar todas las respuestas correcta correctas, s, se le otorga un puntaje parcial. Coincidente: debe vincular dos dos categorías, sele seleccionando ccionando en la 1a columna el concept conceptoo que correspon corresponde de con la cate categorí goríaa de la 2a colu columna. mna.

  ¡Deseamos que pueda desarrollar con éxito este examen!

Historial de intentos

ÚLTIMO

Intento

Tiempo

Puntaje

Intento 1

51 minutos

25 de 25

correctas están ocultas.  Las respuestas correctas Calificación para esta evaluación: 25 de 25 Presentado 14 de oct en 12:41 Este intento tuvo una duración de 51 minutos.

Pregunta 1

1.67 / 1.67 ptos.

En general podemos considerar que la población mundial está creciendo a un ritmo acelerado ya que cada vez hay más personas y menos recursos alimenticios y energéticos para hacerla sostenible. Aún más, supongamos que dicho crecimiento es exponencial y claramente el aumento de personas en cierta ciudad es proporcional al número de habitantes que hay en un instante cualquiera. El crecimiento poblacional es un problema típico que relaciona una ecuación diferencial de primer orden de la forma dP/dt=kP https://areandina.instructure.com/courses/3925/quizzes/13703

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Se sabe que en períodos de tiempo la velocidad con que crecen algunas poblaciones es proporcional a la población que se tenga en algún momento del presente. Supongamos que P(t) es una población de individuos en el tiempo t y que la población está creciendo de manera constante a un ritmo proporcional a la población presente en ese momento, entonces interesa establecer como está relacionado P con t, o, en otras palabras, determin determinar ar P como función de x. Volviendo al concepto de razón de cambio, como el ritmo de crecimiento de P es proporcional a P, entonces podemos escribir esta variación en términos de la ecuación diferencial dP/dt=kP.

Pregunta 2

1.67 / 1.67 ptos.

 Al lado de las ecuaciones di diferenciales ferenciales or ordinarias, dinarias, exis existen ten las ecuac ecuaciones iones diferenciales parciales o ecuaciones en derivadas parciales, éstas tienen más de una variable independient independientee y las derivadas (parciales) se calculan con respecto a estas variables independientes. Una de las siguientes ecuaciones no es una ecuación diferencial parcial.

∂u/∂t+3 ∂u/∂y=u

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La ED (d^3 y)/〖dx〗^3 +x (d^2 y)/〖dx〗^2 - dy/dx=x^3 es la única que solamente presenta una variable dependiente, y , y una variable independientee x . Además, la nnotación independient otación ∂u/∂x solo se uutiliza tiliza para ecuaciones diferenciales parciales.

Pregunta 3

1.67 / 1.67 ptos.

La ecuación diferencial F(x,y,y´,⋯,y^n)=0 se llama lineal si F es una función lineal de las variables y,y´,⋯,y^n Una de las siguientes ED no es lineal.

  〖(y´´)〗^2 - xy´ = y

Porque la potencia de la variable y´´ es 2, y para ser lineal debe ser  1.

Pregunta 4

1.67 / 1.67 ptos.

Como una aplicación inmediata de resolver una ecuación diferencial, habitualmente interesan interesan problemas en los que buscamos una solución y(x) de una ecuación diferencial pero sujeta a unas condiciones que se han establecido previamente, es decir, proponen un valor inicial para la variable independientee (x) y la variable dependiente (y) o sus derivadas independient sucesivas. https://areandina.instructure.com/courses/3925/quizzes/13703

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Se sabe que la solución para el problema con valor inicial de la ecuación diferencial y´+ y = 0; y (-1) = 2 es y(x) = c*e^(-x). El valor de la constante c es:

c=2e^(2 )

Este es un caso de problema con valor inicial de primer orden. Reemplazando Reemplazan do y(-1) = 2 en la solución, es decir, en y(x)= ce^(-x), nos queda y(-1) = ce^(-2 ) ⟹ 2 = ce^(-2 ) ⟹  c = 2/e^(-2 ) ⟹ c = 2e^(2 )

Pregunta 5

1.67 / 1.67 ptos.

Si en la definición de una ecuación diferencial, F es un polinomio, se define el grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) y el de sus derivadas, es decir, el exponente al que está elevada la derivada de mayor  orden que aparece en ella. Si este número no es natural, no se puede determinar el grado de la ecuación diferencial. El orden de una ecuación diferencial se define como el orden de la derivada más alta que aparece en ella.  2y3

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El orden y grado de la ED (d^2 y)/〖dx〗^2 +4〖(dy/dx)〗^3-2y=sin ^3-2y=sinxx es respectivamen respectivamente te El orden es 2 porque es el mayor exponente de la derivada (d^2 y)/ 〖dx〗^2, y el grado es 3 porque es el exponente a la que está elevada dy/dx, es decir, 3.

1.67 / 1.67 ptos.

Pregunta 6

Las ecuaciones diferenciales separables son aquellas que se pueden escribir de la forma dy/dx=g(x)h(y) dy/dx=g(x)h(y).. Una forma muy sencilla en que se pueden presentar las ecuaciones ecuaciones diferencialeses desimilar primer al orden, soluciónde después dedeciertos arreglos algebraicos, nivel cuya más sencillo solución integrales muy simples. La solución general de la ED dx/dt=1+x^2 es:

x(t)=tan(t+k). x(t)=tan (t+k).

 Aplicando la técnica técnica de sepa separación ración de va variables riables tenemo tenemoss ∫dx/(1+x^2 )=∫〖dt

 tan^(-1)) (x) = t + k  tan^(-1

⟹

Luego la solución general es de la forma x(t)=tan (t+k).

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Pregunta 7

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Verificar si cierta función definida de manera explícita es solución de una ecuación diferencial diferencial es una tarea relativamente fácil si se tienen los conocimientos necesarios sobre derivación; sin embargo, existen soluciones de ecuaciones diferenciales definidas de manera implícita, lo que implica que en algunas ocasiones sea muy difícil (o imposible) expresar la variable dependiente explícitamente explícitamente en términos de la variable independiente. Una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria es:

  Una solución en el que la variable dependiente no puede ser separada o despejada.

Por definición, Una solución en el que la variable dependiente dependiente no puede ser separada o despejada.

Pregunta 8

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 Si en la definición de una ecuación diferencial, F es un polinomio, se define el grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) y el de sus derivadas, es decir, el exponente al que está elevada la derivada de mayor  orden que aparece en ella. El orden de una ecuación diferencial se define como el orden de la derivada más alta que aparece en ella. La ecuación diferencial F(x,y,y´,⋯,y^n) = 0 se llama lineal si F es una función lineal de las variables y,y´,⋯,y^n. La ecuación diferencial (d^3 y)/〖dx〗^3 +x (d^2 y)/〖dx〗^2 - dy/dx=x^3 es:

  Grado 1, tercer orden y lineal.

Es de grado 1 porque el exponente al que está elevada la derivada de mayor orden que aparece en ella es 1; es de tercer orden porque la derivada más alta que aparece es 1; es lineal porque todos sus coeficientes solo dependen de x, y es de grado 1 en y y todas sus derivadas.

Pregunta 9

1.67 / 1.67 ptos.

En términos generales una ecuación es una igualdad de dos expresiones expresiones,, no importa su “longitud”, que se caracterizan porque ambas o alguna de ellas tienen una o más incógnitas. Aunque estamos acostumbrados a resolver  ecuaciones de tipo algebraico donde las soluciones son números reales, debemos advertir que la solución o soluciones de una ecuación diferencial es una función o una familia de funciones. Una ecuación diferencial ordinaria es: https://areandina.instructure.com/courses/3925/quizzes/13703

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  Una ecuación diferencial que relaciona una función, una sola variable independiente independien te y las derivadas con respecto a esa variable independie independiente. nte.

Por definición, una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación diferencial que relaciona una función, una sola variable independiente y las derivadas con respecto a esa variable independien independiente. te.

Pregunta 10

1.67 / 1.67 ptos.

En la aplicación de métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y orden superior aparecen el tipo de ecuaciones diferenciales cuya solución no presenta mayores dificultades, ya que se “limitan” a resolver integrales por los métodos de integración. uno muy usado es el método de sustitución. La solución general de la ecuación diferencial ordinaria dy/dx-x^2 (4+x^3) = 0 es:

  y = (4 + x^3 )^2/6 + c https://areandina.instructure.com/courses/3925/quizzes/13703

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Despejando dy/dx nos queda dy/dx = x^2 (4+x^3), con lo cual la integral solución es y=∫x^2 (4+x^3) dx. Haciendo la sustitución u = (4+x^3), tenemos que du = 3x^2 dx y dx = du/(3x)^2 . La integral queda entonces entonces ∫x^2 u du/(3x)^2 = 1/3 ∫u du = 1/3 (u^2/2) + c = (u^2/6)+c = (4+x^3 )^2/6 + c , y la solución (explícita) es: y=(4+x^3 )^2/6+c

Pregunta 11

1.67 / 1.67 ptos.

Las ecuaciones diferenciales separables son aquellas que se pueden escribir de la forma dy/dx=g(x)h(y) dy/dx=g(x)h(y).. Una forma muy sencilla en que se pueden presentar las ecuaciones ecuaciones diferenciales de primer orden, cuya solución después de ciertos arreglos algebraicos, es similar al nivel más sencillo de solución de integrales muy simples." La solución general de la ED dy/dx = 5x(y-3)^2 es:

y = 3-(1/(2x)^2 + k))

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 Al separar las variables y eescribir scribir las inte integrales grales nos qqueda ueda ∫dy/(y-3)^2 = ∫4xdx. Resolvamos cada integral por separado: Para la integral ∫dy/((y-3)^2, realizamos la sustitución u = y-3 ⟹dy = du, con lo que ∫dy/((y-3)^2 ∫ dy/((y-3)^2 = ∫du/u^2 =∫u^(-2) du = u^(-1)/(-1)+k = (y3)^(-1)/(-1)) + k. 3)^(-1)/(-1 La integral ∫4xdx=4∫xdx = (4x)^2/2+k = (2x^2) + k.  Al igualar las soluciones soluciones de llas as integrales respectivas nnos os queda (y-3)^(-1)/(-1)+k = (2x)^2 + k ⟹ - 1/(y-3) = (2x)^2 + k ⟹ y = 3(y-3)^(-1)/(-1)+k (1/(2x)^2 + k)).

Pregunta 12

1.67 / 1.67 ptos.

El proceso de derivación de funciones reales de variable real puede iterarse, obteniendo la segunda y sucesivas derivadas de una función. En la solución de ecuaciones diferenciales aparece con frecuencia este método, en particular, las derivadas sucesivas de la función de Euler. Si y = e^(x-2), entonces se puede decir que:

d^2 y/dx^2 =e^(x-2)

y = e^(x-2) ⇒ dy/dx = e^(x-2) ⇒ (d^2 y)/dx^2 = e^(x-2)

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Pregunta 13

1.67 / 1.67 ptos.

En términos generales una ecuación es una igualdad de dos expresiones expresiones,, no importa su “longitud”, que se caracterizan porque ambas o alguna de ellas tienen una o más incógnitas. Aunque estamos acostumbrados a resolver  ecuaciones de tipo algebraico donde las soluciones son números reales, debemos advertir que la solución o soluciones de una ecuación diferencial es una función o una familia de funciones. Una ecuación diferencial parcial es:   Una ecuación diferencial cuyas incógnitas son funciones de diversas variables independientes, independien tes, en la que figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas.

Por definición, una ecuación diferencial parcial es una ecuación diferencial cuyas incógnitas son funciones de diversas variables independientes, independient es, en la que figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas.

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En la aplicación de métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y orden superior aparecen el tipo de ecuaciones diferenciales cuya solución no presenta mayores dificultades, ya que se “limitan” a resolver integrales por los métodos de integración. La solución implícita de la ecuación diferencial ordinaria dy/dx = - x es:

  2y + x^2 = k

Pregunta 15

1.62 / 1.62 ptos.

En la aplicación de métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y orden superior aparecen el tipo de ecuaciones diferenciales cuya solución no presenta mayores dificultades, ya que se “limitan” a resolver integrales por los métodos de integración. La solución general de la ecuación diferencial ordinaria dy/dx = x es:   y = (x^2/2) + k

dy/dx = x ⇒ dy = xdx ⇒ ∫dy = ∫xdx ⇒ y = (x^2/2) + k

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Calificación de la evaluación: 25 de 25

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