TD6 Cor Autonomie [PDF]

Zitiervorschau

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1 L’ascenseur à vide Plusieurs entreprises proposent des « ascenseurs à vide ». La cabine dans laquelle monte le ou les passagers se trouve dans un tube. La cabine peut coulisser sans frottement dans le tube, sans câblage, et des joints permettent d’isoler l’air situé au-dessus de la cabine de celui situé au-dessous de la cabine. Une pompe diminue la pression dans la partie supérieure du tube sans que la pression sous la cabine ne soit modifiée.

La masse de la cabine du modèle représenté sur la figure est m = 300 kg. La surface de la section du tube est S = 0,7 m2 . 1. Refaire un schéma et le bilan des forces s’exerçant sur la cabine. 2. A quelle condition sur les pressions la cabine peut-elle s’élever ? Donner l’ordre de grandeur de la dépression nécessaire en haut de la cabine. Cela est-il facilement réalisable à votre avis ? Ascenseur à vide (entreprise 101 Mobility)

2 Soupape de sécurité

Une marmite à pression du genre cocotte-minute est munie d’une soupape de sécurité. Cette soupape est constituée d’une bille de diamètre D = 2 cm, de masse négligeable, appuyée sur un trou de diamètre d = 1.5 cm, par l’intermédiaire d’un ressort dont la raideur est k = 500 N · m−1 . Lors du montage de ce système, on comprime le ressort de ∆x, en l’insérant dans son logement, de manière à ce que la soupape se soulève lorsque la pression dans la marmite dépasse 2 bar. On admettra que les forces de pression qui s’exercent sur la bille sont celles exercées sur la surface de l’ouverture. 1. Faire le bilan des actions mécaniques s’exerçant sur la bille à la limite où la pression atteint 2 bars. Que vaut la réaction du support au moment où la bille se soulève ? Justifier que l’on peut négliger le poids de la bille. 2. Déterminer ∆x.

3 Le vérin hydraulique : analyse des forces La pompe et le vérin comprennent chacun un piston mobile en contact avec le fluide d’un circuit hydraulique, en général de l’huile. L’action de la pompe transfère du fluide dans le vérin entraînant la montée de la tige du vérin. La pompe permet d’actionner le vérin pour une pression allant typiquement jusqu’à 700 bar. On néglige les frottement devant les autres forces.

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* Schéma de principe du vérin hydraulique et de la pompe qui permet de l’actionner (à gauche) et coupe du vérin (à droite) Les aires des sections des pistons du vérin et de la pompe manuelle sont notées respectivement SP V et SP P . Le diamètre du piston dans le vérin est d = 10 cm et sa course (déplacement maximal) est de h = 7 cm. En remarquant que la variation relative de pression due à la hauteur h ((pi − pP V )/pi ) est très petite en raison de la grandeur valeur de pi (700 bar), on pourra considérer que pi = pP V . Analyse des forces On étudie le système à l’équilibre statique. 1. Établir la relation entre la norme de la force exercée par le fluide sur le piston mobile FP V et la pression de l’huile à l’entrée du vérin pi . Calculer la masse maximale que le vérin peut soulever. 2. Déterminer, en fonction des données du problème, la relation entre cette force utile FP V et la force Fop que la personne qui pompe doit exercer sur le piston de la pompe. 3. Comment doivent être dimensionnées SP V et SP P pour que ce système de levage soit « intéressant ».

4 L’ascenseur à vide − On définit un axe → z vertical dirigé vers le haut. Pour calculer les forces de pression, on utilise la définition : Fp = −pS~n, où ~n est la normale extérieure à la surface considérée d’aire S. Dans l’exercice, on applique cette définition en exprimant ~n en fonction de ~z. 1. On isole la cabine. 3 forces s’exercent sur elle : − − — le poids des passagers mp → g et le poids de la cabine mc → g. −−→ − — la résultante des forces de pression de l’air en dessous Fbas = pbas S → z −−−→ − — la résultante des forces de pression de l’air au dessus Fhaut = −phaut S → z. − 2. A la limite du mouvement, on écrit l’équilibre translationnel en projection sur → z. −mg + pbas S − phaut S = 0 d’où Phaut = Pbas −

mg S

On cherche un ordre de grandeur, donc pas besoin d’une grande précision sur g que l’on prend égal à 10 m · s−2 . 3 Phaut − Pbas ' − 300×10 0.7 Pa ' −4, 3 × 10 Pa ' −Patm /23, (élévation si Phaut < Pbas ) soit une sous-pression de 1/23ème d’atmosphère, ce qui est facile à réaliser.

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forces en présences (pas à l’échelle)

5 Soupape de sécurité − On définit un axe vertical vers le haut → z 1. Bilan des forces sur la bille : — la résultante des forces de pression sur la bille, comprenant les forces qui s’exercent sur les calottes sphériques supérieure et inférieure. On admet que les forces de pression qui s’exercent sur les calottes sont celles qui s’exercent sur la surface de l’ouverture, d’aire S = πd2 /4, qui délimite les deux calottes. On note pint et pext les pressions s’exerçant sur les calottes inférieure et supérieure respec2 2 tivement. Les forces de pression correspondantes sont F~p,int = −pint πd4 (−~z) = pint πd4 ~z et 2 F~p,ext = −pext πd4 ~z — La force de rappel du ressort comprimé de ∆x : F~ = −k∆x~z — Le poids de la bille, dont le module est estimé à 0,3 N (masse volumique de l’acier de l’ordre de 8000 kg/m3 ). Ce poids est négligeable devant les forces de pression. — La réaction du support, avec lequel la bille est en contact sur les bords de l’ouverture, est nulle à la limite du mouvement lorsque pint = 2 bar. 2. A la limite du mouvement, la soupape est en équilibre sous l’action des résultantes des forces de pression F~p,ext et F~p,int , et de l’action du ressort. L’écriture de l’équilibre translationnel, en négligeant le poids, mène à F~p,ext + F~p,int + F~ = ~0. En projection sur la verticale : (pint − pext )

πd2 − k∆x = 0, . 4

d’où ∆x = (pint − pext )

πd2 4k

Numériquement : ∆x = (2.105 − 105 )(π(0.015)2 )/(4.500) = 3.5 cm

6 Le vérin hydraulique : analyse des forces 1. En utilisant la définition de la force de pression et l’hypothèse de l’énoncé disant que la pression est uniforme dans le vérin (Pi = PP V ) : FP V = PP V SP V = Pi SP V

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Pi peut monter à 700 bar d’après l’énoncé. La masse maximale qui peut être soulevée est telle que le poids associé à cette masse est exactement compensé par la force maximale FP V,max exercée par le vérin, soit mmax = FP V,max /g. Numériquement, mmax = 700.105 × π × (5.10−2 )2 /10 ≈ 55,103 kg 2. Suivant l’énoncé, les frottements sont négligés, donc Fop , la norme de la force exercée par l’opérateur sur la pompe est égale à FP P , la force de pression exercée par le piston de la pompe sur le fluide : Fop = FP P = SP P Pi . Or Pi =

FP V SP V

. Donc Fop =

SP P FP V . SP V

3. Si le piston de la pompe à main a une surface petite devant celle du piston du vérin ( SSPP VP < 1), alors une petite force Fop produit une grande force utile FP V .

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