Metode Clapeyron [PDF]

Zitiervorschau

Penyelesaian : P1=7 kN q2 = 4 kN/m q1=3kN/m

2EI

EI

2EI 6

3

4

2

2

2

1 Menentukan Sudut Belahan Karena Muatan (Metode Clapeyron) di Setiap Tumpuan(α) P1=7 kN q2 = 4 kN/m q1=3kN/m MB1

MA

a B1

2EI

aA

MB2

MC1

A

a C1

EI

a B2

B

6

M C2

C 3

4

2EI

a C2

2

aD

D

2

2

Free Body a. Bentang A - B

αA

=

αA

=

7 * 360

α B1 =

8q 360

α B1 =

8 * 360

aA 27.27°

A

L3 (EI1) 3 * 6 • (2EI)

2EI Q1=9 kN

6

4 3

=

4536 720 EI

=

63 10 EI

=

5184 720 EI

=

7.2 EI

L3 (EI1) 3 * 6 • (2EI)

3

a B1

27.27°

q1 = 3 KN/m Q1 = 0.5 x q1 x L = 0.5 x 3 x 6 = 9 KN

7q 360

MB1

MA

2

B

b. Bentang B - C

P = 7 KN a = 4 m b = L =

3 7

m m

α B2 =

P

α B2 =

7 •

3 • ( 7² 6 • EI 7

3²

) MB2

P

MC1

a B2

a C1

EI

B

20 EI

α B2 =

α C1 =

P1=7 kN

840 42 EI

α B2 =

α C1 =

b (L² - b²) 6 (EI2L)

C 3

4

a (L² - a²) 6 (EI1L)

7 •

4 • ( 7² 6 • EI 7

α C1 =

924 42 EI

α C1 =

22 EI

4²

)

C. Bentang C - D

q2 = 4 KN/m L =

6

m

Q2 = x q1 x Lb = x 4 x 2 = 8 KN

a1 a2 b1

= = =

2 m 4 m 4 m

b2

=

2 m

Karena a1 = b2 dan a2 = b1 Maka : α C2 =

M C2

αD

C

2

α C2 =

q 6 (EI3L)

x

[

1 L² 2

χ²

-

aD

2EI

a C2

1 4

2

χ

4

]

b1 b2

D 2

4 6 (2EI)•

α C2 =

α C2 =

4 x 72 EI

α C2 =

624 72 EI 26

α C2 =

3 EI

=

(

1 2 1 2

x {[

6

-

[

224

-

68

6 6

2

2

4

2

-

2

2

-

1 4 1 4

4 2

4

]

4

]}

)

αD

2 Menentukan Besar Sudut Belahan di Setiap Titik Akibat Momen (β) a. Sudut Belahan di Titik A q1=3kN/m

MA • 6 3 (2EI)

+

MB • 6 (2EI)

MB1

MA

6

ßA

2EI

A

α

=

6 MA 6 EI

+

z L

=

β

+

6 MB 12 EI

+

δ h

ß B1

27.27°

=

MB • L1 + 6 (EI1)

27.27°

MA • L1 β A = 3 (EI1)

Q1=9 kN

4

6

B

2

Karena tidak ada zetting (penurunan) di semua tumpuan, maka persamaan yang digunkan yaitu:

dimana: α = Sudut belahan karena muatan z = Zetting (penurunan) L = Panjang Bentang β = Sudut belahan karena momen δ = Sudut belahan karena gaya h =

α

=

β

Sehingga: 63 10 EI

=

6 MA 6 EI

+

6 MB 12 EI

→

378 60 EI

=

60 MA 60 EI

+

30 MB 60 EI

→

60

MA +

30 MB

=

378

→

378

…………… Pers. 1

=

60

MA

+

30

MB

b. Sudut Belahan di Titik B β B1 =

MB • L1 3 (EI1)

MB • 6 = 3 (2EI) =

β B2 =

6 MB 6 EI MB • L2 3 (EI2)

MB • 7 = 3 (EI) =

α B1 + 7.2 EI →

+

+

6 MA 12 EI

+

MC • L2 6 (EI2)

7 MB 3 EI

+

α B2 =

β B1 +

6 MB 6 EI

86.4 + 12 EI

240 12 EI

=

→

6 MA

240

+ +

MB2

ßB2

B

MC • 7 + 6 (EI)

20 = EI

86.4

P1=7 kN

MA • 6 + 6 (2EI)

+

→

MA • L1 6 (EI1)

MC1

ß C1

EI

ß

C 3

4

7 MC 6 EI

+

12 MB 12 EI

β

B2

6 MA 12 EI +

+

7 MB 3 EI

+

6 MA 12 EI

+

28 MB 12 EI

+

28 MB

=

6 MA

+

12 MB

40 MB

+

14 MC

=

326.4

7 MC 6 EI + +

14 MC 12 EI 14 MC

…………… Pers. 2

c. Sudut Belahan di Titik C β C1 =

MC • L2 MB • L2 + 3 (EI2) 6 (EI2)

=

MC • 7 3 (EI)

=

7 MC 3 EI

+

+

MB • 7 6 (EI)

M C2

7 MB 6 EI

C

ßC2

2

ßD

2EI

2

D 2

β C2 =

=

MC • 6 3 (2EI)

+

=

6 MC 6 EI

+

α C2 =

β C1 +

α C1 + 22 + EI

MC • L3 MD • L3 + 3 (EI3) 6 (EI3)

26 3 EI

132 + 6 EI

52 6 EI

→

132

52

→

7 MB

+ +

MD = 0 Karena dudukan rol

0

7 MC 3 EI

=

→

MD • 6 6 (2EI)

+

14 MC 6 EI

= =

C2

7 MB 6 EI 7 6

+

14 MC

20 MC

β

+

=

+

6 MC 6 EI

+

MB EI

+

6 MC 6 EI

7 MB

+

6 MC

0

+ +

…………… Pers. 3

184

d. Elimunasi persamaan 1 dan persamaan 2 60 6

MA MA

+ +

30 MB 40 MB

→

60 60

MA MA

+ +

30 MB 400 MB -370 MB

+

→

370 MB

+

140

=

370 MB

=

= 378 x = 326.4 x

+ 14 MC

MC

2886

-

140 MC -140 MC

= 378 = 3264 = -2886 …………… Pers. 4

2886 140

1 10

MC

…………… Pers. 4

e. Elimunasi persamaan 2 dan persamaan 3 6

→

MA

120 MA

+

40 MB 7 MB

+

800 98 702

MB MB MB

120 MA

+

702

MB

702 MB

=

120 MA →

+ +

MB

=

(

3952 3952

= =

14 MC 20 MC 280 280

+ +

=

3952 120

702

MC MC

326 184 = = =

x x

20 14

6528 2576 3952

…………… Pers. 5

MA …………… Pers. 5 120 MA )

0 0

Subtitusi persamaan 5 ke persamaan 1 → →

60 2

MA MA

+ +

→

2

MA

+

→

2

MA

+

30 MB MB ( (

= 378 = 12.6 3952 702 5.630 0.171 MA 1.829 MA 1.829 MA MA

120 MA

)

)

=

12.6

=

9.2

= 12.6 = 12.6 5.630 = 6.970 = 3.811 kNm

Subtitusi MA ke persamaan 1 60 60

MA + 30 MB • 3.8109 + 30 MB 228.65 + 30 MB 30 MB MB

= 378 = 378 = 378 = 149 = 4.97819 kNm

Subtitusi persamaan 4 ke persamaan 3 → 7 MB + 20 MC = → 0.35 MB + MC = ( 2886 → 0.35 MB + ( →

0.35 MB

+

20.61 -

184 9.2

140 2.64 MB -2.29 MB -2.29 MB MB

370 MB

)

)

= 9.2 = 9.2 20.61 = -11.4 = 4.978 kNm

Subtitusi MB ke persamaan 3 7 7

MB + 20 MC • 4.9782 + 20 MC 34.847 + 20 MC 20 MC MC

Sehingga diperoleh : MA = 3.8109 kNm MB = 4.9782 kNm MC = 7.458 kNm MD = 0 → Tumpuan rol

= 184 = 184 = 184 = 149 = 7.45763 kNm

Karena Semua MOMEN bernilai positif maka asumsi awal arah momen benar

3 Menghitung Reaksi Perletakan

P1=7 kN q2 = 4 kN/m q1=3kN/m MB1

MA

a B1

2EI

aA

MB2

MC1

A

a C1

EI

a B2

B

6

M C2

C 3

4

2EI

a C2

2

aD

D

2

2

Free Body a. Bentang A - B

q1=3kN/m

q1 = 3 KN/m Q1 = 0.5 x q1 x L = 0.5 x 3 x 6 = 9 KN

MB1

MA

aA 27.27°

2EI

∑MA = - RB1 RB1

= 0 = 0 = 0 = 18 = 3 kN'

0 • 6 + Q1 • 4 • 6 - 9 • 4 6 RB1 36 6 RB1 RB1

A

RA 6

4

2

= 0 = 0 = 0 = 36.0 = 6 kN' P1=7 kN

P = 7 kN' 7

B RB1

Q1=9 kN

b. Bentang B - C L =

27.27°

∑MB = 0 RA • 6 - Q1 • 2 RA • 6 - 9 • 2 6 RA 18 6 RA RA

a B1

m

∑MC = 0 RB2 • 7 RB2 • 7 7 RB2

P 7 -

• •

MB2

3 3

21 7 RB2 RB2

= = = = =

M C1

0 0 a 0 B 21 RB2 3 kN'

a C1

EI

B2

4

C RC1 3

-

∑MB = 0 RC1 • 7 + RC1 • 7 7 RC1

P • 4 7 • 4 28 7 RC1 RC1

= 0 = 0 = 0 = 28 = 4 kN'

c. Bentang C - D

q2 = 4 KN/m L =

6

Q2 = q1 x = 4 x

m

-

RA

RB

=

RA

+

=

3

+

=

2.805 kN'

=

(

=

RC

6

(

RB1

+

+

(

=

(

= =

KN

0 0 0 24 4 kN'

MC2

C

aD

2EI

a C2

D RD

RC2

= 0 = 0 = 0 = 24 = 4 kN'

2

2

2

- MB L1

6.195 kN' + 8.840 kN'

4

= = = = =

MA

= =

=

8

q2 = 4 kN/m

∑MD = 0 RC2 • 6 - Q2 • 3 RC2 • 6 - 8 • 3 6 RC2 24 6 RC2 RC2 ∑MC = 0 RD • 6 + Q2 • 3 RD • 6 - 8 • 3 6 RD 24 6 RD RD

Lb 2 =

RC1

+

+

(

4.354 kN' + 9.597 kN'

3.811

-

4.97819

6

MB

- MA L1

4.978

- 3.8109 6 2.646 kN'

MC

-

MB

L2 7.458

- 4.97819 7 5.243 kN'

)

)

+

(

RB2

+

)

+

(

3

+

)

+

(

RC2

+

)

+

(

4

+

MB

-

MC

-

7.458

-

MD

-

0.0

L2 4.978 7

MC L3 7.458 6

)

)

)

)

RD

=

RD

+

=

4

+

MD

- MC L3 0.0

(

-

7.45763

6

)

2.757 kN'

=

P1=7 kN q2 = 4 kN/m q1=3kN/m 4.98 kN m

M A 3.811 kN m

MB2

a B1

2EI

aA

7.46 kN m

MB1

MC1

MC2

a C1

EI

a B2

B

A RA

7.46 kN m

4.98 kN m

RB

2EI

a C2

C

aD

D

RC

8.84 kN

RD 2.76 kN

9.60 kN

2.085 kN

6

3

4

2

2

2

Dari hasil perhitungan reaksi perletakan maka diperoleh nilai lintang disetiap titik tumpuan yaitu: SFA SFB1 SFB2 SFC1 SFC2 SFD

= 2.805 = -6.195 = 2.6458 = -4.354 = 5.2429 = -2.757

P1=7 kN q2 = 4 kN/m q1=3kN/m

4.98 kN m

M A 3.811 kN m

7.46 kN m

MB1

MB2

2EI A M A 3.811 kN m

M C1

M C2

EI

B RB1

RA

7.46 kN m

4.98 kN m

RB2

RC1

6 kN 3 kN

MB2

3 kN

2EI

C

D

RC2

RD 7.46 kN m

4 kN 4 kN

4.98 kN m

4 kN

M C2 7.46 kN m

4.98/7 kN/m

3.811/6 kN/m

7.46/6 kN/m

MB1

MC1

4.98 kN m

7.46 kN m

3.811/6 kN/m

7.46/6 kN/m

7.46/7 kN/m

4.98/6 kN/m

4.98/6 kN/m

4.98/7 kN/m

7.46/7 kN/m

6

4

3

2

2

2

4 Persamaan Momen pada Beban Merata Setiap Bentangan a. Bentang A - B

Free Body Untuk Keseluruhan qx qx

: q1 = : 3 = 6 qx = qx = qx

=

q1=3kN/m

x : L1 m x : 6 m 3x 3x 6 0.5 x

2EI

A

Qx = ½ . qx . x = ½ . 0.5 x = 0.25 x²

.

x

Mx =

( RA .

x

)

-

( Qx

Mx = Mx =

(

.

x -

) - ( 0.083 x³

3.0 3

x

B

Q1=9 kN

4

.

1/3

0.25

x²

-

6

2

x ) .

1/3

x )

Untuk memperoleh Lintang dari beban segi tiga maka kita diferensialkan persamaan Mx di atas DMx SFx = dx SFx = 3.000 0.250 x²

Jarak (m) Mx (kN/m) SFx (kN)

0 0.00 3.000

1 2 2.917 5.33333 2.75 2

3 6.75 0.75

4 5 6.667 4.5833 -1 -3.25

0 m ≤ x ≤ 6m

Catatan: jarak dimulai dari bagian segitiga yang luasnya terkecil MA SFA

= 0.00 kN m = RA = 3.0

Mmax = Jika 0.250

x² x² x

SFx = = = =

3.000 12 3.464

Mmax Berada pada Jarak

6 0.00 -6

kN' 0 → Dari Persamaan

SFx = 0 =

3.000 3.000

-

0.250 0.250

x² x² -

m 3.46 m dari titik A

Sehingga jika disubtitusi ke persamaan Mx = ( RA . x ) - ( Mmax = ( 3 . x ) = 3 x - 0.083 x³ = ( 3 . 3.46 ) Mmax = 6.928 kN m

Qx ( -

. 1/3 0.25 x² (

0.083

x ) . 1/3 . (

x )

3.46

3

))

MB1

SFB1

= (RA . L1) = ( 3 . = 0.00 kN m = - RB1 =

( Q1 . ( 6) - (

1/3 . L1)) 9 . ( 1/3 .

6 ))

-6.0 kN'

b. Bentang B - C

Free Body P = 7 KN L = MB2

7

m

= = =

- (RC1 . L2) + (P1 . ( 4.0 . 7 ) + ( 0 kN m

MC1

= (RB2 . L2) - (P1 . = ( 3.0 . 7 ) = 0 kN m Mmax = RB2 . 4 = 3.0 . 4 = 12 kN m SFB2 = RB2 = 3.0 kN' SFC1 = - RC1 = -4.0 kN'

3

4 ) 7 .

) ( 7

P1=7 kN

4 )

.

3 ) EI

B

C 3

4

c. Bentang C - D q2 Qx Qx Qx

= = = =

4 kN/m 1/2 . 1/2 . 2 x2

Mx = (RC2 Mx = ( 4 Mx = 8

. . +

q2 4

. .

x x

2 2 q2 = 4 kN/m

( 2 ( 2 4 x

+ + -

x )) x )) 2 x 2

Qx 2 x

2

2EI Qx = 8kN

C 2

2

D 2

Untuk memperoleh Lintang dari beban segi empat maka kita diferensialkan persamaan Mx di atas DMx SFx = dx SFx = 4 4x Jarak (m) Mx (kN/m) SFx (kN)

0 8.00 4.000

1 10.00 0.000

2 8.00 -4.000

Catatan: jarak dimulai dari bagian terdekat dari C

0 m ≤ x ≤ 2m

Mmax = Jika 4.000

x x x

= = =

SFx =

0 → Dari Persamaan

4.000 1 1.000

m dari titik awal beban

Mmax Berada pada Jarak

= RC2 = = - RD

4.0 4.0

-

4.0 4.0

x x

3.00 m dari titik C

Sehingga jika disubtitusi ke persamaan Mx = (RC2 . ( 2 + x )) Mmax = ( 4 . ( 2 + 1 )) Mmax = 10.0 kN m SFC2 SFD

SFx = 0 =

-

- Qx 2 .

1

2

4.0 kN' = 4.0 kN'

BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD)

A

B

0 kN m

D

C

3.811 kN m

4.978 kN m

7.458 kN m

BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD) FREE BODY 346

300

A

B

0 kN m

D

C

3.811 kN m

4.978 kN m

6.928 kN m 7.458 kN m

10 kN m

12 kN m

5 Menentukan Momen Maksimum Secara Keseluruhan

a. Bentang A - B

6 3.464

A

y

B

3.811 kN m

4.978 kN m

( = → → → →

3.8109 + 2 3.8109 ( (

y

(

26.4 12 12

+

)

x

4.978

2

3.464

)

)

6.000

x

+ 6.9282 y + 25.25 y = 105.47 - 51.65 y = 53.818 y = 4.4848 kN m

Mmax = Mmax Free body = 6.928 - 4.485 = 2.443 kN m

+

+

(

(

4.978

+

y

2

)

x 2.536

)

x

)

)

5.072 y

= 105.47

- y

b. Bentang B - C

7

3

4

B

y

C

4.978 kN m

7.458 kN m

( =

4.9782 + 2 4.9782 ( (

y

(

→ 39.83 → 14 → 14 →

+ y y y

+ 2 8

= = =

)

x

7.458

4.0 )

x

y + 44.75 174.1 - 84.57 89.53 6.395 kN m

)

+

(

7.0 +

(

7.458

+ 2

) 6

y

=

174.1

y

)

3.0

Mmax = Mmax Free body - 6.395 = 12.0 = 5.605 kN m

-

y 6 6

3

c. Bentang C - D →

6 7.458

→

6

y y

Mmax = = =

=

3 y

C

= 22.373 = 3.7288 kN m Mmax Free body 10.0 - 3.729 6.271 kN m

-

y

7.458 kN m

y

0 kN m

D

P1=7 kN q2 = 4 kN/m q1=3kN/m

B

A

D

C

600

400

300

200

SHEARING FORCE DIAGRAM (SFD)

200

200

300

346

5.243 kN

2.805 kN

2.646 kN

+

+

+

A

-

B

C

-

-

D -2.757 kN

-4.354 kN

-6.195 kN

BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD)

-7.458 kN m

-4.978 kN m

-3.811 kN m

A

-

-

+

B

C

+

0 kN m

+

2.443 kN m

5.605 kN m 6.271 kN m

D