Seminar 1 Metode Statistice [PDF]

Zitiervorschau

Capitolul 1

Seminarul 1

1. Transformări liniare Teoremă: Fie X şi Y, două variabile statistice astfel încât Y = aX + b, unde a şi b sunt numere reale; atunci:

y  ax  b M ey  aM ex  b M oy  aM ox  b Ay  a Ax

 y  a x  y2  a 2 x2 2. Inegalitatea lui Bienayme-Cebâşev:

Px  k  X  x  k   1 

Px    X  x     0%

1 ; k>0 k2

Px  2  X  x  2   75%

Px  3  X  x  3   88,88%(8 / 9) Aplicaţii

1. Pentru fiecare dintre exemplele următoare de studii statistice, identificaţi:  populaţia studiată  eşantionul prelevat pentru a efectua acest studiu (dacă este cazul)  caracteristica (variabila) studiată  tipul caracteristicii a) În scopul cunoaşterii numărului de copii pe familie pentru ansamblul familiilor din regiunea Sud-Vest Oltenia, o echipă de demografi culege informaţii despre numărul de copii pentru 750 de familii alese la întâmplare. b) Pentru un studiu care încearcă să determine care este detergentul de vase preferat de către locuitorii din regiunea Oltenia care folosesc o maşină de spălat vase, se culeg informaţii de la un ansamblu de 500 de locuitori ai regiunii, aleşi la întâplare. c) Cu prilejul unui recensământ, INS înregistrează vârsta fiecărui cetăţean al ţării noastre. d) Pentru a cunoaşte rezistenţa unui nou aliaj, tehnicienii vor supune 200 de tije de 1 cm diametru compuse din acest nou material unor greutăţi crescătoare, până la ruperea acestor tije. e) Sunt intervievaţi 100 de studenţi din Craiova, selectaţi aleator, asupra gusturilor lor muzicale, în scopul de a cunoaşte tipul de muzică preferat de către studenţii acestui centru universitar. f) Pentru a cunoaşte concentraţia de fier a apei dintr-o reţea dată, se analizează 50 de sticle de apă de 250 ml, prelevate în diferite puncte alese la întâmplare din acestă reţea. 2. Care dintre indicatorii tendinţei centrale sunt cei mai potriviţi în situaţiile următoare:  Un ghid turistic doreşte să-şi formeze o idee despre salariul anual al unui grup de 25 de adulţi care se găsesc împreună într-un voiaj organizat  În scopul determinării numărului de culegători pe care trebuie să-i angajeze, administraţia unei plantaţii de căpşuni ar dori să cunoască numărul de coşuri pe care un culegător îl culege zilnic.  Un agent de publicitate vrea să cunoască vârsta publicului ţintă al unui anumit tip de spectacol.  Înainte de a se stabili într-o regiune dată, un comerciant de lux doreşte să cunoască ce proporţie a populaţiei acestei regiuni câştigă mai mult de 45000 euro pe an. 3. În urma studiului distribuției temperaturilor maxime din luna august a acestui an pe aeroportul Otopeni, înregistrate în grade Celsius (C), s-au calculat următorii indicatori: x = 22.030, Me = 22.580, Do = 230, σ2 = 9.970, σ = 3.1570. Calculați valorile acestor indicatori în cazul în care observarea ar fi fost realizată în grade Fahrenheit, știind că formula de echivalență între cele două tipuri de scale este: 0

F = 1.80 C +320.

4. Un teatru oferă patru categorii de bilete, în funcție de apropierea de scenă. În prezent, fiecare spectacol se joacă cu casa închisă; prețul mediu al unui bilet este de 16 lei și abaterea tip, pentru ansamblul biletelor vândute la fiecare reprezentație, este de 4 lei. Dar, pentru că nu se acoperă toate cheltuielile, managerul vrea să ridice prețurile astfel încât prețul mediu să ajungă la 19 lei și abaterea tip să nu depășească 4.5 lei. Ce tip de creștere de preț poate aplica managerul, pentru a îndeplini ambele cerințe? (considerăm că mărirea prețurilor nu va modifica numărul de spectatori). 5. Cunoscând media și abaterea tip a notelor colegilor săi la disciplina MSGA, dar și inegalitatea lui Bienayme-Cebâşev, un masterand din anul I AEFO de la FEAA declară că mai mult de 8/9 dintre masteranzi au notele cuprinse între 6.7 și 9.7. Calculați valorile mediei și dispersiei notelor masteranzilor de la această specializare. 6. O companie culege informaţii referitoare la vechimea în muncă a personalului său (în ani împliniţi); situaţia celor 124 de angajaţi este următoarea: Vechimea (ani împliniţi) Număr angajaţi 0 6 1 8 2 6 3 5 4 4 5 8 6 6 7 5 8 9 9 11 10 13 11 16 12 9 13 7 14 7 15 4 Total 124 a) Observaţiile se referă la o populaţie statistică sau la un eşantion? b) Care este caracteristica studiată şi de ce tip este aceasta? c) Construiţi seria de distribuţie pe baza celorlalte tipuri de frecvenţe cunoscute. d) Reprezentaţi grafic distribuţia. e) Calculaţi şi interpretaţi indicatorii tendinţei centrale. f) Transformaţi seria construită după o caracteristică discretă într-o serie de distribuţie pe intervale de variaţie, construită după o caracteristică de tip continuu. g) Calculaţi indicatorii tendinţei centrale pentru seria construită la punctul anterior şi comparaţi rezultatele cu cele de la punctul e. 7. Pentru a verifica rezistenţa la rupere a unui nou tip de fibră sintetică, se prelevează aleator 60 de segmente egale de fibră care sunt supuse unor teste de rezistenţă. Rezultatele studiului sunt prezentate în tabelul următor: Clase după rezistenţa la rupere (kg) Număr segmente studiate 30 - 45 1 45 - 60 2 60 - 75 9 75 - 90 35 90 - 105 12 105 - 120 1 Total 60 a) Precizaţi tipul caracteristicii de grupare şi al seriei statistice construite pe baza ei. Studiul vizează o populaţie statistică sau un eşantion? b) Completaţi seria statistică (cu toate tipurile de frecvenţe posibil de construit). c) Calculaţi şi interpretaţi indicatorii tendinţei centrale.

d) Calculaţi şi interpretaţi indicatorii variaţiei şi asimetriei. e) Identificaţi, în cadrul acestei distribuţii, următorii indicatori de poziţie: o Percentila (centila) 58 – c58 o Decila 9 – d9 o Cuartila 3 – q3 f) În raport cu ansamblul distribuţiei, precizaţi: - Între care percentile se situează o rezistenţă de 55 de kg - Între care decile se situează o rezistenţă de 85 de kg - Cărei cuintile (qn) îi corespunde o rezistenţă de 75 de kg. 8. În scopul studierii distribuţiei curselor efectuate de către automobilele unei companii de taxiuri, se aleg la întâmplare 500 dintre traseele acesteia, pentru care se notează distanţa parcursă; rezultatele sunt prezentate în tabelul următor: Număr de kilometri (xi) Număr de curse (fi) Centrele intervalelor 0-5 147 2,5 5-10 178 7,5 10-15 127 12,5 15-20 30 17,5 20-25 10 22,5 25-30 8 27,5 Total 500 a) Determinaţi şi interpretaţi indicatorii tendinţei centrale şi indicatorii sintetici ai variaţiei. b) Ştiind că tariful acestei companii de taxiuri este de 0,5 euro pe kilometru plus 2 euro pornirea, să se determine indicatorii de la punctul anterior pentru preţul unei curse (în euro), pentru eşantionul studiat. 9. Un antreprenor realizează următoarea distribuție privind suprafaţa planşeului pentru cele 800 de apartamente ale sale: Suprafaţa (mp) Ponderea apartamentelor (%) 45-55 3 55-65 12 65-75 12 75-85 23 85-95 25 95-105 17 105-115 8 Total 100 a) Precizaţi nivelul la care s-a realizat cercetarea statistică: populaţie sau eşantion. b) Construiţi seria statistică unidimensională completă corespunzătoare datelor observate. c) Reprezentaţi grafic seria construită. d) Determinaţi şi interpretaţi indicatorii tendinţei centrale şi pe cei ai variaţiei şi asimetriei acestei distribuţii. 10. Un sindicat calculează numărul de ore lucrate de fiecare dintre cei 200 de membri ai săi, în cursul ultimei luni. Observaţiile sunt grupate astfel: Număr ore lucrate Număr sindicalişti 30-60 8 60-90 20 90-120 0 120-150 60 150-180 100 180-210 12 Total 200 a) Determinaţi indicatorii tendinţei centrale şi variaţiei. b) Calculaţi următorii indicatori de poziţie: percentila 29 (c 29) şi decila 6 (d6). c) Cărei percentile îi corespunde un număr de 147 ore lucrate? d) Între care cuartile se situează un număr de ore lucrate de 130? e) Evaluaţi percentila 14 a acestei distribuţii.

11. Salariile (de maxim 4000 lei) ale celor 50 de salariaţi ai unei firme sunt distribuite astfel: x  3000 lei; Me = 3400 lei; Aa = 2000 lei. Managerul firmei decide să majoreze aceste salarii, dar el ezită între următoarele două modalităţi: să crească salariul fiecărui angajat cu 10%, sau să îi dea fiecărui angajat, în plus, câte 300 de lei. a) Descrieţi cele două modalităţi de majorare a salariilor pe care le are în vedere managerul, folosind următoarele notaţii: X = salariul actual al unui angajat; Y = salariul rezultat în urma primului tip de majorare propus; W = salariul rezultat în urma celui de al doilea tip de majorare propus. b) Calculaţi media, mediana şi amplitudinea pentru fiecare dintre cele două variabile Y şi W. c) Care grup de angajaţi este avantajat de fiecare dintre cele două forme de majorare? d) Care dintre cele două modalităţi de majorare avantajează cel mai mare număr de salariaţi? e) Alegeţi şi justificaţi tipul de majorare pe care managerul ar trebui să îl aplice. 12. Notele la un test pentru promovare (de maxim 100 de puncte) obţinute de cei 30 de angajaţi ai unei firme sunt distribuite astfel: x  65; Me = 60;   7. Coordonatorul examenului de promovare decide să majoreze aceste note, dar el ezită între următoarele două modalităţi: să crească nota fiecărui angajat cu 5%, sau să îi dea fiecărui angajat, în plus, câte 3 puncte. a) Descrieţi cele două modalităţi de majorare a notelor pe care le are în vedere coordonatorul, folosind următoarele notaţii: X = nota actuală a unui angajat; Y = nota obţinută cu primul tip de majorare; W = nota obţinută cu cel de al doilea tip de majorare. b) Calculaţi media, mediana şi abaterea tip pentru cele două variabile Y şi W. c) Care dintre cele două modalităţi de majorare ar avantaja cel mai mare număr de angajaţi? d) Alegeţi şi justificaţi tipul de majorare pe care coordonatorul ar trebui să îl aplice.