Tema Testarea Ipotezelor Statistice [PDF]

Zitiervorschau

Tema: Testarea ipotezelor statistice 1. Elemente metodologice privind testarea ipotezelor statistice: ipoteza nulă şi alternativa, valorile critice ale testului, eroare de gradul I si II 2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaţiei 3. Testarea ipotezelor statistice privind proporţia populaţiei 4. Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru eşantioane de volum redus şi pentru eşantioane de volum mare

1. Elemente metodologice privind testarea ipotezelor statistice: ipoteza nulă şi alternativa, valorile critice ale testului, eroare de gradul I si II În statistică, ipotezele apar întotdeauna în perechi: ipoteza nulă şi ipoteza alternativă. Ipoteza statistică ce urmează a fi testată se numeşte ipoteza nulă şi este notată, uzual, H0. Ea constă întotdeauna în admiterea caracterului întâmplător al deosebirilor, adică în presupunerea că nu există deosebiri esenţiale. Respingerea ipotezei nule care este testata implică acceptarea unei alte ipoteze. Aceasta altă ipoteză este numita ipoteza alternativă, notata H1. Cele doua ipoteze reprezintă teorii, mutual exclusive şi exhaustive, asupra valorii parametrului populaţiei sau legii de repartiţie. Spunem că ele sunt mutual exclusive deoarece este imposibil ca ambele ipoteze sa fie adevarate. Spunem că ele sunt exhaustive, deoarece acopera toate posibilităţile, adică ori ipoteza nulă, ori ipoteza alternativă trebuie sa fie adevarată. Procedeul de verificare a unei ipoteze statistice se numeste test sau criteriu de semnificaţie. O secvenţă generală de paşi se aplică la toate situaţiile de testare a ipotezelor statistice. Ipotezele se vor schimba, tehnicile statistice aplicate se vor schimba, dar procesul ramâne acelaşi şi anume: 1) Se identifică ipoteza statistica specială despre parametrul populaţiei sau legea de repartitie (H0). Ipoteza statistica – numită şi ipoteza nulă – reprezintă status quo-ul, ceea ce este acceptat până se dovedeşte a fi fals. 2) Intotdeauna ipoteza nulă este însoţită de ipoteza alternativă (de cercetat), H1, ce reprezintă o teorie care contrazice ipoteza nulă. Ea va fi acceptata doar când există suficiente dovezi, evidente, pentru a se stabili că este adevarată. După natura posibilităţilor de construire a ipotezelor nule si alternative, deosebim ipoteze alternative simple sau compuse. Astfel, daca ipoteza nula constă în afirmaţia că parametrul θ al unei distribuţii este egal cu o anumită valoare θ0, iar ipoteza alternativă constă în afirmaţia că parametrul este egal cu θ1, avem o ipoteză alternativă simplă, iar dacă ipoteza alternativă constă în afirmaţia că

, atunci avem o ipoteză alternativă

parametrul θ ia una din mai multe valori, compusă.

1

3) Se calculează indicatorii statistici în eşantion, utilizaţi pentru a accepta sau a respinge ipoteza nulă şi se stabileşte testul statistic ce va fi utilizat drept criteriu de acceptare sau de respingere a ipotezei nule. 4) Se stabileşte regiunea critică, Rc. Regiunea critica reprezintă valorile numerice ale testului statistic pentru care ipoteza nulă va fi respinsă. Regiunea critica este astfel aleasă încât probabilitatea ca ea să contină testul statistic, când ipoteza nulă este adevarată să fie α, cu α mic (α=0.01 etc). Verificarea ipotezei nule se face pe baza unui esantion de volum n, extras din populatia X, care este o variabilă aleatoare. Dacă punctul definit de vectorul de sondaj x1,x2,…,xn cade în regiunea critică Rc, ipoteza H0 se respinge, iar daca punctul cade în afara regiunii critice R c, ipoteza H0 se accepta. Regiunea critica este delimitată de valoarea critica, C – punctul de taietură în stabilirea acesteia. În baza legii numerelor mari, numai într-un număr foarte mic de cazuri punctul rezultat din sondaj va cădea în Rc, majoritatea vor cadea în afara regiunii critice. Nu este însa exclus ca punctul din sondaj să cadă în regiunea critică, cu toate că ipoteza nulă despre parametrul populaţiei este adevarată. Cu alte cuvinte, atunci când respingem ipoteza nulă, trebuie sa ne gândim de doua ori, deoarece există doua posibilităţi: ea este falsă într-adevar şi ea este totuşi adevarată, deşi pe baza datelor din sondaj o respingem. La fel şi pentru situaţia în care acceptăm ipoteza nulă H0. Când ipoteza nulă nu poate fi respinsă (nu există suficiente dovezi pentru a fi respinsă), sunt două posibilităţi: ipoteza nulă este adevarată şi ipoteza nulă este totuşi falsă, greşită deşi nu am respins-o. De aceea, este mai corect să spunem că pe baza datelor din eşantionul studiat, nu putem respinge ipoteza nulă, decât să spunem că ipoteza nulă este adevarată. Eroarea pe care o facem eliminând o ipoteză nulă, deşi este adevarată, se numeste eroare de genul întâi. Probabilitatea comiterii unei astfel de erori reprezintă riscul de genul întâi (α) şi se numeşte nivel sau prag de semnificaţie. Nivelul de încredere al unui test statistic este (1-α), iar în expresie procentuală, (1-α)100 reprezinta probabilitatea de garantare a rezultatelor. Eroarea pe care o facem acceptând o ipoteză nulă, deşi este falsă, se numeşte eroare de genul al doilea, iar probabilitatea (riscul) comiterii unei astfel de erori se notează cu β. Puterea testului statistic este (1-β). Tabelul de mai jos ilustreaza legătura dintre decizia pe care o luăm referitor la ipoteza nuă şi adevărul sau falsitatea acestei ipoteze. Erorile în testarea ipotezelor statistice: Decizia de acceptare H0 H1

Ipoteza adevarata H0 H1 Decizie corecta Eroare de gen II (probabilitate 1-α) (risc β) Eroare de gen I Decizie corecta (risc α) (probabilitate 1-β)

2

Cu cât probabilităţile comiterii erorilor de genul întâi şi de genul al doilea sunt mai mici, cu atât testul este mai bun. Acest lucru se poate realiza prin mărirea volumului eşantionului, n. Nivelurile riscurilor se stabilesc în funcţie de considerente economice şi de natura testului. Am vazut ca: α= P(respingere H0 ‫ ׀‬H0 este corecta)=P(eroare de gen I) β= P(acceptare H0 ‫ ׀‬H0 este falsa)=P(eroare de gen II) Alegerea nivelului (pragului) de semnificaţie depinde şi de costurile asociate cu producerea unei erori de genul I. Spre exemplu, pragul de semnificaţie ales de o firmă ce fabrică îngheţată, interesată în greutatea medie a cutiilor de îngheţată va putea fi diferit de pragul de semnificaţie ales de o companie farmaceutică, interesată de cantitatea medie a unui ingredient activ dintr-un tip de medicament. Evident, costul în prima situaţie prezentată este mult mai mic, comparativ cu costul asociat în cazul producerii unei erori de genul I pentru compania farmaceutică: o cantitate prea mică de ingredient activ poate face medicamentul ineficient; o cantitate prea mare de ingredient activ poate cauza efecte secundare, dăunătoare sau poate avea, chiar, efecte letale. Similar, există costuri asociate cu producerea unei erori de genul al II-lea. Între eroarea de genul I şi eroarea de genul al II-lea există o legătură, o condiţionare. O modalitate de a vizualiza această legatură este să presupunem că există doar două distribuţii care ne interesează. O distribuţie corespunde ipotezei nule H0, iar cealaltă corespunde ipotezei alternativei H1. În acest caz, presupunem că şi ipoteza nulă ţi cea alternativă sunt ipoteze simple. Într-o manieră uşor de înţeles, să considerăm ca ipoteză nulă este de forma H0: μ=μ0, iar ipoteza alternativa este de forma H1:μ=μ1 (vezi fig):

Legatura dintre probabilitatile α si β

Pe grafic se observă că cele două distribuţii se suprapun şi, din procesul de testare a ipotezei nule, pot rezulta două tipuri de erori. Eroarea de genul I apare atunci cand respingem ipoteza nula H 0, în situaţia în care, de fapt, aceasta este adevărată. Adică, deşi distribuţia lui

este cea corespunzătoare ipotezei H0, respingem

H0, deoarece media de sondaj este mai mare decat valoarea critica, C şi se situeaza în regiunea critică. Probabilitatea comiterii unei astfel de erori () este aria de sub curba de distribuţie H0 care se situează la dreapta valorii critice C.

3

Eroarea de genul al doilea apare atunci când nu respingem (adică acceptăm) H0, desi H1 în loc de H0 este corectă. În acest caz, deşi distribuţia lui

este cea corespunzătoare ipotezei H1, acceptam H0

deoarece media de sondaj este mai mica decât valoarea critică, C (nu se afla în regiunea critică). Probabilitatea comiterii unei astfel de erori (β) este aria de sub curba de distribuţie H 1 care se situează la stânga valorii critice, C. Dacă alegem un prag de semnificaţie, α, mai mic (adică reducem riscul comiterii unei erori de genul întâi), va creşte β ( riscul comiterii unei erori de genul al doilea). Cu toate acestea, prin creşterea volumului n al eşantionului, este posibil să reducem riscul β, fără a creşte riscul α. Cum

, o data cu creşterea volumului n al esantionului, abaterile medii patratice ale

distribuţiilor pentru H0 si H1 devin mai mici şi, evident, atât α, cât si β descresc (vezi fig.).

α si β cand volumul esantionului n' > n

5) După ce am stabilit pragul de semnificaţie şi regiunea critică, trecem la pasul următor, în care vom face principalele presupuneri despre populaţia sau populaţiile ce sunt eşantionate (normalitate etc.) 6) Se calculeaza apoi testul statistic şi se determină valoarea sa numerică, pe baza datelor din eţantion. 7) La ultimul pas, se desprind concluziile: ipoteza nulă este fie acceptată, fie respinsă, astfel: a) dacă valoarea numerică a testului statistic cade în regiunea critică (Rc), respingem ipoteza nulă şi concluzionam că ipoteza alternativă este adevarată. Vom şti că această decizie este incorectă doar în 100 α % din cazuri; b) dacă valoarea numerică a testului nu cade în regiunea critică (Rc), se acceptă ipoteza nulă H0. Ipoteza alternativă poate avea una din trei forme (pe care le vom exemplifica pentru testarea egalitpţii parametrului „media colectivităţii generale“, μ cu valoarea μ0): i) să testăm dacă parametrul din colectivitatea generală (media μ) este egal cu o anumită valoare (inclusiv zero, μ0), cu alternativa media diferită de valoarea μ0. Atunci: H0: μ = μ0

4

H1: μ ≠ μ0 (μ < μ0 sau μ > μ0); şi acest test este un test bilateral; ii) să testăm ipoteza nulă μ = μ0, cu alternativa media μ este mai mare decât μ0. H0: μ = μ0 H1: μ > μ0 care este un test unilateral dreapta; iii) să testăm ipoteza nulă μ = μ0, cu alternativa media μ este mai mica decât μ0. H0: μ = μ0 H1: μ < μ0 care este un test unilateral stanga. Regiunea critică pentru testul bilateral diferă de cea pentru testul unilateral. Când încercăm să detectăm o diferenţă faţă de ipoteza nulă, în ambele direcţii, trebuie să stabilim o regiune critică Rc în ambele cozi ale distributţei de eşantionare pentru testul statistic. Când efectuăm un test unilateral, vom stabili o regiune critică într-o singură parte a distribuţiei de eşantionare, astfel (vezi fig.):

μ

μ

a)

b)

μ c)

Regiunea critica pentru a) test bilateral; b) test unilateral stânga; c) test unilateral dreapta.

2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaţiei 2.1. Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ) pentru eşantioane de volum mare Utilizarea eşantioanelor de volum mare (n > 30) face posibilă aplicarea teoremei limită centrală. Putem întâlni teste unilaterale sau bilaterale, astfel: i) în cazul testului bilateral, ipotezele sunt: H0: μ = μ0 (μ - μ0=0) H1: μ ≠ μ0 (μ - μ0≠0) (adica μ < μ0 sau μ > μ0); Testarea se face pe baza mediei eşantionului

şi, pentru a o efectua, este nevoie să construim

un test cu un nivel de semnificaţie α prestabilit. Utilizând teorema limită centrală am văzut că dacă volumul eşantionului este mare, media eşantionului

este aproximativ normal distribuită. De aceea,

variabila aleatoare z urmează o distribuţie normală standard.

5

Dacă pragul de semnificaţie (α) este stabilit, putem determina valoarea zα/2, pentru care P(z> z α/2)= α/2. Aceasta înseamnă că regiunea critică Rc este dată de: Rc: z< - z α/2 sau

z> z α/2

Regula de decizie este, deci: Respingem H0 dacă,

sau ii) pentru testul unilateral dreapta, ipotezele sunt: H0: μ = μ0 (μ - μ0=0) H1: μ > μ0 (μ - μ0>0); Testul statistic calculat este:

Regiunea critica este dată de:

Rc: z > zα

Respingem ipoteza H0 daca,

iii) Pentru testul unilateral stânga, ipotezele sunt: H0: μ = μ0 (μ - μ0=0) H1: μ < μ0 (μ - μ0 μ0); - pentru test unilateral dreapta; H0: μ = μ0, H1: μ > μ0, - pentru test unilateral stanga; H0: μ = μ0, H1: μ < μ0. Testul statistic utilizat:

. Presupunerea specială ce trebuie facută este aceea ca populaţia generală este normal sau aproximativ normal distribuită. Regiunea critica este data de: i) t > t α/2,n-1 sau t < - t α/2,n-1, ii) t > t α,n-1, iii) t < - t α,n-1.

7

3. Testarea ipotezelor statistice privind proporţia populaţiei (pentru eşantioane mari) Pentru variabile alternative, media în eşantion este notată cu f (proportia succeselor), dispersia f(1-f), iar abaterea medie patratica

. De asemenea, despre distribuţia de eşantionare a

proporţiei ştim că proporţia eşantionului (f) este aproximativ normal distribuită, de medie p şi eroare standard

, pentru n mare (

şi

):

si

.

Pentru testarea ipotezelor statistice privind proporţia este necesar să lucrăm cu eşantioane mari (n>100). Cum proporţia f este aproximativ normal distribuită, rezultă că variabila standardizată este aproximativ normal standardizat distribuită. (Atentie! Dacă volumul eşantionului este mic, distribuţia de eşantionare a proporţiei nu este o distribuţie t (Student) şi orice inferenţă asupra lui p trebuie să se bazeze pe distribuţia lui f, care este o distributie binomială!) Ipotezele nule şi alternative pentru testarea proporţiei se construiesc în aceeaşi manieră cu ipotezele pentru testarea mediei

. Adică, ipoteza nulă indica faptul că p este egala cu o valoare

specificată: , în timp ce ipoteza alternativă răspunde la una dintre cele trei întrebări: - dacă proporţia este diferită de valoarea specificată (test bilateral):

;

- dacă proporţia este mai mare decât valoarea specificată (test unilateral dreapta): - dacă proporţia este mai mică decât valoarea specificată (test unilateral stânga):

; .

Testul statistic pentru proporţia p este: . Regiunea critica (Rc) este data de: sau

pentru testul bilateral;

pentru testul unilateral dreapta; pentru testul unilateral stânga. Aşadar, regula de decizie este: se respinge ipoteza nulă şi se acceptă ipoteza alternativă, dacă z se situează în regiunea critică (Rc) stabilită în funcţie de probabilitatea dorită de garantare a rezultatelor .

8

4. Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru eşantioane de volum redus şi pentru eşantioane de volum mare 4.1. Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru eşantioane de volum redus În cazul în care dorim să testăm semnificaţia diferenţei dintre mediile a două eşantioane de volum redus, va trebui să construim, ca şi în cazul anterior, o statistica t, Student. Pentru aceasta vom presupune că: - ambele colectivităţi generale din care s-au extras eşantioanele sunt normal sau aproximativ normal distribuite; - dispersiile în cele două colectivităţi generale sunt egale; - eşantioanele aleatoare sunt selectate independent unul de celălalt. În condiţiile în care presupunem că cele două colectivităţi generale au dispersii egale (

=

=

), un estimator al dispersiei (variabilităţii) totale din cele doua populaţii combinate este:

sau

. Aşadar, dispersia combinată eşantioane,

si

este media aritmetică ponderată a dispersiilor celor două

.

Dacă dispersiile nu sunt egale (σ2x1≠σ2x2), atunci testul statistic are forma:

cu gradele de libertate: Ipotezele statistice vor fi, în aceste condiţii: - pentru test bilateral: H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = D), H1: μ1 ≠ μ2 (μ1- μ2 ≠ D), - pentru test unilateral dreapta: H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = D), H1: μ1 > μ2 (μ1- μ2 > D), - pentru test unilateral stânga:

9

H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = D), H1: μ1 < μ2 (μ1- μ2 < D). Testul statistic t va avea forma:

. Regiunea critică este dată de: - pentru test bilateral: t< –t

sau t> t

- pentru test bilateral dreapta: t> t - pentru test bilateral stânga: t< – t

;

; .

Trebuie să facem o remarcă asupra presupunerilor privind normalitatea distribuţiei în colectivitatea generală: teoria statistică a dezvoltat teste pentru verificarea normalităţii distribuţiilor, teste prin care se verifică ipoteza nulă conform căreia legea de repartiţie este cea normală N(μ, σ2), cu μ si

parametrii necunoscuţi ce urmeaza a fi estimaţi pe baza datelor eşantionului considerat.

Cele mai cunoscute teste pentru verificarea normalitatii sunt testul χ2 de concordanţă cu legea normală, testul Kolmogorov - Smirnov, testul de normalitate al lui Lilliefors (vezi Trebici, V. (coord.) — Mica enciclopedie de statistica, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1985). Dacă ipoteza nulă nu este acceptată, vom putea apela la teste statistice neparametrice, în cadrul cărora nu se fac presupuneri speciale asupra formei distributiei. 4.2.

Testarea ipotezei privind diferenţa dintre doua medii pentru eşantioane de volum mare

Multe cazuri de analiză statistică implica o comparaţie între mediile a două colectivităţi generale. Spre exemplu, un patron al unui restaurant doreşte să vadă dacă există diferenţe între vânzările realizate înainte şi după o campanie de publicitate, un grup de consumatori doresc să vadă dacă există o diferenţă semnificativă între consumul electric pentru două tipuri de cuptoare cu microunde etc. În aceste situaţii, un estimator al diferenţei (μ1- μ2) este diferenţa dintre mediile eşantioanelor (

).

Proprietăţile distribuţiei de eşantionare a diferenţei ( a) distribuţia de eşantionare pentru (

) sunt:

) este aproximativ normală pentru eşantioane de

volum mare (n1 > 30 si n2 > 30); b) media distribuţiei de eşantionare a lui (

10

) este (μ1 – μ2);

c) dacă cele două eşantioane sunt independente, abaterea medie patratică a distribuţiei de eşantionare este:

unde

si

sunt dispersiile celor două populaţii eşantionate, iar n1 şi n2 sunt volumele

eşantioanelor respective. Mărimea lui

indica variabilitatea în valorile

, aşteptată în distribuţia de

eşantionare, datorită întâmplării. În cazul în care dispersiile celor doua populaţii eşantionate sunt egale,

=

=

medie patratica a distribuţiei de eşantionare va avea forma:

În aceste condiţii, ipotezele statistice ce urmează a fi testate vor fi: i) test bilateral H0: (μ1- μ2) = D H1: (μ1- μ2) ≠ D

[(μ1- μ2)>D sau (μ1- μ2) D iii) test unilateral stanga H0: (μ1- μ2) = D H1: (μ1- μ2) < D unde D reprezintă diferenţa ipotetică dintre mediile populaţiilor, deseori egala cu 0. Testul statistic utilizat are forma:

Regiunea critica este data de: i) z< - z α/2 sau

z> z α/2

ii) z> z α iii) z< - z α

11

, abaterea

12

Probleme rezolvate Exemplu 1 - Testarea ipotezei privind media populatiei generale (μ) pentru esantioane de volum mare Presupunem ca un fabricant de materiale de constructii comercializeaza ciment in pungi, care trebuie sa contina 12 kg/punga. Pentru a detecta eventuale abateri in ambele sensuri de la aceasta cantitate, selecteaza 100 de pungi, pentru care calculeaza

kg, sx= 0,5 kg. Pentru α = 0,01

(grad de incredere (1- α)100=99%) sa se determine daca se accepta ipoteza nula, aceea ca greutatea pungilor este in medie de 12 kg. H0: μ = 12 H1: μ ≠ 12 ( μ < 12 sau μ > 12); z α/2=z0,005=2,575

Regiunea critica: z< - z α/2 sau

z> z α/2

Cum z = - 3,0 < - 2,575 rezulta ca sunt suficiente evidente pentru a respinge ipoteza nula H 0 si a accepta ipoteza alternativa, aceea ca greutatea pungilor difera, in medie, de 12 kg. Exemplu 2 : Testarea ipotezei privind diferenta dintre doua medii pentru esantioane de volum mare Managerul unui restaurant doreste sa determine daca o campanie de publicitate a dus la cresterea veniturilor medii zilnice. Au fost inregistrate veniturile pentru 50 de zile inainte de desfasurarea campaniei. Dupa desfasurarea campaniei si trecerea unei perioade de 20 de zile pentru ca aceasta campanie sa isi faca efectul, se inregistreaza veniturile pentru 30 de zile. Aceste doua esantioane vor permite testarea ipotezei privind efectul campaniei asupra veniturilor. Din prelucrarea datelor pentru cele doua esantioane, rezulta: Inainte de campanie n1=50

Dupa campanie n2=30

mil. lei

mil. lei

s1=2,15 mil. lei

s2=2,38 mil. lei

Dorim sa vedem daca veniturile au crescut (μ2> μ1), asadar, vom efectua un test unilateral stanga: H0: μ1 = μ2

(μ1 - μ2 = 0)

H1: μ1 < μ2

(μ1 - μ2 < 0)

13

Pentru un prag de semnificatie α = 0,05 (probabilitate de garantare a rezultatelor (1- α)100=95%, zα=z0,05=1,645. Sa notam ca regiunile critice, pentru cele mai comune valori ale lui α sunt date de (vezi tab.): Regiumile critice pentru diferite valori  α

Test

Test

Test bilateral

unilateral stanga unilateral dreapta 0

1

2

3

0,10 z < - 1,28 z > 1,28 z < - 1,645 sau z > 1,645 0,05 z < - 1,645 z > 1,645 z < - 1,96 sau z > 1,96 0,01 z < - 2,33 z > 2,33 z < - 2,575 sau z > 2,575 Presupunand ca cele doua esantioane (inainte si dupa campanie) sunt independente, vom calcula testul z:

Cum valoarea calculata nu este mai mica decat –z0,05= –1,645, rezulta ca nu ne aflam in regiunea critica. Esantioanele nu ofera asadar, suficiente dovezi (la α = 0,05) pentru ca managerul restaurantului sa concluzioneze ca veniturile au crescut in urma campaniei de publicitate. Exemplu 3 - testarea ipotezei privind media populatiei generale (μ) pentru esantioane de volum redus Conducerea unei companii apeleaza la 5 experti pentru a previziona profitul companiei in anul curent. Valorile previzionate sunt: 2,60; 3,32; 1,80; 3,43; 2,00 (miliarde lei, preturile anului anterior). Stiind ca profitul companiei in anul anterior a fost de 2,01 mld. lei, sunt suficiente dovezi pentru a concluziona ca media previziunilor expertilor este semnificativ mai mare decat cifra anului anterior (pentru α = 0,05)? Media previziunilor expertilor este

mld. lei, cu dispersia:

si abaterea medie patratica: mld. lei. Elementele procesului de testare a ipotezei statistice sunt: H0: μ = 2,01, H1: μ > 2,01 (test unilateral dreapta). .

14

In scopul folosirii statisticii t, vom face presupunerea ca populatia generala din care s-a extras esantionul este normal distribuita. Cum tα,n-1 = t0,05;4 = 2,132, regiunea critica este data de t>tα,n-1. Cum t=1,874< t0,05;4=2,132, nu putem trage concluzia ca media profitului previzionata de cei 5 experti pentru anul curent este semnificativ mai mare decat profitul anului trecut, de 2,01 mld. lei. Exemplu 4 : testarea ipotezei privind proportia populatiei pentru esantioane mari Managerul unui lat de magazine considera in urma unei analize financiare ca - pentru un nou produs - comercializarea este profitabila, daca procentul cumparatorilor care ar dori sa achizitioneze produsul este mai mare de 12%. El selecteaza 400 de cumparatori potentiali si afla ca 52 dintre acestia vor achizitiona produsul. Pentru o probabilitate de 99% sunt suficiente dovezi care sa convinga managerul sa comercializeze produsul? Ipotezele sunt: , (test unilateral dreapta). Testul statistic este: . Cum

si

, rezulta ca nu ne aflam in regiunea critica (Rc), nu avem suficiente

dovezi sa respingem ipoteza nula, deci procentul nu este mai mare de 12%. Exemplu 5 : testarea ipotezei privind diferenta dintre doua medii pentru esantioane de volum redus Presupunem ca dorim sa testam ipoteza conform careia intre doua marci de autoturisme nu exista diferente semni-ficative privind cheltuielile de functionare. Pentru aceasta 20 de posesori de autoturisme (8 posesori ai primei marci si 12 po-sesori ai celei de-a doua) sunt rugati sa tina, cu acuratete, evidenta cheltuielilor de functionare pe o perioada de un an de zile. Pentru α=0,1 (probabilitate de garantare a rezultatelor

(1-α)100 = 90%) sa se testeze aceasta ipoteza, daca

rezultatele prelucrarii datelor in esantioane sunt: Marca 1

Marca 2

n1=8

n2=12 mil. lei

mil. lei

sx1=0,485 mil. lei

sx2=0,635 mil. lei

Ipotezele statistice sunt:

15

H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = 0), H1: μ1 ≠ μ2 (μ1- μ2 ≠ 0) [μ1> μ2 sau μ1< μ2]. Testul statistic este:

Cum tα/2,n1+n2-2= t0,05;18 = 1,734, se observa ca t < tα/2,n1+n2-2, asadar nu ne aflam in regiunea critica. Rezulta, deci, ca nu exista suficiente dovezi pentru a concluziona ca sunt diferente semnificative intre cheltuielile de functionare ale celor doua marci de autoturisme.

16