Diseno y Analisis de Experimentos M Parte22 [PDF]

Zitiervorschau

5-4 DISEÑO FACTORIAL GENERAL

EJEMPLO 5..3

197

ó ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

El problema del embotellado de un refresco Una empresa embotelladora de refrescos está interesada en obtener alturas de llenado más uniformes en las botellas que se fabrican en su proceso de manufactura. Teóricamente, la máquina de llenado llena cada botella a la altura objetivo correcta, pero en la práctica, existe variación en torno a este objetivo, y a la embotelladora le gustaría entender mejor las fuentes de esta variabilidad y, en última instancia, reducirla. El ingeniero del proceso puede controlar tres variables durante el proceso de llenado: el porcentaje de carbonatación (A), la presión de operación en el llenador (B) y las botellas producidas por minuto o rapidez de línea (e). Es sencillo controlar la presión y la rapidez, pero el porcentaje de carbonatación es más difícil de controlar durante la manufactura real debido a que varía con la temperatura. Sin embargo, para los fines de un experimento, el ingeniero puede controlar la carbonatación en tres niveles: 10, 12 Y14 por ciento. Elige dos niveles para la presión (25 y 30 psi) Ydos niveles para la rapidez de línea (200 y 250 bpm). El ingeniero decide correr dos réplicas de un diseño factorial con estos tres factores, haciendo las 24 corridas de manera aleatoria. La variable de respuesta observada es la desviación promedio de la altura del llenado objetivo que se observa en una corrida de producción de botellas con cada conjunto de condiciones. En la tabla 5-13 se muestran los datos que resultaron de este experimento. Las desviaciones positivas son alturas de llenado arriba del objetivo, mientras que las desviaciones negativas son alturas de llenado abajo del objetivo. Los números encerrados en círculos de la tabla 5-13 son los totales de las celdas de tres vías Yijk.' La suma de cuadrados total corregida que se encuentra con la ecuación 5-27 es a

SST

b

e

2

y'~.

Yijki -

aben

n

= ~~~~

= 571- (75)2,= 336.625 24 Tabla 5-13 Datos de la desviación de la altura de llenado del ejemplo 5-3

Presión de operación (B)

Porcentaje de carbonatación (A)

25 psi

30 psi

Rapidez de línea (C) 200 250

Rapidez de línea (C) 200 250

10

-3 -1

Gj:\ '0

-1 O

C[\

12

~

CD

i

®

¡

14 Totales B x CY.jk.

~

®

@

'5' \:!.../

fí6\

~

20

21

Y.j.. TbtalesA x B

TotalesA x C

Yij..

Yi.k.

10 12 14

25 -5 4 22

@ @ 34

-4 20 59

75 = Y....

54

B A

(3)

1 1 6 5 10 11

c.v

O 2 3 7 9

15

6

C[\

-1

c.v

C 30

A

200

250

1 16 37

10 12 14

-5 6 25

1 14 34 1

1

1\

I

198

CAPÍTULO 5

INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES

y las sumas de cuadrados de los efectos principales que se calculan con las ecuaciones 5-28, 5-29 Y5-30 son SS

1

a

2

=-~ 2_~ ben -f::; Yi... aben

Carbonatación

= ~[(_4)2 +(20)2 +(59)2]- (7;{ = 252.750 1 b 2 =_~ 2_~ aen LJ y.j.. aben

SS Presión

]=1

1

= 12 [(21)2 +(54)2]- (7;{

=

45.375

y SS

1

.

Rapidez

e

2

= _ V y 2 -~ abn L.J .. k. aben k=1

1

= 12 [(26)2 +(49)2 ]_ (7;{ = 22.042

Para calcular las sumas de cuadrados de las interacciones de dos factores, se deben encontrar los totales de las celdas de dos vías. Por ejemplo, para encontrar la carbonatación-presión o interacciónAB, se necesitan los totales de las celdas A x B {Yij.) que se muestran en la tabla 5-13. Utilizando la ecuación 5-31, se encuentra que las sumas de cuadrados son 1

SS

AB

a

b

= - ~~ en ~LJ ¡=1 ]=1

2

Y~ -~-SS -SS y..

aben

A

B

1

(75)2

= -[(_5)2 +(1)2 +(4)2 +(16)2 +(22)2 +(37)2 ] - - - - 252.750- 45.375 4

.

~

= 5.250 Para la carbonatación-rapidez o interacciónAC se usan los totales de las celdasA x C {YUe} que se muestran en la tabla 5-13 y la ecuación 5-32: 1

SS AC

a

e

= -b L L Y~k. n

i=1 k=l

2

yb···· - SSA a en

-

SS C

= ¡[(_5)2 +(1)2 +(6)2 +(14)2 +(25)2 +(34)2]- (7;{ -

252.750- 22.042

= 0.583 La presión-rapidez o interacción BC se encuentra con los totales de las celdas B x C {y Jk} que se muestran en la tabla 5-13 y la ecuación 5-33: 1

SSBC

b

e

2

= ~ LL Y.~k. -~-SSB -SSC an

j=1 k=1

aben

=i[(6)2 +(15)2 +(20)2 +(34)2]- (7;{ = 1.042

45.375- 22.042

5-4 DISEÑO FACTORIAL GENERAL

199

La suma de cuadrados de la interacción de los tres factores se encuentra con los totales de las celdas B X e {Yijk.}, los cuales están encerrados en un círculo en la tabla 5-13. Por la ecuación 5-34a se encuentra 1 a b e 2 Y.~. SSABC = Yijk. ----SSA -SSB -SSC -SSAB -SSAC -SSBC n ;=1 j=l k=l aben

.Á.

X

LLL

2 (75) 2 1 = -[(-4)+(-1)- +(-1)- +···+(16)- +(21) ] - ?

?

?

?

2 24 - 252.750- 45.375- 22.042- 5.250- 0.583-1.042

= 1.083 por último, al observar que

1

SSsublotaleS(ABC)

a

b

e

=-;; LLL ;=1 j=l k=l

se tiene SSE

2 2 y... 328125 Y¡ik . ,. --b-= a en

= SST - SS Subtotales(ABC) = 336.625- 328.125 = 8.500

En la tabla 5-14 se resume el análisis de varianza. Se observa que el porcentaje de carbonatación, la presión de operación y la rapidez de línea afectan significativamente el volumen de llenado. El cociente F de la interacción carbonatación-presión tiene un valor P de 0.0558, lo cual indica cierta interacción entre estos factores. El siguiente paso deberá ser un análisis de los residuales de este experimento. Se deja como ejercicio para el lector, pero se señala que la gráfica de probabilidad normal de los residuales y los demás diagnósticos usuales no indican ningún motivo de preocupación importante. Como ayuda para la interpretación práctica de este experimento, en la figura 5-16 se grafican los tres efectos principales y la interacciónAB (carbonatación-presión). Las representaciones de los efectos principales son sólo gráficas de los promedios de las respuestas marginales para los niveles de los tres factores. Observe que las tres variables tienen efectos principales positivos; es decir, el incremento de la variable mueve hacia arriba la desviación promedio dell1enado objetivo. La interacción entre la cabonatación y la presión es bastante pequeña, como lo indica la forma similar de las dos curvas de la figura 5-16d. Puesto que la empresa quiere que la desviación promedio del llenado objetivo esté cerca de cero, el ingeniero decide recomendar el nivel bajo de la presión de operación (25 psi) y el nivel alto de la rapidez de línea (250 bpm, que maximizará la rapidez de producción). En la figura 5-17 se grafica la desviación Tabla 5-14 Análisis de varianza del ejemplo 5-3

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Porcentaje de carbonatación (A) Presión de operación (B) Rapidez de línea (C) AB AC BC ABC Error Total

252.750 45.375 22.042 5.250 0.583 1.042 1.083 8.500 336.625

2 1 1 2 2 1 2 12 23

Cuadrado medio 126.375 45.375 22.042 2.625 0.292 1.042 0.542 0.708

Fa

Valor P

178.412 64:059 31.118 3.706 0.412 1.471 0.765

F