Curs [PDF]

Zitiervorschau

STATISTICĂ

CURS 3

Indicatori statistici descriptivi pentru date univariate

1

Măsuri statistice descriptive pentru date univariate Indicatorii tendinţei centrale = indicatori sintetici care exprimă într-o singură măsură ceea este tipic, esenţial, stabil într-o serie de date. Indicatorii fundamentali ai tendinţei centrale sunt: 1. Modul sau valoarea modală (Mo) 2. Mediana (Me) 3. Media aritmetică ( x )

Puterea de caracterizare a indicatorilor tendinţei centrale depinde de gradul de omogenitate/eterogenitatele al setului de date analizat.

2

Modul MODUL (Mo) = valoarea cel mai des întâlnită într-o serie de date statistice sau valoarea care are cea mai mare frecvenţă de apariţie (mode în engl.) Mo = reprezintă valoarea pe care o înregistrează, din punctul de vedere al variabilei studiate, cele mai multe unităţi statistice. Modul se poate determina pentru orice tip de variabilă, nenumerică sau numerică, indiferent de scala de măsurare.

Modul este singurul indicator al tendinţei centrale ce poate fi determinat pentru variabilele măsurate pe scala nominală. Grafic, într-o diagramă prin coloane, histogramă sau poligon al frecvenţelor, valoarea modală reprezintă varianta/valoarea de pe abscisă ce corespunde vârfului reprezentării.

3

Modul 

O serie de date poate prezenta una sau mai multe valori modale.



este important în etapa de analiză descriptivă, pentru caracterizarea concentrării valorilor şi a formei distribuţiei, fără a avea un rol în etapa

inferenţială . 

este un indicator potrivit pentru caracterizarea unor serii mari de date în care interesează valoarea cel mai des întâlnită (exemplu: venitul modal).



are unitatea de măsură a variabilei studiate.



În cazul datelor sistematizate sub forma seriilor de distribuţie de frecvenţe, modul este varianta/valoarea variabilei cu frecvenţa cea mai mare de apariţie.

4

Exemple Exemplul 1. Pentru un eşantion de 9 unităţi de cazare turistică dintr-o anumită regiune au fost înregistrate date referitoare la numărul angajaţilor pe perioadă nedeterminată:

8, 6, 5, 9, 5, 8, 6, 10, 6. Variabila

analizată

este

„numărul

angajaţilor

pe

perioadă

nedeterminată”, fiind o variabilă numerică cu variaţie discretă. Eşantionul este format din cele 9 unităţi de cazare turistică, fiind de volum redus (n = 9 < 30)

Modul este valoarea care apare de cele mai multe ori, adică Mo = 6 angajaţi.

5

Exemple Exemplul 1. Distribuţia celor 120 de salariaţi ai firmei Papirus în funcţie de departamentul în care îşi desfăşoară activitatea este: Departamentul

Număr salariaţi

Administrativ

5

Financiar

20

Aprovizionare

25

Producţie

60

Vânzare

10

Total

120

Mo = „producţie”

6

Exemple Exemplul 2. Distribuţia celor 120 de salariaţi ai firmei Papirus în funcţie de nivelul ultimelor studii absolvite este: Nivelul studiilor

Număr salariaţi

Gimnaziale

5

Liceale

25

Postliceale

31

Universitare

44

Postuniversitare

15

Total

120

Mo = „universitare”

7

Exemple Exemplul 3. Distribuţia celor 120 de salariaţi ai firmei Papirus în funcţie de numărul copiilor minori în întreţinere: Număr copii minori în întreţinere

Număr salariaţi

0

10

1

20

2

35

3

40

4

15

Total

120

Mo = 3 copii

8

Exemple 



În cazul seriei de distribuţie de frecvenţe pe intervale de variaţie valoarea modală poate aproximată cu valoarea ce reprezintă mijlocul intervalului cu frecvenţa cea mai mare (numit şi interval modal) Metoda de aproximare este fundamentată pe ipoteza distribuţiei normale a valorilor variabilei în interiorul fiecărui interval de variaţie. Exemplul 4. Distribuţia celor 120 de salariaţi ai firmei Papirus în funcţie de veniturile salariale este: Venituri salariale (mii lei) Sub 1,5

Număr salariaţi

Mo1,75 mii lei sau

10

1,5 – 2,0

40

2,0 - 2,5

30

2,5 – 3,0

20

3,0 – 3,5

15

Peste 3,5

5

Total

120

Notă: Limita superioară inclusă în interval

9

MEDIANA  

 

 

MEDIANA (Me)= varianta/valoarea din mijlocul unei serii de date în care observaţiile au fost ordonate (median, în engl.). este un indicator mediu de poziţie care face parte din categoria cuantilelor ia în consideraţie doar poziţia observaţiilor în serie, nu şi mărimea lor. Pentru a determina mediana se introduce noţiunea de ranguri, adică numere de ordine asociate observaţiilor, de la cea mai mică (cu rangul 1), până la cea mai mare (rangul n). Rangul/locul medianei este rangul unităţii din mijlocul seriei, adică (n+1)/2. Pentru seria cu număr impar de termeni Me este termenul din mijlocul seriei, iar pentru seria cu număr par de termeni Me este media aritmetică a termenilor situaţi în centrul seriei.

10

MEDIANA  



se poate determina în cazul variabilelor nenumerice măsurate pe scala ordinală şi în cazul variabilelor numerice. prezintă avantajul că nu este afectată de valorile extreme ale variabilei, luând în considerare doar poziţia valorilor nu şi mărimea lor. are unitatea de măsură a variabilei studiate.

Pentru determinarea Me ordonăm setul de date ( xi - valorile variabilei): 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 10.

Mediana este valoarea situată pe poziţia (n+1)/2=5, adică Me = 6 angajaţi. Număr angajaţi ( xi )

5 5 6 6

Rangul/poziţia valorii xi

1 2 3 4 Loc Me = 5 6 7 8

Me = 6

8 8 9 10 9

11

MEDIANA





 

În cazul datelor sistematizate sub forma SDF, pentru determinarea medianei se introduce noţiunea de frecvenţă cumulată crescător. Frecvenţa absolută cumulată crescător a unei grupe (Fci) reprezintă numărul unităţilor statistice care au valoarea variabilei cel mult egală cu valoarea grupei corespunzătoare:

Frecvenţa absolută cumulată crescător a ultimei clase/grupe este egală cu volumul total al eşantionului. Mediana este varianta sau valoarea variabilei corespunzătoare primei frecvenţe cumulate crescător mai mare sau egală cu rangul/locul medianei. 12

Exemple Exemplul 3. Distribuţia celor 120 de salariaţi ai firmei Papirus în funcţie de numărul copiilor minori în întreţinere: Număr copii minori în întreţinere 0

Număr salariaţi

Frecvenţă absolută cumulată crescător (Fci)

Me = 2 copii

10

10

Loc Me = (n+1)/2 = 121/2=60,5

1

20

10+20=30

Me = 2 copii arată că jumătate

2

35

10+20+35=65≥60,5

dintre salariaţi au cel mult doi

3

40

10+20+35+40=105

copii minori în întreţinere,

4

15

10+20+35+40+15=120

Total

120

-

respectiv jumătate dintre salariaţii firmei au mai mult de doi copii minori în întreţinere.

13

Exemple În cazul seriei de distribuţie de frecvenţe pe intervale de variaţie valoarea mediană poate aproximată cu valoarea ce reprezintă mijlocul intervalului median (intervalul corespunzător primei frecvenţe cumulate mai mare decât LocMe = (n+1)/2).

Aceasta metoda de aproximare a valorii mediane este fundamentata pe ipoteza distribuţiei normale a valorilor variabilei în interiorul fiecărui interval de variaţie.

14

Exemple Exemplul 4. Distribuţia celor 120 de salariaţi ai firmei Papirus în funcţie de veniturile salariale este: Venituri

Număr

Frecvenţă absolută

Me  2,25 mii lei sau

salariale salariaţi cumulată crescător (Fci) (mii lei) Sub 1,5

10

10

Loc Me = (n+1)/2 = 121/2=60,5

1,5 – 2,0

40

10+40=50

2,0 - 2,5

30

10+40+30=80≥60,5

Me = 2,25 mii lei arată că jumătate dintre salariaţi

2,5 – 3,0

20

10+40+30+20=100

au venituri salariale mai mici de 2,25 mii lei (2.25

3,0 – 3,5

15

10+40+30+20+15=115

lei), respectiv jumătate dintre salariaţii firmei

Peste 3,5

5

10+40+30+20+15+5=120

Total

120

-

obţin venituri salariale mai mari de 2.25 lei.

Notă: Limita superioară inclusă în interval

15

MEDIA I. MEDIA (media aritmetică - average, mean, în engl.) unei serii de date se calculează ca suma valorilor raportată la numărul lor, fiind valoarea care, înlocuind toţi termenii unei serii, nu modifică nivelul lor totalizator. Media aritmetică este indicatorul cel mai utilizat pentru caracterizarea tendinţei centrale a datelor numerice, atât în etapa descriptivă, cât şi în etapa inferenţială. Formula de calcul a mediei este: ESTIMATOR

PARAMETRU

(Media variabilei în eşantion)

(Media variabilei în populaţia statistică)

n

x

i

x

i 1

n

N

x

i



i 1

N

16

MEDIA În cazul datelor sistematizate media (numită şi medie ponderată) se determină astfel: r

x

xn i 1 r

i

i

n i 1

i

unde: xi , i  1, r reprezintă valorile variabilei X sau centrele intervalelor de variaţie (calculate ca

medie a capetelor de interval); r

reprezintă numărul de variante sau de grupe;

ni

reprezintă frecvenţa absolută a variantei/grupei „i” 17

MEDIA Media se situează, întotdeauna între valoarea minimă (xmin) şi valoarea maximă (xmax) a variabilei. Suma abaterilor valorilor individuale de la media lor aritmetică este egală cu zero: n

n

n

 ( x  x)   x  n  i

i 1

i

i 1

x i 1

n

i

0

Media aritmetică este afectată de prezenţa valorilor de tip outlier deoarece calculul acesteia se bazează pe toate valorile individuale observate. Media are unitatea de măsură a variabilei studiate.

18

MEDIA r

Media poate fi determinată şi prin utilizarea frecvenţelor relative:

x n i

x

i 1

100

*% i

.

Dacă o serie de date este alcătuită din mai multe subserii, pentru care se cunosc mediile parţiale x j , j  1, m , atunci media întregii serii poate fi calculată ca o medie aritmetică m

ponderată din mediile parţiale

x n

j j

x

j 1 m

n

, unde n j

reprezintă volumul subseriei

j

j 1

componente j  j  1, m .

19

Exemple Exemplul 1. Pentru un eşantion de 9 unităţi de cazare turistică dintr-o anumită regiune au fost înregistrate date referitoare la numărul angajaţilor pe perioadă nedeterminată:

8, 6, 5, 9, 5, 8, 6, 10, 6. Media, determinată ca medie aritmetică simplă, este:

x

5  5  6  6  6  8  8  9  10  7 angajati 9

20

Exemple Exemplul 3. Distribuţia celor 120 de salariaţi ai firmei Papirus în funcţie de numărul copiilor minori în întreţinere: Număr copii minori în întreţinere ( xi ) 0

Număr salariaţi ( ni ) 10

xi * ni

1

20

20

2

35

70

3

40

120

Un salariat al firmei, are, în medie, doi copii

4

15

60

minori în întreţinere (numărul copiilor fiind

Total

120

270

o variabilă numerică cu variaţie discretă).

x = 2 copii 0

r

x 

x n i 1 r

i

i

n i 1



270  2.25  2 cop ii 120

i

21

Exemple Exemplul 4. Distribuţia celor 120 de salariaţi ai firmei Papirus în funcţie de veniturile salariale este: Venituri salariale (mii lei)

Număr salariaţi ( ni )

Centrul/ mijlocul intervalului ( xi )

xi * ni

Sub 1,5 (1,0 - 1,5]

10

1,25

12.5

1,5 – 2,0

40

1,75

70

2,0 - 2,5

30

2,25

67.5

2,5 – 3,0

20

2,75

55

3,0 – 3,5 Peste 3,5 (3,5 - 4,0] Total

15

3,25

48.75

5

3,75 -

18.75

120

x = 2,27 mii lei (2 270 lei)

r

x 

x n i 1 r

i

i

n i 1



272.5  2.27 mii lei 120

i

Un salariat al firmei, obţine, în medie, un venit salarial de 2270 lei.

272.5 Notă: Limita superioară inclusă în interval

22

Determinarea celor trei indicatori ai tendinţei centrale se realizează facil folosind funcţii statistice implementate de Microsoft Office – Excel:  MODE pentru determinarea valorii modale, adică cea mai mică dintre valorile cu frecvenţa maximă; 

MEDIAN pentru determinarea valorii medianei;



AVERAGE pentru determinarea mediei.

23

Exemple Exemplul 7. Considerăm seria de date referitoare la preţurile de vânzare pentru 50 de loturi cu destinaţie agricolă din judeţul Giurgiu (Eur/ha): 280 306 325 338 350

284 310 326 339 353

295 310 328 339 353

295 314 329 340 355

298 315 331 341 355

298 315 332 342 357

300 318 332 345 360

300 318 335 345 365

300 320 337 346 368

305 320 338 348 369

Valorile indicatorilor tendinţei centrale determinate prin intermediul funcţiilor Excel sunt: Mode = 300 Eur/ha Median = 331,5 Eur/ha Mean/Average = 328,44 Eur/ha.

24

Caracterizarea comparativă a indicatorilor tendinţei centrale Media Media aritmetică este indicatorul cel mai folosit în caracterizarea tendinţei centrale pentru un set de date statistice numerice (cantitative). Media este mai stabilă şi mai puţin sensibilă la fluctuaţiile de selecţie decât modul sau mediana; Media este utilizată în procesul de inferenţă statistică. Media poate fi utilizată în calcule algebrice (în cazul în care seria este formată din mai multe subserii media seriei rezultante se poate exprima ca medie a mediilor subseriilor componente). Media este sensibilă la prezenţa valorilor extreme. Media este cel mai potrivit indicator pentru caracterizarea tendinţei centrale în cazul variabilelor cu distribuţie aproximativ normală sau cu un grad redus de asimetrie.

25

Caracterizarea comparativă a indicatorilor tendinţei centrale

Mediana Mediana se poate folosi în cazul datelor măsurate pe scalele ordinală şi de raport. Mediana nu este sensibilă la prezenţa valorilor extreme. Mediana este cel mai potrivit indicator pentru caracterizarea tendinţei centrale în cazul datelor profund asimetrice.

26

Caracterizarea comparativă a indicatorilor tendinţei centrale

Modul Modul este singurul indicator al tendinţei centrale ce poate fi folosit în cazul datelor calitative măsurate pe o scală nominală. Modul poate fi determinat pentru toate tipurile de date, indiferent de scala lor de măsurare. Modul este cel mai potrivit indicator pentru caracterizarea tendinţei centrale în cazul în care ne interesează categoria cea mai importantă (reprezentată cel mai mult în setul de date). Exemplu: Dacă managerul unui magazin de încălţăminte pentru bărbaţi observă că, pentru 25 de perechi de pantofi vândute într-o zi, valoarea modală este 42, înseamnă, cu siguranţă, că acesta a fost numărul cel mai solicitat. Modul este mai util, în acest caz, decât media sau mediana. 27

Caracterizarea comparativă a indicatorilor tendinţei centrale

În cazul datelor cantitative cei trei indicatori ai tendinţei centrale pot fi determinaţi şi sunt utili pentru a obţine o imagine complexă asupra unui fenomen economico-social. Prezintă interes atât analiza valorilor fiecărui indicator, cât şi relaţia dintre ei. Pentru o distribuţie normală cu grad redus de asimetrie, există diferenţe foarte mici între aceşti indicatori şi toţi trei caracterizează tendinţa centrală. Pentru date cu distribuţie asimetrică, valorile indicatorilor diferă, diferenţele fiind utile în aprecierea gradului de asimetrie. Cei trei indicatori fundamentali ai tendinţei centrale oferă informaţii privind forma distribuţiei într-o serie de date statistice:

28

Forma distributiei  pentru repartiţii moderat asimetrice, există o relaţie empirică între cele trei valori şi



anume: x  Mo  3 x  Me



Figura 1.9.1 a) distribuţie simetrică; b) distribuţie cu asimetrie pozitivă; c) distribuţie cu asimetrie negativă

29