CURS Lixandru [PDF]

Zitiervorschau

Lector dr. LIXANDRU ION

BIBLIOGRAFIE 1) ARAMĂ L., MOROZAN T. – Culegere de probleme de analiza matematică. Editura Universal. Bucureşti. 1996 2) CRAIU M., TĂNASE V. – Analiză matematică. Editura Didactică şi Pedagogică. Bucureşti. 1980 3) HALANAY A., OLARIU V., TURBATU S. – Analiză matematică. Editura Didactică şi Pedagogică. Bucureşti. 1981 4) LIXANDRU I. – Sinteze şi probleme de analiză matematică. Editura Fundaţiei Universitare „Dunărea de Jos”. Galaţi. 2005 5) LIXANDRU I. – Matematică. Editura Fundaţiei Universitare „Dunărea de Jos”. Galaţi. 2008 6) LIXANDRU I. – Elemente de Analiză Matematică pentru Invăţământul Tehnic. Editura Fundaţiei Universitare „Dunărea de Jos”. Galaţi. 2011 7) PISKUNOV N. – Calcul diferentiel et integral. Editions Mir. Moscou. 1971 8) PRECUPANU A. – Bazele analizei matematice. Editura CANOVA. Iaşi. 1995 9) ROŞCULEŢ M., TOMA G., MASGRAS V., STANCIU T. – Probleme de analiză matematică. Editura Tehnică. Bucureşti. 1993 10) SIREŢCHI GH. – Calcul diferenţial şi integral. Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică. Bucureşti. 1985 11) STĂNĂŞILĂ O. – Analiză matematică. Editura Didactică şi Pedagogică. Bucureşti. 1985

C1. 1. ŞIRURI DE NUMERE REALE Se numeşte şir de numere reale orice funcţie f : N → R , f ( n ) = xn , xn ∈ R , ∀n ∈ N , ( xn )n∈N ,

( xn ) . Şirul ( xn ) n∈N se numeşte mărginit ⇔ ∃a , b ∈ R astfel încât a ≤ xn ≤ b , ∀n ∈ N . Şirul ( xn ) n∈N este crescător ⇔ xn ≤ xn +1 , ∀n ∈ N . Notăm în acest caz ( xn ) ↑ . Şirul

( xn )n∈N

este descrescător ⇔ xn ≥ xn +1 , ∀n ∈ N . Notăm în acest caz ( xn ) ↓ .

Şirul

( xn )n∈N

este monoton ⇔ ( xn ) ↑ sau ( xn ) ↓ .

Şirul

( xn )n∈N ,

xn ∈ R este convergent către a ∈ R ⇔ ∀ε > 0 , ∃N ( ε ) ∈ N astfel încât pentru

∀n ≥ N ( ε ) , avem xn − a < ε . Se scrie în acest caz xn → a sau lim xn = a ; n →∞

Şirul

( xn )n∈N ,

xn ∈ R se numeşte şir Cauchy ⇔ ∀ε > 0, ∃N ( ε ) ∈ N astfel încât

∀n ≥ N ( ε ) , ∀p ∈ N , xn + p − xn < ε . Un şir de numere reale este convergent ⇔ el este şir

Cauchy.

LIMITE FUNDAMENTALE 1. Fie P(n) = a0 n k + a1n k −1 + ... + ak ; Q(n) = b0 n h + b1n h−1 + ... + bh ; a0 , b0 ≠ 0 . Atunci:

 a0  ,k = h  b0 0, q ∈ [0,1) P(n)  ln n n ; 2. Fie k ∈ N; lim k = 0 ; 3. limq =  lim = 0, k < h n→∞ n n→∞ n→∞ Q(n) + ∞, q > 1  + ∞ ⋅  a0 , k > h b    0 an 4. Dacă a > 1, k ∈ N , atunci lim k = +∞ n→∞ n

5. Dacă xn → 0 , atunci: a) b)

arcsin xn arctg xn sin xn tg xn →1 ; → 1; →1; →1; xn xn xn xn

ln(1+ xn ) (1+ xn )r −1 a xn −1 e xn −1 → ln a; →1; →1; →r ; xn xn xn xn xn

 1 1 +  → e .  xn 

c)

Dacă

xn → +∞ ⇒

CRITERIUL RAPORTULUI Dacă x

n

> 0 ,∀ n ∈ N

x

şi ∃ l i m

n → ∞

n +1

x

= l , atunci:

n

a)

l < 1 ⇒

x

n

→

0 ;

b)

l > 1 ⇒

x

n

→

+∞ ;

c)

l = 1 nu se poate stabili natura şirului

EXEMPLU: Să se calculeze l i m x n → ∞

x

lim

n → ∞

n +1

x

= lim

2

n → ∞

n

n   = 2 lim   n → ∞  n + 1 

( x n )n ∈ N

dacă x

n ,

n

=

2

cu acest criteriu. n

n

⋅ n ! n +1

.

n +1

(n + 1) ! n n +1 ( n + 1) ⋅ n n +1 ⋅ = 2 l i m = n → ∞ ( n + 1) n +1 ⋅ ( n + 1) (n + 1) n+2 2 n ⋅ n !

n +1

 1  = 2 lim   1 −  n → ∞ n + 1   

− ( n +1)

  

− 1

= 2 ⋅e

− 1

=

2 < 1 ⇒ e

lim x n → ∞

= 0 .

n

Folosind criteriul Cauchy să se studieze convergenţa şirurilor 1. x 1. x

n

=

n +1

(x n ) -

 1  1 −    2  ⋅ 1 1 − 2

x

2 n

− x

(x n ) -

n

=

n

| s in ( n + p ) x | 1 1 ≤ + n + p n +1 n + 2 2 2

2

= 1 +


lg e

+ ... +

lg n >

1 1 1 + + ... + 2 3 n

≤

p

ș ir CAUCHY ⇒

2. Pentru p = n

2. x

s in ( n + 1) x s in ( n + 2 ) x s in ( n + p ) x + + ... + n +1 n + 2 2 2 2 n+ p

n + 1) x | | sin( n + 2 ) x | + + n +1 2 2 n+2

1 2

− x

n + p

| sin(

=

s in x s in 2 x s in n x , x ∈ R . + + ... + 2 n 2 n +1 2 n

=

n

1 2

n + p

=

1

ε

lg 2

⇒

N

(ε )

1    lg ε  =   + 1 ⇒  lg 2   

convergent.

avem

1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + ≥ + + ... + = n ⋅ = = ε n + 1 n + 2 2n 2n 2 n 2 n 2 n 2

nu este ș ir CAUCHY ⇒

(x n ) -

divergent.

0

,∀ n ∈ N ⇒

2. SERII DE NUMERE REALE

Fie

( x n )n ∈ N

, x n ∈ R . S n = x 1 + x 2 + . .. + x n =

n

∑

xk

se numeşte şirul sumelor parţiale,

∞

∑

k =1

x n se

1

numeşte serie cu termenul general x n , iar R n = x n + 1 + x n + 2 + . . . =

∞

∑

x k este restul de ordin “n”.

k = n +1

Dacă există şi este finită li m S n = S , atunci seria n→ ∞

adică

∞

∑

∞

∑

xn

este convergentă şi suma ei este S,

1

x n = S . În caz contrar seria se numeşte divergentă.

1

EXEMPLE DE SERII. 1)

∞

∑

q

n

- seria geometrică; ea este convergentă ⇔ q < 1 . În acest caz

0

xn = q

∞

∑

q

0

n

⇒ Sn = 1+ q + q

2

+ ... + q

n −1

=

1− qn ; q ≠ 1 ; lim q n→ ∞ 1− q

n

n

=

1 ; 1− q

 0 , q < 1 . =   + ∞ , q > 1

Dacă q = 1 , atunci S n = 1 + 1 + ... + 1 = n → +∞ , iar dacă q = − 1 , atunci S 2 n = 0 ; S

2 n +1

= 1 şi

deci şirul S n este divergent. 2)

∞

∑ 1

1 1 - serie armonică ⇒ x n = ⇒ S n n

n

=1+

1 1 + ... + ⇒ S 2 n

n

nu este ș ir Cauchy ⇒ S

divergent ⇒ serie divergentă; 3)

∞

∑ 1

4)

∞

∑ 1

( − 1) n −1 ⋅

1 - serie armonică alternantă – este convergentă şi n

∞

∑

( − 1) n −1 ⋅

1

1 ; α ∈ R – seria armonică generalizată; este convergentă ⇔ α > 1 . nα

1 = ln 2; n

n

CRITERIUL GENERAL DE CONVERGENŢĂ (CAUCHY). Seria

∞

∑

x n este convergentă ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N ( ε ) ∈ N , astfel încât ∀ n ≥ N ( ε ) , ∀ p ∈ N

1 n+ p

avem

∑

x k < ε.

k = n +1

CONSECINŢĂ. Pentru p → ∞ +∞

∑

obţinem ∀ ε > 0, ∃ N ( ε ) ∈ N ∀ ε > 0, astfel încât ∀ n ≥ N ( ε ) , astfel încât

x k < ε ⇔ R n → 0 . Deci

k = n +1

∞

∑

x n este convergentă ⇔ R n → 0 .

1

EXEMPLU: ∞

∑ 1

1 1 ; ⇒ xn = ⇒ n n

Rn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + + ... ⇒ R n > + + ... + ≥ + + ... + = n +1 n + 2 2n n +1 n + 2 2n 2n 2n 2n

= n⋅

1 1 1 = ⇒ R n ≥ ⇒ lim R n ≠ 0 ⇒ n→ ∞ 2n 2 2

∞

∑ 1

1 este divergentă. n

CRITERIUL NECESAR DE CONVERGENșĂ. Dacă

∞

∑

x n este convergentă, atunci x n → 0 . Reciproca nu este adevărată (vezi exemplul

1

precedent). Dacă

∞

∑ 1

xn → 0 .

x n - convergentă atunci

S n → S - finit. Cum

x n = S n − S n − 1 , atunci

CRITERIUL DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI. I. CRITERII DE COMPARAŢIE. Fie seriile

∞

∑

xn ,

∞

∑

y n cu x n , y n > 0 , ∀ n ∈ N .

1

1

1. Dacă x n ≤ y n , ∀ n ∈ N , atunci: a)

∞

∑

y n - convergentă ⇒

∑

x n - convergentă.

1

1

b)

∞

∞

∑

x n - divergentă ⇒

1

∞

∑

y n - divergentă.

1

2. Dacă ∃ ∃ lim

n→ ∞

xn = l , l – finit, l ≠ 0 , atunci seriile yn

∞

∑

∞

xn ,

∑

1

y n au aceeaşi natură.

1

EXEMPLE: 1.

∞

1 1 1 1 1 ; α < 1 ⇒ x n = α . Fie y n = ; α < 1 ⇒ nα < n ⇒ > ⇒ xn < yn ; α α n n n n n

∑ 1

cum

∞

∑

y n - divergentă ⇒

1

2.

∞

∑ 1

∞

∑ 1

1 n + 2

; xn =

1 n+ 2

1 - divergentă. nα

; lim

n→ ∞

xn = lim n→ ∞ 1 n

⇒

∞

∑ 1

1 n + 2

- divergentă.

1 2

n = 1 ; cum n+ 2

∞

∑ 1

1 n

1 2

este divergentă

II) CRITERIUL DE CONDENSARE (CAUCHY). Dacă x n > 0 , ∀ n ∈ N ; ( x n

)↓

, atunci seriile

∞

∑

∞

x n şi

∑

1

0

2 k x 2 k - au aceeaşi natură.

EXEMPLU: ∞

∑ 1

1 , α ∈ R . nα

Fie x n =

1 ; dacă α ≤ 0 ⇒ l i m x n ≠ 0 ⇒ serie divergentă. Dacă α > 0 , aplicăm criteriul de n→ ∞ nα

condensare Cauchy:

xn > 0; (xn

)↓,2

k

⋅ x2k = 2 ⋅ k

1

(2 ) k

α

=

(2 ) k

1− α

=

(2

1− α

)

k

. Seria

∞

∑

( 2 1−α ) k

0

este o serie geometrică cu q = 2 1 − α ; q < 1 ⇔ 2 1 − α < 1 ⇔ 1 − α < 0 ⇔ α > 1 . Deci seria

∞

∑ 1

este convergentă ⇔ α > 1 . III) CRITERIUL RAPORTULUI (D’ALEMBERT). Fie

∞

∑

x n , x n > 0 , ∀ n ∈ N , dacă ∃ li m

n→ ∞

1

1. l < 1 ⇒

∞

∑

x n +1 = l , atunci: xn

x n - convergentă;

1

2. l > 1 ⇒

∞

∑

x n - divergentă;

1

3. l = 1 ⇒ nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu (N.S.P.D.) EXEMPLU: ∞

∑ 0

x n +1 2n 2n 2 n +1 n! 2 ; xn = ; li m = li m ⋅ n = li m = 0 < 1 ⇒ serie convergentă. n → ∞ n → ∞ n → ∞ n! n! xn ( n + 1) ! 2 n +1

1 nα

IV) CRITERIUL RAABE – DUHAMEL. Fie

∞

∑ 1

 x  x n , x n > 0, ∀ n ∈ N , dacă ∃ lim n  n − 1  = l , l – finit, atunci: n→∞  x n +1 

1. l > 1 ⇒

∞

∑x

n

- convergentă;

n

- divergentă;

1

2. l < 1 ⇒

∞

∑x 1

3. l = 1 ⇒ nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu (N.S.P.D.) EXEMPLU: ∞

n!

∑ α (α + 1)...(α + n − 1) ; (α

> 0 ) ; xn =

1

x x n! n +1 ⇒ n +1 = ⇒ lim n +1 = 1 . n→ ∞ x α (α + 1)...(α + n − 1) xn α +n n

Deci nu se poate decide natura seriei cu criteriul raportului.

 x  n (α − 1)  n +α  lim n  n − 1  = lim n  − 1  = lim = α −1. n→ ∞ n→∞ n→∞ x n + 1 n + 1    n +1  Dacă α − 1 > 1 ⇔ α > 2 ⇒ serie convergentă. Dacă α − 1 < 1 ⇔ α < 2 ⇒ serie divergentă. Dacă α − 1 = 1 ⇔ α = 2 ⇒ nu se poate decide natura seriei cu acest criteriu. Pentru α = 2 , seria devine:

∞

∑ 1

n! = 2 ⋅ 3 ⋅ ... n ( n + 1)

∞

1

∑ n +1 1

- serie divergentă. (seria armonică)

V) CRITERIUL BERTRAND. ∞

∑

Fie

1

  x   x n , x n > 0 , ∀ n ∈ N , dacă ∃ li m  n  n − 1  − 1  ln n = B , atunci n→ ∞    x n +1 

1. B > 1 ⇒

∞

∑

x n - convergentă;

1

2. B < 1 ⇒

∞

∑

x n - divergentă;

1

3. B = 1 ⇒ nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu (N.S.P.D.) EXEMPLU: ∞

∑ 1

 ( 2 n − 1 ) !!   ( 2 n ) !!   

(2 n xn

2

. Se ştie că:

( 2 n ) !! =

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ ( 2 n ) = " 2 n " semifactorial, iar

− 1 ) !! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2 n − 1 ) = " 2 n − 1 " semifactorial.

 ( 2 n − 1) !!  =    ( 2 n ) !! 

2

x  2n + 1  ⇒ n +1 =   xn  2n + 2 

2

→ 1⇒

nu se poate decide natura seriei cu criteriul

raportului.  2n + 2 2   xn  n (4 n + 3) n − 1 = n  → 1 ⇒ nu se poate decide natura seriei cu criteriul  − 1 = 2 x 2 n + 1 ( 2 n + 1)      n +1    x   Raabe – Duhamel.  n  n − 1  − 1  ⋅ ln n =    x n +1 

1   n  −1 −   4n + 3n  −n −1 n   1 ln n = − ln n → 0 < 1 ⇒ seria este divergentă.   ln n = 2 2 4 1  4n + 4n + 1 2   4n + 4n + 1  n 4 + + 2  n n   2

VI) CRITERIUL RADICALULUI (CAUCHY). Fie

∞

∑

x n , x n > 0 , ∀ n ∈ N , dacă ∃ l i m

xn = l

n

n→ ∞

1

1. l < 1 ⇒

∞

∑

– finit, atunci:

x n - convergentă;

1

2. l > 1 ⇒

∞

∑

x n - divergentă;

1

3. l = 1 ⇒

nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu. În acest caz se recomandă să se

arate că l i m x n ≠ 0 şi deci seria este divergentă. n→ ∞

EXEMPLU: ∞

∑ 1

n

α ⋅n +1 α ⋅n + 1    ;α > 0 ; x n =   2n − 1   2n − 1 

Dacă Dacă Dacă

α 2

α 2

α 2

< 1 ⇔ α < 2 ⇒

n

lim

n→ ∞

n

x n = lim

n→ ∞

α n +1 2n − 1

=

α 2

.

serie convergentă;

> 1 ⇔ α > 2 ⇒ serie divergentă;

= 1 ⇔ α = 2 ⇒ nu se poate decide natura seriei cu acest criteriu.

 2n + 1  lim x n = lim   n→ ∞ n→ ∞  2n − 1 

n

2   = lim  1 +  n→ ∞ 2n − 1  

n

 2   = lim   1 +  n→ ∞  2n − 1   

criteriului necesar de convergenţă, seria este divergentă.

2 n −1 2

   

2n 2 n −1

= e ≠ 0 .

Conform

VII) CRITERIUL LOGARITMIC

Fie

∞

∑ 1

1 xn = l , atunci: x n , x n > 0, ∀ n ∈ N , dacă ∃ lim n → ∞ ln n

1. l > 1 ⇒

ln

∞

∑x

n

- convergentă;

n

- divergentă;

1

2. l < 1 ⇒

∞

∑x 1

3. l = 1 ⇒ nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu (N.S.P.D.) EXEMPLU: ∞

∑ 1

1 xn ln a − ln n − ln n ln a ln n ln n = lim = lim = − ln a . a ; a > 0 ; x n = a ; lim n → ∞ ln n n→∞ n→ ∞ ln n ln n ln

Dacă − ln a < 1 ⇔ ln a > − 1 ⇔ a > e − 1 =

1 ⇒ serie divergentă. e

Dacă − ln a > 1 ⇔ ln a < − 1 ⇔ a < e − 1 =

1 ⇒ serie convergentă. e

Dacă − ln a = 1 ⇔ ln a = − 1 ⇔ a = e − 1 =

1 nu se poate stabili natura seriei cu acest criteriu. e

1 Pentru a = , seria devine: e

∞

∑e 1

1 ln n

=

∞

1

∑n 1

- serie divergentă.

CRITERIUL LEIBNIZ. Seria

∞

∑ ( − 1)

n −1

x n , cu x n > 0 , ∀ n ∈ N se numeşte serie alternantă.

1

Dacă

( x n ) ↓ , x n → 0 , atunci seria

∞

∑

( − 1) n − 1 x n este convergentă. Dacă în plus seria modulelor

1 ∞

∑

x n este convergentă, atunci seria iniţială

1

∞

∑

( − 1) n − 1 x n este absolut convergentă (A.C.).

1

În caz contrar seria iniţială este simplu convergentă (S.C.). EXEMPLE: 1.

∞

n −1 ∑ (− 1 )

1 1 ⇒ xn = > 0 ; ( x n ) ↓ , x n → 0 ⇒ serie convergentă; cum n n

⋅

1

⇒

∞

∑ (− 1 )

n −1

1

2.

∞

∑

( − 1) n − 1

1

⋅

∞

∑ 1

1 - divergentă n

1 - simplu convergentă. n

x 1 n 1 ; xn = ⇒ x n > 0 , ∀ n ∈ N ; n +1 = < 1 ⇒ x n +1 < x n ⇒ n n n ⋅3 n ⋅3 xn 3( n + 1)

( xn ) ↓ .

Evident lim x n = 0 . n→ ∞

Deci

seria

∞

∑ 1

∞

∑ 1

xn =

∞

∑ 1

( − 1) n − 1

1 este n ⋅ 3n

convergentă.

În

continuare

ne

ocupăm

x n +1 1 1 n ; lim = lim = < 1 . Conform criteriul raportului seria n→ ∞ x n → ∞ 3 ( n + 1) n ⋅ 3n 3 n

convergentă şi deci seria iniţială

∞

∑ 1

( − 1) n − 1 x n este absolut convergentă.

de ∞

∑ 1

seria: x n este

C2 1. ŞIRURI DE FUNCŢII

Fie F

(X ) =

φ : N →

{f

⊂ R

f : X

( X ), φ (n )

F

=

fn ∈ F

Notăm şirul de funcţii prin: Dacă şirul Notăm

(

( x 0 ) )n ∈ N

fn

cu

f : C →

(x ) =

R , f

} . Se numeşte şir de funcţii orice aplicaţie

( x ), ∀

n ∈ N .

( f n ( x ))nx ∈∈ NX

lim

∈ X

fn

( x ), ∀

fn

n → ∞

(

( f n )n ∈ N

sau

(x0

este convergent,

{x 0

=

C

R

→

k

( x 0 )) –

∈ X

( f n ).

sau

),

x

0

- se numeşte punct de convergenţă.

convergent}-

mulţimea

de

convergenţă.

Funcţia

x ∈ C se numeşte funcţie limită.

EXEMPLU: f

n

: R

R , f

→

Şirul de funcţii s

fn →

n

(x ) =

n

2

x

n

2

2

( f n )n ∈ N

+ 1 ⇒ + 1

lim

f

n → ∞

n

(x ) =

2

x

,∀ x ∈ R ⇒

f : R

R , f

→

(x ) =

n

x

2

se numeşte punctual convergent sau simplu convergent la

(ε

f , dacă: ∀ x ∈ X , ∀ ε > 0 , ∃ N

, x

)∈

(ε

N , astfel încât ∀ n ≥ N

, x

) avem

f

n

şi notăm

f

(x )−

f

n >

x

(x )

< ε |.

EXEMPLU: fn : R →

⇒

∃ N

Şirul

(ε

(x )

R , fn , x

de

)

=

(x )

= 0 ;

f

 x − ε  =   + 1 ∈ N , astfel încât ∀ n ≥ N ε   2

( f n )n ∈ N

funcţii

∀ ε > 0,∃ N

x 2 , ∀ x ∈ R ; lim f n n → ∞ n + 1

(ε ) ∈

se

numeşte

N , astfel încât ∀ n ≥ N

uniform

(x )−

n

(ε

, x

)

< ε ⇔

0

avem

f

convergent

( ε ) avem,

(x )−

fn

f

x

n

(x )

la

(x )

< nε + ε ⇔

2

< ε ,∀ x ∈ R ⇒

şi

f

< ε ,∀ x ∈ X

notăm

2

− ε

ε S

fn → 0 . u .c .

fn →

f

dacă

.

EXEMPLU:

fn : R →

(x ) =

R , fn

1 < n 2ε + ε ⇒

astfel încât

n

f

n

2

>

(x )

cos nx , ∀ x ∈ R ; lim f n → ∞ n 2 + 1

1 − ε

ε

⇒

n >

< ε ,∀ n ≥ N

1 − ε

ε

(ε

, X

⇒

), ∀

n

∃ N

(x ) = (ε )

x ∈ R ⇒

S

0 ⇒  =  

fn → 0;

fn

(x )

=

cos nx

1 − ε   + 1 , dacă ε ∈ ε  u .c .

fn →

0 .

n

2

+ 1

(0 ,1 ) ;

≤

1 n

2

+ 1

≤ ε ⇒

dacă ε ≥ 1 , N

(ε ) =

1 ,

TEOREMA 1. Orice şir de funcţii uniform convergent este şi simplu convergent. Reciproca nu este adevărată. EXEMPLU: fn : R

+

(x )

→ R , fn

2nx 2 n + x

2

. lim f n

(x ) =

x

0

f n' ( x ) = 0 ⇒ x = n

= fn

M

(n ) =

2n 2n

n→ ∞

S

f n → 0 ; f n' ( x ) = 2 n ⋅

0 ⇒

n

2

+ x2 − 2x2

(n

2

+ x

2

)

2

=

(

2n n

(n

2

2

− x2

+ x

2

)

2

);

+ ∞

n

f n' ( x

)

+++++

0 ------

f n (x

)

0

M

0

2 2

= 1 → 1 ≠ 0 ⇒

f n – nu este uniform convergent la 0.

TEOREMA 2. (CRITERIUL CAUCHY). u .c .

fn →

(ε ) ∈

f ⇔ ∀ ε > 0, ∃N

N , astfel încât ∀ n ≥ N

(ε ) , ∀ p

∈ N , avem f n +

p

(x )−

fn

(x )

< ε ,∀ x ∈ X

EXEMPLU: fn : R → R , fn

n

(x ) = ∑ k =1

fn+

p

(x )−

fn

(x )

n+ p

=

∑

k = n +1

=

s in k x . k ( k + 1) n+ p

s in k x ≤ k ( k + 1)

∑

k = n +1

| sin k x | ≤ k ( k + 1)

n+ p

∑

k = n +1

n+ p

1 k ( k + 1)

1 1 1 1− ε − < < ε ⇒ 1 < nε + ε ⇒ n > ⇒ ∃N ε n +1 n + p +1 n +1

=

1   1 −   = k +1 k = n +1  k

∑

(ε ) =

1 − ε   ε  + 1 ⇒

f n - uniform convergent.

TEOREMA 3. (WEIERSTRASS). Dacă ∃ a n > 0 , ∀ n ∈ N , a n → 0 , astfel încât

fn

(x )−

f

(x )

u .c .

≤ a n , ∀ n ∈ N , ∀ x ∈ X , atunci f n →

EXEMPLU:

fn : R → R , fn

(x ) =

sin n x ⇒ n2 +1

s

f n → 0 . f n (x

)

=

sin nx 1 1 ; cum ≤ → 0 ⇒ 2 2 2 n + 1 n + 1 n +1

u .c .

fn → 0 .

f .

TEOREMA 4. (TRANSFERUL CONTINUITĂŢII). u.c.

Dacă fn → f , fn – continue pe X , atunci f – continuă pe C , adică:

(

(

)

)

(1) lim lim fn (x) = lim lim fn (x) x→x0 n→∞

n→∞ x→x0

TEOREMA 5. (TRANSFERUL DERIVABILITĂŢII). u.c.

' n

u.c.

Dacă fn → f , fn – derivabile pe X , f → g , atunci f – derivabilă şi f ' = g , adică:

(

)

'

(2) lim fn (x) = lim fn' ( x) n→∞

n→∞

TEOREMA 6. (TRANSFERUL INTEGRABILITĂŢII). u.c.

Dacă fn → f , fn – integrabile pe [ a, b] , atunci f – integrabilă pe [ a, b] şi b

b

a

a

(3) lim∫ fn ( x) dx = ∫ limfn ( x) dx n→∞

n→∞

2. SERII DE FUNCŢII Fie

(

f

n

)n ∈ N

– şir de funcţii definite pe

R , atunci S

⊂

X

n

(x )

=

n

∑

f

k

(x )

se numeşte şirul sumelor

k =1

∞

parţiale, ∑

f

- serie de funcţii, R

( x )

n

n

∞

(x ) =

∑

f

k

(x )

- restul de ordin n.

k = n + 1

1

O serie de funcţii este simplu convergentă sau uniform convergentă, după cum şirul sumelor parţiale este simplu sau uniform convergent. TEOREMA 1. (CAUCHY). Seria de funcţii

∞

∑

f

n

este uniform convergentă pe X

( x )

⇔

∀ ε

> 0, ∃ N

(ε ) ∈

N

, astfel încât

1

(ε ) , ∀

∀ n ≥ N

∗

p ∈ N

n + p

∑

, avem

f

k

( x )

< ε ,∀ x ∈ X

.

k = n +1

TEOREMA 2.(WEIERSTRASS). Dacă ∃ a

> 0 , ∀ n ∈ N , astfel încât

n

f

n

(x )

≤ a

n

,∀ n ∈ N

şi seria

∞

∑

a

n

este convergentă, atunci seria

1

∞

∑

de funcţii

f

n

este uniform convergentă.

( x )

1

TEOREMA 3. (TRANSFERUL CONTINUITĂŢII). Dacă

∞

u .c .

∑

f

n

( X ) →

(X )

S

şi

f

n

– continue atunci S – continuă, adică:

1 ∞

(4) l i m

x → x

0

∑

f

n

∞

∑

( x ) =

1

1

lim

x → x

f 0

n

( x )

TEOREMA 4. (TRANSFERUL DERIVABILITĂŢII). Dacă

∞

u .c .

∑

f

n

→

S ,

f

– derivabile şi

n

1

 (5)  

u .c .

f 'n →

g , atunci S – derivabilă şi S

'

= g , adică:

1

∞

∑

∞

∑

f

n

1

 ( x )  

'

=

∞

∑

f 'n ( x )

1

TEOREMA 5. (TRANSFERUL INTEGRABILITĂŢII). Dacă

∞

u .c .

∑

f

n

→

S ,

f

– integrabil pe

n

1 b

(6)

∞

∫ ∑ a

1

f

n

( x ) d x =

∞

b

1

a

∑ ∫

f

n

( x )d x

[a

,b

],

atunci S – integrabilă pe

[a

,b

]

şi

3. SERII DE PUTERI. SERII TAYLOR O serie de forma

∞

∑

anxn;a

n

∈ R

se numeşte serie de puteri.

0

 Notăm C =  x ∈ R 

∞

∑

n

anx

- convergentă}. Funcţia

∞

f :C → R ,

f

(x ) = ∑

0

a n x n , ∀ x ∈ C se numeşte

0

funcţie analitică. Pentru orice serie de puteri, ∃ R ≥ 0 , R - rază de convergenţă, astfel încât a)

∀ x, x < R ⇒

b)

∀ x , x > R ⇒ serie divergentă a n +1 an

∃ l = lim

În plus dacă a) l = 0 ⇒

serie uniform şi absolut convergentă

n→ ∞

= lim

n

n→ ∞

1 = l . R

b) l ≠ 0 ⇒

R = +∞ ;

| a | , atunci:

OBSERVAŢII: 1. Pentru x = R , adică x = ± R , se înlocuieşte în serie şi se studiază seriile numerice obţinute. 2. Dacă S

∞

(x ) = ∑

anx

n

(x )

, atunci S

se află prin derivare sau integrare, după forma lui a

0

EXEMPLE: 1.

∞

xn ;a n

∑ 1

n

=

∀ x, x > 1 ⇒

a n +1 1 ⇒ lim n → ∞ n an

= 1 =

1 ⇒ R

serie divergentă; x = 1 ⇒

R = 1 ⇒ ∀ x , x < 1 serie absolut convergentă;

x = ± 1 . Pentru: x = 1 ⇒

∞

∑ 1

x = −1 ⇒

∞

∑

( − 1) n

1

Fie

∞

S

(x ) = ∑ 1

S

(x ) =

− ln

(1

1 - convergentă ⇒ C = n

xn ⇒ n

S

)+

k;S

− x

Pentru x = − 1 ⇒

S

'

∞

(x ) = ∑

x

n −1

[− 1 , 1 ) .

= 1 + x + x

2

n −1

+ ... + x

1 ⇒ x − 1

+ ... =

1

(0 ) =

(− 1 ) =

0; S

− ln 2 ⇒

(0 ) = ∞

k ⇒ k = 0 ⇒

∑ (− 1 ) 1

1 - divergentă; n

n

S

(x ) =

1 = − ln 2 ⇒ n

∞

∑ (− 1 ) 1

(1

− ln n

− x

).

1 = ln 2 . n

n

.

∞

2.

∑ ( n + 1) x

n

a n +1 1 =1= ⇒ R = 1, ∀ x , x < 1 ⇒ serie absolut convergentă; an R

. a n = n + 1 ⇒ lim

n→ ∞

0

∀ x , x > 1 ⇒ serie divergentă; x = 1 ⇒ x = ± 1 ; x = 1 ⇒

∞

∑ ( n + 1 ) - divergentă 0

∞

∑ ( − 1)

x = −1 ⇒

n

( n + 1) - divergentă ⇒ C = ( − 1,1 ) .

0

Fie S ( x ) =

∞

∑

∫

( n + 1) x n ⇒

0

S ( x)dx =

∞

∞

∑

x n +1 = x ∑ x n = x ⋅

0

0

1 x = ⇒ 1− x 1− x

'

1  x  . S (x) =   = (1 − x ) 2 1− x 

(

Fie f : [ a , b ] → R , f – indefinit derivabilă în α ∈ ( a , b ) ∃ f

Tn ( x ) =

n

∑ k =1

Rn ( x ) = f

f

(α ) (x − α k!

(k )

)

k

(n )

se numeşte polinom Taylor de gradul “n” asociat lui f în punctul α ; ∞

( x ) − T n ( x ) se numeşte restul de ordin “n”, iar ∑ 0

n

∑

f

( n +1)

( c ) x − α n +1 ( ) ( n + 1 )!

f

lui f în punctul α ; R n ( x ) = Dacă α = 0 ⇒ T n ( x ) =

(α ) , ∀ n ∈ N ) . Atunci:

(k )

k =0

Dacă ∃ M > 0 astfel încât punctul α este convergentă.

(0 ) k x ; k!

f

(n )

(x)

∞

∑ 0

f

f

(n )

(α )

n!

(x − α )

n

- serie Taylor asociată

(LAGRANGE) (c ∈ (α , x ))

(n)

(0 ) n x - serie Mac Laurin. n!

≤ M , ∀ x ∈ [ a , b ] , ∀ n ∈ N , atunci seria Taylor asociată lui f în

EXEMPLE: 1. f ( x ) = e ; f x

an =

(n )

(x) = e

x

'''

x x2 xn ( 0 ) = 1 . e = 1 + + + ... + = 1! 2 ! n! x

∞

xn . n!

∑ 0

a 1 ⇒ lim n + 1 = 0 ⇒ R = +∞ ⇒ serie uniform şi absolut convergentă pe R. n→ ∞ a n! n

2. f ( x ) = sin x ; f (0 ) = 0 ; f f

⇒ f

(n )

(x ) = − cos

x⇒ f

'''

'

(x ) = cos

(0 ) = − 1 ;

f

(4 )

x ⇒ f ' (0 ) = 1 ; f

(x ) = sin

x x3 x5 x 2 n +1 n sin x = − + ... + (− 1) ⋅ + ... = (2 n + 1)! 1! 3! 5! a n = − (− 1 )

n

x⇒ f

''

(4 )

(x ) = − sin

x⇒ f

''

(0 ) = 0 ;

(0 ) = 1 ;...

x 2 n +1 ∑0 (− 1) ⋅ (2 n + 1)! ∞

n

a (− 1) ⋅ (2 n + 1)! = lim 1 1 ⋅ ; lim n + 1 = lim =0⇒ n n → ∞ (2 n + 3 )! n → ∞ (2 n + 2 )(2 n + 3 ) (2 n + 1)! n → ∞ a n (− 1) n +1

R = +∞ ⇒ serie uniform şi absolut convergentă pe R. x2 x4 x 2n n Analog cos x = 1 − + ... + (− 1 ) ⋅ + ... = (2 n )! 2! 4!

∞

∑ (− 1) 0

n

x 2n . ⋅ (2 n )!

OBSERVAŢIE Dezvoltarea funcţiilor în serii Taylor permite calculul valorilor aproximative a funcţiilor: exponenţială, logaritmică, trigonometrice etc. Pentru a obţine o precizie dorită (de exemplu k zecimale exacte) se pune condiţia R n ( x ) < trebuie sumaţi.

1 , de unde se deduce n, adică numărul termenilor ce 10 k

4. SERII FOURIER Sistemul de funcţii 1, cos x, sin x, cos 2 x,sin 2 x,..., cos nx, sin nx, x ∈ [ −π , π ] se numeşte sistem trigonometric fundamental sau pe scurt, sistem trigonometric. El are o proprietate remarcabilă, π

numită proprietatea de ortogonalitate:

∫π f (x ) f (x )dx = 0; ∀i, j = 1, n ; i ≠ i

j

j . Polinomul

−

n a0 (1) Tn ( x ) = + ∑ ( ak cos kx + bk sin kx ) se numeşte polinom trigonometric de ordinul „n” şi 2 k =1

perioadă T = 2π , iar a0 ∞ (2) + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) se numeşte serie trigonometrică de perioadă T = 2π 2 1

Dacă seria (2) este uniform convergentă pe [ −π , π ] , deci există a0 ∞ f ( x ) = + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) atunci f – continuă pe [ −π , π ] şi 2 1

(3) an =

1

π

π

∫π f ( x) cos nxdx, ∀n ≥ 0 ; b

n

−

=

1

π

π

∫π f ( x) sin nxdx, ∀n ≥ 1 .

−

Coeficienţii an , bn – daţi de (3) se numesc coeficienţi FOURIER, iar seria trigonometrică formată cu aceştia se numeşte serie FOURIER.

CAZURI PARTICULARE. 1) Dacă f – pară

( f ( − x ) = f ( x )) ⇒ b

n

= 0 ; an =

2

π

π

∫ f ( x ) cos nxdx ; ∀ n ≥ 0 ⇒ serie de cosinus. 0

2)Dacă f –impară ( f ( − x ) = − f ( x ) ) ⇒ a n = 0, ∀ n ≥ 0 ; bn =

2

π

π

∫ f ( x ) sin nxdx ; ∀ n ≥ 1 ⇒ serie de sinus 0

Funcţia f satisface condiţii de tip DIRICHLET pe ( −π , π ) dacă: a) f –mărginită: f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ ( −π , π ) ; b) f – are un număr finit de discontinuităţi de speţa întâi; c) f – are un număr finit de extreme stricte. În acest caz avem: ∞ a0 a) ∀ x ∈ ( −π , π ) , x – punct de continuitate ⇒ f ( x ) = + ∑ ( a n cos nx + bn sin nx ) ; 2 1 ∞ a0 b) ∀ x ∈ ( −π , π ) , x – punct de discontinuitate de speţa întâi şi S ( x ) = + ∑ ( a n cos nx + bn sin nx ) 2 1

avem: S ( x ) =

f ( x − 0) + f ( x + 0) f ( −π − 0) + f (π − 0) ; c) S ( −π ) = S (π ) = . 2 2

Dacă seria (3) este uniform convergentă, atunci: ∞ 1 2 1 (4) a 0 + ∑ ( a n2 + bn2 ) = 2 π 1

π

∫π

−

f

2

( x ) dx

(PARSEVAL)

EXEMPLU

f

x , x ∈ [− π , π

(x ) =

∞

]

∑

şi să se deducă

1

1 . ( 2 n − 1) 2

π

x

π

0

-π

Din grafic se deduce că f satisface condiţiile Dirichlet.

(− x ) =

În plus f 2

a0 =

=

π

π

∫ 0

x2 π 2 xdx = ⋅ ⇒ a0 = π ⇒ an = π π 2 0

a 2 n −1 = −

π

∫

f

2

0

∫ 0

4

(2 n

π

(x )dx

− 1)

∫

π 2

−

2

∞

∑ 1

16

π

2

(2 n

− 1)

4

=

π 6

4

π

∞

2

∑ 1

−

∞

4

∑

π

1

2

⇒

∞

∑ 1

π

∫ x cos nxdx

=

0

π

= 0

2

π

π

∫ 0

'

 sin n x  x   dx = n  

2  n − 1) − 1 ⇒ a 2 n = 0 ; 2 (  πn

∞

∑ 1

1 π2 = ( 2 n − 1) 2 8

3

. Aplicând (4) ⇒

1

(2 n

bn = 0

1 co s (2 n − 1) x ( 2 n − 1) 2

1 ⇒ ( 2 n − 1) 2

x3 π 2π = 3 −π 3

x 2dx =

−π

16

π

⇒ x =

2

π

=

−π

π

 2 s in n x d x  = 2 c o s n x  n π 

π

−

Pentru x = 0 ⇒ 0 = π

f - pară ⇒

2

  x s in n x 

2 nπ

(x ) ⇒

−x = x = f

− 1)

4

=

π

4

96

π 2

2

+

∞

∑ 1

16

π

2

(2 n

− 1)

4

=

1

π

⋅

2π 3

3

⇒

C3. 1. DERIVABILITATE. DERIVABILITATEA FUNCŢIILOR REALE CU ARGUMENT REAL T y

B A

α 0

γ

x0

Fie f : D ⊂ R → R , x 0 ∈ D ; G

f

=

{( x , f (x )) x ∈ D } - graficul lui

A – fix; B – variabil. Dacă B se deplasează pe G către tangenta AT la grafic; m

lim

x→ x0

f (x ) − f (x 0 x − x0

m A T = tg α ; α =

)

AB

=

(AT ,Ox)⇒ (AT ) f

'

(x 0 ) =

f

f ; A (x 0 , f (x 0

)) ;

B ( x , f ( x )) ;

către A, atunci intuitiv coarda AB se deplasează

f (x ) − f (x 0 ) ; B → A ⇔ x → x 0 . Dacă există şi este finită x − x0

⇒ f - derivabilă în x 0 şi f

Notând x − x 0 = h → 0 ⇒

x

y − f

lim

h→ 0

'

(x 0 ) =

( x0 ) =

f

'

df dx

(x 0 ) =

( x 0 )( x −

f (x 0 + h ) − f (x 0 h

)

x0

lim

x → x0

)

f (x ) − f (x 0 x − x0

)

Derivatele funcţiilor elementare

( ) = nx '

c' = 0 ; x' = 1; xn

(sin x )'

n −1

;

( x ) = 2 1 x ; (e ) = e ; (a ) = a '

x '

= cos x ; (cos x ) = − sin x ; (tgx ) = '

(arccos x )'

=−

1 1− x2

'

; (arctgx

)'

=

x

x '

x

ln a ; (ln x ) = '

1 1 ' ; (log a x ) = x x ln a

1 1 ' ' ; (ctgx ) = − ; (arcsin x ) = 2 2 cos x sin x

1 ; (arcctgx 1+ x2

)'

=−

1 1− x

2

;

1 1+ x2

Reguli de derivare '

(f f

+ g ) = f + g ; (λ f '

'''

'

'

(x ) = ( f '' (x ))' ;...;

f

)

'

(n )

 f  f ' g − fg ' ; f = λ ⋅ f ; ( f ⋅ g ) = f g + fg ;   = g2 g '

'

'

'

''

(x ) = ( f ' (x ))' ;

(x ) = ( f (n −1) (x ))' .

{

Notăm C (n ) (D ) = f : D → R ∃ f Derivata funcţiilor compuse:

(n )

- continuă pe D } .

( f (u ))'

= f ' (u ) ⋅ u '

(u ⋅ v )(n ) = C n0 u (n ) ⋅ v + C n1 u (n −1) ⋅ v ' + ... + C nk u (n − k ) ⋅ v (k ) + ... + C nn u ⋅ v (n )

(LEIBNIZ)

Fie f : [a , b ] → R , x 0 ∈ [a , b ] . Atunci: a) x 0 - punct de maxim ⇔ ∃ V = ( x 0 − ε , x 0 + ε ); (ε > 0 ) , astfel încât f ( x ) ≤ f ( x 0 ), ∀ x ∈ V ∩ [a , b ] b) x 0 - punct de minim ⇔ ∃ V = ( x 0 − ε , x 0 + ε ); (ε > 0 ) , astfel încât f ( x ) ≥ f ( x 0 ), ∀ x ∈ V ∩ [a , b ] c) x 0 - punct de extrem ⇔ x 0 - punct de maxim sau de minim.

TEOREMA FERMAT Dacă f : ( a , b ) → R , x0 ∈ [ a , b ] , x0 - punct de extrem şi f - derivabilă în x 0 , atunci f ' ( x 0 ) = 0 . Reciproca teoremei Fermat nu este în general adevărată. Punctele în care se anulează derivata întâi a unei funcţii se numesc puncte critice. Folosind formula lui Taylor cu restul Lagrange se poate preciza în ce condiţii reciproca teoremei Fermat este totuşi adevărată. Fie f : [a , b ] → R , x 0 ∈ (a , b ), f ∈ C (n ) ([a , b ]) . Dacă f ' ( x 0 ) = f f

(n )

''

( x 0 ) = ... =

f

( n −1 )

(x 0 ) = 0 ;

(x 0 ) ≠ 0 , atunci:

1) n – par ⇒ a) f

(n )

(x 0 ) > 0 ⇒

x 0 - punct de minim; b) f

(n )

(x 0 ) < 0 ⇒

x 0 - punct de maxim

2) n – impar ⇒ x 0 - nu este punct de extrem. Fie f : [a , b ] → R , f - continuă pe [a , b ] . 1) f - funcţie convexă, dacă tangenta la grafic în orice punct din [a, b ] este situată sub grafic; y

O

a

b

x

2)

f - funcţie concavă, dacă tangenta la grafic în orice punct din

[a , b ]

este situată deasupra

graficului; y

O

a

b

x

3) x 0 ∈ [a , b ], x 0 - punct de inflexiune, dacă tangenta la grafic în x 0 , traversează graficul. y

O

a

b

x0

x

Folosind aceeaşi formulă Taylor se arată că dacă f : [a , b ] → R , x 0 ∈ (a , b ), f ∈ C şi

f

''

(x 0 ) =

f

'''

(x 0 ) =

1) n – par ⇒ a) f b) f

(n )

(x 0 )


(n − 1 )

(x 0 ) =

0; f

(n )

(x 0 ) ≠

0 ⇒ f - convexă în V =

0 ⇒ f - concavă în V =

(x 0

2) n – impar ⇒ x 0 - punct de inflexiune.

0 , atunci:

(x 0

− ε , x 0 + ε );

− ε , x 0 + ε );

(n )

([a , b ]), x 0

∈ (a , b )

EXEMPLU

f ( x ) = x n e x ; x ∈ R; n ∈ N ∗ ; f ' ( x ) = nx n −1e x + x n e x = x n −1e x (n + x ) ; f ' ( x ) = 0 ⇒ x1 = 0; x 2 = − n puncte critice f

''

(x ) = (n − 1)x n− 2 e x (n + x ) + x n −1e x (n + x ) + x n −1e x ;

f '' (− n ) = (− n )

n −1

e −n

Dacă n − 1 - par ⇔ n - impar ⇒ f '' (− n ) = n n −1e − n > 0 ⇒ x = − n punct de minim; Dacă n - par ⇒ f '' (− n ) = − n n −1e − n < 0 ⇒ x = − n punct de maxim.

f '' (0) = 0 . Luând în formula LEIBNIZ u = e x şi v = x n ⇒ f (n ) ( x ) = n!e x + C n1 n! xe x + ... + x n e x ⇒ f

(n )

(0) = n!> 0

1) Dacă n - par ⇒ x = 0 - punct de minim 2) Dacă n - impar ⇒ x = 0 - punct de inflexiune Fie f : [a, b] → R; f se numeşte funcţie Rolle, dacă f - continuă pe [a, b] şi f - derivabilă pe (a, b ) TEOREMA ROLLE Dacă f : [a, b] → R; f - funcţie Rolle şi f (a ) = f (b ) , atunci ∃c ∈ (a, b ) astfel încât f ' (c ) = 0 . TEOREMA LAGRANGE Dacă f : [a, b] → R; f - funcţie Rolle, atunci ∃c ∈ (a, b ) astfel încât f (b ) − f (a ) = (b − a ) f ' (c ) .

2. DERIVABILITATEA FUNCŢIILOR REALE DE ARGUMENT VECTORIAL

f

Fie f : D ⊂ R 2 → R ; ∀(x, y ) ∈ D → z = f ( x, y ) ∈ R lim

x → x0

( x0 , y0 ) ∈ D

- fixat. Dacă există şi este finită

f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) , atunci aceasta se numeşte derivata parţială de ordinul unu a lui f în raport x − x0

cu variabila x şi se notează Analog,

f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂f ( x0 , y0 ) = f x' ( x0 , y0 ) = xlim → x0 ∂x x − x0

f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂f se numeşte derivata parţială de ordin 1 a ( x0 , y0 ) = f y' ( x0 , y0 ) = ylim → y0 ∂y y − y0

lui f în raport cu y . Definiţii analoge au loc pentru funcţii de 3 sau mai multe variabile. Practic, pentru a calcula

∂f , se derivează f (după regulile obişnuite) în raport cu x , ca şi cum ∂x

celelalte variabile ar fi constante. INTERPRETARE GEOMETRICĂ În spaţiu z = f ( x, y ) reprezintă ecuaţia unei suprafeţe, dată explicit. Pentru x = x 0 - fix se obţine o curbă pe suprafaţă a cărei ecuaţie este z = f (x 0 , y ) ; tangenta t1 la această curbă în ( x 0 , y 0 ) este:

(t1 )

z − z0 =

∂f (x 0 , y 0 )( y − y 0 ) ∂y

Ţinând cont că (t 1 ) se aflăî în planul x = x 0 , ecuaţiile ei sunt:

(t1 )

x − x0 y − y0 z − z0 = = ∂f 0 1 (x 0 , y 0 ) ∂y

 ∂f şi deci  0 ,1, − (x 0 , y 0 ) - reprezintă parametrii directori ai tangentei ∂y  

(t1 )

la graficul funcţiei

(t 2 )

la graficul funcţiei

z = f ( x 0 , y ) . Analog pentru y = y 0 , obţinem tangenta (t 2 ) :

(t 2 )

x − x0 y − y0 z − z0 = = ∂f 1 0 (x 0 , y 0 ) ∂x

∂f  şi deci  0 ,1, − (x 0 , y 0 ) - reprezintă parametrii directori ai tangentei ∂x   z = f (x , y 0 ) .

Prin definiţie planul determinat de (t 1 ) şi (t 2 ) se numeşte planul tangent la suprafaţă în punctul

(x 0 , y 0 , z 0

= f ( x 0 , y 0 )) ; N - normala la suprafaţă este vectorul perpendicular la planul tangent în i

j

acest punct. Deci N = 0

1

1

0

k

∂f ∂f ∂f (x 0 , y 0 ) ⇒ N = − (x 0 , y 0 )i − (x 0 , y 0 ) j − k ∂x ∂y ∂y ∂f − (x 0 , y 0 ) ∂x −

TEOREMA 1 (Lagrange). Fie f : D ⊂ R2 →R, ( x0 , y0 ) ∈D , astfel încât ∃

∂f ∂f , în D . ∂x ∂y

Atunci ∀( x, y) ∈D, ∃ξ ∈( x0 , x) ,η ∈( y0 , y) astfel încât: (1) f ( x, y) − f ( x0 , y0 ) =

∂f ∂f (ξ, y)( x − x0 ) + ( x0,η)( y − y0 ) ∂x ∂y

DEMONSTRAŢIE f (x, y) − f (x0 , y0 ) = f (x, y) − f (x0 , y) + f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) . Fie φ(x) = f (x, y) cu y – fixat şi

ψ ( y) = f (x0 , y0 ) . Conform teoremei Lagrange, ∃ξ ∈(x0 , x),η ∈( y0 , y) astfel încât φ(x) −φ(x0 ) = φ ' (ξ )(x − x0 ) =

∂f (ξ, y)(x − x0 ) = f (x, y) − f (x0 , y) ∂x

ψ ( y) −ψ ( y0 ) =ψ ' (η)( y − y0 ) =

∂f (x0 ,η)( y − y0 ) = f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) ∂y

CONSECINŢĂ. Dacă f are derivate parţiale de ordinul unu mărginite în D, atunci f - continuă pe D .

TEOREMA 2. (Derivabilitatea funcţiilor compuse). Fie u , v : B ⊂ R → R , u , v ∈ C f : A ⊂ R

2

∂f ∂f du = ⋅ ∂x ∂u dx

(2)

(1 )

R ; f ∈ C

→

(1 )

(B ) ; ∀

u ,v

x ∈ B → u ( x ), v ( x f

( A ); ∀ (u , v ) ∈

f (u , v

A →

)∈

)∈

R ;

f (u , v

R . Deci f =

)=

f (u ( x ), v ( x

)) .

Atunci:

∂f dv ⋅ ∂ v dx

+

DEMONSTRAŢIE Fie

x

0

∈ B, x

astfel încât f (u , v

f (u , v

v → v

)−

f (u x − x0

0

0

u (x 0

- oarecare;

0

,v

0

⇒ ξ → u

)−

)

0

f

∂f ∂u

(u 0 , v 0 ) =

∂f ∂u

=

(ξ

,η → v

0

,v ;

)=

u

(ξ

0

; v (x 0

,v

) u (x ) −

u (x x − x0

u (x

) − u (x x − x0

0

)(u 0

)

)

)=

− u

+

v 0

'

)+

. Din teorema Lagrange, ∂f ∂v

(u 0 , η )(v

− v

(u 0 , η ) v ( x ) −

v (x x − x0

∂f ∂v

→ u

0

(x 0 ) =

du dx

(x 0 ) ;

v (x

(u 0 , u ), η

x

⇒ u → u

∈

(v 0 , v )

)⇒

0

)

0

∃ξ ∈

. Pentru x →

) − v (x x − x0

0

)

→ v

'

0

(x 0 ) =

dv dx

0

,

(x 0 ) .

CONSECINŢĂ 2

Fie u , v : B ⊂ R

f : A ⊂ R (3)

2

(1 )

→ R ,u,v ∈ C (1 )

→ R ; f ∈ C

(B ) ; ∀

( A ); ∀ (u , v ) ∈

u ,v

x ∈ B → u ( x , y ), v ( x , y f

A →

)∈

R ;

f (u , v

f (u , v ) ∈ R .Deci f =

)=

f (u ( x , y ), v ( x , y

∂f ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ ; = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

Formule analoge au loc şi pentru funcţiile de mai multe variabile. EXEMPLU: Dacă f

(x,

y, z

(xy , x

)= φ

Fie u = x y , v = x

2

+ y

2

− z

2

+ y

2

2

⇒

f = φ

− z

2

) , atunci: x z (u , v ) ;

∂ f ∂f − yz + ∂ x ∂y

(x

2

− y

2

) ∂∂ fz

= 0 .

∂f ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = y φ u' + 2 x φ v' ; ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

∂f ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = x φ u' + 2 y φ v' ; = ⋅ + ⋅ = − 2 z φ v' ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z xz

∂ f ∂f − yz + ∂ x ∂y

(x

2

− y

2

) ∂∂ fz

= x y z φ u' + 2 x 2 z φ v' − x y z φ u' − 2 y 2 z φ v' − 2 x 2 z φ v' + 2 y 2 z φ v' = 0 .

)) .Atunci:

Fie f : D ⊂ R 2 → R astfel încât ∃

∂f ∂f , . Dacă acestea sunt la rândul lor derivabile parţial pe D , ∂x ∂y

atunci derivatele lor parţiale se numesc derivatele parţiale de ordinul doi ale lui f .

∂  ∂f  ∂ 2 f ∂  ∂f  ∂ 2 f ∂  ∂f  ∂2 f ∂  ∂f  ∂2 f '' '' '' f , f , f , = = = = = = = = f yx'' ; ultimele yy xy xx         2 2 ∂x  ∂x  ∂x ∂y  ∂y  ∂y ∂x  ∂y  ∂x∂y ∂y  ∂x  ∂y∂x două se mai numesc şi derivatele parţiale mixte de ordin doi. Dacă f are derivate parţiale mixte de ordinul doi continue, atunci acestea sunt egale. (4)

∂2 f ∂2 f (SCHWARZ) = ∂x∂y ∂y∂x

EXEMPLU: Fie f ( x , y , z ) = Fie u =

1 x2 + y2 + z2

x2 + y2 + z2 ⇒ f =

. Să se calculeze ∆ f =

∂2 f ∂2 f ∂2 f + + (LAPLACIANUL lui f) ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

1 df 1 ∂u 2x x ∂u y ⇒ = − 2 ; = = ; analog = ; u du ∂x u ∂y u u 2 x2 + y2 + z2

∂u z ∂f df ∂ u x ∂f y ∂f z = . = ⋅ = − 3 ; analog = − 3 ; = − 3 ∂z u ∂x du ∂ x ∂y ∂z u u u 2

∂ f = − ∂x 2

u 3 − x ⋅ 3u 2 ⋅ u6

(

∂u x 3u 2 x ⋅ − u 3 3x 2 − u 2 ∂2 f 3y2 − u2 ∂2 f 3z 2 − u 2 ∂x = u . Analog: ; = = = u6 u5 ∂z 2 u5 ∂y 2 u5

)

3 x 2 + y 2 + z 2 − 3u 2 3u 2 − 3u 2 ⇒ ∆f = = = 0 u5 u5

RELAŢIA LUI EULER PENTRU FUNCŢII OMOGENE Fie f : D ⊂ R 3 → R , f se numeşte omogenă de ordin p

⇔ f ( tx, ty , tz ) = t p f ( x , y , z ) , ∀ ( x , y , z ) ∈ D , ∀t ∈ R . Dacă f - omogenă de ordin p şi are derivate parţiale de ordinul unu, atunci: (5) x

∂f ∂f ∂f +y +z = pf ( x , y , z ) (EULER) ∂x ∂ ∂

DEMONSTRAŢIE Fie φ (t ) = f (tx , ty , tz ) = f ( X (t )) = t p f ( x , y , z ) ; φ ' (t ) = pt p −1 f ( x , y , z ) ⇒ φ ' (1) = pf ( x , y , z ) ; ∂f ( X (t )) ⋅ x + ∂f ( X (t )) ⋅ y + ∂f ( X (t )) ⋅ z ⇒ ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f φ ' (1) = x ( x , y , z ) + y ( x, y , z ) + z ( x , y , z ) ⇒ (5) ∂x ∂y ∂z

φ ' (t ) =

EXEMPLU f ( x , y , z ) = x 2 y + y 2 z + z 2 x ;

f (tx , ty , tz ) = t 2 x 2 ty + t 2 y 2 tz + t 2 z 2 tx = t 3 (x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ f - omogenă de ordin p = 3 ∂f ∂f ∂f = 2 xy + z 2 ; = x 2 + 2 yz ; = y 2 + 2 xz ; ∂y ∂x ∂z x

∂f ∂f ∂f +y +z = 2 x 2 y + xz 2 + x 2 y + 2 y 2 z + y 2 z + 2 xz 2 = 3 f ( x, y , z ) ∂x ∂y ∂z

3. DERIVATA DUPĂ O DIRECŢIE (VERSOR) Fie f: D ⊂ R3 → R, M0(x0,y0,z0)∈ D, M0 - fix; M(x,y,z)∈D, M –variabil, astfel încât M t > 0 ,

s =s1 i

+

s2 j

+ s3 k

s 12 + s

;

2 2

+ s

2 3

=

1. Dacă există şi este finită

M

→ M

(M0). Deci

M

⇒

= t s ⇒

M

0

(0 ) =

X

Dar φ

'

∂ f ∂ s

(2)

(0 ) (M

x − x

M

∂ f ∂ x

= s1

)

0

(M ∂ f ∂ x

= s1

(M

= ts

0

(t ) =

φ

;

0

df ds

(1)

M

y

s

∂ f ∂ y

2

)+

0

s

∂ f ∂ y

2

→ M

M

0

; z − z

2

dacă

(M

)+

0

(M

(M ) −

f

lim

= ts

0

( X (t )) ;

f

(M

; y −

1

)+

0

)=

0

0

→

M

s

∂ f ∂ z

3

)+

s

3

f

= ts

0

|| M

0

u u u u u ur r = ts 0 M

f

(M

M

||

)

0

)

, atunci

şi se notează

)

0

M

0

M

(M ∂ f ∂ z

(M

(M ) −

0

(M

r aceasta se numeşte derivata funcţie f în M0 , după direcţia versorului s

df ds

f

lim

= t s ,

M

0

0

0

⇒

).

(M

0

(t ) = ( x

. Notăm X

3

t →

0

df ds

0 . Deci

+ ts

(M

0

1

, y

)=

+ ts

0

φ

lim

2

, z

0

+ ts

(t ) − φ (0 )

t → 0

)

3

t

= φ

'

(0 ) .

Deci:

)

Vectorul care are drept componente derivatele parţiale de ordinul I ale lui f se numeşte gradientul lui f şi se notează gradf Dacă s = i ⇒

s

= 1, s

1

 ∂ f ∂ f ∂ f =  , , ∂ y ∂ z  ∂ x

. Deci gradf =

2

s

df ds

= 0 ⇒

3

  ; s = 

(s 1

, s

∂ f ; analog pentru s = ∂ x

=

2

, s

j ⇒

3

)⇒

(3)

df ds

df ds

=

s gradf

∂ f ; s = k ⇒ ∂ y

=

df ds

∂ f ∂ z

=

În concluzie derivatele parţiale de ordin I ale unei funcţii sunt derivatele acelei funcţii după direcţiile axelor de coordonate. EXEMPLU f

(x

M

0

M

s = ∂ f ∂ x

, y , z

=

M 0

M

M M

(M

0 0

0

)=

(x

x 2

+

− x

=

(x

M M

=

)=

2

2 x

1

y

)i

− x

2

3 5

M

2

2

+ 1

(y )2 i +

= 2; 0

2

+ z 2

+

; M

−

(y

y

(1 ,1 ,1 );

0

1

2

4 5

2

∂ f ∂ y

(M

)j

−

y

j +

0

(z

+ 1

)2

(4

M 2

+

5 5

2

)=

2 y

− z

(z k

M

);

,5 ,6

)k

1

⇒

1

)2

s1 = = 2;

0

- versorul vectorului M

0

M

= 3i + 4 j + 5 k

− z

2

s

=

9 + 16

3 5

2

∂ f ∂ z

(M

, s

0

2

)=

+ 25

=

= 5

4 5

2 z

, s

2

M

2

3

=

= 2 ; 0

5 5 df ds

2

(M

0

)=

6 + 8 + 10 5

2

=

24 5

2

C4. DIFERENŢIABILITATE 1. DIFERENŢIALA FUNCŢIILOR REALE DE ARGUMENT REAL Fie f : D ⊂ R → R ; x 0 ∈ D , f − derivabilă în x 0 ⇒ ∃ f

lim

n→ ∞

f (x 0 + h ) − f (x 0 ) − f h

astfel încât lim

n→ ∞

'

(x 0 ) ⋅ h

= 0 .

Deci

'

(x 0 ) =

lim

n→ ∞

f (x 0 + h ) − f (x 0 h

T (h ) = f

∃T : R → R ;

'

(x 0 ) ⋅ h , T

)

⇒

− aplicaţie

liniară

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) − T (h ) = 0 . Aplicaţia liniară T se numeşte diferenţiala funcţiei f h

în x 0 şi se notează T = df

(x 0 ) .

RECIPROC Dacă T : R → R ; T − aplicaţie liniară ⇒ T (h ) = λ h ; dacă lim

h→ 0

lim

f (x 0 + h ) − f (x 0 h

⇔

f − derivabilă în x 0 . T (h ) = df

h→ 0

(dx )(h ) = df = f

'

− λ = 0 ⇒ f − derivabilă în x 0 şi

( x 0 )(h ) = λ h

= f

'

f

(x 0 ) ⋅ h

'

(x 0 ) = λ

; deci

f − diferenţiabilă în x 0

; pentru f ( x ) = x ⇒

f

'

(x ) =

1⇒

h . În practică o funcţie se identifică cu mulţimea valorilor ei; deci dx = h ⇒

( x )dx

Fie ∆ f ( x 0

)

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) − T (h ) = 0 ⇒ h

)=

; de unde şi notaţia f

'

(x ) =

df . dx

f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) - variaţia funcţiei f în x 0 ⇒ lim

lim [∆ f ( x 0 ) − T (h )] = 0 ⇒ ∆ f ( x 0 ) ≃ df h→ 0

variaţia funcţiei în acel punct.

h→ 0

(x 0 )

∆ f ( x 0 ) − T (h ) = 0 ⇒ h

⇒ diferenţiala unei funcţii într-un punct aproximează

2. DIFERENŢIALA FUNCŢIILOR REALE DE ARGUMENT VECTORIAL Fie f : D ⊂ R

f

(x 0

(x 0 ,

→ R ,

(T ( h ) =

T – liniară lim

2

+ h1 , y

)

0

∈ D . f se numeşte diferenţiabilă în

(h1 , h 2 ) ∈

λ 1 h1 + λ 2 h 2 , ∀ h =

+ h

0

y

2

)−

(x 0 ,

f

y

0

)−

T

y0

)

(h )

|| h ||

h→ 0

(x 0 ,

y

0

)

(x0 ,

şi se notează T = d f

R

2

(x0 ,

)⇔

y0

∃T : R

2

→ R ,

) astfel încât

= 0. Aplicaţia liniară T

se numeşte diferenţiala lui

f

în

TEOREMA 1. (Condiţia necesară de diferenţiabilitate). Dacă f

– diferenţiabilă în ( x 0 , y

(1) d f =

∂f ∂f dx + dy . ∂x ∂y

0

),

atunci f

- derivabilă parţial în

(x 0 ,

y

0

).

În acest caz

DEMONSTRAŢIE Fie h =

f

lim

(h 1 , 0 ); h 1

(x 0

+ h1 , y

h1 → 0

> 0 ⇒ 0

)−

(h ) =

Pentru f h 2 = dy

(x 0 ,

df

y

0

(x , y ) =

(x 0 ,

y

0

)

(0 , h 2 ); h 2

)(h ) = λ 1 h 1

=

df

=

∂f dx ∂ x1

f

în

(x 0 ,

Notând dX

y

+

1

0

∂f dx ∂x2

)⇒ =

(dx

df

1

)−

(x 0 ,

f

y

0

)− λ 1h1

= 0 ⇒

> 0 ⇒

λ

=

2

∂f ∂x

+ λ 2h2 =

λ1 = ∂f ∂y

(x 0 ,

∂f ∂x

(x 0 , y

0

)h 1

(dx )(h ) =

(x 0 ,

y

0

+

y

0

)

) ∂f ∂y

h1 ⇒

(x 0 ,

y

0

)h 2

2

∂f dx ∂xn

+ ... +

2

y

0

) ≃ df ( x 0 ,

,..., dx

n

),

n

y

. Dacă ∆ f

0

(x 0 ,

y

0

(x ,

y

(x 0 ,

y

h 1 = dx . Analog pentru f

∂f ∂f dx + dy . Analog, pentru o funcţie f : D ⊂ R ∂x ∂y

(x 0 ,

, dx

0

− λ1 = 0 ⇒

∂f ∂f = 1; = 0 ⇒ ∂x ∂y

x ⇒

şi deci df

+ h1 , y

h1

h1

Analog pentru h = T

f

(x 0

f

lim

h1 → 0

)=

f

(x 0

+ h1 , y

0

n

+ h2

 ∂f ∂f =  , ,..., ∂ x ∂ x2 1 

∂f ∂xn

  ⇒ 

df

y ⇒

→ R

)−

f

)

cum gradf

)=

= gradf

⋅ dX

0

)-

variaţia lui

TEOREMA 2. (Condiţia necesară şi suficientă de diferenţiabilitate). Dacă f are derivate parţiale de ordinul unu, continue în

(x 0 ,

y0

(x 0 ,

y0

),

atunci f-diferenţiabilă în

).

EXEMPLE: 1) Să se calculeze cu aproximaţie α = Fie f

(x , y ) =

x

3

+ y

3

df

(1 , 2 ) =

h1

3x x

3

2

+ y

3

3

+ 1 , 97

3

.

; x 0 = 1 ; y 0 = 2 ; h 1 = 0 , 02 ; h 2 = − 0 , 03

df (1 , 2 ) ≃ ∆ f (1 , 2 ) = α − f (1 , 2 ) ; f (1 , 2 ) = ∂f (1 , 2 ) = ∂x 2

1 , 02

(1 , 2 )

=

1 + 8 = 3

∂f 3 1 ; (1 , 2 ) = = 2 ⋅3 2 ∂y 2

3y x

3

2

+ y

3

(1 , 2 )

= 2

∂f (1 , 2 ) + h 2 ∂ f (1 , 2 ) = 0 , 01 − 0 , 06 = − 0 , 05 ⇒ 0 , 05 ≃ α − 3 ⇒ α ≃ 2 , 95 ∂x ∂y

2) Un cazan paralelipipedic dreptunghic are dimensiunile x = 10 m , y = 6 m , z = 4 m . Sub influenţa căldurii aceste dimensiuni suferă o modificare cu h 1 = 0 , 04 ; h 2 = 0 , 02 ; h 3 = 0 , 01 . Să se aproximeze variaţia volumului cazanului. Fie V – volumul cazanului ⇒ V = xyz ; ∆ V (10 , 6 , 4 ) ≃ dV

(10

,6 ,4 ) ;

∂V = yz = 24 ; ∂x

∂V = xz = 40 ; ∂y ∂V = xy = 60 ⇒ dV ∂z ∆ V ≃ 2 , 36 m

3

.

(10

, 6 , 4 ) = 24 ⋅ 0 . 04 + 40 ⋅ 0 . 02 + 60 ⋅ 0 , 01 = 0 , 96 + 0 , 80 + 0 , 60 = 2 , 36 m

3

⇒

3. DIFERENŢIALA FUNCŢIILOR VECTORIALE DE ARGUMENT VECTORIAL f

Fie f : D ⊂ R → R ; x 0 ∈ D ; ∀x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ D → y = f (x ) = ( f 1 ( x ), f 2 ( x ),..., f m ( x )) n

m

f - se numeşte diferenţiabilă în x 0 , dacă ∃T : R n → R m , T - aplicaţie liniară, astfel încât:

lim

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) − T ( h )

h→0

h

= 0 ; T = df ( x 0 ) ; f - diferenţiabilă ⇔ f i - diferenţiabile,

∀i = 1, m

 ∂f 1   ∂x1  ∂f 2 df = (df 1 , df 2 ,..., df m ) =  ∂x  1  ...  ∂f m  ∂x  1

 ∂f Notăm J f =  i  ∂x  j

∂f 1 ∂x 2 ∂f 2 ∂x 2 ... ∂f m ∂x 2

∂f 1 ∂x n ∂f 2 ... ∂x n ... ... ∂f m ... ∂x n ...

    dx1    dx  ⋅ 2    ...      dx n     

 t  ; J f - matricea JACOBI; dX = (dx1 , dx 2 ,..., dx n ) ⇒ df = J f dX  i =1,m  j =1,n

Dacă m = n ⇒ det J f =

D( f 1 , f 2 ,..., f n ) - determinant funcţional sau JACOBIAN. D( x1 , x 2 ,..., x n )

DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR 2

Fie f : D ⊂ R

→

diferenţiere ⇒

=

∂ 2 f dx ∂x 2

2

df

În general d

n

=

df

∂f dx ∂xk

∑ k =1

 ∂ ⋅  ∂ ⋅ =  dx + dy  ( f ∂y  ∂x 

);

∂ 2 f dy ∂y 2

+

n

;

∂ ⋅ ∂ ⋅ dx + dy - operator de ∂x ∂y

d ⋅ =

 ∂ ⋅  ∂ ⋅ f = d (df ) =  dx + dy  ∂y  ∂x 

2

d

⇒

(d (dx ) =

(dy ) =

0; d

∂

n

(f )= ∑

k n

C

∂x

k = 0

k

0

(2 )

(f )=

).

n

f dx ∂y n−k

k

n − k

dy

.

R , atunci

→

⇒

k

2

(n )

 ∂ ⋅  ∂ ⋅ f =  dx + dy  ∂ x ∂ y  

Dacă f : D ⊂ R n

=

∂ 2 f dxdy ∂x∂y

+ 2

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

R , astfel încât ∃ df

d ⋅ =

n

∑ k =1

∂ ⋅ dx ∂xk

⇒

k

d

m

 f =  

n

∑ k =1

∂ ⋅ dx ∂xk

  

k

(m )

(f )

Cu ajutorul acesteia se poate exprima formula lui TAYLOR pentru funcţii reale de argument vectorial. Fie f : D ⊂ R

x =

(x 1 ,

x

2  n + ∑ 2!  k =1

R

m

2

,...,

(x k

x

n

− a

k

)∈

→

R , f ∈ C

(x k

(2 )

(x ) −

n

f

(a ) = ∑ ( x k k =1

+1

)

(D ) ,

a =

(x ) =

f

− a

k

 n ( f (a )) + ... + 1  ∑ m !  k =1

 ) ∂ ⋅  ∂xk 

(m

+1

− a

k

)

∂f ∂xk

(ξ )

(x k

(a 1 , a

(a ) +

− a

k

2

,...,

a

1  n ∑ 1!  k = 1

 ) ∂ ⋅  ∂xk 

( f (a

+ θ

(x

(ξ 1 , ξ

2

− a

))); θ

,..., ξ

(LAGRANGE)

n

)

∈

n

(x k

)∈

D ; a - fix;

− a

k

)

∂ ⋅   ∂xk 

( f (a )) +

(m )

( f (a )) +

)

În particular, pentru m = 0 , notând ξ =

f

(m

D ; x - variabil. Atunci f

 ) ∂ ⋅  ∂xk 

 n 1 = (m + 1 )!  ∑ k =1

n

(0 ,1 )

avem:

R

m

, unde

C5. EXTREME DE FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 1. EXTREME LIBERE (NECONDIŢIONATE). Fie f: D ⊂ Rk → R, a ∈ D şi V = S (a , r ) = {x ∈ R

k

}

d ( x , a ) < r . Atunci:

1) a punct de minim local al lui f ⇔ ∃ V ∈ V(a) a.î. f(x) ≥ f(a), ∀ x ∈ V ∩ D; 2) a punct de maxim local al lui f ⇔ ∃ V ∈ V(a) a.î. f(x) ≤ f(a), ∀ x ∈ V ∩ D; 3) Un punct de minim sau maxim local se numeşte punct de extrem local. TEOREMA (FERMAT). Fie f: D ⊂ Rk → R, a ∈ D . Dacă: a) a – punct de extrem local; b) f – are derivate parţiale de ordinul unu în a, atunci

∂f (a) = 0, ∀ i = 1 , k . ∂xi

Reciproca teoremei Fermat nu este adevărată. Punctele în care se anulează derivatele parţiale de ordinul unu se numesc puncte staţionare. Pentru a decide care din aceste puncte sunt de extrem, aplicăm

formula

Taylor:

f ( x ) − f (a ) =

1 n ∂2 f ∑ 2! i , j =1 ∂ x i ∂ x

f ( x ) − f (a ) este dat de forma pătratică d 2 φ (a ) = ∂2 f = ∑ i , j =1 ∂ x i ∂ x n

(a )dx i dx

(a )( x i

− ai

)(x j

− a

j

)+

R 2 ( x ) ⇒ semnul

j

∂2 f ∑ i , j =1 ∂ x i ∂ x n

(a )(x i

− ai

)(x j

− a

j

)=

j

j

j

a) d 2 φ (a ) ≥ 0 ⇒

f ( x ) ≥ f (a ) ⇒ a - punct de minim

b) d 2 φ (a ) ≤ 0 ⇒

f ( x ) ≤ f (a ) ⇒ a - punct de maxim

c) d 2 φ (a ) îşi schimbă semnul ⇒ a nu este punct de extrem. În acest caz el se numeşte punct şa.

lui

OBSERVAŢIE Dacă d 2φ (a) = 0 , atunci se aplică formula lui Taylor pentru termeni de ordin superior. Pentru studiul formei pătratice d 2φ (a) se aplică teorema lui Sylvester.  ∂2 f  2  ∂x1  ∂2 f Fie H =  ∂x ∂x  2 1  ...  ∂2 f   ∂xk ∂x1

∂2 f ∂x1∂x2 ∂2 f ∂x22 ... ∂2 f ∂xk ∂x2

... ... ... ...

∂2 f ∂x1∂xk ∂2 f ∂x2 ∂xk ... ∂2 f ∂xk2

   ∂2 f  2 2 ∂  - matricea HESSE şi δ = f , δ = ∂x1 1 2  ∂2 f ∂x12  ∂x2 ∂x1   

∂2 f ∂x1∂x2 , ..., ∂2 f ∂x22

δ k = det H ; δ1 , δ 2 ,...,δ k - minori principali. 1) Dacă δ1 > 0, δ 2 > 0, δ3 > 0,... ⇒ punct de minim; 2) Dacă δ1 < 0, δ 2 > 0, δ3 < 0,... ⇒ punct de maxim; 3) Pentru orice altă combinaţie de semne a nu este punct de extrem. OBSERVAŢIE Dacă ∃i = 1, k astfel încât δ i = 0 atunci se apelează la derivatele de ordin superior în formula TAYLOR.

EXEMPLE: 1) f

     

(x, y ) =

x3 + y 3 + 3 xy

∂ f = 3x2 + 3y = 0 ∂ x ∂ f = 3y2 ∂ y

şi B

2  y = − x ⇒  4 ⇒ x = 0 sau x = − 1; y = 0 x + x = 0 ⇒ x ( x 3 + 1) = 0   + 3x = 0

( − 1, − 1 ) – puncte staţionare.

0 a) A ( 0 , 0 ) ⇒ H =  3

3  0

 −6 b) B ( − 1, − 1 ) ⇒ H =   3

2) f         

(x,

y, z

)=

∂2 f = 6x ; ∂x 2

sau y = − 1 ⇒ A ( 0 , 0 )

∂2 f ∂2 f = 6y = 3; ∂y 2 ∂x ∂y

δ 1 = 0 ⇒ A nu este punct de extrem  δ 2 = − 9 < 0

3   −6 

δ 1 = − 6 < 0  −6 3  δ 2 = 3 −6 

= 27 > 0

⇒ B punct de maxim.

x2 + y2 + z2 + 2x + 4 y − 6z

∂f = 2x + 2 = 0 ∂x ∂f = 2 y + 4 = 0 ⇒ x = − 1 , y = − 2 , z = 3 ⇒ A ( − 1, − 2 , 3 ) punct staţionar. ∂y ∂f = 2z − 6 = 0 ∂z

2 ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f  = 2 ; = 2 ; = 0 ; = 0 ; = 0; = 2 ⇒ H= H = 0 ∂x 2 ∂x ∂y ∂x ∂z ∂y 2 ∂y ∂z ∂z 2 0 

δ1 = 2 > 0;

δ2 = δ 1 = 2 > 0 ; δ 2 =

2

0

0

2

0 2 0

0  0 2 

2

0

0

= 4 > 0 ;δ 3 = 0

2

0 = 8 > 0 ⇒ A – punct de minim

0

0

2

2. EXTREME CU LEGĂTURI (CONDIŢIONATE). Se pune problema de a afla extremele funcţiei f : D ⊂ R

Fi

( x1 ,

 → R  ∀ x = 

n

)=

x 2 , ..., x n

( x1 ,

f

)∈

x 2 , ..., x n

D → y =

f

( x1 ,

x 2 , ..., x n

)∈

 R  care verifică condiţiile; 

0 , i = 1 , m . În acest scop, se foloseşte metoda multiplicatorilor a lui LAGRANGE.

(x1 ,

Se alcătuieşte funcţia Lagrange φ

x 2 , ..., x n ; λ 1 , λ 2 , ..., λ

se studiază o problemă de extrem liber; λ 1 , λ 2 , . . . , λ

m

m

)=

f + λ 1 F1 + λ 2 F 2 + ... + λ

m

Fm

pentru care

– se numesc multiplicatori LAGRANGE.

EXEMPLE 1) f

(x ,

Fie φ

          

∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ ∂λ

1) λ =

(x ,

y, z

)=

y, z,λ

x

3

+ y

)=

x

3

= 3x

2

+ 2λ x = 0

= 3 y

2

+ 2λ y = 0

3

+ z

+ y

3

3

dacă x

+ z

⇒ = 3z = x

2

2

2

2

+ y

+ z 2

x = y = z = −

+ 2λ z = 0

+ y

3 ⇒ 2

2) λ = −

+ y

(x

+ λ

3

2

2

+ z

2

= 3; x, y, z ≠ 0 ;

+ z

2

− 3

); λ

∈ R

2λ 4λ ⇒ 3 ⋅ 3 9

2

− 3 = 0 ⇒ λ

2

=

9 3 ⇒ λ = ± 4 2

− 3 = 0

x = y = z = −1 ⇒

3 ⇒ 2

2

A

x = y = z = 1 ⇒

B

(− 1, − 1, − 1 )

⇒ x = y = z = -1 ⇒ A(-1, -1, -1) punct staţionar

(1 , 1 , 1 ) punct

staţionar

∂ 2ϕ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ = 6 x + 2λ ; = 0; = 0; = 6 y + 2λ ; = 0; = 6 z + 2λ 2 2 ∂x ∂x∂y ∂x∂z ∂y ∂y∂z ∂z2

1)

3 λ = ⇒ 2

3 2) λ = − ⇒ 2

 −3  =  0  0 

H

H

 3  =  0  0 

0 −3 0 0 3 0

0   0  − 3  0   0  3 

δ

δ

1

1

= − 3 < 0;δ

= 3 > 0;δ

2

2

= 9 > 0;δ

= 9 > 0;δ

3

3

= −27 < 0 ⇒

= 27 > 0 ⇒

B

A

punct de maxim.

punct de minim.

2) f

φ

(x,

(x,

y, z

)=

y, z,α , β

x + y + z , dacă x − y + z = 2 ; x 2 + y

2

+ z2 = 4 .

(x

2

+ y

)=

x + y + z + α

(x

− y + z − 2

)+ β

2

+ z2 − 4

)

∂ϕ  = 1+ α + 2β x = 0 ∂x   ⇒ 2 β (z − x ) = 0; β ≠ 0 ⇒ z − x = 0 ⇒ z = ∂ϕ = 1− α + 2β y = 0 ∂y  ∂ϕ = 1+ α + 2β z = 0 ∂z ∂ϕ = x − y + z − 2 = 0 ⇒ y = 2x + 2 ∂α ∂ϕ = x2 + y2 + z2 − 4 = 0 ⇒ 2x2 + 4x2 + 8x + 4 − 4 = 0 ⇒ 6x2 + 8x ∂β 1 + α 1) x = 0 ⇒ z = 0 ; y = 2 ⇒ A ( 0 , 2 , 0 ) – punct staţionar ⇒ ⇒  1 − α               

2) x = −

x

= 0 ⇒ 2 x (3 x + 4 = 0 + 4β = 0

)=

0 ⇒ x = 0; x = −

⇒ α = −1; β = −

1 2

4 4 2 4 4 2   ⇒ z = − ; y = − ⇒ B − ,− ,−  punct staţionar ⇒ 3 3 3 3 3 3  

8   1 + α − 3 β = 0 + 1 1 ⇒ 2 − 4β = 0 ⇒ β = ;α = −  2 3 1 − α − 4 β = 0  3

∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ = ; ; 2 β ; ; = = 2β . 2 β = 0 = 0 ∂y 2 ∂x2 ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 2  −1 1  1) β = − ⇒ H =  0 2  0  1 1  2) β = ⇒ H = 0 2 0 

0 1 0

0 −1 0 0   0  1 

0   0  − 1 

δ1 = − 1 < 0;δ

δ 1 = 1 > 0;δ

2

2

= 1 > 0 ;δ

= 1 > 0 ;δ

3

3

= − 1 < 0 ⇒ A – punct de maxim;

= 1 > 0 ⇒ B – punct de minim.

ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR 1. CÂMPURI SCALARE Se numeşte câmp scalar, definit pe D ⊂ R φ

∀ ( x , y , z ) ∈ D → φ ( x , y , z ) ∈ R . Dacă φ ∈ C

3

, orice aplicaţie φ : D → R ; (p )

(D ) ,

atunci câmpul scalar este de clasă C

(p )

(D ) .

EXEMPLE Câmpurile scalare ale presiunilor, temperaturilor, umidităţii etc. Dacă φ

este un câmp scalar şi c ∈ R , se numeşte suprafaţă de nivel, suprafaţa

ecuaţia

ϕ

(x,

)=

y, z

(S c ) .

c

∀M

Evident că pentru

0

(x 0 ,

y0, z

0

)∈

D , prin

(S 0 ) ,

dată de

M

trece o

0

suprafaţă de nivel şi numai una. În cazul câmpurilor scalare ale temperaturilor sau presiunilor, suprafeţele de nivel se numesc izoterme, respectiv izobare.Fie φ ∈ C numeşte gradientul lui φ , vectorul grad

 ∂φ ∂φ ∂φ , , φ =   ∂x ∂y ∂z

(1 )

(D ) -

(φ

b) grad

(λφ ) = λ grad φ ; (φ ⋅ ψ ) = ψ grad φ

c) grad d) grad

+ψ

(u

∂ ∂x

oφ

(u

oφ

)=

grad

 ψ grad  = 

 φ  ψ

2) Fie φ ∈ C

grad

)=

câmpuri scalare şi λ ∈ R .

a) grad

(1 )

)= u

(D ), φ

u '

'

φ + grad

+ φ grad

φ − φ grad ψ 2

ψ ;

ψ ; ψ

.

- câmp scalar; u : R → R ; u ∈ C

(1 )

(R )(ψ

≠ 0

)

(φ )grad φ

(φ ) ⋅

∂ ∂u ; ∂x ∂y

(u

oφ

)=

u

'

(φ ) ⋅

∂u ∂ ; ∂y ∂z

(u

oφ

)=

(D ), φ

- câmp scalar. Se

 ∂φ ∂φ ∂φ  = i + j + k . ∂x ∂y ∂z 

PROPRIETĂŢI 1) Fie φ , ψ ∈ C

(1 )

u

'

(φ ) ⋅

∂u . ∂z

r r r r r r r r r 3) Fie r = xi + yj + zk ; c = c1i + c2 j + c3k - constant; r = r = x2 + y 2 + z 2 ;

u : R → R; u ∈C(1) (R) r r ∂r ∂r y ∂r z 2x x = ; a) gradr = ; = = ; analog = ; 2 2 2 r ∂x 2 x + y + z ∂y r ∂z r r rr r r r b) grad(cr ) = c ; cr = c1 x + c2 y + c3 z ; r r r r c) gradu(r ) = u' (r ) ⋅ ; gradu(r) = u' (r) ⋅ gradr = u' (r) ⋅ . r r

dφ r r = s ⋅ gradφ 4) φ ∈C(1) (D),φ - câmp scalar şi s - versor fixat; ds Vectorul gradφ are direcţia normalei la suprafaţa de nivel (S ) a câmpului scalar φ (în punctul M). r dφ dφ Fie θ =< (s, gradφ ) ⇒ = 1⋅ gradφ ⋅ cosθ ; este maximă sau minimă ⇔ cosθ = 1 ds ds r sau cosθ = −1 ⇔θ = 0 sau θ = π ⇔ s - coliniar cu gradφ .

2. CÂMPURI VECTORIALE Fie

D ⊂ R

3

. Se numeşte câmp vectorial pe D, de componente r V

r r V : D → R 3 ; ∀ (x , y , z ) ∈ D → V (x , y , z ) = P (x , y , z r r r r V = P i + Q j + R k . Dacă P , Q , R ∈ C ( P ) (D ) , atunci

r

)i

+ Q (x , y , z

r V ∈ C

(P )

r

)j

P , Q , R , orice funcţie

r + R ( x , y , z )k

sau pe scurt

(D ) .

EXEMPLU Câmpul vectorial al atracţiilor newtoniene realizate de un punct material O - fixat. r r r r r r r r r r k r k r Fie r = OM = x i + y j + z k ; ρ = ; V : R 3 − {0 } → R 3 ; V ( r ) = − 2 ⋅ ρ ⇒ V ( r ) = − 3 ⋅ r ; r r r k - constantă; k > 0

1) Fie D ⊂ R

2

; P,Q ∈ C

r  ∂Q ∂P rot V =  − ∂y  ∂x

(1 )

(D )

r r r şi V = P i + Q j ⇒

r ∂P ∂Q div V = + ∂y ∂x

r - divergenţa lui V ;

r  r  k - rotorul lui V 

a) rot

( grad φ ) =

 ∂  ∂φ    ∂x  ∂y

r  ∂  ∂φ  r  −  k = 0 ⇒ ∂y  ∂x  

b) div

( grad φ ) =

∂  ∂φ  ∂   + ∂x  ∂x  ∂y

 ∂φ   ∂y

rot

( grad φ ) =

r 0

 ∂ 2φ ∂ 2φ  = + = ∆ φ - laplacianul lui φ . ∂x 2 ∂y 2 

r V - câmp de gradienţi sau câmp derivând dintr-un potenţial, dacă ∃ φ ∈ C r scalar, astfel încât V = grad

φ , adică P =

r r r r r 2) Fie V = P i + Q j + R k ; V ∈ C

 ∂R ∂Q =  − ∂z  ∂y

(1 )

(D ) ;

(D ), φ

- câmp

∂φ ∂φ ; Q = . ∂x ∂y

r ∂P ∂Q ∂R div V = + + ∂z ∂x ∂y

r  ∂Q ∂R  r ∂P  ∂P  i +  − −  j +  ∂x  ∂y  ∂z   ∂x

(1 )

 r  k . 

r ; rot V =

r i ∂ ∂x P

r j ∂ ∂y Q

r k ∂ ∂z R

=

PROPRIETĂŢI r r 1) Fie V , W ∈ C (1 ) (D ) - câmpuri vectoriale şi λ ∈ R . r r r r r r r a) div V + W = div V + div W ; b) rot V + W = rot V + rot r r d) rot λ V = λ rot V . r r r r r r r r 2) Fie r = x i + y j + z k ; c = c 1 i + c 2 j + c 3 k - constant. r i r r r r r r r a) div c = 0 ; rot c = 0 ; div r = 3 ; rot r = 0 ; c × r = c 1 x

( (

)

(

)

(

)

r r r W ; c) div λ V = λ div V ;

)

r j c2 y

r k c3 = z

r r r r r r r r r = (c 2 z − c 3 y )i + (c 3 x − c 1 z ) j + (c 1 y − c 2 x )k ; div (c × r ) = 0 ; rot (c × r ) = 2 c 1 i + 2 c 2 j + 2 c 3 k ⇒ r r rot (c × r ) = c

3) div ( grad φ

)=

∂  ∂φ  ∂   + ∂x  ∂x  ∂y

 ∂φ   ∂y

 ∂  ∂φ   +   = ∆φ ∂z  ∂z  

r k r r ∂ = 0 ⇒ rot ( grad φ ) = 0 ∂z ∂φ ∂z r r r r r 5) Fie φ ∈ C (1 ) (D ), φ - câmp scalar; V ∈ C (1 ) (D ) - câmp vectorial; V = P i + Q j + R k

r i ∂ 4) rot ( grad φ ) = ∂x ∂φ ∂x

r j ∂ ∂y ∂φ ∂y

r ∂ (φ P ) + ∂ (φ Q ) + ∂ (φ R ) = P ∂ φ + φ ∂ P + Q ∂ φ + φ ∂ Q + R ∂ φ + φ ∂ R ⇒ a) div φ V = ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z r r r div φ V = φ div V + V ⋅ grad φ

( )

( )

(

r i ∂ = ∂x φP

r b) rot φ V

)

r ∂ i  (φ R  ∂x

)−

r j ∂ ∂y φQ

r k ∂ = ∂z φR

r ∂ (φ Q ) + j  ∂ (φ P ∂z   ∂z

r ∂R ∂φ ∂Q ∂φ = i  φ + R − φ − Q ∂y ∂y ∂z ∂z 

r r ∂φ ∂φ = φ rot V + i  R − Q ∂y ∂z 

r ∂ (φ R ) + k  ∂ (φ Q ∂x   ∂x

)−

)−

∂ (φ P ) = ∂y 

r ∂Q r ∂P  ∂φ ∂R ∂φ  ∂φ ∂P  + j  φ + P − φ − R + Q − φ − P  + k  φ ∂z ∂z ∂x ∂x  ∂x ∂x ∂y   

r r  ∂φ ∂φ  ∂φ ∂φ  + j  P − R − P  + k  Q ∂z ∂x  ∂x ∂y   

  

Dar r i r V × grad φ = P ∂φ ∂x r r div φ V = φ rot V −

(

)

r r j k r ∂φ ∂φ Q R = = i  Q − R ∂z ∂y  ∂φ ∂φ ∂y ∂z r V × grad φ

r r  ∂φ ∂φ  ∂φ ∂φ  + j  R − P − Q  + k  P ∂x ∂z  ∂y ∂x   

  ⇒ 

EXEMPLU

r k r V = − 3 r;k r grad

φ = − k grad

grad

φ =

r rot V = rot

k > 0 .

constant;

(r ) = −3

3 kr

r 3k r r ; div V = div 5 r

(φ rr ) = φ

−4

Fie

φ = −

r r k V = φ r ; ⇒ 3 r

v r ⋅ ⇒ r

(φ rr ) = φ

r r rot r − r × grad

r r div r + r grad

r

r 3k r 3k 3k φ = 3φ + r ⋅ 5 r = − 3 + 3 = 0 ; r r r

 3k r  r  = 0 5  r 

φ = −r × 

OPERATORUL ∇ (NABLA) SAU VECTORUL ∇ (HAMILTON)

 ∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ⋅ r ∂ ⋅ r ∂ ⋅ r ∂ ⋅  = i ∇ =  , , + j +k ∂ x ∂ y ∂ z ∂x ∂y ∂z    ∂φ ∂φ ∂φ   ⇒ ∇ φ = grad φ 1) ∇ φ =  , , ∂ x ∂ y ∂ z  

r r r  ∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂P ∂Q ∂R  ⋅ (P , Q , R ) = 2) ∇ V =  , , + + ⇒ ∇ V = div V ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  r r r i j k r r r ∂⋅ ∂⋅ ∂⋅ ⇒ ∇ × V = rot V 3) ∇ × V = ∂x ∂y ∂z P Q R 4)

r r r dφ dφ = s ⋅ grad φ = s (∇ φ ) ⇒ = (s ∇ )φ ds ds

REGULI DE CALCUL r r r r r r 1) Fie c - vector constant ⇒ ∇ c = div c = 0 ; ∇ × c = rot c = 0 ; ∇ c = grad c = 0

r r r r r  ↓r  ↓ r 2) a) ∇ φ V = ∇  φ V  + ∇  φ V  = V (∇ φ ) + φ ∇ V = V grad φ + φ div V    

( )

(

)

r r r r r  ↓r  ↓ r b) ∇ × φ V = ∇ ×  φ V  + ∇ ×  φ V  = − V × (∇ φ ) + φ ∇ × V = − V × grad φ + φ rot V     r r r r r r c) ∇ V × W = W ⋅ rot V − V ⋅ rot W

( )

(

(

)

)

C6. METODE DE CALCUL A INTEGRALELOR NEDEFINITE 1) INTEGRALELE FUNCŢIILOR ELEMENTARE

∫ dx

= x+C ;

∫

x n +1 x dx = +C ; n +1 n

∫ cos

xdx = sin x + C ;

∫

1

∫

a

2

− x

2

∫ tgxdx

ax ∫ a dx = ln a + C ;

∫

dx = e x + C ;

1

∫

1 1 x−a dx = ln +C ; 2a x+a x2 − a2 x

x

= − ln (cos x ) + C ;

x +C; a

dx = arcsin

∫e

2

x −a

∫

2

∫ sin

∫ ctgxdx

(

dx = ln x +

xdx = − cos x + C ; = ln (sin x ) + C ;

1 1 x dx = arctg +C ; a a x2 + a2

1 dx = tgx + C ; cos 2 x

∫

)

x2 − a2 + C ;

∫

1 dx = ln x + C ; x

1 dx = − ctgx + C sin 2 x

2) INTEGRAREA PRIN PĂRŢI

∫

f 'g =

∫

fg −

∫

fg

'

EXEMPLU '

I =

∫

 x2  x2 x ln xd x = ∫  ln x −  ln xd x = 2 2  

∫

x2 1 x2 1 ⋅ dx = ln x − 2 x 2 2

∫

x2 x2 xd x = ln x − + C;(x > 0 2 4

3) PRIMA METODĂ DE SCHIMBARE DE VARIABILĂ a) Se aduce integrala de forma: I =

φ

'

∫ f (φ (x )) ⋅ φ (x )dx '

, adică se pune în evidenţă o derivată,

(x ) , astfel încât ceea ce rămâne în integrală să se exprime numai cu ajutorul lui φ ( x ) .

b) Se face substituţia φ ( x ) = t ⇒ φ c) Se calculează F (t ) =

'

( x )dx

= dt

∫ f (t )dt

d) I = F (φ ( x )) + C (se revine la variabila x). EXEMPLU I =

1

∫ sin

x

dx ; x ∈ (0 , π ) ; I =

sin xdx = − dt ; (t ∈ (− 1 ,1 )) ; I =

=

sin x dx = 2 x

∫ 1 − cos

1

∫t

∫ sin

∫− 1− t

2

dt =

sin x

2

2

x

dx ; cos x = t ⇒ − sin xdx = dt ⇒

1 1 t −1 1 1− t dt = ln + C = ln + C = 2 t +1 2 1+ t −1

1 1 − cos x ln + C 2 1 + cos x

4) A DOUA METODĂ DE SCHIMBARE DE VARIABILĂ Se cere să se calculeze I =

∫ f (x )dx

a) Se face substituţia x = φ (t ) ⇒ dx = φ b) Se calculează H (t ) =

(

c) I = H φ

−1

( x )) +

Ax + B

(a x

2

+ bx + c )

n

'

(t )dt

∫ f (φ (t ))φ (t )dt '

C (se revine la variabila x)

; A, B , a, b, c ∈ R ; n ∈ N ∗ ; b 2 − 4ac < 0 .

SUBSTITUŢII STANDARD 1)

ax + b cx + d

3)

x

5)

ax

2

− a 2

x = φ (t

= t ⇒ 2

⇒

a ; 4) sin t

x =

2

ax

a a

2

2

− x

+ x

2

a + t ⇒

+ bx + c = x

b) a < 0 ; c > 0 ⇒

2

ax

c) a < 0 ; c < 0 ⇒ 2

2)

2

⇒

⇒

t ; (1 − sin

x = a sin

 ;  1 + tg 

x = atgt

2

2

t =

t = cos 1 cos

2

2

)

t ;

  ; t 

+ bx + c ⇒ substituţiile EULER

a) a > 0 ⇒

ax

);

+ bx + c =

a

(x

x 1,2 ∈ R ; x 1 ≠ x

− x1

)( x

− x

2

)

)

x = φ (t

c + tx ⇒

+ bx + c =

∆ > 0 ⇒

x = φ (t

)

⇒

2

= t (x − x 1

)⇒

x = φ (t

)

OBSERVAŢIE ax

b   + bx + c = a  x +  2a  

2

6) Dacă sin sin

2

x =

7) Dacă sin

sin

x =

2t 1 + t

8)

I =

∫

x

m

2

2

; cos

2

(a x

n

∆ b ; x + = t ⇒ 2) sau 3) sau 4) 4a 2a

x =

1 1 + t

x =

+ b

)

p

1 − t 1 + t

= t ⇒

tgx

x = arctgt

tg

x = t ⇒ 2

x = 2 arctgt

x = t

s

dx

=

1 1 + t

2

dt

;

⇒

dx

=

2 1 + t

2

dt ;

2 2

d x ; m , n , p ∈ Q ; a , b ∈ R ; I - integrală binomială ⇒ substituţiile

CEBÎŞEV a) p ∈ Z ⇒

⇒

2

apar la puteri impare ⇒

şi cos ; cos

−

apar la puteri pare ⇒

şi cos

t 2 1 + t

2

; s = c . m . m . m . c . dintre numitorii lui m şi n ;

b) p ∉ Z ;

m + 1 ∈ Z ⇒ n

c) p ∉ Z ;

m + 1 m + 1 ∉ Z ; + p ∈ Z ⇒ n n

ax

n

+ b = t r ; r - numitorul lui p ; a + bx

− n

= t

r

.

EXEMPLE 1) I =

∫

1 d x ; x ∈ (0 , + ∞ ) ; x 1+ x

1+ x = t

= ln

2

⇒ 1 + x = t 2 ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ d x = 2 td t ⇒ I =

t −1 + C = ln t +1

2) I =

∫

1

x2 + 2x + 2 + 1

x + 2x + 2 = x + t

1 2 td t = − 1)⋅ t

2

d x ; x ∈ (0 , + ∞ ) ;

t2 − 2 ⇒ x + 2 x + 2 = x + 2 tx + t ⇒ x = ⇒ 2 (1 − t ) 2

2

2 1 2 t (1 − t ) + t −t 2 + 2t − 2 dx = ⋅ dt = dt ; 2 2 2 2 (1 − t ) (1 − t )

∫

2

1+ x −1 +C 1+ x +1

2

I =

∫ (t

−t 2 + 2t − 2 1 ⋅ dt = 2 − t 2 + 2t − 2 2 1 − t ( ) +1 2 (1 − t )

∫

2

t2 − 2 −t 2 + 2t − 2 ⇒ x + 2x + 2 = +t = 2 (1 − t ) 2 (1 − t ) 2

t 2 − 2t + 2 dt ; t 2 (1 − t )

C − A = 1 t 2 − 2t + 2 A B C  2 2 2 = + 2 + ⇒ A t − A t + B − B t + C t = t − 2t + 2 ⇒  A − B = − 2 ⇒ 2 t (1 − t ) t t 1− t B = 2  A = 0  B = 2 ⇒ I = C = 1 

∫

2 dt + t2

1 2 d t = − − ln ( t − 1 ) + C , unde t = ∫1− t t

x2 + 2x + 2 − x

3) I =

x 3 (2 x 2 + 1)

∫

−

3 2

dx ; m = 3 ; n = 2 ; p = − 1

3 m +1 ∉Z; = 2∈Z 2 n

 t2 −1 2 1  t2 −1  2 2 2x +1 = t ⇒ x =   ⇒ dx =   2 2   2  1 I = 2

unde t =

4) I =

I = I =

3 2

 t −1 −3 ∫  2  ⋅ t 2

 t −1 ⋅   2  2

−

1 2

1 ⋅ td t = 2

∫t

−2

−

1 2

⋅ td t

 t2 −1  1   dt = 4  2 

∫ (1 − t ) d t = 2

1 4

1  t +  + C ; t 

2x2 + 1 s in x − c o s x

∫ s in x + 2 c o s x d x ;

 π  x ∈  0,  ⇒ I = 2  

∫

 s in x  cos x  − 1  cos x  dx ⇒  s in x  + 2 cos x   co s x 

∫

tg x − 1 1 d x ; tg x = t ⇒ x = a r c tg t ⇒ d x = dt ; tg x + 2 1+ t2

∫

t −1 t −1 A Bt + C ; A t 2 + A + B t 2 + 2 B t + C t + 2C = t − 1 d t ; = + 2 2 2 (t + 2 ) (t + 1 ) (t + 2 ) (t + 1 ) t + 2 t + 1

A+ B = 0 3 3 1  ⇒ 2B + C = 1 ⇒ A = − B ;C = 1 − 2B ⇒ − B + 2 − 4 B = −1 ⇒ B = ; A = − ;C = − ⇒ 5 5 5  A + 2C = −1  I = − = −

3 5

∫

1 1 dt + t+2 5

∫

3t − 1 3 3 1 2 ln 2 ln 1 d t = − t + + t + − a r c tg t + C = ( ) ( ) t2 + 1 5 10 5

3 3 1 ln ( tg x + 1 ) + ln ( tg 2 x + 1 ) − x + C 5 10 5

5) INTEGRAREA FUNCŢIILOR RAŢIONALE P ( x) ; Q( x) ≠ 0 . Dacă grad P( x) ≥ grad Q( x) , a) O funcţie raţională este de forma f ( x) = Q( x)

se împarte P( x) la Q( x) , deci P( x) = Q( x) C ( x) + R( x) ; grad R < grad Q ⇒ f ( x) = C ( x) +

b)

R ( x)

C ( x)

;

se descompune funcţii raţionale simple, adică de forma:

C ( x)

sau

R ( x)

Ax + B

( ax + bx + c) 2

∗ 2 A B a b c R n N b ; , , , , ∈ ; ∈ ; − 4ac < 0 n

A

( x + a)

∗ ; A , a ∈ R ; n ∈ N n

C7. INTEGRALE IMPROPRII SAU GENERALIZATE

b

Atunci când s-a definit I =

∫ f ( x ) d x , s-a presupus că a şi b sunt finite, iar

f - mărginită.

a

Există situaţii când se poate da sens noţiunii de integrală şi atunci când a sau b sau amândouă sunt infinite (integrale improprii de speţa a I a) sau f - nemărginită în a sau b sau amândouă (integrale improprii de speţa a II a). EXEMPLU 1 Fie f : [ 0 , + ∞

)→

R, f

(x ) =

+∞

e

−x

. Vrem să definim

∫

f

(x )dx

. Pentru aceasta fie

0

F (u ) =

u

∫

f

(x )dx

u

=

0

+∞

∫

f

(x )dx

∫

e−xdx = −e−x

0

+∞

= 1 sau că

0

∫

f

(x )dx

u = 1 − e −u ; 0

lim F ( u ) = 1 . Spunem în acest caz că

u → +∞

- convergentă.

0

EXEMPLU 2 1 Fie f : [1, + ∞ ) → R , f ( x ) = ⇒ F (u ) = x +∞

∃

∫ 1

f

(x )dx

+∞

sau

∫ 1

f

(x )dx

u

∫ 1

u 1 d x = ln x = ln u , lim F ( u ) = + ∞ ⇒ u → +∞ 1 x

- divergentă. Pe baza acestor exemple putem da:

DEFINIŢIA 1 Fie f : [ a , +∞ ) → R , f - integrabilă pe ∀ [ a , u ] ⊂ [ a , +∞ ) ; deci ∃ F ( u ) =

u

∫ f ( x ) dx . Dacă a

există şi este finită lim F ( u ) = l , atunci spunem că f este integrabilă pe [ a , +∞ ) sau că u → +∞

+∞

+∞

a

a

∫ f ( x ) dx - convergentă şi ∫ f ( x ) dx = l . Analog se pot defini integralele improprii de b

speţa a I a de forma

∫ f ( x ) dx

sau

−∞ b

∫ f ( x ) dx = −∞

+∞

+∞

−∞

a

∫ f ( x ) dx , care pot fi aduse la forma ∫ f ( x ) dx :

b

lim

u → −∞

∫ f ( x ) dx ; facem schimbarea de variabilă

x = − t ⇒ dx = − dt ;

u −b

b

x = u ⇒ t = −u ; x = b ⇒ t = −b ⇒

∫ f ( x ) dx = −∞

b

pentru v = − u ⇒ v → +∞ ⇒

∫ f ( x ) dx = −∞

lim

v → +∞

lim

u → −∞

∫ − f ( − t ) dt =

−∞

v

+∞

−v

−b

−u

∫ f ( − t ) dt ;

lim

u → −∞

−b

∫ f ( − t ) dt = ∫ f ( − t ) dt .

În concluzie, pentru integralele improprii de speţa a I a, este suficient să ne ocupăm doar +∞

de cele de forma

∫ f ( x ) dx . a

EXEMPLU 3 Fie f : ( 0 , 1 ] → R ; f 1

Fie F

(u ) = ∫

f

(x ) =

u→ 0 u >0

(u ) =

x→ 0 x>0

+∞ ⇒

1

(x )d x

∫

=

u

lim F

(x ) =

− ln x ; lim f

− x ln x d x = − x ln x

1 ⇒

∫

(x )d x

f

1

= 1 sau

0

∫

(x )d x

f

+

u

u 1

1

1

'

f - nemărginită în x = 0 .

∫ u

x ⋅

u 1 d x = u ln u + x = u ln u + 1 − u . 1 x

- convergentă.

0

EXEMPLU 4 f : [0 , 1 ) → R ; f u

F

(u ) = ∫

f

(x )d x

u

= 2

0

lim F u→ 1 u 0 ⇔ < 1 α α 

Dacă α = 1 ⇒ F ( u ) =

u

∫ a

+∞

Deci

∫ a

u 1 d x = ln x = ln u − ln a ; lim F ( u ) = + ∞ . u → +∞ a x

1 d x este convergentă ⇔ α > 1 . xα

Luând în 2) g ( x ) = Dacă ∃ lim x α f x → +∞

1 , obţinem PRIMUL CRITERIU PRACTIC: xα

( x ) = l - finit, atunci:

+∞

∫ f ( x ) d x - convergentă;

a) α > 1 ⇒

a +∞

b) α ≤ 1 ⇒

∫ f ( x ) d x - divergentă. a

EXEMPLU +∞

I =

∫ 1

1 3

x +2

3 2

d x ; lim x f x → +∞

(x) =

lim

x → +∞

x3 3 = 1 ; cum α = > 1 ⇒ I - convergentă. 3 x +2 2

EXEMPLU 2 b

I =

u

1

∫ ( b − x )α

(u ) = ∫ (b

dx ; F

a

(α

(b u→ b

− u

1−α

)

u 0 ⇔ α < 1 =  . α α + ∞ , 1 − < 0 ⇔ > 1  u

b

dx = −

a

≠ 1 ) ; li m

Deci

− x)

−α

u 1 d x = − ln ( b − x ) = ln ( b − a ) − ln ( b − u ) ; li m F u→ b a b − x u1

(x

− 1)( x − 2 )

=

1 . 3

Cum α =

1 0

Fie f g

'

+∞

s in x dx ; J = xα

0

(0 , 1 ) ;

1

I =

∫ 0

s in x dx + xα

+∞

∫ 0

−

s in x ; g

α xα

(x ) =

< 0 ⇒

+1

1 ⇒ F xα

g ↓ ; li m

x→ +∞

g

(x ) =

(x ) =

− c o s x - primitiva lui f ; F

EXEMPLU 2 +∞

∫

+∞ 2

s in x d x ; J =

0

+∞

I =

∫ 0

c o s x 2 d x (FRÈSNEL)

0

1

t ⇒ dx =

x =

∫

s in t ⋅

2

1 2

t

t

dt =

dt ; x = 0 ⇒ t = 0 ; x → +∞ ⇒ t → +∞ ⇒ 1 2

+∞

∫ 0

s in t t

1 2

(x )

≤ 1 ; ∀ x ∈ [1 , + ∞

0 ⇒ I 2 - convergentă. Deci I - convergentă.

Analog J - convergentă.

I =

s in x d x = I1 + I 2 xα

s in x α x = 0 , α < 1 ⇒ I 1 - convergentă. xα

(x ) =

(x ) =

∫

cos x d x ;α ∈ xα

d t ⇒ I - convergentă

);

INTEGRALE IMPROPRII CU PARAMETRU Fie D =

[ a , b ] × [c , d ] b

(1) F

(y )= ∫

(x,

f

y

şi f : D → R , astfel încât ∀ y ∈

)d x

[ c , d ] , integrala:

- convergentă. Spunem că integrala (1) este uniform convergentă

a

în raport cu parametrul u

δ

ε

∫

< u < b , avem:

f

(x ,

y ∈ y

[c , d ] ,

)d x

− F

dacă

(y )

∀ ε > 0 ,∃δ

< ε ,∀ y ∈

ε

> 0 , astfel încât

∀ u ∈

[a , b ] ,

cu

[c , d ] .

a

LEGĂTURA CU SERIILE DE FUNCŢII Construim şirul a = b 0 < b 1 < . . . < b k < b k + 1 < . . . < b ; b k → b

∞

şi seria de funcţii (4)

∑

u

k

(y ),

0 bk

unde u

k

+1

(y )= ∫

(x ,

f

y

)d x

. Dacă integrala (3) este uniform convergentă, atunci şi seria

bk

∞

(4) este uniform convergentă şi

∑

b

u

0

k

(y )= ∫

f

(x ,

y

)d x

= F

(y ).

a

CONSECINŢE 1) Dacă integrala (3) este uniform convergentă şi f - continuă pe D , atunci F - continuă pe

[ c , d ] , adică

b

lim

y → y0

∫

f

(x ,

y

)d x

a

b

=

∫ a

lim

y → y0

f

(x ,

y

)d x

.

2) Dacă integrala (3) este uniform convergentă, f - continuă pe D , ∃ b

∫

şi

a

  

b

∫ a

∂f ∂

(x ,

y

)d x

 f (x , y )d x  

este uniform convergentă, atunci F - derivabilă pe

'

b

= y

∫ a

∂f ∂

(x ,

y

)d x

∂f - continuă pe D ∂y

[c , d ]

şi

EXEMPLU +∞

I=

∫e

− bx

0

+∞

sin ax dx ; b > 0 . Fie I = F ( a ) ⇒ F ' ( a ) = x '

+∞

∫ 0

e−bx x cos axdx = x

+∞ a +∞ −bx  e−bx  1 a e−bx = ∫ cos ax − ∫ e sin axdx = + 2  cos axdx = − 0 −b  b b 0 b b 0 

+∞

+∞

∫e

− bx

cos axdx =

0

− bx e ( ∫ ) sin axdx = '

0

 1 a2 ' +∞ +∞ −bx 1 a  −bx = + 2  e sin ax − a ∫ e cos axdx  = − 2 F ( a ) ⇒ F ' ( a ) ( a 2 + b2 ) = b ⇒ 0 b b  0  b b F ' (a) =

b b 1 a ⇒ F a = da + k = b ⋅ arctg + k ; F ( 0 ) = 0; F ( 0 ) = k ⇒ ( ) 2 2 2 2 ∫ a +b a +b b b

a k = 0 ⇒ I = arctg . Deci b +∞

∫ 0

sin x π dx = x 2

+∞

− bx e ∫ 0

sin ax a dx = arctg . Pentru a = 1 şi b → 0; b > 0 ⇒ x b

INTEGRALELE Γ ŞI β ALE LUI EULER Γ (p)=

+∞

∫

x

p −1

e dx ; ( p > 0 ); β −x

1

( p , q ) = ∫ x p −1 (1 − x )

0

q −1

dx ; ( p, q > 0 )

0

PROPRIETĂŢI (1) Γ ( p ) ; β

( p , q ) - convergente;

(2) Γ (1 ) = 1 ; Γ ( p + 1 ) = p Γ ( p ) ; Γ ( n + 1 ) = n !; ∀ n ∈ N ; (3) Γ ( p ) ⋅ Γ (1 − p ) =

π sin p π

(4) β ( q , p ) = p ( p , q ) ; p β (5) β

( p, q ) =

Γ ( p )Γ (q ) Γ(p + q)

, ∀ p ∈ ( 0,1 ) ;

( p , q + 1 ) = q β ( p + 1, q ) ; β ( p + 1, q ) + β ( p , q + 1 ) = β ( p , q ) ;

EXEMPLE  1 1  1) β  ,  =  2 2 

1

∫

x

−

1 2

(1 −

x

)

−

1 2

0

1

dx =

1

∫

x (1 − x

0

2

d x ; x = s in

)

t ⇒ d x = 2 s in t c o s t c o s t ;

π

π

2

 1 1  x = 0 ⇒ t = 0;x = 1⇒ t = ⇒ β  ,  = 2  2 2 

∫ 0

1 π ⋅ 2 s in t c o s td t = 2 t = π ⇒ s in t c o s t 2 0

 1   1  Γ  ⋅Γ     1 1   2   2  = π ⇒ Γ  1  = β  ,  = π ⇒   Γ (1 )  2 2   2 

+∞

π

⇒

∫

x +∞

∫ 0

+∞

∫

+∞

2

e −t dt =

π ; cum

−∞

0

+∞

2) I =

∫

∫ (x 0

4

x

+ 1)

2

dx ;

2

e−x dx = 2

+∞

∫

+∞

2

e−x dx ⇒

1 2

e−xdx =

π ;

0

x = t 2 ⇒ d x = 2 td t ; x = 0 ⇒ t = 0 ; x → + ∞ ⇒ t → + ∞ ⇒

2

−

∫

2

e−x dx =

1 − t2 e ⋅ 2 td t = t

π

π ⇒

(EULER – POISSON)

−∞

0

1 1− t 1 −t − 1 + t = t ⇒ 1 = xt + t ⇒ x = ⇒ dx = dt = − 2 dt ; 2 x +1 t t t 1

x = 0 ⇒ t = 1 ; x → + ∞ ⇒ t → 0 . Deci I =

∫ 0

1

1  2 1− t 4     − 2  ⋅t dt =  t   t 

1

∫

t

−

1 4

0

1 3  3   5    Γ  ⋅Γ     p − 1 = − 4  p = 4  3 5   4   4  = Γ  3 ⋅Γ  1 + 1 = ⇒  ⇒ I = β  ,  =      Γ (2 )  4 4   4   4  q − 1 = 1 q = 5  4 4 

=

1 1 1  1 π π π  1   3   1   . Γ  Γ  ⋅ = = ⋅Γ   =  ⋅Γ 1 −  = π 4 4 4  4 s in 2 2 2  4   4   4   4⋅ 4 2

1

(1 − t ) 4

dt

C8. 1. INTEGRALE CURBILINII DE TIPUL I DEFINIŢII (1) Se numeşte curbă parametrizată sau drum parametrizat, orice funcţie continuă γ

γ : [ a , b ] → R ;deci ∀ t ∈ [ a , b ] → γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ∈ R 3 ; x , y , z -funcţii pe [ a , b ]

 x = x (t )  γ  y = y ( t ) ; t ∈ [ a , b ] se numeşte reprezentarea parametrică a curbei ( γ ) ;   z = z (t ) A = γ ( a ) , B = γ ( b ) - capetele curbei. EXEMPLE 1) γ = [ A , B ] , unde A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ⇒

[ AB ] =

1 2

1

x = x1 + t ( x 2 − x1 ) ; y = y1 + t ( y 2 − y1 ) ; z = z1 + t ( z 2 − z1 ) ; t ∈ [ 0,1]

2 ∫ ( 30 t − 14 t + 9 ) 0

3 − 2

1 ( 30 t − 14 t + 9 ) 1 2 − 2 2

( 60 t − 14 ) dt =

−

1 2

1 0

=−

1 1 2 + = 5 3 15

continue

2)

y

(x, y )

M r

t

y

x

(γ ) =

( 0 , r ): x 2

C

x

 x = r cos t + y2 = r2 ⇒  ; t ∈ [0 , 2 π  y = r s in t

] A

3)

(γ ) =

(2) I ( γ

 x = a cos t x2 y2 + = 1⇒  ; t ∈ [0 , 2 π 2 2 a b  y = b s in t

E :

]

B

M

) = {γ ( t ) t ∈ [ a , b ]} = {( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) t ∈ [ a , b ]} -se numeşte imaginea curbei ( γ ) . ∃ t 1 , t 2 ∈ [ a , b ] , t 1 ≠ t 2 astfel încât γ

(3) Dacă

(t1 ) = γ (t 2 ) =

M , atunci

M se numeşte punct

multiplu sau nod. O curbă fără puncte multiple se numeşte curbă simplă. (4) Dacă x , y , z ∈ C

(1 )

([ a , b ])

şi  x ' ( t ) 

2

+  y ' ( t ) 

2

+  z ' ( t ) 

2

> 0 , ∀ t ∈ [ a , b ] , atunci

numeşte curbă netedă. (5) Dacă γ (6) Dacă

( a ) = γ ( b ) , atunci ( γ )

(γ )

are lungime, atunci

- curbă închisă.

(γ )

- rectificabilă.

Orice curbă netedă este rectificabilă şi (1) l ( γ

)

b

=

∫

 x ' ( t ) 

2

+  y ' ( t ) 

2

2

+  z ' ( t )  d t . De aici se deduce că:

a

(2) d l =

 x ' ( t ) 

2

+  y ' ( t ) 

2

2

+  z ' ( t )  d t

(γ )

se

EXEMPLU z

O

y

x

 x = a cos t   y = a s in t ; t ∈  z = bt 

(γ )

l

(γ )

[0 ,

2π

];

x

'

(t )

2 π

a

2

2

s in

t + a

2

cos

2

t + b

2

∫

dt =

0

= a cos t ; z

(t )

'

2

a

+ b

2

dt =

a

2

2

+ b

⋅t

0

(7) Fie

f : D ⊂ R

(3) I =

∫γ

f

(x ,

f

( x (t ) ,

b

∫

(4) I =

(t )

2 π

∫

=

'

= − a s in t ; y

3

y, z

→

)d y

R ;

(γ ) -

(γ ) ⊂

curbă netedă cu I

= b

2π 0

= 2π

z

(t ))

 x

'

( t ) 

2

+  y

'

( t ) 

2

+  z

2

+ b

2

D ⇒

l - integrală curbilinie de tipul I de-a lungul curbei

(t ) ,

a

'

( t ) 

2

(γ )

⇒

dt

a

EXEMPLU

∫γ

I =

xyzdl ;

(γ )

x = a c o s t ; y = a s in t ; z = b t ; t ∈

[0 ,

2π

]

2 π

dl =

a

2

+ b

2

dt ⇒

I =

∫

2π

a c o s t ⋅ a s in t ⋅ b t ⋅

a

2

+ b

2

dt = a

2

b

a

2

+ b

0

=

a

= −

2

2 π

b

a

2

a

2

+ b

2

∫ 0

2

4

b

a

2

+ b

2

cos 2t  a 2b  t ⋅ −  dt = − 2 4  

2

∫ 0

a

 π a 2b s in 2 t 2 π   2π −  = − 0 2 2  

2

+ b

a

2

2

 2π −  t cos 2t 0 

+ b

2

2 π

∫ 0

t ⋅

1 s in 2 td t = 2

 c o s 2 td t  = 

APLICAŢII PRACTICE Fie

(γ ) -

un fir de grosime neglijabilă, care este lungimea unei curbe simple, netede, având

densitatea ρ = ρ ( x , y , z ) ; l ( γ

) - lungimea firului;

M ( γ ) - masa firului; G ( x G , y G , z G ) - centrul

de greutate. Atunci: (5) l ( γ

) = ∫ dl

; M (γ

) = ∫ ρ ( x, y, z ) dl

γ

; xG =

γ

Dacă ( γ ) - omogen ( ρ - constant), atunci x G =

1 M (γ

1 l (γ

) ∫γ

) ∫γ

x ρ ( x , y , z ) d l . Analog y G , z G .

xd l , yG =

1 l (γ

) ∫γ

ydl , zG =

EXEMPLU

(γ )

x = a c o s t ; y = a sin t ; z = b t ; t ∈ [ 0 , 2 π ] ; ( γ ) - omogen a 2 + b 2 d t ; l (γ

dl =

) = 2π

a2 + b2 ;

2π

I1 =

∫γ x d l = ∫

a cos t

a 2 + b 2 dt = a

a 2 + b 2 ⋅ sin t

0

I2 = I3 = zG =

∫γ ∫γ

2π

ydl =

∫

a sin tt

a 2 + b 2 dt = a

2π = 0⇒ 0

a 2 + b 2 ⋅ (− cos t )

0 2π

zdl =

∫

bt

a2 + b2 ⋅

0

1 2π

a 2 + b 2 dt = b

a2 + b2

⋅ 2π 2 b

a2 + b2 ⇒

t 2 2π = 2π 2 b 2 0

2π 0

xG = 0

= 0⇒

a2 + b2 ⇒

z G = π b . Deci G ( 0 , 0, π b ) .

yG = 0

1 l (γ

) ∫γ

zd l .

2. INTEGRALE CURBILINII DE TIPUL II DEFINIŢII 1) O curbă

(γ )

împreună cu unul din sensurile de parcurs se numeşte curbă orientată. De

obicei sensul de parcurs de la A = γ ( a ) la B = γ ( b ) se numeşte sens direct sau sens pozitiv, iar curba se notează γ + . 2) Fie D ⊂ R 3 . D se numeşte domeniu simplu conex dacă ∀ ( γ ) - curbă simplă, închisă cu

I (γ

)⊂

D , toate punctele din interiorul lui ( γ

D ⊂ R 3 ; D - simplu r r r r P , Q , R : D → R ;V = P i + Q j + R k

3)

Fie

(1) I =

conex

)

se află în D .

; (γ ) -

curbă

rectificabilă

cu

I (γ

)⊂

D;

∫γ P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z - integrală curbilinie de tipul II. +

(1) se poate scrie pe scurt (2) I =

∫γ P d x + Q d y + R d z +

r r r r r Fie r = x i + yj + zk - vectorul de poziţie al unui punct M de pe ( γ ) ⇒ d r = ( d x , d y , d z ) ; cum r r r V = ( P , Q , R ) ⇒ Vdr = Pdx + Q dy + Rdz ⇒ (3) I =

r r V ∫ d r . Notaţii: γ+

r r r r V d r V = − ∫ ∫ dr ;

r r V ∫ d r ⇒ ( γ ) - curbă închisă.

γ−

γ+

γ+

INTERPRETARE FIZICĂ r r r r Fie F = P i + Q j + R k - o forţă ce acţionează asupra unui punct material, care are vectorul de r r r r poziţie r = x i + y j + z k şi care se deplasează pe ( γ ) de la A = γ ( a ) la B = γ ( b ) . Atunci r r lucrul mecanic efectuat este L A B = ∫ F d r = ∫ P d x + Q d y + R d z . γ+

γ+

Cum d x = x ' ( t ) d t ; d y = y ' ( t ) d t ; d z = z ' ( t ) d t , din (1) se deduce: (4)

∫ γ

Pdx + Q dy + Rdz =

+

b

=

∫  P ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ( t ) + Q ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) y ( t ) + R ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) z ( t )  d t '

'

'

a

EXEMPLU I =

ydx − xdy + ( x + y + z

∫

2

2

2

) d z ; (γ )

γ+

 x = − t c o s t + s in t   y = t s in t + c o s t ; t ∈ [ 0 ,1 ] z = t +1 

x ' ( t ) = − c o s t + t s in t + c o s t = t s in t ; y ' ( t ) = s in t + t c o s t − s in t = t c o s t ; z ' ( t ) = 1 ⇒ 1

I =

∫ 0

 ( t s in t + c o s t ) t s in t − ( − t c o s t + s in t ) t c o s t + t 2 c o s 2 t − 2 t c o s t s in t +    dt = 2 2 2 2 2  s in t + t s in t + 2 t s in t c o s t + c o s t + t + 2 t + 1 

1

=

∫ (t

2

s in 2 t + t s in t c o s t + t 2 c o s 2 t − t s in t c o s t + 2 t 2 + 2 t + 2 )d t =

0 1

=

∫ (3 t 0

2

+ 2 t + 2 ) d t = (3 t 2 + 2 t + 2 )

1 0

= 4

4) Integrala curbilinie de tipul II este independentă faţă de drum în domeniul simplu conex D ⊂ R 3 , dacă ∀A, B ∈ D , ∀ ( γ 1 ) , ( γ 2 ) -curbe de capete A şi B cu I ( γ 1 ) ⊂ D , I ( γ 2 ) ⊂ D , avem:

(5)

r r Vdr ∫ = γ

1+

r r Vdr ∫ γ

2+

5) Expresia Pdx + Qdy + Rdz se numeşte diferenţială totală exactă, dacă ∃V : D → R , V diferenţiabilă astfel încât dV = Pdx + Qdy + Rdz ; cum dV = (6) P =

∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ⇒ ∂x ∂y ∂z

∂V ∂V ∂V ;Q = ;R = ∂x ∂y ∂z

Pentru ∀A, B ∈ D ⇒ I =

∫

Pdx + Qdy + Rdz =

AB

∂V ∂V ∂V dx + dy + dz = ∫ ∂x ∂ y ∂ z AB

 ∂V  ∂V ∂V X (t )) ⋅ x' (t ) + X (t )) ⋅ y ' (t ) + X ( t ) ) ⋅ z ' (t ) ; X (t ) = ( x (t ) , y (t ) , z ( t ) ) = ∫ ( ( ( ∂x ∂y ∂z  a  b

r r b dV b ⇒ ∫ Vdr = ∫ X ( t ) ) dt = V ( X ( t ) ) ⇒ ( a dt a AB

(7) I = V ( B ) − V ( A ) , adică I este independentă faţă de drum.

CONSECINŢĂ r r Dacă ( γ ) - curbă închisă ⇒ ∫ Vdr = 0 . γT

∂P ∂  ∂V Din (6) ⇒ =  ∂y ∂y  ∂x

Analog (8)

2  ∂ V ∂Q ∂  ∂V =  ; = ∂ y ∂ x ∂ x ∂x  ∂y 

 ∂ 2V ∂P ∂Q . = ⇒ =  ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x 

∂Q ∂R ∂R ∂Q = , = . Deci: ∂z ∂y ∂x ∂z

∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂Q = , = , = ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z

Dacă M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ D ; M 0 - fix; M ( x, y, z ) ∈ D ; M - variabil, atunci funcţia V : D → R x

y

z

x0

y0

z0

(9) V ( x, y , z ) = ∫ P ( t , y0 , z0 ) dt + ∫ Q ( x, t , z0 ) dt + ∫ R ( x, y , t ) dt verifică (6). Din punct de vedere practic se procedează astfel: - se verifică relaţiile (8); - se trage concluzia că integrala este independentă faţă de drum, deci poate fi calculată cu (7); - funcţia V se determină din condiţiile (6) sau se calculează cu (9). În cazul în care V este dificil de observat se alege un drum oarecare între A şi B (de exemplu [ AB ] ).

EXEMPLU (0 , 3 , 4 )

∫

I =

xd x + ydy + zd z

(x

(1 , − 2 , 2 )

P =

2

+ y

2

+ z

x

(x

2

2

+ y

+ z

2

)

3 2

2

)

= x

3 2

⇒ A (1, − 2 , 2 ) ; B ( 0 , 3 , 4 )

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

−

3 2

;Q = y

(x

2

+ y

2

2

+ z

5 5 ∂P  3  2 2 2 − 2 2 2 2 − 2 = x  −  (x + y + z ) ⋅ 2 y = −3 xy (x + y + z ) ∂y  2  5 5 − − ∂Q  3  = y  −  (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ⋅ 2 x = −3 xy (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ∂x  2 

Analog

3 2

⇒

;R = z

Se verifică: Alegând

(x

2

+ y2 + z2

)

−

3 2

⇒ V

(x,

y, z ) = −

(x

2

+ y2 + z2

(x

2

+ y

)

−

1 2

= −

x2 + y2 + z2

x = 1 − t ; y = − 2 + 5 t ; z = 2 + 2 t ; t ∈ [0 , 1 ] ;

I =

∫ 0

=

1 2

(1 − 2 t + t

1

∫ (3 0 t 0

1

− 1 + t − 10 + 25t + 4 + 4t

2

2

+ 4 − 20t + 25t

− 14t + 9 )

3 − 2

2

+ 4 + 8t + 4t

2

)

3 2

dt =

∫ 0

30t − 7

(3 0 t

2 1 (3 0 t − 1 4 t + 9 ) (6 0 t − 1 4 ) d t = 1 2 − 2

−

1 2

2

)

1

x ' (t ) = − 1 ; y ' (t ) = 5 ; z ' (t ) = 2 1

+ z

2

−

3 2

( 0 , 3 , 4 ) − V (1, − 2 , 2 )

∂V ∂V 1 1 2 = Q ; = R ⇒ I = − + = ∂y ∂z 5 3 15

(γ ) = [ A B ] ⇒ (γ )

2

∂P ∂Q = ∂y ∂x

∂Q ∂R ∂R ∂P = ; = ⇒ I - independentă faţă de drum ⇒ I = V ∂z ∂y ∂x ∂z

∂V = P = x ∂x

Din

)

−

− 14t + 9 )

3 2

dt =

1 1 1 2 = − + = 0 5 3 15

C9. INTEGRALA DUBLĂ

I =

∫∫ f ( x , y ) d xd y ;

f :D ⊂ R2 → R .

D

Fie D = [ a , b ] × [ c , d ] , astfel încât ∀ x ∈ [ a , b ] , ∃ F ( x ) =

d

∫ f ( x , y ) d y , atunci c

∫∫ ( x , y ) d xd y f

D

(1)

b

=

∫

F ( x ) dx =

a

b

∫ a

b

d

a

c

d ∫ f c



( x , y ) d y  d x , adică: 

∫∫ f ( x , y ) d xd y = ∫ d x ∫ f ( x , y ) d y D

INTERPRETARE GEOMETRICĂ Dacă f

( x, y ) ≥

0 , ∀ ( x , y ) ∈ D , atunci volumul cilindrului care se sprijină pe D şi este

limitat superior de suprafaţa ( S ) z = f

( x, y )

este V =

∫∫ f ( x , y ) d x , iar D

F (x) =

d

∫ f ( x, y ) dy

este aria secţiunii făcută în cilindru de un plan paralel cu yO z , plan

c

care trece prin punctul (2)

( x , 0, 0 ) . Analog:

d

b

c

a

∫∫ f ( x , y ) d xd y = ∫ d y ∫ f ( x , y ) d x D

EXEMPLE

∫∫

1)

b

d

∫

dxdy =

D

dx

a

∫

b

dy =

c

Deci Aria D =

∫∫

∫

b

d dx = c

y

a

∫ (d

− c

)d x

=

(d

− c

)⋅ x

a

b = a

(d

− c

) (b

− a

)=

Aria D .

dxdy

D

2) I =

∫∫

(x

2

2

+ y

)d xd y ; D =

[− 1 , 1 ]× [− 1 , 1 ] ⇒ I =

∫ −1

D

1

=

1

 2 y3  1 x y dx = +  ∫ 3  −1 −1 

1

 ∫− 1  2 x

2

+

1

dx

∫ (x

2

+ y

2

)d y

=

−1

  1 2  x3 2 8 d x x  = 2 ⋅ + =   3  3 3 3   −1

y

y = φ2

(x ) D

y = φ1 O

Fie D ⊂ R D = D

(3)

(x )

a

2

b

; D - simplu în raport cu O y , dacă ∃ φ 1 , φ 2 : [ a , b

{( x , y ) ∈

R

2

φ1

(x ) ≤

y ≤ φ2

( x ), ∀ x

∈

[ a , b ]} ,

în cel mult două puncte. În acest caz avem:

∫∫ D

f

x

(x, y

)d xd y =

φ2

b

∫ a

dx

(x )

∫ φ 1

(x )

f

(x, y )d y

]→

R ;φ1 ,φ 2 ∈

([ a , b ] )

astfel încât

adică orice paralelă la O y , taie frontiera lui

y d x =ψ1 ( y) D x =ψ 2 ( y)

c O

x

Analog dacă ∃ψ 1 ,ψ 2 ∈ C ([ c, d ]) astfel încât:

D=

{( x, y ) ∈ R

2

ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ) , ∀y ∈ [ c, d ]} , atunci D se numeşte simplu în raport cu

Ox . În acest caz:

(4)

d

b

c

a

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx D

EXEMPLE 1)

y

y = x y = x O

I =

∫∫

xyd xd y ; D

D

1

I =

∫

x

d x

0

=

∫ x

2

2

1

x

x

0

1  1 1  −   = 2  4 6 

1

 y = x   y = x

∫

xyd y =

y 2 2

; x

x

x

2

= x ⇒

1 2

d x =

2

x

1

∫

x

(x

(x

2

x =

y

xyd xd y ; D

2 5 − y

3

I =

∫

x =

1 1 8

3

∫ 0

y

(9

)d x

=

x = 0 ; x = 1

1 2

1

∫ (x

3

− x

5

)d x

=

0

1  x 4 −  2  4

x 6  1 =  6  0

2

3

xyd x =

⋅ 2 5 − 2 5 y

2 5 − y

2

y = 3

2

x

4 y   x = 3  2 1 6 y x + y 2 = 2 5 ;  9  y ≥ 0  

4 y 3

0

=

∫

d y

4

= 0 ⇒

4 y 3

O

D

− x

)

0

3

∫∫

− 1

1 2 4

2)

I =

2

∫ 0

2

x 2 y ⋅ 2

)d y

=

2 5 − y

+ y

2

2

3

∫ (9 0

y − y

3

= 2 5 ⇒

3

1 2

∫

)d y

=

d y =

4 y 3 2 5 1 8

2

0

2 5 y

2

 y  2 5 − y  2 5  9 y  1 8  2

= 2 5 ⋅9 ⇒

2

−

2

−

1 6 y 9

2

y

= 9 ⇒

  d y = 

y 4  3 2 5  8 1 8 1  = −    = 4  0 1 8  2 4 

2 2 5 8

FORMULA RIEMANN – GREEN Face legătura între integrala curbilinie de tipul II în plan şi integrala dublă. Fie D ⊂ R

(γ )

γ = F r D - curbă simplă închisă, netedă. Se numeşte sens pozitiv pe

(γ )

observator care deplasându-se pe

P,Q : D ⊂ R (5)

∫ γ

2

∂P ∂Q , atunci: , ∂y ∂x

 ∂Q ∂P  −  dxdy ∂x ∂y 

∫∫ 

Pdx + Q dy =

D

+

DEMONSTRAŢIE y

γ

2

: y = φ2

(x )

D

γ 1 : y = φ1 O

∫

γ

Pdx = γ

+

b

=

∫

∫

a

Pdx + γ

1+

( x , φ ( x )) −

 P

1

∫

Pdx = γ

2−

P

(x ) b

∫

Pdx − γ

1+

∫

x

b

Pdx =

∫

P

(x ,φ1

(x

)) d x −

a

2+

b

∫

P

( x , φ ( x )) d x

=

2

a

( x , φ ( x ) )  d x 2

a

∫∫ D

∂P − dxdy = ∂y

Deci

∫ γ

+

Pdx =

φ2 (x )

b

∫

dx

a

∫∫ − D

∫

φ1 ( x

− )

∂P dy = ∂y

b

∫

−P

(x, y )

a

∂P d x d y . Analog ∂y

∫ γ

+

(x ) dx φ1 (x )

φ2

Q dy =

∫∫ − D

b

=

∫

 P

( x , φ ( x )) −

a

∂Q dxdy . ∂x

1

P

şi

sensul dat de un

lasă D pe mâna stângă. Fie

→ R , D - simplu în raport cu acele de coordonate şi există

2

( x , φ ( x ) )  d x 2

CONSECINŢE 1) Pentru Q =

Aria D =

x y ∂Q 1 ∂P 1 x y ;P = − ⇒ = ; = − ⇒ ∫ dy − dx = ∫∫ dxdy ⇒ 2 2 ∂x 2 ∂x 2 γ+ 2 2 D

1 xdy − ydx 2 γ∫+

2) Q = 0 ; P = − y ⇒ Aria D =

∫γ − ydx +

3) P = 0 ; Q = x ⇒ Aria D =

∫γ xdy +

EXEMPLE

x2 y 2 x2 y2 1) D : 2 + 2 ≤ 1; ( γ ) = FrD : 2 + 2 = 1 ⇒ ( γ ) a b a b

 x = a cos t ; t ∈ [ 0, 2π ] ;  y = b sin t 

x ' ( t ) = − a sin t ; y ' ( t ) = b cos t 1 1 Aria D = ∫ xdy − ydx = 2 γ+ 2

2π

∫  a cos t ⋅ b cos t − b sin t ( − a sin t ) dt = 0

2π 2π 1 1 = ab ∫ ( cos 2 t + sin 2 t ) dt = ab ⋅ t = π ab 0 2 2 0

2)

y

y = 1− x2

D O

I =

∫γ − xy

2

1

dx + x ydy ; ( γ 2

+

)

x2 + y2 = 1 ; D : x 2 + y 2 ≤ 1; P = − xy 2 ; Q = x 2 y   x, y ≥ 0

∂Q ∂P = 2 xy ; = − 2 xy ⇒ I = ∂x ∂y 1

x

1

1− x 2

∫∫ 4 xydxdy = ∫ dx ∫ 0

D

1

4 xydy = ∫ 2 xy

0

0

1 − x2

2

0

dx =

1

 2 x4  1 1 = ∫ 2 x (1 − x ) dx = ∫ ( 2 x − 2 x ) dx =  x −  = 2  0 2 0 0 2

3

Fie D ' ⊂ R 2 ; D ' - în planul u o v ; γ ' = FrD ' - curbă simplă închisă, netedă şi aplicaţia

 x = x ( u , v ) T : D → R ;T  ; ∀ ( u , v ) ∈ D ' ; x , y ∈ C (1) ( D ' ) şi  y = y ( u , v ) '

2

 ∂x  D ( x , y ) ∂u D ( x, y ) ≠ 0 = ∂y D (u , v ) D u , v ( )   ∂u 

∂x ∂v ∂y ∂v

     

v

y

γ ' = F rD

'

(u , v ) O

(x, y ) u

O

x

T se numeşte transformare directă, dacă orice punct care se deplasează în sens direct pe este transformat prin T într-un punct care se deplasează pe

(γ )

tot în sens direct.

PROPOZIŢIE Aria D =

(x, y ) ∫∫ D ( u , v ) D D

dudv

'

DEMONSTRAŢIE Aria D =

∫ γ

R −G

∫∫

= ±

D

= ± ∫∫ D

'

'

xdy = ±

+

∫ γ

' +

∂y ∂y  R −G  ∂y   ∂y + x x du + dv  = ± ∫  x  = ∂v ∂ ∂ u v '   ∂u   γ+

 ∂x ∂y  ∂  ∂y  ∂  ∂y  ∂2y ∂x ∂y ∂2y  x − x d u d v = ± + x − + x  dudv =  ∂u  ∂v  ∂v  ∂u  ∫∫'  ∂ u ∂ v u v v u u v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       D

D (x, y ) dudv = D (u , v )

∫∫ D

'

D (x, y ) D (x, y ) > 0 d u d v . Deci T – directă ⇔ D (u , v ) D (u , v )

Dacă într-o integrală dublă se fac schimbările de variabile, date de aplicaţia T, atunci: (6)

∫∫ f ( x , y ) d x d y D

=

∫∫ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) D

'

D (x, y ) dudv D (u , v )

(γ ) '

COORDONATE POLARE y M

ρ O

1) D

(O , r ) :

x2 + y

θ

(x, y )

y

x

2

r

≤ r 2 ; ρ = O M - raza polară; θ =

( ρ , θ ) - coordonate polare; D D

∂x ∂ρ = ∂y ∂ρ

(x, y ) (ρ ,θ )

∂x ∂θ ∂y ∂θ

x

=

( O x , O M ) - unghi polar;

 x = ρ cosθ ; ρ ∈ [0 , r ]; θ ∈ [0 , 2 π   y = ρ sin θ

cosθ s in θ

− ρ s in θ ρ cosθ

= ρ c o s 2 θ + ρ s in 2 θ = ρ ;

EXEMPLU I =

∫∫ ( x

2

+ y

2

)

3 2

dxdy ; D : x 2 + y

2

≤ 4

D 2 2θ

⇒ I =

∫ ∫ 0

2) D D

(E )

(ρ

2

)

3 2

2

⋅ ρ d ρ d θ = 2π

0

∫ 0

ρ 4d ρ = 2π ⋅

ρ 5

5

2 0

=

6 4π 5

 x = a ρ cosθ x2 y2 + ≤ 1 ⇒  ; ρ ∈ [0 , 1 ] ; θ ∈ [0 , 2 π 2 2 a b  y = b ρ s in θ

(x, y ) (ρ ,θ )

= abρ ;

x2 y2 + 2 = ρ a2 b

2

]; ( x 2

];

+ y

D D

2

= ρ

(x, y ) (ρ ,θ )

2

)

= ρ

EXEMPLU I = ∫∫ D

1 2π

x2 y2 x2 y2 1 − 2 − 2 dxdy ; D : 2 + 2 ≤ 1 ⇒ I = ∫ a b a b 0

∫

1

1 − ρ ⋅ ab ρ d ρ d θ = 2π ab ∫ 1 − ρ 2 ⋅ ρ d ρ 2

0

0

1 − ρ 2 = u ⇒ 1 − ρ 2 = u 2 ⇒ ρ 2 = 1 − u 2 ⇒ 2 ρ d ρ = − 2udu ⇒ ρ d ρ = − udu 1

u 3 1 2π ab ρ = 0 ⇒ u = 1; ρ = 1 ⇒ u = 0 ⇒ I = − 2π ab ∫ u ⋅ udu = 2π ab ⋅ = 0 3 3 0

APLICAŢII PRACTICE y

D O

(1) Aria D = ∫∫ dxdy D

x

EXEMPLU 2 3

2 3

D:x + y ≤ a

2 3

( a > 0)

2 2 2  x = ρ cos3 θ 2 2 Facem schimbarea de variabile:  ⇒ ρ 3 cos θ + ρ 3 sin θ ≤ a 3 ⇒ 3  y = ρ sin θ 2 3

2 3

ρ ≤ a ⇒ ρ ≤ a ⇒ ρ ∈ [ 0, a ] ;θ ∈ [ 0, 2π ] ∂x ∂x ∂y ∂y = cos3 θ ; = −3ρ cos 2 θ sin θ ; = sin 3 θ ; = 3ρ sin 2 θ cos θ ⇒ ∂ρ ∂θ ∂ρ ∂θ D ( x, y ) = 3ρ sin 2 θ cos 4 θ + 3ρ cos 2 θ sin 4 θ = 3ρ sin 2 θ cos 2 θ ⇒ D ( ρ ,θ ) a 2π

2π 3ρ 2 a 1 3a 2 2 2 ⋅ ∫ 4sin θ cos θ dθ = Aria D = ∫ ∫ 3ρ sin θ cos θ d ρ dθ = 2 0 4 0 8 0 0 2

3a 2 = 8

2

2π

∫ 4sin

2

2θ dθ =

0

2π

1 − cos 4θ 3a 2  2π sin 4θ 2π  3π a 2 ∫0 2 dθ = 16 θ 0 − 4 0  = 8

(2) Fie D – placă plană, având densitatea ρ = ρ ( x, y ) . Atunci: Masa D = ∫∫ ρ ( x, y ) dxdy D

EXEMPLU y y=

b a2 − x2 a

D O

y=0

a

x

x2 x2 D : 2 + 2 ≤ 1; x, y ≥ 0; ρ ( x, y ) = a 2 − x 2 ; a b x2 x2 y2 x2 b2 2 b 2 2 + = 1 ⇒ = 1 − ⇒ y = a − x ⇒ y = a2 − x2 ) 2 2 2 2 2 ( a b b a a a a

b 2 2 a −x a

∫

a 2 − x 2 dy = ∫

0

0

0

Masa D = ∫∫ a 2 − x 2 dxdy = ∫ dx D

a

b a2 − x2 2 2 a −x ⋅y a dx = 0

b 2 b 2 x 3  a b  3 a 3  2a 2b 2 = ∫ ( a − x ) dx =  a x −  =  a −  = a a 3 0 a 3  3 0 a

(3) CENTRUL DE GREUTATE Dacă G

( xG , yG ) -

este centrul de greutate al plăcii plane D, având densitatea ρ = ρ

1 M asa D

atunci: x G =

∫∫ x ρ ( x , y ) d x d y

; yG =

D

1 M asa D

∫∫

yρ

(x, y ) ,

(x, y )dxdy

D

În particular, dacă D – placă plană omogenă ( ρ - constant), atunci: xG =

1 A r ia D

∫∫ x d x d y D

; yG =

1 A ria D

∫∫

ydxdy

D

EXEMPLU:

x2 x2 D : 2 + 2 ≤ 1 ; x , y ≥ 0 ; D - omogenă; a b  x = a ρ cos θ  π  D (x, y ) ; ρ ∈ [0 , 1 ] ; θ ∈  0 ,  ; = abρ  y = b ρ s i n θ 2 D , ρ θ ( )    π

A r ia D =

∫∫

1 2

dxdy =

∫∫ 0 0

D

abρ d ρ dθ =

π 2

ab ⋅

1 π ab = 2 0 4

ρ

2

π

I1 =

∫∫ x d x d y

1 2

=

∫∫ 0 0

D

π

1 a 2b 4 a 2b 4a a ρ cos θ ⋅ ab ρ d ρ dθ = a b ⋅ ⋅ sin θ 2 = ⇒ xG = ⋅ = 3 0 3 π ab 3 3π 0 2

ρ

3

π

I2 =

∫∫ D

1 2

ydxdy =

∫∫ 0 0

 4a 4b  Deci G  ,   3π 3π 

1 b ρ s in θ ⋅ a b ρ d ρ d θ = a b ⋅ ⋅ (− co s θ 3 0 2

ρ

3

)

π 2 = 0

a 2b 4 a 2b 4b ⇒ yG = ⋅ = 3 π ab 3 3π

(4) MOMENTE DE INERŢIE

I Ox =

∫∫ y

2

ρ ( x , y ) d xd y ; I O y =

D

∫∫ x ρ ( x , y ) d xd y ; I 2

O

=

D

∫∫ ( x

2

+ y 2 ) ρ ( x , y ) d xd y

D

y 1 x+ y =1 x =0

O

y =1− x x =1 − y

D

y =0

1

x

EXEMPLU

D : x + y ≤ 1 ; x , y ≥ 0 ; ρ ( x , y ) = xy ; I Ox =

∫∫ y

2

⋅ xyd xd y =

D

1 = 2

∫∫ xy

1

3

d xd y =

∫ dy ∫ 0

D

1− y

1

3

xy d x =

0

∫ 0

x2 1− y 1 y ⋅ dy = 2 0 2 3

1

∫ y (1 − 2 y + 3

y 2 ) dy =

0

1

1  y4 y5 y6  1 11 2 1 1 y − 2 y + y d y = − 2 ⋅ + = − + = ; ( )     ∫0 2 4 5 6  0 2  4 5 6  120

I Oy =

3

∫∫

4

5

2

x ⋅ xyd xd y =

D

I O = I Ox + I Oy =

∫∫ D

1 60

1

3

x yd xd y =

∫ dx 0

1− x

∫ 0

1

3

x yd y =

∫ 0

y2 1− x 1 x ⋅ dx = 2 0 2 3

1

∫ 0

x 3 (1 − 2 x + x 2 ) d x =

1 120

C10. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ DE TIPUL I DEFINIŢII 1 Fie F : Ω ⊂ R

(x,

M

(1) F

3

→ R . Se numeşte suprafaţă dată implicit mulţimea punctelor

y, z

)∈

Ω , care verifică:

(x,

y, z

)=

0

(S ) r N r n

M Π

Notăm Π

r

(N

⊥ Π

r n =

r N r N

t

t

t

- planul, tangent la

(S )

r în punctul M, N - vectorul normală la

(S )

în M

) - versorul normalei. Dacă F ∈ C

r  ∂F ∂F ∂F , , (2) N  ∂y ∂z  ∂x r Fie α = (O x , n ) , β

(1 )

(Ω ) ⇒

r r  N ≠ O , ∀ M ∈ (S . Dacă   r r = (O y , n ) , γ = (O z , n

) ⇒ ( S ) - suprafaţă netedă.

)⇒

r r r r (3) n = i c o s α + j c o s β + k c o s γ ; c o s α , c o s β , c o s γ - se numesc cosinişii normalei.

2 Fie

2

→

y, z

)∈

R

(4) z =

f

(x ,

y

(5) p =

∂f ∂f ;q = ∂x ∂y

M

(x ,

f : D ⊂ R

r n = −

3

, care verifică:

) (S )

p 1 + p

(6) c o s α

2

= −

R . Se numeşte suprafaţă dată explicit mulţimea punctelor

+ q

2

y

)=

(MONGE) ⇒

r N

⇒

r i −

q 1 + p

p 1 + p

2

(x ,

z − f

+ q

2

2

+ q

2

0 ⇒

(−

r j +

p , − q ,1

r N

)⇒

r k

1 1 + p

2

+ q

q

;cos β = −

z

  ∂f ∂f N  − ,− , 1  . Notăm: ∂x ∂y  

1 + p

2

+ q

2

2

=

1 + p

2

+ q

2

⇒

şi deci: r k

1

;cos γ =

1 + p

2

+ q

2

(S ) Γ = bS

O

y D

γ = F rD

x Fie

(Γ )

(γ ) =

F rD ⇒

 x = x (t )   y = y (t )   z = f ( x ( t

(γ )

 x = x ( t ) ;∀ t ∈   y = y ( t )

;∀ t ∈

),

y

(t ))

[a , b ] ⇒

[a , b ] ⇒

z =

f

(x ,

y

)=

f

( x (t ) ,

Γ = b S - bordura suprafeţei

(P r

y

(t )) ⇒

xO y

Γ = γ

)

3 Se numeşte suprafaţă dată parametric, mulţimea:  x = x (u , v )  (7)  y = y ( u , v ) ; ∀   z = z (u , v )

(u , v ) ∈

punct arbitrar de pe

(S ) ⇒

D

'

⊂ R

r r r = r

2

r r r r . Dacă r = x i + y j + z k este vectorul de poziţie al unui

(u , v )

r r r N = ru × rv r ru

(S )

M

v = v0 r rv

0

u = u0

Fie

(u 0 , v 0 ) ∈

D

'

şi M

0

- punctul corespunzător pe

Pentru u = u 0 ⇒ curbă pe

(S )

M

0

- fix.

cu vectorul tangent la ea în M

∂x r ∂y r ∂z r r i + j + k ⇒ Analog pentru v = v 0 ⇒ ru = ∂u ∂u ∂u

r r r r r (8) N = r u × r v ; ru × r v =

(S ) ;

r i

r j

∂x ∂u ∂x ∂v

∂y ∂u ∂y ∂v

r k ∂z . Notăm: ∂u ∂z ∂v

0

r ∂x r ∂y r ∂z r : rv = i + j + k . ∂v ∂v ∂v

(9) A =

r N

=

(y, z ); B (u , v )

D D A

2

+ B

2

+ C

D D

2

⇒

(z, x ); C (u , v )

A

(10) c o s α = A

Dacă ∀

=

2

+ B

2

+ C

(u 1 , v 1 ) , (u 2 , v 2 ) ∈

2

D D

=

(x, y ) (u , v )

B

;cos β = A

D ' ; (u 1 , v 1

r r r r N = Ai + Bj + C k

⇒

2

+ B

) ≠ (u 2 , v 2 )

C

;cos γ =

2

+ C 2 r ⇒ r (u 1 , v 1

)≠

(x,

)

A

r r

şi

2

+ B

(u 2 , v 2 ) ,

2

2

+ C

atunci suprafaţa se

numeşte simplă. EXEMPLE: 1 SFERA : x

2

+ y

2

+ z

2

= r

2

. z

M

y, z

φ r

φ O

θ

x

N

y

y

M

'

x Fie M

(x, '

y, z

M

⇒

'

(M

În

O M

În

O N M

) ∈ (S ); O

M

z = r cosφ ;O M '

N ⊥ O x

)⇒

(O

= r ; '

z,O M

)= φ

;M M

'

⊥

( x O y );

(O x , O M ) = '

φ .

= r sin φ .

x = O M

'

c o s θ = r s in φ c o s θ ; y = O M

'

s in θ = r s in φ s in θ ⇒

C11. INTEGRALA TRIPLĂ 1) Fie Ω = [ a , b ] × [ c , d ] × [ e , g ] ; f : Ω → R ; D = [ a , b ] × [ c , d ] ; I =

∫∫∫ f ( x , y , z ) d xd yd z ⇒ Ω

g

(1) I =

∫∫ d xd y ∫ f ( x , y , z ) d z D

e

EXEMPLU

I =

∫∫∫ xyzd xd yd z ; Ω = [ 0,1] × [ 2, 4 ] × [5, 8 ] ⇒

D = [ 0 ,1 ] × [ 2, 4 ] ;

Ω 8

I =

∫∫ d xd y ∫ xy zd z = ∫∫ 5

D

39 = 2

1

∫ 0

D

z2 8 39 xy dxdy = 2 5 2

∫∫ D

39 xyd xd y = 2

1

4

0

2

∫ d x ∫ xy d y =

1 y2 4 x 2 1 117 x d x = 1 1 7 ∫ xd x = 1 1 7 ⋅ = 2 2 2 0 2 0

2) Dacă ∃ φ 1 , φ 2 : D → R 2 → R , φ 1 , φ 2 ∈ C ( D ) astfel încât

Ω =

{( x , y , z ) ∈ R

3

φ 1 ( x , y ) ≤ z ≤ φ 2 ( x , y ) ; ∀ ( x , y ) ∈ D } , atunci Ω se numeşte simplu în

raport cu O z . În acest caz: φ2 ( x , y )

(2)

∫∫∫ f ( x , y , z ) d xd yd z = ∫∫ d xd y φ ∫ Ω

D

1(x, y )

f

( x, y, z ) dz

EXEMPLE 1)

z

y

y =1− x z = 1 − x − y = φ2

O

(x, y )

y

x

z = 0 = ϕ1 (x, y )

D

O

y = 0

1

x

I =

∫∫∫ (1 + Ω

1 x + y + z) 1− x − y

I =

∫∫ d x d y ∫ (1 +

x + y + z =1 dxdydz ; Ω :   x, y, z ≥ 0

x + y + z)

0

D

1 = − 2

3

∫∫ D

1

dz =

(1 +

∫∫

x + y + z) −2

D

1 −2  1  4 − (1 + x + y )  d x d y = − 2

 1  1− 1 y +   ∫0  4 1+ x + y  0 1  1 1 1 1  = −  − + − ln 2  = 2  4 8 2 2  1 = − 2

−3

x

1 dx = − 2

5    ln 2 −  8  

1

1− x

0

0

∫ dx ∫ 1

∫ 0

−2

1− x − y 0

1  4 − (1 + x + y

)

−2

dxdy =

  d y =

 1 1 1  1  1 x2 1 1− x + − + x − ln (1 + x )  =   dx = −  x − 2 1+ x  2  4 8 2  4  0

2)

z

z =

6 −

2

z = x

(x

+ y

2

+ y

2

2

O

y

x

I =

2

)

2

+ y

∫∫

d xdy

D

=

1 2

(x

∫∫ (x

x

2

+ y

2

2

D

2

+ y

∫ + y

2

)

(x

0

ρ

3

− ρ

)  6

5

2

≤ 2

+ y

2

)

2

; z = 2 ⇒

D : x

(x

−

− ρ

7

2

+ y

2

∫∫

zd z =

)− (x

2  ; θ ∈

)d

[0 , 

ρ = π  6 

2

+ y

2

z

2

+ z − 6 = 0

≤ 2

= − 3

(x

2

)

2

+ y

D

2

∫ (6

2

z

2

 x = ρ cosθ ; ρ ∈  0 ,   y = ρ s in θ = π

z1 = 2

− 1 ± 5 2

∆ = 1 + 2 4 = 2 5 ; z 1,2 = 6 −

+ y

 z = x 2 + y 2 2 2   z = x + y zdxdyd z ;Ω :  x 2 + y 2 + z 2 = 6 ;  2 2 2 = 6 ⇒  x + y + z  z ≥ 0 

Ω

I =

2

D : x

∫∫∫ (x

)

2

+ y

2

2π

];

D D

ρ 4

4

−

ρ 6

)

2

z 2 2

6 − x

2

(x

+ y

2

+ y

2

)dxdy

=

2

 d xdy 

(x , y ) (ρ ,θ ) 6

−

ρ 8

8

= ρ ; I =

1 2

2 2 π

∫ ∫ 0

ρ

2

(6

− ρ

0

 4 8π 2   = π  6 − − 2  =  3 3 0   

2

− ρ

4

)ρ

d ρ dθ

=

FORMULA GAUSS – OSTROGRADSKI Face legătura între integrala triplă şi integrala de suprafaţă. Fie Ω ⊂ R 3 , Ω - simplu în raport cu

axele de

P , Q , R : Ω → R , astfel încât ∃ (3)

∫∫ P d y d z + Q d z d x +

S = Fr Ω

coordonate;

r r r r ∂P ∂Q ∂R ; V = P i + Q j + R k , atunci: , , ∂x ∂y ∂z

R dxdy =

 ∂P ∂Q ∂R  + +  dxdydz ∂x ∂y ∂z 

∫∫∫  Ω

S

- suprafaţă simplă, netedă, orientată;

DEMONSTRAŢIE z

(S 2 ) z

= ϕ 2 (x, y )

r n Se

(S1 ) z O

x

= ϕ1 (x, y )

y

D

r Rdxdy = Rdxdy + Rdxdy + Rdxdy . Pe suprafaţa exterioară S avem n ⊥ Oz ⇒ ( ) e ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ S 2+

S+

S1−

Se

∫∫ Rdxdy = 0 ⇒ ∫∫ Rdxdy = ∫∫ Rdxdy − ∫∫ Rdxdy = Se

S 2+

S+

S1+

= ∫∫ R ( x, y , φ2 ( x, y ) ) dxdy − ∫∫ R ( x, y , φ1 ( x, y ) ) dxdy = ∫∫  R ( x, y , φ2 ( x, y ) ) − R ( x, y , φ1 ( x, y  dxdy D

D

D

2 φ2 ( x , y ) ∂R ∂R dxdydz = dxdy dz = R x , y , z dxdy = ( ) ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∂z φ1 ( x, y ) φ1 ( x , y ) ∂z Ω D D

φ ( x, y)

= ∫∫  R ( x, y , φ2 ( x, y ) ) − R ( x, y , φ1 ( x, y ) )  dxdy . Deci D

∫∫ Rdxdy = ∫∫∫ S+

Analog

∫∫ Pdydz = ∫∫∫ Ω

S+

∂P dxdydz ; ∂x

∫∫ Qdzdx = ∫∫∫ S+

Ω

∂Q dxdydz . ∂y

r ∂P ∂Q ∂R Cum div V = + + ⇒ din (3) ⇒ ∂x ∂y ∂z r r r (4) ∫∫ V ⋅ n dσ = ∫∫∫ divV dxdydz (formula divergenţei)

(

S

)

(

Ω

)

Ω

∂R dxdydz . ∂z

CONSECINŢĂ Pentru P = Q = 0 ; R = z ⇒ V o l ( Ω

) = ∫∫

zd xd y

S+

EXEMPLU z

z = a

O

y z = 0

D

x I =

∫∫ S

x 2 d y d z + y 2 d zd x + z 2 d x d y ; (S

∫∫∫ ( 2 x

2

;R = z2 ⇒

 = 2 ∫∫  a D  = 2∫ 0

[0 , a ]

+ 2 y + 2z

∂P ∂Q ∂R = 2x; = 2 y; = 2z ∂x ∂y ∂z

)d xd yd z

= 2 ∫∫ d x d y

Ω

a

x, y, z ∈

+

P = x2 ;Q = y I =

)

)+

a a2  d x d y = 2 ∫0 d x 2 

 2  a3 a3  + a x +  dx = 2  a 2 2   

2

∫ (x

+ y + z

)d z

0

D

(x + y

a

a

∫ 0

 a 

(x + y

)+

 = 2 ∫∫  ( x + y D 

)z

a z2 a +  dxdy = 0 2 0

a   a a2  y2 a2 d y = 2 a x y + a + y  dx =   ∫ 0 2  2 2   0

 a  a4 x2 3 + a x  = 2 + a 2  0  2

4

  = 3a 

4

SCHIMBĂRI DE VARIABILE ÎN INTEGRALA TRIPLĂ  x = x (u , v , w )  f ( x . y . z ) d x d y d z ; facem schimbările de variabile:  y = y ( u , v , w ) ,   z = z (u , v , w )

∫∫∫

Fie I =

Ω

(u , v ,

∀

∫∫∫

(5)

w

)∈

Ω

f

(x ,

y, z

'

3

⊂ R

; x, y, z ∈ C

)d x d y d z

∫∫∫

=

Ω

Ω

f

(1 )

(Ω ); '

D D

(x , y , z ) (u , v , w )

( x (u , v , w ) ,

y

(u

≠ 0 . Atunci:

,v, w

),

))

D D

(x , y , z ) (u , v , w )

[0 , π ]; θ

∈

[0 , 2 π ] ⇒

(u

z

,v, w

'

dudvdw

COORDONATE SFERICE 1) Ω : x

x

2

D D

+ y

2

2

2

+ y

+ z

(x , y , z ) (u , v , w )

+ z

= ρ

2

2

2

≤ r

∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂z ∂φ

= ρ

2

s in φ

(s i n

2

φ s in

= ρ

2

s in φ

(s i n

2

φ + cos

x 2) Ω : a D D

2 2

y + b

(x , y , z ) (ρ , φ ,θ )

2 2

z + c

⇒

 x = ρ s in φ c o s θ   y = ρ s in φ s in θ ; ρ ∈  z = ρ cos φ 

[0 , r ] ; φ

∈

;

∂x ∂ρ ∂y ∂ρ ∂z ∂ρ

=

2

2

∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂θ

θ + cos 2

φ

2

≤ 1 ⇒

2

= abcρ

2

s in φ

)=

s in φ c o s θ = s in φ s in θ cosφ

2

φ cos

ρ

2

2

ρ cos φ cosθ ρ c o s φ s in θ − ρ s in φ

θ + cos D D

s in φ ⇒

2

φ s in

x a

2 2

+

y b

2 2

+

z c

2 2

θ + s in

(x , y , z ) (ρ , φ ,θ )

 x = a ρ s in φ c o s θ   y = b ρ s in φ s in θ ; ρ ∈  z = cρ cosφ  şi

2

= 1

− ρ s in φ s in θ ρ s in φ c o s θ 0

= ρ

2

[0 , 1 ]; φ

2

φ cos

2

θ

=

)=

s in φ

∈

[0 , π ] ; θ

∈

[0 , 2 π ] ⇒

EXEMPLE 1) I =

1+ (x + y + z

∫∫∫

2

2

2

)

3 2

dxdydz ; Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ⇒

Ω 1 π 2π

I =

∫∫ ∫

1 + ρ ⋅ ρ sin φ d ρ d φ = 2 π ( − cos φ ) 3

2

0 0 0

∫ (1 + ρ ) 3

0

2) I =

Ω

I =

∫∫ ∫

0 ∫

1 + ρ 3 ⋅ ρ 2d ρ =

1 2

3 1 4π 2 8π 3 ' 3 2 1 ⋅ (1 + ρ ) d ρ = ⋅ (1 + ρ ) = 2 2 −1 0 3 3 3 9

(

1 − ρ ⋅ abc ρ sin φ d ρ d φ d θ = 2π abc ( − cos φ ) 2

2

0 0 0

ρ = sin t ⇒ d ρ = cos tdt ; ρ = 0 ⇒ t = 0 ; ρ = 1 ⇒ t = π

π

2

2

π 2

2

0

 π π  π 2 abc sin 4 t   = abc t 2 − 2=  2 4 4  0 0  

0

π 0

1

⋅ ∫ 1 − ρ 2 ⋅ ρ 2d ρ ; 0

⇒ π 2

1 − cos 4 t dt = 2 0

I = 4 π abc ∫ cos t sin t cos tdt = π abc ∫ sin 2 tdt = π abc ∫

π

)

 x2 y2 z2  x2 y2 z2 1 −  2 + 2 + 2  dxdydz ; Ω : 2 + 2 + 2 ≤ 1 b c  a b c a

∫∫∫

1 π 2π

1

0

1

= 4π

π

2

APLICAŢII PRACTICE 1 Vol ( Ω ) = ∫∫∫ dxdydz Ω

2 Masa ( Ω ) = ∫∫∫ ρ ( x, y, z ) dxdydz , ρ - densitatea Ω

3

xG =

1 x ρ ( x, y, z ) dxdydz . Analog ∫∫∫ Masa ( Ω ) Ω

yG , zG ; G ( xG , yG , zG ) - centrul de

greutate al lui Ω . Dacă Ω - omogen ( ρ - constant) ⇒ xG = yG , zG .

4 I Ox = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x, y, z ) dxdydz . Analog I Oy ; I Oz . Ω

I xOy = ∫∫∫ z 2 ρ ( x, y, z ) dxdydz . Analog I yOz ; I zOx . Ω

I O = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ρ ( x, y, z ) dxdydz Ω

1 xdxdydz . Analog Vol ( Ω ) ∫∫∫ Ω

EXEMPLE z

z =

x2 + y2

z = x2 + y2 O

y

D : x2 + y2 ≤ 1

x 1) Ω : z = x 2 + y 2 ; z =

x2 + y2 = V o l (Ω

)

x2 + y2 ⇒

x 2 + y 2 ⇒ V o l (Ω

(x

2

+ y2

)

2

)=

= x2 + y2 ⇒ x2 + y2 = 1 ⇒ D : x2 + y2 ≤ 1

x2 + y2

=

∫∫∫

dxdydz =

Ω

∫∫ D

dxdy

?

∫

x2 + y2

dz =

∫∫ D

z

x2 + y2 2

x + y

2

dxdy =

D (x, y )  x = ρ cos θ ; ρ ∈ [0 , 1 ]; θ ∈ [0 , 2 π ]; = ρ ⇒ V o l (Ω  D (ρ ,θ )  y = ρ s in θ 1

= 2π

∫ (ρ 0

2

− ρ

3

 ρ3 ρ4 1 π d ρ = 2 π − )   = 4  0 6  3

∫∫ 

x2 + y2 −

D

1 2π

) = ∫ ∫ (ρ 0

0

− ρ

2

(x

2

+ y 2 ) d x d y 

)ρ d ρ dθ

=

2) Ω : x2 + y2 + z 2 ≤ 1; x, y, z ≥ 0; ρ ( x, y, z ) = xyz ⇒ Masa ( Ω) = ?

Masa ( Ω) = ∫∫∫ ρ ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫∫ xyzdxdydz Ω

Ω

 x = ρ sin φ cosθ   π  π  D ( x, y, z ) 2 = ρ sin φ sin θ ; ρ ∈ 0,1 ; φ ∈ 0, ; θ ∈ 0, = ρ sin φ y ; [ ]   2   2  D ( ρ,φ,θ )  z = ρ cosφ  π π 1 2 2

Masa ( Ω) = ∫∫∫ ρ 3 sin2 φ cosφ sin θ cosθ ⋅ ρ 2 sin φd ρdφdθ = 0 0 0

π

π

π

π

2 1 sin4 φ sin2 φ 1 ρ 1 2 3 ' ' = ⋅ ∫ sin φ ( sin φ ) dφ ∫ sin θ ( sin θ ) dθ = ⋅ 2⋅ 2= 6 0 0 6 4 2 48 0 0 0 6

x a

3) Ω :

2 2

+

y2 z + 2 b c

2

≤ 1; x, y, z ≥ 0 ;Ω

2

 x = a ρ s in φ c o s θ   y = b ρ s in φ s in θ ; ρ ∈  z = cρ cos φ 

Vol

(Ω ) = ∫ ∫ ∫

1

∫∫∫

0

xdxdydz =

Ω

I2 =

2

∫ 0

∫∫∫

ydxdydz =

∫∫∫

2

∫ 0

=

8

π

2

2

∫∫∫

1

zdxdydz =

0

s in φ d ρ d φ d θ =

0

a ρ s in φ c o s θ ⋅ a b c ρ

2

π 2

abc ⋅

ρ

3

3

1 0

= abcρ

⋅ (− c o s φ

ρ

s in φ d ρ d φ d θ = a 2b c ⋅

4

1 0

4

b ρ s in φ s in θ ⋅ a b c ρ

2

s in 2 φ ⋅ 2

π

π

2

2

0

π 2 = 0

ρ

s in φ d ρ d φ d θ = a b 2 c ⋅

4

0

∫∫∫ 0

2

0

abcρ

2

 π π  2 1 − c o s 2φ a b 2c  s in 2φ  = π ab c ⇒ dφ = φ 2 − 2   2 8 2 8 0 0  

Ω

π abc

2

(x, y , z ) (ρ ,φ ,θ )

0

π

0

π

I3 =

0

π

2

D π  π    ∈ 0, ;θ ∈  0 , ;   2  2  D  

2

)

s in φ

π 2 = 0

s in θ

π abc 6

π

π

2 0

∫ s in

2

2

φ dφ =

0

 π π  2 1 − co s 2φ a 2b c  s in 2φ 6 3a π a 2b c  = π a bc ⇒ x = dφ = ⋅ ⇒ xG = φ 2 − 2 G   2 8 2 8 8 8 π abc 0 0  

Ω

ab c = 4

2

1

∫∫∫ 2

π

2

0

π

a 2b c = 4

π 1

π

∫∫∫

dxdydz =

Ω

I1 =

[0 , 1 ] ; φ

- omogen ⇒ G

4

1 0

(− c o s θ

)

6 π a b 2c ⋅ ⇒ 8 π abc

yG =

π

π

2 0

∫ s in

2

2

φ dφ =

0

yG =

3b 8

π

c ρ s in φ s in θ ⋅ a b c ρ

2

s in φ d ρ d φ d θ = a b c

0

π abc 16

2

⇒ zG =

6 π abc ⋅ π abc 16

2

⇒ zG =

2

⋅

ρ 4

4

1 π ⋅ ⋅ 0 2

2

∫

sin φ

0

3c  3a 3b 3c  ⇒ G  , ,  8 8 8   8

' (s i n φ ) d φ

=

4)

z

z=c z = c

x2 y2 + a2 b2

O

y

x2 y2 D : 2 + 2 ≤1 a b x

x2 y2 z2 Ω : 2 + 2 + 2 ≤ 1 ; z = c > 0 ; Ω - omogen ⇒ I x O y = ? a b c I xO y =

∫∫∫ z

2

dxdydz =

Ω

c

∫∫ d x d y

∫

D c

x2 a2

2

z dz = +

y2 b2

∫∫ D

c z3 3 c

x2 y2 + a2 b2

1 dxdy = 3

D (x, y )  x = a ρ cos θ c3 ρ ∈ θ ∈ π = ρ ⇒ = ; 0 , 1 ; 0 , 2 ; a b I [ ] [ ]  xO y D ( ρ ,θ ) 3  y = b ρ s in θ

2π a b c 3 = 3

1

∫∫ D

  x2 y2   dxdy  2 + 2   a b   

1 2π

∫ ∫ (1 − ρ ) a b ρ d ρ d θ 3

0

0

2π a b c 3  ρ 2 ρ5 1 2π a b c 3 3 π abc3 ∫0 ( ρ − ρ ) d ρ = 3  2 − 5  0 = 3 ⋅ 1 0 = 5 4

 c3 − c3  

=

INTEGRALE DIN FUNCŢII VECTORIALE Dacă în definiţia integralelor de suprafaţă sau triple se ia în locul câmpului scalar f , r r r r câmpul vectorial V = P i + Q j + R k , atunci se obţin integrale din funcţii vectoriale. De exemplu: r r r r V d σ = i P d σ + j Q d σ + k ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ R d σ . S

S

S

S

1 FORMULA GRADIENTULUI Fie U : Ω → R 3 → R , astfel încât ∃ (5)

∫∫ (U

r ⋅ v )dσ =

∂U ∂U ∂U , , ; S = F r Ω . Atunci: ∂x ∂y ∂z

∫∫∫ ( g ra d U ) d xd yd z Ω

S

DEMONSTRAŢIE Din (3) ⇒

∫∫ U d yd z =

∫∫ U d xd y =

∫∫∫ Ω

S+

∫∫∫ Ω

S+

∂U d xd yd z ; ∂x

(

)

S+

S

r ⋅ v )dσ =

S+

∫∫∫ Ω

∂U d xd yd z ; ∂y

∂U d xd yd z ⇒ ∂z

r r r U id yd z + jd zd x + kd xd y = ∫∫

∫∫ (U

∫∫ U d zd x =

 ∂U r ∂U r ∂U r  i + j+ k  d xd yd z ⇒  ∫∫∫ x y z ∂ ∂ ∂  Ω 

∫∫∫ ( g ra d U ) d xd yd z Ω

2 FORMULA ROTORULUI Fie P , Q , R : Ω ⊂ R

∫ ∫ (n

r

(6)

r × V

)d σ

3

→ R ;S = Fr Ω , P ,Q , R ∈ C

(1 )

(Ω ) ;

r r r r V = P i + Q j + R k . Atunci:

r

∫ ∫ ∫ (r o t V ) d x d y d z

=

Ω

S

DEMONSTRAŢIE r r r i j k r  ∂R  ∂Q ∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂Q  r ∂R  r ∂R  r  ∂P ro t V = =  − − −  i +   k ;  j +  ∂x ∂y ∂z ∂z  ∂x  ∂y   ∂z  ∂y  ∂x P Q R r i r r n × V = cosα P

+

(Q

r + j

r k cos γ R

r j

cos β

Q

cosα − P cos β

r

)k

∫ ∫ (n

r

⇒

S

∫∫ (P

cos γ − R cos α

=

)d σ

r + k

S

r + j

∫∫ S

r + j

r × V

cos β − Q cos γ

)d σ

r = i

∫∫ (R

r

)i

+

(P

∫ ∫ (Q

r P dxdy − R dydz + k

∫∫∫

∫∫

cosα − P cos β

S

r Q d ydz − P dzd x = i

)d σ

r ∂R   ∂P −   dxdydz + k ∂x   ∂z

∫∫∫ Ω

r = i

∫∫ S

∫∫∫ Ω

+

cos γ − R cos α

cos β − Q cos γ

S

S

+

Ω

(R

)d σ

R dzd x − Q d xd y +

+

r

∫ ∫ ∫ (r o t V ) d x d y d z Ω

r j +

+

 ∂R ∂Q  −   dxdydz + ∂ y ∂z  

 ∂Q ∂P  −   dxdydz = ∂y   ∂x

)

C12. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I DEFINIŢII 1 Se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul I, dată sub forma implicită, o ecuaţie de forma:

(x ,

(1) F

y, y

'

)=

0 necunoscuta fiind funcţia y = y

independentă, F : [ a , b

]×

D → R , D ⊂ R

2

(x ),

(1 )

y ∈ C

([ a , b ] ) , x

- variabilă

.

2 Se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul I, dată sub forma explicită sau normală, o ecuaţie de forma: (2) y

'

=

(x ,

y

(x ,

cont

Ţinând P

f

)d x

+ Q

y

)

, f : D ⊂ R

că

(x ,

y

y

'

=

)d y

2

dy , dx

→ R , f ∈ C din

= 0 ⇒

P

(2)

(x ,

y

)+

⇒

Q

(D ) . dy = dx

(x ,

y

f

)

(x ,

y

)⇒

dy = 0 ⇒ dx

f

y

'

(x ,

y

)d x

= −

P Q

(x , (x ,

− dy = 0 .

y y

) )

=

f

(x ,

Reciproc: y

); Q ( x ,

y

fie

)≠

0

Deci ecuaţia (2) este echivalentă cu: (3) P

(x ,

y

)d x

+ Q

(x ,

y

)d y

= 0

3 Dacă C - constantă oarecare, atunci y = φ

(x , C )

se numeşte soluţia generală a unei ecuaţii

diferenţiale de ordin I, dacă ea verifică acea ecuaţie şi prin alegerea convenabilă a constantei C

se poate obţine orice soluţie a ecuaţiei. Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin

I poate fi dată sub una din următoarele forma: a) implicită Ψ

(x ,

b) explicită y = φ

y,C

)=

0 ;

(x , C ) ;

c) parametric x = φ

(t , C ) ;

y = ψ

(t , C ) ; t

∈

[α

,β

], t

parametru.

Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul I se mai numeşte şi integrala generală a ecuaţiei, iar graficul ei este o familie de curbe integrale.

4 PROBLEMA CAUCHY – constă în a determina o soluţie y = y ( x ) , a ecuaţiei diferenţiale de ordinul I, care să satisfacă o condiţie de forma: y ( x 0

)=

y 0 , numită şi condiţie iniţială.

EXEMPLU y ' = c o s x + 2 x ; y (0 ) = 2 ⇒

dy = c o s x + 2 x ⇒ d y = (c o s x + 2 x ) d x ⇒ y = dx

∫ (c o s x + 2 x ) d x + C

⇒ y = s i n x + x 2 + C - soluţia generală a ecuaţiei. Din y ( 0 ) = 2 ⇒ C = 2 ⇒ y = s in x + x 2 + 2

I. ECUAŢII DIFERENŢIALE TOTALE EXACTE Sunt de forma: P (x, y )dx + Q

(4)

(x, y )dy

= 0 , unde

P,Q : D ⊂ R

2

→ R ,

∂P ∂Q = . Soluţia generală a ∂y ∂x

ecuaţiei este: y

x

(5)

∫ P (t , y ) d t + ∫ Q ( x , t ) d t 0

x0

= C unde

( x0 , y0 )∈

D ; x 0 , y 0 - fixate.

y0

Soluţia generală a ecuaţiei se obţine prin două operaţii de integrare, numite şi cuadraturi. EXEMPLU

(x

2

− y 2 ) d x − 2 x y d y = 0 ; y (1 ) = 1 ; P ( x , y ) = x 2 − y 2 ; Q

∂P ∂Q ∂P ∂Q ; = −2 y ; = −2 y ⇒ = ∂y ∂x ∂y ∂x

x

∫ x0

( t 2 − y 02 ) d t +

(x, y ) =

−2 xy

y

∫ − 2 x td t

= C ⇒

y0

x  t3 t2 y x 03 x3 2  2 − y0 t  − 2x ⋅ = C ⇒ − xy0 − + x 0 y 02 − x y 2 + x y 02 = C ⇒  2 y0 3 3  3  x0 x3 2 − x y 2 = C - soluţia generală a ecuaţiei. Din y (1 ) = 1 ⇒ C = − ⇒ x 3 − 3 xy 2 + 2 = 0 . 3 3

II. ECUAŢII CU VARIABILE SEPARABILE Sunt de forma:

(x )d x

(6) P

∫

(7)

+ Q

(x )d x

P

( y )d y

∫

+

= 0

( y )d y

Q

∂P ∂y

⇒ = 0

= 0 ;

∂Q ∂x

= 0 , deci aplicând (4), obţinem:

- adică se integrează ecuaţia termen cu termen.

EXEMPLU

ydx + xdy = 0 ;

(x ,

)⇒

y > 0

ln x + ln y = ln C ⇒

1 1 dx + dy = 0 ⇒ x y

(x y ) =

ln

∫

1 dx + x

∫

1 d = ln C ⇒ y

xy = C

ln C ⇒

III. ECUAŢII OMOGENE Sunt de forma: '

(8) y

P Q

=

(x , (x ,

y y

) )

- unde P , Q

sunt funcţii omogene de acelaşi ordin k

Scoţând factor forţat de la numitor şi de la numărător pe x '

(9) y

k

, ecuaţia poate fi adusă la forma:

 y  f    x 

=

y = z ; z = z x

Notând

(x )

se obţine o ecuaţie cu variabile separabile.

EXEMPLU

y

'

=

x

2

+ 2 y xy

y = xz ⇒ z 1 + z

2

1 + z

dz = 2

y

'

x

2

;

(x ,

= z + xz

1 dx ⇒ x

= C x ⇒

)⇒

y > 0

'

⇒

1 ln 2 1 +

y x

'

y

z + xz

(1

+ z

2

2

=

'

=

)=

1 + 2 z z

= C ⇒

2

⇒

xz

ln x + ln C ⇒

2 2

 2 y 2  1 +  x 2   ⇒ y x 2 ⋅ x

x

2

+ y

2

= C x

y

'

 y  1 + 2    x  = y x

1 + 2 z z

2

= ln

1 + z

2

'

2

2

− z ⇒ = ln

(C

. Notăm

x ⋅ x

y = z ; z = z x

dz 1 + z = dx z

)⇒

2

⇒

(x ) ⇒

IV. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I LINIARE Sunt de forma:

y' + P

(10)

y' + P ⇒

(x ) y

(x ) y

= Q

(x )

P,Q ∈ C

unde

([ a , b ]) .

Dacă

Q

(x )-

ecuaţie

omogenă:

= 0

∂y = −P ∂x

(x ) y

1 dy = − P y

⇒

(x )dx

⇒ ln y = −

∫

P

(x )dx

− P ( x )d x + ln C ⇒ ln y = ln e ∫ + ln C ⇒

− P ( x )d x y = Ce ∫ - soluţia generală a ecuaţiei omogene. Pentru rezolvarea ecuaţiei neomogene se

aplică metoda variaţiei constantelor (Lagrange): se caută pentru ecuaţia neomogenă soluţii de aceeaşi formă cu ale ecuaţiei omogene, constantele devenind variabile. Deci y = C ⇒ C C

'

(x )e

−

∫ P ( x )d x − C

(x ) = ∫ Q (x )e ∫

P

(x ) P (x )e

( x )d x

− P ( x )d x  k + (11) y = e ∫ 

∫

Dacă notăm I 1 =

y = e − I1

(k

+ I2

P

−

∫ P ( x )d x + C

(x ) P (x )e

−

∫ P ( x )d x = Q

(x ) ⇒

C

'

(x ) =

Q

(x )e

(x )e ∫

d x + k ; k - constantă ⇒

∫ ∫ Q (x )e

(x )dx

P ( x )d x

şi I 2 =

dx 

∫ Q (x )e

I1

d x , atunci (10) se reţine sub forma:

).

EXEMPLU xy ' − y + x = 0 ; (x, y > 0

(x )dx

=

y = x (k − ln x

)

I1 =

∫

P

∫−

)⇒

y' −

1 y = −1 ⇒ P x

1 d x = − l n x ; y = e ln x x

(x ) =

(k − ∫ e

− ln x

− dx

1 ;Q x

)=

(x ) =

 xk − 

−1;

∫

1  d x  = x (k − ln x x 

)⇒

P

−

∫ P ( x )d x

( x )d x

⇒

V. ECUAŢII DE TIP BERNOULLI Sunt de forma:

(x ) y

y' + P

(12)

(x ) y α

;

( 0 , π )) :

y

= Q

α ∈ R ; α ≠ 0 ; α ≠ 1 . Notând

y

1−α

= z ,

z = z

(x )

se obţine o

ecuaţie liniară. EXEMPLU y ' + y c tg x = y −2 y

P

−3

y

'

'

= z

(x ) =

3

(x

⇒

∈ −3

y

2 ln

(s i n

z = y

−2

⇒

)

x

(k

∫

− 2

1

y =

e

1 z 2

= −

(x ) =

− 2 c tg x ; Q

z = e

'

y

− 2 ln

⇒

⇒

(s i n

x

z

)

dx

∫

)=

−3

y

−

− 2 ; I1 =

y =

⇒

'

3

y' + y

−2

c t g x = 1 . Notăm y

1 z ' + z c tg x = 1 ⇒ 2

(x )d x

P

s in

2

= −2

 x  k − 2 

∫

∫

−2

= z ; z = z

(x ) ⇒

z ' − 2 z c tg x = − 2

cos x d x = − 2 ln s in x

1  dx  ⇒ 2 s in x 

(s i n

z = s in

2

x x

) (k

+ 2 c tg x

);

1 k + 2 c tg x

s in x ⋅

VI. ECUAŢII DE TIP RICCATI Sunt de forma: (13) y ' + P

(x ) y

2

+ Q

(x ) y

+ R

(x ) =

0 ; P ,Q , R ∈ C

([ a , b ] ) .

În general ecuaţia (13) nu poate fi rezolvată prin cuadraturi, dar dacă se cunoaşte o soluţie particulară y 0 , atunci făcând substituţia y = y 0 +

1 z

, z = z

(x )

se obţine o ecuaţie liniară.

EXEMPLU

xy

'

= y

y = x + − x

2

−

(2

x + 1)y + x

1 ; z = z z

(x ) ⇒

z' 1 1 = − ⇒ z z2 z

z = e

ln x

  k − 

∫

1 e x

z' − − ln x

2

+ 2 x + 1 ; y 0 = x - soluţie particulară z' ⇒ z2

x − x

1 1 z = − ; P x x

(x ) =

y

'

= 1 −

  dx  = x  k −  

∫

z' = x z2 −

1 ;Q x

2

+

2 x 1 + − 2 x z z2

(x ) =

−

1 1    dx  = x  k +  ⇒ 2 x x   

1 ; x

∫

P

2

−

2 x 1 − x − + x z z

(x )d x

z = kx + 1 ⇒

2

= − ln x y = x +

1 kx + 1

+ 2 x + 1 ⇒

VII. ECUAŢII DE TIP LAGRANGE Sunt de forma:

(y )+ '

(14) y = x f

(y ); '

g

derivând în raport cu x

f , g ∈ C

(1 )

([ a , b ]) .

Notând y

'

= p ; p = p

(x ),

se obţine o ecuaţie liniară cu necunoscuta x = x

înlocuind în ecuaţie şi

(p ).

EXEMPLU y + 2 xy

y

'

'

+

(y ) '

'

+ 2 p + 2 xp

= 0 ; y

+ 2 pp

2 2 x = − ; 3 p 3

x' +

= p

2

= p ; p = p

= 0 ⇒

3 p +

(x ) ⇒

y + 2 xp + p

2dp dx

+ p

(x

2 2 ln p ; x = e dp = 3P 3

∫

 2 3 ⋅ p  k − 3 5 

2 3

−

'

'

  ⇒ 

5 3

x = kp

2 3

−

−

−

2 ln p 3

2 p ⇒ 5

)=

0 ⇒

 2  k − 3 

Deci soluţia generală a ecuaţiei este: x = k p

−

2 3

= 0 ; derivăm în raport cu x ⇒

dx + 2 x + 2 p = 0 ⇒ 3 px' + 2 x = −2 p ⇒ dp 2 2 ln p −    2 dp  = p 3  k − p 3dp  = ∫ 3   

3 p

∫

1 3

y + 2kp

2

2 3

e

2 p 5

−

2

+ p

2

1 3

2 p ; y = −2kp 5

−

y = −2kp

= 0 ⇒

−

1 p 5

2

1 3

−

3 p 5

2

.

.

VIII. ECUAŢII CLAIRAUT Sunt de forma:

pentru f

y

'

'

y = xy

(15)

(y )= '

'

'

2) x + g

g ∈ C

([ a , b ]) .

(1 )

Se observă că (15) este un caz particular din (14)

y ' . Deci fie

y = xp + g

(p )⇒

p = C - constant ⇒

= 0 ⇒

(15) y

'

(x ) ⇒

= p, p = p

1) p

(y );

+ g

y

'

= p + xp

y = xC + g

(C )

'

+ g

'

(p )

p

'

= 0 ⇒

'

p

 x + g

'

( p ) 

= 0

- soluţia generală a ecuaţiei (se înlocuieşte în

cu C) '

(p )=

0 ⇒

x = − g

'

(p )

; y = − pg

'

(p )+

g

(p )

- soluţie singulară.

EXEMPLU y = xy

p

'

'

+

(y )

= 0 ⇒

singulară.

'

2

; y

'

p = C ⇒

= p ; p = p

(x ) ⇒

y = xC + C

2

y = xp + p

2

⇒

y

'

= p + xp

'

+ 2 pp

- soluţie generală; x + 2 p = 0 ⇒

'

⇒

p

'

(x

x = −2 p ;

+ 2 p

)=

y = − p

2

0 ;

- soluţie

C13. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR DEFINIŢII 1 Se numeşte ecuaţie diferenţială de ordin n, dată sub formă implicită, o ecuaţie de forma:

(

)

n (1) F x , y , y ' , ..., y ( ) = 0 necunoscuta fiind funcţia y = y ( x ) , y ∈ C ( n ) ([ a , b ] ) , iar

x - variabilă independentă. 2 Se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, dată sub formă explicită sau normală, o ecuaţie de forma: n (2) y ( ) = f

( x , y , y , ..., y ( ) ) '

n −1

3 y = φ ( x ; C 1 , C 2 , ..., C n ) ; C i - constante, ∀ i = 1, n , se numeşte soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n, dacă ea verifică acea ecuaţie şi prin alegerea convenabilă a constantelor C 1 , C 2 , ..., C n se poate obţine orice soluţie a ecuaţiei. Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n, poate fi dată sub următoarele forme: a) implicit ψ

( x , y ; C 1 , C 2 , ..., C n ) = 0 ;

b) explicit y = φ ( x , g , C 1 , C 2 , ..., C n ) ;

 x = φ ( t ; C 1 , C 2 , ..., C n ) c) parametric  ; t ∈ [α , β ] ; t - parametru. y = ψ t ; C , C , ..., C ( )  1 2 n

4 PROBLEMA CAUCHY – constă în determinarea unei soluţii y = y ( x ) , soluţie care verifică: y ( x0 ) = y0 , y' ( x0 ) = y0' ,..., y(

n−1)

( x0 ) = y0( n−1) numite condiţii iniţiale.

EXEMPLU

dy'' y = sin x ; y ( 0) = 1; y ( 0) = −1; y ( 0) = 1; = sin x ⇒ dy'' = sin xdx ⇒ y'' = ∫ sin xdx + C1 ⇒ dx '''

'

''

dy' y = − cos x + C1 ⇒ = − cos x + C1 ⇒ dy' = ( − cos x + C1 ) dx ⇒ y' = ∫ ( − cos x + C1 ) dx + C2 dx ''

⇒ y' = − sin x + C1x + C2 ⇒

dy = − sin x + C1x + C2 ⇒ dy = ( − sin x + C1x + C2 ) dx ⇒ dx

x2 y = ∫ ( − sin x + C1x + C2 ) dx + C3 ⇒ y = cos x + C1 + C2 x + C3 - soluţia generală a ecuaţiei; 2

y ( 0) = 1 ⇒ 1+ C3 = 1 ⇒ C3 = 0; y' ( 0) = −1 ⇒ C2 = −1; y'' ( 0) = 1 ⇒ −1 + C1 = 1 ⇒ C1 = 2 ⇒ y = cos x + x2 − x

ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL „n” LINIARE

[y ]=

Fie L

a0

(x ) ≠

( x ) y (n )

a0

0 ;∀ x ∈

(3) L

[y ]=

0

(4) L

[y ]=

f

[a , b ];

( y1 ,

(x )

( y1 ,

f ∈ C

(x ) y '

+ ... + a n −1

+ an

( x ) , unde

ak ∈ C

([ a , b ]) ; ∀ k

≠ 0 ;

([ a , b ]) . Atunci:

- ecuaţie liniară neomogenă.

y 2 , ..., y n

WRONSKIAN.

W

( x ) y (n − 1 )

- ecuaţie diferenţială de ordin n liniară, omogenă

Dacă y 1 , y 2 , . . . , y n ∈ C

(5) W

+ a1

([ a , b ]) , atunci: y1 y 1' ...

y2 y 2' ...

... ... ...

yn y n' ...

y 1( n − 1 )

y 2( n − 1 )

...

y n( n − 1 )

)=

Sistemul

)≠

y 2 , ..., y n

(n − 1 )

de

funcţii

- se numeşte determinant WRONSKI sau

y1 , y 2 , ..., y n -

soluţii

pentru

(3),

pentru

care

0 , se numeşte sistem fundamental de soluţii. În acest caz soluţia generală a

ecuaţiei (3) este (6) y 0 =

n

∑

C

k

yk ; C

k =1

(7)

y = y0 + yP

k

- constante ∀ k = 1 , n . Soluţia generală a ecuaţiei (4) este de forma:

unde y 0

este soluţia generală a ecuaţiei (3), y P

ecuaţiei (4), soluţie care se află după forma lui

f

(x ).

este o soluţie particulară a

Dacă a k - constante ∀ k = 0 , n , atunci

ecuaţia se numeşte liniară cu coeficienţi constanţi. Căutând pentru (3) soluţii de forma:

y = e (8)

k

rx

; r - constant, obţinem ecuaţia:

(r ) =

a0r

n

+ a1r

n −1

+ ... + a n −1r + a n = 0 ;

k

(r ) -

polinom caracteristic;

caracteristică. 1) k

(r ) =

(9) y =

0 - are toate rădăcinile reale simple: r1 , r 2 , . . . , r n ⇒

n

∑ k =1

C ke

rk x

- soluţia generală a ecuaţiei, C

k

- constante ∀ k = 1 , n .

k

(r ) =

0 - ecuaţie

EXEMPLU y ''' + 3 y '' − y ' − 3 y = 0 ⇒ r 3 + 3 r

y = C 1e

r1 = 1 ; r 2 = − 1 ; r3 = − 3 ⇒

2) k

(r ) =

(10) y =

2

− r − 3 = 0 ⇒ r

2

(r

+ 3)−

∑

e α k x  C

k =1

k

cos

(β k x ) +

+ 3)= 0 ⇒

(r

2

− 1 )(r + 3 ) = 0 ⇒

+ C 2e − x + C 3e −3 x

x

0 - are toate rădăcinile complexe simple: r k = α m

(r

D

k

( β k x ) 

s in

k

± iβ

k

; k = 1, m ⇒

, C k , D k - constante, ∀ k = 1 , m

EXEMPLU y '' + 2 y ' + 2 y = 0 ⇒ r

y = e−x 3) r = α

(C 1

cos x + C

2

2

+ 2 r + r = 0 ; ∆ = 4 − 8 = − 4 < 0 ; r1 , 2 =

sin x

−2 ± 2i = − 1 ± i ;α = − 1; β = 1 ⇒ 2

)

este rădăcină reală multiplă de ordin p a ecuaţiei k

(11) y = e α

p

x

∑

(r ) =

0 ⇒

C k x k −1

k =1

EXEMPLU y

'''

+ 3 y '' + 3 y ' + y = 0 ⇒ r 3 + 3 r

y = e−x

(C

1

+ C2x + C3x2

4) r = α ± i β (12) y = e α

x

2

(r

+ 3r + 1 = 0 ⇒

+ 1 ) = 0 ⇒ r = − 1 rădăcină reală triplă ⇒ 3

)

este rădăcină complexă multiplă de ordin p a ecuaţiei k

  

p

∑ k =1

  C k x k −1  c o s β x +   

p

∑ k =1

(r ) =

0 ⇒

  D k x k −1  s in β x   

EXEMPLU y ( 4 ) + 2 y '' + y = 0 ⇒ r

α = 0,β = 1⇒

y =

4

+ 2r

(C 1 x

2

+ C

+1 = 0 ⇒ 2

)c o s

x +

(r

2

(C 3 x

+ 1 ) = 0 ⇒ r = ± i rădăcină complexă dublă cu 2

+ C

4

)s in

x

OBSERVAŢIE Dacă ecuaţia caracteristică are atât rădăcini reale cât şi complexe, simple sau multiple, atunci soluţia generală a ecuaţiei este o sumă de termeni corespunzători celor patru cazuri prezentate. EXEMPLU y( 5) − y( 4) − y' + y = 0 ⇒ r 5 − r 4 − r +1 = 0 ⇒ r 4 ( r −1) − ( r −1) = 0 ⇒ ( r −1) ( r 4 −1) = 0 ⇒

( r −1) ( r +1) ( r 2 +1) = 0 ⇒ r = 1 rădăcină reală dublă; r = −1 rădăcină reală simplă; 2

r = ±i rădăcină complexă simplă cu α = 0, β = 1 ⇒

y = ( C1x + C2 ) ex + C3e− x + C4 cos x + C5 sin x

REZOLVAREA ECUAŢIEI NEOMOGENE 1) Dacă f ( x ) = Pm ( x ) - polinom de grad m, atunci: a) r = 0 nu este rădăcină pentru k ( r ) = 0 ⇒ y P = Q m ( x ) - polinom de grad m; b) r = 0 este rădăcină multiplă de ordin s pentru k ( r ) = 0 ⇒ y P = x s Q m ( x ) EXEMPLE (1)

y '' + y = x 2 + x ; y '' + y = 0 ⇒ r 2 + 1 = 0 ⇒ r = ± i ; α = 0 , β = 1 ⇒ y 0 = C 1 cos x + C 2 sin x

soluţia generală a ecuaţiei omogene. Căutăm pentru ecuaţia neomogenă o soluţie de forma:

y P = ax 2 + bx + c ⇒ y P' = 2 ax + b ; y P'' = 2 a ⇒ 2 a + ax 2 + bx + c = x 2 = x ⇒ a = 1; b = 1; 2 a + c = 0 ⇒ c = − 2 ⇒ y P = x 2 + x − 2 y = y 0 + y P ⇒ y = C 1 cos x + C 2 sin x + x 2 + x − 2 - soluţia generală a ecuaţiei neomogene. (2) y '' + y ' = 2 x − 2 ; y '' + y ' = 0 ⇒ r 2 + r = 0 ⇒ r ( r + 1 ) = 0 ⇒ r1 = 0 ; r2 = − 1 ⇒ y 0 = C 1 + C 2 e − x ; y P = x ( ax + b ) = ax 2 + bx ⇒ y P' = 2 ax + b ; y P'' = 2 a ⇒ 2 a + 2 ax + b = 2 x − 2 ⇒

2 a = 2 ; 2 a + b = − 2 ⇒ a = 1; b = − 4 ⇒ y P = x ( x − 4 ) ⇒ y = C 1 + C 2 e − x + x ( x − 4 ) 2) Dacă f ( x ) = e α x Pm ( x ) ; Pm - polinom de grad „m” a) r = α nu este rădăcină pentru k ( r ) = 0 ⇒ y P = e α x Q m ( x ) , Q m - polinom de grad m b) r = α este rădăcină multiplă de ordin „s” a ecuaţiei caracteristice ⇒ y P = x s e α x Q m ( x )

-

EXEMPLE (1) y '' − y = ( 3 x + 1 ) e 2 x ; y '' − y = 0 ⇒ r 2 − r = 0 ⇒ r = ± 1 ⇒ y 0 = C 1 e x + C 2 e − x y P = ( a x + b ) e 2 x ⇒ y P' = a e 2 x + 2 ( a x + b ) e 2 x = ( 2 a x + 2 b + a ) e 2 x ⇒ y P'' = 2 a e 2 x + 2 ( 2 a x + 2 b + a ) e 2 x = ( 4 a x + 4 b + 4 a ) e 2 x ⇒

(4 ax + 4b + 4 a ) e 2 x − (ax + b ) e 2 x

= (3 x + 1 ) e 2 x ⇒ 3 a x + 3b + 4 a = 3 x + 1 ⇒

3 a = 3 ; 3b + 4 a = 1 ⇒ a = 1 ; b = − 1 ⇒ y P = ( x − 1 ) e 2 x ⇒ y = C 1e x + C 2 e − x + ( x − 1 ) e 2 x

(2) y '' − y = 4 xe x ; y '' − y = 0 ⇒ r 2 − r = 0 ⇒ r = ± 1 ⇒ y 0 = C 1 e x + C 2 e − x

y P = x ( a x + b ) e x = ( a x 2 + b x ) e x ⇒ y P' = ( 2 a x + b ) e x + ( a x 2 + b x ) e x = ( a x 2 + 2 a x + b x + b ) e x y P'' = ( 2 a x + 2 a + b ) e x + ( a x 2 + 2 a x + b x + b ) e x = ( a x 2 + 4 a x + b x + 2 a + 2 b ) e x ⇒

(ax

2

+ 4 a x + b x + 2 a + 2 b ) e x − ( a x 2 + b x ) e x = 4 xe x ⇒ 4 a x + 2 a + 2 b = 4 x ⇒

4 a = 4 ; 2 a + 2 b = 0 ⇒ a = 1 ; b = − 1 ⇒ y P = x ( x − 1 ) e x ⇒ y = C 1e x + C 2 e − x + x ( x − 1 ) e x

3) Dacă f

(x) =

Pm ( x ) e α x co s β x sau f

(x) =

Pm ( x ) e α x sin β x

a) r = α ± i β nu este rădăcină pentru k ( r ) = 0 ⇒ y P = e α x  R m ( x ) co s β x + S m ( x ) sin β x  ; R m , S m - polinoame de grad m

b) r = α ± i β este rădăcină multiplă de ordin „s” pentru k ( r ) = 0 ⇒ y P = x s e α x  R m ( x ) co s β x + S m ( x ) sin β x 

EXEMPLE (1) y '' − 7 y ' + 6 y = s in x ; y '' − 7 y ' + 6 y = 0 ⇒ r 2 − 7 r + 6 = 0 ; ∆ = 4 9 − 2 4 = 2 5 ; r1, 2 =

7±5 ⇒ 2

r1 = 1 ; r2 = 6 ⇒ y 0 = C 1 e x + C 2 e 6 x ; y P = a s in x + b c o s x ⇒ y P' = a c o s x − b s in x ⇒ y P'' = − a s in x − b c o s x ⇒

− a s in x − b c o s x − 7 a c o s x + 7 b s in x + 6 a s in x + 6 b c o s x = s in x ⇒ 5 a + 7 b = 1 ; − 7 a + 5 b = 0 ⇒ a =

5 7 5 7 5 7 s in x + cos x ;b = ⇒ yP = s in x + c o s x ⇒ y = C 1e x + C 2 e 6 x + 74 74 74 74 74 74

(2) y '' + y = 2 x s in x ; y '' + y = 0 ⇒ r 2 + 1 = 0 ⇒ r = ± i ; α = 0 ; β = 1 ⇒ y 0 = C 1 c o s x + C 2 s in x y P = x ( a x + b ) s in x + x ( c x + d ) c o s x ⇒ y P = ( a x 2 + b x ) s in x + ( c x 2 + d x ) c o s x ⇒ y P' = ( 2 a x + b ) s in x + ( a x 2 + b x ) c o s x + ( 2 c x + d ) c o s x − ( c x 2 + d x ) s in x =

= ( 2 a x + b − c x 2 − d x ) s in x + ( 2 c x + d + a x 2 + b x ) c o s x ⇒ y P'' = ( 2 a − 2 c x − d ) s in x + ( 2 a x + b − c x 2 − d x ) c o s x + ( 2 c + 2 a x + b ) c o s x −

− ( 2 c x + d + a x 2 + b x ) s in x = ( 2 a − 4 c x − 2 d − a x 2 − b x ) s in x + ( 4 a x + 2 b + 2 c − c x 2 − d x ) c o s x ⇒

(2 a − 4cx − 2 d − ax

2

− b x ) s in x + ( 4 a x + 2 b + 2 c − c x 2 − d x ) c o s x + ( a x 2 + b x ) s in x + ( c x 2 + d x ) c o s x =

= 2 x co s x ⇒ − 4 cx + 2 a − 2 d = 2 x ; 4 a x + 2b + 2c = 0 ⇒ − 4 c = 2 ; 2 a − 2 d = 0 ; 4 a = 0 ; 2b + 2 c = 0 1 1 1 1 ⇒ a = 0 ;d = 0 ;c = − ;b = ⇒ y P = x s in x − x 2 c o s x ⇒ 2 2 2 2 1 1 y = C 1 c o s x + C 2 s in x + x s in x − x 2 c o s x 2 2

În cazul în care nu se poate găsi o soluţie particulară a ecuaţiei omogene, se aplică metoda variaţiei constantelor (LAGRANGE). EXEMPLU

y '' + y =

1 ; y '' + y = 0 ⇒ r 2 + 1 = 0 ⇒ r = ± i ; α = 0 ; β = 1 ⇒ y0 = C1 cos x + C 2 sin x . cos x

Căutăm pentru ecuaţia neomogenă soluţii de forma: y = C1 ( x ) cos x + C 2 ( x ) sin x ⇒ y ' = C1' cos x − C1 sin x + C 2' sin x + C 2 cos x . Pentru a nu creşte ordinul derivatelor funcţiilor C1 , C 2 , punem condiţia: C1' cos x + C 2' sin x = 0 ⇒ y ' = −C1 sin x + C 2 cos x ⇒ y '' = −C1' sin x − C1 cos x + C 2' cos x − C 2 sin x ⇒ −C1' sin x − C1 cos x + C 2' cos x − C 2 sin x + C1 cos x + C 2 sin x =

1 1 ⇒ − C1' sin x + C 2' cos x = cos x cos x

C1' cos x + C 2' sin x = 0 sin x  ' 2 2 Obţinem deci sistemul:  ' ⇒ C sin x + cos x) = 1 ⇒ ( 1 2 ' cos x  − C1 sin x + C 2 cos x = cos x  C 2' = 1 ; C1' = −

sin x sin x ⇒ C1 = ∫ − dx + k1 = ln ( cos x ) + k1 ; C 2 = x + k 2 ⇒ cos x cos x

y =  ln ( cos x ) + k1  cos x + ( x + k 2 ) sin x ⇒ y = k1 cos x + k 2 sin x + cos x ln ( cos x ) + x sin x

Să se afle extremele următoarelor funcţii: 1) f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 xy ; 2) f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − xy + x − 2 z ; 3) f ( x , y ) = x 4 + y 4 − 4 xy ;

y2 z2 2 4) f ( x , y , z ) = x + + + ; x, y, z ≠ 0 ; 4x y z

 π  5) f ( x , y ) = sin x sin y sin ( x + y ); x , y ∈  0 ,  ;  2  6) f ( x , y , z ) = sin x + sin y + sin z − sin ( x + y + z ); x , y , z ∈ (0 , π ) ; 7) f ( x , y ) = x + 2 y ; x 2 + y 2 = 5 ; 8) f ( x , y , z ) = x − 2 y + 2 z ; x 2 + y 2 + z 2 = 9 ; 9) f ( x , y ) = x 2 + xy + y 2 − 2 x − y ; 10) f ( x , y , z ) =

1 x z + + ; x, y, z > 0 ; x y 16

11) f ( x , y ) = x 3 y 2 (6 − x − y ); x , y ≠ 0 ; 12) f ( x , y , z ) = xy 2 z 3 (7 − x − 2 y − 3 z ) ; 13) f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 2 x + 1 ; x 2 − y 2 = 1 ; 14) f

(x, y ) =

15) f

(x, y, z ) =

x 3 + y 3 + 3 xy ;

x2 + y2 + z2 + 2x + 4 y − 6z .

1) Să se calculeze următoarele integrale improprii: + ∞

a) I =

1

∫

x

1

2

x

− 1

2

b) I =

∫ 1 + ∞

c) I =

∫

2

d x ;

1 2

3 x

x

d x ;

− 2 x − 1

1 1 s in d x ; 2 x x

π b

d) I =

1

∫

(x

a

− a

) (b

(a

d x ;

)

− x

< b

);

+ ∞

e) I =

∫

− x

e

s in x d x .

0

şi β

2) Folosind integralele Γ + ∞

a) I =

∫ 0

1 x

3

+ 1

+ ∞

b) I =

∫ 0

x

(x

+ ∞

c) I =

∫ 0

x x

+ ∞

d) I =

4

∫

3

0

4

∫

e

d x ;

2

+ 1

)

2

d x ;

1 x (1 + x − x

d x ;

2

+ 1

+ ∞

e) I =

4

)

d x ;

+ ∞

d x ⋅

∫

0

x

2

e

− x

4

d x .

0

şi β

3) Folosind integralele Γ 2

a) I =

∫

− 1

1

b) I =

∫ 0 + ∞

c) I =

∫ 0

ale lui EULER, să se calculeze:

1 6

(x

+ 1

5

− x 1

1 1 − x 1 1 + x

) (2

4

4

d x ⋅

∫ 0

d x .

) x

ale lui EULER, să se calculeze:

d x ; 2

1 − x

4

d x ;

1) Să se calculeze următoarele integrale curbilinii de tipul I: a) I =

∫γ x y d l ; ( γ ) = [ A B ] ; A (1, 2 ) ; B ( 2 , 4 ) ;

b) I =

∫γ x y d l ; ( γ )

c) I =

∫γ ( x

d) I =

∫γ z ( x

e) I =

∫γ x y z d l ; ( γ )

y = x 2 ; x ∈ [ − 1, 1 ] ;

+ y 2 ) ln z d l ; ( γ

2

2

+ y 2 ) d l ; (γ

)

x = e t c o s t ; y = e t s in t ; z = e t ; t ∈ [ 0 , 1 ] ;

)

x = t c o s t ; y = t s in t ; z = t ; t ∈ [ 0 , 1 ] ;

x = a c o s t ; y = a s in t ; z = b t ; t ∈ [ 0 , 2 π

].

2) Să se calculeze următoarele integrale curbilinii de tipul II: a) I =

1 − x 2 d x + x d y ; (γ

∫

)

y2 = 1; x ≥ 0 ; 4

x2 +

γ+

b) I =

∫ γ

(x + y )dx − (x − y )dy 2

x + y

+

c) I =

2

; (γ

)

x2 + y2 = u2 ;

a 2 − x 2 d x + x z d y + ( x 2 + y 2 ) d z ; (γ

∫ γ

z

∫

ydx − xdy + (x + y + z

+

d) I =

γ+

2

2

2

) d z ; (γ )

)

 π  x = a c o s t ; y = a s in t ; z = b t ; t ∈  0 ,  ; 2  

 x = − t c o s t + s in t   y = t s in t + c o s t ; t ∈ [ 0 , 1 ] . z = t +1 

1) Să se calculeze următoarele integrale duble: a) I =

∫∫

2

x ydxdy ; D : x

2

+ y

2

≤ 1 ; y ≥ 0 ; b) I =

D

c) I =

∫∫

D

ln

(x x

D

d) I =

∫∫

2

2

∫∫ ( x

+ y

) dxdy ; D

2

+ y 2

− 1) +

(y

2

:1 ≤ x 2 + y

− 1) dxdy ; D : π 2

2

2

 y = x2 ; xydxdy ; D :   y = 2x + 3

≤ e2 ; ≤

(x

− 1) + 2

(y

− 1) ≤ 4π 2

2

; y ≥ 1 ;

D

e) I =

∫∫ (a

2

− x2 − y

2

)d xd y ; D

: x2 + y

2

≤ a

2

∫∫

; y ≤ 0 ; f) I =

D

g) I =

∫∫ D

h) I =

∫∫

x 2 ydxdy ; D : x 2 + y

D

1 6x + y + 9 x y (1 − y

2

)

dxdy ; D : y = x 2 ; y = 2 x + 1 ; −

1 2

dxdy ; D : x 2 + y

2

≤ 1; x, y ≥ 0 ;

D

i) I =

∫∫

xydxdy

y = x ;D  y = x

xydxdy

4 y  x = 3  ; D  x 2 + y 2 = 25 . y ≥ 0  

D

j) I =

∫∫ D

2

;

2) Să se calculeze: a) A r i a D = ? unde D : y = x 2 ; y = x . b) M a s a D = ? unde D : x + y ≤ 3 ; x y ≥ 2 ; ρ

(x, y ) =

xy .

c) Centrul de greutate al plăcii plane omogene: D : x

2 3

+ y

2 3

≤ a

2 3

;a > 0 ; x, y ≥ 0 .

d) Momentele de inerţie ale plăcii plane omogene: D : y = x 2 ; x = y

2

.

2

≤ 1; y ≥ 0 ;

1) Să se calculeze următoarele integrale triple: a) I =

∫∫∫ Ω

c) I =

∫∫∫

 z = x2 + y2 ; b) I = zd xd yd z ; Ω :   z = h

(x 2 + y 2 + z 2

∫∫∫ ( x

 x2 + y2 z = ; + y )d xd yd z ; Ω :  2 z = 2 

2

2

Ω

) d x d y d z ; Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ; d) I =

Ω

e) I =

∫∫∫

zd xd ydz ; Ω :

Ω

∫∫∫

x 2 + y 2 dxdydz ; Ω : x 2 + y 2 ≤ a

2

x2 y2 z2 + + ≤ 1; a2 b2 c2

; x + y + z ≤ 2a ;2a ≥ 0 ;

Ω

f) I =

∫∫∫ Ω

g) I =

 x2 y2 z2  x2 y2 z2 + + d x d y d z ; Ω : + + ≤ 1;  2  b2 c2  a2 b2 c2  a

∫∫∫ ( x

2

+ y2 + z2

)dxdydz ; Ω

: x2 + y2 ≤ z2 ;x2 + y2 + z2 ≤ a

2

;z ≥ 0 ;

Ω

h) I =

1 dxdydz 3 x + y + z)

∫∫∫ (1 + Ω

i) I =

∫∫∫ (x

2

+ y

2

)zdxdydz

Ω

x + y + z = 1 ; ;Ω :  x, y, z ≥ 0

z = x2 + y2  ;Ω : x 2 + y 2 + z 2 = 6 . z ≥ 0 

2) Să se calculeze: a) V o l ( Ω

); Ω

b) M a s a ( Ω

:

x2 y2 + = 4 − z;z = 0 ; a2 b2

); Ω

: x2 + y2 + z2 ≤ 1; ρ

(x,

y, z

)=

z ; x, y, z ≥ 0 ;

c) Coordonatele centrului de greutate al corpului omogen Ω : d)

Momentul

Ω : x2 + y2 + z2 ≤ a

de 2

inerţie

; x, y, z ≥ 0 .

în

raport

cu

x2 y2 z2 + = ;0 ≤ z ≤ c ; a2 b2 c2

originea

a

corpului

omogen

Să se rezolve următoarele ecuaţii diferenţiale de ordinul I: 1)

(x

2

+ y

3) (1 + y

(x

)dx

) d x + (1 +

2

(y

12) y = x 13)

+ 2x

+ 2 x y d y = 0 ; 2) x2

)dy

(x

+ s in y

)dx

+

ex ; 5) ex +1

= 0 ; 4) 2 y y ' =

(x

c o s y + s in y

(2 x

2

+ xy

)y

'

)d y

= 0 ;

= xy + y

2

;

2 y y π ; y (1 ) = + s in ; 7) y ' + 4 x y = x e − x ; 8) x y ' + y = x + 1 ; 9) x y ' + y + x 2 y x x 2

6) y ' = 10) x 2

2

2

'

2

+ y

(y ) '

− y

2

2

) = 2 (xy

(y ) '

+

)d x

3

− 1 ); y 0 =

;

14) y d x + x d y = 0 ; ( x , y > 0

15) y ' =

x2 + 2 y xy

−

19) y + 2 x y ' + 20) y = x y ' +

(x, y ) =

x2 − y

1 1 dx + dy = 0 ⇒ x y

∫

2

;Q

1 dx + x

(x, y ) =

∫

2

1 d = ln C ⇒ y

xy = C ;

ln C ⇒

)⇒

( x ∈ (0 , π )) :

y' −

1 y = −1 ⇒ P x

y3 ⇒ y

−3

y' + y

−2

(x ) =

−

1 ;Q x

(x ) =

+ 1 ) y + x 2 + 2 x + 1 ; y 0 = x - soluţie particulară;

(y )

2

'

(y )

2

= 0; y' = p ; p = p

; y' = p ; p = p

(x ) ⇒

(x ) ⇒

−1;

c tg x = 1 ;

(2 x

'

−2 xy ;

2  2 y2   y  x2 1 + 1+ 2   x2  x    ' ' ; ; (x, y > 0 ) ⇒ y = ⇒ y = y y x2 ⋅ x x

17) y ' + y c t g x = y 3 2

)⇒

(xy ) =

16) x y ' − y + x = 0 ; ( x , y > 0

18) x y ' = y

= 0 ;

1 1 - soluţie particulară; 11) y = x y ' + ; x y

− 2 x y d y = 0 ; y (1 ) = 1 ; P

ln x + ln y = ln C ⇒ ln

2

y + 2 xp + p

y = xp + p

2

2

= 0 ;

⇒ y ' = p + xp ' + 2 pp ' ⇒

p

'

(x

+ 2 p

)=

0 .

Să se rezolve următoarele ecuaţii diferenţiale: 1) y'' − 3y' + 2y = 2x2 − 4x −1; 2) y'' − 4y' + 5y = x2 + 2x ; 3) y'' − 4y' + 4y = x2 ; 4) y'' + y' − 6 y = 2cos2x −10sin2x ; 5) y'' − 3y' + 2y = e5x ; 6) y'' − 2 y' + y = 2( x +1) ex ; 7) y'' − 4 y = e2x (11cos x − 7sin x) ; 8) y'' − y = 2x sin x ; 9) y'' + y =

1 ; sin x

1 10) y'' − 2 y' + y = ex ; 11) y''' + 3y '' − y' − 3y = 0 ; 12) y '' + 2 y ' + 2y = 0 ; x

13) y''' + 3y'' + 3y ' + y = 0 ; 14) y(4) + 2 y'' + y = 0 ; 15) y(5) − y(4) − y' + y = 0 ; 16) y '' + y = x2 + x ; y '' + y = 0 ; 17) y '' + y ' = 2x − 2; y '' + y' = 0 .