Caso Practico IP2906 [PDF]

Zitiervorschau

EJERCICIO PRACTICO SERGIO ENRIQUE MONTOYA HENAO FUNDACIÓN UNIVERSITARIA IBEROAMERICANA MAESTRIA EN INFRAESTRUCTURA E INGENIERIA CIVIL IP2906 – ELEMENTOS FINITOS DRA(C) ZAYRA QUEB LÓPEZ 28 -04-2021

2

CALCULO MATRICIAL DE UN PORTICO BIDIMENSIONAL

Con el objeto de aplicar de manera práctica los conocimientos adquiridos sobre cálculo matricial de estructuras, en el ámbito de la ingeniería estructural (método de la rigidez expuesto en el Tema 2), le proponemos que determine los desplazamientos y giros en los puntos A y B del pórtico bidimensional representado en la siguiente figura, sometido a la acción de la fuerza F.

Para ello considere las siguientes propiedades mecánicas de los perfiles estructurales:



Sección Transversal: 900 cm²



Momento de Inercia plano: 8. 105 cm4



Módulo de Young del material: 2.0 105 kg/cm²



Carga externa sobre el punto A: F=Fx=10000 kg

3

Instrucciones para el desarrollo de la actividad 1. Descomponga la celosía en perfiles individuales. Cada perfil corresponderá con un elemento finito tipo viga unidimensional, definido por dos nodos. 2. Numere cada elemento, así como los nodos que delimitan dichos elementos. Identifique los grados de libertad (y nombre) en cada nodo, de acuerdo con el sistema de coordenadas local en cada elemento, orientado de acuerdo al propio elemento. 3. Determine las matrices de cambio de coordenadas de cada elemento, dado que el sistema de coordenadas local de alguna de las vigas esta girada con respecto al sistema de coordenadas global, el cual es paralelo al sistema de referencia x-y representado en el enunciado. 4. Plantee la matriz de rigidez de cada viga en coordenadas locales, y después en el sistema de coordenadas global, afectándola por la matriz de transformación de coordenadas. 5. Determine cuales son las condiciones de contorno, expresadas en el sistema de coordenadas global. 6. Plantee el equilibrio estático en aquellos nodos en los que no se han aplicado condiciones de contorno, considerando en cada nodo tanto las fuerzas y momentos externos como internos. El vector de fuerzas y momentos será igual al vector de fuerzas y momentos internos, considerando para las fuerzas y momentos internos, que el nodo pertenece a dos elementos y por tanto dichos esfuerzos internos provendrán de sendos elementos. 7. En el sistema de ecuaciones obtenido, sustituya los esfuerzos internos (desconocidos) por los desplazamientos nodales (desconocidos), de acuerdo con las relaciones que establecen las matrices de rigidez expresadas en el sistema de coordenadas global. 8. El sistema de ecuaciones queda únicamente en función de los desplazamientos nodales, de los nodos en los que no se aplicaron condiciones de contorno. Resuelva numéricamente dicho sistema de ecuaciones lineales, por el método de Gauss-Jordan, por ejemplo: http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/

4

9. Refleje de forma sencilla en un documento los pasos anteriores, y la resolución del problema en el grado que haya conseguido llegar.

Desarrollo de la actividad. 1. Descomposición de Celosía:

A

B 3

2

A

B

2

3

1

a

4

b

c

2. Sistema de coordenadas locales, X en dirección del elemento, Y perpendicular a X

5

Elementos Finitos:

a

b

c

Nodos: 1, 2, 3, 4 Grados de libertad: 12 2 3

5 1

i

6

j

4

F

Para determinar los nodos i y J en cada elemento, se tomará la numeración de acuerdo con las siguientes convenciones: 

En los elementos verticales, el nodo i sería el nodo inferior y el nodo j será el nodo superior.



Para los elementos horizontales, el nodo i será el nodo izquierdo y el nodo j será el nodo derecho.

De acuerdo con lo anterior se tendrá: ELEMENTOS a b c

NODOS

COORDENADAS NODALES

i

j

Xi

Yi

Xj

Yj

1 2 4

2 3 3

0 0 300

0 200 0

0 300 300

200 200 200

L (cm) 200 300 200

A (cm²) I (cm4) 900 900 900

800000 800000 800000

E (kg/cm²) 200000 200000 200000

6

3. Dado que es un pórtico bidimensional la matriz de transformación (UNINI, 2020)

{𝑋} = [𝑇] ∗ {𝑥} Donde: 

{𝑥} es el vector en coordenadas locales



{𝑋} es el vector en coordenadas globales



[𝑇 ] es la matriz de transformación

𝑋 cos 𝛼 −sin 𝛼 0 𝑥 𝑌 { } = [ sin 𝛼 cos 𝛼 0] {𝑦} 𝑍 0 1 𝑧 0 Siendo α el ángulo que forma el eje global X con el eje local x en el sentido antihorario. Para los elementos verticales de la celosía, el ángulo α es igual a 90° por tanto, la matriz de transformación de los elementos a y c será:

7 La matriz de transformación de cada elemento. Se considera que la dirección x, esta dirigida desde el nodo inferior hasta el nodo superior, en el elemento horizontal la dirección x, esta dirigida desde el nodo izquierdo hacia el nodo derecho. Matriz de transformación [𝑇] Cos α -Sen α 0 0 0 0 Cos α Sen α 0 0 0 0 Sen α Cos α 0 0 0 0 -Sen α Cos α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 𝑇 = 𝑇 = 0 0 0 Cos α -Sen α 0 0 0 0 Cos α Sen α 0 0 0 0 Sen α Cos α 0 0 0 0 -Sen α Cos α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Elemento a 2

a

α =90°

1

Elemento c 3

c

Cos 90° -Sen 90° Sen 90° Cos 90° 0 0 𝑇 = 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

α =90° 𝑇 =

-1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Cos 90° -Sen 90° Sen 90° Cos 90° 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 0 1

𝑇

Cos 90° Sen 90° -Sen 90° Cos 90° 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Cos 90° Sen 90° -Sen 90° Cos 90° 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

Sen α Cos α 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Cos α Sen α -Sen α Cos α 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Cos 0° Sen 0° -Sen 0° Cos 0° 0 0

0 0 0 0 0 1

𝑇

=

𝑇

Cos α -Sen α 0 = 0 0 0

𝑇

Cos 0° Sen 0° -Sen 0° Cos 0° 0 0 = 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

4

𝑇 =

Cos α -Sen α Sen α Cos α 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Cos α -Sen α Sen α Cos α 0 0

0 0 0 0 0 1

𝑇 =

Cos 0° -Sen 0° Sen 0° Cos 0° 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Cos 0° -Sen 0° Sen 0° Cos 0° 0 0

0 0 0 0 0 1

Elemento b

b

2

3

α =0°

𝑇 =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

𝑇

1 0 0 0 0 0

=

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

4. A continuación, se presenta para cada elemento la matriz de rigidez local y su transformación a coordenadas globales. A (cm²) I (cm4) E (kg/cm²) Xi

ELEMENTOS

i

j

a

1

2

900

800000 200000

b

2

3

900

c

4

3

900

1

Yi

Xj

Yj

L (cm)

Cos α

Sen α

0

0

0

200

200

0

1

240000 2.4E+07 3.2E+09 1.6E+09 900000

800000 200000

0

200

300

200

300

1

0

71111 1.1E+07 2.1E+09 1.1E+09 600000

800000 200000

300

0

300

200

200

0

1

240000 2.4E+07 3.2E+09 1.6E+09 900000

8 Elemento a 2

S´x1

0

S´y1

a

1

0

S´θ1

x

0

0

−

0

0

−

0

−

0

1

μ´1 θ´1

=

y Y 1

X

μ´1

*

S´x2

−

S´y2

0

S´θ2

0

0 −

1

0

0

−

0 0

= 𝑇

Como este elemento es vertical el angulo α= 90°

1

0

μ´2

−

μ´2

−

θ´2

𝑇

T

𝑇

𝑇

0

-1

0

0

0

0

900000

1

0

0

0

0

0

0

240000 2.4E+07

0

-240000 2.4E+07

0

0

1

0

0

0

0

2.4E+07 3.2E+09

0

-2.4E+07 1.6E+09

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

1

0

0

0

-240000 -2.4E+07

0

0

0

0

0

0

1

0

2.4E+07 1.6E+09

0

S´x1

240000

0

S´y1

0

900000

S´θ1

-2.4E+07

0

-240000

0

S´y2

0

-900000

S´θ2

-2.4E+07

0

S´x2

Elemento b y x

X

-900000

=

S´x2

Y 2

*

0

0

S´y2

b

0

-900000

0

900000

-2.4E+07 -240000

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

240000 -2.4E+07

0

0

0

-1

0

0

-2.4E+07 3.2E+09

0

0

0

0

0

1

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0

0

0

*

0

0

-2.4E+07

μ´1

-900000

0

μ´1

3.2E+09 2.4E+07

0

1.6E+09

2.4E+07 240000

0

2.4E+07

900000

0

μ´2

0

3.2E+09

θ´2

−

0

0

μ´2

0

−

0

−

0

0

0

0

1.6E+09 2.4E+07

0

1

0

S´θ2

0

0

*

1

θ´1 μ´2

μ´2 θ´2

=

*

S´x3

−

0

S´y3

0

−

S´θ3

0

1

0

0

−

0 0

= 𝑇

1

0

μ´3

−

μ´3

−

𝑇

θ´3

T

𝑇 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

𝑇 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

=

S´x2

600000 0

S´y2 S´θ2 S´x3 S´y3 S´θ3

600000 0 0 -600000 0 0

=

0 71111.1 1.1E+07 0 -71111.1 1.1E+07

0 -600000 0 0 1.1E+07 0 -71111.1 1.1E+07 2.1E+09 0 -1.1E+07 1.1E+09 0 600000 0 0 -1.1E+07 0 71111.1 -1.1E+07 1.1E+09 0 -1.1E+07 2.1E+09

*

0 0 -600000 0 0 71111 1.1E+07 0 -71111.1 1.1E+07

0 1.1E+07 2.1E+09 0 -1.1E+07 1.1E+09 -600000 0 0 600000 0 0

1 0 0 0 0 0 μ´2 μ´2

*

θ´2

0

-71111.1 -1.1E+07

0

71111.1 -1.1E+07

μ´3 μ´3

0

1.1E+07 1.1E+09

0

-1.1E+07 2.1E+09

θ´3

9 Elemento c 3

S´x4 S´y4

c

−

0

0

−

0

1

0

S´θ4

x

0

0

0

μ´4 θ´4

−

X

* −

S´x3

Y

μ´4

1

=

y 4

0

S´y3

0

S´θ3

0

0 −

1

0

0

−

0 0

= 𝑇

Como este elemento tambien es vertical entonces es igual al Elemento a

1

0

μ´3

−

μ´3

−

𝑇

θ´3

T

𝑇

𝑇

0

-1

0

0

0

0

900000

1

0

0

0

0

0

0

240000 2.4E+07

0

-240000 2.4E+07

0

0

1

0

0

0

0

2.4E+07 3.2E+09

0

-2.4E+07 1.6E+09

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

1

0

0

0

-240000 -2.4E+07

0

0

0

0

0

0

1

0

2.4E+07 1.6E+09

0

S´x4

240000

0

S´y4

0

900000

S´θ4

-2.4E+07

0

-240000

0

S´y3

0

-900000

S´θ3

-2.4E+07

0

S´x3

*

-900000

=

0

0

0

0

-900000

900000

-2.4E+07 -240000

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

240000 -2.4E+07

0

0

0

-1

0

0

-2.4E+07 3.2E+09

0

0

0

0

0

1

0

0

0

*

0

0

-2.4E+07

μ´4

-900000

0

μ´4

3.2E+09 2.4E+07

0

1.6E+09

2.4E+07 240000

0

2.4E+07

900000

0

μ´3

0

3.2E+09

θ´3

0

0

0

0

1.6E+09 2.4E+07

θ´4

*

μ´3

5. Dado que tenemos 4 nodos y en cada nodo hay 3 grados de libertad entonces tendremos un vector de esfuerzos de 12 componentes y un vector de desplazamientos también de 12 componentes.

2

3

5 1

2

b

a

6

3

c

Y

1

4 X

A nivel de estructura global, el planteamiento matricial será:

4

10

{𝐹 } = [ ] ∗ {𝜇} [3𝑛 ∗ 3𝑛] Vector de Desplazamientos

Vector de Esfuerzos

μx1 = 0

Fx1 = Rx1

μy1 = 0

Fy1 = Ry1

θ1 = 0

M1 = MG1

μx2

Fx2 = Rx2

μy2

μ

=

Fy2 = Ry2

θ2

F

M2 = MG2

=

μx3

Fx3 = Rx3

μy3

Fy3 = Ry3

θ3

M3 = MG3

μx4 = 0

Fx4 = Rx4

μy4 = 0

Fy4 = Ry4

θ4 = 0

M4 = MG4

Fx1

μ´1

K11a

Fy1

K12a

0

0

μ´1

M1

θ´1

Fx2

μ´2

K21a

Fy2 M2 Fx3

K22a + K11b

K12b

0

=

*

0

Fy3

μ´2

K21b

K22b + K22c

K12c

θ´2 μ´3 μ´3

M3

θ´3

Fx4

μ´4

0

Fy4

0

K21c

K11c

μ´4

M4

θ´4

6. Sabemos

que:

Las

condiciones

de

contorno

impuestas

en

los

empotramientos en los nodos 1 y 4, hacen que los desplazamientos y giros se igualen a cero.

Mientras en los nodos 2 y 3 si tendrá desplazamientos y giros para cada uno, por tanto, vamos a tener una matriz reducida de rigidez 6x6, un vector de esfuerzos reducida de 6 componentes y un vector de desplazamientos reducida de 6 componentes.

11

Haciendo Equilibrio de fuerzas en el nodo 1, se obtiene:

Sx1=K11*μ´1 +K12*μ´2 Sx2=K21*μ´1 +K22*μ´2 haciendo equilibrio de fuerzas en el nudo 1:

F1=Sx1=0 Reemplazando

F1=K11*μ´1+K12*μ´2 Haciendo Equilibrio de fuerzas en el nodo 2, se obtiene:

Sx2=K11*μ´2 +K12*μ´3 Sx3=K21*μ´2 +K22*μ´3 haciendo equilibrio de fuerzas en el nudo 2:

F3=Sx2+Sx3+Sx4=0 Reemplazando

F2=K21*μ´1+K22*μ´2+K11*μ´2+K12*μ´3

12

Haciendo Equilibrio de fuerzas en el nodo 3, se obtiene:

Sx4=K11*μ´4 +K12*μ´3 Sx3=K21*μ´4 +K22*μ´3 haciendo equilibrio de fuerzas en el nudo 3:

F3=Sx2+Sx3+Sx4=0 Reemplazando

F3=K21*μ´2+K22*μ´3+K12*μ´3+K11*μ´4 Haciendo Equilibrio de fuerzas en el nodo 4, se obtiene: haciendo equilibrio de fuerzas:

F4=Sx4=0 Reemplazando

F4=K21*μ´3+K11*μ´4 Por tanto, el sistema matricial sería Haciendo Equilibrio en cada uno de los nodos se tendría K11a F1=K11 a + K12 a K21a Nodo 2 F2=K21 a + K22 a + K11 b +K12 b Nodo 3 F3=K21 b + K22 b + K12 c + K22 c 0 Nodo 4 F4=K21 c + K11 c 0 Nodo 1

K12a 0 K22a + K11b K12b K21b K22b + K22c K21c 0

0 0 K12c K11c

Fx1

240000

0

-24000000

-240000

0

-24000000

0

0

0

0

0

0

μ´x1

Fy1 M1

0

900000

0

0

-900000

0

0

0

0

0

0

0

-24000000

0

3200000000

24000000

0

1600000000

0

0

0

0

0

0

μ´y1 θ´1

Fx2

-240000

0

24000000

840000

0

24000000

-600000

0

0

0

0

0

μ´x2

Fy2 M2

0

-900000

0

0

971111

10666667

0

-71111

10666667

0

0

0

-24000000

0

1600000000

24000000

10666667

5333333333

0

0

0

0

μ´y2 θ´2

0

0

0

-600000

0

0

840000

0

24000000

-240000

0

-24000000

Fy3

0

0

0

0

-71111.1111 -10666666.67

0

971111

-10666667

0

-900000

0

10666666.7 1066666667

24000000

Fx3

=

-10666667 1066666667

*

μ´x3 μ´y3 θ´3

M3

0

0

0

0

0

1600000000

Fx4 Fy4

0

0

0

0

0

0

-240000

0

24000000

240000

0

-24000000

0

0

0

0

0

0

0

-900000

0

0

900000

0

μ´x4 μ´y4

M4

0

0

0

0

0

0

-24000000

0

0

3200000000

θ´4

-10666667 5333333333 24000000

1600000000 -24000000

13

7. Como lo describimos en el punto 6, tenemos 12 grados de libertad, sin embargo, tenemos 6 restricciones o condiciones de contorno, por lo cual, la matriz resultante no será de (3n X 3n), sino de (3n-r X 3n-r) Donde n: corresponde al número de nodos (4) r: número de restricciones de contorno (6) Reemplazando: 3n-r = 3*4 - 6 = 6

{𝐹 ∗ } = [

∗]

∗ {𝜇∗ } [3𝑛 − 𝑟 ∗ 3𝑛 − 𝑟]

Para resolver el sistema tenemos que

{𝜇∗ } = [

∗ ]−1

∗ {𝐹 ∗ }

Para luego calcular los esfuerzos locales que son los que ocurren en la barra los cuales son el axil (normal), cortante y momento flector, lo que se haría es coger cada sub matriz en ejes locales lo multiplicamos por la transpuesta de cambio de base y por nuestro vector de desplazamiento en ejes globales así:

Por último, para calcular las reacciones en los apoyos lo que haremos será utilizar la matriz inicial donde el vector de fuerzas global será igual a la matriz de rigidez por el vector de desplazamiento global

{𝐹 } = [ ] ∗ {𝜇} [3𝑛 ∗ 3𝑛]

14 Matriz de Rigidez Global Rx1 Ry1 θ1

240000 0 -24000000

0 900000 0

-24000000 0 3200000000

-240000 0 24000000

0 -900000 0

-24000000 0 1600000000

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

10000

-240000

0

24000000

840000

0

24000000

-600000

0

0

0

0

0

0 0 0 μ2

0

0

-900000

0

0

971111

10666667

0

-71111

10666667

0

0

0

μ2

-24000000

0

1600000000

24000000

10666667

5333333333

0

-10666667 1066666667

0

0

0

0

0

0

-600000

0

0

840000

0

24000000

-240000

0

-24000000

0

0

0

0

0

-71111

-10666667

0

971111

-10666667

0

-900000

0

0 Rx4 Ry4 θ4

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

10666667 0 0 0

0

=

0

1066666667 24000000 -10666667 5333333333 24000000 0 -240000 0 24000000 240000 0 0 -900000 0 0 0 -24000000 0 1600000000 -24000000

M2

*

μ3 μ3 M3

0 1600000000 0 -24000000 900000 0 0 3200000000

0 0 0

8. Se procede con el sistema de ecuaciones Matriz de Rigidez global reducida 840000 0 24000000

FX2

μ2

-600000

0

0

FY2

0

971111

10666667

0

-71111

10666667

μ2

M2

24000000

10666667

5333333333

0

-10666667

1066666667

M2

FX3

-600000

0

0

840000

0

24000000

FY3

0

-71111

-10666667

0

971111

-10666667

μ3

M3

0

10666667

1066666667

24000000

-10666667

5333333333

M3

*

μ3

DX2

Matriz de Rigidez global Inversa Reducida 3.8697E-06 2.87219E-07 -1.6187E-08

3.10337E-06

-2.87219E-07

-1.18767E-08

10000

FX2

DY2

2.8722E-07 1.09409E-06 -2.87219E-09

2.87219E-07

1.70204E-08

-2.87219E-09

0

FY2

kg

ϴ2

-1.619E-08

2.69629E-10 -1.18767E-08

2.87219E-09

1.1008E-11

0

M2

kg-cm

3.86966E-06

-2.87219E-07

-1.6187E-08

0

FX3

kg

2.87219E-09 -2.87219E-07

1.09409E-06

2.87219E-09

0

FY3

kg

2.87219E-09

2.69629E-10

0

M3

kg-cm

DX3

=

-2.8722E-09

3.1034E-06 2.87219E-07 -1.18767E-08

DY3

-2.872E-07 1.70204E-08

ϴ3

-1.188E-08

-2.8722E-09

1.1008E-11

-1.6187E-08

*

Mediante el programa Excel se realiza la evaluación de las ecuaciones

DX2 DY2 ϴ2 DX3 DY3 ϴ3

=

Calculo de desplazamientos en el sistema global cm 0.03870 cm 0.00287 Rad -0.00016 cm 0.03103 cm -0.00287 Rad -0.00012

kg

15

Para calcular los esfuerzos al interior de cada elemento procedemos mediante la siguiente expresión. (Universidad Carlos III de Madrid, 2020) Calculo de esfuerzos Internos en cada Elemento

{S´1 } = [K´11 ][T]T {d1 } + [K´1 ][T]T {d } {S´ } = [K´ 1 ][T]T {d1 } + [K´ ][T]T {d }

Mediante el programa Excel se procede a calcular: Elemento a 2

a x y 1

-5402.3

2584.97

410733.84

a

-2584.97

669725.93

5402.3

DX1 DY1 ϴ1

900000 0 0

0 240000 24000000

0 24000000 3200000000

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

DX1 DY1 ϴ1

0.00000 0.00000 0.00000

-900000 0 0

0 0 -240000 24000000 -24000000 1600000000

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

DX2 DY2 ϴ2

0.03870 0.00287 -0.00016

-900000 0 0

0 -240000 24000000

0 -24000000 1600000000

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

DX1 DY1 ϴ1

0.00000 0.00000 0.00000

900000 0 0

0 0 240000 -24000000 -24000000 3200000000

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

DX2 DY2 ϴ2

0.03870 0.00287 -0.00016

0.00 0.00 0.00

DX2 DY2 ϴ2

-2584.97 5402.30 669725.93

DX1 DY1 ϴ1

0.00 0.00 0.00

DX2 DY2 ϴ2

2584.97 -5402.30 410733.84

=

-2584.97 5402.30 669725.93

=

2584.97 -5402.30 410733.84

16

Elemento b y

600000 0 0

0 71111 10666667

0 10666667 2133333333

1 0 0

0 1 0

0 0 1

DX2 DY2 ϴ2

0.03870 0.00287 -0.00016

-600000 0 0

0 0 -71111 10666667 -10666667 1066666667

1 0 0

0 1 0

0 0 1

DX3 DY3 ϴ3

0.03103 -0.00287 -0.00012

-600000 0 0

0 -71111 10666667

0 -10666667 1066666667

1 0 0

0 1 0

0 0 1

DX2 DY2 ϴ2

0.03870 0.00287 -0.00016

600000 0 0

0 0 71111 -10666667 -10666667 2133333333

1 0 0

0 1 0

0 0 1

DX3 DY3 ϴ3

0.03103 -0.00287 -0.00012

x 2

3

b

DX2 DY2 ϴ2

23217.95 -1522.37 -314686.12

2584.97 -410733.84

-364756.83

4597.7

-4597.7

-2584.97

DX3 DY3 ϴ3

-18620.25 -1062.60 -96047.72

DX2 DY2 ϴ2

-23217.95 1522.37 -142024.73

DX3 DY3 ϴ3

Elemento c 3

c x y 4

0 24000000 3200000000

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

DX4 DY4 ϴ4

0.00000 0.00000 0.00000

-900000 0 0

0 0 -240000 24000000 -24000000 1600000000

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

DX3 DY3 ϴ3

0.03103 -0.00287 -0.00012

-900000 0 0

0 -240000 24000000

0 -24000000 1600000000

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

DX4 DY4 ϴ4

0.00000 0.00000 0.00000

900000 0 0

0 0 240000 -24000000 -24000000 3200000000

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

DX3 DY3 ϴ3

0.03103 -0.00287 -0.00012

2584.97

4597.7

=

2584.97 4597.70 554783.40

=

-2584.97 -4597.70 364756.83

0.00 0.00 0.00

554783.40

-4597.70 2584.97 -364756.83

0 240000 24000000

2584.97 4597.70 554783.40

c

=

900000 0 0

-4597.7

364756.83

4597.70 -2584.97 -410733.84

18620.25 1062.60 -222732.10

0.00 0.00 0.00 -2584.97

=

-2584.97 -4597.70 364756.83

17

El vector de fuerzas sería: {𝑓} = [ ´] ∗ [𝑇] ∗ {𝐹}

Rx1

-2584.97

Ry1

5402.30

θ1

669725.93

FX2

10000.00

FY2

0.00

M2

=

0.00

FX3

0.00

FY3

0.00

M3 Rx4

0.00 2584.97

Ry4

4597.70

θ4

554783.40

18

Bibliografía UNINI. (2020). Elementos Finitos. Universidad Carlos III de Madrid. (2020). Teoría de Estructuras y construcciones Industriales. Madrid.