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Italian Pages 81 Year 1992
Università di Pisa Corso di Laurea in Fisica
E. Fabri
Appunti di Fisica Generale quarta parte
550 FAB{ iblioteca di Matematica
Informatiga Fisica
Anno Accademico 1991-92
Indice della quarta parte
31. Il moto kepleriano L'approssimazione clel centro di forza fisso Le costanti clel rnoto: energia e lnornento angolare
Il vettore
cli Lerrz
La traiettoria La legge oraria
.1 .2 .2 f) .i)
Determin azíone clella massa
Il contributo di I{eplero Il caso iperbolico e queilo ptrrabolico
.4 .5 .6 .6
32. Il problema dei due corpi
.1 .1 ,2 .3
Notazioni Le equazioni clel rnoto Il momerrto angolare L'energia
Il moto relativo Correzione alla lerza legge di I(eplero
.4 .5
Il centro di massa
.D
L'effetto isotopico
.l
,7
33. La dinarnica dei sistemi
.1 .1 .2
Notazioni La prirna equazione carciinale Il centro cii rnassa
Il Il
momento angolare e la seconcla eqnazione .or,lir,ol" teorema delle forze vive Forze conservative . Il riferimento dei cerrtro cii rnassa Decomposizione del rnomento angolare La decomposizione cleil'energia cinetica
.3 ,4 .D
.6 .7 .8
33a. Forme differenziali Uno sguardo indietro Differenziali e costanti del moto Conclusione provvisoria
.
.1 .2 .ùo I4-1
34. Sistemi continui, rnisure, integrali Dall'insieme cli punti al sistenra continuo Definizione cli misura L'integrale La densità di una misura Integrtr,li in R2: il teorema cli Fubini . Il teorema fondarnentale clell'integrazione Integrazione pel sostituzione Integrazione per sostituzione in piìr vzrriabili Integrazione per parti
.1 ,2 .3 .1 .5 .o .t
n
.8 q
35. Calcolo di baricentri e morr- enti dtinerzia
35a. La legge di gravitazione
Il rnoto della Lurrzr Il problerna della sorgente estesa
.1 .2
Dimostraziorre clel teorerna 1 Il campo interno: il secon rn sarà, piu o meno accettabile a seconda non soltanto clel sistema in esarne, ma zurche delle riclr.ieste cli accuratezza che si fanno alla teoria. Sappianro che per il sistema Sole-Terra il rapporto delle nasse è circa 3.105; ma cluesta irtforrnazione non basta per sapere se potremo trascurare il moto clel Sole: bisogna avere un'idea clell'approssimazione che si richiecie, ad es. per. il confronto con le osservazioni (che in questo caso sono molto pirì precise). E invece evidente che l'approssimazione sarà cattira nel caso Terra-Luna, il cui rapporto di rrasse è circa 80. Un altro esempio può essere i'atorno cl'idrogeno (clove I'interazione è elettrostatica): il rapporto delle masse cli protone ed elettrone è vicino a 1800, e quindi la nostra approssimazione può dare un primo orientamento, ma non è sufficiente rispetto alla precisione dei dati spettroscopici.
Stabilito cire I'approssimaziorre sia accettabile, avremo a che fare con un sistema retto dall'ecluaziorre del moto
-
GI,[
i
T'2
T
(31-1) 31-1
Si rroti che neila (31-1) è scorr.rparsa la nrassa del corpo in moto, il clr.e vuol clire clre il moto non dipende clalla grand.ezza della rnassa (a parita di condizioni iniziali, e nei limiti della nostra approssimazione). Cio deriva clal fatto che la legge cli gravitazione fa dipendere l'intensità deila fc:rza clalla stessa gtandezza m che compare nella seconda legge clella clirrarnica: spesso si esprirne la situazione parlando cli "identitàr, fra rnassa inerziale e rnassa graui,tazionale." Abbiamo gia discusso I'argonrento rrel Cap. 17a. Potrà riuscire utile, pel sernplificare cpralche formuia, usare la cosiddetta costante
di
Gauss:
k
- JGM.
Osserviamo solo, a scanso di ecluivoci, che non si tratta di una "costante universale," irr quanto clipende dalla massa del corpo che genera il carupo gravitazionale.
Le costanti del moto: energia e momento angolare Com'è ormai abituale, iniziarno cercando le costanti del moto del sistema. Senza rìeppure bisogno cli guarclare I'equaziorre (31-1), possizrrno già, dire, grazie
.rl fatto cire la forza è centrale. che debborro conservarsi
c-'nerqia
e momento
angolare.
Piìr esattamente, I'espressione ciell'encrgia
n
: i,nrl - ki2nt r
/,,
v
e
À'2\
r/
(31-2)
c1i .F,., Notiarno che nella (31-2) si è fatta una sceita per la costante tr.rbitraria neil'cnergia potcnzialc: abbianro preso V - 0 a distanza irrfinita. scconclo I'uso urúr'ersaie.
come si vede cercando la prirnitiva
Quanto al rrrornento angolare, la slra cspressione è la solita:
L-1'xP-ttt?'xu. La conservazione del morncnto angolare ci assicura clte il moto sarà. piano, per cui nello studio clella traiettoria, che farerno fra poco, potremo sempre limitarci a due dimensioni.
Il vettore di Lenz Nel moto kepleriano esiste un'altra costante clel moto, che non si presenta per rlna generica forza centrale: +
^r
31-2
7
-uXL-l;-nl
;')
La vcrifica si fa calcolancl o at per esercizio.
lat
e usanclo
la (3i-1) pel esprirnere É: ia lasciamo
tIn'osservazione va fatta subito: contando I'energia. le tre componenti del rnonrento trugolare, e poi ie tre clel vettore di Lenz, si arriva a 7 costanti del rnoro, conrro un nrassirno possibile di 5 per uu sistema con 3 gradi di libertà. Debbono cluuque esistele delle relazioni cire permettairo di esprimere due delle gr-andezze in funzione delle altre La prima relazione è inunecliata: clalla definizione di ú si vecle che esso è sempre ortogonale a L, per cui .
LrN,*LuNu+L,lV--0. In altri terruini, possiamo clire che fr giace seTnpre nel piano della traiettoria. La secouda reiazione si ttova calcoiauclo l,ú12'
l,!l'
:
l; x /12 +ka-2 -2J:Y
í.í
x i,.
I
Il primo tennine zr st:conclo rnernbro si ctrlcoia osserranclo che ú e í sono ortogonali. e 1>erciò il moclulo clcl proclotto vettore è il proclotto clei moduii; il terzo termine si trasfornrzr sfruttanclo I'identità
i.dx í-íxú.í-Lút'.Tn Risulta: ly2
:
u2L'21 À:arz2 -2k'2 L'2 'rm
-
karn2
+
2
EL2.
(31-3)
Dunclue una volta assegnati E ed,.d zrnche il rnoduio di .,ú è fissato: resta libera soltanto la sua dileziorte tr.el 1>iano clella traiettoria (fig. 31-2).
La traiettoria Conviene usare coorclinat,e polari (", zione cli Àf. Calcoliarno allora
r'.ù - r. ú x í -
','znt
Dato cire il primo mernbro si scrir.e Atr
L'l^
d),
sceglienclo I'asse polare neila tlire-
: 1
L')
117
-
k2rnr.
cos r,l, abbiarno
p
k2m*tVcosrl 1+ecosrl dove abbianto posto
( o: \*/L\'
^' ': t"'^' 31-3
La (31-4) ì: I'ecprazionc irt coorclilllfg polzrri rli unzr corrica. avencio preso ii polo irt un fuoco: si trattzr cli un'c'llisse. cli una paraboitr o di un'iperbole a seconcla chc sia e < It €:1, e > 1. Se si guarcla la (31-3), si scopre che i tre casi ctirrisponclono a .E < 0, .e - 0. .e > 0 rispcttivarnente. Irr questo risuitato rìr
inclusa Ia prima legge tl'i Keplero. Segue anchi: che nel prirno caso, e soltanto c1uello, il rnoto è periociico.
in
Il legame tra scgno clcll'errergia e forrna clclla traicttoria si spiega facilmente, ricorclando che cialla con"scl'vazione clell'Lìrrergia segue una clisuguaglianza: 1)
E2
N-tn
\'(r) -
T
Se .E ) 0, questa non pone alcuua lirnitazione su ?': il corpo può arrivare a distanza infinita, con una velocita u - V/rEn. Se E - 0 è ancora vero che il corpo arriva all'infinito, nla con velocità nulla; infine, se .E ( 0, si vede clre r < k'*llEl, percio la traiettoria è limitata. " In tutti i casi la distanza rninima da I,I (tI perielio cli un pianeta) si raggiunge per Ú :0, € vale pl(I + e); nel caso clell'ellisse la distanzÍì, massima (afelio) è invece plQ- e), e cla qui si vecle cireil serrúasse rraggiore dell'ellisse è
(L lkm)2 k'2 L',z 1 - (,^\r/kznt)'2 (k'2rn)z -
p *-1-e2-
1) K-rn
lV2
,lEl
(31-4)
(abbiamo usato la (31-3), e tenuto conto che .D e negativa). Il fatto importante il semiasse ntaggiore dell'ellisse tlinert"de soltanto dall' energia.
è clre
La legge oraria fion si può clare un'espressione elementare cleiia legge oraria del moto, ma si possono dire alcune cose usanclo la con.sel'vazione del mornento angolare. Corrúnciamo osservanclo che daila (31-3) segue (per E < 0)
L'2o (i>rinri fla tutti Lrrl;lace c Grruss) si ur.ette\rarÌo ail'opela e clinrostravano Ti. L'csempio classico è la pattinatrice sul ghiaccio, che inizia uua piroc.tta con le braccia distese, e poi le serra al petto, atrntentando così la sua veiocita arrgolerre. Un esempio piu "fisico" è quello cli una supernova il cui nucieo colizrsszr in una steila di neutroni: facciamo una stima (in termini di ordini rii grandezza) di cpello che accade.
A patita di massa, e supponendo che la stelia sizr una sfera omogenea tanto il collasso, il suo rnomento ci'inerzia è proporzionale al quaclrato del laggio, il cluale si ricluce da - 3.10akrn a - 30knr.: un fattore 103. Dunque 1é : 10-o 1{, LD2 : 106 c,.,1. Se il periodo di rotazione iniziale era 105 s " prima. cluanto dopo
36-4
('r'alore tipico per una stella che scgue qucsto percolso evolutivo) quello finale s: proprio I'orcline cli grandezza dei periocli clelle "pltlsar," che sono I'aspetto osservativo deile stelle di neutroui. Problema: Tanto nel caso della pattinatrice, quanto in quello clella pulsar, I'energia cinetica aurnenta clopo la contrazione: cla dove viene questa energia? è 0.1
Il teorema di Huygens Lo studio clel uroto rrel riferimcnto I( non porta rriente cli nuovo, se teniamo presenti le cleconrposiziorri cli tr e di ? che abbiamo dzrto nel Cap. 33. Se pero il rnoto in I( e rotatorio, attorno a un asse che non passa per G, conviene procedere diversamente. Scelto per O un punto clell'asse cli rotazione, avremo ù)i-U,'XTit
e da cpesta. proccclcudo conr.e nella (36-1), troviamo
(36-4) e pol
L":L'fí-Ia' dove .I ha ancora lzr clefinizione (36-2), rrra rraturalrneute la rctta n è I'asse di rot:rziorre (che non passiì per G): quin