Appunti di Fisica Generale I [3] [PDF]

Zitiervorschau

Università di Pisa Corso d.i Laurea in Fisica

E. Fabri

Appunti di Fisica Generale I terza parte

Anno Accademico 1991-9

2L. Ltoscillatore armonico Equilibrio e piccole oscillazioni Determinazione delle soiuzioni Esarne qualitativo

lntegrale generale e condizioni iniziali : [Jso dei numeri complessi "Significato fisico" dei numeri complessi

.1 .2 .3 .4 .c .6

22. L)energia Esistenza clella costante del nr.oto Energia cinetica e potenziale

.1

Traiettorie chiuse

,2 .2 .3 .4

L'energia attributo dei sistemi fisici

.b

Ruolo della costante arbitraria Conservazione dell'energia e reversibilità

23. Untapplicazione: la molecola di azoto Andamento dell'energia potenziale La frequenza di vibrazione Formazione della molecola

Effetti quantistici

23a. Il pendolo Il pendolo semplice L'approssimazione delle piccole oscillazioni

Diagrammi di fase

.1 .2 .3 .4 .1 .2 .3

24. Ltoscillatore armonico smorzato Definizioni L'energia nei sistemi dissipativi Ricerca dell'integrale generale Intepretazione del risultato Smorzamento critico e oltre Soluzioni complesse Discussione Riflessione finale

.1 .2 .3 .b

.6 .6 .l

'l c)

I3-1

l7-

24a. Simrnetrie e invarianze Simmetria e invarianza Invarianze dell'oscillatore armonico L'inversione del tempo . L'invarianza per traslazioni spaziali

$,r

.1 .2 .2 .3

P

n

U I1

D P

25. Oscillazioni forzate e risonanza L'equazione differenziale

1

Il principio di sovrapposizione Il regime stazionario

2

Bilancio dell'energia

o

Esempi di risona,nze

6

3

3

n

ivl

h

U

L

25a. Oscillazioni forzate e spazio delle fasi L'integrale generale Le sezioni di Poincaré Studio delle traiettorie

IV

1

R

1 .

2

3 S

26. Ltoscillatore armonico bidimensionale isotropo Equazioni del moto, integrale generale, traiettoria Le costanti del moto Forza ed energia potenziale . ,

.1

.2 .4

27. Ltoscillatore armonico bídimensionale anisotropo L'approssimazione delle piccole oscillazioni Equazione del moto e integrale generale

Il caso irrazionale Le costanti del moto

.

.1 ,2 .3 .3

28. Ltoscillatore armonico in tre dimensioni Ltoscillatore isotropo

Moto piano Un argomento di simmetria L'oscillatore anisotropo

29, Riepilogo su energia e momento angolare Ltenergia I1 mornento angolare 13-2

.1 .1

.2 .2

:

D S S

30. Integrazione numerica I

Posizione del problenra

2

Il metodo di Eulero

2

Un esempio

3

Il metodo delle differenze centrali Di nuovo

1o stesso esempio

Problemi di stabilità 1

2 3 o

6

1

.1 .1 .2 .3

.4 .4

30a. Oscillatori armonici accoppiati I1 sistema fisico tr'fasse uguali, molle uguali

Integrale generale e soluzioni particolari Una soluzione particolarmente interessante Le costanti del moto . Masse uguali, molle diverse

.1 .1

.3 .4 .D

Riassumendo e seneralízzando

.6 .7

3Ob. fl comportamento caotico Stabilita di un sistema di equazioni differenziali Instabilità e tempo di Liapunov "Zoologia" dei sistemi caotici Due esempi a confronto Studio dell'esempio 1 Studio dell'esempio 2

.1 .1 .2 .4 .5 .c

1

2

1

2 4

1

2 3

3

1

1

2 2

13-3

2L. Ltoscillatore armonico Com'è noto, si chiama oscillatore armonico un sistema meccanico (in uno o pirì gradi di liberta) costituito da un punto materiale soggetto a una forza di richiarno proporzionale (e opposta) allo spostamento dalla posizione di equilibrio. In un grado di libertà, I'equazione del moto è stata gia scritta, sotto forma di sistema del primo ordine, nel Cap. 20:

,)

u: -(t-I essendo fr la costante della fotza:

(r' - k l*),

(21-1)

F - -kr.

Prima di discutere il sistema (21-1), vogliamo esaminare, almeno in parte, le ragioni per cui l'oscillatore armonico ha una così grande e diffusa importanza in tante parti della fisica.

Equilibrio e piccole oscillazioni Supponiamo di aver a che fare con un sistema meccanico, anche complesso, che abbia una posizione di equilibrio stabile: ciò vuol dire che in quella posizione le forze agenti su ciascuno dei punti del sistema hanno risultante nulla (si fanno equilibrio), e inoltre che uno spostamento (una deformazione) del sistema dalla posizione di equilibrio, almeno se non è troppo grande, produce fome che tendono a riportare il sistema nella posizione di partenza (f.orze di richiamo). Supponiamo inoltre che

attriti, resistenze delmezzo,

il sistema non sia dissipatiuo: ossia che non ci siano ecc.; in altre parole, che le fotze presenti dipendano

solo dagli spostamenti, ma non dalle velocità. Ciò non sarà mai esattamente vero, ma in molti casi sarà un'approssimazione sufficientemente buona della realtà. L'ambito delle situazioni in cui tutto ciò accade è assai esteso:

- i corpi solidi elastici (in particolare molle e simili) - un liquido in un recipiente non completarnente pieno, sotto l'azione

della

gravità - pendoli, bilance, e in generale sistemi di uno o pirì corpi rigidi, vincolati a ruotare attorno a un asse non verticale. per effetto del loro peso gas racchiusi in recipienti con qualche parete mobile. Se anche il sistema ha piu di un grado di libertà, si potranno spesso anaIizzare separatamente i diversi moti possibili (quanto meno, questo è vero nelI'approssimazione lineare: v. dopo); percio il caso di un solo grado di liberià è un utile punto di partenza per lo studio di sistemi pirì complicati. \'edremo in seguito, e lo si vedrà. piu a fondo in corsi successivi, che i sistemi diversi da un semplice punto materiale non presentano proprietà sostanzialmente diverse da questo, e ciò spiega perché sia irnportante conoscere bene il comportamento del sistema piu semplice.

21-1

Ci siamo dunque ridotti a un semplice punto materiale, che possiamo supporîe mobile lungo una retta, e soggetto a una legge di forza .F(t) della quale sappiamo soltanto che si annulla in un certa posizione (che possiamo sempre prendere come origine delle t), e che ha segno contrario a a, almeno in un certo intervallo intorno a quel punto (fig. 21-1). Basterà allora fare I'ipotesi che la .F'(o) sia derivabile, per poter scrivere

F(t):-kt*o(n)'' dove

Una forza che soddisfi esattamente la legge

F(t) : -kx si chiarna elastica siamo quindi arrivati a concludere che per spostamenti abbastanza piccoli da una posizione di equilibrio stabile, ogni legge di forza può essere approssimata con una forza elastica,, e quindi il corrispondente sistema meccanico è approssimato da un oscillatore armonico. Una seconda ragione per cui I'oscillatore armonico è tanto importante, sta nella semplicità della sua equazione del moto: pirì esattamente, nel fatto che si tratta di un'equazione lineare. Vedremo nel seguito le conseguenze di questa proprietà matematica; per ora osserviamo soltanto che è proprio la linearità a consentire quell'analisi separata dei diversi moti possibili per un sistema con più gradi di libertà, di cui dicevamo all'inizio. Quando I'approssimazione lineare non sia lecita, il problema diventa isrmediatamente piìr complicato (a parte casi fortunati).

Determinazione delle soluzioni Nella discussione del sistema (21-1) conviene usare, in luogo di ,, la granu definita da u : ule (si noti che u ha la dimensione di una lunghezza). Allora le (21-1) si scrivono

dezza

î: 'tt,

uu

(2r-2)

-wc.

Nel piano delle fasi (o, u) introduciamo I'ordinaria metrica euclidea; allora il campo w ha modulo ur,, è ortogonale alla direzione OP ed è diretto in senso or*io (fi,g.21-D. È quindi chiaro che le traiettorie: - sono cerchi con centro in O -- sono percorse con velocità angolare t..'. In formule: r : Acos(cut - p) (21-3) u: -Asin(arú - p) 2L-2

e le costanti .4., g sono determinate dalle :ro

:

uo

: -A

.4 cos(c.rús

sin(orto

- g) -

p)

g

:

(2t-4) uto

f

arg(cs, uo).

La costante A si chi^"'a ampiezza del motol da essa si ottiene un'altra costante importante:

E

- lmrzA2 : i*r2(r2 + u2) -

lka2

*

|mu2

che ha un significato fisico ben noto: si tratta infatti dell'energia. L'esistenza di questa costante del moto non è una particolarità dell'oscillatore armonico, corne vedremo più avanti.

Il significato fisico di p è il seguente: rappresenta la fase dell'oscillaaione. All'istante f : gf u sí ha a: A, i :0, ossiail puntosi trovafermo allamassima elongazion e positiva. Dunque moti con la stessa ampiezza (con la stessa energia) e fasi diverse differiscono tra loro solo per un ritardo costante, dato da A,gfu, dove Ap è la difierenza delle fasi (che si chiarna di solito sfasamento). Esame qualitativo Vogliamo ora mostrare che alcune proprietà dell'oscillatore armonico si possono ricavare dalla semplice osservazione della fig. 21-3, che mostra le traiettorie di fase. Tutte le traiettorie sono chiuse (sono cicti): questo basta ad assicurarci che

il

moto è sempre periodico. Se infatti

il

moto inizia nel punto P6 all'i-

stante /g, €sso tornerà in P9 a un istante successivo /o * 7; dato che si tratta di un sistema autonomo, il moto seguente riprodurrà in tutti i particolari quello nell'intervallo [ú0,úo +T], e lo stesso accadrà nei successivi passaggl. possiamo quindi affermare che il grafico della funzione r(ú) consisterà di tanti archi tutti uguali, corrispondenti a interva.lli temporali di lungh ezza T. Questo ? si chiarna, com'è noto, periodo del moto. Si potrebbe ritenere che questo non sia un gran risultato, visto che è già contenuto nelle (21-3) (le funzioni circolari sono periodiche); ma il punto importante è ci si può arrivare senza bisogno di risolvere il sisterna (21-2). Basta sapere che esiste una costante del moto, e che le sue curve di livello sono chiuse. Infatti le traiettorie debbono coincidere con queste curve di livello, quindi sono chiuse, quindi il moto è periodico... Ne segue che possiamo applicare lo stesso argomento anche per una forza non elastica (per Ia quale potreurmo non essere capaci di risolvere le equazioni del moto) purché resti vero che c'è una costante del moto con curve di livello chiuse.

Nel caso dell'oscillatore armonico abbiamo qualcosa di piìr:

il

periodo

è

sempre lo stesso, qualunque sia l'aanpiezza (isocronismo). Questa proprietà non

2L-3

varrebbe per un'altra legge di forza, ed è una caratteristica fondamentale delI'oscillatore armonico. Come possiamo spiegarla? Si vede subito che è una delle conseguenze della linearità delle equazioni (2I-_2): se si moltiplicano o e u per una stessa costante, le equazioni restano inalterate; ne segue che se abbiamo trovato una certa soluzione (con una certa ampiezza e un certo periodo) ne abbiamo subito infinite altre, con ampi ezza qualsiasi ma sempre con lo stesso periodo. Inoltre il periodo non può dipendere dalla fase (sistema autonomo) e quindi è vero che il periodo è lo stesso per tutti i moti possibili. Un altro risultato di carattere qualitativo è il seguente: il campo w ha un solo punto f,sso (un punto dove w - 0). Se si parte da quel punto, si ottiene una traiettoria che consiste solo di quel punto, ossia un equilibrio. Il punto fisso è unico, perché I'energia ha un solo minimol vedremo poi che in altri sistemi le cose possono andare diversamente.

Integrale generale e condizioni iniziati Dovrebbe essere evidente che le (21-3) ci danno I'integrale generale delI'oscillatore armonico: infatti contengono due costanti arbitrarie, che possiamo scegliere. come mostrano le (2I-a), in modo da soddisfare tutte le possibili condizioni iniziali. E utile rivedere le stesse cose dal punto di vista dell'equazione difierenziale di partenza (quella di secondo ordine): ú:

-a2n.

Ne abbiamo trovato I'integrale generale nella forma

s:Acos(u,rt-g) che si può anche scrivere:

t:Acoscu(t-lr)

(21-5)

oppuîe

t:

acosc,,rú

*

(21-6)

ósincr,'l

dove abbiamo posto

I = Qtr,

a

:

Acos (p,

b

:

Asin

9a.

In qualunque forma, ci sono due costanti arbitrarie, che vanno determinate con le conilizioni iniziali; r;r'afin qui abbiamo solo una verifica, in un caso particolare, rlel teorema enunciato nel Cap.20. Le due forme (2I-5) e (2L-6) sono però interessanti per i seguenti monella (21-5) accanto all'ampiezza. che gia conosciarno. compare la costant' li. che misura in termini di tempo la fase dei nroto. Diventa così evid.ente

tivi:

2L-4

I'inuarianza per traslazioni temporali: se iD - h(l) è una soluzione, lo è anche r - h(t - r), Vr. Dalla forma (21-6) appare un risultato nuovo: tutte le soluzioni si ottengono come combinazione lineare dei dlue integrali particolari

f:

cos

krtr

g

:

sin

coú.

Dunque: Ie soluzioni dell'equazione d,ifferenziale i *a2 a : 0 formano 'uno spazio ueltoriale d,i d.irnensione 2. Questa è una caratteristica generale delle equazioni differenzi ali lineari omog enee.

Uso dei numeri complessi Esiste un altro metodo per risolvere il sistema (21-2): introduciamo la variabile compless a z : x*íu e somrniamo le due equazioni, dopo aver moltiplicato la seconda per i. Otteniamo (2L-7) 2:

-iaz,

che è un'equazione differenziale

di primo ordine per I'unica funzione incognita

(a valori complessi) z(t). Con questo espediente siamo d.unque passati da un sistema di due equazioni a un'equ azione sola; il che può sembrare banale, dato che in realtà la (2L-7) equivall ancora a due equazioni: una per la parte reale e una per la parte irnmaginaria di z. Così d,oveva essere, perché altrimenti la nuova equazione non potreùbe essere equivalente al sistema originario; ma resta un grande vantaggio, perché risolvere f" 1Zf-Z; è molto pirì immediato. Infatti, ricorda.ndo le proprietà della funzione esponenzial", ,i ,r"iifi.r subito che tutte le soluzioni della (21-7) hanno la forma

z

:

zo

"-iat.

(21-8)

una costante arQuesto è I'integrale generale della (21-7), perché contiene primo ordine' del è I'equazione che dato basta, sola ror or. (complesrut bitraria particolare I'integrale trovare : come sappiamo perciò e z0 z(0) che Anzi si ved.e I 0' tempo al iniziale condizione data che soddisfa una -

))-

e

la Osservazione; Inluogo di z - t*iu avrerlmopotuto porre z::t-iu: seguiranno, che d.ifierenza sarebbe stata che nella (21-8), e in tutte le formule avrerrlmo dovuto scambiare i con -i. Come abbiamo visto nel Cap. 20a, questo i succed.e perché la coniugazione complessa è un automorfismo, per cui scambiare possibilità con -i non cambiala struttura matematica. Di conseguenza la doppia non ha nessun significato fisico, ma crea il problema di dover fare una scelta che però va rispettata con coerenza. e come tale arbitraria convenzionale - qui adottata è quella corrente in fisica, scelta la è uniforme: non I'uso Purtroppo nello studio delle onde come nella meccanica quantistica; viceversa la teoria dei

circuiti elettrici in corrente alternata adotta tradizionalmente la

convenzione

opposta. Perciò attenzione!

2t-5

Il piano complesso di z coincide col piano delle fasi; percio la (21-8) mostra subito quello che già sapevamo, ossia che il punto t : (x,u) si muove di moto circolare uniforme attorno all'origine, con velocità angolare u.' in senso orario. Se poniamo z0 : Aeip (rappresentazione polare) la (21-8) diventa z e da questa si ottengono da capo ginaria.

(e-wt)

:

A

Le

(2L-4), prendendone le parti reale e imma-

"i

,

Dunque la costante arbitraria complessa z9 riassume tanto l'informazione sull'ampiezzadel moto (che è lzsl) quanto quella sulla fase (che è argzs). 66Signiffcato fisicott dei numeri complessi L'rrso che abbiamo fatto dei numeri complessi porta con sé di solito una domanda: è possibile attribuire a questi enti matematici un significato fisico? Non di rado si dà una risposta perentoriamente negativa, nella forma: "solo i numeri reali hanno significato fisico, perché il risultato di una misura può essere solo un numero reale." Vogliamo ora discutere brevemente questo punto. Si deve anzitutto osservare che se soltanto i possibili risultati di misure avessero significato fisico, allora neppure i numeri reali potrebbero averne, perché in realtà il risultato di una misura non sarà, mai un generico numero reale: che si tratti di una lettura fatta a occhio su di una scala analogica, o di uno strumento digitale, o meglio ancora di un'acquisizione automatica di dati, avremo sempre a che fare con un numero finito di cifre, ossia con numeri razionali (addirittura con un sottoinsieme di questi). Dunque I'impiego dei reali in fisica non ha motivazioni sperimentali, ma si fonda nella struttura della teoria. Non a caso nei Discorsi Galileo spende un notevole sforzo a giustificare I'idea che grandezze fisiche come il tempo o la velocità debbano essere descritte da numeri reali: si tratta di un assioma che sta a base della fisica galileiana e poi newtoniana, e senza del quaie non si potrebbe sviluppare la teoria nella forma matematica che conosciamo. Tornando al caso concreto, come dobbiarno allora considerare I'impiego che abbiamo fatto dei numeri complessi per studiare I'oscillatore armonico? A prima vista non si tratta di un fatto molto importante: dopo tutto avevamo già risolto il problema ser.za tirarli in ballo! Però vedrerno tra non molto che in situazioni pirì complieate I'aiuto fornito dai numeri complessi è moito apprezzabile e non banale. ". Si possono dunque tentare varie risposte:

a) I numeri complessi sono un puro artificio, un tttrucco matematico.tt per ridurre 2 i punti d'inversione non esistono, e u conserva sempre lo stesso segno: come sono fatte allora le curve integrali? Per rispondere, occrre prima di tutto tener presente che I'angolo 19 è una coordinata polare, e quindi va preso in un intervallo di ampiezza 2r: ad es. l-n,nl. Ciò vuol dire che nel piano (*,u) solo una striscia verticale ha significato, e inoltre che bisogna intendere che il bordo destro e quello sinistro della striscia corrispondono agli stessi stati fisr,ci; in altre parole, si dovrebbe vedere la striscia richiusa su se stessa e "cucita" ai bordi, in modo da formare un cilindro. Ciò posto, una traiettoria in cui sia sempre z ) 0, e che perciò è sempre orientata verso destra, esce dal bordo di destra e rientra da quello di sinistra, chiudendosi su se stessa: a questo corrisponde un moto del pendolo che ruota attorno al punto di sospensione, come abbiamo già visto" Se invece z < 0 il moto è in senso opposto, ma ha le stesse caratteristiche. Ci sono infine dei casi limite: u0 : *2. La (23a-6) diventa in questo caso da

u

:

L.2.o, f,,

che dà due archi di sinusoide passanti per i punti (r, 0) e (-n,0). Però attenzione: in reaJtà le due traiettorie non raggiungono quei punti: in queste condizioni il periodo del pendolo è i,nf,nito (ma non lo dimostriamo).

23a-3

due punti (t,0) e (-r,0) (che poi sorro un unico punto, per quanto detto prirna) danno un'ultima possibile traiettoria, corrispondente alla fermo alla massírna aJtezza" fosizione d; equilibrio instabile in cui il pendolo è Abbiarno così ritrovato i risultati della discussione fatta all'inizio del capitolo; i vari tipi di curve integrali sono indicate in fig. 23a-2.

In

23a-4

reaitrà

i

b

i'

24. L'oscillatore armonico smorzato Per quanto importante sia I'oscillatore armonico, si tratta sempre di un'idealnzzazione: non solo perché si supponelaforza elastica, ma anche perché si

trascura qualsiasi effetto dissipativo (attriti e simili). È perciò di grande intedi mantenere per quanto possibile la semplicità matematica dello schema, avvicinandolo però alla realtà fisica. Le proprietà importanti dell'oscillatore armonico sono due, come abbiamo visto: si tratta di un sistema autonomo e lineare; cercheremo dunque di conservare queste proprietà. resse cercare

Definizioni Conviene anzitutto precisare la terminologia, che è stata introdotta nel Cap. 2l senza insistere sulle definizioni. Diremo che un sistema della forma

: g(xru,t) tt - f(a,u,t)

x è lineare se le funzioni

/

e g sono lineari nelle incognite

î

e u.

f(r,r,t) - "(t)x + b(t)u -t c(t) g. Abbir'"o volutamente esplicitato che i coefiEcienti o,, b,, cpossono funzioni del tempol naturalmente se il sistema è autonomo a, b, c si ridurrenno a costanti. Se tanto in / quanto in g manca il termine noto c, il sistema si dice onlogeneo. Nel seguito, per brevità, dicendo "lineare" sottintenderemo e

analoga per

essere

anche ttomogeneo," salvo diverso avviso.

L'oscillatore armonico è dunque lineare, e cercheremo di mantenerlo tale agginngendo però una forza che produca lo sn'Lorzarnento del moto. È facile vedere che con queste condizioni I'espressione pirì generale possibile per la forza è

F--kx-XU:

-m (wfir -f ,ru),

dove accanto alla forza elastica I| _ -À'u abbiamo aggiunto una resistenza aiscosa r', - -XU, e abbiamo definito (r0

: \/W,

^t

-

xlm.

Il cambiamento di notazione da c,,' a ir,rs ha una motivazione che risulterà chia^ra nel seguito. Chiameremo il sistema fisico così definito oscillatore armonico smorzalo. con la solita definizione 1t : u lao si ottiene allora il sistema tt0U 7' -

-QIr - 1u.

(24-r) 24-I

Discussione qualitativa Nel piano delle fasi il campo w non è piu ortogonale alla direzione OP, ma ha sempre una componente "centripeta" (fig. 24-t). Questo si vede anche calcolando

(24-2) ossia sulle traiettorie la distanza da O diminuisce sempre (con I'uruca eccezlone dei punti in cui u - 0): si tratta di spirali (fr1.2a-2). Tutte le traiettorie tendono a O, che è perciò un attraltore, ma il tempo di avvicinamento è inf,ni,to. Questo si dimostra, senza bisogno di risolvere il sistema, al modo seguente"

Sia P6 il punto di partenza, e P1 il punto raggiunto dopo un giro, ossia la prima intersezione della traiettoria col segmento OPo. Definiamo analogamente Pz, ecc. Indichiamo con o il rapporto fra i segmenti dFo e OP1: sarà cv ) 1. Dato che il sistema (24-I) è lineare e autonomo, I'arco di traiettoria che va da P1 a P2 si otterrà dall'arco PoPr contraendo tutte le distanze da O del fattore a (omotetia) e sarà percorso nello stesso tempo 7. Dunque i punti Pr, Pz . . . vengono raggiunti ai tempi 7,27,. . . t .ffoúa 1: Abbiarno incidentalmente dimostrato un'altra proprietà dell'oscillatore armonico smorzato: le traiettorie di fase sono tutte a.utosimfli, ossia esiste una similitudine (in realtà infinite) che trasforma ciascuna traiettoria in se stessa. .ffota 2: La dimostrazione che abbiamo data non vale se lo smorzamento è così grande che la traiettoria non completa un giro. IJna volta scritto I'integrale generale del sistema, potremo vedere se e quando il risultato sul tempo infinito e quello sull'autosimilitudine delle traiettorie restino validi.

L'energia nei sistemi dissipativi L'oscillatore armonico smorzal,o non soddisfa le ipotesi nelle quali, al cap. prec., abbiamo trovato I'integrale primo dell'energia. Se I'energia viene vista soltanto come un integrale primo. due soli casi sono possibili: o esso esiste (" "llora è utile studiarlo) o non esiste, e il discorso è chiuso" \la se l'energia è una grandezza fisica, possiamo provare a calcolarla anche quando il sistema è soggetto aforze non conservative, come accad.e nel nostro d:aso. Per un tale sistema potremo parlare di energia cinetica, e anche dell'energia potenziale della forza elastica; però la somma T + Il non resterà, costante. a cau.sa della presenza cli un'altra fotza, non conservativa. La (2a-2) si puo scrivere

dE

i:; d.t

d /1t 2 1 2' (; kcz +i^r')

dt"

,

-

+u2\ +k+@2 ' d"t

-

--k1u'2':-'"Trr,^tLi'

- -xr'.

Questa relazione può essere trasformata al modo seguerrte:

dE - --yt,2dt 24-2

Frtt

dt

=

F,d'v

(24-3)

Il prodotto

.F,

dr tra forza e spostamento si chiama" com'è noto, Iauoro

della

f.orza; abbiamo quindi dimostrato che Ia aariazione dell'energia d,el sistema egua-

glia iI lcuoro della forza d,issipatiua (che è sempre negativo, perché laforza d'attrito è sempre opposta alla velocità. e quindi allo spostamento). Possiamo interpretare la (24-3) in questo modo: il lavoro della forza esterna (in questo caso la fotza di attrito) misura I'energia trasferita al sistema. Nel caso che stiamo esaminando, dato che il lavoro della forza di attrito è sempre negativo, il trasferimento è negativo, ossia I'energia viene trasferita in senso contrario: dal s:stema verso ltesterno.

In realtà nelle condizioni attuali I'energia (meccanica) non si conserva: non esiste nessun altro oggetto che aumenti la sua energia potenziale o cinetica.

In un certo senso perciò parlando di "energia trasferita" stiamo mettendo il carro avanti ai buoi: si può parlare di trasferimento solo per qualcosa che si conserva. È noto che per ripristinare la conserva zione dell'energia in presenza di effetti dissipativi bisogna introdurre altre forme di energia, ossia entrare nella termodinamica.

Ricerca delltintegrale generale Non è facile vedere quale possa essere la soluzione del sistema (24-1). Per esiste, come abbiamo già accennato, un algoritmo di risoluzione; ma piuttosto che presentarlo er abrupto, preferiamo arrivarci per tentativi. Osserviamo che sappiamo già risolvere il problema in due casi particolari: * Se X : 0 abbiamo il semplice oscillatore armonico non smorzato, e le traiettorie sono cerchi col centro nell'origine. : Se u)0 : 0 manca la forza elastica e ci si riduce al moto irr mezzo viscoso. In questo secondo caso possiamo sernpre scegliere I'origine delle z nel punto limite del moto, e allora la traiettoria è una semiretta, lungo la quale tanto c quanto u decrescono esponenzialmente nel tempo. Sembra naturale aspettarsi che il caso generale prenda proprietà da entrambi i casi particolari, ossia che ci sia una rotazione intorno ad O, ma allo stesso tempo un avvicinamento a questo punto (del resto abbiamo già visto che le traiettorie sono spirali convergenti in O). Siamo dunque portati a congetturare una soluzione della forma

i sistemi lineari

r : Ae-

or cos(at

-

g),,

(24-4)

dove A g saranno le solite costanti arbitrarie, mentre a e e sono da deterrninare " in modo che la (24-4) sia soluzione del sisterna (24-1). Se calcoliamo i dalla (21*4) troviamo poi u dalla prima delle Qa-I): u,---

r trA

==

-otd0 Ae-ot cos(arl - d

a0

24-3

e da qui otteniamo u: u

{Ae-otcos(cuú - ?) *Y (,0

-

Ae-otsin(c,,'Í

- ?) - *

Sostituendo nella seconda delle (24-t) le espressioni per ù,

Ae-ot

r

e

cos(c.rú

- d.

u si arriva alla

seguente relazione:

o' t/q

Ae-or

cos(

ee-oú ut - g) +2"P t'Úg

sin(c..,t

- g) - t

*.;,oAe-o'cos(ut-ù+T, ^e-o'cos( Dividendo per

Ae-ot

e raccogliendo

Ae-otcos(u,rl

LtJ0

i termini

ut - .,':)+ 12

- g):

Se-oÚsin(a.'t

-ù.

simili:

(o2 a2 o\ , , \ * (2au l'\ ^,-,,. ^,;)cos(c,,'t *(r0 -P) :0' -?) ( * \,ro ,o ^)sin(at

t---

Questa può essere un'identità soltanto se

i coefficienti del seno e del coseno

sono entrambi nulli:

a2-u)2+rl-1a:0,

2a-1:0

dalle quali si ottengono

a-

A:2^l , 1

(24-5)

Abbiamo così dimostrato che

r:

!"-tt/z

cos(rr,'ú

-

") I ^v _A"-tt/2 cos(*./ - ?)l ,irr(rt "l la - p) + -\ao Lro f ,.,

(24-6)

dato dalla (24-5), è una soluzione del sistema (24-I), comunque si scelgano A, p. Si verifica senzadifficoltà, che le (21-6) danno I'integrale generale, in quauto è possibile soddisfare tutte le condizioni iniziali. Come per I'oscillatore armonico puro, possiamo scrivere le (2a-6) in altre forme, ad es. /2 cos cr,rú * b e-tt 12 sin clt (24-7) t =a d.ove r..r è

"-^rt

(è inutile scrivere I'espressione per u, che si ottiene derivando). La (24-7) -o stra di nuovo che I'integrale generale si ottiene per cornbinazione lineare di due integrali particolari; abbiamo gia detto che ciò accade sempre' con le equazioni

differenziali lineari (omogenee). 24-4

a

Intepretazione del risultato L'interpretazione delle (24-6) (o della (24-7)) è abbastanza semplice: si tratta di oscillazioni sinusoidali smorzate. il che vuol dire che I'ampiezza delle

oscillazioni, anziché restare costante, decresce esponenzialmente al passare del tempo (fig. 2a-3). L" costante di tempo per il decremento dell'ampiezzaèZll. Il moto non è periodico, ma si usa parlare anche in questo caso di periodo, riferendosi ovviamente alla parte sinusoidale. Si vede dalla (21-5) che sarà sempre 1.1 1 uo: il periodo dell'oscillatore smorzato è maggiore di quello che si avrebbe in assenza di smorzamento. La differenza però è di secondo ordine nel rapporto I lu,o, e perciò spesso può essere trascurata se lo smorzamento è piccolo.

.Yota: Non abbiamo mai usato fin qui il termine frequenza, ma è necessario accennare alla terminologia in uso. A stretto rigore la frequenza è I'inverso del periodo: u_ IIT; ha dimensioni [z] : [t]-t, e unitèr di misura s-l : Hz. Spesso si usa però la stessa parola per indicare a - 2ru; qualcuno distingue tra "freqverLza ciclica" per u e "frequenza angolare" per @" Il problema delle d,imensioni e dell'unità di misura per u è naturalmente legato a quello degli angoli (v. cap. 19): l'uso pirì corrente è di misurare cr in rad/s. Abbiamo già visto che l'energia non si conserva, ma decresce; ora possiamo vedere pirì in dettaglio come. Dalle (24-6) si ottiene

n

:

àk(*, + ur)

- |lcA2 e-tt

&)

[(r+

-à

"o"2(,t

-*rsin2(c,.,r

- p)cos(u-'ú -

+ f

n2

- +hA2r-'' Lt . h

cos2(c,.,f

-

- e)

#sin(c,.,ú ^r'(D sin2(,-'f à+

#

-

")]

I

o)l

in parentesi quadra oscillano intorno a zeto, e í piccoli se loro coefficienti sono 1 ( u,rs (un caso di grande interesse pratico). e scrivere Possiamo dunque trascurarli,

Il

secondo e

il

terzo termine

E

= ikA2 e-^'1 -

Eo e-1t,

(24-8)

rla cui si vede che /'energia decresce anch'essa esponenzialmente nel tempo) con costante di tempo 1/7. Esercizio: \rerificare che la grandezza 12 * u2 * lruf a6 decresce esattamente secondo una legge esponenziale, con costante rli tempo 1/7. Si definisce fattore di merito il rapporlo Q - d0 f 1, che è tanto piri grande quanto pirì lo smorzamento è piccerlo. Urr'interpretazione ,li Q è la seguente:

l'energia dell'oscillatore decresce cli un fattore \f e nel tempo 7l^,

- Qlro = 24-5

a

Dunque Ql2" è il numero di periodi necessari per tale dell'energia. Oppure: derivando la (24-8) abbiamo

QTl2r.

dE dt

=+

-18

dE

-1dt.

-:E

Ne segue che in un periodo la variazione relativa dell'energia

LE :-^lt: E

decrementc-r

è

2r

Q'

Alcune indicazioni di ordine di grand,ezza per Q: per un pendolo si va da 103 a 10a; per i cristalli di quarzo usati negli orologi Q - 105. Uscendo dall'ambito meccanico, si può sempre definire un fattore di merito ogni volta che si ha un sistema oscillante. Esempi: nei circuiti risonanti elettrici (LC) il fattore di merito arriva intorno a 800; le cavità per microonde vanno fino a 106; oscillatori atomici

o molecoiari arrivano a 10e; oscillazioni nucleari a

1012'

Smorzamento critico e oltre 1 1 2a0; quando questa condizione non è soddisfatta clovremrìo dunque ricominciare da capo nella ricerca delle soluzione? In realtà no, come vedremo fra poco; inoltre ,ooo pirì frequenti e importanti le situazioni in cui la condizione è sodclisfatta. Il caso 1 : 2g,o si chiama di smorzamento crit'ico; in tal caso c, : 0, ma nasce un'altra difficolta: Le Qa-6) non danno piu l'integrale generale. Infatti esse diventano Si sarà notato che I'espressione di u,' data nella (21-5) è reale solo se

r - Acos g"-'o' u: -Acosg e-uot e si vede che le due costanti arbitrarie A e g, compaiono soltanto nella combinazione Acosg. Perciò cambiare g equivale a cambiare A, e non abbiamo piri

realment e d,ue costanti arbitrarie, ma soltanto una. La stessa cosa si vede anche dalla (21-T), d.ove il secondo termine sparisce e resta solo la costante arbitraria o. Lasciamo al lettore di verificare che in queste condizioni I'integrale generale è

:

(c

+

bt)

e-'o'

Soluzioni complesse Vogliamo ora mostrare come si possa arrivare, in modo pirì semplice e sistematico, all'integrale generale del nostro problema con una tecnica che generaJtzza quella usata per I'oscillatore armonico "puro," e che fa intervenire i numeri complessi.

24-6

#i

Ripartiamo dal sistema (24-1), che differisce da quello dell'oscillatore armonico puro per il termine addizionale ^ru. Nel caso puro siarno riusciti a trasformare il sistema in un'unica equazione per la variabile complessa z - r * iu; possiamo fare ancora lo stesso? Certamente non funziona soÍuna^re le due equazioni dopo aver moltiplicato la seconda per i, a causa del termine 1u; proviamo allora una posizione pirì generale: z r -| ,\u, dove ,\ sarà un coefficiente (pto babilmente complesso) da determinare. Troviamo:

à+ ^ù-arg

u- ),asx - À^tu-

--,\cro

(- * \Auo/^t-'o

r).

a secondo membro avremo x {

Tutto funzionerà bene se nella parentesi perché allora I'equazione diventerà

),u,

(24-e)

à - -),utgz, che sappiamo risolvere. Dobbiamo dunque richiedere

À7-ro _\ Àro ossla ,,')o^2 -- 7),

*

cuo

-

0.

Questa per À è un'equazione di secondo grado, le cui radici sono

À- 1+1/1'-+Q 2ro

-n

7rx --l-;zQO

^fta +1_

2ao es'

!ù0

di nuovo quello definito dalla (21-5). La prima forma e pirì utile 2..srla seconda nel caso opposto; infatti nel primo caso.\ è reaie, mentre nel secondo è complesso (le due radici sono fra loro coniugate). dove .,r è

se

7

)

Discussione

1) 2) 3)

Conviene dunque distinguere tre casi, a seconda che sia f > 2u.,6: chiameremo questo il caso aperiod,ico I - 2ao: abbiamo gia detto che questo prende il norne di caso critico ^y 12as: questo è il caso oscillante.

Nel caso aperiodico le due radici sono reali, positive e distinte; di conseguenza anche z sarà, reale. Se indichiarno le radici con ,\1 e À2, avremo in corrispondenza due soluzioni per z: Zt : :l0 a-À1u'rof

zz :

zZ0

)'zQst

"24-7

l-

Poiché deve essere

z\: t * Àrz 22:r*Àzu

elimirrando u si trova l'integrale generale

, - ---1- (Àrrro ^1-^2

"-),zutot

-

(24-10)

Àzznr-Àru;oú)

dove zr0, 220 sono due costanti arbitrane reali. La ragione del nome "aperiodico" è che in questo caso non ci sono oscillazioni: infatti entrambi i termini della (21-10) decadono nel tempo con legge esponenziale.

Il

caso critico è stato già brevemente

trattato, e non occorre aggiungere

altro. Nel caso oscillante invece I'integrale generale dalla (24-9)

z:

è

z\e - 4r.,,6 t

che conviene riscrivere

z:

z0

e-1t/2

Il

"Ti'''tt.

doppio segno ricorda che esistono due radici. e corrisponde alle due scelte possibili (i oppure -i) che avevamo per l'osciilatore armonico puro. Le due radici sono tra loro coniugate, e come si vede dall'equazione, il loro prodotto vale 1: ne segue lÀl - 1. Dato che la soluzione è complessa, lo stesso è vero per la condizione iniziale zs, che dunque contiene suffi.cienti informazioní per fornire anche l'integrale generale del sistema di partenza" Per coerenza con quello che abbiamo fatto allora, terremo anche qui il segno meno:

z Ia (21-'1) rapp'"'"::: ::::;.": È i,,t".",sante osservare .n" "t:l "",:n spirale logaritmica, che si avvolge in senso orario attorno all'origine (fiS. 21-4). Solo in questo caso, e non negli altri, si può parlare di autosimilitudine: infatti z(t

* T) :

z(t)

e-t/zr

ha periodo 2r f a - T. Dunque dopo perché il termine "-iat e velocità si riproducono con una riduzione in scala, ecc.

il tempo ?

posizione

Come si ricava c dalla (24-17)? Sarebbe sbagliato prendere semplicemente la parte reale, perché À non è immaginario puro. Se scriviamo le due relazioni

z : c*,\

, \* z* -r+^u 24-8

u

ed eliuúniamo u. troviamo

(24-r2) Si noti che in realtà nella (24-12) entrano tutt'e due le soluzioni, esattamente come nella (24-70), attraverso z e z*. Possiamo semplificare r e u,. Invece di z

la (21- 12) se scriviamo in modo diverso la relazione

- r -f ),u poniamo (r :'; .a0 \À

fra z,

*"/ \

(questa non è che la vecchia z moltiplicata per ic....'6 lÀ"o): allora si verifica, giocando un po' con i numeri complessi, che in luogo della (24-12) vale

x

: frz

(24-13)

(qui ft sta per "parte reale") e che perciò le (2a-6) si ottengono prendendo zg

-

AsiP.

E chiaro che anche con la nuova definizion e tli z resta valida l'equazione differenziale (24-9), e perciò la sua soluzione (21-11). Osserviamo che dalla (24-LI) si ricava immediatarnente lrrl'

:

lzol'

"-",

che fa pensare all'andamento nel tempo dell'energia, dato dalla (24-8). La cosa non è casuale: infatti ,.2

l,l,

-

zz*

/d

: # (; *")

,

(^. u,)

:3k, ,.2

Già sappiamo che 12 * u2 è proporzionale all'energia; importante per due ragioni:

-

è sempre piccolo se 7 ( è un termine oscillante,

+u2 +

il

ù,"r.

terzo termine è poco

o.ro

cui valor medio è di secondo ordine inlf ".s. Possiamo dunque dire che in sostanza lzl2 misura I'energia dell'oscillatore (a parte un fattore costante).

il

Riflessione finale Abbiamo visto che in questo problerna è nrolto utile usare numeri complessi, grazie ai quali abbiamo ridotto il sistenra di equazioni differenziali a una sola eqrrazione di primo ordine; abbiamo anche'visto che si finisce sempre per cadere in urra soluzione di tipo esponenziale. È naturali: chiedersi il perché di qrresti fatti. 24-,9

Si potrebbe credere che la riduzione di due equazioni a una sola, ma con incognita complessa, dipenda dal fatto che un numero complesso equivale a due reali, ma non è così; lo stesso risultato vale per sistemi di equazioni differenziali di qualsiasi ordine e in qualunque numero, purché lineari: è la, linearità, il fattore decisiao.

Osserviamo che nel piano delle fasi (r, u) il campo w delle velocità dipende r: possiamo vedere questa dipendenza lineare

iinearmente dal vettore posizione come una matrice:

o ,.)f"l (+\:( \u/ \-,,r0 / \u/ -1

o in forma più astratta:

w - [Jr. Il calcolo che abbiamo fatto è stato semplicemente la ricerca degli autouettori di t/. Sia infatti 11 un autovettore: abbiamo chiamato -.\o.rs il corrispondente autovalore, avendo così

ir : [/rr -

-.Àc.',sr1,

(24-11)

e da qui segue tutto il resto. C'è solo un problema: non è affatto detto che una matrice reale abbia sempre autovettori e autovalori: I'equazione che deterrrrina gli autovalori può avere radici complesse. Ecco dove entrano in modo determinante

i numeri

complessi: ci assicurano la possibilità di trovare gli autovalori (almeno pirì radici coincidono caso critico - nascono altri problemi, come abbiamo visto: problemi che si risolvono, ma non possiamo qui entrare in

uno).

Se due o

dettagli.

Lo scalare z: x * \u è una componente del vettore r: (r,u) del piano delle fasi nella base formata dagli autovettori di t/. Sfortunatamente il prezzo per questa semplificazione è che bisogna lavorare in uno spazio vettoriale sul corpo complesso, altrimenti gli autovettori in generale non esistono. Dalla (24-II) gia si vecle che la soluzione sarà. un'esponenziale, ma anche per questo c'è un motivo pirì profondo. La (24-11) è un'equazione di primo ordine, per cui lo spazio vettoriale delle sue soluzioni è unidimensionale: trovato un integrale particolare, tutti gli altri sono multipli di quello, con un fattore costante. D'altra parte il sistema è autonomo, il che vuol dire che se r(f ) è una soluzione, anche r(t - r) lo è, per ogni r: dunque r(ú - r) si ottiene da r(f ) moltiplicandolo per una costante. Ora la sola funzione che goda di questa proprietà è proprio I'esponenziale!

Riassumendo: I'intervento dei numeri complessi è motivato dalla necessità che compare a secondo membro di un sistema differenziaJe lineare; la comparsa dell'esponenziale deriva dalla sua proprietà caratteristica, di moltiplicarsi per un fattore costante per effetto di una traslazione. Dobbiamo perciò aspettarci la stessa sitrrazione tutte le volte che incontreremo un sistema autonomo lineare, anche al di fuori della meccanica.

di trovare autovettori deila matrice U

24-70

n

24a. Simmetrie e invarianze Abbiarno già avuto occasione nei cap. precedenti di mettere in evidenza alcune proprietà di simmetria dei sistemi in esame. Vogliamo dedicare questo capitolo a una discussione dell'argomento da un punto di vista un po' pirì genera-le.

Simmetria e invarranza È b"t cominciare precisando i termini che adotteremo; infatti in

questo

" argomento, che pure riveste grandissima import,anza nella fisica moderna, non c'è sempre accordo sull'esatto significato delle parole che si usano. Chiarnererno trasformazione di simmetria (o brevemenle sirnrnetria) una qualsiasi trasformazione alla quale verranno assoggettate le grandezze fisiche del sistema. Esempi di simmetrie che abbiamo già incontrato sono le traslazioni temporali, le rotazioni, Ie riflessioni (destra-sinistra), il passaggio da un riferimento inerziale a un altro, ecc. Diremo invece inaarianzo un particolare comportamento del sistema per effetto di una trasformazione di simmetria: abbiamo visto ad es. che un sistema autonomo è invariante per traslazioni temporali, che molti sistemi sono invarianti per riflessioni, che il principio di relatività esprime f invarianza per la trasformazione fra riferimenti inerziali.. . Dobbiamo ora precisare questi concetti.

Riprendiamo in considerazione il primo esempio: le traslazioni temporali. Possiamo esprimerlo così: eseguo un esperimento oBBi, e lo ripeto domani; in questo caso l'unico cambiamento sta nella grandezza tempo. Mi chiedo: i risultati dei due esperimenti saranno gli stessi? In termini formali, cio equivale a sostituire neile equazioni del fenomeno la variabile ú con t - r (simmetria) e vedere se le equazioni restano inalterate (inuarianza). Nei casi che abbiamo visto finora questo accade sempre, ma attenzíone; ciò non significa che siano invarianti le soluzioni, cioè che sia u (f ) - x(t - t)! Ci aspettiamo solo che se e(ú) è una soluzione, lo sia anche r(t - r), ossia che I'ins'ieme d,elle soluzioni sia inuariante. Se I'esperimento è la caduta di un sasso, r(t - r), perché il sasso cade, e la sua r cambia nel tempo; ma se "(t)è+una soluzione, lo è anche * : trgU - r)2: iI sasso cadrà allo stesso , - lgt2 modo domani. Questo appare così ovvio che non si vede come potrebbe essere diverso; eppure, a stretto rigore, se ad es. tengo conto della ftorza di marea prodotta dalla Luna, I'accelerazione di gravità cambia nel tempo e I'invananza non c'è pirì! L n esempio pirì banale: se sto facendo oscillare un pendolo, e la sua lunghezza dipende dalla temperatura, non potrò aspettarmi invarianza se la temperatura cambia nel tempo, ecc. Abbiarno visto che rrei diagrammi di fase I'invarianza per traslazioni temporali si esprime nel fatto che non occorre introdurre il tempo come coordinata, 24a-'1

e che le curve integrali sono parametrízzate a rneno di una costante

additi,aa

arbitraria. f

nvarianze delltoscillatore armonrco

L'oscillatore armonico (ideale o smorzato) possiede I'invariaîza per traslazioni temporali, ma non è la sola. Il modo piu semplice per scoprirne altre è di esaminare il campo delle velocità nel piano delle fasi. Dalla fig. 24-t, e dalle corrispondenti equazionl (24-L), si vede che una rotazione di 180" attorno all'origine, che equivale a cambiare segno tanto a r quanto ad u, lascia inalterato il campo di velocità, ossia le citate equazioni. In poche parole, la simmetria tt+-f)

U t-+

-U

è un'invarranza dell'oscillatore armonico (anche smorzato).

Cio significa che se z(f) è un moto possibile, lo è anche -r(t) (ovviamente con altre condizioni iniziali). Ma cambiare r in -r significa invertire I'orientamento dell'asse r: l'invari anza che abbiamo trovata si esprime perciò brevemente dicendo che per I'oscillatore armonico d,estra e sinistra sono equiualenti,. Ora ci possiamo chiedere: anche restando nei sistemi con un solr grado di libertà, sarà solo I'oscillatore armonico ad avere questa invarianza? Si vede facilmente che la risposta è no: tutto quello che occorre è che lafoma che agisce sia una funzione di,spari, della posizione e della velocità. Per chiarezza) ripetiamo in altra forma la conclusione cui siamo arrivati: tutte le volte che il punto materiale è soggetto a una forza dispari, (nel senso detto sopra) accade questo: se a partire da certe condizioni iniziali r0, u0 risulta un certo moto *(t), siamo certi che partendo dalle condizioni iniziali opposte -lc1t -u0, avremo il moto descritto da -r(ú), che rimane a ogni istante simmetrico del primo. Possiamo dunque dire anche che I'invarianza consiste nel fatto che una data simmetria s'i conserua nel ternpo. E per questo motivo che nel gergo dei fisici di oggi si parla spesso di simmetrie conseruate. In particolare, se le condizioni iniziali sono esse stesse simmetrich"e (ossia invarianti rispetto alla trasformazione di simmetria considerata) la simmetria si deve mantenere. Nel caso dell'oscillatore armonico questa osservazione dà, un risultato interessante, perché c'è una sola condizione iniziale sirnmetrica: quella in cui il punto si trova nell'origine con velocità. nulla. Ne ricaviamo che lì deve restare, cioè che si tratta di una posizione di equilibrio. La cosa appare ovvia, ma è utile scoprire che ci si può arrivare con sole considerazioni di simmetria, e soprattuttc' vedere qual è il modo esatto di condurre il ragionarnento.

Ltinversione del tempo Esiste un'importante invarianza che è posseclrrta dall'oscillatore armonico ideale. ma non rla quello srrrorzato: I'invarianza per inuersi,ane del tempo. Si 24a-2

$f

tratta di una proprietà cire abbianro già discussa al Cap. 2)., rna che ora inquaclreremo nel discorso generale delle invarianze.

La trasformazione di simmetria in questione

t Se dimentichiamo per

v-+

-t,

t è t)

è

y t+ -?l,,

(24a-I)

un momento la trasformazione di f, nei piano delle fasi

stiamo portando ciascun punto nel suo simmetrico rispetto all'asse fr) ÍtLe- si vede dalla fig. 2l-2 che il campo w non resta invariato: la velocità, nel punto (*, -u) non è la simmetrica di quella nel punto (r,u). Ricordiamo però che abbiamo invertito anche f : ciò ha per effetto di cambiare segno a entrambe le componenti di w, e il risultato finale è quello desiderato: sotto Ia simmetria (24a-\) iI campo delle aelocità, è inaariante. La stessa cosa si vede anche direttamente guardando le equazioni (21-2). L'interpretazione fisica di questa invarianza è quella che nel Cap" 22 abbiamo chiamata "reversibifità": è naturale quindi che valga per I'oscillatore armonico ideale, che è un sistema conservativo, e non per quello smorzato. Se infatti appiichiamo l'inversione del tempo all'oscillatore smorzato, troviamo che le traiettorie originarie, che sono spirali che si chiudono, si trasformano in spirali che si aprono: passiamo dunque da oscillazioni la cui ampiezza decresce nel tempo, a oscillazioni di ampiezza crescente. Si noti che il punto essenziale non è che che negli oscillatori reali I'arnpíezza sia sempre decrescente, ma solo che la simmetria in questione ci porta da un certo sistema (l'oscillatore smorzato) a uno diverso: dunque non s'i tratta d,i un'inuarianza. Esercizio 1: Quali delle invarianze fin qui discusse valgono per ii pendolo (anche al di là delle piccole oscillazioni)? Esercizio 2: È possibile trovare simmetrie che sono invarianze dell'oscillatore

armonico, ma non del pendolo? (La risposta può essere intuita per via geometrica, ma la sua discussione completa richiede la meccanica analitica, che esce dal nostro programma).

Ltinvarianza per traslazioni spaziali Esistono ovviamente altre simmetrie che non sono invarianze per l'oscillatore armonico, ma lo sono per altri sistemi: r'ediamo un esempio. Consideriamo la traslazione spaziale (sempre limitandoci a una sola dimen* sione):

re+r*a. È chiaro che questa non è un'invariantza per I'osciilatore armonico: infatti il campo delle velocità, ha un punto fisso, che non resta lo stesso se si esegue la traslazione.

Pirì in generale ciò accade tutte le voite che esiste una forza, con una sola eccezione: se questa non dipende dalla po-sizione del punto materiale. Tutti gli 24a-3

esempi visti al C.p. 20, escluso I'oscillatore armonico, rientrano in questa classe, come mostrano le figure 20-4,20-6,20-8, 20-10, dalle quali si vede che il campo

delle velocità resta invariato per una traslazione della r. Le figure 20-5,20-7,, 20-9r 20-11 mostrano la stessa cosa per le traiettorie di fase. Per maggior chiarezza, ripeliamo in parole il significato dell'invarianza per traslazioni spaziali, considerando ad es. il caso della caduta dei gravi. Possiamo usare il solito principio del taccuino: se due fisici eseguono un esperimento di caduta dei gravi, in due laboratori posti a diversa aJtezza, i loro appunti sono indistinguibili. Si capisce anche che abbiamo dovuto trascurare la variazione della îorza di gravità con la quota: a stretto rigore i due esperimenti daranno risultati leggermente diversi, il che vuol dire che I'invarianza è solo approssimata.

24a-4

fff

25. Oscillazioni forzate e risonanza Abbiamo visto nel Cap. 2I che I'oscillatore armonico costituisce una buona approssimazione per le piccole oscillazioni dei pirì svariati sistemi; nel Cap. 24 abbiamo invece osservato che nei sistemi fisici reali sono quasi sempre presenti tone non conservative. che provocano lo smorzamento delle oscillazioni. Tuttavia è anche molto frequente, sia nella realtà naturale, sia nelle applicazioni tecniche e scientifiche, una situazione diversa: un sistema oscillante, che di per sé sarebbe smorzato, viene mantenuto in movimento grazie a forze esterne, che forzano I'oscillazione. Esempi:

- il pendolo o il bilanciere

di un orologio meccanico (se non ci dimentichiamo

di caricarlo) la colonna d'aria in un flauto -- i circuiti di sintonia di un radioricevitore - il campo elettromagnetico nella cavità di un N{ASER, rifornito di energia dagli atomi eccitati che I'attraversano...

-

Ltequazione differenziale Possiamo schematizzaÍe la situazione come segue: un oscillatore armonico smorzato è assoggettato a una forza esterna , - *f cosúrlf (con u.r1 in generale diversa sia da c.r.rs, sia da t,,'). Se inizialmente l'oscillatore è fermo, si metterà in moto, oscillando con arnpiezza crescente (la forza esterna fa lavoro positivo, ossia qualche sistema esterno cede energia all'oscillatore) finché I'energia dissipata dalla resistenza di attrito (che fa lavoro negativo) compensa quella guadagnata. Si arriva così a un regime stazionario, ossia a un'oscillazione cli ampiezza costante alla frequeíLZa ay" \tedremo ora come si ritrova rigorosamente quanto abbiamo asserito in forma intuitiva; ma dobbianr.o prima formulare esattamente il problema matematico. Per cambiare. partiremo questa volta dall'equazione del moto scritta per la coordinata Í, come equazione differenziale di secondo ordine:

i*ti*ufir

-f

cosufi.

(25-1)

Questa equazione, che naturalmente è valida per qualsiasi possibile moto del nostro oscillatore forzato, è ancora lineare ma. non più omogeneal causa la presenza del termine forzante a secondo mernbro. Sempre a causa dello stesso termine., il sistema non è più autonon'Lo. Che cosa possiamo dire in generale delle soluzioni della (25-1X Siano àr(t), hz(t) due integrali particolari: non è pirì vero che ah1 * bhz è ancora soluzione per o e b qualsiasi, ma solo se a * b: 1 (verificare!) Molto piìr interessante è pero un altro fatto: ht - à2 non soddisfa la (25-1), bensì l'equazione ornogenea associata;

il+^lrfu,'frr:0,

(25*2) 25-"1

ossia queUa dell'oscillatore smorzato

libero" Di pirì, vale anche il viceversa: * h1 è soluzione della (25-1).

se h6(ú) è una soluzione della (25-2), allora ho

Abbiamo dunque dimostrato il Teorema: L'integrale generale della (25-1) si ottiene sommando un'integrale particolare all'integrale generale dell'equazione ornogenea associata (25-2). Osservazione: Dal ragionamento fatto si capisce che il teorema vale per qualsiasi sistema di equazioni differenziali lineari non omogenee, e anche se il termine forzante non ha andamento sinusoidale. Attenzione: Non bisogna commettere I'errore di credere che per trovare la soluzione che soddisfa determinate condizioni iniziali si debba prima scegliere I'integrale particolare dell'equazione omogenea che soddisfa quelle condizioni iniziali, e a questo sornma.re I'inregrale particolare dell'equazione non omogenea. Al contrario,, prima si deve scrivere I'integrale generale dell'equazione non omogenea, e poi imporre a questo le condizioni iniziali. Esempio (banale): Se le condizioni iniziali per la (25-1) sono r : 0, ó : 0, la soiuzione della (25-2) che le soddisfa è r - 0; se a questa sommiamo un integrale particolare h1(f) della (25-1), la sornma non potrà piu soddisfare le stesse condizioni iniziali (a meno che questo non sia vero anche per à1, che sarebbe in tal caso già la risposta finale). Dal momento che noi conosciamo I'integrale generale dell'equazione omogenea associata, ci basterà trovare un integrale particolare per risolvere completamente il problema matematico.

Il principio di sovrapposizione Di grande importanza per questi sistemi è il seguente Teorema (principio di sovrapposizione): Date d.ue equazioni differenziali lineari (anche non omogenee) che differiscono al più per i termini n oli (ossia che hanno la stessa equazione omogenea associata):

i +'ti + a\r: (r(t) i+tr+e|r:€z(t) h1(t) e h2(t) sono due loro integrali particolari, allora è un integrale particolare d,ell'equazione

se

i

+

h(t) - a1h1(t)+a2h2(t)

1i * alr: or€r(/) + oo€z1).

La dimostrazione non richiede altro che Ia semplice sostituzione. Si vede che il principio di sovrapposizione esprime nel modo piìr diretto la Iinearità, delle equazioni, ossia della descrizione maternatica del sistema fisico in esame. Possiamo perciò vederlo come una formulazione equivalente della linearità, e ritenerlo valido. del tutto in generale. per ogni tipo di sistemi lineari. 25-2

Un esempio chia,rirà meglio la seconda affermazione. Una data distribuDr di cariche genera nello spazio un certo campo elettrico .dr i una seconda distribuzione D2 genera invece un altro campo Ér. S" le clue distribuzioni sono presenti insieme (senza che nessuna modifichi I'altra) il campo elettrico prodotto è esattamente la sorruna Ér + 82, ín ogni punto dello spazio. euesto perché anche le equazioni dell'elettrostatica sono lineari. A causa della sua generalità si preferisce talvolta enunciare il principio di sovrapposizione in una forma pirì espressiva da un punto di vista fisico, ma anche zione

pericolosamente vaga: In un sistema lineare se due c&use agiscono insieme producono un effetto ch.e la somma degli effetti ch.e ciascuna delle due produce se agisce da sola.

è

Abbiamo definito "pericolosamente vaga" questa formulazione, perché si nominano "cause" ed "effetti" senza definirli con precisione, e non si chia.risce che la somma va intesa nel senso di una precisa operazione matematica. Il punto centrale è infatti che il principio di sovrapposizione ha senso solo nell'ambito di una determinata teoria matematica, nella quale si riscontri la proprietà di essere Iineare.

Il regime stazionario Abbiamo già detto che deve esistere una soluzione stazionaria della (25-1), I'oscillatore si muove con legge sinusoidale, alla frequenza del termine forzante. Il modo pirì semplice di trovarla è di lavorare di nuovo nel corpo complesso, studiando, in luogo della (2b-1), la seguente:

in cui

i+121_ulz:fs-iutt

(25-3)

La (25-3) è un'equazione in cui il termine forzante è complesso, e perciò tali saranno in generale anche le possibili soluzioni per la funzione incognita z (osservazione banale: non è I'uso della lettera z che sta a indicare "complesso": avrernmo potuto benissimo usare r, u, o, o qualunque altro simbolo, senza che con questo cambiasse I'equazione!) Però la (25-3) ha un'altra proprietà: è a, coefficienti reali. La conseguenza è che se z(ú) è un'integrale particolare, allora la funzione coniugata z. (t) è integrale particolare dell'equazione coniugata

i**^lz*+r3z*:f"nrtr.

(25-4)

Ciò posto, il principio di sovrapposizione ci assicura che ogni soluzione z della (25-3) ce ne dà una della (2b-1), prendendo * *(, 'l ,*) Sz. Infatti

-

i ("-''r' + "i"t) :

-

"orrrú.

Cerchiamo dunque una soluzione della (2b-3) che abbia la forma z : zo ,.-it'ttt

25-3

Dato

che à

- -iwtzge-i''ttt

e

i - -a?zoe-i-t', si deve

avere

(-r? - i^tr, + r3) ro : f da cui

h:q

"o

- r,@3 - 4)=+ -+ (úrÒ-rm:try-zlffi

Se poniamo zs

:

j

r

^tQt

+

i(ul -'E)

Aeiv abbiamo subito

s2 A':b,

r ,?_r'R e-;*arctg};j-

(25-5)

D - (afi - w'112 + Ì2r1. E importante studiare come variano l'ampiezza e la fase dell'oscillazione

d.ove

stazionaria, al variare'della frequenza forzante. Per quanto riguarda I'ampiezzal la prima delle (25-5) ci mostra i seguenti fatti: - a basse frequenze (rt < crs) I'ampiezza approssim" f lr3 - ad alte frequenze (uy ) cuo) I'ampiezza tende a. zero come f lr?: I'esatto significato di questa espressione è A

.,l'*W-t -

esiste un massimo dell'arnpiezzaper

wl - ufi - il',

e vale f

llr,

dovecu è

quella definita nel Cap. 24. Se Z ( ir.r6 si ha dunque una notevole esaltazione delle oscillazioni (risonanza). Negli stessi casi, la fase ha il seguente comportamentol - a basse frequenze p ---+ 0 (l'oscillazione è in fase con la fotza esterna) - ad alte frequer.ze (p , rs ossia le oscillazioni sono in opposizione alla forza

- P-rf2Petut:LDo. II tutto

Il

è riassunto nelle fig. 25-1 e 25-2.

caso

1 K.i,o, ossia Q > 1, merita un esame particolare: il massimo della è agtzzo, e basta studiare valori di c,,r1 poco diversi da r,,'g.

curva di risonanza

Allora

n

-

(r3

e poi:

25-4

- ri)'+f

,?: (oo -rr)' (ro+,,,

A2=e#

)2

+t?,.0?

-

4r3 [(ro

- ,r)' + if)

,*;+.arct*T iT

Lù1

-

úJ0

Le caratteristiche essenziali sono:

- A risonarLza(rt : wo), A : f llwo e g : tr12. - Fuori risonanza, le curve sono simmetriche. * L'ampiezza si riduce di un fattore l,8 p"r lrt - rol : 1f2;

poiché in tat è dirnezzata rispetto alla risonanza, si dice che la "larghezza dí banda a metà aJtezza" (half-height bandwidth) è 7. - Negli stessi punti, I - r f 2 X. tr 14. - Per lrt - u0l > 1,Ia curva dell'ampiezza r.orl dipende da 1: A- f lQc,r6lctrl -koi). Tutte queste caratteristiche sono riassunte in fig. 25-3. La larghezza della risona^nza ci dà una nuova interpretazione del fattore di merito: Q - roll è il rapporto tra Ia frequenza di risonanza e la larghezza dí caso l'energia dell'oscillatore

banda.

Bilancio delltenergia E iot"."rsante stud.iare il bilancio energetico a risonanza. L'energia dell'oscillatore è

1 ) r) E- = ;mu"sA' -

mf2

n,

Questa si ma^ntiene costante, come abbiamo gia detto, perché La forza esterna fa un lavoro positivo che compensa quello negativo della forza d'attrito. Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza esterna: in un intervallo dú avremo (a risona";rLza

ut ? 'i0j r - Asintl,rOú) F d,r - Fu dt - 1mf

cosr-ef ) (c..,sA cos ttt)t) d,t

-

y{'1

cos2

ust dt.

Questa espressione dipende da / a causa del termine cos2 r,.r9l, che oscilla fra 0 e 1; il suo valor medio è112, per cui il lavoro fatto in un periodo è

r-$r-

Ì' lao

Trn

-r-E -'" a

Abbiamo così trovato un'altra interpretazione del fattore di meriio:

esso

mi-

sura (a meno del fattore 2r) il rapporto fra I'energia accumulata nell'oscillatore e il lavoro fatto dalla forza esterna in un periodo. líe segue che un oscillatore con Q molto grande

- risponde in rnodo selettivo

a sollecitazioni esterne con frequenze poco diverse

da quella propria

-

richiede pochissima energia dall'esterno per essere rnantenuto in oscillazione. 25-5

l Sono queste due qualità, sono (l'una o I'altra a seconda dei casi) che rendono pregiati gli oscillatori con alto fattore di merito.

Esempi di risonarrze come Oscillazioni forzate e risonanza sono assai frequenti e irnportanti anche al dell'ambito tecnica, di fuori nella fisica e nella -strettamente meccanico: vogliamo ora guardare pirì da vicino alcuni esempi significativi.

abbiamo già osservato

1. .Strumenti musicali: In quasi tutti gli strumenti musicali la risonanza gioca un ruolo importante, rna il caso più evidente e pirì semplice è quello degli strumenti a fiato della famiglia del flauto. Qui il sistema oscillante è ia colonna d'aria contenuta nel tubo; la forza eccitante sono le fluttuazioru irregolari di pressione prodotte dal soffi.o del suonatore sulf imboccatura. Il fatto per noi importante è che il termine forzante non è affatto sinusoidale, ma ha invece le caratteristiche di un "rumore bianco" (fig. 25- ). Si può considerare tale rumore come la somma di un gran numero di contributi sinusoidali, a diverse frequenze (Fourier) e grazíe al principio di sovrapposizione il flauto risponde a ciascuno, con un'ampiezza diversa a seconda della frequenza. Se il Q è sufficientemente alto, solo una ristrettissirna banda di frequenze darà. luogo a oscillazioni di arnpiezza apprezzabile, e il risultato sarà un suono pressoché puro. Per cambiare l'altezza del suono occorre e basta variare la frequenza di risonanza) cosa che si fa coprendo o scoprendo i buchi che esistono sul lato del tubo. Non si può fare a meno di osservare che una colonna d'aria come quella del flauto (o di tutti gli strumenti a fiato) non ha in realtà una sola risonanza, ma infinite (uno spettro): di conseguenza è possibile ottenere diverse note (armoniche) anche senza sfruttare l'apertura o chiusura dei buchi. È anche necessario avvisare che in realtà il semplice schema che abbiauro proposto non spiega a sufficienza il comportamento del flauto che ogni suonatore conosce. Perché se non si soffia abbastanza foúe il suono non si "innesca"? Perche se si soffia piìr forte si salta a un'armonica superiore? Infine, il suono è assai pirì puro di quanto lascerebbe prevedere il Q dello strumento, che non è molto atto (dopo tutto, se noi sentiamo un suono, e piuttosto forte, vuol dire che una buona parte dell'energia viene emessa nell'aria circostante). Tutti questi elementi puntano in una sola direzione: il funzionamento di un fl.auto coinvolge effetti non lineari, che qui non possiamo anafizzare.

2. Sintonizzatori: IJn caso apparentemente molto diverso. ma del tutto simile nei principi, si ha nella tecnica radio. Un ricevitore radio (o anche un televisore) ha un'antenna, che per effetto delle onde elettromagnetiche emesse da tutte le possibili sorgenti 25-6

*|

è percorsa da corrente elettrica. Questa corrente entra nel ricevitore e contiene sovrapposte tutte le informazioni provenienti dalle sorgenti. Il problema è quello di separarle, scegliendo di volta in volta quella clie interessa.

A cio provvedono uno o pirì circuiti risonanti, che si comportano anch'essi come oscillatori armonici: rispondono con molto maggiore ampíezza alle correnti aventi frequenza vicina alla propria frequenza di risona.nza. Si usano spesso pirì circuiti risona"nti "in cascata," allo scopo di aumentare I'effetto complessivo di selettività. Oggigiorno è molto comune I'uso di "filtri a cristallo," che utilizzano cristalli (di quarzo o altri) in luogo di circuiti LC: la ragione è che, come abbiamo visto, il 8 di un quarzo è di qualche orcline di grandezzarrLa11iore. È possibile impiegare la risonanza trLeccanica del cristallo di quarzo in un apparato eletin termini semplici tronico, perché il quarzo è pi,ezoelettrico, il che vuol dire -- che le sue vibrazioni producono cariche elettriche, e che- viceversa può essere messo in vibrazione applicando un campo elettrico. Un requisito essenziale di un "sintonizzatore" è di essere "sintonizzabile" su diverse frequenze: questo si ottiene facilmente nei risonatori elettrici variando uno dei parametri (di solito la capacita del condensatore). Non si vede facilmente come sintonizzare un cristallo, e infatti questo non si fa; si usa la tecnica della "conversione di frequenza" (,tr tempo nota come "supereterodina"), su cui non possiamo soffermarci.

3. Risonanze atomiche e nucleari: Un terzo esempio, radicalmente diverso nei processi fisici, ma ancora del tutto simile quanto ai concetti di base, è dato dagli atomi, dai nuclei, ecc" Conviene presentare la situaaione descrivendo un possibile esperimento (come al solito. semplificando molto e trascurando fatti non essenziali). ilella fig. 25-5 abbiamo un recipiente (una cella) a pareti trasparenti, in cui è contenuto un gas (ad es. vapore di sodio). Sulla cella si rnanda una radiazione elettromagnetica (luce visibile) e si misura l'intensita della luce che attraversa la cella e raggiunge un rivelatore. Se si varia la frequenza della radiazione, e si ripete la misura. un grafico dell'energia sottratta dal gas aJ fascio di luce, in funzione della frequenza, presenta una successione di "picchi" (righe spettrali,) (fig. 25-6). Abbiamo dunque un effetto selettivo analogo a quello del fl.auto: gli atomi interagiscono in modo notevole con la radiazione solo per certe frequenze. La radiazione sottratta al fascio viene dissipata con due meccanismi fondamentali: puo andare a scaldare il gas ( assorbimento) o può essere riemessa in tutte le direzioni (diffusione). Corne ci si può aspettare in conseguenza di questi effetti dissipativi, le righe spettrali hanno una certa larghezza" e si può perciò parlare di un fattore di merito. Inoltre si vede che la radiazione diffusa persiste anche se si spegne la sorgente di luce, con un'intensità che decresce esponenzialmente nel tempo; la costante cli tempo è legata alla larghezza della riga dalla solita relazione;

r -Il^r. 25-7

In

questo caso si presenta un fatto nuovo: le frequenze di risonanza sono

connesse a variazioni discrete dell'energia che l'atomo può avere (livelli energetici): la relazione è data dalla stessa formula di Bohr (LE : hu : har) che abbiamo vista al Cap. 23. l{ascono a questo punto una serie di problemi:

Emissione e assorbimento della radiazione hanno luogo solo in "quanti" discreti, e ciò porta ad attribuire carattere discreto anche alla stessa radiazione elettromagnetica (fotoni ). - Il singolo atto di emissione dovrebbe avvenire a un istante determinatol cosa che non si concilia col carattere esponenziale che si osserva nell'emissione da un insieme di atomi. - Se la risonanza non è ben definita, ma ha una certa larghezza. lo stesso si dovrà dire dell'energia del livello.. . La soluzione di tutte queste difficoltà si trova soltanto nella nreccanica quantistica. Esperimenti analoghi si possono realiasvas con i nuclei atomici; la differenza essenziale sta nell'ordine di grandezza delle energie in gioco, che sono circa 106 volte maggiori.

4. Particelle come risonanze: Sempre sulla stessa linea, possiamo condurre un esperimento che coinvolge "pa.rticelle." Cominciamo con un "bersaglio" consistente di protoni (nuclei d'idrogeno) sui quali facciamo arrivare per es. dei pioni (mesoni zr). Anche in questo caso si può misurare I'assorbimento (questa volta e pirì semplice contare le particelle) e si trova un risultato analogo al precedente. A titolo di esempio, la prima risona^nza si trova quando i pioni hanno un'energia cinetica - 160 N'IeV. e ha una larghezza (espressa in energia) di circa 130 MeV; tenendo conto dell'energia totale del sistema protone-pione (energie di riposo incluse) si trova un fattore di merito intorno a 0.1. Per analogia con gli atomi, si può interpretare questo risultato come la prova che esiste un "livello energetico eccitato" dei protone; in altri casi però la larghezza della risonanza è molto minore, e perciò la costante di tempo (aita media) è abbastanza lunga perché sia possibile rivelare direttamente il sistema nello stato eccitato. Allora riesce pirì naturale pariare di una nuova "particella": si vede così che la distinzione fra particella e risonanza non è affatto netta, e i due concetti sfumano I'uno nell'altro. Per fare un esempio pirì recente, la famosa Z0 è una risonanza con energia intorno a 90 Ge\t (1 GeV - 10e eV) e larghezza di 2.8 GeV, cui cornsponde una vita media r - lQ-26 ..

2,5-8

25a. Oscillazioni forzate e spazio delle fasi Come si muove I'oscillatore prima di raggiungere il regime stazionario? Il problema matematico è chiaro: dobbiamo trovare una soluzione della (25-1) con le condizioni iniziali r(0) : 0, à(0) - 0. La soluzione gia trovata non va bene: essa da c(0) - A cos(p, i(0) 0, cosa possibile solo se / : g.

infatti

A:

* erAsing, e dovrebbe perciò

essere

Ltintegrale generale Ricordiamo quanto detto al cap. prec.: I'integrale generale della (25-1) è la sornma di un qualsiasi integrale particolare e dell'integrale generale dell'equazione omogenea associata. Un integrale particolare ci è già. noto:

c

- ftz : ft (zge-''rt) : n (,+"ito-"'l) -

*

Acos(cp

,.'rt),,

con A e g date dalle (25-b). Quanto all'integrale generale dell'equazione omogenea, I'abbiamo visto nel Cap. 24, per es. nella forma

t : dove

t,,,

a

"-tt

/2 cos c.rt

-f b e-tt /2 sin cul,

è definito nella (24-5), mentre a e b sono costanti arbitrane.

N{ettendo tutto insieme, troviamo I'integrale generale

n

: Acos(g - rú) *

ue-^rt/2 .o,

ut + $""tt/2

sincuf

.

(25a-

1)

e dobbiamo solo imporre Ie condizioni iniziali. Però il calcolo è piuttosto lungo, e I'espressione finale è poco istruttila; possiamo imparare molto di pirì da una discussion e qualitatia a.

Le sezioni di Poincaré \bgliamo studiare le oscillazioni forzate di un oscillatore armonico smorzato usando la tecnica geometrica dello spazio delle fasi, gia vista al Cap. 21 per I'oscillatore libero. La differerLza essenziale è che I'oscillatore forzato non è autonomo: occorre allora ricorrere all'espediente della variabile ausiliaria. cui avevamo accennato alla fine del Cap. 20. Se indichizumo con q tale variabile ausiliaria, dovremo aggiungere I'equazione ri : 1, e la condizione iniziale q(0) : 0. Si arriva così al sistema di tre equazioni: r

-1U+-

,J (*l

Srnci/]q

(25a-1)

25a-I

Di questo sistema abbiarno già visto corne calcolare l'integrale generale, ma vogliarno evitare di disperderci in una discussione della sua complicata espressione, e interpretarlo invece per via grafica. Una difficoltà sta nel fatto che non è facile disegnare uno spazio delle fasi tridimensionale; ma ci viene in soccorso un'idea di Poincaré. La forza esterna è periodica, di periodo Tt - 2r f a1 ; è quindi ragionevole pensare che il problema si semplifichi se ci si limita a studiare delle sezioni dello spazio delle fasi, parallele al piano (*,u) e fatte per Q - O,Tt,ZTr,,... (sezioni di Poincaré). Una qualunque curva integrale del sistema (25a-1) verrà allora rappresentata solo dalle sue intersezioni Po,Pr,... con quei piani, che disegneremo tutti sovrapposti (fig. 25a-I e 25a-2). Da un punto di vista fisico, ciò corrisponde a fotografare I'oscillatore agli istanti \rTt.,2T]1,,. . .: a fare cioè un'analisi stroboscopica. In questo modo una soluzione periodica di periodo fi darà un punlo f,sso, mentre se la soluzione non è periodica il punto d'intersezione cambierà da una sezione all'altra.

Studio delle traiettorie Noi già conosciamo la soluzione periodica: è il regime stazionario. che nelle attuali coordinate ha equazioni

r:

f ósinu,'1/ (b cos art - a sin c.r1f )

acoscdll Ql

"- ; q--t.

Si vede che la traiettoria è un'elica di passo 71, avvolta su di un cilindro con asse

coincidente con I'asse q (fig. 25a-3). Se r,.,1 f u :non si tratta in generale di un cilindro circolare, bensì ellittico; ma questa non è una complicazione, dato che noi dell'elica vediamo solo i punti delle sezioni, che sulla proiezione (r, u) sono tutti coincidenti, come abbiamo detto.

Che cosa possiamo dire della soluzione generica? Occupiamoci in primo luogo della soluzione omogenea: sappiamo che nel piano (t, u) essa descrive una spirale, e che il tempo per un giro è T - 2r la;, in genere # Tt. Se ad es. ?1 è poco maggiore di ?, le foto stroboscopiche vengono fatte un po' in ritardo rispetto al tempo occorrente per un giro: vedremo perciò dei punti che avanzano in senso orario. Se al contrario Q è un po' minore di T, le foto saranno in anticipo, e i punti si muoveranno in senso anti orario (fig. 25a-4 e 25a-5). In tutti i casi però i punti andranno sempre avvicinandosi all'origine, perché nella soluzione omogenea tanto r quanto u tendono a zeto per f -* ooi ciò equivale a dire che I'origine è l'unico attrattore. Se ora sommiamo le due soluzioni (periodica e omogenea) avremo la seguente situazione (fig. 25a-6 e 25a-7): 25a-2

- per I : 0, P == O (perche questa è la condizione iniziale) - per t - Tt,2Tt,... P gira intorno al punto fisso Poo; in crr ( a (Tt > T) e in senso antiorario se oJq ) {'rr - in tutti i casi, P * Poo.

senso orario se

L'interpretazione fisica è la seguente: -- I'oscillatore inizia il moto con ampiezzapiccola (il punto P è vicino ad O) - l'ampiezzavia via cresce fino a un massimo. poi decresce e oscilla attorno a quella della soluzione stazionaria,, -- I'oscillazione si stabilizza dopo un tempo teoricamente infinito, ma in pratica dopo qualche multiplo della costante di tempo 1/7 - dopo questo tempo si mantiene I'oscillazione stazionaria. Si noti che lo stesso succede anche se si parte da altre condizioni iniziali: infatti nelle sezioni di Poincare P.o è I'unico attrattore, che corrisponde nell'intero spazio delle fasi a un attrattore periodico. Del resto, che le cose stiano così si vede anche dall'espressione analitica (25a-5) dell'integrale generale: quali che siano a e b, per f molto grande la seconda parte dell'espressione tende a zeîo a causa dell'esponenziale, e rimane solo la soluzione stazionaria. La fig. 25a-8 mostra I'andamento tipico di r in funzione del tempo.

I

25a-3

26. Ltoscillatore armonico bidimensionale isotropo Accade spesso di dover considerare moti sotto I'azione di forze elastiche non lungo una retta, Dà in un piano o nello spazio. Discuteremo ora le principali differenze e novità rispetto al caso unidimensionale, cominciando col caso di un moto nel piano. Quest'esempio ci servirà.poi per introdurre concetti di portata molto pirì generale.

Equazioni del moto, integrale generale, traiettoria

-

Innanzit ut t o precisiamo la schern atízzazione : il moto ha luogo in un piano

la forza è proporzionaie allo spostamento da un punto fisso O, con la stessa costante di proporzionalità in tutte le direzioni:

F

- -kí + i: -r2í (, - /m)

Si parla in questo caso di oscillatore isotropo: termine che sta a significare che il comportamento del sistema è lo stesso in tutte Ie d,irez'ioni" Abbiamo a che fare con un sistema autonomo, ma con due gradi di libertà: perciò I'integrale generale richiederà 4 costanti arbitrarie, e 4 dati occorreranno per fissare le condizioni iniziali. Introducendo coordinate cartesiane con origine in O si ottengono due equazioni uguali per le componenti di i:

ú: -u2x i) - -r2 a.

(26-1)

Non conviene ridurre il sisterna (26-1) 4 equazioni del primo ordine, perché " spazio delle fasi a 4 dimensioni, che la discussione geometrica richiederebbe uno non è possibile rappresentare ed è difficile "vedere." In termini astratti, quanto abbiamo detto per i sistemi con un solo grado di libertà resta valido (campo delle velocità, traiettorie, ecc.) *u ne faremo a meno. L'integrale generale delle (26-1) è

r: U:

- g) _ a cos at * B cos(c,,'f - ,lr) : ó cos ut I A cos(of

a' sin

u-:f

ó' sin

c.,.'t.

(26-2)

Abbiamo dunque due osciilazioni armoniche lungo i due assi, con la stessa frequenza ma con fasi e ampiezze arbitrarie. Dato che è sempre lrl f A, lyl< B, la traiettoria è certamente contenuta in un rettangolo di lati 2A, 28, col centro in O. Si vede inoltre che esistono istanti nei quali x : *A, e altri in cui A : !B: 26-7

dunque la traiettoria dovrà essere tangente al rettangolo. Eliminando cos e sinr,,'t dalle (26-2) si ottiene I'equazione della traiettoria:

(b'+b'')*' -2(ab*a'b')*y *(o'+ o'2)y' -

c,rf

(ob' -bo')'.

Si tratta dunque di un'ellisse, inscritta nel rettangolo già definito (fig. 26-1). In quali casi si ha un moto rettilineo? Dev'essere yf n - cost., il che è possibile sse p : ( o p - lb f r, ossia se i due moti componenti sono in fase o in opposizione. E anche possibile un moto circolare (uniforme): dovrà essere

A-B,g-2b*.n12. Le costanti del moto Dalle (26-2\ si ricava subito

i:-aAsin(r,-'ú-V) y - -aB sin(c..'/ * ú,)

(26-3)

ed è facile vedere, cercando di eliminare i termini in seno e coseno, che le seguenti grandezze sono costanti del moto:

x2+r2*2

tù-yr.

ùr+r'ry,

(26-4)

Un teorema generale, che non vogliamo qui dimostrare, ci assicura che per un sistema aulonomo in n gradi di libertà, esistono al pi,ù 2n - I costanti del moto ind,i,pend,enti: nel nostro caso 3. Dunque non dobbiamo cercarne altre, e ci resta solo da interpretare quelle che abbiamo trovato.

L. L'energia; E ovvio che le prime due hanno a che fare con Ie energie dei due oscillatori armonici lungo r e lungo g: infatti

E"

: l*r2A2 -

|mi2 + ltx2

- l*(t'

+ r'r')

e 1o stesso vale per Er.

Attenzione: La notazione Er, Ev non deve trarre in inganno: non si tratta delle componenti di un vettore! Naturalmente sarà anche costante la somma

E

:

E, * Eu -

i*@' + ù') + Lrtt(*' + y2) -

|muz + lkr2,

che viene spontaneo chiamare energia totale dell'oscillatore bidimensionale, la somma di un'energia cinetica e di un'energia potenziale:

leggere come

T 26-2

: in u2,,

v - |kr2,

e

\Ientre per I'energia cinetica non ci sono cornmenti da fare, dovremo tornare sull'energia potenziale, per capire la sua relazione con la forza elastica -fl" lfoúa: Quando si parla cli costanti del moto indipendenti non ci si riferisce alf indipenderrza lineare, rna funzionale: in questo senso non soltanto E non è ind.ipendente da Er, Ey, essendone ia sornma; ma neppurc E| oppure E"lE, lo sono. La defini zione esatta d'inclipendenza funzionale è compito dei corsi di Analisi, ma l'idea intuitiva è che una grandezza non sia determinata quando sono note le altre, come invece accade negli esempi che abbiamo dato. 2"

Il momento

angolare:

Possiamo vedere

la lerza delle (26-4) in diversi modi.

sando a coordinate polari: con la solita sostituzione tr

:

LTno si ottiene pasrcos Ú, a : rsinr9 si

trova

ry-yù-r2r9. Ricordando la (9-6)

L d,,

".^.

per la componente trasversale a"l'J, !!^!"r"rro^'*,vediamo che la nostra costante del moto esiste sse ort :0, ossia sse la forza è puramente radiale' Nel nostro caso la forza non è solamente radiale, ma per di pirì il suo modulo dipende soltanto da r (il campo di forze è simmetrico, ovvero invariante per rotazioni, attorno ad O). Un campo così fatto si chiama centrale,, e il moto sotto I'azione di una tale forza si chiama moto centrale. Si noti che l'esistenza della nostra costante del moto non richiede che la forza sia centrale (anche se questo è il caso di gran lunga pirì frequente), ma soltanto che sia radiale; tanto meno occorre che la forza sia elastica. Abbiamo dunque trovato un risultato molto pirì generale, valido per qualunque forza puramente radiale. Osserviamo poi che

o anche

íxú:(xy-aù)d",

(26-5)

í x dí : (rù - yx)€, dt. si può interpretare come segue. Il primo membro ha un modulo che

Questa misura il doppio dell'area del triangolo tratteggiato in fig" 26-2, e ii suo verso è quello di é, o i'opposto, a seconda che il moto attorno ad O sia antiorario oppure orario. Pertanto, se poniamo

ta grande zza cos\introdotta può It:H: I'area spazzata dal vettore É per unita

aetocità,

areate,in quanto

misura

di tempo.

Dunque: se la forza è radiale, Ia uelocità, areale è costante" Abbiamo così dimostrato la seconda legge d,i Keplero.

Per ragioni che vedremo in seguit studiando sistemi piìr complicati del singolo punto materiale conviene usare) invece della grandezza definita nella (26-5), quella che si ottiene rnoltiplicandola per la massa:

í-^íxú*FxF, o rnoTnento della quantità, di moto. Dunque: In un moto aincolato a un piano, sotto l'azione di una forza radiale, si conseraa

che si chiama momento angolare

Ia componente del momento angolo,re perpendicolare al p'iano. -lfota: In realtà i si conserva come vettore, visto che le altre componenti sono nulle per definizione in questo caso. È utile vedere la costan za d,e\ momento angolare in modo diretto, dimo-

strando che di ldf - 0. Calcoliamo:

di, _

dt

!,r xF):í*F*ÉxF:ú dt'

x(mu-)

llx F_ íxF.

Sarà dunque ai,1at : 0 sse Ia forza è radiale lungo tutta la traiettoria; anzi lungo tutte le trai,ettorie, se il risultato deve valere per tutte le possibli condizioni iniziali. Abbiamo così dimostrato di nuovo che condizione necessaria e sufiiciente per la conservazione del momento angolare è che Ia forza sia sempre radiale. 3" Relazione fra E e L,: Nell'oscillatore armonico isotropo tanto .E quanto -t" sono costanti del moto: ciò vuol dire che possiamo avere moti con valori arbitrari di ciascuna? Dalle definizioni che abbiamo dato si ricavano facilmente le relazioni:

E -|ma2(4zag'z) L, : ma AB sin(v' - p).

(26-6)

Datle (26-6), sfruttando la disuguaglianza A2 + 82 > 2AB, dove I'uguaglianza si ha sse A - B, si ottiene la condizione

E>ulL,l e per l'uguaglianza si richiede ? : l.' L r 12 (perché sia j sin(cp - rl,)l : 1) e poi A - B. Queste sono esattamente le condizioni per avere traiettoria circolare: a parità di energia, iI momento angolare massimo si h"a per ttn moto circolare.

Forza ed energia potenziale Abbiamo visto che per I'oscillatore armonico isotropo è possibile introdurre un'energia potenziale V, funzione soltanto clella posizione, tale che la soruna T + V sia una costante clel moto: si generalizza così il risultato trovatcr per un solo grado di libertà,. Vogliamo ora d.iscutere le seguenti questioni: 26-4

che relazione c'è

tra V e Ia forza F ?

' in quali casi, diversi da queilo

particolare qui studiato, esiste un'energia

potenziale con le stesse proprietà?

La risposta alla prima domanda si trova guardando perché E - T + y è una costante del moto. Scriviamo come varia I'energia cinetica tra l'istante t e l'istante t + dt, tenendo presente che in quest'intervallo di tempo la posizione del punto materiale varia di dí ú dt e la velocità varia di dú - d, dt: : mú.clú: mú.ddt (rnd,).(úd.ù: F .af . dT : Q6-7)

lma6.d)

-

Se vogliamo che I'energia

totale si conservi, dovrà dunque

essere

(26-8) dV -- -F ' cIí : -F, dr - Fn dy, in qualunque punto, e per quaisiasi spostamento df , ossia per arbitran dx e dy. Quanto a dV , pensandola funzione delle coordinate cartesiane. e ricordando quanto detto alla fine del Cap. 10. possiamo scrivere

d\r-Ya,+9!ay oî oy e

il

confronto con la (26- 8) ci porta subito u^t -

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t u -oy - --;-.

(26-e)

Le (26-9) sono le cercate relazioni tra forza ed energia potenziale, e si vede un'immediata generalizzazione della relazione F - -V', che avevamo trovata per il caso di un solo grado di libertà. Resta il secondo problema: se è data la forza (e quindi le sue componenti F,, Fn, in ogni punto del pia.no, come funzioni di r., y) come possiamo trovare V7 o meglio: sarà. sempre possibile trovare una funzione lr(r, y) che soddisfi le (26-9)? La risposta in generale è no; ma abbiamo il Teorema: Per un can'Lpo centrale V esiste sempre, ed è dala da una primitiua che esse danno

di -F". Dim.: L'espressione F forza è radiale; inoltre Se prendiamo

I/(r) in

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che compare nella (26-8) si ri