Esercitazioni di Fisica Generale I 9788846701844 [PDF]

Zitiervorschau

, I ,l:lr'i l,

I

INDICE Il 1"

nunìero si riferisce al capitolo degli esercizi, tl20 al capitolo delle soluzioni)

191 393

1.

N,TISURE ED ERRORI

2

VtrTTORI

3.

CINENTATICA DtrL PUNTO

6

s7i

,1.

LE EQUAZTONT DEL r\,rOTO

10

105 i

o.

DINAN{ICA DtrL PUI{TO NON VINCOLATO

11

107 'i

6.

DII{AN,{ICA TRASLAZIONALE DI SISTEN{I

113 / 118 ,""

DINAN{ICA NEI RIFtrRIN,ItrNTI NON INERZIALI

15 18 21 25 28 30 31 33 35

LE EQUAZIONI CARDINALI DtrI SISTEMI

38

DINANÍICA DEL CORPO RIGIDO

40 43 46 49 52

.

NON VINCOLATI -7

-8. 9.

DINAN,IICA IN PRESENZA DI

VINCOLI

.

.

LAVORO ED ENtrRGIA N,TOTO

IN CAN,{PO CEI\TRALE

10.

CONSERVAZIONE DEL MONTENTO ANGOLARE ASSIALE

11. L2. 13. 1I. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 2T.

OSCILLAZIONI CINEN,{ATICA DEL CORPO RIGIDO

CANIBIAN{trNTI DI RIFERIMENTO (CINEN,IATICA)

ENERGIA DEI SISTEN,{I

LEGGI DI CONSERVAZIONE PER I SISTENÍI .. FORZE IMPULSIVE E URTI PROBLEN,II DI N{ECCANICA

123 130 136 138

I42 146 150

r57 161

168

r74 r82

18L*

EQUAZIONI DI STATO E TRASFORMAZIONI TERNÍ ODINAMICHE

22, 23. 2]. 25.

I

IL 1" PRII\CIPIO DELLA TERMODINAMICA TL 2"

PRINCIPIO DELLA TERNTODINANÍICA

ENTROPIA tr POTENZIALI TERMODINAN,ÍICI PROBLEN{I DI TERN,{ODINAMICA

63 66 72 75 82

2r0 2r3 223

228 240

Prima parte ESERCIZI E PROBLEMI 1.

MISURE ED ERRORI

-f[ota. I] 7" esercizio

è una proposta di esperimento da effettuarsi con mezzi "casaIinghi", e dal risultato sempre gratifrcante. Meglio di ogni hezione serve a far capire |'origine di quello che viene chiamato "errore" associato ad ogni risultato di una misura,. I1 problema della propagazione degli errori, che verrà affrontato in generale nel 3o esercizio, qui deye essere risolto dallo studente in modo "artigianale". Le eguaglianze approssimate del 2" esercizio sono molto importanti e verranno spesso utilizzate: in fisica molte espression i diventano più comprensibili ed efficaci se riscritte trascurando i "terntini di ordine superiore", p.€s.log(1 + LVIV) -, LVIV, ecc. Infine il 3" ed i1 4" riguardano il problema della propagazione degli errori.

1.1 Vi propongo di misurare I'accelerazione di gravità g apartire dalla formula del periodo delle piccole oscillazioni del pendolo T:2nt/m

+

g:4n2llT2

procedendo nel modo seguente: procuratevi del filo sottile ma robusto, un oggetto di piccole dimensioni ma di grande massa che appenderete al filo. Attaccate il filo al soffitto o allo stipite di una porta e mettetelo in oscillazione, cercando di fare in modo che le oscillazioni si svolgano su un piano. Quando le oscillazioni sono piccole (= 10o) misurate con un cronometro il tempo corrispondente al maggior numero possibile di oscillazioni. Ripetete più volte la misura. Stimate al meglio I'errore su 7 dovuti alla sensibilità del cronometro e ai vostri tempi di reazione (eventualmente misurati a parte), e sulla misura della lunghezza del pendoio; quindi, dopo che avrete risolto il problema di capire come gli errori stimati su 7 e su 1 si "propagano" su 4tr2lfT2, sarete in grado di fornire il risultato della vostra misura

il relativo errore. Fate una relazione in cui dite quali materiali avete usato, come avete assemblato il pendolo, come avete proceduto a effettuare Ie varie misure, dei problemi che avete ,-lor-uto risolvere, e di quelli che avete individuato ma accantonato. Vi renderete conto tire fare una misura accurata non è tanto banale, in ogni caso dovreste ottenere un ed

buon risultato ( S = 9.8 m/s2 ).

L.E. Picasso: -Esercitaziotti di Fisic,a Generale

l

I.2 Siano n e rn interi positivi e lrl lema dinantico, note le condizioni iniziali.

4.L

La ìegge oraria cli un punto P soggetto acl uria opportrrna forza per un certo ts si lla

+ T) : (to), ii(t1y + Dire se iì moto è periodico ((t F(úo

T): 1Ì(ús). +T): i(l)

F1r=.

a) è tale che

Vf ).

4.2

Una palla viene lanciata dal pavimento con velocità iniziale d0 inclinata di 45' rispetto alla verticale, verso urì uìulo distantc d dalla posiziotie cli lancio.

a)

Deterrminare la condizione su d affinché la palla

urti il nìuro prirna di ritornare sul

pavimento.

h)

Supposto che la palla urti il lnuro, e chc nell'urto si irtverta la componente orizzontale della i,'elocità e resti invariata quella verticaie (urto elastico). determinare il punto (rispetto alla posizione cli iancio) in cui la palla rit,orna sul pavimento, il tempo trascorso dal lancio e la qttota massirna raggiunta.

4.3

La legge oraria cli rrna particella di massa nt, la cui posizione iniziale è r-6 e la

velocità iniziale r'(t)

:

,ú0, è

r-s cos ,';t

*3

re.trú

Deterrninare la forza,È a cui è soggetta la particella.

4.4

Un punto rnateriale P di massa ?n è soggetto ad una forza F Ia cui espressione in coordinate polari r,0, z è ( Fo - -kr? k > 0 (1) { r' : A'r (02 - or2 lrc)

IF.:0.

a) Determinare le costanti A e a in rnodo clie

(r'ft):P (costante) \gUl:Asenor Iz(f) :s sia una possibile legge oraria per

(2)

il punto P.

Si supponga ora di non conoscere la legge oraria (2), ma cli sapere soltanto che il moto si svolge su urì arco di circonferenza (con centro nell'origine). con legge oraria regolare. Usando solo questa informazione e la legge di forza (1),

b)

determinare gli estrenri angolari della traiettoria. i punti della traiettoria in cui la velocità è nuila e cluelli (o quello) in cui è massima c calcolarla.

c) Dinrostrare

che

il moto è periodico. 10

5. DINAMICA DEL PUNTO NON VINCOLATO -A[ota. fJ 3" c'sc'r'c.izio

r) rlrrasi rula riprctizit-tne rk:] 2'': assur.ncr'à un particolarr: sig'nifict-tto trt:llo studio dt:l ntot,ct larlia.le pcr Ìt: orlitr: cytasi citr:oLat-i nel ntot,o keplet-iarrc. L'escrcizio 8 è prati0, lr>0).

rì) Pcr quale valore cli r' ) 0 si ha equilibrio'/ \,Iostrare clie tale equilibrio è stabilc. l,) Qual è il periodo delle piccole oscillaziorri intorno alla posizione d' equilibrio?

i.4

Una rnolla di rna,ssa trascurabile. costante elastic:r A e una certa di riposo (lo).è clisposta verticahnente e ftssata al pavi:ìt'trto. Sull'estrcmo libelo viene lasciata caclere cla altezza h urra

o

irrnghezza Ilì?ì:S2ì à

)

c{ O( c{ C,(

m.

g q

C{ c{ G

I)eterminare la legge oraria clella nìassa nl finché è a contatto con ìa molla.

lrr ('alcolare la massirrìa conrpressione

clella rnolla. tt

-c-z-

ó_.5 Un punto materiale di massa nt:lkg si muove per effetto di una forza elastica dove la costante k : L N/m. Si strpponga che, per I : 0, r-: (0,4,0) ni. Determinare la legge oraria del moto e lil ttiassiura e la minirrra distanza dall'origine raggiurite dal punto durante il rnoto

F : -kr',

11

L.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale

il punto parte da fermo;

a)

se

b) c) d)

se ha una velocità iniziale

5.6 a)

1

se la velocità iniziale è

diretta lungo I'asse g pari a 3 m/s;

diretta lungo I'asse r ed è pari a 5 m/s.

Quale deve essere la velocità iniziale perché la traiettoria sia circoiare?

Data una particella P di mass m,

il momento angolare ls e la velocità areolare (rispetto all'origine O delle coordinate) se P si muove con velocità costante tl sulla retta ar i by * c: 0 in verso antiorario rispetto all'asse z. calcolare

Ca,lcoiare

il momento

angolar e

ía

se

P ha le seguenti leggi orarie:

b) r:Bcoswtlrg. lJ:Rsenrr.rt, z:0,, {.1:O. c) Legge oraria di un punto su una ruota di raggio E che rotola sull'asse r: r : -Rwt + Rcosc,,rú, U : R + Rsenu,'f , z : 0 prendendo come polo Q il centro C della ruota. d) , U:Rsenc,.rf , z:IJt; Q:O. ":Rcosclf Si calcoli anche L2 esi descriva qualitativamente il moto del vettor" i1t;.

5.7

Si consideri la seguente legge oraria di una particella P di massa m

r(t) :

a

cosr,.,f y(t)

:

bsenr,,'ú z

:

0

(equazioni parametriche di un'ellisse). Calcolare il momento angolare di P (rispetto all'origine delle coordinate) ed utilizzare il risultato per calcolare l'area dell'ellisse.

5.8

Si consideri la legge oraria

r(t): acosat y(t):

+Ib) z(t) -- ccos(at+ ù. a) Calcolare il momento angolar" ío e dimostrare che Ia traiettoria è piana. b) Dati

o, b,c segmento.

5.9

bcos(r,.'l

# 0, determinare

per quali valori di 4,,1 la traiettoria degenera in un

Si consideri la legge oraria

r-(t)

:

r's

*

ùst

Verificare che ,2 12

+

IrOt'

-A,

.

Uuna costante del moto.

5.10 La costante G che compare nella legge di gravitazione universale può essere misurata in laboratorio e si ottiene il valore G:6.7 x 10-11Nm2/kg2. Il raggio della Terra fu misurato da Eratostene ed oggi è noto essere Rr : 6.4 x 106 m. Sapendo che la Terra esercita su un corpo di massa m una forza F : *g, col g : 9.8 ^1s2, determinare la massa deila Terra. t2

Dinamica del ounto non vincolato

5.11 Calcoiare il modulo del niornento angolare rispetto al centro della Terra di un satellite geostazionario di massa m : 103 kg. 5.L2 Un segnale raclio lanciato clzilla Terra impiega 2.5 s a ritornare sulla Terra dopo cssere rimbalzato sulla Luna. Calcolare il periodo di rivoluzione della Luna attorno alla Terra. x 106m, e quello della Luna è di 1.7 x 106m).

(Il raggio terrestre

è

cli 6.4

5.13 A seguito di un urto con un meteorite, un satellite artificiale in orbita circolare : 42 x 103 km, viene completarnente fermato e inizia a cadere in verticale

cli ra,ggio R srrlla Terra.

a) Calcolare iì tempo che impiega a coprire i prirni 1000 chilometri di caduta, nelI'approssimazione in cui (in questi prirrii 1000 chilornetri) si considera costante I'acceleraziorre.

N.B. Si utilizzino

solo

i seguenti dati:

,R1

:6.4 x 103km. e g:9.8^1"'.

b) Stimare I'errore percentuale sul tempo I di caduta cornrnesso per

aver supposto

costante I'accelerazione.

5.L4 Trascurando Ia presenza dell'aria, qual è Ia massima velocità tangente alla superfìcie della Terra che può avere un proiettile perché descriva una traiettoria circolare prossima alla superficìe terrestre? (Questa è anche la velocità di satelliti di bassa quota in orbita circolare). 5.15

La Terra descrive attorno al sole un'orbita praticamente circolare di raggio ar

1.5 x 108krn I tU.A.(U.A.: unità astronomica) con un periodo orbitale (Tu.u - 3.15 x 107 s).

a) Calcolare la velocità, orbitale u1 della Terra. b) Sapendo inoltre che il raggio della Terra è Rt : 6.4 x 103 km e g : calcolare il rapporto fra la massa del Soìe e quella della Terra.

di l

:

anno

9.8 ntf s2,

5.16 Ci si propone di stimare il numero di stelle che costituisce la nostra Galassia, facendo uso esclusivamente delle seguenti informazioni: i) la Terra ruota attorno al Sole su un'orbita (quasi) circolare di raggio fi - 1UA (unità astronomica) - 1.5 x 108 km, con un periodo T - 3 x 107 s; ii) I Sole ruota attorno al centro della Galassia su un'orbita (supposta circolare) di raggio D - 2 x 10e UA ad una velocità us :250km/s. Siccome il Sole si trova alla periferia della Galassia, si faccia ì'ipotesi che (praticamente) tutta la materia che costituisce la Galassia si trovi a distanza dal centro minÒre di quella del Sole, sicché (se si suppone che sia distribuita con simrnetria sferica) può essere considerata tutta concentrata nel centro della Galassia.

a) Determinare il rapporto trIc lI,Is fra la rnassa della Galassia e qtiella del Sole. b) Se si suppone che le stelle della Galassia abbiano in media una massa uguale quella del Sole, stimare la distanza (media) fra le stelle. 13

a

\l

)

t

Í

L.E. Picassoj Escrcitazioni r/i Fisjca Cjenelale l

gl 5.I7

t "t

Una sfcretta di nìassa

77t

si nmovc irì un" nlczzo viscoso soggctta alla fbrza \riscosir

l'(t') \/ : -^rt' r' :rllit forza costa,ntc Fo: m,î.

à) I)eterrninare la lcgge oruìria clel rnoto

se Ia sfèrt:tta parte cla fertrra.

lr) I)etcrrninare ú(t) sc lzr sf'ere'tta partc con vclocit:ì rÌrr onz'z (1.

0)

inoltrc soggettu atl ritta forza c'ostiLtttt' {y. ii) Danclo per scontato che: e'siste. rleternrinarc la veìoc'ità. ìirnite dclla sferetta nel

ecl è

tnezzo.

lr)

Quale concliziorr" r,, i,, 1. ò (le\r(. ('ss('rc'so 0 se velso il btrsso). Clalcolarc il lavoro fatto dalla forza"

F.

8.9

Un bloccltetttt cli tttassa ,41 prro scivolalc o con I'orizzontale.

s(rnziì.

:ittlito

su un pittno iiscio, irrclirrato

cli un anqolo

1t

caso:

Srrl piauo sa dcì sistema cerchio * tnassa m e la reazione E che il piarro esercita sul sisteuitr. Si supponga ora che fra il piano ortzzontale e il cercliio non ci sia attritu. c) Sempre nell'ipotesi che il sistema inizi il suo moto cori velocità trascLrrabile dalla posizione cli equilibrio instabilc. calcolare anchc itr questo caso lti r-elocità dei centro del cerchio quando il sisterrna passa per la

srrzr

posizinne cli ecSrililtrio stabile.

2I.

Uri vagone corì due ruote cilindriche e omogenee, di nromento d'inerzia IG rispetto al propric, asse, può muoversi lungo un binario inclinato di un angolo a rispetto all'orizzontale. La massa totale del vagone * nrote è I'[, le ruote cli raggio r rotolano senza strisciare sul binario, e fra le ruote ed i loro assi non c'ò attrito. Iì vagone parte cla fermo. ciascrrna

a) Determinare la velocità del vagone dopo che ha percorso un tratto di lunghezza L. b) Calcolare I'accelerazione con cui scende il vagone. c) Stabilire se le componenti

parallcler al binario clellc rcazioni Fr F, che " esercita su ciascttna delle ruote sono uglraii fra cli loro o no. e calcolarle.

il binario

Supponiamo ora, che al soffitto del vagone sia appeso un pendolo, costitrrito da un filo di lunghezza I e da una massa m, puntìforme, con m K- X'I (I pendolo non influenza il moto del vagone).

d)

Determinare la posizione di equilibrio (rispetto al vagone) del pendolo ed il periodo delle piccole oscillazioni, mentre il vagone scende lungo il binario. Quanto vale detto periodo se Ia nrassa delle ruote (e quindi il loro mornento d'inerzia) si considera trascurabile?

e) Dire come carnbiano ie risposte alle domande c) e cl) se ii vagone, anziché risale il binario con velocità iniziale on.

62

scendere,

2r.

EQUAZTONT Dr STATO E TRASFORMAZTONT

TERMODINAMICHE

lloúa. Si utilizzino i

seguenti valori numerici (oltre, eventualmente, quelli ricavati corrispondente

R (costante dei gas): 8.31J/Kmol; temperatura a 0 oC :273K: l atm : 1.01 x 105 Pa.

nel 7" esercizio):

2I.I

Tbovare

a) il valore della costante

,R dei gas

in litriatm/Knrol;

b) il volume occupato da 1 mole di un gas ideale alla temperatura di 0 "C e alla pressione di 1 atm (condizioni "normali" di temperatura e pressione).

21.2 Un recipiente di volume V :2}litri è diviso in due parti di volumi Vr: Ol4)V V2: Ql,1)V da un setto divisorio mobile, inizialmente bloccato. Nei due volumi sono contenute rispettivamente rlr :0.5 moli e rL2 : 1 mole di un gas ideale e il recipiente è €

in contatto termico con I'ambiente a temperatura To :300 K.

a) Calcolare Ie pressioni pr e p2 nei due volumi. Ad un certo istante si sblocca il setto divisorio e si attende che il sistema si riporti all'equilibrio.

b) Tfovare

Io stato finale del sistema.

A questo punto il setto divisorio viene rimosso.

c) Determinare ia pressione del gas quando ha raggiunto I'equilibrio. ,9 : 0.4dm2 contiene n : O.2moli di un gas ideale ed è chiuso superiormente da un pistone scorrevole senza attrito, di massa JI :20 kg. II recipiente è in contatto termico con una miscela di acqua e ghiaccio (alla temperatura di 0'C). La pressione esterna è po : 1atm.

27.3 Un recipiente cilindrico di sezione

a) Calcolare pressione p e volume I/ del gas. b) Quale massa bisogna posare sopra al pistone

perché si abbassi

di

10 cm ?

2L.4 Un cilindro, disposto verticalmente e munito di un pistone di area .S : 1dm2 e massa trascurabile, contiene ?z : 0.25 moii di un gas ideale. Le pareti sono permeabili al calore. Esternamente la pressione e la temperatura sono rispettivamente ps : 1 atm e 7o : 300 K ed inizialmente il gas è in equilibrio con l'esterno. Quindi il cilindro viene messo in contatto termico con urr termostato a temperatura 7 e sul pistone viene appoggiata una massa LI :20 kg.

a) Quando il sistema ha raggiunto I'equilibrio, di quanto si è spostata Ia massa M, se

b)

7:500K

?

Per quale valore

T ai f la massa 1ff non si sposta? 63

L.E. Picasso; Esercitazioni di Fisica Generalr' l

21.5 Un cilindro di seziolte S e altczza 2h: 1nt. clisposto verticalurentc c r:hittso ermctictrmcnte. contiene al srro interno un pistone: nella parte inf'eriore sotto cotrtenttte n : 0.5 uroli cli un ga,s ideak' nrentrc al cli soprar dcl pistotte c'è il I'tttito. Il gas è irr equilibrio ternrico con un ternrostato. Il pistonc ha una lnass2ì r11 rii 2J0 kg e si trol,a a rnetà iltezza (h).

a) Qrral ò la tcrnperatttra 76 dcl terttrostatrt'l b) Qual è il rnassirno valore ,41p che può avere la occupi trrtto il cilirrdro'i

massa del pistortc affinchó

il

gas

2I.6 Due cilinciri 1 e 2 ttgttali disposti vcrticaiutetrte, ciascrllìo di volume I,'6 e altczza l, sono collegati alle basi cla ttn tubo cli .,'olttrne trascurabile. niunito di rtn rtrbinetto. I due cilinclri sono chir-tsi sttperiornìente' e sono ntttniti ciascuno di trn pistone cli massa À1, scorrcvoli con attrito trascurabile. Inizialmerrte il nrbinetto è chirrso, il pistone

finale in rnodo leversibile (in contatto termico con I'anrbiente esterno). Supponianìo ora e) che fra il pistone cd il cilindro ci sia attrito, rna non sufficiente ad alterare la posizione cli equilibrio finale del pistone (con la massa.4l); ir;) chc il nroto del pistone sia abbastarrza lerrto rla poter supporre che la trasfonnaziore del gas avvengà per stati di equilibrio.

b)

Caicolare

il lavoro fatto dalle forze cli attrito.

Raggiunto lo stato finaìe, la massa ,4/ rriene'rimossa.

c) Nell'ipotesi

che fra pistone e cilindro non ci sia gas nella consegrrerlte espansione.

attrito. calcolare il lavoro fatto sul

Voglianro ora rcnderci conto chc gli attriti o altrc cause di irreversibilita (sempre presenti) sono essenziali perché il sistema dopo che abbiamo posato Ia massa ,4y' suì pistone possa raggiungere spontaneamente I'eqrrilibrio.

d)

Supponiarno che, con la massa .4,1 sul pistone, il sisterna (in contatto terrnico con I'arnbiente) effettui spontanearnente una trasformazione reversibile (cluindi in particolare supponiamo che non ci sia attrito fra pistone e cilindro). Scrivere la forza che si esercita sul pistone in funzione clella sua posizione e mostrare che, grazie alla conser\?zione dell'energia (meccanica) del pistone, il pistone non

si porta mai all'equilibrio. 6B

il 1Ì 7" principio della Ternutdinantic'a

22.IO Un cilindro ternrictìnìc)nte isolato clisposto verticalrncute contiene elio (Hc.) alla tcrnperatura 7s : 300Ii. Il cilinclro è munito cli urr pistorre cii massa ?n, : 10 kg, al di:;clpra clel qrrale c'è il vitoto. Cilirrdro e pristone sclno c:ostnriti in rrioclo cla avere rrna capacita terntica trascurabile. Sul pistorte vietre posata ulìa nìzìssa ,41 clu 20 kg e si aspctta clie il sistenrzr si riporti all'equilibrio. a) Calcolare la tenrperatura Tl firrale del sistcrna. Il risultato dipende o no cla,ll'esistenza rli zittritrt fra il pistone erd il ciìincìr'o (arrrnìesso che l'attrito non rnoclificr|i la posizione firrale del pistoner)i

b)

Corrfrontare' l:ì prcssiorrc se fbsse stato corrìpresso

pi ncllo st:rto finalc

corr qrrella (iu."".) che avrebbc

il

gtrs

in nrodo reversibiie fino acì occupare lo stesso volume e verificare ntrtlericanrente clie p1 ) fi..,. (nel piano di Clapeylon lo stato finale pt,V si trova al rlisopra dell'acliabatica revcrsibilc passante per lo stato iniziale). R.aggiunto Io stato finale. la nrassa 11 vienc rirnossa.

c)

Senrpre nell'ipotesi chc il sistcrna sia terrnicarnente isolato, cleterniinarc il nuovo stato firtale. Rispetto allo stzr,to iniziale alla ternperatrira ft, il pistone sta pirì irr basso o pirì in alto'/

cl) Diniostrare clie (a,nche in qucsto caso, corìe rrell'esercizio precedente) I'irrevcrsibilità clella trasfbrrrrazione (p."r. la conlpressionc) è corrdizione nccessar.ia perché il sisterna possa raggiungerc l'eqrrililrrio.

22-II

Un sisterrta ò corttposto cla

rt,

nroli cli rrn gas ideale rnonoatclrnico e cla racliazione

terniica. L'equaziorre di stato c I'energia interna clcl sistcrna sono

ttRT- I 3 p: -f + tl : aTaV: 5aZ+i |nRT +

a:7.6 x 10-16 J/nr3 Ka.

a) Rappresentare le isotenne (reversibili) rrel piano

(p,V).

b) Scriverc I'espressione della capacità terrnica del sistcma a volunre costante. Nel caso di una ipotetica stella (nellc stellc non ipotetiche è irnportantc anche I'interazione gravitaziorralc) cotnposta di iclrogcrì.o nìonoatornico. di nrassa LI : 1031 kg e volrrrtre V : 1027 m3, per quale tenrperatura il contributo clella radiazionc alla capacità. terniica è piiri a qucllo del gas?

c)

Calcolare il calorc assorbito cd il lavoro fatto sul sistenra in una espansiorrc isciternra

revcrsibile da

li

a

Vz.

22.I2

Un cilindro ortzzor-ttaler cli volurrie 2V ò diviso in cirrc parti uguali da un pistone attritcl. Cli:r,scuna clelle clue parti contiene una mole 0, quali sono rispettivamente il nrassirno valore 4r,.* €d il minimo valore L,1'' possibili per la ternperatura finale dei due corpi all'equilibrio? d) Quant'è il niassimo lavoro li.,o* ottenibile dal sisterna? c) Corr la sola condizione

il lavoro tri,^* è stato ottenuto mediante una, rnacchina termica che sfrutta i clrte corpi inizialniente a temperatura 72 e fi rispettivamente come sorgente calda e

e) Se

il rendirnento con cui cletta niacchina ha trasformato calore assorbito in lavoro? Questo rendimento è rnaggiore, minore o uguale a quello di urra rnacchina di Carnot che funzioni fra le temperature T1 e T2? corne sorgente fredda. quant'è

il

78

Entropia

e

potenziali terntodinamic:i

24.L2 Una macchina termica funziona fra una sorgente "frecldiì" costanternente a Q : 5'C ed urra sorgente "calda" costituita da 300 litri cli acqua inizialrtrerrte alla temperatura Tz : 100'C. La sorgcrrte fredcla deve essere ccltisiderata conìc tenrperatura

Lln corpo cli grauclc cap:rcità terrnica.

La rnacchina firnzìona fintantoché la sorgente calda ha una tcrmperatura sllperiore a n. Si assumà che la niacchina sia inizialmente a contatto con Ia sorgcnte fi'edcla, e che: irlla fine si trovi nello stesso stato rli partenza. Tutto il sisterna (macchina f sorgenti) i: termicanrente isolato rìall'esterrno.

a) Calcolare il rnassirno lavoro cire si può ottt'nere dalla macchina e corrispondentetnente il suo renclirnento. Lo si confronti corr il rendimento di una lnacchina di Carnot funzionante fra Ie teniperatttre T1 e T.2.

lr) Nell'ipotesi tli ltrvolo

rnassinro e che

il fluicio tcrrnodiuanrico usato dalla niacchina

sia costituito cla 15 rnoli cli rin gas ideale. se in una espansione a contatto con I'acqrra

il

volume del gas aunrenta di rin f'attore 10. qual è dell'acqua prinia c cìopo i'espansiorre?

il rapporto fra

ìa temperatura

24.13 Un recipiente cli volume V è rochrrre lavoro. Qiiant'è il massint> lavoro utilc (cioe\ escluso qrrcllo fatto corrtro la pressione atmosferica) che si può ott 200 occorre imporre che r2,, < rf200, cioè (0.g)2:" < r/200 + rt,ù 12. 100

t

l

C'inenta,tica (Soluzioni)

tr: JÍllg per arrivare a terra. vi ritorna clopo un tctnpo At2: 2VEí;E:2rtt poi cìopo tttt tempo Af3 :2r'2tt,

b) Ir,a prima volta la pallin:r

irnpicga urr ternpcr

eccetera. Quirrdi compie I'cnrresimo rinrbalzo dopo urr tcnipo ú,. clato cla

( -úr +2tr+ -tt +2tL(t + r + r'2 +...+ r''-t) - -.t1 +2tr=l-l' l-/' qrrindi tv 1t1(1+r') l0-r') --5.75s. perciò dopo 6s la pallina è: fcrnra. t,:

Vrz

3.11 Preso I'asse .r orizzontale, I'asse g vcrso I'alto e I'originc neila posiziorie iriiziale dcl proiettile, ie leggi orarie del proiettilc (1) e dell'oggetto che cade (2) son_,9rorg V0 + alao-r19. Vr b)

Siccome il moto a.lJ.otu.e unifbrrne le componenti tangerrziali della gravità e della reazione vincolare si devono equilibrare, quindi

_'mgsendt-R1

il 2" membro TJn^ .,ra^lru:e_

:g'

lfi,l< F"Rn + rt"t

è massimo

per

.U. qjc,up.rz,.n- sj,

cosd

gl

sin9l-

.gCOSA+\t't'

-- -of wzr'e vale

v0

gl/rt,z -

O'.

-:. g è gl@rr- g).

at"tjrtrrt 'niznsSnriizzarrùu ;ìr "ltuntÈî?ftîJit: y'1-stlr? |

minirnizzando il clenonrinatore: gcos

0+u2r )

,,s2r'

-g,

quindi /r3t. >

7.10

z verso l'alto, origine nell'estrerno inferiore della fune. La tensione r nel pulto Z è il modulo della forza chc il tratto di corda z ) 2 esercita sul tratto z 12; siccotne la corcla è fenna il risultante delle forze (forza dovuta alla tensione

Asse

*forzapeso)su1trattoz : T)

T2

Siccome d1 è diretta verso iì centro cli rotaziotre, è parallela alìa tensione il, quindi anche íz: ít - mdt ha la stessa direzione, cioè Ie due masse sono allineate con il centro di rotazione.

t27

)

L.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale

j

b) Poiché Q1

:

r ,.

,, ^ a2: w-In

^

ra-Ln,

si ha

3 e, n : ,md-t rL^

T2

: md-l2, n. ^

7.r2 Notazioni come prima. (+

)mtat:mtgtTt-12

| *rd, -

mzd

i- iz

.

Se oscillano allineate con il punto di sospensione, le componenti tangenziali delle due suddette equazioni sono

( 1.. )| ;0 2.. [ 10 :

-gsend -osend

e sono coJpatibili solo se Ie due masse sono ferme (indipcndentemente dal fattt-r che le masse siano uguali o no).

t22

I

8.

LAVORO ED ENERGIA

8.L

a)

I1 risultante delle forze sul corpo è parallelo al piano inclinato e vale (

) -S seno l^g sena -

e

cosa

nel tratto liscio nel tratto scabro

il corpo si ferma se nel tratto

PamICOS0

b)

!,amg

) ntgsen0 =+

sqabro

tan'a 1

la forza fa lavoro negativo, quindi Ha.

Siccome il corpo è fernro all'inizio e alla fine, tratto percorso nella parte scabra

mg(L + D)sen0

-

p"am,lDcoscv

: 0 +

il

D

lavoro deve essere nullo. Sia

-

D il

Iseno /rd CoS (l

-

Sen

cY

8.2 Nel tempo At arrivano al casello tutte le vetture che inizialmente distano da esso neno di uAf , cioè n uAf . Quindi se Aú : 1 si ottiene che il nurnero di autovetture che passano per il casello nell'unità, di tempo è u: nu. Nel caso numerico considerato, 20 autovetture/rninuto. 8.3

a)

Siccome ìa veìocità degìi elettroni è costarrte. e da quella viscosa è nullo. Qriindi Ln,i".

b)

-

-2neER.

Per quanto sopra 1u2 : forza eE su un elettrone

W

il lavoro (totale) fatto dalla forza eE

eEu + u: eEll

e quindi la potenza sviluppata cialla

è

- "'E' 11.

c) Sia lV il numero di elettrorri di conduzione nella spira. La potenza sviluppata tutti gli elettroni è ll'6o1

:

IVW

:

su

Ne2E2 1^,.

Il

numero di elettroni che attraversano una sezione delia spira nel tempo Aú è uguale al numero di elettroni che inizialmente distano dalla sezione tnerìo di uAú, cioè (-n//2rB)uLt. Perciò il rmnrero di elettroni che attraversano urìa sezione nell'unità cli tempo (Af : 1) è u--

.A[u 2n R.

quindi (1u ll,lot

:

eE)

" :2ruReb,. J=> r/: : 2ruR-,,21;2 ??' r23

l,tg!__t11sq_1 -

2irReE

L.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale

7

8.4 ,É,tott è couservativa: il lavoro tra clue punti esterrii alla pila è nullo se la traiettoria tutta esterna alla pila, è cliverso da zero se la traiettoria attraversa la pila cla un

è

polo all'altro. 8.5

.ur,t"rvativa solo se irerpenciicolare ai piani: in tutti gli altri casi si póssono (p..r. un pel'colso rettangolare nlezzo dentro la. regione clove ,È * 0 r,tezzo fuori, con i lati paralleli agli assi r e y) sui quali il lavoro è " clivcrso tla zero. Irrvece. r" F : (F(r).0 0). rPz rPz rPz L- | F'útlt: I Ptr)rrlt: ,IP, et.r)rlt. I JP, JP, dipende solo dalie ascisse rr, 12 dei punti Pr, Pz. -É è

trovare percorsi chitrsi

8.6

a) Lungo il percorso (rt,yt) -- (rr,yr) --- (rz,Uz), siccome srr ogni segmento la componenter di F parallela al scgmento è costante. si ira

L: kat(*, - rr) -

- at): -k(rtyl + r2y2) nrentre sul percorso (r1 ,At) - (rr,!lr) -- (*r,yr) L: -krt(az - ur) * kyz(rz - r'r) : k(rtlJt * t'zaz) cluindi

F

k:r2(y2

rtot, è tura forza conservativa.

b) t 0:cosg; j'0:senp î'e:-senlrt j.Q:cospi r: Q COS9r: A: g Sen(p; f p= f .Q: -F! cos g * Fa sen 9, Fp: F .g - -F" s€ìng, t Fr cosp ;

F,,:0;

- -kp. Il lavoro litngo la-sireonferenza g : F,"

Qo

non è nullo e vale

-2rkp!.

8.7

a) Strpponiauro che il quadrato sia in un piano Z: ?o, fra Ie rette r: r71 'x::L2: !/ : l1r, ,U : gz. Su ogni lato la componente cli F parallela zil lato r) costtrnte. quindi si ha

L

:

kyt@,

-"r) * k*z(y, -

ar) -t kar(r'r

Analogamente (e anche piir semplicc)

jÌr:.l0oa:ao. b) II

î,f

versor-e tangeute alla

rz-xt -

L

- rr) r krr(a, -

4 : 0 se il

az)

't:-- _22-zt L 124

0.

qua

- : I,

* ^'g' sen2 a * 2kmgD sen a ). E(mgsena d) Come nel caso precedente: il blocchetto si stacca quando ripassa dalla posizione in cui è venuto a contatto con la molla, e ritorna alla posizione di partenza. u

8.10 Per il sistema costituito da una particella di massa lr: ml2 nel campo di forza (centrale, e quindi conservatívo) (q2 lr2)r l'equazione che esprime la conservazione dell'energia è

7rq2 - : costante ;lLu'+ zr dove r' : r-r - i2, ú :

úr----d2. All'inizio c'è solo I'energia potenziale U --

q'ln;

alla fine c'è solo energia cinetica:

1.,q2 2'D

- tlLt' : -: Siccome

il

.

centro di massa è fermo e le masse sono uguali, la velocità, relativa

:2ur - 2uz, da cui ur:I)2:\/q'l*D

è

u

8.11

a) Ii problema si discute come prima: si considera il sistema equivalente di un corpo di massa pari alla massa ridotta. Dalla conservazione dell'energia (per il sistema ridotto)

I , Gmym2 _Gm1m2:r,ra__ pnp, D t26

Lavoro ed energia (Soluzioni)

si ottiene

|

2

Gm1m2

-ut,o:2r' Rt*Rz b) Il

Gmym2

u:\l2c(ru*mz) '\rdr*Rz (". -_1, D) ll

+

D

sistema è isolato, quindi dalla conservazione della quantità di moto si ha

mtÚt * m2ú2 : g

=+

TtLtUI

:

m2u2

quindi le due velocità" hanno versi opposti, per cui

u=1fi-úrl:u1 lu2. Quindi u1

* u2 :

I 1f2c(ru

?)r: *r\,1

(,?nL

*

tn2l

/ 1

(nr * n, -

+ nr) (n, . n,

8.12

_

t\ D

)'

Thtul

:

Tn'2'u2

è

7l L1

D

)

u2: ;;rr.

,/-

a) Consideriamo il sistema di una particella con massa ridotta F : ml2,

energia

potenziale Lrkr2 e velocità iniziale 1) :'t)r * u2 - 2uo. Si ha la massima compressione quando u, Ia velocità relativa delle due masse, nulla. Detta rs Ia massima compressione, dalla conservazione dell'energia si ha

7 ,^ \r : 1, t

]ktN +

,uQrolz

ro

è

: rs\/Wk.

b) La

seconda massa si stacca dalla molla quando questa ripassa per la posizione di equilibrio, quindi il contatto con la molla dura mezzo periodo:

Al: Tf2: "{ffi:

nt/nJ2k.

c) La velocità relativa è ancora 2us, quindi la massima compressione è quella calcolata prima. Nel momento della massima compressione le due masse hanno la stessa velocità quindi, siccome la quantità di moto si conserva, Ie due masse hanno

8.1_3

a) Il moto della

massa, sia che si svolga sulla sfera o in caduta iibera, è sul piano verticale passante per-il centro della sfera, la sua posizione iniziale, e parallelo a úo (^d e Ia reazione ly' sono parallele a detto piano); le equazioni del moto sono identiche a quelle di un pendolo con sbarretta rigida di lunghezza R: quando la componente centripeta l[" della reazione della sbarretta è positiva, la sbarretta può essere sostituita da un filo, quando 1ú; < 0 può essere sostituita dalla superficie esterna della nostra sfera. Quindi il moto può svolgersi sulla sfera quando lf, < 0 (.ú verso I'esterno). Siccome (con d definito come per il pendolo) (

l/,-,

g\

: m*,,2 fi.

-f mg cos d, 727

L.E. Picasso: Esercitazioni di trisica Generale

,V"It*0 + Ir:Iz. c) I.: Ip?* 12n22* \nl:g con It,Iz,Iz ) 0 è possibile solo se uno (o tutti) degli l, p.€s. 11, è nullo e rL2: TLs:0. d) 1, - Irn?-tl2n|*ftnl è In > I1(n2r+n|+rfr) - It In I lz(n2r+nl+"'r) - Iz. 16.5

a) Prendiamo I'asse r nel verso di

u-s

e verso destra e

gli angoli crescenti in

verso

antiorario. uP

lr)

:

uo

+ QoR:

{t\lt [=0

se uJ6

)

0

seuJs(0.

il momento angoiare rispetto a qualunque punto O sull'asse n in quanto rispetto ad esso la forza di attrito ha braccio nullo, la reazione normale e Ia gravità hanno risultante e momento risultante nullo. Preso I'asse n per O ortogonale all'asse r e diretto verso il punto di osserva,ziorte, siccome nella fase di moto puramente rotatorio up :0 + uc: -aR, si ha Si conserva

Ln: Icu - I\[Rus: costante +

I"ro- LIRuo- I"rf t62

\__

-t LIR2ay

+

Dinamica del corpo rigido (Soluzioni)

df : u1

c)

--

Itro - LI Rro: IC+ArR, -Ra' : I\

2Rws

-

5ls

(oo > o)

(ro
0 se concordi con I'asse .r). Scrivianro Ia 2" equazione cardinale per una ruota, prendendo come asse per i momenti I'asse della ruota (oppure si potrebbe utllizzare la 1" equazione cardinale):

If ,t:

.F"r?'r

a)rrL: -i

,

=à

f.r"

^I

e analogamente

rî lrT M + tî lr? + If

F^

L ZS

-

rf l,? rf + l,? + If

lr|

F

F. lr2,

18.4

a) Il sistema non è isolato: su di

esso il binario esercita forze di attrito statico incognite, per cui non si può garanlire a priori che abbiano risuitante nullo; quindi, in generale, la componente di Q parallela al binario non si conserva. Se però i due carrelli fossero identici (v. domanda c)). per ragioni di simmetria si potrebbe affermare a priori che le reazioni dei binario su un carrello sono uguali e opposte a quelle sull'altro: nella risposta alla domanda c) dimostreremo esplicitamente che in questo caso la componente di Q parallela al binario è una costante del moto.

b) Prendiamo I'asse r parallelo al binario. Sul primo carrello il secondo esercita la forza F : -k(rr - rz) e, viceversa, il secondo carrello è soggetto da parte del primo - alla forza -k(rt - ,t) quindi, per quanto visto nell'esercizio 3, Irtr"oir : -k(rr - ,r) Nh.s : It'It + 2If lrl I Mr"o iz: rr) Ì\[z"n I -k(r, = L[2 + 2If lr] che sono identiche alle equazioni per un sistema isolato di due particelle di masse I\'írcn, A'Iz"n. Quindi (sommando le due equazioni) si conserva la "quantità di moto efficace"

Q": :

lvIrcn

ùt

*

e l'equazione per

LI2.s 12

moto relativo

Heff: periodo è dato da

ed

r:

trr

- rz

è

L[rcn L[z.r

^r*-+1ur*

Fetr

'l-)-

k c) Se

i

due carrelli sono identici (.411 : AIz

conservazione di Q!tr si ha

L,[,

If :

I3

f, T1:

T2

r),

dalla

ilL.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale

(M + 2I lrz)(ir + ùz) : quindi

il

0 =+ ir

ùz

-t-

7

:0

moto del centro di massa è uniforme; in questo caso

del rnoto.

Q,

è una costante

18.5

a) Si può ottenere

I'equazione del moto dalla conservazione dell'energia:

1 1 E:;L,t'2 + if*': (l'origine dell'asse riposo) quindi

b)

r

3

í-O:

-kr

è stata presa nella posizione deli'estremo libero della molla a

Sia F" la forza di attrito (statico) agente sulla ruota. Dalla 1'equazione cardinale e la conoscenza di

i: mù : -kr * F, + I

c)

3 , ,2r2 .', + ) , : 12 I - !mr2.

F,

ll

t-r,mg

Preso I'asse

r

F, : kr

:'=f, - ?,r* 33

3!t"mg

+ lrl I

lungo if piuno

iniinuto e diretto

ls dall'estremo fisso, ora I'energia

E

11

: ;Iu;2 + ;trr' - mgxseno

La posizione di equilibrio

,:

verso

il basso con l'origine a distanza

è

?r^n

=+

: -kr *

mgsen 0.

è

mo sen o k

quindi l'ampiezza delle oscillazioni

d) La 1" equazione

cardinale

è Lr : r

ed

il periodo

è Io stesso di prima.

è

mù:-kr*mgsenalRt e siccome nella posizione di equilibrio

r:0 e kr:tngseîe, è Àr:0.

18.6

a) Prendiamo I'asse r lungo la retta del moto, e I'asse A verticale. Scegliamo come polo il punt\ 0 di contatto fra I'anello e il piano orízzontale: rispetto ad esso è nullo il momento delle reazioni dei piano sull'anello. Esso tuttavia t752 non è parallela a quella del centro di massa, che si trova sulla congiungente CP, quindi deve essere ttilizzatala 2" equazione cardinale nella forma è un polo mobile la cui velocità

Lst -i :d

;rr, n1h

- Ús AQ' 178

Leggi di conservazione per

i sisteni (Soluzioni)

Scriviamo il nromento angolare rispetto all'asse per Q ortogonale al piano r, g (asse z). Siccome Q è un punto deil'asse istantaneo di rotazione (e quindi come punto appartenente al corpo rigido ha velocità nulla), -Le può essere scritto in termini del momento di inerzia, che è la somma di quelto dell'anello e di quello ml?f)2 d,'(0) :2R2(1 - cosd) si ha deiia massa rn: posto d(0) :9p,

Ln: Ia 0 :

*

md2(0)) 0

il termine (do n 8)

Calcoliamo (do n

(zm n2

Ó)":

u? Qo

-

ul

Q,:

:2(t\[

+ m(l

-

cos e1)n2e.

",

wl Q,

ciato che t-o è parallela all'asse r. Si ha oe : ?)c : -ne 1si noti che tre è la velocità con cui si sposta il poio, e non la velocità del punto del corpo rigido, che è nulla); la quantità di moto totale del sistema Q è la somma della quantità di moto dell'anello, che ha solo Ia cornponente orizzontale, e della quantità di moto rndp della massa m, quindi Qa - *ul : mRT sen d. Quindi (r-o n Ó)"

:

uf; Qa

g.

-ntR2g2 sen Essendo NIî : -mgRserr 9, finalmente possiamo scrivere I'equazione del moto, tenendo.presente .che siccorne il nomento d'inerzia rispetto a Q non è costante

L:

d(10)ldt

2(L[ +m(1

-

I

-

I0:

cos 0))R'z0 +2mR202sen

0:

-ntgfisen

0

+rnR202send

e semplificando

2(LI -r m\r

b)

-

cos 0)) Rà

+ mRà2 sen d - -rns

sen d.

Per risolvere il problema con la conservazione dell'energia basta scrivere I'energia potenziale, che è da.ta semplicemente da (J : -Tngfi cos 9, e I'energia cinetica che, essendo L)p : d(0) e, è data da

I ^.

1

_

1

E,: itn e' + |ntr'o: ;n2Qnt i2rn(1 - cos 0))0'. Il ,estl a"t proJ.dinrentJ è standar d, (dE ldt - 0), e non c'è dubbio

che questo

secondo metodo è più sernplice del prirno, che per contro è più istruttivo.

18.7

a) Si conservano I'energia totale del sisterna E e la componente orrzzontal" Q, della quantità di moto totale. Non si conserva la componente verticale della quantità di moto in quanto le forze esterne (gravita e reazione del piano) sono verticali e non è possibile garantire a priori che abbiano risultante nullo: in effetti, dato che il pendolo oscilla - e quindi il centro di nrassa del sisterna si sposta in verticale non si fanno equilibrio.

b)

Sia a-. la velocità (rispetto al piano) del centro di massa dell'asta. Si ira

2E:

hIù2

Imu/+

IG02

-nrglcosg,

dove 779

Q,: xIù*rnul

à

d / I | G rc. ,t ' ^\ /^ ,l:,tt@+isend) Ic-1m12. , ,,?:;(, ,, -tcosg)12.

Si ha quindi:

lru: ì1 I

Q, :

(À1

-lm)ù2 +r5*t'0'*mtLùcosd -mglcosd

(nI + m)ù +

rmlo c) Dalia conservazione di Q"

cosg

:

:

-mglcosd6

o.

1m, *+rm+Mlsend:costantc qrrindi quando d passa da g0o a -90"

, Lr : ffi,

d) 1" modo (mediante I'uso delle leggi di conservazione). Sostituendo nell'equazione di conservazione dell'energia zíone delia quantità di moto, si ottiene:

i

ricavato dalla conserva-

7 m .:, ' ^ 1-r' gcos 0 : -g cosds. + - 4m + Ml?" cos'0 510'Derivando rispetto al tempo e scartata la soluzione d ?,U

- ;^+ilè

cos2

t*

;ffitA2send

cos g

:

0:

+ ssen0 :

0

2" modo (nel riferimento del vagone). Prendendo i momenti rispetto all'asse di sospensione:

1 ^.. I - -rng, se" 0 -

5m1'z0

m

I

rù

cos d

(il secondo termirre a 2' membro è il momento risultante della forza apparente) e sostituendo a r I'espressione che si ottiene derivando I'equazione di conservazione della quantità di moto:

,.À t * I m i..- -;1 .mrldcos ;ffirc2 ^

sens.

si riottiene I'equazione precedente.

3o modo (nel riferimento inerziale).

Si prendono

i momenti rispetto all'asse (mobile) di sospensione:

,7, icos : 1 .": 1 .,7_, Lo: Lc-r | (;10 (1te + rcosd) 0) + i*t ,mtzg + ,mt dLo, 1 ,.À I i- + ,mlù9 send - -mgtsend

;

(il secondo termine a 1o membro perché l'asse di sospensione è mobite); svolgendo i conti si ritrova l'equazione precedente.

e) Dalla conservazione dell'energia e della quantità di moto, per esempio dall'equazione ricavata all'inizio della risposta alla domanda d), si ha 180

L=-

Leggi di conservazione per i sistemi (Soluzioni)

s(cosd-cos

0ù:l,t'_ 3

m

)n

'À) =(:-1 1_ T rr.ortd)td' \3 4m1_Al / 4,n+MLa'cos'a=

) 0, quindi g(cosd-cosdo) >0 + -00 10(t)

il

distacco è zfr

o+

)

0. cioè

u, 2s(AI-,+ m)

Si ha

ttt nrt--M+m -k(z+nz3; per cui ii punto di distacco è ancora

: : 0.

1 (J(z\:!k,r' ,) ' t ,a:-) '

da cui

. i,:

u(it) .g(A[ + n,1,-i.

189

L'energia potenziale delltr rnolla

è

L.E. Picasso: Eselcitazioni di Fisica Generale

7

2. a)

La forza di Coriolis è ortogonale alla traiettoria, quindi non influisce sul rnoto. La distanza della massa m dall'asse è

:

- I +lcosd e I'equazione del rnoto è ntl0 : -rrrld,send + ii : -*3@lt d

asserdel cilirrdro -t

R

Le posizioni di equilibrio si hanno per

0:0.

1

sen

0: r. e per

Rll-1+cc,,s 0:0. cioò Le prime due sono cli equilibrio stabile:

:

+ cosd) send.

d : 0, cioè per cos 0:1Rll.

I, i'unica posizione piccole oscillazioni è

t:

9n 4tt

I

di equilibrio stabile è 0 : 0 e il periodo

delle

u

^VR' 3.

a) Le velocità angolari dei due oggetti sono date

da G L.I

ft!

Ln(t): (.r -az)t

- Srof,t,

ao--

rl#

(ro è la velocità angolare sull'orbita di raggio R). b) Affinché i due oggetti abbianiientrambi velocità angolare

r./e occorre che

[,,"r(ft+,):ffi*r, A lr,--ry(R+ Ò-#h l-,t(n- Ò--##*Fz lr,: W@-Ò-#+

+ =

r ,, = ,G!tt-m R2 R )-'

I

I

r:xlnt r

[+ -t=w =

A c) Le forze esterne sono quelle che il pianeta

esercita sulle due ma,sse quindi, siccome queste sono allineate con il pianeta, il risultante è diretto verso ii centro del pianeta ed il suo modulo vale

-

GXIn (R +

quindi

ii

r)'

GAIn -

'.'' \n - ?'/-

;-

GAI -ttt-

R2

centro di massa ha velocità angolare clo

-

Ght 1Pz

d) L'attrazione gravitazionale fra le due masse deve essere almeno uguale alia forza Fr: -F2 calcolata in b) (se è maggiore, la reazione dovuta al contatto fra le due 191

J

L.E.

Pica.sso: Esercitazioni dr Fisica Generale

7

sfere fa sì che il risultante dclla reazione e dell'attrazione gravitazionalc sulle due sfere sia rispettivamente Fr -Ft)'

Gm2) - D Srtt c6r

-^A

+

nt

"

> J\1

12

/r\:l

lil

e) Se le densità del pianeta e cielle masse orbitanti attorno ad esso sono uguali. rnl A,'I : (r I Rs)3, quindi

tn

/r'\3

/fi\t At- '-\Rt - \nol'-

quiridi se R> WRo:2.3R0 (liniite di Roche), le particelle orbitanti possono unirsi e formare satelliti. 4. fc'rze che fanno lavoro rot o F, e le forze interne, e complessivamente fanno lavoro nullo perché I'energia cinetica resta costante. Quindi

a) Le uniche trv.,.,,"r.

+Fr.d:0 + w.,.,,...:1u2 + t:^jg^*,

b) Il risultante

:J.24kg/r.

delle f.orze esternc è nullo, quindi

Éattr : 1n :

c) L'unicaforza

il

'""''o -- 18N u

che fa lavoro è

dE. -7'

+ (l,t : -tu2

F,

per cui clal teorerna delle forze vive

Iúr,ù: -1u2 + A,Ia-

-1.u

quindi non ci sono altre forze esterne oltre a quella viscosa: la strada non esercita forze (parallele alla strada) sulle ruote.

e

d)

Si può procedere in due rnodi. 1o à

modo: riscriviamo I'equazione ]l[a: -7u (AIu

dt' -i-

* 1r) :

come

g

quindi

ÌuIu -f 1r è una costante del moto, che all'inizio fine vale 7s, dove s è la strada percorsa. Quindi

(" : 0) vale 7'l11rs, alla

,:nLo:111m. 1

2o modo:

du1 dt AI"

u(ú)

-usg-'tt/Ar + s- lo*,(t) t92

at

lv[ug

7

Problemi di Meccanica (Soluzioni) .). a) Nel riferimento del disco (oppure nel riferirnento del laboratorio, ricordando che

Ia componente radiale dell'accelerazione è

mi: -(k-

o,,.

: t-

,':fir ),

mufi\,

qnindi il moto è oscillatorio se ao il moto è armonico).

1 V/firn (in tal caso nel riferimerrto

clel clisco

b) Nel riferimento del motore (cioè del laboratorio) I'energia totale della rnassa m

è

1 1, ., lnri'z 7 .) -r 1 , ) 1, ) E(t\: + r't i*r'' + )nr'') )m,i2"t3 ,t dove, essendo

r(t): acoswt, ,:

L -uzn, \lvm

| ' ' ') .+ l r\ ) E(il:lrror(! cos' rrl ka2coszutt ,2 \ m "tfi ) sen' "tt * ,nta'afi 2 1. 1 r ., . - lka'2" + ;nazu,fr(cos2 utt - sert2,,'l) Per il teorenra dell'energia totale (o delle forze vive generalizzato) .

applicato al il lavoro totale fatto dalle forze interne (la reazione della.tlanalatura sulla massa e viceversa) in assenza di attrito è nullo, la potenza sviluppata dal motore è uguale alla variazione dell'energia totale della sola massa

+

sistema disco

ma,ssa, siccome

zn (l'energia cinetica del disco è costante):

w(t): \/ +dt :

-nLa2uf;asen2wt.

Il lavoro fatto dal motore in un periodo è nullo perché è nullo I'integrale di sen 2r,,'ú T :2rla.

su un periodo

c) Il momento assiale (rispetto

all'asse di rotazione) della massa rn è (quello del disco

è costante)

L(t) :

TTLasT2

:

rrluoa2

cos2

ut

M(t): \/ *d,t : -ma2u)susen2wt (si noti cheW(t): M(t)uo). d)

Per il sistema costituito dal disco (libero di ruotare) e dalla rnassa m si conservano l'energia E e il momento assiale -L:

I -=Ial,(t\ _. .

E

:

L

- (I *

z

+

1 .r,.. I t*r'(r) + r^r'' (t)r|(r) + rnr2 1t1

mr2(t))

1

u.'e(t)

da cui 193

;

L.E. 11

Picasso: E.serci( azioui

di Fisic'a (lenerale l

1

1.-t , t : I -l l) ,na2"t3 " iA'R2 ,Iaì ,rnuI tl + rrrR2) dt):1;.11 dove rr è la velocità" clella rnassa, 'fn quando passa per il centro dei clisco (se

+

)ì-i,";

Io

raggiunge). Quindi

/. +. rnR2 \ co: (,1 I )ro, ecl essenclo I:r.^nrn, ao:

,

(1

+2

m,

r,2: (*_ ú)n

-'$"a

u2:Lnr-(r+r#)Rr,B.

M)ro,

Siccome mentre la rnassa ni si avvicina al centro Ia velocità, angolare del disco aumenta, la massa potrebbe non raggiungere mai il centro del disco. La condizione su A; perché il centro venga raggiunto è

. l)")0

=+

k m

Ìrt,

,

- \

q

Al'

6. iiiirri

I'asse n concorde con us, p.es. verso destra, e gli angoli cre\centi in verso antiorario. Il lavoro è fatto solo dalle forze interne di attrito fra ia ruoùa ed il freno, e non dipende dal riferimento. Nel riferimento del ciclista Ia velocità rispetto al freno dei punti della ruota a contatto con il freno coincide con la velocità del

a) Prendianro 'ili,iili iEi.ill

,.lil

ciclista rispetto al suolo, quindi

-F.s:-!Mr,? 2 0 =+ S:

,: ry:140N.

l'f'í2F

Sempre dal teorema delle forze vive 1.",

2

,AI(u" -

2x : -F .r uil

e derivando rispetto al tempo

Fu2

aG: u - -;r:

-2mf

s2 '

b) La forza di attrito,F" è I'unicaf.orza

esterna orizzontale, quindi dalla 1" equazione

cardinale

llIac: lîs + iiii,ì

lil[ì,i

F"

: -F

che agisce solo sulla ruota anteriore (quella frenata): infatti, essendo trascurabile la massa delle ruote, e quindi il loro momento di inerzia, dalla 2u equazione cardinale per la sola ruota posteriore, prendendo come asse per i momenti I'asse della ruota

llll

0:IGú:Fs2r

9F"z:0. r94

Problemi di l\,[eccanica (Soluzioni)

c)

ii moto del ccntro di

Siccornc

massa è orizzontale

Àr * Nz: A[g Per calcolare p.es. ly'1 scriviarno Ia 2" equazione cardinale, riferita al punto contatto della ruota posteriorc con il suolo:

2tt{r

-

X,Igt

: +(l,t : !,.dt'

1 d. -(ntq+ " F;), 2' l,

lúr- :

d) La ruota

f;,.* anrA.x-

wauc)

[{2- -

:

: Fd" =+

(l I =(trtq2' " F;)I'

.

posteriore è a contatto con

IIls : 1\. b14.bN; d -(Jtî.L,

-L1d(rc

P di

(r-. : (lC--

il

terreno finché l'{z } 0, quindi

: ! n: -T.JS^/"'. -4".* M -A

e) Siccome il momento di inerzia delle ruote è trascurabile, come sopra si conclude che la strada non esercita nessuna forza orizzontale sulla ruota anteriore. Allora la 1" e la 2" equazione cardinale, quest'ultima riferita al punto di contatto della ruota anteriore con il suolo. sono ( AIas : -Hal{z g A[g oc: -ltd2+ + r\2, : 2+ _ : AIgr lIcrac rtdrill: r,,tdlt t -zrrr; + Siccome l/2 > 0, la ruota posteriore in questo caso non perde rnai il contatto con il terreno (e nemmeno quella anteriore: .Ay'r: AIS - l/2 >,n/2). Inoltre, dato che À

lacl

:sAtll r+2tlpd t:

-

come sopra, piir I'energia. 206

Problemi di Meccanica (Soluzioni) che agiscono su D2 (contatto con Dr e r) hanno momento nullo fispetto all'asse di contatto fra i due dischi. Inoltre la velocità di detto asse è sempre parallela alla velocitir ú2 del centro di massa di D2. Quirrdi, posto a ) 0 per rotazioni antiorarie, e u2 ) 0 se il centro di D2 si muove in verso antiorario rispetto al centro di D1, si ha

b) L7 forze esterne

Lz:0; Lz:I"rr*MRu2. t>t: u2:c" tR1'wzR. Lr"t: IGaLI lc.",2*2MRu2: Icao ! + :IGa2*h[Ru2:g

I"rr-t hIRu2: IGao ll"r, *L[Ru2:g I

lr, t,

3 2 + .r-'r:i'o' 'r2:-i'o f,,'r+irr:O )-r-w2-wo c) Ei

: lf2 ú: u

1^ 11"u30 : '2 -

.Eai".

d)

Er

: !r"r', + 2 -r lf 2

gl2s

-

4l2s

,', --z+ lu

=+

u2:roo"'

r',

2---z

1

(r" \-

: !ru nr) 2-

: : rI - 2l2b) ' ' !'.rrn: 5 ' :10 R2al, u

27 J

.

Per la 1" equazione cardinale applicata al sistema dei due dischi, siccome Ia forza esercitata dall'asse è I'unica forza esterna,

F" :2lr|d,c e poiché il centro di massa

si trova sulla retta di contatto fra i due dischi, e quindi compie un moto circolare uniforme con velocítìt" lu2, si ha FE

:

uullzn

diretta dalla retta di contatto verso I'asse di D,. 20.

di partenza è quella con la massa rn dove 0 è I'angolo in figura. Orientato I'asse

a) La posizione

in alto: z verso destra, la (componente r della) velocità del centro C dei cerchio è u6 : -r0 e quella della massa m, siccome il punto CI di contatto fra I'anelio ed il piano appartiene ail'asse

0:T,

a

istantaneo di rotazione, è d(0) d, do,r" d,@) è la distanza fra Q e Ia massa m: d2(0) :2r(l - cosd). Dalla conservazione dell'energia

E

11

: ;AIul 44

+ ;tvIrzT' + ^r2(1

:

Mr202

*

- cos 0)0, -

mgr cos0

- cos o)o' - mgr cosl siccome all'inizio E : mgr, si ricava, quando 0 :0, il

segno

*

m,r2(1

dipende dal verso in cui parte 207

il

sistema.

L.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale

7

b) L'accelerazione del centro di massa è necessaria per ricavare, tramite la 1" equazíone cardinale, la reaziou" E. Si ha (l'asse y è orientato verso l'alto) (h[ + m)r.

-

lvlrc

i m(rs* rsend) =+

M +m)A0 + Tr}To masiccomelapressioneèquellainiziale, T1 ) Ts significa che il volume è maggiore di quello iniziale, cioè h2 ) ht, assurdo. (lV

Quindi il pistone alla fine è pirì in alto che ali'inizio ed il gas è pifi caldo. 276

II 10 principio della termodinamica

(Soluzioni)

22.9

a) Il lavoro fatto dai pistone sul gas è (v. esercizio 7) L : (At i nz)gh. Occorre calcolare h. Detta ,5 la superficie del pistone, siccome all'inizio la pressione è pi:mglS e alla finepi : (It +m)glS, dall'equazione di stato si ha

n:ry; u-- msls' nRTo

rtRTg

/ vt:

r

.

1* l

,'lf -Tt m "(

f ,41 :,,'-LRTo : \7n/7n - l)

L : nRl'o(r'r

ltt]sf s

ggT J.

Se la trasformazione fra lo stato iniziale e quello finale ò I'isoterrna reversibile, il Iavoro è

L,"u

:

rLRTst"t#: nRTobrX : nRTorcrT J)! :

ed è minore del precedente: per comprimere minor lavoro.

b)

il

b4T.B

J

gas in modo reversibile occorre un

Se la trasformazione avvicne per stati di equilibrio, siccome il gas è in contatto termico con I'ambiente, la trasformazione coincide con l'isoterma reversibile fra gli stati iniziale e finale cìeterminati sopra, quindi il lavoro fatto dal gas sul pistone è -L,.,: -547.8J, quello fatto dalla gravità sul pistone è sernpre (llI *m)gh: 997 J, quindi siccorne all'inizio e alla fine il pistone è fermo

+ QI -l nt)gh * Iott. :

Lattr: Lr.r- L- -449.2J. c) II lavoro fatto dalla gravità è ora -mgh,lo stato finale coincide con lo stato -

Lr.u

0

+

iniziale

di prima, quindi

: L: -mgh: -pRro(t "\ - ,rT AI+m/) -rrJm*Al

RTo

--

_ JZ2.4J

che in valore assoluto è minore di quello trovato nella risposta a): infatti il gas viene cornpresso da una grossa massa (II + rl), mentre si espande contro una massa piccola (m): si espancìe "quasi" nel vuoto (nel vuoto L:0).

d)

Se la trasformazione è reversibile, è I'isoterma alla temperatura ?6. Preso I'asse z verso l'alto. con I'origine sul fondo del cilindro (dove V : 0), durante la trasformazione il risultarrte delle forze agenti sul pistone è

rt,RTsS

F(t) : p(V)S - (M -t m)s : che è una forza conservativa

U(t) -- (LI + m)sz

il

- (M *

V cui potenziale

- nRTobSl

nt,)g

: nn-'o -

(,\1 -l rr)g

è

("n è arbitrario)

//U

Condizione necessaria e sufficiente per I'equilibrio è che il pistone raggiunga con velocità nulla la posizione in cui la forza è nulla (minimo del potenziale), cioè Pr

nRTy W - s - (hI **)g' 2r7

L.E. Picasso: -Esercitazioni di Fisica Generale

7

ma per la conser\razione dell'energia si ha che in tale posizione potenziale

di rninirno

del

il pistone ha una energia cinetica E" ) 0. I

Vaie la pena di calcolare E":

E"

: :

U(r,)

-

(l(rr)

n RTo(ot "\rn

:

(AI

I

rn)slr

- nRT6dS! :

L

V1

AI - log (t + m'/)) t o

Yrn. AI

-

L,"u

.

Irt conclusione, iu assenza cìi cause di irreversibilità. il rnoto del pistone sarebbe oscillatorio non smorzato. Anche se l'attrito è assente. il moto clel pistone ine'n'itabilnrente fiiiisce per smorzarsi; infatti il gas non passa per stati di equilibrio, per cui la forua che esso esercita sul pistone non è una forza posizionale e quindi non è conservativa: cause di irrcversibilità che finiscono per srnorzare ll moto rlel pistone sono i rnoti turbolenti all'interno del gas. la propagazione cli onde di pressione ecc.. 22.70

a) Il iavoro fatto dalla gravità sul sistema (gas * pistone * cilindro), se il pistone siabbassadi h, è L: (À1 + nt,)gh dove h: (V-VùlS (Sèlasuperficiedel pistone). Poiché il sistema è termicarnente isolato,

LU:L e siccome la capacità termica del sistema è solo quella del gas.

,r : nC1'(71 - Tù : g!+ùt(V,, - Vr); U: nRTnS rns r 'f À,_ =+ (cv + R)Tr : (Cv . y# R)'ro + Tr : tr/,' + -11 )1o ^ 1n L,n', AI,t

nRTsS

(M + m)g

r,:(1+?{)a:540K. ' \ 5m/ Evidentemente non è stato necessario fare ipotesi sull'esistenza o meno dell'attrito:

tutto il lavoro va in ogni caso ad aumentare l'energia interna del sistema. e se è presente I'attrito si ha un temporaneo riscaldamento del contenitore che poi si porta all'equilibrio terniico con il ga.s cedendogli calore. b) La pressione firrale del gas è pr : Q,I + m)g I S , mentre Ia pressione sull'adiabatica reversibile in corrispondenza allo stesso volume finale W è (f =Cof Cy:5li\l r,9 + m\t n- _.:piVi' _ 1AI l< : mg 1 7 + IIlm 1t

/rev--W-- s\ * / \7-i) - s \TlTMl_)

:ry(*)5t3-zzaff;

Pr p..,.-' 2.34 tr.

c) Indichiamo con Tr' e Vr' temperatura e volume del nuovo stato finale (Tr Vi sono quelli di prima, e ora sono lo stato iniziale della nuova trasformazione). "Il lavoro fatto da,lla gravità nell'espansione ora è L : mg(Vr - V{) I S, quindi 218

L.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale viene messa a contatto con la sorgente a temperatura caiore Q : mgh assorbito dalla macchina.

c)

fi

7

e le restitrrisce

tutto il

Siccome viene :utilizzata una macchina reversibile che lavora con due sorgenti, il suo rendimento è quello di Carnot:

T:r-+

12

:0.26 +

e :L Il :mgh:b.6x 10oJ: 1.34x n

103kcal.

23.6

a) Il calore viene assorbito sia durante I'espansione isoternia

che durante

il

riscalda-

mento a volume costante:

:

Q

q-

nRTzIogV2f V1 + (Tz

-

7r)

Eg, - 4)+

IoS

lnRQ2 - rù;

VzlVt

T2togvzlvt

L

:0.14;

:

nR(Tz

\cu,not-

-

1-

Tr)logV2f

V1 +

+:0.30.

b) In questo

caso il calore assorbito durante il riscaldamento a volume costante viene interamente restituito alle stesse sorgenti durante il raffreddamento, per cui

q-

Q:nRT2logV'zlV +

(Tz

-

7r ) log

Vz

lVt

T2logVzlVt

:

?ìcurrrot'

In effetti si tratta di un ciclo reversibile con due sole sorgenti. c)

Il ciclo è irreversibile temperatura

fi

con

perché il riscaldamento avviene mettendo a contatto il gas a il termostato a temperatura 72. Analogarnente per il raffred-

damento.

Il ciclo è necessariamente

senza rigenerazione e

il rendimento

è quello calcolato in

risposta alla domanda a). d) Nel riscaldamento isocoro il calore assorbito, e non restituito alla medesima sorgente nella fase di raffreddamento, è quello scambiato con la sorgente a temperattra T2 per portare il gas dalla temperatura ft_, alla temperatura T.2. Quindi tr

: ,nR(Tz .)n/mn

Q

7..r)

llV -t nRT2logV2f

V1 +

Tt

- 7r ) Iog Vz lVr rr) lN -t T2rogvz

(Tz

: ZQ,

-

lV

rl : \c^,not. ,iT""

Infatti il limite ly' ---+ oo corrisponde al limite in cui il riscaldarnento ed il raffreddamento a volume costante diventano trasformazioni reversibili. 23.7

p:

a)

Sono le rette

b)

Grazie all'equazione di stato, possiamo riscrivere I'equazione

a(vrav) -

costante.

voril: -lo o

e derivando ambo

[t'rn(v') dv'

Jvo

i membri rispetto a I,/ 226

L,l/ :

-L come

U 2" principio della terntodinanica

rr+rvr3#:-lr' + v#:-lt dlogT3: dlogV => --AtrN

7z tog T -

log

(Soluzioni)

:

V

. -\ -_t

I/o

qldT

-T

ir-+

dI'

I

V

ttr3 Ì I :- tyni3 !0JU,

c) Sulle isoternre, che sono anche isobare, altbiarno

: Lu + p(Tz)(rr, - vt) : *"rî (vz - \rr); Q, : !"rf(vq,- vs) +, : !: r + Q. Qz

Q,

(V4

Q'z _VrTl) -%) _TlVnTl

Qz'

:Tf Q,-r{6-r'?:ffi nra (l'a,7t) qtrindi

VnTf

:

"

(Vt.Tz) stanno sulla stessa adiabatica, come pure (Vs,Tt)

Qt Qz

VrTì,

227

Tt T2

T:7 -

T,

T"

"

(V'r,Tz),

24. ENTROPIA E POTENZIALI TERMODINAMICI 24.L

a) Isotcrma:

L: -pLV, quindi : r3lr/ * }to?.rarz l^i"rar-, l^

siccorne le isoterme sono anche isocore, su un'isoternla

As: ^#

: ^J#{ :

.

Isocora:

b)

:

As

: +*v

Jr^tì

or',

ci,

/ ,lI/ I : : (_ ) t.

-

(Vo,T)

_41 : l"vn(Tt \'/ + 3lnrtl/ - vo)',: 3

A5:0

4ar,'T-3 +

: l'r,'dr, torrr, - d).

Si considcri la trasformazione (Vo,7o)

A,S

c)

[TC,-(T J '\

A,s

+ VT3:

- (V,T).

!a(V'73 3

Si ha:

- yu4)

costante.

24.2

a) Dalle dcfinizioni di

C1. e

di Cp si ha

^ r dU,, : c' cv: ldr),. CpLT: A,U - L- LU+ PLV:CLT *aLV + PLV:CLT +(P *a)AV + Cp:C+R' b) Isocora: Io stato (Vo,Po) ha temperatura To: (Po + a)VslR, e lo stato (Vo,P) lra ternperattira T : (P + a)VslR. Si ha p+ct T ftc A sr : dr' : c log ,o : c^,log ffi' Jr,,ù isobara: Io stato (V,P) ha temperatura T: (P +a)VlR. Si ha As2 c)

: frc dr' :cplog îr : Jr;

rolos

%

La variazione di entropia fra lo stato (Vo, Po) e lo stato (V, P), posto

A5:

ASr + AS2 :

quindi I'equazione delle adiabatiche

TVr- : 1

: CI*#

Clog è

costa,nt€.

228

| :

Cp

lC , è

Entropia

e

potenziali ternodinamici (Soluzioni)

Corrsiderianìo il ciclo di (lanrot (V1,T1) --(Vr,Tt). Sull'isoterrna (72,T2) - (Vt,Tz)

d)

(V2,?;) --- \'s,Tz)

---+

(V4,Tt) --

Qr:LU-L:a(Vs-Vz)-L; v,, L-- |fvtPdl':-RTzt"g#+o(l'3-I'z)r + Qz: RTrbgE v2 J\. *

Analogamente sull'isoterma (V+,Tt)

Qr

:

RT.1log

(f,r, 7r)

jV V4

I e Vz, si ha Vz V+ Tt ar*Qz Q, . 't' Qz-' l'z- vt T, Q: quincli il rendirnento è uguale a quello del ciclo di Carnot di un gas ideale, in e siccome Vs e Va stanno sulla stessa acliabatica, come pure

accordo t'on

il

2" princilrir-r.

e) L'energia interna clel gas e del pistone (compresa la sua energia potenziale)

C1,T* Cpi"t? * h,Igh: (Cv* qriindi C

:

Cpist

I Cy, e a :

ì:

V + pV

Cpi.t

I\Igl S.

Per rnantenere il sisterna in equilibrio, cioò per tenere fermo il pistone, occorre esercitare sulla sua faccia superiore una forza tr l0 : PS: pg^",S - L'[g,, quincli pgas : P + a e dall'equazione di stato clei gas icleali segue quella data. L'entropia clel sistenra gas * pistone ò tylOfl----------: -

* Cpi.t log , -F(,,i.rlOfl-

ToVov

r0

::(LyJ-(-j*tllOfl(Cr'* I'pi,t)log

7à

Rlog *+ffIOS--:C'IOS------------=-' ,r: Clog ld - t

24.3

tlna trasfortnazione reversibile 1 che porta I'intero sistema nello stato finale può essere effettuata indipendenternente e successivamente sui due sistemi, per cui ad

ogni istante il sistema scambia calore con una sola sorgente: i due sistemi vengono isolati termicamente I'uno dall'altro, poi si porta il sistema 1 nello stato finale (trasforrnazione fr), ed infìne si porta nello stato firrale il sistenra 2 (trasformazione rz). Si ha

f 6Q l' 6Q, f òO" AS.,, : Ó "- : 6 "-' + ó Y]! :ÀSr tASz T T T

J^, I., J., in quanto 6Qr @Qz) è il calore scambiato fra le sorgenti ed il sistema 1 (2). 24.4

a)

Siccome

la molla fa parte del sistema, anche la

sua energia potenziale

dell'energia interna, quindi

u(v.T)

: (c + ncv)r *'rr(5)' :

(c

229

*

nc1

.)r +

|*r'

fa parte

L.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale

b)

7

Dall'equazione di stato

fv

t:

-

/r'np(v')dv'

:-

rv,

l;,(# - nr') dv' :

-'nRrr"rh*I"v, -v;).

c) Calcoliamo la variazione di entropia per una trasformazione isoterma (70,70) (V,To)

l' 't%

A5:9:LU=-L:n6lc 'l's ts

Per Ia trasformazione isocora (V,To) ---)

(V,T) (la capacità,

termica a volume

costanteèC+nCy):

,mt: (C ,^ + nCv) 1sB T : frC+nCy dT' To Jr,,t

A,,S

-, (V,T) : (Vo,To) --. (V,,70) IvO*(C + nCr.) bsl: (C * nCfi r.e l$]

quindi per la trasforrnazione (Vo,To)

: nRtog

A,S

-f0

lr-t:--nR (' + n('y'1 '

as:o

(V,T):

loVo

+

TV:-I

:costante.

Come deve essere, Ia molla contribuisce all'entropia e all'equazione delle adiabatiche solo come rL pezzo di metallo che ha una certa capacità termica.

d)

Siccome

il

sistema è anche meccanicamente isolato, I'energia interna non varia. : 0. Quindi, posto e -- C * nCy,

Inoltre, all'equilibrio P

+ ]oV2 :eTo * ]oVo2 ,_zero+aV&. nfrT 2e +nR L - aV2 :0 La variazione di entropia è certamente positiva perché la trasformazione è adiabatica ma non reversibile: se la trasformazione fosse reversibile ii pistone sarebbe

+

Ier

soggetto a forze conservative (molla

)

*

gas) e non si porterebbe mai all'equilibrio.

24.5

a) Dall'equazione di stato

vlnRT

V , ll n2a\ ,,. fv L- Jr"ra,")dv': - Jr"l; - V")ou': -nRTI"*; -n'at, - A) 1

e dal 1" principio

b)

Q: A tl - L:

_'n2a(+

Isoterma (7e, T)

-

AS

-

%) -

L: nRrbsl

(V,T):

: iOV: "^log %

Isocora (Vo,To) --- (Vs,T): dall'espressione dell'energia interna si ha che Cy è il calore molare a volume costante, quindi 230

Entropia

e

potenziali termodinamici (Soluzioni)

fr nCy A,S: I "- \:.'dT' : rtCr-log ,( t tot -'r, Jr,, T,

c) Tanto

sulle isoterme che sulle isocore la variazione di entropia del Clz coincide con quella di rrn gas ideale, e quindi anche per una generica trasformazione (I/0,70) *

(V,T): A ,s

:

ncy rog,a

.nR log

h

Si noti che non abbiarrio scritto

: ncy log j :

R

#

1=L* c,

,

CplCy' iIr quanto in questo caso Co

d) L'equazione delle adiabatiche in termini

clelle variabili

I

Cv + R.

V,T è uguale a quella di un

gas ideale:

TVR/c" :

costante

mentre in termini delle variabili p,V è diversa perché è diversa I'equazione di stato. 24.6

a) Sia Cv la capacità terrnica A5 dove

b)

: il

cy ros? o

Tt"-

a volurne costante dell'oggetto.

cv(Tz- T) T2

2o termine ò ìa variazione

Siccorne

il

di entropia della sorgente.

AS > 0 (1":0).

sistema è termicamente isolato. deve essere

) ft che se 72 l Tti ,\,s: cr (rog (r *

infatti,, posto

Posto f (t): log(1+r) per îr ( 0: infatti (p.es.)

rlQ+n),

Tz

LT :

+) - nf^r-) :.,

Tz

-

sia

se

Tt,

(r"*,1*.r.)

èfacilevedereche

- , *,-l), t, = f

)

/(r) ) 0siaperr > 0che

/(0) :0;

f'(r) - --:(r + "r/" quindi siccome f'(") | O p"t,,ú ì 0, r:0

è un punto di minimo.

24.7

a) Illavorofattodalpistone 1è 11 :prVt ecpellofattodalpistone2

è

quindi

L:ptVt-pzVz. b) Siccome il sistenia è termicanrente

isolato

LU:L + nCyLT:prVt-pzVz---vRLT Vz:ptVtlpz; L:0. c)

=+

Siccome la temperatura finale è uguale a quella iniziale,

AS : RlogVzlV.: filog ptlpz > 0. 231

A7:0

+

Lz:

-pzVz,

L.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale

La trasfornrazione è adiabatica (Q se realizzata lentamente (perché p1

d)

-

1

0), e poiclié AS > 0, è irreversibilc, anche pz

I

0).

Ternperattrra, pressione (e quindi volume) frnali conÌe prima, quindi anche A S.

LU:0, L:ptVt-pz|z:0

+

Q:0

+

I.--0

la trasformazione quincli è irrevcrsibile. 24.8

a) La trasfornrazione

[" .lr,

'+'' I

(tr >

è isobara irreversibile. De'n'e essere

+ 1z Jr, [:

rp(r)

dr +

À.9 >

1.:

r,(r)(+ -+)ar>

0.

['' Jr, Sicconre (l lT - I l7'z) ha lo stesso s€\[flro di T2 - 7r e la di segua,glianza dcvc valere per ogni Tt , Tz, segue che deve essere Cp > 0 VT. b)

Siccornc le isotenne nel piano p. l' hanrro pendenza negativa, e I'isoterma è seguita prima dzr una isolrara, e poi cla un'ìsocora. nei dtre casi Vz ) V e Vz < Vr si h:rnno i cicli rappresentzrti in figura (clove. pcr senrplicità, le isotermc

>N

sono rappresentate cla segrncnti): in entrarnbi i casi il ciclo viene percorso in senso orario, e quirrcii il lavoro fatto clal fluiclo (l'are:r con segnc) raccliiuszr clal ciclo) è positi"'o. Fcrrnralmerrtc il risultato si può ottetiere nel modo seguente. Sia p2 = p(V2,71):

L'

fvz

- JIr-,

p]r) d\r + pz(Vt

-

Vù :F(Vz

-Vù

+ p2(V

-Vz)

il teorema clella meclia, p= p(\') (Í conipreso fra V1 eV2). Quindi L':(p-pz)(Vr- yr) >0 (\'z>Vt + plpz: li o

+ r

?max: LÀ^*lQz- 1- :-=bs? 12-It b)

lt

=t4Toi

?c.,.ot :25To.

Nel caso di lavoro massimo il sistema ha compiuto trasformazioni reversibili, quindi il gas a contatto con I'acqua compie una trasformazione politropica di equazrone (v. esercizi 22.73 e 24.2. 24.4)

- TornR/(nC*Cz)

TynR/(nCv+Cz)

Ts: f V (;) ;

.1nR/(nCv+Cz)

'

-

1g10-n

=>

- I+

10-4tog"

10: 1* 2.J x 10-4.

24.L3

a)

Siccome

il

sistema è in contatto termico con I'ambiente esterno e alla fine le pres-

sioni dei due gas sono uguali,

Ll,l:0

+

Tt:To, =+ Vtt:V"r:Y

ed inoltre

LU:O +

L- -- Q.

Se

r _ [6Q _A '"J rt- T, è l'integrale

di Clausius lungo la trasformazione effettuata dal

L---Q:To1" 0; se il processo di diffusione spontanea fosse reversibile, esisterebbe un dispositivo ciclico in grado di riportare i due gas nello stato iniziale (senza altri effetti), e avremmo realizzato un ciclo rnonotenno con L' > 0. 2" parte (irreversibilità =+ Lord Kelvin). Ragioniamo per assurdo: se esistesse una macchina ciclica monoterma (con la sorgente alla temperatura T dei gas) con L' > 0, L'potrebbe essere utilizzato per riportare i due gas (a contatto con il termostato a temperatura 7) per mezzo dei pistoni semipermeabili - allo stato iniziale, restituendo alla sorgente tutto il calore assorbito dalla macchina (LU :0 + Q : L): avremmo invertito il processo di diffusione senza "effetti collaterali".

240

Problemi di Termodinantica (Soluzioni) 2.

a) Il volume del gas raddoppia. Il lavoro fatto contro per sollevare I'atmosfera" )

L-

: poVo:

1.01

x

la pressione atmosferica ("lavoro

è

103 J.

I1 la'u'oro tnassimo si ottiene lungo I'isoterma reversibile:

L': -(LU -a) < -(AU -TILS) :7oAS + Li,,u* : nRTolog2 : 2poVolog2 : 1.4 x 103 J. b) Il

pistone all'inizio e alla fine è fermo. Dal teorerna delle forze vive applicato al

pistone:

,;"" + trattrito llu.tt.itol

c)

-

poVo --

nRTolog2

-

0;

=>

poVo: 0.39 x

103

J.

Se ignoriamo tutte le cause di irreversibilità, il gas compie una trasformazione isoterma reversibile, qrrindi Iaforza che agisce sul pistone è data da (S è la superficie del pistone)

F(v):

(pe,"

V) -ro)s

: (ry

- no)s.

Siccome \'^o* è il volume occupato dal gas quando il pistone inverte ancora dal teorema delle forze vive applicato al pistone si ha:

il

suo moto,

- po(V-.* - I/o) : 0; + 2logV^u*lVo : V^u*f V0 - l; se Vn u*lVo: 3.5 il 1o mernbro vale 2.5055 mentre il 2" vale 2.5. nRTslogV^u*f

Vo

3.

a) Dette ns ed n1 rispettivamente il numero di moli di aria e di He, si ha TL1

PoVo ,. : 'iA : 405 moli;

b) La trasformazione Liou*

AS

:

rL1

PtVt

-- i*

:

20.3 nioli.

è isoterma cluindi. se

f

è l'energia libera di Helmholtz,

- -A F:TLS A5o + A.S1

: noRtuenY,, * nrR be9'x vo-vr vl

(il termine trascurato contribuisce per meno dell' LÀ,u*

:3.14 x = rLrRTlog9 -V1

& nrRloe'Vt

1%)

105 J.

Siccome abbiamo trascurato I'aurnento di volume dell'aria (Vs è quello dovuto all'espansione isoterma reversibile clell'He.

-Vr *

Vs), il lavoro

L'energia proviene dall'ambiente esterno sotto forrna di calore: infatti l'energia interna del gas nella stanza non cambía, e L' : Q. 247

L.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale

7

sistema è termicamente isolato ed il massimo lavoro ottenibile è minore del precedente: infatti, sempre trascurando I'aumento di volume dell'aria, il lavoro è quello dovuto all'espansione reversibile dell'He, in contatto termico con I'aria. In queste condizioni la trasformazione effettuata dall'He è una politropica (v. esercizi 22.13, 24.12) e, come per Ie adiabatiche reversibili, il iavoro in una espansione politropica è minore di quello in una isoterma. Questa volta il lavoro è fatto a spese dell'energia interna del gas nella stanza.

c) Ora il

d)

Si ha

(c:co*cr:Z"on*|nrn),

L': -LU: -C(Tr -T), AS > 0

A5:

clog

+.n6Rlog

#,

*

nr,Rlog

Vo y, -

Clog

T, nrRlog Vs 7 + ti

quindi

r"r+.-ryr"r?, Tr2 ,

(#,)""'" =+ L- < crlt- (#)"'"'"f

Linu*: cr(r

-

.*n

e Ia differenza fra

il

? +bgvsf v1)) = n1rrr"rft - #(n,nr^r\) lavoro isotermo e quello adiabatico

I

3)'=

(n,RTron qlmax Ar:^- 2CTv,r-,-,"o Vr)

-

(t

tg')^' Ya 106 2.2.6x

è

- 0.2x robJ.

4.

a)

Siano

, (Mr + Mz)s , pr=po*f Mú , P2=po+.

\'t,

\'2

rispettivamente le pressioni e i voiumi iniziali e finali del gas; si ha

L: -pz(V,-Vù: -pzVz* (p,-p)Vr*prVr:

(pz-pùVt -- pV,

: L[,9 .nRT :44JJ. ^9 Pr La trasformazione effettuata dal gas è irreversibile (compressione isoterma e isobara). calore latente di fusione ,\y del ghiaccio è la variazione L?l di entalpia nella fusione di un grammo di ghiaccio: siccome la variazione di volume nella transizione solido ---+ liquido è molto piccola, possiamo trascurare il lavoro delle forze di

b) Il

pressione (v. esercizio 24.16), e quindi 242

Problemi di Terntodinarnica (Soluzioni)

LHsro x AUnro. Quindi, se .L è il lavoro calcolato sopra, siccome il sisterna acqua è termicamente isolato, e I'energia interna del gas non varia,

*

ghiaccio

+

gas

L: LZsur+ AUttro: LUs"o; quindi la quantità di ghiaccio fuso è: 443

4.1g.8o8:

l'32e'

c) Siccorne la fase solida (ghiaccio) e la fase liquida (acqua) sono

Aò ASHro

d)

in equilibrio,

Lil-n. : : "-;l.62Jf"C:

A,sgo"

- nRbe\V1:

A Sro.

)

3 -Pz

nRroe

-

-1

.37

J

l'c

.

0 conferma che Ia trasformazione è irreversibile.

L: -pt(V,,-Vz): -ptVt+ (pr-pz)Vz*pzVz - -no! .nRT ^9 Pz

31gJ

la quantità di acqua che si trasforma in ghiaccio è 0.95 g . e)

Il

gas ritorna allo stato iniziale, quindi Ia sua entropia non varia:

A,s*o"

: o;

asH,o

:1g;#:

0.45

J

l"c

.

5.

a) Il lavoro fatto dall'escursionista è L-: Mgh - 1.03 x 106 J:2.46 x

105'cal;

e siccome Ia sua energia interna non varia:

L,U:0

+

Q:L';

il calore Q scambiato con I'ambiente è la somma di Qz, fornitogli dalla digestione dello zucchero, e di quello Qt necessario per l'evaporazione deli'acqua: Q,

: -2000'

540

-

-1.08 x

106

cal

quindi Qz

: L' - Qt :1.33 x 106 cal

che gli viene fornito da 332 g di zucchero.

b) n:L'lQz:187o. c) Si ha:

\:0.18 0, lo stato finale si deve trovare al disopra dell'adiabatica reversibile che passa per po, Vo, e sulla retta p : po, quindi W > Vo .

d) Sia T / la temperatura del gas quando occupa I'intero volume. Il lavoro è massimo quando si ha Ia massirna diminuzione dell'energia interna, quindi quando la temperatura finale è la minima temperatura compatibile con il 2o principio che, essendo il sistema termicamente isolato, richiede A 5 > 0. Ma

AS>0 =+ T'>To(VolV)1-r quindi il lavoro è massimo se la trasformazione è I'adiabatica reversibile. Detta zl'altezza a partire dalla metà del cilindro e ì\l(;) Ia massa all'altezza z) si ha:

pv1

:

povl =+

y+tr: ryl-L)' + xt(z): Ì\t (rL)"'. \h+z/ \h+z/ ^9

"9

8.

a) Chiamiamo Cs, e Czv i calori molari rispettivamente del gas incognito e dell'azoto e U, I i voiumi iniziale e finale del gas incognito. Si ha Ui : n(CzvTz Ur

-

Tr :

Ui

I CvTt);

- [' -- -P(W -

400K +

W

Ut

:

: n(Cw + Czv)Tr; -nR(Tr

- Tl +

Tf

:

CzvTz

Czv

*

CryT1

*Cw

)

Cb : Cr, :|R

quindi il gas incognito è monoatornico. b) Carnbia la pressiorre esercitata dai pistone sul gas, quindi cambiano sia

iniziale che quello finale, ma Ia temperatura finale ed dipendono dalla pressione, quindi non cambiano. c) Sia T6

la ternperatura finale dei due gas,

tri, il

il

il

volume

lavoro fatto sul gas non

lavoro fatto daila macchina

e

Lí:pAV:n,R(To-71) quelio fatto dal pistone contro la pressione esterna. Dal 1" principio (il sistema termicamente isolato)

LU+ L;+ Ii,:0 e poiché Cry

:

Cr,

+

l,i,:

n(C2yT2

: ln L

245

ICryTy) -r(Czr,*Cry)Ts

è

L.E. Picasso: Esercitazioni di Fisica Generale

7

I

;)

Zi,:;nR(TrtTz-2To) quindi ,; è massimo quando 7s è minimo. L

AS

: ncrnt"* + *

ro 2

r"r+:7r*(t.* fr * log t) r, + + ,i, I |"n(t/n - t/rr)' : s.z8 x 103 J.

Jin

nC2y

9.

a) All'inizio I'aria occupa il volume V +

Vo alla pressione ps, alla fine alla pressione p quindi, siccome Ia compressione è isoterma,

po(V aVo)

: pVo +

: P,

V

Po

Vo

:

il

volume

Vs

9Vo.

Po

Il

numero di moli

è

PVo

": m - 10moli. b) Il lavoro che occorre

fare nella compressione isoterma dal volume V +Vo al volume

I/oè

L:nRTorog v-lvo yo :

rr1I"r

PVo

Po Pvo' a,s: nRIos;:

#

P

to,or;:

:

PVolog 10

r?1

:

5'8

Vo

+ V 12 al volume Ve e il numero

x 104 J.

-1el rlr'.

c) Nella 1" fase l'aria viene compressa dal volume di moli

:

è

po(vo

+

vl2):

po(v a

vo) Povo | , -

2R:h

Rh

2RTo: 2\'"

-r

\

tLo)

dove rL1 : poVsf RTs - 1 è il numero di moli di aria nel volume l/6 alla pressione di 1 atmosfera, quindi rLr 15.5 moli. e

L1'2vg -- ?+:' RTs log

vo

t

v 12

lrtrella 2" fase si compie lavoro per comprimere (n

sempre dal volum e Vo i V l2 aI volume I/s

vo+vl2 Lz:nRTsI og %

'

+

ns)12

*

psVl2RTo

: n

moli

:

(uot,r'l'-":"1"0) \ Tts 2no/ vg

quindi

L

n *ns tn :6'7 x 1o+ 'J' : Lt* Lz: log '; RTo: Ito ' 2 ----

d) La variazione di entropia

è quella calcolata prima: difatti lo stato iniziale e quello finale sono gli stessi di prima. 246

Problemi di Termodinamica (Soluzioni)

La trasformazione non è reversibile: difatti il iavoro fatto sul gas è maggiore di quelio precedente (: A F) e si è rtilizzata sempre una sola sorgente a temperatura 76; oppure: prirna la variazione di entropia coincideva con l'integrale di Clausius, ora I'integrale di Clausius (che è < 0) è minore del precedente, perché è diminuito (cioè autnentato in valore assoluto) il calore Q : -L scambiato con I'esterno, quindi ora AS > 1". La causa dell'irreversibilità si ha nella seconda fase della trasformazíone,, quando I'aria compressa in Rs si espande in R1 dove I'aria ha pressione minore.

e) Posto fr-flo

V t/ rvv, il numero di moli di aria non compressa che stanno nel volume V llr{ , si ha ^

/\n

:

L:

(no ...

:

TLo

+ Ln)Rrgr.sh#U *

* (ro + lrAn )rRTo tog 'o \Yl Vs

r NIA/+]) \ : (Nno * --YlzLn)RToloe

('o +2L,n)Rro los

W#U.

* : (1

+

Ln.

;) per -Ay' -* oo An * 0, quindi log (1 * Lnf ns) = A,nf ns, per cui (,-nù2)nn:r'-,'oRTn:r2.5x104J. / z- --- ((n - no) I Zno / .. ,no 10. a)

Il

sistema compie una trasformazione adiabatica non reversibile, quindi nel piano p,V Io stato finale deve trovarsi sulla retta p : pr, nella regione A 5 > 0 quindi il volume I{ nello stato finale (pt,Tr) è maggiore del volume 7 nello stato (U.T), perciò T, >7. Inoltre 7 è maggiore del volume Vs nello stato iniziale, allora dal 1"

Po

pt

principio

:-pr(V-Vo) ed essendo V1 ) 7s segue T1 1Ts. Cv(Tr -70)

Quindi T < T, < ?s: Io stato finale si trova fra I'adiabatica e I'isoterma passanti per lo stato iniziale.

b) Da Cv(Tt

-

"0)

: -pr(Vt -

Vo)

, ptVt -- RTt ,

poVo

-- RTo ,

pr:

si ha

Tt

r povo : Ts -'tfvo : To - 2Ce

-

l't

247

24oK; &lrg -- !r, --

1

,po

inoltre:

T : Tole) - \Pr/

(r-t)lt

c) Dal 1" principio

:2-2/sTo:22TK.

e dal 2" (Q

< 76AS):

L:LU-Q>LU-ToAS tr,,,i,,

-

cv(20

- :r)

-

+ tt-r)/rl [3 lry) *Lt'\^i j

coTo,"*

/s 5, f-5^-"r.r\ : Rro Im - t,o* lir-''')):0.rJRZb:1085J il lavoro fatto dal sistema nell'espansione adiabatica irreversibile Cv(To - Tt): 0.3 RTo :748 J

mentre

è

.

Siccome l'unica sorgente a disposizione è I'ambiente a temperatura 7o e la trasformazione deve essere reversibile, bisogna prima portare il sistema dalla temperatura Z1 alla temperatura 7s mediante una compressione adiabatica reversibile, poi mediante una conlpressione isoterma reversibile si riporta allo stato iniziale. 11. a)

AI solito, si usa il 1" e il 2" principio:

L' :

Q

- LU :

Q

-

CvQTo

-%) < 2ToAE -

Cy,Ts;

il volume raddoppia ma la pressione resta costante, 4.9: Cy\og2l : Colog2; Li.**:2ToCplog2 - CvTo: CvTo(21log2 - I):5864J.

siccome

b) Siccome la trasformazione deve essere reversibile e I'rtnica sorgente disponibile è quella a ternperatura 27s, mediante una compressione adiabatica reversibile si porta il sistema alla temperatura 2?s, poi si effettua una espansione isoterma reversibile fino a 2Vs: Li-** è il lavoro su questa trasformazione. c) Isocora irreversibile

a contatto con la sorgente a temperatura 27s, seguita da

espansione nel vuoto fino al volume 27s. d)

Il ciclo viene chiuso da un'isobara irreversibile dal volurne L-

:

Ll,u*

-

poVo

:-

Cv'To(21Iog2

- r) -

RTo

ZVs al voluure 7s,

quindi

.

calore scambiato con la sorgente calda 2Ts è Qz : 2TIL,S, dove A.S è la variazione di entropia calcoiata sopra, cioè la variazione di entropia sull'isoterma alÌa ternperatrrra 27s. Quindi

Il

tl,,

- I) _ ---CvTo(2tlog2 .t1 n

-

( yr(r'21log2

RTo

_ 1_

2log2

248

:

0.28

I

Iìcu,,,.t

r tA:

0.5

,

Probleni di Terntoclinantica (Soluzioni) L2.

a) La pressione clel gas all'inizio e alla fine

delìa trasformazione è p

fatto dalla gravità sul sisterna gas f cilinclro

: -AIgîv;-v, :

L

-p(Vz

-

Vr)

:

pV,

-

*

pVt

pistone

:

AI

g

lS. Il lavoro

è

: -R(Tz - :fù :

-1662J;

e Ia massa si alza di

, vz-vt h:--S-:

R(Tr-Tr) :1.7ttt.

e

b) Viene fatto lavoro

Lt,:

_ RTtrog

sul gas solo nella compressione:

li : Y! . \'z: RTt .. Lv: RTrbe? :

5: v2

P

P

11

t273J.

c) Nell'espansione adiabatica sul gas viene fatto un lavoro pari a Cv(Tr -Tz); per il calcolo del lavoro nella compressione isoterma occorre calcolare il volume % del gas nel puuto d'incontro clell'adiabatica con l'isoterma Z1:

tr3:rr(+) quintli

L.: N'fa

tzrt-t)

',,,/

cv(Tr

-Tù -

(T'1t/rr-t)

v,+ (?\rt(^r-" :''\n/ --|tT.\n/ - ', RTtrog

3v3 -

c1.(Tt -Tz)

-

\,r(*)t"'o --"\r'/

CoTtrog* -- s02J. f2

più seniplicemente si può procedere come segue: siccome la trasformazione

è

rnonoterma (unica .sorgente) e reversibile,

L.:

LU

- nAS

Negli stati (V2,Tz) e (Vt,Tt) la pressione del gas è la stessa, quindi A .S :

Cobg! 12

=+ L. : CoTrbe* 11

Cr,(Tz

-

Tr).

d)Irrdipendentementedallaconstataziorreclie302< perché anche nel caso della dornanda b) la trasformazione è monoterma, ma non è reversibile:

Lt,

- L. : Cr,(7, -

T1

-

7r tog ?) Il

, ,

quindi il rendimento è rnaggiore per la trasforrnazrone di cui alla domanda c). In questo caso il lavoro fatto clal sistema nell'intero ciclo è

Liot: Co(r, il

T1

-r' ' log"'ly ?)

,

cal 2n/Q1cv)

To

= {lfo:

+

37g K.

b) A causa dell'attrito

o di altre cause di irreversibilità non esiste un iimite superiore al lavoro che può essere compiuto sul sisterna (p.es. il pistone può essere spostato avanti e indietro quante volte vogliamo), quindi per il 1" principio non esiste un limite superiore per la temperatura finale.

c) L : Ltl : (Cv + C)LT :2.5 x 103 J. d) Il gas si espande fino ad occupare I'intero

Q:0, L:O

=+

volunre.

A[/:0 =+ Tt:Ti:400K.

14.

a) La pressione iniziale è Pi : RTolVo :2.5Pa.

Tr:To +

fx:lni:l.25Pa; 2

L:0, Ll,l:0, + Q:0. tOOr.

b) Q :0, L :0 =+ Ll.,( :0, + Tr : T,t, pr : c) La trasformazione è Ì'isoterma reversibile (I- < %AS), quincli I m: ,fi, L: -RTolog2: -1728J; Q: -L:I728.J:413ca1. d) L' : -LU : Cv(Tr - To) L

quindi occorre minimizzare T1 con la condizione A ,S :

Cy log2^'_ ' : > 1g

0,

quindi la trasformazione è l'adiabatica reversibile 250

e

Problerni di Termodinamica (Soluzioni)

Tr

:

Tol22/5

:227K.

Quindi pr

: rTr

;pi %

:0.95

Pa;

Q -- 0, L --

LU

-

-1516 J.

e) Siccome la temperatura finale è uguale a quella iniziale, la pressione finale del gas è p, : tpt. La pressione esterna è costante durante la trasformazione (e quindi uguale a pt), per cui

L: -kLV : -prVo: -+ RTo: -1246.5J; Q: -L: A

25r

t246.5J:2g8cal.