Appunti di Fisica Generale I [1] [PDF]

Zitiervorschau

Università di Pisa Corso di Laurea in Fisica

E. Fabri

Appunti di Fisica Generale prima parte

Anno Accademico 1991-92

Indice della prima parte

1. Introduzione Semplice e complesso in fisica

1

Il ruolo della matematrca Teoria ed esperienza

2

Ancora su semplice e complesso Fisica classica e fisica "moderna"

4

3

Ltinterazione fra scienza e tecnica della fisica Le grandi unificazioni

I capitoli

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5 0

2. Metrologia del tempo Gli inizi

I

Che cos'è un orologio "giusto"?

2

Gli sviluppi pirì recentr

3

Perché si cambiano

i

A

campioni?

2a. Fisica del tempo Il tempo assoluto La matematizzazione del tempo Il tempo nella fi.sica moderna Due esperimenti moderni

1 .

2 2 3

3. Fisica e metrologia dello spazio L'evoluzione dei campioni di lunghezza Motivazioni fisiche delle varie definizioni La scala astronomica Le distanze a scala atomica

La scala nucleare e subnucleare Significato operativo delle misure di lunghezza La validità della geometria euclidea

1

2 2

4 o o 1

4. Cenno storico sullo sviluppo della meccanica Galileo Newton

1

La crisi di fine '800

2

Riflessione epistemologica

2

1

I1-1

5. I principi della dinamica Le leggi di Nen'ton

1

I pericoli del 3" principio

2

.

Lo spazio assoluto . La definizione di massa La definizione di forza e il ruolo del Il 3' principio e I'azione a distanza Come si misura la massa A che punto siamo?

3

4

2' principio

b 5 6 7 ,7

Riassumendo

6. Il principio di relatività Il principio di relatività nella fisica newtoniana Il principio di relatività e la velocità della luce Invananza della velocità della luce e "composizione" delle velocità Prove dell'invarianza della velocità della luce Concludendo

2 3 .

3 4 5

7. Riferimenti, spazio, vettori Riferimenti

1

.

Spazio euclideo Vettori nello spazio euclideo Dimensioni e basi Distanza e prodotto scalare

1

2 ^

I vettori in fisica

6

8. Tempo e moto Il punto materiale Traiettoriaecurvaor.riu' . . . . . .

1

.

Ascissa curvilinea e legge oraria

.

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1

2

Velocità media e istantanea

3

L'accelerazione Esempi

A

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9. Sistemi di coordinate Definizione di coordinate

I

Coordinate cartesiane Destra e sinistra Coordinate polari nel piano Coordinate cilindriche Coordinate polari nello spazio Coordinate associate

2

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Linee c,rorrlinate. base ortonorrnale associata Applicazione: r'elocità e accelerazione in coordinate

polari

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1O. Approssimazioni e calcolo differenziale Infinitesimi Approssimazione di una funzione Approssimazione con costauti Approssimazione con funzioni lineari Primi risultati sulle derivate Approssimazione con funzioni quadratiche Continuando Funzioni di piu vaúabili Approssimazione con funzioni lineari I differenziali dei flsici e auelli dei rnatematicr Uso "disinvolto" dei differenziali

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11. Funzioni trascendenti elementari L'esponenziale vista da un matematico

Il logaritmo L'esponenziale vista da urr fisico

Il moto in un mezzo

vlscoso

Le funzioni circolari

1

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6

12. Un'applicazione: il moto su spirale logaritmica Le equazioni La velocità

2

L'accelerazione

ó

Tempo e giri

r)

1

Appendici 1-3

I1-3

1. Introduzione Semplice e complesso in ffsica La fisica è un edificio grandioso e complesso, da molti punti di vista. Pensando ai fenomeni che sono oggetto di studio della fisica, si va dalla scala delle particelle a quella dell'Universo (oltre 40 ordini di gtandezza, tanto in senso spaziale, quanto temporale). La stessa cosa si può vedere anche in termini di energia: dalle pirì piccole separazioni dei livelli atomici alle energie in gioco nelle galassie ci sono qualcosa come 80 ordini

di

grandezza.

Se pensiamo invece alla struttura degli oggetti su cui la fisica indaga, si va da quelli relativamente semplici, come un atomo d'idrogeno, a quelli complessi ma "ordinati", come un cristallo, a quelli insieme complessi e "disordinati", come una stella o un ammasso. Dal punto di vista della teoria, la fisica assume che la validità delle sue leggi si estenda a tutta Ia materia, in qualunque epoca e in qualunque parte dell'Universo, e comunque organizzata: vita compresa. Non si tratta di una pretesa aprioristica, ma di una convinzione maturata lentamente nel corso di secoli, grazie ai risultati conseguiti. In fisica esistono concetti e leggi generali relatiramente semplici (spazio, tempo, energia, simmetria, principi di conservazione ...) accanto a concetti e leggi di formulazione e comprensione molto pirì difficile (il concetto di campo, i principi della meccanica statistica, i concetti "quantistici"). Questa distinzione tra i concetti e le leggi "semplici" e quelli pirì complessi e però tutt'altro che univoca: accade spesso che idee che appaiono semplici in una prima presentazione, debbano essere rivedute o reinterpretate ai fini della loro inclusione in teorie piìr

comprensive o piìr avanzate.

Il ruolo della matematica È praticamente una nozione comune che la matematica costituisce una base indispensabile per qualsiasi discorso fisico. L'origine di questa idea si trova in un classico della storia del pensiero: " . . . e forse stima che la filosofia sia un libro e una fantasia d'un uomo, come l'-&ade el'Orlando furioso, libri ne' quali la meno importante cosa è che quello che vi è scritto sia vero. Signor Sarsi, la cosa non istà così. La fllosofia è scritta in guesto grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico I'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, e altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parolal senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." [G. Gatilei: 11 Saggiatore, 1623] 1-1

Tralascianclo I'interpretazione pirì strettamente filosofica di quesio brano, sta di fatto che la storia dei quasi quattro secoli successivi ha dimostrato la r.erità del pensiero galileiano. Oggi sappiamo che non solo la matenratica è un indispensabile ausilio (uno "strumento") per il fisico, rna che acldirittura molti concetti fisici non sono "pensabili" se non si padroneggia il linguaggio nratematico. Possiamo quindi dire che la matematica non è solo uno strumento di calcolo, ma piuttosto uno "strumento di pensiero". Cercheremo di giustificare questa asserzione nel seguito, tutte le volte che ne capiterà I'occasione. Però la fisica non si riduce iu nessun senso alla matematica: in primo luogo perché deve fare i conti con la realtà (il "grandissimo libro che ci sta aperto innanzi a gli occhi"); ma anche perché spesso pone alla matematica dei problemi da risolvere, o a.nanza idee nuove -- magari in forma gtezza e imprecisa che sorgono dal vivo della ricerca. L'esempio pirì classico è naturalmente I'invenzione newtoniana del calcolo differenziale, necessario alla meccanica.

Dal punto di vista di chi inizia la studio della fisica, il problema centra.le sta nel riuscire a farsi padroni dello strumento matematico, anziché farsene condizio-

nare. E purtroppo frequente I'etrore di sopravvalutare le difficoltà matematiche forse sono piìr appariscenti nr>n vedere le difficoltà cli natura fisica, -cheche - e spesso sono piìr profonde.

Teoria ed esperienza La fisica è una scienza sperimentale: una frase fatta. In realtà rrella fisica c'è un complesso rapporto fra teoria ed esperienza: da un lato, è troppo semplice dire che tutta la teoria fisica nasce dall'esperienza, mentre spesso si tratta, per

dirla con Einstein, di una "libera creazione dell'intelletto umano"; clall'altro, il solo campo di prova di ogni teoria, che è "tanto inclipendente dalla realtà, quauto la forma di un vestito lo è da quella del corpo" (ancora Einstein). Molte volte i fatti sperimentali suggeriscono la prima idea di una teoria, che poi viene sviluppata in forma pirì articolata, e solo più avanti viene

l'esperienza resta

messa di nuovo a confronto con la reaìtà; rna altre volte gli esperimenti vengono

interpretati, o addirittura progettati, in base a teorie preesistenti. Di tutto questo cercheremo di renderci conto su esempi canonici. La distinzione fra teoria ed esperienza porta cli fatto a una certa divisione del lavoro tra i ricercatori, per cui tra i fisici ci sono gli "sperimeutali" e i "teorici"; e come è naturale, tra i due campi ci sono differenze cli accento e d'interpretazione, controversie a volte seúe a volte scherzose . . . ; ma tutti sanno che entrambi sono indispensabili. Una domanda non facile, e che puo interessare che cornincia, è: come si sceglie se fare il teorico c. lo sperimentale? Non è facile dare una risposta che non sia generica e/o banale; e del resto, che la scelta non sia sempre facile, e neppure univoca, lo dimostrano i casi non rarissinri di "cambia^urento di campo": iì piìr famoso è senza dubbio- Fermi, che è stato

7-2

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un grande teorico nella prima parte della sua carriera scientifica, e un grande sperimentale nella seconda parte. Una questione che angustia molti filosofi e disgusta molti matematici è la t'provvisoriett, ttrelativett. Sembra seguente: le leggi fisiche sonottapprossimatet', che ciò significhi che non si può essere sicuri di nulla, che ci si muove sulle sabbie mobili. Naturalmente non è così: tuttavia è vero che le leggi fisiche sono: a) approssimate. In parte per l'inceriezza dei dati sperimentali, in parte perché non è mai possibile controllare completamente le condizioni in cui si appiica una legge.

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ó) provvisorie. Perché nuovi risultati possono richiedere correzioni, e I'estra-

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polazione di una legge a un ambito nuovo quasi sempre ne altera la validità. relative (1). Occorre sempre definire le condizioni di un esperimento, e una tra queste è il sistema d,i riferirnenlo, del quale ci occuperemo ampiamente; quasi sempre i valori delle grandezze in gioco dipendono dal sistema di riferimento, ma in questo non c'è niente di arbitrario, di soggettivo. relative (2). In un altro senso si può parlare di leggi relative: a parte i grandi principi, come la conservazione dell'energia, molte leggi hanno in fisica validità limitata a certe condizioni, per es. di densità, o di temperatura. Altro esempio è la propagazione rettilinea della luce, che vale finché si possa trascurare la diffrazione. Anche in questo senso, le condizioni di validità sono ben definite e ripetibili.

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Abbia.rno già detto che la fisica si occupa sia di sistemi semplici sia di sistemi complessil c'è però un principio metodologico, anch'esso dovuto a Galileo, che dice: "cornincia dalle cose semplici." Il primo esempio è la caduta dei gravi, che in presenza di resistenza del mezzo è assai complicata, tanto che appare impossibile estrarne delle leggi. Una volta tolta di mezzo I'aria (o una volta ridottone l'effetto, come fece Galileo col pia.no inclinato) la legge di caduta emerge chiaramente. Perciò il fisico ha imparato a non prendere di petto i problemi complessi nel loro insieme, ma a scomporli, a semplificarli, sostituendo alle condizioni in cui i fenomeni si presentano in natura condizioni artificiali, come quelle del laboratorio. Questo modo di procedere viene a volte criticato, come se significasse che il fisico ha perso di vista la realtà nella sua "complessità" (parola oggi di gran moda). Può benissimo accadere che singoli ricercatori o programmi di ricerca si stacchino dai problemi della realtà esterna, e s'immergano in problemi del tutto "interni" alla loro ricerca; ma questo non ha a che fare col valore conoscitivo della fisica. Ci dovrebbero essere pochi dubbi che i risultati deila fisica sono il fondamento di qualsiasi comprensione scientifica della realtà: dalla formazione delle stelle all'evoluzione della Terra, al comportamento delle molecole biologiche,

viventi... E I'elenco potrebbe allungarsi a volontà. Oggi si tende a contrapporre la "ricchezza" ela "vitalitÈf' dei sistemi complessi alla fredda semplicità dei supposti oggetti di studio della fisica. Niente di nuovo sotto il sole: " . . . quella scienza che coi suoi schemi, le sue formule, le sue leggi. i suoi tracciati, i suoi preparati, i suoi cadaveri e le sue piante disseccate e le sue bestie impagliate è come un mondo di spettri, dove I'arrima sente il freddo della morte." [G. Gentile, Sommario di pedagogia generale alle trasformazioni di energia negli esseri

(Laterza 1923) p.

2301

È 't che ad es. in questo corso ci occuperemo quasi sempre di sistemi molto "ro ma solo perché questi sono il necessario punto di partenza: se non si semplici, capiscono questi, ci si "aggira vanarnente in un oscuro laberinto." Lo studio dei sistemi complessi comincia a diventare praticabile oggi, perché secoli di lavoro ci hanno fornito gli strumenti: concettuali, ma anche materiali. Basta pensare ai calcolatori, e al fatto che questi esistono perché la fisica dei solidi, basata sulla meccanica quantistica, li ha resi possibili.

Fisica classica e fisica 66modernatt Questi termini stanno a distinguere, grosso modo, la fisica prima della crisi di fine '800 da quella sviluppatasi in seguito. Non è certo il caso di negare che la crisi vi sia stata, e abbia influito profondamente sul pensiero dei fisici del '900; tuttavia a dista.nza di un secolo è forse il caso di notare che cambiamenti non meno profondi vi sono stati anche in seguito, sì che un fisico di 50 anni fa si riconoscerebbe ben poco nella fisica di oggi. Perciò, anche se non è il caso di parlare di nuovo di crisi, sembra ormai anacronistico conglobare tutta la fisica di questo secolo sotto I'unica etichetta di "fisica moderna." Qualche esempio aiuterà a cogliere il senso di queste asserzioni. Le sensibilità di tutti gli stmmenti della fisica sperimentale sono aumentate di diversi ordini di gtandezzai - OSg è normale controllare e misurare spostamenti molto più piccoli delle

-

-

-

dimensioni atomiche. Fino a pochi decenni fa si diceva che I'esistenza degli atomi era sì provata da numerosi fatti sperimentali, ma in modo indiretto; oggi esistono tecniche che permettono di "vedere" gli atomi, e di ma,nipolare atorni singoìi o in piccoli numeri. Non è passato molto tempo da quando s'insegnava che la luce visibile è un'onda elettromagnetica, ma non è pensabile misurare le variazioni temporali del suo campo, che sono estremamente rapide; oggi si misura direttamente la frequenza della luce laser. Dalle prime reazioni nucleari artificiali (anni '30) le energie disponibili sono aumentate di sei ordini di grandezza: di conseguenza la complessità del

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mondo subatomico si è accresciuta enormemente, e gli schemi teorici - anche se tutt'altro che definitivi sono lontanissimi da quelli che si potevano - della meccanica quantistica. concepire subito dopo I'invenzione - Discorso molto simile si può fare all'aliro estremo della scala: negli anni '20 era ancora dubbio che cosa fosse una galassia, e non si sapeva praticamente nulla della struttura delle stelle: oggi il quadro è del tutto diverso; e lo stesso si può dire in materia di cosmologia. È poi molto difficile valutare appieno quanto la disponibilità di mezzi di calcolo sempre pirì potenti abbia influito non solo sulle possibilità teoriche e sperimentali dei fisici, ma anche sul loro stesso modo di pensare, di aflrontare i problenú. Si puo obiettare che tutto questo è vero, ma non ha cambiato le leggi fon-

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damentali nate dalla rivoluzione dei primi del '900: la relatività ha ricevuto

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conferme sempre più estese e precisel la meccanica quantistica è stata e continua ad essere discussa, ma non si sono trovati fatti che ne confutino la validità, ecc. E per queste ragioni che dicevamo sopra che non si può parlare di crisi, ma di trasformazione graduaJe eppure assai profonda. La mancanza di momenti di rot-

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tura ha avuto I'effetto che la trasformazione può essere rimasta meno avvertital ma basterebbe prendere in m"to un qualsiasi libro (o pirì ancora una rivista) di 50 anni fa, per cogliere la distanza che ci separa da allora. lrlsl

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Ltinterazione fra scienza e tecnica Questo tema è stato già toccato indirettamente, ma è il caso di completare discorso. Si tratta infatti di una caratteristica già. presente nel secolo scorso, ma che in questo secolo ha preso uno sviluppo assi pirì ampio. L'interazione è in due versi: da un lato c'è quella, ben nota, dalla scienza verso la tecnica. Abbiamo già accennato ad es. all'influsso che ha avuto la fi.sica dei solidi sull'elettronica miniaturizzatal rna si potrebbe citare l'ottica teorica e pratica per le applicazioni aJla fotografia ecc.; i rapporti tra la meccanica statistica e le tecniche di trasmissione ed elaborazione delle informazioni; e così via. È iot e"" meno riconosciuto, ma non meno evidente, I'influsso inverso: della tecnica sullo sviluppo scientifico. Questo si attua soprattutto nella disponibiIità di strumenti pirì sensibili, pirì affidabili, piìr complessi; ma anche per altre vie. Per es. lo sviluppo delle tecniche radar, per scopi inizialmente militari, ha consentito la nascita della spettroscopia a mjcroonde, che ha arricchito in modo imprevedibile la fisica atomica e molecolare. oppure si pensi al beneficio ottenuto per la fisica dello spazio e per I'astrofisica, dallo sviluppo dei satelliti artificiali e clelle sonde spaziali, la cui base tecnica aveva ed ha motivazioni diverse: telecomunicazioni o sistemi militari.

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I capitoli della to el

fisica

La fisica è tradizionalmente divisa in capitoli: meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, ottica . . . (" .ltrettanto tradizionalmente il corso di Fisica 1-5

Generale I tratta i prirni due di questi). La srrddivisione lia prirnzr rli iutto raclici storiche, e poi anche di connessione logica: r:osì ad es. la nreccalica (classica) è stata la prirna parte della fisica acl assurnere urr assetto teorico compiuto, ed è perciò considerata logicamente inclipendente dal resto. Vedrerno ncl seguito del corso che in realtà ciò non è del tutto vero; rna 1 lFl. Poiché la "frenata" è piuttosto brusca, ne segue che in realtà rodulo di F è parecchio maggiore del peso del mattone: ma lo stesso accade : ,!a per il modulo di f", che è la forza applicata alle uova, e questo spiega -r i:ittata. (In realtà il discorso sarebbe ancora pirì complicato, perché ciascun - , 1'r non è soggetto a una sola forza, ma a due: I'altra viene da.l tavolo. È questo

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schiaccianoci" che causa la rottura.) L'aspetto importante di questi esempi sta nel mostrare che il 3o principio - : : sempre) anche 'in cond,'iz'ioni d,'i nt,oto accelerato: un nìotivo evidente per cui - - si può dedurre I'eguaglianza di azione e reazione da considerazioni valide , -- in condizioni di equilibrio. Dagli esempi si capisce anche un altro fatto importante: non è poss,ibi,le d,are .., .:- sperimentali separa,te d,ei tre principi, ma solo d,ella ualiditò" generale d,el '. insieme. Non è però il caso di farsene un problema: la questione può essere - -ro interessante da un punto di vista storico, o per chi ablria come proprio ''-,po d'indagine la critica dei fondamenti della fisica; ma da un punto di vista . :::ico oggi, dopo tre secoli, la vaiidità delie leggi di Newton è fuori qrrestione : :É corosciamo bene anche i limiti).

Le leggi di Newton sono state sottoposte a una critica serrata nel secolo :r-rio. e principalmente da Nlach, alla fine del secolo. Ora veclremo che quasi -:::r nella formulazione di Newton può essere messo in discussione, e quanto - :a,-, dil'ersi enunciati di Newton debbono essere reinterpretati.

i : spazio assoluto Si può contestare che abbia senso parlare di spazio assoluto (lo aveva già -.:: -, Leibniz) e affermare che il moto è sempre relativo: di un corpo rispetto a

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un altro. Occorre però ribadire che questa è una posizione fllosofica, non fisica: il fatto che valga il principio di relatività non deve essere stabilito a priori; solo I'esperienza può decidere.

Mach spinge la critica fino a negare anche il carattere assoluto della rotazione (l'esperimento del secchio di Newton). Si tratta di questo: prendiamo un secchio pieno d'acqua, sospendiamolo con una corda a un sostegno fisso, e attorcigliamo piìr volte la corda facendo girare il secchio. Aspettiamo che qualsiasi moto dell'acqua si sia calmato, e lasciamo andare il secchio. In un primo tempo, il secchio si mette in rotazione sempre piir veloce, e l.'acqua non si muovel poi anch'essa viene trascinata, per attrito, dalla rotazione del secchio (come possiamo vedere dal fatto che la superficie s'incava nel centro). Se ora freniamo il secchio con le sani, I'acqua continua a ruotare, e solo dopo un po' viene frenata per I'attrito col secchio fermo, fino a ridursi in quiete.

Newton intepreta questo semplice esperimento come prova che il moto di rotazione ha carattere assoluto: infatti la superficie libera dell'acqua s'incava quand,o e solo quando I'acqua ruota, indtpendentemente dal moto del secchio. Dunque gua,rdando I'acqua possiamo sapere se essa sta ruotando rispetto alle stelle f"sse, il che è quanto dire che in rrn riferimento che ruota con il secchio non vale il principio di relatività (e si manifesta una forza centrifuga). Su questa base Newton spiega lo schiaccia.rnento della Terra, che era allora il risultato di ricerche dell'ultim'ora. Con argomenti dello stesso genere noi oggi spieghiamo la forma discoidale della Galassia. Invece Mach afferma che anche la forza centrifuga è un effetto del moto dell'acqua rispetto aI resto della materia dell'Universo, che conta assai più del secchio perché, prrr essendo più lontana, ha una massa immensamente maggiore. ((principio di Mach," nessuno Occorre però dire che su questa idea, nota come finora ha saputo costruire una teoria. Osservazione: Nella meccanica newtoniaria) se si assume che le forze possano dipendere solo dalle distanze e dalle velociià relative dei corpi, vale il principio di relatività (vedremo meglio poi): dunque tutti i riferimenti inerziali sono equivalenti, e a rigore lo spazio assoluto non è necessario. Newton era perfettamente consapevole di questo, e gli storici discutono ancora se dawero credesse nello spazio assoluto.

La deflnizione di massa Per Newton la massa è. la "quantità di materia," definita come prodotto della densità per il volume. E fin troppo facile obiettare che questa è una definizione circolare (come si definisce la densitàr?) e soprattutto che non consente una misura. Infatti: come possiamo confrontare le quantità di materia in corpi di composizione diversa? S'intende che se già sappiamo che y' è la stessa per tutti i corpi, potremo usare la bilancia: infatti questa confronta i pesi, e attraverso

5-4

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rie ricaviamo la misura della massa. Però nessuno può pesare una stella

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.-.'::rdi Ia sola via d'uscita è usare il 3'principio: da Fo" : --Èsa segue . , ,. : -ntBds; allora, misurando le accelerazioni, si ottengono i rapporti delle In realtà sorgono sottili problemi logici, su cui però non vale la pena di

-rì::_- ^..::1.

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: definizione di forza e il ruolo del 2' principio -{ppare molto diff.cile una definizione indipendente

di forza, per ragioni

. , ahe alla massa: possiamo attaccare un dinamometro alla Luna o a un ',' t;l Sembra allora che F : md, decada al ruolo di d,efinizione d'inamica d'i - -: -: l'unico rnodo per misurare una forza è di misurarel'accelerazione che essa : : ::i.:e su di un corpo di massa nota. .

-

Li realtà le cose non stanno proprio così, perché possono presentarsi situache si studia. In certi casi I'e.::.ssione della forza è data da una teoria generale: gli esempi piìr evidenti sono ,: -:ige di gravitazione e quelle dell'elettromagnetismo: In questi casi la forza

-- -, ,lirerse, a seconda del campo di fenomeni - :, '-::

Junque essere calcolata indipendentemente dall'accelerazione del corpo, e quest'ultima viene determinata dal 2' principio. t n'altra situazione è quella delle leggi fenomenologicàe: espressioni empiri'- =. di portata più o meno ampia, che permettono di ricondurre lafotza a pochi : --.metri semplici. Gli esempi pirì noti sono: la legge di Hooke per I'elasticità, = -.ggr dell'attrito e della resistenza dei fluidi. In questi casi non c'è una vera ;;1-rpria teoria, ma solo una descrizione approssimata di dati sperimenta^li; cio - - toglie che le leggi fenomenologiche di forza hanno grande utilità pratica. Un terzo caso da considerare è quello delle reazion'i uincolari. Qui abbiamo : :.e fare con forze dovute a interazioni complicate di un corpo con altri (piani : ,;'poggio, rotaie, fili, ecc.) delle quali non si sa fare una teoria né si possiede '-'.spressione fenomenological anzi in molti casi non interessa neppure cono. ..:le in dettaglio. Per il moto di un treno sui binari non ha importanza cercare '' ,'aLcolare a priori grandezza e direzione delle reazioni vincolari, grazie al fatto ::.la traiettoria è conosciuta. (Diverso è naturalmente l'atteggiamento dell'ini:inere che progetta i binari e la massicciata ferroviaria: egli deve assicurarsi ":: i binari non si deformino al passaggio del treno e che la massicciata regga il : rico. ) Ma resta il fatto che per il puro problema di dinamica spesso le reazioni .*--,:olari sono delle incognite che si cerca di eliminare.

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principio e I'azione a distanza

Già ai tempi di Newton I'idea di azione a distanza suscitava molte obiezioni, t - sono divenute pirì profonde quando ci si è persuasi che in realtà le azioni fra :,:pi distanti sono sempre trasmesse attraaerso un campoj e si propagano con ','-ìocità finita. E proprio questo come vedremo che ci obbliga a lasciar

-

-

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cadere, nella meccanica relativistica, I'uguaglianza

di azione e reazione per le

forze a distanza: infatti le due forze non saranno pirì uguali, se il campo trasporta quantità di moto. Anche questa però) come tutte le conezioni relatiuistiche, può essere trascurata in molti casi pratici.

Il problema non sembra sussistere per le Íotze a contatto: tuttavia dal pnnto di vista moderno nasce un'a.ltra difficoltà, ed è che le forze a contatto in realtà, non esistonol Per esempio, quando due palle da biliardo si urtano, il contatto fra le loro superfici è in realtà un'interazione a distanza (sia pure brevissima) tra le cariche elettriche degli atomi che costituiscono le due superfici. Le palle rimbalzano petché I'interazione dominante è quella fra gli elettroni, che è repulsiva. Per fortuna alla piccolissima distanza corrisponde un trasporto che ha durata di quantità di moto __ tramite il campo elettromagnetico estremamente breve (- 16-ta s) e che perciò può essere del tutto trascurato: anche da un giocatore di biliardo che conosca la relatività. Non si può fare a meno di accennare che nella fisica degli ultimi decenni si è avuto, a questo proposito, un ulteriore rovesciamento di posizione: infatti la teoria quantistica dei campi vede I'azione di un campo come uno scambio di particelle (ad es., nel caso del campo elettromagnetico, uno scambio cli fotoni). In questo senso I'azione a contatto ritorna ad essere quella primaria, anche se naturalmente con tutt'altro significato. . . Come si misura la massa La metrologia della massa è in uno stato diverso da quello raggiunto per il tempo e lo spazio. Infatti in questi due casi le unitèr. di misura sono oggi agganciate a campioni intrinseci'. le differenze di energia di livelli atomici, e quindi le frequenze delle corrispondenti transizioni elettromagnetiche. Invece I'unità di massa è ancor oggi quella del 1901: il kg campione conservato al BIPM. Per quanto riguarda le misure di massa, come al solito i procedimenti sono molto diversi a seconda del campo in esame. Alla scala umana ci si basa su bilance, pirì o meno sofisticate, ma che in ogni caso sfruttano I'attrazione gravitazionale della Terra sul corpo in esame, confrontandola o con quella su corpi campione, o con forze di altra origine (ad es. molle). La determinazione delle masse di stelle, pianeti, galassie sono sempre basate sugli effetti delle forze gravitazionali: ne riparleremo in seguito. Invece nell'ambito microscopico si deve ricorrere ad altri metodi: accelerazioni prodotte da campi elettrici e/o magnetici (come nello spettrografo di massa), uso delle leggi di conservazione in urti elastici o anelastici. La cosa piùr importante da segnalare è che mentre i metodi di misura nel microscopico misurano l'efietto inerziale della massa, quelli macroscopici si fondano sull'effetto gravitazionale: o attiuo, come quando si misura la massa del Sole dal moto della Terra, o passiuo, come nelle comuni pesate. Nel primo caso 5-6

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:: :.? il fatto che la Íorua è proporzionale alla massa che la producel nel secondo, .- --=::.r che è proporzionale all3,625sa che la subisce. Non è ovvio che si stia -'.-:,rando sempre la stessa grandezzal ma tutti gli esperimenti in proposito ci r.:r r'i.rano che è così (ne riparleremo in seguito).

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abbiamo parlato del tempo assoluto, perché ad esso avrebbe pensato poco dopo, e ce ne occuperemo a parte (abbiamo già, cominciato nel -,.::in

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-\ questo punto pare davvero che della costruzione di Newton non resti pirì ma non è così, se si riflette che in fisica non ha mai senso la discussione -" :-ndamenti di un frammento della teoria, isolato dal resto. Così ad es. il '' : -tîo di forza acquista un senso se lo si lega alla legge di gravitazione, o : -'::lle dell'elettrostatica. I1 concetto di massa diventa significativo se se ne - t :a una procedura di misura (per mezzo di urti oppure con uno spettrografo :- ::assa ... ); procedura che a sua volta è utilizzabile in quanto si appoggia a

r:riti

- , tra parte della teoria (per esempio, nel caso dello spettrografo di massa, alla ' :-scenza delle forze cui è soggetta una carica in un campo elettromagnetico). I.: firla con le parole di Taylor e Wheeler: -

''Ouanto è sorpassata quella concezione della scienza che si esprimeva :ol dire 'definisci i terrnini che impieghi, prima di procedere'! Og"i lasso avanti della conoscenza umana che sia realmente creativo è così latto che teorie, leggi, metodi di misura inseparabili per seînpre - J. A. Wheeler: Spacetime .engono al mondo insieme." [E. F. Taylor, PÀ;'srcs (Freeman 1966)

p.

102]

r'aLidità della meccanica newtoniana sta nel fatto che viene usata da tre secoli ,-":^. contribuito alla costruzione di tutta la fisica che oggi conosciamo (senza .

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: : ale le innumere

v

oli r eahzzazioni tecni che).

î.:assumendo:

-. l

esperienza mostra che esistono riferimenti (detti "inerziali") nei quali val, le leggi di Newton, senza bisogno di "forze apparenti." Sul significato delle :.::. apparenti ritorneremo pirì avanti. Due diversi riferimenti inerziali sono in

: .-

- : r traslatorio rettilineo uniforme I'uno rispetto all'altro. l. -{ seconda del problema, approssimazioni via via più soddisfacenti

al riferi-

=::ro inerziale sono: : un riferimento solidale con la Terra : un riferimento che si muova come il centro di massa della Terra, ma con orientamento secondo le "stelle fisse" (in seguito preciseremo) : un riferimento che si muova col centro di massa del sistema Terra-Luna : un riferimento che si muova col centro di massa dell'intero sistema solare. . . o-I

3. In tutti questi esempi di riferimento inerziale, occorre introclurre la forza di gravita in accordo con Nertrton - Einstein - come forza reale, dovuta all'azione di altri corpil con si presenta una visione diversa, di cui parleremo al momento opportuno. a. Ogni corpo possiede una massa) costante e invariabile, che ne misura l'inerzia, ossia il fattore di proporzionalità tra forza e accelerazione nella seconda legge di Newton. Le procedure di rnisura della massa possono variare molto da caso a caso (come del resto per tutte le grandezze fisiche). In seguito vedremo come la relatività modifichi il concetto di massa newtoniano. 5. Nella seconda legge compare la forza agente sul corpo: questa potrà, a seconda dei casi, venir data da una teoria (gravitazione, elettromagnetismo) o da un'espressione fenomenologica (molie, attrito) o introdotta come incognita che riassume interazioni complicate sn cui non si vuole indagare (reazioni vincolari). 6. Nell'interazione fra due corpi azione e reazione formano una coppia di braccio nullo. Ne segue la conservazione della quantità di moto e del momento angolare, in assenza di forze eslerne.

5-8

6. Il principio di relatività È ben noto che la maggiore opera di Galileo,

it

Dialogo sur Massimi Sisúemi,

. =-'ritta in difesa del sistema copernicano, a favore del quale porta una messe '' argomenti teorici e sperimentali. Uno dei punti centrali della discussione : -:cerne i presunti effetti del moto della Terra: poiché noi non ci accorgiamo -.iatto del suo moto, gli oppositori di Copernico ne arguivano che

essa fosse

-:-.ìmobile e a.l centro del mondo." " ...Ma perché da questo S. Ofrzio, per averio [

...] scritto e dato alle stampe un libro nel quale tratto I'istessa dottrina già dannata e apporto ragioni con molta efBcacia a {avor di essa, senza apportar alcuna soIutione, sono stato giudicato vehementemente sospetto d'heresia, cioè

d'haver tenuto e creduto che il sole sia centro del mondo et imobile e che la terra non sia centro e che si muova; pertanto, volendo io ler-ar dalla mente d.elle Eminenze Vostre e d'ogni fedel Christiano questa vehemente sospitione, giustamente di me conceputa, con cuor sincero e fede non finta abiuro, maledico e detesto li suddetti errori et heresie . . . " fda G. de Santillana: Processo a Ga]ileo (Mondadori 1960)

p.

1021

numerosi esempi, La linea seguita da Galileo consiste nel confutare - con cli fatti di esperienza comune, con I'invenzione di esperimenti I'opinione che debbano esserci effetti osservabili del moto della Terra. : leaLi -'argomento piìr famoso è quello basato sull'osservazione, cli senso comune già .lìora (!), che in un locale chiuso sotto coperta di una nave non è possibile ::corgersi se la nave cammina o sta fernra. Nell'App. 1 è riprodotto il famoso : rano del Dialogo che tratta questo argomento. E questo I'atto di nascita del

:,n I'esame critico

:,i nc'ipio

d,i relat'ia'ità,:

Nessun esperimenlo permette di d,istznguere d.ue riferimenti traslatori o retlilineo unif orrne I'u,no rispetto all' altro.

in moto

Dei commenti sono necessari: 1. S'intende che gli esperimenti vanno condotti all'interno dei laboratori, senza "guardare fuori dall'oblò." 2. Per quanto si dica spesso che I'enunciato di Galileo si riduce solo a esperimenti di meccanicaT ciò non è esatto, per la semplice ragione che la separazione della meccanica dalle altre parti della fisica è posteriore a Galileo. 3. Possiamo formulare il principio di relatività in modo espressivo e facile da ricorda.re, come "principio del taccuino": se nei due riferimenti operano due fisici, e ciascuno annota in un taccuino i risultati dei suoi esperimenti, essi non potranno riconoscere il proprio taccuino in base a guello che c'è scritto. Bisogna però andare pirì a fondo: spesso i due fisici possono osservare ciascuno I'esperimento dell'altro, e sorge allora la necessità di "raccordare" le due descrizioni che essi danno dello stesso esperimento. 6-1

LIn esempio, preso ancora da Galileo, illustrerà meglìo la questione. Se un cannone disposto con la canna verticale spara una palla, questa ricadrà nella bocca del cannone (fig. 6-1). Se lo stesso esperirnento viene condotto montando il cannone su cli un carro che corre veloce, il principio cli relatività ci dice che ancora la palla deve ricadere nella bocca del cannone, perché il riferimento del carro è anch'esso inerziaJe. Ma visto da terra. cioè nell'altro rifelimento) sembra che la palla debba restare indietro (fig. 6-2); almeno così argomentavano gli avversari di Galileo. Galileo mostra che che nel riferimento "a terra" la palla non sale in verticale. perché ha anche una velocità. ortzzontafe (quella clel carro); la srra traiettoria è perciò una parabola che la riporta giusto alla bocca del cannone. Non solo: nel tempo in cui la palla cade dalla bocca al fondo del cannone. essa si sposta in avanti di tanto quanto il cannone, e perciò penetra nella canna dolcemente. senza

urtal'e la parete (fig. 6-3).

In termini moderni, si vede che il problema è: come cambia la descrizione in termini di gtandezze fisiche (velocità. accelerazioni, lorze .. ) .li uno stesso esperimento visto da due riferinrenti diversi? Ci stiamo chieclendo la legge d,i, trasforrnazione delle grandezze fisiche per cambiamento di riferìrnento. Come mostra I'esempio, ci sono certamente grandezze non inuarianli: una è la velocità. Che cosa ha a che fare questo col principio di relatività? La legge cli trasformazione delle grandezze devtessere tale che 1o stesso esperimento úsulti compatit,ile con tutte le leggi fisiche, quale che sia il riferimento usato per descriverlo. Qdndi se per es. m, d, F sono granclezze misurate in un riferimenlo e m' , d' , F' quelle misurate per lo stesso esperimento in un altro riferimento in,erz'iale, anche senza pronunciarci sulìa legge di trasfornrazione m t+ 7nt,

0àa,

ci aspettiamo di trovare da una parte F accade, solo due casi sono possibili:

-

o il principio

r.è-r

+)lF-,

-

n1d,

dall'altra F'

: rn'd'. Se ciò non

d,i relatia'i,tà, no'ÌL uale per c1uell'esperimento

o la legge cli trasformazione clelle grandezze è sbagl'iata.

Il principio di relatività nella fisica newtoniana Nella sistemazione newtoniana della meccanica il principio cli relatività, Iimitato ai fenomeni meccanici, è un teorema, nella forma seguente: se Ie forze tra i corpi d,ipendono solo d,alle po-tiz'ion'i e dalle uelocità' relatiae, allora tutti i moti, a parità' di cond'izioni iniziali, si.saolgono nello -"tesso mod,o in qua,lunque riferirnento inerziale. La dimostrazione la daremo piìr avanti. 6"2

1

I- principio di relatività e la velocità della luce

l,

) e

I I

i ,

)

I I I

Come abbiamo

giàr,

detto, i problemi nascono con 1o sviluppo dell'elettro-

-.inetismo, nella seconda metà dell'800. La teoria elettromagnetica che da .,I*n-eLl prende il nome, sintesi del lavoro di almeno due generazioni di fisici, :--iisume in poche equazioni tutte le conoscenze dell'epoca in materia di elettri:--:a e magnetismo. La teoria prevede I'esistenza delle onde elettromagnetiche: :::r-isione che sarebbe stata verificata vent'anni dopo (Hertz, Righi) con la con:=::ra di tutte le proprietà che la teoria di Maxwell aveva indicate. In particolare la teoria prevedeva che le onde elettromagnetiche dovessero ;:,pagarsi (nel vuoto) con una ben precisa velocità, ca.lcolabile sulla base delle .r3: già note. La coincidenza tra il valore indicato da Maxwell per la velocità, ,.-.e onde elettromagnetiche e quello della velocità della luce indicava inoltre t la luce, di cui erano note molte proprietà, ma non la natura fisica, era un = :::o particolare di onda elettromagnetica, carattetizzala solo da una lunghezza : :,nda molto piccola (- 5.19-z m). Oggi la velocità delle onde elettromagnetiche --- r'uoto stindica universalmente con c.

]Ia

ecco il problema: rispetto a quale riferimento le onde elettromagnetiche questa velocità? Sembra a prima vista evidente che se la velocità è c ::spetto a un certo riferimento inerziale, non può esseîe ancora c rispetto a un .':ro riferimento che si muova rispetto aJ primo. Ma se è così, il principio di rela-:.'ità non vale per le onde elettromagnetiche (e quindi per la teoria di Maxwell): . iue fisici di cui abbiamo parlato prima potrebbero facilmente riconoscere i pro: j taccuini semplicemente misurando la velocità della luce, ciascuno nel proprio :--::rimento!

'-...o

È qui che Einstein introduce la sua idea rivoluzionaria: in base ad argomenti :=orici che non possiamo esporre, e all'analisi dei (pochi) fatti sperimentali allora - rti. conclude:

"Esempi di questo genere ... portano all'ipotesi che al concetto di quiete assoluta non corrisponda a.lcuna proprietà dei fenomeni; e ciò non solo nella meccanica, ma anche nell'elettrodinamica. Al contîario) per tutti i sistemi di coordinate fin questo corso preferiremo dire 'sistemi di riferimento'] per i quali valgono le equazioni della meccanica, valgono pure le stesse equazioni elettrodinamiche e ottiche . . . Intendiamo perciò elevare quest'ipotesi (il cui contenuto verrà chiarnato nel seguito 'principio della relatività') al rango di postulato . . . "

Irsomma, Einstein afferma che il principio di relatività di Galileo vafe incond,i:',onatamente per qualsiasi fenomeno fisico, onde elettromagnetiche incluse.

Invarianza della velocità della luce e 66composizionet' delle velocità

na

Dunque Einstein recupera il pieno significato del principio di relatività, questo fa nascere un altro problema: se il principio di relatività vale per 6-3

la teoria di l\Iaxrvell, la velocità della luce dev'essere c in qualunque riferimento inerziale (noi diciamo che dev'essere inuarianle); ma non è stato lo stesso Galileo a insegnarci che la velocità di un corpo in moto rispetto a un certo riferimento si compone con quella del riferimento? E non è esperienza comune che le cose vanno proprio così? La risposta di Einstein è drastica: poiché

tutti i fatti

che la velocità" è sempre c, ne segue che la cosiddetta

('legge

sperimentali provano

di composizione delle

velocità," non funziona. Piir esattamente: non funziona con velocità così grandi come guella della luce, anche se ciò non impedisce che possa essere un'eccellente approssirnazione quando si ha a che fare con velocità molto piu basse, come sono guelle dei treni o degli aerei (e perfino quella della Terra attorno al Sole).

Uno clei pdncipi base della fisica (e di tutte le scienze sperimentali) è che "i fatti hanno sempre ragione)': quando sembrano in conflitto con qualche nostra idea, vuol dire che quelle idee hanno bisogno di essere ripensate e rielaborate. In un caso come quello di cui ci stiamo occupando il conflitto è particolarmente aspro, perché la composizione delle velocità ci serrrbra assolutamente intuitilz; dobbiamo dunque essere ben sicuri che i fatti parlano a favore dell'invarianza della velocità. della luce. Fortunatamente oggi siamo su questo punto in una posizione molto piu facile di quella di Einstein: la quantità di fatti sperimentali su cui possiamo basarci è assai maggiore. e certi sono particolarmente evidenti. !'ediamone quaJcuno.

Prove dell'invarianza della velocità della luce Ci sono in primo luogo gli esperimenti "storici," che sono stati progettati aI preciso scopo di studiare se la velocità della luce dipende d.alla clirezione in cui si propaga, e dal sistema di riferimento in cui I'esperimento è condotto. I risultati di questi esperimenti sono sempre stati a favore dell'invarianza; ma si tratta di esperimenti la cui clescrizione ci porterebbe fuori del tema di questo corso, e perciò qui non

li

approfondiremo.

È utile invece osservare che la stessa enorme diffusione delle onde elettromagnetiche nella tecnica odierna ci dà alcune prove dirette clell'invarianza. Una è data dai sistemi di radionavi gazior'e, tra i quali vogliamo citare il piìr moderno: il Global Positioning System (GPS). La sua clescrizione è molto semplice, se ci si limita all'essenziale. Un certo numero di satelliti emettono speciali segnali radio, con i quali comunicano tra l'altro la loro posizione. La nave (o I'aereo) che vuole conoscere la sua posizione non fa che rnisurare i tempi di propagazione delle onde radio dai satelliti, e questa misura fornisce subito le dista,nze della nave dai satelliti. Poiché la posizione dei satelliti è nota, se ne ricava senza diffi.coltà quella della nave (il tutto è fatto automaticamente da un apposito apparato di bordo). L'accuratezza del sistema è tale che nelle sue versioni pirì sofisticate (usate solo a scopi militari!) è possibile accorgersi di uno spostamento < 10m. 6-4

lo )o

:o

IO

le

ti be

to

le :a

te a;

,a

Fin qui la tecnica: ma dove entra I'invarianza della velocità delle onde :-:ttromagnetiche? Il fatto è che la Terra gira su se stessa e ruota attorno al S rle. per cui non resta ferma rispetto a nessun riferimento inerziale. Se la velocità :=l.l.e onde dipendesse dal riferimento, essa cambierebbe nel corso dei rilevarnenti ::tri dalla nave, anche da un'ora all'altra; il GPS dovrebbe quindi indicare un -'rrimento della nave, anche quando questa sta ferma nel portol e la grande :-nsibilità del sisterna ci dice che si potrebbe scoprire in tal modo una variazione ur'he piccola della velocità delle onde elettromagnetiche. Naturalmente se così : sse il GPS sarebbe inutilizzabilel Ln altro argomento dello stesso genere ce lo forniscono i viaggi spaziali. lutte le navicelle, capsule, ecc. che hanno percorso in questi decenni il sistema : - Lare, che fossero o no abitate, contenevano apparati i pirì diversi fondati sulla -=oria elettromagnetica: pensiamo ad es. ai laset, agli orologi atomici, at mezzi t: comunicazione con la Terra, ecc. Tutti questi sistemi sono stati progettati e ,llaudati "a tema," e poi fatti funzionare mentre la navicella viaggiava, rispetto --ìa Terra, a velocità di 10 km/s o anche superiori. In tutti i casi il funzionamento : Stato esattarnente quello previsto; proprio come nel "gran navilio" di Galileo : rn si poteva riconoscere se la nave stesse ferma o corresse sotto la spinta delle

la úi

. :lC.

:i.

Concludendo Dobbiamo assumere, in base a prove sperimentali dirette, la validità. ge- era-le del principio di relatività.: anche per la propagazione delle onde elettroragnetiche, e in particolare della iuce. Ne segue che la legge di composizione :alileiana delle velocità non può essere esatta, e dovremo più oltre vedere come

al

-.

si

Tuttavia il problema, così come per il ternpo assoluto, non sussiste in pratica l-elocità piccole rispetto a c, a meno che non si vada in cerca cli effetti minuti, :he richiedono strumenti di altissima precisione per essere rivelati. Perciò nel ::guito, salvo quando lo diremo esplicitamente, continueremo a far uso clella isica newtoniana come un'adequata schematizzazione della realtà.

,ti ali e

ada corretta.

::r

:)-

ta o: si

le le ve bà ati

Ie

o-o

7. Riferimenti, spazio, vettori il

principio di relatività, abbiamo più volte fatto tratta di uno dei concetti fondamentali della fisica, dobbiamo ora discuterlo con una certa attenzione. Discutendo nel cap. prec.

uso del termine "riferimento." Poiché si

Riferimenti Come dice il termine, un riferimento serve per riferirvi il moto dei corpi o piu in generale qualsiasi fenomeno fisico). Perciò un riferimento è qualcosa li reale, di tangibile, e non un'astrazione matematica. Possiamo dire che il riferimento è w laboralorio, ossia rn am,biente (corpo) rigid,o, dotato di tutto -'insieme dt strumenti necessari per le misure (di posizione, di tempo, di velocità, :cc.) Ad es. un riferimento si potrà trovare solidale alla superficie terrestre (è :1 caso pirì comune), oppure montato su di un treno, o in una nave (il "gran ealilio" di Galileo), o in una navetta spaziale. . . Spesso converrà pensare a un riferimento non materialmente esistente, ma ben definito e fisicamente possibile. L'esempio piir ovvio è il riferimento solidale al centro della Terra, ma orientato come le stelle fisse, di cui abbiamo parlato all.a fine del Cap. 5: I'astronomia insegna come caratterizzare Ie misure rispetto a tale riferimento. .\ttenzione: Spesso si confonde "riferimento" (sistema di riferimento) e "sistema i.i coordinate." Si tratta di due concetti del tutto distinti: il primo, come ab5iamo già, detto, è un oggetto della fisica; il secondo fa parte della descrizione inatematica. In uno stesso riferimento si possono benissirno usare diversi sistemi I coordinate (ca,rtesiane con assi scelti come fa comodo, polari, ecc.); ma ad es. :.1 fatto che un riferimento sia tnerziale è una sua proprietà fis'ica, che non ha aiente a che fare con le coordinate che si decide di usare.

Spazio euclideo

A un riferimento si associa il suo "spazio fisico," che è lo spazio dell'intuizione comune, ma dotato di una struttura matematica: nella fisica newtonia.na si tratta di uno spazio euclid,eo 3-d,'imensionale E3 . Non occorre entrare in det:aglì, perché le proprietà di .83 sono ben note da)J,a geometria euclid,ea, di cui lossiamo presupporre i concetti base (punti, rette, distanze, angoli ... ) e i teo:emi fondamentali. Abbiamo già osservato che lo spazio .O3 viene abbandonato rella relatività generale (non in quella ristretta); vedremo meglio pirì avanti.

\-ettori nello spazio euclideo In uno spazio euclideo si definisce in modo semplice il concetto di uettore. Si possono seguire due strade equivalenti: - Con la prima, si parte dall'idea di spostamenúo, o più esattamente di traslazione: ogni traslazione è carallerizzata dal sro aettore (fig. 7-1) che ne dà la 7-7

ela direzione (uerso incluso). Llla composizione delle traslazioni (che è associati,ua) corrisponde l'ad,dlizi,one dei vettori. secondo la ben nota \egge del parallelogrammo (fig. 7-2): l'addizione di vettori è commutatiaa. E definita la traslazione nulla e quindi ll t:ettore nullol per ogni traslazione esiste I'in uersa, cui corrisponde il vettore opposto, che ha la stessa grandezza e direzione ma verso contrario. Tutte queste proprietà delle traslazioni e dei vettori si riassumono dicendo che il loro insieme ha la struttrrra di un gruppo cornmutaltuo. grand,ezza

-

La seconda strada parte dai segmenti orientati, AC in fig. 7-3. Trai "o.rr" segrnenti orientati esiste una relazione d,i equiualenza: sono equivalenti due segmenti paralleli, con la stessa lunghezza e lo stesso verso. Si chiarna allora aetlore ciascuna classe di equivalenza di segmenti orientati. Perciò a rigore ÀÈ f .ioa un singolo s"gmenlo orientato) ro=n è u., vettore. rna è un comodo abuso dire anche "il vettore AB."

Tralasciarno di rendere rigorosa l'affermazione, intuitiramente evidente, che le due strade sono in sostanza la stessa cosa.

Oltre all'addizione, sui vettori è definita un'altra operazione: la noltiplicazione per uno.*calarc (in questo contesto. "scalaret' significa "numero realett). Non è necessario insistere. perché la definizione è geometricamente evidente: la iunghezza del vettore viene alterata in proporzione al moltiplicatore; la direzione resta la stessa, e il verso carnbia se il moltiplicatore è negativo (fig. 7-a). fucordianro solo la proprielà, distributiua:

c(ú+ú\:cúlcú. L'insieme dei vettori in E3 è uno spazio rettoriale di dimensione 3 (qrresto va ancora chiarito), che indichererno con tr/3.

.

Ó?

Scelto in E3 un punto O, a ogni vettore É corrisponde un punto P tale che É, e viceversa: a ogni punto P corrisponde il vettore É : O?. Abbiamo

:

cosìunacorrispondenzabigettiaafra.E3eV3.

PerciòsiusadescrivereunpuntoP

mediante il vettore É: va però tenuto presente che la corrispondenza dipende dalla scelta del punto O, che non è intrinseca al riferim,ento.

Attenzione: Molto spesso, quando siano state introdotte coordinate cartesiane,

il punto O è I'origine di queste: ma in generale la corrispondenza fra punti

e

vettori non richiede le coordinate.

Dimensioni e basi

il

che è del

3

in .o3 e in tr/3 sta a significare che si tratta di spazi 3-d,irnensionali, tutto intuitivo; ma vediamone ora la precisa defi.nizione matematica.

L'indice

Premet tiamo alcune abbreviazioni terminolociche.

n.\

út,...,dr

Definizione: Diremo che n vettori armente) se la relazione crúr vale solo quando

In particolare,

se

tutti i

* "'*

sono indipend'enti (soitinteso /in'e-

cnÚn

-

g

,cn sono nulli. n vettori sono tra loro indipendenti, nessuno di essi può c1, . . .

espresso corne cornbinaz'ione lineare degli

út

:

bzúz

altri:

essere

I'equazione

* "'* bnún

(7-1)

non ha soluzioni nelle incognite b2,...,bn, lo stesso accade per le equazioni " analoghe cor- ú2, ecc. al posto di d1. Definizione: Se d1 , . . . , d, non sono indipendenti si dicono d,'ipend,ent'i, ovvero si dice che ú1 dipend,e da ú2,. . . ,ún, ecc. Osservazione: Se n vettori sono indipendenti, nessuno di essi è nullo: infatti se dr :0, la (7-1) è soddisfaita prendendo i ó tutti nulli. Defr.nizione: Due vettori ú, ú ha loro dipendenti si dicono anche paralleli. Se ad es. d

f

0, sarà

ú,:

cú:

i vettori si dicono

concordi se c > 0.

Ciò posto, dicendo che V3 è uno spazio (vettoriale) 3-dimensionale intendiamo questo: - esistono 3 vettori indipendenti - 4 (o pirì) sono sempre dipendenti. Defr.nizione: Una terna €t., €2, d3

di vettori indipendenti di l/3 si chiama una

base.

Poiché ogni altro vettore d è necessariamente dipendente da dr, d2, ds, si potrà sempre scrivere

ó:utdtlu2é21u3és; i tre numeri

Dr,1)2t u3 si dicono le componenti di Ú nella base data. Per questo motivo, una volta fissata una base, un vettore può essere visto come una terna ord,inata il'i num,eri reali (ossia un elemento * *')' ma bisogna sempre ricorda.re che le componenti dipendono dalla base. Valgono le seguenti proprietà, che si dimostrano banalmente: - le componenti della sornma di due vettori sono le sornme delle componenti - le componenti di cd sono c'ut. cuz, cug. fn una parola, ciò significa che I'applicazione V3 --.* R3 è tn isomorf,smo fra spazi vettoriali. Osservazione: È evidente che tutto quanto abbiamo detto fin qui si estende a

spazi vettoriali con qualsiasi numero (finito) di dimensioni; questo potrà occasionalmente riuscire utile in seguito. Per I'applicazione allo spazio fisico, è ovvio che .U3 si chia,rra 3-dimensionale perché è in corrispondenza biunivoca con V3. In termini intuitivi, tenendo presente I'interpretazione dei vettori come spostamenti, possiamo dire che lo spazio

7-3

T t

fisico è 3-dimensionale perché si possono scegliere una volta per tutte tre clirezioni, in modo tale che da ogni punto se ne può raggiungere qualsiasi altro componendo tre spostamenti in quelle direzioni: due sole direzioni non sono in generale suff.cienti, mentre quattro non sono mai necessarie. E bene non dirnenticare clre la tridimensionalità dello spazio fisico à un fatto sperimentale, non una necessità logica o a priori, in nessun senso.

Distanza e prodotto scalare Ljn concetto dello spazio euclideo del quale non abbiamo ancora fatto uso è quello di distanza. (Per questo motivo. la struttura fin qui costruita non è in realtà uno spazio euclideo. ma uno spazio affirt'e.) La distanza si può introdurre alla maniera della geometria euclidea elententare, rna pel il nostro uso couviene pa,ssare attraverso un arricchimento detrla struttura di y3. dotandolo di prodotto

La definizione elementare di prodotto scalale è nota: "prodotto clei moduli per il coseno clell'angolo cornpreso." Conviene però prenclere a base ,ccalaT'e.

della clefinizione alcune proprietà che da quella clefinizione elernentare si possono declurre: questn perche irr applicazioni non geometriche non è sempre chiaro in partenza che cosa sia "modulo." e clte cosa "angolo compreso." I)efinizjone: Prodotto scalare in V3 (o pirì in gerrerale. in !'") è rrn'applicazione

I' x l/

--, R.

(ú. r;) r+ ú. ú

(cioè rrna frrnzione a valori reali definita r,rllg gcrppie ordinate di vettori) con le seguenti proprietà: - è lineare irr l. ossia ú ' (avÚ1

-

*

azúz)

: at ú 'íi I

cLz

lí 'Úz

è szmmetrico, ossia

u.ù:u.u -

è d,ef,nita positiua:

u-.d>0. Dalle prime due proprietà segue ovviamente anche la linearità in u Definizione: Si chiama norrna o mod,ulo di un vettore l'espressione í:

lúl g' y'ir l. Se ltÌl :1, il vettore d si d.ice unitario. È ovvio che dato un vettore non nullo ne esiste sempre un altro unitario, ad esso parallelo e concorde.

7-4

I

I I

i

di

conseguenze immediate

queste definizioni (che non dimostriamo)

,orrolr"

-

7a disuguaglianza triangolare

lú+úlrldl+ldl dove

-

il

segno

:

vale sse (se e solo se) d e d sono paralleli e concord,il

\a d'isuguaglianza

d,i Schwarz

-lu llrrl < ir.ú < ldlldI dove il segno : vale a sinistra sse ú e d sono,paralleli e opposti, a destra sse sono paralleli e concordi.

Dalla disuguaglianza di Schwarz segue che esiste sempre uno

e

un solo d e

[0,

r]

ta-le che

ú.ú:lrTlldlcosr9: i vettori, e la defi.nizione

abbiamo così ritrovato I'angolo fra

dotto scalare. Definizione: Se d. d

:

0 (da cui

r9

: r

l2),

ú.

elementare di pro-

e d si dicono ortogonali.

Osservazione: Due o più vettori non nulli, e a due a due ortogonali, sono sempre

indipendenti: infatti

se è

ctút

il prodotto scalare

* "'* c'dr :

con d1 porta c1

:

0, ecc. Ne segue che in

esistere pirì di n vettori non nulli, a due a due seguente risultato, che non dimostriamo:

Teorema'. In ortogonali.

V" si possono

trovare

Q

V'

non possono

tra loro ortogonali. Vale poi il

n vettori non nulli, a due a due tra

loro

Defr.nizione: Un insieme di n vettori unitari, a due a due tra loro ortogonali, si chiama wa bo,se ortonormale di V". Le basi ortonorrnali sono estremamente comode, e perciò assai usate. Anzi d'ora in poi, a meno di diverso avviso, useremo soltanto basi ortonormali. Spesso una base ortonorma^le di I/3 si denota con í, j, E. Una proprietà delle basi ortonormali, che non vale per una base generica, è la seguente. Le componenti L'r, 1r2t u3 di d si ottengono per mezzo di prodotti scalari: 7t1

:

21 '

1J3: e3'D.

11, D2: e2'D,

Da qui segue anche subito: ú,. ú

:

ur?rt

*

u2u2

|

ugug.

t-o

f vettori in fisica Dobbiamo ora tornare alla fisica. per rispondere a una domanda: a che seri vettoú? Abbiamo già visto che possiamo usare un I'ettore per individuare un punto nello spazio, ed è perciò abbastanza evidente che i vettori riescono utili per descrivere il moto dei corpi (lo vedremo in dettaglio neì cap. seguente). Infatti non è difficile dimostrare che velocità, accelerazione, quantità di moto sono vettoril la cosa riesce però meno evidente per altre grandezze, come ad es. vorro

le forze. Nelle presentazioni elementari si usa dire che una grandezza ha carattere vet-

toriale quando per determinarla occorre assegnarne intens'ità,, d,'irez'ione e Derso. Sebbene questo sia accettabile come approccio intuitivo, non soddisferebbe un matematico; e anche dal punto di vista fisico lascia a desiderare, per due ragioni: - DOn è detto che sia sempre facile definire intensità, direzione e vcrso di una grandezza vettoriale - viceversa, si possono dare esempi di grandezze non vettoriali, per le quali si potrebbe assegnare in modo naturale tutte e tre queste caratteristiche: il più chiaro è quello delle rotazioni, su cui però non possiamo ora soffermarci. In effetti la proprietà più importante dei vettori è la possibiliÍà. clí sommarli: dunque perché una grandezza sia un vettore è necessario che si possa parlare di sorruna. Vediamo il caso delle forze. Definire la sornma di due {orze è facile: date due forze F Fr, applicate a//o " stesso punto di un dato corpo, la loro sornrna è quella forza che applicata sempre nello stesso punto produce lo stesso effetto dell'applicazione congiturta di F1 e F2. Per effetto intendiamo tanto il moto che quelle forze possono prodrrrre, quanto eventuali deforrnazioni di un corpo vincolato.

Àtota: È necessario che le forze siano applicate allo stesso punto. Infatti potremmo avere due forze opposte. applicate agli estrenri di rrna molla: sebbene la sorruna delle forze sia zero, I'effetto delle due forze non è nullo, perché la molla si allrrnga. Ancora: se due forze opposte ma non sulla stessa retta agiscono su di un corpo, questo ruoterà, e di nuovo non potrerno sostituirle con una forza nulla, ecc. È w fatto sperirnentale che una tale forza esiste sempre, e che si ottiene dr 4, F2 con la regola del parallelograÍrma: il che dimostra che la somma di forze ha le proprietà richieste alla somma vettoriale. Ormai siamo talmente abituati a ciò (l'abbiamo sentito dire fin da bambini) che non ci rencliamo pirì conto che si tratta di una verità di fatto, ossia che potrebbe anche essere diversamente. Ma non è stato così per i fondatori della meccanica: il problema della composiancora in da un punto di vista logico zione delle forze ha dato da pensare questo secolo.

-

-

La pirì forte verifica sperimentale del carattere vettoriale delle forze sta nella meccanica celeste. Per descrivere il moto di un pia.neta è necessario tener conto delle attrazioni gravitazionali del Sole e di tutti gli altri pianeti. Queste /-o

forze vengono sommate aetlorialrnenle nella seconda legge della dinamica, per determinare I'accelerazione del pianeta: i risultati dei calcoli concordano con le osservazioni, che sono di grande precisione (a.lmeno 10-8).

Veniamo a un altro punto: le-equazioni della fisica connettono fra loro : mdè una relazione fra vettori, il primo principio della termodinamica è una relazione fra scalari, ecc. (Ci sono anche oggetti piìr complicati, ma in questo corso non avremo occasione d'incontrarli.) Non accade mai che a primo membro di un'equazione ci sia un vettore, e a secondo membro uno scalare, o altre cose del genere. Può sembrare che questa sia una baualità, pirì o meno come "non si possono so[lmaxe le mele con le galline," ma non è così: c'è sotto una questione profonda, sulla quale però non è iI caso di fermarsi. almeno Der ora. grandezze d,ello stesso tipo: ad es..F

t-

I

8. Tempo e moto In questo capitolo cominceremo

a introdurre le idee fondamentali della cipunto sommaria esposizione dei necessari concetti nematica del materiale. Una di calcolo diferenziale si trova nel Cao. 10.

Il punto materiale Il moto di un corpo generico può essere assai complesso. Infatti per "corpo" possiamo intendere qualsiasi cosa: un pianeta, un calciatore, un atomo, I'acqua di un lago. . . Occorre quindi partire da qualcosa di più semplice, e questo si fa introducendo una prima schematizzazione: quella di punto materiale. Con tale terrnine s'intende un qualsiasi oggetto di cui non interessa la "struttura interna" (in particolare perché non ha effetto sul moto). Occorre però fare attenzione: non è affatto detto che un punto materiale debba essere "piccc'rlo": può essere un elettrone, oppure un granello di polvere, o una palla da tennis; ma può anche essere la Terra o una galassia. Viceversa, in certe situazioni un atomo non viene trattato come punto materiale (ad es. perché viene urtato da un elettrone. che ne carnbia lo stato di eccitazione: urto anelastico). Un esempio pirì banale. ma in certo senso piu significativo, è quello di una pallina che rotola lungo un piarro inclinato: vedremo in seguito che la sua accelerazione, inclipendentemente dalle dimensioni, è sempre del 15% inferiore a ú0, oppure solo per I < fs: in tal caso diremo che / è derivabile a d,estra oppure a sinistra. Può anche accadere che / sia derivabile tanto a destra quanto a sinistra, ma con derivate distinte: un esempio banale è /(f) : ltl in t : 0 (frg. 10--5). n grafico di una funzione siffatta ha tn punto angoloso in ts. 10-3

Attenzione: Una funzione derivabile a destra e a sinistra (ma con derivate distinte) non è d,eriuabile h senso stretto! Quando diremo "derivabile" senza specificare, intenderemo sempre in senso stretto. Defrnizione: Se f è derivabile in tutti i punti di (a, ó) si dice d.eriuabile in (a,b) e la derivata definisce in (a,b) una nuova funzione f | : la d,eri,aata (prima) di f . -l{oúa: I1 fatto che / sia derivabile non implica che ft sia continua. Ad es. /(t) : t2sin(1'lt) è derivabile per tutti i ú reali, ma la derivata non è continua in f : 0. Infatti "f'(0) : 0, mentre esistono infiniti punti, vicini a 0 quanto si vuole, in cui /'(l) :2lsin(1/ú) -cos(1/f) è maggiore per es. diIl2. L'insieme delle funzioni derivabili con derivata continua in (a, b) si indica con Cl(o, ó).

Primi risultati sulle derivate Per I'impiego pratico sono essenziali alcuni semplici risultati, che ora esponiamo (il più delle volte senza dimostrazione). Teorema (banaJe!): Una funzione costante in un interuallo ha d,eriuata nulla in ogni punto. Non è invece affatto banale I'inverso: Teorema: Se una funzione ha deriaata nulla in un interaallo, ess(" è costante. La dimostrazione sarà data nel corso di Analisi. Teorema; Se f,g sono d,eriuabiliintg lo èh: af *bg (a, b reali), e siha

h'(t0)

L) 2)

: aÍ'(to) + bs'(tt)- In altri termini:

le funzion,i d,eriaabili, in ts formano uno spazio uettoriale Ia d,eriaata è un omomorfismo d,i V su R.

La dimostrazione è ovvia. Teorema'. S" f ,g sono ileriaabili h'(to1

:

ints lo è h:

f

V sui

reali.

g, e s'i h,a

f'(tr) s(tr) + f(to) s'(to)

(le funzioni derivabili formano un'algebra rispetto alla moltiplicazione). Dim.: Abbiamo

f(t) : /(to) + Í' (to) (t -

ro)

-

ro)

g(t)

:

s(to) + s'(to) (t

* o(t - ts) * o(t - tg)

e allora:

î(t) s(t):

"f(lo)

s(tl) + (/'(to)a(to) + f(tl) s'(t0))(t

da cui

h(t) e da qui la tesi.

10-4

r

:

à(ro) + h'(to) (t

-

to)

f

o(t

-

-

ts),

to) + o(ú - l0)

osservazione: Questa "regola del prodotto" è caratteristica della derivazione, e può essere usata per definirla in modo astratto. Teorema: S" Í, g sono d,eriuabili in ts, e se g(ts) f 0, anche h: f lS è d,eriaa-

bile, e si ha

_ .f'(lo)g(to) - f(to) s'Go)

r,,/l \ ,.\.u,1 Dim.: Osserviamo che /

:

-w

gÀ: allora

:

f'(to)

s'(ts) h(tg) + s(to) h' Qo)

e basta qualche passaggio per arrivare al risultato voluto.

Teorema

r

(di derivazione della funzione inversa): Se f è d,eriuabile in ts

con

d'eriuata non nulla, ed, è streltamente crescente (o ilecrescente),i,n un interuallo

aperto conlenente

ts,

la funzione inuersa

- f (to), , si ha g'(us) :71 f '(to). Tralasciamo la dimostrazione. 'in uo

g : u è g(u) : /-t(r) è d,eriuabile

Teorema (di derivazione delle funzioni composte): Se f è d,eriaabile ints, e g d,eriuabile in us: f (ts), la funzione h: 9 o J è d,eriaabile in ts e si ha

h'(to)

: Í'(to)

è

s'@o).

Tralasciamo la dimostrazione. Teorema: La funz'ione f : t r--+ to , a € R, è d.eriaabile per ogni t (con I'eccezione di I : 0 se c < 0). La d,eri,aata aale ato-| . Djm.: Si procede in più tempi: 1) Se a è intero positivo, abbiamo

(t + À)'

:

to

I ato-th + o(h)

e di qui segue immediatamente la tesi.

2) Per a intero negativo, si scrive f - Tftlql e ci si appoggia sul teorema di derivazione del quoziente.

3) Per a : m/n razionale, si osserva che ponendo giuè'D=1In, si ha à

:

go

h:teD:t*

f . Basta allora il teorema di derivazione delle funzioni composte

per arrivare al risultato,

4) Il

caso generale

tiamo i dettagli.

di a reale deriva per continuitàr dal caso razionale; omet-

r

IU-D

Applica"ndo ripetutamente questi teoremi si possono calcolare le derivate di una larga classe di funzioni, che inclucle tutte le funzioni algebriche, ossia quelle ottenute attraverso sorune, prodotti, potenze e radici. In particolare i polinomi e le funzioni razionali, ossia i quozienti di due polinomi. Restano invece escluse molte funzioni trascend,erifi (ossia non algebriche): il caso pirì ovvio è quello delle funzioni circolari (o trigonometriche). Ce ne occuperemo nel prossimo capitolo.

Approssimazione con funzioni quadratiche Facciamo ora un terzo passo: supposta / derivabile, poniamo

s(t): /r(f) + t'(t -

10)2.

Si vede facilmente che per un k generico l'approssimazione resta o(r). Se esiste k tale che I'errore sia o(r2) diremo che / è derivabile (o differenziabile) due uolte, e indicheremo la corrispondente g con f2:

: fz1)+o(r2) Í20): fo + fó '(ú - to) + tf,.' '(t -to)' .f(t)

f(t):

fo + df + àd'f + o(dt2)

)2t gtt-uJ Jo - -,d.f .

(il fattore

I

è comodo!)

La /[' si chiama deriaata seconda di / in ú6. Interpretazione grafica: Il grafico di /2 è la parabola osculatrice a quello di in ls (fig. 10 6). Osservazione: Perché la notazione d2l? Abbiamo

Í(to + dt) : f(t}) f(to - dt) : f(t|)

/

* f'(to) dt + +Í" (t0) dt2 + o1dt21

-

f'(to) dt + + f" (t0) dt2 + o1dt2)

e sommanrlo

/(to + dt)+ f(to - dt) -2f(to): Í"(t0)df + o(dt\. Dunque d2f èla "differenza centrale seconda" a meno di o(dt21. Teorema: Se J è d,eriuabile in (a,b) con d.eriaata anch'essa d,eriuabile, allora f è d,eriaabile d,ue aolte, e aiceaersa. Si ha poi f " : (f ')' . Omettiamo la dimostrazione.

Continuando Si puo iterare

il procedimento seguito fin qui, tentando d'introdurre approssimazioni via via migliori, e parallelamente una derivata terza, una clerivata quarta, ecc. Possono accadere due cose: 10-6

a) ó)

esiste la derivata n-ma, ma non la successlva

esistono derivate di qualunque ordine. Nel primo caso diremo che la funzione è derivabile n volte, nel secondo caso che è infinitament e d,eriu ab'il e. Esempi: La funzione c5 sin(l/r) è derivabile 5 volte in r : 0; la funzione 15 è infinitamente derivabile; così pure exp(-7f 12), che ha derivate tutte nulle' Se una funzione è derivabile n volte in un intervallo (c, b), con derivate tutte continue, diremo che / € C"(a,b); se è infinitamente derivabile diremo che

f

e C*(a,b).

Osservazione: Tutto quanto detto fin qui non richiede che per I'insieme imrnagine si è richiesto che fossero definite:

a) ó) c) d)

/

sia R

---+

R. Infatti

una differenza

la moltiplicazione per i reali una "norma" (per dare significato all'errore) I'esistenza dei limiti.

es. per uno spazio vettoriale dotato di prodotto scala,re: potremo dunque definire derivate di funzioni a valori vettoriali. Valgono

Tutte queste proprietà valgono ad

anche nel corpo complesso: possiamo perciò derivare funzioni

R

--+ C.

Funzioni di piìr variabili Consideriamo ora funzioni R' --+ R (per sempliciià n : 2, ma è inessenziale; v. anche I'osservazione alla fine del par. precedente per lo spazio immagine)' Le idee e le definizioni introdotte finora si generalizzano senza difficoltà; qui ci limiteremo però a differenziare una sola volta. Intorno e raggio: Sono possibili infinite definizioni del concetto di intorno, ad es. le seguenti tre: diciamo intorno di raggio p del punto (lo, uo ) I'insieme dei punti (f, u) che soCdisfano

a) lt-tol*1"-uol

1,

L'ulteriore estensione del dominio da Q a R si fa per continuità. Infatti: Teorema: In ogni interaallo la,b) di Q, se r,s € [a,b] e lr - sl < r, la differenza lf (r) - /(r)l ha un estremo superiore ch.e è o(l) in r (anzi è o(z), come si vedrà). Tralasciamo la dimostrazione.

di Cauchy {r"} che non converge in Q, e reale da essa definito, segue dal teorema che anche {"f(r,)}: {q'"} è di Cauchy; e detto u il suo limite, possiamo porre /(f) : q.t : u. In tal modo / è stata estesa a una funzione R ---+ R+ uniformemente continua in ogni intervallo limitato. La funzione f : t e gr si chiama funzione esponenziale ili Se ora prendiamo una successione

se chiamiamo

I il

base q.

Anchein Rlag'è crescenteperg ) 1, ecc. Ne segue cheperqll la funzione esponenziale è inuertibile: la funzione inversa ,f -t : R+ --+ R si chiama logaritmo zn base q: u t--+ logo u. Proprietà caratteristiche della funzione esponenziale sono: n< I) o": I 2) q'+t' : qt 'qt'

.

1

1-1

Da queste segue che la funzione esponenziale è tn isomorfismo del gruppo additivo R sul gruppo moltiplicativo R+ (il logaritmo è I'isomorfismo inverso); e questa è la ragione profonda dell'importanza della funzione esponenziale, anche

in fisica. Teorema: La funzione esponenziale è d,eri,aabile in tutt,o R, qualunque si,a Ia base. Non diamo la dimostrazione; discutiamo però un corollario. Sia ,k il valore della derivata per ú : 0; dalle proprietà viste sopra segue

/'(t):

Í(t+h)-f(t) liSo

: [-0"' tim f@ ryh

: fft) f'(o) :

k q,.

la derivata della funzione esponenziale è proporziona.le alla funzione : /'(0). Si dimostra poi che - /'(0) è funzione continua e strettl,nlente crescente della base g - /'(0) : 0 per g : 1 (ovvio) - /'(0) tende a oo insieme con g.

Dunque

stessa, con coefi.ciente È

: Ne segue che esiste un valore di q (e uno solo) per cui "f'(0) 1: questo valore viene indicato universalmente con e, e quanclo si parla di "funzione esponenziale" senza specificare la base. s'intende sempre che questa sia e. Valore approssimato: e : 2.718281828459... Riassumendo: L'esponenziale è I'unica funzione C- che coincide con tutte le sue derivate, e vale 1 per I : 0. Il logaritmo Abbiamo già introdotto questa funzione come inversa dell'esponenziale. Quando la base è e, il logaritmo si chiama naturale o neperiano, e s'indica con lnl. I1 dominio di definizione del logaritmo è R+. Strettamente connesse alle proprietà caratteristiche dell'esponenziale ci sono quelle del logaritmo:

1) ln(tt') : lnú * lnf' 2) ln1:0. Inoltre dal teorema di derivazione della funzione inversa, posto u

t:

e"),

segue:

a,

r

*lnt:A:1. Anche

il logaritmo

è

C-

:

ln

t

(e quindi

I

(su R+).

Ltesponenziale vista da un fisico Consideriamo un punto materiaìe "he si muova lungo una retta, con un'accelerazione proporzionale alla velocir Ciò vuol dire. se c è un'ascissa sulla retta, e posto

u:i,

1.1-2

a:il:i,

che sarà ""

(11-1)

t"",

-

dove & è una costante (con dimensioni [È] : [t]-t). Non ha molta imporlarrza, per la discussione che segue' sapere quali siano le condizioni fisiche nelle quali tale moto potrebbe realizzarsi; ricordiamo tuttavia almeno finché la velocità è abbastanza che per & < 0 la (11-1) descrive - alla sola forza frenanle del mezzo (aria, piccola il moto di un corpo soggetto acqua ... ) in cui si muove. Se interessa soltanto I'andamento della velocità nel tempo, la (11-1) è sufficiente (è ui equazione d,ifferenziale per la t'): dato il valore della velocità a un certo istante, che supporremo sia I : 0, resla uniaocamente d,eterm'inata la funzione u(l), per tutti i valori reali (anche negativi!) di t. Di questo fatto si può dare dirnostrazione rigorosa, ma gui lo supporremo intuitilarnente evidente. Una proprietà molto importante della (11-1) è quella di essere un'equazione differenziale lineare: ciò vuol dire che se'u1(f), u2(ú) sono due soluzioni, lo è anche a ut I buz, quali che siano o, ó € R. Anzi, dato che tr(f ) è determinata da u(0), si ha che la totalità delle soluzioni della (11-1) è uno spazio uettoriale di dimensione 1, ossia che tutte le soluzioni sono multiple scalari di una sola. Prendiamo allora come base la soluzione che vale 1 per t : 0: se la indichiamo con rr,(t), avremo corne integrale generale I'espressione

u(t)

:

r.'(0) ur(ú)'

l

.t l

E ora importante studiare come le soluzioni dipendono da ,k. A questo scopo conviene introdurre rna aariabile ausiliaria o : kt, e porre

w(t)

:

u(o).

I

l

l

Ciò equivale a dire che Allora

tr è lunzione composta di /(t) : l;t e di ti:

du

-=:- :

dt

du,

---

r.u

-

uo Í.

do : /f,, du

--

d.o dt

=do I

e dalla (11-1): du u. ao -

-;-

(11-2)

La (11-2), insieme a.lla condizione iniziale u(0) : 1, definisce completamente la funzione u(o), che ormai non contiene piìr nessun parametro. Questa si chiama

l l

I

l

la funzione esponenzi,ale, e Ia si indica con exp d. Abbiamo così ritrovato, in senso ,irv€rso, le proprietà descritte alla fine del primo paragrafo di questo capitolo. NIanca soltanto di verificare che expo è una potenza con o ad esponente. Per far questo, osserviamo che I'equazione (11-1), 11-3

I

,./

e perciò anche la (11-2), hanno un'altra proprietà importante: sono inaarianti

per traslazioní Il significato fisico di questa affermazione è il seguente: assegnata la velocità T.rs al tempo ú : 0, il moto si svolge in una certa maniera, ossia resta determinata una certa u(l). Se partiamo con lo stesso valore u0 ) ma a un tempo I f 0,

il moto non cambierà per qrresto, salvo per uno spostamento temporale costante: sarà dunque descritto da una t(ú) : u(f -t). Lo stesso possiamo dire ragionando sulla z: se exp o è la soluzione della (LI-2) che vale 1 per o : 0, quella che invece vale 1 per o : o è exp(a - a). Ma quest'ultima soluzione assume un determinato valore p€r d : 0, che è : c exp(-a): data la linearità dell'equazione, dovrà dunque essere exP(a

- d): " exPo :

exPa exP(-a)

che possiamo anche scrivere, se pirì ci piace:

exp(ofa'):exPoexPo'. Questa è la stessa proprietà cui soddisfa una potenza go , per q qualsiasi; ma abbiamo già visto che solo per g - e la funzione esponenziale coincide con la sua derivata, come dice la (11-2). Abbiamo quindi ricostruito completamente tutte le caratteristiche della funzione esponenziale, e sappiamo anche qualcosa di pirì: I'integrale generale della (Lt-t) è

u(t)

:

(11-3)

u(0) e*'

In fig. 11-1 sono rappresentati i grafici delle funzioni eo ed e-". È utile tener presente che il grafico della (11-3) è sempre di uno dei due tipi, nel senso che il coefficiente o(0) cambia soltanto la scala delle ordinate, e il coefficiente ,k a esponente cambia solo la scala delle ascisse, oppure il verso (se è negativo).

Il moto in un rnezzo viscoso Approfittiamo dei risultati ottenuti per concludere l'esame del problema fisico accennato all'inizio del par. prec. Se a un certo istante il corpo parte con velocità u0, vogliamo sapere come si muove, e in particolare se arriverà, a fermarsi, o se percorrerà uno spazio infinitamente lungo. Scegliamo I'istante iniziale come I : 0, la posizione iniziale come origine dell'ascissa c, e prendiarrro il verso positivo coincidente con quello della velocità iniziale. Conviene inoltre esplicitare il segno della costante &, che in questo caso è negativa: scriveremo dunque -,b.

Sappiamo già che

u(t) 77-4

:

,)o

e-kt

,

e vogliamo determinare

r(/).

Partiamo da

i=u:uoe-kt, che suggerisce anche per

(11-4)

c una forma simile: f(f) : ae-kt

Verifi.chiamo facendo la derivata rispetto a

r(t) : ae-kt

1-lc1

'

l:

: -lcae-kt.

confrontando questa con la (11-4) si vede che dobbiamo prendere arriviamo a

c(r)

: -ff "-r,

a: -uo/k,

e

(11-5)

Abbiamo certamente trovato una soluzione della (11-4), ma non abbiamo ancora imposto la condizione iniziaie per r: calcolando ia (11-b) per I : 0 troviamo -ullk anziché 0 come vorremmo. Il rimedio però è molto semplice: basta aggiungere a e la costante ugf lt, che non cambia i. Infine:

n(t): ? ft - "-o')

(11-6)

.

Il grafico della (11-6) è rappresentato in fig. 11-2. si vede che e cresce sempre, da 0 al limite ue/k, che non viene mai raggiunto in tempi finiti. In pratica la differenza dal limite diventa molto piccola già per tempi non troppo grandi: ad es. quando kt :3 I'esponenziaJe vale 0.0b, il che vuol dire che il corpo ha percorso il 95% del suo cammino. Dato che il coefficiente & è I'inverso di un tempo, si usa spesso sostituirlo conrf r, e r prende il nome di costante di tempo del fenomeno. Possiamo dunque dire che dopo 3 costanti di tempo si è già reafi,zzaro il 95% dello spostamento totale del corpo. Espressioni come la (11-6) sono assai frequenti anche al di

fuo'i della

mec-

canica. Alcuni esempi:

* -

scarica di condensatori propagazione del calore per conduzíone decadimenti radioattivi variazione della densità in un'atmosfera isoterrna. uniforme

- in generale,

molti fenomeni tendenza a un equilibrio.

di "rilassamento,"

in campo

gravitazione

ossia processi irreversibili di

Questo è I'aspetto "empirico" dell'importanza della funzione esponenziale; sulI'aspetto di principio torneremo pirì avanti. 11-5

Le funzioni circolarr Lo studio delle funzioni circolari si riconduce facilmente a quello del cerchio

in coordinate cartesiane. Preso infatti nel piano un SC cartesiane (r,y), e un cerchio di centro O e raggio unitario, se scegliamo l'ascissa curvilinea s con origine nel punto Q (intersezione del cerchio col semiasse a positivo: fig. 11-3) e verso ant,iorario abbiamo cos

e

quindi y'

I r(s),

s

+ : : OP xí + !î :í

sin

tÍ

s

coss

y(s).

f

7-

sins"

Ricordando la (8 ) abbiamo

-' - dí- tu-,dydt dt'- dt'' Dalla figura si vede che il punto P'ta.le ch" ÓF' Dunoue:

dx

du

Y)

ds

--!-

aa

-

=i

ha coorclinate

(-y,*).

t

che si traducono in

ddcoss:

ds

te

(11-7) risolvono

il

* sms:

(1i-7)

cos3.

problema delle derivate. Se ne deduce anche

d2cos s :

4r2

-sln3)

-

cos

s)

d2

d,r2

srll s

: -

sln

I

e si dinrostra che /o più generale funzione la cui der'iuala second.a dà, Ia funzione camb'iata d,i segno, è una comb'inaz'ione lineare di sin e cos.

Tutte le altre proprietà delle funzioni circolari: sia quelle della trigonometria, sia quelle delle funzioni ausiliarie come la tangente, sia quelle delle funzioni inverse (arcoseno, ecc.) discendono da ciò che abbiamo già. visto, e non è qui il caso di dare altri dettagli.

1

1-6

L2. Un'applicazione:

il moto su spirale logaritmica

Vogliamo ora applicare, a titolo di esercizio, tutte le idee trattate fin qui a un esempio interessante di moto. Supponiamo la seguente situazione: si vuole portare un'astronave A dai pressi della Terra a quelli di Marte, facendole segqs una traiettoria piana, che formi angolo costante o (fissato) col raggio vettore SA (fig. 1Z-1). Si tratta di calcolare la velocità iniziale quando l'astronave parte, a distanza 16 dal Sole, e I'accelerazione (concorde a d) che debbono fornire a ogni istante i motori. Si vuole inoltre sapere quanto tempo occorre per raggiungere la distanza 11, e euanti giri intorno al Sole saranno stati compiuti. Osserviamo anzitutto che la traiettoria è prestabilita: la condizione che o sia costante caralletizzala spirale logar'itmica. Tuttavia non avremo bisogno di conosceîe le proprietà di questa curva. In questo problema conviene usare coordinate polari: prendia.mo come polo il Sole, come asse polare la semiretta SAs che passa per la posizione iniziale di A, e chiamiamo r, ú le due coordinate. Riprendiamo dal Cap. 9le espressioni per le componenti di d e di d: | "'wr -; -

,

ar:T-TÙ-,

:

rÚ,

(12-1)

I d a0:-=\r-ù). o^. rdt

(12-2)

urt

Le relazioni scritte fin qui sono del tutto generali; ora dobbiamo usare le informazioni del problema. In primo luogo, la conoscenza di a ci permette di scrivere Ur:

UCOS0)

U,t

:

tr

sin a

(12-3)

(il moto si svolge sempre nello stesso verso, che possiamo prendere come verso positivo sulla traiettoria: dunque in questo caso s coincide col modulo 'u della velocità).

In secondo luogo, dobbiamo sfruttare le informazioni che abbiamo sull'accelerazione. Se indichiamo con y' I'accelerazione (di gravità) dovuta al Sole, e con É quella dovuta ai motori, avremo

d:i+È. dove sappiamo che g è inversamente proporzionale a rz, e che b è diretta come

i:

b:bí t2-r

(la costante A2 non è altro che il prodotto GM della costante di gravitazione per la massa del Sole). Dunque

(r2-4) Poiché abbiauro scelto le coordinate polari, ci converrà ricavare dalla (12-4) le componenti polari di d. Da.lle (r2-2), e ricordando il significato di a, si trova:

.. :,, k2 T_trJ-:__*ócoso L a c i. ; tr-Ù) : -rdt

,

(12-5)

.

Dsln o.

I1

t-E\

A questo punto abbiamo due equazioni con molte incognite: r, 19, ó (che tutte grandezze variabili durante il moto). Fortunatamente però non sorro tutte indipendenti: infatti non abbiamo ancora usato le (12-3). Queste con sono

le (12-1) portano a

,Ì)

+

.-!a -td^ - r-

:i ù:-tga T

(1)-7\

che useremo per eliminare t9 da.lle (12-5), (12-6).

Il risultato della sostituzione

è: ,')

t)

tc' bcoso: --; +r--18-cv r 1)

.9

ócosc:i'+T.r

(12-8)

Per confronto (e usando la prima delle (12 3)) si trova subito

|, -K' .ú,--_:gr che non contiene a, e quindi è la stessa relazicne valida per

I'orbita circolare! Abbiamo clunque trovato la velocità. in ogni punto della traiettoria, e in particolare la veiocità iniziale, che sarà. klJry. Per andare avanti occorre determinare

É:

..

t

to LA-L

.)

-'-Ì-

i,

ocosa = Écos

cosa che si può fare corne segue:

ar-7/2

di : 1t k2cos?a t, -iK COSO r -1't- f = -- 2r, dt

(12-g)

,

Sostituendo questa nella (12-8) si arriva a tt

bL :_

K'COSA _ lrg : l

2rz

cos

a,

(12-10)

il

problema dell'accelerazione richiesta ai motori. Per rispondere alle altre domande, occorre trovare la dipendenza da due coordinate r e rJ. Dalla (12-9):

che risolve

,1/2

i :&cosa +

:

tr3/2 /

delle

3r3/' + ktcosa

\2/3

+

f

(12-11)

'-"0(1+r) \ "r / avendo posto per brevità

2r2/2

1_

'* -

JÀ..oso'

Si veriflca che t* ha le dimensioni di un tempo; anzi 2tr ,l/'1n e esattamente un anno, se rs è la distanza Terra-Sole (basta ricordare che la velocità sull'orbita circolare è kl\fr). Per quanto riguarcla ú,la (72-7) porta iurmediatamente a \

r,

:

.

,ksln (Ì

r_att-t- :

?tf

o

3(r+r.) ,

da cui

/ r\ :tgo ln-.r ^ (12-12) r9: ltgcln{1*; ro \ f*/} Nel viaggio Terra-N{arte avremo rtlro:I.52, e la (12-11) dà 11 : 0'87Ú*; poi dalla (12-12) si ottiene ,9t :0.42 íga. Scegliamo ad es. a : 85o, e otteniamo úr :4.8rad :0.76giri. Infine /r :1.06anni. Lasciamo al lettore il calcolo di

ó.

Come ultimo risultato, usiamo la (8-7) per calcolare s e p (raggio di curvatura). Si vede subito che

s

:

ó

-

gcosa

: -|gcoso

per la (12-10). Dunque i motori dimezzano la decelerazione dovuta all'attrazione

solare.

Infine

,)

gsino:3i e

e quindi

!:

'

0 L'interpretazione geometrica è indicata in frg. 12-1. cos

12-3

App. 1. DaI Díalogo sui Massimi Sistemi, giornata seconda

... Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de'pescetti; sospendasi anco in alto qua"lche secchiello, che a goccia a goccia l'adia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente corne quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanzal i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranuo tutte nel vaso sottoposto; e voi gettando all'amico alcuna cosa) non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa. quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, conre si dice, a pié giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vascello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconosceret.e una minima mrrtazione in tutti li nominati efretti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nar.e cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissirnamente, farete maggior salti verso Ia poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con pirì forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la pnra e voi verso poppa, che se voi fuste situati per I'opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con pirì fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza. vetrarrno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti. né mai accaderà che si riduchino verso la parte che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d'incenso si farà un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ecl a guisa di nugoletta trattenervisì, e indifferentemente muoversi non piìr verso questa che quella parte...

A1-1

App. 2. L'alfabeto greco

A, a B, p

l, 7 A, ó E, € Z, e H, ? O, t, I, r. K, K A, ì N{, i-l

garnma

delta èpsilon zeta

eta

theta iota

/ E,{ O, o n,T P, Q X, o T, r T, u Q, I X, X ú, ,lt Q, a N,

alfa beta

(1fr.

kappa

lambda

mi, mu

inglese)

ni, nu xi òmicron

pi ro sigma

tau upsilon (z francese) phi

chi (ch tedesca) psi omèga

L2-1

App. 3. Unità di misura Elenchiamo qui di seguito le principali regole di notazione da usare a proposito di grandezze fisiche e unità. I simboli delle grandezze fisiche debbono essere lettere singoie degli alfabeti latino o greco, scritte in carattere corsito (inclirrato, in inglese ,,italic;'). Non si del-rbono usare abbre'iaziorú di nonri o espressioui, come ,,c.s." nell'esempio qui sotto:

o

"'' : -&' I simboli delle rrnità. vanno stampati in carattere tondo (diritto, in inglese "roman"); non debbono essere seguiti dal purrto, e restano inalterati al plurale. I simboli sono sempre in lettere núnuscole, salvo quando siano derivati da un nome di persona, o quando si tratti dei prefissi NI, G, T, p. E. I nomi clelle unità sono irrvariabili. Esemoi:

7cm 4kg 3A 103 Hz 220 volt I

e non e non e nolr e non e non

7

cm. ne

7

cms

4Ks JA 103 hz

220 volts

prefissi ammessi sono:

pref,sso abbreu. ualore atto a 10-18 femto pico nano

micro

ndlli centi deci deca

etto kilo mega grga

tera peta exa

f P n F nr c d da h k Nf G T P B

10-15

1o-t' 10-e Lo-u 10-3 10-2 10-1 101 102 103 106 10e 1012 1015 1018

A3-1

e non si debbono usare prefissi composti, comettmps" o come ttcm3tt significa tt("*;att e non occoue parentesi.

"ItpF".Una scrittura

la

Per indicare

il prodotto di unità

Nm per

il

si può scrivere:

oppure N.*;

quoziente:

m

opp. m/s

opp.

ms - opp. m.s '

S

Va bene scrivere m/s2, ma non m/s/s.

Unità fondamentali del SI grandezza

simbolo

norne

metro

*r*,T"'

chilogrammo

secondo ampère kelvin mole candela

tempo

corr. el. temp. termod. q. di materia intens. lum.

m kg s

A

K mol cd

Alcune unità derivate del Sf con nomi speciali unità,

frequenza

hertz

Hz

forza

nerÀ/ton

l{

pressione energia

pascal

Pa

joule watt

w

potenza

A3-2

SI simbolo

grand,ezza

J

esnr.

in altre un.

ù 1-t m.Kg's N/*' N'm J

l"

-

4,'fl. za-L

4,'{,

2q -

2

5

ItS,s-'{

\

,'/r/

\

\ \P