Teorie Si Aplicatii Rezolvate La Metoda Celor Mai Mici Patrate. [PDF]

Zitiervorschau

Modelare Matematică. Teorie şi Aplicaţii.

131

Capitolul 3

„Metoda celor mai mici pătrate” Exemplificăm teoria, pe următoarea aplicaţie: Aplicaţie: Producţia unui bun material exprimată în unităţi convenţionale a evoluat timp de un deceniu astfel: Anii Producţia

1 a

2 14

3 21

4 b

5 24

6 c

7 30

8 34

9 d

10 e

Să se ajusteze datele folosind m.c.m.m.p. (metoda celor mai mici pătrate) şi să se determine valorile a, b, c, d, e cu ajutorul (pe baza) funcţiei de ajustare stabilite. Rezolvare: Se reprezintă grafic (în planul de coordonate xOy): timpul (la noi: anii, sau în alte probleme lunile) pe axa orizontală Ox, iar: fenomenul economic studiat (la noi: dezvoltarea producţiei, sau încasările unei SC = = (societăţi comerciale), sau încă CA = (cifra de afaceri) a unei multinaţionale) pe axa verticală Oy (axa perpendiculară pe axa Ox). Mai precis, reprezentăm grafic în planul ℝ 2 (de coordonate xOy) punctele de coordonate: anul ↓ (xi, yi), ambele cunoscute,  i = 1, n = 1,5 (în teorie s-a notat cu „n” numărul acestor ↑

puncte de coordonate ambele cunoscute),

producţia înregistrată (măsurată, sau observată) în anul respectiv pentru a vedea ce imagine grafică de curbă se poate intui în legătură cu fenomenul economic studiat, sau pentru a vedea ce tip de curbă se poate trasa (sau trece) prin şi printre unele dintre aceste n (= (la noi) = 5) puncte de coordonate ambele cunoscute, sau încă pentru a vedea în jurul cărei curbe se grupează (se concentrează) norul format din aceste n (= (la noi) = 5) puncte de coordonate ambele cunoscute. Exemple de curbe din economie:

Virginia Atanasiu

132

1) dreapta (sau linia dreaptă), de ecuaţie: y = ax + b, cu 2 parametrii necunoscuţi iniţial a şi b (a, b



ℝ) [funcţia liniară, adică funcţia polinomială de gradul întâi are ca reprezentare

grafică în plan dreapta sau linia dreaptă]; 2) parabola de gradul II, de ecuaţie: y = ax2 + bx + c, cu 3 parametrii necunoscuţi iniţial a, b şi c (a, b, c



ℝ) [funcţia polinomială de gradul doi are ca reprezentare grafică în plan

parabola de gradul II]; 3) parabola de gradul III, de ecuaţie: y = ax3 + bx2 + cx + d, cu 4 parametrii necunoscuţi iniţial a, b, c şi d (a, b, c, d



ℝ) [funcţia polinomială de gradul trei are ca reprezentare

grafică în plan parabola de gradul III]; 4) exponenţiala, de ecuaţie: y = bax, cu 2 parametrii necunoscuţi iniţial a şi b (a, b  0 ) [funcţia exponenţială are ca reprezentare grafică în plan curba exponenţială; unul dintre factorii funcţiei exponenţiale trebuie să fie de tip exponenţial, adică de tipul „ax”, nu neapărat „ex”]; 5) hiperbola, de ecuaţie: y = 6) logistica:y =

a  b , cu 2 parametrii necunoscuţi iniţial a şi b (a, b x

a , cu 3 parametrii necunoscuţi iniţial a, b şi c (a, b, c 1  e b ct

 ℝ).

 ℝ).

Din reprezentarea grafică a şirului de date empirice (cunoscute, observate), adică a

in teorie: punctelor de coordonate: (x , y ), cu i = 1,5 ( i

i

 1, n

), unde:

x1 = 2, y1 =14; x2 = 3, y2= 21; x3 = 5, y3= 24; x4 = 7, y4= 30; x5 = 8, y5= 34, va rezulta ce imaginea grafică de curbă, se poate intui.

in teorie: În acest sens, se constată faptul că punctele (xi, yi), cu i = 1,5 (

 1, n

), se grupează în

jurul unei drepte, întrucât prin şi printre ele se poate trasa o dreaptă, de ecuaţie: y = y(x) = a + bx,

Modelare Matematică. Teorie şi Aplicaţii.

133

cu a şi b parametrii reali necunoscuţi. Propunem ca funcţie de ajustare (de aproximare) a producţiei funcţia liniară, ce are ca reprezentare în plan dreapta de ecuaţie: y = y(x) = a + bx, cu a şi b parametrii reali necunoscuţi. Prin urmare, reprezentarea grafică sugerează ca funcţie de ajustare (de aproximare) posibilă a producţiei sau a tendinţei de ansamblu a dezvoltării fenomenului: funcţia liniară, deoarece funcţia ce defineşte dreapta este funcţia liniară. Într-adevăr: y

(producţiile)

40 ₋ 34 (y5)

* *

30 (y4) ₋ 24 (y3)

*

20 21 (y2)* 10 (y1) ₋14 * O | | | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1 x2 x3 x4 x5

x (anii)

Coeficienţii a şi b ai dreptei sunt soluţiile sistemului (SG) de ecuaţii normale ale lui Gauss, şi anume: n 5

n 5

a  xi + b  xi = 0

i 1

i 1

n 5

n 5

i 1

i 1

1

1 2 a  xi + b  xi =

n 5

 xi0 y i , i 1

n 5

 xi1 yi . i 1

n 5

 5a + b  xi = i 1

n 5

n 5

i 1

i 1

n 5

y i 1

2 a  xi + b  xi =

i

,

n 5

x y i 1

i

i

.

(avem 2 necunoscute: coeficienţii dreptei, ceea ce implică (SG) are 2 ecuaţii) Ecuaţiile din (SG) se obţin astfel (conform m.c.m.m.p.)::

Virginia Atanasiu

134

- pornim de la ecuaţia dreptei pe care o scriem pentru fiecare punct de coodonate (xi, yi) ambele cunoscute, cu i = 1,5 , ceea ce înseamnă că înlocuim x (din ecuaţie) cu xi (prima coordonată cunoscută de la aceste puncte) şi y (din ecuaţie) cu yi (a doua coordonată cunoscută de la aceste puncte),  i = 1, n = (la noi) = 1,5 , şi apoi aplicăm „  ” ambilor membrii ai egalităţilor, deducând astfel prima ecuaţie a lui (SG):



y = a + bx x  xi yi = a + bxi,  i = y  yi 5

5

i 1

i 1

1,5

5

y

" 

"

i 1

5

i

=

 (a  bx ) i

i 1

=

 a   bxi = 5

5

5

5

i 1

i 1

i 1

i 1

= a  1 + b  xi = a x 5 + b  xi = 5a + b  xi , şir de egalităţi, din care reţinem începutul cu sfârşitul lui, pe care îl scriem, citindu-l de la sfârşit la început, pentru ca membrul stâng să conţină necunoscutele a şi b. Astfel, obţinem prima ecuaţie a lui (SG), şi anume: 5

5a + b  x i = i 1

5

y i 1

i

.

- apoi, pornim tot de la ecuaţia dreptei, scrisă pentrru fiecare punct de coordonate (xi, yi) ambele cunoscute, cu i = 1,5 , adică de la:



y = a + bx x  xi yi = a + bxi,  i = 1,5 , y  yi pe care o înmulţim cu xi1,  i = 1,5 , după care aplicăm „  ” ambilor membrii ai egalităţilor, deducând astfel a doua ecuaţie a lui (SG): yi = a + bxi|(xi),  i = 5

=

 (ax i 1

i

 bxi2 ) 

5

y x i 1

i

 yixi = axi + bxi ,  i = 2

1,5 5

i

=

5

 ax   bx i

i 1

i 1

2 i

1,5

5

5

i 1

i 1

,

" 

"

5

y x i 1

i

i

=

= a  x i + b  x i , şir de egalităţi, din care 2

reţinem începutul cu sfârşitul lui, pe care îl scriem, citindu-l de la sfârşit la început, pentru ca membrul stâng să conţină necunoscutele a şi b. Astfel, obţinem a doua ecuaţie a lui (SG), şi anume: 5

5

i 1

i 1

2 a  xi + b  xi =

5

y x i 1

i

i

.

Modelare Matematică. Teorie şi Aplicaţii.

135

La prima ecuaţie a lui (SG) s-a considerat că am înmulţit cu 1 interpretat ca xi0, iar la a doua ecuaţie a lui (SG) s-a considerat că am înmulţit cu xi1 (xi la puterea egală cu gradul funcţiei polinomiale ce defineşte ecuaţia dreptei). Procedând ca mai sus, am obţinut ecuaţiile lui (SG) pentru dreaptă. Pentru a determina sumele, care figurează în sistemul (SG) de mai sus, organizăm calculele într-un tabel, ale cărui rubrici sunt date de termenii generali ai acestor sume: xi 2 3 5 7 8

yi 14 21 24 30 34

xi2 4 9 25 49 64

 2

 1

 1

5

23

51

xiyi 28 63 120 210 272

 6 93

După înlocuiri, sistemul (SG) devine: 5a + 25b = 123, 25a + 151b = 693, cu soluţia: a = 9,6 şi b = 3. Deci, ecuaţia dreptei de ajustare este:

y = y(x) = a + bx

a 9 , 6 b 3

in teorie = 9,6 + 3x ( este: g(x)).



Prin urmare, tendinţa producţiei sau tendinţa de ansamblu a dezvoltării fenomenului este ajustată de această dreaptă. În cele ce urmează, calculăm eroarea medie totală apărută la aproximarea producţiei prin dreaptă, pentru a ne asigura ca această curbă a fost bine (sau corect) aleasă pentru estimarea (aproximarea, ajustarea) producţiei. În prealabil, determinăm producţiile (înregistrate) calculate sau ajustate, sau aproximate după dreaptă, pentru ca mai apoi să calculăm suma pătratelor erorilor sau abaterilor valorilor ajustate de la cele măsurate (înregistrate), iar în final să aflăm eroarea medie totală apărută la aproximarea producţiei prin dreaptă. Dacă eroarea comisă este foarte mică în raport cu datele de intrare ale producţiei, atunci dreapta a fost bine aleasă pentru estimarea producţiei.

Virginia Atanasiu

136

Valorile ajustate după respectiva dreaptă (adică producţiile (înregistrate) calculate sau ajustate, sau aproximate după dreaptă) notate cu yi’ cu i = 1,5 sunt: yi’ = g(xi) = 9,6 + 3xi, cu i = 1,5 ; mai precis: y1’ = g(x1) = 9,6 + 3x1 = 9,6 + 3 x 2 = 9,6 + 6 = 15,6  y1 = 14; y2’ = g(x2) = 9,6 + 3x2 = 9,6 + 3 x 3 = 9,6 + 9 = 18,6  y2 = 21; y3’ = g(x3) = 9,6 + 3x3 = 9,6 + 3 x 5 = 9,6 + 15 = 24,6  y3 = 24; y4’ = g(x4) = 9,6 + 3x4 = 9,6 + 3 x 7 = 9,6 + 21 = 30,6  y4 = 30; y5’ = g(x5) = 9,6 + 3x5 = 9,6 + 3 x 8 = 9,6 + 24 = 33,6  y5 = 34. Suma pătratelor erorilor este: 5

(y i 1

i

 y i' ) 2  (14 – 15,6)2 + (21 – 18,6)2 + (24 – 24,6)2 + (30 – 30,6)2 + (34 – 33,6)2 =

2

= 1,6 + 2,42 + 0,62 + 0,62 + 0,42 = 2,56 + 5,76 + 0,36 + 0,36 + 0,16 = 9,2, iar eroarea medie la ajustarea prin funcţia liniară sau prin dreaptă este: n

 

(y i 1

i

 y i' ) 2



n

9,2  1,84 , 5

adică de ordinul unităţilor, deci suficient de mică în

n 5

raport cu datele de intrare ale producţiei: 14; 21; 24; 30; 34, care sunt de ordinul zecilor. Prin urmare, dreapta a fost bine aleasă pentru ajustarea producţiei, a.î. acum putem determina valorile a, b, c, d, e ale producţiei din anii: 1, 4, 6, 9, şi respectiv 10. Interpolarea pentru x = 4, x = 6 şi extrapolarea pentru x = 1, x = 9, x = 10 dau:

 y(1) = 9,6 + 3x b  y(4) = 9,6 + 3x c  y(6) = 9,6 + 3x d  y(9) = 9,6 + 3x e  y(10) = 9,6 + 3x a

x 1

= 9,6 + 3 x 1 = 9,6 + 3 = 12,6;

x4

= 9,6 + 3 x 4 = 9,6 + 12 = 21,6;

x 6

= 9,6 + 3 x 6 = 9,6 + 18 = 27,6;

x 9

= 9,6 + 3 x 9 = 9,6 + 27 = 36,6;

x 10

= 9,6 + 3 x 10 = 9,6 + 30 = 39,6,

unde y(x) = y = 9,6 + 3x; valorile de mai sus sunt acceptabile, ele păstrând tendinţa de creştere a producţiei (a fenomenului), adică sunt acceptabile, întrucât se înscriu în trendul crescător înregistrat (măsurat) pentru producţie: 12,6 ↗ 14 ↗ 21 ↗ 21,6 ↗ 24 ↗ 27,6 ↗ 30 ↗ 34 ↗ 36,6 ↗ 39,6 ↑

↑

↑

↑

↑

1

2

3

4

5

↑ 6

↑ 7

↑

↑

↑

8

9

10

Modelare Matematică. Teorie şi Aplicaţii.

137

Observaţie: ? = (SG) pentru parabola de gradul II de ecuaţie y = ax2 + bx + c, pe baza a n puncte de coordonate (xi, yi) cu i = 1, n ambele cunoscute. Coeficienţii a, b şi c ai parabolei de gradul II sunt soluţiile sistemului (SG) de ecuaţii normale ale lui Gauss, şi anume: (1), (2), (3),

(SG)

(avem 3 necunoscute: coeficienţii parabolei de gradul II, ceea ce implică (SG) are 3 ecuaţii) unde: (1), (2) şi (3), se obţin ca mai jos (conform m.c.m.m.p.): - pornim de la ecuaţia parabolei de gradul II pe care o scriem pentru fiecare punct de coodonate (xi, yi) ambele cunoscute, cu i = 1, n , ceea ce înseamnă că înlocuim x (din ecuaţie) cu xi (prima coordonată cunoscută de la aceste puncte) şi y (din ecuaţie) cu yi (a doua coordonată cunoscută de la aceste puncte),  i = 1, n , şi apoi aplicăm „  ” ambilor membrii ai egalităţilor, deducând astfel prima ecuaţie a lui (SG):



y = a + bx + cx2 x  xi y  yi n

 (a  bx i 1

n

i n

i 1

bxi + cxi2,  i =

1, n

" 

"

n

y i 1

i

=

 cxi2 ) = n

 a   bx   cx

=

yi = a +

i 1

i

i 1

2 i

n

n

n

i 1

i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

= a  1 + b  xi + c  xi = a x n + b  xi + c  xi = an + b 2

2

n

x i 1

i

n

+

+ c  xi , 2

i 1

şir de egalităţi, din care reţinem începutul cu sfârşitul lui, pe care îl scriem, citindu-l de la sfârşit la început, pentru ca membrul stâng să conţină necunoscutele a, b şi c. Astfel, obţinem prima ecuaţie a lui (SG), şi anume: n

n

i 1

i 1

an + b  x i + c  xi = 2

5

y i 1

i

 (1).

- apoi, pornim tot de la ecuaţia parabolei de gradul II, scrisă pentrru fiecare punct de coordonate (xi, yi) ambele cunoscute, cu i = 1, n , adică de la:

Virginia Atanasiu

138



y = a + bx + cx2 x  xi yi = a + bxi + cxi2,  i = 1, n , y  yi pe care o înmulţim cu xi1,  i = 1, n , după care aplicăm „  ” ambilor membrii ai egalităţilor, deducând astfel a doua ecuaţie a lui (SG): yi = a + bxi + cxi2|(xi),  i =

 yixi = axi + bxi2 + cxi3,  i =

1, n

1, n

" 

"

n

y x i

i 1

i

=

n

n

2 3 =  (axi  bxi  cxi ) 

 y i xi =

i 1

i 1

n

n

n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

 axi   bxi2   cxi3 = a  xi + b  xi2 + c  xi3 , şir

de egalităţi, din care reţinem începutul cu sfârşitul lui, pe care îl scriem, citindu-l de la sfârşit la început, pentru ca membrul stâng să conţină necunoscutele a, b şi c. Astfel, obţinem a doua ecuaţie a lui (SG), şi anume: n

n

i 1

i 1

n

a  x i + b  x i + c  xi = 2

3

i 1

n

y x i 1

i

 (2).

i

- apoi, pornim tot de la ecuaţia parabolei de gradul II, scrisă pentrru fiecare punct de coordonate (xi, yi) ambele cunoscute, cu i = 1, n , adică de la:



y = a + bx + cx2 x  xi yi = a + bxi + cxi2,  i = 1, n , y  yi pe care o înmulţim cu xi2,  i = 1, n , după care aplicăm „  ” ambilor membrii ai egalităţilor, deducând astfel a doua ecuaţie a lui (SG): yi = a + bxi + cxi2|(xi2),  i = n

y x i

i 1

2 i

1, n

 yixi2 = axi2 + bxi3 + cxi4,  i =

1, n

" 

"

=

n

n

 yi xi2 =

2 3 4 =  (axi  bxi  cxi )  i 1

i 1

n

n

n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

 axi2   bxi3   cxi4 = a  xi2 + b  xi3 + c  xi4 ,

şir de egalităţi, din care reţinem începutul cu sfârşitul lui, pe care îl scriem, citindu-l de la sfârşit la început, pentru ca membrul stâng să conţină necunoscutele a, b şi c. Astfel, obţinem a doua ecuaţie a lui (SG), şi anume: n

n

n

a  x i + b  xi + c  x i = i 1

2

i 1

3

i 1

4

n

y x i 1

i

2 i

 (3).

Modelare Matematică. Teorie şi Aplicaţii.

139

La prima ecuaţie a lui (SG), s-a considerat că am înmulţit cu 1 interpretat ca xi0, la a doua ecuaţie a lui (SG) s-a considerat că am înmulţit cu xi1, iar la a doua ecuaţie a lui (SG) s-a considerat că am înmulţit cu xi2 (xi la puterea egală cu gradul funcţiei polinomiale ce defineşte ecuaţia parabolei de gradul II). Procedând ca mai sus, am obţinut ecuaţiile lui (SG) pentru parabola de gradul II. Observaţie: Dacă în problema 1 s-ar fi cerut prognoza producţiei pentru următorii 2 ani, calculam y(11) = 9, 6 + 3 x 11 = 9,6 + 33 = 42,6 şi respectiv y(12) = 9, 6 + 3 x 12 = 9,6 + 36 = 45,6 după respectiva dreaptă de ecuaţie: y = 9,6 + 3x.

Aplicaţia2: Producţia unei întreprinderi noi (exprimată convenţionale) timp de 9 ani consecutiv, a avut următoarea evoluţie:

în

unităţi

valorice

Anii 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Producţia 7 8 10 13 19 29 47 60 82 Să se stabilească funcţia de ajustare cu eroare medie minimă (prin m.c.m.p., adică prin metoda celor mai mici pătrate) şi cu ajutorul ei să se facă prognoza producţiei pe următorii 3 ani. Rezolvare: Se reprezintă grafic (în planul de coordonate xOy) -anii pe axa Ox şi: -producţiile observate (măsurate) pe axa Oy. Din reprezentarea grafică în planul ℝ 2 (de coordonate xOy) a şirului de date empirice

in teorie: (cunoscute, observate), adică a punctelor de coordonate: (x , y ), cu i = 1,9 ( i

x1 = 1, y1 =7; x2 = 2, y2= 8; x3 = 3, y3= 10; x4 = 4, y4= 13; x5 = 5, y5= 19; x6 = 6, y6= 29; x7 = 7, y7= 47; x8 = 8, y8= 60; x9 = 9, y9= 82, va rezulta ce imaginea grafică de curbă, se poate intui.

i

 1, n

), unde:

Virginia Atanasiu

140

in teorie: În acest sens, se constată faptul că punctele (x , y ), cu i = 1,9 ( i

i

 1, n

), se grupează fie

în jurul unei funcţii polinomiale de gradul doi, întrucât prin şi printre ele se poate trasa o parabolă de gradul doi, de ecuaţie: y = y(x) = a + bx + cx2, cu a, b şi c parametrii reali necunoscuţi, fie în jurul unei funcţii polinomiale de gradul trei, întrucât prin şi printre ele se poate trasa o parabolă de gradul trei, de ecuaţie: y = y(x) = a + bx + cx2 + dx3, cu a, b, c şi d parametrii reali necunoscuţi, fie în jurul unei funcţii exponenţiale, întrucât prin şi printre ele se poate trasa o curbă exponenţială, de ecuaţie: y = y(x) =bax, cu a şi b parametrii reali  0 necunoscuţi. Prin urmare, reprezentarea grafică sugerează ca funcţie de ajustare (de aproximare) posibilă a producţiei sau a tendinţei producţiei sau încă a tendinţei de ansamblu a dezvoltării fenomenului: parabola de gradul doi sau trei sau curba exponenţială. Într-adevăr: y 80 (  y9) * 70 60 (y8)

*

50 47 (y7) 40 30 (  y6)

*

*

20 (  y5) * 13 (y4) * 10 (y3) * 7 (y1) * 0 | | | | | | | | | x O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 Coeficienţii celor 3 funcţii posibile de ajustare propuse au fost notaţi la fel, dar acest lucru nu înseamnă că ei sunt egali (deci notaţiile sunt aceleaşi (sau coincid), însă valorile lor sunt diferite de la o funcţie la alta).

Modelare Matematică. Teorie şi Aplicaţii.

141

Vom ajusta pe rând după aceste 3 curbe, apoi vom calcula eroarea medie, adică pe: n



(y i 1

i

 yi' ) 2

, pentru fiecare curbă în parte (unde n = 9, iar yi’, cu i =

1,9

reprezintă valorile

n ajustate după parabola de gradul 2, respectiv 3 şi după curba exponenţială), urmând ca la final să alegem pentru prognoză curba cu eroare medie minimă. Observaţie: Dacă funcţia tabelată f(x) reprezintă evoluţia unui proces economic într-un interval de timp [t1, t2], atunci funcţia g(t) obţinută prin ajustarea datelor cunoscute, poate oferi o imagine de viitor a evoluţiei procesului economic respectiv, care se numeşte prognoză. Desigur, intervalul de prognoză fiind [t2, t3], funcţia g(t) poate modela suficient de bine evoluţia procesului economic, dacă nu apar modificări esenţiale în desfăşurarea lui pe intervalul [t2, t3]. Curba g(x) se mai numeşte trendul (tendinţa) evoluţiei fenomenului studiat. Considerând ca funcţie de ajustare parabola de gradul doi, de ecuaţie: y = y(x) = a + 2 +bx + cx , cu a, b şi c parametrii reali necunoscuţi, sistemul (S) de ecuaţii normale ale lui Gauss, pentru determinarea coeficienţilor a, b şi c este:

n 9

n 9

n 9

a  xi + b  xi + c  xi = 0

i 1

n 9

1

i 1

n 9

2

i 1

n 9

a  xi + b  xi + c  xi = 1

i 1

n 9

2

i 1

n 9

3

i 1

n 9

a  xi + b  xi + c  xi = 2

i 1

3

i 1

i 1

4

n 9

x i 1

0 i

n 9

x i 1

n 9

x i 1

yi ,

1 i

yi ,

2 i

yi . 9

Pentru simplificarea calculelor, facem schimbarea de variabilă: t = x – x0, a.î.:

t i 1

9

Vom avea şi

t i 1

3 i

9

= 0,

t i 1

5 i

i

= 0.

= 0, ş.a.m.d., ceea ce va simplifica sistemul (S) de ecuaţii normale.

Remarcă: Acest tip de schimbare de variabilă este indicat sau recomandat, atunci când 1) avem un număr impar de date (de intrare), iar 2) xi + 1 – xi = (constant),  i = 1, n  1 . Deci, de la variabila x se trece la noua variabilă t, sau acelaşi lucru de la datele xi –ii la 9

noile date ti –ii. Prin urmare, determinăm x0, a.î.:

 ti = 0 i 1

9

x i 1

i

-



t i  xi  x0 ,i 1, 9

9

 (x i 1

i

 x0 ) = 0 

Virginia Atanasiu

142 9

9

-

x i 1

=

0

=0 

9

x i 1

i

- 9x0 = 0 

9

x i 1

= 9x0  x0 =

i

x i 1

9

i



1  2  ...  9 (1  9)  9 1    9 2 9

10  5 (am ţinut seama, fie de formula matematică, din liceu, de la inducţia matematică, şi 2

anume: 1 + 2 + 3 + ... + n =

n( n  1) , fie de faptul că 1, 2, ..., n sunt în progresie aritmetică, 2

întrucât: 2 -1 = 3 – 2 = ... = n – (n- 1) = 1 = (constant), şi de formula de însumare a n termeni a1, ( a1  a n )  n ). 2 Aşadar: ti = xi – x0 = xi – 5, cu i = 1,9 sau t = x – x0 = x – 5 (  x = t + 5). Sistemul (S) de ecuaţii normale ale lui Gauss scris pentru curba y = y(t) = d + et + ft 2, obţinută din curba y= y(x) = a + bx + cx2, făcându-l pe x = t + 5, devine:

a2, ..., an în progresie aritmetică este următoarea: a1 + a2 + ... + an =

n 9

n 9

n 9

n 9

d  ti + e  ti + f  ti = 0

i 1

n 9

1

i 1

n 9

t

2

i 1

n 9

i 1

n 9

d  ti + e  ti + f  ti = 1

2

i 1

i 1

i 1

n 9

n 9

n 9

i 1

i 1

i 1

t

3

i 1

n 9

2 3 4 d  ti + e  ti + f  ti =

t i 1

0 i

yi ,

1 i

yi ,

2 i

yi .

(y= y(x) = a + bx + cx2 = a + b(t + 5) + c(t + 5)2 = ... = d + et + ft2 = y(t)), sau încă:

n 9

n 9

i 1

i 1

2 9d + e  t i + f  t i = n 9

n 9

i 1

i 1

n 9

n 9

y i 1

d  ti + e  ti + f  ti = n 9

n 9

2

3

i 1

n 9

d  ti + e  ti + f  ti = i 1

2

i 1

3

i 1

4

i

, n 9

t i 1

n 9

i

t i 1

yi ,

2 i

yi .

Calculele pentru rezolvarea sistemului de mai sus sunt date în cadrul tabelului de mai jos (primele 8 coloane); mai precis, sumele ce apar în cadrul sistemului de mai înainte sunt calculate în următorul tabel: xi yi ti ti2 ti3 ti4 tiyi ti2yi yi’ |yi-yi’| (yi-yi’)2 1 7 -4 16 -64 256 -28 112 8,47 1,47 2 8 -3 9 -27 81 -24 72 6,83 1,17 3 10 -2 4 -8 16 -20 40 8,26 1,74 4 13 -1 1 -1 1 -13 13 12,76 0,24 5 19 0 0 0 0 0 0 20,33 1,33 6 29 1 1 1 1 29 29 30,96 1,96 7 47 2 4 8 16 94 188 44,66 2,34

Modelare Matematică. Teorie şi Aplicaţii.

+



8 9 /

60 82 275

3 4 0

9 16 60

143

27 64 0

81 256 708

180 328 546

540 1312 2306

61,43 81,27 /

1,43 0,73 /

20,2789

Sistemul de ecuaţii normale ale Gauss este în cazul datelor problemei, următorul: 9d + e  0 + f  60 = 275, d  0 + e  60 + f  0 = 546, d  60 + e  0 + f  708 = 2306, sau încă: 9d +

+ 60f = 275, 60e = 546, 60d + + 708f = 2306, şi are soluţia unică:d = 20,328; e = 9,1; f = 1,534. Prin urmare: y = y(t ) = d + et + ft2 d  20,328;e 9 ,1; f 1,534 = 20,328 + 9,1t + 1,534t2 şi pentru a reveni la variabila iniţială x, se înlocuieşte în funcţia y(t ) de mai sus, t cu x – 5, şi astfel: y = 20,328 + 9,1t + 1,534t2 = 20,328 + 9,1(x – 5) + 1,534(x -5)2 = 20,328 + 9,1x – 9,1  5 + + 1,534(x2 – 10x + 25) = 20,328 + 9,1x – 45,5 + 1,534x2 – 15,34x + 38,35 = (20,328 - 45,5 + +38,35) + (9,1 – 15,34)x + 1,534x2 = 13,178 – 6,24x + 1,534x2 = y(x). Ultimele trei coloane ale tabelului se calculează după ce se deduce y(x), adică după ce se pot calcula valorile ajustate yi’ (valorile ajustate yi’ = y(xi),  i = 1,9 şi calculele pentru eroare sunt date în tabel). Eroarea medie la ajustarea prin parabola de gradul doi este: n

1 

(y i 1

i

 y i' ) 2



n

20,2789  2,2532. 9

n 9

Considerând ca funcţie de ajustare parabola de gradul trei, de ecuaţie: y = y(x) = a + +bx + cx2 + dx3, cu a, b, c şi d parametrii reali necunoscuţi, sau trecând de la variabila x la variabila t, deci considerând pe y = y(t) = e + ft + gt 2 + ht3, sau echivalent cu e, f, g şi h parametrii reali necunoscuţi sistemul (S) de ecuaţii normale ale lui Gauss, pentru determinarea coeficienţilor e, f, g şi h este: n 9

e t i 1

n 9

0 i

n 9

+ f t i 1

n 9

1 i

n 9

+ g t i 1

n 9

2 i

n 9

+ h t i 1

n 9

3 i

n 9

=

e  ti + f  ti + g  ti + h  ti = i 1

1

i 1

2

i 1

3

i 1

4

t i 1

n 9

0 i

t i 1

1 i

yi , yi ,

Virginia Atanasiu

144 n 9

e t i 1

n 9

2 i

n 9

+ f t i 1

n 9

3 i

n 9

+ gt i 1

n 9

4 i

n 9

+ h t i 1

n 9

5 i

n 9

t

=

i 1

n 9

e  ti + f  ti + g  ti + h  ti = 3

i 1

4

i 1

5

i 1

t

6

i 1

i 1

2 i

yi ,

3 i

yi .

(y= y(x) = a + bx + cx 2 + dx3 = a + b(t + 5) + c(t + 5) 2 + d(t + 5)3 = ... = e + ft + gt 2 + ht3 = y(t)), sau încă: n 9

n 9

n 9

i 1

i 1

i 1

2 3 9e + f  t i + g  t i + h  t i = n 9

n 9

i 1

i 1

n 9

n 9

n 9

y i 1

e  ti + f  ti + g  ti + h  ti = n 9

n 9

2

3

i 1

4

i 1

n 9

n 9

e  ti + f  ti + g  ti + h  ti = 2

i 1

n 9

3

i 1

n 9

4

i 1

5

i 1

n 9

n 9

e  ti + f  ti + g  ti + h  ti = 3

i 1

4

i 1

5

i 1

6

i 1

,

i

n 9

t i 1

i

n 9

t i 1

n 9

t i 1

yi ,

2 i

yi ,

3 i

yi .

Calculele sunt date în tabelul următor:

+



xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 /

yi 7 8 10 13 19 29 47 60 82 275

ti -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0

ti6 4096 729 64 1 0 1 64 729 4096 9780

ti3yi -448 -216 -80 -13 0 29 376 1620 5248 6516

yi’ 7,632 7,275 9,068 13,317 20,328 30,407 43,860 60,993 82,112 /

|yi-yi’| 0,632 0,725 0,932 0,317 1,328 1,407 3,140 0,993 0,112 /

(yi-yi’)2 0,399424 0,525625 0,868624 0,100489 1,763584 1,979649 9,859600 0,986049 0,012544 16,495588

Sistemul de ecuaţii normale ale Gauss este în cazul datelor problemei, următorul: 9e + f  0 + g  60 + h  0 = 275, e  0 + f  60 + g  0 + h  708 = 546, e  60 + f  0 + g  708 + h  0 = 2306, e  0 + f  708 + g  0 + h  9780 = 6516,

Modelare Matematică. Teorie şi Aplicaţii.

145

sau încă: 9e +

+ 60g + = 275, 60f + + 708h = 546, 60e + + 708g = 2306, 708f + + 9780h = 6516, şi are soluţia unică: e = 20,328; f = 8,494; g = 1,534; h = 0,051. Prin urmare: y = y(t) = e + ft + +gt2+ ht3 e  20,328; f 8, 494; g 1,534;h  0 , 051 = 20,328 + 8,494t + 1,534t2 + 0,051t3 şi pentru a reveni la variabila iniţială x, se înlocuieşte în funcţia y(t ) de mai sus, t cu x – 5, şi astfel funcţia de ajustare de gradul trei obţinută va fi: y = y(t) = 20,328 + 8,494t + 1,534t 2 + 0,051t3 = 20,328 + 8,494(x – 5) + 1,534(x – 5) 2 + +0,051(x -5)3 = 20,328 + 8,494x - 8,494  5 + 1,534(x2 -10x + 25) + 0,051(x3 – 53 + 3x  5 2 -3x2  5 )= =20,328 + 8,494x – 42,47 + 1,534x2 – 15,34x + 38,35 + 0,051x3 - 0,051  125 + 0,051x  75 - 0,051x2  15 = 20,328 – 42,47 + 38,35 – 6,375 + (8,494 – 15,34 + 3,825)x + (1,534 – 0,765)x2 + + 0,051x3 = 9,833 – 3,021x + 0,769x2 + 0,051x3. Ultimele trei coloane ale tabelului s-au calculat după ce s-a dedus y(x), adică după ce s-au putut calcula valorile ajustate yi’ (valorile ajustate yi’ = y(xi),  i = 1,9 şi calculele pentru eroare sunt date în tabel). Eroarea medie la ajustarea prin parabola de gradul trei este: n

2 

(y i 1

i

 y i' ) 2



n

16, 495588  1,8328. 9

n 9

Să considerăm curba de ajustare sub forma exponenţială: y = bax (a, b > 0 parametrii reali necunoscuţi  y > 0). Pentru determinarea coeficienţilor a şi b, se liniarizează funcţia prin logaritmare (în baza zece, de exemplu): lgy = lg(bax)  lgy = lg b + lgax  lgy = lgb + xlga. Notând: lgy = z, lgb = c, lga = d, rezultă ecuaţia: z = c + dx, pentru care sistemul de ecuaţii normale ale lui Gauss este: n 9

n 9

c  xi + d  xi = 0

i 1

i 1

n 9

n 9

i 1

i 1

1

1 2 c  xi + d  xi =

n 9

x i 1

n 9

0 i

x i 1

1 i

zi , zi .

 9c + 45d = 11,96730, 45c + 285d = 68,42924,

unde calculele au fost efectuate în următorul tabel:

Virginia Atanasiu

146

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45

+



yi 7 8 10 13 19 29 47 60 82 /

zi=lgyi 0,84509 0,90309 1,00000 1,11394 1,27875 1,46239 1,67209 1,77815 1,91381 11,96730

xi2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 285

xizi 0,84509 1,80618 3,00000 4,45576 6,39375 8,77434 11,70434 14,22520 17,22429 68,42924

yi’ 5,71 7,94 11,04 15,36 21,36 29,70 41,31 57,44 79,88 /

|yi-yi’| 1,29 0,06 1,04 2,36 2,36 0,70 5,69 2,56 2,12 /

(yi-yi’)2 1,6641 0,0036 1,0816 5,5696 5,5696 0,4900 32,3761 6,5536 4,4944 57,8026

Din sistem rezultă: c = 0,613638 (= lgb) şi d = 0,14321 (= lga), de unde deducem că: b = =10 =4,108, iar: a = 10d = 1,3906. Deci: y = bax a 1,3906 ;b  4 ,108 = 4,108(1,3906)x = y(x). Eroarea medie la ajustarea prin exponenţială este: c

n

3 

(y i 1

i

 y i' ) 2



n

57,8026  9

6,4225.

n 9

Deci cea mai mică eroare corespunde curbei polinomiale de gradul trei. Prin urmare, parabola de gradul trei reprezintă tendinţa generală de creştere a producţiei. Utilizând pentru prognoză producţiei în următorii 3 ani: -prognoza pentru volumul convenţionale; -prognoza pentru volumul convenţionale; -prognoza pentru volumul convenţionale.

această funcţie de ajustare se obţin valorile probabile ale producţiei în anul al zecelea este: y(10) = 107,523 unităţi producţiei în anul al 11-lea este: y(11) = 137,532 unităţi producţiei în anul al 12-lea este: y(12) = 172,445 unităţi

Valorile sunt acceptabile, ele păstrând tendinţa de creştere a producţiei. Remarcă finală: Dacă într-o problemă, reprezentarea grafică a datelor empirice: (xi, yi), i= 1, n sugerează ca funcţie de ajustare posibilă a unui fenomen economic (ca de exemplu: producţia unei întreprinderi noi sau a unui bun material, sau consumul de energie al unei întreprinderi) hiperbola de ecuaţie: y =

a + b, atunci aceasta se liniarizează prin schimbarea de x

1 a = t. Coeficienţii funcţiei y = +b x x

variabilă:

ecuaţii normale ale lui Gauss, care se scrie astfel: n

n

b  ti + a  ti = i 1

0

i 1

1

n

t i 1

0 i

yi ,

devenita



at + b se determină din sistemul de

Modelare Matematică. Teorie şi Aplicaţii. n

b t i 1

(ti =

1 ,i= xi

1 i

n

+ at

1, n

i 1

2 i

n

=

t i 1

1 i

147

yi .

).

Bibliografia unităţii de învăţare 3: 1. Atanasiu V., „Matematici aplicate în economie. Teorie, cazuri şi soluţii”, Editura Printech, Bucureşti, 2005. 2. Atanasiu V., „Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme: cazuri şi soluţii”, Editura Printech, Bucureşti, 2005. 3. Atanasiu V., „Modelare matematică. Teorie şi aplicatii”, Editura ASE, Bucureşti, 2014. 4. Dedu S., Şerban F., „Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme”, Tipogrup Press, Bucureşti, 2007. 5. Purcaru I., „Matematici generale şi elemente de optimizare”, Editura Economică, Bucureşti, 1997.