Teorie Si Aplicatii Ecuatia Dreptei [PDF]

Zitiervorschau

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

Recapitulare pentru bacalaureat. DREAPTA ÎN PLAN 1.

2. 3. 4. 5. 6.

A( xA , y A )

 AB 

 xB  xA    yB  y A  2

2

- distanţa dintre două puncte A si B sau lungimea B( xB , yB ) segmentului AB A( xA , y A ) x x y  yB  xM  A B , yM  A coordonatele mijlocului segmentului [AB] B( xB , yB ) 2 2 ax  by  c  0, a, b, c R - ecuaţia generală a dreptei y  mx  n, m, n R - ecuaţia explicită a dreptei y  y A  m  ( x  xA ) - ecuaţia dreptei determinată de un punct A( xA , y A ) şi panta m x  xA y  yA - ecuaţia dreptei determinată de doua puncte A( xA , y A ) şi B( xB , yB )  xB  xA yB  y A

x 7. x A xB

y 1 y A 1  0 - ecuaţia dreptei prin doua puncte A( xA , y A ) şi B( xB , yB ) sub formă de determinant yB 1

8. m 

yB  y A - panta dreptei AB xB  x A

A( x A , y A )

xA 9. B( xB , yB )  A, B si C coliniare  xB xC C ( xC , yC ) 10. AABC

11.

xA 1  xB 2 xC

yA 1 yB 1  0 yC 1

yA 1 yB 1 - aria triunghiului ABC yC 1

d1 : a1 x  b1 y  c1  0 d 2 : a2 x  b2 y  c2  0

 d1 d 2  m1  m2 ; d1  d 2  m1  m2  1

12. Distanţa de la un punct A( xA , y A ) la o dreaptă d : ax  by  c  0,

d  A, d  

axA  by A  c a 2  b2

PROFESOR CONSTANTIN CIOFU

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

Exerciții rezolvate 1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A  1;1 ; B  2; 3 ; C  0; 2  . a) Reprezentați punctele A, B și C în reperul cartezian xOy; b) Calculați perimetrul ABC ; c) Determinați coordonatele mijloacelor segmentelor  AB  ,  AC  și  BC  ; d) Determinați coordonatele simetricului punctului A față de originea sistemului de axe xOy; e) Scrieți ecuația dreptei ce trece prin punctele A și C; f) Scrieți ecuația dreptei ce trece prin A și este paralelă cu dreapta (BC); g) Scrieți ecuația înălțimii din B; h) Scrieți ecuația mediatoarei corespunzătoare segmentului  AB  ; i) Determinați m

astfel încât punctele A, B si D  m; 3 să fie coliniare;

j) Calculați aria ABC ; k) Determinați distanța de la punctul B la dreapta  d  : 3x  2 y  1  0 . Rezolvare. b) PABC  AB  AC  BC

AB 

 x A  xB    y A  y B 

AC 

 xA  xC    y A  yC 

BC 

 xB  xC    yB  yC 

2

2

2



 1  2   1  3

2



 1  0   1  2 

2



 2  0    3  2 

2

2

2

2

2

 25  5

2

2

 2

 PABC  5  2  29

 29

x A  xB 1  2 1  x    M  1  2 2 2  M  ; 1 c) Fie M-mijlocul lui  AB    2   y  y A  yB  1  3  1  M 2 2 x A  xC 1  0 1   xN  2  2   2  1 3  N  ;  Fie N-mijlocul lui  AC     2 2  y  y A  yC  1  2  3 N  2 2 2 xB  xC 2  0  x   1 P  1  2 2  P 1;   Fie P-mijlocul lui  BC    2   y  yB  yC  3  2   1  P 2 2 2 d) Fie S simetricul punctului A față de originea O xA  xS 1  xS  x   0   xS  3 O  2 2  N  3; 1  y  y 1  y A S S y  0  yS  1  O 2 2 x  xA y  yA x 1 y 1    AC  :    AC  : x  y  2  0 e)  AC  : xC  xA yC  y A 0  1 2 1 f) Notăm dreapta ce trece prin A și este paralelă cu BC cu  d A  d A BC  md A  mBC 

yC  yB 5  xC  xB 2

PROFESOR CONSTANTIN CIOFU

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

5 2

 d A  : y  y A  md  x  xA    d A  : y  1    x  1   d A  : 2 y  5x  3  0 A

g) Fie BB  AC  mBB  mAC  1  mBB  

1  1 mAC

 BB : y  yB  mBB  x  xB    BB : y  3  1 x  2   BB :  x  y  5  0 1  h) M  ; 1 este mijlocul segmentului  AB  2 

 d   : y  y  m  x  x  d   : 8x  6 y  2  0 M

AB

AB

M

   d AB  : y  1  





4 1  x    d AB : 6 y  6  8 x  4  3 2

AB

yA 1 1 1 1 yB 1  0  2 3 1  0  4m  8  0  m  2 yD 1 m 3 1

xA i) A, B si D coliniare  xB xD j) AABC

1 1 1 1 7  d , d  2 3 1  7  AABC  2 2 0 2 1

k) d  B, d  

axB  byB  c



a 2  b2

3  2   2    3   1 32   2 

2



11 11 13  . 13 13

2. Se consideră punctele A 1; 2  , B  1;3 si C  m,1 . Determinați m dreptunghic în A. Rezolvare. Metoda 1 A 1; 2   AB  29 B  1;3 A 1; 2  C  m;1 B  1;3 C  m;1

 AC 

1  m 

 BC 

 1  m 

 4m  34  m 

9 2

 BC 2  AB 2  AC 2  1  2m  m 2  4  29  1  2m  m 2  9 

4

34 17 m 4 2

Metoda 2 y  yA 5 mAB  B  xB  x A 2 mAC 

2

pentru care ABC este

yC  y A 3  xC  x A m  1

 AB  AC  mAB  mAC  1 

5 3 17   1  2  2m  15  m  2 m 1 2

1  3. Să se determine numărul real m pentru care punctul A  1;  se află pe dreapta de ecuaţie 2  2x  3 y  m  3  0

Rezolvare

PROFESOR CONSTANTIN CIOFU

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

1  A  1;  este situat pe dreapta dată dacă coordonatele sale verifică ecuația dreptei. 2  x  1 1 3 13 1  2   1  3   m  3  0  m   5  m  2 2 2 y 2

4. Aflati numărul real m, ştiind că lungimea segmentului determinat de punctele A 1; 2  și B  m; 1 este egală cu 3. Rezolvare.

A 1; 2  B  m; 1

 AB 

1  m 

2

 9  m2  2m  10  3  m2  2m  10  9  m2  2m  1  0  2

 m1  m2  1 5. Determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor de ecuații  d1  : x  3 y  1  0 și

 d2  : 2 x  y  7  0 . Rezolvare. Fie P  d1  d 2 Coordonatele punctului de intersecție al celor 2 drepte sunt date de soluțiile sistemului determinat de cele 2 ecuații.

x  3y 1  0 2 x  6 y  2  0 5 y  5  0  y  1  y  1      P  3; 1  2 x  y  7  0 2 x  y  7  0 2 x  y  7  0 2 x  1  7  0 x  3

PROFESOR CONSTANTIN CIOFU

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

1. Se da triunghiul de varfuri A(-2, 3), B(-1, -1), C(1, 4). Sa se gaseasca : a. ecuatia dreptei AC. b. ecuatia paralelei prin B la AC. c. ecuatia mediatoarei segmentului BC. d. ecuatia medianei din C. e. ecuatia inaltimii din C . 2. Se consideră punctele A(1,1),B(2,3) şi C(3,m). Aflati numărul real m pentru care A, B şi C sunt coliniare. 3. Se consideră punctele A(-1,-1), B(1,1) şi C(0,-2). Aratati că triunghiul ABC este dreptunghic în A. 4. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul A(1,1) şi este paralelă cu dreapta 4x+2y+5=0. 5. Să se calculeze lungimea segmentului determinat de punctele A(2,3) şi B(5,-1). 6. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele A(2,-1) şi B(1,-2). 7. Să se determine numărul real m pentru care punctul A(2,3) se află pe dreapta de ecuaţie 2 x  4 y  3m  1  0 .

8. Aflati numărul real a, ştiind că lungimea segmentului determinat de punctele A(-1,2) şi B(1-a,1+a), este egală cu 2 9. Să se determine coordonatele simetricului punctului A(2,-4) faţă de B(1,-2) 10. Calculati distanţa de la punctul O(0,0) la punctul de intersecţie al dreptelor d1 : 2 x  y  2  0 și

d2 : x  3 y  8  0 11. Se consideră punctele A(1,a), B(2,-1), C(3,2) şi D(1,-2). Să se determine numărul real a, ştiind că dreptele AB şi CD sunt paralele. 12. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera triunghiului ABC determinat de dreptele de ecuatii  AB : x  2y  4  0,  BC  : 3x  y  2  0 și  AC  : x  3y  4  0 . Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC. 13. Se considera dreptele de ecuatii  d1  : 2x  5y  7  0 si  d 2  : 4x  10y  9  0. a) Sa se arate ca dreptele sunt paralele. b) Sa se calculeze coordonatele punctelor de intersectie ale celor două drepte cu dreapta (d3): x+y+1=0.

PROFESOR CONSTANTIN CIOFU