Aplicatii Ale Teoremei Celor Trei Perpendiculare [PDF]

Zitiervorschau

Aplicaţii ale teoremei celor trei perpendiculare

Probleme rezolvate: 1. Fie pătratul ABCD de latură 15cm. Se duce o perpendiculară MA pe planul (ABC) astfel încât MA  15 2 cm . Calculaţi distanţa de la M la BC şi MC. Rezolvare: Ip.: ABCD pătrat

AB  15cm MA   ABC  MA  15 2 cm

C.: MC , d  M , BC   ? Dem.:

M

D

C B

A

MA   ABC   MA  AB MA  AB T 3 P  MB  BC  d  M , BC   MB AB  BC



T .P.

MAB : A  900  MB 2  MA2  AB 2  MB 2  15 2



2

 152  152  2  1  3 152 

MB  3 152  15 3 cm . Metoda I: T .P.



MB  BC  MBC : B  900  MC 2  MB 2  BC 2  MC 2  15 3

 152  3  1  4 152  MC  4 152  2 15  30 cm Metoda II:



2

 152 

ABCD pătrat  AC  l 2  15 2 cm



MA   ABC   MA  AC  MAC : A  900  MC 2  MA2  AC 2  15 2



 15 2



2



2



 2  2 152  22 152   2 15   302  MC  302  MC  30 cm . 2

2. Pe planul triunghiului isoscel ABC, AB=AC=15cm şi BC=18cm, se ridică perpendiculara AM egală cu 12 3 cm. Să se afle distanţa de la punctul M la dreapta BC. Rezolvare: Ip.: ABC isoscel

AB  AC  15cm BC  18cm AM  ( ABC ), AM  12 3 cm C: d ( M , BC )  ? Dem.: M C D

A

B

Construim perpendiculara din A pe BC: AD  BC , D  BC ABC : AB  AC  AD mediană  BD  DC 

BC  9cm 2

MA  ( ABC ) T 3P

AD   ABC   MD  BC  d ( M , BC )  MD AD  BC T .P.

În MAD, m  A   900  MD 2  MA2  AD 2

AD  BC  ABD, m  D   900  AD 2  AB 2  BD 2  152  92  225  81  144



MD 2  MA2  AD 2  MD 2  12 3



2

 63  144  3  144  144  4  MD  144  4  12  2  24cm

3. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC  m  A   900  cu AB=15cm şi AC=20cm se ridică perpendicular AP egală cu 4 3 cm . Să se afle: a) Distanţa de la P la dreapta BC b) Distanţa de la A la planul  PBC  Rezolvare: Ip.: ABC :  m  A   900  AB  15cm, AC  20cm

AP   ABC  , AP  4 3 cm

P

C.: a) d  P, BC   ? b) d  A,  PBC    ? M

Dem.:

C

D

A

B

a) Construim AD  BC

AB  AC În ABC , m  A   90  BC BC 2  AC 2  AB 2  152  202  225  400  625  0

 BC  625  25cm AD 

AB  AC 15  20   12cm BC 25

AD 

PA   ABC  T 3P

AD   ABC   PD  BC  d  P, BC   PD AD  BC T . P.



PA   ABC   PAD, m  PAD   900  PD 2  PA 2  AD 2  4 3  PD  192  16 3 cm

b) Construim AM  PD  d  A,  PBC    AM PAD, m  PAD   900  AM 

PA  AD 4 3 12   3 cm . PD 16 3



2

 12 2  16  3  144

Probleme propuse: 1. În vârful A al pătratului ABCD de latură 8cm se ridică perpendicular AM pe planul lui pe care se ia punctul M astfel încât AM=8cm. Dacă P este mijlocul lui (MD) să se arate: a) AP   MCD  b) Calculaţi aria triunghiului MBC. 2. Pe planul rombului ABCD se ridică perpendicular AM. Ştiind că AB  AM  12cm şi

m  BAD   600 , să se calculeze distanţa de la M la dreptele BC, CD, BD. 3. Pe planul triunghiului echilateral ABC de latură AB=12cm se ridică perpendicular PA=6cm. să se calculeze distanţa de la P la dreapta BC. 4. Pe planul dreptunghiului ABCD cu AB=16cm şi BC=8cm se ridică perpendiculara AN egală cu 12cm. Să se afle distanţele de la N la laturile dreptunghiului. 5. Dreptungiul ABCD cu AB=21cm şi AD=16cm are M  AD , astfel încât

AM 1  . MD 3

Perpendiculara PM pe planul dreptunghiului ABCD este egală cu 15cm. Să se afle distanţele de la punctul P la laturile dreptunghiului cât şi la diagonalele lui. 6.

Pe planul dreptunghiului ABCD cu AB=12cm şi BC=9cm se ridică perpendiculara PD=9cm. Să se afle:

a) Distanţele de la punctul P la dreptele AB şi BC; b) Distanţa de la punctul D la planul (PBC). 7. Trapezul isoscel ABCD având bazele AB şi CD

 AB  CD 

are măsura unghiurilor

acuţite egală cu 600 , diagonalele perpendiculare pe laturile neparalele, iar AD=12cm. Pe planul trapezului se ridică perpendiculara AM=18cm. Să se afle: a) Distanţele de la M la dreptele BC şi CD; b) Distanţele de la punctul A la planele (MDC) şi (MBC) 8. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC m  A   900 , cu AB  12 3 cm , AC  6cm , se ridică perpendiculara AM  6 3cm şi CN  3 3cm . Se cere: a) Distanţa de la punctul M la dreapta de intersecţie a planelor (BMN) şi (ABC); b) Distanţa de la punctul A la planul (BMN).