Teoria y Problemas de Circuitos Electricos PDF [PDF]

Zitiervorschau

.

TEORIA y PROBLEMAS

.

JOSEPH A. EOMINISTER ' ,

'

350 . PROBLEMAS RESUELTOS,

//

r

SERIE DE COMPENDIOS

TEORIA

SCHAUM

y PROBLEMAS DE

CIRCUITOS

ELECTRICOS

JOSEPH A. EDMINISTER, M. S. E. Assistant Professor of Electrical Engineering The Unioersity of Akron

•

TRADUCCION

Joss

y ADAPTACION

BESCÓS BELARRA

Ingeniero de Armamento Licenciado en Ciencias ANGEL GUTIÉRREZ

VÁZQUEZ

Ingeniero de Armamento Licenciado en Ciencias Físicas Diplomado en Ingeniería Nuclear

• LIBROS PANAMA

McGRAW-HILL MEXICO

NEW YORK

LONDON TORONTO SYDNÉY JOHANNESBURG

I

Prólogo Este libro se ha concebido como complemento a los textos usuales de electricidad o bien como libro de texto básico para un primer curso de análisis de circuitos. En él se ha dado una importancia especial a las leyes fundamentales, a los teoremas y a las técnicas que son comunes ajos diversos enfoques expuestos en otras obras. Está dividido en capítulos que tratan los campos de teoría y estudio ya reconocidos. Cada capítulo empieza por establecer las definiciones, teoremas y principios pertinentes, junto con ejemplos, figuras y demás material aclaratorio. A continuación, se presentan dos series, adecuadamente graduadas, de problemas resueltos y de problemas propuestos. Los primeros sirven para aclarar y ampliar la. teoría. Presentan métodos de análisis, proporcionan ejemplos prácticos y centran la atención en aquellos aspectos de detalle que son esenciales para que el alumno pueda aplicar correctamente y con seguridad los principios fundamentales. El gran número de problemas propuestos como complemento permite realizar un repaso de todas las materias contenidas en el capítulo. Los temas tratados incluyen el análisis de respuestas y formas de ondas, sistema de números complejos, notación matricial, circuitos en serie y paralelos, potencia y factor de potencia, fenómenos de resonancia. Se han utilizado ampliamente las matrices y determinantes en el estudio de los métodos de análisis basados en las corrientes, en las mallas y las tensiones en los nudos. También se ha empleado el cálculo matricial en el estudio de las transformaciones estrella-triángulo y en los teoremas de circuitos, tales como los de superposición y reciprocidad. Se ha procurado explicar con.sumo detalle el tema de los circuitos con acoplo magnético y lo mismo puede decirse de los sistemas polifásicos de todos los tipos, dedicando atención especial al circuito equivalente monofásico por sus importantes aplicaciones. Se estudian, simultáneamente, las series trigonométricas y las exponenciales de Fourier, verificando frecuentes conversiones de los coeficientes de unas a otras para ver con claridad su correspondencia. El régimen transitorio en corrientes continua y alterna se explica y resuelve empleando ecuaciones diferenciales clásicas, de manera que esta materia puede estudiarse perfectamente antes de ver 'la notación fasorial del Capítulo 5; en rigor, así se recomienda para aquellos alumnos cuyos conocimientos matemáticos se lo permitan. El método de la transformada de Laplace se aplica a muchos de los problemas ya estudiados y resueltos en el Capítulo 16 por ecuaciones diferenciales. Esto permite comparar los dos métodos y ver claramente las peculiaridades y ventajas del método en cuestión. Queremos aprovechar esta ocasión para expresar profunda gratitud al personal de la Schaum Publishing Company y, en especial, al señor Nicola Miracapillo, por sus valiosas sugerencias y útil colaboración. A mi esposa Nina le debo mucho más que un simple agradecimiento por su continuo apoyo y estímulo que tanto han contribuido a la realización de esta obra. JOSEPH A. EDMINISTER Universidad' de Akron 21 de agosto de 1965

Tabla de materias ~~. Capítulo

1

DEFINICIONES

y PARAMETROS

DE UN CIRCUITO............

1

Sistema de unidades. Ley de Coulomb. Diferencia de potencia!. Corriente eléctrica. Potencia. Energía. Elemento resistivo, bobina y condensador. Resistencia. Autoinducción. Capacidad. Leyes de KirchhofT. Capítulo

2

VALORES MEDIO y EFICAZ

.

16

Formas de onda. Valor medio. Valor eficaz. Valor eficaz de una función de senos y cosenos. Factor de forma.

Capítulo

3

INTENSIDAD DE CORRIENTE y TENSION SENOIDALES

.

24

Introducción. Intensidades de corriente senoidales. Tensiones senoidales. Impedancia. Angulo de fase. Circuitos serie y paralelo.

Capítulo

4

NUMEROS

COMPLEJOS

.

35

Números reales. Números imaginarios. Números complejos. Distintas formas de expresar un número complejo. Conjugado de un número complejo. Suma y resta de números complejos. Multiplicación de números complejos. División de números complejos. Raíz de un número complejo. Logaritmo de un número complejo. Empleo de la regla de cálculo en el álgebra de los números complejos. Operaciones con ángulos menores de seis grados. Capítulo

5

IMPEDANCIA

COMPLEJA

y NOTACION FASORlAL

.

43

.

54

Introducción. Impedancia compleja. Notación fasoria!.

Capítulo

6

CIRCUITOS

SERIE y PARALELO

Introducción. Circuito serie. Circuito paralelo. Circuito de dos ramas en paralelo. Admitancia. Conversión ZY.

Capítulo

7

POTENCIA

ELECTRICA y FACTOR DE POTENCIA

.

68

Introducción. Potencia en régimen permanente senoidal: Potencia activa. Potencia aparente. Potencia reactiva. Triángulo de potencias. Potencia compleja. Corrección del factor de potencia. Capítulo

8

RESONANCIA

SERIE y PARALELO

.

81

Introducción. Resonancia de un circuito serie RLC. Resonancia de un circuito paralelo RLC. Resonancia de un circuito paralelo de dos ramas. Factor de calidad. Lugares geométricos de impedancias, Lugares geométricos de intensidades de corriente. Capítulo

9

ANALISIS DE UN CIRCUITO POR EL METODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA. . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ..... . . . . . . . .. . . . . ..... Introducción. Método de resolución por las corrientes de malla. Elección de las mallas. Número mínimo de mallas independientes. Planteamiento directo del sistema de ecuaciones de mallas. Matrices. Suma algebraica de matrices. Multiplicación de matrices. Inversión. Determinante de una matriz cuadrada. Menor complementario y adjunto de un elemento. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Propiedades de los determinantes. Solución de los sistemas de ecuaciones lineales por determinantes: Regla de Cramer. Aplicación del álgebra matricial al análisis de circuitos. Impedancia de entrada. Impedancia de transferencia.

99

Capítulo

10

ANALISIS DE UN CIRCUITO POR EL METODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

Introducción, Tensiones en los nudos. Número de ecuaciones de tensiones en los nudos, Planteamiento directo del sistema de ecuaciones de nudos. Admitancia de entrada. Admitancia de transferencia. Capítulo

11

TEOREMAS

DE THEVENIN Y NORTON: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

139

Introducción. Teorema de Thevenin. Teorema de Norton. Circuitos equivalentes de Thevenin y Norton. Capítulo

12

TEOREMAS

GENERALES DE CIRCUITOS.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

155

Introducción. Transformación estrella-triángulo (Y·ll). Teorema de superposición. Teorema de reciprocidad. Teorema de compensación. Teoremas de transferencia de la potencia máxima, Capítulo

13

AUTOINDUCCION

E INDUCCION

MUTUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

177

Introduccion. Autoinducción. Inducción mutua. Coeficiente de acoplo. Análisis de circuitos con acoplo magnético. Corriente. natural. Regla de los puntos para bobinas con acoplo magnético. Circuitos equivalentes con acoplo conductivo. Capítulo

14

SISTEMAS POLIFASICOS.......................................

195

Introducción. Sistemas bifásicos. Sistemas trifásicos. Tensiones en el sistema trifásico. Cargas equilibradas en un sistema trifásico. Circuito equivalente monofásico para cargas equilibradas. Carga desequilibrada conectada en triángulo. Carga desequilibrada conectada en estrella con cuatro conductores. Carga desequilibrada conectada en estrella con tres conductores. Carga desequilibrada en estrella con tres conductores: Método del desplazamiento del neutro. Potencia en cargas trifásicas equilibradas. Vatímetros y cargas en estrella con cuatro conductores. Método de los dos vatímetros. Método de los dos vatímetros aplicado a cargas equilibradas. Capítulo

15

ANALISIS DE LAS FORMAS DE ONDA POR EL METODO DE FOURIER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

218

Introducción. Series trigonométricas de Fourier. Expresión exponencial de las series de Fourier. Simetría de las formas de onda. Espectro de líneas. Síntesis de ondas. Valor eficaz y potencia. Aplicación al análisis de circuitos. Capítulo

16

REGIMEN TRANSITORIO

EN CIRCUITOS

~.. . . . . . . ..

242

Introducción. Régimen transitorio en corriente continua. Régimen transitorio en circuitos RL. Régimen transitorio en circuitos Re. Régimen transitorio en circuitos RC referido a la carga. Régimen transitorio en circuitos RLC. Régimen transitorio en corriente alterna. Régimen transitorio en circuitos RL con alimentación senoidal. Régimen transitorio en circuitos RC con alimentación senoidal. Régimen transitorio en circuitos RLC con alimentación senoidal. Régimen transitorio en circuitos de dos mallas. Capítulo

17

ANALISIS

DEL REGIMEN

DE LA TRANSFORMADA

TRANSITORIO

POR

EL METODO

DE LAPLACE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

265

Introducción. La transformada de Laplace. Aplicación al análisis de circuitos. Métodos de desarrollo. Teorema del valor inicial. Teorema del valor final. Análisis de circuitos en el dominio de la variable s de Laplace.

INDICE

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

286

Capítulo 1 Definiciones y parámetros .d.e un circuito SISTEMAS DE UNIDADES En ingeniería eléctrica se emplea el sistema internacional de unidades S. l., que considera como magnitudes fundamentales la longitud (L), la masa (M), el tiempo (T) y la intensidad de corriente (1), cuyas unidades respectivas son el metro (m), el kilogramo (kg), el segundo (s) y el amperio (A). Abreviadamente, este sistema se llama mksa, que corresponde a las iniciales de las unidades citadas. Todas las fórmulas del libro aparecen racionalizadas, es decir, la constante de la ley de Coulomb de la electrostática se iguala a 1/4nE, y la correspondiente a la ley de Laplace del magnetismo se iguala a ¡J/4n. La unidad de fuerza en el sistema racionalizado mksa es derivada; se llama newton y tiene de símbolo N. Una fuerza de 1 newton es aquella que aplicada a un sólido de 1 kilogramo de masa le comunica una aceleración de 1 metro por segundo en cada segundo. Por consiguiente: Fuerza (N) = masa (kg) x aceleración (m/s") La unidad de trabajo y, por tanto, la de energía, también es derivada; se llama julio (J) y corresponde al trabajo realizado por una fuerza de 1 newton cuando su punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección del movimiento. La unidad de potencia, en estas condiciones, se llama vatio (W) y corresponde al julio por segundo. Resumiendo, pues, 11 = 1 N· m y 1W = 1l/s. LEY DE COULOMB Establece que la fuerza (de atracción o de repulsión) entre dos cargas eléctricas puntuales, q y q', es directamente proporcional al producto de ambas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia r. Matemáticamente, se escribe en la forma qq' F

~rz

siendo k la constante de proporcionalidad (con dimensiones) y que depende, por una parte, del sistema de unidades empleado y, por otra, del medio donde estén situadas las cargas. Concretamente, en el sistema mksa en el que la unidad de carga eléctrica es derivada y se llama culombio (C), y en el vacío o espacio libre el valor de dicha constante es ko = 9 X 109 N· m2/C2 Como ya hemos adelantado, el sistema mksa racionalizado es aquel que hace k¿

= -4 1 ,con lo

que la ley de Coulomb adquiere la forma F =-41 .~. En el vacío (subíndice cero) tendremos nEo r de donde 1 1 10-9 E - -8 85 X 10-12 C2jN • m2 o - 4nko - 4n(9 x 109) = --'36 - ,

nEo

"o =

-4' 1 ,

nEo

Si el medio donde se hallan las cargas no es el vacío, la fuerza que aparece entre las cargas inducidas reduce la resultante. En el aire, el valor de E es ligeramente superior a Eo y, en la práctica, se consideran iguales. Para otros medios distintos del aire, el valor de E se define por E =

KEo

en donde K es una constante de proporcionalidad adimensional que se llama constante dieléctrica relativa o capacidad inductiva especifica del medio en cuestión. El valor E = KEo se denomina permitiuidad o constante dieléctrica absoluta del medio, con lo que Eo es la permitioidad del vacío. Para el espacio libre, pues, K = 1 y E = Eo. Hemos dicho anteriormente que la unidad de carga en el sistema mksa es el culombio (C); se puede definir como aquella carga que, situada frente a otra igual a 1 metro de distancia y en el vacío, se repelen con una fuerza de 9 x 109 newton. Los submúltiplos más utilizados del culombio son 1 ¡JC = 1 microculombio = 10- 6 C 1 pC "= 1 picoculombio = 10-12 C La carga elemental correspondiente al electrón (-e), . 1

o al protón (+e), vale e = 1,602 x 10-19 C.

2

DEFINICIONES

DIFERENCIA DE POTENCIAL

Y PARA METROS DE UN CIRCUITO

[CAP. I

v

La diferencia de potencial o tensión v entre dos puntos de un campo eléctrico es, por definición, el trabajo necesario para desplazar la unidad de carga eléctrica positiva de un punto al otro en contra o a favor de las fuerzas del campo. En el sistema mksa, la unidad de diferencia de potencial es el voltio (V) y corresponde al trabajo de 1 julio (J) al desplazar 1 culombio (C) de carga de uno al otro punto, es decir, 1 V = 1 J/C. Si entre dos puntos existe uria diferencia de potencial v (d.d.p.), el trabajo necesario para desplazar una carga q será qv y la carga se moverá del punto de mayor al de menor potencial. Un agente o dispositivo, tal como una batería o un generador, posee una fuerza electromotriz (f.e.m.) si es capaz de suministrar a una carga eléctrica la energía suficiente para hacerla circular por él, del terminal de menor al de mayor potencial. La f.e.m. se mide por la d.d.p. en bornes del generador cuando no suministra corriente eléctrica, es decir, en circuito abierto. CORRIENTE ELECfRICA

i

Todo cuerpo con electrones libres capaces de moverse entre los átomos de la red cristalina del mismo se llama conductor. Una de las causas que origina este movimiento es la aplicación al conductor de una diferencia de potencial. Cuando de un punto a otro de un conductor se desplaza una o más cargas eléctricas diremos que circula por él una corriente eléctrica. Si la carga se transfiere a una velocidad de 1 culombio por segundo (C/s) la corriente por el conductor tiene una intensidad de 1 amperio (A); es decir, 1 A = 1 Cf«. En general, la intensidad de corriente instantánea i en un conductor es . (A) = dq (C) dt (s)

1

Por convenio, se ha establecido como sentido positivo de la intensidad de la corriente eléctrica el opuesto al del movimiento de los electrones. Véase Figura 1-1.

~

movimiento de los electrones sentido de la corriente-s-s-e-

Fig.l-l

POTENCIA P La potencia eléctrica p se define por el producto de la diferencia de potencial o tensión aplicada v y la' intensidad de corriente i a que da lugar. La unidad de potencia es el vatio (W), de manera que 1 W = 1 V' A. Matemática se escribe: . p (W)

= v (Y) x i (A)

Por definición, corriente eléctrica positiva es aquella que circula en el sentido indicado por la flecha que aparece en el generador o fuente de tensión, es decir, del terminal o polo negativo al positivo, como se indica en la Fig. 1-2. Si la potencia p es positiva quiere decir que la fuente entrega corriente al circuito, esto es, suministra energía. En el caso de que la potencia p sea una función periódica del tiempo t, de periodo T, se define el valor medio por: Potencia media P

= ~

i

t

v

Fig.1-2

T

P dt

ENERGIA w Como la potencia p es la variación de energía transferida en la unidad de tiempo, p

=

d

d~ de donde W

=

ft.

1,

P dt

siendo W la energía total suministrada durante un intervalo de tiempo dado. La unidad de energía, como ya dijimos, es el julio: 1 J = 1 W . s.

CAP. 1]

ELEMENTO

DEFINICIONES

RESISTIVO,

Y PARAMETROS

3

DE UN CIRCUITO

BOBINA Y CONDENSADOR

Al suministrar energía eléctrica a un elemento pasivo de un circuito, éste se comporta o responde de una, o más, de estas tres formas. Si la energía la disipa el elemento, es resistivo puro; si la almacena en un campo magnético, es una bobina pura, y si la acumula en un campo eléctrico, es un condensador puro. En la práctica, los componentes de un circuito se comportan de más de una de dichas formas, y muchas veces de las tres simultáneamente; pero lo normal es que predomine uno de los efectos citados sobre los otros. Se puede diseñar una bobina con un gran coeficiente de autoinducción; sin embargo, el hilo con el que se fabrica presenta cierta resistencia imposible de anular; es un ejemplo típico de un elemento, bobina, que se comporta ante la energía eléctrica de dos maneras, es decir, tiene dos propiedades. RESISTENCIA

R

La diferencia de potencial v(t) en bornes o terminales de un elemento resistivo puro es directamente proporcional a la intensidad de corriente i(t) que circula por él. La constante de proporcionalidad R se llama resistencia eléctrica del elemento. Matemáticamente se expresa en la forma. v(t)

= R i(t)

o bien

i(t)

i(t)

= v~)

La unidad 'de medida de la resistencia en el sistema mksa es el ohmio (O) Fig.I-3 y corresponde a la resistencia de un elemento que al aplicarle una d.d.p. de 1 voltio circula por él 1 amperio, es decir, 10= 1 V/A. Obsérvese que no se ha hecho restricción alguna sobre la forma de las funciones v(t) e i(t); pueden ser constantes en el tiempo, como ocurre en los circuitos de corriente continua (c.c.) o funciones trigonométricas seno o coseno, como en los circuitos de corriente alterna (c.a.). Respecto a la notación, las funciones del tiempo las representaremos por letras minúsculas (v, i, p); Lasmagnitudes constantes se indicarán por las mayúsculas correspondientes (V, J, P), así corno los picos, valores máximos o amplitudes con el subíndice m (Vm, 1m, Pm). L

AUTOINDUCCION

Al variar con respecto al tiempo la corriente que circula por un circuito, el flujo magnético que lo atraviesa experimenta los mismos cambios. Ahora bien, toda variación de flujo magnético origina una fuerza electromotriz que se opone a dicha variación. En estas condiciones, si por una bobina circula una corriente de intensidad variable, se origina en ella una f.e.m. inducida v que es directamente proporcional, siempre que la permeabilidad magnética sea constante, a la variación con respecto al tiempo de dicha intensidad. Matemáticamente se expresa en la forma v(t)

=

L~;

o bien

i(t)

=

iS

i(t)

Fig.I-4

vdt

El coeficiente de proporcionalidad L se llama coeficiente de autoinducción o, simplemente, autoinducción de la bobina. Si la tensión v se expresa en voltios (V) y dildt en amperios/segundo (A/s) el coeficiente de autoinducción L se mide en voltios x segundo/amperio y se llama henrio (H); es decir, 1 H = 1 V' s/A. Según esto, una bobina tiene un coeficiente de autoinducción de 1 H si al circular por ella una corriente que varíe a razón de 1 A/s se induce una f.e.m. entre sus bornes de 1 V. C.-\PACIDAD

e

La diferencia de potencial v en bornes de un condensador es proporoonal a la carga q en él almacenada. La constante de proporcionalidad e se llama capacidad del condensador. Matemáticamente se expresa en la forma q(t) = v(t), i = = v(t) = i dt

e

~¡ e ~~,

bS

Fig.l·5

4

DEFINICIONES

Y PARAMETROS

DE UN CIRCUITO

[CAP. 1

En el sistema mksa la unidad de capacidad se llama faradio (F). La capacidad de un condensador es de 1 faradio cuando almacena 1 culombio (C) de carga al aplicarle una d.d.p. de 1 voltio; es decir, 1 F = 1 CfV. Como se trata de una unidad muy grande, se emplean los submúltiplos siguientes: 1 J-LF

= 1microfaradio = 10-6 F

1 pF

y

= 1 picofaradio

=

10-

12

F

LEYES DE KIRClllIOFF 1. La suma de las intensidades de corriente que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen de él. Si se consideran positivas las corrientes que llegan y negativas las que salen, esta ley establece que la suma algebraica de las intensidades de todas las corrientes que concurren en un nudo es cero. L

R

t r

intensidades que entran = r intensidades que salen i, + i3 i. + i. + i. o bien i, + i3 - i. - i., ....:i. O Fig.1-6

=

t r subidas

de tensión = r caídas de tensión v. = Ri + L(di/dt) v. - Ri - L(di/dt) O Fig.1-7

VA -

=

o bien

VA -

=

2. En un circuito cerrado o malla, la suma algebraica de las fuerzas electromotrices aplicadas, o subidas de tensión, es igual a.la suma algebraica de las caídas de tensión en todos los elementos pasivos. En otras palabras, la suma algebraica de las diferencias de potencial en todo circuito cerrado es nula. Es importante observar que las fuerzas electromotrices de las fuentes o generadores que contenga la malla han de sumarse algebraicamente, considerando como positivas las fuentes cuyo sentido de polaridades (de - a + ) coincida con el asignado previamente a la corriente en el circuito. Respuesta de los elementos pasivos de un circuito Tensión en bornes del elemento

Elemento Resistencia R (resistivo)

v(t)

-

Autoinducción L (bobina)

v(t)

- L di

Capacidad e (condensador)

v(t)

-

R i(t)

dt

~J

idt

Corriente por el elemento v(t)

i(t)

-

i(t)

-

i(t)

- Cdv

R

LJ

vdt

dt

Sistema internacional de unidades mksa Magnitud Longitud Masa Tiempo Fuerza Energía Potencia

Magnitud

Unidad I m t

F.f W. w

P. p

metro kilogramo segundo newton julio vatio

m kg s N J W

Carga Potencial Corriente Resistencia Autoinducción Capacidad

Unidad Q, q V. v

t. R L é.'

i

culombio voltio amperio ohmio henrio faradio

C V A Q

H F

DEFINICIONES

CAP. 1]

Y PARAMETROS

Problemas

5

DE UN CIRCUITO

resueltos

1-1 En el circuito cerrado de la Fig. 1-8 la tensión aplicada es V = 45 voltios. Hallar la intensidad de la corriente que circula por él, así como la caída de tensión y la potencia disipada en cada elemento resistivo del mismo. En una malla o circuito cerrado la suma algebraica de las subidas de la tensión (originadas por las fuerzas electromatrices de las fuentes) es igual a la suma correspondiente de las caidas en sus elementos. Por tanto,

v=

(2)1 + (6)1 + (7)/,

45

1= 3 A

= 151,

211

t

6U

La caída de tensión en el elemento resistivo de 2 Q es Vz = R"}.I = (2)(3) = 6 Y. Análogamente, V6 = (6)(3) = 18 Y, Y V7 = 21 Y. La potencia disipada por el elemento de 2 Q es P2 = Vzl = (6)(3) = 18WobienP2 = R212 = (2)(3)z = 18W.Análogamente'P6 = V¡,1= 54 W, y P7 = V71 = 63 W.

Fig.I-8

1-2 Una corriente IT se divide entre dos ramas en paralelo de resistencias R¡ y R2 respectivamente, como indica la Fig. 1-9. Deducir las expresiones de las intensidades de corriente 11 e 12 en cada una de las ramas. En cada rama, la caída de tensión ha de ser la misma: V

-

=

1,

Rll1 = R212. Por consiguiente,

V

-T-

I

R,

V

- -

R2

R , ( R2+R')I R,R2

,-

_

(R2+R')I R.

R,

IT

'

J.

R.

\.

Fig.l-9

1-3 Tres resistencias, R1, s, y R3, están asociadas en paralelo, como indica la Fig. 1-10. Deducir la expresión de la resistencia equivalente Re del circuito. Se supone aplicada una tensión v(t) entre los puntos A y B, con lo cual circularán por las resistencias R l' R2 Y R3 unas corrientes de intensidades ¡I(t), i2(t), i3(t), respectivamente. La corriente por R. debe ser la intensidad total iT(t). Por tanto, v(l) = Rli¡(t) = R2i2(t) = R3i3(t) = R.iT(I), Y ir (t) i!(t) + i,(t) + i.(t) O bien v(t) v(t) + v(t) +.!1!1.

=

Es decir.

= R.

_!_

R.

=

_!_

R,

R,

R,

Ra

+ _!_ + _!_ R.

Ra

En un circuito paralelo de dos ramas,

1

R.

o bien

1-4 El circuito de la Fig. 1-11 contiene dos fuentes de tensión constante, VA y VB• ¿Qué energía suministra cada una de ellas?

V

i,

A

- i.

R,

R,

ir

i.

1,

R. v(t)

Fig.1-10 1

Va

La suma de las subidas de tensión es igual a la suma de las caídas de tensión en todo circuito cerrado; por consiguiente, 20 - 50 = (1)1

+ (2)1,

50 V

1 = -10 A

Potencia suministrada por VA = VAl = 20(-10) = -200 W. Potencia suministrada por VB = VBl = 50(10) = 500 W.

B

Fig.1-11

6

DEFINICIONES

y PARA METROS DE UN CIRCUITO

[CAP. I

1-5 En el circuito de la Fig. 1-12(a) la tensión del generador viene dada por v(t) = 150 sen coi. Hallar la intensidad i(t), la potencia. instantánea p(t) y la potencia media P.

p(t)

= =

p

R1 v(t)

=

'i(t)

=

v(t) ¡(ti

-=1 "

J'"

150 25 sen wt

=

(150sen

900 sen! wt

wt)(6

6 sen wt A

900 -:;-

d(wt)

=

sen wt)

J'' ' o

I/(f)

'"

900sen 2 wt W

t

25 n

t(l - cos 2wt) d(wt)

o

900 2". [ wt

-

t sen 2wt J'o"

450 W

Fig.l·12(a)

La corriente i(t) está relacionada, como' hemos visto, con la tensión v(t) por la constante R. La curva de potencia instantánea se puede deducir punto a punto multiplicando las ordenadas correspondientes de v e i, como se indica en la Fig. 1-12(b). Obsérvese que así como ve i son ambas positivas o ambas negativas en cualquier instante, su producto siempre es positivo. Esto concuerda con el principio de conservación de la energia, esto es: siempre que circula una corriente eléctrica a través de una resistencia se consume una energia eléctrica que ha de ser proporcionada constantemente por algún generador. v 150

-150 6

v

-6

p

Fig.1-12(b)

Fig.1-13

1-6 La función de intensidad de corriente de la Fig. 1-13 es una onda cuadrada periódica. Con esta corriente, circulando por una resistencia pura de 10 ohmios, obtener las curvas de tensión v(t) y de potencia p(t) instantáneas. La tensión es directamente proporcional a la intensidad de corriente, v(t) = R i(I). El valor máximo es Ri¿.. = (5)(10) = 50 V.

La curva de potencia se obtiene punto a punto por el producto p = vi. El valor máximo es (50)(5) = 250 W.

vmaximax =

1-7 La función de intensidad de corriente de la Fig. 1-14 es un diente de sierra periódico que se aplica a una resistencia pura de 5 ohmios. Hallar los valores instantáneos v(t) y p(t) y la potencia media P. Como v(t)

=

Ri

R 1(t),

O < t < 2

Para v

=

=

25

x 103t,

X

Pmax

= Ri

10-3 s. p

= ·vi =

m",

.=

1

= 2

(5)(10) = 50 V 10

x 10

125 x 106t2,

3

t

=

5 x 103t.

Por tanto. 167 W

DEFINICIONES

CAP. 1]

Y PARAMETROS

7

DE UN CIRCUITO a

Ion b

"~

t

O

246)(;0"5

5n

15n

e Fig.I-14

1-8

Fig.I-15

En el circuito de la Fig. 1-15, la intensidad de corriente por la resistencia de 5 ohmios es i(t) = 6 sen tot amperios. (a) Hallar la corriente en las resistencias de 15 y de 10 ohmios, así como las tensiones entre a y b y entre b y c. (b) Calcular la potencia media e instantánea consumida en cada resistencia. (a)

La tensión vbc en las resistencias de 5 n Vbc

(b)

ha de ser la misma; por tanto,

= Rsis = (5)(6 sen rol) = 30 sen ro!

ilo =

Ahora bien,

y 15 n

lIS

+ is =

8 sen cot,

ilS

con lo que

V.b

= vbc/RlS = 2 sen ro!

= RlQilO = 80 sen ro!

La potencia instantánea es p = vi. De esta forma, Ps = (30 sen ro!)(6 sen rot) = 180 sen2 cot, Análogamente, PIS = 60 sen2 tot y PlO = 640 sen? rol.

n es

La potencia media en la resistencia de 5 P.

=

! 7r

f

rr 180sen' ",t

= ;1

d(",t)

f7r o

180[t(1 -

90 W

cos 2",t)] d(",t)

o

Del mismo modo se obtienen 1-9

e

=

PIS

30 W y P10

=

320 W.

En bornes de una resistencia pura de 2 ohmios se aplica 'una tensión v(t) dada por 50 [

v(t)

1 - --

(",t)2 2!

(OJt)4 - -(OJt)6 + --- + ... 4!

6!

JI'

vo nos

Determinar la intensidad de corriente y potencia disipada por este eleme-nto. Desarrollando cos x en serie de potencias de x, Por consiguiente, v(t)

=

50 cos ot, i(t)

=

cosx

1-

25 cos ",t, p(t)

=

x'

x'

x·

2T + 4T - 6!+ .... 1250 coso ",t,

1-10 En bornes de una bobina pura de autoinducción L = 0,02 henrios se aplica la tensión v(t) = 150 sen 1000t. Hallar la corriente i(t), la potencia instantánea p(t) y la potencia media P. i(t)

f'

=

1 L.

=

150(-COS 1000t) 0,02 1000

v(t) dt

1 = 0,02

f

=

y

P -= 625 W.

0.02 H

v(t)

150 sen 1000t dt Fig.I-16(a)

-75 1000t A ' cos

P = vi = -150(7,5) -

A sen wt sen 4>

(2)

Igualando- los coeficientes de sen rol y cos rol en (l) y (2) resulta, R1", . Ahora bien, tg 4>

4> = --sen =cos 4>

=

A cos 4>,

1

w

CR'

cos 4>

= A cos (wt

(l/IIlC)I..

=

R = -;:~===.==~ y!R' + (l/WC)2

+ 4»

=

y!R2

-A sen 4> A

=

yR2

+ (l/WC)2 L; cos (wt

+ (1/wC)21m,

con lo que

are tg l/roC R es decir, la corriente está adelantada respecto de la tensión. (Como sen rjJ es negativo y cos rjJ es positivo, el ángulo rjJ está en el cuarto cuadrante.) VT

-

El módulo de la impedancia es

.j'R-::2-+-(-I/-ro-C-)--=-2

l/roC Si R ~ l/roC, -----¡¡-

O, es deci . ecir, e Lrni mismo resuId' ta o que con un e Iemento positivo puro.

Si l/roe ~

R, l/;C

--+

-+ 00

Oy

y rjJ

--+

d, --+ '1-'

1(/2, es decir, el mismo resultado que obtuvimos

COI>

un condensador puro.

En una asociación serie RC la corriente está adelantada respecto de la tensión un ángulo comprendido entre 0° y 90° o 1(/2 radianes, según los valores relativos de R y l/roe.

3-6 Por el circuito serie de la Fig. 3-10 circula una corriente de intensidad i = 2 cos .50001 amperios. Hallar la tensión total aplicada UT'

Vr

111 pI'

T__-,-Fig.3-10 Vr

en donde R

=

= .j

5, l/roC

=

R2

+ (l/roC)2 L« cos

1(5000 x 20 x 10-6)

l/roC are tg --) = 22,4 cos (50001 - 63,4°) R l/roC lO, are tg -----¡¡- = are tg 10(5 = 63,4°, 1m = 2.

(rol -

=

La corriente está adelantada respecto de la tensión un ángulo de 63,4°. El valor absoluto de la impedancia es 11,18 o.

CAP. 3]

3-7

INTENSIDAD

DE CORRIENTE

29

y TENSION SENOIDALES

Por el circuito serie RLC representado en la Fig. 3-11 circula una corriente de intensidad i = 1m sen on. Hallar la caída de tensión en bornes de cada elemento.

=

1Ia

Ri

1IL

Rl ... sen ¡,)t

~f t:

=

1Ie

(i

=

d L dt (1m sen ¡,)t) sén

=

Fig.3·11

1

=

dt

eé

¡,)Llm cos ee ¡,)C1",(-cos¡,)t)

¡·t e i (i retrasada 90" respecto de

UR e i en fase con Vii)

re e i (i adelantada 90· respecto de ve)

ud

Fig.3-12

3-8

En el Problema 3-7 expresar la tensión total aplicada

VT

mediante una función senoidal únicamente.

Rl .. sen ¡,)t Expresando

VT

+

(wL - l/¡,)C)lm cos wt

(1)

mediante una función seno de amplitud A y ángulo de fase 4>,

= =

111'

A sen (wt +

m

, A = 1/wL)2

1/wL)2 Vm sen [wt

+ are

Vr--~".......,.--:--=----,-=--o(1/R)' + (wC - 1/wL)2 V m,

tg (wC - 1/wL)R]

Como era de esperar, el signo del ángulo de fase depende de los valores relativos de roC y l/roL. La corriente que circula por la rama inductiva está retrasada 90° o n/2 radianes respecto de la tensión aplicada. La corriente que circula por la rama capacitiva, por el contrario, está adelantada 90° o n/2 radianes respecto de dicha tensión. Estas dos corrientes pueden anularse cuando tengan el mismo valor numérico. Si la corriente en la rama inductiva es mayor, la intensidad total estará retrasada respecto de la tensión aplicada; si es mayor la corriente en la rama capacitiva, la corriente total estará adelantada respecto de la tensión aplicada.

3-14

Dos elementos puros de un circuito serie tienen la siguiente corriente y tensión: v

= 150 sen

(500t

+

i = 13,42 sen (500t - 53,4°) amperios

10°) voltios,

Determinar dichos elementos. Evidentemente, la corriente está retrasada respecto de la tensión en un valor 53,4° + 10° = 63,4°; por tanto, el circuito es inductivo y estará formado por una resistencia R y una bobina de autoinducción L. tg 63.40 = 2 = wL/R,

v.n; = con lo que L L = 0,02 H.

3-15

= 2R/ro =

wL = 2R

150/13,42 = VR'+(2R)2,

VR2+(wL)2,

R

0,02 H. El circuito está formado por una resistencia R

=

5 n = 5 n y una

autoinducción

Un circuito serie compuesto por dos elementos puros tiene la siguiente corriente y tensión (amperios y voltios):

+

v = 200 sen (2000!

i = 4 cos (2000t

50°) voltios,

+

13,2°) amperios

Determinar dichos elementos. Como cos x = sen (x + 90°), podemos poner i = 4 sen (20001 + 103,2°). De aquí que la corriente adelante a la tensión en un ángulo de 103,2° - 50° = 53,2°. En estas condiciones, el circuito debe estar formado por' una resistencia R y un condensador de capacidad e. . tg 53,2° = 1,33 = l/roCR, l/roC = 1,33R V,;.flm y C

3-16

=

1/(1,33roR)

=

= JR2

+

1,25 x 10-5

(l/roC)2,

=

F

200/4 = JR2

+

(1,33R)2,

R = 30

n

12,5 ¡.¡.F.

En el circuito serie de la Fig, 3-16 la tensión y la corriente son v

= 353,5 cos (3000! - 10°) voltios,

i = 12,5 cos (3000t - 55°) amperios

i

y la autoinducción de la bobina es igual a 0,01 henrios. Hallar los valores de R y de C. La corriente está retrasada respecto de la tensión un ángulo de 55° - 10° = 45°. Es decir, la reactancia inductiva, oil., es mayor que la reactancia capacitiva, l/roe. (wL - 1/wC)

tg 45° = 1 = (wL - 1/wC)/R, Vm/lm

=

VR'

+ (wL

y de (wL - l/wC)

e = 3,33

- 1/wC)2, R = 20 Q

=

353,5/12,5

=

=

R

...j2Ri

R se deduce

x 10-5 F

=

33,3 ¡¡F

Fig.3·16

32 3-17

INTENSIDAD

DE CORRIENTE

Y TENSION SENOIDALES

[CAP. 3

+

En el circuito paralelo de la Fig. 3-17 la función de tensión es v = 100 sen (1000t Expresar la intensidad de la corriente total mediante una función seno. iT

iR

+

= ~

iL

+

Lf

50°) voltios.

v dt

20 sen (1000t + 50°) - 5 cos (1000t + 50°) A sen(1000t + 50°) cos 9> + A cos (1000t + 50°) sen 9> de donde 20 = A cos rjJ y - 5 A = 20/(cos cf» = 20,6. Así,

= A

sen rjJ. Por tanto, tg rjJ = - 5/20, rjJ

ir = 20,6 sen (1000t

=

-14,05°;

en consecuencia,

+ 50° - 14,05°) = 20,6 sen (l000t + 35,95°)

La corriente está retrasada respecto de la tensión aplicada un ángulo de 14,05°.

fin

20n

0.02 H

Fig.3.17

3-18

1.6 mH

Fig.3·18

La tensión aplicada al circuito representado en la Fig. 3-18 es v = 50 sen (50001 + 45°) voltios. Hallar las intensidades de corriente en todas las ramas así como la intensidad total.

= .~R + .! L =

2,5 sen (5000t

+ 45°) -

f

v dt

+ e dv

6,25 cos (5000t

dt

+ 45°) + 5

cos (5000t

+ 45°)

+ 45°) - 1,25 cos (5000t + 45°) 2,8 sen (5000t + 18,4°), empleando los métodos de este capítulo.

= 2,5 sen (5000t =

La corriente está retrasada respecto de la tensión aplicada un ángulo de 45° - 18,4° = 26,6°. Obsérvese que la intensidad total tiene un valor máximo de 2,8 A. Este valor es menor que cualquiera de los valores máximos de las intensidades que circulan por las ramas inductiva y capacitiva que son 6,26 y 5 amperios, respectivamente. La explicación se deduce fácilmente de las representaciones gráficas, a la misma escala, de las intensidades que circulan por las tres ramas.

3-19

Por la asociación en serie RLC de la Fig. 3-19 circula una corriente i = 3 cos (5000t - 60°) amperios. Hallar la caída de tensión en cada elemento y la caída de tensión total. VT

VR

+

VL

+

Ve

=

Ri

+

L ~;

+

¿f

i dt

6 cos (5000t - 60°) - 24 sen (5000t - 60°) + 30 sen (5000t - 60°) 6 cos (5000t - 60°) + 6 sen (5000t - 60°) .8.49 cos (5000t - 105°), empleando los métodos de este capítulo.

-i

La corriente está adelantada respecto de la tensión total un ángulo de lOSO - 60° = 45°. Obsérvese que la tensión máxima aplicada es de 8,49 V. La tensión en los elementos individuales del circuito es mayor que ésta para los elementos inductivo y capacitivo. Haciendo una representación gráfica a escala se vería inmediatamente.

1.6 mH

____

T....J . Fig.3·19

201lF

CAP. 3]

INTENSIDAD

DE CORRIENTE

Problemas

33

Y TENSION SENOIDALES

propuestos

3-20 Por una bobina pura de autoinducción L = 0,01 henrios circula una corriente i = 5 cos 2000t amperios. Hallar su tensión en bornes. Sol. 100 cos (20001 + 90°) V. 3-21 Por un condensador puro de capacidad C = 30 microfaradios circula una corriente i Hallar su tensión en bornes. Sol. 200 sen (20001- 90°) V.

= 12 sen 2000t amperios.

3-22 En un circuito serie RL, con R = 5 ohmios y L = 0,06 henrios, la tensión en bornes de la bobina es VL = 15 sen 2001voltios. Hallar la tensión total, la intensidad de corriente, el ángulo de fase de i respecto de Vr y el módulo de la impedancia. Sol. i = 1,25 sen (2001 - 90°) A; VT = 16,25 sen (2001- 22,65°) V; 67,35°; V"jIm = 13 n. 3-23 En el mismo circuito serie del Problema 3-22 la tensión en la resistencia: es VR = 15 sen 200t. Hallar la tensión total, la intensidad de corriente, el ángulo de fase de i respecto de Vr y el módulo de la impedancia. Sol. i = 3 sen 2001 A; Vr = 39 sen (200r + 67,35°) V; 67,35°; Vm//m = 13 Q. 3-24 En un circuito serie de dos elementos simples la tensión y la corriente son (voltios y amperios): Vr

= 255 sen (300r + 45°);

Determinar dichos elementos.

Sol.

R

=

i = 8,5 sen (300r

n; L

26

+ 15°)

0,05 H.

=

3-25 En un circuito serie de dos elementos simples la tensión y la corriente son (voltios y amperios): Vr =

150 cos (2001 - 30°);

Determinar dichos elementos.

Sol.

R

=

i

30 Q; L

=

=

4,48 cos (200r - 56,6°)

0,075 H.

3-26 Dos elementos simples R = 12 ohmios y C = 31,3 microfaradios se unen en serie y se les aplica una tensión v = 100 cos (2oo0t - 20°) voltios. Los dos mismos elementos se unen ahora en paralelo con la misma tensión aplicada. Hallar la intensidad fotal que circula en cada conexión. Sol. Serie: i = 5 cos (20001 + 33,2°) A; paralelo: i = 10,4 cos (2000t + 16,8°) A. 3-27 Una resistencia R = 27,5 ohmios y un condensador C = 66,7 microfaradios se unen en serie. La tensión en el condensador es Ve = 50 cos 15001voltios. Hallar la tensión total Vr, el ángulo de fase de la corriente sobre la tensión y el módulo de la impedancia. Sol. VT = 146,3 cos (1500t + 70°) V; 20°; Vmf/m = 29,3 n. 3-28 Una resistencia R = 5 ohmios y un cierto condensador se unen en serie. La tensión en la resistencia es VR = 25 sen (20001 + 30°) voltios. Si la corriente está adelantada 60° respecto de la tensión, ¿cuál es el valor de la capacidad C del condensador? Sol. 57,7 pF. 3-29 Un circuito serie LC, con L = 0,05 henrios y una capacidad desconocida, tiene la tensión e intensidad de corriente (voltios y amperios): vr

=

i = 2 sen (50001 + 90°)

100 sen 50001,

Hallar el valor de la capacidad C.

Sol.

0,667 pF.

3-30 La corriente que circula por un circuito serie RLC está retrasada 30° respecto de la tensión aplicada. El valor máximo de la tensión en la bobina es el doble de la correspondiente al condensador, y VL = 10 sen 10001voltios. Hallar los valores de L y dé C sabiendo que R = 20 ohmios. Sol. L = 23,1 mH; C = 86,5 pF. 3-31 Un circuito serie RLC, con R = 5 ohmios, L = 0,02 henrios y C = 80 microfaradios, tiene aplicada una tensión senoidal de frecuencia variable. Determinar los valores de úJ para los cuales la corriente (a) adelanta 45° a la tensión, (h) está en fase con ella, (e) retrasa 45°. Sol. (a) 675; (h) 790; (e) 925 rad/s. 3-32 Un circuito paralelo consta de dos ramas; en una de ellas tiene un elemento resistivo puro de R = 50 ohmios yen la otra hay un elemento desconocido; se sabe que la corriente y tensión aplicadas son (voltios y amperios): V

= 100 cos (15001 + 45°);

Determinar el elemento desconocido.

Sol.

R

=

iT = 12 sen (15001 + 135°)

10

Q.

3-33 Hallar la intensidad de corriente total que circula por el circuito paralelo formado por L C = 0,667 microfaradios al que se le aplica una tensión v = 100 sen 50001 voltios. Sol. ir = 0,067 sen (5000t - 90°) A.

=

0,05 henrios y

34

INTENSIDAD

DE CORRIENTE

y TENSION

SENOIDALES

[CAP. 3

3-34 Una resistencia R = 10 ohmios y una autoinducción L = 0,005 henrios están en paralelo. La corriente que circula por la rama inductiva es iL = 5 sen (20001 - 45°) amperios. Hallar la intensidad de corriente total y el ángulo de fase entre iT y la tensión aplicada. Sol. iT = 7,07 sen (2000r + 00) A; 45° (iT retrasada respecto de v). 3-35 Un circuito paralelo tiene en una de sus ramas una resistencia R = 5 ohmios y en la otra un elemento desconocido; la tensión aplicada y la corriente total son (voltios y amperios): v = 10 cos (SOr

Determinar dicho elemento desconocido.

+ 60°); Sol.

i = 5,38 cos (501 - 8,230) L = 0,04 H.

3-36 Dos elementos simples, R = 10 ohmios y e = 100 microfaradios, se unen en paralelo y se aplica al conjunto una tensión v = 150 cos (50001 - 30°) voltios. Hallar la intensidad de corriente total que circula por ellos. Sol. l r = 76,5 cos (50001 + 48,T) A. 3-37 Un condensador puro de capacidad e = 35 microfaradios se une en paralelo con otro elemento simple. Sabiendo que la tensión aplicada y la intensidad de corriente total son v = 150 sen 3000r voltios e iT = 16,5 sen (30001 + 72,4°) amperios, respectivamente. determinar dicho elemento desconocido. Sol. R = 30 Q. 3-38 Un circuito paralelo Le tiene aplicada una tensión v = 50 cos (3000r + 450) voltios y la intensidad de corriente total que éircula por el conjunto es iT = 2 cos (3000! - 45°) amperios. También se sabe que la corriente en la rama inductiva es cinco veces mayor que por la' otra. Hallar los valores de L y de C. Sol. L = 6.67 mH; e = 3,33 f.lF. 3-39 La tensión aplicada a tres ramas en paralelo, cada una de las cuales contiene un elemento simple, es v = 200 sen 10001 voltios. Los valores de las ramas son R = 300 ohmios, L = 0,5 henrios y e = 10 microfaradios, respectivamente. Hallar la corriente total, el.ángulo de fase entre iT y la tensión aplicada y el módulo de la impedancia. Sol. iT = 1,74 sen (1000/ + 67,4°) A; 67,4° (iT adelantada respecto de v); V"j/m = 115 Q. 3-40 Hallar el -valor de la autoinducción L en el circuito paralelo representado en la Fig. 3-20 sabiendo que la tensión aplicada y la intensidad de la corriente total son v = 100 sen 500! voltios e iT = 2,5 sen 500! amperios, respectivamente. Sol. L = 0,08 H.

v

v

Fig.3-20

50

Fig.3-21

3-41

En el circuito paralelo representado en la Fig. 3-21 la tensión aplicada es v = 50 sen (20001 - 90°) voltios. Hallar la intensidad de la corriente total. Sol. iT = 11,2 sen (2000! - 116,6°) A.

3-42

En el circuito paralelo representado en la Fig. 3-22 la tensión aplicada es v = 100 sen 5000! voltios. Hallar las intensidades de corriente t.. iz, t-. Sol. il = 7,07 sen (5000r - 45n) A; ;2 = 7,07 sen (5000! + 45°) A; iT = 10 sen 5000! A.

v

v

Fig.3-22

Fig.3-23

3-43 En el circuito paralelo representado en la Fig. 3-23 la tensión aplicada es v = 100 cos (50001 + 45°) voltios. (a) Hallar la intensidad de la corriente total. (b) ¿Qué dos elementos asociados en serie habría que colocar para que circulara la misma corriente y fuera. por tanto, equivalente al circuito paralelo para la misma frecuencia? Sol. (a) iT = 18,5 cos (50001 + 68,4°) A: (b) circuito serie de R = 4.96 Q y e = 93 tlF.

Capítulo 4 Números complejos NUMEROS REALES El cuerpo de los números reales se compone de los correspondientes a los números racionales e irracionales. El conjunto de los números reales se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los puntos de una recta que se llama eje real; es decir, cada punto de la recta representa un único número real y cualquier. número real se representa por un único punto de la recta, como muestra la Fig. 4-1. La suma, resta, multiplicación y división de dos números reales es otro número real. La raíz cuadrada de un número real positivo es también otro número real; pero si es negativo, su raíz cuadrada no es un número real o bien no corresponde a ningún punto de la citada recta. -14/3

-rr -3

-2

-1

o

Fig. 4-1.

Eje real

NUMEROS IMAGINARIOS La raíz cuadrada de un número real negativo es un número imaginario; por ejemplo, son números imaginarios etc. Si hacemos) = que se llama uni~ad imaginaria, se puede ~scribi.r,~ .=j.j2, = ~ = j)S, - 16 = ./4, etc. Las sucesivas potencias de la unidad nnagmana son

J=1, ~, ~, J -1: f2 =

J=16,

J=4 n.

-1,

El conjunto de los números imaginarios se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los puntos de otra recta, que se llama eje imaginario, como muestra la Figura 4-2. -j5

-j4

-j3

-j2

-jI

o

jl

j2

j3

j4

j5

Fig. 4-2. Eje imaginario

La elección de la palabra imaginario es muy desafortunada, pues estos números tienen tanta existencia física como los reales. El vocablo significa, exclusivamente, que los números imaginarios no se pueden representar por un punto en el eje de los números reales.

NUMEROS COMPLEJOS

J=1.

Un número complejo z es de la forma x + jy, en donde x e y son números reales yj = En un número complejo x + iv la primera componente, x, se llama parte real y la segunda,jy, parte imaginaria. Si la parte real es nula, x = O, el número complejo se reduce a un número imaginario (puro) y se representa por un punto sobre el eje imaginario. Análogamente, si la que es nula es la parte imaginaria, y = O, el número complejo se reduce a un número real y se representa por un punto del eje real. Por consiguiente. el conjunto de los números reales tiene como subconjuntos al de los números reales y al de los imagmarios. La condición necesaria y suficiente para que dos números complejos, a + jb y e + jd, sean iguales es que a = e y b = d. 35

36

NUMEROS COMPLEJOS

[CAP. 4

Si se traza el eje real perpendicular al eje imaginario, como se representa en la Fig, 4-3, siendo O el punto de intersección llamado origen, el conjunto de los números complejos se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de puntos del plano complejo así formado. En dicha Fig. 4-3, se han situado los seis números complejos (Zb ... , Z6) que aparecen a su izquierda. j j5

z.

z2 z3

j3 -- - - ..

6 2 - j3

ZI

=

Z4 z5 Z6

j4

Z. '_-

.----

z.

I I

j2 jI

j4

-3 + j2 -4 - j4 3 + j3

-5 -4 -3 -2 -1

o

1 -jI -j2

..

z. 2

3

4

6

I

•

:

-j3 "'Zt

-------_.

Z,

-j4 -j5

Fig.4-3

DISTINTAS FORMAS DE EXPRESAR UN NUMERO COMPLEJO En la Fig. 4-4, x = r cos mero complejo z es Z =

x

+ jy

=

e, y

= r sen

e, con

r(cos

e +j

e)

sen

lo que el núz

J

en donde la expresión r = X2 + y2 se llama módulo de z, y el ángulo = are tg yjx recibe el nombre de argumento de z. La fórmula de Euler, ej6 = (cos e + j sen e), permite expresar en otra forma, que se llama exponencial, un número complejo (véase Problema 4-1).

e

z

= r cos

e + jr

sen

Representación polar de un número complejo z

Fig.4-4

e = re

j6

En teoría de circuitos es muy frecuente emplear la forma polar o de Steinmetz de un número complejo z y se suele escribir así:

rle

e

en donde se mide en grados o en radianes. A continuación se resumen las cuatro formas de representar un número complejo; el empleo de una u otra depende, fundamentalmente, de la operación que se trate de efectuar. Forma Forma Forma Forma

binómica polar o de Steinmetz exponencial trigonométrica

Z

= x + jy

z = rle z = r~6 z

=

r(cos

e +j

sen

e)

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO El conjugado del número complejo z = x + jy es el complejo z* = x - jy. Por ejemplo, son números complejos conjugados los pares: (1) 3 - j2 Y 3 + j2, (2) - 5 + j4 y - 5 - j4.

CAP. 4]

NUMEROS

j

En forma polar, el conjunto de z = r /0 es z* = r/-O.Comocos (-O) = cos Oysen (-O) = - sen O, el conjugado de z = r(cos O + j sen O) es z* = r(cos O - j sen O). Por ejemplo, el conjugado de z = 7/30° es z· = 7/-30°. En el plano complejo, el conjugado z* de un número complejo z es siempre el simétrico de z respecto del eje real, como se muestra en la Figura 4-5. Por consiguiente, las cuatro formas de escribir un número complejo z y su conjugado correspondiente son: z = z*

=

X

+ jy

Z

jy

X -

z*

= r/j_ = rj-8

z z*

37

COMPLEJOS

z..

2

S 4

5

I

z..

•

z;

3 + j4, = 3 - j4 5/143.1°,_ z; = 5/-143,1° Flg; 4-5. Números complejos y sus conjugados Z¡

Zz

= r ei" = r e:»

=

=

z = r( cos 8

+j

sen 8)

z* = r(cos 8 - j sen 8)

SUMA Y RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS Para sumar (restar) dos números complejos se suman (restan) sus partes reales y sus partes imaginarias independientemente. En la práctica, para sumar (restar) complejos lo más cómodo es escribirlos en forma binómica. Ejemplo 1. Sean los complejos

ZI

if,

=' ~ZI

+

Z2

y

Z2

=

-3 - j,8.

(5-3)

+

Entonces,

j(-2-8)

=

(-3 - 5) + j(-~ +,2)

MULTIPLICACION

DE NUMEROS

2 -

=

j10

-8 - j6

COMPLEJOS

El producto de dos números complejos, escritos en forma exponencial, se deduce inmediatamente de las propiedades de la potenciación. ZIZZ

Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que Z¡Z2

Por último, si los complejos vienen dados en forma binómica se multiplican como si fueran polinomios. Z¡Z2 =

Ejemplo 2. Si

Zl

Ejemplo 3.

Si

Zl

Ejemplo 4.

Si

zl

DMSION

+ jY1)(X2 + jY2) = X1X2 + jx1Y2 + jy¡x2 + j2YIY2 = (X1X2 - YIY2) + j(x¡Y2 + y¡X2)

(Xl

= 5e;7T/3 = 2/30° = 2 + j3

y y y

= 2e-;7T/6,' resulta ZlZ2 = (5e;7T/3)(2e-l1T/6) = 10ei7T/6• Z2 = 5/-45°, resulta ZlZ2 = (2/30° )(5/-45° ) = 10/-15°. z2 = -1 - j3, resulta zlz2 = (2 + j3)(-1j3) = 7 - j9.

Z2

DE NUMEROS COMPLEJOS

El cociente de dos números complejos, escritos en forma exponencial, se deduce inmediatamente de las propiedades de la potenciación. Z¡ Z2

38·

NUMEROS

COMPLEJOS

[CAP. 4

Si los complejos se escriben en forma polar es evidente que Z¡. Zz

Por último, si los complejos vienen dados en forma binómica se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. . Z¡

+ Y¡Yz) + j(Y¡X2

(X¡XZ

x~ +

Z2

Ejemplo 5.

Sean

Z¡

=

Ejemplo 6.

Sean

Z¡

= 8/-30°

y

4ejTT/3

=

Z2

Y

Z2

2ei1T/6;

entonces

= 2/-60°

y;

Z¡ Zz

8/-30° 2/-60°

; entonces ~ Zz

Ejemplo 7.

Sean

Z¡

= 4 - j5

Y

Zz

- Yzx¡)

= 1 + j2;entonces

4/30° .

4-+ j2i5 (1- i2i2)

Z¡ Zz

1

-6 - i13 5

1-

RAlZ DE UN NUMERO COMPLEJO n

Cualquier número complejo dado en la forma z = r ei8 equivale a escribir z = r ei(8 + 2"n), con r/.!}_es equivalente a z = rj(O + n3600). Por consiguiente,

= 0, ±1, ±2, ... Análogamente, z = z = r z

=

r/i

ej8

=

= r ei(8+21Tn)

Vi = \Ir

y

r((O + n3600)

eiC8+Z1Tn)/k

y

Dando a k los valores 0, 1, 2, 3, ... , (k - 1), se deducen las k raíces distintas que posee un número complejo. . Ejemplo 8. Si z = 8L2!r, se deduce que 1~ = 18/(60° + n360°)/3 = 2/(20° ~ nUOO). Como n se le pueden dar los valores O, 1 y 2 se obtienen las tres raíces 2/N_, 2/140° Y 2/260°. Ejemplo 9. Hallar las raíces quintas de la unidad (real).

11 11

Como 1 = 1~2xn, se tiene = ~2xn15 = 1~2nnI5. Como n se le pueden dar los valores O, 1,2,3 las cinco raíces quintas son 1L![', 1, ¡fE, 1/144°, 1/216° Y 1/288°.

LOGARITMO

y 4,

DE UN NUMERO COMPLEJO

El logaritmo neperiano o natural de un número complejo se halla muy fácilmente si éste se escribe en forma exponencial. .

In

In z

r e;C8t2rrn)

=

-ln

r

+ In eiC0+2rrn)

In r

+

j(O + 27!"n)

El resultado que se obtiene, pues, no es único. Se llama valor principal del logaritmo al que corresponde a n = 0, y es el que se considera con más frecuencia. Ejemplo 10. Si z =

3~nI6,

se deduce In z = In z

~nló

= In 3 + )n/6 = 1,099 + )0,523.

EMPLEO DE LA REGLA DE CALCULO EN EL ALGEBRA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS Introducción En la notación fasorial que veremos en el Capítulo '5, la tensión, la intensidad de corriente y la impedancia son números complejos. Las formas de expresión más frecuente de estas magnitudes son la binómica y la polar. Es necesario, pues, pasar rápidamente de una a otra forma, ya que lo más cómodo para multiplicar y dividir complejos es escribirlos en forma polar y, en cambio, para sumarlos o restarlos lo mejor es hacerlo en forma binómica.

CAP. 4]

39

NUMEROS COMPLEJOS

Para estas conversiones, es muy aconsejable manejar con soltura la regla de cálculo decimal-trigonométrica. Existen diversas reglas de cálculo y recomendamos aprender bien su utilización leyendo el libro de instrucciones que la acompañan. . Como el propósito de esta parte es llegar a una rápida y eficaz conversión en cualquier sentido, las explicaciones trigonométricas se reducen al mínimo.

PASO DE FORMA POLAR A BINOMICA Ejemplo 11. Expresar

50/53,1° en forma

binómica,

x

j

+ jy.

l. Se hace un «mono» o dibujo expresando el hecho de que el ángulo es mayor de 45°. x = 50 cos 53,1° = 50 x 0,600 = 30, y = 50 sen 53,1° = 50 x 0,800 = 40. ./ 3. Las partes real e imaginaria son ambas positivas. 4. 50/53,1° = 30 + j40. 2.

Ejemplo 12.

100/-120° en forma binómica,

Expresar

x

+ jy.

1. Se dibuja el «mono» correspondiente. El ángulo de referencia 2. x = 100 cos 60° = 100 x 0,500 = 50, y

=

100 sen 60°

=

es 60°:

100 x 0,866 = 86,6.

3.

Las partes

real e imaginaria

4.

100/-120°

= -50

son ambas

negativas.

- j86,6.

PASO DE FORMA BINOMICA A POLAR Ejemplo 13. Expresar

4

+ j3

j

en forma

polar, rLf¿ j3

1.

2.

Se hace un «mono» o dibujo exagerando el hecho de que la parte real es mayor que la parte imaginaria, es decir, el ángulo es menor de 45°. (J

=

are tg ~

=

are tg 0,75

=

36,9° «45°)

sen 36,9°

=

0,600, de donde r

=

4

0,:00

=

5 o bien cos 36,9°

4 0,800, de donde r = 0,800 = 5. 3.

4

+ j3

= 5/36,9°.

Ejemplo 14. Expresar

- 10

+ j20

en forma polar,

l.

Se dibuja el «mono» correspondiente. (complementario de (J).

2.

(J¡

=

are tg

sen 63,4°

donde 3.

-10

=

20

10 =

are tg 2

= 22,4/116,6°.

El ángulo de referencia (JI es menor de 45°

63,4°. Por tanto,

0,895, de donde r

10 r = -= 22,4. 0,449

+ j20

=

=

rlQ.

= 180°

j

- 63,4° = 116,6°.

20 0,895 = 22,4 o bien cos 63,4°

=

0,449, de

-10

=

40

NUMEROS

COMPLEJOS

[CAP. 4

OPERACIONES CON ANGULOS MENORES DE SEIS GRADOS Cuando el valor numérico del ángulo 8 de la forma polar de un número complejo es muy pequeño, el módulo r y la parte real x de la forma binómica son aproximadamente iguales. Para 18/ ~ 5,73°, los valores de r y de x se consideran iguales. La parte imaginaria jy = JI' sen 8 se determina empleando la escala de senos tangentes (ST) de la reglilla en la que se hace la sustitución de los infinitésimos equivalentes: seno, arco y tangente. La misma hipótesis se hace cuando el ángulo 8 es próximo a 180°, cuyo ángulp de referencia para los cálculos es menor que 5,73°. Si el valor numérico de 8 es próximo a 90°, el módulo r y el valor de y de la parte imaginaria correspondiente al complejo escrito en forma binó mica son aproximadamente iguales. Para 84,27° ~ 8 ~ 95,73°, los valores de r e y se suponen iguales. La parte real x = r cos 8 se determina 'empleando la escala de senos tangentes de la reglilla, teniendo en cuenta que cos 8 = sen (90° - 8). Esta misma consideración se hace para valores de 8 próximos a 270°, en los que el ángulo de referencia es igualo mayor que

84,27°.

Ejemplo 15.

+ jy.

Expresar 10/3Y en forma binómica, x

l. Se hace un «mono» o dibujo exagerando el valor del ángulo. 2. Como el ángulo es menor de 5,73°, la parte real x = 10. 3. sen 3,so = 0,061, de donde y = 10 x 0,061 = 0,61. 4. Las partes real e imaginaria son ambas positivas. 5. 10/3,5° = 10 + jO,61. (Para ángulos muy pequeños, la relación entre las partes real e imaginaria es de 10 a l.)

+ jy.

Ejemplo 16. Expresar 450/94° en forma binómica, x l. 2. 3. 4.

j.

Se hace el «mono» correspondiente. El ángulo de referencia es 86°. Como el ángulo de referencia es mayor que 84,27°, la parte imaginaria y = 450.. cos 86° = sen 4° = 0,070, de donde x = 450 x 0,070 = 31,5. La parte real es negativa y la imaginaria es positiva.

5. 450~

+ j450.

= -31,5

Ejemplo 17.

Expresar 50

+ j500 en forma polar, rl.!!..

1. Se hace el «mono» correspondiente. La relación de partes imaginaria a real es mayor que lOa 1, lo cual indica que el ángulo es mayor de 84,27"; por tanto, r = 500. 20 are tg 500

2.

(JI

=

3.

50

+ j500

=

=

are tg 0,04

=

2,3°. Por tanto,

(J

=

90° - 2y

=

87,7°.

500/87.70.

Ejemplo 18. Expresar -4 - j85 en forma polar,

rL!l.:

1.

Se hace el «mono» correspondiente. La relación de partes imaginaria a real es mayor que 10 a 1, lo cual indica que el ángulo es mayor de 84.270; por tanto;,. = 85.

2.

(JI

= 90° - are tg 8~

87Y 3.

=

90° - are tg 0,047

± 180° = 267Y o bien -92,7°.

-4 - j85

=

85/267Y

=

85/-92,7°.

=

y

x

90° - 2,70

=

87Y. Por tanto,

(J

=.

y

94

x

CAP. 4]

NUMEROS

41

COMPLEJOS

Problemas 4-1

Demostrar la fórmula de Euler. Supongamos que una función se puede representar por una serie de potencias de x de tipo Maclaurin:

¡(x)

+

f(O)

+ -X2

:r /'(0)

2!·

+ -x3

{"(O)

3!

_X __

(n-l)!

siendo continuas, en x = O, la función y todas sus derivadas. Los desarrollos de Maclaurin de cos e, sen e y dO en potencias de

=

sen O

cos 8

1

+

jll -

8~

TI -

11.1

.8:1

J

8 -

-1)

(n

+ ... +

/,"(0)

f(

n

-1)

+ ...

(O)

e son:

8:1 -

8" 87 + -5! - -7! +

3!

.11"

j-11' 7!

3! + 4! + 1ST

+ ...

Agrupando términos en la serie correspondiente a dO tendremos,

4-2

II~ 04 11 1--+ ---+ 2! 4! 6!

(

j

(

8

... )

11'1 IJ~ 117 --+---+ 3! 5! 7!

COS

11

+

j sen O

(b) 3

+ 18

+ j3

(e) -5

(d) -4 - j4

(e) 5 + jO

(f) .i6

(g)

-4

(h) -j5

Expresar cada uno de los números complejos que se dan a continuación en forma polar: 15c.irr/4

(a) Sol.

4-4

)

Dibujar el plano complejo y situar los siguientes números complejos. Expresar cada uno de ellos en forma polar y repetir el dibujo. Comparar las dos representaciones gráficas para cerciorarse de que las conversiones fueron bien hechas. (o) 2 - j2

4-3

... +

6

eiO

(a)

(b) 5c-nrr/!l

15/450,

(b) 5/-120?,

(e)

-4ei5r./6

(e)

4/-30°,

(d)

-2e-i"/2

(d) 2/90°,

10e-i7rr/6

(e)

10/-210°

(e)

(f) -18e-j3,,-/2

Ó

10/150°, (f) 18/-90°

z

= =

Efectuar la operación que se indica: (a) z

= = =

3 - j4. Hallar zz".

(d) z

=

2.5e-irr/!l. Hallar zz":

(g)

10/-4000• Hallar zz". (e) z = 2 + j8. Hallar z - z"'. (h) z (e) z 20/53,1~ . Hallar z + z". (f) Z = 10 - j4. Hallar z + z", Sol. (a) 25, (b) 100, (e) 24, (d) 6,25, (e) ;16, (f) 20, (g) j80,2, (h) 1~. (b)

z

95/25°. Hallar z- z*. rts: Hallar z/z*.

4-5 Hallar las raíces que se indican de los números complejos siguientes: (a) y5

(b)

3c.il1rr/6, (e) 1~, 1/900

(a) 20;45°.

(d) ~27ej3"/2

(e)

,

1/180° , 1/270°, (f) 2LQ, 2/180° , es decir,

VI

(f)"'¡¡

,2/230°,

(d) 3ei1T/2,

± 2.

(a)

3

(b)

6/- 60° .

+ jnI4,---rJj) 1,79 - jifJ3:(e)

(e) 0,5/120°. -0,693 + j2n/3,

(d) (d)

0,3/180°, -1,2 + jtt,

(e) (e)

(0,3/180°)(20/45°) 6/225° -

Mediante la regla de cálculo, pasar de forma polar a binómica cada uno de los números complejos que se indican. (a) (b) (e)

(d) 4-8

(e) Y'6,93- j4

Haliar el logaritmo neperiano de los números complejos (a)-(d). En el apartado (e) calcular el producto mediante logaritmos. Sol.

4-7

>/150/-60°

(a) 3,07/29° , 3,07/209"', (b) 12,25/-30° , 12,25/150°, (e) 2/-10°,2/110°

Sol.

3ei71T/6,

4-6

+ j8

12,3/30° 53/160° 25/-45° 86/-115°

Sol.

10,63 + j6,l5 -49,8 + j18,1 17,7 - j17,7 -36,3 - j78

0,05/-20° (j) 0,003/80° (g) 0,013/260° (h) 0,156/-190° (e)

Sol.

0,047 - jO,Ol71 0,00052 + jO,00295 -0,00226 - jO,0128 -0,1535 + jO,0271

Mediante la regla de cálculo, pasar de forma binó mica a polar cada uno de los números complejo.s que se indican. -12 + jl6 2 - j4 (e) -59 - j25 (d) 700 + j200 (a)

(b)

Sol.

20/126,8° 4,47/-63,4° 64/203° 727/16"

(e) 0,048 - jO,153 (j) 0,0171 + jO,047 (g) -69,4 - j40 (h) -2 + j2 .

Sol.

0,160/-72,55° 0,05/70° 80/210° 28,3/135°

NUMEROS

42

4-9

(b) (e) (d)

10/3° 25/88° 50/-93° 45/179°

Sol.

10 + )0,523 0,871 + )25 -2,62 - )50 -45 + )0,785

(e) (f) (g) (h)

Sol.

0,02/94° 0,70/266° 0,80/-5° 200/181°

-0,00139 + )0,02 -0,0488 - )0,70 0,8 - )0,0696 -200 - )3,49

Mediante la regla de cálculo, pasar de forma binómica a forma polar cada uno de los números complejos que se indican: (a)

(b) (e) (d)

4-11

[CAP. 4

Mediante la regla de cálculo, pasar de forma polar a binómica cada uno de los números complejos que se indican: (a)

4-10

COMPLEJOS

540 + )40 -10 - )250 8 - )0,5 25 + )717

Sol.

540/4,25° . 250/ - 92,29° 8/3,58° 717/88°

(e) 0,8 - )0,0696 (f) 10 + )0,523 (g) -200 - )3,49 (h)

Sol.

0,8/-5°

lO/Y;200/181° 0,02/ - 2,87°

0,02 - )0,001

Como ejercicio con la regla de cálculo, pasar de una a otra forma los números complejos que se indican. Pasar las respuestas a la forma original: (a) (b) (e)

(d)

40/10° 18-=]9 0,03 + jO,80 0,06/-1000

(e) (f) (g)

(h)

5,0 + )0,3 0,50/174° 180 + )55 25/880

(i)

- 0,05 - )0,80

(j) 150/-5° (k) (1)

80/-98° -15 - )30 (o) 5/233,1° (P) -26 + )15

(rn) (n)

0,002/ - 178° -1080+)250

0,85/1° 3 + )4 20/-143,1° -5 - )8,66

(q)

(r) (s) (t)

4-12 Hallar la suma o diferencia de los números complejos que se indican: (a) (10/53,1°) + (4 +

Sol. 10 + j10 8 + j8 -2 - j2

j2)

(10(90° ) + (8 - j2) (e) (-4 - j6) + (2 + j4) (d) (2,83/45°) - (2 - j8) (b)

4-13

j10

Sol.

6 + j8

(e) (5 - j10)/(3 + j4) (d) (8 + j12)/(j2)

Sol. j5 -1 - j3 -1 - j2 6 - j4

Sol. -10 6

8 x2 + y2

(e) (3 + j3)/(2 + j2) (f) (-5 - j10)/(2 + j4)

Sol.

(g) 10/(6 + j8) (h) j5/(2 - j2)

1,5 -2,5 0,6 - )0,8 - 1,25 + JI ,25

Hallar cada unos de los productos que se indican: (2,5 + )10)(-0,85 + )4,3) (3,8 -)1,5)(6 -)2,3) (72 - )72)(1,3 + )4,8) (d) (3~)(2/-45°)

(a) (b) (e)

Sol.

45/177,1° 26,2/-42,6° 506/29,8° 6/-25°

(e) (f) (g)

(h)

(2 + )6)(18~) ~ (25/-45°)(0,2/-15°) (12 - )16)(0,23 + )0,75) (jl,63)(2,6 + )1)

Sol.

113,5/92,5° 5/20° 15,66/19,7° 4,53~

Expresar cada una de las relaciones por un único complejo: (a) (b) (e)

(d)

4-17

(e) (j2)(j5) (/) (-j1)(j6) (g) (2 + j2)(2 - j2) (h) (x + jy)(x - jy)

Hallar el cociente de los números complejos que se indican multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador. Pasar los números a forma polar y calcular de nuevo su cociente comprobando el resultado: (a) (5 + j5)/(1 - JI) (b) (4 - j8)/(2 + j2)

4-16

-5 - j14 6 - j6 -j2

(d) (j2)(4 - j3)

4-15

Sol. O 1 6 + j10 -4 + j2

(7,07/135°) (1 - j10) 6 - (13,45(-42° ) - (1 - j6)

Hallar el producto de los números complejos que se indican. Como ejercicio· complementario, se pueden convertir todos los complejos a forma polar y calcular de nuevo su producto, comprobando el resultado: (a) (3- j2)(1 - j4) (b) (2 + jO)(3- j3) (e) (-1 - j1)(1 + JI)

4-14

(-5 + j5) (2 - j10) (g) (10 + JI) + (h) -(5(53.1°) (e) (f)

(23,5 + )8,55)/(4,53 - )2,11) Sol. (21,2 - j21,2)/(3,54 - )3,54) (-7,07 +P,07)/(4,92 + )0,868) ( -)45)/(6,36 - )6,36)

5fjY

61!L 2/125° 5/-45°

(e) (6,88/12°)/(2 + )1) (j) (5 + .i5)/5~ (g) 1/(6 + )8) (h) (-10 + j20)/(2 - jI)

En cada uno de los casos siguientes hallar el valor de la expresión (a) (b)

Z¡ Z¡

= 10 + )5, Z2 = 20/30° = 5/45°, Z2 = 10/-70°

Sol.

7,18/27,8° 5,5/15,2°

(e) (d)

Z¡

= 6 - j2,

Z¡ =

Z2

ZlZ2/(Zl

= 1 +)8

20, Z2 = )40

Sol.

+

3,081-14,60 1,414/-35° 0,1/-53,1° 10/143.2°

Z2):

Sol.

5,52/23,81° 17,9/26,6°

Capítulo 5 Impedancia

compleja y notación fasorial

~ODUCCION El análisis de circuitos en régimen permanente senoidal tiene una gran importancia no solo porque las tensiones que suministran los generadores son, muy aproximadamente, funciones senoidales del tiempo, sino porque cualquier forma de onda periódica se puede sustituir por un término constante y una serie de términosde senos y cosenos. Se trata del método de Fourier de análisis de formas de ondas y será objeto de estudio en otro capítulo. En el Capítulo 3 se estudiaron muchos circuitos sencillos en los que las tensiones y corrientes eran funciones senoidales del tiempo. Sin embargo, hemos visto cómo a pesar de tratarse de circuitos relatiramente simples su análisis es muy pesado. Mediante el empleo de la notaciónfasoria! en la representación de tensiones e intensidades de corriente y el concepto de impedancia compleja de los elementos del circuito, el estudio en régimen permanente senoidal se facilita en grado sumo.

L'IPEDANCIA

COMPLEJA

Consideremos al circuito serie RL de la Fig. 5-1 al que se le aplica una tensión v(t) = Vm~w,. Según la fórmula de Euler, esta función se descompone en un término en seno y otro en coseno, •.• cos cot + jVm sen on, Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla o lazo tendremos, Ri(t)

i

Vm eiw'

v, eiwt

+ L d~~)

L

Esra ecuación diferencial lineal es de primer orden y su solución pmicular es de la forma jet) = K~w,. Sustituyendo esta función corriente resulta,

*

RKeiwt + jwLKeiwt K

«donde

=

R

Vm

. L + Jw

i(t)

e

t

. Fig.5-1

Vmeiwt

=

VI>: eiwt. La relación entre las funciones de tensión e R+JwL

10-

ImSidad de corriente pone de manifiesto que la impedancia es un número complejo cuya parte real es d valor de R y cuya parte imaginaria es wL:

~ón

Vmeiwt

v(t) i(t)

z

Vm

R + jwL e

R + jwL

;wt

Consideremos ahora un circuito serie Re con la misma aplicada Vm~(J)', como indica la Fig. 5-2. En este caso, Ri(t)

Ibciendo

i(t)

+~

f

Vm eiw'

Vmeiwt

i(t) dt

= K~w, y sustituyendo en RKeiwt + _)_ Keiwt JwG

=

(1)

(1) resulta,

Vme;wt

Fig.5·2

44.

IMPEDANCIA

de donde

K

R

+ l/jwC

z

COMPLEJA

i(t)

y

R - j(l/wC) Vmeiwt Vm

y NOTACION

[CAP. 5

FASORIAL

R _ ~~/wC) eiwt• Por tanto,

R - j(l/wC) iwt

R - j(l/CJJC) e Una vez más observamos cómo la impedancia es un número complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es; en este caso, - l/roe. Todo esto indica que los elementos de un circuito se pueden expresar mediante su impedancia compleja Z, la cual se puede situar directamente sobre el diagrama 'del R circuito, como indica la Figura 5-3. z Ahora bien, como la impedancia es un número complejo se podrá representar por un punto en el plano complejo. Además, como la resistencia óhmica no puede ser negativa, solo se precisan el primero 'Y el cuarto cuadrante. La representación gráfica correspondiente se llama diaFig.5-3 grama de impedancias. (Véase Figura 5-4.) j

z

Fig. 5-4. Diagramas de impedancia

La resistencia R corresponde a un punto sobre el eje real positivo. Una inductancia o reactancia inductiva XL se representará por un punto del eje imaginario positivo, mientras que una capacitancia o reactancia capacitiva Xc estará representada por un punto sobre 'el eje imaginario negativo. En general, una impedancia compleja Z se encontrará sobre el primero o el cuarto cuadrante, según los elementos. que integren el circuito. El argumento de la forma polar de Z está comprendido, según lo dicho, entre ± 90° o bien ± r/2 radianes. Ejemplo 1. A un circuito serie RL con R = 5 ohmios y L = 2 milihenrios se le aplica una tensión v = 150 sen 5000, voltios. (Véase Fig. 5-5.) Hallar su impedancia compleja Z. La reactancia inductiva es XL = wL = 5000(2 x 10-3) = 10 n; por tanto, Z = 5 + jl0. En forma polar, Z = 11,16/63,4°. Z 5

= 5 + j10 11,16/63,4°

z j10

Fig.5-5

Ejemplo 2. A un circuito serie RC con R = 20 ohmios, C = 5 microfaradios, se le aplica una tensión v voltios. (Véase Fig. 5-6.) Hallar su impedancia compleja Z. 1

1

La reactancia capacitiva es Xc = - = wC 10.000(5 x 10 polar, Z = 28,3/-45°.

6

)

=

20

n;

= 150

cos 10.000!

por tanto, Z = 20 - j20. En forma .

.

IMPEDANCIA

COMPLEJA y NOTACION

45

FASORJAL

20

Z

- j20

.-- - - - _- - -

Z

= =

20 - j20 28.3/-45°

Fig.5-6

En todos los circuitos, excepto en aquellos que solo contienen elementos resistivos puros, la imfldancia es una función de la pulsación ca, ya que tanto XL como Xc son funciones de w. Por ello, cual~ impedancia compleja solo es válida para aquella frecuencia a la que fue calculada.

ACION FASORIAL Consideremos la "función f(t) = r e'?', Representa un número complejo que depende del tiempo t. embargo, su módulo es constante e igual a r. Haciendo una representación gráfica en los instantes = O, n/4w y n/2w, como indica la Fig. 5-7, se pone de manifiesto la naturaleza de la citada función. j

j

T T

= ...t = 1

o

1 = ~/2u ,,/2

1 ~ ~/4u ",1 ,,/4

=

o

Fig. 5-7. Función

",t

r

=

ei""

En efecto, para ca constante, el segmento gira en sentido contrario al de las agujas del reloj con velocidad angular constante. Si observamos las proyecciones de este segmento giratorio sobre los ejes real e imaginario, veremos que coinciden con los términos coseno y seno, respectivamente, de eiwr dados por la fórmula de Euler. j

wt T

Función seno

Función coseno wt Fig.5-8

46

IMPEDANCIA

COMPLEJA

y NOTACION

FASORIAL

[CAP. 5

En el Capítulo 3 vimos que por un circuito serie RL al que se le aplica una tensión v = Vm sen rol voltios circula una corriente, i = 1m sen (rol - e) amperios, que está retrasada un ángulo e respecto de la tensión, siendo = are tg (roL/R). Este ángulo de fase depende de las constantes del circuito y de la frecuencia de la tensión aplicada, pero nunca puede ser mayor de 90° o n/2 radianes. En la Fig. 5-9(b) se han representado las formas de onda de v e i su función de rol. En la Fig. 5-9(a) se muestran un par de segmentos dirigidos que giran en el plano complejo en sentido contrario al de las agujas del reloj con velocidad angular constante ro. Como los dos tienen la misma velocidad, el ángulo que forman, o fase, permanece constante, Además, por el sentido de giro se deduce que la corriente está retrasada respecto de la tensión un ángulo e.

e

l/m eiut

(a)

(b) Fig.

s-s

Las proyecciones del segmento giratorio sobre el eje imaginario son, exactamente, las funciones representadas. Esto se deduce de la fórmula de Euler, ya que la parte imaginaria de la función exponencial es la función seno. Consideremos una función de tensión general v = Vm ei(wl+a), siendo a: la fase inicial de la misma, es decir, en el instante inicial t = O. Apliquemos esta tensión a un circuito de impedancia Z = ze", (-n/2 ~ n/2). En estas condiciones, la intensidad de corriente viene dada por:

e~

(Vmej(wt+a»)/(zei8)

=

(V",/z)ej(wl+a-R!

=

es decir,

I",ej(wl+a-B),

t; ej(c.¡t+a-8)

V

eHc.¡t+a)

m

zei6

(1)

Esta ecuación pertenece al dominio del tiempo, ya que éste aparece explícitamente en las expresiones de la corriente y de la tensión. A continuación, vamos a hacer dos cambios en dicha ecuación para representar los fasores. En primer lugar, multipliquemos la igualdad por e- jWI para eliminar el tiempo. Después, multipliquémosla por 1/.ji para obtener los valores eficaces de corriente y tensión. -jwt

_e~

(1 e;(c.¡t+a-6»)

y'21n

Vm•

eia

v'2

zeiB

V&_ Il«>: 8 1

z/.§_

v z

(2) ·(3) (4)

La ecuación (2) es la transformada de la anterior al dominio de la frecuencia. En ella no aparece el 'tiempo. Sin embargo, la variación con el tiempo de la ecuación (1) está bien clara. En la expresión (3), los símbolos Ve I sin subíndices indican los valores eficaces de la tensión e intensidad de corriente respectivamente. La expresión (4) relaciona, pues, las magnitudes complejas 1, V Y Z Y como tales deben considerarse, esto es, con su módulo y su argumento. Esta última fórmula es el equivalente fasorial de la ley de Ohm que, a veces, se llama forma compleja, o forma vectorial, de la ley de Ohm.

CAP.

5]

IMPEDANCIA

1m

la)

ej{wl

+a -

COMPLEJA

y NOTACION

47

FASORIAL

6)

Dominio del tiempo

lb)

Dominio de la frecuencia

Fig.5-l0

En la Fig. 5-10(0) se representan, en el plano complejo, las funciones de tensión e intensidad de corriente expresadas en forma exponencial. Dicha representación pertenece al dominio del tiempo t, el cual aparece explícitamente. En la Fig. 5-1O(b) se representan los fasores de tensión e intensidad de corriente respectivos. Los módulos son 1/ veces los correspondientes de la Fig. 5-10(0)'y no aparece el tiempo en forma explícita. Sin embargo, el ángulo y el módulo de la intensidad depende de la frecuencia, razón por la cual diremos que la Fig. 5-10(b) es una representación en el dominio de lafrecuencia.

J2

e

Problemas 5-1

resueltos

Hacer una representación gráfica de la variación de XL y Xc con ro en el margen de 400 a 4000 radianes por segundo. Los valores de L y de e son, respectivamente, 40 milihenrios y 25 microfaradios. Dando valores a ca comprendidos en el margen dado y sustituyendo en XL = wL y Xc = I/we, se obtiene la tabla de la Fig. 5-11(a). En la ·Fig.5-11(h) se pueden observar las representaciones gráficas de XL YXc. 160 140

w

rad/s

400 800 1000 1600 2000 3200 4000

XL ohmios

Xc ohmios

16 32 40 64

100 50 40

80 128 . 160

25 20 12.5 10

120

XL (ohmios) 100 80 60 4O

20 w

20

Xc

.0

Xc (ohmios) 60 80 100 120

(b)

(a) Fig.5-11

Cualquier circuito con una bobina L o un condensador e tiene una impedancia que depende de la frecuencia. Así, pues, un diagrama de impedancias construido para una frecuencia dada solo es váíido para dicha frecuencia.

5-2

Construir los diagramas fasoriales y de impedancia y determinar las constantes del circuito para la tensión y corriente siguientes: v = 150 sen (50001 + 45°) voltios, i = 3 sen (50001 - 15°) amperios. El módulo del fasor es 1/.)2 veces el valor máximo. Por tanto,

48

IMPEDANCIA

v y

COMPLEJA

v

=

I = ~/-15°

106/45° ,

z

Y NOTACION FASORIAL

Vi

106~ 2,12/-15°

50/60°

[CAP. 5

2.12/-15°

25

+

j43,3

v

Diagrama fasorial

Diagrama de impedancias Fig.5-12

La corriente está retrasada respecto de la tensión un ángulo de 60°, lo cual indica que se trata de un circuito serie RL. De la ecuación anterior obtenemos cal: = 43,3 Q de donde L = 43,3/5000 = 8,66 mH. Las constantes del circuito son, pues, R = 25 Q Y L = 8,66 mH.

5-3

Construir los diagramas fasoriales y de impedancias y determinar las constantes del circuito para la tensión y corriente siguientes: v = 311 sen (2500t + 170°) voltios, i = 15,5 sen (2500t - 145°) ampenos.

v y

I V I

z

220~

20/--:-45°

11/-145°

=

14,14 -

j14)4

14,14

I I I I

-jI4,14

Diagrama fasorial

--------~

Z

Diagrama de impedancias Fig.5-13

La corriente está adelantada respecto de la tensión un ángulo de 45°, lo cual indica que se trata de un circuito serie Re. De la ecuación anterior se deduce que Xc = l/roe = 14,)4 Q, de donde e = 1/(14,14 x 2500) = 28,3 ¡.tF. Las constantes del circuito son, pues, R = 14,14 Q Y e = 28,3 ¡.tF. 5-4

Un circuito serie de dos elementos, R = 20 ohmios y L = 0,02 henrios, tiene una impedancia igual a 40ilL ohmios. Hallar el argumento y la frecuencia f en hertzios (Hz) o ciclos por segundo (c.p.s.).

jXL

Impedancia del circuito = 20 + jXL = 40~. De la Fig. 5-14, = cos - 1 20/40 = 60°; por tanto, XL = 40 sen 60° = 34,6 fl

e

Ah ora bilen, XL = cal:= 2nfL, con lo quef=

XL

-

sa.

34,6

= --= 275Hz (o c.p.s.) 2rr:(0,02)

Fig.5-14

CAP. 5]

IMPEDANCIA

COMPLEJA y NOTACION

49

FASORIAL

5-5 A un circuito serie con R = 10 ohmios y e = 50 microfaradios se le aplica una tensión cuya frecuencia es tal que la corriente adelanta 30° respecto de la tensión. ¿A qué frecuencia la corriente. estaría adelantada 70°? En la Fig. 5-15, tg -30° = -Xc/lO Ahora bien, como XCI = 1/2nfl C y 1

=

-0,576 o bien

XCI

=

5,76 n.

1 = 2n(50 x 10-6 F)(5,76n) = ?53 Hz (o c.p.s.)

¡; = 2nCXC1

--sI

Con la nueva frecuencia jj la corriente debe estar adelantada 70°. Ahora bien, tg -70° = - Xc,/10 = -2,74, con lo cual Xc, = 27,4 n. Entonces, comof2/f. = Xc/Xc, resultaf2/553 = 5,76/27,4, de donde); = 116 Hz (o c.p.s.). . Debido a que Xc es inversamente proporcional a m, el circuito serie RC tendrá un ángulo de fase tanto mayor cuanto menor sea la frecuencia.

.-

-300

-jX',~----_.

- ---

10 ,

:z

Fig.5-15

5-6 Siendo f = 500 hertzios, determinar el elemento simple que en serie, con una resistencia R = 25 ohmios, origina un retraso de la corriente respecto de la tensión de 20°. Repetir el problema con un adelanto de 20°.

z,

Un retraso de 20° requiere una reactancia inductiva XL en serie con R. Además, la reactancia capacitiva Xc que origina un adelanto de 20° tendrá el mismo valor óhmico que XL' Para el retraso de corriente, tg 20° = XJ25 o bien XL = 9,1 n. Entonces, L = XJ2rif = 9,1/2n(500) = 2,9 mH. Para el adelanto de corriente, C = 1/2rifXc = 1/2n(500)(9,1) = 35 IlF.

Fig.5-16

5-7 Un circuito serie con R = 25 ohmios y L = 0,01 henrios se utiliza con frecuencia de 100, 500 y 1000 hertzios. Calcular la impedancia del circuito Z para cada una de ellas. Para f = 100 Hz, XL = 2nfL = 2n(lOO)(0,0l) = 6,28 n. Análogamente, para f = 500 Hz, XL = 31,4 n y paraf = 1000 Hz, XL = 62,8 n. Los valores de Z correspondientes se pueden observar en la Figura 5-17. j62,8

f Z

=

25

=

f =

100

+ j6,28 =

25,8/14,1 °

Z

=

25

f

500

+ j3lA =

40/51.4°

Z

=

25

=

1000

+ jG2,8 =

67,7/68,3°

Fig.5-17

5-8

A un circuito serie con R = 10 ohmios y e = 40 microfaradios se le aplica una tensión v = 500 cos (2500t - 20°) voltios. Hallar la intensidad de corriente i que circula por él. Xc = l/mC = 1/2500(40 x

Z = 10 - j10 = 10)2/-45°. (500/)2)/-20°. Entonces, I

e

=

V

Z

10 n y la impedancia compleja La tensión en notación fasorial es V = =

(500/V2)~

= i

10-6)

25/25°

(l0V2)!-45°

=

25V2 cos (2500t

v + 25°)

El diagrama fasorial de la Fig. 5-18 nos dice que la intensidad de corriente 1 adelanta a la tensión V en la impedancia, en un ángulo de 45°.

Fig. !'i-18

50 5-9

IMPEDANCIA

COMPLEJA y NOTACION

FASORIAL

A un circuito serie con R = 8 ohmios y L = 0,02 henrios se le aplica una tensión v = 283 sen (300t + 90°) voltios. Hallar la intensidad de corriente i que circula por él. XL = wL = 300(0,02) = 6 n, Z = 8 +j6 = 10/36,9°, y V = (283/j2)12!E 200fl!r. Entonces,

i

e

200~ 10/36,9°

=

I

5-10

[CAP. 5

=

v

=

20/53,1 ° Fig.5-19

20y'2 sen (300t

+ 53,1°)

En un circuito serie con R = 5 ohmios y L = 0,03 henrios la corriente retrasa 80° respecto de la tensión. Calcular la frecuencia de la fuente y la impedancia compleja Z del circuito. 5

De la Fig. 5-20, XL = 5 tg 80° = 28,4n. Como XL = 2nfL,f = XJ2nL = 28,4/2n(0,03) = 151 Hz. La impedancia compleja es Z = 5 + j28,4 = 28,8@on. 5-11

Fig.5-20

Un condensador de 25 microfaradios de capacidad está unido en serie con una resistencia R a una frecuencia de 60 hertzios. La corriente que circula por ellos está adelantada 45° respecto de la tensión aplicada. Hallar el valor de R. 1

1

Xc = 2nfC = 2n(60)(25 x 10-6) = 106 n. Como el ángulo de fase es 45°, R 5-12

=

Xc

=

106

n.

Fig.5-21

A un circuito serie con R = 8 ohmios y L = 0,06 henrios se le aplica una tensión V1 = 70,7 sen (200t + 30°) voltios. A continuación, se le aplica una segunda tensión V2 = 70,7 sen (300t + 30°) voltios en lugar de la primera. Hallar el valor de la intensidad i para cada una de las fuentes y construir los diagramas fasoriales correspondientes. (a)

Con la tensión aplicada

VI'

XL = wL = 200(0,06) = 12

y

ZI

= R + jXL = 8 + j12 = 14,4/56Y

Como VI = (70,7/j2)/1!t = SOMO, V 50/30° 1 =~ = ~ = 347/-263° 1 ZI 14,4/56,30 ' , (b)

Con la tensión aplicada

=

+ j18 = 19,7~

y

Z2 = 8

e

i2 = 2,54j2

50M, V2

12

il = 3,47,J2(sen 2001 - 26Y)

V2'

XL = wL = 300(0,06) = 18 Como V2

e

= Z2

SOmo ° = 19,71.M':._ = 2,54/ - 36

sen (300t - 36°)

v, .

1,

Díagrama fasorial.

Diagrama fasorial. w = 200 Fig.5-22

w

= 300

CAP. 5]

IMPEDANCIA

COMPLEJA y NOTACION

51

FASORIAL

5-13 Mediante el diagrama fasorial hallar la suma de las intensidades de corriente i1 (rol + 13,2°) amperios e i2 = 8,95 sen (rol + 121,6°) amperios de la Figura 5-23. 9,73 + j2,28

11

(14,14/V2 )/13,2°

10/13,2°

12

(8,95/V2 )/121,6°

6,33/121,6° 11

Por tanto, i1 + i2

=

10\1"2sen (wt

14,14 sen

+ j5,39 6,41 + j7.67 =

-3,32

+ 12 =

10/S00

+ 50°). I. 1,

1, + 1,

1, - l. 1,

1,

Fig.5-23

Fig.5-25

Fig.5-24

5-14 Hallar la diferencia i¡ - i2 siendo i¡ = 50 cos (rol amperios en la Figura 5-24. 11

= (SO/V2)/7So

12

= (3S,4/Vz )/120° = 25/120°

=

2S\1"2cos (wt

e i2 = 35,4 cos (rol

+

120°)

9,16 + j34,2

35,4/75° =

11 - 12

Por tanto, i1 - i2

+ 75°) amperios

-12,5

=

21,7

+ j21,7 + j12,5

2S/300

+ 30°).

5-15 Hallar la suma de las intensidades de corriente i¡ = 32,6 sen (rol - 145°) amperios, i2 = 32,6 sen (rol - 25°) amperios e i3 = 32,6 sen (rol + 95°) amperios. 23/-145°

= -18,8 -

11

(32,6/\1"2)/-145°

12

(32,6/V2)/-25°

= 23/-25°

20,8 -

la

(32,6/V2) /95 °

=

-2

23/95°

j13,2 j9,71

+ j23

11 + 12 + la =

)0,09

En los límites de precisión de la regla de cálculo la suma anterior es cero. El diagrama fasorial de la Figura 5-25 muestra que las tres corrientes están defasadas 120° entre sí. Esto, junto con la igualdad de sus módulos, da como resultado una suma nula.

5-16 Hallar la suma de las tensiones VI = 126,5 sen (rol + 63,4°) voltios y V2 = 44,7 cos (rol - 161,5°) voltios, y expresarla mediante una función seno y, luego, por una función coseno. Transformando Ahora bien, VI

V2 y

VI

+ V2 =

V2

= =

en una función seno, (126..5/V2) /63,4° (44,7/V2)/-71,So

100 sen (wt

+ 45°).

O bien como sen x = cos (x - 90°),

VI

= =

V2

= 44,7 sen (rol - 161,5° + 90°) = 44,7 sen (rol - 71,5°).

= 40 + j80 31,6/-71.5° = 10 - j30 ----VI + V2 = 50 + j50 =

89,5/63.4°

+ V2 =

100 cos (wt - 45°).

50\1"2/45°

52

IMPEDANCIA

COMPLEJA

y NOTACION

FASORIAL

[CAP. 5

5-17 Expresar cada una de las siguientes tensiones (voltios) en notación fasorial y construir el diagrama correspondiente. Vi = 212 sen (COI + 45°), V2 = 141,4 sen (COl - 90°), V3 = 127,3 COS (COl + 30°), V4 = 85 cos (col - 45°), Vs = 141,4 sen (col + 180°). En primer lugar, debemos expresar todas las tensiones mediante idéntica función, seno o coseno, para poder realizar la representación fasorial en un mismo diagrama. Transformando v3 Y V4 en funciones seno: V3 = 127,3 sen (rol + 120°), V4 = 85 sen (rol + 45°). (212/y'2)~

Vi V2 V3 V4 Vs

= = = =

(141,4/y'2)/-900 (127,3/y'2 )/120° (85/...;2)/45°

= = = =

(141,4/...;2)/180°

v,

150/45° 100/-90°

v,

90/120° 60/45°

Fig.5-26

100/180°

Problemas

propuestos

En los Problemas 5-18 a 5-22 dibujar los diagramas fasorial y de impedancias y determinar las constantes de los circuitos serie suponiendo que contienen dos elementos (tensiones en voltios e intensidades en amperios). 5-18 v = 283 cos (8001

+ 150°),

5-19 v

= 50 sen

(20001 - 25°),

5-20 v

= 10 cos

(50001 -

5-21 v

=

80 sen (10001

160°),

+ 45°),

i: = 11,3 cos (8001 i = 8 sen (20001

+ 140°).

+ 5°).

i = 1,333 cos (50001 - 73,82°). i = 8 cos (10001 - 90°).

Sol.

R

= 24,6 n, L = 5,43 mH

Sol.

R

= 5,41 n, e = 160 flF

Sol.

R

= 0,5 n, e = 26,7 flF

Sol.

R

= 7,07 n, L = 7,07 mH

+ 83,2°). Sol. R = 9 o, e = 41,6 flF 5-23 Un circuito serie se compone de una resistencia R = 8 ohmios y de un condensador de capacidad e = 30 mi5-22 v = 424 cos (20001

+ 30°),

i = 28,3 cos (2000/

crofaradios. ¿A qué frecuencia la corriente adelanta un ángulo de 30° a la tensión?

Sol.

f

=

1155 Hz.

5-24 En un circuito serie RL la autoinducción es L = 21,2 milihenrios. A la frecuencia de 60 hertzios la corriente está retrasada 53,1° respecto de la' tensión. Calcular el valor de R. Sol. R = 6 n. 5-25 A un circuito serie de dos elementos se le aplica una tensión V = 240~ voltios y por él circula una corriente 1 = 50/ - 60° amperios. HalJar el fasor de la intensidad de corriente que resultaría aplicando la misma tensión, pero se redujera la resistencia del circuito en un (a) 60 %, (b) 30 % de su valor. Sol. (a) 54,7/-70,85° A; (b) 57,1/-80,15" A. 5-26 La tensión y la intensidad de corriente en un circuito serie de dos elementos son V = 150/-120° voltios e 1 = 7,5/- 90° amperios. ¿ En qué tanto por ciento debe variar la resistencia para que el fasor de corriente valga 12 amperios y cuál es el ángulo asociado a esta corriente? Sol. 56,8 % en disminución; /-66,8°. 5-27 El ángulo de fase de la impedancia de un circuito serie Re con R = 10 ohmios vale -45° a una frecuencia j; = 500 hertzios. Hallar la frecuencia a la que el módulo de la impedancia es (a) el doble que el valor de _(¡, (b) la mitad que el valor de k Sol. (a) 189 Hz; (b) No es posible, ya que el límite inferior de Z es 10 + JO. 5-28. El ángulo de fase de la impedancia de un circuito serie RL, con R = 10 ohmios, vale 30° a una frecuencia j] = 100 hertzios. ¿A qué frecuencia el módulo de la impedancia es el doble que el valor de_{¡? Sol. 360 Hz. 5-29 En un circuito serie de dos elementos con R = 5 ohmios la corriente está retrasada 75° respecto de la tensión aplicada a una frecuencia de 60 hertzios. (a) Determinar el segundo elemento del circuito. (b) Hallar el ángulo de fase que resulta para el tercer armónico f = 180 hertzios. Sol. (a) 0,0496 H; (b) 8 = 84,88°. 5-30 Un circuito serie consta de una resistencia R = 5 ohmios y un condensador de capacidad e = 50 microfaradios. En el mismo instante se le aplican dos fuentes de tensión, VI = 170 cos (1000/ + 20°) Y V2 = 170 cos (2000/ + 20°) voltios. Hallar la intensidad de la corriente que suministra cada una de las fuentes. Sol. il = 8,25 cos (1000/ + 95,95°) A; i2 = 15,2 cos (20001 + 83,4°) A.

CAP. 5]

IMPEDANCIA

COMPLEJA y NOTACION

53

FASORIAL

5-31 A un circuito serie de dos elementos se le aplica una tensión V = 150/ - 45° voltios y circula una intensidad 1 ='4,74/-166,6° amperios para ro = 2000 radianes por segundo, Con una segunda fuente de tensión, el ángulo de fase entre la corriente y la tensión es de 30°. Calcular la pulsación ro de esta segunda fuente. Sol. 385 rad/s, 5-32 En el Problema 5-31, ¿qué variación en la frecuencia de la fuente daria lugar a un fasor intensidad de corriente de 6 amperios? Con variación ilimitada de la frecuencia, ¿cuál será el máximo fasor intensidad de corriente posible? Sol, 23,6 % de disminución en f; 15,0 A. 5-33 Hallar la suma de las tensiones (voltios) de la Fig. 5-27, VI = 50 sen (rol + 90°), V2 = 50 sen tensión indicaría un voltímetro que se conectara en los terminales exteriores? Sol. 86,6 sen (rol + 60°); 61,2 V.

+ 30°). ¿Qué

(rol

5-34 Hallar la suma de las tensiones (voltios) de la Fig. 5-28~VI = 35 sen (rol + 45°), V2 = 100 sen (rol - 300). Elegir como sentido positivo para la suma el de VI' Sol. 97 sen (rol + 129,6°). 5-35 Repetir el Problema 5-34 tomando como positivo el sentido de

Sol.

V2'

114 sen

(rol -

12,750).

v

Fig.5-27 Fig.5-28 Fig.5-29 Fig.5-ao 5-36 Determinar la lectura de un voltímetro en los bornes de las impedancias de la Fig. 5-29 cuando las caídas de tensión en los elementos son: VI = 70,7 sen (rol + 30°), V2 = 28,3 sen (rol + 1200), V3 = 14,14 cos (M + 30°) voltios. Sol. 58,3 V. . 5-37 En la Fig. 5-30hallar el valor de VI siendo las otras tensiones V2 = 31,6 cos (rol + 73,4°) y VT = 20 cos (rol - 35°) voltios. Sol. VI = 42,4 cos (rol - 80°) V. 5-38 Determinar las lecturas de un voltímetro aplicado a cada una de las impedancias del Problema 5-37 ya ambas a la vez. ¿Cómo puede explicarse este resultado? Sol. VI = 30 V; V2 = 22,4 V; VT = 14,14 V. 5-39 Determinar la lectura del amperímetro de la Fig. 5-31 siendo las -dos intensidades de corriente i1 = 14,14 sen (rol - 20°) e t2 = 7,07 sen (rol + 60°) amperios. Sol. 11,9 A. 5-40 Hallar el valor de iT en la Fig. 5-32 siendo las intensidades' de corriente i¡ = 14,14 sen sen (rol - 75"), i3 = 14,14 sen (M - 195°) amperios. Sol. iT = O.

-B--C 2

1.-"

i~~

Fig.S-31 5-41

____

i2~

ir

(rol

+ 45°), i2 = 14,14

.,-) I._ -l. Fig.5-33

Fig.5-32

Fig.5-34

Hallar el fasor intensidad de corriente 13 en la dirección indicada en el diagrama de la Fig. 5-33 sabiendo que I¡ = 25~ e 12 = 25/-1700 amperios. Sol. 13 = 25/- 50° A.

5-42 Hallar la corriente i2 y la lectura del amperímetro de la Fig. 5-34 siendo las otras intensidades iT = 13,2 sen (rol - 310) e il = 3,54 sen (rol + 200) amperios. Sol. i2 = 11,3 sen (rol - 45°) 8 A. 5-43 Para una frecuencia dada y con elementos fijos en un circuito el valor de la impedancia corresponde a un punto en el diagrama de impedancias. Sin embargo, si un elemento o la frecuencia son variables resulta un lugar geométrico de impedancias en vez de un único punto. Discutir qué variable produce los lugares geométricos de impedancias en cada una de las siguientes figuras. j N

(a)

(e)

(b)

Fig.5-35

(d)

Capítulo 6 Circuitos serie y paralelo INTRODUCCION Un circuito contiene, en general, elementos en serie y elementos en paralelo. Sin embargo, en este capítulo trataremos por separado unos circuitos de otros examinando los diferentes métodos de análisis. En los problemas de este capítulo y los siguientes los circuitos son combinaciones en serie y en paralelo. CIRCUITO SERIE El circuito serie de la Fig. 6-1 se compone de una fuente de tensión y tres impedancias. La fuente de tensión se supone constante y es la encargada de mantener la diferencia de potencial necesaria en el circuito. El fasor intensidad de corriente I al circular por las distintas impedancias produce unas·diferencias de potencial en bornes de cada una de ellas que representan unas caídas de tensión. La segunda ley de Kirchhoff establece que en toda malla o circuito cerrado la suma de lasfuerzas electromotrices aplicadas o subidas de tensión es igual a la suma de las caídas de tensión producidas. Esta sencilla ley proporciona la solución de todo circuito serie.

z, Subida de tensión

Caídas de tensión

z. z. Fig. 6-1. Circuito serie

de donde, y La caída de tensión en un elemento viene dada por el producto de la impedancia compleja Z por el fasor intensidad de corriente l. Así, en el circuito de la Fig. 6-1, VI = Zll, V2 = Z2I y V3 = Z31. Las flechas marcan el sentido de referencia de estas tensiones de manera que el punto o terminal por donde entra el fasor intensidad está a más potencial que por donde sale. (Caída de tensión.) La impedancia equivalente Zeq de un número cualquiera de impedancias en serie es la suma de las impedancias individuales, es decir, Zeq = (Z¡ + Z2 + Z3 + ...). Estas impedancias son números complejos y su suma conviene hacerla expresando las impedancias en forma binómica. Ejemplo 1.

z.

z,

En el circuito serie de la Fig. 6-2 hallar Zeq e l. Demostrar que la suma de las caídas de tensión es igual al fasor tensión aplicado. Zeq

Zl

+ Z2 + Z3 =

4 - j3

=

4

+ j3·-

5/-36,9°

z.

j6

Fig.6-2

54

CAP.

6]

CIRCUITOS

con lo que Entonces,

V1 + V2 + V3

y

=

20/36,90 (4)

=

55

y PARALELO

100~ 5/-36,90

=

1

VI = ZII =

SERIE

=

20/36,90

80/36,90,

(64 + j48)

V3

+ (-36 + j48) +

=

(72 - j96)

=

120/-53,10

=

100 + jO

V

como se indica gráficamente en el diagrama fasorial de tensiones de la Figura 6-3(c). j

j3 4

1

-j6

4 - j3 (a)

v

Z..

v = lOO~

Diagrama de impedancias

(b)

Diagrama fasorial VI

(e)

Diagrama fasorial de tensiones

Fig.6-3 La impedancia equivalente es capacitiva, por lo que la corriente 1 que circula por ella está adelantada un - ángulo de 36,90 respecto de la tensión V, como indica la Fig. 6-3(b). Obsérvese que VI' que es la caída de tensión en la resistencia óhmica pura, está en fase con la corriente. La intensidad 1 está retrasada 900 respecto de V 2, pero está adelantada 900 respecto de V3. Si conectáramos un voltímetro en bornes de cada una de las impedancias ZI' Z2 y Z3 indicaría los valores 80, 60 y 120 voltios, respectivamente. A primera vista pudiera pensarse que la tensión total debería ser 260 voltios. Sin embargo, el voltímetro conectado a las tres impedancias indica 100 voltios. Debe recordarse a este respecto que en el análisis en régimen permanente senoidal todas las tensiones e intensidades de corriente son fasores y, como tales, deben sumarse vectorialmente.

CIRCUITO PARALELO En la Fig. 6-4(a) se muestra una fuente de tensión aplicada a una asociación en paralelo de tres impedancias. En la Fig. 6-4(b) se repite el esquema del circuito para hacer resaltar el hecho de que la fuente y las impedancias solo tienen dos nudos comunes. En cualquiera de ellos podemos aplicar la primera ley de Kirchhoff, es decir, la suma de las intensidades de corriente que entran en un nudo es igual a ·la suma de las intensidades que salen de él. .

- I,t

lIt

lIt

z,

Z.

Z.I

Ir

v

-- t

(b)

(a)

Fig. 6-4. Circuito paralelo

La tensión constante que suministra la fuente aparece directamente en cada una de las ramas de las impedancias. Por tanto, en este caso podemos obtener, independientemente, las intensidades de corriente que circulan por cada rama.

vtz; Por tanto,

r-

=

vtz;

y

l/Zeq

=

(l/Z1 + l/Z2 + lIZ3)

Es decir, la impedancia equivalente de un número cualquiera de impedancias en paralelo viene dada por

l/Zeq

1/Z1 + 1/Z2 + lIZ3 + ...

CIRCUITOS

56

SERIE Y PARALELO

[CAP. 6

Ejemplo 2. Hallar la impedancia equivalente y la intensidad total en el circuito de la Fig. 6-5; representar el diagrama fasorial correspondiente a V e 1.

=

Ir

II

+

+

12

50~

10 +

= Entonces. e

II

=

13

50~ 5/53,1°

=

15 - j5

50~

+

50~ 10/-36,9°

Fig.6-5

15,8/-18,45°

V/IT

=

50~

/10

=

(50~ )/(15,8/-18,45°)

=

12

5~,

=

=

3,16/18,45°

10/-53,1 ° ,

13

=

3 + jI 5/36,9°

3

v 50~

,..,

t

z.• ji

36,90 (a)

Diagrama fasorial VI

(b)

Suma o resultante de fasores intensidad

(e)

Circuito equivalente

Fig.6-6

CIRCUITO DE DOS RAMA'S EN PARALELO En la práctica es muy frecuente encontrarse con circuitos a base de dos impedancias en paralelo, razón por la cual merece la pena dedicarle un estudio independiente. Las impedancias Zl y Z2 de la Fig. 6-7(a) tienen aplicada una tensión V. La impedancia equivalente viene dada por l/Zeq = 1/Z1 + 1/Z2 o bien Zeq = ZlZ2/(ZI + Z2)' (a)

_

-

(b) Ir

Ir

z,

v

z,

z.,

v

=

z.z,

Z,+Z,

Fig. 6-7. Circuito paralelo de dos ramas

Sustituyendo V

= ZeqlT =

(z7~~J

IT en V = Zlll Y V = Z212 y despejando las intensidades

de corriente por cada rama se obtienen, I1 =

(ZI~ZJ Ir

y

ADMITANCIA El recíproco de la impedancia compleja Z se llama admitancia compleja, es decir, y = l/Z. Como Z = VII, Y = IjV. La admitancia y se expresa en (ohmios)-¡ o bien mhos cuyo símbolo es U. El concepto de admitancia está asociado al circuito paralelo, como se indica en la Figura 6-8.

+ Y2V + Y3V = (YI + Y2 + Y3)V = YeqV

IT = 11

+

Ir

v

v,

v,

12 + 13 = Y¡V

Fig.6-8.

y

Es decir, la admitancia equivalente de un número. cualquiera de admitancias en paralelo es la suma de las admitancias individuales.

CAP.

6]

CIRCUITOS

SERIE

57

Y PARALELO

En forma binómica, Z = R ± jX, El signo positivo indica una reactancia inductiva XL = cal. y el signo negativo corresponde a una reactancia capacitiva Xc = 1/wC. . Análogamente, Y = G ± jB en donde G se llama conductancia y B recibe el nombre de susceptancia. El signo .positivo indica una susceptancia capacitiva Be y el signo negativo el de una susceptancia inductiva BL. Consideremos un fasor de tensión general V y la intensidad de corriente 1 a que da lugar, La corriente 1 puede estar adelantada, retrasada o en fase con V, pero, en cualquier caso, el ángulo entre ambas no puede exceder de 90°. Por consiguiente, se presentan tres casos: 1.0 Los fasores intensidad de corriente y tensión están en fase, como indica la Figura 6-9. Impedancia

v

z

Vf1._/I/.:é.

=

Admitancia

Z~

R

=

y

If1._/VL!P_

~R

V=VL!P_;

Fig.6-9

Y~

=

G

~G

En la hipótesis de que la impedancia del circuito se reduzca a una resiso tencia pura R (ohmios).

I=IL, F'ig. 12-24(c.) C on e IIo, y para este CIrCUIto, se tiene Z"T

=

4

+) '4

j5(10) + ---'5 10 +)

10/53,1° y Ve) (

- ( .ZT

j5 10+j5

)

2,37~) - ( 10/53,1°

(

j5

10 + j5

)

0,1055/195.8

Comparando flIT con la diferencia entre I~ e IT I~ - IT

=

(4,41/-13,65°)

- (4,50/-13°)

= -0,10 - jO,03 = 0,1045/196,7°

Obsérvese que los dos valores de fllT no son exactamente iguales. El valor de fllT calculado utilizando la tensión de compensación Ve es más exacto que el calculado restando la corriente inicial IT de I~. Esto es cierto cuando la impedancia de carga es pequeña. Como se ha visto antes, ello da lugar a una variación pequeña de la corriente, introduciendo, por tanto, un error al calcular la diferencia de las dos magnitudes que son casi iguales.

12-14 Calcular la variación de la intensidad de corriente en el circuito serie de la Fig. 12-25(a) al reducir el valor de la reactancia a j35. Sean' e I las corrientes respectivas en el circuito antes y después del cambio de reactancia, Figs. 12-25(a) y (b). Entonces,

170

TEOREMAS GENERALES

DE CIRCUITOS

[CAP. 12 10

10

---

10 20

Al

20 j40 j40

8Z

=

-j5

(a)

ve = 10{-98.1°

(b)

(e)

Fig.12-25

1

y

=

V

Z

100ilQ_° 50~ 3,10

=

2,01-8.10,

l'

=

V Z+8Z

=

100/450 30 + j35

~I = I' - I = 2,17/-4,40 - 2,0/-8,1°

=

2,17/-4.4°

= 0,223~

Si se calcula M mediante elteorema de compensación, se tiene Ve = (CiZ)I= (-j5)2,0/-8,1 con el sentido de la Fig. 12-25(c). La variación de corriente es

° = 10/-98.1°

M = - Ve/(Z + CiZ) = - (10/- 98,1o )/(30 + )35) = (10/81,9° )/(46,1/49,4° ) = 0,217/32,5° 12-15 En el circuito de la Fig. 12-26 la carga Z está formada por una resistencia pura RL• Hallar el valor de. RL para el cual la fuente suministra la potencia máxima a la carga. Calcular la potencia máxima P La transferencia máxima de potencia tiene lugar cuando

Z. = 10 + j20

v• ...., t 50~

RL = IZgl = 110 + j201 = 22,4

Q

Ahora bien, 1 = V/(Zg + R) = (50L!r )/(10 + j20 + 22,4) = 1,31/-31,7" Y la potencia máxima suministrada a la carga es P = RLI2 = (1,31)222,4 = 38,S W.

Fig.12-Z6

12-16 Si la carga en el circuito de la Fig. 12-26 es una impedancia compleja ZL, que es variable en RL y XL> determinar el valor de ZL que da lugar a la máxima transferencia de potencia. Calcular el valor de la potencia máxima. La máxima transferencia tiene lugar cuando ZL

=

Z;. Como Zg

La impedancia total del circuito es ZT = (10 + j20) (50LQ::)/20 = 2,5LQ:'y P = RLI2 = 10(2,W = 62,5 W.

+ (lO -

= 10 + }20, resulta ZL = 10 - )20.

j20)

= 20. Por tanto, 1 = V/ZT =

3

12-17 En el circuito de la Fig. 12-27 la carga conectada entre los terminales AB está formada por una resistencia variable RL y una reactancia capacitiva Xc que varia entre 2 y 8 ohmios. Determinar los valores de RL y Xc que dan lugar a la transferencia de la potencia máxima. Calcular la potencia máxima suministrada a la carga.

2

j10

Fig.1Z-Z7

TEOREMAS

CAP. 12]

GENERALES

171

DE C}RCUITOS

La tensión equivalente de Thevenin, en los terminales AB, es V'

= 55;~1°0 (2 + j10) = 45,6/60,3° .

La impedancia del circuito activo conectado a los terminales AB es Z' = 3(2 + j10)/(5 + j10) = 2,64 + jO,72. En el circuito dado, la transferencia de potencia máxima se produce con una impedancia ZL = Z/· = 2,64 - jO,72. En las condiciones del problema, Xc es ajustable entre 2 y 8 n. En consecuencia, el valor más próximo de Xc es 2 n y RL Ahora bien, ZT

=

=

IZg - jXcI

+

Z'

ZL

=

=

12,64 + jO,72 - ;21

12,64- j1,281 = 2,93

n

+ 2,93) + j(O,72 - 2) = 5,57 - j1,28 = 5,70/-13°,

(2,64

1 = V' = 45,6@¿_ ZT 5,70/-13°

=

=

8 0/73 30 ' ,

y

con lo cual

P = RL/2 = 2,93(8,W = 187,5 W

12-18 En el circuito de la Fig. 12-28, Rg es variable entre

A

2 y ~5 ohmios. ¿Con qué valor de Rg se. obtiene la máxima transferencia de potencia a los terminales AB? En el circuito ciado, la resistencia de carga RL es fija. Por tanto, no son aplicables los teoremas de transferencia de la potencia máxima. Es obvio que la corriente será máxima cuando Rg sea rninima. Poniendo, pues, Rg = 2 n, ZT = (2

100~~.""

t B

+ j5 + 10) = 13/22,6°

Fig.12-28

e 1 = V/ZT

=

100/0°/(13/22,6° )

La potencia máxima es P

=

=

7,7/-22,6°

10(7,7)2 = 593 W.

Problemas 12-19

propuestos

Obtener el equivalente en Y del circuito conectado en t1 de la Figura 12-29. Sol. (0,5 - jO,5), (3 - j1), (1 + j3). 10

10

2 + j3

3 - j2 )

) 2

Fig.12-29

12-20

+ j16

Fig.12-30

El circuito de la Fig. 12-30 está formado por dos circuitos en estrella asociados en paralelo. Obtener el circuito simple, con conexión en triángulo, equivalente. Sol. (5 + j5), 00, (5 + j5).

172

TEOREMAS GENERALES DE CIRCUITOS

12-21 En la Fig. 12-31 un circuito equilibrado con conexión en II y Z = 10~ Y, equilibrado, con Z = 4(-45° . Obtener el equivalente en Y.

(a)

[CAP. 12

está en paralelo con otro circuito en Sol. Z = 2,29~.

'j

10~

j'

Red pasiva

l

===

(b)

Zl

Z3

~z, Fig.12-31

Fig.12-32

12-22 Demostrar que el circuito pasivo general de tres terminales de la Fig. 12-32(a) puede sustituirse por un circuito conectado en Y, como el de la Fig. 12-32(b), en el que Zl = (llll - 11l2)(lly, Z2 = 1112(lly y Z3 = (ll22 1112)/lly. (lly y los adjuntos se refieren a las ecuaciones de las tensiones en los nudos en forma matricial.) 12-23 Sustituir el circuito representado en la Fig. 12-33 por su conexión Y equivalente utilizando los métodos desarrollados en el Problema 12-22. Sol. (12 + jI), (-1 + j2), (4 + jI). 5

2

10

Fig. 12-33

4

Fig. 12-34

12-24 Obtener la conexión en y de tres impedancias equivalentes al circuito de la Figura 12-34. Sol. 6,25; 2,5; 10,5. 12-25 Hallar el circuito equivalente en triángulo del circuito de la Figura 12-34.

Sol.

10,25; 43; 17,2.

12-26 Hallar el circuito equivalente, conexión en ll, del circuito de la Figura 12-35. Sol. (3 - j2), (2 + j3), (2 + j16).

2

5

10

Fig.12-35

Fig.12-36

12-27 Determinar la corriente por la resistencia de 2 ohmios del circuito de la Fig. 12-36 utilizando el teorema de superposición. Sol. 1 = 4,27 A.

CA1'. 12J

TEOREMAS

GENERALES

173

DE CIRCUITOS

12-28 En el circuito de Ía Fig. 12-36 se cambia la tensión de la fuente V2 al valor 8,93 voltios, positivo en el terminal superior. Obtener la corriente por la resistencia de 2 ohmios aplicando el teorema de superposición. Sol. 1 = 1,43 A. 12-29 Obtener, en el circuito de la Fig. 12-37, la intensidad de corriente por la resistencia de 5 ohmios debida a cada una de las fuentes de tensión. Sol. 2,27 y 3,41 A.

11-

1

6~

2

-12

10~

6~ 2

5

il0

-12

11Fig. 12-37

Fig. 12-38

12-30 En el circuito de la Fig. 12-38 determinar las componentes de la tensión del nudo V2 debidas a cada una de las fuentes de intensidad. Sol. 8,48L- 2,8°; 8,20/12,2° . 12-31 Hallar, en el circuito representado en la Fig. 12-39, la intensidad de corriente por la resistencia de 4 ohmios debida a cada una de las fuentes de tensión. Sol. 3,24/60,95°; 6,16/- 142,2° . 5

4

2

Fig. 12-39

Fig. 12-40

12-32 Supóngase que en el circuito de la Fig. 12-40 las fuentes de tensión actúan por separado. Si las corrientes respectivas por la resistencia de 10 ohmios son iguales, ¿ cuál es el valor de la relación VIIV2 ? Sol. 0,707/-45°. 12-33 En el circuito de la Fig. 12-41 obtener las componentes de la tensión del nudo V2 originadas por cada una de las fuentes de intensidad I1 e 12, Sol. 5,82/-5,5; 9,22/72,9°. 12-34 Con referencia al mismo circuito del problema anterior se ha cambiado la fuente de intensidad 12 al valor 3,16/191,6° amperios. Determinar la tensión del nudo V 2 por medio del teorema de superposición.

1 II---¡---'

il0

6

5~

-i4

Fig. 12-41

Fig. 12-42

12-35 Determinar, en el circuito de la Fig. 12-42,la intensidad de corriente 1 por la impedancia 3 - j4 ohmios. Aplicar el teorema de reciprocidad y comparar las dos corrientes. Sol. 2,27/53,2°.

174

TEOREMAS

GENERALES

DE CIRCUITOS

[CAP. 12

12-36 Hallar, en el circuito de la Fig. 12-43, la intensidad de corriente 1 por la impedancia 2 - j2 ohmios. Aplicar el teorema de reciprocidad y comparar las dos corrientes. Sol. 10,1/129,10 A. 2

1

50~

'"

t

5

2

4

-j2

j4

Fig.12-43

Fig.12-44

12-37 Hallar la intensidad de corriente por la resistencia de 4 ohmios del circuito de la Fig. 12-44. Aplicar el teorema de reciprocidad y comparar las dos corrientes. ¿Qué cambio sufre la corriente en las ramas de 5 y 2 ohmios? Sol. 2,5 A. Después de aplicar el teorema de reciprocidad, las corrientes en las ramas de 2 y 5 Q son cero. Previamente las intensidades eran 5 y 2 A, respectivamente. 12-38 Determinar la intensidad de corriente por la resistencia de 5 ohmios del circuito de la Fig. 12-45. Aplicar el teorema de reciprocidad y comparar las dos corrientes. Sol. 0,270;53,75° A.

no

10

100 2

2

1 5

Fig.12-46

Fig.12-45

12-39 Calcular, en el circuito de la Fig. 12-46,la intensidad de corriente I por la resistencia de 50 ohmios. Comprobar el teorema de reciprocidad por intercambio de la fuente de tensión y de la corriente resultante l. Sol. 1,32 mA. 12-40 En el circuito de la Fig. 12-47 hallar la tensión Vx' Aplicar después el teorema de reciprocidad y comparar las dos tensiones. Sol. 35/-12,10 V.

VI 1-

5

1-

20~

20~

j5

10

-j2

j5

----

1--

3

¡

10

V,

j8

1-Fig. ]2-47

Fig.12-48

12-41 Hallar el valor de Vx en el circuito de la Fig. 12-48. Comprobar después el teorema de reciprocidad. Sol. 50,8/210 V.

CAP. 12] 1242

TEOREMAS

GENERALES

175

DE CIRCUITOS

En el circuito representado en la Fig. 12-49 determinar la tensión V". Intercambiar la posición de la fuente de intensidad y la tensión V" y comprobar el teorema de reciprocidad. Sol. 2,53/-162,3° V. 5 2

Iv,

3 10

1

3 25~

t

'"

j4

j4

i5

Fig.12-49

-j4

Fig.12-50

12-43

Sustituir, en el circuito de la Fig. 12-50, las impedancias en paralelo 3 + j4 Y 3 - j4 ohmios por una fuente de tensión. de compensación. Como comprobación, hallar la intensidad de corriente por la resistencia de 5 ohmios antes y después de la sustitución. Sol. Ve = 11,35LQ:V; 1 = 2,73f!!.._A.

12-44

En el circuito de la Fig. 12-50 sustituir la resistencia de 5 ohmios por una fuente de tensión de compensación y hallar' la corriente total desde la fuente de 251Jr...antes y después de la sustitución. Sol. Ve = 13,651Jr...V; 1 = 2,73!§:_A.

1245

Remplazar, en el circuito de la Fig. 12-51, cada una de las asociaciones de resistencias en paralelo por una fuente de tensión de compensación y hallar la salida total de corriente de la fuente de 50 voltios. Sol. 11,35 V; 4,55 V; 3,41 A. 10

10

+ 60~

5

10 2

10

10

4

(b)

(a)

Fig.12-52

Fig.12-51

12-46

En el circuito de la Fig. 12-52(a) la fuente de 20 voltios entrega una corriente 1, como puede verse. Si la resistencia de 10 ohmios se cambia por otra de 12 ohmios, la intensidad suministrada por la fuente pasa a ser 1'. Hallar la variación tú = (1' - 1), mediante la fuente de tensión de compensación en la forma mostrada en la Figura 12-52(b). Sol. tú = -0,087 A.

1247

En el circuito de la Fig. 12-53(a) se cambia la resistencia de 5 ohmios por otra de 8 ohmios. Determinar el cambio M que se origina en la corriente que pasa por la impedancia 3 + j4 ohmios. Sol. O,271/159,so A. 5

3 10~

'"

t

;5

;5 j4

(a)

(b)

Fig.12-53

176

TEOREMAS

GENERALES

DE CIRCUITOS

[CAP. 12

12-48 En el circuito de la Fig. 12-54(a) la fuente de 50/45° voltios entrega una corriente l. Se cambia la resistencia de 10 ohmios por otra de 5. Utilizar el teorema de compensación para determinar Ve e M, Fig. 12-54(b). Sol. 21,45/-166° V; 2,74/-36° A.·

;3

;3

-;6

(a)

-;6

(b)

Fig.12-5' 12-49 Hallar el valor de RL (Fig. 12-55) que da lugar a la transferencia de potencia máxima. Calcular el valor de la potencia máxima. Sol. 11,17 Q; 309 W. ;10

~-;16

Fig.12-55

Fig.12·56

12-SO

En el circuito de la Fig. 12-56 la carga está formada por una reactancia capacitiva fija de 15 ohmios y una resistencia variable RL. Determinar (a) el valor de RL para el cual la potencia transferida es máxima, (b) el valor de la potencia máxima. Sol. (a) RL = 11,17 Q; (b) 236 W.

12-51

En el circuito de la Fig. 12-57 actúan dos fuentes de tensión en la impedancia de carga conectada a los terminales AB. Si esta carga es variable, tanto en reactancia como en resistencia, ¿cuál será la carga ZL que recibirá el máximo de potencia? ¿Cuál es el valor de esta potencia máxima? Sol. (4,23 + jl,15) Q; 5,68 W.

Fig.12-57

Capítulo 13 Autoinducción e inducción INTRODUCCION Los circuitos estudiados en los capítulos anteriores estaban formados por mallas y nudos. Como dos mallas tienen una rama común y dos nudos están unidos por elementos pasivos o activos, las mallas y los nudos están acoplados conductivamente. En dichos capítulos se han analizado diversos métodos para resolver estos circuitos. En el capítulo presente se estudia otro tipo de acoplo, el acoplamiento magnético. Cuando la interacción entre dos mallas tiene lugar a través de un campo magnético en vez de por elementos comunes, las mallas en. cuestión están acopladas o unidas inductiva o magnéticamente. AUTOINDUCCION Si la corriente que circula por una bobina de un circuito varía, en el transcurso del tiempo también lo hace el flujo magnético que lo abraza, induciéndose en él una fuerza electromotriz (f.e.m.). Suponiendo que la permeabilidad magnética es constante, la f.e.m. inducida es proporcional a la variación de dicha corriente, esto es, L di (1) dt La constante de proporcionalidad L se llama coeficiente de autoinducción del elemento. En el sistema mksa la unidad de autoinducción se llama henrio (H) y corresponde al coeficiente de un elemento que al ser recorrido por una corriente variable a razón de 1 amperio por segundo (A/s) se induce en sus bornes una f.e.m. de 1 voltio. Por tanto, 1 H = 1 V· s/A o, lo que es igual, como 1 V . s es la unidad de inducción del campo magnético, que se llama weber (Wb), 1 H = 1 Wb/A. La unidad de flujo magnético o inducción magnética por unidad de superficie se llama tesla (T), de manera que 1 T = 1 Wb/m2. En una bobina de N espiras o vueltas la f.e.m. inducida viene dada por Ndcf> dt

(2)

en donde N d

dt N

dcf> di

MUTUA

Si la corriente il que circula por la bobina 1 varía con el tiempo (Fig. 13-1), se establece un flujo magnético 2)

Y L2 = N24J2/i2

en (9) y

ANALISIS DE CiRCUITOS

(9)

M

CON ACOPLO MAGNETICO

Para comprender mejor el sentido del devanado y sus efectos en las tensiones de inducción mutua, las bobinas se han representado sobre un núcleo (Figura 13-2).

CAP. 13]

AUTOINDUCCION

179

E INDUCCION

"1

Fir.lS-Z

Puesto que cada circuito tiene una fuente de tensión, se eligen las corrientes de malla i1 e iz en la misma dirección que las fuentes, con lo que las dos' ecuaciones de malla, deducidas de la segunda ley de Kirchhoff, son

R1i1 + L1 di1 dt

± Md'Í2

VI

dt

(10)

R'2'1.2 +Ld'Í2+ Mdi1 2 dt dt

V2

Las tensiones de inducción mutua pueden ser de una u otra polaridad, según el sentido del devanado. Para determinar los signos·correctos en (JO) se aplica la regla de la mano derecha a cada una de las bobinas: Si los dedos envuelven a la bobina en el sentido. supuesto para la corriente, el dedo pulgar señala el sentido del flujo. Por consiguiente, los sentidos positivos de 1 y z son los señalados en la figura. Si losflujos 1 y z debidos a las corrientes supuestas positivas tienen el mismo sentido, es decir, se ayudan, los signos de las tensiones de inducción mutua son iguales que los de las tensiones de autoinducciones. En la Fig. 13-2, 1 y z se oponen mutuamente. Por tanto, el sistema de ecuaciones (JO), con los signos correctos, es

R1il R2i2

+ +

LI di1 dt

_

L2 di2 dt

_

M d'Í2 = dt

VI

M dil dt

vz

(11)

Suponiendo que las fuentes son senoidales, el sistema (J1) en régimen permanente es

(Rl

+ jwL1)I1

-jwMll

+

(R2

-

jwMI2

+ jwLz)I2

=

VI (12)

V2

Recordando el sistema general de ecuaciones en las corrientes de malla (Capítulo 9) se tiene

(19)

Se vio que Z12 = ZZI era la copedancia o impedancia común a las dos mallas de corrientes 11 e Iz. El acoplo de mallas es de tipo conductivo, ya que las corrientes pasan por una rama común. Ahora, en el circuito de la Fig. 13-2, se tiene un sistema de ecuaciones análogo, correspondiendo jwM a Z12 y ZZI en las Ecuaciones (J3). Las mallas no están acopladas conductivamente, ya que las dos corrientes no circulan por una impedancia común. Sin embargo, las ecuaciones indican que existe un acoplamiento. En tales casos, el acoplo se llama -mutuo o magnético.

180

AUTOINDUCCION

E INDUCCION

[CAP. 13

CORRIENTE NATURAL En la sección anterior se ha analizado un circuito de dos mallas con un acoplo mutuo y sendas fuentes de tensión, en donde se ha supuesto unos sentidos de circulación de corrientes. A veces, es necesario estudiar la corriente natural que circula por una malla que carezca de fuentes de tensión. El sentido de la corriente viene dado por la ley de Lenz.

Fig.U·S

Consideremos el circuito de la Fig. 13-3 en que solo existe una fuente de tensión en la malla 1. Se elige la corriente 11 de acuerdo con la fuente V 1 Y aplicando la regla de la mano derecha se determina el sentido del flujo - are tg(uL/R)

La solución completa, por tanto, es i

=

ie +i

=

p

ce-CRILH

+

Vmax

yR2 + w2L2

sen (wt

+ 4>

- are tg

wL!R)

(49)

La bobina impide cualquier cambio brusco de la corriente y, como antes de cerrar el circuito la intensidad es cero, se deduce que io = O. Por consiguiente, para l = O

c

y

=

-V max yRz+

sen (4) - are tgwL/R)

w2U

Sustituyendo en (49), la intensidad es i

e-CR/LH

- Vmax sen (4) - are tg wL/R) [ yR2 + w2L2 .

]

+

sen (wt

V max

+ 4>

-

are tg wL/R)

yR2 + w2U

(50)

El primer sumando de (50) contiene al factor e-(R/L)f que se anula en un tiempo relativamente corto. La expresión entre corchetes es, simplemente, una constante, cuyo valor depende del momento del ciclo

sen (wt

+ are

+ cf> + are

tg l/",CR) tg l/olCR)

]

(66)

El primer sumando es el transitorio con un factor de decrecimiento e-t/Re. La magnitud entre corchetes es una constante. El segundo sumando representa la intensidad de corriente en el régimen permanente que va en adelanto de fase, respecto de la tensión aplicada, en un ángulo are tg l/roeR.

CAP. 16]

REGIMEN

REGIMEN TRANSITORIO

TRANSITORIO

EN CIRCUITOS

251

EN CIRCUITOS

RLC CON ALIMENTACION

SENOIDAL

Al cerrar el interruptor en el circuito serie RLC de la Fig. 16-18 se aplica una tensión senoidal. La ecuación resultante es

Ri + L ~~ +

¿f

i dt

=

VIIIUX sen (vd

+ para todos los valores de las constantes del circuito (siempre que ni L, ni L2 sean nulos) la función complementaria es de la forma dada en la ecuación (43). Como la función de entrada es constante, una solución particular es la constante que satisface a la ecuación

RlR2) . ( L1L2 tlp

(77)

Aplicando ahora los mismos métodos a i2 resulta

D +

n.n:

n.n;

Rt/L2

D

RI+R2 + L2

D +

s.n;

VILl

i2

(78)

Rt/L2

V/L2

Después de desarrollar los dos determinantes se tiene

[D2

-+

(RlLI + R2LI + RIL2) D + RIR2]. LIL2 '1,2 LIL2

O

La ecuación característica es la misma que la de (76) y, en consecuencia, las funciones complementarias son idénticas. Sin embargo, la solución particular de i2 es cero, ya que la ecuación es homogénea. El examen del circuito demuestra que esto es perfectamente razonable ya que, en régimen permanente, L, aparece como un cortocircuito de la rama R2L2 derivando de este modo la corriente de esta rama. Entonces, R, es la única impedancia limitadora en el régimen permanente y; por tanto, la corriente es i1 = VIR, tal como muestra la ecuación (77.). I

CAP. 16]

REGIMEN TRANSITORIO

Problemas 16-1

253

EN CIRCUITOS

resueltos

A un circuito serie RL, con R = 50 ohmios y L = 10 henrios, se le aplica una tensión constante V = 100 voltios en el instante t = Oen que se cierra el interruptor. Determinar (a) las ecuaciones de i, VR Y Vv (b) ,la intensidad para t = 0,5 segundos y (e) el instante en que VR = VL. (a)

La ecuación diferencial del circuito dado es 50i

+

10 di dt

o bien

100

(D

+ 5)i

10

(1)

y la solución completa es (2)

Para t = O, io = O, con lo que 0= c(l)

+ 2. de donde

=

e = -2.

Por tanto.

2(1 - e-5t)

(3)

que se ha dibujado en la Figura 16-20(a). Las tensiones correspondientes en bornes de los elementos del circuito son las representadas en la VR

=

Ri

=

y

100(1 - e-5t)

(4)

Figura 16-20(b).

1,0

0,2

0,4 0,5

o,e

0,8

(a)

(b)

Fig.16-20

16-2

= 2(1 - 0,082) = 1,836 A.

(b)

Haciendo t = 0,5 s en (3), se obtiene i = 2(1 - e-5(O.5)

(e)

Cuando sea VR = VL> cada una deberá valer 50 voltios y, puesto que la tensión aplicada es lOO,hacemos VR o bien VL igual a 50 y se halla el valor de l. De (4), vL = 50 = 100e-5,. De donde e-5' = 0,5 o bien 5t = 0,693 y t = 0,1386 s.

En el Problema 16-1 hallar las ecuaciones de PR y PL Y demostrar que la potencia en la bobina corresponde a la energía almacenada en el régimen permanente en su campo magnético. Con las intensidades y tensiones obtenidas en el problema anterior. PR

vRi

=

100r5t 2(1 - e-5t) PT

PR

=

100(1 - e-5t) 2(1 - e-St)

+ PL =

200(1 -

=

200(1 - 2r5t

200(r5t

-

+ e-lOt)

e-lOt)

r5t)

La energía almacenada en el régimen permanente por el campo magnético es W = tLl2 julios. La integral de PL desde v = O a

1=

co es W =

f.o

•o

200(c-5t

-

e-10t)dt

= 20 J .

=

KIO)(2)2 = 20

254

REGIMEN

TRANSITORIO

EN CIRCUITOS

[CAP. 16

16-3 En el circuito serie de la Fig. 16-21 se pone el interruptor en la posición 1 en el instante t = O, aplicando con ello una fuente de 100 voltios a la rama RL. En el instante t = 500 microsegundos se conmuta el interruptor a la posición 2. Obtener las ecuaciones de la intensidad de corriente en ambos intervalos y dibujar el periodo transitorio. En la posición 1 la ecuación es 100i

di

+ 0,2 di =

100

o bien

+

(D

500)i

= 500

(1)

y la intensidad de corriente vale i = cle-500

Para e

=

0, i

= O. Llevando

+ 1,0

la condición inicial (2), O = cl(l)

(2)

+ 1,0 o bien

CI

=

-1,0. La intensidad es (3)

i = 1,0(1 - e-SOO')

Al llegar a los 500 us, este periodo transitorio se interrumpe, siendo la intensidad i

=

1,0(1 - e- 500(500x 10-6)

1.0

1,0(1 - 0,779)

-----

--

=

0,221 A

- ----

-

ioon

l J

100 V ~

=

(4)

_--

----:_.-...=-====-

~50V

0.2 H

Fig.16-22

Fig.16-21

Con el interruptor en la posición 2 la tensión aplicada es 50 V, con igual polaridad que con la fuente de 100 V, y la ecuación es l00i

di

+ 0,2 dI

i=

y su solución, en donde t' tró en (4).

=

= 50

500 us. Para (

= t'

i

C2

o bien

(D

+ 500)i = 250

e- 500(1-") + 0,5

(5) (6)

en la Ecuación (6), el valor de la intensidad es 0,221 A, como ya se encon=

0,221

= C2(l)

+ 0,5

c2

y

-0,279

+ 0,5

i = _0,27ge-500('-I')

Entonces, para ( > 1',

=

(7)

La Ecuación (3) se aplica para O < t < (' y el periodo transitorio, de trazos en la Fig. 16-22,tiende al valor 1,0 del régimen permanente. Al llegar a t' cuando la corriente es de 0,221 A, el interruptor pasa a la posición 2, y para t > t' se aplica la Ecuación (7) con un valor final de 0,5 A.

16-4 Repetir el Problema 16-3 suponiendo que la polaridad de la fuente de 50 voltios se ha invertido. La primera parte del régimen transitorio, con el interruptor en la posición 1, es igual que la obtenida en el Problema 16-3: i = 1,0(1 - e-500,) con i = 0,221 A para t = 500 us. Al invertir la polaridad de la fuente de 50 V se obtiene la siguiente ecuación di 100i + 0,2 de

= -50

o bien

(D

+ 500)i = -250

(1)

cuya solución es i = ce-500(l-")

-

0,5

(2)

CAP. 16J

REGIMEN TRANSITORIO

255

EN CIRCUITOS

Ahora bien, para 1 = t' la intensidad vale 0,221 A. Sustituyendo en la Ecuación (2), 0,221 = c(l) - 0,5, o sea, e = 0,721. La ecuación de la corriente para I > t' es, por consiguiente, i = 0,721e-500(r-r')

0,5

-

En la Fig. 16-23 se ha representado la intensidad en el régimen .transitorio. El valor final es - 0,5 A, ya que con la inversión de la fuente de 50 y su sentido es opuesto al tomado como positivo.

Fig.16-23

16-5 A un circuito serie Re, con R = 5000 ohmios y e = 20 microfaradios, se le aplica en el instante t = O una tensión constante V = 100 voltios (el condensador no tiene carga inicial). Hallar las ecuaciones de i, VR Y vc· Al cerrar el circuito, la ecuación es 5000i

+

1 20 X 10

6

S

100

i dt

(1)

Derivando y utilizando la notación operacional resulta, (D

+ 10)i = O cuya solución es

i = e e-IOt

(2)

Haciendo 1 = O en la Ecuación (J) la corriente inicial vale io = lOO/5000= 0,02 A. Sustituyendo en (2), e = 0,02. La intensidad es, entonces, ¡ = 0,02é-IOt (3) y las tensiones de régimen permanente en bornes de los elementos del circuito son VR

_!_

i dt

So

=

= 100e-IOr

=

1 02 e-10I dt 100(1 - e-10I) 20 X 10 6 ' Los regímenes transitorios se han representado en la Fig. 16-24. En el régimen permanente = 100 Y.

e

Vc

S

= Ri = 5000(0,02e-IOr)

2

3

2

4

(a)

VR

= Oy

4

(b)

Fig.16-U

16-6 El condensador de 20 microfaradios del circuito Re de la Fig. 16-25 tiene una carga inicial qo = 500 microculombios con la polaridad indicada en el esquema. En el instante t = O se cierra el interruptor aplicándose, en consecuencia, la tensión constante V = 50 voltios. Determinar la intensidad de corriente en el régimen transitorio. Fig.16-25

Al cerrar el circuito, la ecuación es 1000i

+

20 x \0

cuya solución es

6

S

i dt

= 50 = e e-

501

o bien

(D

+ 50)i =

O

(1) (2)

Ahora bien, la fuente de 50 Y da lugar a una corriente con el sentido dibujado en el diagrama, originando una carga + en la placa superior del condensador. La carga inicial del condensador qo tiene una tensión equivalente Vo = qo/C = (500· 10-6)/(20. 10-6) = 25 Y, que también produce una corriente en el sentido marcado de i. Por tanto, para t = O la corriente inicial es io = (Y + qo/C)/ R = (50 + 25)/1000 = 0,075 A. Sustituyendo en la Ecuación (2), e = 0,075 y, por consiguiente, i = 0,075e- SOr A.

•

256

REGIMEN

TRANSITORIO

EN CIRCUITOS

[CAP. 16

16-7 Repetir el Problema 16-6 refiriendo el régimen transitorio a la carga. La ecuación, tomando como variable la carga, es 1000 dq

dt

+

q 20 X 10-6

q

cuya solución es

50

=

e e-50t

o bien

+

(D

+ 50)q

.05

(1) (2)

10-3

Para t = Oel condensador tiene una carga positiva de 0,5 . 10- 3 e en la placa inferior. La polaridad de la carga acumulada durante el régimen transitorio en la placa superior es positiva. En consecuencia, se hace qo = -0,5' 10-3 Yt = Oen la Ecuación (2), con lo que e = -1,5' 10-3. Entonces, q = -'1,5 '1O-3e-50r + 10-3 y la corriente en el régimen transitorio es i = dqldt = 0,075e-sor A. En la Fig. 16-26(a) se ve que el condensador tiene una carga inicial positiva de 0,5' 10-3 e en la placa inferior y una final positiva de 1,0' 10- 3 e en la placa superior. La corriente en el régimen transitorio, i = dqldt, se ha dibujado en la Figura 16-26(b).

-0.5

X

10-.1

. 0.01

(a)

0.02 0.03 0.04

O.OS 0.06 0.07

(b)

Fig.16-26

'll~o

16-8 En el circuito Re de la Fig. 16-27 se pone el interruptor, en el instante t = O, en la posición 1 y después de una constante de tiempo (1 r) se pasa a la posición 2. Determinar el régimen transitorio completo de corriente.

To.

En la posición 1 I~ solución de la ecuación diferencial obtenida al aplicar la segunda ley de Kirchhoff al circuito es i

=

el e-tiRe

=

el

S/IF

Fig.16-27

(1)

e-4000t

Para t = O, io = V/R = 20/500 = 0,04 A. Sustituyendo en (J), el = 0,04 Y la corriente en el intervalo 0< [ < 1 r es i = 0,04e-

(2)

4000r

Este régimen transitorio continúa hasta que t = 1 r = Re = 500(0,5' 10-6) = 250 J.l.S. En este instante, la intensidad de corriente tiene un valor i = 0,04e-1 = 0,0147 A. Al pasar el interruptor a la posición 2, el condensador tiene una carga en las placas que origina una tenn,04 sión Ve = 20(1 - e-I) = 12,65 V. Esta tensión, junto U.02 Con la fuente de 40 voltios, hace circular la corriente en 0.0147 sentido opuesto a la originada por la fuente de 20 V. Haciendo t' = 1 r, la ecuación de la intensidad en el -0.02 segundo periodo de transición es -0.U4

(3)

Para t = 1', i = - (40 + 12,65)/500 = -0,1053 A. Sustituyendo en (3), C2 = - O,1053, con lo que la intensidad es i = _0,1053e-4000(r-r') (4)

•

El régimen transitorio completo es el representado en la Fig. 16-28. Para 1 r la corriente tiene un valor de pico de -0,1053 A.

-o.O~ -0.08 -0.10

-O.IOS3

-U.l2

Fig.16-28

REGIMEN TRANSITORIO

CAP. 16]

16-9

257

EN CIRCUITOS

Determinar el régimen transitorio de-carga en el Problema 16-8 y derivar para obtener el de la intensidad de corriente. En la posición 1 la ecuación referida a la carga es dq 500 dt

+0,5.x

=

6

=

q

cuya solución es Para t

q 10

+

Cl e-4000t

=

°

0,04

(1)

10 X 10-6

(2)

= 0, qo = O. Con las condiciones iniciales en (2), se obtiene q

=

(D + 4000)q

o bien

20

Cl

= -10,

10-6 y, por tanto,

10 X 10-6 (1 - e-4000t)

Esta ecuación es válida en el intervalo < t < q = 10· 10-6(1 - e-l) = 6,32' 10-6 C.

t',

siendo t'

=

(9)

1 r. Para 1 r, la carga en el condensador es

Con el interruptor en 2 la ecuación diferencial es 500

dq

q

dt + 0,5X 10

=

q

y su solución

=

6

-40

b'

o

(D + 4000)q

len

c2 e-4000 = O°. Sol. i¡ = 3,0Ie- lOO, + 8,96 sen (200r - 63,4°); i2 = 1,505e-100, + 4,48 sen (2001 - 63.4°)

16-46 En el circuito de dos mallas de la Fig. 16-47hallar las corrientes i¡e i2 al cerrar el interruptor en el instante Sol. i1 = O,IOle-loo, + 9,89ge-9950'; i2 = -5,05e-Ioo, + 5 + 0,5e-9950'.

1 = O.

16-47 En el circuito de dos mallas de la Fig. 16-48 se cierra el interruptor en el instante t = O. Determinar las corrientes i1 e ;2' Sol. i1 = 1,67e-6.67' + 5; ;2 = -0,555e-6•67, + 5.

J_

10 n

20 pF

50 v~

Fig.16-47

Fig.16-48

Capítulo 17 Análisis del régimen transitorio por el método de la transformada de Laplace INTRODUCCION En el Capítulo 16 hemos estudiado la corriente en el régimen transitorio en circuitos que contienen elementos capaces de almacenar energía. Aplicando las leyes de Kirchhoff a dichos circuitos resultan una o más ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo, según la configuración del circuito. Estas ecuaciones las hemos resuelto por los métodos clásicos. Sin embargo, en muchas situaciones, no conviene emplear esos métodos, razón por la cual vamos a ver otro método, que se llama de la transformada de Laplace, que proporciona la solución directa de una ecuación diferencial en determinadas : circunstancias. Además, en el caso de algunas funciones de forma irregular, no se pueden manejar con facilidad por los métodos clásicos y el método de Laplace, en cambio, proporciona una solución muy elegante. Este capítulo solo muestra las aplicaciones básicas del método de la transformada de Laplace. Se prescinde de las demostraciones matemáticas rigurosas y de aquellas aplicaciones más complejas, remitiendo al lector a los textos consagrados a capítulo tan importante de la matemática aplicada. LA TRANSFORMADA

DE LAPLACE

Seaf(t) una función de t definida para todo t > O; la transformada de Laplace, que se expresa con el símbolo aCU(t)], se define por

.,e [f(t)]

f""o

F(s)

f(t)

e-st

dt

(1)

en donde el parámetro s puede ser un número real o complejo. En las aplicaciones a la teoría de circuitos, s = (J + jw. La operación aCU(t)] transforma una función f(t) en el dominio del tiempo en una función F(s) en el dominio de la pulsación compleja o dominio de la variable s. Ambas funciones, f(t) y F(s), forman un par de transformadas. Existen tablas en donde se encuentran estos pares de funciones. Las transformadas de la Tabla 17-1 son suficientes para los fines que se persiguen en este capítulo. Las condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace son que la función f(t) sea (a) continua a intervalos y (b) de orden exponencial. Una funciónf(t) es de orden exponencial si < Aear para todo { > lo, siendo A y to constantes positivas. Si se cumplen estas condiciones, la integral de la transformación directa es convergente para todo (J > IX, Y existe F(s). En el análisis de circuitos, todas las funciones cumplen las condiciones (a) y (b). .

V(t)1

Ejemplo 1. La función representada en la Fig. 17-1 se llama función escalón y se define por 1(/) = A, I > O. Hallar su transformada de Laplace. Aplicando la ecuación (1) a la función f(/) = A tendremos

.e [A] =

~oo

=

Ae-st dt

Ejemplo 2. Hallar la transformada de Laplace de la función f(/)

A

A

1-------

--~~o------------------t

s

Fig.17-1 =

e-a" siendo a una constante. 1 s+a

265

266

ANALlSIS DEL REGrMEN

Ejemplo '3.

TRANSITORIO

POR LA TRANSFORMADA

Hallar la transformada de Laplace de la función f(l)

.e [sen wt] = Ejemplo 4.

(OO sen wt

=

e-st dt

Jo

[-s(sen wt)e-st 52

-

+ w2

sen

=

Integrando por partes, .t:. [df/dt]

J'

=

u dv

fI -

[e-s!

en donde f(O+) función para t

t»t,

e-·tw cos -:

= iOO (df/dt)e-st o

w

o

f

uv -

v du siendo u

~oo f(-srst) dt

dt =

e:", dv

+

-f(O+)

=

df,

s~ie~st

V

= f, dt

-f(O+)

+

sF(s)

es el valor de la función cuando se aproxima a cero por la derecha, es decir, el valor de la (0+),

=

Ejemplo S. Hallar la transformada de Laplace de la función integral,

=

.t:.[ff(t)dt]

=

Integrando por partes, haciendo u .t:. [f

f

[CAP, 17

Hallar la transformada de Laplace de la función derivada, dfldt,

.e [df/dt]

en donde

DE LAPLACE

f(t) dt

[J

=

f(t) dt]

1:s

I

f

f(t) dt

f(t) dt .

~OOff(t)dte-stdt

f(t) dt y dv = e-sr dI,

f(t) dt ( -~

J

f

I

0+'

e-st)

I-

~oo (- ~ e-st)

f(t) dt

+ 1:S F(s)

es el valor de la integral en 0+, que se puede escribir tambiénf-I(O+).

Así, pues, la trans-

0+

formada de Laplace de una integral es .t:.[f

Los pares de transformadas APLICACION

=

f(t)dtl

~F(S)

+

~f-l(O+)

obtenidos figuran en la Tabla 17-1.

AL ANALISIS DE CIRCUITOS

En el circuito serie Re representado en la Fig. 17-2 el condensador tiene una carga inicial qo con la polaridad indicada en el esquema. Al cerrar el interruptor, debido al generador de tensión constante V, y a dicha carga inicial, circula una corriente de intensidad variable i, de manera que la ecuación diferencial del circuito es

Ri +

b f idt

v

(2)

Llamando l(s) a la intensidad de corriente en el dominio de la variable s y aplicando la transformada de Laplace a cada término de la ecuación (2) resulta

~ [Ri]

+ ~[~

f idt]

~[V]

v

R l(s) + l(s) + /-1 (0+) es Ahora bien,

/-1 (0+) =

es

f dt L i

s

=

(3)

(4)

Fig.17-2

q(O+). La carga inicial qo es positiva en la armadura

superior del condensador, la misma que la del borne superior del generador V. Por tanto, el signo es positivo. Introduciendo qo en la ecuación (4), l(s) + o« es es sacando factor común l(s), R l(s)

Agrupando términos

y

+

v s

(5)

CAP.

17]

• ANALlSIS

DEL

REGIMEN

TRANSITORIO

POR

LA TRANSFORMADA

DE LA PLACE

Tabla 17-1 TRANSFORMADAS

DE LA PLACE

f(t)

F(s)

1.

A

t "'" O

A s

2.

At

t "'" O

S2

3.

e-at

4.

te-at

5.

sen ",t

--'"

6.

cos ",t

S S2 + ",2

7.

sen (",t + 6)

8.

cos (",t +

9.

e-

A

--1 5+a

1 --. (s + a)2

..

at

s2 + ",2

5 sen

(J + (J cos 52 + w2

(J

seos

(J '" sen S2 + ",2

o

(J)

sen ",t

'"

(5+ a)2 + ",2 (s+a) (5 + a)2 + ",2

10.

e-at cos ",t

11.

senh ",t

--'"

12.

cosh ",t

5 -52 - ",2

13.

df/dt

5 F(s) - f(O"+)

14.

f

f(t - ti)

15.

16.

f(t) dt

fl(t)

+ f2(t)

s2 - ",2

F(5) -+

,

s

e-tls

r:'

(0+) 5

F(s)

FI (s) + F2(5)

267

268

ANALlSIS DEL REGIMEN TRANSITORIO

I(s) /(s)

con lo que

POR LA TRANSFORMADA

v

(R + ¿s)

~ (V - qo/C) (R

DE LAPLACE

qo

es

s

v-

+1l/sC)

[CAP. 17

(6)

qo/C

R

1 (s

(7)

+ l/RC)

La ecuación (7), en el dominio de la variable s, tiene su correspondiente i en el dominio del tiempo t. La operación por la cual F(s) se transforma en I(t) se llama transformada inversa de Laplace, y se representa por el símbolo oC-1 [F(s)J = I(t). En la Tabla 17-1.se observa que la función F(s) del par de transformadas 3 equivale al término l/(s + l/RC) de la ecuación (7). Así, pues, de la definición de la transformada inversa de Laplace y de la tabla se deduce .t::.-I [I(s)]

i

(

V - qo/C).t::.-1[

R

s

1

+ l/RC

V - qo/C

]

e-tiRe

R

(8)

La ecuación (8), en el dominio del tiempo, es la corriente transitoria que comienza a circular en cuanto se cierra el interruptor en un circuito serie RC cuyo condensador contiene una carga inicial qo. En la ecuación (5), en el dominio de la variable s, ya se habían introducido las condiciones iniciales y, en consecuencia, la ecuación que resulta de la transformación inversa contiene dichas constantes. Obsérvese que por simples operaciones algebraicas en (6) y (7), la función /(s) se ha reducido a uno de los tipos que aparecen en la tabla, facilitándose de este modo la obtención de la transformada inversa de Laplace. En la Fig. 17-3 se representa la función del tiempo con una corriente -inicial (V - qo!C)/ R. Si qo/C = V no existe régimen transitorio, ya que la carga inicial del condensador produce una tensión igual a la tensión aplicada V. Si la carga inicial qo es de polaridad opuesta, cambia el signo asociado a qo/C, con lo que la intensidad de corriente inicial podría ser muy grande. Al cerrar el interruptor en el circuito serie RL de la Fiv - qofC --Rgura 17-4, debido al generador de tensión V, circula una co-. rriente de intensidad variable i de manera que, según las leyes' -de Kirchhoff, .. o R t· + Ldidt = V (9) Fig.17-3 Aplicando directamente la transformada de Laplace a cada término resulta .t::.[ L

~~J.=

+ sLI(s) -

Li(O+)

.t::.[Ri] R I(s)

+

.t::.[V]

(10)

V/s

(11)

Fig.17-4

La corriente inicial i(O + ) en un circuito serie RL, que es cero antes de cerrar el interruptor, también lo es para t = 0+. Sustituyendo i(O + ) = O en la ecuación (11),

I(s) (R + sL) de donde,

I(s)

V

1

s (R + sL)

V L

V/s

(12)

(1) s (s + 1R/L)

(13)

La función en la variable s de la ecuación (13) no aparece directamente en la Tabla 17-1; sin embargo, si se escribe en la forma Al« + B/(s + R/L), teniendo en cuenta los pares 1 y 3, el par 16 indica que la función del tiempo total es la suma de dos funciones del tiempo, es decir, oC -1 [F I (s) + F 2(S)J = II(t) + 12(t). Para obtener la suma deseada se descompone el segundo miembro de (13), prescindiendo de la constante V/L, en una suma de dos fracciones

A

1 s(s

B

A(s

-+ s· (s+R/L)

+ R/L)

+ R/L) + Bs + R/L)

s(s

(14)

De los numeradores se deduce la siguiente ecuación en la variable s: 1

(A +B)s

+

AR/L

(15)

CAP.

17]'

ANA LISIS

DEL

REGIMEN

TRANSITORIO

POR

LA TRANSFORMADA

269

DE LA PLACE

Igualando los coeficientes de los términos de igual grado en s resulta

A + B = 0,

B = -LIR

A = LIR,

(16)

Mediante las fracciones simples indicadas, con A y B determinados, la ecuación (13) se convierte en

~ (L/R + -L/R

/(s)

L

Aplicando las transformaciones inversa, es decir,

s

s+RIL

)

(1s - s +1)RIL

V

R

(17)

1 y 3 de la Tabla 17-1 se obtiene la expresión de la transformada

r Elv lo(

0(-1 [/(s)]

~ (1 -

con lo que

I

[lJs -

o(

-1[

s

1 . J}

(18)

+ RIL

(19)

e-(R/I.J!)

La ecuación (19) es el conocido crecimiento exponencial de la intensidad al valor V] R del régimen permanente. METODOS

DE DESARROLLO

En el análisis de circuitos es necesario, con mucha frecuencia, expresar un cociente como suma de fracciones simples con objeto de hallar la transformada inversa de Laplace, ya que en el dominio de I¡¡ variable s la corriente suele venir definida como cociente de dos polinomios en s,

l(s) = P(s)/Q(s)

(20)

en donde Q(s) es de mayor grado que PIs). Ya hemos visto un ejemplo de desarrollo de un cociente en la ecuación (14). Vamos a examinar ahora la aplicación del método de desarrollo en fracciones simples a los. diferentes casos que se presentan con los cocientes de dos polinomios. Asimismo, veremos otro importante método basado en la fórmula del desarrollo de Heaviside. Su aplicación conduce, por otro camino, al cálculo de la transformada inversa de Laplace de un cociente de dos polinomios. 1. Desarrollo en fracciones parciales. La ecuación (20) se puede escribir como una suma de fracciones cada una de las cuales tenga por denominador uno de los divisores de Q(s) y por numerador una constante. En el desarrollo del cociente P(s)jQ(s) se deben considerar las raíces de Q(s). Estas pueden ser reales o complejas, lo cual da lugar . a los siguientes casos. Caso l. Raíces reales simples de Q(s). Consideremos la siguiente expresión de la intensidad de corriente en el dominio de la variable s.

l(s)

pes)

s-l

Q(s)

S2

(21)

+ 3s + 2

Descomponiendo en factores Q(s). la ecuación (21) adquiere la forma

s-l

l(s) Para s

(s + 2)(s

___:!_ + __!!_

+ 1)

s+2

(22)

s+l

= - 2 y s = - 1 la expresión anterior tiende a infinito; estos valores de s se llaman

simples de la función. El coeficiente de un polo simple s = So viene dado por l(s) (s - so) to, para hallar el coeficiente A, multiplicamos los dos miembros de (22) por (s + 2):

s-l A

(s + 2)(s + 1) (s + 2) Sustituyendo s

= -2,

A

11

ss+ls=_2

+

B (s + 1) (s + 2) 3

I_

polos

Por tan-

s-so

(23)

270

ANALlSIS DEL REGIMEN TRANSITORIO

B

Análogamente.

=

POR LA TRANSFORMADA

-11

s s+2

.=-1

DE LA PLACE

[CAP. 17

-2

=

Sustituyendo estos valores en (22), la intensidad de corriente en el dominio de la variable s es

3 -2 =--+-s+2 s+l

/(s)

(24)

La transformada inversa de Laplace de l(s), de la Tabla 17-1, es i = 3e-2r Otro método. Multiplicando los dos miembros de (22) por (s + 2)(s + 1):

s - 1 = A(s + 1) + B(s + 2)

=

-

2e-r•

(A + B)s + A + 2B

Igualando los coeficientes de los términos de igual grado en s, A + B = 1 y A + 2B = -1. Por tanto, A = 3 y B = - 2, que son los mismos valores que se obtuvieron anteriormente. Este método conduce siempre a un sistema de ecuaciones que se ha de resolver para deducir los coeficientes, mientras que en el primer método se obtienen ecuaciones independientes para cada coeficiente. Caso 2. Raíces reales múltiples de Q(s). Consideremos la siguiente expresión de la intensidad de corriente en el dominio de la variable s: P(s) Q(s)

/(s)

1 S(S2

1

Entonces.

A+~+

+ 3)2

s(s

1 s(s + 3)2

+ 6s + 9) C

s+3

s

(25)

(26)

(s + 3)2

Multiplicando los dos miembros de (26) por s y haciendo s = 0, 1

A

9

En el caso de raíces múltiples, el coeficiente del término de segundo grado viene dado por

/(s) (s - so)21.=00 . Por consiguiente, 1

C

-3

El coeficiente del término lineal viene .dado por la expresión :s [/(s) (s -

- ~1'=-3

SO)2]

Lso'

Es decir,

-~

Sustituyendo estos valores en la ecuación (26) se obtiene la intensidad de corriente en el dominio de la variable s, /(s)

(s + 3)2

(27)

con lo que la transformada inversa de Laplace es i = ! - !e-3r - tte-3r. Otro método. Multiplicando los dos miembros de (26) por s(s + 3)2 resulta

1

=

A(s + 3)2 + Bs(s + 3) + Cs

=

(A + B)S2 + (6A + 3B + C)s + 9A

Igualando los coeficientes de los términos de igual grado en s, A + B = 0,6A + 3B + e = o y 9A = 1; por tanto, A =!, B = -! y C = -t, que coincide con lo que obtuvimos anteriormente. Caso 3. Raíces complejas de Q(s). Consideremos la siguiente expresión de la intensidad de corriente en el dominio de la variable s: /(s)

P(s) Q(s)

1 S2

+ 4s + 5

=

1 (s + 2 + j)(s + 2 - j)

(28)

Como las raíces de Q(s) son complejas conjugadas, los numeradores de las fracciones también han de ser conjugados. Es decir,

CAP... 17]

ANALISIS DEL REGIMEN

TRANSITORIO

1

+2 -

(5 + 2 + j)(s

A

+ 2 + j)

==

s

.1

1

+2-

J •

= -2 -

A* y haciendo s

(29)

== ji

= -

A*

y

j

271

DE LAPLACE

+ s+2-.j

== s+2+j

j)

Multiplicando los dos miembros de (29) por (s

A

POR LA TRANSFORMADA

=

2 - j resulta

-j!

Sustituyendo estos valores en la ecuación (29), la intensidad de corriente en el dominio de la variable s es _ - s

l(s)

jt

-jt - j

La transformada inversa de Laplace es i = e-2t sen t. Otro método. Multiplicando los dos miembros de (29) por (s

+2 -

+ A *(s + 2 + j) de igual grado en s, A + A* =

1 =. A(s Igualando los coeficientes de los términos por tanto, A = j! y A* = -jl

(30)

+2+j + s +2

+ 2 + j)(s "+ 2

- j) se obtiene

j)

Fórmula del desarrollo de Heaviside. La fórmula de Heaviside establece que la transformada I(s) = P(s)/Q(s) es

+ A*(2 + j) =

O y A(2 - j)

1;

2.

..t:_-¡

inversa de Laplace del cociente

[P(s)] Q(s)

(91)

en donde los coeficientes ak son las n raíces distintas de Q(s). Aplicando este desarrollo de Heaviside a la expresión de la intensidad de corriente en el dominio de la variable s del caso 1,

_ l(s) Ahora bien, P(s) = s - 1, Q(s) De (31) se obtiene . '¿

-

-.t:.

,-1

[P(s)] Q(s)

-

=

P(-2) Q'(-2)

P(s) Q(s)

_ -

+

3s

-2t

+

S2

e

s- 1

S2

s-1 (s + 2)(s + 1)

+ 3s + 2

+ 2 Y Q'(s) = P(-l) Q'(-l)

-t

2s

=

e

+

3. Las raíces son

-3 e-2t + -2 -1

Te

-t

(32) al

= -2 y a2 = -l.

=

TEOREMA DEL VALOR INICIAL Del Ejemplo 4,

-: [df/dt]

= fOO

(df/dt)e-st dt

s F(s) - f(O+)

(39)

o

Haciendo el límite de la ecuación (33) cuando s

-+ 00,

lim {sF(s) - f(O+)} .,

(34)

.....

En el integrando aparece la función «», que tiende hacia cero cuando s

-+

lim {sF(s) - f(O+)} O ., Como f(O+ ) es una constante podremos escribir la expresión (35) en la forma

.....

f(O+)

lim {s F(s)} .....

co. Por tanto, (95)

(36)

OC)

La ecuación (36) constituye el enunciado matemático del teorema del valor inicial. Por consiguiente, para hallar el valor inicial de una función del tiempo,f(t), se multiplica por s la función correspondiente F(s) en el dorrÍinio de la variable s y se hace el límite cuando s -+ co,

272

ANA LISIS DEL REGIMEN

TRANSITORIO

POR LA TRANSFORM;¡illA

DE LAPLACE

[CAP. 17

Ejemplo 6. En el circuito serie Re de la Fig. 17-2 la expresión de la intensidad de corriente, en el dominio de la va-

=

riable s, es l(s)

V - RqolC es

+ :/ RC) )

[véase ecuación (7»). Hallar la intensidad de corriente inicial i(O+ )

aplicando el teorema del valor inicial. De la ecuación (36). V - qo/C R

V - qo/C ( s )} R (s + l/RC)

!~ {

i(O+)

Este resultado se pone de manifiesto en la Figura 17-3.

TEOREMA DEL VALOR FINAL En el Ejemplo 4,

.e [dl/dt]

=

f'"

(dl/dt)e-"t dt

(37)

s F(s) - 1(0+)

o

Haciendo el límite de la ecuación (37) cuando s ~ O, limf'" 5 .... 0

limfoo ._0 o

Como

(dl/dt)e-1t dt

o

= fooo

(dl/dt)e-1tdt

di

!(oo) - 1(0)

(38) se convierte en

=

..... 0

l(aJ) - 1(0)

lim 1(0+)

y

+

=. -1(0+)

s-o

1(0+),

la ecuación (39)

lim {s F(s)} 1-0

(40)

lim {sF(s)}

I( 00)

o bien

(38)

lim {sF(s) - I(O+)}

1-0

La ecuación (40) constituye el enunciado matemático del teorema del valor final. Por consiguiente, .para hallar el valor final de una función del tiempo,J(t), se multiplica por s la función correspondiente F(s) en el dominio de la variable s y se hace el límite cuando s ~ O. Sin embargo, la ecuación (40) solo se puede aplicar cuando todas las raíces del denominador de s F(s) tienen las partes reales negativas. Esta restricción excluye las funciones senoidales, ya que la función seno está indeterminada en el infinito. Ejemplo 7. En el circuito serie RL representado en la Fig. 17-4 la intensidad de corriente en el dominio de la variable s es 1(5)

=

.!: R

{!5

1

S

+ R/L

} [véase ecuación (17»). Hallar la intensidad final aplicando el teorema del valor

final. De la ecuación (40), i( 00)

ANALISIS DE CIRCUITOS

-

lim.!: {~ s-o R 5

EN EL DOMINIO

5

+sR/L

}

-

V/ R

DE LA VARIABLE

S

DE LAPLACE

La ecuación del circuito serie RLC representado en la Fig. 17-5 es

Rt.

+

L di

dt

+

1 C

S .dt t

v

(41)

Esta ecuación integrodiferencial ha sido resuelta en el Capítulo 16 por los métodos clásicos al efecto. En régimen permanente senoidal, las impedancias complejas de los tres elementos del circuito R, L Y C, en función de w, son R, jwL y l/jmC, respectivamente. Transformando la ecuación del circuito, escrita en el dominio del tiempo, al dominio de la pulsación, las corrientes y tensiones se convierten en fasores. En estas condiciones, la ecuación del circuito serie RLC de la Fig. 17-6 es RI

+

jwLI

+

(l/jwC)I

V

(42)

La ventaja que se deriva de la transformación es que la ecuación transformada se puede tratar algebraicamente despejando en ella el fasor intensidad de corriente l. Las diferentes caídas de tensión son los productos de la impedancia de cada elemento particular del circuito por dicho fasor intensidad.

CAP. 17]

ANALISIS DEL REGIMEN

TRANSITORIO

POR LA TRANSFORMADA

-

'------f-

v

En el método de la transformada de Laplace, a la caída de tensión en una resistencia Ri, en el dominio del tiempo, corresponde R/(s) en el dominio de la variable s. Análogamente, a la caída de tensión en una bobina, L(di/dt) corresponde sL/(s) - Li(O+), y a la caída de ten-

S /(s)(R

)-----'

Li(O+) l/sC

qolsC

-

~

V(s)

+ s~'

i dt, corresponde s~/(s)

Fig.17-7

Por consiguiente, el circuito serie de la Fig. 17-7 satisface la ecuación 1· R /(s) + sL /(s) - L i(O+) + sc/(s) o bien

-

V Fig.17-6

Fig.17-5

sión en un condensador,b

273

DE LAPLACE

+ sL + l/sC}

qo + sC

V(s) - q/sC

(43)

V(s)

(44)

+ L i(O+)

En la ecuación (44) el término R + sL + l/sC, O impedancia Z(s) en el dominio de la variable s, es la relación entre la excitación y la respuesta. Se observa que Z(s) tiene la misma forma que la impedancia compleja en régimen permanente senoidal, R + jwL + l/jwC. El sistema de ecuaciones que resulta al aplicar los métodos de las corrientes de malla y tensiones en los nudos en el análisis de circuitos se transforma fácilmente al dominio de la variable s, teniendo en cuenta los signos y las condiciones iniciales Li(O+) y qo/sC. Consideremos el circuito representado en la Fig. 17-8(a) por el que circula una corriente de intensidad io cuando el interruptor está en la posición 1. En el instante t = O, el conmutador pasa a la posición 2, introduciendo en el circuito un generador de tensión constante V y una carga inicial qo en el condensador. El sentido positivo de la corriente i es el de las agujas del reloj, como aparece en el esquema.

-

Li(O+) l/sC qo/sC

(a)

v

v/s (b)

Fig.17-8

La tensión constante del generador se transforma en Vis, y la intensidad de corriente .que circula en /(s), como se indica en la Fig. 17-8(b). Los términos que constituyen las condiciones iniciales representan generadores cuyo sentido aparece en el esquema del circuito y la ecuación correspondiente es idéntica a la ecuación (44). Es evidente que si la corriente inicial io circulara en sentido contrario, o la carga qo tuviera polaridad opuesta, los signos de los términos Li(O + ) y qo/sC, respectivamente, cambia'rían de igual forma. Los ejemplos siguientes ponen de manifiesto cómo las ecuaciones en el dominio de variable s son análogos a las ecuaciones fasoriales que vimos anteriormente. Todos los teoremas de circuitos estudiados en régimen permanente senoidal tienen su expresión en el dominio de la variable s.

274

ANA LISIS DEL REGIMEN

TRANSITORIO

POR LA TRANSFORMADA

DE LAPLACE

[CAP. 17

, Ejemplo 8..

En el circuito de dos mallas de la Fig. 17-9 se eligen las corrientes de malla en el dominio de la variable s como se representa en el propio esquema. Si se cierra el interruptor en el instante t = O,deducir las expresiones de 11(s) e 12(s). Al cerrar el interruptor se aplica al circuito la tensión V/s del generador, yel sistema de ecuaciones en las corrientes de malla es y

=

(R1 + Rz + sL) 12(s) - R1/1(s)

V/s

L i(O+)

r~ ....!!!!....

Como la intensidad de corriente inicial en la bobina es cero, el sistema anterior, escrito en forma matricial, es

Li(O+)

Fig.17·9 Para despejar' los valores de 11(s) e 12(s) se resuelve el sistema por el método de sustitución o por la regla de Cramer; en cualquier caso, se obtiene 11(s)

.

=

SLJ

!::[Rl + R2 + s R1(R2 + sL)

e

12(s)

=

V --1 s (R2 + sL)

Ejemplo 9.

Escribir la ecuación, en el dominio de la variable s, de la tensión correspondiente al nudo principal del circuito representado en la Figura 17-10. El nudo 1 y el de referencia se eligen como se indica en el esquema; al cerrar el interruptor, la ecuación del nudo es V1(s) - V/s - Li(O+) sL o

+

+

V¡(s) R1

=

(l/sL + l/R¡ + 1/R2) V¡(s)

V¡(s) R2

=

-

o

O

V/s + Li(O+) sL

Fig.17-10

La intensidad de corriente inicial por la bobina es cero; por tanto, la ecuación de la tensión en el nudo, VI (s), es V¡(s)

Ejemplo 10.

Escrbir el sistema de ecuaciones en las corrientes de malla, en el dominio de la variable s, del circuito representado en la Fig. 17-11 en el caso de que la carga inicial del condensador sea qo. Se eligen las corrientes de malla como se indica en el esquema. Aplicando las leyes de Kirchhoff a las dos mallas, (R1+R2)/¡(s)

- R¡12(s)

~~

t

V/s

y Este sistema de ecuaciones, en forma matricial, es

[

R¡ + R2 -R¡

R1

-R¡ ] + l/sC

[11(S)] 12(s)

=

V/s] [ -qo/sC

l/sC

Fig.17·11

qolsC

C..AP. 17J

ANALlSIS

DEL

REGIMEN

TRANSITORIO

POR

Problemas 17-1 Hallar la transformada

LA TRANSFORMADA

=

S""

resueltos

dt, aplicada a la función dada, resulta

f(t)e-1t

o

= ~""

.t:. [e-at cos wt]

=

cos wt e- = O.

5n

La ecuación general de un circuito serie RL, en el dominio de la variable s, es RI(s)

+ sLI(s)

-

Li(O+)

=

Ves)

0,01 H

(1)

= s2500(100) + (500)2'

La transformada de la fuente para 4> = O es Ves)

Fig.17-16

Como no existe corriente inicial en la- bobina, L i(O+) = O. Sustituyendo las constantes del circuito en la ecuación (1), 5 X 104 51(s) + 0.01 1(1) = 's2 + 25 X 104 de donde 1(8)

5 X lOe (S2 + 25 X 104)(s

=

+ 500)

(1)

Desarrollando (2) en fracciones simples, I(s)

=

+

5(5-:;:0)

+

5(s-~is:0)

. (.f)

s;~OO

Entonces, la transformada inversa de (3) es i

=

10 sen 500t - 10 coa 500t

+

10e-SOOt

=

10r5oo1

+

14,14 sen (500t - .,,/4)

17-11 En el Problema 17-10, si la función de tensión se escribe en la forma v = 100eJ500t

(1)

se introduce un término coseno en el generador. Hallar la intensidad de corriente por el circuito del Problema 17-10 mediante la ecuación (1). Para v

= 100ei500r. V(s) = 100/(s - j500).

51(s)

+ 0.01 1(5)

=

y la ecuación en el dominio de la variable s es

100/(s - j500)

Desarrollando en fracciones simples, 1(5)

=

!O_-j~~g

y

1(5)

+ -:~

=

104/(5 - j500)(s

~t~o

+ 500)

(1) (.f)

CAP. 17].

.ANALISIS DEL REGIMEN

TRANSITORIO

POR LA TRANSFORMADA

279

DE LA PLACE

Aplicando ahora la transformada inversa de Laplace a la ecuación (3), la intensidad de corriente en función del tiempo es i = (10 - j10)e;500t + (-10 + j10)e-500t 14,14e;(500t-rr/4) + (-10 + j10)e-SOOt

=

=

14,14{cos (SOOt - 1r/4) + j sen (SOOt - 1r/4)}

+ (-10 + j10)e-SOOt

(4)

Como el generador de tensión del Problema 17-10 solo contiene la parte imaginaria de (1), la intensidad que circula es la parte imaginaria de la ecuación (4),

=

+

14,14 sen (SOOt - 1r/4)

10e-sOOt

+r·~

2n

17-12 En el circuito serie RLC representado en la Fig. 17-17 no existe carga inicial en el condensador. Si se cierra el interruptor en el instante t = 0, hallar la intensidad' de corriente que circula.

so v 1....._

La ecuación del circuito, escrita en el dominio del tiempo, es R t·

1 + 1'dtdi + e

f'

t

v

dt

:r....

(1)

Fig.17-17

Aplicando la transformada de Laplace a los términos de (1), se deduce la ecuación en el dominio de la variable s, + 5Ll(s)

Rl(5)

-

0,5 F

+ s~l(s)

Li(O+)

=

+ s~

v

(2)

s

Las condiciones iniciales son L i(O+ ) = Oy qo/sC = O. Sustituyendo las constantes del circuito en (2) resulta

l(s)

de donde

21(s)

+ 151(5) + _!_ 1(5)

=

+

52

SO

SO 2s

+

=

2

(.f)

s

O,5s

SO (5 + 1 + j)(5 + 1 - j)

(4)

Desarrollando (4) en fracciones simples, j2S

l(s)

j25

(5)

(s + 1- j)

(s + 1+ j)

y aplicando la transformada inversa de Laplace a (5) se deduce el valor de la intensidad de corriente en el dominio del tiempo, i

=

- e(-l+Ht}

j2S{e(-1-;>t

=

SOe-t

sen

e

17-13 En el circuito de dos mallas representado en la Fig. 17-18 se eligen las dos corrientes de malla como se indica en el esquema. Escribir, en forma matricial, el sistema de ecuaciones en el dominio de la variable s y construir el circuito correspondiente.

V(s)

5

Fig.17-18

Fig.17-19

El sistema de ecuaciones en el dominio del tiempo es 5i1 + ~

f

i1 dt + Si2 =

V

Y

10i2 + 2(di2/dt)

+ Sil

= v

(1)

Aplicando la transformada de Laplace en (1) resulta el sistema correspondiente en el dominio de la variable s, 1 qo S11(s) + 2s 11(s) + 2s + S 12(5) = V(s) 1012(s) + 2s 12(s) - 2 ~(O+) + S 11(s) = V(s) (2) Ahora se puede determinar el circuito pedido en el dominio de la variable s mediante las matrices Z(s), I(s) y V(s). (Véase Figura 17-19.)

[S

+ Sl/2S

S

1(S)J

] [/

10 + 2s

12(s)

=

V(s) - Qol2s ] [

V(s) + 2~(0+)

280.

ANALlSIS DEL REGIMEN TRANSITORIO

POR LA TRANSFORMADA

17-14 En el circuito de dos mallas representado en la Figura 17-20 hallar las intensidades de corriente que circulan al cerrar el interruptor.

DE LAPLACE

[CAP. 17

Ion

El sistema de ecuaciones del circuito, en el dominio del tiempo, es di, di2 io., + 0,02 dt - 0,02 dt = 100

100

[

v~

0.02 H

5

{2

(1)

di2 0,02 - + Si2 dt

-

di¡ 0,02 dt

=

O Fig.17-20

Aplicando la transformación de Laplace en (1), (10 + 0,02s) I¡(s) - 0,02s 12(s)

=

100/s

(5 + 0,02s) 12(s) - 0,02s II(s) = O

(2)

De la segunda ecuación de (2) se obtiene 12(s)

(9)

y sustituyendo en la primera ecuación del dominio de la variable s, 100

(10 + 0.02s)/ds) - 0_02S{II(S)(s +s250)} de donde

11(5)

(4)

s

l

=

6 67 { s + 250 , 5(5+ 166,7)J

(5)

De la segunda ecuación de (2) se obtiene

=

11(5)

10

3,33

S - 5+166,7

con lo que

il

=

(6)

10 - 3,33c-166,7t

Sustituyendo (5) en la ecuación (3) resulta la ecuación en el dominio de la variable s, 12(5)

=

=

6,67{S(::1~56~7)}S+s250

6.67(s+~66,7)

=

conloquc;2

6.67e-166.71 (7)

17-15 Aplicar los teoremas del valor inicial y final a las ecuaciones I¡(s) e 12(s). en el dominio de la variable s, del Problema 17-14. Las ecuaciones en el dominio de la variable s del Problema 17-14 son

=

1 (s)

1

6 67 { 's(s

s + 250 + 166,7)

lJ

e

El valor inicial de i 1 viene dado por il(O)

=

lim [s I (s)J ....... I

. [ ( s + 250 )] sl~~ 6,67 5+ 166,7

=

6.67 A

y el valor final es Iim [sll(s)J

s ....o

. [ ( s + 250 )] = !~ 6,67 s + 166,7

6.67(250/166.7)

=

10

A

El valor inicial de i2 viene dado por i2(0)

tim [s 1 (s)J ..... .., 2

}~~ [6,67 (s + ~66,7)]

6.67 A

y el valor final es i2(

C()

Iim [sI2(s)J

s....o

!~n¿[6,67

(s + ~66,7)]

O

Examinemos el circuito representado en la Fig. 17-20 para comprobar cada uno de los valores inicial y final. En el instante de cerrar el interruptor, la bobina presenta una impedancia infinita y la corriente tiene una intensidad il = i2 = 100(10 + 5) = 6,67 A. En cambio, en el régimen permanente, la bobina es un cortocircuito; es decir, t. = 10 A, i2 = O.

,CAP, 17]

ANALlSIS DEL REGIMEN

TRANSITORIO

POR LA TRANSFORMADA

DE LAPLACE

281

17-16 Hallar la impedancia equivalente del circuito representado en la Fig. 17-20 Y construir el circuito con esta impedancia. En el dominio de la variable s, la bobina de 0,02 H tiene una impedancia Z(s) = 0,02s, con la que se puede operar igual que con joil: en el régimen permanente senoidal. Así, pues, la impedancia equivalente vista desde el generador es =' 10

Z(s)

+

0.3s + 60 0,02s + 6

_ -

0,02s(6) 0,02s + 6

=

16 (s + 166.7) s + 250

r~

El circuito de la Fig. 17-21 muestra la impedancia equivalente. La intensidad de la corriente que circula es 11(5)

=

V(s) Z(s)

100 {

s

s + 260 } 15(s+ 166;7)

~

(.e)

100/s

Fig.17-21

Esta expresión es idéntica a la expresión (5) del Problema 17-14, con lo que la función del tiempo es i1 = 10 - 3,33e-166•7'.

17-17 En el circuito de dos mallas representado en la Figura 17-22 no existe carga inicial en el condensador. Hallar las intensidades de las corrientes de malla t, e i2 que circularán al cerrar el interruptor en el instante t = O.

I~

50V~

El sistema de ecuaciones del circuito, en el dominio del tiempo, es

f

Z(s)

s + 260 } 6,67 { s(s+ 166,7)

=

10í1 + 0~2

(1)

=

í1 dt + 10i2

=

60i2 + 10í1

40 !l

60 (1)

Fig.17-22

60

y el correspondiente en el dominio de la variable s, 1

+

1011(s) +-11(s) 0.2s

1012(5)

o bien en forma matricial, 10 ~~/0.2S 10] [

60

ltV

=

(2)

60/s

[11(5)J

=

[60/SJ 60/s

12(5)

de donde JI (s) = 5/(s + 0,625) e i 1 = 5e - 0.625,. Para hallar i2 se sustituye el valor de i1 en la segunda ecuación (1) del dominio del tiempo: 50i2

+

1O(5e-0•625')

=

50,

de donde

i2 ~ 1 - e-O,625'

17-18 En el Problema 17-17 hallar la impedancia equivalente del circuito en el dominio de la variable s y calcular la intensidad de corriente total y las corrientes en las ramas. La impedancia equivalente, en el dominio de la variable s, es Z(s)

=

10

+

40(1/0.2s) 40 + 1/0.2s

80s ~8s

+ 60

=

+1

1Js v

+ 5/8)

\s + 1/8

(1)

En la Fig. 17-23 se representa el circuito equivalente por el que circula una corriente de intensidad 1(5)

=

V(s) Z(s)

=

Desarrollaado la expresión (2) en fracciones simples, 1 4 l(s) + s + 6/8 de donde

= s

1

50{ s + 1/8 S. 10(5+ 5/8)

r

= i

=

5 s + 1(8 s(s + 5/8)

(2)

1 + 4e-St/8

(3)

ANALISIS DEL REGIMEN

TRANSITORIO

r~

POR LA TRANSFORMADA

.

50/s

DE LA PLACE

-

-

I 12(s) + 11(s)

l(s)

Z(s)

2!!!!...

[CAP. 17

1/0,2s

Fig.17-23

40n

Fig.17-24

Ahora bien, las corrientes I¡(s) e 12(s) se deducen fácilmente mediante la regla de las corrientes derivadas. En la Figura 17-24, [¡(s)

=

12(s)

=

:~/O.2S)

=

5 s + 5/8

1/0.2 s ) 40 + 1/0.25

=

s

I(s) ( 40 I(s)

(

1

t.

de donde

1 s + 5/8

=

de donde

5e-O,625' i2

=

1 - e-O•625'

17-19 En el circuito representado en la Fig. 17-25 se . cierra el interruptor en el instante t = O y no existe carga inicial en los condensadores. Hallar la intensidad de corriente resultante i que se muestra en el esquema. La impedancia equivalente del circuito, en el dominio de la variable s, es Z(s)

= 10

+

(5 + 1/s)(5 + 1/0,5s) (10 + l/s + 1/0,5s)

=

125s2 + 45s + 2 ---:-c-=-----=-,---s{lOs + 3)

(1)

y la intensidad de corriente, I(s)

=

s(lOs

+ 3)

V(s)

50

-Z(-s)=

~ -( 1-25-s""2 -+-4-5-s-+-2)

4(s + 0,3) (s + 0,308)(s + 0,052)

(2)

Desarrollando la corriente en el dominio de la variable s en fracciones simples, l (s) = S

1/8 + O308

31/8 s + 0,052

+ --:--:--

de donde

1 e-O•308' i=_

8

+ _31 e-O•052, 8

17-20 Aplicar los teoremas del valor inicial y final a la corriente, en el dominio de la variable s, del Problema 17-19.

eomo

I ( s) =

1/8 31/8 l . . .. l 8+ O052' a cornente micra es s + 0,30 s + ,

lim00 [sJísl]

i(O)

._

r .~

[18' ( s +0.308 s ) + 31( s )] 8' s +0.052

4

A

y la corriente final es i( 00)

=

.-0

lim [s l(s»)

Examinando el circuito representado en la Fig. 17-25 se deduce que, inicialmente, la resistencia total del mismo es R = 10 + 5(5)/10 = 12,5 y, por consiguiente, i(O) = 50/12,5 = 4 A. En el régimen permanente, pues, los dos condensadores se cargan a la tensión equivalente de 50 V Y la intensidad de corriente por ellos es nula.

CAP. 17]

ANALlSIS DEL REGIMEN TRANSITORIO

Problemas

POR LA TRANSFORMADA

DE LAPLACE

283

propuestos

17-21 Hallar la transformada de Laplace de cada una de las funciones siguientes: (a) j(l) = Al (e) jet) = e-al sen cot (e) jet) = cosh iot (b) j(l) = te-al (d) jet) = senh cot (f) jet) = e-al senh rol Sol.

(a)-(e) Véase Tabla 17-1, (f)

(s

~

+ a)

- ro

2

17-22 Hallar la inversa de las transformadas de Laplace de cada una de las funciones siguientes: s 3 2s (a) F(s) (d) F(s) = (g) F(s) = (S2+ 4)(s + 5) (s + 2)(5 + 1) 5(S2+ 6s + 9) 1 s+5 (b) F(s) (e) F(s) = s2 + 75 + 12 s2+25+5 55 2s + 4 (e) F(s) = (f) F(5) = s2 + 3s + 2 s2 + 45 + 13 Sol. (a) 2e-21 - e-e (d) t - te-SI - te-SI (g) i& cos 2t + ñ sen 2t - !&e-5t (b) e-31 - e-41 (e) . e-I (cos 2t + 2 sen 2t) (e)

10e-21

-

5e-1

(f) 2e-21 cos 3t

17-23 Un circuito serie RL, con R = 10 ohmios y L = 0,2 henrios, se le aplica en el instante l = Ouna tensión constante V = 50 voltios. Hallar la intensidad de la corriente por el circuito aplicando el método de la transformada de Laplace.· Sol. i = 5 - 5e-501 A. l'7-~

En el circuito serie RL representado en la Fig. 17-26 se mantiene cerrado el interruptor en la posición 1 hasta que se establece el régimen permanente y se pasa a la posición 2 en el instante l = O. Hallar la intensidad de corriente que circula. Sol. i = 5e- SOr A. 1

2

[0

~

ioo n

IOOV~

r

+

0.2 H

Fig.17-26

2

Fig.17-27

~ SO V 0.5 H

Fig.17-28

17-25 En el circuito representado en la Fig. 17-27 se cierra el interruptor 1 en el instante l = O, y en el instante l = t' = 4 milisegundos se abre el interruptor 2. Hallar la intensidad de corriente en el régimen transitorio considerando los intervalos O < l < ,'y,' < l. . Sol. i = 2(1 - e - 500r) A; i = 1,06e- 1500(r- 1') + 0,667A. 17-26 En el circuito serie RL representado en la Fig. 17-28 se cierra el interruptor en la posición 1 en el instante I = O, y en el instante' = t' = 50 microsegundos se pasa a la posición 2. Hallar la intensidad de corriente en el régimen transitorio considerando los intervalos O < I < t' Y ( > t'. Sol. i = 0,1(1 - e-20001) A; i = 0,06e-2000(I-I') - 0,05 A. 17-27 El condensador de un circuito serie Re con R = 10 ohmios y e = 4 microfaradios tiene una carga inicial qo = 800 X 10-6 culombios en el instante en que se cierra el interruptor y se aplica una tensión V = 100 voltios. Hallar la intensidad de corriente en el régimen transitorio si la polaridad del condensador es (a) del mismo sentido que la polaridad de la fuente, (b) de sentido contrario. Sol. (a) i = _10e-25•10>, A; (b) i = 30e-2S'IO>, A. 17-28 El condensador de un circuito serie Re, con R = 1000 ohmios y e = 4 microfaradios, tiene una cierta carga inicial qo en el instante en que se cierra y se aplica una tensión V = 50 voltios. Sabiendo que la intensidad de corriente es i = 0,075e- SOl amperios, hallar la carga qo Y su polaridad. Sol. 500 x 10-6 e, de polaridad opuesta a la correspondiente de la fuente.

284 17-29

ANALISIS DEL REGIMEN

TRANSITORIO

POR LA TRANSFORMADA

DE LAPLACE

[CAP. 17

En el circuito RC'representado en la Fig, 17-29 se cierra el interruptor en la posición 1 en el instante 1=0 y en el instante t = t' = 1 1: (constante de tiempo) se pasa a la posición 2. Hallar la intensidad de corriente en el régimen transitorio considerando los intervalos O < 1 < t' Y 1 > 1'. . Sol. i = 0,5e-200' A; i = 0,516e-20o(,-n A.

J. Tr~ T

'000

50 V

___

20

T

.~~r.lc, +

v·

50PF

3 pF

+

~

20 n

Fig.17-29

Fig.17-30

Fig.17-31

17-30

En el circuito representado en la Fig. 17-30 el condensador, de capacidad Cl, tiene una carga inicial qo = 300 X 10-6 culombios en el instante en que se cierra el interruptor. Hallar la intensidad de corriente en el régimen transitorio. Sol. i = 2,5e-2,SX10" A.

17-31

En el circuito serie RC representado en la Fig. 17-31 la carga inicial del condensador es qo = 25 X 10-6 culombios y la fuente aplicada tiene una tensión v = 100 sen (10001 +