TD3 Jordanisation Des Matrices [PDF]

Zitiervorschau

Alg`ebre 3

Ann. Univ. 2017-18

Universit´e Hassan II de Casablanca ENSAM

TD3. R´ eduction des matrices 4x4 : Jordanisation (Pr O. Khadir)

Exercice 2.1.



1 −1 2  0 0 1 Soit la matrice A =   1 −1 1 1 −1 0   1  1   1. Soient les vecteurs u =   0  0 0 et 1 sont deux valeurs propres.

 −2 −1  . 0  1 

 0  0   et v =   1 . Calculer A(u) et A(v). En d´eduire que 1

2. D´eterminer le sous-espace propre associ´e `a la valeur propre 0 et pr´eciser sa dimension. 3. La matrice A est-elle diagonalisable ? Exercice 2.2. Les matrices suivantes  0  1 A=  1 1 Exercice 2.3.

sont-elles diagonalisables ?   1 1 1 1  0 0 1 1   et B =   0 1 0 1  1 1 0 0

α 1 0 0



 −2 −1 1 2  1 −4 1 2  . Soit la matrice A =   0 0 −5 4  0 0 −1 −1 1. Calculer le polynˆome caract´eristique de A. 2. La matrice A est-elle diagonalisable ? 3. D´eterminer une forme de Jordan de A. 4. Quel est le polynˆome minimal de A ? 5. Expliquer pourquoi A est inversible et calculer A−1 . Exercice 2.4. 1

0 α 1 0

 0 0   , (α ∈ R). α  1

Alg`ebre 3

Ann. Univ. 2017-18 

 −3 1 −3 5  1 −3 5 −3  . Mˆemes questions, sauf la derni`ere, avec la matrice B =   1 1 −3 1  1 1 1 −3 Exercice 2.5. Les deux matrices suivantes sont-elles semblables ?    0 1 0 0  0 0 0 0     A=  0 0 0 1  et B =  0 0 0 0 Exercice 2.6.

0 0 0 0



4  0 Donner la forme de Jordan J de la matrice A =   0 0 matrice de passage P . Exercice 2.7.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1 1 2 1 −1

 0 0   0  0

 0 0   et d´eterminer une 2  1



 3 −1 1 −7  9 −3 −7 −1  . Mˆemes questions avec la matrice A =   0 0 4 −8  0 0 2 −4 Exercice 2.8.



 3 −1 1 0  3 0 0 1  . Soit la matrice carr´ee A =   1 0 0 1  0 1 −2 2 1. Calculer le polynˆome caract´eristique de A. 2. D´eterminer une forme de Jordan de A et une base de Jordan associ´ee. 3. Quel est le polynˆome minimal de A ? 4. D´eterminer la matrice inverse A−1 . Exercice 2.9. Soit A une matrice carr´ee dont le polynˆome caract´eristique est P (X) = (1 − X)3 (2 − X)2 et le polynˆome minimal est Pm (X) = (X − 1)2 (X − 2). Donner une forme de Jordan de la matrice A. •−−−−−•−−−−−•−−−−−•−−−−−•

2