Las Matrices Homogeneas [PDF]

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Fundamentos de Robótica Herramientas Matemáticas para la Localización Espacial Matrices de Transformación Homogéneas

Ricardo-Franco Mendoza-Garcia [email protected] Escuela Universitaria de Ingeniería Mecánica Universidad de Tarapacá Arica, Chile

May 12, 2014

R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA)

Matrices de Transformación Homogéneas

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Outline

Outline 1

Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Matriz de transformación homogénea

2

Aplicación de matrices homogéneas Traslación Rotación Traslación junto con rotación Rotación seguida de traslación Traslación seguida de rotación

3

Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Rotaciones sobre sistema móvil

4

Gráficos de transformación

5

Referencias

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Coordenadas y matrices homogéneas

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Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Matriz de transformación homogénea

2

Aplicación de matrices homogéneas Traslación Rotación Traslación junto con rotación Rotación seguida de traslación Traslación seguida de rotación

3

Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Rotaciones sobre sistema móvil

4

Gráficos de transformación

5

Referencias

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Coordenadas y matrices homogéneas

Coordenadas homogéneas

Coordenadas homogéneas Permiten la representación conjunta de traslación y rotación. Un vector p(x, y , z) será representado por p(wx, wy , wz, w). w es un valor arbitrario; factor escala.

Así, el vector 2i + 3j + 4k puede ser representado en coordenadas homogéneas como: [2, 3, 4, 1]T , o también como [4, 6, 8, 2]T , [−6, −9, −12, −3]T , etc.

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Coordenadas y matrices homogéneas

Matriz de transformación homogénea

Matriz de transformación homogénea Matriz de dimensión 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. Se puede considerar que una matriz homogénea se haya compuesta por 4 sub-matrices: I I I I

R3x3 , matriz de rotación; p3x1 , vector de traslación; f1x3 , transformación de perspectiva; y w1x1 , escalado global.

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Coordenadas y matrices homogéneas

Matriz de transformación homogénea

Matriz de transformación homogénea Matriz de dimensión 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. Se puede considerar que una matriz homogénea se haya compuesta por 4 sub-matrices: I I I I

R3x3 , matriz de rotación; p3x1 , vector de traslación; f1x3 , transformación de perspectiva; y w1x1 , escalado global.

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Aplicación de matrices homogéneas

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Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Matriz de transformación homogénea

2

Aplicación de matrices homogéneas Traslación Rotación Traslación junto con rotación Rotación seguida de traslación Traslación seguida de rotación

3

Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Rotaciones sobre sistema móvil

4

Gráficos de transformación

5

Referencias

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Aplicación de matrices homogéneas

Aplicación de matrices homogénea Considerando la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario:

Así, una matriz de transformación puede representar: I

posición y orientación de un sistema O 0 UVW girado y trasladado con respecto a OXYZ ;

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Aplicación de matrices homogéneas

Aplicación de matrices homogénea Considerando la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario:

Así, una matriz de transformación puede representar: I

transformación de las coordenadas de un vector r desde sus coordenadas en O 0 UVW a sus coordenadas en OXYZ ; o

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Aplicación de matrices homogéneas

Aplicación de matrices homogénea Considerando la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario:

Así, una matriz de transformación puede representar: I

rotación (R) y traslación (p) de un vector r con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ para transformarlo en r 0 .

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Aplicación de matrices homogéneas

Aplicación de matrices homogénea Considerando la transformación de perspectiva nula y el escalado global unitario:

Así, una matriz de transformación puede representar:

I

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Aplicación de matrices homogéneas

Traslación

Traslación

matriz de traslación

un vector ruvw descrito como rxyz

un vector rxyz desplazado según T

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Aplicación de matrices homogéneas

Traslación

Ejemplo de traslación

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Aplicación de matrices homogéneas

Rotación

Rotación

matrices homogéneas básicas de rotación

descrito en OXYZ R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA)

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rotado en OXYZ May 12, 2014

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Aplicación de matrices homogéneas

Rotación

Ejemplo de rotación

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Aplicación de matrices homogéneas

Traslación junto con rotación

Traslación junto con rotación

¿Cómo ejecutamos una traslación p junto a una rotación de 180o alrededor del eje OZ ? Habrá que tener en cuentra si primero se realiza la rotación y después la traslación, o viceversa.

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Aplicación de matrices homogéneas

Rotación seguida de traslación

Rotación seguida de traslación rotación φ (phi) sobre eje OX seguida de traslación pxyz

rotación θ (theta) sobre eje OY seguida de traslación pxyz rotación ψ (psi) sobre eje OZ seguida de traslación pxyz

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Aplicación de matrices homogéneas

Traslación seguida de rotación

Traslación seguida de rotación traslación pxyz seguida de rotación φ (phi) sobre eje OX traslación pxyz seguida de rotación θ (theta) sobre eje OY traslación pxyz seguida de rotación ψ (psi) sobre eje OZ

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Aplicación de matrices homogéneas

Traslación seguida de rotación

IMPORTANTE Nótese que las transformaciones se definen con respecto al sistema fijo. De definirse con respecto al sistema móvil se deberían intercambiar los resultados! Las matrices que representan “traslación seguida de rotación” representarían “rotación seguida de traslación”, y viceversa.

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Aplicación de matrices homogéneas

Traslación seguida de rotación

Ejemplo de rotación seguida de traslación

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Composición de matrices homogéneas

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Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Matriz de transformación homogénea

2

Aplicación de matrices homogéneas Traslación Rotación Traslación junto con rotación Rotación seguida de traslación Traslación seguida de rotación

3

Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Rotaciones sobre sistema móvil

4

Gráficos de transformación

5

Referencias

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Composición de matrices homogéneas

Rotaciones sobre sistema fijo

Considerando que XYZ es el sistema fijo, una rotación α sobre eje OX; seguida de una rotación φ sobre eje OY; y seguida de una rotación θ sobre eje OZ, se representa por:

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Composición de matrices homogéneas

Rotaciones sobre sistema fijo

Lo cual difiere de una rotación θ sobre eje OZ, seguida de una rotación φ sobre eje OY; y seguida de una rotación α sobre eje OX, que se representa por:

La multiplicación de matrices no es conmutativa!

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Composición de matrices homogéneas

Rotaciones sobre sistema fijo

Ejemplo

Ejercicio Comprobar el resultado de manera gráfica en Sage.

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Composición de matrices homogéneas

Rotaciones sobre sistema móvil

Considerando que UVW es el sistema móvil, una rotación α sobre eje OX (o OU); seguida de una rotación φ sobre eje OU; y seguida de una rotación θ sobre eje OW, se representa por:

Es decir, para componer rotaciones básicas sobre el sistema fijo se pre-multiplican las matrices, y para componer sobre el sistema móvil se post-multiplican.

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Composición de matrices homogéneas

Rotaciones sobre sistema móvil

Ejemplo

Ejercicio (no es fácil) Comprobar el resultado de manera gráfica en Sage aplicando la matriz a un vector en particular.

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Gráficos de transformación

Sistemas alrededor de robot

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Sistemas alrededor de robot

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Referencias

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Coordenadas y matrices homogéneas Coordenadas homogéneas Matriz de transformación homogénea

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Aplicación de matrices homogéneas Traslación Rotación Traslación junto con rotación Rotación seguida de traslación Traslación seguida de rotación

3

Composición de matrices homogéneas Rotaciones sobre sistema fijo Rotaciones sobre sistema móvil

4

Gráficos de transformación

5

Referencias

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Referencias

Bibliografía Barrientos, A., Peñín, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007, Fundamentos de Robótica, 2nd edition, McGraw-Hill.

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