Matrices Especiales.: Definición [PDF]

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3. MATRICES ESPECIALES. Entre la infinidad de matrices que podemos considerar, existen algunas que por tener características determinadas reciben nombres especiales y serán muy útiles posteriormente; además, esas características especiales hacen que puedan cumplir determinadas propiedades que resaltaremos en este epígrafe. Concretamente, las matrices especiales que vamos a considerar van a ser: identidad, diagonal, triangular y simétrica. Antes de comenzar con estas matrices, vamos a resaltar el concepto de matriz traspuesta, puesto que se utiliza en alguna de las definiciones posteriores. Definición. Dada una matriz A se define la matriz traspuesta de A y la notaremos como At, a la matriz que resulta al intercambiar las filas por las columnas de A, de forma que si A es de dimensión m x n, su traspuesta resulta de dimensión n x m:

De forma abreviada, notaremos:

Ejemplo Dada A, su matriz traspuesta resulta:

que es de orden 3x4.

El cálculo de la matriz traspuesta posee una serie de propiedades, entre las cuales resaltamos: 1) (At )t = A 2) (A+B) t = At + Bt 3) (A) t =  At con R 4) (A B) t = Bt At

Ejemplo Comprobar la propiedad 4) anterior con las matrices:

Solución: Si calculamos A.B, resulta una matriz 3x4, cuya traspuesta es:

Por otra parte, si calculamos la traspuesta de B (matriz 4x2) y la multiplicamos por la traspuesta de A (matriz 2x3) resulta la matriz anterior. Observamos que la propiedad que estamos aplicando cambia el orden en el producto para que tenga sentido éste.

Definición Llamaremos matriz identidad de orden n a una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos uno y el resto son cero:

Definición Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matriz identidad es un caso particular de matriz diagonal. Ejemplo Las siguientes matrices son diagonales:

Obsérvese que, los elementos de la diagonal principal pueden ser cualquier número real, incluso cero.

Las matrices diagonales cumplen una propiedad muy interesante frente a la potencia. Así, dada una matriz diagonal definida de la forma:

se cumple que la potencia k-ésima de D tiene la forma:

operación que es inmediata de realizar, no como ocurre para una matriz cualquiera, en la que su potencia requiere gran cantidad de cálculos. Ejemplo Vamos a calcular la potencia sexta de la matriz D3 del ejemplo anterior:

la cual se ha calculado obteniendo las potencias sextas de los elementos de la diagonal, por ejemplo, 216 = 85766121, etc.

Definición Una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior si verifica que aij = 0, cuando i j Evidentemente, las matrices diagonales son triangulares superiores e inferiores a la vez. Ejemplo Las siguientes matrices son triangular inferior y superior respectivamente:

,

Definición Una matriz A cuadrada es simétrica si su matriz traspuesta coincide con ella, es decir: At = A

Ejemplo Comprobar si las siguientes matrices son o no simétricas:

Solución: 1) Veamos si la traspuesta de A coincide con la propia matriz A:

Con lo cual la matriz A es simétrica. Hacemos lo mismo para la matriz B:

En este caso B no es simétrica, pues no coincide con su traspuesta.

MATRICES ESPECIALES Quizás este título te haga pensar que lo que vamos a ver ahora es difícil, pero nada más lejos de la realidad, ya verás que es muy fácil: En principio ya dijimos que todas las matrices son rectangulares, pero... Por su forma, las podemos clasificar en: Matriz fila: Se llama así a toda matriz formada por ... una sola fila. Como el número de filas es uno(m = 1). Luego la matriz fila es de orden 1xn.

Matriz columna: Se llama así a toda matriz formada por ... una sola columna. Como el número de columnas es uno, (n = 1). Luego la matriz columna es de orden mx1.

Matriz cuadrada: Se llama así a toda matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Como m = n, Solo se dice que la matriz es de orden n.

Si observamos los elementos de una matriz cuadrada, se denomina Diagonal principal. a aquellos elementos aij en los cuales i = j (mira, son los que en el ejemplo están en rojo). También se puede mencionar, que aquellos elementos aij que cumplen la condición i + j = n + 1 , forman la diagonal secundaria. (¿Te complico un poco la formula?, no te preocupes, mira el ejemplo,sonlos elementos que están en azul. ¡ Viste, que fácil !).

Ya que hablamos de los elementos, veamos algunas matrices especiales en función de sus elementos: Matriz nula: Se llama así a toda matriz que todos sus elementos son 0. Se simboliza con N.

Matriz Identidad: Se llama así a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto es 0. Se simboliza con I

Matriz Diagonal: Se llama así a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal principal son distintos de 0, y el resto es 0. (La matriz identidad es un caso especial de matriz diagonal).

Matriz escalar: Se llama así a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales pero distintos de 0, y el resto es 0. (La matriz identidad, también, es un caso especial de matriz escalar).

Matriz triangular: Se llama así a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos que están de un mismo lado de la diagonal principal son 0. Por lo tanto podemos tener dos tipos de matrices triangulares: Triangular superior (los ceros están abajo) y triangular inferior (los ceros están arriba).