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R et T Mathématiques M4: Exercices sur les Matrices 1. Trouvez A+B et A-B si : 1 2 3 4 2 3 1 2 A = 2 1 2 2 et B = 0 2 2 0 1 2 0 0 1 −2 1 1 2. Calculez les produits de matrices : 1 2 2 3 (a ) ( 2 1 1 3) ; (b) ( 1 −2 7 4 ) ; (c ) 2 0 1 1
2 −1 ( 2 −1 3 1) 3 1
3. Calculez les produits : 1 2 −1 0 3 1 2 −1 2 1 3 1 −1 2 (a ) 1 2 2 2 ; (b) 1 −1 1 −1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 3
1 2 1 2
4. Ecrivez les systèmes d’équations sous forme matricielle : w + 2x − y = 4 2x + 4 y + z = 9 x − 3 y + 2 z = −1 (a) x − 3 y + 2 z = −4 (b) 2w + 5 x − 3z = 0 x + y − z =1 4w − y + 4 z = 2 3w + x − 2 y + 4 z = 1 2x + y − z = λ x w − 3 x + y − 3 z = −4 3x + 2 y + 4 z = λ y (c) (d) w + 7 x + 2 y + 5z = 2 x − 3y + 2z = λ z 5. Choisissez a,b et c pour que les matrices soient égales (si possible) : 1 2 1 0 1 2 1 0 (a) 3 a b 2 et 3 1 2 2 1 2 c 1 1 2 4 1
1 5 (b) 2 a 2 4 3
a+b 3 1 1 4 3 2 4 et 0 2 4 (c) a + c 1 1 2 2 2 b + c
1
a 2 1 5 1 2 3 b et 2 4 3 4 4 3 2 1 2 c
6. Calculez 3A+2B et 2A-6B si : 1 3 7 2 −1 4 A= et B = 2 −1 6 3 −3 2 7. Calculez les produits AB et CD si : 2 1 0 1 1 1 0 1 2 3 4 A = 3 2 0, B = 2 1 1 0, C = et D = 2 1 5 6 1 0 1 2 3 1 2 3 8. Calculez AB et BA si : 1 −1 1 1 2 3 A = −3 2 −1 et B = 2 4 6 −2 1 0 1 2 3 Que peut-on déduire des deux résultats ? 9. Etant données les matrices :
1 3 1 x1 A = 1 1 2 , X = x2 , 2 2 0 x 3
1 − 2 1 1 Κ = 2 et B = 2 3 0
1 4 1 − 4 1 2
5 8 1 − 8 1 − 4
montrez que l’on peut résoudre l’équation AX=K si on prémultiplie l’équation par B. 10. Soit Α une matrice carrée; la notation A n est non ambiguë cosh( x) sinh( x) parce que, par exemple, Α 3 = Α(ΑΑ) = ΑΑ(Α ) . Si A = , sinh( x) cosh( x ) exprimez A 2 et A 3 simplement à l’aide des identités pour les fonctions hyperboliques, et déduisez la forme de A n .
2
11. Transposez les matrices suivantes : 1 4 19 2 5 7 9 (a ) ( 1 4 17 3) ; (b) ; (c ) 4 0 2 4 3 0 1 19 2 4 4 0 3 −2 3 ( d ) −3 0 1 ; ( e ) 1 2 −1 0 0 12. Vérifiez que
t
( AB) = t B t A avec les matrices :
−4 2 1 4 7 A= et B = 3 1 9 −3 1 −5 6 Exercices sur les déterminants 1 0 3 1 2 5 1 2 ; (b) 2 0 5 ; (c) 3 1 5 13. Calculer les déterminants: (a ) 4 7 1 3 7 −5 0 −5 14. Sans développer le déterminant, montrez que : 1 + a1 a1 a1 a2 1 + a2 a2 = (1 + a1 + a2 + a3 ) a3 a3 1 + a3 15. Utiliser les propriétés des déterminants pour simplifier les déterminants suivants avant de les développer : 42 61 50 0 9 3 2 1 5 (a ) 3 0 2 ; (b) 2 16 4 ; (c) 5 17 56 4 6 5 1 2 1 4 1 7 16. Sans développer le déterminant, montrez que : x 2 + a12 a1a2 a1a3 2 2 a1a2 x + a2 a2 a3 = x 4 ( x 2 + a12 + a22 + a32 ) a1a3 a2 a3 x 2 + a32
3
17. Sans développer le déterminant, montrez que : a2 a 1
b2 b 1
c2 c = (a − b)( a − c )(b − c ) 1
π sin( x + ) sin x cos x 4 π 18. Prouvez que : A = sin( x + ) cos x sin x est indépendant de a, 4 1 a 1− a et exprimez le déterminant en fonction de x. Inverses des matrices, systèmes d’équations 19. Vérifiez que : ( AB) −1 = B −1A −1 avec les matrices 1 2 1 1 −1 2 A = 1 4 2 et B = 0 2 4 0 3 2 1 0 3 1 0 2 1 20.Si C = −1 4 2 , calculez la matrice D où D = (−C2 + 8C − 13I ) . 4 1 2 3 Ensuite, calculez CD. Que peut-on déduire? 21. Trouvez toutes les solutions possibles de :
(a)
x+ y+z =7 2x − y + z = 8 3 x + 2 y − z = 11
3x + 2 y − z = 4 (d) 2 x − 5 y + 2 z = 1 5 x + 16 y − 7 z = 10
x1 − x2 + x3 − x4 = 1 (b)
2 x1 − x2 + 3x3 + x4 = 2 x1 + x2 + 2 x3 + 2 x4 = 3
2 x 1 − x2 + 3x3 = 1 (c) 3 x 1 +2 x2 − x3 = 4 x 1 −4 x2 + 7 x3 = 3
x1 + x2 + x3 + x4 = 3
4 x1 − x2 + 2 x3 + x4 = 0
2 x 1 − x2 + 3x3 = 0 (e) 3 x 1 +2 x2 + x3 = 0 x 1 −4 x2 + 5 x3 = 0
4
(f)
2 x1 + 3 x2 − x3 − 2 x4 = 0 7 x2 − 4 x3 − 5 x4 = 0 2 x1 − 11x2 + 7 x3 + 8 x4 = 0
5