Matrices Exercices [PDF]

Zitiervorschau

R et T Mathématiques M4: Exercices sur les Matrices 1. Trouvez A+B et A-B si : 1 2 3 4  2 3 1 2     A =  2 1 2 2  et B =  0 2 2 0  1 2 0 0  1 −2 1 1      2. Calculez les produits de matrices : 1 2     2 3  (a ) ( 2 1 1 3) ; (b) ( 1 −2 7 4 )   ; (c ) 2 0     1 1

2   −1 ( 2 −1 3 1)   3   1

3. Calculez les produits : 1 2   −1 0 3 1 2  −1 2 1 3      1 −1    2 (a )  1 2 2 2   ; (b)  1 −1 1 −1   1 1 1 0   0 0   1 0 0 1   1  1 1    3   

1  2 1  2 

4. Ecrivez les systèmes d’équations sous forme matricielle : w + 2x − y = 4 2x + 4 y + z = 9 x − 3 y + 2 z = −1 (a) x − 3 y + 2 z = −4 (b) 2w + 5 x − 3z = 0 x + y − z =1 4w − y + 4 z = 2 3w + x − 2 y + 4 z = 1 2x + y − z = λ x w − 3 x + y − 3 z = −4 3x + 2 y + 4 z = λ y (c) (d) w + 7 x + 2 y + 5z = 2 x − 3y + 2z = λ z 5. Choisissez a,b et c pour que les matrices soient égales (si possible) : 1 2 1 0 1 2 1 0     (a)  3 a b 2  et  3 1 2 2  1 2 c 1 1 2 4 1    

1 5  (b)  2 a 2 4 3 

a+b 3   1 1 4 3     2 4  et  0 2 4  (c)  a + c  1 1 2 2 2 b + c    

1

a 2 1 5 1 2    3 b  et  2 4 3 4  4 3 2 1 2 c   

6. Calculez 3A+2B et 2A-6B si : 1 3 7  2 −1 4  A=  et B =    2 −1 6   3 −3 2  7. Calculez les produits AB et CD si :  2 1 0 1 1 1 0 1  2 3 4       A =  3 2 0, B =  2 1 1 0, C =   et D =  2  1 5 6 1 0 1  2 3 1 2  3       8. Calculez AB et BA si :  1 −1 1  1 2 3     A =  −3 2 −1 et B =  2 4 6   −2 1 0  1 2 3     Que peut-on déduire des deux résultats ? 9. Etant données les matrices :

1 3 1  x1      A =  1 1 2  , X =  x2  ,  2 2 0 x     3

 1 − 2 1  1   Κ =  2  et B =   2  3     0 

1 4 1 − 4 1 2

5  8   1 − 8  1 −  4

montrez que l’on peut résoudre l’équation AX=K si on prémultiplie l’équation par B. 10. Soit Α une matrice carrée; la notation A n est non ambiguë  cosh( x) sinh( x)  parce que, par exemple, Α 3 = Α(ΑΑ) = ΑΑ(Α ) . Si A =  ,  sinh( x) cosh( x )  exprimez A 2 et A 3 simplement à l’aide des identités pour les fonctions hyperboliques, et déduisez la forme de A n .

2

11. Transposez les matrices suivantes :  1 4 19   2 5 7 9   (a ) ( 1 4 17 3) ; (b)   ; (c )  4 0 2   4 3 0 1 19 2 4     4  0 3 −2   3   ( d )  −3 0 1  ; ( e )   1  2 −1 0      0 12. Vérifiez que

t

( AB) = t B t A avec les matrices :

 −4 2  1 4 7   A=  et B =  3 1   9 −3 1   −5 6    Exercices sur les déterminants 1 0 3 1 2 5 1 2 ; (b) 2 0 5 ; (c) 3 1 5 13. Calculer les déterminants: (a ) 4 7 1 3 7 −5 0 −5 14. Sans développer le déterminant, montrez que : 1 + a1 a1 a1 a2 1 + a2 a2 = (1 + a1 + a2 + a3 ) a3 a3 1 + a3 15. Utiliser les propriétés des déterminants pour simplifier les déterminants suivants avant de les développer : 42 61 50 0 9 3 2 1 5 (a ) 3 0 2 ; (b) 2 16 4 ; (c) 5 17 56 4 6 5 1 2 1 4 1 7 16. Sans développer le déterminant, montrez que : x 2 + a12 a1a2 a1a3 2 2 a1a2 x + a2 a2 a3 = x 4 ( x 2 + a12 + a22 + a32 ) a1a3 a2 a3 x 2 + a32

3

17. Sans développer le déterminant, montrez que : a2 a 1

b2 b 1

c2 c = (a − b)( a − c )(b − c ) 1

π sin( x + ) sin x cos x 4 π 18. Prouvez que : A = sin( x + ) cos x sin x est indépendant de a, 4 1 a 1− a et exprimez le déterminant en fonction de x. Inverses des matrices, systèmes d’équations 19. Vérifiez que : ( AB) −1 = B −1A −1 avec les matrices 1 2 1  1 −1 2      A =  1 4 2  et B =  0 2 4  0 3 2 1 0 3      1 0 2 1   20.Si C =  −1 4 2  , calculez la matrice D où D = (−C2 + 8C − 13I ) . 4  1 2 3   Ensuite, calculez CD. Que peut-on déduire? 21. Trouvez toutes les solutions possibles de :

(a)

x+ y+z =7 2x − y + z = 8 3 x + 2 y − z = 11

3x + 2 y − z = 4 (d) 2 x − 5 y + 2 z = 1 5 x + 16 y − 7 z = 10

x1 − x2 + x3 − x4 = 1 (b)

2 x1 − x2 + 3x3 + x4 = 2 x1 + x2 + 2 x3 + 2 x4 = 3

2 x 1 − x2 + 3x3 = 1 (c) 3 x 1 +2 x2 − x3 = 4 x 1 −4 x2 + 7 x3 = 3

x1 + x2 + x3 + x4 = 3

4 x1 − x2 + 2 x3 + x4 = 0

2 x 1 − x2 + 3x3 = 0 (e) 3 x 1 +2 x2 + x3 = 0 x 1 −4 x2 + 5 x3 = 0

4

(f)

2 x1 + 3 x2 − x3 − 2 x4 = 0 7 x2 − 4 x3 − 5 x4 = 0 2 x1 − 11x2 + 7 x3 + 8 x4 = 0

5