TD Serie1 - 2 PDF [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITE IBN ZOHR FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE AGADIR

Octobre 2010

TD de Mécanique du solide SM3 Série n° 1 Exercice 1 r r r Soit R (O, x , y, z ) un repère orthonormé direct et soit M t le champ de vecteurs défini par :

 1 + 3 y − tz    M t ( P) =  − 3x + 2tz   2 + tx − t 2 y    Où (x, y, z) sont les coordonnées du point P dans (R) et t un paramètre réel. 1. Pour quelles valeurs de t ce champ est associé à un torseur ? 2. Lorsque c’est un torseur, calculer sa résultante.

Exercice 2 Dans le repère (O; i, j , k ) , soient A(3, 0, 0) et B(−1, 2, 1) deux points de l’espace. Soit V un champ de vecteur équiprojectif défini tel que :

1 1     V (O) =  1  , V ( A) = 1 ,  4 1    

2   V (B ) =  − 1 9  

1. Déterminer la résultante R du torseur [T ] associé au champ V . 2. En déduire V ( M ) en tout point M(x, y, z) de l’espace. 3. Déterminer l’axe central ∆ du torseur, et calculer V sur ∆.

Exercice 3

Soient deux torseurs [T1 ]B et [T2 ]B définis en un point B, par leurs éléments de réduction ; par rapport à

r r r

une base orthonormée directe (O, x , y, z )

[T1 ]B

r r r  →  R1 = 2 x + y + 3 z = → r r r M 1 ( B) = −3 x + 2 y − 4 z

et

[T2 ]B

r r r  →  R2 = 4 x + y − 3 z = → r r r M 2 ( B) = 3 x − 2 y + 4 z

1. 2.

Montrer que les axes centraux des deux torseurs sont perpendiculaires. Calculer l’invariant scalaire du torseur [T1 ] .

3.

Déterminez l’axe central du torseur

4.

Calculer le pas du torseur

5.

Construire le torseur a) De quel type est le torseur somme ? b) Représenter le système équivalent si le point B a pour coordonnée ( 4, 0, 0 ).

[T1 ] .

[T2 ] . [T ]B = [T1 ]B + [T2 ]B .

1

TD de Mécanique du solide SM3 Série n°1-corrigé Exercice 1 r r r Soit R (O, x , y, z ) un repère orthonormé direct et soit M t le champ de vecteurs défini par :

 1 + 3 y − tz    M t ( P) =  − 3x + 2tz   2 + tx − t 2 y    Où (x, y, z) sont les coordonnées du point P dans (R) et t un paramètre réel. 1. Les valeurs de t pour lesquelles ce champ est associé à un torseur :

M t ( P) est un champ associé à un torseur s’il existe un vecteur R tel que : M t ( P ) = M t (O) + R ∧ OP O étant l’origine du repère (R).  1 + 3 y − tz   1   R1   x   1 + R2 z − R3 y            M t ( P ) =  − 3x + 2tz  =  0  +  R2  ∧  y  =  R3 x − R1 z   2 + tx − t 2 y   2   R   z   2 + R y − R x  1 2       3    On trouve que : R1 = -2t = t² ; R2 = -t et R3 = -3 soit t = 0 ou t= 2. 2. Pour t = 0, la résultante du torseur est :

 0    R0 =  0   − 3   Pour t = 2, la résultante du torseur est :

 − 4   R2 =  − 2   − 3   Exercice 2 1. la résultante R du torseur [T ] associé au champ V est telle que :

V ( A) = V (O) + R ∧ OA 1  1   R1   3   1            1 =  1  +  R2  ∧  0  =  1 + 3R3  1  4   R   0   4 − 3R  2      3    Soit R3 = 0 et R2 = 1.

V ( B) = V (O) + R ∧ OB  2   1   R1   − 1  1 + R2 − 2 R3             − 1 =  1  +  R2  ∧  2  =  1 − R3 − R1   9   4   R   1   4 + 2R + R  1 2      3    Soit pour R3 = 0 et R2 = 1 on trouve que R1 = 2. On a aussi :

2

2. V (M ) en tout point M(x, y, z) de l’espace est tel que :

V ( M ) = V (O) + R ∧ OM  1  2  x   1+ z          V (M ) =  1  +  1  ∧  y  =  1 − 2z   4  0  z   4 − x + 2 y          On peut vérifier pour V ( A) et V (B) . 3. Détermination de l’axe central ∆ du torseur et calcul de V sur ∆.

{∀P ∈ ∆ /

V ( P) // R

}

R ∧ V ( P) = R ∧ V (O) + R ∧ ( R ∧ OP) = 0 R ∧ V (O) + ( R ⋅ OP) R − ( R ) 2 OP = 0 En posant le scalaire α =

( R ⋅ OP) ( R) 2

, on aura : OP =

R ∧ V (O) ( R) 2

+α R

 2 1  4        R ∧ V (O) =  1  ∧  1  =  − 8  et ( R) 2 = 4 + 1 = 5  0  4  1         x  4   2α    1     OP =  y  = ⋅  − 8  +  α  z 5  1   0        Après identification et élimination du scalaire α, l’équation de la droite ∆ est donnée par : y=

x 1 − 2 et z = , 2 5

c’est une droite contenue dans un plan parallèle au plan (O,x,y) situé à la côte z =

1 . 5

Exercice 3 1. L’axe central d’un torseur est parallèle à sa résultante. →

→

L’axe central de [T1 ]B est parallèle à R1 ; l’axe central de [T2 ]B est parallèle à R 2 , s’ils sont →

→

→

perpendiculaires nous aurons : R1 . R2 = 0 →

→

→

→

→

→

→

→

R1 . R2 = (2 x + y + 3 z ).(4 x + y − 3 z ) = 0 ce qui est vérifié. 2. Automoment du torseur [T1 ]B →

−→

A = R1 . M 1 ( B ) = −6 + 2 − 12 = −16 3. Axe central du torseur [T1 ]B : ∀P ∈ à l’axe central, le moment en ce point est parallèle à la −→

→

résultante: M 1 ( P ) = λ R1 , son équation vectorielle est donnée par : −−→

BP =

→

−→

R1 ∧ M 1 ( B) ( R1 ) 2

 2  − 3 1    + α R1 = 1 ∧  2  +α 14      3  − 4 →

3

 2   − 5 / 7 + 2α       1  =  − 1 / 14 + α   3   1 / 2 + 3α     

→

4. Pas du torseur [T2 ]B :

P2 =

−→

R2 . M 2 ( B ) ( R2 )

2

=

12 − 2 − 12 1 =− 26 13

→ →  → → →  R = R1 + R2 = 6 x + 2 y 5. Torseur somme [T ]B = [T1 ]B + [T2 ]B ; [T ]B =  −→ −→ −→ → M ( B) = M 1 ( B) + M 2 ( B) = 0 a) c’est un glisseur car le moment au point B est nul ; b) l’axe central est parallèle à la résultante, il s’écrit pour deux points B et C appartenant à cet axe : → −→ y → −−→ → → → → R∧ M ( B) R BC = + α R = α R = 6 α x + 2 α y C ( R) 2 2 C’est l’équation d’une droite parallèle à la résultante. B x 0

4

4

10