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UNIVERSITE IBN ZOHR FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE AGADIR
Octobre 2010
TD de Mécanique du solide SM3 Série n° 1 Exercice 1 r r r Soit R (O, x , y, z ) un repère orthonormé direct et soit M t le champ de vecteurs défini par :
1 + 3 y − tz M t ( P) = − 3x + 2tz 2 + tx − t 2 y Où (x, y, z) sont les coordonnées du point P dans (R) et t un paramètre réel. 1. Pour quelles valeurs de t ce champ est associé à un torseur ? 2. Lorsque c’est un torseur, calculer sa résultante.
Exercice 2 Dans le repère (O; i, j , k ) , soient A(3, 0, 0) et B(−1, 2, 1) deux points de l’espace. Soit V un champ de vecteur équiprojectif défini tel que :
1 1 V (O) = 1 , V ( A) = 1 , 4 1
2 V (B ) = − 1 9
1. Déterminer la résultante R du torseur [T ] associé au champ V . 2. En déduire V ( M ) en tout point M(x, y, z) de l’espace. 3. Déterminer l’axe central ∆ du torseur, et calculer V sur ∆.
Exercice 3
Soient deux torseurs [T1 ]B et [T2 ]B définis en un point B, par leurs éléments de réduction ; par rapport à
r r r
une base orthonormée directe (O, x , y, z )
[T1 ]B
r r r → R1 = 2 x + y + 3 z = → r r r M 1 ( B) = −3 x + 2 y − 4 z
et
[T2 ]B
r r r → R2 = 4 x + y − 3 z = → r r r M 2 ( B) = 3 x − 2 y + 4 z
1. 2.
Montrer que les axes centraux des deux torseurs sont perpendiculaires. Calculer l’invariant scalaire du torseur [T1 ] .
3.
Déterminez l’axe central du torseur
4.
Calculer le pas du torseur
5.
Construire le torseur a) De quel type est le torseur somme ? b) Représenter le système équivalent si le point B a pour coordonnée ( 4, 0, 0 ).
[T1 ] .
[T2 ] . [T ]B = [T1 ]B + [T2 ]B .
1
TD de Mécanique du solide SM3 Série n°1-corrigé Exercice 1 r r r Soit R (O, x , y, z ) un repère orthonormé direct et soit M t le champ de vecteurs défini par :
1 + 3 y − tz M t ( P) = − 3x + 2tz 2 + tx − t 2 y Où (x, y, z) sont les coordonnées du point P dans (R) et t un paramètre réel. 1. Les valeurs de t pour lesquelles ce champ est associé à un torseur :
M t ( P) est un champ associé à un torseur s’il existe un vecteur R tel que : M t ( P ) = M t (O) + R ∧ OP O étant l’origine du repère (R). 1 + 3 y − tz 1 R1 x 1 + R2 z − R3 y M t ( P ) = − 3x + 2tz = 0 + R2 ∧ y = R3 x − R1 z 2 + tx − t 2 y 2 R z 2 + R y − R x 1 2 3 On trouve que : R1 = -2t = t² ; R2 = -t et R3 = -3 soit t = 0 ou t= 2. 2. Pour t = 0, la résultante du torseur est :
0 R0 = 0 − 3 Pour t = 2, la résultante du torseur est :
− 4 R2 = − 2 − 3 Exercice 2 1. la résultante R du torseur [T ] associé au champ V est telle que :
V ( A) = V (O) + R ∧ OA 1 1 R1 3 1 1 = 1 + R2 ∧ 0 = 1 + 3R3 1 4 R 0 4 − 3R 2 3 Soit R3 = 0 et R2 = 1.
V ( B) = V (O) + R ∧ OB 2 1 R1 − 1 1 + R2 − 2 R3 − 1 = 1 + R2 ∧ 2 = 1 − R3 − R1 9 4 R 1 4 + 2R + R 1 2 3 Soit pour R3 = 0 et R2 = 1 on trouve que R1 = 2. On a aussi :
2
2. V (M ) en tout point M(x, y, z) de l’espace est tel que :
V ( M ) = V (O) + R ∧ OM 1 2 x 1+ z V (M ) = 1 + 1 ∧ y = 1 − 2z 4 0 z 4 − x + 2 y On peut vérifier pour V ( A) et V (B) . 3. Détermination de l’axe central ∆ du torseur et calcul de V sur ∆.
{∀P ∈ ∆ /
V ( P) // R
}
R ∧ V ( P) = R ∧ V (O) + R ∧ ( R ∧ OP) = 0 R ∧ V (O) + ( R ⋅ OP) R − ( R ) 2 OP = 0 En posant le scalaire α =
( R ⋅ OP) ( R) 2
, on aura : OP =
R ∧ V (O) ( R) 2
+α R
2 1 4 R ∧ V (O) = 1 ∧ 1 = − 8 et ( R) 2 = 4 + 1 = 5 0 4 1 x 4 2α 1 OP = y = ⋅ − 8 + α z 5 1 0 Après identification et élimination du scalaire α, l’équation de la droite ∆ est donnée par : y=
x 1 − 2 et z = , 2 5
c’est une droite contenue dans un plan parallèle au plan (O,x,y) situé à la côte z =
1 . 5
Exercice 3 1. L’axe central d’un torseur est parallèle à sa résultante. →
→
L’axe central de [T1 ]B est parallèle à R1 ; l’axe central de [T2 ]B est parallèle à R 2 , s’ils sont →
→
→
perpendiculaires nous aurons : R1 . R2 = 0 →
→
→
→
→
→
→
→
R1 . R2 = (2 x + y + 3 z ).(4 x + y − 3 z ) = 0 ce qui est vérifié. 2. Automoment du torseur [T1 ]B →
−→
A = R1 . M 1 ( B ) = −6 + 2 − 12 = −16 3. Axe central du torseur [T1 ]B : ∀P ∈ à l’axe central, le moment en ce point est parallèle à la −→
→
résultante: M 1 ( P ) = λ R1 , son équation vectorielle est donnée par : −−→
BP =
→
−→
R1 ∧ M 1 ( B) ( R1 ) 2
2 − 3 1 + α R1 = 1 ∧ 2 +α 14 3 − 4 →
3
2 − 5 / 7 + 2α 1 = − 1 / 14 + α 3 1 / 2 + 3α
→
4. Pas du torseur [T2 ]B :
P2 =
−→
R2 . M 2 ( B ) ( R2 )
2
=
12 − 2 − 12 1 =− 26 13
→ → → → → R = R1 + R2 = 6 x + 2 y 5. Torseur somme [T ]B = [T1 ]B + [T2 ]B ; [T ]B = −→ −→ −→ → M ( B) = M 1 ( B) + M 2 ( B) = 0 a) c’est un glisseur car le moment au point B est nul ; b) l’axe central est parallèle à la résultante, il s’écrit pour deux points B et C appartenant à cet axe : → −→ y → −−→ → → → → R∧ M ( B) R BC = + α R = α R = 6 α x + 2 α y C ( R) 2 2 C’est l’équation d’une droite parallèle à la résultante. B x 0
4
4
10