TD Antennes PDF [PDF]

Zitiervorschau

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Electromagnétisme Exercice N° 1: Montrez qu’une onde plane est une solution de l’équation d’onde. Corrigé : L’expression mathématique d’une onde plane se propageant selon une direction définie  par le vecteur unitaire u est:      ( r , t )  A e j(t - k r ) avec k  k u et k =  / c.

  k est, par définition, le vecteur d’onde et r est la direction qui sépare le point d’observation de l’origine des axes du système de référence. 2 2 2 2 decoordonnées cartésienne,  Dans  le système   on a:  k = kx + ky + kz ,  k  k x ix  k y iy  k z iz et r  x ix  y iy  z iz .  k r  kx x  k y y  kz z 

L’équation d’onde s’écrit :  -

1  2 c 2 x 2

0



ou

 2 x 2



 2 y 2



 2 z 2

-

1  2 c 2 t 2



0

   A exp j(t - k x x - k y y - k z z)  - j k x A exp j(t - k x x - k y y - k z z) x x  2  2  ou - j k x A exp j(t - k x x - k y y - k z z)  - k x 2 A exp j(t - k x x - k y y - k z z) 2 2 x x 2     - kx2  . 2 x  2  2  - k y 2  et  - k z2  De même, on aura : 2 2 y z On a:



D’où :

 2 2





 2 2



 2 2

 - k 2x  - k 2y  - k 2z   - k 2 

x y z    On a aussi: A exp j(t - k x x - k y y - k z z)  j  A exp j(t - k x x - k y y - k z z) t t  2  2 ou  j  A exp j(t - k x x - k y y - k z z)  - 2 A exp j(t - k x x - k y y - k z z) 2 2 t t 2 1   2   - k2   2 2 2 c t c 1  2  - k2   k2   0 D’où :  2 2 c x









1

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Exercice N°2 :    Soit U( r ) , une fonction scalaire et V( r ) , une fonction vectorielle de points. Dans le  système de coordonnées curvilignes (u1,u2,u3), on a: grad U  1 U e1  1 U e 2  1 U e 3

et

 div V 

h1 u 1 h 2 u 2 h 3 u 3    1 r   1   et h  r (i = 1, 2, 3). h 2 h 3 V1    h 3 h1 V2    h1 h 2 V3  , avec ei  i  h  u u 3 u i h 1h 2 h 3  u1 u 2 i i 

1. Utilisez ces deux opérateurs pour exprimer le Laplacien scalaire U en fonction des coordonnées (u1,u2,u3).  2. Explicitez les composantes en coordonnées cartésiennes (x,y,z) d'un vecteur r en fonction des coordonnées sphériques (r,,).    3. Déterminez les vecteurs unitaires (e1 , e 2 , e 3 ) et leurs paramètres directeurs (h1, h2, h3) en fonction des coordonnées (r,,). Corrigé:  1. Le Laplacien scalaire U s'écrit aussi: ΔU  div grad U .   Posons : V  grad U . Dans le système de coordonnées curvilignes (u1,u2,u3) on a:  1 U  1 U  1 U  grad U  e1  e2  e3 h 1 u 1 h 2 u 2 h 3 u 3     1 h 2 h 3 V1    h 3 h1 V2    h1 h 2 V3  div V   h 1h 2 h 3  u 1 u 2 u 3 

En explicitant ces deux opérateurs dans le Laplacien, on obtient:    h 2 h 3 U    h 1 h 2 U  1   h 3 h 1 U          U   h 1h 2 h 3  u 1  h 1 u 1  u 2  h 2 u 2  u 3  h 3 u 3  2. Dans le système de coordonnées sphériques, le point (P) est repéré par la distance u1 = r ,

l'angle de site u2 =  et l'angle d'azimut u3 = .       Les vecteurs unitaires sont e1 = ir , e 2 = i , e 3 = i .    Soit ix , iy et iz , les vecteurs unitaires du

z

 i (P) 

r

 ir

 i

(O)

système de coordonnées cartésiennes et x , y et z    les composantes du vecteur OP  r . x En projetant ce vecteur sur les axes Oz et O, on trouve que: z = r cos et  = r sin Puis, en projetant la composante  sur les axes Ox et Oy, on obtient: x = r sin cos et y= r sin  sin.     D'où: r  x ix  y iy  z iz  r sin cos ix  sin  sin  iy  cos  iz

y  

3. Par définition, les vecteurs unitaires du système de coordonnées curvilignes sont et les paramètres directeurs de ces vecteurs sont respectivement:    1 r r ei  avec i = 1, 2, 3. et hi  h i u i u i Par conséquent, on aura:

2

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

    r    [r sin cos ix  r sin sin iy  r cos iz ] r r     r  sin cos ix  sin sin iy  cos iz  r  r  [sin 2  cos 2   sin 2  sin 2   cos 2 ]1 / 2  [sin 2  (cos 2   sin 2 )  cos 2 ]1/ 2 et h r  r     ir  sin cos ix  sin sin iy  cos iz ou h r  [sin 2   cos 2 ]1 / 2  hr = 1 et     r   [r sin cos ix  r sin sin iy  r cos iz ]        r   r [cos cos ix  cos sin iy  sin iz ] et   r h   r [cos 2  cos 2   cos 2  sin 2   sin 2 ]1/ 2  r [cos 2  (cos 2   sin 2 )  sin 2 ]1/ 2      h = r et i  cos cos ix  cos sin iy  sin iz ou h   r [sin 2   cos 2 ]1/ 2      r    [r sin cos ix  r sin sin iy  r cos iz ]      r   r [- sin sin ix  sin cos iy ]   r et h    r [sin 2  sin 2   sin 2  cos 2  ]1/ 2  r sin [cos 2   sin 2 ]1 / 2     i   sin ix  cos iy  h = r sin et

Exercice N°3:    1. Le double produit vectoriel de trois vecteurs A , B et C s’écrit :               A  B  C  (A . C) B - (A . B) C . Montrez que ro t ro t V  grad divV  ΔV en utilisant l’opérateur nabla (). 2. Citez les lois de l'électricité d'où sont issues les équations de Maxwell. 3. Précisez les caractéristiques électriques du vide et écrivez les équations de Maxwell dans un tel milieu.      4. Sachant que ro t ro t V  grad divV - V , trouvez à l'aide des équations de Maxwell, les équations de propagation des champs électrique et magnétique dans le vide. 5. A partir des équations de Maxwell dans le vide, montrez que le champ électrique et le  champ magnétique dérivent d’un potentiel scalaire  et d’un potentiel vecteur A . 6. Déterminez la condition de Lorentz et trouver les équations de propagation des potentiels   et A dans le vide. Corrigé de l'exercice N°3:          1. En développant le double produit vectoriel, on a: A  B  C  (A . C) B - (A . B) C .     Faisons: A   , B   et C  V . En remplaçant, on a :          V  ( . V)  - ( . ) V  ( V) -  2 V       Or: ro t V    V , divV  V , gradU  U  div gradU  (U)   2 U  U

3

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

 Sachant que chaque composante de V est une fonction scalaire telle que U, on en déduit    que:  V   2 V .      D'où: ro t ro t V  grad divV - V   B 2. ro t E   Lois de Faraday et de Maxwell (génération d'une f.e.m.) t     D   J Lois d'Ampère et de conservation des charges (équation de continuité) ro t H  t  divB  0 Loi de Maxwell (conservation du flux d'induction magnétique  Théorème de Gauss (Equation de Poisson) div D      avec D  E et B  H .

3. Pour que le milieu de propagation soit assimilé au vide, il ne doit y avoir ni charges, ni  courants, c'est-à-dire que  = 0 et J  0 . De plus, dans le système SI (MKSA rationalisé), on doit avoir:  = o = (1/36) 10-9 F/m et  = o = 4 10-7. Compte tenu des  conditions dans le vide, les équations de Maxwell s'écrivent:  H ro t E   o t  E ro t H   o t  divH  0  divE  0

       4. Sachant que: ro t ro t V  grad divV - V , on a en posant V  E :         H  )   o (ro t H) ro t ro t E  grad divE - E  ro t ( o t t   2      E  E car divE  0  ro t ro t E  - E   o ( o )   o  o 2 t t t  2  1  E avec c = (o o)-1/2 = 3 10+8 m/s. D'où: E  2 2  0 c t      1  2H De même, en faisant V  H , le calcul est identique et on trouve que: H  2 2  0 c t   5. La troisième équation de Maxwell est divB  0 . Elle implique que div rotA  0 . En   identifiant, on voit que le champ B dérive bien du potentiel vecteur A . Soit:   B  ro t A En remplaçant de Maxwell, on obtient:   dans la première équation     B  A ) ro t E    - (ro t A)  ro t (t t t L'équation  des rotationnels est résolue à un gradient près, car on a:  ro t gradU    (U)  (  ) U  0   De plus, en électrostatique, on avait trouvé que: E  - gradU .

4

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Faisons: U = . En superposant les deux types d'équations, on obtient:        A    A ro t E  ro t ()  ro t (- grad )  ro t - grad  t  t     A D'où: E  - grad t  Le champ E dérive donc du potentiel scalaire .     E 6. En combinant la seconde équation de Maxwell ro t H   o et B  ro t A , on a: t         A  E ro t ro t A  ε o μ o  gradΦ   ro t B   o  o  t  t  t      Φ   2A - ε oμ o 2 et grad divA - A  - grad ε o μ o t   t     1 Φ    1  2A 1 A - 2  gra d avec c  ou divA  2 t  2 c t c ( o  o )1/ 2   Le premier membre de cette équation est celui de l'équation d'onde.  1 Φ Or, d'après la condition de Lorentz : divA  2 0 c t    1  2A  0 D'où: A - 2 c t 2     A En combinant la quatrième équation de Maxwell divE  0 et E  - grad , on a: t        A A div( )  div grad  0 divE  div - grad   0  t  t  ou  

    1  2Φ (divA)  0 . Or, d'après la condition de Lorentz: (divA)  - 2 2 t t c t

D'où:  

1  2 c 2 t 2

0

   Comme les champs E et H , les potentiels  et A se propagent comme dans des ondes dans le vide à la vitesse de la lumière. Exercice N°4 : (7pts) Enoncé:    Soit U( r ) , une fonction scalaire et V( r ) , une fonction vectorielle de points. Dans le  système de coordonnées curvilignes (u1,u2,u3), on a: grad U  1 U e1  1 U e 2  1 U e 3

et

 div V 

1 h 1h 2 h 3

   h 2 h 3 V1    h 3 h1 V2    h1 h 2 V3  ,  u u u    2 3  1 

5

avec

h1 u 1   1 r ei  h i u i

h 2 u 2

et

 r hi  u i

h 3 u 3

(i = 1, 2, 3).

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

4. Utilisez ces deux opérateurs pour exprimer le Laplacien scalaire U en fonction des (1pt) coordonnées (u1,u2,u3).  5. Explicitez les composantes en coordonnées cartésiennes (x,y,z) d'un vecteur r en fonction des coordonnées sphériques (r,,). (1pts)    6. Déterminez les vecteurs unitaires (e1 , e 2 , e 3 ) et leurs paramètres directeurs (h1, h2, h3) en fonction des coordonnées (r,,). (2pts) 7. Précisez les caractéristiques électriques du vide et écrivez les équations de Maxwell dans un tel milieu. (1pt1/2)      8. Sachant que ro t ro t V  grad divV - V , trouvez à l'aide des équations de Maxwell, les équations de propagation des champs électrique et magnétique dans le vide. (1pt1/2) Corrigé:  1. Le Laplacien scalaire U s'écrit aussi: ΔU  div grad U .   Posons : V  grad U . Dans le système de coordonnées curvilignes (u1,u2,u3) on a:  1 U  1 U  1 U  grad U  e1  e2  e3 h 1 u 1 h 2 u 2 h 3 u 3     1 h 2 h 3 V1    h 3 h1 V2    h1 h 2 V3  div V   u 2 h 1h 2 h 3  u 1 u 3 

En explicitant ces deux opérateurs dans le Laplacien, on obtient:    h 2 h 3 U    h 1 h 2 U  1   h 3 h 1 U          U   h 1h 2 h 3  u 1  h 1 u 1  u 2  h 2 u 2  u 3  h 3 u 3  2. Dans le système de coordonnées sphériques, le point (P) est repéré par la distance u1 = r ,

l'angle de site u2 =  et l'angle d'azimut u3 = .       Les vecteurs unitaires sont e1 = ir , e 2 = i , e 3 = i .    Soit ix , iy et iz , les vecteurs unitaires du

(1pt)

z

 i

(P) 

r

 ir

 i

(O)

système de coordonnées cartésiennes et x , y et z    les composantes du vecteur OP  r . En projetant ce vecteur sur les axes Oz et O, x on trouve que: z = r cos et  = r sin Puis, en projetant la composante  sur les axes Ox et Oy, on obtient: x = r sin cos  et y= r sin  sin.     D'où: r  x ix  y iy  z iz  r sin cos ix  sin  sin  iy  cos  iz

y

 

(1pt)

3. Par définition, les vecteurs unitaires du système de coordonnées curvilignes sont et les paramètres directeurs de ces vecteurs sont respectivement:    1 r r ei  et avec i = 1, 2, 3. hi  h i u i u i Par conséquent, on aura:

6

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

    r    [r sin cos ix  r sin sin iy  r cos iz ] r r     r  sin cos ix  sin sin iy  cos iz  r  r et h r   [sin 2  cos 2   sin 2  sin 2   cos 2 ]1 / 2  [sin 2  (cos 2   sin 2 )  cos 2 ]1/ 2 r     ir  sin cos ix  sin sin iy  cos iz ou h r  [sin 2   cos 2 ]1 / 2  hr = 1 et     r   [r sin cos ix  r sin sin iy  r cos iz ]        r   r [cos cos ix  cos sin iy  sin iz ] et   r h   r [cos 2  cos 2   cos 2  sin 2   sin 2 ]1/ 2  r [cos 2  (cos 2   sin 2 )  sin 2 ]1/ 2      h = r et i  cos cos ix  cos sin iy  sin iz ou h   r [sin 2   cos 2 ]1/ 2      r    [r sin cos ix  r sin sin iy  r cos iz ]      r   r [- sin sin ix  sin cos iy ]   r et h    r [sin 2  sin 2   sin 2  cos 2  ]1/ 2  r sin [cos 2   sin 2 ]1 / 2     i   sin ix  cos iy (2pts)  h = r sin et 4. Pour que le milieu de propagation soit assimilé au vide, il ne doit y avoir ni charges, ni  courants, c'est-à-dire que  = 0 et J  0 . De plus, dans le système SI (MKSA rationalisé), on doit avoir:  = o = (1/36) 10-9 F/m et  = o = 4 10-7. Compte tenu  des conditions dans  le vide, les équations de Maxwell s'écrivent:      H E ; ro t H   o ; divH  0 ; divE  0 (1pt1/2) ro t E   o t t         H  5. On a: ro t ro t E  grad divE - E  ro t ( o )   o (ro t H) t t   2      E  E  ro t ro t E  - E   o ( o car divE  0 )   o  o 2 t t t  2  1  E avec c = (o o)-1/2 = 3 10+8 m/s. D'où: E  2 2  0 c t    1  2H (1pt1/2) De même, avec un calcul identique, on trouve que: H  2 2  0 c t Exercice N° 5 : (6 pts) Enoncé: 1. Dans le système de coordonnées sphériques, écrivez les composantes du champ électromagnétique émis à grande distance par un dipôle électrique de longueur dl. (1pt)

7

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications





 1   2. Calculez le flux moyen de puissance électromagnétique P  E  H émis par celui-ci. 2 (1pt) 3. Calculez la puissance totale PT rayonnée par ce dipôle et sa résistance de rayonnement. (2pts) 4. Déterminez son gain G(,), étudiez celui-ci et tracez les diagrammes de directivité dans les plans E et H. (2pts) Corrigé: 1. Les composantes du champ électromagnétique rayonné à grande distance, sont (r >> ) :

Er = 0

,

i dl   E   j o  o 2  r  o

1/2

  

sin e

j( t -

2 r ) 

,

E = 0 2 r

j( t ) i dl  H  j o sin e Hr = 0 , H = 0 , (1pt) 2r  1   2. Le flux moyen de puissance électromagnétique est P  (E  H * ) , avec : 2 2 r 2 r 1/2   - j( t )  j( t )  *  i o dl i o dl   o  *  i    sin e sin e E  E  i  j i et H  H  i  - j  2r 2  r  o    E  H    1/2 ( i  i  )  P(, ) ir Comme (o/o) = 120, il vient: P  2 2

avec P(, ) 

15 1 E  2 2 i 2o dl 2 sin 2  2 120  r

(1pt)

3. Soit une surface sphérique (S) de centre (O) et de rayon r entourant le dipôle électrique. Cette surface est décomposable en divers  anneaux circulaires centrés sur Oz , de rayon égal à r sin et d'épaisseur r d. Chacun de ces anneaux est à son tour décomposable en rectangles élémentaires de côtés r sin d et r d. Dans ce cas, l'élément de surface qui en résulte, vaut: dS = (r sin d) (r d) = r2 sin d d, avec 0    2 et 0    ,  et sa normale est n  ir . La puissance totale rayonnée par l'antenne   est: PT   P.n dS

z

 ir

(O



r d

(P) y

 d 

(S)

 2

PT  



0 0

x   15 2 2  2 2 i o dl sin 2   r 2 sin d d   r

En intégrant, on a successivement: PT 

15 2



2

0

0

i 2o dl 2  sin 3  d  d 

8

30 2 2



i 2o dl 2  sin 3  d 0

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters 

 sin

0

3



2





0

0



 cos 3   4 cos  sin d  - cos    3 3   0 2

 d   (1 - cos ) sin d   sin d -  0

dl 2

D'où, la puissance totale rayonnée: PT  40 2 et la résistance de rayonnement: R  80 2

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

2

i 2o 

1 R i 2o 2

dl 2

(2pts)

2

3. Le gain de l'antenne dans la direction (,) est par définition: G(, ) 

P(, ) PT 4r 2

En explicitant P(,) et PT, on obtient: 15 2 2 i o dl sin 2  2 2 PT 10 3 G(, )   r  sin 2   2 2 i 2o dl 2 et 2 1 0  2 4r  r i 2 dl 2 2 2 o  r Dans le plan xOy (plan H) : G() = 3/2  0    360°. Ce gain est omnidirectionnel et le diagramme de directivité est une circonférence de centre (O) et de rayon égal à 3/2. 3 Dans le plan zO (plan E): G()  sin 2  avec  = o = Cte et 0    360°. 2 Ce gain est une fonction réelle, périodique de période 2 et admettant les symétries G(- ) = G() et G( - ) = G(). L'étude restreinte à l'intervalle 0    /2, donne:  G()

0 0

30° 3/8

45° 3/4

60° 9/8

90° 3/2

 D'où, le diagramme qui se compose de deux lobes centrés sur l'axe O . y

z  G()

(O)

G() 

3 sin 2  2

(O)





x

- 3/2

+ 3/2

(2pts)

9

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Antenne rectiligne, de longueur L, verticale, ouverte à son extrémité ----------------------------------------------------------------------------------Exercice N° 1 : (7 pts) Enoncé: Une antenne rectiligne, de longueur L = 12 m, verticale et ouverte à son extrémité supérieure, se trouve en présence du sol qui est assimilé à un conducteur parfait. Elle est alimentée à sa base par un courant sinusoïdal HF d’amplitude I(z) = IM sin[2(L – z)/] , avec IM = 10 A. 1. Représentez l'antenne en présence du sol dans le plan vertical zO et dans ce plan, par un dessin qui décrit l'antenne équivalente composée de l'antenne réelle et de son image. (1pt) 2. Calculez la hauteur effective heff de l’antenne équivalente ainsi formée. (1pts½) 3. Déterminez la position du maximum hmax de la hauteur effective heff et son amplitude en fonction de L, dans l’intervalle L    4L. (1pts½) 4. Déterminez la valeur numérique de hmax et de la fréquence d'accord de l'antenne pour laquelle on obtient hmax . (1pts½) Trouvez dans ce cas, la valeur numérique de sa résistance de rayonnement R et celle de la puissance totale émise PT sachant que le rayonnement ne se fait que dans le demi-espace supérieur. (1pts½) Corrigé: 1. En application du théorème des images électriques, l'antenne en présence du sol équivaut à une antenne de longueur 2L alimentée à son centre et ouverte à ses deux extrémités. La figure suivante représente dans le plan zO, l'antenne en présence du sol et l'antenne équivalente formée de l'antenne réelle et de son image z z +L

+L

+ I(z)

(O)

 



Antenne en présence du sol

(O)

- I(z)

Antenne réelle

 

Antenne image -L

Le courant réel est de la forme: i(z,t) = I(z) ejt et le courant image: i'(z,t) = - I(z) ejt , avec 2 (1pt) I(z)  I M sin (L - z ) et - L  z  + L ( i va de 0 à + L et i' , de 0 à – L).  2. Par définition, la hauteur effective heff d' une antenne rectiligne, verticale, de longueur L, isolée dans l’espace, ouverte à son extrémité supérieure, excitée à sa base et parcourue par un courant sinusoïdal d’amplitude I(z)  IM , est:

10

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

h eff 

1 IM

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

L

 I(z) dz

0

En présence du sol, il faut tenir compte de l'image de l'antenne et la hauteur effective est: h eff 

L

1

 I(z) dz  I

IM

0

1

L



I(z)dz 

M 0

L

0

0

-L

1

L

I(z)dz I M L

 h eff   sin[k(L - z )] dz   sin[k(L - z )] dz Faisons z = Z dans la première intégrale et z = Z = - z dans la seconde. Il vient: L

L

 cos[k(L - Z)]  h eff  2  sin[k(L - Z)] dZ  2   k  0 0

D'où: h eff 

 2L  1 - cos    

(1ps1/2)

3. Posons: x = 2L/. La hauteur effective devient: heff = 2L (1 – cosx)/x. Tout d'abord, on a: heff = 0 pour cosx = 1  x = 2m = 2L/ (avec m = 0 , 1 , 2,…). Dans ce cas, heff est nul pour:  = L/m. Dans l'intervalle L/2    4L, les zéros de heff sont obtenus pour m = 1 et 2, car  = L et  = L/2. Faisons: dheff/dx = 0 pour trouver les maximums de la hauteur effective. Après dérivation, on obtient: x sinx – (1 – cosx) = 0 ou x = (1 – cosx) / sinx = 2 sin2(x/2) / 2 sin(x/2) cos(x/2). L'équation transcendante qui en résulte, est: tg(x/2) = x. Elle se résout soit graphiquement, soit numériquement par calculs successifs avec une calculatrice.

On trouve alors deux maximums, obtenus respectivement pour: x1  3/4 (x1 = 134°)  1 = 8L/3 et heff(1)  8L [1 + (21/2/2)] / 3 = 1,707 1/ = 1,45 L x2  3  2 = 2L/3 et heff(2) = 4L/3 = 0,42 L D'où, le tableau de valeurs:

11

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

 heff

L/2 0

2L/3 0,42 L

L 0

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

8L/3 1,45 L

4L 1,27 L

et la courbe heff = f().

(2pts) 4. Sachant que L = 12 m, le plus grand des maximums est donné par: hmax = heff(1) = 1,45 L et il vaut hmax = 1,45x12 m = 17,4 m. (1pt) 5. hmax est obtenu pour  = 8L/3 = 8x12/3= 32 m. D'où, la fréquence d'accord de l'antenne: F = c/ = 3 108/32 = 9,375 10-2 108 = 9,375 106 Hz = 9,375 MHz. (1pt) 6. La résistance de rayonnement R est celle d'un dipôle électrique de longueur heff parcouru par un courant sinusoïdal d'amplitude IM, mais n'émettant que dans le demi-espace supérieur. Donc, cette résistance et par conséquent, la puissance totale émise doivent être la moitié de celles observées dans tout l'espace. Soit: 2  1 1 2 2 h eff PT  R I M avec R  80  2 2  2  hmax/ = 1,707/ Pour  = 8L/3, on a: hmax = 1,45 L  2 2 et R = 40 (1,707/) = 40x2,9 =117  Comme IM = 10 A  PT = 1,17 104 / 2 = 5 850 W (1pts1/2) Exercice N° 2 : (7pts) Corrigé: Une antenne rectiligne, de longueur L = 25 m, verticale et ouverte à son extrémité, est alimentée à sa base par un courant sinusoïdal HF d’amplitude I(z) = IM sin[2(L – z)/] , avec IM = 10 A. 5. Représentez l'antenne en présence du sol par une antenne équivalente formée de l'antenne réelle et de son image. (1pt) 6. Calculez la hauteur effective heff de l’antenne en présence du sol assimilé à un conducteur parfait. Puis, trouvez sa résistance de rayonnement R et la puissance totale émise PT sachant que le rayonnement ne se fait que dans le demi-espace supérieur. (2pts) 7. En présence du sol, l'antenne est accordée à L =  /4. Calculez sa fréquence de travail F. Puis, déterminez les valeurs numériques de heff , R et PT? (2pts)

12

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

8. Avec l'approximation dipolaire électrique, le gain maximum de cette antenne dans le plan perpendiculaire est égal à 3/2. Dans ce cas, que vaut sa surface effective? (2pts)

Corrigé: 1. En application du théorème des images électriques, l'antenne en présence du sol équivaut à une antenne de longueur 2L alimentée à son centre et ouverte à ses deux extrémités. La figure suivante représente dans le plan zO, l'antenne en présence du sol et l'antenne équivalente formée de l'antenne réelle et de son image z z +L

+L

+ I(z)

 

(O)



Antenne en présence du sol

Antenne réelle

 

(O)

- I(z)

Antenne image -L

Le courant réel est de la forme: i(z,t) = I(z) ejt et le courant image: i'(z,t) = - I(z) ejt , avec 2 I(z)  I M sin (L - z ) et - L  z  + L ( i va de 0 à + L et i' , de 0 à – L).  (1pt) 2. Par définition, la hauteur effective heff d' une antenne rectiligne, verticale, de longueur L, isolée dans l’espace, ouverte à son extrémité supérieure, excitée à sa base et parcourue par un courant sinusoïdal d’amplitude I(z)  IM , est:

h eff 

1 IM

L

 I(z) dz

0

En présence du sol, il faut tenir compte de l'image de l'antenne et la hauteur effective est: h eff 

1 IM

L

 I(z) dz 

1 IM

L



I(z)dz 

L

0 0

0

-L

0

1

L

I(z)dz I M L

h eff   sin[k(L - z )] dz   sin[k(L - z )] dz Faisons z = Z dans la première intégrale et z = Z = - z dans la seconde. Il vient:

13



Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters L

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

L

 2L   cos[k(L - Z)]  h eff  2  sin[k(L - Z)] dZ  2  D'où: h eff  1 - cos  k     0 0 La résistance de rayonnement R est celle d'un dipôle électrique de longueur heff parcouru par un courant sinusoïdal d'amplitude IM, mais n'émettant que dans le demi-espace supérieur. Donc, cette résistance et par conséquent, la puissance totale émise doivent être la moitié de celles observées dans tout l'espace. Soit: 2  1 1 2 h eff 2 PT  R I M avec R  80 (2pts)  2 2  2  3. On a: L = /4 = 25 m   = 100 m et F = c/ = 3 108 / 102 = 3 106 Hz ou F = 3 MHz. kL = 2L/ = (2 /) (/4) = /2 et cos(2L/) = 0  heff = / = 100/ = 31,8 m. R = 40 2 (heff)2/2 = 4022/22 = 40  IM = 10 A  PT = 40 102 / 2 = 2 000 W = 2 kW (2pts) 4. La relation entre le gain et la surface effective est: S = 2 G /4. Or , G = 3/2  S = 3 (100)2/ 8 = 1194 m2

14

(2pts)

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Antenne rectiligne, de longueur L, horizontale, parcourue par des ondes progressives ---------------------------------------ExerciceN°1: Une antenne rectiligne, de longueur L, parcourue par des ondes progressives d'amplitude  I(y) = Io e- j ky et isolée dans l'espace, est portée par l'axe Oy d'un système de référence Oxyz. 1. Calculez le champ rayonné à grande distance par cette antenne. 2. Trouvez sa fonction caractéristique de rayonnement et étudiez la pour  = 90° et L = 5/2. 3. Tracez le diagramme de rayonnement. Corrigé: 1. Considérons une antenne composée d'un conducteur cylindrique, rectiligne, de section (s) et de longueur L, isolée dans l'espace, disposée horizontalement, alimentée à son entrée (O) par un générateur sinusoïdal et fermée à son autre extrémité sur son impédance caractéristique. Dans ce cas, cette antenne qui se comporte comme une ligne de transmission adaptée à cette impédance, est parcourue par des ondes progressives caractérisées par un courant d'amplitude: I(y) = Io e- j ky z

(P) r

rM

  ir

 iz

 ix

(O)

  iy

(M)

M

+L

y

I(y)



 

x

Faisons l'approximation dipolaire électrique du rayonnement à grande distance. Cette antenne peut être considérée comme étant formée d'une infinité d'antennes élémentaires de  longueur (dy) et de même section (s), alignées le long de Oy . Le champ électrique émis par l'élément d'antenne se trouvant au point (M) de coordonnées (rM, M, M), s'écrit alors: 60 I(y) dy sin M e j( t - krM )  rM avec MP = rM et 0  y  + L dE ( M )  j

Dans ce cas, le courant sinusoïdal qui parcourt l'antenne, est d'amplitude égale à: I(y) = Io e- j ky avec 0  y  + L.     A grande distance, on a r >>. De plus, les vecteurs OP  r et MP  rM sont presque parallèles. Par conséquent, on en déduit que: M   , M   et M  

15

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Comme la phase varie plus vite que l'amplitude, on peut faire les approximations suivantes:  rM  r pour l'amplitude  rM  r – y cos pour la phase     Etant donné que: ir .  cos sin ix  sin sin iy  cos iz , on en déduit que:   cos   ir . iy  sin sin et sin = (1 – cos2)1/2 = [1 – sin2 sin2]1/2 Le champ total émis par l'antenne vaut alors: L 60 E  j sin e j( t - kr )  I(y) e jkycos dy r 0 

E  j

L 60 I o [1 - sin 2  sin 2 ]1/2 e j(t - kr )  e jky[sin sin - 1] dy r 0

Il vient:

L

e

L

jky[sin sin - 1]

0



jkL[sin sin - 1]

e -1  e jk[sin sin - 1]

jkL[sin sin - 1]

ou

e -1  2 jk[sin sin - 1]

j

 e jky[sin sin - 1]  e jkL[sin sin - 1] - 1 dy     jk[sin sin - 1]  jk[sin sin - 1]  0

kL [sin sin - 1] 2

 j kL[sin sin - 1] - j kL[sin sin - 1]   e 2  -e 2   jk[sin sin - 1]      

kL [sin sin - 1] j kL[sin sin - 1] 2 e 2 avec k = 2/ k[sin sin - 1]

sin

En remplaçant dans l'expression du champ on obtient alors: 60 E  j I o [1 - sin 2  sin 2 ]1/2 r

sin

L [sin sin - 1] j(t - kr  kL [sin sin - 1])  2 e   [sin sin - 1]

Ce champ s'écrit aussi: E  j

60 I o [1 - sin 2  sin 2 ]1/2 r

sin

L [1 - sin sin] j( t - kr  kL[sin sin - 1])  2 e [1 - sin sin]

2. La fonction caractéristique de rayonnement de l'antenne considérée, est la partie angulaire du champ électrique. Soit:

F(, )  [1 - sin 2  sin 2 ]1/2

sin

L [1 - sin sin]  [1 - sin sin]

Comme pour l'antenne verticale, F(,) se décompose en deux fonctions caractéristiques F() et F(), respectivement analysées dans les plans E (zO) et H (xOy). L'espace où le champ est rayonné, est décrit par 0°    360° et 0°    180°. Mais, les 16

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

diagrammes de rayonnement représentant F() et F() sont obtenus en traçant ceux-ci pour 0°    360° avec  = o = Cte et 0°    360° avec  = /2 respectivement. Pour  = 90° (plan xOy), sin = 1 et [1 – sin2 sin2]1/2 = [1 –sin2]1/2 = cos. D'où: F() 

cos L sin [1 - sin] [1 - sin] 

Pour  = 90° (plan zOy), sin = 1 et [1 – sin2 sin2]1/2 = [1 –sin2]1/2 = cos. D'où: F() 

cos L sin [1 - sin] [1 - sin] 

Ces deux fonctions sont de forme identique. Donc, leur étude est identique. Aussi, nous nous limiterons à celle de F(). Pour L = 5/2 et L/ = 5/2. D'où: F() 

cos 5 sin [1 - sin] [1 - sin] 2

Son étude comporte les étapes suivantes: 

Définition: F() est définie dans l'ensemble des réels,    ]- , + [ , sauf pour toutes les valeurs p = 2p (avec p = 0 , 1, 2 , …) pour lesquelles F(p) = 0/0.

Cette indétermination est levée en remarquant que F() est le produit de deux fonctions qui sont définies quel que soit   ] - , +  [. Ce sont: cos  1 et 5 sin [1 - sin] 5 2 , car cette dernière fonction est de la forme Si(X) = sin(aX) /X et sa  [1 - sin] 2 limite est limX0 Si(X) = a. 





Périodicité: F() est composée de fonctions trigonométriques telles que cos et sin, qui sont périodiques de période 2. Cette fonction est aussi périodique de période 2. Par conséquent, son domaine d'études est fixé de 0 à 2.  Symétries: Il est facile de vérifier que: F( - ) = F() (symétrie par rapport à Oy ). Cette symétrie réduit l'étude détaillée de F() à l'intervalle - /2    + /2. Par contre, on a: F(-)  F(). Recherche des zéros: Ce sont les valeurs de  obtenues lorsque F() = 0.



cos sin

cos = 0 

5 [1 - sin]  0 , c'est-à-dire que: 2  =  90°

et

sin

5 [1 - sin]  0 2



5 [1 - sin m ]  m 2

ou 5 (1 - sinm) / 2 = m. Soit: sinm = 1 + 2m/5. Les autres zéros sont donc: m=0



sino = 1

et

o = 90°

m=-1



sin-1 = 3/5

et

-1 = 36° 52'  37°

m=-2



sin-2 = 1/5

et

-2 = 11° 32'  12° 17

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters



U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

m=-3



sin-3 = -1/5 et

-3 = - 11° 32' -12°

m=-4



sin-4 = - 3/5 et

-4 = - 36° 52' - 37°

m=-5



sin-5 = - 1

-5 = - 90°

et

Etude de l'enveloppe du diagramme: La fonction caractéristique de rayonnement F() est le produit de deux fonctions F1() = cos / (1 – sin) et F2() = 5(1 - sin)/2.

F1() est l'enveloppe de F2(). Ses variations sont décrites par le tableau de valeurs:

 F1()

- 90°

- 30°

0°

+ 30°

+ 90°

0

3-1/2

1

31/2

+

D'où, la courbe représentative de cette enveloppe:

(O)

y 

F1()

x 



Recherche des maximums: Les maximums sont déterminés soit à la calculatrice en testant diverses valeurs de F() situées entre deux zéros successifs, soit en résolvant graphiquement l'équation dF()/d = 0. Les maximums sont:

M1 = - 53°



F(M1) = 0,33

M2 = - 24°



F(M2) = 0,64

M3  0°



F(M3) = 1

M4 = + 24°



F(M4) = 1,54

M5 = + 60°



F(M5) = 3,25

Tableau de valeurs: En incluant les valeurs remarquables, celui-ci est:

18

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications



- 90°

-53°

F1()

0

0,33

F2()

0

1

0

1

0

1

0

1

F()

0

0,33

0

0,64

0

1

0

1,54

- 37°

-24°

- 12°

0,64

0°

+ 12°

1

+24°

+ 37°

60°

+ 90°

3,73

+

0

0,87

0

0

3,25

0

1,54

Diagramme de rayonnement: Ce dernier est obtenu en traçant point par point la courbe du demi plan inférieur dans le système de coordonnées polaires, ou en faisant le produit des deux  fonctions F1() et F2(), puis le reste du diagramme grâce à la symétrie par rapport à l'axe Oy . La courbe qui en résulte est un diagramme composé de dix lobes répartis symétriquement de  part et d'autre de l'axe Oy .

19

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Réseaux d'antenne ----------------------Exercice N°1 : (6 pts) Enoncé:  Quatre sources ponctuelles d’ondes électromagnétiques alignées le long de l’axe Oz et espacées d’une source à l’autre d’une distance d = /2, émettent chacune un champ électrique   E n  E o e j[ ωt  krn  k(n  1) d ] i . La première antenne se trouve à l'origine (O) et rn est la distance séparant le point d’observation (P) du point (Mn) repérant la position de la source (n), avec n = 1 , 2 , 3 et 4. 1. Explicitez le champ électrique émis par chacune de ces sources. Puis, calculez le champ total rayonné à grande distance par le réseau formé des quatre antennes. (2pts) 2. Déterminez la fonction caractéristique de rayonnement F() dans le plan zO (1pt) 3. Etudiez celle-ci dans ce plan. (2pts) (1pt) 4. Tracez le diagramme de rayonnement dans le plan zO. Corrigé: 1. Le réseau formé de quatre sources est décrit par la figure suivante:

z (4)



(3)

r

(2)

d

(1)

y

O

x



   Chacune de ces sources émet un champ électrique: E n  E o e j[ ωt  krn  k(n  1) d ] i , avec n = 1 , 2 , 3 , 4 et rn  r – (n – 1) d cos. Soit: E1 = Eo ej[t – kr] ; E2 = Eo ej[t – kr + kd(cos - 1)] ; E3 = Eo ej[t – kr + 2kd(cos - 1)] ; E4 = Eo ej[t – kr + 3kd(cos - 1)]. Le champ total vaut succesivement: ET = E1 + E2 + E3 + E4 ET = Eo ej[t – kr] [1 + ejkd(cos - 1) + ej2kd(cos - 1) + ej3kd(cos - 1)] ET = Eo ej[t – kr] [ejkd(cos - 1) (e -jkd(cos - 1) + ejkd(cos - 1)) + ej2kd(cos - 1) (e -jkd(cos - 1) + ejkd(cos - 1))] ET = 2Eo cos[kd(cos - 1)] [ejkd(cos - 1) + ej2kd(cos - 1)] ej[t – kr] ET = 2Eo cos[kd(cos - 1)] [1 + ejkd(cos - 1)] ej[t – kr + kd(cos - 1)] ET = 2Eo cos[kd(cos - 1)] [e-jkd(cos - 1)/2 + ejkd(cos - 1)/2] ej[t – kr + 3kd(cos - 1)/2] ET = 4Eo cos[kd(cos - 1)] cos[kd(cos - 1)/2] ej[t – kr + 3kd(cos - 1)/2] Or: d = /2  kd = (2 /) (/2) = . D'où: ET = 4Eo cos[(cos - 1)] cos[(cos - 1)/2] ej[t – kr + 3 (cos - 1)/2] (2pts) 2. La fonction caractéristique de rayonnement est: F(,) = F() = cos[(cos - 1)] cos[(cos - 1)/2]= cos[cos] sin[(cos)/2] (1pt)

20

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

3. Son étude comporte les étapes suivantes: Définition: F() est définie dans l'ensemble des réels,    ]- , + [ Périodicité: Etant périodique de période 2, son domaine d'études est fixé de 0 à 2. Symétries: F(- ) = F() et F( - ) = F(). Donc,l'étude détaillée se réduit à 0    /2. Recherche des zéros: F() = 0  cos[cos] = 0 ou sin[(cos)/2] = 0. cos[cos] = 0  cosm = (2m + 1)/2 ou 0  cosm= (2m + 1)/2  1 Pour m = 0  coso = 1/2 et o = 60°. sin[(cos)/2] = 0  cos1 = 0 et 1 = 90° Recherche des maximums: F() a deux maximums. L'un obtenu par symétrie, se trouve à  = 0° et l'autre situé entre 60° et 90°, est déterminé avec une calculatrice D'où, le tableau de valeurs: 0 60° 74° 90°  1 0 0,27 0 F() (2pts) 5. Le diagramme de rayonnement est:

z 60° 74°



Exercice N°2 : (8 pts) Enoncé: Trois sources ponctuelles d'ondes électromagnétiques (1), (2) et (3) sont placées  respectivement sur l’axe Ox aux abscisses xn = (n – 1) /2 , avec n = 1 , 2 et 3. La source (n) et le point d'observation (P), sont alors séparés d'une distance rn et chacune de ces sources produit un champ électrique qui s'écrit:   E n  E o e j( t - krn   n ) i , avec n = (n – 1) 1. Calculez le champ électrique rayonné à grande distance par le réseau formé de ces trois antennes. (2pts) 2. Trouvez la fonction caractéristique de rayonnement F(,), puis déterminez celle décrivant le champ dans le plan xOy. (1pt)

21

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

3. Etudiez F(), en calculant notamment ses zéros et ses maximums. 4. Tracez le diagramme de rayonnement de ce réseau d’antennes.

(3pts) (2pts)

Corrigé: 1. Soit le réseau d'antennes formé de trois sources ponctuelles d'ondes électromagnétiques (1),  (2) et (3), placées respectivement sur l’axe Ox aux abscisses xn = (n – 1) /2 , avec n = 1 , 2 et 3. Le champ électrique émis par la source (n) est:   E n  E o e j( t - krn   n ) i , avec n = (n – 1)

Soit d = /2, la distance séparant deux sources successives. A grande distance, les vecteurs   r et rn sont quasiment parallèles. On en déduit alors que la distance rn reliant la position xn de la nième source au point d'observation (P),   est: rn  r - (n - 1) d ix . ir 1 sin cos     avec ix  0 et ir   sin sin 0  cos  

z

 r (1)

rn

(2) (3)

x

y

O

 

D'où: rn  r – (n – 1) d sin cos D'après ces relations, le champ émis par chacune des trois sources est: (1)  E1 = Eo ej[t – kr] (2)  E2 = Eo ej[t – kr + kd sin cos + ] = - Eo ej[t – kr + kd sin cos ] (3)  E3 = Eo ej[t – kr + 2 kd sin cos + 2] = Eo ej[t – kr + 2 kd sin cos ] Le champ total est: E = E1 + E2 + E3 = Eo ej[t – kr] [1 - ej kd sin cos + e2 j kd sin cos ] On a donc une somme de la forme S = 1 – X + X2 , avec X = ej kd sin cos . Faisons X S = X – X2 + X3 , puis: S + X S. Il vient: S + X S = (1 + X) S = 1 + X3. D'où: S = (1 + X3) / (1 + X) = (1 + e3 j kd sin cos) / (1 + e j kd sin cos ). 3 3 3 3 j kd sin  cos  j kd sin  cos  - j kd sin  cos  cos[ kd sin  cos ] e2 [e 2 ] e 2 2 ou S  e jkd sin  cos   S  kd kd kd kd j sin  cos  j sin  cos  - j sin  cos  cos[ sin  cos ] e 2 [e 2 e 2 ] 2 3 cos[ sin  cos ] 2  2 comme d = /2, on a: k d    S e j sin  cos    2 cos[ sin  cos ] 2 D'où le champ électrique rayonné à grande distance par le réseau formé des trois antennes: 3 sin  cos ] 2 S  Eo e j( t - kr   sin  cos )  cos[ sin  cos ] 2 cos[

22

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Remarque: La somme S peut s'écrire aussi: S = [1 - ej kd sin cos + e 2 j kd sin cos ] = ej kd sin cos [e- j kd sin cos - 1 + e+ j kd sin cos ] = [2 cos(kd sin cos) – 1] ej kd sin cos = [2 cos( sin cos) – 1] ej sin cos  ET = Eo [2 cos( sin cos) – 1] ej(t – kr +  sin cos)

(2pts)

2. La fonction caractéristique de rayonnement est: 3 cos[ sin  cos ] 2 ou F(,) = 2 cos( sin cos) – 1 F(, )   cos[ sin  cos ] 2 Dans le plan xOy, on a  = /2). D'où: 3 cos ] 2 F()   cos[ cos ] 2 cos[

ou

F() = 2 cos( cos) – 1

(1pt)

3. L'étude de F() se fait en partant indifféremment de l'une de ces deux formes suivant la méthodologie habituelle: Définition: Dans le premier cas, F() est définie dans l'espace des réels    ] -  , +  [ , sauf pour  = p  , avec p = 0 , 1 , 2 ,….. pour lesquelles on a F() = 0 / 0. La règle de l'Hôspital permet de lever l'indétermination. En effet: 3 3 3 sin  sin[ cos ] sin[ cos ] 2 2 3  lim p 3 lim p F()  lim p 2    sin  sin[ cos ] sin[ cos ] 2 2 2 Dans le second cas, F() est définie dans l'espace des réels    ] -  , +  [ Périodicité: F() est périodique de période 2 car étant une fonction de cos qui est périodique de période 2. Le domaine d'études est donc: 0    2. Symétries: Il est facile de voir que F(- ) = F() et F( - ) = F(): Ce qui limite l'étude détaillée à 0    /2. 3  3 cos  p  (2p 1) Zéros: F() = 0  cos[ cos ]  0 et 2 2 2 ou 0  cosp = (2p + 1)/3  1 Pour p = 0 , on a: cos0 = 1/3  0 = 70°31' Pour p = 1 , on a: cos1 = 1  1 = 0° , mais cet angle n'est pas un zéro car c'est celui du maximum pour lequel F() = 3. Maximums: Par raison de symétrie, on a deux maximums. Soit: 1 = 0°  F(1) = 3. 2 = 90°  F(2) = 1. D'où, le tableau de valeurs: D'où, le tableau de valeurs:

23

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

 F()

0° 3

70°31' 0

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

90° 1

Remarque: ces valeurs se déduisent également de F() = 2 cos( cos) – 1.

(3pts)

4. Le diagramme de rayonnement est:

y

70°31'



Ce réseau est à rayonnement longitudinal.

24

x

(2pts)

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Antenne de réception ----------------------------

Exercice N° 1: (7pts) Enoncé: 1. Déterminez la f.e.m. e reçue par un dipôle électrique de longueur dl, faisant un angle  avec le champ électrique E émis par un autre dipôle électrique en polarisation verticale. (1pt) 2. Tracez la courbe e = f() en coordonnées polaires et déterminez les valeurs de  pour lesquelles les antennes d'émission et de réception ont même polarisation ou sont découplées. (1pts½) 3. Dessinez le schéma équivalent de l'antenne de réception branchée à l'entrée d'un récepteur. (1pt) 4. Calculez la puissance moyenne p transmise à l'entrée du récepteur lorsque ce dernier est adapté à son antenne. (1pts½) 5. Déterminez la surface effective S du dipôle électrique et trouvez l'équation qui lie la surface effective au gain G de cette antenne. (2pts) Corrigé: 1.La f.e.m. e reçue par un dipôle électrique de longueur dl, faisant un angle  avec le champ électrique E émis par un autre dipôle électrique en polarisation verticale, est:   e   E d s  E dl cos

 E

 dl

(dl)

(1pt) 2. Cette f.e.m. s'écrit aussi: e() = eo cos avec eo = E dl  e() = eo cos L'étude de cette amplitude en fonction de l'angle , met en évidence les symétries: e() = e(- ) et e() = e( - ). L'étude détaillée peut alors être limitée à l'intervalle allant de 0° à 90°. D'où, le tableau de valeurs:

 eT / eo

0°

30°

45°

60°

90°

1

3/2

2 /2

1/2

0

Dans le cas où l'antenne d'émission est verticale et où l'antenne de réception est dans le plan zOx, le diagramme qui découle de ce tableau, comporte deux cercles de centres respectifs (0,- ½ , 0) et (0, ½ , 0) et de rayon eo/2. Soit: Si  = 0°, les deux antennes sont parallèles l'une à l'autre. Elles ont une même polarisation et e = eo. Si  = 90°, les deux antennes sont perpendiculaires. Elles sont donc découplées et e = 0.

z +1

e()/eo = cos



(O)

y

(1pts½) -1

25

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

3. Le schéma équivalent de l'antenne de réception branchée à l'entrée d'un récepteur, est: i(t)

R Antenne

re

v(t)

Récepteur

e(t)

(1pt) 4. A l'instant t, la puissance reçue est:

pinst(t) = v(t) i(t), avec i (t) = e(t)/(R + re) et v(t) = re(t)/(R + re) 

p inst ( t ) 

re e o2 cos 2 t (R  re ) 2

En moyenne sur une période de temps T = 2/, la puissance reçue s’écrit: p moy 

1 re e o2 2 (R  re ) 2

Faisons dpmoy/dre = 0. On aura: (R + re)2 – re[2(R + re)] = 0  R – re = 0 et R = re. l’antenne est alors adaptée au récepteur, cette puissance est maximum et devient: 1 eo2 dl 2 p avec R  80 2 2 (1pts½) 2 4R  5. La surface effective de l'antenne de réception est par définition: S = p / P avec p = puissance reçue = p = E2 dl2 / 8 R et P = flux moyen de puissance électromagnétique = E2 / 240 E 2 dl 2 30  dl 2 3 2 3 2  2    S  ou 30 dl S 8R  2  8 2 4 R dl E2 80  2 2 240   G 2 Or, G = 3/2. D'où, la relation entre S et G qui s'écrit: S  4

26

(2pts)

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Equation des Télécommunications ---------------------------------------Exercice N° 1 : (4 pts) Enoncé: Un satellite défilant décrivant une orbite circulaire, se trouve à 1000 km d'altitude. Les ondes radioélectriques transmises entre le satellite et sa station terrienne, sont émises à 10 GHz avec une puissance de 10 W. Le gain de l’antenne d’émission est de 30 dB et celui de l’antenne de réception est de 40 dB. 1. Calculez la puissance reçue p par le satellite et exprimez celle-ci en dBm (valeur en dB de la puissance p par rapport à une puissance de référence de 1mW). (2pts) 2. Les antennes de cette liaison sont des paraboloïdes dont l’ouverture rayonnante est circulaire, de diamètre D1 et D2 respectivement. Calculez ces diamètres dans le cas où la surface effective des antennes est égale à 60 % de la surface de leur ouverture. (2pts) Corrigé: 1. Soit PT, la puissance totale rayonnée par l'antenne d'émission (1) dans tout l'espace, P, le flux de puissance électromagnétique obtenu à une distance r, dans la direction de rayonnement maximum et p, la puissance collectée par l'antenne de réception (2). Par P définition, le gain maximum de l’antenne d'émission est: G1  et la surface effective de PT

4r 2 l'antenne de réception est: S2 = p / P. P p On en déduit que: P  G1 T 2  . D'où, l'équation des télécommunications: S2 4r p G1 S 2  PT 4r 2 p 2 G1 G 2  . PT (4r) 2 On a: PT = 10 W ; F = 10 GHz = 1010 Hz   = c/F = 3 108/1010 = 3 10-2 m; r = 1000 km = 106 m; G1(dB) = 10 log G1 = 30 dB  G1 = 103; G2(dB) = 10 log G2 = 40 dB  G1 = 104. La puissance reçue vaut alors: p = 10 x (3 10-2)2 x 103 x 104 /(4 106)2 = (3/4)2 10-8 W ou p =0,057 10-8 W = 5,7 10-10 W = 570 pW. Cette puissance vaut aussi: p = 5,7 10-7 mW. En dBm, elle vaut donc: pdBm = 10 log 5,7 10-7 = - 70 + 10 log 5,7 = - 70 + 7,6 = - 62,4 dBm (2pts) 2. Soit D1 , le diamètre de l'antenne (1) et D2 , celui de l'antenne (2). La surface de leur ouverture est respectivement: A1 = D12/4 et A2 = D22/4. Leur surface effective vaut respectivement: S1 = 0,6 A1 = 0,6D12/4 et S2 = 0,6 A2 = 0,6D22/4. Comme S1 = G1 2/4. et S2 = G2 2/4, on en déduit que: G1 = 0,62D12/2 et G2 = 0,62D22/2. D'où: D1 =  (G1/0,6)1/2 /  = 3 10-2 (103/0,6)1/2 /  = 3,9 10-1 m = 39 cm D2 =  (G2/0,6)1/2 /  = 3 10-2 (104/0,6)1/2 /  = 1,23 m (2pts) Or : S2 = G2 2/4. Cette équation devient:

27

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Les surfaces rayonnantes ----------------------------Exercice N°1 : (6pts) Enoncé: La surface rayonnante d'un cornet rectangulaire fonctionnant à F = 9 GHz, se trouve dans le plan zOx, elle est centrée sur l'origine (O) et sa largeur vaut B = 2. Dans ce cas, sa fonction caractéristique de rayonnement s'écrit dans le plan zOy (plan E):  B  sin  cos     F()  si 0     et F() = 0 si     2 B cos  1. Evaluez la largeur B et trouvez l'expression finale (1pt) 2. Etudiez F(), en déterminant notamment ses zéros et ses maximums. 3. Tracez le diagramme de rayonnement de cette antenne.

de

F(). (3pts) (2pts)

Corrigé: 1. L’ouverture rayonnante d’un cornet de forme pyramidale, est une surface rectangulaire de longueur A et de largeur B, qui se trouve dans le plan zOx, centrée sur l'origine (O), et sur laquelle le champ électromagnétique est à phase constante. z

 B O

y 

A

x

Dans ce cas, sa fonction caractéristique de rayonnement s'écrit dans le plan zOy (plan E):  B  sin  cos     F()  si 0     et F() = 0 si     2 B cos  La fréquence de travail de cette antenne est F = 9 GHz. Donc:  = c/F = 3 108/9 1010 ou  = 10-1/3 m = 3,3 cm. Sa largeur vaut alors: B = 2 = 6,66 cm  6,7 cm sin 2 cos si 0     Dans ce cas, F() devient: F()  2 cos F() = 0 si     2 (1pt) Les étapes de l'étude de F() sont: Définition: F() est définie dans l'espace des réels    ] -  , +  [ , sauf pour  = (2p + 1) /2 , avec p = 0 , 1 , 2 ,….. pour lesquelles on a F() = 0 / 0.

28

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

La règle de l'Hôspital permet de lever l'indétermination. En effet: 2 sin  cos[2 cos ] lim ou lim  F()  lim   cos[2 cos ]  1 ( 2 p 1) ( 2 p 1) ( 2 p 1) 2 sin  2 2 2 Périodicité: F() est périodique de période 2 car étant une fonction de cos qui est périodique de période 2. Le domaine d'études est donc: 0    2. Comme F() = 0 si     2, cette étude se fait, en réalité, pour 0     Symétries: on a: F( - ) = F(). L'étude détaillée est alors limitée à 0    /2. Zéros: F() = 0  sin(2 cos) = 0 et 2 cosp = p ou 0  cosp = p/2  1  0 = 90° mais cet angle n'est pas un zéro car c'est Pour p = 0 , on a: cos0 = 0 celui du maximum pour lequel F() = 1.  1 = 60° Pour p = 1 , on a: cos1 = 1/2  1 = 0° , Pour p = 2 , on a: cos2 = 1 Maximums: Par raison de symétrie, on a un maximum pour 0 = 90°  F(1) = 1. Entre 0° et 60°, il y a un autre maximum. En testant plusieurs valeurs avec la calculatrice, on obtient le tableau de valeurs suivant:

 F()

43° 0,21613

44° 0,21716

44°20' 0,21723

44°30' 0,21722

60° 0

90° 1

45° 0,21695

D'où, le tableau de valeurs:  F()

0° 0

44°20' 0,217

(3pts) 3. Le diagramme de rayonnement de cette antenne est:

z

60° 

(O)

29

y

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters

U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications

Relation gain – surface effective -----------------------------------------

Soit une antenne élémentaire de type dipolaire électrique, de longueur dl , parcourue par un courant sinusoïdal d’amplitude io. L’amplitude du champ électrique émis à grande distance est maximum pour  = 90° (plan xOy). Elle vaut : E = 60  io dl /  r L’intensité de radiation est, en valeur moyenne : P = E2 / 240  Elle vaut : P = 3600 2 io2 dl2 / 240  2 r2 = 15  io2 dl2 / 2 r2 La puissance totale rayonnée par l’antenne est en moyenne : PT = R io2 /2 , où R est la résistance de rayonnement qui vaut : R = 80 2 dl2 / 2 . Cette puissance s’écrit donc : PT = 40 2 dl2 io2 / 2. Le gain maximum de l’antenne est, par définition : P G PT 4r 2 15  Comme PT / 4  r2 = 10  dl2 io2 / 2 r2 , il vient :

G 10 

i o2 dl 2 2 r 2  3 i o2 dl 2 2 2 r 2

La surface effective de l’antenne est , par définition : S = p / P. Soit r , la résistance d’entrée du récepteur. La puissance moyenne reçue par ce dernier est : p = r e2 / 2 (R + r)2. Lorsque l’antenne est adaptée au récepteur, on a R = r et cette puissance devient : p = e2 / 8 R Comme e = E dl, cette puissance s’écrit : p = E2 dl2 / 8 R En remplaçant, il vient : E 2 dl 2  S 8R  30 dl 2 2 R E 240 

ou S

30  dl 2 80  2

dl 2



3 2 3 2  8  2 4

2

Par conséquent : S  G

2 4

30