Support Cours & TD - Béton Précontraint [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre 1 Béton Précontraint- Généralités: concepts de base et modes de réalisation

Module Béton Précontraint - 3AGC-ENIT Karim MILED E-mail: [email protected]

1

Plan du chapitre I.

Historique du béton Précontraint (B.P.)

II. Principe du B.P. II.1. Définition de la précontrainte II.2. Principe du B.P. II.3. Poutre isostatique fléchie en B.P. II.4. Tirant en B.P. II.5. Avantages du B.P. III. Modes de réalisation de la précontrainte III.1. Précontrainte par pré-tension III.2. Précontrainte par post-tension

IV. Contrôle des connaissances

2

I. Historique du B.P. • Personnes et dates clefs - Vicat (1818) : élabore la théorie de l’hydraulicité: mélange

de calcaire et de silice conduit à l’obtention d’un ciment artificiel par cuisson - J. Lambot (1847) : renforcement du mortier de ciment

avec des aciers (brevet de la barque imputrescible)

3

- J. Monier (1867) dépose le brevet de la caisse horticole réalisée en mortier de ciment armé. Il propose ensuite un système de construction de maisons, de ponts et de réservoirs en béton armé Caisses horticoles

- F. Hennebique (1892) : placement des fers selon la direction des contraintes (fers longitudinaux et étriers)

4

du 19èm siècle: des ingénieurs américains ont essayé d’appliquer le principe de la précontrainte, ancien en lui-même, au béton, mais leur tentative a échoué. - Fin

- Eugène Freyssinet, un brillant ingénieur français des ponts et chaussées, lui revient le grand mérite de mettre au point et de développer la technique du béton précontraint. Dès 1908, il réalisait des tirants précontraints au moyen de fils en acier dur et entreprenait une étude des déformations différées du béton. En 1928, Il déposait ses principaux brevets relatifs à la construction d’ouvrages en béton précontraint. En 1941, il a conçu et construit le premier pont en B.P.: le pont de Marne à Luzancy en France, ayant une portée de 55m. - A partir de la fin de la deuxième guerre mondiale (1945), le béton

précontraint a connu son véritable essor, lorsqu’il fallut construire les très nombreux ouvrages détruits en Europe. 5

II. Principe du B.P. II.1. Définition de la précontrainte Pré-contraindre une construction, c'est la soumettre, avant l'application des charges, à des forces additionnelles déterminant des contraintes telles que leur composition avec celles qui proviennent des charges donne en tout point des résultantes inférieures aux contraintes limites que la matière peut supporter indéfiniment sans altération » E. Freyssinet «

• La précontrainte est un pré-chargement d’un système mécanique ou d’une structure visant l’amélioration de ses performances mécaniques (résistance, rigidité, etc.). • la précontrainte est une technique ancienne qui est utilisée dans plusieurs systèmes mécaniques. • La roue d’une bicyclette est un exemple de système précontraint: les rayons sont tendus préalablement en prenant appui sur la jante et le moyeu pour empêcher leur rupture par flambement lorsqu’ils seront comprimés sous l’action du poids du cycliste. 6

La précontrainte appliquée au béton: quelle(s) performance(s) voudrait-on améliorer ? • Le béton résiste bien à la compression mais très mal à la traction (sa résistance à la traction est de l’ordre 1/12 seulement de sa résistance à la compression)

• Le béton armé remédie à ce défaut en disposant dans les zones tendues des armatures d’acier dirigées suivant la direction des forces de traction et capables d’y résister. Cependant, le béton armé présente plusieurs défauts qui limitent son emploi: - Le béton enrobant les armatures est tendu en même temps qu’elles et ne peut subir leur allongement sans se rompre; il en résulte des fissures. Par ces fissures, les armatures peuvent être en contact direct avec le milieu ambiant, d’où un risque de corrosion=> le béton armé convient mal aux ouvrages situés en milieu agressif. - Le béton armé est lourd: les parties tendues du béton ne sont utilisées que pour enrober l’acier et leur poids constitue un handicap pour les poutres de grande portée => la charpente métallique se révèle souvent plus économique. Il est donc logique de chercher à utiliser à plein la résistance du béton moyennant la précontrainte, mais comment ? 7

II.2. Principe du béton précontraint Appliquer à l’avance (un pré-chargement) une compression permanente au béton afin d’éliminer les contraintes de traction dues aux charges qui seront appliquées postérieurement=> la variation de contraintes dues à ces tractions ne provoque qu’une décompression du béton=> la section du béton demeure entièrement comprimée  La section et la résistance du béton sont exploitées à plein (100%)  Absence de fissuration du béton.

Poutre en B.A.

Poutre en B.P. 8

II.3. Précontrainte d’une poutre isostatique fléchie

Le principe est de soumettre la pièce en béton fléchie à un effort de compression convenablement appliqué, pour éliminer, d’une part, les contraintes de traction dans la membrure tendue et limiter, d’autre part, les contraintes de compression dans la membrure comprimée, afin de faire disparaître tout risque de fissuration.

9

II.3.1. Précontrainte centrée: maîtrise de la fissuration du béton par traction y

p h

m

On choisit P tel que:

l h M max Pmin  0 (x  )   2 2 I bh 6M max  Pmin  h

avec M max

h M max 2 I



0 Effet de la précontrainte centrée

b

pl 2 bh3  et I  I Gz  8 12

Diagrammes des contraintes élastiques linéaires y y 0 0 

Pmin   0bh

z

G

Risque de fissuration du béton par excès de compression !!! y 20



- 0 Effet des charges extérieures (Mmax)



0 cumul

10

II.3.2. Précontrainte excentrée: maîtrise de la fissuration du béton par y traction et compression p G

Noyau central

m

h/3

z

b/3

On choisit (P, e0) tel que:

 0 (x 

l h M max P P e h 3M max )  min  min 0  Pmin  2 2 I bh I 2 h

et e0  

h 6

=> Effort de précontrainte excentrée réduit de moitié par rapport à celui nécessaire en précontrainte centrée => gain de 50% sur le coût de la précontrainte. Diagrammes des contraintes élastiques linéaires y y h   0 0

M max 2 I

Pmin 

 0bh 2

 e0= -h/6 0

Effet de la précontrainte excentrée

y

0





- 0 Effet de charges extérieures (Mmax)

0 cumul

11

II.3.3. Précontrainte excentrée: réduction de la flèche

y

p h

m

G

z

b

Flèche maximale vers le bas sous Mmax:

5M max l 2 l pl 2 bh3 fb ( x  )   avec M max  et I  I Gz  2 48EI 8 12 Axe Neutre (A.N.)

Flèche maximale vers le haut sous MP= P*e0: 2

Pe l l f h (x  )   0 2 8EI 2 3 M l l max f h (x  )  2 48EI

e0  0

P

3M max 3 pl 2 avec P   h 8h

Flèche totale maximale sous (Mmax + MP ) :

P

m

M P  Pe0  0 h et e0   6

2 2 M l l max f tot ( x  )   0 2 48EI

=> Réduction de la flèche de 60 % grâce à l’excentricité négative e0 de la précontrainte (MP= P*e0 < 0 )

12

II.4. Avantages du béton précontraint

• La précontrainte permet de réduire voire éliminer la fissuration et la déflection (flèche) des éléments de structures en béton => Une excellente maîtrise de la fissuration du béton d’où un fonctionnement meilleur en service et une meilleure durabilité comparés à ceux des structures en B.A. • La section et la résistance du béton sont exploitées, en service, à plein (100%), contre 40% au plus pour une section fléchie en B.A. =>Les structures en B.P. peuvent supporter des efforts beaucoup plus importants que celles en B.A., avec la possibilité en plus d’emploi de matériaux (béton et acier) très performants.  Réduire les sections en béton alléger les structures en béton augmenter les travées et étendre le domaine d’application du béton (tabliers de pont à longues travées, dalles 13 pour planchers à longues portées, etc.)

III. Procédés de mise en précontrainte La force de compression permanente qui constitue la précontrainte est réalisée généralement par la mise en tension d’armatures en acier dur placées à l’intérieur de la pièce en béton à pré-contraindre. Cet effort de précontrainte correspondant en signe opposé à la force de traction dans les armatures (principe de l’action et de la réaction) est très important. Il peut être obtenu avant ou après coulage du béton. Ainsi, on distingue 2 procédés de mise en précontrainte:

1- La précontrainte par pré-tension ou par adhérence: Les armatures de précontrainte sont tendus avant le coulage du béton. 2- La précontrainte par post-tension: Les armatures de précontrainte sont tendus après le coulage du béton.

14

Moyens pratiques d’assurer la précontrainte par pré-tension du béton Bétonnage au contact d’armatures préalablement tendues.

Détension des armatures après durcissement du béton.

III.1. Précontrainte par pré-tension ETAPES

La précontrainte se transmet au béton (le béton sera comprimé) grâce à l’adhérence acier-béton => Précontrainte par adhérence

Domaine d’application: Préfabrication des poutrelles, poutres, dalles alvéolées , etc. de dimensions standards pour planchers, poteaux de lignes électriques, traverses de lignes de chemins de fer, etc. => procédé industriel

16

photo Unité des Planches Préfabriqués Laceramic, Tunisie

17

Poutrelles préfabriquées en béton précontraint par prétension

Treillis soudé

Poutrelles en B.P.

Plancher nervuré à poutrelles préfabriquées en B.P. et à dalle de répartition coulée en œuvre

• Plancher semi-préfabriqué: la dalle de répartition est coulée en œuvre (sur place)

• Rapidité et facilité d’exécution sur chantier + coffrage et étaiement minimal • Coût moins élevé par rapport à un plancher nervuré traditionnel en B.A. entièrement 18 coulé en œuvre

Planchers à poutrelles préfabriquées précontraintes Poutrelles entrevous en béton aggloméré

Poutrelles

entrevous en terre cuite

19

Dalles alvéolées préfabriquées en béton précontraint par pré-tension

alvéole nervure dalle alvéolée

Plancher nervuré à dalles alvéolées

• Possibilité de franchir des portées importantes (allant jusqu’à 16 m) • Rapidité et facilité d’exécution sur chantier + coffrage et étaiement minimal • Coût moins élevé par rapport à un plancher à dalle pleine en B.A. 20

Poutres préfabriquées en double T en béton précontraint par pré-tension

Poutres en double T

Plancher à poutres en double T

• Facilité et rapidité d’exécution sur chantier (coffrage et étaiement minimal)

• Grande capacité portante + masse réduite par sections transversales élancées • possibilité de franchir des portées très importantes allant à 30 m • Emploi notamment dans les planchers de parking et bâtiments industriels où l’aspect esthétique n’est pas très important.

21

Moyens pratiques d’assurer la précontrainte par post-tension du béton 1. Compression par vérinage entre deux culées fixes.

Moyens pratiques d’assurer la précontrainte par post-tension du béton 1. Compression par vérinage entre deux culées fixes.

Moyens pratiques d’assurer la précontrainte par post-tension du béton 2. Réalisation de deux culées artificielles reliées par des câbles.

Moyens pratiques d’assurer la précontrainte du par post-tension du béton 2. Réalisation de deux culées artificielles reliées par des câbles.

Moyens pratiques d’assurer la précontrainte par post-tension du béton 3. Mise en tension de câbles intérieurs à la pièce.

Moyens pratiques d’assurer la précontrainte par post-tension du béton. 3. Mise en tension de câbles intérieurs à la pièce.

III.2. Précontrainte par Post-tension ETAPES contenant les câbles de précontrainte

après durcissement du béton au moyen de vérins en prenant appui sur l’élément lui même

Ancrage des câbles aux extrémités de l’élément précontraint

La précontrainte se transmet au béton (le béton sera comprimé) grâce à l’ancrage. Domaine d’application: principalement les ouvrages d’art (tabliers des ponts, pont à poutres préfabriquées), les poutres de dimensions non standards, les planchers dalles post-contraints, les réservoirs, etc.

28

Poutres préfabriquées en béton Précontraint par post-tension Deuxième Famille

Première Famille de câbles poutres d’un pont secondaire faisant partie du projet du pont principal à Haubans Radès-La Goulette

Coffrage, ferraillage et mise en place du câblage de précontrainte (la poutre est placée sur son cintre)

29

Poutres préfabriquées en béton Précontraint par post-tension Lanceur des poutres

Tête d’ancrage

Un câble= un ensemble de Torons de précontrainte

Mise en tension des câbles de précontrainte après durcissement du béton en prenant appui sur la poutre 30

Poutres préfabriquées en béton Précontraint par post-tension

Mise en tension de la première famille des câbles de précontrainte en prenant appui sur l’about de la poutre. Remarque: cette opération est conduite avant la mise en place de la poutre sur les 31 appuis du pont, c.-à-d. avant la mobilisation de son poids propre .

Poutres préfabriquées en béton Précontraint par post-tension

Vérin

Mise en tension de la deuxième famille des câbles de précontrainte en prenant appui sur la membrure supérieure de la poutre Remarque: Cette opération est conduite après la pose des poutres sur les appuis du pont, le coulage de l’hourdis et des entretoises, c.-à-d. suite à la mobilisation du 32 poids propre de la poutre et de celui de l’hourdis et des entretoises.

Injection d’un coulis de ciment compact dans les gaines => protéger les câbles de précontrainte contre la corrosion => solidariser l’armature au béton et interdire tout glissement longitudinal relatif câbles injectés adhérents et précontrainte adhérente

Préparation du coulis de ciment

Injection du coulis de ciment

33

Ponts dalles en béton précontraint

34

L'échangeur Z4- Avenue de la République- Rue d'Italie, Tunis : ponts dalles en B.P.

Pont dalle de Ras Tabia à trois travées continues et postcontraintes avec 15 câbles filants de type 12T15S (photo O. Chihi)

35

fixation du premier câble dans la chambre du vérin (photo O. Chihi)

Mise en tension câble après câble (photo O. Chihi)

36

Pression appliquée au câble par le vérin (photo O. Chihi)

Mesure et contrôle de l’allongement du câble (photo O. Chihi)

37

Câbles à gauche tendus et câbles à droite non encore Tendus (photo O. Chihi)

Fixation des clavettes et ancrage du câble déjà tendu (photo O. Chihi)

Tête d’ancrage clavettes

38

Ponts caissons en béton précontraint

Tablier caisson en B.P. du pont principal à haubans Radès-La-Goulette construit par encorbellement successif

39

Tablier caisson en béton précontraint Coffrage, ferraillage et câblage du tablier en caisson

Tablier du pont d’approche nord du pont principal à Haubans Radès-La-Goulette

Têtes de fixation des gaines dite « Trompettes d’épanouissement » 40

Enfilage des gaines métalliques contenant les câbles de précontrainte avant coulage du béton Gaines métalliques

Frettes

41

Mise en tension et ancrage des câbles sur l’about du tablier après durcissement du béton Plaque d’appui Vérin unifilaire Tête d’ancrage

La mise en tension est réalisée ici à l’aide d’un vérin unifilaire qui tend les torons un après un

42

Planchers post-contraints

(Photos Freyssinet)

43

Planchers post-contraints du parlement européen à Strasbourg réalisés par Freyssinet

Bureaux de prestige Esso Glen (50 000 m2 de planchers post-contraints réalisés par Freyssinet

Un parking à planchers en dalle pleine en béton armé, avec sa forêt de colonnes et ses espaces de stationnement restreints (photo Freyssinet)

Le parking de l’aéroport Atatürk d’Istanbul (Turquie), réalisé par Freyssinet avec des dalles précontraintes, offre d’importants dégagements

44

Comparaison qualitative entre deux bâtiments à planchers en B.A. et à planchers post-contraints

Référence: Planchers post-contraints. Rapport de PFE de M. S. Hafsi , ENIT 2010 ( PFE réalisé avec Freyssinet Gulf ).

45

Réservoirs en béton précontraints par post-tension

Réservoirs de gaz en béton précontraint mis en œuvre par Freyssinet

46

Installation des gaines

Chaise

Gaines Ferraillage passif

Photos du PFE de M. Bouaziz réalisé avec Freyssinet Gulf (2011) 47

Installation du système d’ancrage

Tromplaque

Bloc d’ancrage

Photos du PFE de M. Bouaziz réalisé avec Freyssinet Gulf (2011) 48

Mise en tension des câbles Vérin

Zoom

Photos du PFE de M. Bouaziz réalisé avec Freyssinet Gulf (2011) 49

Procédés d’ancrage actif • Ancrages le long du fil: la plupart des grands procédés modernes utilisent des câbles constitués de n torons parallèles; après mise en tension, les torons sont bloqués dans une tête d’ancrage percée de n trous tronconiques au moyen de mors métalliques constitués de deux ou trois éléments appelés clavettes. => procédés : Freyssinet K, C et Monogroupe ; VSL; CCL; SEEEFUC; LH; PAC; CONA, etc.

Ancrage actif 12T15

50

Renforcement spiral Renforcement additionnel

Système d’ancrage C de Freyssinet

51

IV. Contrôle des connaissances

Exercice 1 • •

•

• •

Le béton résiste très mal aux contraintes de………Précontraindre le béton c’est le soumettre……. sa mise en chargement à une force de ……… permanente afin de………… ces contraintes. Pour les éléments fléchis, cet effort doit être ………..pour ne pas……… excessivement le béton. Dans le mode de précontrainte par pré-tension, les armatures sont tendues ……...le coulage du béton à l’aide d’un……..et en prenant appui sur deux ………métalliques extérieures aux éléments à précontraindre et placées aux extrémités du ……. de précontrainte. Après ……… du béton, la tension des armatures est ……… à l’aide d’un …………… de …………. ; le béton est …………. alors par simple ……… Ce mode de précontrainte se prête bien à la …………… des poutres, poutrelles, pré-dalles, dalles alvéolées, etc; c’est un procédé…….. Dans l’autre mode de précontrainte par………, les armatures sont tendues ……...le coulage et le ………… du béton à l’aide d’un vérin et en prenant appui sur l’élément à……... ; l’effort de compression est transmis au béton grâce à …………Ce dispositif est formé principalement d’une……… ….…….trouée et des ……… Ce mode de précontrainte est utilisé principalement dans les …………des ……….. ……….. Pour protéger les armatures contre la………..dans le mode de précontrainte par post-tension, il faut les placer dans une ……………et injecter ensuite celle-ci avec un ……… ……..; il s’agit dans ce cas d’armatures …………..Une autre solution consiste à utiliser une ………….. ……………. Dans le cas d’une poutre isostatique fléchie et précontrainte, déterminer le diagramme optimal des contraintes dans la section médiane (b*h) de la poutre, engendré par un effort de précontrainte P appliqué avec une excentricité e : y y y 0

0

h

 e

P

+



-0

 0

b Action des Sollicitations extérieures (M)

=

Action de la Précontrainte (P, e)

Diagramme final (M, P, e)

Donner les valeurs de P et e en fonction de 0, h et b : P =………. ; e =………….

52

Solution • Traction; avant; compression; éliminer (ou neutraliser); excentré; comprimer • Avant; vérin; culées; banc; durcissement; relâchée; vérin; détension; comprimé; adhérence; préfabrication; industriel • Post-tension; après; durcissement; précontraindre; ancrage; tête d’ancrage; clavettes; tabliers des ouvrages d’art • Corrosion; gaine; coulis de ciment; adhérentes; graisse anti- corrosion • Action de lay Précontrainte (P, e) 0

 0

bh 0 h P ; e0   2 6

53

Exercice 2. Précontrainte d’un tirant en béton Soit un élément prismatique en béton de section B, chargé de transmettre un effort de traction sans flexion (un tirant). Cet élément est précontraint par pré-tension moyennant une armature en acier dur de section A placée sur la ligne moyenne du tirant et transmettant au béton un effort de compression centré P.

Déterminer l’effort de traction maximal qui peut supporter le tirant sans que le béton soit tendu. A.N. B=0,1 m2; A=1000 mm2; P=100 tonnes. 54

Chapitre 2 Matériaux du Béton Précontraint: Béton et armatures de précontrainte Module Béton Précontraint - 3AGC-ENIT Karim MILED E-mail: [email protected]

Plan du chapitre I. Béton I.1. Résistances mécaniques I.2. Déformaions Instantanées I.3. Déformaions Diférées I.3.1. Retrait I.3.2. Fluage II. Armatures de précontrainte II.1. Caractérisiques géométriques II.2. Caractérisiques mécaniques

2

I. Béton • Mélange en proporions convenables de: – Ciment Portland Ariiciel: CEMI 42,5 ou 42,5R ou CEMI 52,5 ou 52,5R, Ciment HRS 42,5 ou 52,5. – Eau => Résistance en compression augmente quand (E/C) diminue. – Granulats (sable et gravier) => choisir un squelete granulaire compact et des granulats de bonne qualité – Adjuvants: - malaxage facile et bonne ouvrabilité: plasiiants et superplasiiants - temps de prise: retardateurs et accélérateurs de prise et de durcissement. – Ajouts: iller, fumée de silice, etc. => améliorer la compacité de la pâte cimentaire et du squelete granulaire=> augmenter la résistance du béton

3

I.1. Résistances mécaniques du Béton I.1.1. Résistance à la compression •

Doit être déterminée expérimentalement sur des éprouvetes cylindriques (16*32cm)

• Un béton est caractérisé par sa résistance caractérisique à 28 jours fc28 . D’après les règles B.P.E.L:

fc28  Rc28  3,5 MPa si Rc28  30MPa fc28  Rc28  3 MPa si Rc28  30MPa Rc28: moyenne arithméique d’au moins trois résultats d’essais d’écrasement de cylindres (16*32cm) à 28 jours

• Le béton précontraint doit avoir une haute résistance, en général:

f c 28  35 MPa en post tension Essai de compression sur cylindre 16 cm x 32 cm

f c 28  40 MPa en pré tension 4

Evoluion de la résistance caractérisique à la compression en foncion du temps d’un béton à base de ciment CPA et non traité thermiquement Selon les règles BAEL et BPEL : Pour j < 28 jours:

et fc28 £ 60 MPa Pour j ≥ 28 jours: fcj= fc28 j : âge du béton en jour 5

I.1.2. Résistance à la Tracion du béton • Déterminée expérimentalement par l’essai brésilien (essai de fendage):

2P ft  LD P: l’efort de compression appliqué par le vérin de la presse D: diamètre du cylindre (16cm) L: Hauteur du cylindre (32cm)

• A défaut de valeur expérimentale, la résistance caractérisique à la tracion à l’âge j (en jour) du béton peut être déterminée en foncion de fcj par la formule empirique suivante commune aux règles BAEL et BPEL:

ftj  0.6  0.06fcj (MPa) pour fcj  60MPa ftj  2.4  0.03fcj (MPa) pour fcj  60MPa

6

I.2. Déformaions instantanées du béton • Module instantané de déformaion longitudinale déterminé expérimentalement par l’essai de module:

 Ei   • A défaut de valeur expérimentale, le module instantané du béton à l’âge j (en jour) peut être déterminé en foncion de fcj par la formule empirique suivante commune aux règles BAEL et BPEL: 3 ij cj cj

E  11000 f (MPa) pour f  60 MPa (30GPa  Ei28  40GPa)

7

I.3. Déformaions diférées du béton I.3.1. Retrait • C’est un raccourcissement spontané et progressif du béton en l’absence de toute contrainte. Ce phénomène est dû principalement à l’évaporaion de l’excédent d’eau de gâchage non combinée au ciment dans la réacion d’hydrataion.

• Retrait empêché => issuraion du béton • Règles BAEL et BPEL:

 r (t )  r (t )  r t B r (t )  ; rm  ( cm ); t en jour t  9 rm u As 1 ; s   r  k s 0 ; k s  1  20  s B 80  0  (100   h )( 6  ) 10  6 10  3 rm

• A défaut de données précises, on peut supposer que: r= 2 10-4 en climat humide r= 4 10-4 en climat chaud et sec -4

r(t): loi d’évoluion du retrait => 0 < r(t) r si rm B: aire de la secion droite de la pièce u: périmètre en contact avec le milieu ambiant s: % d’armatures adhérentes As: secion d’armatures adhérentes r si s h: hygrométrie ambiante en % 8

I.3.2. Fluage du béton • C’est un raccourcissement progressif du béton sous contrainte constante de compression (retrait déduit). Cete déformaion diférée se poursuit pendant des décennies avec une vitesse décroissante, pour abouir à une lente stabilisaion. • Formulaion simpliiée du BAEL et BPEL:

A: Éprouvete témoin de retrait

 v   i   fl ;  v : déformation finale du béton Ei (t0 ) 0  fl   i    E fl   Ei (t0 )  fl : déformation finale du fluage; E fl : module du fluage

: date de début de l’essai

0  v  (1  )  i  (1  ) Ei (t0 ) E (t ) Ev  i 0 ; Ev : module vrai (1  )   2  Ev  37003 f c 28 ( MPa)

9

II. Armatures de précontrainte II.1. Forme et caractérisiques géométriques • Forme: Il existe 3 formes: 1- Fils: diamètre  ≤12,2 mm (exemples: f5, f7mm). Deux types de fils existent: des ronds lisses utilisés uniquement en posttension et des ronds nervurés ou crantés utilisés généralement en prétension. 2- Barres:  ≥ 12,5 mm (exemples: 26, 32); Longueur ≤ 12m. Les barres peuvent être lisses en partie courante et filetées à leurs extrémités ou filetées sur toute leur longueur ou encore nervurées au laminage. Les barres sont utilisées généralement en post-tension. 3- Torons: un ensemble de fils de même diamètre enroulés en hélice autour d’un fil central (l’âme du toron) selon des sens inversés d’une couche à l’autre pour éviter que Toron T9 le toron se déroule. Ils sont utilisés en pré et post-tension. Remarque: Les câbles sont constitués de torons parallèles. Ils sont utilisés seulement en post-tension, enfilés dans des gaines (ex: 1 câble 12T13)

• Caractéristiques géométriques des torons • Un toron est caractérisé par son diamètre nominal D; c’est le diamètre du cercle entourant de l’ extérieur les fils. Il est désigné par T D (exemple: T 9.3mm). • La section nominale d’un n toron est égale à la somme des sections des fils constitutifs:

Ap   Aip ; n : nombre de fils i 1

• Il existe 4 types de torons: n=2, 3, 7 ou 13 fils - Toron ou torsade à 2 ou à 3 fils utilisé uniquement en pré-tension (exemple: T5,2mm est formé de 3 fils de diamètre 2,4 mm) - Toron à 7 fils (1 seule couche de 6 fils entourant l’ âme): utilisé en pré et post tension (exemple: T12,5mm est formé de 7 fils de diamètre 4mm). -Toron à 13 fils (2 couche de 6 fils chacune entourant l’ âme): utilisé uniquement en post tension • Caractérisiques géométriques des torons couramment uilisés: (3*f2,4mm) (7*f3mm) (7*f4mm) (7*f5mm) (7*f4mm) (7*f5mm) Toron « standard »

« standard »

« standard »

« super »

« super »

Diamètre D (mm)

5,2

9,3

12,5

15,2

12,9

15,7

Secion Ap (mm2)

13,6

51,3

93

139

100

150

Nom commercial

T5

T9

T13

T15

T13S

T15S

II.2. Caractéristiques mécaniques II.2.1. Diagramme contraintes–déformaions d’une armature de précontrainte dans un essai de tracion simple

• Ep: module d’élasticité ; - Pour les fils et barres: Ep =200 GPa - Pour les torons: Ep = 190 GPa • fe : Limite conventionnelle d’élasticité correspondant à une déformation plastique de 1 ‰ • fr : Contrainte de rupture ou Résistance à la traction correspondant à la déformation à la rupture r . En général, r ≥ 35 ‰ => Grande ductilité des aciers de précontrainte • L’acier de précontrainte ne présente pas de palier d’écoulement, la courbe contraintedéformation s’infléchit progressivement => comportement élasto-plastique avec écrouissage.

Remarques: 1- En pratique, ce sont bien les forces qui intéressent directement le projeteur et le constructeur. C’est pourquoi les valeurs spécifiées pour une armature sont non pas fr et fe mais les forces correspondantes : • Fr : charge de rupture ( Fr = fr*Ap ) • Fe : charge à la limite conventionnelle d’élasticité ( Fe= fe*Ap ) : 2- Les valeurs garanties, notées Fprg et Fpeg en force et fprg et fpeg en contrainte, sont définies par la double condition : • d’un fractile d’ordre 5 % ; • d’une borne inférieure de 98 % pour Frg et de 95 % pour Feg . 3- Il existe des classes de résistances homologuées (selon le fascicule 4, titre II du 1570 Classe (MPa) 1960 1860 1770 1670 1230 1030 CCTG) : Torons

Armatures

fils

Barres

Caractéristiques des armatures utilisées en post-tension Nature T13 T13S T15 T15S

Classe (MPa) 1 860 1 860 1 860 1860

Æ (mm) 12,5 12,9 15,2 15,7

A (mm2 ) 93 100 139 150

Fprg

Fpeg

0,8 Fprg

0,9 Fpeg

0,6 Fprg

(kN) 173 186 258,5 279

(kN) 154 166 230 248,4

(kN) 138,4 148,8 206,8 223,2

(kN) 138,6 149,4 207 223,5

(kN) 103,8 111,6 155,1 167,4

II.2.2. Relaxaion de l’acier de précontrainte Déiniion: L’acier fortement tendu sous longueur constante voit sa tension décroître progressivement. Ce phénomène différé est appelé relaxation. • La perte relative de tension d’une armature tendue initialement à  i et à température constante, est fonction du temps t et de  i :  (t )





i • La relaxation dépend très sensiblement de: - la température;  - la tension initiale;   K ' e i (K’ et  dépendent de type d’acier utilisé) En général:  i= 0,7 fprg dans un essai de relaxation normalisé, ce qui correspond à la

tension initiale moyenne d’une armature de précontrainte. • Evolution de la relaxation en fonction du temps: log()= k1 +k2 log(t) pour t  t (k1 et k2 dépendent de type d’acier utilisé) Règles BPEL supposent que t= 500.000 heures (57 ans environ)



 (t )  Kt

(K et  dépendent de type d’acier utilisé)

• Pour caractériser un acier de précontrainte, on mesure la relaxation isotherme à 20 o C 1°C d’une éprouvette tendue initialement à 0,7 Fr après 1 000 h => La perte relative de tension observée dans ces conditions et notée  1 000 sert de base aux calculs de relaxation.

• Pour les fils et les torons, il existe deux sous-classes de relaxation définies par  1 000 = 8 % en ce qui concerne la sous-classe Relaxation normale (RN) 1 000 = 2,5 % en ce qui concerne la sous-classe Très Basse Relaxation (TBR) Þ Aujourd’hui, on utilise principalement les armatures TBR pour réduire les pertes de tension par relaxation • Formulation simplifiée des règles BPEL:

 (t )  6 1000 (    0 )

i avec   f prg

 0  0,43 pour TBR et  0  0,3 pour RN

Chapitre 3 Calcul de la tension d’une armature de précontrainte: évaluaion des pertes de précontrainte Module Béton Précontraint - 3AGC-ENIT Karim MILED E-mail: [email protected]

1

Plan du chapitre I. II. III. III. V.

Introduction Tension à l’origine Pertes Instantanées de précontrainte Pertes différées de précontrainte Tension de précontrainte à l’abscisse x et à un instant t donné

2

I. Introducion • En général, la force de précontrainte P varie à la fois dans l’espace (x) à cause principalement du frotement entre l’armature et la gaine ou le béton et dans le temps (t) à cause des déformaions diférées du béton (retrait et luage) et de la relaxaion de l’acier => P(x, t) • On désigne sous le nom de perte de précontrainte toute diférence entre la tension exercée par le vérin lors de la mise en tension d’une armature appelée «Tension à l’origine et notée p0 » et la tension p qui s’exerce en un point donné de cete armature d’abscisse x à un temps donné t.

 ( x, t )   p0   p ( x, t )

• On disingue 2 types de pertes: les pertes instantanées et les pertes diférées de précontrainte. • La précision aussi exacte que possible dans l’évaluaion des pertes est essenielle pour le calcul des ouvrages en B.P. => Une sous-esimaion des pertes => surévaluaion de la précontrainte=> sous-évaluaion 3 !  ( x , t )     ( des contraintes de tracion dans le béton : béton g q p x, t )

II. Tension à l’origine p0 II.1. Cas de précontrainte par post-tension • p0 : Tension à l’origine p0 : C’est celle qu’on impose aux armatures devant un ancrage acif et le disposiif d’épanouissement associé (trompete ou tromplaque ), côté béton (point O), au moment de la mise en tension, avant le transfert de l’efort à l’ancrage => c’est la valeur de référence pour le concepteur.

Trompetes d’épanouissement

• p0< pA où pA : tension au point A situé à l’entrée de la tête d’ancrage (tension appliquée par le vérin), à cause des pertes par frotement entre l’armature et la tête d’ancrage (de A à B) d’une part et la trompete d’épanouissement (de B à O) d’autre part. Cete perte est déinie généralement dans la noice technique du procédé de mise en tension. Elle est généralement esimée à 2% => la tension à appliquer au vérin est : 4 p0 pA



 1,02

II. Tension à l’origine p0 • En post-tension, d’après les règles B.P.E.L:

 p 0  min( 0,8 f prg pour les fils et torons ; 0,7 f prg pour les barres ; 0,9 f peg ; toute autre valeur préconisée par le procédé de mise en tension ) Remarque: Sauf cas très particuliers, les câbles sont toujours tendus au maximum autorisé, pour des raisons évidentes d’économie.

II.2. Cas de précontrainte par pré-tension (avec contrôle de qualité; procédé industriel):

 p 0  min( 0,85 f prg ; 0,95 f peg ) 5

III. Pertes Instantanées de précontrainte i(x) III.1. Pertes par frotement entre l’armature et la gaine (x) • Lors de la mise en tension, le déplacement du câble par rapport au béton s’efectue de la droite vers la gauche et l’acion tangenielle de contact du conduit (gaine) sur les armatures, s’opposant à ce mouvement, s’exerce de la gauche vers la droite ; la tension diminue donc entre le point O et le point courant C d’abscisse x.

• Soit  est la somme des déviaions angulaires entre O et C. En général,  n’est pas l’angle entre les tangentes en O et en C du tracé. Ce n’est cet angle que lorsque la courbure conserve un signe constant entre O et C. Sur le schéma ci-dessus,  (x)= 1 + 2 (rd) => Plus le tracé est courbe=> plus  est grande => plus la perte par frotement est 6 grande.

• L’équilibre d’un tronçon élémentaire de

 p ( x)   p 0e

 f ( x )

câble autour de x conduit à :

    ( x )   p 0 [1  e

 f ( x )

]

f : coeicient de frotement entre l’armature et la gaine (rd-1) • Un conduit ne suit jamais parfaitement son tracé théorique ; il festonne

entre ses points de ixaion sous l’efet de son poids, de la poussée du béton, des inceritudes de posiionnement des ataches => on doit ajouter à la déviaion angulaire théorique () une déviaion parasite proporionnelle à la distance x =>  x avec  est le coeicient de perte de tension en ligne (m-1) => La formule précédente devient alors:

 p ( x)   p 0e • Si

f ( x )   x

 [ f ( x )  x ]

Perte par frotement

   ( x )   p 0 [1  e

est faible, on peut supposer que:

 [ f ( x )  x ]

]

 (x)   p0 ( f(x) x)

• En pré-tension, les pertes par frotement sont généralement négligeables

(  0)

7

Valeurs moyennes des coefficients f et  • Pour les câbles constitués de fils ou de torons, on peut, lorsque les armatures sont huilées et que les conduits (gaines ou tubes métalliques) sont en bon état, utiliser les valeurs moyennes de f et  données dans le tableau suivant issu de l’annexe 3 du règlement BPEL99, où R représente le rayon de courbure du tracé du câble. Cas de la précontrainte intérieure au béton f (rd-1) Cas

Nature des armatures (m)

I Fils tréfilés Câbles ne ronds et lisses traversant pas de joints ou surfaces de Torons reprise II Fils tréfilés Câbles ronds et lisses traversant de nombreux joints ou Torons reprises de bétonnage

(m)

(m–1 )

0,16 0,002 0,18

0,18 0,003 0,20

• Pour les torons gainés graissés , les valeurs utilisables sont les suivantes : f = 0,05 rd–1 et

8

 = 0,001 m–1

III.2. Pertes par rentrée d’ancrage g(x) • Lors du report de l’effort du vérin à l’ancrage, le câble subit toujours un léger raccourcissement g dû à la rentrée d’ancrage => une perte de tension g(x) • Les notices techniques des procédés de précontrainte définissent, pour chaque type d’ancrage, la valeur probable de g: - g est faible dans le cas des ancrages par calage ou vissage, de l’ordre de 2 mm. - g est plus important dans le cas des ancrages par coincement: les torons et les clavettes subissent un déplacement vers l’intérieur de la pièce qui peut atteindre 6 mm. • Le mouvement de rentrée vers l’intérieur du béton est contrarié par le frottement du câble sur sa gaine, comme à la mise en tension, mais en sens inverse => Son influence diminue donc à partir de l’ancrage jusqu’à s’annuler à une distance d de celui-ci à partir de laquelle la tension demeure inchangée.

 ' p ( x )   p ( d )e  K ( d )  K ( x )  ' p ( x )   p0 e  2 K ( d )  K ( x ) avec K ( x )  f ( x )   x et avec K ( d )  f ( d )  d  g ( x )   p ( x )   ' p ( x )   g ( x )   p0 e  K ( x ) [1  e  2[ K ( d )  K ( x )] ]

Perte par recul d’ancrage

9

d



g  [ p ( x )  ' p ( x )]dx 0 d

1 g Ep

 [

p ( x )  ' p

( x )]dx

0

 ' p0

d

l



gE p   g ( x )dx 0

Aire hachurée sur la igure

d ( p 0   ' p 0 ) 2 d gE p   p 0 ( 2 K ( d )  K ( 0 )) 2  (l ) d K (d )  f   d et K ( 0 )  0 l  ( l ) : déviation angulaire totale sur la longueur l gE p 

 d 

gE



p0

p

k

 (l )  avec k  f l

10

III. 3. Pertes par déformaions élasiques instantanées du béton e(x) • Toute action permanente j appliquée postérieurement à la réalisation de l’ancrage d’un câble de précontrainte provoque dans le béton adjacent une variation de contrainte  bj , donc une variation de raccourcissement :

  bj 

  bj E ij

;

E ij : module instantané du béton au moment de l' applicatio n de l' action j => Le câble considéré subit la même variation de déformation, d’où une perte (ou un gain si   bj < 0) de tension :

 e  E p

 bj Eij

• Les actions permanentes j peuvent résulter de : 1- la mise en tension d’un nouveau câble (sauf dans les cas rares où plusieurs câbles seraient tendus de façon simultanée; il faudrait pour cela disposer d’autant de vérins que de câbles sur le chantier) => échelonnement des mises en tension des câbles 2- l’application d’un supplément de poids propre dans le cas d’une construction par phases ; 11 3- la mise en place de superstructures.

III.3.1. Pertes par échelonnement des mises en tension des câbles d’une même famille En général, on regroupe les câbles en familles homogènes. Sont considérés comme appartenant à une même famille tous les câbles de tracé comparable tendus au cours d’une même phase de construction => Les câbles d’une famille [F ] donnée sont tous affectés d’une même perte moyenne par déformation élastique du béton résultant :

1- de l’échelonnement des mises en tension des différents câbles appartenant à la même famille [ F ];

2- de l’application de charges permanentes additionnelles ou de la mise en tension d’autres familles [F ’] postérieurement à la réalisation de l’ancrage des câbles de [ F ] • Supposons que la famille en question comporte N câbles de même puissance passant au même niveau dans une section donnée. La mise en tension de ces N câbles provoque, dans le béton adjacent, une variation de contrainte totale  bi . Chaque câble apporte à cette variation de contrainte une contribution  bi , la variation correspondante de déformation du  bi N béton étant NEi => Du fait que les N câbles ne sont pas tendus en même temps , le n e câble mis en tension subit le raccourcissement dû aux (N – n ) câbles tendus après lui :

 bi   e  ( N  n) NEi n

,

 bi Perte en tension   e  E p ( N  n) NEi n

Perte en force  n Fe  Ap E p ( N  n)

 bi NEi

Ap: secion nominale d’un câble

‘‘12

La perte globale de force pour les N câbles est ainsi :

N ( N  1)  bi  bi  Fe   ( N  n) Ap E p  Ap E p NEi Ei 2N n 1 N

N

=> une perte moyenne de tension  e , pour la famille considérée, que l’on obient en divisant la perte de force par la secion NAp des N câbles:

( N  1)  bi  e  E p Ei 2N  bi 1 pour N suffisament grand   e  E p Ei 2 Pertes par échelonnement des mises en tension des câbles d’une même famille

13

III.3.2. Pertes par déformaions élasiques instantanées du béton e(x): récapitulaif

 e  k i E p

 bj Eij

•  bj variation de contrainte du béton adjacent à la famille [F ] de câbles étudiée, dans la section considérée, sous l’effet des actions permanentes appliquées au jour j ; •k i coefficient multiplicateur égal à :  1/2 pour  bj due à la mise en tension échelonnée des câbles mêmes de la famille [F ] et aux charges permanentes mobilisées simultanément  1 pour les variations  bj générées par les actions permanentes appliquées postérieurement à la mise en tension de la famille [F ].

14

III.4. Tension iniiale Somme des pertes instantanées dans la secion d’abscisse x :

 i ( x)    ( x)   g ( x)   e ( x) Tension de précontrainte iniiale dans la secion d’abscisse x:

 i ( x)   p 0   i ( x) Pi ( x)  A p ( p 0   i ( x)) 15

IV. Pertes Diférées de précontrainte d(x, t) (cas la post-tension): IV.1. Pertes par retrait du béton r(t) • Le béton subit un raccourcissement progressif pendant plusieurs années dû au phénomène du retrait (voir chapitre 2) => les armatures de précontrainte, liées au béton à leur extrémités par les ancrages et tout au long de leur tracé par le coulis d’injection, sont astreintes à subir le même raccourcissement que le béton adjacent => Ce raccourcissement engendre donc une perte de leur tension r(t) •Si t0 est l’âge du béton (en jour) au moment de la mise en tension d’une armature de précontrainte ( r ( t 0 )  r ( t 0 )  r ), la déformation du retrait non encore effectuée vaut:

 r 1  r ( t 0 ) 

t avec  r : retrait final et r ( t )  t  9 rm

•La perte finale par retrait vaut alors:

  r ( t f )  E p  r 1  r ( t 0 ) 

• Très souvent, on peut négliger r(t0) devant 1 => (pour l’expression de  r voir chapitre 2)

Perte totale par retrait

  r (t f )  E p  r 16

IV.2. Pertes par fluage du béton fl(x,t) • Le béton subit un raccourcissement progressif dû au fluage lorsqu’il est soumis à une contrainte de compression permanente (constante dans le temps) • Cependant, la contrainte du béton adjacent aux armatures de précontrainte b n’est pas constante dans le temps car elle varie à cause de: -Différentes phases de construction qui se traduisent par l’application des nouvelles charges permanentes - Autres pertes différées (par retrait du béton et par relaxation de l’acier). • Soit max (x) et min (x) les valeurs extrêmes de b(t) dans la section d’abscisse x => à tf, la déformation finale de fluage vérifie:

 max ( x ) E i (t 0 )  min ( x )   fl ( x , t f )  avec E fl  ; E fl E fl F t 0 : âge du béton au moment de la mise en tension des armatures • en général, on suppose que:

 fl ( x , t f ) 

F  min ( x )   max ( x ) E i (t 0 ) 2

En général F  2   fl ( x , t f ) 

 min ( x )   max ( x ) E i (t 0 )

17

• La perte finale de tension par fluage dans la section d’abscisse x vaut alors:



fl

( x, t f )  E p 

fl



Ep

E i (t 0 )

( min ( x )   max ( x ))

Perte totale par luage

• En pratique, max se confond avec la contrainte bvide du béton adjacent aux armatures dans l’état à vide de l’ouvrage c.-à-d. lorsqu’il est soumis seulement à son poids propre et à la précontrainte initiale. • et min se confond avec la contrainte finale b du béton adjacent aux armatures lorsque l’ouvrage est soumis à toutes les actions permanentes y compris la précontrainte finale. • A défaut de valeurs exactes de min et max, on peut supposer que Ep max =1,5 min et comme  6: Ei (t 0 )

 

fl

( x , t f )  15 min ( x )  15 b ( x ) 18

IV.3. Pertes par relaxation de l’acier (x,t) • La perte finale par relaxation de l’acier de précontrainte, dans la section d’abscisse x, selon la formulation simplifiée des règles BPEL est:

  ( x, t f )   (t  )  i ( x)

 (t  )  6 1000 (    0 )

Perte totale par relaxaion

i avec   f prg

 0  0,43 TBR ( 1000  2,5%) et  0  0,3 RN ( 1000  8%)  i ( x) : tension initiale (toutes pertes instantanées déduites) dans la section d' abscisse x

19

IV.4. Pertes différées totales d(x,t) • Les évaluations précédentes des pertes différées supposent que le retrait, le fluage et la relaxation sont des phénomènes isolés => pour tenir compte de l’interaction notamment du retrait et fluage avec la relaxation, les règles BPEL proposent de minorer la relaxation par le coefficient (5/6). => La perte différée finale dans la section d’abscisse x devient alors:

5   d ( x , t f )    r ( t f )    fl ( x , t f )     ( x , t f ) 6 • Si l’on a besoin de la perte différée à un instant t donné, on peut admettre que:

  d ( x , t )    d ( x , t f ) r (t ) t B avec r ( t )  ; rm  ( cm ); t en jour t  9 rm u

20

V. Tension à l’abscisse x à un instant t donné V.1. Perte totale de tension dans la secion d’abscisse x à l’instant t :

 p ( x, t )   i ( x)   d ( x, t )

V.2. Tension de précontrainte dans la secion d’abscisse x à l’instant t: 2 valeurs représentaives 1- Tension probable pm:

 pm ( x, t )   p 0   p ( x, t ) et Pm ( x, t )  Ap pm ( x, t ) 2- Tensions caractérisiques p1 et p2 :

 p1 ( x, t )  1,02 p 0  0,8 p ( x, t ) et P1 ( x, t )  A p p1 ( x, t )  p 2 ( x, t )  0,98 p 0  1,2 p ( x, t ) et P2 ( x, t )  A p p 2 ( x, t ) 21

V.3. Tension inale à l’abscisse x Perte inale totale de tension dans la secion d’abscisse :

 p ( x, t f )   i ( x)   d ( x, t f ) 1- Tension inale probable pm dans la secion d’abscisse x:

 pm ( x, t f )   p 0   p ( x, t f ) et Pm ( x, t f )  A p pm ( x, t f ) 2- Tensions caractérisiques p1 et p2 à l’abscisse x:

 p1 ( x, t f )  1,02 p 0  0,8 p ( x, t f ) et P1 ( x, t f )  A p p1 ( x, t f )  p 2 ( x, t f )  0,98 p 0  1,2 p ( x, t f ) et P2 ( x, t f )  A p p 2 ( x, t f ) 22

Applicaion Le viaduc d’approche Nord, assurant la jonction avec le pont principal à haubans Radès-La Goulette, est constitué d’un tablier à quatre travées en caisson en béton précontraint par post-tension, reposant sur cinq appuis (voir fig.1). Les caractéristiques géométriques de la section transversale du tablier, représentée sur la figure 2, sont données dans le tableau 1.

Figure 1. Vue d’ensemble du tablier

Figure 2. Section transversale du tablier Aire B (m2)

Périmètre extérieur u (m)

5,944

25,740

Moment IGz (m4) 3,874

V(m)

V’ (m)

0,816

1,436

Tableau 1. Caractéristiques géométriques de la section transversale du tablier

23

Le tablier est soumis aux actions permanentes suivantes : • Son poids propre g. •Charges de superstructures (chape d’étanchéité + couche de roulement + barrières + corniches + réseaux) appliquées à 28 jours d’âge du béton et de valeur g’=4. 10-2 MN/m. •La précontrainte P supposée variable dans le temps et variable dans l’espace (en fonction de l’abscisse x de la section du tablier). Les câbles sont mis en tension lorsque le béton atteint 14 jours d’âge. On s’intéresse à l’étude de la première travée isostatique T1 représentée sur la figure 3. Le câblage de précontrainte de cette travée est constitué par 22 câbles 12T15S. Le tracé du câble moyen est parabolique. Son excentricité au niveau de la section médiane est e0(x= 22,39m)= -1,27m. x=0

x=22,39 m

x=44,78 m

G

x

e0(x)

 P1

P2

Figure 3. Tracé du câble de précontrainte moyen dans la travée T1.

Données • Caractéristiques du Béton : - Résistances caractéristiques à la compression : f c28= 40MPa et fc14= 34MPa ; Poids volumique B.P=25KN/m3 •Caractéristiques d’un Toron T15S de classe 1860 TBR : Section: 1,5 cm 2; Resistance à la rupture garantie : 1860 MPa; Limite d’élasticité garantie: 1655 MPa; - Tension à l’origine: 1488 MPa ; Force moyenne (toutes pertes instantanées faites) transmise à 14 jours estimée à 0,2MN; Force moyenne (toutes pertes faites) transmise à t  estimée à 0,16 MN ; Module d’élasticité: 190000 MPa; Relaxation à 1000 heures: 2,5%; 0=0,43 • Caractéristiques du système de mise en tension : - 1 ancrage actif et 1 ancrage passif, mise en tension échelonnée des câbles; Rentrée d’ancrage = 6 mm; Coefficient de frottement en courbe: 0,18 rd-1; Coefficient de perte en ligne: 0,002 rd -1m-1 • Pour l’évaluation du retrait : - Hygrométrie du milieu ambiant: 55%

On demande de calculer la tension initiale et la tension finale au niveau de la 24 section médiane de la travée T1.

Eléments de soluion Itération 1

P(14j) (MN) P(tf) (MN)

0,2 0,16

I. Pertes instantanées 1.Pertes par frottement  (l/2) 0,1134 a (m-1) 0,0051 k (m-1) 0,0029  (MPa) 93,92 2- Pertes par recul d'ancrage d(m) 16,22 on calcule les contraintes normales élasiques dans la secion en B.P. sous l’efet des sollicitaions de calcul et on vériie qu’elles ne dépassent pas les contraintes limites règlementaires. 2- Les contraintes de tracion dans le béton sont supposées modérées => le calcul se fait sur une secion en béton nete et non issurée, c.-à-d. en se basant sur les caractérisiques mécaniques des « secions non issurées ». Les secions netes s’obiennent en soustrayant des secions brutes les vides tels que trous, encoches et conduits ménagés pour le passage ou l’ancrage des armatures de précontrainte. 5

Notaions Considérons une poutre isostatique de fibre moyenne (Gx) horizontale et de plan moyen Gxy , fléchie et précontrainte dans ce plan. Gy (axe vertical de symétrie de la section droite) et Gz sont les axes principaux d’inertie de la section. Secion droite: caractérisiques géométriques et mécaniques - B : Aire de la section nette du béton - G : centre de gravité (CDG) de la section nette du béton - V et V’ : distances du CDG aux fibres extrêmes sup et inf; V+V’=h - I (=IGz) : moment d’inertie de la section nette du béton par rapport à l’axe (Gz). - I/V et I/V’: modules d’inertie de la section nette du béton par rapport à l’axe (Gz). -  = I/ (BVV’) : rendement géométrique de la section nette du béton. - e0 : excentricité verticale (selon (Gy)) du câble moyen de précontrainte comptée algébriquement (e0 < 0 quand le câble est en dessous du CDG)

y

V h

z

G e0 La valeur minimale absolue possible pour P est donc :

V.1. Secion sous criique

M PI  c  c'

• Si l’on adopte P = P I , le fuseau de passage, au niveau de la section considérée, se referme en un point (e 1 = e 2 ) par lequel doit passer obligatoirement le câble (e 0 = e 1 = e 2 ). L’excentricité du câble est alors imposée :

Mm MM e0  c' c P P

18

• Il reste à vérifier que l’excentricité e0 satisfait aux conditions pratiques d’enrobage -(V’- d’) ≤ e0 ≤ V-d => Ces conditions sont presque toujours vérifiées lorsque les moments extrêmes sont de signes contraires (MM > 0 et Mm< 0) (en effet, dans ce cas on a: -c’ ≤ e0 ≤ c et le plus souvent: c’ ≤ V’- d’ et c ≤ V-d ). M M => une section où P = P I et l’excentricité est donnée par: e0  c' m  c  M P P et vérifiant les conditions pratiques d’enrobage s’appelle une section sous -critique • Pour une section sous -critique, le centre de pression est à l’ordonnée + c lorsqu’on applique à la section le moment extérieur maximal MM , ce qui signifie que, sous cette sollicitation, la contrainte limite de traction s 2 ' est atteinte sur la fibre inférieure. • Pour une section sous -critique, le centre de pression est à l’ordonnée -c’ lorsqu’on applique à la section le moment extérieur minimal Mm , ce qui signifie que, sous cette sollicitation, la contrainte limite de traction s1 est atteinte sur la fibre supérieure.  Dans une section sous-critique, on atteint les contraintes limites de traction sous les deux cas de charge extrêmes (MM, PI) et (Mm, PI) . 19

V.2. Secion sur-criique • Lorsque l’excentricité associée à P I ne respecte pas les conditions pratiques d’enrobage, la solution P = P I est à rejeter, car elle conduirait à un câble mal enrobé. => La section est alors dite sur-critique • Cette situation est généralement rencontrée lorsque les moments extrêmes MM et Mm ont tous deux le même signe. V.2.1. Secion sur-criique soumise à des moments extérieurs posiifs (MM et Mm  0)

Mm  0 => le câble est excentré vers le bas • Si Mm  0 alors: e0  c' PI

c’est la condition pratique d’enrobage e0 ≥ -(V’- d’) qui n’est pas satisfaite., c.-à-d. que le fuseau de passage sort de la zone autorisée vers le bas. Dans ce cas, on a: e  c  M M  (V 'd ' )  P  M M 0 I PI V 'c  d '

 Pour faire remonter le fuseau de passage, il suffit d’augmenter P . Le fuseau s’ouvre (e 1 > e 2 pour P > P I ) et la valeur minimale PII à retenir est celle qui amène la ligne e 1 à tangenter la ligne d’enrobage minimal, soit :

e0  c 

MM MM  (V 'd ' )  PII  PII V 'c  d '

20

=> Dans ce cas, on a aussi :

e2  c'

Mm M  e0  c  M PII PII

• Pour une section sur-critique soumise à deux moments extrêmes positifs: - Sous l’action du moment extérieur MM , le centre de pression remonte depuis le câble de la quantité (MM /PII) et se retrouve à l’ordonnée + c ; on atteint donc la contrainte limite de traction s 2 ' -Par contre, sous Mm , l’ordonnée du centre de pression (e0 + Mm /PII) est supérieure à (-c’) et la contrainte s1 qui apparaît sur la fibre supérieure est plus grande que s 1

 Dans une section sur-critique soumise à deux moments extrêmes positifs, on ne peut atteindre qu’une seule contrainte limite de traction: c’est la contrainte limite de traction sur la fibre inférieure s 2 ' (fibre vers laquelle le câble est excentré)

21

V.2.1. Secion sur-criique soumise à des moments extérieurs négaifs (MM et Mm  0) MM Si M ≤ 0 alors: • e0  c   0 => le câble est excentré vers le haut M P => c’est la condition pratique d’enrobage e0 ≤ (V- d) qui n’est pas satisfaite., c.-à-d. que le fuseau de passage sort de la zone autorisée vers le haut. Dans ce cas, on a: Mm M m e0  c'  (V  d )  PI  PI V  c'd

 Pour faire abaisser le fuseau de passage, il suffit d’augmenter P . Le fuseau s’ouvre et la valeur minimale PII’ à retenir est celle qui amène la ligne e 2 à tangenter la ligne d’enrobage minimal => Le câble correspondant étant excentré au maximum vers le haut dans la section considérée : M M

e0  c'

m

PII '

 (V  d )  PII ' 

m

V  c'd

 La seule contrainte limite de traction que l’on atteint, dans ce cas, est la contrainte sur la fibre supérieure s (fibre vers laquelle le câble est excentré) sous l’effet du moment M 22 m. 1

V.3. Caractère d’une secion Pour déterminer le caractère d’une section, autrement dit pour savoir si elle est sous-critique ou sur-critique, on peut opérer de deux façons différentes: 1ère façon: On calcule PI et l’excentricité associée e0, si cette excentricité satisfait aux conditions pratiques d’enrobage, la section est sous-critique et l’on prend P = PI . Sinon, elle est sur-critique, et selon le signe des moments, on adopte soit P = PII , soit P = PII’ 2ème façon: On calcule PI puis, soit PII soit PII’ selon le signe des moments extérieurs appliqués. La section est sous-critique si PI est la plus grande de ces forces. Dans le cas contraire, elle est sur-critique (cette démarche est généralement adoptée). En d’autres termes:

PI  PII  0  section sous- critique  PI  PII  0  section sur - critique 23

V.4. Expressions développées de P Les formules de P précédemment établies ne sont pas pratiques à utiliser du fait qu’elles contiennent implicitement P par l’intermédiaire de c et c’. En remplaçant c et c’ par leurs expressions, on obtient les formules explicites et pratiques de P suivantes:

V.4.1 Secion sous-criique

  M PI  c  c'   M B(V s '2  V 's 1 )  PI  h h   I I M  s '2  s 1  V' V PI  h 

Et

 Bs1 M m ) e0  V ' (1  PI PI   Bs 2 ' M M  e0  V (1  P )  P I I 

=> Trois expressions équivalentes de la force sous-critique PI

24

V.4.2. Secion sur-criique • pour une section sur-critique soumise à des moments positifs (P = PII ) :

MM  PII  V 'c  d '  I  M M  s '2  V'  P  II V 'V  d ' 

Et

e0  (V 'd ' )

• pour une section sur-critique soumise à des moments négatifs (P = PII’ ) :

 Mm  PII '  V  c'd  I   M m  s1  V P '   II V  V 'd 

Et

e0  V  d

25

V.5. Cas pariculier très important: s1  s 2 '  0 • Dans ce cas, c=V et c’=  V’ => Le noyau limite se réduit au noyau central (dit tiers central dans le cas d’une section rectangulaire puisque  vaut 1/3 pour une telle section). => Pour une section sous-critique:

M P  PI  h

=> Pour une section sur-critique soumise à deux moments extrêmes positifs:

MM P  PII  V 'V  d '

=> Pour une section sur-critique soumise à deux moments extrêmes négatifs:

M m P  PII '  V  V 'd

Remarques 1- Par comparaison avec les formules générales précédentes de P, on peut apprécier les économies que l’on fait sur P lorsqu’on tolère des contraintes de traction dans le béton (c.-à-d. quand s1 et s 2 '  0 ) 2- Plus on admet des contraintes de traction importantes (en valeur absolue), plus 26 on aura affaire à des sections déterminantes sur-critiques .

VI. Secion minimale du béton • On obtient la section minimale de béton lorsqu’on atteint les contraintes limites de compression s et s ' 2 1 • Dans ce qui suit, on adopte les valeurs minimales précédemment trouvées pour la précontrainte (PI , PII ou PII’ ) VI.1. Cas d’une section sous-critique • On prend alors P = P I et l’on atteint les deux contraintes limites de traction s1 et s 2 ' • Pour atteindre les deux contraintes limites de compression, il faut et il suffit que:

M  s  s  I V   s '  s '  M V '  I

M I  V  s   I  M  V '  s '

s  s 2 - s1; s '  s1 ' - s 2 ' et M  MM  Mm

27

VI.2. Cas d’une section sur-critique soumises à des moments positifs • On prend alors P = PII et l’on atteint uniquement la contrainte limite de traction s 2 ' sous l’action de MM • Pour atteindre la contrainte limite de compression sur la fibre inférieure s1 ' , il faut et il suffit que:

M I M s '  s '  V '  I V ' s '

• Par contre, du fait que la membrure supérieure

s1  s1 la relation

I M  V s

n’est pas suffisante pour

Pour atteindre la contrainte limite s 2 de compression sur la fibre supérieure sous l’effet de MM , il faut PII et il suffit que s 2 soit alignée avec s 2 ' et s G 

PII s 2V 's 2 'V   B h



PII h I  V s V s ' 2 2 V'

B

28

VI.2. Cas d’une section sur-critique soumises à des moments négatifs • On prend alors P = PII’ et l’on atteint uniquement la contrainte limite de traction s1 sous l’action de Mm • Pour atteindre la contrainte limite de compression sur la fibre supérieures 2 , il faut et il suffit que:

M I M s  s  V  I V s

• Par contre, du fait que la membrure inférieure

s 2 '  s 2 ' la relation

I M  V ' s '

n’est pas suffisante pour

Pour atteindre la contrainte limite s1 ' de compression sur la fibre inférieure sous l’effet de Mm , il faut P ' II et il suffit que s1 ' soit alignée avec s1 et s G 

PII ' s 1V 's 1 V '   B h



PII ' h I  V' s ' V 's 1 1 V

B

29

Remarques 1- D’après ce qui précède, on peut atteindre : • les quatre contraintes limites dans une section sous-critique ; • trois contraintes limites seulement dans une section sur-critique 2- L’atteinte des contraintes limites de compression n’est nullement obligatoire. En fait, il arrive très souvent, dans la pratique, qu’une des membrures au moins de la poutre soit surabondante. C’est presque toujours le cas pour les tabliers de ponts routiers: la membrure supérieure joue également le rôle de dalle et doit, à cet égard, résister aux sollicitations locales transversales qu’y développent les charges roulantes. C’est cette fonction qui, la plupart du temps, conditionne ses dimensions et la rend surabondante vis-à-vis de la flexion générale (longitudinale). L’essentiel est que les modules d’inertie soient supérieurs ou égaux aux valeurs minimales données par les formules établies 30 précédemment.

VII. Cas où plusieurs valeurs de la précontrainte interviennent dans le dimensionnement

• Il arrive que plusieurs valeurs de la précontrainte (en général deux) interviennent dans le dimensionnement d’une section. Cette circonstance se présente notamment lorsque : - les cas de charge déterminants sont appliqués dans deux situations distinctes se caractérisant par des valeurs différentes de la force de précontrainte (évolution de la tension des câbles entre situation d’exécution et situation d’exploitation notamment ) ; -la réglementation impose de prendre en compte deux valeurs caractéristiques (P 1 et P2) pour la précontrainte (règlement BPEL, sauf prescription contraire du marché). => les formules précédemment établies ne s’appliquent plus telles quelles, puisqu’elles supposent une valeur unique de la précontrainte sous les cas de charges extrêmes.  Cependant, il est très facile de les généraliser, à partir de la remarque suivante: grâce au comportement linéaire du béton, on a une invariance des conditions de dimensionnement dans une multiplication scalaire: respecter des contraintes limites s et s ' sous l’effet de M et P est ainsi équivalent à respecter les contraintes limites s et s ' sous l’effet de M et  P .

31

• Si les conditions de dimensionnement d’une section sont celles du tableau suivant: Moments

Précontrainte

Mm

1 P

MM

2 P

Contraintes limites

s1 et s1 ' s 2 et s 2 '

=> On peut les remplacer par les conditions équivalentes suivantes en multipliant la première ligne du premier tableau par  1 = 1/1 et sa deuxième ligne par  2 = 1/ 2 : Moments

Précontrainte

Mmf = Mm/1

P

MMf = MM/2

P

Contraintes limites

s1 f

s1 s1 '  et s1 f '  1 1

s2 f

s2 s2'  et s 2 f '  2 2

Toutes les formules établies précédemment s’appliquent donc à condition d’y substituer aux contraintes limites et moments réels leurs homologues fictifs.

32

Cas où P=Pd=(P1, P2) (jusiicaions à l’ELS) P1 = 1,02 P0 – 0,8 P P2 = 0,98 P0 – 1,2 P Pm = P0 –  P On a donc:

P1 = (1 + l )Pm => 1= (1 + l ) P2 = (1 – l )Pm => 2= (1 - l ) • L’ouverture relative l de la fourchette de précontrainte, qui dépend beaucoup de la longueur des armatures et de leur tracé, est couramment de l’ordre de 0,10 lorsqu’on raisonne sur la valeur finale de la précontrainte (elle est bien entendu plus faible en situation d’exécution puisque, alors, seule la fraction des pertes instantanées est effectuée). 33

VIII. Applicaion des résultats précédents aux condiions réglementaires selon le règles BPEL 99 • Selon les exigences sur les contraintes limites, les justifications à l’ELS sont rangées en trois classes. L’un des risques importants des constructions précontraintes étant celui de la corrosion sous tension des armatures actives, ces classes se différencient, en réalité, par les limitations imposées aux contraintes de traction affectant le béton (classes I et II) ou les armatures (classe III).

• Les zones sensibles sont, bien entendu, celles qui entourent les câbles. C’est pourquoi a été introduite, dans les règles BPEL, la notion de section d’enrobage: c’est la partie de la section droite qui est délimitée par deux parallèles à l’axe de flexion encadrant l’ensemble des armatures longitudinales de précontrainte à une distance de celles-ci égale à la distance minimale admise entre une armature et le parement le plus proche •La limitation des tractions est évidemment plus stricte à l’intérieur de la section d’enrobage que sur le reste de la section droite. 34

VIII.1. Contraintes limites de compression • Communes aux trois classes, elles valent, en règle générale, lorsque la précontrainte est représentée par ses deux valeurs caractéristiques P1 et P2 ou par sa valeur probable Pm: Situation

Exécution

Combinaisons Contraintes limites en compression

0,6 fcj

Exploitation Rares

Fréquentes

Quasi permanentes

0,6 fcj

0,6 fcj

0,5 fcj

35

VIII.2. Contraintes limites de tracion • En classe I, aucune décompression n’est tolérée: il s’agit de la précontrainte totale.

• En classe II, on admet des tractions modérées dans le béton. Comme en classe I, ces contraintes se calculent sur la section non fissurée. • En classe III, les contraintes de traction du béton ne sont plus bornées. En revanche, la fissuration est maîtrisée par un plafonnement sévère des tensions dans les armatures passives et des surtensions dans les armatures de précontrainte, calculées sur la section fissurée. C’est le domaine de la précontrainte partielle. • Aussi bien en classe II qu’en classe III, un minimum d’armatures passives longitudinales assure la limitation de l’ouverture des fissures, donc leur réversibilité, même sous combinaisons rares, et, par voie de conséquence, leur refermeture quasi totale sous combinaisons fréquentes, au droit de la section d’enrobage, par l’exigence à ce niveau: - d’un retour à des contraintes positives du béton en classe II ; - de limitation très stricte (0,35fe) des contraintes dans les armatures passives, et une limitation de la surtension (100MPa) des armatures actives en classe III .

36

Contraintes limites selon les classes et la situaion de l’ouvrage (selon les règles BPEL91 révisées 99)

37

Remarques • Si l’on se reporte à la définition de ces classes, on peut déduire de ce qui précède les conclusions suivantes concernant les sections déterminantes : - déjà en classe I (peu utilisée), elles sont souvent sur-critiques ; - en classe II , elles le sont très fréquemment ; - et en classe III , pratiquement toujours. • Ainsi, la plupart du temps, les câbles doivent y être excentrés au maximum et la section d’enrobage englobe l’une des fibres extrêmes.

38

IX. Armatures passives longitudinales Elles résultent de la plus sévère des considérations suivantes: 1- Ferraillage de peau, sur toute la périphérie des sections, et pour toutes les classes, d’au moins 3 cm2 /m, sans pouvoir être inférieure à 0,10 % de la section du béton de la poutre; 2- Ferraillage minimal que nous qualifierons de non-fragilité (art. 6.1.32 du BPEL), en zone tendue pour les classes II et III, dont la section As est donnée par la formule suivante, sous réserve que la zone tendue présente une hauteur supérieure à 5cm:

NBt ftj Bt As   * 1000 fe s Bt Bt : aire de la section du béton en traction sBt : valeur absolue de la contrainte maximale de traction NBt : résultante des contraintes de traction correspondantes, toutes quantités évaluées sur la section non fissurée (même en classe III).

 Cette formule conduit, en pratique, à des pourcentages d’aciers passifs compris 39 entre 0,4 % et 0,7 % de la zone tendue.

X. Exemple de dimensionnement On se propose de dimensionner une travée indépendante d’un tablier de pont en béton précontraint de 29m de portée. Ce tablier livre passage à une chaussée de largeur 7m encadrée par deux trottoirs ayant chacun une largeur égale à 1,6m. Sa section transversale, de centre de gravité G, est représentée sur la figure suivante : y 10,20m

x=14,5m 0,22m

1 1

0,4819m z

G

29m 1,3181m

Caractéristiques géométriques de la section: B (m2) 3,8240

V(m) 0,4819

V’(m) 1,3181

I (m4) 1,0888

I/V (m3) 2,2595

I/V’(m3) 0,8260

 0,4483

0,5m

0,5m Coupe 1-1

Actions : L’ouvrage est soumis à : •Son Poids propre g (B.P=2.5 10-2 MN/m3) •Poids propre de superstructures : g’=4. 10 -2 MN/m •Charges routière d’exploitation de valeur caractéristique :q k=10 10-2 MN/m; 1=0,6 •La précontrainte représentée par ses deux valeurs caractéristiques P1 et P2 ; Nous supposons que : P1=1.1Pm et P2=0.9 Pm, où Pm est la valeur probable finale (toutes pertes faites) de la précontrainte.

Hypothèses de calcul : Dimensionnement en classe II d’=0.16m Béton : fc28 = 35MPa Force probable utile (toutes pertes faites) transmise par un toron T15S=0,16MN

40

Questions 1/ Calculer les moments extrêmes (MM et Mm) dans la section médiane à l’E.L.S, en situation d’exploitation, sous l’action de la combinaison rare et de la combinaison quasi-permanente. 2/ Déterminer le caractère de la section médiane. 3/ Proposer un câblage de la section médiane en utilisant des câbles 12T15S et calculer l’excentricité e0 correspondante. 4/ Vérifier le coffrage. 5/ Vérifier les contraintes normales dans le béton dans la section médiane en situation d’exploitation sous l’effet de la combinaison fréquente. 6/ Vérifier les contraintes normales dans le béton dans la section médiane en situation d’exécution sous l’effet de Pc=1,15Pm où Pm est la précontrainte probable finale.

41

Chapitre 5 Acions et sollicitaions de calcul Module Béton Précontraint - 3AGC-ENIT Karim MILED E-mail: [email protected]

1

Remarque: La nature et l'intensité des actions à introduire dans les calculs sont fixées par le marché, soit par référence à des normes, codes ou règlements en vigueur soit directement lorsqu'elles sont propres à l'ouvrage.

2

3

Valeurs représentatives des actions • Gmax: l’ensemble des actions permanentes défavorables • Gmin: l’ensemble des actions permanentes favorables • La précontrainte P est représentée par sa valeur probable Pm à l’ELU. A l’ELS, elle est représentée par la valeur de calcul Pd qui est la plus défavorable de ses deux valeurs caractéristiques P1 et P2. • Une action variable est représentée par: • Sa valeur caractéristique Qk ou sa valeur nominale Q • Une Action variable Qi de valeur caractéristique Qik est représentée par 3 autres valeurs: - Sa valeur de combinaison 0iQik - Sa valeur fréquente 1iQik 4

Situaions de calcul • Une structure connaît toujours plusieurs situations, caractérisées chacune par l’intervalle de temps pendant lequel peuvent être considérés comme constants les distributions ou les processus aléatoires de toutes les données de la sécurité. Le plus souvent, on a à considérer : 1- une ou plusieurs situations transitoires: la ou les situations d’exécution ; 2- une situation durable: la situation d’exploitation (dans certains cas, on peut en envisager plusieurs si l’on prévoit des changements dans les conditions d’exploitation) ; 3- éventuellement, une ou plusieurs situations accidentelles . • En principe, les actions et leurs valeurs représentatives changent quand on passe d’une situation à une autre et, dans chaque situation, il convient d’apporter les justifications nécessaires vis-à-vis des sollicitations de calcul.

• La notion de situation est particulièrement importante en béton précontraint, où la période d’exécution doit faire l’objet de vérifications spécifiques. En effet, les conditions auxquelles est alors soumise la structure sont souvent très différentes de celles que l’on rencontre en situation d’exploitation : 1- la précontrainte, immédiatement après mise en tension des câbles, est nettement plus élevée qu’en période d’exploitation, puisqu’une partie des pertes différées (par retrait en fluage du béton et par relaxation des armatures) s’effectue entre-temps; 2- le béton, encore jeune, n’a pas atteint sa pleine résistance ; 3- enfin, les charges extérieures appliquées à la structure ne sont pas les mêmes (du fait notamment que certaines charges réputées permanentes n’interviennent qu’à partir du moment où on les a mises en place).

Combinaisons vis à vis des ELU 1) Combinaisons fondamentales



S f g p Pm 1,35 Gmax  Gmin  g Q1Q1k 

1,3



0i Qik

i 1

gP = 1 dans la plupart des cas et 1,35 si cete valeur est plus défavorable. gQ1= 1,5 (en général) et 1,35 pour la Température, les charges d’exploitation étroitement bornées ou de caractère particulier, bâtiments agricoles à faible densité d’occupation.

2) Combinaisons accidentelles Sa  Pm  Gmax  Gmin  FA 11Q1k 

 i 1

2i Qik

 7

8

Valeurs recommandées des coeicients  pour les ponts routes selon le CPC, fascicule 61 itre 2

9

Valeurs recommandées des coeicients  pour les bâiments • Cas des charges d’exploitaion dans les bâiments selon la NF P06-001

• Cas des charges climaiques dans les bâiments selon le DTU P06-002

10

Combinaisons d’acions à considérer pour la vériicaion vis-àvis de l’ELU des ponts-routes en situaion d’exécuion Les acions à considérer habituellement sont : P : précontrainte, G : charges permanentes comprenant notamment le poids propre et le poids des équipements, Qprc : charges d'exécuion connues (en grandeur et posiion), Qpra : charges d'exécuion aléatoires, W : vent (en situaion d'exécuion), Dq : gradient thermique, dans les cas où le marché le prescrit,

Combinaisons fondamentales à l’ELU de résistance:

11

Combinaisons d’acions à considérer pour la vériicaion vis-à-vis des ELS des ponts-routes en situaion d’exécuion • Combinaisons rares:

12

Combinaisons d’acions à considérer pour la vériicaion vis-àvis de l’ELU des ponts-routes en situaion d’exploitaion Les acions à considérer habituellement sont : P : précontrainte, G : charges permanentes comprenant notamment le poids propre g et le poids des équipements g’, Qr : charges d'exploitaion sans caractère pariculier (systèmes A et B avec leurs efets annexes, charges de trotoirs), Qrp : charges d'exploitaion de caractère pariculier (convois militaires et convois excepionnels), W : vent (en situaion d'exécuion), Dq : gradient thermique, dans les cas où le marché le prescrit.

Combinaisons fondamentales à l’ELU de résistance:

13

Combinaisons d’acions vis-à-vis des ELS à considérer pour la vériicaion des ponts-routes en situaion d’exploitaion • Combinaisons rares:

• Combinaisons fréquentes:

• Combinaisons quasi-permanentes: 14

Combinaisons d’acions à considérer pour la vériicaion des bâiments vis-à-vis de l’ELU en situaion d’exploitaion • -

Les acions à considérer sont habituellement : P : précontrainte, G : charges permanentes comprenant notamment le poids propre et le poids des équipements, Q0 : charges d'exploitaion,

-

W : vent, S : neige, T : température (variaions uniformes)

• Combinaisons fondamentales à l’ELU de résistance :

15

Combinaisons d’acions à considérer pour la vériicaion vis-à-vis des ELS des bâiments en situaion d’exploitaion • Combinaisons rares:

• Combinaisons fréquentes:

• Combinaisons quasi-permanentes: 16

Chapitre 6 Flexion des poutres isostaiques en B.P. aux ELUR

Module Béton Précontraint - 3AGC-ENIT Karim MILED E-mail: [email protected]

1

Plan I. II. III. IV. V. VI.

Introducion Equilibre d’une secion à la rupture Caractérisaion d’un ELUR Comportement des matériaux à l’ELUR Principe de jusiicaion à l’ELUR Applicaion

2

I. Introducion • Les justifications vis-à-vis des ELU, complémentaires des vérifications vis-à-vis des ELS, s’avèrent indispensables car un dépassement des charges caractéristiques (prises en compte dans les calculs aux ELS) est toujours possible, bien que peu probable il faut donc examiner le comportement des structures sous charges majorées. Pour ce faire, il n’est pas envisageable de procéder par extrapolation. En effet, pour des raisons d’économie évidentes, on tolère que, sous ces charges majorées, des phénomènes irréversibles se manifestent (fissuration, plastification des matériaux), l’essentiel étant d’éviter l’effondrement des ouvrages.

nécessité d’effectuer des vérifications spécifiques. 3

II. Equilibre d’une secion à rupture Hypothèses de calcul • Dans la mesure où la précontrainte est adhérente au béton, on peut appréhender correctement le comportement d’une section à l’épuisement de sa résistance en tablant sur les trois hypothèses suivantes : 1. conservation de la planéité des sections droites => diagramme de déformation de la section linéaire; 2. le béton tendu est négligé dans la résistance de la section; 3. adhérence parfaite acier-béton=> pas de glissement relatif entre l’acier de précontrainte et le béton adjacent.

4

Conventions de signe • Les déformations εb du béton, εs des armatures passives, εp des armatures actives de précontrainte, ainsi que leurs variations Δεp sont comptées algébriquement selon les conventions suivantes : • εb > 0 pour un raccourcissement ; • εs , εp , Δεp > 0 s’il s’agit d’allongements ou d’accroissements d’allongements. • En ce qui concerne les contraintes ou leurs variations, les conventions de signe corrélatives sont les suivantes : • σb > 0 pour une compression ; • σs, σp, Δσp > 0 s’il s’agit de tractions ou d’augmentations de tractions. 5

II. Equilibre d’une secion à rupture • Si l’on prend l’exemple d’une section soumise, de la part des actions extérieures, à une sollicitation de flexion simple Mext (section médiane d’une travée indépendante, pour se fixer les idées), cette section résiste par son béton comprimé (σb) sur une hauteur y et par ses aciers tendus à

σp en ce qui concerne les armatures actives de précontrainte et σs en ce qui concerne les armatures passives.

6

• σp se décompose en trois termes : 1. σpm : contrainte probable à vide: tension finale des armatures de précontrainte lorsque la poutre n’est soumise qu’aux charges permanentes; 2. Δ′σp : premier complément de contrainte accompagnant le retour à 0 de la déformation du béton adjacent lorsque la poutre est en charge (application des charges variables) ; 3. Δ′′σp : deuxième complément de contrainte jusqu’à l’épuisement de la résistance de la section, lorsque la poutre est en charge. • L’allongement total, en charge, εp des armatures de précontrainte apparaît alors comme la somme de trois termes : 1. leur allongement à vide εpm ; 2. un premier complément d’allongement Δ′εp accompagnant le retour à 0 de la déformation du béton adjacent, donc égal au raccourcissement que présente ce béton dans l’état à vide; 3. un deuxième complément de déformation Δ′′εp jusqu’à l’épuisement de la résistance de la section et que l’on lit directement sur le 7

=> Ces contraintes σp, σs et σb équilibrent le moment Mext développé par les charges extérieures:



Sys. M ext   Sys.  b dB, Ap ( pm  ' p  ' ' p ), As s









 Sys. M ext , Ap pm  Sys.  b dB, Ap (' p  ' ' p ), As s



 Sys. M ext , Pm   Sys.  b dB, Ap (' p  ' ' p ), As s



=> la précontrainte Pm est passée du côté sollicitant, les aciers de précontrainte n’intervenant plus que par leur surtension Δσp = Δ′σp + Δ′′σp dans la résistance de la section.

8



Remarques • En ce qui concerne les allongements des armatures de précontrainte ou leurs variations (εpm, Δ′εp, Δ′′εp) corrélatifs des tensions (ou variations de tension) σpm, Δ′σp, Δ′′σp, on peut remarquer que, dans la pratique, εpm et Δ′εp se situent dans le domaine de comportement élastique des aciers et qu’en conséquence :  



pm

 '

p



  ' 

pm

Ep  ' E p



p

(   bpm 

p

E

p

 bpm Eb

)

 bpm  5 bpm

Eb Avec σbpm: contrainte du béton à vide, au niveau des armatures de précontrainte (calculée en prenant en compte la valeur probable de la précontrainte Pm) ; εbpm: raccourcissement correspondant du béton.

• En revanche, Δ′′εp déborde presque toujours du domaine de comportement élastique des armatures.

9

III. Caractérisaion d’un Etat Limite Ulime Physiquement, un état-limite ultime de résistance (ELUR) se caractérise par le fait que l’un au moins des matériaux constitutifs de la section atteint sa déformation ultime. Réglementairement, on admet, de façon conventionnelle, qu’un ELU est atteint lorsque le diagramme des déformations est un diagramme limite passant par un des pivots A, B, C (ou encore A′, B′ ou C′):

=> Si le diagramme de déformation limite de la section se situe dans le domaine 1 ou 2, la section sera partiellement comprimée. S’il se situe dans le domaine 3, la 10 section sera entièrement comprimée.

III. Caractérisaion d’un Etat Limite Ulime • Les pivots A et B correspondent : - pour les aciers, à des allongements (aciers passifs) ou à des variations d’allongements (aciers actifs de précontrainte) ultimes estimés de façon très prudente à :

 su  10 ‰  "  pu  10 ‰

- pour le béton, à un raccourcissement ultime assez bien représentatif de ce que l’on peut observer expérimentalement :

 bu  3 , 5 ‰ • Le pivot C, quant à lui, permet de tenir compte du fait que, lorsqu’une pièce périt tout en étant partout comprimée, les raccourcissements qu’on y mesure sont sensiblement plus faibles que sur la fibre comprimée la plus déformée d’une pièce partiellement tendue à rupture:  bu  2 ‰ 11

IV. Comportement des matériaux à l’ELUR À toute distribution linéaire des déformations sur la hauteur de la section correspond une répartition de contraintes facile à calculer par l’intermédiaire des diagrammes contraintes- déformations de calcul des matériaux, qui sont déterminés à partir des diagrammes caractéristiques des matériaux.

Diagramme Contraintes-Déformations de calcul à l’ELUR pour les aciers passifs s f su 

fe s

Es = 200 GPa -10‰

1,15 en général s   1 pour les combinaisons accidentelles

s

 su=10‰

12

Diagramme Contraintes-Déformations de calcul à l’ELUR pour les aciers actifs de précontrainte • Le diagramme contraintes-déformations de calcul à l’ELUR est obtenu en faisant subir au diagramme contraintes-déformations réel de l’acier de précontrainte une affinités de rapport 1/γa parallèlement à la droite de Hooke (courbe de gauche) . Cependant, on peut utiliser le diagramme de calcul à l’ELUR simplifié représenté sur la courbe de droite.

p

p

f pu 

Ep

p

- Pour les fils et barres: Ep =200 GPa - Pour les torons: Ep = 190 GPa

f peg

a Ep

p

 pu=20‰

Diagramme de calcul simpliié

1,15 en général a   1 pour les combinaisons accidentelles

13

Diagramme Contraintes-Déformations de calcul à l’ELUR pour le béton • Pour des bétons de résistance caractéristique fc28 inférieure ou égale à 40 MPa, le diagramme parabole-rectangle donne une précision suffisante.

 fc28 fbu, 085 b

Diagramme parabole-rectangle

 2‰ 3,5‰ 1,00 : t  24 heures 1,5 en général b      0,90:1 heure t  24 heures 1,15 combinaiso ns accidentel les 0,85: t  1 heure  Remarque: Les coefficients 0.85 en numérateur et  en dénominateur ont pour objet de tenir compte du fait que la résistance en compression du béton est fonction 14 décroissante de la durée (t) d’application de chargement (effet RÜSCH).

Diagramme Contraintes-Déformations simplifié de calcul pour le béton (ELUR) Lorsque la section considérée n’est pas entièrement comprimée, il est loisible d’utiliser le diagramme rectangulaire simplifié suivant:

15

V. Principe de jusiicaion à l’ELUR Il s’agit de s’assurer que les sollicitations agissantes règlementaires de calcul, que nous désignerons par S* n’entraînent pas l’apparition d’un état-limite ultime dans la section, autrement dit qu’elles restent inférieures ou égales aux sollicitations résistantes que nous désignerons par S

V.1. Sollicitaions agissantes de calcul S*  S

f

  p Pm  1,35 G max

 G min   Q 1 Q 1 k 

 1,3

0 i Q ik

i 1

P = 1 dans la plupart des cas et 1,35 si cette valeur est plus défavorable. Q1=1,5 (en général) et 1,35 pour la Température et pour les charges d’exploitation étroitement bornées ou de caractère particulier (exemple: bâtiments agricoles à faible densité d’occupation).

=> ce qui peut encore s’écrire :

S

*

*   S  p Pm   S ext 16



• Même lorsque les charges extérieures n’engendrent que la flexion simple (Next* = 0), ce sont donc, du fait qu’on y a incorporé Pm, des sollicitations de flexion composée se caractérisant par deux paramètres (dans la mesure où l’on ne s’intéresse qu’aux composantes donnant des contraintes normales); Ce sont généralement la composante normale de la résultante et le moment résultant en un point. => Si ce point est le centre de gravité G de la section, S* est donc défini par :

 N *   p Pm   N *  N ext *   p Pm  Le plus souvent ,     *   Next* = 0 => S   S*    * * * *  M  M ext   p Pm e0   M  M ext   p Pm e 0      => Lorsque, dans une section, les armatures de précontrainte peuvent être considérées comme concentrées en un point, il est souvent commode de prendre les éléments de réduction de S* par rapport à ce point. En supposant encore Next* = 0, on a, dans ce cas :  N *   P  p m   * S   Μ *  M *  ext   Eléments de réduction en Ap 17

• Il convient de remarquer, par ailleurs, qu’en règle générale il y a deux sollicitations S* à prendre en compte : -Smax* qui correspond à l’épuisement de la section par moments positifs ; - Eventuellement, Smin* correspondant à l’épuisement de la section par moments négatifs => À titre d’exemple simple, prenons le cas de la section médiane de la poutre à double console représentée à la figure ci-dessous. Supposons que cette poutre soit soumise : - à une charge permanente uniforme (poids propre g, charge de superstructure g′) donnant un moment positif dans la section médiane ; - à une charge variable d’exploitation assimilable à une charge uniformément répartie de valeur caractéristique q. => les deux cas de charges extrêmes à considérer pour la justification de la section médiane sont représentés sur la figure suivante, les charges permanentes étant appliquées partout. Les sollicitations de calcul correspondantes s’écrivent (en prenant leurs éléments de réduction par rapport à Ap et en supposant γQ1= 1,5) :

 N *   p Pm    * Smax   ( M q max  0)  Μ max *  1,35( M g  M g ' )  1,5M q max  S min *

 N *   p Pm      ( M q min  0)  Μ min *  ( M g  M g ' )  1,5 M q min   

18

V.2. Sollicitaions résistantes: courbe d’interacion (N-M) • Pour obtenir une sollicitation limite de flexion composée S qui entraîne l’apparition d’un état-limite ultime dans la section, il suffit de partir d’un diagramme de déformation limite de la section (diagramme passant par l’un des pivots), de remonter aux contraintes par l’intermédiaire des diagrammes contraintesS résistante déformations de calcul et de déterminer la sollicitation qu’équilibrent •ces Si contraintes. l’on définit les sollicitations par leurs éléments de réduction en G et si l’on se place dans un plan (N, M), l’ensemble des sollicitations limites S  ( N u , M u ) , dont chacune peut être représentée par un point de ce plan, définit une courbe fermée dite courbe d’interaction effort normal-moment fléchissant. Cette courbe délimite le domaine de résistance de la section, et il suffit de s’assurer que le point représentatif de S* (N*, M*) est bien à l’intérieur de ce domaine. • En pratique, il est hors de question de calculer la courbe d’interaction point par point. Compte tenu de la convexité du domaine, il suffit de déterminer les deux points d’intersection de cette courbe avec la verticale ou l’horizontale passant par S* et de vérifier que S* est bien entre ces deux points=> Il y a lieu, dans ces conditions, * de vérifier que pour N u  N * :  M max  M u max   *   M min  M u min 

19

V.3. Mise en équaions du problème • Prenons l’exemple simple de la section médiane d’une travée indépendante que * * l’on voudrait justifier sous l’effet de S max  ( N * , M max ) . On va chercher la sollicitation limite S  ( N * , M u max ) , point d’intersection le plus haut de la courbe d’interaction avec la verticale N = N*. • Nous admettrons, a priori, que le diagramme limite de déformation de la section correspondant à ce point appartient à l’un des domaines (1) ou (2) (section partiellement comprimée), auquel cas il est légitime d’utiliser, pour le béton, le diagramme rectangulaire simplifié. B(x)

20

• Si l’on définit les sollicitations par leurs éléments de réduction au niveau du centre de gravité G de la section, les équations définissant un état-limite appartenant à l’un des domaines (1) ou (2) s’écrivent: Avec:  N u  B ( x ) f bu  A p ( p   pm )  As s  N *   p Pm  B(x): aire de la surface   hachurée sur la figure;   e (x): excentricité de M u  B ( x ) e B ( x ) f bu  A p ( p   pm ) e p  As s e s   B  "  p d p  y 0,8 d p  son centre de gravité   par rapport à G;   1 y x  b  es et ep: excentricité des    armatures passives et 0 , 8 d s s 1    actives par rapport à G x   b  comptées algébriquement   f (   '   "  )  p pm p p   ds et dp: hauteurs utiles   g ( )  égales aux distances s  s  entre les CDG des  b   bu  3,5 ‰ ou  s   su  10 ‰ ou "  p   "  pu  10 ‰  armatures passives et   actives et la fibre   supérieure de la section =>Système de 7 équations à 7 inconnues: x, p , s ,  s , " p ,  b et M u => M u n’est alors rien d’autre que le moment M u max cherché. • Dans le cas le plus général, on résout ce système par approximations successives pour déterminer M u max et la justification consiste à s’assurer que : M * max  M u max * ext 21 avec : M max  M u , max   p Pm e p

VI. Applicaion On se propose de justifier la section médiane d’une travée indépendante d’un tablier de pont en béton précontraint de 29m de portée vis-à-vis de la flexion aux ELUR. La section Transversale de ce tablier, de centre de gravité G, est représentée sur la figure suivante : y 10,20m

x=14,5m 0,22m

1 1

0,4819m z

G

29m

Caractéristiques géométriques de la section: 1,3181m 2

B (m ) 3,8240

V(m) 0,4819

V’(m) 1,3181

4

I (m ) 1,0888

3

I/V (m ) 2,2595

3

I/V’(m ) 0,8260

Actions : en phase finale d’exploitation, l’ouvrage est soumis à :

 0,4483

0,5m

0,5m Coupe 1-1

•Son Poids propre g (B.P=2.5 10-2 MN/m3) •Poids propre de superstructures : g’=4. 10 -2 MN/m •Charges routière d’exploitation de valeur caractéristique :q k=10 10-2 MN/m. •La précontrainte au niveau de la section médiane est réalisée par 10 câbles 12T15S exerçant une force finale probable Pm= 19,2 MN. Ces câbles sont disposés symétriquement par rapport à l’axe (Gy) et l’excentricité du câble moyen par rapport à l’axe (Gz) est ep= -1,15m.

Matériaux Béton : fc28 = 35MPa Acier actif: fpeg= 1655 MPa; Ep= 190.000 MPa ; p= 1 Acier passif: fe= 400 MPa; Es= 200.000 MPa. 22

La section d’acier passif longitudinal est constituée de 10 HA25 (ds= 1,75m).

Soluion fc14 (MPA) fc28(Mpa) fbu(MPa) ft14j (Mpa) ft28j (Mpa) câbles 12T15S Ep(Mpa) fpeg (MPa) fprg (MPa) Tension à l'origine (MPa) P(t¥) (MN) P(14j) (MN) Carctéristiques Géométriques de la section du béton l (m) B(m2) I (m4) V V' h I/V I/V'  d' Actions Poids propre Surcharges permanentes g' (MN/m) Charges routières d'exploitation q (MN/m)

Moments extrêmes à l'ELU dans la section médiane Mg Mg' Mq Mumax Mumin Pm (MN) e0 (m) dp (m) Ap(m2) As(m2) ds(m)

29,91 35,00 19,83 2,39 2,70 Acier passif 0,00015Es(MPa) fe(MPa)

190000section 1655 1860 1488 1,92

29b(m) 3,824h0(m) 1,0888b0(m) 0,4819 1,3181 1,8 2,25939 0,826037 0,448255 0,16

200000 400

10,2 0,22 0,5

 (MN/m3)

0,025

0,04 0,1

10,05 4,205 10,513 35,013 14,255 19,2 -1,15 1,6319 0,018 0,0049 1,75

10HA25

section HA25 (cm2) 4,91

23

calcul autour de Pivot A pour l'acier passif et Pivot B itération 1

(béton)

b s "p s/b x(m) pm(MPa) pm bpm(MPa) 'p 'p p pe p (MPa) se s (MPa) B(x) (m2) N*(MN) B(x)*fbu- Ap*(p-pm) - As*s

0,0035 0,01itération i+1 0,0091 2,857 0,363y(m) 1066,667 0,006 13,286 66,429 0,0003 0,0151 0,0076 1439,130 0,0017 347,826 2,315 19,200 37,512> N*=19,2MN

itération 2

calcul autour de Pivot A (acier passif) + Axe Neutre dans la table

B(x) (m2) x(m) eB(m) ep(m) es(m) Moment ultime résistant Mulim calculé % G (pivot A acier passif) Mulim=B*fbu*eB- Ap*(p-pm) *ep-As *s*es

0,454

B(x)*fbu 45,924

l'équilibre est non vérifié

s A.N dans la b table 0,136< h0=0,22m < AB=(0,259*0,8)*ds=0,362m Pivot A (assier passif) "p 0,414 -1,15 -1,268 Moment ultime sollicitant Mu* Mulim > Mu* calculé % G= Mu*= Muext + Pm*ep

0,01

1,392

21,298

12,933

0,0011 0,0093

OK

24

Chapitre 7 Jusiicaion des poutres isostaiques vis-à-vis de l’efort tranchant Module Béton Précontraint - 3AGC-ENIT Karim MILED E-mail: [email protected]

1

Plan I. Principe de jusiicaion II. Jusiicaions vis-à-vis des ELS: résistance du béton avant issuraion III. Jusiicaions vis-à-vis des ELU: résistance du béton après issuraion

2

I. Principe de jusiicaion Une poutre isostatique soumise à un effort tranchant doit faire l’objet des justifications suivantes: 1- dans toutes les zones courantes de la poutre; justification de ses éléments constitutifs: âmes, membrures, etc. et de leurs attaches vis-à-vis des ELS et ELU. 2- dans les zones d’appui simple d’about de la poutre; justifications complémentaires relatives à l’équilibre ultime de la bielle d’about et éventuellement du coin inférieur. 3

• Alors que les justifications vis-à-vis de la flexion conditionnent les membrures d’une poutre, ce sont les justifications vis-à-vis de l’effort tranchant qui permettent de dimensionner les âmes et de préciser le tracé à donner aux câbles dans les zones où la flexion n’est pas prépondérante. • Tout comme vis-à-vis de la flexion, une double vérification est nécessaire : — aux ELS : des critères d’intégrité permettent de limiter la probabilité de fissuration du béton ; — aux ELU: le schéma classique du treillis de RITTER-MÖRSCH conduit au dimensionnement des armatures transversales et au contrôle de la contrainte de compression dans les bielles. 4

Valeurs de l’efort tranchant à considérer • Dans la section droite Σ d’une poutre isostatique, l’effort tranchant V est la composante verticale (selon Gy ), comptée positivement vers le haut, de la somme des forces appliquées à gauche de Σ. Il peut s’écrire sous la forme suivante:

V  V ext  P sin 

Vext est l’effort tranchant extérieur dû aux charges extérieures (et leurs réactions d’appui), et P sin α est l’effort tranchant isostatique de précontrainte que le câble exerce sur le béton à gauche de Σ (ou Σ Pj sin αj si plusieurs câbles traversent la section).

où

Effort tranchant isostatique de précontrainte

5

Remarques 1- La précontrainte isostatique produit, grâce au relevage des câbles au voisinage des appuis engendrant l’inclinaison α du câble moyen avec la fibre moyenne de la poutre, un effort tranchant Psinα de sens contraire (négatif) à celui de Vext donc il vient compenser Vext => La précontrainte isostatique produit un effort tranchant favorable à la poutre et diminue donc l’intensité de l’effort tranchant défavorable à la poutre. => l’importance du relevage des câbles au voisinage des appuis. 2- Selon le cas de charge, Vext peut varier entre Vext, min et Vext, max et par conséquent V peut varier entre Vmin et Vmax . => Les vérifications à l’effort tranchant doivent donc se faire en considérant les deux cas de charges extrêmes produisant Vmin et V 6 max

Réducion de l’efort tranchant de calcul : Tolérances règlementaires • L’effet Résal: expérimentalement, il est observé que le comportement d’une poutre vis-à-vis de l’effort tranchant est d’autant meilleur que les charges qui génèrent cet effort tranchant sont plus proches de l’appui (elles se transmettent directement à cet appui lorsqu’elles en sont voisines). Pour tenir compte de ce phénomène, il est admis réglementairement, dans l’évaluation de V : — de négliger les charges situées à une distance x d’un appui inférieure à 0,5h (h désignant la hauteur de la poutre); — de ne prendre en compte les charges situées à une distance x d’un appui comprise entre 0,5h et 1,5h que pour une fraction x/1,5h de leur valeur; — il est inutile de vérifier les sections situées à une distance inférieure à 0,5h d’un appui intermédiaire d’une poutre continue. Toutefois, l’épaisseur des éléments de la poutre et le pourcentage de leurs armatures transversales ne doivent pas y être inférieurs aux valeurs qu’elles ont dans 7 les sections situées à 0,5h.

II. Jusiicaions vis-à-vis des ELS: résistance du béton avant issuraion

Hypothèses de calcul • Le béton tendu par cisaillement-traction est non fissuré => son comportement est élastique linéaire • Le diagramme de déformation de la section est linéaire

8

Expression des contraintes de cisaillement Dans une section quelconque, au niveau y, la contrainte élastique de cisaillement vaut en fonction de y :

VS ( y )  ( y)  b( y)I

y



I : moment d’inertie de la section par rapport à l’axe (Gz), S (y ) : moment statique par rapport à (Gz) de la surface hachurée délimitée par l’horizontale d’ordonnée y, b (y ) : largeur nette au niveau y obtenue en soustrayant de l’épaisseur brute tous les évidements se trouvant au niveau considéré, exception faite des conduits (gaines) injectés au coulis de ciment qui ne sont comptés que pour leur demi-diamètre d’encombrement (on trouve en effet, expérimentalement, qu’un 9 conduit normalement injecté participe à la résistance de la poutre).

État des contraintes dans une âme (ou dans une membrure) • On considère que, dans une âme (ou dans une membrure), on a un état de contraintes plan, défini par σ et τ, dont il s’agit d’apprécier la convenance en tout point. • Dans le cas d’une poutre en double té, τ varie peu sur la hauteur de l’âme (sauf au droit d’une gaine) mais σ varie beaucoup (variation linéaire en fonction de y). => Les conditions les plus défavorables se rencontrent alors soit aux enracinements sur les membrures, soit au niveau d’un câble.

Etat de contraintes dans une poutre en double té

10

Lorsque l’âme est d’épaisseur constante ou peu variable, la règle simple suivante peut être appliquée: la vérification des contraintes de cisaillement est faite uniquement au niveau du centre de gravité G, sous réserve d’introduire, dans le calcul de τ, la largeur nette minimale que présente l’âme sur toute sa hauteur: b = min [ b ( y )] et non pas sa largeur nette b(0) au niveau de G. Þ La contrainte conventionnelle ainsi obtenue a pour expression :

G

V  bZ

I avec Z  S( 0 )

- pour une section rectangulaire, Z = 2/3 h, - pour une section en double té et à défaut d’un calcul exact, on peut évaluer Z à environ 0,8 h. Remarque: L’ avantage majeur de cette règle simple réside en ce que la contrainte normale associée σ est immédiatement connue (σ = P/B) sans avoir besoin de calculer le moment fléchissant concomitant avec l’effort tranchant ayant servi au calcul de τ. 11

Représentation de l’état des contraintes par le cercle du Mohr en un point O quelconque d’une âme ou d’une membrure (rappel) • À une facette Q passant par O on associe un système d’axes (On, Ot) qui lui est lié. • Lorsque Q tourne autour de O, l’extrémité q du vecteur contrainte décrit, par rapport aux axes mobiles (On) et (Ot), un cercle, le cercle de Mohr, de centre Ω. • q tourne deux fois plus vite autour de Ω que Q autour de O, et en sens inverse.

• Les points a et b où le cercle de Mohr coupe (On) représentent les contraintes sur deux facettes A et B perpendiculaires qui ne subissent aucune contrainte de cisaillement. • Sur A s’exerce la contrainte principale de traction σ3 , sur B la contrainte principale de compression σ1. • On admet généralement que les fissures ont tendance à se produire suivant A, autrement dit qu’elles sont parallèles aux isostatiques de compression (c.-à-d. aussi perpendiculaires 12 aux isostatiques de traction) .

1. Cas d’une poutre sans étriers actifs • En O, sur la facette W contenue dans le plan de la section droite s’exerce une contrainte de composantes normale σ et tangente τ. • Sur la facette perpendiculaire H, on retrouve la contrainte de cisaillement τ (en vertu du théorème de Cauchy). • Dans le plan (n, t), les points représentatifs de ces contraintes sur les facettes W et H, w (σ, τ) et h (O, –τ) sont diamétralement opposés sur le cercle de Mohr dont le  centre a pour abscisse : p  O  et le rayon vaut:

2 r  2 4

2

Ainsi, l’angle β que fait la contrainte principale de compression avec la fibre moyenne est donné par :

1 2   (b, w) avec tg 2  Cercle de Mohr (sans étriers actifs ) 2  Au niveau de G, σ est positif (σ = P/B). Ainsi, β est inférieur à 45° (valeur que l’on obtiendrait en béton armé sur la fibre neutre 13 où σ = 0).

2. Cas d’une poutre avec étriers actifs Les étriers actifs, généralement verticaux (perpendiculaires à la fibre moyenne), sont des unités de précontrainte de faible puissance (souvent des monotorons ou des barres) que l’on place dans les âmes pour y créer une contrainte de compression sur les facettes H. Leur utilisation n’est intéressante économiquement que lorsque la poutre est de grande hauteur et qu’il est particulièrement rentable de l’alléger (très grandes travées construites par encorbellement par exemple). De tels étriers actifs verticaux ne modifient pas la contrainte sur la facette W, non plus la composante tangente de la contrainte sur la facette H. Par contre, ils créent une composante normale sur cette facette H qu’on désignera par σy et on désignera par σx la contrainte normale à la facette W (désignée par σ dans le cas d’une poutre sans étriers actifs). Ainsi, le point w (σx , τ) est inchangé, mais h (σy , –τ) et le cercle de Mohr par conséquent se déplacent du côté des compressions.  y p  O  x le centre du cercle de Mohr a donc pour abscisse : 2 ( x   y ) 2 r  2 est son rayon est réduit à: 4 Enfin,

tg 2 

2  x  y

14

Cercle de Mohr (avec étriers actifs verticaux)

Jusiicaions aux ELS: prescripions règlementaires Les conditions réglementaires aux ELS dites aussi conditions d’intégrité, selon les règles BPEL 99, s’écrivent :

 2   x y  kf tj ( f tj   x   y ) avec k  0,4  f tj  2    x y  2 f (k ' f cj   x   y )( f tj   x   y ) avec k '  0,6 cj 

• La première condition correspond, pour k=1, à la non-rupture ou la nonfissuration du béton par traction-cisaillement. • La deuxième condition correspond , pour k’=1, à la non rupture ou la nonfissuration du béton par compression-cisaillement. • La première condition est prépondérante (dimensionnante) si:  x   y  0,4 f cj • Les armatures transversales de précontrainte (étriers actifs), quand il en est 15 besoin, se dimensionnent aux ELS à partir de ces conditions d’intégrité.

III. Jusiicaions vis-à-vis des ELU: résistance du béton après issuraion • Les fissures se développent sensiblement selon les isostatiques de compression. Or, l’inclinaison de la contrainte principale de 2 compression est, en l’absence d’étriers actifs, définie par : tg 2    • Quand on se rapproche des fibres extrêmes d’une poutre, τ→0 et tan 2β→0. Selon le signe de σ, β→0 (σ > 0) ou β→π/2 (σ < 0). • Considérons une poutre indépendante précontrainte, soumise à une charge progressivement croissante. En général, la fissuration ne s’amorce qu’après apparition d’une zone tendue, en partie médiane, au voisinage de la fibre inférieure. Immédiatement avant fissuration, les lignes isostatiques ont alors l’allure de la figure suivante. Ce schéma explique bien les deux familles de fissures que l’on peut observer sur une telle poutre : — fissures verticales de flexion en zone médiane ; — fissures inclinées d’effort tranchant affectant l’âme, à proximité des appuis.

16

• Les charges se transmettent aux appuis par l’intermédiaire de bielles, en forme de S allongé. Les contraintes de compression σ1 de ces bielles développent, du fait de leur courbure, des poussées au vide et donc des contraintes de traction σ3. Ces contraintes, d’abord équilibrées par la résistance à la traction du béton, font apparaître des fissures et, en l’absence d’étriers, la poutre se rompt brutalement. • Si, au contraire, on a pris la précaution de disposer des étriers dans les âmes, ces armatures se mettent en traction dès que la fissuration s’amorce et elles remontent les efforts de compression des bielles jusqu’à la membrure comprimée de la poutre. • L’âme résiste alors selon un schéma de treillis multiple dont : — les diagonales comprimées sont matérialisées par les bielles de béton ; — les montants tendus sont représentés par les armatures d’âme. 17

Equilibre limite du treillis • Limitons-nous à l’étude d’un panneau (âme ou membrure) de largeur nette b ne comportant que des armatures transversales (actives et passives) perpendiculaires à la fibre moyenne de la poutre. Pour modéliser le treillis, on suppose les fissures rectilignes et inclinées de β sur la fibre moyenne. Les cours successifs d’armatures transversales passives ont une section At et sont espacés de st. Les armatures transversales actives sont tendues à Ft avant fissuration et sont espacées de st’. • Considérons alors un élément de plan, perpendiculaire au panneau, parallèle à la fibre moyenne et de longueur unité.

18

• Avant fissuration, cet élément était traversé par : - un effort tangent : b - un effort normal de compression du béton : b y  N t  Ft / st ' - et un effort de traction dans les armatures transversales de précontrainte:

N t  Ft / st '

•Après fissuration, cet élément était traversé par : - le même effort tangent : b - un effort de compression dans les bielles qui prennent appui sur cet élément: N bc  b bc sin  - un effort de traction dans les armatures passives: N s  At st / st ' - et un effort de traction dans les armatures transversales de précontrainte qui se sont surtendues chacune de ∆Ft : Nt  Nt  ( Ft  Ft ) / st '

L’équivalence de ces deux systèmes de forces s’écrit :

N t  N t  N  b  N   bc cos  

s

Ft   Ft  A t  st    tg   b  tg   bs bs t '  t   2    bc sin 2 

19

L’état limite ultime sous sollicitation tangente d’effort tranchant peut être alors atteint : - soit par compression excessive du béton des bielles comprimées: ELU du béton des bielles

2   bc sin 2

 bc :

La contrainte de plastification du béton comprimé des bielles

- soit par dépassement de la résistance de calcul des armatures d’âme: ELU des armatures d’âme  At  st Ft      cotg bst '   bst

 st : Ft :

La contrainte de plastification des armatures transversales passives L’effort de plastification des armatures transversales actives

20

Jusiicaions vis-à-vis des ELUR: prescripions règlementaires L’inclinaison β* des bielles est évaluée conventionnellement comme suit:

2 * avec  *  30 - dans les âmes: tg 2   * *  x  y *

- dans les membrures:

 *  45

où τ*, σx * et σy * représentent les contraintes au niveau G dues à l’effort tranchant ultime (Vu*) et calculées dans l’hypothèse d’une distribution élastique ( τ* = Vu */bZ ) ;

Dimensionnement des armatures transversales passives Les armatures passives transversales résultent de la condition règlementaire suivante (ELU d’armatures d’âme):

 st  f e / 1,15

 At  st Ft     u1     cotg  C bst '   bst

 A pt f peg pour des câbles à torons et injectés au coulis de ciment  1,15   A 0 ,9 f peg Ft   pt pour des câbles à armatures lisses et injectés au coulis de ciment 1 , 15   A pt pd pour des câbles à torons gainés - graissés ou gainés - cirés   (σpd représente leur tension de calcul pour les justifications vis-à-vis des ELS) Le terme C exprimant la participation de la membrure comprimée est pris égal à : • ftj/3 dans une âme, à moins qu’elle ne soit intéressée par une reprise de bétonnage effectuée sans soin particulier, 21 (indentations dont la saillie atteint au moins 5mm) auquel cas C est négligé (C= 0) • 0 dans une membrure.

Dispositions constructives des armatures transversales Pourcentage minimal d’armatures d’âme Pour éviter que certaines zones de la poutre ne se trouvent sans armatures d’âme, un minimum est partout imposé. Il est défini dans le cas d’armatures perpendiculaires à la fibre moyenne par :

At  st Ft   0,6MPa bst bst '

Espacement maximal d’armatures d’âme - Pour les étriers passifs :

st  min0,8h; 3b0 ; 1m

avec b0 : épaisseur brute minimale de l’âme - Pour les étriers actifs :

st ' 0,8h

Remarque: cette dernière condition est presque toujours moins contraignante que l’impératif pratique d’obtenir une bonne diffusion dans les âmes. En effet, les treillis actifs doivent être assez serrés pour que les efforts concentrés sous leurs ancrages soient diffusés dans les âmes sans y laisser de zones non précontraintes. 22

Justification du béton (ELU du béton des bielles) Il s’agit de vérifier que la contrainte

 bc dans les bielles ne dépasse pas  bc

:

2 * 2 0,85   bc   fcj bc  * sin2 3 b 1 0,85   u2   fcj sin2* 3 b *

Remarque Comme β* est borné inférieurement à 30°, on a pour b =1,5 (combinaisons fondamentales) :

 u2

1 0,85 1   f cj sin 60   f cj 3 1,5 6 23