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Zitiervorschau

Université A. Mira, Béjaïa, Faculté de Technologie, Module d’MMC

1/2 Série d’exercices N°2

SERIE D’EXERCICES N°2

X

EXERCICE 1 Soit la plaque ci-contre soumise à une traction  dans la direction X. Déterminer les composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte agissant sur la facette décrite par l’angle  par rapport à l’axe X en utilisant :





X

a) Un calcul directe b) La représentation par le cercle de Mohr c) La définition du vecteur contrainte



EXERCICE 2 Dans un repère orthonormé (e, e, e), l’état des contraintes en un point est représenté par le tenseur suivant : c a 0  ij  0  a b    c b d 

1) Déterminer le vecteur contrainte agissant sur : a) une facette de normale  13 , 13 , 13  b) une facette perpendiculaire à e. 2) Déterminer par leurs normales unitaires les facettes parallèles à e sur lesquelles le vecteur contrainte est tangent. EXERCICE 3 L'état de contraintes en un point M d’un milieu continu est donné, dans une base orthonormée, par le tenseur suivant: 11 2 1   ij  2 0 2 (MPa)   1 2 0

a) Déterminer  pour qu'il existe un plan sur lequel s’exerce un vecteur contrainte nul, donner le vecteur unitaire normal à ce plan. b) Calculer ensuite les contraintes et les directions principales c) En déduire la contrainte tangentielle maximale s'exerçant au point M.

EXERCICE 4 Montrer que le problème de recherche des contraintes et directions principales est indépendant de l’orientation du repère de référence. Quelles conclusions peut-on tirer pour les invariants des contraintes.

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2/2 Série d’exercices N°2

EXERCICE 5 L’état des contraintes en un point M d’un milieu continu est donné dans une base orthonormée (o, e, e, e) par le tenseur :  7 36 0     ij   36 28 0  (MPa) 0 0 76 

 : constante réelle, paramètre de charge.

1) Quel est l’état des contraintes en M pour  = 0. 2) Pour  = 1, calculer les composantes normales et tangentielles des vecteurs contraintes agissant en M sur les deux facettes de normales (

3 2

, 12 , 0) et (

1 2

,

1 6

,

1 . ) 3

3) Déterminer en fonction de , les contraintes principales et les directions principales correspondantes. Que peuton conclure lorsque  varie ? 4) Déterminer les valeurs de  pour que l’état des contraintes au point M soit : a) cylindrique ; b) hydrostatique superposé à un cisaillement pur. 5) Déterminer le cisaillement maximum pour des valeurs de  positives. EXERCICE 6 Soit un état de contraintes en un point M d’un milieu continu donné dans une base orthonormée par le tenseur : a  b 0 b  c    ij   0 a 0  ; a, b, et c : constantes réelles. b  c 0 a  b  

1) Déterminer les contraintes principales et les directions principales correspondantes, commenter le résultat. 2) Montrer en décomposant les contraintes principales que  est une superposition de trois états de contrainte purs (simples), lesquels. 3) Peut-on prévoir ce résultat sans calculer les contraintes principales ? justifier avec une représentation géométrique sur le cube des contraintes. 4) Quelles conditions doivent remplir les paramètres a, b, et c pour que  soit un tenseur de contraintes pur (hydrostatique, cylindrique, cisaillement simple et compression ou traction simple). EXERCICE 7 Soit un état de contraintes en un point M d’un milieu continu donné par le tenseur : 0 2 1     ij   2 0 2  (MPa) 1 2 0   

1) Déterminer les tenseurs sphérique (s) et déviateur (d) associés au tenseur  2) Déterminer les tenseurs (G) pour lesquels  est le tenseur déviateur assicié 3) Déterminer permis les tenseurs (G) ceux pour lesquels le vecteur contrante qui s’exerce sur une facette normale à la diagonale de l’espace 3D est : a) parallèle à l’axe X et b) perpendiculaire à l’axe X.

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