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SUCESIONES ´ DE SUCESION: ´ DEFINICION Una sucesi´on {tn } es una funci´on cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos . Los valores t1, t2 , t3, · · · , tn se llaman los terminoss de la sucesi´on y tn se denomina el termino ´ n-esimo ´ o t´ermino general de la sucesi´on.

(r) y se calcula como la diferencia de dos t´erminos consecutivos. En General El termino en´esimo (tn) de toda progresi´on aritm´etica (r → cte.) se calcula mediante la expresi´on. tn = t1 + r(n − 1) pero , si operamos tenemos : tn = rn + t0 donde: r → razon aritm´etica

´ OBSERVACION (]):

Estudiaremos solamente sucesiones finitas en las que cada t´ermino tn tiene un siguiente tn+1 y un anterior tn−1 Sucesiones Numericas ´ Una sucesi´on numerica ´ es un conjunto ordenado de numeros, ´ es decir, cada elemento tiene un orden designado dicho de otra manera, a cada uno de ellos le corresponde un numero ordinal, de tal modo que se reconoce a uno de los numeros ´ como el primero, otro como el segundo, otro como el tercero y as´ı sucesivamente. N0 10 20 30 · · · n0 Terminos ↓ ↓ ↓ ··· ↓ dela sucesi´on t1; t2; t3 · · · tn “tn ” es denominado el n-esimo ´ termino ´ de la sucesi´on y denotamos e´ sta por (tn ) es decir: {tn } : t1, t2 , t3, · · · , tn SUCESIONES POLINOMIALES Son aquellas sucesiones cuyo t´ermino n-´esimo tn esta´ expresado mediante un polinomio en “n”. k

k−1

tn = An + Bn

+

+ · · · + Xn + Y, k ∈ ZZ

Solo estudiaremos dos casos cuando: k = 1; k = 2 . Sucesion ´ aritmetica ´ polinomial de primer orden o sucesion ´ lineal Es toda sucesi´on cuyo t´ermino n-´esimo tn esta expresado mediante un polinomio de la forma tn = An + B Tambi´en Conocida como progresi´on aritm´etica (P. A) se caracteriza por tener raz´on constante

n → numero ´ de terminos t0 → termino anterior al primero (t0 = t1 −r) tn → t´ermino en´esimo Nota si r > 0 La sucesi´on aritm´etica es creciente. Si r < 0 La sucesi´on aritm´etica es decreciente. Si de la expresi´on general tn = t0 + rn despejamos n, obtendremos el numero de t´erminos. n=

tn −t0 r

´ OBSERVACION En toda progresi´on aritm´etica se cumple que la suma de los t´erminos extremos y equidistantes de los extremos es constante. Si el numero ´ de elementos de una progresi´on aritm´etica es impar, entonces existira un unico ´ termino central (tc ) cuyo valor es a la semisuma de los extremos y equidistantes de ,os extremos. n tc = t1 +t = t2 +t2n−1 = t3 +t2n−2 = · · · 2 ´ SUCESION POLINOMIAL DE SEGUNDO ORDEN LLamada tambien sucesi´on cuadratica, es toda sucesi´on cuyo termino n-´esimo tn esta´ expresado mediante un polinomio de la forma: tn = an2 + bn + c a,b,c son constantes y racionales.

Regla practica para hallar: a; b; c Sea la sucesi´on de segundo orden: t1; t2 ; t3; t4; · · · halle el t0 y sus razones.

Si la progresi´on tiene un numero ´ impar de t´erminos, entonces el termino central es igual a la raiz cuadrada del producto de extremos y equidistantes de los extremos. tcentral =

Se nota que la raz´on constante de encuentra en la segunda linea despu´es de la sucesi´on es una sucesi´on cuadratica. donde: r 2

a=

b = P0 − a c = t0

Sucesion ´ Armonica ´ o progresion ´ Armonica ´ se denomina as´ı a la sucesi´on numerica en la cual se cumple que cada termino a partir del segundo es media armonica del termino que le precede y del termino que continua. Recordemos. Media armonica de 2 cantidades M.H(a, b) =

2ab a+b

luego el termino general de una progresi´on arm´onica viene dada por la expresi´on: tn =

2tn−1 ×tn+1 tn−1 +tn+1

Formula de Recurrencia

progresion ´ Geometrica ´ (P.G) Es aquella en la cual la raz´on geom´etrica (q) se obtiene como la division de 2 t´ermino consecutivos y generalmente se expresa como un termino cualquiera que al multiplicarse por la razon constante nos resulta el siguiente. tn = t1 × q n−1 donde: t1 → primer termino q → raz´on geom´etrica tn → termino en´esimo n → numero ´ de terminos ´ OBSERVACION En una progresi´on geom´etrica se cumple que el producto de terminos extremos y equidistantes de los extremos es constante.

√

t 1 × tn =

√ t2 × tn−1 = · · ·

´ PROBLEMAS DE APLICACION 01. La suma de los dos numeros ´ que siguen en la serie : 3; 14; 39; 84; 155; · · · es. A) 700 B) 500 C) 600 D)650 E) 657 02. En una sucesi´on los 6 primeros t´erminos son: 4; −2; −1; 3; 10; −8 La suma de los 2 ultimos ´ t´erminos es. C) 2 A) 15 B) 0 E) 8 D)20 03. Calcule el t30 y el numero ´ de terminos en: 3; 13; 29; 51; · · · ; 7549 A) 272 y 50 B) 2729 y 51 C) 229 y 50 D) 2729 y 50 E) 2729 y 500 04. En la siguiente sucesi´on:

7; 19; 37; 61; 91; . . . Halle la diferencia entre el penultimo ´ t´ermino de 3 cifras y el cuarto t´ermino de 4 cifras. A) 565 B) 570 C) 575 D)580 E) 585 05. Rodrigo le dice a Nury “Si ordeno los numeros ´ 3; 7; 1 en forma ascendente y a cada uno le sumo una misma cantidad, obtengo una progresi´on geom´etrica”. ¿Cual ´ sera la suma de las cifras del siguiente t´ermino de dicha progresi´on? A) 9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 4 06. ¿Cuantos ´ t´erminos tiene la siguiente sucesi´on aritm´etica? aa, · · · , (2a)b, 54, ba, b( 2a+b )(2a) 2 A) 78 B) 80 C) 81 D)79 E) 82 07. Halle el t11 en: √ √ 2; 2; 2 2, 4, · · · √ √ √ A) 64 √2 C) 16√2 B) 6 2 D) 32 2 E) 11 2

08. La suma de los tres primeros t´erminos de una progresi´on aritm´etica es la soluci´on de la ecuaci´on: x2 − 17x − 84 = 0, siendo el sexto termino 15. Hallar la raz´on A) 3 B) 2 C) 6 D) 7 E) 4 09. Si a tres numeros ´ positivos que forman una P.A. se les suma 1, 5, 21 respectivamente, forman una P.G. cuya suma es 39 Halle la semisuma de los tres numeros ´ en progresi´on aritm´etica. A) 10 B) 14 C) 8 D)16 E) 6 10. En la progresi´on geom´etrica mostrada: 1; x2 ; 6 − x2; · · · Hallar el producto de los valores reales de “x”. √ A) 2 B) −6 C) − 2 D)−4 E) −2 11. En la siguiente progresi´on aritm´etica: a0b; ac0; . . . ; b0a | {z } 73 t´erminos

Calcular: “a + b + c” A) 18 B) 15 D) 10

C) 12 E) 8

12. En la serie aritm´etica, de raz´on “r”. Calcular: “x+r” 98; . . . ; 1190 | {z } 7x numeros ´

A) 15 D) 17

B) 19

C) 21 E) 23

13. En una progresi´on geom´etrica con raz´on “q” se tiene: tt52 . tt47 . tt96 = 512. Halle el valor de “E”: E= A) 48 D) 30

t5 t14 t15 t20 + + + t2 t12 t14 t16 B) 24

C) 16 E) 32

14. En que sistema de numeraci´on, los numerales: 479; 698; 907; estan ´ en progresi´on aritm´etica. A) Decimal B) duodecimal C) Eptano D) U ndecimal E) Nonario 15. Hallar el valor de: √ √ √ √ √ 8 8 8 8 8 M = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + · · · + 247 √ √ 8 8 64 B) √ C) 72( 2 + 1) A) 22 8 2+1 √ D)72 8 2

E)

63 √ 8 2−1

16. Hallar el d´ecimo t´ermino de la sucesi´on. 1 7 17 31 ; ; ; ;··· 2 4 8 16 A)

199 1024

B)

147 1024

101 D) 1024 17. Si la respuesta de “m” es

M =

C)

a b

133 1024

165 E) 1024 Hallar: a − b.

3 1 2 4 9 + + + + + ··· 20 10 5 15 45

A) 1 B) 37 C) 7 27 D) 20 E) 3 18. En un cuartel el mayor decide que cada cadete realice abdominales de acuerdo a su hora de llegada al patio. A las 6 : 16am, se realiza 2 abdominales; a las 6 : 17am, se raliza 5 abdominales; a las 6 : 18am, 9 abdominales; a las 6 : 19am, 14 abdominales y as´ı sucesivamente. Si Juanito lleg´o al patio a las 6 : 59am, ¿cuantos ´ abdominales debera´ realizar? A) 1034 B) 1024 C) 1014 D) 1044 E) 934 19 . En una dulcer´ıa Lucio compra una caja de chocolates y el vendedor le regala un chocolate por su compra. En una segunda vez compra dos cajas y le regalan 3 chocolates, la tercera vez compra 4 cajas y le regalan 6 chocolates, cuatra vez compra 7 cajas y le regalan 10 chocolates. ¿Cuantos ´ chocolates recibira´ cuando ´ entre a la tienda por d´ecima cuarta vez?. Cada caja contiene 11 chocolates A) 1011 B) 1116 C) 1111 D) 1117 E) 1118 20. En la siguiente sucesi´on 0; 3; 10; 21; 36; · · · . Hallar la suma de cifras del termino que ocupa el lugar 40. A) 3000 B) 4000 C) 4040 D) 3081 E) 5000 21. Calcular el numero ´ de t´erminos en: 4; 6; 7; 9; 10; 12; 13; . . . ; 301 A) 300 D) 200

B) 199

C) 198 E) 197

22. Sean a, b, c, d numeros ´ naturales en progresi´on aritm´etica (P.A.) creciente si: a+b+c+d = 26 y a.b.c.d = 880 Halle el valor de: a2 + b2 + c2 + d2 A) 245 B) 314 C) 225 D)244 E) 214

23. ¿Cuantos ´ terminos comunes a las tres sucesiones existen? S1 : 16; 18; 20; 22; · · · ; 820 S2 : 13; 16; 19; 22; · · · ; 901 S3 : −4; 1; 6; 11; · · · A) 276 B) 280 C) 278 D)277 E) 279 24. En una progresi´on aritm´etica, la suma del quinto y noveno t´ermino es la mitad del trig´esimo primer t´ermino. Halle la suma de los 10 primeros t´erminos, si el primer t´ermino es 2. A) 325 B) 270 C) 65 D)265 E) 280 25. La suma de los t´erminos de la siguiente progresi´on aritm´etica a38 ; ab8 ; (a + 1)38 ; . . . ; (a − 3)ab8 , es la menor posible e igual a: A) 1242 B) 1962 C) 1996 D) 1492 E) 2006 26. Calcule el t´ermino 25 de la siguiente sucesi´on: −2; −3; −3; −2; 0; 3; . . . A) 7750 D) 7730

B) 1820

C) 250 E) 7755

27. El cuarto t´ermino de una sucesi´on polinomial de segundo orden, es cuatro veces el primer t´ermino y la raz´on constante es igual al numero ´ ordinal del tercer t´ermino aumentado en 1. Ademas ´ se sabe que el segundo t´ermino de la sucesi´on es los 32 de la raz´on contante. Hallar la suma de cifras del vig´esimo t´ermino. A) 10 B) 15 C) 13 D) 11 E) 14 28. En el siguiente triangulo ´ numerico, ´ hallar la suma del primer y ultimo ´ t´ermino de la fila 25.

A) 625 D) 1250

B) 1025

C) 650 E) 3000

29. ¿Cuantos ´ t´erminos tiene la siguiente sucesi´on aritm´etica? aa; · · · ; (2a)b; 54; ba A) 8 D) 6

B) 7

C) 9 E) 10

30. En la siguiente sucesi´on: 8; 15; 22; 29; · · · ¿Cuantos ´ de sus t´erminos de tres cifras terminan en 5? A) 9 B) 6 C) 12 D) 13 E) 8 31. En una progresi´on geom´etrica, cuyos t´erminos son positivos, cualquier t´ermino es igual a la suma de los t´erminos siguientes. Entonces, la raz´on geom´etrica es: √ √ 5 A) 1 √ C) B) 5−1 2√ 2 D) 1+2 5 E) 5 25 32. Dada las siguientes sucesiones: S1 : 11; 18; 25; 32; . . . ; 844 S2 : 4; 13; 22; 31; . . . ; 1165. Halle cuantos ´ t´erminos son comunes ´ a ambas. A) 10 B) 12 C) 13 D) 16 E) 14 33. La suma de los 10 t´erminos centrales de una P.A. creciente de 24 t´erminos es 625 y el producto de los extremos es 600. ¿Qu´e lugar ocupa aquel t´ermino cuyo valor es igual a 5 veces la raz´on? A) 1er termino B) 2do termino C) 3er termino to D) 4 termino E) 5to termino 34. Determinar el numero ´ de t´erminos de la siguiente progresi´on aritm´etica: abn ; ban+1 ; 48n+3 ; . . . ; 1(n + 2)39 A) 9 D) 12

B) 10

C) 11 E) 13

35. En una sucesi´on aritm´etica se tiene que el segundo, el cuarto y el octavo t´ermino forman una sucesi´on geom´etrica. si el segundo t´ermino es la cuarta parte del octavo y la raz´on de la sucesi´on aritm´etica es 3, halle el d´ecimo octavo t´ermino de la sucesi´on aritm´etica. A) 39 B) 37 C) 50 D) 45 E) 54 36. En el trabajo de perforaci´on de un pozo de cierta profundidad; el costo es de s/.6 para el primer metro y s/.4 mas ´ para cada metro adicional; si el costo de la perforaci´on total es s/.720. ¿ Cual ´ es la profundidad del pozo? A) 12m B) 16m C) 18m D) 20m E) 15m

RESUMEN Serie.- Es la adici´on indicada de los t´erminos de una sucesi´on num´erica. Al resultado de dicha adici´on se le llama suma o valor de la serie. t1 t2 t3 t4 Sucesi´on ⇒ 2 ; 5 ; 8 ; 11 Serie ⇒ 2 + 4 + 8 + 11 =26 Donde 26 es el valor de la serie.

Es importante verificar que se cumpla 0 < |q| < 1 de lo contrario no se puede aplicar la f´ormula dada. Series polinomiales (orden superior) k f actores descendentes

Ckn =

z }| { n(n − 1)(n − 2)(n − 3) . . . 1×2×3×···×k

Sumatoria

Serie Aritm´ etica

Constituye una forma abreviada de escrbir una serie dada. La suma (S) se obtendr´a: S=



t1 + tn 2



S = t1 + t2 + t3 + · · · + tn = n

Para un n´ umero impar de t´erminos S = tc × n

n X k=1

se lee sumatoria de los t´erminos de la forma tk desde k = 1 hasta k = n Propiedades: Cumplen propiedades:

las

siguientes

Donde tc es el t´ermino central A)

Serie Geom´ etrica

n X

C · tk = C

k=R

Una serie geom´etrica es la adici´on indicada de los t´erminos de una progresi´on geom´etrica. Pueden ser finitas e infinitas, seg´ un el n´ umero de sus t´erminos.

B)

n X

n X

tk

k=R

C = (n − R + 1)C

k=R

Serie Geom´ etrica Finita. (Creciente) C)

n X

(ak + bk ) =

k=R

n X

ak +

k=R

n X

bk

k=R

El valor de la serie esta determinada por: (q n − 1) S = t1 q−1 Serie Infinita (Decreciente)

El valor de la serie est´a dada por: t1 S= , 1−q

0 < |q| < 1

D)

n X i=1

ai =

p X i=1

ai +

n X

ai , p < n

i=p+1

Sumatorias y Series Notables Suma de los “n” primeros n´ umeros naturales consecutivos : n X k=1

k = 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + n =

n(n + 1) 2

Suma de n´ umeros pares : n X

2k = 2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 2n = n(n + 1)

04. Al sumar 61 n´ umeros naturales consecutivos el resultado es 2745. Determine el el valor del mayor sumando. A) 75 D) 76

k=1

B) 74

C) 73 E) 77

Suma de n´ umeros impares : 05. Si n X

1 + 2 + 3 + ··· + n = 990 3 + 6 + 9 + · · · + 3m = 630

(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2

k=1

Suma de cuadrados n X

Determine el valor de:

:

n(n + 1)(2n + 1) k = 1 + 2 + 3 + ··· + n = 6 k=1 2

2

2

3

2

A) 10 D) 8

√ n+m B) 12

C) 7 E) 5

06. Hallar el valor de A, si: Suma de cubos : n X

3

3

3

A = 3 + 24 + 81 + 192 + · · · + 5184 3

3

k = 1 + 2 + 3 + ··· + n =

k=1



n(n + 1) 2

2

Suma de los “n” primeros productos binarios n X k=1

A) 14754 D) 18252

B) 19456

C) 19172 E) 18145

07. Hallar el valor de x en: x + (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + · · · + (4x) = 680

n(n + 1)(n + 2) k(k + 1) = 1(2) + 2(3) + · · · + n(n + 1) = 3

´ PRACTICA DIRIGIDA (Nivel B´ asico) 01. Determine el valor de:

B) 4840

B) 12

C) 5048 E) 2025

C) 10 E) 20

08. Hallar el valor de: S=

1 1 1 1 + + + ··· + 2 × 6 4 × 9 6 × 12 48 × 75

A) 0.16 D) 0.32

S = 21 + 22 + 23 + · · · + 100 A) 5050 D) 2205

A) 15 D) 16

B) 0.27

C) 0.42 E) 0.45

09. Determinar el valor de: E = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + · · · 20 × 23

02. Determine el valor de x en:

A) 3500 D) 8720

1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2x + 7) = 9025 A) 91 D) 81

B) 56

C) 49 E) 95

03. La suma de los 20 n´ umeros enteros consecutivos es 430. Determine la suma de los 20 t´erminos siguientes. A) 830 D) 720

B) 630

C) 820 E) 900

B) 2870

C) 2240 E) 1120

10. Al simplificar la expresi´on: p A = 42 (1 + 3 + 5 + · · · + 49)0,1+0,2+0,3+···+2 √ A) 5 C) 25 B) 5 D) 0.25 E) 35 11. Hallar el valor de: S=

2 1 2 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· 7 7 7 7 7

A) D)

1 8 1 16

B)

3 32

C) E)

1 32 3 16

A) 60 D) 63

B) 61

C) 62 E) 64

18. Si una sucesi´on est´a definida por:

12. Alberto acuerda en pagar un art´ıculo cada fin de semana de la siguiente manera: la primera semana paga S/ 0.25, la segunda semana S/.1, la tercera S/. 2.25, la cuarta S/4 y as´ı sucesivamente duranta 20 semanas. El precio del art´ıculo es:

Determine la suma de los 20 primeros t´erminos de dicha sucesi´on.

A) S/. 750,50 D) S/. 700,50

A) 89180 D) 80180

B) S/. 350, 50

C) S/. 717,50 E) S/. 400,50

13. Un coronel tiene 120 soldados a su cargo y quiere colocarlos en forma triangular de modo que la primera fila haya 1, en la segunda 2, en la tercera 3 y as´ı sucesivamente. Determine el n´ umero de filas que formar´an. A) 20 D) 18

B) 21

C) 22 E) 24

14. Carlitos ordena sus canicas en forma de una piramide de base cuadrangular usando 400 de ellas en la base. Determine cuantas bolitas en total tiene Carlitos. A) 8270 D) 3450

B) 2870

C) 2370 E) 2780

2

15. Si Sn = 2n + 5n indica la suma de los “n” primeros t´erminos de una sucesi´on finita. Hallar el valor de t10 A) 61 D) 43

B) 51

C) 49 E) 41

´ PRACTICA DIRIGIDA (Nivel Intermedio) 16. Una pelota se deja caer desde una altura de 17 metros. Si en cada rebote alcanza una al grua igual a los 2/3 de la altura anterior, calcular la distancia total recorrida hasta que se detenga. A) 85 m D) 160 m

B) 84 m

tn = 2n3 + 4n + 7

58 X

Determine el valor de x + y + n

21 terminos

(2k + 1)

k=1 36 X

(5k − 3) −

k=1

30 X

(5k + 27)

k=1

A) 10 D) 40

B) 20

C) 30 E) 80

20. Simplificar: v 15 X 28 30   15 1u uX X X 1 ) ( t + (2) − (15) 4 4 k=4

k=8

A) 5 D) 4

k=3

k=10

B) 3

C) 10 E) 125

21. Se tiene un paralelogramo cualquiera cuya ´area es 3µ2 . Se toman los puntos medios de sus lados y al unirlos se forma un paralelogramo, en este paralelogramo a su vez se toman los puntos medios de sus lados y se unen, y as´ı repetimos la operaci´on infinitas veces. Calcular la suma de todas las ´areas as´ı formadas. A) 3 D) 4

B) 5

C) 6 E) 7

22. Determine el valor de: d 22 b X X X

M =

17. En la siguiente igualdad

n terminos

C) 88080 E) 73872

19. Determine el valor de:

C) 80 m E) 120 m

1| + 3 + 5 +{z7 + · · · + x} = 41 + 39 + 37 + · · · + y | {z }

B) 75800

A) 1/2 D) 1/3

n=a d+2 X

k=c b−3 X

m=c+2

n=a−3

B) 1

(7)

i=3 38 X

!!

(4)

!!

k=4

C) 2 E) 3/2