Solucionario RM [PDF]
SOLUCIONARIO Razonamiento Matemático V OBRA COLECTIVA, DISEÑADA, CREADA Y PRODUCIDA BAJO LA DIRECCIÓN DE: ERLITA OJE
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SOLUCIONARIO
Razonamiento
Matemático
V OBRA COLECTIVA, DISEÑADA, CREADA Y PRODUCIDA BAJO LA DIRECCIÓN DE:
ERLITA OJEDA ZAÑARTU DRA. EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
8
4. E = 4 × 6 × 26 × 626 + 1
B usca soluciones
8
E = 24 × 26 × 626 + 1
E = 624 × 626 + 1
8
8
E = 390625 = 5
Pág. 10
2
50 cifras 50 cifras 13² – 11² = (13 – 11)(13 + 11) = 2(24) = 48 12 3 × 4 113² – 111² = (113 – 111)(113 + 111) = 2(224) = 448 16 4 × 4 1113² – 1111² = (1113 – 1 111)(1 113 + 1111) = 2(2 224) = 4 448 20 5 × 4
Clave:
4 2 44 … 4 444 …381
Piden: a + b + b = 6 + 2 + 2 = 10
a
7. S =
111 2…2222 3…33…3333 3… 3 5 … 5 5 6 …
O = L =
30 cifras 15 cifras
24
LIMA
4
8. Clave:
1 12 123 2 3 4 5 …678 …420 3
b
CAMPEON × (1000 0000 – 1) = … 4 321 568 CAMPEON0000000 – CAMPEON = … 4 321 568 CAMP EON0000000 – CAMPEÓN …4321568
N = 2; O = 3; E = 4; P = 8; M = 7; A = 6; C = 5 Ediciones Corefo
1 1
CAM = 5 6 7 + PE = 8 4 ON = 3 2 6 8 3
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
e
Clave:
d
Clave:
a 1
…1 + …2 …3 666
15 cifras
∑cifras = 3(30) + 5(15) + 6(15) = 90 + 75 + 90 = 255
3. CAMPEON × 9999999 = … 4321568
Clave:
50
3 4 5 … 51 51 · · = 2 3 4 50 2
J=
4
∑L+I+M+A = 3 + 8 + 1 + 6 = 18
4
abb × (1000 – 1) = … 378 abb000 – abb = … 378 abb000 b=2 a b b a=6 …378
2. 4 + 44 + 444 + … = … LIMA
3
6. abb × 999 = 378
111 … 13² – 111 … 11² = 2(22 … 224) = 444 … 444 50 cifras 49 cifras ∑cifras = 4(49) + 8 = 204
4+ 4 4 4 4 6
a
5. J = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 … 1 + 1
1. E = 111 … 11132 – 111 … 111²
29 cifras
Clave:
1 + 2 3 4 5 6 7 8 9 5
Clave:
b
Clave:
e
9 sumandos … 4205 = abc – 90 SOLUCIONARIO
Unidad
1
… abc = … 4 205 + 90 … abc = … 4 295 a = 2; b = 9; c = 5 ∑a+b+c = 2 + 9 + 5 = 16
1
12.
28 sumandos
2 82828 NENA
13.
SOLUCIONARIO
10. 44 + 4 = 15 4 4 + 4 + 4 + 4 = 16 4 + 4 × 4 = 17 4 4+4+4 =3 4 Es imposible obtener 11 11.
2
Clave:
d
Clave:
b
Clave:
d
Clave:
a
8
3+ 3 5 8 353 3535 8
2+8+2+8+…+2+8=…A 28 10(14) = … A A = 0 140 = … A 2 + 3 + 2 + 8 + … + 8 + 2 + 14 26 10(13) + 2 + 14 = …N 132 + 14 = …N N = 6 146 = …N 14 + 2 + 8 + 2 + 8 + … + 2 + 8 = … E 26 10(13) + 14 = … E 130 + 14 = … E E=4 144 = … E 2 + 8 + 2 + … + 8 + 2 + 14 = … N 24 10(12) + 16 = …N N=6 120 + 16 = 136 = …N ∑cif. N+E+N+A = 6 + 4 + 6 + 0 = 16
E = (x – a)(x – b) … (x – x) … (x – z) 0 E=0
3 5 …53535 030 ALA Piden: A + L + A = 0 + 3 + 0 = 3
14.
Clave:
ABCD × 999 999 = … 992 468 ABCD × (1000 000 – 1) = … 992 468 ABCD000 000 – ABCD = … 992468 A B C D 0 0 0 0 0 0– ABCD …992468 D = 2; C = 3; B = 5; A = 7 A + B + C + D = 17
15.
e
(15² + 25² + 35² + … + 95²)² = … ab
Múltiplos de 5
(… 5)² = … ab … 5 = … ab
Clave:
b
16.
1a+ 2a
9a = –1 a=9 (1 + 2 + … + a) + 8 53 9a b=5 531=bc1 bc1 c=3 9 + 9 + 9 + … + 9 17(9) = 153 Clave: (9 + 5 + 3)
b² = 5² = 25
4 8 46 464 4646
4 + 8 6 0 0 s u 4 m a 6 n d 4 o s
64646 LUCHA
b
2
… A = 4(40) + 6(40) = 400
A=0
… H = 4(40) + 6(39) + 40 = 434 H = 4 … C = 4(39) + 6(39) + 43 = 433 C = 3 … U = 4(39) + 6(38) + 43 = 427 U = 7 … L = 4(38) + 6(38) + 42 = 422
L=2
L + U + C + H + A = 2 + 7 + 3 + 4 + 0 = 16
Clave:
d
Ediciones Corefo
2 + 28 282 2828
9.
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
17. Si (a + b + c)² = 225
21.
…3518 × 9999 = …abcd …3518 × (10000 – 1) = …abcd …35180000 – …3518 = …abcd …35180000 – …3518 …abcd
d = 2; c = 8; b = 4; a = 6 5(6 × 4 × 8 × 2) 15(6 × 14 × 8 × 2) = = 96 6+4+8+2 20 41 Clave:
Si a = 2 Si a = 6 (a + b + c)² = 225 (a + b + c)² = 625 a + b + c = 25 2 6 7 a = 6; b = 9; c = 10 a = 2; b = 6; c = 7 a, b, c < 10 No cumple 623+ 762 427 276 Clave: c 2088
18. (509)² + (605)² + (706)² + (802)² = …ab
22.
…81 + …25 + …36 + …04 = …ab
1 + 12 + 12 + 2 3
Clave:
c
19.
(176)² + (276)² + (376)² + (476)² = …ab
…76 + …76 + …76 + …76 = …ab
…304 = …ab a=0;b=4 a+b=0+4=4
20. 4
1 3 12 123 4
1+ 3 2 3 4
Clave:
e
23.
9
9(10) =4 5 2 8(9) 1+2+3+…+8+4= +4=4 0 2 7(8) +4=3 2 1+2+3+…+7+4= 2 …205 = …acb + 68 1+2+3+… +9=
Ediciones Corefo
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
3×4+1 3×4
Como hay 98 raíces empezando de 3 a 100 1(98) + 1 – 1 = 98, 49 2 100 Clave: 111 = 1152 = 1163 =
a
1 1 1+ 13225 1560896 12
Clave:
e
24. 1 + 12 123 88 1234 12312 12 3123
…205 – 68 = ….acb …137 =…acb a = 1; c = 3; b = 7 (a × b × c)² (1 × 3 × 7)² = 21² = 441 9 Suma de cifras
+
2005 = 3 + 1 = 668 × 3 + 1 12(668) + 1 = 8017 m = 1 y n = 7 Piden: (m+n)nm = (1+7)71 = 56
…6789 …205
1 + 12 + 1 2 99 100
+ 5 ×4 ×4 +5 1 + … + 99 × 100 + 1 99 × 100 1 1 1 1 1 1+ 1 – +1+ – +1+ – +…+1+ 1 – 1 4 5 3 4 2 3 99 100 2×3+1 2×3
1 + 12 + 12 +…+ 3 4
…TINA
…A = 1(29) + 2(29) + 3(29) + 1 …A = 175 A=5 …N = 1(29) + 2(29) + 3(29) + 17 …N = 191 N=1 …I = 1(29) + 2(29) + 3(28) + 19 …I = 190 I=0 …T = 1(29) + 2(28) + 3(28) + 19 …T = 188 T=8
SOLUCIONARIO
…46 = …ab a = 4; b = 6 a + b = 4 + 6 = 10
b
T + I + N + A = 8 + 0 + 1 + 5 = 14 Clave:
b
Clave: 3
a 3
25.
29.
(1984) (2016) + 256 5 (959) (1041) + 1681
4 000 000 5 10 000 00 45 = 1 024
Clave:
N × 23 = …927 N × 25 = …225 Siendo N cualquier número abc… 2 3× N …927
e
26.
ABCDEF × 99…99 = 634528 ABCDEF × (100…0 – 1) = 634528 ABCDEF00…0 – ABCDEF = 634528 ABCDEF00…000000 – ABCDEF 634528 F = 2 E=7 D=4 (3 + 6 + 5 + 4)² C=5 = 2² = 4 7+2 B=6 A=3 Clave:
27.
9² = 81 99² = 9801 999² = 998001 9…99² = 99…9 800…01 49 48 48 1 × 49 = 4 9 8 + 4 = 1 2 8 + 1 = 9 (9 + 2 + 9)² = 400
8 1+ 801 8001 80001 8…001 …aba
2 3× 649 207 92 8 …927
25× N 225
2 …6 4 22 100 0 …2 2
N = …49 ∴ …649 × 42 = …258 2 + 5 + 8 = 15
5× 9 5 5
Clave:
b
B usca soluciones Pág. 15 1.
a
∴ 1 solo palito Clave: 49
a
2. ∴ 8 palitos Clave:
a=9 b=2
c
3. Clave:
c
I. … 2 × 4(2 × 4 + 2) + 1 =
81 = 9 = 32
∴ 4 palitos
II. … 3 × 5(3 × 5 + 2) + 1 = 256 = 16 = 42 224 × 226(224 × 226 + 2) + 1 A= = 2252 4 8 9 ×5 A = 2252 × 225 = 50 625 = 1 9 × 54 50 625 Clave:
4
Clave:
c
4.
∴ 4 palitos
a
Clave: 4
c
Ediciones Corefo
SOLUCIONARIO
28.
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
5.
13. = ∴ 5 palitos Clave:
∴ 2 palitos
e
Clave:
6.
14.
∴ 3 palitos
=
Clave:
c
a
=
∴ 2 palitos Clave:
7.
d
15. ∴ 2 palitos Clave:
b
8.
= ∴ 3 palitos
∴ 4 palitos Clave:
Clave:
b
16.
9.
∴ 2 palitos
∴ 4 palitos Clave:
Clave:
b
2 cubos 6 caras tienen 1 en común entonces hay 11 cuadrados e
=
–
=
∴ 2 palitos Clave:
∴ 1 palito Clave:
+
b
18.
a
SOLUCIONARIO
Clave:
11.
b
17.
∴ Se forman:
10.
d
12.
Ediciones Corefo
= L – XX = XXX 50 – 20 = 30
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
∴ 4 palitos Clave:
c
Clave:
5
d
5
19.
3.
2
1
3
4 5 8
∴ 2 palitos Clave:
b
6
20.
10 ∴ Se agregan 2 monedas
7
9 Clave:
b
4. ∴ 8 palitos Clave:
∴ Se agrega 12 monedas
c
Clave:
c
21. 5.
NO
∴ 3 palitos Clave:
NO NO 9
a
10
22.
Clave:
2
b 18 17
B usca soluciones
5 1
6.
∴ 4 palitos
1.
2 3
3
4 5
4
16
10 13
12
8
∴ 18 monedas Clave:
9
11
x
x
∴ 2 movimientos Clave:
5 7 6
a
8.
F1 F2 F3 ∴ Sobre poniendo las monedas logramos mover F4
2 4 3 ∴ movemos 7 bolsas 1
Clave:
b
4 monedas
c
F5 6
Clave:
c
Ediciones Corefo
Clave:
6
d
7. ∴ Se agrega 1 moneda
2.
c
6 7
14
Clave:
NO
1
15
Pág. 20
∴ 11 monedas
6
7
11 NO
SOLUCIONARIO
8 NO
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
9.
10.
10 9 12 11 8 7 6 13 1 14 5 15 16 17 2 3 4
12 13 14 11 x x 1 2 10 x x x 3 9 x 6 5 4 8 7
∴ 17 monedas Clave:
6 5 4 9 8 7 10 3 1 2 11 12 15 13 14
e
∴ Máximo 14 monedas Clave:
17.
∴ 15 monedas Clave:
b
11.
∴ 4 monedas 1 vueltas
∴2+
1 vueltas
1 de vueltas 3
12.
1
2
3
x
x 6
14.
1 vueltas 3 Clave:
Clave:
7 3
B usca soluciones
c
Pág. 25 1.
4 5
13.
d
∴ Se mueven 2 monedas Clave:
d
6
4
1
3
∴ El opuesto de 2 es 5.
2 10 1 2 3 9 4 8 7 6 5
e
2. La suma de puntos del dado es 21
∴ Tenemos 10 monedas Clave:
Clave:
7–5=2 7–4=3 7–5=2
d mín(1, 6) = 1
1 vuelta
mín(2, 3, 4, 5) = 2 ∴ 3 vueltas Clave:
Puntos no visibles = puntas totales – puntos visibles Pnv = 6 × 21 – {3 + 5 + 1 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 1 + 2 + 3 + 2} = 67 Sumando cifras = 6 + 7 = 13 Clave: d
b
1 vuelta
15.
12 13 14 11 15 10 9 16 8 1 2 7 6 5 4 3
3. Suma total de puntos es 38
∴ 16 bolsas Clave:
c
Superior = 15 Inferior = 23
16.
Ediciones Corefo
invierte = 19
Para rodear 4 monedas
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
SOLUCIONARIO
1 vuelta
Para rodear 5 monedas Para rodear 3 monedas
= 19 1 ficha de invertida
Consideramos el mayor 7
Clave:
a 7
4. Suma total = 40
Superior = 24 Inferior = 16 Se busca una ficha con diferencia de 4.
Final
= 20 = 20
La cara superior es 2
F. rojo F. Blanco F. Azul F. Verde F. Amarillo
Ficha Azul es invertida z
Clave:
c
x+Z=7 Entonces x + y + z = 7 + 5 x + y + z = 12
c y
x+Z=7 Entonces x + y + z = 7 + 5 x + y + z = 12
b
9. y = 7 – 2 = 5
Clave:
5. y = 7 – 2 = 5
Clave:
x Clave:
c
6. = 10
Equivale
a
= 20 = 20 = 10 Clave:
3 cifras movidas
a
4 + 3 + 6 = 13
7. Suma de total – lados visibles 3(21) – (1 + 3 + 5 + 3 + 4 + 2 + 6) Suma de no visibles = 39
8.
1
2
3
Pág. 28
b …L = 21(9)
4
…L = 189
9 + 99 999 9999
L=9
…E = 198
1
2
3
4
29 32 1er
28 multiplo de 4
8
29
31
…B = 190
30
…99 ABEL
B=0
…A = 18 (9) + 19
33
…A = 171
2do
…
…B = 19(9) + 19
cada lugar cuatro giros regreso a su lugar.
…
E=8
…
SOLUCIONARIO
…E = 20(9) + 18
A=1
A + B + E + L = 1 + 0 + 8 + 9 = 18
30
Clave: 8
b
Ediciones Corefo
Clave:
T aller de practica
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
2. O,ROM × C,HI CH I + ROM 615 000 492 0, 4 9 8 1 5
7. E =
4 + 9 + 8 + 1 + 5 = 27
Clave:
d
3. S = (13 + 1)(23 + 1)(33 + 1)....(43 + 1).....(203 + 1)
2
9
28
65
2
2
2
4. 5 + 15 + 25 + … =
8001
El producto es 130
El producto de S = … 0 Termina en cero
Clave:
…25 =
a
…ma
…ma
… 25 × …25 =
M = 8 741 ∑cifras = 8 + 7 + 4 + 1 = 20
1
3
5
7
2
4
6
8
e
segundo caso: (889)2 – (112)2 = (889 – 112)(889 + 112) = 777777 M = (888889)2 – (111112)2 = 777 … 7 16 cifras Piden: Scif = 7(12) = 84 Clave: c
Ediciones Corefo
111…110 100 cifras
Clave:
b
Clave:
c
Clave:
e
10. Construyendo opuestos 2 piramide 3 caras
101 – 1 + 102 – 1 103 – 1
base 1 3 caras Utilizando 9 palitos
1099 – 1 111…110 – 1(99) 100 cifras
11. Construyendo opuestos =
99 cifras en total sin contar el cero No hay alternativas Clave: a
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
c
Se quitan 6 palitos = n m + n = 11 + 6 = 17
5. primer caso: (89)2 – (12)2 = (89 – 12)(89 + 12) = 7777
…999
Clave:
Contando de 1 cuadro = 8 + contando de 4 cuadros = 3 11 = m total cuadros
…ma
…25 = …ma m = 2 a = 5 ∴ m + a + m + a = 14
9 + 9 9 999
a
…ma
Clave:
6.
Clave:
9.
25 + 125 + 625 + … = 41 sumandos
… 25 … 25
(a + b)2 (a – b)2 ab a2 – b2 E= 2 a + b2 (a + b)2 – (a – b)2 32 – b2 2(a2 + b2) ab E= × 2 4ab a + b2 2 1 E= = 4 2
8. M = 92 × 95 + 1
41 sumandos
25 125 625 41
ab a2 + b2
SOLUCIONARIO
1 + 1 (a – b)2 (a + b)2 1 – 1 (a – b)2 (a + b)2
25 = 50 – 15 (cumple) Movemos el palito suma 9
9
12.
19. +
3 dados iguales
=
57
–
3 dados iguales
1 palito
=
Clave:
60
a
13.
Total = puntas = 3 (19) + 3(20) T· P = 117
Clave:
14.
Clave:
3 palitos
1 13
3
2 12
11
4 10
5 9
6 7 8
Pnv = P.T – P.V Pnv = 5(21) – {3 + 7 + 1 + 7 + 1 + 7 + 6 + 5 + 7 + 7 + 4 + 1} Pnv = 105 – 56 Pnv = 49 Clave: b
c
21.
13 monedas
Clave:
Pnv = P.T – PV. Pnv = 6(21) – {4 + 7 + 6 + 7 + 5 + 7 + 5 + 7 + 7 + 1 + 5 + 7 + 3} Pnv = 126 – 71 Pnv = 55 Clave: c
d
16. Se mueven 2 monedas
Clave:
17.
35
5
c
S uperate
por caras opuestas suman 7
1.
35 + 5 = 7
=3
45 = 7
Clave:
SOLUCIONARIO
22 – 1
= 8 = 32 – 1
d
4 dados
18.
= 15 = 42 – 1
Puntos no visibles = Puntos total – puntos visibles Pnv = 80 1er dado = 7 + 7 + 3 = 17 2do dado = 2 + 5 + min{1; 2; 4; 6} = 8 3er dado = 4 + 3 + min{1; 2; 5; 6} = 8 4to dado = 7 + 3 + 1 = 11 5to dado = 7 6to dado = 7 + 2 + 6 = 15
fig. 13 = 142 – 1 = 195 el doble es 390
Clave:
2. Sombrero = 3
corbata = 3 Lima
1
Pnv = 6 (21) – {17 + 8 + 8 + 11 + 7 + 15} Pnv = 126 – 66 Clave: Pnv = 60 10
d
20.
a
=
15.
Clave:
Utilizando 8 palitos
2–x
x
2–x
No son lima
x = tiene sombrero y corbata y no es de Lima 2 – x + 1 + (2 – x) = 4
x=1
Clave:
a 10
e
b
Ediciones Corefo
Intersectando los cuadrados
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
6. 1 ; 3 ; 5 ; … ; 59
B usca soluciones
1ro 2do 3ro
Pág. 34 1.
… 30avo
7.
4
4
10
19
D1 = 55
Clave:
e
D10 = 145 55(10) + 10
Triángulos = 7 Intersección = 6 13
Clave:
b
20 × 23 + 1 = 461
Clave:
c
105² = 11025 1005² = 1010025 10005² = 100100 025 100 … 05² = 100 … 0100 … 025 105 104 105 Sumando cifras = 1 + 1 + 2 + 5 cifras = 9
Clave:
c
Clave:
e
Clave:
c
Clave:
e
8. 1(3) + 2(3) + 3(3) + 4(3) + …..19(3)
3(1 + 2 + 3 + 4 + …. + 19)
3
19(20) = 570 2
9. 2 + 4 + 6 + … + 60
2(1 + 2 + 3 + … + 30)
2 Clave:
b
30(31) = 930 2
10. Fig.1 = (2)3 – 1
2 ; 4 ; 6 ; … ; 78
2 (3)4 Fig.2 = –2 2 (4)(5) Fig.3 = –3 2 (41)(42) Fig.40 = – 40 = 821 2
1° 2° 3° 39 2 + 4 + 6 + … + 78 2(1 + 2 + 3 + … + 39) 2 · 39(40) = 1 560 2
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
9(10) 2
550 + 450 = 1000
avo
Ediciones Corefo
D2
D2 = 65
4. 15² = 225
5.
3
4
2
11
4 + 6 + … + 22 + 2 – 2 Agregamos 2(1 + 2 + 3 + … + 11) – 2
3.
2
10
21 circulos
2.
3
1
D10
22
2 11 (12) – 2 2 132 – 2 = 130
c
D1
6 …
Clave:
n² = 30² = 900
SOLUCIONARIO
Unidad
2
Clave:
d 11
11
11. 2n2 + 2n
17.
Fig 20 2(20)2 + 2(20) 800 + 40 = 840
Clave:
e
Clave:
a
12. Fig.1 = 2
Fig.2 = 3 Fig.3 = 4 Fig.20 = 21
13.
M 1
18. A
= 2 =1
1 A
1
1
2 =1 2 1 M – A – G – I – A = 5 letras 24 = 16
14.
1
1 1
Clave:
6
2 2 6
1 2
2 4
SOLUCIONARIO
1
A 1 2
2
2 4
a
2
5
1
6
Clave:
b
10 20 21 22 20 83 20 40 61 20
7
20.
2
121 60 128
204
1
1 3
Clave:
e
Clave:
b
1
6
6 14 16 14 6 20 30 30 20 20 50 60 50 20 20 + 50 + 60 + 20 = 200
16.
1
10
4
1
4 8
8
6
1
bra = 3 n – 1 N = número de palabras N=7 37 – 1 = 36 = 729
10
1
4
3
1
e
19. Cantidad de veces que se puede escribir una pala-
4
Clave:
1
b
1
Total 20
15. 1
3
1
3
10
2
1
Clave:
1
3 4
1
1
1
2
1
L
1
M A
1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 210 1 6 21 56 126 252 462 1 7 28 84 210 462 924
1 2
2 Clave:
2
c
2 4
6
2 6
12
1
12 12
4
12 24 12 48 72 48
1 1 12
3 4
10 14
14 28 B
120 120 Clave:
240
b 12
Ediciones Corefo
12 36 36 12
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
21.
25. 3
1=1 =1 12 2 3 = 23 = 8 123 2 3 4 = 3³ = 27 345 1 2 3 4 … 12 2 5 = 12³ = 1728 12 … 23
1
Clave:
3
1 2
3
n(n + 1) = 570 2 n (n + 1) = 380 19 (20) = 380 n = 19 27. Hallando cuadrados
b
1
1
1
3
1
3
3
e
23.
1111 – 22 =
9=3
1 089 = 33 111111 – 222 = 11 0889 = 333
11 … 11 – 22 … 2 = 33 … 3 200 100 100 …∑cifras = 100(3) = 300
Clave:
b
Clave:
e
Clave:
a
Clave:
b
1 2 3 4
49(4) + 1 = 197
29. (33 … 34)² = 11 … 1 Clave:
a
21
21
55 … 56 20
∑cifras = 21(1) + 5(20) + 6
∑cifras = 21 + 100 + 6 = 127
1 1
1 2
1 1
3 4
1 3
6
31.
1
2 × 8 = 16 22 × 98 = 2156 222 × 998 = 221556 22 … 2 × 99 … 98 = 22 … 2 155 … 56 101 101 100 100
4
10 10 20
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
100 99 90 ∑cifras = 99(9) + 8 + 0 (99) + 1 ∑cifras = 900
SOLUCIONARIO
30. (999 … 9)² = 99 … 98 00 … 01
24.
Ediciones Corefo
e
(100 – 2) = 98 = 49 2 2
6n = 44 … 43 55 … 56 6n – 1 6n – 1 ∑cifras = 4(6n – 1) + 3 + 5(6n – 1) + 6 = 9 (6n – 1) + 9 = 9 (6n) = 54n
1
Clave: 11 – 2 =
Clave:
28. (666...666)²
1
Sumando tenemos 28
e
Palito que sobra
2
2 3
1 3
1
1
3 2
Clave:
Punto de contacto =
3
Fig10 = 20(21) = 420
26.
22. Como hay. 1
2n(2n + 1) Fig1 = 2(3) = 6 Fig2 = 4(5) = 20
Clave:
a 13
13
∑cifras = 2(100) + 1 + 5(100) + 6 200 + 1 + 500 + 6 = 707
Clave:
36.
b
101 × 19 = 1919 10101 × 19 = 19 19 19 101 … 01 × 19 = 19 19 19 … 19 61 31 veces (19)
2 2 2 2
6
4 8
2 6
3 6 3 6 9
2
1
1 2
38.
8 14 14 8 2
1 Clave:
c
4
1 1
c
39.
1 1 3 1 1 2 7 2 1 1 2 4 15 4 2 1 2 4 8 31 8 4 2 1 4 8 16 63 16 8 4 2
17 5
Clave:
a
c
11
3
3 1
Se puede formar 63 c
1
19(10)2 = 1 900 Clave:
c
Clave:
d
1 1 5
1 4
1 3
2 6
1 3
1 4
1
10 10 5 15 20 15 35 35 70
14
3
1(1)2 = 1 3(2)2 = 12
1 13 135 357
1
28
8
1
40.
Clave:
4
5(3)2 45 1 + 3 + 5 + … + 19 3 + 5 + 7 + … + 21 19 + 21 + … + 37
3(20)³ = 24 000 Clave:
22
2 2
A
B 50
5
3
1
1
14
(50(51) = 5 100 2
Fig. 50 = 4
6 9 6 9 3(27) 9 12 3(3³) 12 15
1 2 3 …… 20 2 21 3 20 21 22 … 39
Clave:
2
3 (1) = 3 (1²) 3 (8) = 3 (2²)
35. SOLUCIONARIO
4
2 (4(2 – 3)) Fig. 2 = 12 = 2 Fig. 3 = 24 → 4 3(4) 2
∑cifras = 2 + 8 + 14 + 14 + 8 + 2 = 48
34. 3
e
1 2
c
37. Fig. 1 = 4 = 4 (n(n – 1))
1 1
Clave:
1 Ediciones Corefo
33.
∑cifras es: 1 + 0 + 0 = 1
Clave:
∑cifras = 31(1) + 31(9) = 310
(100 … 000 + 7)(100 … 0 – 7) + 49 201 201
200 (100 … 000)2 – 49 + 49 201 200 400 10 = 102 = 100
32. 1 × 19 = 19
200
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
41. Fig 1 = 5 = 5(1) – 0 Fig 2 = 9 = 5(2) – 1 Fig 3 = 13 = 5(3) – 2 Fig 60 = 5(60) – 59 = 241
200
Clave:
e
(100 … 0 – 16)(100…0 + 16) + 256 101cifras
200
10200 – 16² + 256 = 10
–2
Fig. 2 = 2² = 4 Fig. 3 = 3² = 9 Fig. 20 = 20² = 400
b
43. Fig 1 = 5
Fig 2 = 9 Fig 3 = 13 Fig 20 = 5(20) – 19 = 81
45.
Ediciones Corefo
100 – 2 =
Clave:
d
6 × 35 = 210 66 × 35 = 2310 666 × 35 = 23310 6666 × 35 = 233310 66…6 × 35 = 23 … 310 n n–1 ∑cifras = 2 + 3(n – 1) + 1 + 0 ∑cifras = 3n – 3 + 3 = 3n
(994)² = 988036 (994)² = 99880036 (99 … 94)² = 9 … 9 880 … 036 20 18 18 ∑cifras = 9(18) + 8 + 8 + 0(18) + 3 + 6 ∑cifras = 187
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
2×3 = 4 851 2
Clave:
d
Clave:
a
999 × 1000 × 1001 × 1002 + 1 999 × 1000 × 1001 × 1002 + 1
= 999 × 1002 + 1 = 1000999
∑cifras = 1 + 9 + 9 + 9 = 28
Clave:
c
51.
Clave:
1 1 1 2 1 1 1 1 2 3 4 10 4 3 2 1 1 2 4 7 11 32 11 7 4 2 1 1 2 4 8 15 26 84 26 15 8 4 2 1 1 2 4 8 16 31 57 198 57 31 16 8 8 4 2 1
a
Respuesta 198
46. (94)² = 8836
123 4
2×3 =3 2
Fig 1 = (1 + 1)² – 4 = 0 Fig 2 = (2 + 1)² – 4 = 5 Fig n = (n + 1)² – 4 = 140 (n + 1)² = 144 n + 1 = 12 n = 11 50.
c
44.
9 × 12 = 108 99 × 12 = 1 188 999 × 12 = 11 988 9999 × 12 = 119 988 99 … 9 × 12 = 119 … 988 50 48 ∑cifras = 1 + 1 + 9(48) + 8 + 8 ∑cifras = 450
1 2 3
49. Clave:
a
1×2 =1 2
–2 Clave:
Clave:
48.
42. Fig. 1 = 1² = 1
101cifras
52.
Clave:
c
1 1 1 2 2 2 2 4 4 2 2 6 8 6 2 2 8 14 14 8 2 2 10 22 28 22 10 2 2 12 32 50 50 32 12 2 ∑cifras = (2 + 12 + 32 + 50)2 = 192
15
Clave:
c
Clave:
c
SOLUCIONARIO
47.
15
Y = 31 – 1 = 3º = 1 Y E E = 32 – 1 = 31 = 3 1
Como Jessica tiene 7 letras = 37 – 1 = 36 = 729 Clave:
d
Clave:
e
55.
Tangencia en la resta 3; 5; 7; 9; 11; … ; 41
Sumando –1 + 1 + 3 + 5 + … + 41
– 1 + (21)² = 440 … 1 Tangencia entre círculos 1 + 2 + 3 + … + 19 + 20 20(21) = 210 … 2 2 De 1 y 2 440 + 210 = 650
Clave:
N
e
D
Fila 1 = 2 Fila 2 = 5 Fila 3 = 8
60.
Clave:
d
SOLUCIONARIO
Fila 1 = 2 = 1(2) Fila 2 = 4 = 2(2) Fila 3 = 6 = 3(2)
5
3
4
…
I I
98
99
100
I
d
2° 21 = 2
N N
D
D
22 = 4
Para inducción son 9 letras: 2n–1 = 28 = 256 Clave:
b
Clave:
d
Clave:
c
abcdef bcdefd fabcde cdefab efabcd defabc 777777 Suma de cifras = 6 × 7 = 42
61. Fila 1 = 2 =2(1) + 0
Fila 30 = 60 = 30(2) Total = 30(31) = 930
Clave:
b
Fila 2 = 5 = 2(2) + 1
Fila 3 = 8 = 2(3) + 2
Fila 4 = 4 = 2(4) + 3
1
16
2
N
58.
3
2
59.
57.
4
Clave:
Fila 60 = 179 = tn = 2 + (59)3 (2 + 179) Suma = 60 = 5 430 2
2
Triángulo pequeno = 99 – 2 = 97 En la intersección = 97(2) + 2(extremos) 194 + 2 = 196
56.
3
1 1
1
Triángulos pequeños = 5 – 2 = 3 Para:
54.
tn = t1 + (n – 1)r t20 = 1 + (19)5 t20 = 96
2
2
1 2 3 4 Triángulos pequeños = 4 – 2 = 2 16
Fila 10 = 2 (10) + 9 + 29 (2 + 29) Total = 10 = 155 2
Ediciones Corefo
53.
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
62. ADIOS = 5 letras 25 – 1 = 24 = 16 como son 2 16 × 2 = 32
Clave:
4º 3H 1M 1H 1H 5º 3H 2M 6º 3H 1M , 1M 1H 1M 7º 2H 1M 1H 8º 2H 1M 1M 2H 9º 2H 2M 2H
c
B usca soluciones Pág. 43 1. L = Zorro
O = Cabra A = Alfalfa
1º L, A O 2º L, A O 3º A L O 4º A O L 5º O A L L, A 6º O O 7º L, A. Total 7 viajes
Clave:
H = Hijo N = Nieto 1º N AH H A NH A Clave:
Total 3 viajes
c
regresa el niño que se quedo. 2M, 1 niño 1M
Ediciones Corefo
Clave:
c
2M
C = Col O = Obeja
1º L, C
2º L C
Clave:
c
Clave:
a
O O
3º C
L
O
4º C
O
L
5º O 6º O
C
L C O LC
4º C, x
y
z, A, B
5º x, y
C
z, A, B
6º x, y z A, B, C 7º x, y, z A, B, C
2º 4H 1M 1M 3º 3H, 1M 1H 1M
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
2º A, B, C x y, z 3º C, x A, B y, z
∙ Regresan bs 2 (misionero y niño) 2M, 1 niño
e
Adolescentes = x, y, z 1º A, B, C x, y, z
∙ para el segundo misionero
1M, 1N
Clave:
6. Adultos = A, B, C
1M, 1 niño
2M 1 niño
4. 1º 4H
Total 17 viajes
7º Total 7 viajes
3. Viajan los dos niños y regresa uno ∙ 3 minioneros, 2 niños ∙ Cruza un misionero y regresa niño
1M
5. L = Lobo
c
14º 1H
3H 1M 1H 3M 1M 15º 1M 1M 16º 1M 4H 17º 2M 4H
2. A = Abuelo
3º
Total 7 viajes 17
SOLUCIONARIO
2º N
10º 2M 1M 2H 1M 11º 1H, 1M 1H 2H 1M 12º 1H 1M 1M 3H 13º 1H 2M 3H
17
7.
Joven de 18 años = M Dos señoritas 23 años = x, y Dos niños = a, b una niña = c 1º Y, a, b, c XM
2º Y, a, b, c M x 3º Y b, c, Ma x 4º Y b, c M x a
cesita 2 viajes por cada uno para el 9º viaje regresa M, Y Total 9 viajes. Clave: e
8. Amigos: A, B, C Hermanas: a1, a2; b1, b2; c1, c2 A B C a a b 1º A, B, C 1 2 1 b1 b2
1
N1N2
2º turistas
N1
3º turistas N1
4º turistas N1
2
b1 4º A, B, C a1, a2, b2 c1, c2 ABC 5º b1, b2 a2a2 c1, c2 B 6º b1, b2 a2, a2 A c2, c2 C bbB 7º 1 2 a1a2 A c2c2 C
SOLUCIONARIO
1º turista
N2 T2 N2
Clave:
c
1º Hijos
Papá Mamá 1 minuto hijos Mamá 3º Papá 18 minutos mamá Hijos 4º Papá 3 mínutos 2º Hijos
5º
papá y mamá Hijos 3 mínutos
12. A = personas adultas
T1
Papá; Mamá Tiempo del más lento 3 mín
9. Padre = P
N2
11.
3º Cruzan 3 hermanas y regresa A B C a1a2b1 b a
18
Para x viajes se necesita 4N. Pero como es el mínimo para trasladar a los turistas. El último caso 4 no se considera el regreso del niño porque ya no hay turistas. Seria 4N – 1. Clave: b
d
Para cada turista se necesita 4 viajes.
b2,c1,c2 a1
Clave:
10.
∙ De 3º y 4º vemos que para cada uno (b, c) se ne-
2º A B C b2,c1,c2
5º T1 T2
Madre = M Trillizos = T1 + T2 + T3 Perro = d T,T,T 1º P, M, d 1 2 3 90 kg T1 2º PMd T,T 30 kg 2 3 Md 3º PT1 T,T 60 kg 2 3 T2 4º PT1 T , M, d 30 kg 3
3 + 1 + 18 + 3 + 3 = 28 minutos
N = niños que saben nadar No = niños que no saben nadar 1º A1 A2 A3 A4 A5 N3 No N1 N2 No N3 No 2º A1 A2 A3 A4 A5 No N1 N2 No No 3º A1 A2 A3 A4 A5 N3 No N1 N2
Clave:
a
18
Ediciones Corefo
P T , M, d 90 kg 3 T3 M, d, P 6º T1, T2 30 kg 7º T1 T2 T3 M, d, P 90 kg Total 7 viajes
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
N3
H MH2G 50 kg 5º P 2Ni M H 2 G 110 kg H M 2 Ni 2 G H 6º P 50 kg 7º PH M 2 Ni 2G H 120 kg
No No
Para niños que no saben nadar son 4 viajes. Para los 5 adultos también son 4 viajes. Y para cada niño los 3 son 8 viajes. Clave: c ∴ 4 + 4 (5) + 3 = 27
13.
∴ Total 7 viajes
1º M1 M2 M3 H2 H3 H1 2º M1 M2 M3 H3 H2 H1 H H 3º M1 M2 M3 1 3 H2 H3 H H 4º M M M 1
2
3
1
1
2
10º H3
M3
2
Ediciones Corefo
3(4) + 1 = 13 2N N
N
H
N
∴ 3(4) + 1 = 13
Clave:
b
B usca soluciones
M1 H1 M2 H2
Pág. 48 Clave:
c 6L
1.
1º 2º 3º ∴ Son 3
Por cada profesor son 4 viajes y el último para regresar : 4(4) + 1 = 17 Clave: c
2.
P, M, 2H, 2Ni, 2G 70 70 50 30 20 1º P M 2 Ni 2H 2G 120 kg H 2º P M 2Ni 2GH 50 kg 3º P · 2Ni MH 2 G H 120 kg
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
c
2HN H Por cada hombre son 4 viajes más el último
3
Total 11 viajes
Clave:
N
15.
2HN
P1 P2 P3 P4 ab a P1 P2 P3 P4 b P P1 P2 P3 a b b P1 P2 P3 a P
Por cada minero son 4 viajes si son 3
3H
14.
3H
H3M3 M H M H 11º 1 1 2 2
c
17.
8º H3 H1 H2 M1 M2 M3 9º H3 H1 H2 M1 M2 M3
Clave:
16.
5º M1 M3 M2 M2 M3 H2 6º M1 H3 H1 H2 M2 H2M3 7º H H M1 M2 H M 3
4º P 2Ni
19
8L
5L
2L
6 4 4 2 veces
0 0 2 2
5L
3L
8 0 3 5 3 2 5 2 6 0 1 5 1 4 4 4 Total 7 traslados
0 2 0 2
Clave:
b
Clave:
d
SOLUCIONARIO
4º A1 A2 A3 A4 A5 N1 N2
0 0 3 0 2 2 3 0
19
pasa 3 litros
2
7.
vaciar 0 3 litros
5 litros
20 11 11 15 15 19 19 10 10 ∴ Total 8 Pasos
pasa 2 litros
2da 0
2
5 litros
3 litros
3era 4
3
5 litros
3 litros Clave:
∴ Son suficientes 3
4.
8L
∴ Total
8 0 3 5 3 2 6 2 6 0 1 5 1 4 6 trasvases
5.
5L
20 L
13 L
SOLUCIONARIO
12 L
7L
20
9. Clave:
12 L
8 5 5 2 2 7 litros
d
4L
0 9 5 5 1 1 0 9 6
0 0 4 0 4 0 1 1 4
6L
6L
10. 10 L Clave:
Clave:
a 20
c
Clave:
b
Clave:
c
Clave:
c
5L
0 0 0 3 3 0 3 3 5 1
4L
3L
10 0 0 6 4 0 6 1 3 9 1 0 9 0 1 5 4 1 ∴ Total 5 cambios
d
Clave:
5L
∴ Total 4 trasvases
5L
12 0 0 5 7 0 5 2 5 10 2 0 10 0 2 3 7 2 3 4 5 ∴ Total 6 pasos
12 L
9L
12 0 0 7 0 5 7 5 0 2 5 5 ∴ Total 3 cambios
7L
20 0 0 7 13 0 7 6 7 14 6 0 14 0 6 1 13 6 1 12 7 ∴ Total 6 trasvases
6.
8.
c
3L 0 0 3 0 2 2 3
20 L
11. 10 L
4L
16 7 7 12
0 0 9 0 4 5 4 0
3L Ediciones Corefo
llenar
3. 1era
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
12 0 4 3 9 4 ∴ Total 5 cambios
16 L
36 20
c
∴
13 L
0 1°
Clave:
0
16 0
2° 13 7 16 Clave:
7L
11 7 7 3 3
0 0 4 4 7
Ediciones Corefo
N = 4 veces
Para M
11 L
7L
0 4 0 4 1
5 5 0 5 0 5 4 4
Clave:
0
4
7
0
4
3
4
8
3
0
8
0
3
1
7
3
1
6
4
8 min
8 0 0 8
8 3 0 5
3 0 5 8
13 min
3 5 0 8
5 0 8 13
13 10 0 3
16. 16 L
e
3 0 10 13 a
5L
3L 16 0 0 13 0 3 13 3 0 10 3 3 10 5 1 15 0 1 15 1 0 12 1 3 12 4 0
4L
0
entrega
12 0 0 7 5 0 entrega
∴ Total 9 trasvases
17. 12 L
∴ M – N = 6 – 4 = 2 Clave:
7L
e 21
Clave:
c
Clave:
b
4L
12 0 0 5 7 0 5 3 4 9 3 0 9 0 3 2 7 3 ∴ Total 5 cambios
M = 6 cambios
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
0 11 11 0 11 5 6 5 6 10 1 10 1 11 12 0 Total 7 trasvases.
∴ Uno de los relojes se voltea al mismo tiempo. Clave:
4L
11
5L
8 – 5 = 3 minutos en reloj de 8 min
e
13. Para N 11 L
11 L
15. 13 – 8 = 5 minutos en reloj de 13 min
∴ Total 2 trasvases
15 L
SOLUCIONARIO
12. 36 L
14. Para N
21
8L
30 0 0 25 0 5 25 5 0 20 5 5 20 8 2 28 0 2 28 2 0 7 litros 23 2 5 ∴ Total 7 trasvases
19. 16 L
11 L
5L
Pág. 52 1. n = 30
Maneras de leer = 2n–1 26–1 = 25 = 32 Clave:
b
Fig 2 = 9 = 32 Fig 3 = 16 = 42 Fig 20 = 212 = 441
SOLUCIONARIO
5L
Clave:
22
Clave:
b
Clave:
b
Hija = H Nieta = N MN 1º H MN M 2º H N HM N 3º ∴ Total 3 viajes
c
Clave:
c
Clave:
c
5. Lobo = L
Clave:
Cabra = C Alfalfa = A 1° LA 2° LA L 3º A O 4° A A 5° O 6° O O 7° O ∴ Total 7 viajes
d
8L
11 0 0 6 5 0 6 0 5 1 5 5 1 2 8 9 2 0 9 0 2 4 5 2 ∴ Para 4 = 7 Para 2 = 4 Para 1 = 3 ∑ = 7 + 4 + 3 = 14
c
4. Manuela = M
15 0 0 9 0 6 9 5 1 14 0 1 14 1 0 8 1 6 8 5 2
21. 11 L
Clave:
3. Fig 1 = 4 = 22
6L
∴ Total 6 trasvases
n(n+1) = 30(31) = 465 2 2
2. Cantidad de letras = 5
6L
16 0 0 10 0 6 10 6 0 4 6 6 4 11 1 ∴ Total 4 trasvases
20. 15 L
T aller de práctica
5L
6.
10 L
5L
Lleno 1° 2°
Clave: 22
C O O L A L LA LA
3L
vacios 7L
3L
7L
3L
5L 5L
5L
Ediciones Corefo
18. 30 L
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
3°
4L
IDL
3L 5L 3L
3 n² – 1 n 2 2 1 (3n² – n) = 2 380 1 (3(40)² – 40) = 2 380 2 2 380 = 2 380 ∴ n = 40
H2 E1, P, H1 30 kg E2H2 E , P, H 7º 1 1 90 kg ∴ Total 7 viajes
Clave:
a
7.
12. 7 L Clave:
Clave:
12 0 0
n1n2
2º S
n1
3º n1
s
Clave:
2º E1, E2
3º E2, H1
4º E2 E1
5º E2
∴ n12
Clave:
b
Clave:
c
Clave:
b
6L
Total 3 cambios
14. Figura 15 = n(n+1) – n
n2
15(16) – 15 2 ∴ 105
2
15. Para el par de palitos
P H1H2 H 2 90 kg H1 H2, P 50 kg
2[n(n + 1)] 2
Para la figura 3 [n(n + 1)] + 3n 2
Juntando 5 [n(n + 1)] + 3n 2
E1 H2, P 90 kg H2 E1 P 80 kg H1H2 E P 1 80 kg
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
5L
2 5 5
11. E1, E2, H1, H2, P1 1º E1, E2
b
7 0 5
c
n2' 4º n s Entonces para cada señorita son cuatro viajes a excepción de la última que es un viaje más para que regresen los niños Clave: a ∴ 4(20) + 1 = 81
Clave:
7 5 0
10. Para una señorita 1º S.
a
b
13. 12 L
Clave:
3L
9. 11 – 2 = 3 111 – 22 = 33 111 … 1 – 22 … 2 = 33 … 3 46 23 23 ∴ ∑cifras = 3(23) = 69
Ediciones Corefo
5L
7 0 0 4 0 3 4 3 0 1 3 3 1 5 1 ∴ Total 4 cambios
b
8. Palitos en 50 t50 = 3 + (50 – 1) 4 t50 = 199 3 + 199 50 = 5 050 Sn = 2
6º E2
SOLUCIONARIO
23
Para n = 20 5[20(21)] + 3(20) = 1110 2 ∑cifras = 1 + 1 + 1 = 3
23
16. 1° 2Ma 2Pa 2Hi H
2° 2Ma 2Pa 3° 2Ma P Hi
Hi
Hi
4° 2Ma P Hi 5° Ma P Hi
Hi
P MaHi
P P
Hi
P Ma 6° Ma P Hi 2Hi P Ma 7° Ma P Hi Hi PMa 8° Ma P HiPa Hi PMa 9º P Hi Hi PMaMa 10° P P Hi PMaMa 11° Hi Hi PMa PMa 12° Hi 2Hi PMa Pma 13° ∴ Total 13 viajes
Clave:
b
Clave:
d
Clave:
a
S uperate Pág. 53 1. # vueltas = radio x vueltas (11r) × 76 = (19r)x x = 44 ∴
2. Hombres = 2700 75% Mujeres = 900 25% Hombres = 2700 – x 60% Mujeres = 900 40% 2700 – x 3 = 900 2 ∴ x = 1 350
Ediciones Corefo
SOLUCIONARIO
24
24
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
6.
x Mayor y Menor
número par 2x – 1, 2x – 4 2 números pares anteriores 2x + 1, 2x + 3 2 números impares posteriores 2x +2x – 2 + 2x – 4 + 2x + 1 + 2x + 3 = 968 10x – 2 = 968 x = 97 → reemplazando en par: 2(97) = 194 Multiplicando: 1 × 9 × 4 = 36
x + y = 100 … (1) y = 50 + x … (2) De (1) en (2): y = 50 + 100 – y 2y = 150 y = 75 x = 25
Clave:
c
7. Cabeza + cuerpo +
2. 7(k – 360) = 3(k + 360)
20cm
Clave:
d
3. R = 2c ….(1) R – 90 = c + 60 …(2) De (1) en (2): 2c – 90 = c + 60 c = 150
Varones = 2k 3k +2k + 9k = 72 18k = 72 k=4 V. no adultos: 4(4) = 16
2° = 2x 3° = 6x Total
d
D. no adultas = 9k V. no adultos = 4k
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
b
Clave:
b
Clave:
a
cola
20 + cuerpo 2
9x = 54 x=6
9. B = x Clave:
c
Clave:
a
Verde = x – 5 Rojo = x + 3 x + x – 5 + x + 3 = 154 3x – 2 = 154 x = 52 Rojo = 52 + 3 = 55
5. x + x + 1 = x + 2
3 4x + 1 = 3x + 6 x=5
a
8. 1° = x Clave:
4. Damas = 3k
20 + cola
Clave:
Cuerpo = 20 + cola …(1) cuerpo Cola = 20 + …(2) 2 De (1) en (2): 20 + cola Cola= 20 + 2 2 cola – 40 = 20 + cola Cola = 60 Cuerpo = 20 Total = 160 cm
4k = 3 600 k = 900 k + k = x 2k = x x = 2(900) = 1 800
Ediciones Corefo
100 M
200 p
1. 2x
50 Mayor 50 Menor
B usca soluciones Pág. 56
100 H
SOLUCIONARIO
Unidad
3
25
25
de (3) y (4): 5a – 4c = 11 a – 4c = –1 (–1) 4a = 12 a=3 , b=2 , c=1 2(3) + 3(2) = 12
10. 6x = total 4(x + 3) = total 6x = 4(x + 3) x=6 Total = 6(6) = 36 Clave:
b
11. 4C + 2G + 8 = 4(C + G) 2G = 8 G=4
c
12. 4 000 + 200x = 2(15 00 + 200x) 1 000 = 200x x=5
x–4
Clave:
b
Clave:
b
x 7 200 = 15x (x – 4)
x(x – 4) = 480 x(x – 4) = 24(20)
b
13. x = y – 1
17. O + B = 30 …(1) B + V = 50 …(2) V + O = 40 …(3) V + C = 70 …(4)
y x–1= 2 x = 4 , y = 3 → somos 7. Clave:
a
B = bueyes O = ovejas V = vacas C = cabras
de (3) y (1) O + V = 40 (–) O + B = 30 V – B = 10 …(5)
14. 5C + 3B = x 4C + 4B = x – 3 000 (–1) C – B = 3 000 Clave:
x = 24
e
15. a + b + c = 6 …(1) 2a + b = 3c + 5 2a + b – 3c = 5 …(2) 3a – c = b + 6 3a – b – c = 6 …(3) de (3) y (2): 2a + b – 3c = 5 3a – b – c = 6 5a – 4c = 11 …(3)
de (5) y (4) V – B = 10 (–) V + C = 70 B + C = 60
18. 12 pollos y 5 pavos 1 pavo = 3 pollos 12 pollos + 5 pavos = 12 pollos y 15 pollos 27 pollos = 135
de (3) y (1): a + b + c = 6 (–1) 2a + b – 3c = 5 a – 4c = –1 …(4)
Pollo = 135 = 5 27
Clave: 26
e
Ediciones Corefo
Clave:
SOLUCIONARIO
b
16. 1 800 – 1 800 = 15 Clave:
26
Clave:
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
19. Inicialmente = 2mn
25. x + 2y – 1 = x + y
renuncian = 2mn x–m 2mn 2mn – =n x x–m x2 – mx – 2 m2 = 0
2x = 2y – 1 2x = 1
x
20. Repartió n – 1 en un total de n n (n – 1) = 600 25(24) = 600 n = 25
x= 1 2 4 ladrillos = 4(x) = 4( 1 ) = 2kg 2
Clave:
d
Clave:
a
27. Hombres: V → costo de c/plato: x + 20 Mujeres: M → costo de c/plato: x V(x + 20) + MX = 720
3 60 mín = 20 mín 3 Clave:
22. x = 10 + 1 x 2 1 x = 10 2 x = 20
ladrillo y medio = 30
Clave:
x=
6 × 60
9 × 40
360
360
→ V=6 Gasto V = S/. 60
23. 2x = 3x + 10 + 5 2 x = 30
×1 4
: 1 3
2 1 y= (55 – y) 4 y = 11
×1 3
–3
129
N
Yo tengo: 3x + 10 = 55
126 +3
: 1 3
Clave:
e
×1 3
–3
42
–3
39 +3
13
: 1 3
10 +3
Clave: Clave:
d
a
B usca soluciones
24. 8 – 26 – 14
Ediciones Corefo
e
N = 387 Pero quedan 10 litros → 387 – 10 = 377
Me queda: 55 – 11 = 44
Pág. 60
16 – 4 – 28 32 – 8 – 8 16 – 16 – 16
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
c
28.
Gasto:
5a – k 5
d
9h = 3h
T = 3h 20 mín.
e
26. 5x + k = 5a 5x = 5a – k
21. Tiempo total de consumo:
Clave:
SOLUCIONARIO
(x – 2m) (x + m) = 0 x = 2m
y=1
Clave:
1. Monedas S/. 0.50 = x Monedas S/. 0.20 = y 50x + 20y = 750
b
27
27
5x + 2y = 75
–2 –2
15
0
13
5
11 10 –2
9
15
7
20
5
25
3
30
1
35
–2 –2 –2 –2
+5 +5 +5
+5
60
188y = 98x → 99y = 49x → x = 99 y = 49 ∴ inicialmente 99 y 2(49) = 98
b
5.
–
SOLUCIONARIO
y x = 49 99
Clave:
c
Clave:
a
n = estaciones n(n – 1) = boletos (n + x) (n + x – 1) – n (n – 1) = 76 x(x + 2n – 1) = 76 sea x >1 ∧ múltiplo de 76 x Є {2; 4; 19; 38; 76} deduciendo x = 4; teniendo n = 8
No cumple y > x
6.
xmáx = 47 → suma de cifras: 4 + 7 = 11 c
Sea x libros vendidos a S/. 28 k = 28x
Normal
Suposición
Costo unidad
2 x
2 x+6
Costo Media doc.
12 x
12 x+6
compra de entradas a S/. 60 = S/. 60y
12 – 12 = 0,45 x x+6
sobra S/. 32
x = 10
k < 730
Para docena y media: 18 × 2 = 3,6 10
28x < 730 x < 26,07
Clave:
28x – 60y = 32 28
d
4. x + 100y = 10x + 2y → 2x + 200y = 100 + 2y
Clave:
3.
∑cifras = 3 + 9 + 2 = 14
2
8x + 8y + 8z = 1 600 3x + 5y + 8z = 1 200 5x + 3y = 400
44
13 +7 k = 28x = 392
+5
x + y + z = S/. 1 200 (* 8) 3x + 5y + 8z = S/. 1 200
55
+5 29
Clave:
2. x = pollos y = patos z = pavos
47
6
+5
Clave:
50 – 50
14
+5
Total formas es 8
28
a
Ediciones Corefo
7x – 15y = 8 (ecuación diafónica )
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
10. 230p + 430q < 1 500 23p + 43q < 150
Pollo vendido = x Precio = n xn + (11 – x) (n – 2) = 52
xn + 11n – 22 – xn + 2x = 52 n = 74 – 2x 11 Para n = 6
74 – 2x = 66 x = 4 (cumple) Para n = 6 74 – 2x = 66 x = 4 (cumple)
Q
Gasto
Litros
0
3
1 290
0 + 6n = 6n
2
2
1 320
2n + 4n = 6n
4
1
1 350
4n + 2n = 6n
6
0
1 380
6n + 0 = 6n
El mejor caso es 1 290 Teniendo 3q Clave:
c
8. 10c + r + 1 b = 100 …(1) 8 c + r + b = 100 …(2) I – II 8 c = 7 b 72 c = 7 ; b = 72
Clave:
e
e
Clave:
d
2a – 1 es um factor impar de 14. 2a – 1 = 7 a = 4, b = 7 47 + 2 = 49 ← cuadrado perfecto
x + y + z = 100…(I) 1° x – y ; 2y ; z 2° x – 3y ; 4y ; z 3° x – 3 ; 4y – z; 2z
12. Sean todos A 13 × 1,1 = 14,3 Faltan 2,2 Para 2b + 7c = 22
4y – z = 2x – 6y z = 10y – 2x …(II)
Ediciones Corefo
Clave:
9 + 5 = b(2a – 1) – 10a + 5 14 = b(2a – 1) – 5 (2a – 1) 14 = (b – 5) (2a – 1)
28
de I y II x + y + 10 y – 2x = 28
4 2 b = 4; c = 2; a = 7
28 + x
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
a
9 = b (2a – 1) – 10a
9. 1° 2° 3° X Y Z ← Grupos
y= 11 y = 4; x = 16; z = 8
Clave:
11. ab = número de matemáticas ab = 2ab – 9 10a + b = 2ab – 9
9c – 7 b = 0 → 72c = 7b
reemplazando en II 7 + r + 72 = 100 r = 21
P
SOLUCIONARIO
7.
Clave:
a 29
29
13. a + j + n = 100 3a + 2j + 0,3n = 100
2.
Para n = 10k a + j = 100 – 10k 3a + 2j = 100 – 3k
+2 Martes → tres días antes es viernes Estamos lunes Viernes –1 + 2 = sábado
a = 17k – 100 j = 200 – 27k a, j 0 6k7
Clave:
c
Clave:
e
Clave:
c
Domingo +2 = martes
Para k = 7 (a, j, n) = (19, 11, 70)
4.
Escogiendo el mínimo k = 6 Adultos = 2 Clave:
b
5.
B usca soluciones Pág. 66 Ayer = –1
Domingo = –1 + 2 + 1 – 1 x + 1 = domingo x = sábado sábado – 2 + 1 sábado –1 = viernes
x – 1 + 2 + 1 – 2 – 3 = lunes x = lunes + 3 x = jueves jueves – 1 – 1 + 2 + 1 + 1 + 1
6. x – 1 + 1 – 1 – 2 + 2 + 1 – 1 + 1 – 2 + 2 = lunes x = lunes x + 2 = miércoles
Pasado mañana = 2 Mañana = 1 Anteayer = –2 +2 x
Clave:
d
Clave:
d
–1
7.
Jueves Hoy miércoles +1 – 2 = –1 Será martes Clave:
b 30
x → domingo lunes Ayer fue lunes hoy martes 32 = 7 + 4 Martes + 4 = sábado
Ediciones Corefo
SOLUCIONARIO
a
1 semana
Para k = 6 (a, j, n) = (2, 38, 60)
30
Clave:
3. Lunes –1 + 2 + 1 + 1 – 2 = Hoy domingo + 2 + 5 + 2
17k – 100 0 ^ 200 – 27k 0
1.
+1 –2
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
8. 3 día = lunes + 1 mes → 3 día = lunes
7
03 de febrero a 03 de marzo ∴ 13 de abril = días son 41 41 = 7 – 1 Lunes – 1 = domingo Clave:
e
9. Días en un año = 365 365 = 53 × 7 ∴ Martes y miércoles = 53 Clave:
10. • •
b
13. Febrero empieza lunes y termina lunes Suma de meses 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 26 210 = 7 ∴ 26 de setiembre es lunes Clave:
e
14. 42 = múltiplo de 6 –1 + 1 + 2 + 2 + razono + 4 + razono razono + 4 x = razóni
a
Mes que cumple la condición es febrero. Mes siguiente marzo. L Febrero
7
Marzo
28 7
M 1
M 2
J 3
V 4
S 5
D 6
1 8
2
3
4
5
6
29 abril
Clave:
11.
L Enero
M 1
M
J
V
S
c
Clave:
b
cumple
Lunes + 60 días = lunes + 7 + 4 Lunes + 4 = viernes ∴ Viernes 29 de abril del 2016
d D
16. Jueves 11 de febrero Jueves 11 + 3 = domingo 1º de marzo = lunes → 3 de mayo = martes ← aniversario 150 150 años = 37 bisiestos y 113 años x + 37(2) + 113 = martes x + 7 + 5 = martes x = martes – 5 x = jueves
31 Febrero 1ro = viernes Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Set. 29 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 23 ∑ = 236 = 7 + 5 Viernes + 5 = miércoles Clave: b
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
15. Nacimiento miércoles 29 febrero 1984 32 años después = 2 016 8 años bisiestos y 24 años 8(2) + 24 = 40 = 7 – 2 Miércoles – 2 = lunes fecha de cumple
∴ En febrero lunes = 7; viernes = 4 7 + 4 = 11
Ediciones Corefo
Clave:
El único múltiplo es 28 = febrero
Clave: 31
SOLUCIONARIO
12. Mi + 1 – 2 + 1 – 2 + 1 – 1 + 2 Miércoles
a 31
17. Primer años bisiesto 1824 2008 – 1824 = 184 Tienes 46 años bisiestos y 138 Total días = 216(2) + 38
22. 11 febrero jueves 2010 ← nació 11 febrero 1910 ← ¿Qué día fue?
2010 – 1910 Días 100 4 ← 100 25
= 230 = 7 + 6
Viernes – 6 = sábado Clave:
25(2) = 50 = 7 + 1 Jueves + 1 = viernes
b
18. 4 años y 2 bisiestos Total: 8 días = 7 + 1 Jueves + 1 = viernes Clave:
c
Clave:
a
23. 2 010 – 1 850 160 años 40 años bisiestos 40(2) = 80 = 7 + 3 …(1) 3 de agosto es martes 31 = ? 1 + 31 – 3 = 29 = 7 + 1 → 31 es martes + 1 = Miércoles …(2) Del dato (2) en (1) Miércoles + 3 = sábado
19. 1642 hasta 2010 91 años bisiestos + 277 años Días = 91(2) + 277 459 = 7 + 4
x + 4 = sábado x = sábado – 4 x = miércoles 20. Total años = 2 bisiestos + 3 años Total días = 2(2) + 3 – 1
c
Clave:
e
140 años
Lunes + 6 = domingo
→ años bisiestos son 35 días son 35(2) = 70 Clave:
e
M
J
V
S
Clave:
e
Clave:
b
Clave:
b
25. 2 009 – 1789 = 220 años 3er centenario
21. Mes de 31 días M
Clave:
24. 2 011 – 1 871
=6
L
bisiesto
D
SOLUCIONARIO
220 + 80 años = 300 años
26. 2020 → año bisiesto → Ene Feb Mar
Mes siguiente 01 domingo 25 días = 7 + 4 – 01 ← primer día Domingo + 3 = miércoles
31 Miércoles Clave:
32
e 32
29
31
ab 30
May 4 Lunes
Ediciones Corefo
14 julio martes a 300 años será martes
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
6.
B usca soluciones
Abuelos, padres
Pág. 72 Padres nueva hijo
Abuelo Padre
su papá
Carlos Clave:
Hermanos Nietos Hijos
d
2. Abuelo Mamá de Luisa Luisa
yo
Juan
Es mi abuelo Clave: (Abuela)
c
Clave:
e
Clave:
d
Padre
7. Tío
3.
Clave:
Sobrino Pedro
Hija
Hijo
Esposa
Esposo
Carlos
d
(Tía abuela) hermanas
Primos
8. Hermano común de las 6 hijas 6 + 1 + 1 =8 Hijas hermano padre
Clave:
c
9.
4. Mi → Padre(abuelo) → Primo(Mi tío) Mi tío Hermano → hijo → Sobrino Clave:
(Padres) Esposos (Madre) Gálvez SOLUCIONARIO
1.
Hija1 Hija2 Hija3 Hija4 Hija5
b
Hermano
Ediciones Corefo
5. Esposos Ramírez Sobrino1
↔ V V V V S S S
H
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
Sobrino2
Total 12 personas
c 33
Sobrino3
Sobrino4
Clave:
d 33
10.
2
–
Padres
4
–
8
–
Abuelos Bisabuelos
14. Abuelo
16 tatarabuelos
16 =8 2 Clave:
(suegro)
Abuela (suegra)
Hijo
Nuera
d 2 hijas + 1 hijo Total 7 personas
hermano
11. M = 2a
hermanas
a
→ 2a – a – 1 = 3 → a = 4
15.
Total = 3a + 1 = 3(4) + 1 = 13 Clave:
Clave:
c
Clave:
b
Clave:
b
→ 83 años
c → 47 años
Puntaje dado → 5 × 5 = 25
12.
→ 23 años → 5 × 5 = 25 → 19 años → 5 × 5 = 25
bisnieto
→
172
= 14 = 6 + 6 + 2
16. 2 + 1 y 3 + 1 →6+1=6+1=7
Puntaje menor
Clave:
a
17. Total hijo es menor a 12 hermanos es múltiplo de 3 hermanas múltiplo de 5
Hermanos + yo + hermanas
SOLUCIONARIO
13.
Carola
3
+ 1 +
5
=9 Clave:
c
Clave:
a
Néstor
18. Janeth Hijo de Janeth
Iván Carmela Jesús
gra -
yer n
o
Esposos
Yo
Hija Clave:
34
sue
a 34
Ediciones Corefo
María
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
23. Un mellizo murió antes de las 12pm. Y el otro des-
Abuelos suegros
19.
pués de minutos (otro día)
Madre suegra
Padre hijo
El padre y Vladi nacieron el 29 de febrero. 1er mellizo 31 de diciembre 2do mellizo 1 de enero Padre de Vladi 29 de febrero No corresponde el 1 de agosto Clave:
Clave:
20. Familia Maravi
a
c
24. “Juan es sobrino de Alberto” Alberto tío de Pedro Pedro y Juan no son hermanos Juan y María son hermanos → Pedro y Juan son primos por tanto Pedro y Ma-
Familia Orellana
ría son primos
Clave:
c
25. Lourdes
M
c Diana
21. Carmen y Juan son esposos. Carmen es madrina de
Madre de
de
Por tanto: El hijo de José es sobrino natural y el hijo de Pedro
dre
de
Mamá de Hermanas Katy Estela
los hijos de José y Pedro, su esposo no es padrino.
Ma
Martha
Katy
Martha es tía de Estela y Diana y Martha son hermanos
es sobrino político.
Clave: Clave:
SOLUCIONARIO
Clave:
e adr
e
e
Ediciones Corefo
26. El padre de mi hijo → “Luis es padre del primer pasajero”
22. Alberto Bernardo
Delia Elena
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
César
“Luis es el esposo de mi suegra” → Luis es su suegro. ∴ Los pasajeros son esposos Clave:
b
Clave: 35
d 35
6.
B usca soluciones Pág. 81 1. x – (x – 19) = 9
Oscar
Pasado
P
Futuro
Oscar Alex
x–9 x
x–y
x x+9
∴ x – (x – 9) = 9
Clave:
x x x
e
7.
2.
Oscar
Pasado
Presente
Luis Hijo
18 0
2x x
18 – 0 = 2x – x Σ edades = 3(18) = 54 x = 18 Clave:
Presente
Padre hijo
x + 24 2(x + 8) x x+8
b
Futuro
x + 24 – x = 2(x + 8) – x + 8 ∴ x = 16
8.
Clave:
Pasado
Presente
Leticia Betty
x+9 x–6
x + 15 x
SOLUCIONARIO
9.
x + 9 = 2(x – 6) x = 21 Clave:
b
5.
36
Mamá = 48 x + (x + 2) + (x + 4) = 48 3x = 42 x = 14 ∴ Mayor = 18
Presente
Padre hijo
36 0
x y
+ y = 90 36 = x – y + y = 90 – y = 36 2x = 126 x = 63 y = 27 Oscar
Presente
Futuro
Padre hijo
13 49
x 3x
r
Pasado
Presente
Padre
4x – 3
4x
hijo
x–3
x
Manuel
Pasado
Presente
x
x + 20
x + 20 = 3x x = 10 Actual = 10 + 20 = 30
10.
Clave:
(+)
4x – 3 = 5(x – 3) 4x – 3 = 5x – 15 12 = x Actual = 4 (12) = 48
e
4. Oscar
Pasado
49 – 13 = 3x – x 36 = 2x x = 18 Años transcurridos 18 – 13 = 5
3. Oscar
Oscar
Presente
Futuro
Jose
7
x
Luis
25
3x
25 – 7 = 3x – x 18 = 2x x=9 Años transcurridos = 9 – 7 = 2
e
36
Clave:
c
Clave:
d
Clave:
c
Clave:
a
Clave:
b
Ediciones Corefo
Unidad
4
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Pasado
x–8
x – 10
x
x+8
x – 10 = 1 (x + 8) 2 2x – 20 = x + 8 x = 28 reemplazando: 2(28 – 8) = 40 años transcurridos: 40 – 28 = 12
12.
Pasado
Presente
Lucy
x
20
Roxana
10
x
13. AAlfredo 2x – 20 Karina
x – 20
17. Año nacimiento + Edad = Año actual
Presente Futuro
2x x
Suma de edades = 3(30) = 90
2(x – 8)
1abc + abc = 1974
1000 + abc = 1974
2abc = 974
Clave:
e
a + b + c = 4 + 8 + 7 = 19
hijo
b
Padre
a
2x
hijos
b
x
a – b = 2x – x x=a–b
Pasado
Presente
x
x + 42
e
Ediciones Corefo
c
72 = 6y
y = 12
x = 48
48 + w 3 = w=6 12 + w 1 ∴ Deben pasar 6 años
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
d
Clave:
c
Clave:
a
41+ 14 55
ignacio
9x
hijo
x
1968 9x+5
1993 9x+30
x+5
Pasado
Presente
x
x+n
Futuro
x + n = x2 1 900 – 1 998 x = 44 = x2 = 1 936 Nació Edad en 1 998 = 1 998 – 1936 = 62
Edad de B = y x – 8 10 4 = ; x = y–8 1 1 y x – 8 = 10y – 80 x = 4y
ba
1963
20.
b
16. Edad de A = x
ba – 1
9x + 5 = 5(x + 5) 9x + 5 = 5x + 25 4x = 20 x=5 en 1993 = 9(5) + 30 = 75
x2 = x + 42 x2 = x – 42 x = 7 ; x = –6 Edad = 7 + 42 = 49 Clave:
ab
ab+ ba 55
19.
Padre = 2(a – b) Años transcurridos = 2a – 2b – a a – 2b Clave:
ab – 1
Nos piden 41 – 14 = 27
2x – 20 = 4(x – 20) 60 = 2x x = 30 Clave:
abc = 487
18. Padre
x + x = 10 + 20 2x = 30 x = 15 Clave:
Presente Futuro
14.
15.
Clave:
d
B usca soluciones
SOLUCIONARIO
11.
Pág. 85 V = 144 km/h
1.
100 m
V = 144 Clave:
d
t= 37
e v
40 m
km 1 000 · = 40 m/s h 3 600 1 140 t= = 3,5 s 40
Clave:
d 37
2.
280 km t= (30 + 40) km h 260 km t= =t=4 70km/h
Clave:
b
9. V1 = 12
3. 1° distancia recorrida
V2 = 24
d = V.T
Vt = 36 km/h x 1000/3600 m/s
35(3) = 105 km
∴ 9: 00 a.m. + 7h = 4 p.m.
4.
3 60km h= 2 VA – 30km/h
3h vA – 30
3h · vA = 210 km km VA = 70 m
Clave:
a
d = v · t = 10 m/s · 12 s = 120 m 2VA · VB = VA + VB Vp = 37,5 km h
Clave:
b
Clave:
c
Ida: d=t·v
d = 2h · 30 km h d = 60 km
Vuelva: SOLUCIONARIO
60km = 6h . vv
60 km Vv = = 10 km h 6h
Clave:
a
Clave:
c
Clave:
e
El primero avanza 10 s m d = 40 × 10 s = 400 m s
Clave:
d = v1 × 10
t = 6h V2 Piura 8: 00 p.m.
7.
km km 30 h h km 80 h
240 km km 42 + 38 km h h te = 3h distancia A = 3h(42 km ) = 126 km h distancia B = 3h(38k km ) = 114 km h 240 km 12. te = km 42 + 38 km h h te = 3h distancia A = 3h(42 km ) = 126 km h distancia B = 3h(38k km ) = 114 km h t = 10h V1 Piura Chincha 6: 00 p.m. 4: 00 a.m.
6.
d
11. te =
d=v·t km 3 × h d = 70 2 h d = 105 km
2 50
10. Vp =
5.
Clave:
Vt =
km = 120km m
e
36 000 m = 10 m s 3 600 s Total tiempo = 12 s
d (105) km = = 7h v2 + v1 (50 – 35)km/m
Clave:
+
talcance =
38
separación 1s 30 – 10 = 20 t 1 000 1 00 = 50 s t= 20
c
38
V1 5k = V2 3k ∴ 2h
Chincha 2: 00 a.m.
d = v2 × 6
Dif. 2k = 2(1h) Clave:
a
Ediciones Corefo
8. d t= v1 + v2
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
13. Distancia = 40 km h
×
1 000 VB = 72 · 1 000 3 600 3 600 m VA = 10 VB = 20 s te = 2 000 30 1 000 ts = 30 3 000 ∴ te + ts = = 100 s 30
17. VA = 36 ·
4h
d = 160km 160km ta = = 160km km km 60 – 40 20 km h h h ta = 8h distancia de alcance ∴ d = 60 × 8h = 480 km
14.
V1 = x
1°
Clave:
e
103 m
Clave:
e
2.
∴ dt = 400 m
Clave:
d
3.
16. 8h = 240 km
a – b = 30km .............. 1 h 240 km 5h = a+b a + b = 48 km .............. 2 h a – b = 30 km + h
a + b = 48 km h
Ediciones Corefo
e
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
3x
5x
3(3)
Calculando campanadas en 1 hora 0: 00 2 0: 25 2 6 campanadas 0: 50 2 0: 75 En 12 horas 12(13)(25) = 722 ∴ 6(12) + 6
2a = 78 km h km a = 39 h b = 9 km h
1 – 12 p.m. 1día 1 p.m. – 12 a.m. n(n+1) 12(13) = = 78 × 2 = 156 2 2 ∴ entonces para 3 días 156(3) = 468
9: 00 h Clave:
b
Clave:
d
n(n+1)(2n+1) 6
∴
8 24 6 × 24 = 18 ∴ x = 8
4. Primeros números al cuadrado es:
1 + 2
Clave:
6 x
3x + 5x = 24 8x = 24 x=3 ∴ La hora de encuentro 3x
a–6
e
1. Campana segundos
(1200 m + dt) = 80 m × 20 s s 1 200 + dt = 1 600 m
Clave:
Pág. 89
15. d = (v · t)
e
B usca soluciones
147 m 2° V2 48m/s 250 50 = x – 48 50x – 50 · 48 = 250 ∴ x = 53 m s
Clave:
Clave:
a 39
SOLUCIONARIO
39
5. a = 30 h – 11 m para 9 : 26
2
a = 30(9) – 11 (26) 2 a = 127
Clave:
a
6. q = 30h – 11 m
2 11 m 60 = 30(4) – 2 m = 10 10 11 ∴ 4h 10 10 min 11
Clave:
1min < > 6º xmin < > 12q x = 12 q = 2q 6 600 300 x=2 = = 46 2 13 13 13 ∴ Son: 2h 46 2 min 13
Clave:
e
Clave:
d
Clave:
e
Clave:
b
Clave:
d
Clave:
e
9. a = 30h – 11/2m
c
7.
q = 30(3) – 11/2m
m = 180 = 16 4 11 11
∴ 3h 16 4 min 11
12x
12x x
α=
10. 90 = 30(4) –
45 7
14x = 90
1 min < > 6º
x min < > 12α
45 90 α = 2α → x = 2 = 7 7 6 90 6 x= = 12 min 7 7 6 ∴ Son: 6h 12 min 7
11 m 2
11 m = 30 2 60 5 =5 m= 11 11 5 ∴ 4h = 5 min 11
x = 12
Clave:
11. a = 30(6) –
d
∴ a = 15
11 (30) 2
12. 40 = 11m – 30(2) q
8.
a
a
SOLUCIONARIO
x
12q
2 200 = 18 2 m= 11 11 2 ∴ 2: 18 min 11 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18
a + θ = 30º
12q – a = 270º 12q – 30 + q = 270º 13q = 300
40
q = 300 13 40
11 α = 180 – 88
α = 92°
Ediciones Corefo
13. α = 30(6) – 2 (16)
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
14. 13α = 360°
2 30 1 mín < > 4° x mín < > 16α 45° x = 4α = 4α = 6 min 2
360° 13 1 mín < > 6° x mín < > 12 360° x = 2α = 2 α 13 5 720 = 55 x= 13 13 5 Marca: 6h 55 min 13 α=
Clave:
Clave:
B usca soluciones
b
Pág. 93
12
15. 9
α
3α
7
1
1.
2 q
c
→ α + θ = 30° 3
6
4
2
3
8
9
θ = 30 – α 12θ
7
α = 30 – θ
6
5
∴ Sumando los vértices: 9 + 1 + 5 = 15 Clave:
12θ – 3α = 180° 12θ – 3(30 – θ) = 180° 12θ – 90 + 3θ = 180 → 15θ = 270 °
4
θ = 18°
8
6
2.
do
2
2
2 14
1 mín < > 6°
14 1ro
8
6 10
12
4
2 14
x mín < > 12θ → x = 2(θ) = 2(18) = 36 min Clave:
a
3. 4
11 16. α = M – 30(H) 2
6
2
11 M – 30(2) 2 11 600 6 300 = M → M= = 54 min 2 11 11
240 =
7 Clave:
b
10 12 Clave:
e
Clave:
c
Clave:
e
5 1
3
8
∴ Suma de triángulos 12
c
SOLUCIONARIO
18. 15α = 45° → α = 45°
17. 4α = 360° 7
Ediciones Corefo
α = 90° 11 M θ = (30)H – 2 3 11 M → M = 27 min 90° = 30(8) – 11 2
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
4. 3 1 4 ∴ 1 + 8 = 9 5 6 8 Clave:
2
d 41
41
5.
2 5
8
6
4
3
10.
1 7
2
9
∴ 8 + 4 12
6.
3
13
8
11
12
9 7
10
4
8
4
Min
14
12
Clave:
d
12
5
10
11
8
4 d
Clave:
e
1
7
6
9
3
∴ 2 + 1 + 4 + 3 = 10
5 7
6
S
12.
3
2
11.
Clave:
7.
16
∴ máxima diferencia 16 – 2 = 14
∴ 6 + 12 + 7 + 10 + 11 + 9 + 13 + 8 = 76
1
8
2
6
5
c
6 18
10 Clave:
4
9
∴ Suma de triángulos 10.
a
2 S Clave:
a
b
c
d
e
f
g
S
h
1
2
3
6
5
S
4
Sombreado 3 + 6 = 9
SOLUCIONARIO
Clave:
9.
7 2 4
9 3
8 8
6 4
5
a+d+f=S e+f+g=S c+e+h=S b+c+d=S
a +b + c + d + e + f + g + h + d + f + e + c = 4S
44 + d + f + e + c = 4S
11 + d + f + e + c = S 4 min 11 + = S 4 ∴ 11 + 16 = S 4
∴ Sombreado: 3
Clave:
42
a
a 42
min = 2,3,4,7 S = 15 Clave:
b
Ediciones Corefo
8.
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
17
19
b
x
c
(17 – a) + (18 – b) + (19 – c) = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 (17 + 18 + 19) – (a + b + c) = 33 54 – (a + b + c) = 33 Clave: a ∴ a + b + c = 21
4.
b c
9 8 8 9
8 8 9 9
Ediciones Corefo
2.
∴ a + b = 6
Clave: 2 8 4
5 1 9
7 6 3
c
70 = 48° = 8° 108° = 9°
∴ Mayor suma en una diagonal 7 + 4 + 1 = 12 Clave:
b
6. x + (5x – 6) = y – 1 (propiedad) 2 6x – 6 = 2y – 2
6x = 2y + 4
3x = y + 2 … (a) Además: Clave:
∴ Total 6 2 U 3 1 U N I 2 5 4
x = 10 Clave: d
3 17 7 13 9 5 11 1 15
d
9 9 8 8
5
cambiamos filas Por columnas
se deduce
8 9 9 8
x = 2c – 4
3 13 11 17 9 1 7 5 15
48
(a + b + c + d) + 2 × 48 = 1 + 3 + … + 23 (a + b + c + d) + 96 = 12² ∴ a + b + c + d = 48 Clave:
Pág. 97
∴ x + 4 = 2c
5. se deduce
B usca soluciones 1.
6
d
48
5
c
4 5
(2x + 2) + (x – 1) = x + 2 … (propiedad) 2 3x + 1 = 2x + 4 x = 3 en (a) y + 2 = 3x
y + 2 = 3(3)
∴
x + y = 10
y=7 Clave:
SOLUCIONARIO
14. a
x+c+4=x+5+6 x=7
C
18
4
3.
a
13.
b
2 1
3
7. U 2 U = 4 ; I = 5 ; N = 3 U 1 ∴ La respuesta es 4; 3 y 5.
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
4
3
10
8
6
7 Clave:
5 8 cel: 18 9
10
a 43
43
4.
1
3
2
9
4
7
5
8
6
1
8
7
t V = 100 km/h
cel: 15
t–2
9 V = 150 km/h
∴ Producto 18 × 15 = 270
Clave:
e
T aller de practica Pág. 100 1. mónica
Presente x
futuro x + 16
x + 16 = 4(x – 14) x + 16 = 4x – 56 72 = 3x ∴ 24 = x
t = 6
d=v·t
Clave:
Yo
Pasado x–6
Presente x
v = 120 km/h
i
20 7= +1 i
i=
13 =
Clave:
b
Clave:
b
Clave:
b
10 3
T +1 i
∴ T = 12i
futuro x+4
T = 12 ·
10 = 40 3
6.
x–6=x+4 2 2x – 12 = x + 4 x = 16 ∴ Dentro de 10 años: 16 + 10 = 26 años
Clave:
d
a=
11 M – 30 H 2
a=
11 (38) – 30(4) 2
a = 11(19) – 120
∴ a = 209 – 120 = 89°
30 min V V+4
7.
17 a
d = 30 · v ; d = 24(v + 4)
30v = 24(v + 4)
v = 16 m/min
d = 16(30) = 480 m + 480 m = 960 m
i
b
h
Clave:
g 17
a 44
c f
e
d 17
Ediciones Corefo
d 24 min
44
d = 600 km
Piden:
e
SOLUCIONARIO
5. N° de caup. = T + 1
2.
3.
100t = 150(t – 2)
d = 150 (t–2)
d
∴ 600 = v · 5 Pasado x – 14
d = 100 t
d
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
a + b + c + d = 17 d + e + f + g = 17 g + h + i + a = 17
a + b + c + d + e + f +g + h + i + a + d + g = 17(3)
1 + 2 + … +9 + (a + d + c) = 51
12.
100 km/h
36 + (a + d + g) = 51
∴
ta =
a + d + g = 15 Clave:
8
3
7
2
6
1
400 m = 36 s 400 m/s 36
270° = c
b a
16
2a = 18 + b ; a + b = 48 2(48 – b) = 18 + b a = 48 – b 78 = 3b b = 26 → a = 22 Sonia dentro de 8 años tendrá 22 + 8 = 30 Clave:
10. Cristina Carlos
14.
a=
k + 16 s
k/s ;
a
Clave:
b
k2
a = k2 – 8
k + 16 5 k2 = 5
Igualando: k2 – 8 =
c
→ José tiene: a = 52 – 8 = 1 7 Unidad
Pasado Presente Futuro 5k – 4 5k 4k 4k + 5
5k – 4 = 4k + 5 k=9 Cristina tiene: 45 Carlos tiene: 36 Dif: 9 años
José
8
La unidad es 7.
Clave:
b
Clave:
b
SOLUCIONARIO
a
8 11 M – 30(2) → M = 52 11 2
9. a 18
Clave:
2
Suma de extremos = 4 + 5 = 9
Sonia Sandra
e
13. x = 11 (M) – 30 M
5 Clave:
Clave:
b
8. 4
60 km/h
Ediciones Corefo
10. Distancia: 180 m + 120 m = 300 m Velocidades: 7 m/s + 23 m/s = 30 m/s 300 m tcruce = = 10 s 30 m/s
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
45
45
6.
Busca soluciones
×
Pág. 105 –1
1.
N° de intervalo ×2 3 ×2 6
Clave:
×
3
Hora 3 6
N° de
Clave:
6 pm
SOLUCIONARIO
Clave:
b
N° de campanadas
N° de Intervalados
6 x
5 x–1
D.P. Tiempo (s)
÷4 ÷4
20 44 Clave:
b
10. Gráfico 1 H. actual 5 min
c Oh
t–5
24 h
t
Gráfico 2 ×
H. actual
4
Hora correcta = 5h 2 min – 32 min adelanto ∴ Hora correcta = 4 h 30 min. Clave: 46
–1
b
x – 1 = 11 ∴ x = 12
Clave:
4
c
7 p.m.
9.
4t = 18 h t = 4h 30 min ∴ H. Actual = 6 p.m. – t = 1: 30 p.m.
×
Clave:
72
5t = 10 h t = 2h ∴ H. actual = 9 a.m. + 2t = 1 p.m.
t
En Adel 15 min 2 min 1 hora 8 min 4 hora 32 min
d
10 horas
18 horas
5.
×
Clave:
3t
9 a.m.
De los 7 años a los 12 años campanadas
oh
9
H. actual
e
H. actual 3t
72
atrasa 10 min 720 min
2t
Intervalos tiempos ×2 8 16 × 2 17 x
∴ x = 34
×
∴ x = 72 h
N° de D.P
–1
En 1h x
8.
Clave:
campanas 9 18
4.
d
Tiempo(s) N° de intervalo 6 (a – 1) × (a + 1) × (a + 1) x (a2 – 1)
∴ x = 6(a + 1)
3.
×
D.P
–1
N° de campanas a a2
7.
Tiempos 6 x
∴ x = 12
2.
Adel 3 min x
∴ x = 27 min
D.P
N° de campanas 4 7
9
En 2h 18 h
t–5
Oh e 46
5 min
t
24 h
Ediciones Corefo
Unidad
5
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Del gráfico 1 y gráfico 2. (t – 5) + (t – 5) = 24 hora t = 12 h 5 min \ H. actual = t – 5 = 12m
11.
2t=3 t = 15 hora ∴ H. actual = 3p.m. + t = 4: 30 p.m. Clave:
a
15.
3h
1 p.m.
3 p.m.
2t + 50 = 2(60) → t = 35 min H. actual = 1 p.m. + t = 1: 35 a.m.
×
En Adel 15 min 15 s 60 min 1 h 60 s 1 min 12 h 12 min
4
En 1h 12 h
12
Atrasa 45 s 540 s 9 min
Clave: c
Clave:
16. t
×
×
×
6
×
Lunes
Clave:
c
Clave:
e
24 h
c
18 t = 24 4 t= 3 ∴ Hora actual = 11t = 2: 40 p.m.
6
18. H. actual t
Clave:
c
11 h
14. H. actual Ediciones Corefo
Clave:
7t 24 horas
30 h 1 día 6 horas
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
6 p.m.
H. actual
8 p.m. 2 a.m. \ Miércoles: 2AM.
7 min
13 min
2 horas
t 13 h
2t + 20 = 2(60) t = 50 min ∴ H. actual = 11h + (t + 7) = 11 h 57 min
t
3 p.m.
t
\ Dentro de 20 min serán = 5: 50 p.m.
11t
Miércoles
t
n min
→ H. actual = 5: 30 p.m.
17.
12
13. Atrasa 3 min 18 min
t
5 p.m.
4
c
H. actual
oh
Minutos separadas = 12 + 9 = 2 a las 8 p.m. En 5h 30 h
24 h
→ 7t = 5t + 6 t = 3h \ H. actual = 24h – (5t + 3) = 6 a.m.
12. ×
5t 7t
2 horas
3h
t
50 min
a
H. actual
H. actual t
Clave:
SOLUCIONARIO
6 p.m.
Clave:
3 horas 47
b 47
22.
Reloj que se atrasa H. Real
H. Marcas
30 min
20 días
Adelanto En Atrasa 1h 3 min × 10 × 10 10 h 30 min Reloj que se adelanta H. Marca
En 2h 480 h
10 octubre Lunes 12 M
×
10
Adel. 6 min 60 min
Luego: En 1h 120 h
→ MCM (240 ; 120) = 240 h
\ Tiempo total = 10 + 240 = 250 h
×
36
En 1 día x
Atrasa 20 min 720 min
×
21.
en 1h 60 min 10 min H. correcta inicial 3 PM
1. Datos a
Clave:
Clave:
b
Clave:
b
Clave:
e
5 5 3 = =2 6 2
e
4 4 1 = = 31 –5 3 d
H. marcada 5 : 40
\ 2 × 31 = 62 H
→ 11x min = 14h 40 min x = 80 min ∴ H. correcta = 5: 40 a.m. – x = 4: 20 a.m. Clave:
P x
3
=
P + H + 15 2
=
3 + x + 15 = 14 2
x = 10
14h 40 min
48
b
a = 4a – 3b b
2. Datos
3. Datos
x
2=
1 1 x+1 2
\ x = 7
adel 6 min 1 min H. correcta
a+b 2 (6 2) = x 6 2=x
Adel 6 min 720 min
Clave:
10x
Clave:
b=
(35 37)
36
\ x = 36 días
SOLUCIONARIO
10
20.
7 febrero Martes 12 M
Pág. 110 ×
→ En 10 h marcan la H correcta por 1 era vez. Atrasa 3 min 720 min
Adel 5 min 720 min
B usca soluciones
En 1h 240 h
+120 d
∴ Martes, 7 de febrero
Atraso En 1h 10 h
En 2h 576 h
M.C.M. (20; 24) = 120 día
H. Real
60 min
Adel 3 min días 720 min 24
e 48
5 2
10
= 60
Ediciones Corefo
19.
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
4. Datos
b a+3 + 5 2 10 x+3 x ∫ 10 = + =6 5 2 x=5 y 7+3 + =6 7 ∫ y = 5 2 y=5 ∴ x + y = 10
11. Dato: a ∫ b =
P * Q = 6P + 2Q M = (5 * 12) * (14 * 6) M = 54 * 96 ∴ M = 516
Clave:
a
5. Dato: a * b = 2a + b (x * 3) * (1 * 2) = 14 (x * 3) * 4 = 14 (2x + 3) * 4 = 14 4x + 10 = 14 ∴ x = 1
Clave:
Clave:
c
Clave:
b
Clave:
a
Clave:
b
b ( )9
6. Dato:
x + 1 = 2x + 1 ×2;
12. Del dato:
–1
3
x *
( )9
Clave:
Dato: 4 + 6 = 7 + 11 = 35
c
y = x3 + y2 ( )4
2 * 2 = 512 + 16 = 528 ( )4
7. Dato: m * n = 3m – 2n
a = 4
2 * a = 3(2) – 2a = –2 ∴ a2 * 2a = 32
Clave:
c
13. Dato: 8.
a d
b =a×c–b×d c
4 6
1 5
+
3 1
x y
=
a = a + 2 ; si a es par 2 a a = + 3 ; si a es impar 3 3 = 2 =2
5 x
1 y
14 + 3y – x = 5y – x ∴ y = 7
Clave:
d
5 =6
\ 3 –
3 + 3 =1 15
9. Del datos: x = 3x + 6 x3 ; + 6
x + 1 = 3x – 6
x+1=x–4
x3 ; + 6
\ 10 = 36 = 31 x3 ; + 6
–5
14. Dato:
–5 Clave:
a
Ediciones Corefo
10. Dato: a * b = a2 – ab
a * b = a (a – b) (x + 2) * (x + 1) = 3x – 4 (x + 2)(1) = 3x – 4 ∴ x = 3
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
SOLUCIONARIO
Clave:
d 49
a * b = a(b * a)2 b * a = b(a * b)2 → a * b = a(b(a * b)2)2 1 a*b=3 2 ab 1 ∴ 16 * 2 = 4
49
15. Del dato: x = x ... (1)
x
= 8x + 7 ... (2)
I en II
x = 8x + 7
→ x = 2x + 1
∴ 4 = 9
Clave:
16. Dato:
a * b2 = – ab + 2( b * a2)
b * a2 = – ba + 2( a * b2)
a
2
2
2
a * b = ab + 2(–ba + 2( a + b ) 2 a *b =a·b 4 ∴ E = ( 3 * 2) ÷
6 =1
Clave:
; +3 = 16n + 3
2n + 1
; +3 2n + 1 = 8n + 3 3 = 11 = 25 = 99
4
∴ E = 99 + 89 = 188
SOLUCIONARIO
1
x2
x
1 2
1 2 1
x2
50
x
(5 # 0)
n = n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1)
2x – 5 = 13 800 = 23 × 24 × 25
2x – 5 = 24 = 2 × 3 × 4
Clave:
(n – 1)(n + 2)
–3 Luego
d
b
Clave:
c
= (n + 5)(n + 8) –3
x3 + 13
= 1
1 16
16
Clave:
= 4 420 = 65 × 68 –3
En 10mo Operador 59 × 62 6 ( 10 ) + 2 53 × 56 6 ( 9 ) + 2 En 9no operador 47 × 50 6 (8) + 2 En 8vo operador En 1er operador 5 × 8 = ← 6(1) + 2 3 → x + 13 = 40 ∴ x = 3 Clave: b
1 2
1×4 4×4
Clave:
n2 + n– 2 = n2 + 13n + 40
10 operaciones
1 2
a
2x – 5 = 3 ∴ x = 4
b
= 12
Clave:
= (1 # 2)m
= 1 2 1 1/2 x = 16 x = 2–8
E = (1 # 2) (3 # 4) E = 12(1)m = 1
18. Datos a×b=a 1 (x a x) = 2 x 2 x = 1 2
3×2 2
\ x = 1 2
2x + 1 = 2
= 11 = 43 = 89
2x + 1 = 3 =
4×3 2
22. Datos
; –1
=6=
(a # b)c = aabc
×2
×4
2x + 1
7×6 2
21.Dato:
b
2n – 1 = 4n + 1 ×2
= 21 =
2x + 1
17. Datos
(x + 1)x 2
20. Dato:
→ a * b = – ab + 2(–ba + 2( a * b )) 2
x =
d 50
Ediciones Corefo
19. Dato:
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
x = n2 – 1
;
n
= n–2 –2
= (n – 2)2 – 1 = 0
2
4
∴ N ° de triángulo = 3 × 4 + 4 = 16 Clave:
2
( ) ; –1
2
(n – 2) – 1 = 0 (n – 3)(n – 1) = 0
1
3
–2
( )2; –1
3
n =n–2
n = 3 Ú n = 1
Clave:
6.
c
1 23
Busca soluciones
3×4 =6 2
2
3
32
33
33 × 34 ∴ Total de segmento = = 561 2
v
1 2 34
a
2
3
4
5
6
3.
H 1 2 3 4 5
v
2
3
4
7
8
9
10 11 12
3×4 =6 2 4 cuadriláteros
3×4 12 × 13 × = 468 2 2 H V Clave: e
5
∴ N° de cuadriláteros = 6 + 10 + 4 = 20 Clave:
4.
Ediciones Corefo
3×4 =6 2 2 3 4×5 = 10 3 4 2 2 1
∴ N° de cuadriláteros =
c
Nivel II 8.
N° de cuadrados = 52 + 42 + 32+ 22 +12 = 55 5×6 2 = 225 2
Clave:
1
b
H
v
c
4×5 = 10 2
1 23
∴ Total de cuadrilátero =
5 triángulos AFD; AFC; BFE; BED; CFE ∴ N° de triángulos = 6 × 5 + 5 = 35 Clave:
H 1 2 3
D
7. Clave:
2.
C
F
E
1. 1
B A
Pág. 115
b
1 2 3
3
2
H V 2×3 ×4 3 × = 18 ∴ total de trapecio = 2 2 Clave:
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
SOLUCIONARIO
3
5.
23. Datos:
b
∴ Total de triángulos = 6 + 10 + 3 = 19 Clave:
51
d 51
9. 34
2
1
13.
5 × 6 × 3 = 45 2
5
H 1
2
2
v
3 4
1
5
2
H
3 3
3 3
Clave:
d
∴ N° de triángulos = 28 + 21 + 10 + 3 = 62 Clave:
c
3
∴ Total de triángulos = 45 + 3 × 5 = 60 Clave:
14.
d
7 × 8 = 28 2
10. 1
2
3
1 234 5 6 7 1 2 3 4 5 6
4×5 = 10 2
4
1 2 1
2
3
6 × 7 = 21 2
4
4 × 3 = 10 2 2×3 =3 2
2
4
∴ Total de cuadriláteros = 10 + 2 + 4 = 16 Clave:
11.
H v
1 2 31 42 53
2
2×3 5×6 × = 45 2 2 H
2
3
1 2 3 2 3
4 × 5 = 10 2
5×6 3×4 × = 90 2 2
7 × 8 = 28 2
6 7
N° de cuadriláteros = 28 × 10 – 8 = 272
1 3
3
N° cuadriláteros = 19
2 3
∴ N° de cuadriláteros = 272 + 19 = 291 Clave:
a
3×4×7 = 14 6
16. 2
1 123
b
3×4 × 5 = 30 2
3 4 5
1
52
5
Con las diagonales contamos
14
4
3
∴ Total de rectángulos = 45 + 90 – 18 = 117
12.
3
4
5
Clave: SOLUCIONARIO
1 2
2
2×3 3×4 × = 18 2 2 (Intersección)
4
15. Sin las dos diagonales interiores:
d
∴ N° de cuadrados = 14 × 2 + 3 = 31
5×6×4 = 60 2
Clave:
d
∴ Total segmentos = 30 + 60 = 90 52
Clave:
e
Ediciones Corefo
v
5×6 2×3 × = 45 ∴ N° de paralelogramos = 2 2
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
17.
Busca soluciones
123 1 2 3 2
Triángulos
3 4 5
Pág. 120
3 × 4 × 6 = 36 2
1. Dato : 1V y 2F Caja ploma: el anillo no esta aquí ( F ) El anillo si esta aquí Caja negra: el anillo no esta en la caja marrón. ( )
N° de cuadriláteros = 3 × 4 × 5 × 6 = 90 2 2 \ 36 + 90 = 126 Clave:
18.
e
∴ El anillo está en la caja ploma.
*
1 2
2x3 2
*
*
CONTRADICCIÓN (V Ù F)
Clave:
∴ Debió elegir el cofre azul.
Clave:
triángulos sin * 2 + 3 = 5
*
d
En el blanco dice: la llave de la celda no está en el cofre rojo. ( ) Si esta en ese cofre ( F ) CONTRADICCIÓN (V Ù F)
Total triángulos = 9 + 18 = 27 *
2
)
En el rojo dice: la llave de la celda está en este cofre. ( ) En el azul dice: la llave de la celda no está en este cofre – SI ESTÁ EN ESE COFRE. ( F )
123
9=
(
2. Dato : 1V y 2F
3 × 4 × 3 = 18 2 *
Caja marrón: el anillo esta aquí.
b
3
∴ Triángulos con al menos un * = 27 – 5 = 22 Clave: 19.
d
2 cuadriláteros: uno concavo y otro convexo
3. Dato :
1V y 2F
Eduardo:
Yo no fui
Patricio:
Raúl pateó la pelota
(
)
Raúl:
Patricio miente
(
)
( F ) el sí fue.
Eduardo es el culpable.
1
10
Clave:
∴ Debió elegir el cofre azul. e
Miguel: Yo no fui 1
2
19 Ediciones Corefo
19 × 20 2
3
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
2 = 380
CONTRADICCIÓN
CONTRADICCIÓN (V Ù F)
( V; F )
Mario: Fernando miente al decir que fui Yo ( V )
20
19 × 20 × 2 = 380 2 ∴ total de triángulos = 380 + 20 = 400
( F ) Él si fue.
Fernando: Mario fue ( F ) ×
d
4. Dato: 3F y 1V
20. 1 2
Clave:
SOLUCIONARIO
9 1 2 2 2 3
CONTRADICCIÓN (V Ù F)
9 × 10 2×3 × 2 = 270 × 2 2
David: Yo la robé Clave:
(F)
∴ Mario dice la verdad
c 53
Clave:
b 53
5. Dato : 1V y 2F
9. Dato : 1 F y 3V
El anillo
El anillo no está en el cofre C
El anillo está aquí
no está aquí (F)
(
Sí está aquí
∴ En el cofre A
)
(
Ana: Yo tengo 28 años ( V ) Beatriz: Ana tiene 30 años ( F ) Beatriz tiene 32 años Carmen: Yo tengo 31 años ( V ) Daniela: Yo tengo 30 años ( V ) ∴ EAna + EBeatriz = 60 años Clave: a
)
10. Dato:
1F y 3V Ricardo: Yo recibí S/. 2. Juan: Yo recibí S/. 6. María: Ricardo recibío S/. 4 Xiomara: Yo recibí S/. 4. María recibió S/. 3. ∴ CMaría + CJuab = 9 soles
contradicción (v Ù F)
Clave:
d
6. Dato: Una contesto correctamente. Otra falló en todas. Las otras dos fallaron solo en una cada una. TODAS SUS RESPUESTAS SON DIFERENTES
Pregunta 1 2 3
María V V F
Lucía V F F
Irene F F V
Clave:
del grupo 2 miente.
(
)
Representante del grupo 4: nosotros no fuimos ( F )
Clave:
d
(
Sonia: Yo no soy casada
(F)
(F)
Flavio:
Fiorela y Eliza siempre dicen la verdad ( F )
Eliza:
Fiorella miente
(V)
CONTRADICCIÓN
SOLUCIONARIO
Miriam: Angela es la casada …
) Clave:
d
∴
Enrique robó la joya Carlos es inocente Dario robó la joya Enrique – es inocente Pablo robó la joya
(F) (V) ( F ) (V) (V) Clave:
Pablo robó la joya
a
13. Dato: 1F y 3V No hubo Liliana: Maribel: Paulina: Sara:
Fiorella y Flavio mienten y Eliza dice la verdad Clave:
)
∴ Sonia es la casada
Pablo: Enrique: Rubén: Dario: Carlos:
teny los que siempre dicen la verdad
54
(F)
Uno de los mentirosos es el ladrón
8. Dato: Dos tipos de personas: Los que siempre mien Fiorela: Flavio siempre dice la verdad
Lucia: Miriam es la casada
12. Dato : 2F y 3V
ellos fueron.
∴ El grupo 4 es el culpable.
(F)
CONTRADICCIÓN
Representante del grupo 3: El representante
Nilda : Lucia es la casada
Ángela: Miriam mintio cuando dijo que soy yo la casada (
a )
e
Solo una es casada
7. Representante del grupo 1: El grupo 2 fue ( F ) Representante del grupo 2: El grupo 3 fue (
Clave:
11. Dato : 1v y 4F
Flora F V F
Solo una es diferente. ∴ María acerto en todas las preguntas.
(V) (V) (F) (V)
e
empate No quedé primera ni última Yo no quedé última Yo fui primera Yo fui última
∴ Maribel ganó la carrera
54
(V) (V) ( F ) (V) Clave:
b
Ediciones Corefo
C
vÙF
B
CONTRADICCIÓN
A
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
6.
14. Dato : 1F y 3V No hubo empate Yo tengo 15 años Yo tengo 18años Marco tiene 17 años Yo tengo 17 años
(V) (V) (F) (V)
∴ EMarco + EVictor = 32 años
2×3 × 5 = 15 2 ∴ Total de segmentos = 15 + 21 = 36
(V Ù F)
Clave:
d
3 Robaron la casa Edades: 30; 32; 34; 36; respectivamente.
Tiempo(s)
N° de intervalos
5
4
x5
7 \ x = 30s
6
x5
–1
ALVARO: ROLANDO: PABLO: DANIEL:
20 Clave:
2.
d
Nº DE CAMPANADAS Nº DE INTERVALOS ÷5 5 4 ÷5 7 x–1
Tiempo (s) 20 60 Clave:
x5 ; +1
2 = 11
en 30 min 1h 60 min 8h
d ×
x = 5x + 1
(F) (V) (F) (F)
Rolando no robó Clave:
4
adelante 4 min 8 min 64 min
×
2
×
2
∴ H. Marcará = 10 h 32 min 20s + 64 min = 1h 36 min 20s Clave:
Clave:
d
4. Del dato: m * n = m – n
1 (19 * 3)–1/4 = 16–1/4 = 2
Clave:
×
b
5.
en 3h 12 h
4
adel 2 min 8 min
×
4
∴ H. Marcará = 6: 35 a.m. + 12 h + 8 min = 6: 43 p.m. Clave: 12
Ediciones Corefo
a
9. Dato :
x5 ; +1
3
N° de ángulos menores = 4 × 5 = 10 2 de 180° Clave:
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
e
10. Datos:
4
c
8.
3. Del dato:
Yo no robé Alvaro miente Rolando miente Rolando robó la casa
∴ 30 + 34 + 36 = 33, 3 3
D.P.
∴ x = 13
c
7. Dato : 1V Ù 3F
T aller de práctica
1. N° de empanadas
Clave:
SOLUCIONARIO
Pag. 124
6×7 = 21 2
1 2 3 4 5 6
CONTRADICCIÓN
Marco: Lucio: Carlos: Victor:
2
x = 2x ; ×
2
x = 3x – 1 ; x = 2x + 1 ×
3; – 1
×
2; +1
a 55
55
14. Datos: 1V ∧ 3 F
Del dato: n – 4 + 4 + 5 = 26 ×2
×3 –1
×2 +1
2n – 8 + 11 + 11 = 26 ∴ n=6
Clave:
Luana: Obtuve 20 puntos ( F ) Valeria: Yo no obtuve 20 puntos ( F ) Romina: Valeria dice la verdad ( F ) Gisela: Liliana miente ( V ) Valeria: hizo 20 puntos en Ciencias Clave:
a
11. Dato: a × b = ab 2(x × x)= 2 xx= 2 = 2– 1/2 2 1 1 2 x x = 2 Clave:
en 45 min 3 h 180 min 7h
b
12. d
e
f
g
Triángulos Una letra : a; b; c; f; g 2 letras: ac; cf; be; eg 3 letras: abc; dfg ∴ 6 + 4 + 2 = 12
SOLUCIONARIO
1
2
6 4 2 2
1 2 5 × 6 = 15 3 2 4 5
1
2
3 4
5
m * n = n * m + m n m*n n * m = +n m mn(m+1) → m*n= mn – 1 2 * 1 = 6 ; 1 * 2 = 4 M = 64 = 1 296 ∴ N° de triángulos = 15 × 3 + 1 = 46
4
Clave:
c
18. Dato: ( a + b )
1 2 3 4 5 Clave:
e
Clave:
d
2×3 ×5 2 Clave:
1 3
0 = (3 + 0)2 = 9
∴ M = 5
d
Clave:
b
56
( a – b ) = 4a
Suma ( )2 – 1 = (1 – 1)2 = 0
2
56
c
17. Dato:
5 × 6 × 3 = 45 2 5 34
∴ N° de triángulos = 45 + 15 = 60
min 18 min 40 s
∴ N° de triángulos = 15 × 3 + 1 = 46
1
B=
56 3
16. Datos: 1V ∧ 3 F
Cuadriláteros 1 Una letra: d 4 2 letras: ad; bd; df; dg 2 3 letras: adg; bdf 5 letras: acdfg; bdefg; abcdf; abdeg 1 7 letras: abcdefg 1 + 4 + 2 + 4 + 1 = 12 \ … 12 + 12 = 24
13.
adel 2 min 8 min
∴ H. marca = 1h 42 min 40 s + 18 min 40 s = 12 h 1 min 20 s Clave:
b
c
d
15.
∴ x = 2–1
a
Solo una hizo 20 puntos
9 = (5 + 9)2 = 196
Ediciones Corefo
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
S uperalo
19. Dato: Dato: c/u una V y una F
1.
No hubo empates Carlos: Gerardo fue primero. ( V ) Cesar fue segundo. (F) Cesar: Gerardo fue segundo. ( F ) Alberto fue tercero. (V)
2
3
4
N° de cuadrados = 42 + 32 + 22 + 12 = 30 Clave:
Gerardo: Alberto fue último. ( F ) Carlos fue segundo. (V) Gerardo ganó la carrera. ∴ Gerardo ganó la carrera
1 2 3 4
c
2. Dato: 1F Ù 3V. Clave:
20; 5; 4 y 2 canicas tienen.
c
Pedro: Carlos: Alberto: Luis:
Yo Yo Yo Yo
tengo tengo tengo tengo
(V)
más que Carlos. (F) el doble de canicas que Luis. ( V ) 2 canicas. (v) 4 canicas. (v)
Pedro tiene 20 canicas. Clave:
e
Ediciones Corefo
SOLUCIONARIO
CLuis + CPeddro = 24.
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
57
57
Unidad
6
6. Se observa que:
B usca soluciones Pág. 131 1. Sea el peso total "x"
5x = 55 11
→ x = 121 kg
x = 55 +
6 (x) 11
Clave:
2.
H=
H Horas que transcurren
2 6 V + 3 + V – 39 = V 5 7
44V 9V – 36 = V → = 36 35 35
V = 140
Piden: petróleo =
7.
2 – 7 T
3 (24 – 4) 5
Clave:
2 (140) + 3 5
= 59
Clave:
c
Clave:
c
Clave:
c
Clave:
b
b
24 – H Falta transcurrir
→ H = 9 a.m.
b
3 – 8 5 T 7
5 T 7 25T 5 5 x T= 56 8 7
3. Sea “x” el número:
2x 6x 3x + – = 21 20 40 40
4x + 6x – 3x = 21 40
→ x = 120
4. Sea la fracción: a b a+b a Por condición: =5. b+b b a+b a → = 5 . → b = 9a 2b b 1 a ∴ = 9 b
SOLUCIONARIO
8.
1 x 2x + 2 x 3x – 3 x x = 21 5 5 8 8 5 4
58
41 16 3 →f= f 25 25 16 2 5 → 1= f →f= 25 4
3 B 7
2 – 5 S2: B Clave:
c
Clave:
Total comprado:
Queda sin usar:
f + f3 = f3 .
Clave:
b 58
2B 3 3 36 B+ B= B 7 5 35
36 35 18 f= = 35 2
9. t1 = 20h
d
3 B 5
5. Sea la fracción: "f"
4 – S1: B 7
;
1 1 1 + = 20 30 T
→ T = 12h
t2 = 30h
Ediciones Corefo
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
10. tA = 6 hrs ; tB = 10 hrs
14. En una hora
A en 2 hrs lleva 1 faltando 1 3 3
A y B lo llenan en 12h:
Llenan: 1 V 12
1 – 1 = 2 → 2T = 20 6 10 3T T = 10h
A lo llena en 28h:
Llena: 1 V 28
∴ TT = 12h
B en 1 hora hará:
1 hrs V 21
t V
b
11. Juan hace la obra en "n" días: En un día 1 n Pedro hace la obra en "2n" en un día: 1 2n Juntos en 1 día harán: 1 + 1 = 3 n 2n 2n
8 días 1 obra
∴ n = 12
Clave:
12. Sea el volumen total Habían (estaba lleno) Se saca Quedan Lueo: 3V 2 V– = 8 000 5 3 V = 120 000
c
V 2V 3 8000 3V/5
Ediciones Corefo
Gasté en chocolates
A lo llena en 8hrs
C lo llena en 10hrs
Juntos en una hora harán:
1 V– 1 V– 1 V= V 4 8 10 40
e
x x 3 4x 10
Descargo: 1 V 4 1 Llena: V 8 Llena: 1 V 10
En 1 hora V 40 t V
→ t = 40h
16. Total caramelos
Clave:
b
Clave:
c
x
Toca añ 1ro
x 4
Toca al 2do
x 8
Toca al 3ro
x 2
Toca al 4to 6 x x x + + + 6 = x → x = 48 8 2 4
x 4x 11x Gasto total: + = 3 10 15 11 ∴ He gastado de lo que tenía 15
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
= 40 000
Gasté en helados
A lo descarga en 4h
2 × 120 000 = 80 000 3 Faltan para llenarla: 120 000 – 80 000
13. Tengo (tenía)
Clave:
c
15. En una hora
Pero solo estaba lleno:
→ t = 21h Clave:
Juntos en 1 día harán 1 día 3 obra 2n
1 V– 1 V= V 28 21 12
SOLUCIONARIO
Clave:
∴ Toca al 2do: Clave:
c 59
48 =6 8
59
B usca soluciones Pág. 136 1. 1 5 9 13 17 ?
+4
+4
? = 17 + 4 = 21
+4
+4
+4
Clave:
6.
+2
F
F
Hay dos sucesiones 1ra Serie (alfabética)
e
+4
+3
+4 2
2
+6
5
6
+8
10
12
20
F
+5
+6
E
+2
G
+4
7
K
+6
P
+8
11 17
? 2da Serie (numérica)
3
6 +3
10
15
+4
+5
+6
x = 17 + 9 = 26 Clave:
= 15 + 6 = 21 →
c
El término fue falta es:
3. 5 15 45 135 x
x3
x = 135 x 3 = 405
x3
x3
x3
4.
B
K
E
O
LMNÑ
H
T
K
PQRS
21 Clave:
tonces buscamos la ley de formación de cada uno:
?
3
7 +4
UVWX
11 +4
+4
El número que sigue es 15
?:...... Y ...... Clave:
e
7. Vemos que es una suceción de números y letras, en-
b
1ra Serie:
x
Clave:
F
= 17 + 8 = 25 → x
17
+3 +5 +7 +9
+8
+4
5
2.
+6
2da Serie:
a
G
H
+1
I
J
K
L
…
+1
5.
A
D BC
1
G EF
4 +3
J HI
7 +3
M KL
10 +3
Clave:
13 +3
8. Buscando la ley de formación en cada figura I:
16 +3
(8 + 4) – 2 = 10 (3 + 2) – 3 = 2 (12 + 1) – 5 = x x=8
La letra 16 es O Clave:
60
b
NÑ
c
Clave: 60
b
Ediciones Corefo
SOLUCIONARIO
La letra que sigue es M
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
9. Trabajando con los vértices opuestos:
14. La razón es 3
x x x x
3 3 2 2
= = = =
3 9 12 4
–11 43
–11
7
32
d
21
a
dato: 18n + 75 = 147 → n = 4 Clave:
15. 1ro d
Clave: 14 +4
18 +4
10 +4
a=7 ^ r=6
Clave:
16. t5 = t1 .q4 = 48 ; t1 = 3
+4
Clave:
r=3 ;
a=
27
→q=2
Piden: t2 + t4 + t6 = 8 x 2 + 3 x 23 + 3 + 25 = 126
3 2
;
tn = an2 + bn + c
tn =
t40 =
a1 a2 a3
+3
b=1–
Dato:
3 3 = 1– 2 2
3 1 (40)2 – (40) + 5 2 2
∴ t40 = 3 385 Clave:
10
a1 + a2 + … + a6 = 270 → a1 + a6 x 6 = 270 2
→ a6 = 80, pero a6 = a1 + 5r
3 2 3 n – n+5 2 2
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
+r
17. Tenemos la suceción 10; x; y; a4; a5; a6; …
40 …; t40
c = to = 6
c
b
+7 +10 +13 +3
b
e
Clave:
17
+3
Ediciones Corefo
a + 7r = 7a
+r
6
8vo
Por dato: 8a + 28r = 224
22
r = 4 ; to = 6 – 4 = 2 tn = to + rn = 2 + 4n t30 = 2 + 4(30) = 122
13.
d
a , a + r , a + 2r , a + 3r , … a + 7r
11. Analizando: Figura I: ( 2 . 2 2 ) – (1 . 2) = 4 – 2 = 2 Figura II: ( 3 . 3 3 ) – (4 . 3) = 9 – 12 = –3 Figura III: (4 4 . 4 ) – (8 . 2) = 16 – 16 = 0
+4
x3 Clave:
10
n + 5 ; 3n + 8; 3n + 11 ; 3n + 14 ; 3n + 17 ; 3n + 20
b
a = 63 ; b = 10 → a + b = 73
6
tn + 4 = 3n + 17 = 29
–11
21
x3
12.
Los seis términos consecutivos
tn ; tn + 1 ; tn + 3 ; tn + 4 ; tn + 5 ; 3 Clave:
10.
tn = 3n + 1
80
10
∴ r = 14 Entonces: x = 24; y = 38 ∴ x + y = 62 Clave:
a 61
SOLUCIONARIO
1 3 6 2
y
b 61
18. Término general: 207 – 7n
6. n (n + 1) (2n + 1) = 385 6
207 – 7n = 0 → n = 29
Con n = 30 → 207 – 7(30) = –3 que es el 1er término negativo
–10 –7
–17 –7
El 3er término negativo
Clave:
7.
e
x (x + 1) 2
B usca soluciones Pág. 141 1. Por suma de impares: (2n – 7) + 1 2
2
S=
40(41) (81) = 22140 6
Clave:
10 S = 1 + 2 + 3 + … + 30
10 S = 30(30 + 1) → S = 30(31) 2 2
∴ S = 93 2
SOLUCIONARIO
x(x + 1) = 40(41)
x = 40
Clave:
Clave:
Clave:
e
Clave:
c
a = 60
b (b + 1) = 4 032 = 63 (64) → b = 63 ∴ a + b = 123
e
9. S =
1 + 1 + 1 +…+ 1 1x2 2x3 3x4 40 x 4
r=1
S = 1 r S = 40 41
b
r=1
r = 1
1 – 1 = 1 a 1 an 1
r=1
1 – 1 1 41
Clave:
b
Clave:
a
2
= 44100 → n(n + 1) = 210 2
De donde n = 20
10. Clave:
d
S = 48 x 49 – 17 x 18 = 1176 – 153 2 2
∴ S = 1023
a1 . a2 . a3 … an = a20
n
n
a
a 62
n(n + 1) 2
= a20
n(n + 1) 2
= a20 → n + 1 = 20 2 → n = 39
a Clave:
n
a1 + 2 + 3 +…+ n = a20
5. S = (1 + 2 + 3 + … + 48) – (1 + 2 + … + 17)
62
2
4. 13 + 23 + 33 + … + n3 = 44100
x(x + 1) = 820 2
8. a (a + 1) = 1830 → a (a + 1) = 60 x 61
d
3. Por "10" a ambos miembros
n(n + 1) 2
= 900 = 30
2n – 6 = 30 → n = 33 2
b
= (820)2
2
2. S = 12 + 22 + 32 + … + 402
2
Clave:
Ediciones Corefo
–3
n (n + 1) (2n + 1) = 2310 n (n + 1) (2n + 1) = 10 x 11 x 21 Comparando: n = 10
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
16. Sea la P.A.
11. Extraemos factor común 23
(a – r) ; a ; (a + r) I. a – r + a + a + r = 33 → 3a = 33 a = 11 II. (11 – r) . 11(11 + r) = 1232
E = 23 (13 + 23 + 33 + … + n3) = 8 n (n + 1) 2
2
2 2 = 8 . n (n + 1) 4
112 – r2 = 1232 11 de donde: r = 3 ∴ # mayor: a + r = 14
E = 2n2 (n + 1)2 Clave:
d
12. Sumamos dos términos y resulta (1).
S = 1 + 1 + 1 +… + 1 → (85 término) S = 85(1)=85
Clave:
donde n: 1, 2, 3,…,10
S = n(n + 4) = (n2 + 4n)
10
10
n=1
n=1
Clave:
b
∴ S∞ = 4
S = 10 x 11 x 21 + 4 10 x 11 = 605 2 6
n
n
Clave:
b
18. n2 = 169 → n = 13
(4k + 3)
(2n – 1) = 2(13) – 1 = 25 2y – 2 = 25 → y = 9
k=1 n
= 2n(n + 1) + 3n = 2n2 + 2n + 3n = 2n2 + 5n
Clave:
B usca soluciones
c
Pág. 145
15. (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) +…+ (n + 500) = 999 (n + 1)
Ediciones Corefo
a
1 1 4 q= = 2 1 2
= 4 k + 3 = 4n(n + 1) + 3n 2 k=1 k=1
Clave:
17. S∞ =
S = (12 + 22 + 32 +…+ 102) + 4(1 + 2 + 3 +… + 10)
14. Piden:
a
t1 1–q 2 S∞ = =4 1 1– 2
a
13. Término general: n(n + 4)
Clave:
1. 13 + 13 + 1 = 27
500n + 500 x 501 = 999n + 999 2
124251 = 449n → n = 243 ∴ # mayor: n + 500 249 + 500 = 749
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
SOLUCIONARIO
2. 13 + 12 + 13 + 2 = 41
Clave:
d
Clave:
c
Clave:
c
3. 13 + 13 + 13 + 3 = 42 Clave:
d 63
63
Por lo tanto
4. 13 + 13 + 13 + 2 = 41 Clave:
N° bolos no deseados
b
N° de extracciones = 22 + 1 = 23
5. 13 + 13 + 13 + 3 = 42 Clave:
b
Clave:
d
Clave:
d
Clave:
d
Clave:
c
Clave:
c
Clave:
a
Clave:
c
Clave:
6. 1A + 1R + 1N + 2 = 5
15. Al voltear al azar las fichas, el caso extremo (peor de
7. 15A + 8N + 6B + 5 = 34
los casos) en voltear las fichas cuyos valores sean menores y así tarde más en obtener una suma mayor que 21.
8. 15A + 12R + 6B + 2N = 35
21 cualquier > 21 N = 7; 8; 9; …; 13 Por lo tanto, se deben voltear, como mínimo, 7 fichas Clave: c
10. 15A + 12R + 8N + 1 = 36 11. 4R + 4V + 4A + 4C + 3B + A = 20 12. 4 + 5 + 2 + 3 + 5 = 19 19 x 6 = 114
S=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + N
9. 15A + 12R + 8N + 2B = 37
a
16. Del 1 al 30; existen 10 números primos Quedan 20 números no primos. Pero de los casos extraemos 20 primeros numeros no primos. El que sale es primo. ∴ # estrae = 20 + 1 = 21
13. Queremos b/2 esferas de cada color, lo peor es que
salgan todas de un solo color en el mayor de los valores (3b negras + 2b rojas) y luego saca mas "b/2" blancas, entonces tendría mas "b/2" esferas de cada color, por tanto el total sería: T = 3b + 2b + b = 11b 2 2 Clave:
SOLUCIONARIO
Bolos deseados 5 ,…, 15
2.
8 bolos Entonces: N° de bolos no deseados = 30 – 8 = 22 (el resto) Para obtener con certeza lo pedido consideramos el caso extremo (peor de los casos) el cual consiste en obtener todos los bolos no deseados y, en última instancia, el bolo pedido. 64
c
Clave:
a
1. (13 + 1) ; (23 + 1) ; (33 + 1) ; (43 + 1); x
3,
Clave:
Pág. 148
nor que 17.
1 ,
a
Taller de práctica
e
14. Se desea obtener un bolo de numeración impar me
Clave:
x = 53 + 1 = 126
2
5 +3 +1
9 +4
16
x
+7 +12 +19
+3
x = 28 + 19 = 47
64
28
+5
+7
Ediciones Corefo
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
4
7
11
+3
+4
+1
17
+6
+2
26
+9 +13 +3
+4
x = 26 + 13 = 39
4.
Clave:
2 18 84 2 4 4 (1 + 1) (2 + 2) (3 + 3)
Clave:
11.
2 ;
2 ,
6 ; 2 2
; ?
2 ;
4 ;
6 ;
; 10
12. 40;
b
F +2
J +3
M +2
P +3
?
Clave:
b
5;
17;
71;
x2 + 1 x3 + 2 x4 + 3
–3
e
1000 S = 1 + 8 + 28 + … + 27000 1000 S = 13 + 23 + 33 + … + 303
1000 S = 30(31) 2
c
b
–5
x –19
–7 Clave:
e
Clave:
d
Clave:
b
t3
+5
+5
t2
t3
t4
t5
–6
–6
–6
to = 16 ; r = –16 → tn = 16 – 6n t100 = 16 – 6(100) = –584
t1
t0 –11
;
t2
t3
–7 ; –3 ; 1 ; +4
e
+4
+4
t4
t5
tn
5 ;
9 ; … 149
+4
tn = –11 + 4n → t20 = –11 + 4(20)
I. a(a + 1) = 1830 → a(a + 1) = 60 x 61 2 → a = 60
Ediciones Corefo
–12
t2
t1 –6
9.
II. b(b + 1) = 4032 → b(b + 1) = 63 x 64 → b = 63
t0
15.
Clave:
Clave:
16 ; 10 ; 4 ; –2 ; –8 ; –14
2
1000 S = 216 225 → S = 216, 225
t1
t0
14.
8. Por 1000 ambos lados:
–7
14;
tn = 3 + 5n → t40 = 3 + 5(40) t40 = 203
derecho con la diferencia de la suma de:
(7 + 1 + 2) – (5 + 4 + 3) = 10 – 12 = –2 (9 + 2 + 4) – (2 + 9 + 6) = 15 – 17 = –2 (9 + 4 + 6) – (3 + 7 + 10) = 19 – 20 = – 1 Clave:
26;
–3
+5 Clave:
c
3 , 8 , 13 , 18 , …
7. Sumando los vértices de lado izquierdo y los lados
–4
8
x = 14 – 19 = –5
359
x5 + 4
33;
–1
13.
6. Analizamos la variación de términos consecutivos. 2;
37;
+2
?=S
Clave:
d
x x
x = 44 + 4 = 260
5. C
32 – 8 → 3 x 9 – 8 = 9 52 – 1 = 24 → 5 x 6 – 24 = 6 7 x 8 – x = y → x + y = 56
10.
x
SOLUCIONARIO
3.
∴ a + b = 123
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
∴ t20 = 69
Clave:
a
Clave:
c
16. n = tn – t0 → n = 149 – (–11) = 40 r
a 65
4
65
22. Como queremos 3 lapiceros con tapa azul, lo peor
17. Sea la fracción: a
b
Del enunciado:
a . 10 = 10 – 5 → 10a = 5 11b 6 b 11 11 – 5
→ a = 11 b 12
que podría pasar es que salgan los lapiceros con tapa roja (10 lapiceros) y luego seguro sacaríamos 3 lapiceros con tapa azul, entonces tendríamos:
Clave:
Se vende: n → quedan: 2n 3 3
Al quebrarse 3; quedan: 2n – 3 3
Si se debe extraer "a" entonces:
7T 30 Piden: = 7 5 T 25 6
b
d
b;
55; … ; 455
+(b – 23) +(55 – b)
b – 33
78 – 2b
7;
d0 → +2 R → +4 → an =
13; +6
23; +10
+4
37; +14
+4
55;… ; 455 +18
+4
4 2 4 n + 2– n + 5 → an = 2n2 + 5 2 2
Como 455 es el último término → 2n2 + 5 = 455 → n2 = 255 Clave:
Se cumple que n = 15
c
Clave:
e
25. La línea horizontal desciende progresivamente hasta
coincidir con la base del triángulo superior y continúa hacia abajo; mientras que el punto asciende progresivamente por la hipotenusa del triángulo inferior y continúa hacia arriba. La línea vertical acompaña ese juego y aparece alternativamente abajo y arriba.
Clave:
b
Clave:
21. tA = 12 min, tB = 8 min
c
26. Los triángulos tienen el vértice hacia abajo y su área
1 – 1 = 3 → T = 18 min 8 12 4T
se va dividiendo una vez en cada paso de la serie (1, 2, 3, 4, 5 y 6)
Clave:
b
Clave: 66
d
Ediciones Corefo
SOLUCIONARIO
+10
a0 → +5;
1 + 1 – 1 = 1 4 5 20 T 8T = 20 → T = 2,5h = 2h 30 min
66
Clave:
Si reemplazamos tenemos:
20.
23;
a–3
5 T – a = 3 T → a = 7T 6 5 30
13;
+(13 – a)
19. Total: T
T = 4 + 8 + 7 + 1 = 20
a;
Clave:
pasar es que salga uno menos del color completo (4A + 8B + 7R) y luego una más y de seguro se completa algún color, luego:
16n – 3(24) = 15n → n = 72
Se extrae: T → queda: 5T 6 6
a
24. De la sucesión cuadrática
Dato: 2n – 3 = 5n 8 3
Clave:
23. Para tener un color completo, lo peor que podría
d
18. Sea "n" la cantidad de huevos que hay en la cesta.
T = 10R + 3A = 13
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
27. Debido a que la razón es negativa (r = –6) entonces
Supérate
vamos a llegar al último término positivo y luego pasaremos a los primeros términos negativos en forma abreviada. + – – 128 ; 122 ; 116 ; 110 ; … 2 ?
–6
–6
–6
–6
–6
1. Sea x el término que sigue. Hallamos la diferencia de dos términos consecutivos en la sucesión. 6 2
–6
→ tn = 134 – 6n
dif: –
Último término negativo: 134 – 6(22) = 2 ∴ 2do término negativo = 2 – 6 – 6 = –10 Clave:
28.
–1
3; +4
+10
a=
13
+6
29 +16
+6
∴x=–
51
8 3
32 3 x4
x
128 3 x4
41 128 169 – =– 3 3 3 a
+6
2. De los datos, observamos que una misma obra es hecha en tiempos diferentes, por lo tanto, aplicamos el método de reducción a la unidad.
Luego: 3n2 + n – 1 = 7549 De donde: n = 50
Clave:
albañil: 20 días
b
S = 1 · 3 – 3 · 5 + 5 · 7 – 7 · 9 + … + 37 · 39 – 39 · 41 +…+
10 términos
(–12 – 156)10 = –840 S= 2
1 (60) 3k 20
1 día →
1 (60) 4k 15
En un día juntos hacen 4k y el padre solo hace 3k. Se concluye que el hijo solo hace k en un solo día. Finalmente.
(–156)
r = 14
k → 1 día
∴ Casa: 60k → 60 días a
Clave:
d
Ediciones Corefo
Clave:
SOLUCIONARIO
(–28)
1 día →
albañil e hijo: 15 días
20 términos
+
–
;
Clave:
tn = 3n + n – 1
(–12)
2 3
41 3
; –3 ;
+22
2
S=
6 2
x4
d
6 = 3 ; b = 4 – 3 = 1 ; c = –1 2
29.
;–
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
67
67
Unidad
7
9.
B
B usca soluciones
65°
Pág. 153 Clave:
65°
c
2. ∆ ABC ≅ ∆ BCP → x = 30 – x
A
∴ x = 15
Clave:
3.
a + b = 80° x = 2(a + b) x = 160° Clave:
α
x 100° b b
α
c
∆ ABN ≅ ∆ NMC (LAL) ∴ x = 50°
10.
Clave:
d
x + 20° = 50° → x = 30°
Clave:
c
8.
c
10
A
2α
Q
M
7 C A
Clave:
M
n
β β
α
3α C
Clave:
b
B
90 – α 90 – α
α
4α
n
2x
En el ∆ ABQ: Isósceles AQ = 10 En el ∆ AQC: Isósceles 2x = 10 x=5
68
D
11.
B 2α
SOLUCIONARIO
Clave:
4α
∆ ABC ≅ ∆ MBD (LAL) En ∆ BCD: 4α + 4α + 2α = 180° → α = 18° ∴ x = 18°
2
2x = y → x + 2x = 30 x = 10
a
n
AC = BD = n , prolongamos AC hasta M de modo que AB = BM = a, luego: ∆ ABM es isósceles
7. x = y (Propiedad)
n
3α
e
6. Por propiedad de la mediatriz
d
b A
Clave:
Clave:
α x 2α
5. Por propiedad de la bisectriz x = 40 → x = 80 2
C
B
a
2n = 40 → n = 20
x
θ
N
4. Por propiedad de la mediana
50°
50°
M
2α x
7
2α F x w wα D
3 α
C
Se traza DF para que DF = FC; DFB = 2a (propied. ángulo exterior) → ∆ ABD ≅ ∆ BDF (ALA) Luego: AB = BF = 7, luego: FC = 3. También: AD = DF = x → ∆ DFC es isósceles Clave: a ∴x=3
d 68
Ediciones Corefo
1. ∆ ABC ≅ ∆ BCP → x = 30°
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
7.
B usca soluciones
B
Pág. 157
Q
1. Por Thales: x+4 = 7 x–4 12 2 x – 16 = 84 ∴ x = 10
R
A
Clave:
(2 – n) P n C 2 En el ∆ AQF, por Thales: FR = 2 + n … (F) RQ 2 – n
e
2. Por Thales: a = 6–a 7–a a+1
En el ∆ PQF, por teorema de Thales FR = 2 = (II) → (I) = (II) n RQ
7a – a2 = 6a – a2+ 6 – a 7a = 5a + 6 a=3 Luego x = 60°
2 = 2 + n → n2 + 4n – 4 = 0 n 2–n Clave:
3. Por propiedad (ver probl. resuelto 6) QP = (AB) . (CD) = 12 x 18 = 7, 2
e
Clave:
e
AFB: 53° – 37°). Luego, por semejanza. BF = 8 (Pn BF = 4a → 8 = 4a Clave: a=2
a
AB + CD
12 + 18
Resolviendo: n = 2 2 – 2 Finalmente: PF = 2 2
Clave:
b
D 3a En la fig. ∆ BOC ~ ∆ AOD (Ángulos iguales) 6 – x = 3a → x = 1, 5 Clave: a x
c
8.
B
4. En el
5. 9
b
a
12 a
B
b
C
a
b
D
CBA ~
CDE
9 = b → ab = 108 a 12
De donde: a = 12 ; b = 9 → a + b = 21 Clave: B 6.
Ediciones Corefo
A
n
9. P
x
M
A n
f
C
: AM = MC = MB ABC ~ FMB → 2n = 16 12 n n=4 6…∴x=8 6
l
Q α
θ α
θ S 10
R
C
15
Como los ángulos α y θ son complementarios, los triángulos ASP y QRC son semejantes, luego:
Por propiedad del
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
B
e
n
f
4
β
α
12 F
α
A
C a β a O 6–x
E A
2
SOLUCIONARIO
F
Clave:
l = 10 – l → l = 6 15 – l l
d 69
Clave:
e 69
10.
B b P a
α l
θ
B usca soluciones
c θ
Pág. 161
Q
1.
d
α
A
S
C
R
r
a . b . c . d = 1296 … (I)
16m
Por Thales: a = d → a . c = b . c … (II) b c
Por propiedad: (12 + 16) – 20 = 2r → 28 – 20 = 2r 2r = 8 → r = 4
De (I) y (II) → ac = 36 … (III) Los triángulos ASP y PBQ son semejantes l = a ⇒ l2= a . c l c ∴ l = 6u
b
e
T
12.
Clave:
2
TA = (3R) (R) Prop. tanjente 2 2 TA = 3R TA = R 3 R 3 R 30° 2R
b
4.
3
1 θ θ
A
D
B
4 M
R
x
3 3
N Por
6
Clave:
b
Clave:
d
P
P 1 θ
x = 180° – 30° x = 150°
α 2
A
(37° – 53°) → a = 37°
C
El triángulo AMO es isósceles, luego AM = MO = 1 ∆ MBN ~ ∆ ABC
5. Por propiedad (las tanjentes trazadas desde un pun-
x + 1 = 3 → x = 3, 5 6 4
Clave:
to exterior son iguales)
d 70
x + 5 = 14 → x = 9
Clave:
b
Ediciones Corefo
27
R
R
α
h = 12 → h = 18 27 h
SOLUCIONARIO
Clave:
x
α
Como los ángulos α y θ son complementarios se deduce que los triángulos. ABC y BAD son semejantes, luego:
70
∴ a + b = 26
3.
A
A
d
C
θ h
Clave:
2. Por propiedad: (a + b) – 18 = 2r → (a + b) – 18 = 8
Clave: 12
11. B
20m
12m
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
6. En el
ABC:
AC = 152 – 92
10. Por el teorema de las cuerdas.
AC = 144 = 12
12 = 2R → R = 6 En el ABC: (9 + 15) – 12 = 2r
6x = a (a + b) … (1) 3 x 4 = a(a + b) … (2) (1) = (2): 6x = 12 → x = 2 Clave:
24 – 12 = 2r → r = 6 ∴ R + r = 12 Clave:
11. Trazamos BE // AC, entonces en el
e
6
EBD
B 2m C
(r – 4)
7.
e
6
4
x r E
Aplicando el teorema de las cuerdas (r – 4)(r + 4) = 6 x 6 → r2 = 52 → r = 2 13 Clave:
8.
2m
8m
A
x2 = (2) (8) = 16 → x = 4
b
Clave:
A 40
12.
30
h
b
B
12
T
8 x
y
D
En el BAC: BC2 = 302 + 402 → BC = 50 Por relaciones métricas 402 = x(50) → x = 32 , y = 18 La diferencia de los perímetros será: (40 + 32 + h) – (30 + 18 + h) = 24
9.
Ediciones Corefo
C
A
C 16
Clave:
b
Se observa: AB = BD = a Sea: BC = b Luego, en la circunferencia: (Teorema de la tangente) 122 = a . b
M
MH = HC = MC 2 Aplicando relaciones métricas en el 52 = 13 (HC) → HC = 25/13 Pero: MC = 2(HC) ∴ MC = 3,8m
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
H
Piden: BH = x = ? Datos: BT = 12 y AC = 16
5
H
D
45°
B 5
b
x
a
C
ABC: Ahora en a . b = 16x
A
(Relación métrica)
Reemplazando: 122 = 16x x=9
ABC
Clave:
SOLUCIONARIO
B
e
Clave: 71
d 71
4.
B usca soluciones
a
Pág. 165 1. AS =
2 ∴ a 4
–
π a 2 4 AS = π a – 2 4
2
2 2 AS = π a – π a 4 8
c
Clave:
d
Clave:
b
5. 2
2 AS = π a 8
2 Clave:
2
a
4
A1 4
2.
a
a a 2
AS =
45°
– A1 … (I)
A1 =
–
AS = 16 – (π – 2) 2
–
AS = 8 – π + 2 AS = 10 – π
a a 2 AS = 45° π a – 2 360° 2
2 2 AS = π a – a 8 4
6. 5
2 AS = a (π – 2) 8
3.
AS =
2 A1 = π (2) – 2 (2) 2 4 A1 = π – 2 Reemplazando en (1):
a 2
SOLUCIONARIO
Clave:
Clave:
a
8
2
a AS =
–
+
2 2 AS = π (5) – π (4) + π (1) 2 2 2
AS = 25π – 16π + π 2 2 2 2 ASomb = a 2
72
Clave:
AS = 5π
d 72
Ediciones Corefo
2
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
7.
a s
s
12. Para AB
s 24S = a2
r1
2 ∴S = a 24
r3
A Clave:
r2
b Perímetro de la región sombreada en AB será:
8.
s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s
pr1 + pr2 + pr3 + AB
AS = 16 a2 36
= p(r1 + r2 + r3) + AB = 7π + 7 2 Análogamente para BC y AC luego lo pedido será:
AS = 4 a2 9 Clave:
e
Clave:
d
Perímetro = 7π + 7 + 8π + 8 + 9π + 9 2 2 2
9. Perímetro = 2(2πR) = 4π(8)
Clave:
= 16π cm
El perímetro = 24l = 24(13) = 312m
c
B usca soluciones
10. A = 169 m2 → l 2= 169 m2 → l = 13m
B
Pág. 169 Clave:
c
1. Grafiquemos la proposición: "Todos los peces son animales acuáticos".
11. 0
A
C D
2
4 2
Peces
OD = OB = 4 Ya que se trata de un 45° en la que por propiedad:
1
B
Animales acuáticos
L 2 =4 2 → L=4 Analizando cada respuesta:
Luego: OC = OA = 2 = r Por ello r = 2 Se tiene A(1) = 3 A 4 3 2 A(1) = π(2) = 3π … (I) 4 A(2) = A – A
Ediciones Corefo
= 4 x 4 – 1 π(2)2 2 4 = 8 – π … (II) ASomb. = 3π + 8 – π = 2π + 8
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
b
Clave: 73
SOLUCIONARIO
a. Todos los animales acuáticos son peces:…Es falsa, Pues observamos que existen animales acuáticos que no son peces. b. Algunos animales acuáticos son peces:… Es ver dadero, pues del conjunto de los animales acuáticos existe por lo menos uno que es pez. c. Algunos peces no son animales acuáticos:… Es falso, notamos que todos los peces son animales acuáticos. d. Ningún pez es un animal acuático:… Es falso todos los peces son animales acuáticos. b 73
artistas".
OS
VAN
4. Grafiquemos la proposición: "Todos los pintores son
E LOS S A CIN M PRI OS
D BA
AL
2.
Artistas
Pintores
La negación sería: CIN
E LOS S
Ahora grafiquemos "Ningún artista es deportista"
A
BA
Deportistas
Artistas
D OS
VAN A L
PRIMOS
Pintores
Nótese que la intersección es ∅. O su equivalente "Ninguno de mis primos va al cine el sábado". ó "Todos mis primos no van al cine el sábado" Clave:
Analicemos cada una de las alternativas: a) Es falsa, nótese que ambos conjuntos son discon– juntos. b) Es falsa, ambos elementos no tienen elementos comunes. c) Es falso, ambos conjuntos son disconjuntos. d) Es verdadero, observamos que no tienen elemen– tos comunes. Clave: d
d
3. Para graficar la proposición: "Algunos médicos son cardiólogos": Tenemos dos posibilidades: Médicos
Cardiólogos
I.
Cardiólogos
M: mujeres L: locos E: economistas Grafiquemos todas las posiles alternativas:
Médicos
SOLUCIONARIO
Analicemos cada una de las alternativas: a) Es falsa, se cumple sólo en el 2do caso, no así en el 1ro. b) Es falsa, se observa en los gráficos que sólo son algunos médicos y no todos. c) Es verdadera, pues observamos que siempre va existir por lo menos un cardiólogo que es médico. d) Es falsa, ya que siempre se intersectan ambos con- juntos. Clave: c 74
L
I.
II.
III.
74
E
M
M
M
E
E
L
L
Ediciones Corefo
II.
5. Sean:
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
IV.
E
M
7. Esbozando el gráfico:
L
U.N.I. bailarines estudiantes M
L
V.
E Concluimos que algunos bailarines estudian en la UNI. Clave: e
Notamos que existe más de una posibilidad, por lo que debemos seleccionar una alternativa verdadera en todos los casos: Por ello analizando c/u de las alternativas tenemos: a) No siempre; lo contrario si lo sería. b) Sólo se cumple en el gráfico V, pues no siempre es verdadera. c) No necesariamente por ejemplo, tenemos los grá- ficos I y II. d) En el gráfico I y IV, no siempre es verdad. e) Siempre será verdad. Clave: e
8. Para "p" Cuando x = 0 → 0 = y = 0 ó y = y + 0 …pV y E (x – y) E Cuando x E , y E … q V Si x = 2 ; (0 E ) e y = –2 E → 2 – 2 = 0 … r ≅ F ∴ VVF Clave:
9. Dato:
6. Se representa 3 posibilidades: L
A
I.
a
Muchos artistas son revolucionarios. revolucionarios artistas x
I
Formalización: AR ≠ ∅ a) Todo artista es revolucionario. L
A
II.
revolucionario
I
III.
L A
I
b) Ningún artista es revolucionario.
Ediciones Corefo
artistas
Analizando cuidadosamente c/u de las alternativas, vemos que sólo cumple las 3 posibilidades: "Algunos locos no son impopulares" Clave: c
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
SOLUCIONARIO
artistas
revolucionario
c) Ningún artista es no revolucionario. AR = ∅ (según Boole) 75
75
→ Todo artista es revolucionario
3.
a
d) Todo artistas es no revolucionario a2 2
AR = ∅ → AR = ∅ → Ningún artista es revolucionario e) No es cierto que todo artista sea no revolucionario. Formalizando: ~ (AR = ∅) → AR ≠ ∅ → Algunos artistas son revolucionarios
4. Clave:
Clave:
b
Clave:
d
Clave:
d
Clave:
b
C
e
a
10.
S: Leal ; P: Fiel Formalizando: Todo S es P
SP=∅
SP=∅
2a AS = 1 b h 2 AS = 1 (2a) a = a2 2
PS=∅ Se leerá: "Todo infiel es leal" ó "Ningún fiel es desleal" Clave:
5.
d
Taller de práctica
a
a2 = A 5 2
a
Pág. 172 1. 6.
AS = 2a
a
SOLUCIONARIO
AS = 3 (2a)2 = 3 (4a)2 = 3a2 4 4
2.
2 AS = 45°π (2a) – 2a (a) 360 2
Clave:
c
2a
a 45° 2 ASomb = πa 2
Clave: 76
–
a
a
2 AS = π a – a2 2 2 AS = a (p – 2) 2
c 76
Ediciones Corefo
a
45°
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
7.
12. Restando regiones:
a
6
a2 2
a
Clave:
c
AS =
3
–
AS = π(8)2 – π(3)2
8.
AS = 36π – 9π = 27π
Clave:
d
Clave:
a
13. 10
ASomb = 100 = 50 2
S
S S
Clave:
d
2 6S = a 2 2 S= a 12
S S
S
9. Efectuando los traslados puede un cuadrante de ra2 dio L → ASomb = πL 4
14. Clave:
10.
a
b
60° 60°
a
a 60° a
a
a 120° A
a
AS =
2 2 2 A = π a – a = a (π – 2) 4 2 4 2
2A = 2 x a (π – 2) = a (π – 2) 4 2
120°
2 2 AS = 6 a 3 – 120° π a 360° 4 2 2 3 3a π a AS = – 3 2 2 a AS = (9 3 – 2π) 6
–
2
–
Clave:
15.
a
x
Ediciones Corefo
A
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
Área sombreada = A Pero A(x) = A – A∆
x
x O
x 60°
77
B
– 2a(x)
2 2 = πr 60° – r sen60° 360 2
c
a
x
11.
A = 42 = 16 cm2
Clave:
SOLUCIONARIO
A
A=
a
(r = 1) 77
19. Por propiedad, la longitud de la escalera
= π – 3 → 2A(x) = π – 3 6 4 3 2
Reemplazando: 2 π – 3 ASomb = πx α 360° 3 2 = π – π + 3 6 3 2
A
d
D
α
H
4
S
R
Los triángulos EFP y QGH son semenjantes: Luego: PF = EF → x – 3 = 3 GH QG 4 x–4
Para la semicircunferencia mayor
Clave:
d
Clave:
d
21. Por propiedad:
= 2π(1) = π 2
∴ Suma = 2π cm
C
I
∴ x = 7 cm
Clave:
b
PQ = 8 x 12 = 96 = 4, 8u 20 8 + 12
22. El lado de cada cuadrado pequeño es 6; habiendo un perímetro = 6 × 32 = 192
Clave:
2n + 2m + 2p = AB + BC + CA
2(n + m + p) = 36 → n + m + p = 18 cm Clave:
d
23. Perímetro = p(8) + p(10) + p(12) + p(14) 2
= 22p
a
Clave:
a
Supérate
18. A 2
1. De las afirmaciones
A
I. p = {perros} y A = {agresivos} donde P Ç A = f II. C = {c = Ca È Cna} Donde: Ca: Cachorros agresivos Cna: Cachorros no agresivos Se puede concluir que algunos cachorros no son perros Clave: c
A 4 SOLUCIONARIO
Q θ
F 3
17. Por propiedad de la tangente
A 8 x% (A) = A 8
2.
x (A) = A 100 8
12 2k 3k
x = 12,5% Clave: 78
α
12 2k 3k
12k = 144 k = 12 Afig = 4(5k) Afig = 4(5)(12) Afig = 240 cm2 Clave:
e 78
d
Ediciones Corefo
θ
E
es: LAB = 1 (2) = π 2
LAB
θ
α
Clave:
d
B
P
16. La suma de las longitudes de las semicircunferencias
Clave:
20.
= 3 3 – p m2 6
= 10 + 11 = 21m
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Unidad
8
8. M = 13! = 10 · 11 · 12 · 13 9! · 4!
B usca soluciones
12 · 2
M = 55 – 13 = 715
Clave:
a
Clave:
a
Clave:
d
Clave:
b
Pág. 180 1. N = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 0 N = 3 628 800 Scif. = 3 + 6 + 2 + 8 + 8
8! × 7! 25 ! 2 2 – 6 (7!) · (6!)
9. P = Clave:
a
25 8! · 7! – ! 6 (7! + 6!)(7! – 6!)
P=
2. N = 100!
6! · 8
N = 1 × … × 5 × … × 10 × … × 15 × … × 20 × … × 100
7 · 8 · 7 – 25 49 · 25 != ! 6 8·6 6
P= Genera Un cero
Genera Un cero
P = 4! = 24
Notamos que aparte de los números que terminan en cero hay en cada grupo de diez el factor a 5 que genera un cero más en cada caso. N=
000
000
20 ceros
Clave:
10. S = 9! · 17! – 8! · 9! · 17! 8! · 18!
2
11. A = 6! + 6! · 7! + 6! · 7 · 8 = 64 = 8
3! · 4 · 5 · 6 6! = = 120 a. 3! 3!
6! + 5! · 7
B=
7! 7! 1 = = 8! 7! · 8 8 10! 6! · 7 · 8 · 9 · 10 7·8·9 c. = = = 42 6! · 5! 6! · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 3·4 b.
8
71! 69! · 70 · 71 70 · 71 = = 69! + 70! 69! + 69! + 70 71
B = 70 ∴ A · B = 70 · 8 = 560
9! · 4! 1 9! · 4! = = 9! · 10 · 11 · 12 55 12!
12. Simplificar (x + 5)! En el numerador y denominador!
8! · 3! 7! · 8 · 3! e. = =2 7! · 4! 7! · 3! · 4 f.
8! · 17! · 18
S= 1
d
3.
d.
6! – 6
→
21 7·5·9 = 16 3 · 10 · 8
(x + 11)! = 20! (x + 6) + 5 (x + 11)
→ x + 10 = 20 → x = 10
6. E = (n – 5)! (n – 4) (n – 3) (n – 2)
Ediciones Corefo
E = (n – 2)!
7. E = 4! – 5! + 6! 5! + 6! – 7! 1–5+5·6 E= 5+5·6–5·6·7 26 –26 E= = –175 175
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
a 8
13. A =
C5 C82
A=2 Clave:
8! 3! · 5! = 8! 6! · 2!
Clave:
c
Clave:
a
SOLUCIONARIO
→ (x + 10)! = 20!
6
=
2! · 6! 6 = 3! · 5! 3 3
c 79
79
14. C 70 + C61 + C 72 + C83 + C94 + C105 6
6
7
8
9
7
7
8
9
10
8
8
9
10
9
9
10
10
10
11
C 1 + C2 + C 3 + C4 + C5 C2 + C 3+ C4 + C 5 C 3 + C4 + C 5
C 4 + C5 = C5
Clave:
c
2003 2003 C2004 + C2 + C 2001 1
2004! + 2003! – 2003! 2003! · 1! 2001! · 2! 3! · 2001! → 2004
→
Clave:
→n=5 35 17. C x2
=
(n + 3)! (n + 3)! [4² + 10n + 24] = [(n + 6) (n + 4)] (n + 6) (n + 6)
→ (n!)² – 21n! – 72 = 0 (n! + 3) (n! – 24) =0 x → n! = 24 → n = 4
11
∨
E=
n=6
Clave:
e
Clave:
b
Clave:
a
20. (n!)² – 3n! = 18n! + 78
C 4 + C 5 = Cn =
(n + 3)! 2 [n + 11n + 30 – n – 6] (n + 6)
→ (3n + 6) (3n + 5)! = (3n+6)! = 24! → 3n + 6 = 24 → n = 6
→ C 93 + C 94 + C105 = C11n 11 Cn
E=
(3n + 4)! (3n + 4)
POR PROPIEDAD:
11 C5
(n + 3)! (n + 5) (n + 6) – (n + 3)! (n + 5) – (n + 3)! (n + 6)
19. 3(3n + 4) (n + 2) (3n + 5)! (3n + 4)! = 24!
c
16. C 82 + C 83 + C 94 + C105 = C11n
10
E=
E = (n + 4)!
2003 2003 2003 15. C2003 + C1 + C 2 + C 2001 0
10
(n + 6)! – (n + 5)! – (n + 4)! (n + 4) (n + 6)
10
C 0 + C1 + C 2 + C3 + C4 + C 5
E=
Clave:
21. E =
b
1 1 2 3 n + + + +…+ (n + 1)! 2! 3! 4! (n + 1)!
Por inducción: para n = 5, 6, ...... n=5 1 1 2 3 4 E= + + + + =1 5! 2! 3! 4! 5!
35 C 2x
PRIMER CASO: → x2 = 2x → x2 - 2x = 0
n=6 1 1 2 3 4 5 E= + + + + + =1 6! 2! 3! 4! 5! 6!
→ x (x – 2) = 0 →x=0 ∨ x=2 SEGUNDO CASO:
∴E=1
Clave:
a
→ x² + 2x = 35 = 0 (x + 7) (x + 5) = 0 x = –7 ∨ x = 5
18. E =
80
22. Clave:
b
(n + 6)! – (n + 5)! – (n + 4)! 1 (n + 4) (n + 5) (n + 6) – 1 + 1 n+5
22 (x – 1)! (x – 1)! + = (x – 8) (x – 9)! · 8! (x – 9)! · (x – 8)(x – 7) · 7!
x 22 + 8! (x – 7)! · 7!
22 x + 7! · 8 (x – 7)! · 7! 22x – 22 · 7 = 8x. 14x = 22.7x x = 11
80
Clave:
c
Ediciones Corefo
SOLUCIONARIO
→ x² + 2x = 35
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
23. P = P=
n[n! + (n – 1)!] (n + 1)!
x+1 x+1 x+1 y+2 28. C x+3 + 2C 8 + C 9 = C y–3 10 + C 7
n[(n – 1)! (n + 1)] (n + 1)! = =1 (n + 1)! (n + 1)! Clave:
b
→ x + 1 = 3x – 3 → x = 2
Clave:
26. A =
+
19
A=
A=
19 C7 C21 13
19
C6 + C7 + C
+
C21 8
21 8
20 8
+
C21 13
=
C C
x+2
+ 2C 9
x+3
x+5
= C y–3
x+4
y+2
c
Clave:
21 8 21 8
x+2
= C y–3
x+1
+ C9
y+2
= C y–3
y+2
y+2
Clave:
c
5·6·7 = 14 · 15 3·2 n = 10 Clave:
d
∴ x + y = 24
a
n+5
n+3
29. Cn–1 + C n–1
20 C8
→
C21 + C21 8 13 C
x+3
x+1
SEGUNDO CASO: x + 4 = y + 2 ∧ 10 + (y – 3) = y + 2 y–x=2 ∧ 7 = 2 (→←)
(x – 3)! (x – 1) = 120 = 5! x–1 →x–3=5 → x=8
18 C6 + C21 + 8
+ C8
PRIMER CASO: x + 4 = y + 2 ∧ 10 = y – 3 2 = y – x ∧ y = 13 → x = 11 ∧ y = 13
(x – 3)! + (x – 2)! = 120 (x – 1)
18 C5
x+1
C 10 = C y–3
→
+ 2C 8
C 10 + C 9
(x – 2)! x! (x + 1) x+1 → =3→ =3 (x – 2)!(x – 1) x! (x – 1)
x+1
C 10 + C 8
(x – 2)! (x + 1)! 24. =3 (x – 1)! x!
25.
x+3
C 10 + C 7
20
20 8 21 C13
C7 +C
=
C21 + 8 =
(n + 5)! 7 (n + 3)! = (n – 1) · 6! (n – 1)! · 4!
→ (n + 4) (n + 5) =
1 2
Clave:
b
30. R = (a!! + 2)! – 2 (a!! + 1)!
(=)
(a!! + 1)!
10
10
10
Simplificamos (a!! + 1):
(=)
R = R = a!! + 2 – 2 = a!! 1
Tomamos extremos: 10
10
10
11
11
10
10
10
Clave:
b
Clave:
a
SOLUCIONARIO
10
27. C 0 + C 1 + C 2 + … + C10
10
→ 2[C 0 + C 1 + C 2 + C 3 + C 4 ] + C 5
Ediciones Corefo
31. (x + 7)! · (x + 5)! = 11!
10
2[C 1 + C 3 + C 4 ] + C 5
(x + 5)! + (x + 6)
2 · 11! 2 · 11! 2 · 10! 10! + + + 10! · 1! 8! · 3! 6! · 4! 5! · 5!
→ 22 + 330 + 420 + 252 → 1 024
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
c 81
(x + 7)! (x + 7)! = 11! → = 11 1 + (x + 6) x+7
→
→ (x + 6)! = 11! → x = 5
81
2n
32. R =
2n
2n
36. (x – 6)! + (x – 5)! + (x – 4)! = x³ - 14 x² + 64x
24
C 0 + C 2 + C 4 + … + C24 2n
2n
2n
(x – 6)! + (x – 5)! + (x – 4)! = (x – 4) (x – 6) (x – ) (x – 6)! [1 + x – 5 + (x – 5) (x – 4)] = (x – 4) (x – 6) (x) (x – 6)! (x – 4)² = (x – 4)² (x – 6) (x – 6)! = (x – 6) (x – 7)! = 1
2n
C 1 + C 3 + C 5 + … + C 2n–1
Por propiedad para índice superior par; se cumple: 2n
2n
2n
2n
24
2n
2n
2n
C 0 + C 2 + C 4 + … + C 24 = C 1 + C 3 + C 5 + … + C 2n–1 Entonces: R=1
Clave:
x
x
x
x! = 6 → (x – 1) · x = 12 (x – 2)!2!
→x=4
Clave:
c
38.
n–1
n–1
n
n
210 = 2x – 1
→
Clave:
d
Clave:
c
n–1
C n–4 + 2C n–3+ C n–2 ! = 120 2
m+1
34. Cn–1 = x/2 =C n
→n–1+n=M–1 → 2n – M = 2 M–n=2 n=4 m=6
1024(x – 1) = 2 (x – 1) 2(x – 2)
→ 1024 = 2x – 1 → x = 11
x! = 2x – 4 (x – 3)! · 3!
∴ (x – 1) (x) = 12 → x = 4 m+1
c
(2x – 3)! = (2x – 2) 2 · 4 · 6 · 8 … (2x – 4) 1 = 2x – 2 1024 (x – 1)! 2(x – 2) (x – 2)!
→ C2 = 6
x
Clave:
1024 · (x – 1)!
Evaluamos el siguiente caso:
→ C 3 = 2x – 4 →
x–7=0 x=7
37. 1024 · (x – 1)! [1 · 3 · 5 · 7 … (2x – 3)] = (2x – 2)
33. (C 2 )(C 3 ) = 36x – 2 = 62x – 4
→
∨ ∨
→x–7=1 x=8
a
C n–3 + 2C n–2 ! = 120 2
7 x = C3 2 x 7! 5·6·7 = = 2 3! · 4! 6
n+1
C n–2 2
x ∴ = 35 2 Clave:
! = 120
(n – 1) =6 (n – 2)! → (n – 1) (n) (n + 1) = 3 · 4 · 5
→C
c
= 10 →
∴n=4
35. S = (x – 4)! + 2(x – 3)! + (x – 7)!
n
S = (x – 5)! + (x – 5)! (x – 3) + (x – 5)! (x – 3) (x – 2) (x – 2)² (x – 5)
4
n
n
n
n
n
n
S = nC n + (n – 1) Cn–1+ (n – 2) Cn–2 + … + 2C 2 + C 1 ] (+) n
n
n
n
n
n
2 S = (x – 5)! [1 + x –2 3 + x – 5x – 6] (x – 2) (x – 5)
→ 2S = nC n + nC 1 + nC 2 + nC 3 + … + nC n–1+ nC n
S = (x – 5)! [x²2 – 4x + 4] = (x – 6)! (x – 2) (x – 5)
2S = n + n [2n – 1] n · 2n S= = n2n – 1 2
n
n
n
n
n
2S = nC n + n [C 1 + C 2 + C 3 + … + C n ]
Clave: 82
4
39. S = 1C 1 + 2C 2 + 3C 3 + … + nC n
d 82
Clave:
a
Ediciones Corefo
SOLUCIONARIO
(x – 2) (x – 5) (x – 4)
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Reemplazando:
40. Calcula n: n
n
n
C 0 + 3C 1 + 5C 2 + … + (2n + 1)C n n
n
n
n
C 1 + 2C 2 + 3C 3 + … + nC n
= 3 · 4 · 5 · 6 … (n + 2)
Sea: n n n n n S1 = 1C 0 + 3 C 1 + 5C 2 + … +(2n – 1) C n–1 + (2n + 1)C n S1 =
n (2n + 1) C n + n n 3C 1 + C 0
(2n –
n 1)C n–1+
n
(2n – 3)
n C n–2+
n
1 · 2 · 3 · 4 · 5 … (n + 2) 2 (n + 2)! = 2 =
…+
n
→ 2S1 = (2n + 2) C 0 + (2n – 2) C 1 + (2n + 2) C 2 + … + n
42. S =
n
(2n + 2) C n–1+ (2n + 2)C n S1 = (n + 2)
n [C 0 +
n C1
+
n C2+
…+
n Cn ]
S1 = (n + 1) 2n Sea: n n n n n S2 = 1·C 1 + 2 C 2 + 3C 3 + … + (n – 1)C n–1 +C n n
n
n
S2 = nC n + (n – 1)2 C n–13+ (n – 2) C n–2 + … + 2C
n 2
+
(+)
→ 2S2 =
+
n C1
n
+
n C2
n
+
n C3
+…+
n
n nC n–1 +
199! · 200 + 199! 199! · 200 · 201
S=
201 = 0,005 200 · 201
a
Clave:
e
Clave:
c
→ (n + 4)! = 24
Reemplazando:
44. 12n! + 5 (n – 1)! = (n + 2)!
n
Clave:
d
41. Simplifica: n factores n factores
12 + 5 (n + 1) = (n + 1) (n + 2) 12 + 5n + 5 = n2 + 3n + 2 → n2 – 2n – 15 = 0 (n – 5) (n + 3) = 0 ∴n=5
45. (x + 1)! – x! = 18 x! [x + 1 – 1] = 18 → x · x! = 18 = 3 · 3! x=3 → (x – 1)! x! = 4! + 3! (x + 1)! x! = 24 + 6 = 30
Por propiedad tenemos: n! + (n + 1)! + (n + 2)! = (n + 2)² n! n! + (n + 1)! = (n + 2) · n!
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
= 24
→n+4=4 → n=0
(1! + 2! + 3!) (2! + 3! + 4!) (3! + 4! + 5!) (1! + 2!) + (2! + 3!) + (3! + 4!)
c
(n + 5)! = 24 1 + (n + 4)
(n + 5)! n+5
n
S2 = n2n – 1
Ediciones Corefo
S=
→
n nC n
2S2 = n + n [2n – 1] = n2n
23 (n – 1) 2 = 11 n2n – 1 2n – 2 23 → = → n = 11 n 11
Clave:
200! + 199! 201!
(n + 3)! + (n + 4)!
2S2 = n + n [C 1 + C 2 + C n–1+ … + C n ]
→
a
43. (n + 5)! · (n + 3)! = 24
n 1C 1 ] n nC n
Clave:
SOLUCIONARIO
n
(3² · 1!) (4² · 2!) (5² · 3!) … (n + 2)² · n! (3 · 1!) (4 · 2!) (5 · 3!) … (n + 2) · n!
=
83
83
46.
51. E = 2 x 4 x 6 x 8 x … x 2n 2 × 4 × 6 × 8 × … × 1000 → 500 Term 3 × 6 × 9 × 12 × … × 1500 → 500 Term
E = 2n x 1 x 2 x 3 x 4 … x n. E = 2n x n!
2500 × 1 × 2 × 3 × … × 500 3500 × 1 × 2 × 3 × … × 500
500
2 3
500
500
=
2 3
e
=
Clave:
19! 12!
todos terminan en cero
Clave:
=
1 272
= 1 9
1 × 2 × 3 × … × 49 1 × 2 × 3 × … × 19
W=
49! 19!
54. R =
25! 25! + 26! + 27! 3
W=
c
49.
1 = 1 + 26 + 26 · 27
Clave:
a
SOLUCIONARIO
(n + 6)! + (n + 7)! + (n + 8)! = 48 (n + 6)! + (n + 7)! 1 + (n + 7) + (n + 7) (n + 8) = 48 1 + (n + 7) (n + 8) (n + 7) (n + 8) = 48 n+8
n + 8 = 48 n = 40 84
Clave:
b
Clave:
c
54! + 53! + 52! 53! + 52!
R=
53 · 54 + 53 + 1 53 + 1
R=
53 · 54 + 54 54
R = 54
50.
c
20 × 21 × 22 × … × 80 50 × 51 × 52 × … × 80
W = 20 × 21 × 22 × … × 49
b
48. N = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + … + 50!
3
Clave:
1 · 2 · 3 … 12 · 13 … 19 20 · 21 · 22 … 60
53. W =
=
b
= 13 · 14 … 19
2 + 2(2!) + 3 (3!) + … + x (x!) = 19! 3! + 3(3!) + … + x (x!) = 19! 4! + 4(4!) + … + x (x!) = 4
1! + 2! + 3!
Clave:
13 · 14 … 60
47. 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + … + x (x!) = 19!
N = 1 + 2 + 6 + 24 + … + 0 N = 33 + …0 N = …3
b
52. 20 · 21 · 22 … 60 Clave:
(x + 1)! = 19! x + 1 = 19 x = 18
Clave:
Clave:
55. T =
(x + 4)! + (x +5)! +(x + 6)! (x – 5)! + (x + 4)!
T=
1 + (x + 5) + (x + 5) (x + 6) (x + 5) + 1
T=
(x + 6) + (x + 5) (x + 6) (x + 6)
T=x+6
b 84
Ediciones Corefo
500
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
3. Se usa el principio de la multiplicación x! + (x + 1)! + (x + 2)! 56. T = x! + (x + 1)! T=
1 + (x + 1) + (x +1) (x + 2) 1 + (x + 1)
T=
(x + 2) + (x + 1) (x + 2) (x + 2)
5 1 3 5 7 9 Clave:
T = (x + 2)
×
10 0 2 3 9
×
5 0 2 4 6 8
×
10 0 2 3
×
9
5 1 3 5 7 9
5 × 10 × 5 × 10 × 5 = 12 500
c
Clave:
57. [(n! + 2)! – 4]! = 20!
4. Piden números de 5 cifras en base 7 quiere decir
→ (n! + 2)! = 24 → n! + 2 = 4 n! = 2 n=2
e
que se pueden utilizar las cifras desde el 0 hasta el 6
Clave:
3 1 3 5
e
B usca soluciones Pág. 192
×
6 1 2 3 6
×
4 0 2 4 6
×
6 1 2 3 6
×
1 1(7)
→ 3 × 6 × 4 × 6 × 7 = 432
1. Se utiliza el principio de la multiplicación
Clave:
b
Clave:
d
Clave:
d
5.
5 × 10 × 10 × 5 1 0 0 1 3 1 1 3 5 2 2 5 7 . . 7 9 . . 9
3 1 3 5
→ 5 × 10 × 10 × 5 = 2 500 Clave:
×
5 1 2 3 4 5
×
5 1 2 3 4 1
×
1 3(6)
→ 3 × 5 × 3 × 7 = 75
e
2. Utilizaremos el principio de la multiplicación
5 × 6 × 6 1 0 0 2 1 1 2 2
Ediciones Corefo
4 × 10 × 5 = 200
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
SOLUCIONARIO
6.
4 × 10 × 5 2 0 0 4 1 2 6 6 8 9 8
5 Clave:
a
5
5
→ 5 × 6 × 6 = 180
85
85
7. Se utilizan las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8
∴ Podrá usar un par de zapatos de 14 maneras distintas. Clave:
8 × 9 × 9 × 9 1 0 0 0 2 1 1 1 3 2 2 2 9
9
9
c
11. Utilizaremos el principio de la adición
9
Nº de maneras =
colores o borradores o
5
+
4
+
crayola o
3
+
gomas
2
= 14
→ 8 × 9 × 9 × 9 = 5 832 Clave:
d
Clave:
8. Se considera las siguientes para el numeral:
12. Identifiquemos primero las prendas distintas
a (a – 2) b (8 – b) 2 3 . . . 9
# de pantalones diferentes = 5 # de minifaldas diferentes = 3 # de blusas diferentes = 6 # de pares de zapatos diferentes = 8
0 1 2 . . 8
Total #s = 8
Entonces se podrá vestir con las siguientes combinaciones:
9 = 72
×
c
pantalón blusa y zapatos
∴ Existen 72 números Clave:
pantalón polo y zapatos
minifalda blusa y zapatos
minifalda polo y zapatos
5 × 6 × 8 + 5 × 2 × 8 + 3 × 6 × 8 + 3 × 2 × 8 = 512
b
Sandra podrá vestirse de 512 maneras distintas p (p + 3) r (5 – r) 1 2 3 4 5 6 Total #s = 6
Clave:
1 2 3 4 5 6
13. Analizando los valores que puede tomar cada letra diferentes tenemos:
(m + 2) ( 2) (7/3) m
6 = 36
×
SOLUCIONARIO
Clave:
c
10. Nos damos cuenta que no pueda usar varios pares a
Nº de maneras =
86
5
+
+
3
+
2
02 12 22
3×0 3×1
7
9²
3×9
×
10 × 10 = 72
∴ Existen 800 números
zapatos zapatos negros o marrones o zapatillas
4
0 1 2 3
Total #s = 8
la vez, por ello aplicaremos el principio de la adición. Sandálias o
e
= 14
Clave:
86
c
Ediciones Corefo
9.
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
14. (a – 2) (3 6) (3C)a 0³ 1³ 2³
3×0 3×1 3×2 3×3
Clave:
9³ 10 × 4 = 200
19. En las unidades puede ser ocupado por 4, 6 u 8, Clave:
después de relacionar el dígito, las decenas lo pueden ocupar los 5 restantes y cualquiera de los 4 restantes ocuparan las cifras de las centenas
a
a
b
c
Total #s = 4 × 5 × 3 = 60
15. Nos dicen que unos de los atletas ocupa el cuarto puesto, las medallas de oro, plata y bronce deben repartirse entre los nueve restantes:
# de formas =
oro
y
plata
9
×
8
y bronce ×
7
20.
= 504
∴ Pueden recibir de 504 formas diferentes. Clave:
a
b
# de formas
11
e
d
comprar en las otras, podemos aplicar el principio de adición: 1° tienda
cuales solo uno es la correcta
# de maneras =
4 × 3 × 2 × 1 = 24 1 3 5 7 3 5 7 5 7 7
3
2° tienda
+
4
3° tienda
+
4
= 11
Guillermo puede comprar de 11 maneras diferentes Clave:
De las 24 combinaciones, 23 son combinaciones erradas Clave: Ediciones Corefo
Clave:
21. Como al comprar en una tienda ya no necesita
b
17. Debemos hallar el total de combinaciones de las
22.
b # de maneras =
18. Debemos hallar el total de combinaciones
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
e
1 7 9 Total #s = 4 × 5 × 3 = 60
2do 3er puesto puesto × 10 × 9 = 990
Clave:
Clave:
c
16. 1er puesto
a
b
1° agencia 2° agencia 3° agencia
4
+
3
+
4
= 11 Clave:
87
SOLUCIONARIO
3 4 5 6 7 8 9 5 ×
4 × 3 × 2 × 1 = 24 4 6 7 3 6 7 3 7 3 3
b
87
23. Por bus
# de maneras =
Por tren
3
+
2
Entonces # de maneras = 2 × 3 100 =5
Clave: Clave:
27. Los amigos se pueden ubicar de la siguiente manera:
A um sol
Baratito o
# de maneras =
2
+
Regalado
A1 A2 A3 A4 A5
o
4
+
3
=9 Clave:
4 opciones
Meta
b Carlos
25.
Clave:
1
a
1…
Carlos
3
Juan
Luego para el tercer amigo tiene 6 opciones el cuarto 7 y el quinto 8
3
6 = 2 × 31
A1
1+1 2
A2
A3
A4
A5
Entonces tiene = 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 6 720
1
1
Clave:
1
2
3
3
1… 1
3
6
9
2… 3 1
Manuel
1
9
2
9=2×3
28. Como los números son pares, las cifras impares se
5+1 2
presentan en las decenas y centenas. a b c
1
1
2
3
3
1… 1
3
6
9
9
2… 3
9
18
27
3… 9
27
54 = 2 × 33
a
1 1 0 2 3 2 3 5 4 7 6 9 9 8 # de cifras = 9 × 5 × 5 = 225 5+1 2
88
Ediciones Corefo
1
1
5 opciones
Meta
1
2
1
Juan
A2 A3 A4 A5
26. Debemos razonar inductivamente 1
Manuel
Si ya ubicamos al primer amigo , debemos ubicar al segundo.
zapatillas Pantalones polos o o # de maneras = 2 × 3 × 4 = 24
SOLUCIONARIO
d
c
24.
88
199 + 1 2
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
En las centenas:
Tomamos el mayor factorial común:
a b c 1 1 0 2 3 2 3 5 4 7 6 9 9 8 # de cifras = 5 × 10 × 5 = 250
A=
6! + 6! · 7 + 6! · 7 · 8 6! + 6! 7
A=
8+7·8 8
69! · 70 · 71 34! + 34! · 35 69! + 69! · 70 34! · 35 · 36
70 · 71 36 = 16 71 35 · 36
Clave:
b
Clave:
e
4. (n + 3)! = (n2 + 3n + 2) (n2 + 3n)
(n + 2) (n + 3) = (n + 2) (n + 1) n (n + 3) n! (n + 1) (n + 2) = (n + 1) (n + 2) n (n – 1)! = 1
Entonces el número de cifras impares = 225 + 250 = 475 Clave:
a
→n–1=0 ∨ n–1=1 n=1 ∨ n=2
29. Aplicaremos la regla práctica: 1 1
5.
1 3
1 4
(x – 4)! + (x – 3)! + (x – 2)! = 24 (x – 5) (x – 2) (x – 4)
1 4
11 41
17
→ (x – 5)! + (x – 5)! (x – 3) + (x –25)! (x – 3) (x – 2) = 24 (x – 5) (x – 2)
15
57
16 57
(x – 6)! + (x – 6)! (x – 3) + (x – 6)! (x – 3) (x – 2) = 24 (x – 2)2
55
→ Se puede ir de 155 maneras diferentes Clave:
(x – 6)! + [(x – 2) + (x – 3) (x – 2)] = 24 (x – 2)2
a
T allet de practica
→ (x – 6)! = 4! → x – 6 = 4 → x = 10
Pág. 196 1. n2 – 3n + 3 = 0 (n – 2) (n – 1) = 0 n = 2 ∨ n = 1 Suma valores: 2 + 1 = 3
Ediciones Corefo
3. A =
Clave:
[(x + 3)!]2 + (x + 2)! (x + 4)! (x + 2)!(x + 3) (x + 4)
c
=
Clave:
c
1 x+3
(x + 3)! (x + 3) + 1 =1 x+4 Clave:
e
→ (x + 3)! (x + 3) = x + 3 (x + 3)! = 1 →x+3=0 x = –3
6! + 7! + 8! 71! 34! + 35! 6! + 7! 69! + 70! 36!
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
d
6.
2. (5x – 5)! = 24 = 4! ∴5x–5=4 8 x = 5
Clave:
SOLUCIONARIO
15
89
∨ ∨
x+3=1 x = –2
89
7. R =
8! · 7! – 25 6 (7!)2 – (6!)2
n+2 n+3 n+3 11. C n+2 + C 10 + C 11 = 2C 10 9 n+3
7 · 8 · 7 25 49 – 25 R= – = =4 8·6 6 6
n+4
n+3
(n – 4)! 2 (n + 3)! = (n – 7)! · 11! (n – 7)! · 10! Clave:
b
n + 4 = 22 n = 18
12.
44 · n! 3 (2n)! – = (n – 2)!2! (2n – 3)! · 3!
Clave:
e
Clave:
b
Clave:
b
8! = 14 (a!) (b!)
→ 6! · 4 = (a!) (b!) 5! · 4! = (a!) (b!)
3(2n – 2) (2n – 1) 2n – = 44 (n – 1) (n) 3
→a+b=9
(2n – 2) (2n – 1) = 22 (n – 1) 2 (n – 1)
13. 13! = 13!
6! · 7!
a!
→ 2n – 1 = 11 → 2n = 12 →n=6
n
n+3
C 11 = 2C10
8. 3C2n3 = 44C n2 →
n+3
C 10 + C 11 = 2C 10
25 8! · 7! R= – 6 (7! + 6!) (7! – 6!) 6! · 8 6! · 6
Clave:
→ 6! · 7! = a! 10! = a! → a = 10
d
n–1
9. 2C4 = 5C 3
14. a. Si sale de A hacia D
2 · n! 5 (n – 1)! = 4! (n – 4)! (n – 4)! – 3! n! = 10 (n – 1)! → n = 10
A
Clave:
B
C
D
a b. Si sale de A hacia D y regresa:
x
x+1
7
ida
# de maneras = 60 × 60 = 3 600
SOLUCIONARIO
x! x! (x + 1)! 7! + + = (x – 1)! (x – 2)!2! (x – 2)! · 3! 4! · 3!
c. Para que la ruta de regreso sea diferente a la de ida, no se debe regresar por la misma ruta, es decir al regresar tendremos una posibilidad menos que la de ida.
(x – 1) · x (x – 1) · x (x + 1) →x+ + =5×7 2 6 →
x (x + 1) (x – 1) · x (x + 1) + = 35 2 6
→ x (x + 1) (x + 2) = 5 · 6 · 7 →x=5
90
y vuelta
ida
y vuelta
# de maneras = 60 × 59 = 3 540 Clave:
Clave:
d 90
a
Ediciones Corefo
x
10. C 1 + C 2 + C 3 = C 3
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
15. Nos piden un número capicúa de 5 cifras en el sis-
tema nonal, el cual debe tener la siguiente forma abcba(a) y para que la suma de sus cifras sea impar a debe ser impar.
1
A
1
1
1 1
1
1
1
2
3
3
2
4
7
10
3 3
7
14 24
24 48
4
14
1
1
1
1
2
1
1 1
1
1
1
a b c d a(a) 1 2 0 1 3 1 3 2 5 7 8 8
1 1
10
38
4 14 38 86
B
86
172
Clave:
a
→ Se puede ir de 172 maneras distintas
Total de números = 8 × 9 × 4 = 288 → Existen 288 números Clave:
19. Hallaremos el número de maneras en que se pue-
d
den distribuir los 4 autos
2 azules
2 verdes
16. El primero, segundo y tercer niño tienen 5 maneras
de matricularse (en el primer, segundo, tercer, cuarto o quinto colegio). Aplicaremos el principio de multiplicación. 1°
# de maneras = 5
5
×
3
×
3
3
×
3
= 81
→ n = 81
3°
2°
×
# de maneras =
Luego hallaremos el número de maneras en que se pueden distribuir, de tal manera que autos del mismo color no estén en la misma cochera.
5 = 125
Autos azules
Autos verdes
∴ El máximo número de maneras es 125 # de maneras =
b
3
×
2
3
→ n = 36
Ediciones Corefo
c
# de maneras = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128
# de mensajes= 4 + 4 × 3 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 × 1 = 64
Tiene 2 opciones: Nublado o soleado
a
Como solo existen 128 semanas diferentes inevitablemente luego de 129 semanas (903 días) se repite una semana con características atmosféricas igual o una de las anteriores.
18. Para evitar pasar por los obstáculos borramos los ca-
minos que los llevan hacia ellos. Aplicando el principio de adición:
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave:
L M M J V S D
4 banderas
Clave:
= 36
cas atmosféricas distintas existen:
cuatro banderas:
3 banderas
2
20. Debemos contar cuántas semanas con característi-
17. El mensaje puede hacerse cuando una, dos, tres o 1 2 bandera banderas
×
SOLUCIONARIO
Clave:
Clave: 91
e 91
Superate
21. Del enunciado: 0 , 2 , 3 , 6 y 8 las cifras son: a b c d
1. Si se va con una línea no se puede regresar con la
Solo pueden ser 3 o 7
misma.
4 × 4 × 3 × 2 = 96 Clave:
22.
A
B
∴ 24 + 2 = 26
b
C Clave:
USA o
ESPAÑA o
12
11
→ 12 × 11 = 132
e
Clave:
a
23. a e i #1 #2 2. Se utilizará el principio multiplicativo N° de maneras = # × 7 × # × 6 × 5 × # = 210 Clave: Clave:
b
d
Ediciones Corefo
SOLUCIONARIO
a e i o u 1 0 0 0 0 2 2 2 2 9 2 × 3 × 3 × 3 × 1 0 = 540
92
92
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Unidad
9
9. P =
B usca soluciones Pág. 209 1.
7! = 5 040 = 210 2! × 3! × 2! 2×6×2 Clave:
e
Clave:
e
10. C52 = 5! = 120 = 10
n! = 110 ⇒ (n – 2)!(n – 1)n = 110 (n – 2)! (n – 2)!
3! 2!
(n – 1)(n) = 10 × 11 ⇒ n = 11
12
11. C83 = 8! = 6 × 7 × 8 = 56
P3 = 7! = 5 × 6 × 7 = 210 ...(b) 4!
6
5! 3!
Clave: d
Clave: b
12. V52 = 5! = 4 × 5 = 20 3!
2. 18 = 20 no cumple = ⇒ 18 + 20 = n ⇒ n = 38
⇒ (n – 3)(n – 2)(n – 1)n = 3 × 4 × 5 × 6 ⇒n=6 P(n; 2) = P(6; 4) = 6! = 30 4!
4. P3 = 3! = 6
5. P5 = 5! = 120 8! 6. P = = 8! 1!1!1!1!1!1!1!1!
Clave:
3!
a
6
Clave:
c
Clave:
a
14. V63 = 6! = 4 × 5 × 6 = 120 3!
15. C52 = 5! = 120 = 10 3! 2!
16. N° de pesadas Clave:
diferentes
c
12
= 26 – 1 = 63
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
a
17. C124 = 12! = 9 × 10 × 11 × 12
Clave: d
24
8! 4! = 495
Clave: d
Clave: d
18. C72 × C52 = 7! Clave:
×
5! 3! 2!
5! 2! = 6 × 7 × 4 × 5 = 21 × 10 2 2 = 210
c
Clave: b 5! = 120 = 30 2! × 2! × 1! 4
Clave: b
Clave:
7. PC(6) = 5! = 120 Ediciones Corefo
c
13. V52 = 5! = 120 = 20
3 3. 3 Cn4 = 9 ⇒ Cn4 = 15 5 n! ⇒ = 15 (n – 4)! 4!
8. P =
Clave:
Cn20
SOLUCIONARIO
Cn18
Clave: d
19. Propiedad = 2n Clave:
Clave: b 93
a 93
28. Px6 = 720 · Cx4
20. V73 = 7!
4! = 210
x! x! = 720 · (x – 4)! 4! (x – 6)! 720 1 = (x – 6)! (x – 6)!(x – 5)(x – 4) · 24
Clave: b
(x – 5)(x – 4) = 5 × 6 ⇒ x – 4 = 6 x = 10
21. V53 = 5!
2! = 60
Clave:
c
a
Clave:
a
29. = C61 × C54 = 6 × 5!
22. P4 = P(4 – 1) = 3! =6
Clave:
1! 4!
=6×
Clave: b
4! × 5 = 30 4!
23. P5 = 5!
24. C10 8 =
c
Clave:
e
30. Sea I: Viaja a Ica T: Viaja a Trujillo Luego las posibilidades son: ITTITIII TIIIITTI TTTIIIIT
8 = 2x ⇒ x = 4
C10 2x
2
Clave:
8 + 2x = 10 ⇒ x = 1
3 6! 5! =6× (6 – r)!r! (5 – r)!r! 2 5! × 6 × 2 = 3 × 5! ⇒ 4 (6 – r) (5 – r)
Se observa que son ordenamientos en los que un elemento se repite 3 veces (T) y en 2º elemento, 5 veces (I) 8! 8 N° maneras = P(3; 5) = 3! 5! = 56 Clave: e
25. 4 ×
4 = 1 (5 – r)! (6 – r) (5 – r)! 4=6–r⇒r=2
Clave:
e
31. El número total de órdenes: P12 (4;5;3) =
SOLUCIONARIO
P! (p – 4)! 26. = 1 ⇒ (p – 5)! ⇒ 1 8 (p – 4)! 8 P! (p – 5)! P = 12
27. Cn2 = 36 ⇒
La rpta. será: 22 520 – 1 = 22 519 Clave: d
32. 1ra posibilidad: 0 # S. (–) y 4#s (+)
Clave: b
N° de formas de multiplicar = C64 =
n! = 36 (n – 2)!2!
6! = 15 2! 4!
2º posibilidad: 2#s(–) y 2#s(+)
(n – 2)!(n – 1)(n) = 36 ⇒ (n – 1)(n) = 8 × 9 (n – 2)!2! n=9 Clave: d 94
12! = 22 520 4! 5! 3!
N° de formas = de multiplicar
N° de formas N° de formas de escoger × de escoger 2#s (+) 2#5 (–)
= C62 × C52 = 150 94
Ediciones Corefo
= 120
…
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
(n – 2)(n – 1) = 12 = 3 × 4 ⇒ n – 1 = 4 n=5
3º posibilidad: 4#s (–) y 0#s (+) N° de formas de multiplicar =
C54
5! = =5 4!
Total = 15 + 150 + 5 = 170
Clave: d Clave:
e
41. x + 2 = 2y + 17 x – 2y = 15
33. Cada tres rectas coplanares forman como máximo
1 5y + 3 = 2y + 4 ⇒ y = 3 47 En (I) x = 3 ∴ x + y = 16
un triángulo, sin importar, el orden como estén tales rectas
Cn3
Clave: b
34. Para que el número sea mayor que 5 000, el primer
m! m! – = 190 (m – 2)! (m – 2)! 2! 1 m! 1– = 190 2 (m – 2)! (m – 2)!(m – 1)(m) . 1 = 190 2 (m – 2)!
35. C242 = 24! = 23 × 24 = 276 2
(m – 1)(m) = 2 × 19 × 10 = 20 × 19 m = 20
Clave: b
Clave: b
36. V53 = 5! = 60 2!
43. Las 4 novelas se pueden disponer de
Clave: d
P(11;4) = 11! = 7920 maneras 7! El diccionario se puede elegir de 3 maneras Total: 7960 × 3 = 23760 maneras Clave:
37. C106 = 10! = 210 4! 6!
Clave:
e
38. C83 = 8! = 56 Clave:
La pareja puede sentarse en el centro de 2 maneras. En total se pueden sentar de 24 × 2 = 48 maneras.
a
Clave:
10 10 9 9 11 11 39. E = C95 + C96 + C96 + C97 = C106 + C107
Ediciones Corefo
E=
C127 C11 6
12 C11 6 7 = = 12 7 C11 6
C5 + C6
45. P7(2;2;1;1;1) =
Clave: d
40. Cn3 = 2 × n
=
c
7! 2!2!1!1!1 5 040 = 1 260 4
Clave: b
46. A los 3 que se sientan juntos se le toma como uno
(n – 3)!(n – 2)(n – 1)n n! = 2n ⇒ = 2n (n – 3)!6 (n – 3)! 3!
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
a
44. Los 4 amigos pueden contarse de 4! = 24 maneras.
5! 3!
C4 + C 5 + C 5 + C 6
c
42. Pm2 – Cm2 = 190
dígito de la izquierda del número sólo puede ser 6 ó 9. Cuando dicho dígito sea 6, para las otras 3 cifras hay P(4;3) posibilidades y cuando dicho dígito sea 9, para las otras 3 cifras hay otras P34 posibilidades. total de N° = 2 × P34 = 48 Clave: d
22! 2!
Clave:
SOLUCIONARIO
...(I)
solo y éstos se permiten de 3! = 6 formas
95
95
Tenemos 5 personas para ordenar circularmente. Pc(5) = 4! = 24 Nº de formas = 6 × 24 = 144
1er caso:
y
Clave: b Se escogen 2 mujeres de un total de 6
47. Cada partido es una combinación de dos equipos. Sea n el número de equipos: n! Cn2 = 105 ⇒ = 105 (n – 2)!2! (n – 1)(n) = 105 × 2 = 15 × 14 n = 15
C62 ×
e
y
48. = C13 × C41 = 3 × 4 = 12 Clave:
Se escogen 3 mujeres de un total de 6
a
C63 × n! = 120 (n – 2)!2! (n – 1)(n) = 120 × 2 = 15 × 16 ⇒ n = 16
49. Cn2 = 120 ⇒
Se escogen 2 varones de un total de 6 C62 = 300
3º caso Clave: d
y
50. C67 – r = C66 – (7 – r) = C6(r – 1)
Se escogen 4 mujeres de un total de 6
3C6r = 4C6r – 1 ⇒ 6! 6! 3× =4× (6 – r)!r! (6 – r + 1)!(r – 1)!
C64 ×
3 4 = (6 – r)!(r – 1)!r (r – 1)!(7 – r)!
C61 = 300
e
Se escogen 5 mujeres de un total de 6 C65 = 6
51. Del problema: Se quieren formar delegaciones de 5 miembros en las que se debe incluir al menos (como mínimo) dos mujeres, debido a ello se tendrá los siguientes casos:
Finalmente, el Nº de formas para formas las delegaciones es: 300 + 300 + 90 + 6 = 696 Clave: d 96
Ediciones Corefo
Clave:
Se escoge 1 varón de un total de 6
4º caso
3 3 4 = 4 ⇒ = (6 – r)!r (7 – r)! (6 – r)!r (6 – r)!(7 – r) 3(7 – r) = 4r ⇒ 21 – 3r = 4r 21 = 7r ⇒ r = 3
SOLUCIONARIO
C63 = 300
2º. Caso Clave:
96
Se escogen 3 varones de un total de 6
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
B usca soluciones
7. 4R 6V 8A
Pág. 218 1. Por teoría: I. V II. V
III. F IV. VVF
Total de bolas: n(Ω) = 4 + 6 + 8 = 18 verde o azul: n(A) = 6 + 8 = 14 p(V ó A) = n(A) = 14 = 7 n(Ω) 18 9
Clave: d
2. Por teoría:
I. F (cuando lanzamos una moneda hay 2 resultados) II. V III. V IV. FVV
Clave: b
8. PALO (figura): ♠ ♣ ♦ ♥
Clave: d
↓ ↓ ↓ ↓ Nº de cartas: 13 13 13 13 Luego: n(Ω) = 52 que sea de un PALO Y PAR ♠ 2 4 ♣ 6 ♦ 8 10 ♥ 12 4 formas × 6 formas = 24 formas
3. Para dos eventos mutuamente excluyentes se cumple: Teoría: I. P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ...(F) II. P (A ∩ B) = P(A) × P(B) ...(F) III. P(A) + P(B) = 1 ...(V) FFV
Clave:
c
Clave:
a
4. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(mayor de 4) = 2 = 1 6 3
Luego: n(A) = 24 P(PAR) = n(A) = 24 = 6 n(Ω) 52 13
Clave:
c
5. P(retire temprano) + P(no lo haga) = 1 P(no lo haga) = 1 – P(retire temprano) P(no lo haga) = 0,837
9. Por el diagrama del árbol y
dado
SOLUCIONARIO
Moneda Clave: d
6. Por el teorema del complemento: p(no < 3) = 1 – p (3)
1 2 3 c 4 5 6
Ediciones Corefo
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} → n(Ω) = 6 A = {3; 4; 5; 6} → n(A) = 4 p(no < 3) = 1 – 4 = 2 = 1 6 6 3
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave: d 97
97
y
12. Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} → n(Ω) = 6
dado
1 2 3 S 4 5 6
A = {1; 4} → n(A) = 2 • Por el teorema del complemento: p (no raíz exacta) = 1 – p(si raíz exacta) p (no raíz exacta) = 1 – 2 = 4 = 2 6 3 6 Clave:
13. En el diagrama se tiene: m(U) = 100 A
(C1); (C2); (C3); (C4); (C5); (C6) Ω= (S1); (S2); (S3); (S4); (S5); (S6) Luego: n(Ω) = 2 A = {(C2); (C4); (C6)} → n (A) = 3 p(C y par) = n(A) = 3 = 1 n(Ω) 12 4 O también: “y” ↓ p(C y par) = p(C) × p(par) p(C y par) = 1 × 3 = 1 2 6 4
26
Clave:
a
Clave:
c
14. En el diagrama se tiene: m(U) = 80 T
E x
25 10
A = {2; 3; 5} → n(A) = 3 p(primo) = n(A) = 3 = 1 2 n(Ω) 6
Donde: 30 + x + 25 + 10 = 80 x = 15
Clave: b
Luego: Finalmente: p(E y T) = 15 = 3 80 16
11. SOLUCIONARIO
22
p (sólo 1 de los productos) = 26 + 22 100 48 = = 12 100 25
10. (Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6} → n(Ω) = 6
y
x
Luego:
30
P(B)
B
27
Clave: b
5B 3N I
6B 4N II
15.
P(B)
1er dado
5 × 6 (5 + 3) (6 + 4) 5 × 6 × 3 8 10 8
98
a
Clave:
2do dado
c 98
Ediciones Corefo
Moneda
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
20. N° de casos posibles de que ocupan las 2 oficinas
n(Ω) = 36; n(A) = 15 p( 6 puntos) = 15 = 5 36 12
1º oficina 2º oficina A B A C B A B C C A C B N° de casos posibles (Cp) = 6 N° de casos favorables (Cf ) = 2 P(A) = 2 = 1 6 3
Clave: b
16. Tenemos el experimento aleatorio ε: Extraer 3 fichas de una que contiene 6 fichas rojas y 4 azules. 6 R → n(Ω) = C103 = 120 4 A (aplicamos combinatorias porque no interesa el Total 10 fichas orden)
En A: se obtiene 10 puntos A = {(4; 6) (5; 5) (6; 4)} ⇒ n(A) = 3 P(A) = n(A) = 3 = 1 n(S) 36 12
A = {3, 4, 5, 6} ⇒ P(A) = 4 = 2 6 3
tiene 8 elementos C.f = SCC; CCS; CSC P= 3 8
e
Clave: b
a
Clave: d
SOLUCIONARIO
24. A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} n(Ω) = C63 = 20 elementos Si de los 3 números elegidos deseamos que el menor sea 3; tenemos que el 3 es el menor entre los elementos del conjunto B; B = {3; 4; 5; 6} Los subcojuntos de 3 elementos de B en los que 3 es el menor son: {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6} que son 3 ∴P= 3 20 Clave: e
18. n(Ω) = C102 = 10! = 45 8!2!
Clave: d
Ediciones Corefo
Clave:
23. Al lanzar 3 veces una moneda, el espacio muestra
17. Ω = {SSS; SSC; SCC; CCC; CCS; CSS; SCS; CSC}
19. Cf = 8 + 5 = 13 Cf = 8 P(N) = 8 13
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
Clave: d
22. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Nos piden la probabilidad de que ocurra el evento A. por la definición clásica de probabilidades, sabemos que P(A) = total de casos favorables de A = n(A) n(Ω) total de casos de ε → P(A) = 24 = 1 120 5
Clave:
c
21. S = {(1,1),(1,2), ..., (6,6)} ⇒ n(S) = 36
Definimos el evento A: Las tres fichas extraídas son del mismo color. Es decir, las tres fichas extraídas o bien son rojas o bien son azules. + C43 = 24 → n(A) = C63 Si las 3 si las 3 son rojas son azules
Clave:
Clave:
c 99
99
25. Ω = 36
3. Tenga en cuenta que una baraja usual tiene 52 cartas los cuales son 13 tréboles 13 corazones 13 diamantes 13 espadas
A = {(4; 6), (5;5), (6;4)} ⇒ n(A) = 3 P(A) = 3 = 1 36 12
Clave: d
26. Cuando lanzamos dos dados, el número que tiene
Clave:
Del gráfico, observe que: • La numeración de cada grupo (palo) es del 1 al 13 • El número de cartas enumeradas con 6 son 4 • El número de cartas enumeradas con 10 son 4 Entonces: ε: extraer una carta de una baraja usual. El cardinal del espacio muestral(Ω) está dado por: n(Ω) = 52 Sea el evento: A: Obtener un 6 o un 10 n(A) = 4 + 4 = 8 Luego P(A) = n(A) = 8 = 2 n(Ω) 52 13 Rpta: 2 13 Clave: e
c
Taller de práctica Pág. 222
1. PALO (figura): ♠ ♣ ♦ ♥ ↓ ↓ ↓ ↓ 13 13 13 13 Luego: n(Ω) = 52 Carta y Palo ♠ 4 ♣ 6 ♦ ♥ 2 formas × 4 formas = 8 formas Luego: n(A) = 8 p (4 ó 6) = n(A) = 8 = 2 n(Ω) 52 13
4. P = 4 = 1
Clave: b
8
2
2. PALO (figura): ♠ ♣ ♦ ♥
SOLUCIONARIO
↓ ↓ ↓ ↓ N° cartas: 13 13 13 13 Luego: n(Ω) = 52 Carta y Palo ♠ J ♣ ♦ Q ♥ K 4 formas × 3 formas = 12 formas
5. n = 4 ⇒ P4 = 4! = 24 6. P5 = 5! = 120
Clave: b
Clave: b
7. Para intercambiar un pase se refiere de 2 jugadores
y no importa el orden de quien de los 2 jugadores de el pase primero n = 8; r = 2 C82 = 28
Luego: n(A) = 12
Clave:
P(CARTA CON LETRA) = n(A) = 12 = 3 n(Ω) 52 13
c
8. C83 = 56 Clave: b
100
Clave: d
Clave: d 100
Ediciones Corefo
mayor probabilidad de ocurrir es el 7. (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
9. n = 5; r1 = 3 (amarillas); r2 = 2 (rojas) = 5! = 120 = 10 3!2! 12
Por dato Suman 1 Clave:
c Jesús Fabrizio
10. Total de casos = total de bolas = 60 casos
20 + 15 + 25 Casos a favor (que sea blanca o amarilla) = 20 + 25 = 45 casos P = 45 = 3 60 4 Clave:
c
9
Clave: b
18.
12. Total de casos = 52
×
4
Clave: b
Se debe contestar 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ← preguntas
Casos a favor = 13 + 13 = 26 P = 26 = 1 52 2 Clave:
total de formas de contestar las 6 = C106 = 210 ← total de casos preguntas
e
Cuando el alumno responde las dos primeras 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13. n = 7; r = 3
Se debe contestar 4 de las 8 preguntas
P73 = 7! = 210 4! Clave: d
total de formas de contestar las 4 = C84 = 70 preguntas total de casos favorables restantes
Clave:
P(responder las 2 primeras preguntas) = nº casos favorables n° casos totales P(responder las 2 primeras preguntas) = 70 = 1 210 3 Clave: b
14. n = 4 ⇒ P4 = 4! = 24 a
15. Cn2 = 36 ⇒ n = 9 Clave: d
19. Importe el orden en la que cada atleta elija un carril determinado n = 6; r = 3 P63 = 120
16. n = 4 ⇒ P4 = 4! = 24 Clave: b Ediciones Corefo
Son eventos independientes
Sea el evento A: al menos uno acierte → AC: Ninguno de los dos acierta No piden: P(A) ∴ P(A) = 1 – P(AC) = 17 2 1 18
11. Casos a favor = 4 Casos totales = 52 P= 4 = 1 52 13
Probabilidad Probabilidad acertar no acertar 7/9 2/9 3/4 1/4
17. Recordemos que para un evento cualquiera A se
Clave:
e
20. A las 3 personas se les considera como una sola per-
cumple:
sona. Luego: (4 – 1)!3! = 3! 3! = 36
P(AC) = 1 – P(A)
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
SOLUCIONARIO
P5(3;2)
101
Clave: b 101
21. n = 7; r1 = 2; r2 = 2; r3 = 3
Urna I
Urna II
3 azules
5 azules
4 blancas
2 blancas
7
7
26.
= 7! = 210 2!2!3!
Clave:
a
22. n = 7; r1 = 3; r2 = 4 P7(3;4) = 7! = 35 3!4!
El experimento consiste en elegir primero una urna y luego de esta extraer una bola P(elegir una urna) = 1 2 Luego urna urna I II 3 + 5 × 1 = 4 P(bola extraída sea azul) = 7 7 2 7 ↓ Probabilidad de haber elegido una urna Clave: b
Clave: b
23. niños ⇒ C74 = 35 niñas ⇒ C53 = 10 Por el principio de la multiplicación niños y niñas = 350 35 × 10 Clave:
c
18! 16! = 51 (18 – k)!k! (16 – k)!k! 40 × 16! × 17 × 18 = 51 × 16! (16 – k)!(17 – k)(18 – k) (16 – k)!
24. 40 ×
6 × 40 = (17 – k) (18 – k) (17 – k)(18 – k) = 15 × 16 18 – k = 16 ⇒ k = 2
27. Gráficamente se tiene Total: 5
probabilidad de extraer P(A) = 3 una ficha azul 5 probabilidad de extraer B B P(B) = 2 A A A una ficha blanca 5 Del problema, tenemos que: ε: extraer una ficha 4 veces con reposición Sean los eventos M: obtener al menos (como mínimo) una ficha blanca MC: obtener solo fichas azules Entonces: P(M) + P(MC) = 1 ...(I) Calculemos P(MC) A A A A MC: ↓ ↓ ↓ ↓ P(MC) = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 ...(II) 5 5 5 5 625 Reemplazando (II) en (I) P(M) + 81 = 1 625 ∴ P(m) = 544 625 Clave: d
Clave: d
(an)! (2n – 3)!3! 25. = 44 n! 3 (n – 2)!2! (2n)!(n – 2)!2 = 44 n!3!(2n – 3)! 3 SOLUCIONARIO
(2n – 3)!(2n – 2)(2n – 1)(n – 2)! = 22 (n – 2)!(n – 1)(n) × 6 × (2n – 3)! 3 2n × 2(n –1)(2n – 1) = 22 2n(n –1) 2(2n – 1) = 22 2n – 1 = 11 ⇒ 2n = 12
n=6 Clave:
102
se extrae una ficha con reposición tal que:
a 102
Ediciones Corefo
P7(2;2;3)
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
S uperate
28. X X X
X G G ...
G A A
...
1. En el diagrama se tiene:
A
P(A) = 0,7 0,3
4 libros 8 libros de 9 libros de de Álgebra Geometría Aritmética Nuestro experimento aleatorio es ε: elegir 2 libros para estudiar el cardinal del espacio muestral (Ω) está dada por: → n(Ω) = C21 2 = 210 Sea el evento B: los 2 libros elegidos son del mismo curso → n(B) = C12 + C82+C92 n(B) = 70 ∴P(B) = n(B) = 70 = 1 n(Ω) 210 3 Clave: a
(n – 2 – 3)!
0,1
0,2 P(A’ ∪ B’) = P(A ∩ B)’ = 0,6 P(A ∩ B) = 1 – P (A ∩ B)’) = 1 – 0,6 = 0,4 ∴ P(A ∪ B) = 0,3 + 0,4 + 0,1 = 0,8 Clave:
a
2. El total de posibilidades de sentarse en una fila es 10! Si las mujeres están juntas, se las toma como una sola y serán 7 personas que se pueden sentar de 7! formas, pero las 4 mujeres entre ellas se pueden permutar de 4! formas ⇒ se sentarán de: 7! × 4! P = 7! × 4! = 24 = 1 40! 720 30
= 210 ⇒ (n – 2)! = 210 (n – 5)!
Clave: Clave:
e
e
Ediciones Corefo
(n – 4)(n – 3)(n – 2) = 5 × 6 × 7 de donde n = 9 x! = 45 Cx2 = 45 ⇒ (x – 2)!2! (x – 1)(x) = 90 = 9 × 10 ⇒ x = 10 x + n = 19
0,4
SOLUCIONARIO
29. (n – 2)!
P(B) = 0,5
Razonamiento Matemático 5 - Secundaria
103
103