Rezolvarea Problemelor Compuse [PDF]

Zitiervorschau

Rezolvarea problemelor compuse Trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse constituie un moment de salt calitativ. Pentru a realiza trecerea de la problemele simple la cele compuse exista doua posibilitati: • regizarea unei actiuni care sa cuprinda doua faze distincte, formularea problemei astfel ıncat s cuprinda cele doua faze ale actiunii si apoi rezolvarea acelei probleme; • rezolvarea succesiva a doua probleme simple astfel ıncat rezultatul primei probleme sa constituie un element al celei de a doua. Rezolvarea oricarei probleme trece prin mai multe etape. In fiecare dintre aceste etape, datele problemei apar ın combinatii noi, reorganizarea lor la diferite niveluri ducand catre solutie. Procesul implica atat analiza cat si sinteza, elevul separa si reconstituie, desprinde si construieste rationamentul. Diferitele elemente luate ın considerare ısi dezvaluie mereu noi aspecte (analiza) ın functie de combinatiile ın care sunt plasate (sinteza). Principalele evenimente implicate ın rezolvarea problemelor sunt: 1. Prezentarea problemei, care se poate realiza prin formulare verbala sau pe alta cale. 2. Definirea problemei este facuta de catre elev, care distinge caracteristicile esentiale ale situatiilor din problema. 3. Formularea ipotezelor este realizata de catre elev, care distinge posibile cai ce pot fi aplicate ca modalitate de rezolvare. 4. Verificarea ipotezelor pana cand se gaseste una care duce la solutia cautata. Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea si formularea unor ipoteze si verificarea lor. Formularea acestor ipoteze presupune atat un fond de cunostinte pe care elevul le aplica ın rezolvarea problemelor, cat si o gama variata de deprinderi si abilitati intelectuale necesare ın procesul rezolvarii problemelor. Diferitele ipoteze (variante de rezolvare) nu apar la ıntamplare. Ele iau nastere pe baza asociatiilor, pe baza cunostintelor asimilate anterior. Cu cat experienta rezolutiva este mai bogata, cu atat sunt mai mari sansele ca ipotezele care se nasc ın mintea rezolvitorului sa ıl conduca mai repede la o rezolvare. Etapele acestui proces complex trebuie ınsusite de catre elevi ca orice alt procedeu de activitate intelectuala.

Etapele rezolvarii problemelor compuse Cunoasterea enuntului problemei Cunoasterea enuntului problemei de catre elevi se realizeaza prin actul citirii textului de catre profesor, apoi de catre elevi. Citirea textului unei probleme este diferita de citirea unui text literar. Prin citirea unei probleme se urmareste: • retinerea datelor; • stabilirea relatiilor dintre date; • fixarea necunoscutelor. Accentul trebuie pus pe delimitarea ipotezei de concluzie, a ceea ce se cunoaste de ceea ce trebuie aflat. Intelegerea enuntului problemei si scrierea datelor problemei Intelegerea enuntului problemei si scrierea datelor problemei constituie o etapa importanta ın desfasurarea procesului de rezolvare a unei probleme. Prin citirea textului, elevii primesc doar un minim de informatii. In aceasta etapa se urmareste: • orientarea ın continut, pentru descoperirea structurii, delimitand si fixand sistemul de date, conditii si cerinte; • explicarea unor cuvinte sau expresii din enunt; • schematizarea problemei si scrierea pe scurt a problemei, retinand esentialul, inclusiv anumite cuvinte-cheie; • scrierea enuntului ın limbaj matematic, folosind diferite notatii si retinand datele ımpreuna cu semnele operatiilor matematice; • realizarea unei reprezentari grafice. Pentru scrierea datelor problemei, nu se recomanda formalismul excesiv, utilizat pentru simplificarea scrierii. O schematizare prea exagerata duce la un ınteles eliptic al problemei, la crearea unor mecanisme care nu sunt benefice dezvoltarii unei gandiri logice. Analiza problemei Analiza problemei si examinarea sau judecarea pe cale sintetica sau analitica are loc pe baza proceselor gandirii, cu scopul eliminarii informatiilor fara semnificatie matematica ale enuntului problemei. Aceasta este faza ın care se construieste rationamentul prin care se rezolva problema, adica drumul de legatura dintre datele problemei si necunoscuta. Prin exercitiile de analiza a datelor, a semnificatiei lor, a relatiilor dintre ele si a celor dintre date si necunoscute, se depasesc situatiile concrete ale problemei si se produce saltul la nivelul abstract. Transpunand problema ıntr-un desen, ıntr-o imagine sau schema, scriind datele cu relatiile dintre ele, etc., se evidentiaza esenta matematica a problemei, adica reprezentarea matematica a continutului ei. Analiza problemei se poate face pe cale sintetica sau analitica. Cele doua metode nu constituie metode de rezolvare, ci modalitati de analiza a datelor si relatiilor din problema. Examinarea problemei prin metoda sintetica presupune un rationament inductiv: prin ıntrebari elevul este dirijat sa formeze perechi de valori numerice pe baza relatiilor date, formand cate o problema simpla. Rezolvarea succesiva a acestora poate conduce la rezolvarea problemei. In aplicarea acestei metode trebuie avut ın

vedere sa se formuleze numai acele probleme simple care converg spre ıntrebarea finala. Aceasta pentru ca ın cadrul unor probleme compuse se pot formula si probleme simple care nu converg spre rezultatul final si care abat atentia si gandirea elevilor de la rezolvarea justa. De aceea este necesar ca ın formularea fiecarei probleme simple sa se puna ıntrebarea daca este necesar sa se afle acel lucru. Examinarea problemei prin metoda analitica solicita din partea elevului un efort de gandire mai mare, deoarece el trebuie sa cuprinda ıntregul problemei si nu fragmente din enunt. A examina o problema prin metoda analitica ınseamna a porni de la ıntrebarea problemei, a stabili datele, ın general necunoscute, cu ajutorul carora se poate formula problema simpla a carei ıntrebare sa coincida cu ıntrebarea problemei date, apoi a stabili alte date cu ajutorul carora sa se formuleze alte probleme simple ale caror rezultate sa constituie elementele problemei simple precedente si asa mai departe pana se ajunge la prima problema simpla care se poate formula pe baza datelor problemei compuse respective, date ce trebuie sa fie ambele cunoscute. Pornind de la aceasta problema simpla, se arata ın mod succesiv toate problemele simple care pot fi formulate, fiecare utilizand datele celei precedente, pana se ajunge la problema simpla al carei rezultat este ınsusi rezultatul problemei date. Acest tip de analiza este dominant deductiva. Metoda sintetica este mai usoara, mai accesibila elevilor datorita faptului ca nu necesita un proces de gandire de mare profunzime. De aceea este ıntrebuintata cu precadere mai ales ın primele trei clase. Intrebuintarea acestei metode poate duce la greseli, prin formularea unor probleme simple care nu sunt necesare, tocmai datorita faptului ca procesul de gandire nu este orientat ın mod clar spre ıntrebarea finala, pentru ca nu porneste de la aceasta ıntrebare. Metoda analitica formuleaza problemele simple ın functie de ıntrebarea finala, deci apeleaza numai la acele probleme simple ce converg spre ıntrebarea finala si care concura la stabilirea raspunsului corespunzator acestei ıntrebari. Este mai grea pentru ca presupune un proces de gandire continuu si de profunzime, fapt pentru care exista tendinta de a fi ocolita. Dar ıntrebuintarea acestei metode contribuie ıntr-o mai mare masura la dezvoltarea gandirii logice si numai cunoasterea si ıntrebuintarea ei creeaza posibilitatea rezolvarii de catre elevi a problemelor ın mod independent. Este necesar ca pe masura ce elevii dobandesc priceperea de a examina problemele prin metoda sintetica, sa se treaca treptat la utilizarea metodei analitice, mai ales la clasele a III-a si a IV-a. Procesul analitic nu poate fi izolat de cel sintetic, ıntrucat cele doua metode formeaza o unitate ın cadrul proceselor de gandire, astfel ca nu poate fi vorba de utilizarea cu exclusivitate a uneia sau alteia din aceste metode. In analiza unei probleme intervin ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gandire, dar ın anumite momente, una dintre ele este dominanta. Astfel, descompunerea unei probleme compuse ın problemele simple din care este formata, este prin esenta un proces de analiza, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, este un proces de sinteza. Cu alte cuvinte, exista o stransa interdependenta ıntre procesele de analiza si sinteza, ele conditionandu-se reciproc si realizandu-se ıntr-o unitate inseparabila. Intocmirea si realizarea planului de rezolvare Concluziile care rezulta din examinarea unei probleme se concretizeaza ın planul de

rezolvare. Acesta arata etapele succesive ale procesului de gandire care a avut loc ın examinarea problemei, fiecare punct al planului reprezentand ıntrebarea uneia dintre problemele simple ın care s-a descompus problema data. Planul de rezolvare poate fi formulat prin propozitii interogative sau prin propozitii afirmative. Formularea planului de rezolvare prin propozitii afirmative constituie o etapa superioara ın dezvoltarea gandirii elevilor si a formarii priceperilor si deprinderilor de rezolvare a problemelor. O caracteristica importanta a desfasurarii procesului de examinare a unei probleme si de stabilire a planului de rezolvare o constituie faptul ca ın tot acest timp se lucreaza numai cu marimi si cantitati, deci cat mai putin cu numere, fara sa se efectueze nici un fel de calcule. De aceea aceste procese apar ca procese de gandire, de stabilire a raporturilor cantitative dintre marimi si nu au aspectul unor relatii de calcul. Operatiile pe care le reclama rezolvarea problemelor simple prevazute ın planul de rezolvare urmeaza sa se faca dupa ce acest plan a fost complet formulat si apoi repetat de catre elevi. Realizarea planului pretinde stabilirea operatiilor aritmetice, scrierea scrierea si efectuarea calculelor. Prin formularea planului de rezolvare si esalonarea pe puncte a problemei date, aceasta se descompune ın tot atatea probleme simple, care urmeaza sa fie rezolvate ın ordinea stabilita. Pentru rezolvarea unei probleme simple este necesar sa se stabileasca, pe baza unui nou proces de gandire, operatia corespunzatoare, sa se scrie aceasta operatie si apoi sa se efectueze mintal sau ın scris. De aceea urmeaza sa se trateze separat fiecare punct al planului de rezolvare, aratandu-se ın primul rand procesul de gandire care sta la baza stabilirii operatiei corespunzatoare, sau care justifica aceasta operatie, dupa care sa se scrie operatia ın partea stanga a tablei, termenii operatiei scriindu-se cu numere concrete si ın ordinea indicata de procesul de gandire. In cazul cand calculele se efectueaza ın scris, acestea se scriu ın partea dreapta a tablei, dupa regulile stabilite la calculul ın scris, termenii operatiei scriindu-se fara denumirea unitatilor pe care le reprezinta. De asemenea, pentru efectuarea calculului ın scris se aplica, daca este necesar, proprietatile generale ale operatiilor aritmetice. Activitati suplimentare dupa rezolvarea problemei Activitatile suplimentare dupa rezolvarea problemei se centreaza pe exprimarea principiului general de rezolvare, ın vederea integrarii problemei ın tipul sau categoria din care face parte. Aceasta etapa consta ın verificarea solutiei problemei, ın gasirea si a altor metode de rezolvare si de alegere justificata a celei mai bune. Acum se realizeaz a autocontrolul asupra felului ın care s-a ınsusit enuntul problemei, asupra rationamentului realizat si a demersului de rezolvare parcurs. O atentie deosebita trebuie acordata problemelor care admit mai multe procedee de rezolvare. Formarea priceperilor de a gasi noi procedee de rezolvare cultiva mobilitatea gandirii, creativitatea si simtul estetic, prin eleganta, simplitatea, organizarea economica a rezolvarii. Se educa de asemenea atentia, spiritul de investigatie si perspicacitatea. Pe baza planului, se construiesc expresiile matematice care ınglobeaza datele si conditiile din problema sub forma unui exercitiu cu doua sau mai multe operatii.

Acest exercitiu leaga ıntr-o singura expresie aritmetica toate operatiile care corespund judecatilor formulate. Rezolvarea acestui exercitiu constituie si o modalitate de verificare a corectitudinii rezultatului. Expresia numerica ce transcrie rezolvarea sub forma unui exercitiu se refera la cazul concret si nu reprezinta un algoritm de rezolvare pentru o categorie de probleme. Daca la scrierea rezolvarii printr-un exercitiu se ınlocuiesc datele cu litere, se obtin formule literale care surprind algoritmul de rezolvare a problemei si care pot fi folosite ın compunerea sau rezolvarea altor probleme. Privirea retrospectiva asupra rezolvarii constituie o etapa cu multe implicatii formative pentru elevi: • se verifica daca rezultatul obtinut ındeplineste toate conditiile din enunt, oferind astfel ınca o oportunitate pentru ıntelegerea drumului parcurs ın rezolvare; • se ofera posibilitatea de a uniıntr-unıntreg ideile din plan, deoarece continutul problemei a fost fragmentat ın activitatea de rezolvare; • se descopera asemanari si deosebiri ıntre schema de rezolvare a problemei date si schemele altor probleme, aceste operatii constituind primele exercitii de formare a algoritmilor de recunoastere, atat de necesari ın alegerea algoritmului de lucru; • se cauta alte procedee de rezovare, se compun probleme asemanatoare sau diferite. O problema este cu atat mai dificila cu cat difera mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu cat situatia noua cere o restructurare mai profunda a experientei anterioare. Dat fiind faptul ca posibilitatile scolarului mic de folosire a cunostintelor si de raportare a relatiilor vechi la cele noi sunt ınca insuficient dezvoltate, actiunile principale ale profesorului trebuie sa urmareasca ıntelegerea de catre elevi a specificului rezolvarii prin alegerea unui procedeu simplu pentru problemele care, desi par diferite, au ın esenta aceeasi structura.

Activitatea de compunere de probleme Activitatea de compunere a problemelor ofera terenul cel mai fertil pentru cultivarea si educarea creativitatii si a inventivitatii. Creativitatea gandirii se poate cultiva pe baza unor deprinderi corect formate, stabilizate si eficient transferate. Trecerea de la rezolvarea problemelor, unde deprinderile si abilitatile se refera ın special la analiza datelor, a conditiei, la capacitatea de a ıntelege ıntrebarea si a orienta ıntreaga desfasurare a rationamentului ın directia descoperirii unei metode de rezolvare, se face ın mod gradat, prin: • complicarea unei probleme prin introducerea de noi date sau prin modificarea ıntrebarii; • rezolvarea problemei prin mai multe procedee: – scrierea rezolvarii problemei ıntr-o singura expresie; – alegerea celei mai elegante cai de rezolvare; – determinarea schemei generale de rezolvare si ıncadrarea problemei ın categoria respectiva. Compunerea de probleme este una dintre modalitatile principale de a dezvolta gandirea independenta si originala a elevilor, a pasiunii pentru matematica. Se pot compune si crea probleme ın urmatoarele forme, respectandu-se succesiunea gradata: • compunerea de probleme dupa imagini; • compunerea de probleme dupa modelul unei probleme rezolvate anterior; • compunerea de probleme cu indicarea operatiilor matematice ce trebuie efectuate; • compunerea de probleme dupa un plan stabilit; • compunerea de probleme cu mai multe ıntrebari posibile; • compunerea de probleme cu ıntrebare data; • compunerea de probleme cu ıntrebare probabilistica; • compunerea de probleme cu ınceput dat, cu sprijin de limbaj; • compunerea de probleme cu marimi date, cu valori numerice date; • compunerea de probleme dupa un exercitiu simplu sau compus; • compunerea de probleme dupa un model simbolic; • compunerea de probleme cu modificarea continutului si a datelor; • compunerea de probleme, crearea libera de probleme, eventual rebusistice sau de perspicacitate. In activitatea de compunere a problemelor, trebuie sa se tina seama de posibilt atile elevilor, prin sarcini gradate, trecandu-se treptat de la compunerea libera la cea ıngradita de anumite conditii din ce ın ce mai restrictive. Se recomanda ca atat ın compunerea de probleme cat si ın rezolvarea acestora sa se utilizeze jocul didactic. Profesorul are sarcina sa conduca aceasta activitate prin indicatii clare, prin exemple sugestive folosite ca modele, prin cerinte rationale, sa canalizeze gandirea si imaginatia copiilor spre asociatii din ce ın ce mai putin ıntamplatoare. Este necesar ca profesorul sa aiba permanent ın atentie ımbunatatirea continua a exprimarii corecte a copiilor, orala si ın scris, atat din punct de vedere matematic cat si gramatical; ımbogatirea vocabularului; cresterea continua a volumului de cunostinte, de corelare a lor si, mai ales, de transfer si folosirea acestora ın practica; nuantarea

exprimarii orale a copiilor ın expunerea problemelor propuse, pentru a scoate ın evidenta atat datele, cat mai ales relatiile dintre ele si ıntrebarea problemei. Compunerea de probleme ın clasele I-IV poate constitui o premisa reala si eficienta pentru o viitoare munca de cercetare, pentru activitatea ulterioara de creatie, inovatie, inventie si o modalitate sigura de sporire a rolului formativ al ınvatamantului matematic din ciclul primar.