Rapport PFE Silo Final [PDF]

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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo

Remerciements Nous tenons à exprimer, au terme de ce travail, nos sincères remerciements à toutes les personnes dont l’intervention, de près ou de loin, au cours de ce projet a favorisé son aboutissement. Ainsi, nous remercions vivement notre encadrant externe Mr Hosny BAKALI, ingénieur structures, qui nous a accueilli au sein du bureau d’études TECTONE et qui n’a ménagé ni son temps ni son énergie pour nous aider à élaborer ce travail dans les meilleures conditions. Nos vifs remerciements s’adressent également à notre encadrant interne Mr A.AZIZI, professeur à l’EHTP, nous le remercions pour les conseils fructueux qu’il n’a cessé de nous prodiguer. Nous devons chaque bribe de notre connaissance à nos enseignants à l’EHTP qui ont si bien mené leur noble quête d’enseigner les bases du Génie Civil. Nous les remercions non seulement pour le savoir qu’ils nous ont transmis, mais aussi pour la fierté et l’ambition que leurs personnes nous aspirent. Nous tenons à remercier aussi tous les membres du jury pour leur bienveillance à vouloir évaluer notre travail.



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Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo

Résumé Le présent projet de fin d’étude, effectué au sein du Bureau d’études TECTONE, consiste à dimensionner un silo de grande hauteur selon deux variantes : une en béton armé et l’autre en béton précontraint. Le silo en question est situé en Guinée Equatoriale. Il est destiné à stocker du ciment. Nous allons tout d’abord commencé par une description générale des caractéristiques des silos, ainsi que l’exécution des travaux de construction et la réparation de ce type d’ouvrage. Ensuite, nous allons étudier la structure du silo en effectuant un calcul manuel des différents éléments de l’ouvrage. La modélisation sur le logiciel Effel a complété cette étude notamment pour le calcul de ferraillage. Enfin nous allons établir une estimation du prix de chaque variante afin de choisir l’une des deux.



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Table des matières Introduction...................................................................................................................................11

I.

Présentation du projet....................................................................................12

II.

Description générale des silos.........................................................................13 II.1. Rôle des silos................................................................................................................13 II.2. Classification des silos..................................................................................................13 II.2.1.  Selon la forme en plan des cellules.....................................................................13 II.2.2.  Selon la forme générale.....................................................................................13 II.2.3.  Selon l’élancement............................................................................................13 II.2.4.  Selon le groupement des cellules........................................................................14 II.2.5.  Selon la matière ensilée.....................................................................................14 II.3. Terminologie.................................................................................................................14 II.3.1.  Rayon hydraulique............................................................................................14 II.3.2.  Surface de remplissage......................................................................................14 II.3.3.  Plan moyen de remplissage................................................................................14 II.3.4.  Plan de base.....................................................................................................15 II.3.5.  Coordonnée relative..........................................................................................15 II.4. Mode d’écoulement......................................................................................................16 II.4.1.  Écoulement en cheminée (ou écoulement central)...............................................16 II.4.2.  Écoulement interne............................................................................................16 II.4.3.  Écoulement en masse........................................................................................16 II.5. Types de vidanges.........................................................................................................17 II.5.1.  Vidange normale...............................................................................................17 II.5.2.  Vidange géométriquement anormale..................................................................17 II.5.3.  Vidange mécaniquement anormale.....................................................................17 II.5.4.  Vidange structurellement anormale....................................................................17 II.6. Caractéristiques du produit ensilé.................................................................................17

III. Exécution des travaux.....................................................................................18 III.1. Technique du coffrage glissant....................................................................................18 III.1.1.  Avantages........................................................................................................18 III.1.2.  Différents systèmes de coffrages glissants..............................................................19 III.1.3.  Appuis............................................................................................................. 19 III.1.4.  Vérins.............................................................................................................19

IV. Réparation et confortement des silos............................................................20 IV.1. Réparation des surfaces...............................................................................................20 IV.1.1.  Traitement par peintures..........................................................................................20 IV.1.2.  Traitement par revêtement plastique épais..............................................................20 IV.1.3.  Traitement par revêtement d’imperméabilité..........................................................21 

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IV.1.4.  Traitement par revêtement d’étanchéité..................................................................21

IV.2. IV.3. IV.4. IV.5.

V.

Réparation par reconstitution du béton..............................................................................21 Réparation par béton projeté...............................................................................................22 Réparation par injection.......................................................................................................22 Renforcement par adjonction d’élément de structure......................................................22

Conception de l’ouvrage.................................................................................23 V.1. Géométrie générale du silo..................................................................................................23 V.2. Eléments structuraux du silo...............................................................................................23 V.2.1.  La Paroi circulaire.....................................................................................................23 V.2.2.  Le cône central..........................................................................................................23 V.2.3.  La poutre couronne...................................................................................................24 V.2.4.  La jupe inférieure......................................................................................................24

VI. Hypothèses de calcul.......................................................................................25 VI.1. VI.2. VI.3. VI.4. VI.5. VI.6.

Propriétés de la matière ensilée..........................................................................................25 La classe de fiabilité............................................................................................................26 La classe de rugosité des parois.........................................................................................26 Type du silo..........................................................................................................................27 Mode d’écoulement.............................................................................................................27 Dispositions constructives minimales...............................................................................27 VI.6.1.  Epaisseur minimale des parois................................................................................27 VI.6.2.  Armatures................................................................................................................27 VI.6.3.  Position du câble de précontrainte..........................................................................28 VI.6.4.  Disposition des ancrages.........................................................................................28 VI.6.5.  Enrobage.................................................................................................................28

VI.7. Hypothèses de calcul...........................................................................................................28

VII. Etude de la 1ère variante : calcul en béton armé...........................................29 VII.1. Action à prendre en compte...............................................................................................29 VII.1.1.  Charges..................................................................................................................29 VII.1.2.  Déformations imposées..........................................................................................29

VII.2. Combinaisons d’actions.....................................................................................................29 VII.2.1.  Vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance...................................................29 VII.2.2.  Vis-à-vis des états-limites de service.....................................................................29

VII.3. Contraintes admissibles.....................................................................................................30 VII.3.1.  Contrainte limite de compression de béton...........................................................30 VII.3.2.  Contrainte admissible de traction des armatures...................................................30

VII.4. Etude de la paroi........................................................................................................31 VII.4.1.  Calcul des poussées sur la paroi............................................................................31 VII.4.1.1.  Notation..................................................................................................31 VII.4.1.2.  Actions au remplissage.............................................................................32 VII.4.1.3.  Actions à la vidange.................................................................................33 VII.4.1.4.  Actions à la vidange avec un grand excentrement..........................................33



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VII.4.1.5.  Tableaux récapitulatifs des actions appliquées sur la paroi............................35

VII.4.2.  Prédimensionnement de l’épaisseur de la paroi....................................................36 VII.4.3.  Effet de la température..........................................................................................36 VII.4.3.1.  Calcul du gradient thermique...................................................................36

VII.4.3.2.  Moment crée par le gradient thermique..........................................................38

VII.4.4.  Effet du vent ..........................................................................................................39 VII.4.4.1.  Données du projet....................................................................................39 VII.4.4.2.  pression dynamique de base q10................................................................39 VII.4.4.3.  Variation de la pression dynamique de base...................................................39 VII.4.4.4.  Actions statiques exercées par le vent............................................................42

VII.4.5.  Calcul du ferraillage de la paroi............................................................................45 VII.4.5.1.  Données générales...................................................................................45 VII.4.5.2.  Définition des charges..............................................................................45 VII.4.5.3.  Calcul des sollicitations à l’ELS................................................................45 VII.4.5.4.  Calcul des sections des cerces...................................................................47 VII.4.5.5.  Armatures d’encastrement........................................................................48 VII.4.5.6.  Armatures longitudinales..........................................................................48

VII.5. Etude du cône............................................................................................................48 VII.5.1.  Calcul des poussées sur le cône............................................................................48 VII.5.1.1.  Actions au remplissage.............................................................................49 VII.5.1.2.  Actions à la vidange.................................................................................50

VII.6. Etude de la poutre couronne..............................................................................................51 VII.6.1.  Condition d’application.........................................................................................51 VII.6.2.  Définition des charges............................................................................................52 VII.6.3.  Limitation de la contrainte tangente conventionnelle...........................................52 VII.6.4.  Armatures supérieures............................................................................................52 VII.6.4.1.  Armatures inférieures...............................................................................53 VII.6.4.2.  Armatures de répartition...........................................................................53 VII.6.4.3.  Schéma de ferraillage...............................................................................53

VII.7. Etude du Plancher circulaire.............................................................................................53 VII.7.4.1.  Calcul des sollicitations internes...............................................................53 VII.7.4.2.  Calcul des armatures................................................................................54 VII.7.4.3.  Schéma de ferraillage...............................................................................55

VII.8. Etude de la Couverture......................................................................................................55 VII.8.1.  Calcul de la prédalle..............................................................................................55 VII.8.1.1.  Données..................................................................................................56 VII.8.1.2.  Calcul de la section d’acier en phase finale................................................56 VII.8.1.3.  Calcul des contraintes en service...............................................................56 VII.8.1.4.  Manutention............................................................................................57 VII.8.1.5.  Stockage..................................................................................................57 VII.8.1.6.  Etude à l’effort tranchant..........................................................................57 VII.8.1.7.  Joints transversaux...................................................................................58 VII.8.1.8.  Schéma de ferraillage...............................................................................58 VII.8.2.  Calcul de la poutre en béton précontraint..............................................................58 VII.8.2.1.  Mode de construction...............................................................................58 VII.8.2.2.  Données de calcul....................................................................................58 VII.8.2.3.  Contraintes admissibles............................................................................58 

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VII.8.2.4.  Phase 1 : calcul de la poutre préfabriquée.......................................................59 VII.8.2.5.  Phase 2 : Calcul de la poutre en Té en service................................................63 VII.8.2.6.  Vérification des contraintes.............................................................................65

VII.9. Dimensionnement du dallage............................................................................................67 VII.9.1.  Définition d’un dallage..........................................................................................67 VII.9.1.1.  Forme.....................................................................................................67 VII.9.1.2.  Interface..................................................................................................67 VII.9.1.3.  Couche d’usure........................................................................................67 VII.9.1.4.  Joints......................................................................................................67 VII.9.2.  Pathologies du dallage...........................................................................................68 VII.9.2.1.  Les désordres de première catégorie..........................................................68 VII.9.2.2.  Les désordres de deuxième catégorie.........................................................69 VII.9.3.  Principe du dimensionnement................................................................................69 VII.9.4.  Calcul des contraintes............................................................................................69 VII.9.4.1.  Contraintes admissibles du béton..............................................................69 VII.9.4.2.  Dispositions constructives........................................................................69 VII.9.4.3.  Sollicitations............................................................................................ 70 VII.9.4.4.  Géométrie du dallage...............................................................................70 VII.9.4.5.  Définition des charges..............................................................................70 VII.9.4.6.  Vérifications............................................................................................ 73

VII.10. Calcul des Fondations......................................................................................................74 VII.10.1.  Descente de charge..............................................................................................74 VII.10.2.  Dimensions de la semelle....................................................................................74 VII.10.3.  Dimensions du radier...........................................................................................75 VII.10.4.  Vérification de la contrainte du sol.....................................................................75 VII.10.5.  Calcul des armatures sur Effel.............................................................................75 VII.10.5.1.  Définition des charges............................................................................75 VII.10.5.2.  Définition des appuis..............................................................................76 VII.10.5.3.  Ferraillage.............................................................................................76 VII.10.5.4.  Schéma de ferraillage.............................................................................76

VII.11. Modélisation de la structure sur le logiciel Effel.........................................................77 VII.11.1.  Saisie de la structure............................................................................................77 VII.11.2.  Définition des appuis...........................................................................................77 VII.11.3.  Définition des charges..........................................................................................78 VII.11.4.  Résultats de la modélisation.................................................................................78 VII.11.4.1.  Déplacements de la paroi........................................................................78 VII.11.4.2.  Sollicitations sur la paroi........................................................................79 VII.11.4.4.  Ferraillage.............................................................................................80

VIII. Etude de la 2ème variante : Calcul en béton précontraint............................83 VIII.1. actions à prendre en compte............................................................................................83 VIII.2. Combinaisons d’actions...................................................................................................83 VIII.2.1.  Vis à vis de l’état limite ultime de sérvice...........................................................83 VIII.2.2.  Vis à vis de l’état limite ultime de résistance.......................................................83

VIII.3. Contraintes admissibles...................................................................................................83 VIII.3.1.  limite de la contrainte de compression dans le béton...........................................83 

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VIII.3.2.  limite de la contrainte de traction dans les armatures..........................................83

VIII.4. Prédimensionnement........................................................................................................84 VIII.4.1.  Section de l’acier de précontrainte.......................................................................84 VIII.4.2.  Prédimensionnement de l’épaisseur de la paroi..................................................84 VIII.4.3.  Epaisseur du connecteur.......................................................................................84

VIII.5. Calcul de la précontrainte................................................................................................85 VIII.5.1.  Données de calcul.................................................................................................85 VIII.5.2.  Force de précontrainte maximale.........................................................................85 VIII.5.3.  Pertes instantanées de Précontrainte....................................................................86 VIII.5.3.1.  Perte par frottement................................................................................86 VIII.5.3.2.  Perte par recul d’ancrage.........................................................................86 VIII.5.3.3.  Perte par déformation instantanée du béton..............................................87 VIII.5.3.4.  Total des pertes instantanées....................................................................88 VIII.5.4.  Pertes différées de Précontrainte..........................................................................89 VIII.5.4.1.  Perte par retrait du béton.........................................................................89 VIII.5.4.2.  Perte par fluage.......................................................................................90 VIII.5.4.3.  Perte par relaxation.................................................................................92 VIII.5.4.4.  Total des pertes différées.........................................................................92 VIII.5.5.  Total des pertes instantanées et différées..............................................................92

VIII.6. Calcul des Fondations.......................................................................................................93 VIII.6.1.  Descente de charge...............................................................................................93 VIII.6.2.  Dimensions de la semelle.....................................................................................93 VIII.6.3.  Dimensions du radier............................................................................................93 VIII.6.4.  Vérification de la contrainte du sol......................................................................93 VIII.6.5.  Calcul des armatures sur Effel..............................................................................94

VIII.7. Modélisation de la structure sur le logiciel Effel..........................................................95 VIII.7.1.  Saisie de la précontrainte......................................................................................95 VIII.7.2.  Résultats de la modélisation.................................................................................96 VIII.7.2.1.  Déplacement de la paroi..........................................................................96 VIII.7.2.2.  Sollicitations sur la paroi.........................................................................97 VIII.7.3.  Ferraillage.............................................................................................................99

IX. Comparaison entre les deux variantes........................................................101 IX.1. Prix de la première variante..............................................................................................101 IX.1.1.  Prix du béton.........................................................................................................101 IX.1.2.  Prix de l’acier........................................................................................................101 IX.1.3.  Prix total de la variante.........................................................................................101

IX.2. Prix de la deuxième variante............................................................................................102 IX.2.1.  Prix du béton.........................................................................................................102 IX.2.2.  Prix de l’acier........................................................................................................102 IX.2.3.  Prix total de la variante.........................................................................................102

Conclusion...................................................................................................................................103 Bibliographie...............................................................................................................................104 ANNEXES...................................................................................................................................105 

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Liste des figures figure 1.  Plan des trois silos....................................................................................................................12 figure 2.  hauteur et diamètre du silo......................................................................................................13 figure 3.  surface,plan moyen et rive de remplissage..............................................................................15 figure 4.  Plan de base.............................................................................................................................15 figure 5.  coordonnée relative..................................................................................................................16 figure 6.  mode d’écoulement..................................................................................................................16 figure 7.  Etapes de construction à l’aide du coffrage glissant................................................................18 figure 8.  Géométrie du silo....................................................................................................................23 figure 9.  Paroi préfabriqué du Cône......................................................................................................24 figure 10.  Transmission des charges dans la poutre couronne...............................................................24 figure 11.  diagramme de définition du mode d’écoulement...................................................................27 figure 12.  Notation : géométrie..............................................................................................................31 figure 13.  Notation : excentricités..........................................................................................................31 figure 14.  Notation : section transversale...............................................................................................31 figure 15.  Notation : Pressions...............................................................................................................31 figure 16.  actions symétriques au remplissage sur la paroi....................................................................32 figure 17.  Flux d’écoulement de la vidange excentrée et distribution de pression................................34 figure 18.  Gradient thermique................................................................................................................36 figure 19.  Coefficient de réduction des pressions dynamiques..............................................................40 figure 20.  Coefficient de réponse............................................................................................................41 figure 21.  diagramme du coefficient de pression extérieure du vent-Catégoerie V-.............................43 figure 22.  Diagramme sous forme polaire des coefficients des pressions extérieures...........................43 figure 23.  Notations : géométrie de la paroi...........................................................................................45 figure 24.  Géométrie et pressions appliquées sur le cône......................................................................48 figure 25.  Actions exercées sur la poutre couronne................................................................................51 figure 26.  Actions sur les parois du cône...............................................................................................52 figure 27.  Plancher circulaire.................................................................................................................53 figure 28.  Schéma de ferraillage de la poutre couronne.........................................................................53 figure 29.  Schéma de ferraillage du plancher circulaire.........................................................................55 figure 30.  Couverture circulaire.............................................................................................................55 figure 31.  Dimensions de la prédalle......................................................................................................55 figure 32.  stockage des prédalles............................................................................................................57 figure 33.  Levage des prédalles..............................................................................................................57 figure 34.  Contraintes admissibles : poutre précontrainte......................................................................58 figure 35.  Schéma de ferraillage de la prédalle......................................................................................58 figure 36.  Diagramme des contraintes du béton.....................................................................................60 figure 37.  Tracé du câble phase 1..........................................................................................................61 figure 38.  Section en Té notations..........................................................................................................63 figure 39.  tracé du câble phase 2...........................................................................................................64 figure 40.  Diagramme des contraintes phase 1......................................................................................65 figure 41.  Diagramme des contraintes phase 2......................................................................................66 figure 42.  schéma de ferraillage de la poutre préfabriquée....................................................................66 figure 43.  composition du dallage..........................................................................................................67 figure 44.  différents types de joints........................................................................................................68 figure 45.  Géométrie du dallage.............................................................................................................70 figure 46.  Abaque pour la détermination de la contrainte d’un dallage sous charge concentrée...........71 figure 47.  Abaque pour la détermination de la contrainte d’un dallage sous charge répartie................72 figure 48.  Dimensions de la semelle.......................................................................................................74 

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figure 49.  hauteur utile du radier.............................................................................................................75 figure 50.  Les charges appliquées sur le radier.......................................................................................76 figure 51.  Armatures supérieures du radier BA.....................................................................................76 figure 52.  Armatures inférieures du radier BA......................................................................................76 figure 53.  Saisie de la structure sur effel................................................................................................77 figure 54.  définition des appuis..............................................................................................................77 figure 55.  Déplacement de la paroi en cm.............................................................................................78 figure 56.  Effort Fx dans la paroi............................................................................................................79 figure 57.  Effort Fy dans la paroi............................................................................................................79 figure 58.  Moment Mx dans la paroi.......................................................................................................79 figure 59.  MomentMy dans la paroi........................................................................................................79 figure 60.  Schéma de ferraillage de la paroi BA : Cerces......................................................................81 figure 61.  Schéma de ferraillage de la jupe inférieure...........................................................................82 figure 62.  Shéma de ferraillage de la paroi du cône..............................................................................82 figure 63.  Recul d’ancrage.....................................................................................................................86 figure 64.  Armatures supérieures du radier BP......................................................................................94 figure 65.  Armatures inférieures du radier BP.......................................................................................94 figure 66.  Définition des barres de précontrainte...................................................................................95 figure 67.  Génération de la température négative sur les barres............................................................96 figure 68.  Déplacement de la paroi en béton précontraint.....................................................................96 figure 69.  Effort Fx due à la précontrainte seule.....................................................................................97 figure 70.  Schéma de ferraillage de la paroi BP : Cerces.....................................................................100



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Liste des tableaux tableau 1.  Caractéristiques de la matière ensilée....................................................................................25 tableau 2.  Valeur des propriétés à utiliser pour les évaluations des divers chargements des parois......25 tableau 3.  valeurs inf et sup des caractéristiques de la matière ensilée..................................................26 tableau 4.  Classification recommandée des silos pour les évaluations d’action....................................26 tableau 5.  Définition des surfaces de paroi.............................................................................................26 tableau 6.  Poussées au remplissage........................................................................................................35 tableau 7.  Poussées à la vidange.............................................................................................................35 tableau 8.  Poussées à la vidange excentrée............................................................................................35 tableau 9.  Pression dynamique de base -zone 5-...................................................................................39 tableau 10.  valeurs du coefficient du site..............................................................................................40 tableau 11.  Coefficient de trainée -catégorie V-....................................................................................42 tableau 12.  valeurs du coefficient de pression extérieure ......................................................................43 tableau 13.  Coefficient de pression intérieure........................................................................................44 tableau 14.  Valeurs du coefficient résultant Cr=Ce-Ci.............................................................................44 tableau 15.  Sollicitations internes dues aux poussées sur la paroi.........................................................47 tableau 16.  section des cerces de la paroi ..............................................................................................47 tableau 17.  Action au remplissage sur le cône pressions horizontales maximales................................49 tableau 18.  actions au remplissage sur le cône pression verticale maximale........................................50 tableau 19.  actions à la vidange sur le cône pression horizontale maximale.........................................50 tableau 20.  actions à la vidange sur le cône pression verticale maximale.............................................51 tableau 21.  sollicitation internes du plancher circulaire.........................................................................54 tableau 22.  Fuseau de passage du câble phase 1...................................................................................61 tableau 23.  fuseau de passage du câble phase 2....................................................................................64 tableau 24.  Pertes instantanées et différées en phase 2.........................................................................65 tableau 25.  Précontrainte et excentricité dans les deux phases..............................................................65 tableau 26.  descente de charge variante béton Armé.............................................................................74 tableau 27.  Ferraillage du radier variante BA.......................................................................................76 tableau 28.  section des cerces de la paroi BA.......................................................................................80 tableau 29.  section des douves de la paroi BA......................................................................................80 tableau 30.  Section des cerces de la jupe inférieure BA.......................................................................81 tableau 31.  Section des douves de la jupe inférieure BA......................................................................81 tableau 32.  Longueurs de recouvrement.................................................................................................82 tableau 33.  Nombre de Câbles de précontrainte.....................................................................................84 tableau 34.  espacement des câbles de précontrainte..............................................................................84 tableau 35.  coefficient kh.......................................................................................................................89 tableau 36.  Valeurs des paramètres du retrait de béton..........................................................................90 tableau 37.  Valeurs des paramètres du fluage de béton..........................................................................91 tableau 38.  descente de charge variante béton précontraint...................................................................93 tableau 39.  Ferraillage du radier Variante BP........................................................................................94 tableau 40.  section des cerces de la paroi BP........................................................................................99 tableau 41.  section des douves de la paroi BP.......................................................................................99 tableau 42.  section des Cerces de la jupe inférieure BP........................................................................99 tableau 43.  section des douves de la jupe inférieure BP........................................................................99 tableau 44.  Prix du béton de la variante BA........................................................................................101 tableau 45.  Prix de l’acier de la variante BA.......................................................................................101 tableau 46.  Prix du béton de la variante BP.........................................................................................102 tableau 47.  Prix de l’acier de la variante BP........................................................................................102



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Introduction

L

a conception et les méthodes de calcul des silos ont toujours fait l’objet d’un foisonnement d’idées, souvent suffisamment différentes pour créer chez les ingénieurs un grand désarroi, les poussant ainsi à choisir en toute liberté la méthode de calcul qui leur convenait, ou même parfois à opérer des mélanges d’éléments théoriques d’origines diverses. Jusqu’à la fin des années 60, les calculs des silos étaient souvent opérés selon les recommandations des normes allemandes din 055 (1964) ou en s’appuyant sur les données numériques données dans les ouvrages de MM Reimbert. En 1970, M. Lambroso, a apporté de nouvelles données dans son étude intitulée «Détermination numérique des sollicitations exercées par la matière ensilée dans les silos », publiée dans les annales de l’ITBTP. Ces données ont été complétées en 1975 par la publication par le SNBATI, toujours dans les annales de l’ITBTP, des « Règles de conception et de calcul des silos en béton » révisées en 1986. On pourrait donc s’interroger utilement sur les raisons qui rendent si complexe le problème des silos. Nous pouvons les résumer principalement ainsi: Le même nom « silo» est souvent donné à des ouvrages de proportion, de dimensions et de destination très différentes, et pour lesquels pourtant, il n’y a aucune raison d’utiliser le même ensemble de formules et de données numériques. L’influence fondamentale du procédé et du phénomène de vidange sur les actions exercées par les matériaux ensilés reste toujours très mal connue et par conséquent difficilement bien estimée. C’est dans ce cadre que s’inscrit notre projet de fin d’étude. Il s’agit en effet de faire le calcul et le dimensionnement d’un silo circulaire destiné à stocker du ciment de capacité 10 000 T, nous allons faire une étude comparative entre deux variantes : en béton armé et en béton précontraint. Le principale règlement sur lequel nous nous sommes basés est l’eurocode 1 partie 4 consacré pour la détermination des actions appliquées sur les parois du silo, cependant ce règlement n’était pas suffisant, nous avons donc eu recours aux annales de l’ITBTP.



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I. Présentation du projet Le projet consiste à étudier un silo destiné au stockage du ciment dans une cimentrie à la ville de KOGA au Guinée Equatoriale. Il s’agit de la construction de trois silos identiques de hauteur 54 m avec un dimètre de 16 m et ayant une capacité de plus de 10 000 T. ((Bureau d’Etudes : TECTONE ((Entreprise de construction : SOMAGEC

figure 1.  Plan des trois silos

Notre mission dans ce projet consiste à : dimensionner l’ouvrage suivant deux variantes : Calcul en béton armé Calcul en béton précontraint établir une estimation de prix pour voir la variante la plus économique.

Présentation du projet

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II. Description générale des silos II.1. Rôle des silos Les silos sont des réservoirs spéciaux destinés à stocker en vrac les matières les plus diverses: ciments, grains, etc. Ces réservoirs de formes diverses en plan (carrée, cercle, etc.) peuvent être indépendants ou accolés. Ils peuvent être de très grande hauteur pour des dimensions limitées en plan ou au contraire ils peuvent occuper une très grande surface en plan et stocker les matières sur une hauteur réduite. Ils peuvent être fermés ou ouverts au sommet. Leur fond peut être plan ou de forme spéciale (mamelles, trémies) avec orifice de vidange. Ils peuvent aussi servir de support et de moyen d’accrochage à des dispositifs mécaniques très divers :élévateurs, transporteurs, appareils évacuateurs, installations thermiques, dispositifs de pesage, de nettoyage, de séchage, de ventilation, etc.

II.2. Classification des silos On peut classifier un silo :

II.2.1.  Selon la forme en plan des cellules xxCarrée xxRectangulaire xxHexagonale xxOctogonale xxCirculaire xxEn as de carreau Les formes carrées et rectangulaire permettent le maximum de capacité sur un terrain donné, et une implantation des poteaux supports plus simple ; en revanche les parois sont fléchis, l’ensemble est relativement coûteux. Les formes circulaires présentent des capacités moindres, mais l’ensemble est moins coûteux ; les cellules en as de carreau permettent une meilleure utilisation de l’espace mais sont d’un calcul difficile donc coûteuses. Les cellules octogonales et hexagonales sont en position intermédiaire.

II.2.2.  Selon la forme générale xxSilo profond xxSilo plat xxSilo de forme ramassé xxSilo de formes spéciales

II.2.3.  Selon l’élancement

xxSilo élancé : h c > 2 dc h xxSilo d’élancement intermédiaire : 1 < c dc xxSilo peu élancé : 0, 4 < h c < 1 dc h xxMagasin de stockage : c < 0, 4

2 dc

On déduit que le silo est élancé

VI.5. Mode d’écoulement Le mode d’écoulement dépend du coefficient de frottement sur la paroi μ et de l’inclinaison de la trémie α

figure 11.  diagramme de définition du mode d’écoulement

Dans notre cas : α=60°, et μ=0,51 ce qui implique un écoulement en cheminée.

VI.6. Dispositions constructives minimales VI.6.1.  Epaisseur minimale des parois L’épaisseur de la paroi ne doit pas être inférieure à celle fixée par les règles spécifiques au procédé de coffrage glissant (on prend en générale une épaisseur minimale de 15 cm)

VI.6.2.  Armatures xxDisposition : Les armatures verticales et les armatures horizontales sont, de préférence, réparties en deux nappes, une près de chaque face de la paroi. La nappe intérieure ne doit pas comporter plus de la moitié de la section totale des armatures horizontales. xxPourcentage minimale : Le pourcentage total d’armatures de chaque direction pour l’ensemble des deux faces, doit être au moins : 0,20% pour des aciers de classe Fe40 ou supérieure 0,35% pour des aciers de classe inférieure. Le rapport entre section des armatures secondaires et des armatures principales ne doit pas être inférieur à 1/4.

Hypothèses de calcul

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xxPourcentage maximale : Dans la partie courante de la paroi, la section totale des armatures de chaque direction rapportée à la section de la paroi doit être inférieure à 2% xxEspacement maximale : L’espacement maximal doit être limité en fonction de l’épaisseur de la paroi. Il est recommandé de ne pas dépasser pour les aciers verticaux un espacement égal à la plus grande des deux valeurs : l’épaisseur de la paroi et 20 cm. xxRecouvrement : La proportion des barres en recouvrement dans une même section ne doit pas être supérieure: à 1/3 dans les sections soumises à la traction (avec flexion d’excentricité M/N inférieure à 0,5e) à 1/2 dans les sections soumises à la flexion (avec traction (M/N supérieure à 0,5e) ou compression)

VI.6.3.  Position du câble de précontrainte L’axe théorique des câbles horizontaux doit se trouver en général dans le tiers extérieur de la paroi.

VI.6.4.  Disposition des ancrages Les ancrages de précontrainte horizontale sont disposés en général selon des nervures verticales. Il est recommandé de prévoir au moins trois nervures équidistantes.

VI.6.5.  Enrobage La distance entre la génératrice extérieure de l’armature la plus proche de la surface libre du béton et celle-ci doit être au moins égale à 2 cm.

VI.7. Hypothèses de calcul Paramètre Résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours fc28 Résistance à la traction du béton ft28 Limite d’élasticité des aciers passifs Limite d’élasticité des aciers actifs Fissuration Taux du travail du sol à l’ELS Enrobage Température minimale de l’air extérieur Température maximale de l’air extérieur Température de référence du ciment

Hypothèses de calcul

Valeur 33 MPa 2,58 MPa 500 MPa 1860 MPa Préjudiciable 30 T/m2 3 cm 25ºC 45ºC 100ºC

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VII. Etude de la 1ère variante : calcul en béton armé VII.1. Action à prendre en compte Les actions à prendre en compte sont celles dues aux :

VII.1.1.  Charges xxPermanentes : poids propre poids des superstructures. Charge d’étanchéité sur la couverture. xxD’exploitation : poussée de la matière ensilée au remplissage et à la vidange charge de la poussière sur la couverture xxClimatiques : vent.

VII.1.2.  Déformations imposées xxEffets de la température extérieure et intérieure

VII.2. Combinaisons d’actions Les combinaisons d’actions suivantes sont à considérer :

VII.2.1.  Vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance (C1) = 1,35 G + 1,5 Q + W’ + T (C2) = G + 1,5 Q + W’ + T (C3) = G + 1,5 W’ + 1,3 Q + T

VII.2.2.  Vis-à-vis des états-limites de service (C5) = G + Q + W + T

des :

Dans les expressions qui précèdent : G, W, W’, Q, T désignent respectivement les valeurs nominales

Charges permanentes : G Charges climatiques : W, W’ Charges d’exploitation : Q Déformation imposées : T En ce qui concerne la valeur nominale des charges climatiques (W ou W’), elle est déterminée comme suit : Vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance : W’ = 1,2 V Vis-à-vis des états-limites de service : W = V (V étant la charge normale des règles NV 65)

Etude de la 1ère variante : calcul en béton armé

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VII.3. Contraintes admissibles VII.3.1.  Contrainte limite de compression de béton xxA L’ELS : La contrainte de compression du béton à l’ELS est limitée à 0,6fc28 Soit une valeur de 19,8 MPa xxA L’ELU : La contrainte limite ultime du béton est donnée par la formule suivante : 0,85f c 28 ×ψ b

γb

Avec :  γ b = 1,5  ψ b = 1

ψ b = 1-

T -100 500

pour T< 100ºC pour 100ºC 0,01 : i = 0.04 + bd

On prend : A/bd = 0,8 % Donc on trouve id3=1,42.10-2 m4  h 3 I = max  id 3 ; 0  = 1,8 .10−2 m 4 12   1  

E = Ev = 3700 f c28  3  = 11867,87 MPa

Finalement, le moment crée par le gradient thermique est égale à: xxAu contact de l’air irradié : M∆t = 0,11 MN.m xxAu contact du ciment : M∆t = 0,087 MN.m

Etude de la paroi

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.4.4.  Effet du vent VII.4.4.1.  Données du projet ((Caractéristiques de la structure : * Hauteur : 54 m * Diamètre : 17,20 m ((Caractéristiques du vent : * Région de vent : zone 5 * Site de vent : exposé * Catégorie : V Les calculs serons effectués conformément aux règles NV65, ainsi peut-on définir l’effort du vent donné par l’expression suivante : Où

q=q10×Km×Ks×Kh×δ×(Ce-Ci)×β

q10 pression dynamique de base à 10 m à partir du sol. Kh est un coefficient correcteur du à la hauteur au dessus du sol. Ks est un coefficient qui tient compte de la nature du site ou se trouve la construction considérée. Km est le coefficient de masque. δ est un coefficient de réduction des pressions dynamiques, en fonction de la plus grande dimension de la surface offerte au vent. Ce et Ci sont les coefficients de pression extérieure et intérieure β : coefficient de majoration dynamique

VII.4.4.2.  pression dynamique de base q10 Les pressions dynamiques de base normales et extrêmes sont celles qui s’exercent à une hauteur de 10 m au-dessus du sol, pour un site normal, sans effet de masque sur un élément dont la plus grande dimension est égale à 0,50 m et leurs valeurs varient avec les régions.

tableau 9.  Pression dynamique de base -zone 5-

VII.4.4.3.  Variation de la pression dynamique de base xxEffet de la hauteur au-dessus du sol Kh: Pour des hauteurs comprises entre 0 et 500m à partir du sol, la pression dynamique de base est multipliée par un coefficient Kh qui est définit par la formule suivante : où H=54 m

Etude de la paroi

 H + 18  K h = 2,5   =1,58  H + 60 

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Calcul et dimensionnement d’un silo xxEffet de site Ks: A l’intérieur d’une région à laquelle correspond des valeurs déterminées des pressions dynamiques de base, il convient de tenir compte de la nature du site d’implantation de la construction en multipliant les pressions dynamiques de base par le coefficient KS qui est le coefficient d’augmentation pour les sites exposés comme les littoraux et les vallées étroites et de réduction pour les sites protégés comme le fond d’une cuvette bordée de collines sur tout son pourtour. Les valeurs du coefficient du site sont données sur le tableau suivant:

tableau 10.  valeurs du coefficient du site

Pour notre cas, nous avons : Ks=1,2 xxEffet de masque Km : Il y a effet de masque lorsque la construction envisagée est masquée et protégée par d’autres constructions ayant une grande probabilité de durée. Pour notre cas, le silo est considéré comme isolé donc : Km = 1 xxEffet des dimensions δ : Les pressions dynamiques s’exerçant sur les éléments constitutifs d’une construction doivent être affectées d’un coefficient de réduction δ fonction de la plus grande dimension (horizontale ou verticale) de la surface offerte au vent (maître ou couple) intéressant l’élément considéré et de la cote H du point le plus haut de cette surface.

figure 19.  Coefficient de réduction des pressions dynamiques

Nous avons H ≥ 50 m et la plus grande dimension de la surface offerte au vent est égale 17,20m Donc δ=0,9

Etude de la paroi

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Calcul et dimensionnement d’un silo xxPerméabilité des parois : Une paroi a une perméabilité au vent de µ % si elle comporte des ouvertures de dimensions quelconques dont la somme des aires représente µ % de son aire totale. D’après le degré de perméabilité des parois, les Règles considèrent trois types de constructions. Une construction est dite : ((Fermée : si ses parois présentent des fuites et des petites ouvertures uniformément réparties, la perméabilité moyenne de ces parois étant inférieure ou égale à 5 % ((partiellement ouverte : si l’une des parois au moins présente ou peut présenter à certains moments une perméabilité moyenne comprise entre 5 et 35 % ; ((ouverte : si l’une des parois au moins présente ou peut présenter à certains moments une perméabilité égale ou supérieure à 35 %. Pour notre cas, nous avons μ=2,75 % Donc le silo est considéré comme fermé xxRéduction maximale des pressions dynamiques de base : Pour les constructions définitives, la totalité des réductions autorisées par les règles concernant l’effet de masque et l’effet de dimensions ne doit, en aucun cas, dépasser 33%. Ce qui est vérifié (10%) xxMajoration dynamique β : Pour tenir compte de l’effet des actions parallèles à la direction du vent, les pressions dynamiques normales servant au calcul de l’action d’ensemble sont multipliées par un coefficient de majoration, ce coefficient est donné par la formule :

β=θ(1+τ.ξ) * Coefficient de réponse ξ : Il est donné en fonction de la période T :

figure 20.  Coefficient de réponse

Etude de la paroi

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Calcul et dimensionnement d’un silo Avec :

T = 1, 79h 2

Où :

P gEI

h : est la hauteur du silo => h = 54 m P : son poids propre par unité de hauteur => P = 312,9 T⁄m 1 I : le moment d’inertie de sa section => I = π ( R ext4 − R int4 ) = 34,53.103 m 4 2 E : le module d’élasticité du béton => E=35 GPa G : accélération de la pesanteur => g=9,78 m/s2 Donc on trouve : T=0,085s Ainsi en utilisant le graphe ci-dessus on obtient : ξ=0,085 * Coefficient de pulsation τ : Il dépend de la hauteur H de la structure: Pour H=54 m => τ = 0,294 * Coefficient θ: Le coefficient θ dépend du type de la construction, dans notre cas il s’agit d’une construction circulaire donc : θ=1 Ainsi la majoration dynamique vaut : β=θ(1+τ.ξ)=1,025

VII.4.4.4.  Actions statiques exercées par le vent xxRapport de dimensions λ : λ = h/d = 3,14 xxCoefficient global de traînée ct : Pour un rapport de dimensions quelconque, le coefficient global de traînée a pour valeur : ct =γ cto

tableau 11.  Coefficient de trainée -catégorie V-

Nous avons d ≥ 0,28 donc ct0= 0,55

Etude de la paroi

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Calcul et dimensionnement d’un silo xxCoefficients γ :

Nous avons λ = 3,14 => γ = 1,013 Ainsi Coefficient global de traînée ct vaut : ct = 0,557

xxActions extérieures Ce: Le coefficient de pression Ce à prendre en compte dans une section diamétrale est donné par le diagramme ci-dessous en fonction du coefficient et de l’angle d’inclinaison de la surface plane ou du plan tangent à la surface courbe sur la direction du vent.

α 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

face au vent -0,84 -1,04 -1,08 -0,8 -0,4 0 0,35 0,7 0,92 1

Ce face sous le vent -0,84 -0,6 -0,42 -0,35 -0,34 -0,34 -0,34 -0,34 -0,34 -0,34

tableau 12.  valeurs du coefficient de pression extérieure

figure 21.  diagramme du coefficient de pression extérieure du vent-Catégoerie V-

Etude de la paroi

figure 22.  Diagramme sous forme polaire des coefficients des pressions extérieures

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Calcul et dimensionnement d’un silo xxActions intérieures Ci:

tableau 13.  Coefficient de pression intérieure

Nous avons : ct = 0,557 Donc :

xxPour la surpression : Ci= 0,326 xxPour la dépression : Ci= -0,326 Cr =(Ce-Ci)

α 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

surpression face au vent face sous le vent -1,17 -1,17 -1,37 -0,93 -1,41 -1,13 -0,73 -0,33 0,02 0,37 0,59 0,67

-0,75 -0,68 -0,67 -0,67 -0,67 -0,67 -0,67 -0,67

dépression face au vent face sous le vent -0,51 -0,51 -0,27 -0,27 -0,09 -0,02 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01

tableau 14.  Valeurs du coefficient résultant Cr=Ce-Ci

-0,09 -0,02 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01 -0,01

On remarque que la valeur de Cr= Ce-Ci qui donne l’effet le plus défavorable est Cr= -1,41 Donc l’effort du vent est:

q=120×1×1,2×1,58×0,9×1,025×-1,41=-296 kg/m2

Etude de la paroi

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.4.5.  Calcul du ferraillage de la paroi VII.4.5.1.  Données générales Rayon de courbure : a=8,3 m Hauteur de la paroi : h=38 m Epaisseur de la paroi : t=0,6 m Plan moyen de remplissage : z=4 m Coefficient de poisson : ν=0,15

figure 23.  Notations : géométrie de la paroi

VII.4.5.2.  Définition des charges ((Charges permanentes : * Poids propre de la couverture : 3,88 T/ml * Poids propre de la paroi : 0,6×2,5 z= 1,5 z (T/ml) ((Charges d’exploitation à la vidange : z −4 z −4 * Pression horizontale : − − 12,94 7,63 + 5,5e xxPour z>4 m : Phe = 21,34 − 26,84e xxPour z4 m : Pwe = −146, 09 + 10,18 z + 166, 27e − 20,18e xxPour z4 m : P ( z ) = 21,86 − 26,84e N ( z ) = −142, 21 + 11, 68 z + 166, 27e

−

12,94

− 20,18e

−

z −4 7,63

Pour z2,35 m : Dw = −50, 77 − 0, 75 ξ + 50,37 e 12,94 − 10,85e 7,63 Pour ξ 5 5->10 10->15 15->20 20->25 25->30 30->35 35->38

Ath(cm2/ml) 7,7 24,4 38,4 48,6 55,8 60,6 71,2 80,5

tableau 16.  section des cerces de la paroi

Etude de la paroi

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.4.5.5.  Armatures d’encastrement On considère une section de dimensions 0,6*1 m soumise à un moment de flexion : MT=Mz+M∆t le moment crée par le gradient thermique est égale à: * Au contact de l’air irradié : M∆t = 11 T.m/ml * Au contact du ciment : M∆t = 8,7 T.m/ml On considère le cas le plus défavorable à savoir : MT=13,1 T.m/ml On trouve As= 11,3 cm2/ml

VII.4.5.6.  Armatures longitudinales On considère à nouveau une section de dimensions 0,6*1m soumise à un moment de flexion : M=15,26 T.m/ml. On trouve As=12 cm2/ml

VII.5. Etude du cône VII.5.1.  Calcul des poussées sur le cône

figure 24.  Géométrie et pressions appliquées sur le cône

A partir de la profondeur h, on calcule les actions sur le fond incliné à l’aide des deux actions suivantes: xxL’action verticale Pvfond à la profondeur h=24m xxL’action horizontale Phf à la profondeur z considérée obtenue en extrapolant vers le bas les courbes Phf (z) comme si les cellules continuaient à être cylindrique Soit α l’obliquité de la paroi de la trémie par rapport à l’horizontale (α=60°) On admet alors que l’action exercée sur toute surface unitaire de paroi de trémie est une force ayant pour composante : xxVerticalement : P ( z ) = kv ( Pvfond + ( z − h ) γ ) xxHorizontalement : h ( z ) = k n ( Phf ) Avec : kv=1,35 et kn=1,15 Donc : Pn = P cos 2 (α ) + h sin 2 (α ) et Pt = ( P − h ) cos(α ) sin(α )

Etude du cône

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.5.1.1.  Actions au remplissage »»Les pressions horizontales maximales : Ces pressions maximales sont obtenues avec les caractéristiques suivantes : μ=μinf=0,477 ; K=Ksup=0,648 et φ=φinf=24,6° ((Les pressions horizontales sont calculées dans la partie VI.4.1 ((La pression sur le fond au niveau supérieure du cône est égale à : Pvf ( z = 24 ) =

Phf (z = 24) 11,32 = = 17, 46T / m 2 K 0, 648

z

(z-h)

Phf

P

h

Pn

Pt

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11,32 11,48 11,62 11,75 11,88 11,99 12,10 12,20 12,29 12,37 12,45

23,57 25,73 27,89 30,05 32,21 34,37 36,53 38,69 40,85 43,01 45,17

15,28 15,50 15,69 15,86 16,04 16,19 16,34 16,47 16,59 16,70 16,81

17,35 18,06 18,74 19,41 20,08 20,73 21,38 22,02 22,66 23,28 23,90

3,59 4,43 5,28 6,14 7,00 7,87 8,74 9,62 10,50 11,39 12,28

tableau 17.  Action au remplissage sur le cône pressions horizontales maximales

»»La pression verticale sur le fond maximale: Cette pression maximale est obtenue avec les caractéristiques suivantes : μ=μinf=0,477 ; K=Kinf=0,45 et φ=φsup=36,6° ((pressions horizontales : Nous avons : zo=18,63 m et Pho=13,41 T/m2 Donc : Phf = 13, 41 (1 − e

−

z 18,63

)

((La pression sur le fond au niveau supérieure du cône est égale à : Pvf ( z = 24 ) =

Etude du cône

Phf ( z = 24) K

=

97,15 = 21,59 T / m 2 0, 45

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Calcul et dimensionnement d’un silo z

(z-h)

Phf

P

h

Pn

Pt

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9,71 9,91 10,09 10,26 10,43 10,58 10,73 10,87 11,00 11,13 11,25

29,15 31,31 33,47 35,63 37,79 39,95 42,11 44,27 46,43 48,59 50,75

13,11 13,37 13,62 13,85 14,08 14,29 14,49 14,68 14,85 15,02 15,18

17,12 17,86 18,58 19,30 20,00 20,70 21,39 22,07 22,75 23,41 24,07

6,94 7,77 8,59 9,43 10,27 11,11 11,96 12,81 13,67 14,53 15,40

tableau 18.  actions au remplissage sur le cône pression verticale maximale

VII.5.1.2.  Actions à la vidange Pour le cas de la vidange les pressions horizontales maximales sont obtenues en majorant les pressions correspondantes au remplissage par 1,15 ; et on garde les pressions verticales : xxPhe (z ) = 1,15 Phf ( z ) xxPvefond = Pvfond »»Les pressions horizontales maximales : z

(z-h)

Phf

P

h

Pn

Pt

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13,02 13,20 13,36 13,51 13,66 13,79 13,92 14,03 14,13 14,23 14,32

23,57 25,73 27,89 30,05 32,21 34,37 36,53 38,69 40,85 43,01 45,17

17,57 17,82 18,04 18,24 18,44 18,61 18,79 18,94 19,08 19,20 19,33

19,07 19,80 20,50 21,19 21,88 22,55 23,22 23,88 24,52 25,16 25,79

2,60 3,42 4,27 5,11 5,96 6,82 7,68 8,55 9,43 10,31 11,19

tableau 19.  actions à la vidange sur le cône pression horizontale maximale

Etude du cône

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Projet de Fin d’Études Juin 2013

Calcul et dimensionnement d’un silo »»La pression verticale sur le fond maximale: z

(z-h)

Phf

P

h

Pn

Pt

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11,17 11,39 11,60 11,80 11,99 12,17 12,34 12,50 12,65 12,80 12,94

29,15 31,31 33,47 35,63 37,79 39,95 42,11 44,27 46,43 48,59 50,75

15,08 15,38 15,66 15,93 16,19 16,43 16,66 16,88 17,08 17,28 17,46

18,59 19,36 20,11 20,85 21,59 22,31 23,02 23,72 24,42 25,10 25,78

6,09 6,90 7,71 8,53 9,35 10,18 11,02 11,86 12,71 13,56 14,41

tableau 20.  actions à la vidange sur le cône pression verticale maximale

Pour les calculs nous devons associer les deux cas de poussées sur la trémie séparément (pression horizontale maximale ou pression verticale maximale) avec le cas de poussée sur la paroi correspondant (remplissage, vidange ou vidange excentrée).

VII.6. Etude de la poutre couronne Nous allons étudier la poutre couronne en l’assimilant à une console courte comme représenté sur la figure suivante :

figure 25.  Actions exercées sur la poutre couronne

VII.6.1.  Condition d’application Condition d’application de la méthode représentée sur l’annexe 6 du BAEL 91 révisée 99 : La hauteur utile d dans la section d’encastrement est au moins égale à la plus grande des deux dimensions suivantes : a distance du point d’application de la résultante de la charge au nu de la section d’encastrement. longueur sur laquelle la charge appliquée est répartie. Or , nous avons d=1,9m ≥ max(1;0,35)=1 , condition vérifiée

Etude de la poutre couronne

51

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.6.2.  Définition des charges On considère le cas le plus défavorable des poussées sur le cône, à savoir le cas de la vidange avec la pression verticale sur le fond maximale :

figure 26.  Actions sur les parois du cône

Nous avons : Pt=0,83 z -13,9 ; p1= 20,85 T/m2

et

p2= 25,78 T/m2

Les charges appliquées sur le cône ainsi que le poids propre de la poutre créent dans cette dernière un effort vertical PV, un autre horizontal PH, et un moment M. A l’état limite ultime on a : PV=184,35 T/m

PH=167,4 T/m

Mu=261,7 T.m/m

VII.6.3.  Limitation de la contrainte tangente conventionnelle La contrainte tangentielle τu doit satisfaire la condition suivante : τu =

PV b0 d (1 − 0, 6

PH ) PV

≤ min 0, 03 ( 2 + ρ ) .min ( f c 28 ,30 ) ; 4 

Avec : ρ = min  d ; 4  = 2,37 et b0=1,00 m a



Donc : τu = 2,13 MPa ≤ 3,93 MPa , condition vérifiée.

VII.6.4.  Armatures supérieures L’aire A de la section de ces armatures est donnée par la formule : As =

Avec :

M u Hu + fe fe z

γs

γs

Mu=PV a + M : Moment de flexion dans la section d’encastrement. Hu= -PH

 ρ ρ    z = min 0, 7 d 1 +  ;1, 2a  0,8 +   = 1, 223 m 10 5     

On trouve ainsi : As= 38,4 cm2⁄ml Soit : 1T25 avec un espacement e=12 cm

Etude de la poutre couronne

52

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.6.4.1.  Armatures inférieures L’aire A de la section de ces armatures est donnée par la formule : Ai = Soit 1T8 avec un espacement de e=12 cm

As = 3,8cm 2 / ml 10

VII.6.4.2.  Armatures de répartition Elles sont données par la formule : Ar= λ As (comprenant l’acier inférieur) 

1





Avec : λ = max 0,1 ; 4  ρ +

 12τ u − 1  = 0,536 f c 28 

Donc :Acier à répartir = Ar − Ai = ( λ − 0,1) As = 16, 7 cm 2 / ml Soit 2HA16 ( un au tiers de la distance d et l’autre au 2/3 d) avec un espacement de e=12 cm

VII.6.4.3.  Schéma de ferraillage

figure 28.  Schéma de ferraillage de la poutre couronne

VII.7. Etude du Plancher circulaire Il s’agit d’une plaque circulaire de rayon a =7,8 m simplement appuyée et uniformément chargée P=0,3 t/m2 :

figure 27.  Plancher circulaire

VII.7.4.1.  Calcul des sollicitations internes L’équation d’équilibre de la plaque s’écrit : ∆ 2 w = Avec : W : la déformée de la plaque et D =

P D

E t3 12 (1 −ν 2 )

La solution de cette équation s’écrit sous la forme : w=

P 4 4 a ρ + C1 + C2 ρ 2 + C3 ρ 2 log( ρ ) + C4 log( ρ ) 64 D

Avec : r C1, C2, C3 et C4 : Constantes à déterminer par les conditions aux limites et ρ = a Etude du Plancher circulaire

53

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Calcul et dimensionnement d’un silo Les sollicitations internes sont données par les relations suivantes : d 2 w ν dw 1 dw d 2w d d 2 w 1 dw M r = − D( 2 + ) ) ; M θ = − D( +ν 2 ) ; Qr = − D ( 2 + dr r dr r dr dr dr dr r dr ((Conditions aux limites : P 4 a + C1 + C2 = 0 * ρ=1 : w = 64 D

M r = 2C2 (1 +ν ) + C3 ( 3 +ν ) + Qr = − R = −

3 ν Pa pa 4 + =0 16 16 D

 Pa D  3a 4 P 3a 4 P a 4 P =− 3 + − + 4C3  2 a  8D 16 D 16 D 

* ρ=0 : La flèche est finie, par conséquent C4=0 4 Finalement : C1 = Pa  5 +ν  ; 64 D  1 +ν  La déformée W s’écrit donc :

w=

C2 = −

(3 +ν ) Pa 4 32 (1 +ν ) D

et C3=0

a4 P ( 2(3 +ν )∅1 − (1 +ν )∅0 ) 64 D(1 +ν )

Les efforts internes correspondants sont : a2 P Mr = (3 +ν )∅1 ; 16

Mθ =

a2 P  2 (1 −ν ) + (1 + 3ν )∅1  16 

; Qr = −

aP ρ 2

Avec : ∅ 0 = 1 − ρ 4 et ∅1 = 1 − ρ 2 Ainsi on trouve les résultats suivants : r 0 1 2 3 4 5 6 7 7,8

ρ 0,000 0,128 0,256 0,385 0,513 0,641 0,769 0,897 1,000

φ0 1,000 1,000 0,996 0,978 0,931 0,831 0,650 0,351 0,000

φ1 1,000 0,984 0,934 0,852 0,737 0,589 0,408 0,195 0,000

w 0,019 0,019 0,018 0,016 0,013 0,010 0,007 0,003 0,000

Mr (MN.m) 0,036 0,035 0,034 0,031 0,026 0,021 0,015 0,007 0,000

Mθ (MN.m) 0,036 0,036 0,035 0,033 0,032 0,029 0,026 0,023 0,019

Qr (MN) 0,000 -0,002 -0,003 -0,005 -0,006 -0,008 -0,009 -0,011 -0,012

tableau 21.  sollicitation internes du plancher circulaire

VII.7.4.2.  Calcul des armatures Nous avons : Mr max= Mθ max = 0,036 MN.m

σ M max = 2,577.10−3 => K1 = 45, 24 => σ b = s = 4,94 MPa ≤ σ b = 19,8MPa 2 K1 bd σ s M max Donc : A = = 7, 03 cm 2 / ml β1d σ s

µ=

Soit : Soit 1HA14 tous les 20 cm radiale et tangentielle.

Etude du Plancher circulaire

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Projet de Fin d’Études Juin 2013

Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.7.4.3.  Schéma de ferraillage

figure 29.  Schéma de ferraillage du plancher circulaire

VII.8. Etude de la Couverture Elle s’agit d’une couverture circulaire constituée de prédalles appuyées sur des poutres en béton précontraint comme représentée sur la figure suivante :

figure 30.  Couverture circulaire

VII.8.1.  Calcul de la prédalle Une prédalle est un coffrage perdu constitué par une dalle préfabriquée en béton armé constituant la partie inférieure et contenant les armatures, d’une dalle pleine dont la partie supérieure est coulée en place.

figure 31.  Dimensions de la prédalle

Etude de la Couverture

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.8.1.1.  Données »»Dimensions : Portée de la dalle : L=2,00 m Largeur de la dalle : b=3,00 m Epaisseur de la prédalle : h1=0,10 m ( 5cm ≤ h1≤ h/2 ) Epaisseur du béton coulée sur place : h2=0,10 m Epaisseur totale de la dalle : h=0,20 m Hauteur utile prédalle seule : d1=0,07 m Hauteur utile dalle entière : d2=0,17 m Enrobage à l’axe des aciers inférieurs : 3 cm 0,85 f c 28 = 18, 7 MPa Béton : fc28=33 MPa ,Soit : σ bu = fe γ b Acier : fe=500 MPa ,Soit : σ su = = 434, 78 MPa γs

»»Charges : Poids propre de la prédalle pour 1 m de largeur : g1=2,5×h1=0,25 T⁄m2 Poids propre du béton CSP pour 1 m de largeur : g2=2,5×h2=0,25 T⁄m2 Superstructure : g3=0,18 T⁄m2 Charge d’exploitation en phase d’exécution : q1=Max[0,1T ;0,05 L]=0,15 T⁄m2 Charge d’exploitation : q2=0,3 T⁄m2

VII.8.1.2.  Calcul de la section d’acier en phase finale Nous avons : M u = 1,35 ( g1 + g 2 + g3 )

l2 l2 + 1,5 q2 = 1,54 T .m / m 8 8

Ce qui donne une section de A = 2,1 cm2/ml . Amin= 6 h =1,2 cm2/ml < A . OK

VII.8.1.3.  Calcul des contraintes en service ((Prédalle : La position de l’axe neutre est obtenue par l’équation des moments statiques : b0 On trouve : x = 1,8 cm bras de levier : zb = d1 −

x2 − n As ( d1 − x ) = 0 2

x 3

Donc : M σ s = ser = 7, 4.104 M ser et σ bc = As zb

σs x

15(d1 − x)

= 1, 7.103 M ser

Lors du coulage du béton le moment Mser vaut : M ser = ( g1 + g 2 + q1 ) Donc :

l2 = 0, 79T .m / m 8

σs= 584,6 MPa > 434,78 MPa σbc=13,43 MPa < 0,6 fc28=19,8 MPa La contrainte de l’acier n’étant pas vérifiée, dans ce cas on va augmenter la section de l’acier, on prend une section A=4 cm2/ml, ce qui donnera : σs = 316 MPa < 434,78 MPa OK σbc=10,74 MPa < 19,8 MPa OK

Etude de la Couverture

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Calcul et dimensionnement d’un silo ((Dalle finie : La position de l’axe neutre est donnée par l’equation : b0 Donc : x=3,96 cm

x2 − n As ( d 2 − x ) = 0 2

bras de levier : zb=15,68 En phase finale le moment devient : M ser = ( g1 + g 2 + g3 + q2 ) On trouve les contraintes suivantes :

l2 = 1,1T .m / m 8

σs = 176 MPa < 434,78 MPa OK σbc= 3,96 MPa < 19,8 MPa OK

VII.8.1.4.  Manutention  la charge de la manutention est : Fth = Lx ( h × 2,5 ) = 0, 25T / m 2

Charges à prendre en compte : F=1,4 Fth = 0,35 T Pour tenir compte : * de l’incertitude sur la répartition des efforts entre points de levage. * des effets dynamique ou de ventouse au démoulage. * du vent, Moments à la manutention : * sur appui : M A = F × 0,5 2

* En travée : M T

= F×

2

= 0, 044 T .m

2

2 − M A = 0,13T .m 8

6M = 0, 78 MPa h2 f Pour pouvoir faire la manutention on doit vérifier que : σ bt < tj

Contrainte de traction du béton : σ bt =

2

cette relation est vérifiée à partir du 6 jour. en effet : f c 6 =

figure 33.  Levage des prédalles

33 × 6 = 20,52 MPa soit : ft6=1,74 MPa 4, 67 + 0,83 × 6

VII.8.1.5.  Stockage

figure 32.  stockage des prédalles

Chargement : p=g1=0,25 T/m2  p  1, 22 Moment maximal au stockage : M = −  − 0,32  = −0, 04 T .m / m 4 2



Contrainte de traction du béton : σ bt = 6 M = 0, 24 MPa OK 2 h

VII.8.1.6.  Etude à l’effort tranchant Nous avons : Pu =1,35 ( g1 + g 2 + g3 ) + 1,5q2 = 1,37T / m 2 Donc : Vu =

Pu L = 2, 05T / m 2

Etude de la Couverture

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Calcul et dimensionnement d’un silo Le glissement ultime à l’interface prédalle-béton coulé en place est donné par : gu =

Vérification : τ u =

Vu b0 = 0,13MN / m 0,9 d

gu = 0,13 MPa Ay Avec : A=2,5cm2, d=16,9cm , dr =9,5 cm A.N : Ar =4,4 cm2 , soit: HA12 e =20cm Longueur du couvre-joints : lr=2 (ls+c)

* La contrainte d’adhérence est : τ su

d dr

= 0, 6ψ s ft = 3, 48MPa

* La longueur du scellement est : ls = Φ

fe

4τ su

= 43cm

Avec : ψs=1,5 , ft=2,58 MPa et c=d-dr=7,4cm , Donc : lr = 100 cm.

VII.8.1.8.  Schéma de ferraillage

figure 35.  Schéma de ferraillage de la prédalle

VII.8.2.  Calcul de la poutre en béton précontraint VII.8.2.1.  Mode de construction La poutre en question est réalisée en deux phases : Phase 1 : on réalise sur une aire de préfabrication une poutre rectangulaire en béton précontraint destinée à supporter le poids des prédalles et le béton coulé sur place ainsi que les charges du chantier. Phase 2 : Après durcissement du béton coulé, la poutre prend la forme Té et une deuxième famille de câbles est mise en tension pour enfin installer les superstructures.

VII.8.2.2.  Données de calcul

* Poutre de portée 16,3 m en classe II de précontrainte * Acier de précontrainte : toron T15 S (A=150mm2) classe TBR * Limite élastique : fpeg=1660 MPa * Limite de rupture : fprg=1860 MPa * Enrobage : d’=12 cm

VII.8.2.3.  Contraintes admissibles

* σcs= 0,6 fc28 = 19,8 MPa * σci = 0,5 fc28 = 16,5 MPa * σti= -ft28 = -2,58 MPa * σts= -1,5 ft28 = -3,87 MPa Etude de la Couverture

figure 34.  Contraintes admissibles : poutre précontrainte

58

Projet de Fin d’Études Juin 2013

Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.8.2.4.  Phase 1 : calcul de la poutre préfabriquée ((Prédimensionnement : Pour ce type de poutre, la hauteur est de l’ordre de 1/15 à 1/18 de la portée. Nous prendrons h=0,9 m La largeur est de l’ordre 0,4 h à 0,7 h, nous retiendrons : b = 0,4 m ((Définition des charges : * Charges permanentes : xxPoids propre de la poutre : 0,9 T/ml xxPoids des prédalles : 0,75 T/ml xxPoids du béton coulé sur place : 0,84 T/ml * Charges d’exploitation : xxPoussière : 0,33 T/m ((Calcul des sollicitations à l’ELS : g l2 ql2 = 82, 7 T .m ; M q = = 10,9 T .m * Moments : M g = 8

* Efforts tranchants : Vg =

8

gl ql = 20,3T ; Vq = = 2, 7 T 2 2

((Détermination de la précontrainte P et de l’excentricité e0 : Les caractéristiques de la section sont les suivantes : h=0,9m ; b=0,4 m ; S=0,36 m2 ; I=0,0243 m4 ; v=0,45 ; v’=0,45 ; ρ=0,33 Nous supposerons, compte tenu de la portée et du rapport (charges permanentes/charges d’exploitation) élevé que la section est sur-critique. Par suite : M + ρ Svσ ti Psur = max ' = 1, 67 MN ρv + v − d ' Il nous faut vérifier que la section de béton est suffisante par : I ∆M I Pρ h = 0, 054 m3 ≥ = 0, 0057 = 0, 054m3 ≥ = 0, 028 m3 et v v v' ∆σ i σ cs + ' .σ ti v

Ce qui est vérifié,

L’excentricité est donnée par : e0=-(v’ - d’)=-0,33m Ainsi nous avons : P=1,67 MN e0= - 0,33 m ((Nombre de Câbles: En partant d’une valeur approchée de la contrainte de l’acier après pertes de (2/3)fprg=1240 MPa On obtient une section d’acier : Ap = Soit n câble T 15 S: Avec : n =

P 1, 67 . 106 = = 1346, 77 mm 2 1240 1240

1346, 77 = 8,978 150

Soit 9 câbles T15 S

Etude de la Couverture

59

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Calcul et dimensionnement d’un silo ((Vérification en ELU de la section médiane : Le moment ultime de calcul vaut : Mu=1,35 Mg+1,5 Mq= 1,28 MN.m Le moment réduit vaut : µ =

Mu 1, 28 = = 0.28 2 bd σ bc 0, 4 × 0, 782 ×18, 7

L’équilibre des moments s’écrit : μ=0.8×ξ×(1-0.4ξ) Dont la racine est : ξ =

(

x = 1.25 1 − d

(1 − 2µ ) ) = 0.421

Ainsi , la résultante de compression du béton est égale à : Fb=0.8 ξ b d σbc=0.8×0.421×0,4×0,78×18,7 = 1,96 MN * Allongement Δε3: Nous avons : 1− ξ ∆ε 3 = 3.5 × = 4,8 ‰ < 10‰ ξ * Allongement ε1dû à la précontrainte : Nous avons : ε1 =

σ1

Ep

=

P = 6,36 ‰ Ap E p

* Allongement ε2 dû à la décompression du béton : Il nous faut calculer la contrainte du béton au niveau du câble :

figure 36.  Diagramme des contraintes du béton

Ainsi on trouve une contrainte au niveau du câble égale à σb= - 0,6 MPa Donc : ∆σ2=5×σb= -3 MPa La contrainte dans l’acier de précontrainte est : σ2=σ1+∆σ2=1237,2MPa < 0,9 fpeg/γb =1299,13 MPa Donc : ε2=σ2/Ep =6,34 ‰ Soit : ε3=ε2+∆ε3=11,14 ‰

 γ ×σ 3  + 100 ×  p − 0.9  Qui donne une contrainte calculée à partir de l’équation de l’acier : ε 3 =  f  Ep  peg 

σ3

5

On trouve : σ3=1484,85 MPa

D’où : Fp=Ap×σ3=2 MN > Fb=1,96 MN Ce qui est vérifié.

Etude de la Couverture

60

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Calcul et dimensionnement d’un silo ((Câblage : Le fuseau de passage est donné par e1(x) et e2(x) tel que : M − ρ S v 'σ ts M + ρ S v σ ti et e2 ( x ) = − ρ v ' − min e1 ( x ) = ρ v − max P P Nous avons : Mmin (x)=Mg (x)=0,0124x(16,3-x) Mmax (x)=Mg (x)+Mq (x)=0,014x(16,3-x) On obtient les résultats suivants : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8,15

e1 0,23 0,10 -0,01 -0,10 -0,18 -0,24 -0,29 -0,31 -0,33 -0,33

e2 -0,27 -0,38 -0,48 -0,57 -0,64 -0,69 -0,73 -0,75 -0,76 -0,76

tableau 22.  Fuseau de passage du câble phase 1

figure 37.  Tracé du câble phase 1

Avec : tan (α ) =

4 ∆H = 0, 081 => α = 4, 63° L

((Vérification de l’effort tranchant en ELU : L’effort tranchant ultime vaut : Vu=Vgu+Vqu-P sin(α)=0,095 MN Soit un cisaillement ultime : τ u =

f 1,5V = 0,158 MPa < 0, 09 c 28 = 1,98 MPa h γb

Donc pas d’armatures d’effort tranchant.

Etude de la Couverture

61

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Calcul et dimensionnement d’un silo ((Calcul des pertes : * Données de calcul : Module d’Young des aciers de précontrainte : Ep=200 000MPa Tension à l’origine : σp0=min(0,8fprg;0,9fpeg )=1488 MPa Coefficient de frottement angulaire : f=0.18 rd-1 Coefficient de frottement linéaire : φ=0.002 m-1 recule à l’ancrage : g=2 mm Paramètre de relaxation : ρ1000=2.5 % et μ0=0,43 * Pertes instantanées : xxFrottement (calcul à mi- travée) : A mi-travée, nous avons : x=8,15 m et α=4,63°=0,081 rad Donc : ∆σf=σp0 (1-e(-φx-fα))=45,24 MPa xxRecul d’ancrage : g Ep La longueur d’influence d du recul d’ancrage est telle que : d = σ p0 k fα + ϕ = 0, 0038 Avec : k = l

On trouve donc : d=8,41 m < 8,15 m La section à mi- travée est donc affectée par le recul d’ancrage, Ainsi : ∆σg= σp0 e-K(x) [1-e-2[K(d)-K(x)] ]= 1,5 MPa Avec : K(x)=fα(x)+φx xxRaccourcissement élastique : Ep 1 ∆σ n = σ bco 2 Eij Avec : σbco = contrainte du béton au niveau du câble à la mise en tension sous l’action de la précontrainte et des charges permanentes. σ bco =

1,15 P 1,15 P e02 M g e0 + + = 2, 71 MPa S I I

D’autre part, le module d’Young instantané à la date de mise en tension supposé à 15 jours est égale à : Ei15=11000 (fc15)1/3 fc15=(j fc28)/(4,76+0,83 j)=28,76 MPa Donc : Ei15= 33 703 MPa D’où : ∆σn=8,04 MPa Ainsi la valeur de la précontrainte initiale devient : σpi=σp0-∆σf-∆σg-∆σn=1433,22 MPa (3,7 %) * Pertes différées : xxRetrait : ∆σr=Ep εr (1-r(t0)) Avec : εr = 4 .10-4 (climat chaud et sec) et r ( t0 ) = Donc : ∆σr= 71,36 MPa

Etude de la Couverture

B t0 = 0,108 où: rm = = 13,8 cm et t0=15 j t0 + 9 rm l

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Calcul et dimensionnement d’un silo xxFluage : ∆σ fl = (σ bc + σ max )

Ep Eij

Avec : σbc : Contrainte au niveau de câble sous précontrainte et charges permanentes. σ bc =

P P e02 M g e0 + + = 0,89 MPa S I I

σmax : Contrainte au niveau du câble sous l’action du poids propre et la précontrainte = 8,06 MPa Donc : ∆σfl=53,11 MPa xxRelaxation : ∆σ ρ =

Donc : ∆σρ= 73,2 MPa

σ  6 ρ1000  pi − µ0  σ pi  f  100  prg 

* Contrainte finale : σp=σpi-∆σr - ∆σfl - 5/6∆σρ=1247,7 MPa (16,1 %) Nous retiendrons : P=1,67 MN et eo=-0,33 m

VII.8.2.5.  Phase 2 : Calcul de la poutre en Té en service ((Dimension de la poutre en Té :

figure 38.  Section en Té notations

((Définition des charges : * Charges permanentes : xxSuperstructures : 1,33 T/ml * Charges d’exploitation : xxPoussière : 0,35 T/m

Etude de la Couverture

63

Projet de Fin d’Études Juin 2013

Calcul et dimensionnement d’un silo ((Calcul des sollicitations à l’ELS : * Moments : M g =

g l2 ql2 = 44,17 T .m et M q = = 11, 6 T .m 8 8

* Efforts tranchants : Vg = g l = 10,8 T et Vq = q l = 2,8T 2

2

((Détermination de P et e0 : Les caractéristiques de la section sont les suivantes : h=1,1 m ; b=3,5 m ; h0=0,2 m ; b0=0,4 ; S=1,06 m2 ; I=0,098 m4 ; v=0,29 ; v’=0,81 ; ρ=0,398 La section est sur-critique, donc : P=0,3 MN l’excentricité : e0= -0,69 m ((Nombre de Câbles: Ap =

Soit : n =

241,9 = 2, 43 => 3 T13 S 100

P 0,3 . 106 = = 241,9 mm 2 1240 1240

((Câblage : On trouve les résultats suivants : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8,15

e1 1,17 0,74 0,37 0,05 -0,21 -0,42 -0,56 -0,66 -0,69 -0,69

e2 -1,64 -1,98 -2,27 -2,52 -2,73 -2,89 -3,00 -3,08 -3,10 -3,11

tableau 23.  fuseau de passage du câble phase 2

figure 39.  tracé du câble phase 2

Etude de la Couverture

64

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Calcul et dimensionnement d’un silo ((Calcul des pertes : Tout calcul fait , nous avons trouvé les résultats suivants : Pertes instantanées ( 4,2 %) Frottement 58,4 MPa Recul d’ancrage 0 MPa Raccourcissement élastique 4,56 MPa Pertes différées ( 11,8 %) Retrait 62,26 MPa Fluage 52,88 MPa Relaxation 71,84 MPa tableau 24.  Pertes instantanées et différées en phase 2

((Contrainte finale : σp=1250 MPa (16 %) Nous utiliserons les câbles au maximum de leur possibilité, soit : P=σp Ap=1250×3×100 .10-6 = 0,37 MN Finalement, nous avons les résultats suivants : Phase 1 Phase 2

P (MN) 1,67 0,37

e0 (m) -0,33 -0,69

Nombre de câble 9 T 15 S 3 T 13 S

tableau 25.  Précontrainte et excentricité dans les deux phases

VII.8.2.6.  Vérification des contraintes ((Phase 1 :

figure 40.  Diagramme des contraintes phase 1

Etude de la Couverture

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Calcul et dimensionnement d’un silo ((Phase 2 :

figure 41.  Diagramme des contraintes phase 2

((Acier Passifs : Dans les zones tendues, en partie inférieure à mi-travée, on disposera d’un pourcentage minimum d’acier passif : B N f As = t + Bt × t 28 1000 f e σ Bt Avec: Bt=0,23 × 0,4 =0,092 m2 ; NBt=1/2 ×Bt × σBt=0,188 MN ; fe=500 MPa et ft28=2,58 MPa Donc : As= 3,3 cm2 , Soit 3 HA12 Il est prudent pour : limiter les fissurations dues au retrait, maintenir les câbles et chaises des câbles. de disposer des armatures de peau égales à 3cm2/m de parement dans le sens longitudinal et 2 cm2/m dans le sens transversal, soit : HA 10 (e=25 cm) et HA8 (e=25 cm) respectivement. ((Schéma de ferraillage :

figure 42.  schéma de ferraillage de la poutre préfabriquée

Etude de la Couverture

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.9. Dimensionnement du dallage VII.9.1.  Définition d’un dallage Un dallage est un ouvrage en béton de grandes dimensions par rapport à son épaisseur, éventuellement découpé par des joints. Il repose uniformément sur son support, éventuellement par l’intermédiaire d’une interface. Le dallage peut intégrer une couche d’usure ou recevoir un revêtement.

figure 43.  composition du dallage

VII.9.1.1.  Forme La forme éventuelle est constituée par un traitement du sol en place ou par des matériaux d’apport servant d’assise au dallage.

VII.9.1.2.  Interface L’interface éventuelle est disposée directement sous le dallage : couche de réglage ou de fermeture ou de glissement, film, isolant, etc.

VII.9.1.3.  Couche d’usure Elle est obtenue par renforcement superficiel du dallage avant durcissement du béton.

VII.9.1.4.  Joints Ils divisent le dallage en panneaux, il existe différents types de joints : Joint de retrait : Il permet le libre retrait du béton des panneaux de dallage. Joint de dilatation : Il permet les dilatations du dallage. Il règne sur toute son épaisseur. Son ouverture lors de l’exécution est au moins égale à la dilatation maximale qu’il doit autoriser. Joint d’isolement : il a pour but de désolidariser le dallage de certains éléments de construction (poteaux, longrines, murs, massifs...) dont les déformations verticales et/ou horizontales diffèrent de celles du dallage. Il règne sur toute l’épaisseur du dallage.

Dimensionnement du dallage

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Calcul et dimensionnement d’un silo

figure 44.  différents types de joints

VII.9.2.  Pathologies du dallage Les désordres qui peuvent affecter un dallage sont classés en deux catégories :

VII.9.2.1.  Les désordres de première catégorie Cette catégorie est liée plus au corps du dallage et comprend les pathologies suivantes : ((Pathologies liées aux joints : Les efforts parasites, liés à l’évolution physicochimique du béton, font que les joints de retrait se prolongent sur toute l’épaisseur du dallage. Il en résulte des désaffleurements favorisant l’apparition d’épaufrures sur les angles et les arrêts des joints. Ces désordres causent de sérieuses gênes d’exploitation surtout dans le cas d’une charge roulante. Ce désordre est lié essentiellement au comportement intrinsèque du béton au moment de la prise. Le retrait hydraulique produit une différence de comportement entre la surface et la sous face du dallage. Il s’agit de l’effet de tuilage qui se manifeste par la déformation du dallage par courbure intérieure à concavité vers le haut. ((Les affaissements de surface réduite : Il s’agit souvent d’affaissements localisés dus à des efforts d’exécution. Les cuvettes ainsi formées finissent par être le siège du développement d’un réseau de fissures laissant libre cours aux infiltrations en sous-face du dallage. On peut associer ce désordre aux insuffisances de l’épaisseur du dallage, á la mauvaise qualité du béton ou à l’absence de désolidarisation avec les éléments porteurs de la structure. ((Les désordres en périphérie de reprise des dallages existants : Lorsque des saignées sont pratiquées dans le dallage, par exemple pour la création des réseaux enterrés, ces travaux s’accompagnent inévitablement de désordres par fissuration périphérique aux zones traitées. La cause essentielle réside dans la difficulté de reconstitution à l’identique de la couche de forme.

Dimensionnement du dallage

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.9.2.2.  Les désordres de deuxième catégorie Ces désordres, aux lourdes conséquences financières, sont principalement liés aux grands mouvements verticaux du dallage générés par un comportement des couches sous-jacentes : couche de forme ou sol naturel support. ((Les tassements généralisés : Formation de cuvettes ou ondulations plus ou moins prononcées pouvant conduire au déséquilibre des équipements de stockage ou encore à l’interruption de circulation des engins de manutention (chariots à guidage automatiques). Ces désordres s’accompagnent de fissures ouvertes de flexion. ((Les soulèvements : Il s’agit de phénomènes de gonflement associés á l’hydratation de certains composés minéraux, naturels ou artificiels, au sein de la couche de forme et/ou du sol support. On peut citer le phénomène naturel du gonflement des argiles et celui lié à la présence de sulfate et de chaux, ou à l’utilisation des matériaux résiduels. ((Problème lié à la présence d’eau : Il se pose également le problème de la présence d’eau dans le terrain pouvant produire des phénomènes néfastes tels que la stagnation de l’eau de pluie, la variation du niveau de la nappe phréatique, fuite de canalisation sous le dallage.

VII.9.3.  Principe du dimensionnement Lorsqu’on fait supporter une charge à un dallage, on provoque un fléchissement qui impose à la fois une compression et une flexion au dallage en béton. L’effort de flexion est prépondérant car à l’endroit où la charge est imposée, la contrainte de traction par flexion est comparable à la contrainte de traction par flexion maximale du béton alors que la contrainte de compression demeure faible par rapport à la résistance à la compression admissible du béton. Par conséquent, on compare la contrainte de traction par flexion et la résistance de traction par flexion du béton pour déterminer l’épaisseur du dallage.

VII.9.4.  Calcul des contraintes VII.9.4.1.  Contraintes admissibles du béton La résistance à la traction du béton en flexion σR est donnée par la formule :

σR= 1,8 ft28 = 4,64 MPa

A l’ELU : σ ELU ≤ 0, 75σ R = 3, 48 MPa A l’ELS : σ ELS ≤ 0, 60 σ R = 2, 78 MPa

VII.9.4.2.  Dispositions constructives Epaisseur  minimum : 0,12 m Enrobage  minimum : 20 mm Diamètre  des aciers ≤ h/10 Espacement  des aciers < 2h pour des charges localisées Joints  de retrait tels que les diagonales des rectangles formées par les joints n’aient pas plus de : 7  m pour les locaux non couverts lors de l’exécution du dallage. 8,5  m dans le cas contraire avec un rapport des côtés compris entre 1 et 1,5.

Dimensionnement du dallage

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.9.4.3.  Sollicitations ((Vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance : 1,35 G + 1,5γδ Q ((Vis-à-vis des états-limites de service : G + 1,2γδ Q Avec : Tj   xxγ =log 10+ 16  

 0,3 V 2 xxδ =1+ 2 V +200

Où : Tj : nombre de passages journaliers sur 4 m de largeur (on prend Tj=6) V : vitesse en Km/h (on prend V=20 Km/h) On trouve :

γ = 1,016 et δ = 1,2 VII.9.4.4.  Géométrie du dallage Le dallage que nous allons étudier est un disque de diamètre 16 m avec des joints de retrait comme indiqué sur la figure ci-dessous. On considère une épaisseur de 25 cm.

figure 45.  Géométrie du dallage

VII.9.4.5.  Définition des charges Les charges appliquées au dallage sont des charges roulantes d’un camion de 48 tonnes avec quatre essieux de 12 tonnes. la contrainte de traction par flexion du béton, σ, d’un dallage sous l’action d’une charge concentrée est donnée par la formule suivante :

σ = kc α

Dimensionnement du dallage

Qd r2

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Calcul et dimensionnement d’un silo Avec : Qd : l’intensité de la charge concentrée Qd= ψQ γ δ Q * Où : ψQ= 1,5 à l’ELU ou 1,2 à l’ELS α : coefficient numérique qui prend les valeurs 1 ou 2/3 selon le type de joint et son implantation (dans notre cas α=1/2) kc : coefficient numérique donné par l’abaque ci-dessous fonction de : E h et ηc = χc = r kw r Où : * h : l’épaisseur du corps du dallage (h= 0,25 m) * r : le rayon du cercle ayant même aire que la surface de contact de la charge roulante avec le dallage (on prend r=0,2 m) * E : le module de déformation du béton (E= 30 000 MPa) * Kw: le module de Westergaard (on prend Kw = 50 MPa/m) Ainsi, on trouve : ηc= 1,25 et χc= 3.103 à partir de l’abaque, on trouve kc = 1,6 Donc la contrainte de traction par flexion du béton sous l’action de la charge concentrée est égale à : xxA l’ELU : σc,ELU = 2,93 MPa xxA l’ELS : σc,ELS = 2,34 MPa

figure 46.  Abaque pour la détermination de la contrainte d’un dallage sous charge concentrée Dimensionnement du dallage

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Calcul et dimensionnement d’un silo la contrainte de traction par flexion du béton, σr , d’un dallage sous l’action de la charge répartie due au poids propre du dallage est donnéee par la formule suivante :

σ = k r qd h Avec : qd : l’intensité de la charge uniforme (MN/m2) kr : est une grandeur (dimension m–1) donnée par l’abaque ci-dessous en fonction des paramètres : k L h ηr = et χc = w E L Où : * L :la largeur de la bande chargée ou, si elle est plus faible, la distance entre joints. * Kw : le module de Westergaard (MPa/m) Nous avons : L=16 m et Kw = 50 MPa/m Donc on trouve : ηr= 0,017 et χr= 9,58 En utilisant l’abaque ci-dessous, on trouve : kr= 140 Ainsi, la contrainte de traction par flexion du béton sous l’action du poids propre est égale à : xxA l’ELU : σr,ELU = 0,33 MPa xxA l’ELS : σr,ELS = 0,24 MPa

figure 47.  Abaque pour la détermination de la contrainte d’un dallage sous charge répartie

Dimensionnement du dallage

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Calcul et dimensionnement d’un silo Par suite du frottement du dallage sur le sol, le retrait d’un panneau entre deux joints de dilatation successifs ne peut s’effectuer librement. Ces déformations gênées donnent naissance à une contrainte de traction du béton, que l’on suppose uniforme dans toute l’épaisseur du dallage et égale à :

σ

re

=

0,5 C f L P0 h

Avec: cf : coefficient de frottement béton sur sol (on prend cf= 1,5) L : distance entre deux joints perpendiculaires à la direction de la contrainte calculée p0 : charge permanente totale du dallage, c’est-à-dire poids propre du dallage augmenté de la valeur quasi permanente de la charge d’exploitation, si cette valeur n’est pas nulle. Nous avons : L= 5,75m et p0 = 6,97.10-3 MN/m2 Donc : σre,ELU = 0,16 MPa et σre,ELS = 0,12 MPa Finalement les contraintes totales de traction par flexion sont : ((à l’ELU : σELU = σc,ELU+ σr,ELU + σre,ELU = 3,42 MPa < 3,48 MPa ((à l’ELS : σELS = σc,ELS + σr,ELS + σre,ELS = 2,7 MPa < 2,78 MPa Les valeurs ainsi trouvées vérifient les conditions limites de contraintes, donc le dallage peut être non armé. Il convient de prévoir un treillis soudé « antifissuration » dont la section minimale est donnée par :

A = 0,56L h On trouve : A = 2,24 cm2/ml ( T8 espacement de 20 cm dans les deux sens)

VII.9.4.6.  Vérifications xxPoinçonnement : La valeur ultime Qd d’une charge concentrée appliquée à un dallage d’épaisseur h ne peut excéder la valeur limite : 0, 04

Qu lim =

γb

f c 28 u h

Avec : uc : périmètre du contour de la surface « d’impact » à mi-épaisseur, en supposant une diffusion à 45o dans l’épaisseur du dallage : uc = π (2r + h ) = 2,04 m Donc : Qu lim = 0,45 MN > Qd = 0,11 MN , Donc le poinçonnement est vérifié. xxTassements : * Le tassement différentiel sd entre la bordure de la bande chargée et le centre de cette 12,8 p L bande (en m): sd = 43, 6 E h 3 + kw L4 * Le tassement sb de la bordure de cette même bande :

sb =

2,5 p L Kw

* Le tassement total est :

stot= sd+sb = 2,83.10-2 + 5,58.10-3 = 3,38.10-2 m

Dimensionnement du dallage

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Calcul et dimensionnement d’un silo À défaut d’autres spécifications, le tassement différentiel maximal admissible du dallage (exprimé en cm) peut être pris égal à : L L2 s lim = 1, 2 min[ ;0,85 ] 5 h AN : slim = 3,84 cm > 3,38 cm , Donc le tassement est vérifié.

VII.10. Calcul des Fondations VII.10.1.  Descente de charge Elément

Detail Poutres Plancher Couverture Complexe étanche superstructure poussière Paroi Poutre couronne Sommet Cône Paroi Ciment stockage Bloc de béton Jupe inférieure plancher Plancher à +12,60 superstructure plancher Plancher à +6,60 superstructure Total sur fondation

G (T) 52,69 100,48 36,17 40,19

Q (T)

20,10 3158,71 317,64 19 300,89 10373,95 402,25 1072,01 118,91 57,08 119,4 38,21 5833,62

10394,05

tableau 26.  descente de charge variante béton Armé

VII.10.2.  Dimensions de la semelle

figure 48.  Dimensions de la semelle

Calcul des Fondations

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Calcul et dimensionnement d’un silo Rayon intérieur r et extérieur R: On dimensionne r et R par l’effort normal à l’ELS avec σELS=30 T/m2: ((Equilibre statique de la semelle : * Equation des efforts : ∑(Réactions)=NELU => π(R2-r2)σ =G + Q Donc : R2-r2=172,18 * Equation des moments : Donc : R3-r3=2117,8

M / G des réactions du sol = 0 ⇒ R 3 − r 3 =

3 N ELS a 2 πσ

On trouve : R=13,1 m et r=0,27 m On remarque que r ≈ 0, donc nous allons opter pour un radier circulaire.

VII.10.3.  Dimensions du radier

Le rayon du radier est déterminé par : N ELS ≤ σ ELS π R2 Ainsi, on prend : R=14,5 m La hauteur utile d représentée sur la figure est obtenue par : 6,3 − 0, 4 = 1, 47 m 4 on prend d = 1,5 m et h = 1,55 m d≥

figure 49.  hauteur utile du radier

VII.10.4.  Vérification de la contrainte du sol Elément Dallage Remblais Radier

G (T) 114,62 749,67 2558,22

Q (T)

Total sous fondation

9256,13

10394,05

Donc : σ = N ELS2 = 29, 75T / m 2 < 30 T / m 2 , OK πR

VII.10.5.  Calcul des armatures sur Effel Le calcul des sollicitations dans le radier et son ferraillage sont effectués à l’aide du logiciel Effel avec la méthode des éléments finis.

VII.10.5.1.  Définition des charges Les charges appliquées sur le radier sont les suivantes : Charges linéaires P1 : Poids de la structure, poids du ciment stocké et les charges sur la couverture. Charges surfaciques : * sur un rayon de 7,8 m P2 : Poids du dallage et du remblais et les charges des camions. * sur le reste du dallage P3 : Poids du remblais.

Calcul des Fondations

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Calcul et dimensionnement d’un silo P1

P2

P3

figure 50.  Les charges appliquées sur le radier

Avec : P1=625,5 T/ml , P2=3,05 T/m2 et P3=2,43 T/m2

VII.10.5.2.  Définition des appuis il s’agit d’un appui surfacique que nous avons défini comme un appui élastique avec les caractéristiques suivantes :

VII.10.5.3.  Ferraillage Supérieures Cerces inférieures Radiales

Rayon 0->10 4->7 7->11 11->14,5 5->10 10->14,5

Ath (cm2/m) 25,35 28,28 67,34 48 147,45 39,6

Aréel HA 20 HA 25 HA 32 HA 25 HA40 HA 20

espacement 12 12 12 10 8 8

tableau 27.  Ferraillage du radier variante BA

VII.10.5.4.  Schéma de ferraillage

figure 51.  Armatures supérieures du radier BA Calcul des Fondations

figure 52.  Armatures inférieures du radier BA

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.11. Modélisation de la structure sur le logiciel Effel L’objectif de cette partie est la modélisation de l’ouvrage sur le logiciel Effel afin de vérifier les contraintes et les déplacments des différents éléments et de trouver le ferraillage de la paroi, de la jupe inférieure et du cône.

VII.11.1.  Saisie de la structure Vu que le logiciel Effel ne peut pas générer une coque cylindrique, nous avons divisé la paroi en plusieurs éléments surfaciques, chaque élément fait un angle de 6º par rapport au centre du silo, ce qui nous donne un total de 60 éléments sur toutes la circonférence du silo.

figure 53.  Saisie de la structure sur effel

VII.11.2.  Définition des appuis La jupe inférieure est encastrée sur le radier, nous allons donc considérer un appui rigide linéaire bloquant tous les déplacements et toutes les rotations.

figure 54.  définition des appuis Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.11.3.  Définition des charges Nous avons pris en compte les cas de charge suivants : cas 1 : Poids propre de la structure (généré automatiquement) et les charges sur la couverture cas 2 : Poussées sur la paroi au remplissage symétrique cas 3 : Poussées sur la paroi à la vidange symétrique cas 4 : Poussées sur la paroi à la vidange excentrée cas 5 : Poussées sur le cône au remplissage avec pression horizontale maximale cas 6 : Poussées sur le cône au remplissage avec pression verticale maximale cas 7 : Poussées sur le cône à la vidange avec pression horizontale maximale cas 8 : Poussées sur le cône à la vidange avec pression verticale maximale cas 9 : Effet de la température sur la paroi et sur le cône en contact avec l’air irradié cas 10 : Effet de la température sur la paroi et sur le cône en contact avec le ciment cas 11 : Effet du vent en dépression cas 12 : Effet du vent en surpression Nous avons associé les cas de charge 2, 3 et 4 avec 5, 6 ,7 et 8 comme suit : 2-5 ; 2-6 ; 3-7 ; 3-8 ; 4-7 ; 4-8 Les combinaisons que nous avons pris sont celles relatives à l’ELU et à l’ELS.

VII.11.4.  Résultats de la modélisation Nous allons présenter dans ce qui suit les résultats relative à la paroi du silo, pour les autres éléments, ils seront exposés dans la partie «ANNEXES»

VII.11.4.1.  Déplacements de la paroi

figure 55.  Déplacement de la paroi en cm Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.11.4.2.  Sollicitations sur la paroi ((Variation des efforts Fx et Fy :

figure 56.  Effort Fx dans la paroi

figure 57.  Effort Fy dans la paroi

Nous remarquons que les efforts au niveau de la paroi dans le sens x (horizontal) augmentent avec la profondeur jusqu’à atteindre une valeur maximale de 262 T sur la zone d’encastrement, et les efforts suivant y (vertical) sont maximales sur la même zone. ((Variation des moments Mx et My :

VII.11.4.3. 

figure 58.  Moment Mx dans la paroi

figure 59.  MomentMy dans la paroi

Les moments Mx sont maximals au niveau de l’encastrement avec Mx max=0,61T.m, et pour les moments My ils augmentent au centre du silo avec My max =0,6 T.m Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VII.11.4.4.  Ferraillage Nous allons dans ce qui suit calculer le ferraillage de la paroi, da la jupe inférieure et du cône en utilisant le module «Effel expertise BA». ((ferraillage de la paroi : On procède par tranche de 5 m, ce qui donne les résultats suivants : * Les cerces : tranche

acier intérieur

0 -> 5 5 -> 10 10 -> 15 15 -> 20 20 -> 25 25 -> 30 30 -> 35 35 -> 40,4

0 11,1 23,2 32,7 37,1 37,7 33,4 19,3

acier réel (cm2/ml) HA14 HA14 HA20 HA25 HA25 HA25 HA25 HA20

espacement acier extérieur (cm) (cm2/ml) 12 27,6 12 41,7 12 50,6 12 58,1 12 64,2 12 69,8 12 72,9 12 71,7

acier réel (cm2/ml) HA14 HA14 HA14 HA14 HA14 HA14 HA14 HA14

espacement acier extérieur (cm) (cm2/ml) 12 25,7 12 23,9 12 23,7 12 28,1 12 19 12 14,1 12 7,3 12 25,6

tableau 28.  section des cerces de la paroi BA

acier réel HA20 HA25 HA25 HA32 HA32 HA32 HA32 HA32

espacement (cm) 10 10 10 12 12 10 10 10

* Les douves : tranche

acier intérieur

0 -> 5 5 -> 10 10 -> 15 15 -> 20 20 -> 25 25 -> 30 30 -> 35 35 -> 40,4

0 0 0 0 0 2,6 6,7 3,4

acier réel HA20 HA20 HA20 HA20 HA16 HA14 HA14 HA20

espacement (cm) 10 10 10 10 10 10 10 10

tableau 29.  section des douves de la paroi BA

Pour les valeurs nulles d’armature, nous avons pris la section minimale : Amin=0,2% B avec B est la section du béton. ((ferraillage de la jupe inférieure : * Les cerces : Nous constatons qu’au niveau supérieur des ouvertures, la section d’acier est importante, donc nous allons diviser le ferraillage de la jupe en trois parties, de 0 à 4,75 m (hauteur de l’ouverture), de 4,75 à 6,5 m (juste au dessus de l’ouverture) et de 6,5 à 11,7 (sur le reste de la jupe). Nous obtenons les résultats suivants :

Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Calcul et dimensionnement d’un silo Partie 0->4,75 4,75->6,5 6,5->11,7

acier intérieur 0 48,2 12,2

acier réel HA16 e=12 HA25 e=10 HA16 e=12

acier extérieur 0 46,9 10,4

acier réel HA16 e=12 HA25 e=10 HA16 e=12

tableau 30.  Section des cerces de la jupe inférieure BA

* Les douves : Partie 0->4,75 4,75->6,5 6,5->11,7

acier intérieur 0 6,1 0

acier réel HA16 e=12 HA16 e=12 HA16 e=12

acier extérieur 0 6,1 0

tableau 31.  Section des douves de la jupe inférieure BA

acier réel HA16 e=12 HA16 e=12 HA16 e=12

((Ferraillage du cône : les résultats du calcul donnent des valeurs nulles des section d’acier, chose qui est expliquée par le fait que le cône travail en compression sous les charges de frottement et les charges normales sur ses parois. Donc nous allons prendre la section d’acier minimale à appliquer sur les deux directions égale à : Amin=7 cm2/ml , soit HA 12 avec un espacement de 15 cm ((Schémas de ferraillage :

figure 60.  Schéma de ferraillage de la paroi BA : Cerces

Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Calcul et dimensionnement d’un silo Vu que les longueurs de barres nécessaires dépassent les longueurs commerciales (12 m), l’armature est nécessairement formée de différents tronçons et il faut rétablir la continuité mécanique entre deux tronçons successifs, donc pour obtenir ce résultat nous allons faire appel à l’adhérence en faisant chevaucher deux tronçons de barre sur une longueur lr appellée longueur de recouvrement, comme représenté sur la figure ci-dessus. d’une manière générale, il convient de décaler les recouvrements d’une distance d (voir figure cidessus), on prend d = 2m. Pour notre cas (c1,5b0

Dans notre cas on 4T15 et fc28=33 MPa ce qui correspond à b0=25 cm D’où : b>37,5cm , On prend b=40 cm Prédimensionnement

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VIII.5. Calcul de la précontrainte VIII.5.1.  Données de calcul ((Données relatives à l’acier de précontrainte : * Type des câbles de précontrainte : 4K15S ( Ap= 600 mm2 ) * Résistance à la traction : fpk=1860 MPa * Limite d’élasticité conventionnelle : fp0,1k=0,9 fpk=1674 MPa * Module d’élasticité de l’acier : Ep=195 000 MPa ((Données géométriques : * Angle au centre pour un câble : 120º (1/3 de la circonférence du silo) * Position du câble : 1/3 extérieur de la paroi ( Rc = 8,23 m) * Epaisseur de la nervure : 0,40 m * Déviation du Câble au point de tangence α : Déterminée à partir de la relation géométrique suivante :

( R c tan α ) × tan 2α = Dta

Avec : Dta : est la distance entre le point de tangence et le point d’ancrage Nous avons : Dta=(0,117+0,40/2)=0,317 m On trouve donc : α = 7,7º * Longueur droite de la nervure : Ldn = 2 Rc tan α × cos α = 2, 28 m cos 2α

* Longueur droite du câble (du point de tangence à la sortie de la nervure ) : 1   Ldc = Rc tan α 1 +  = 2, 26m  cos 2α  * Longueur courbe du câble :  2π 2απ  − Lcc = Rc   = 15, 02 m  3 180 

* Longueur total du câble : Ltc= Lcc + 2 Ldc = 19,54 m

((Données pour les pertes de précontrainte : * Coefficient de frottement entre l’armature de précontrainte et sa gaine : μ=0,19 * Déviation angulaire : k=0,0075 * Rentrée d’ancrage : g = 6mm * Perte par relaxation : ρ1000 = 2,5 % * Classe de relaxation : classe 2 (basse relaxation)

VIII.5.2.  Force de précontrainte maximale La force appliquée à l’armature de précontrainte Pmax (c’est-à-dire la force appliquée à l’extrémité active pendant la mise en tension) ne doit pas dépasser la valeur suivante :

Pmax = A p .σ p .max où : Ap : est l’aire de la section des armatures de précontrainte σp.max : est la contrainte maximale de l’armature = min (0,8 fpk; 0,9 fp0,1k) Nous avons : Ap=600 mm2 (4K15S) et σp.max=min(0,8×1860 ; 0,9×1674)=1488 MPa Ainsi : Pmax=0,893 MN Calcul de la précontrainte

85

Projet de Fin d’Études Juin 2013

Calcul et dimensionnement d’un silo

VIII.5.3.  Pertes instantanées de Précontrainte VIII.5.3.1.  Perte par frottement Les pertes ΔPµ(x ) dans les armatures précontraintes du fait du frottement, peuvent être estimées au moyen de l’expression : ∆P x = P (1 − e − µ (θ + kx ) ) µ

( )

max

où : θ : est la somme des déviations angulaires sur la distance x. µ : est le coefficient de frottement entre l’armature de précontrainte et sa gaine k : est une déviation angulaire parasite pour les armatures intérieures. x : est la distance le long de l’armature depuis le point où la force de précontrainte est égale à Pmax (force à l’extrémité active pendant la mise en tension). xxà mi-portée : 19,54 Nous avons : x = = 9, 77 m et Donc :

2

(

 120  π − 7, 7  = 0,91 rad 2   180

θ =

)

∆Pµ ( x ) = 0,893 1 − e −0,19( 0,91+ 0,0075×9,77 ) = 0,152 MN

xxà l’ancrage : ΔPµ = 0

VIII.5.3.2.  Perte par recul d’ancrage La perte par recul d’ancrage est celle qui apparaît lorsque la force de traction de l’armature exercée par le vérin est reportée directement au béton par l’ancrage ; elle intervient donc au moment où l’ancrage étant constitué, la tension du vérin est relâchée. Le mouvement de rentrée vers l’intérieur du béton est contrarié par le frottement du câble sur sa gaine, comme à la mise en tension, mais en sens inverse, Son influence diminue donc à partir de l’ancrage jusqu’à s’annuler à une distance d de celui-ci à partir de laquelle la tension demeure inchangée.

figure 63.  Recul d’ancrage

Calcul de la précontrainte

86

Projet de Fin d’Études Juin 2013

Calcul et dimensionnement d’un silo La distance d est donnée à partir de la relation suivante :

d =

g .E p

σ pmax .k '

θ Avec : k ' = µ ( + k ) l

On prend : l=9,77 m et θ =0,91 rad Donc k’=0,019 Ainsi : d =

6.10−3 ×195 000 = 6, 43 m 1488 ×0, 019

xxà l’ancrage : La perte par recul d’ancrage est donnée par la formule suivante : ∆Psl = Ap

2 g Ep d

= 0, 218 MN

xxà mi-portée : ΔPsl = 0

VIII.5.3.3.  Perte par déformation instantanée du béton Elle est exprimée par la relation suivante :

 n − 1  ∆σ c (t ) ∆Pel = A p .E p .    2n  E cm (t )

où : Ecm(t) : L’évolution du module d’élasticité avec le temps ∆σc(t) : est la variation de contrainte au centre de gravité des armatures à l’instant t t : est l’âge du béton (au tirage t=90 jours) n : nombre de câble de précontrainte. Nous avons :

f

(t )

xxE cm (t ) = ( cm )0,3 E cm f cm Avec : f cm (t ) = f cm e

1

 28  2 s (1−  )  t 

et E = 22 ( f cm )0,3 cm 10

où : fcm(t)est la résistance moyenne en compression du béton à l’âge de t jours fcm est la résistance moyenne en compression du béton à 28 jours. fcm = fck + 8MPa = 41 MPa. s est un coefficient qui dépend du type de ciment = 0,20 (Classe R). à t = 90 jours on trouve fcm(90j)=44,8 MPa et Ecm=33,6 GPa ainsi : Ecm(90j)=34,5 GPa A σ xx.∆σ c (t ) = p a e × 0,3

Calcul de la précontrainte

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Calcul et dimensionnement d’un silo Nous avons :

xx E cm (t ) = ( Avec :

f cm (t ) 0,3 ) E cm f cm 1

f cm (t ) = f cm e

 28  2 s (1−  )  t 

et

E cm = 22 (

f cm 0,3 ) 10

où : fcm(t)est la résistance moyenne en compression du béton à l’âge de t jours fcm est la résistance moyenne en compression du béton à 28 jours. fcm = fck + 8MPa = 41 MPa. s est un coefficient qui dépend du type de ciment = 0,20 (Classe R). à t = 90 jours on trouve fcm(90j)=44,8 MPa et Ecm=33,6 GPa ainsi : Ecm(90j)=34,5 GPa Apσ a xx ∆σ c ( t ) = e × 0,35 Avec : e =40 cm : espacement des câbles. σa =σa0 - ∆σel , où : * σa0=1125 MPa : à l’ancrage * σa0=1235 MPa : à mi-portée

Donc : 600.10−6 (1235 − ∆σ el ) = 0, 01(1235 − ∆σ el ) à mi-portée : ∆σ el = 195000 × 0,375 × à l’ancrage :

0,35 × 0, 4 × 34500 600.10−6 (1125 − ∆σ el ) ∆σ el = 195000 × 0,375 × = 0, 01(1125 − ∆σ el ) 0,35 × 0, 4 × 34500

Finalement : à mi-portée : ∆Pel=Ap.∆σel=7,33.10-3 MN à l’ancrage : ∆Pel=Ap.∆σel=6,68.10-3 MN

VIII.5.3.4.  Total des pertes instantanées ((à mi-portée : ∆Pi= ∆Pμ+ ∆Psl+∆Pel=0,159 MN ((à l’ancrage : ∆Pi= ∆Pμ+ ∆Psl+∆Pel=0,225 MN Pour ce qui suit, on prend la valeur maximale à savoire : ∆Pi= 0,225 MN Ainsi, La valeur de la force de précontrainte initiale Pm0 appliquée au béton immédiatement après mise en tension et mise en place de l’ancrage est obtenue en retranchant de la force à la mise en tension Pmax les pertes instantanées ΔPi : Pm0= Pmax - ΔPi = 0,893 – 0,225 = 0,668 MN (25 %) il convient d’après le règlement de ne pas dépasser la valeur suivante : Pm 0 max = A p σ pmomax où : σpm0max : est la contrainte dans l’armature immédiatement après la mise en tension ou le transfert σpm0max= min(0,75 fpk; 0,85 fp0,1k) = 1395 MPa donc : Pm0max=0,837 MN > Pm0 Calcul de la précontrainte

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VIII.5.4.  Pertes différées de Précontrainte VIII.5.4.1.  Perte par retrait du béton Le béton subit un raccourcissement progressif pendant plusieurs années dû au phénomène du retrait donc les armatures de précontrainte, liées au béton à leur extrémités par les ancrages et tout au long de leur tracé par le coulis d’injection, sont astreintes à subir le même raccourcissement que le béton adjacent. Ce raccourcissement engendre donc une perte de la précontrainte donnée par la formule suivante : ∆Pr = A p E p ε cs La déformation totale de retrait εcs se compose de la déformation due au retrait de dessiccation et de la déformation due au retrait endogène. La déformation due au retrait de dessiccation évolue lentement, car elle est fonction de la migration de l’eau au travers du béton durci. La déformation due au retrait endogène se développe au cours du durcissement du béton : elle se produit par conséquent en majeure partie aux cours des premiers jours suivant le coulage.

ε cs = ε cd + ε ca

Avec : xxε. cd = βds (t , t s ) .k h .ε cd ,0 Où : * kh est un coefficient dépendant du rayon moyen h0 t −ts

* βds (t , t s ) = (t − t s ) + 0, 04 h03 Où : t : est l’âge du béton à l’instant considéré, en jours ts : est l’âge du béton (jours) au début du retrait de dessiccation (ou gonflement). h0 : est le rayon moyen (mm) de la section transversale = 2Ac/u avec : xxAc aire de la section du béton xxu périmètre de la partie de la section exposée à la dessiccation. 



f cm   −6   .10 .β RH cmo  

* ε cd ,0 = 0,85 ( 220 + 110.αds 1 ) .exp  −αds 2 . f 

Où : β RH

3



 RH  = 1,55[1 −  ]  RH o 

Avec : fcmo = 10 MPa αds1 et αds2 sont des coefficients qui dépendent du type de ciment. RH est l’humidité relative de l’environnement ambiant RH0 = 100 %.

tableau 35.  coefficient kh

Calcul de la précontrainte

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Calcul et dimensionnement d’un silo Paramètre

valeur

h0

350 mm

kh

0,725

t

90 jours

ts

1 jour = début du retrait

βds(t,ts )

0,25

RH

80%

βRH

0,76

αds1

6 (classe R)

αds2

0,11(classe R)

εcd,0

3,62.1-4)

tableau 36.  Valeurs des paramètres du retrait de béton

Donc on trouve : εcd(∞,90)=6,56.10-5 xxε ca = βds (t ) .ε ca (∞) Avec : −6 −5 ε ca ( ∞ ) = 2,5 ( f ck − 10 ) .10 = 5, 75.10 ( −0,2.t ) = 0,85 βds (t ) = 1 − e 0,5

Donc : εca=4,89.10-5 Ainsi : εcs=εcd+ εca=1,14.10-4 Finalement :

∆Pr = 600.10−6 ×195 000 ×1,14.10−4 = 1,33.10−2 MN

VIII.5.4.2.  Perte par fluage Le béton subit un raccourcissement progressif dû au fluage lorsqu’il est soumis à une contrainte de compression permanente, Cependant, la contrainte du béton adjacent aux armatures de précontrainte n’est pas constante dans le temps car elle varie à cause de : Différentes phases de construction qui se traduisent par l’application des nouvelles charges permanentes Autres pertes différées (par retrait du béton et par relaxation de l’acier). La perte de précontrainte par fluage se calcule à partir de l’expression suivante :

∆Pf = A p .E p .ϕ ( ∞, t 0 ) .

σc

Ec Le coefficient de fluage φ(t ,t0) peut être calculé à partir de : ϕ (t , t 0 ) = ϕ0 .βc (t , t 0 )

Calcul de la précontrainte

90

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Calcul et dimensionnement d’un silo

Où : xx φ0 : est le coefficient de fluage conventionnel et peut être estimé par : ϕ0 = ϕRH .β ( f cm ) .β (t 0 ) Avec : * φRH : est un facteur tenant compte de l’influence de l’humidité relative sur le coefficient de fluage conventionnel : ϕRH

RH    1 − 100  = 1 + .α1  .α 2 3  0,1. h0   

Où : α1/2 sont des coefficients tenant compte de l’influence de la résistance du béton :  35    f cm 

0,7

α1 = 

 35 

0,2

α2 =    f cm 

* β(fcm) : est un facteur tenant compte de l’influence de la résistance du béton sur le coefficient de fluage conventionnel : β ( f cm ) =

16,8 f cm

* β(t0) : est un facteur tenant compte de l’influence de l’âge du béton au moment du chargement sur le coefficient de fluage conventionnel : 1 β (t 0 ) = (0,1 + t 00,2 ) xxβc(t,t0) : est un coefficient qui rend compte du développement du fluage avec le temps après chargement, et peut être estimé par l’expression suivante :  (t − t 0 )  βc ( t , t 0 ) =    ( βh + t − t 0 ) 

Nous avons :

E c = 1, 05 E cm et σ c =

0,3

Ap .σ pm 0 0,35.e

paramètre α1 α2 φRH β(fcm) t0 β(t0) βc(t,t0) φ(t,t0) σc Ec

valeur 0,89 0,97 1,21 2,62 90 jours 0,39 1 1,24 4,77 MPa 35,28 GPa

tableau 37.  Valeurs des paramètres du fluage de béton

Donc : ∆Pf = 600.10−6 ×195000 ×1, 24 × 4, 77 = 1,96.10−2 MN 35 280

Calcul de la précontrainte

91

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VIII.5.4.3.  Perte par relaxation La perte par relaxation de l’acier de précontrainte est donnée par la formule : ∆Ppr = A p σ pmo 0, 66 ρ1000 e

9,1 µ

 t     1000 

0,75(1− µ )

.10−5

où : μ =σpmo/fpk = 0,598 ρ1000 : est la valeur de la perte par relaxation (en %), 1 000 heures après la mise en tension, à une température moyenne de 20 °C = 2,5 % Les valeurs à long terme (finales) des pertes par relaxation peuvent être estimées à un temps t = 500 000 heures (soit 57 ans environ). On trouve : ∆Ppr = 2,71.10-3 MN

VIII.5.4.4.  Total des pertes différées ∆Pd =

∆Pr + ∆Pf + 0,8∆Ppr E A  A  1 + p × p 1 + c z c2  (1 + 0,8ϕ (t , t 0 ) ) E m Ac  Ic 

Avec : Ep = 195 000 MPa Ecm = 33 600 MPa A p =

600.10−6 = 1,5.10−3 m 2 / m e

2 Ac = 0,35 .1 = 0,35m / m

Ic : le moment d’inertie de la section de béton =

0,353 ×1 = 3,57.10−3 m 4 / m 12

zc : la distance entre le centre de gravité de la section de béton et les armatures de précontrainte = 0,055 m φ(t,t0)=1,24 Tout calcul fait, on trouve : ∆Pd=3,26.10-2 MN

Ainsi :

VIII.5.5.  Total des pertes instantanées et différées ∆Pi + d = ∆Pi + ∆Pd = 0, 257 MN

la force de précontrainte probable Pm,t est égale à la force maximale Pmax appliquée à l’extrémité active moins les pertes instantanées et les pertes différées : Pm,t = Pmax - ∆Pi+d= 0,635 MN (28,8 %) Les calculs à l’état-limite de service doivent tenir compte des variations possibles de la précontrainte. On définit deux valeurs caractéristiques de la force de précontrainte à l’état-limite de service : Pk,sup = rsup Pm,t =1,1 Pm,t = 0,698 MN Pk,inf = rinf Pm,t = 0,9 Pm,t = 0,571 MN

Calcul de la précontrainte

92

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VIII.6. Calcul des Fondations VIII.6.1.  Descente de charge Elément

Detail Poutres Plancher Couverture Complexe étanche superstructure poussière Paroi Connecteurs Poutre couronne Sommet Cône Paroi Ciment stockage Bloc de béton Jupe inférieure plancher Plancher à +12,60 superstructure plancher Plancher à +6,60 superstructure Total sur fondation

G (T) 52,69 100,48 36,17 40,19

Q (T)

20,10 1814,83 221,5 243,59 19 300,89 10373,95 402,25 660,82 120,44 57,81 120,93 38,70 4230,3

10394,05

tableau 38.  descente de charge variante béton précontraint

VIII.6.2.  Dimensions de la semelle VIII.6.2.1.  Rayon intérieur r et extérieur R En appliquant la même méthode que pour la variante en béton armé, On trouve : R=12,45 m et r=0,41 m De même, on remarque que r ≈ 0, donc nous allons opter pour un radier circulaire de rayon R

VIII.6.3.  Dimensions du radier Le rayon du radier : R=14 m La hauteur utile : d=1,4 , on prend h=1,45 m

VIII.6.4.  Vérification de la contrainte du sol

Donc : σ =

Elément Dallage Remblais Radier

G (T) 116,1 815,64 2000,18

Q (T)

Total sous fondation

7162,21

10394,05

N ELS = 28,5T / m 2 < 30 T / m 2 π R2

Calcul des Fondations

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VIII.6.5.  Calcul des armatures sur Effel Les charges appliquées sur le radier sont définies comme nous avons fait avec la première variante : P1= 582,29 T/ml , P2= 3,05 T/m2 et P3= 2,43 T/m2 Supérieures Cerces inférieures Radiales

Rayon 0->10 4->7 7->11 11->14 5->10 10->14

Ath (cm2/m) 26,75 22,72 64,9 57,7 134,8 39,8

Aréel HA 20 HA 20 HA 32 HA 32 HA 40 HA 20

espacement 12 12 12 14 8 8

tableau 39.  Ferraillage du radier Variante BP

xxSchéma de ferraillage :

figure 64.  Armatures supérieures du radier BP

figure 65.  Armatures inférieures du radier BP

Calcul des Fondations

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VIII.7. Modélisation de la structure sur le logiciel Effel Pour la saisie de la structure, la définition des appuis et des charges nous avons procédé comme dans le cas du silo en béton armé.

VIII.7.1.  Saisie de la précontrainte Vu la délicatesse de la modélisation de la précontrainte dans les tronçons cylindriques, et le non disponibilité du module de calcul de précontrainte sur la version avec laquelle nous avons travaillé, nous avons utilisé le procédé de la mise en tension par dilatation thermique Ce procédé consiste à chauffer l’armature et à la fixer à chaud au béton durci, lors du refroidissement, l’armature tend à se contracter et se trouve ainsi tendue sans intervention mécanique. Ainsi, sur le logiciel nous allons entrer une température négative sur des barres en acier. xxGénération des barres : On considère une barre en acier de section égale à la section des câbles de précontrainte ( 4T 15 S) soit A= 600 mm2, donc le dimètre de la barre est D=2,76 cm

figure 66.  Définition des barres de précontrainte

xxCalcul de la température négative : La température négative à appliquer sur les barres pour générer l’effet de la précontrainte est calculée en égalisant la déformation due à la précontrainte εP avec celle due à la température εT . Nous avons : ε P = Donc : ∆T =

∆l P = et ε T = α .∆T l AE p

P α . A.E p

Avec : P : Effort de précontrainte = 0,635 MN α=1,2.10-5 : Coefficient de dilatation thermique de l’acier EP module d’élasticité de l’acier =200 000 MPa Ainsi, on trouve : ∆T= - 441ºC Nous avons appliqué cette température sur les barres disposées sur les éléments surfaciques de la paroi, et espacées suivant les espacements déja calculés.

Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Calcul et dimensionnement d’un silo

figure 67.  Génération de la température négative sur les barres

VIII.7.2.  Résultats de la modélisation VIII.7.2.1.  Déplacement de la paroi

figure 68.  Déplacement de la paroi en béton précontraint

Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VIII.7.2.2.  Sollicitations sur la paroi ((Vérification des efforts dus à la dilatation thermique (précontrainte) :

figure 69.  Effort Fx due à la précontrainte seule

Sur la partie dont l’espacement des câbles est 0,45 m nous avons Fx1=-136,14 T, celle avec un espacement de 0,55 m Fx2=-115,8 T et pour la dernière partie avec 0,65 m Fx3=-96,86. Si on multiplie chaque effort par l’espacement correspondant qui désigne la taille des éléments sur Effel, alors on trouve les efforts suivants : Fx1= -61,3 T ; Fx2=-63,7 T et Fx3=-62,9 T. On remarque donc que les valeurs trouvées coincident avec l’effort de précontrainte que nous avons calculé P=63,5 T, ainsi le procédé de précontrainte utilisé est valable. ((Variations des efforts Fx et Fy :

Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Calcul et dimensionnement d’un silo

((Variations des moments Mx et My :

Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Calcul et dimensionnement d’un silo

VIII.7.3.  Ferraillage ((Ferraillage de la paroi : * Les Cerces : acier réel tranche acier intérieur (cm2/ml) 0 -> 5 2 HA12 5 -> 10 7,5 HA14 10 -> 15 13,5 HA16 15 -> 20 19,8 HA20 20 -> 25 20,3 HA20 25 -> 30 14,8 HA20 30 -> 35 14,8 HA20 35 -> 40,4 9,9 HA16

espacement acier extérieur (cm) (cm2/ml) 15 14,0 15 11,1 15 14,3 15 19,2 15 18,4 20 20,2 20 20,7 20 19,8

acier réel HA14 HA14 HA14 HA20 HA20 HA20 HA20 HA20

espacement (cm) 10 10 10 15 15 15 15 15

tableau 40.  section des cerces de la paroi BP

* Les douves : tranche

acier intérieur

0 -> 5 5 -> 10 10 -> 15 15 -> 20 20 -> 25 25 -> 30 30 -> 35 35 -> 40,4

3,2 3,2 3,2 2,7 1,6 1,6 0 0

acier réel (cm2/ml) HA12 HA12 HA12 HA12 HA12 HA12 HA12 HA12

espacement acier extérieur (cm) (cm2/ml) 15 22 15 10,4 15 10,4 15 9 15 9,3 15 4,9 15 2,2 20 25

acier réel HA20 HA16 HA16 HA16 HA16 HA12 HA12 HA20

espacement (cm) 12 20 20 20 20 15 15 12

tableau 41.  section des douves de la paroi BP

((Ferraillage de la jupe inférieure : * Les Cerces : Partie 0->4,75 4,75->6,5 6,5->11,7

acier intérieur 4 59 15

acier réel HA14 e=15 HA32 e=12 HA16 e=12

acier extérieur 3 59 11

acier réel HA14 e=15 HA32 e=12 HA16 e=12

tableau 42.  section des Cerces de la jupe inférieure BP

* Les douves : Nous remarquons qu’au voisinage de l’ouverture les section d’armature sont élevées, donc nous avons disposé ses armatures sur une longueur de 2 m de part et d’autre des ouvertures. Partie 0->4,75 4,75->6,5 6,5->11,7

acier intérieur 58 0 0

acier réel HA32 e=12 HA14 e=15 HA14 e=15

acier extérieur 58 0 0

acier réel HA32 e=12 HA14 e=15 HA14 e=15

tableau 43.  section des douves de la jupe inférieure BP

Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

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Calcul et dimensionnement d’un silo ((Ferraillage du Cône : Comme dans la variante béton armé le cône travail en compression, la section d’acier minimale à considérer est : Amin=7 cm2/ml (suivant les deux directions) ((Schéma de ferraillage :

figure 70.  Schéma de ferraillage de la paroi BP : Cerces

Modélisation de la structure sur le logiciel Effel

100

Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo

IX. Comparaison entre les deux variantes Nous allons établir dans ce chapitre le prix estimatif des deux variantes, le calcul des quantités de béton et de l’acier est effectué manuellement.

IX.1. Prix de la première variante IX.1.1.  Prix du béton Élements Couverture Paroi Poutre couronne Sommet Cône Paroi Jupe inférieure Plancher à +12,60 Plancher à +6,60 Dallage Radier

Quantité(m3) 61,27 1263,5 127 7,6 120,3 428,8 47,5 47,7 47,7 1023,3

Prix unitaire (DHs) 4000 3500 3500 3500 4000 3200 4000 4000 2300 2500

Prix de l’élément 245 080,00 4 422 250,00 444 500,00 26 600,00 481 200,00 1 372 160,00 190 000,00 190 800,00 109 710,00 2 558 250,00

Prix total

10 040 550,00

tableau 44.  Prix du béton de la variante BA

IX.1.2.  Prix de l’acier Élements Actif Passif Poutre Couverture Ancrages gaines Prédalle Paroi Poutre couronne Cône Jupe inférieure Plancher à +12,60 Plancher à +6,60 Dallage Radier

Unité Kg Kg unité m Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg

Quantité 806,38 725,48 12 135,46 1496,5 195169,16 9889,8 4163,04 29452,14 2338,5 2338,5 831,87 75319,5

Prix unitaire 35 23 400 20 23 23 23 23 23 23 23 23 23

Prix de l’élément 28 223,30 16 686,04 4 800,00 2 709,20 34 419,50 4 488 890,68 227 465,40 95 749,92 677 399,22 53 785,50 53 785,50 19 133,01 1 732 348,50

Prix total

7 435 395,77

tableau 45.  Prix de l’acier de la variante BA

IX.1.3.  Prix total de la variante

Le prix total de la première variante en Béton armé est :

17 475 945,77 DHs

Comparaison entre les deux variantes

101

Mémoire de Fin d’Études Juin 2013 Calcul et dimensionnement d’un silo

IX.2. Prix de la deuxième variante IX.2.1.  Prix du béton Élements Couverture Paroi Connecteurs Poutre couronne Sommet Cône Paroi Jupe inférieure Plancher à +12,60 Plancher à +6,60 Dallage Radier

Quantité(m3) 61,27 725,9 88,6 97,44 7,6 120,3 264,3 48,2 48,4 48,3 800,1

Prix unitaire (DHs) 4000 3500 3500 3500 3500 4000 3200 4000 4000 2300 2500

Prix de l’élément 245 080,00 2 540 650,00 310 100,00 341 040,00 26 600,00 481 200,00 845 760,00 192 800,00 193 600,00 111 090,00 2 000 250,00

Prix total

7 288 170,00

tableau 46.  Prix du béton de la variante BP

IX.2.2.  Prix de l’acier Élements Actif Passif Poutre Couverture Ancrages gaines Prédalle Passif Paroi Actif Poutre couronne Cône Jupe inférieure Plancher à +12,60 Plancher à +6,60 Dallage

Unité Kg Kg unité m Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg

Quantité 806,38 725,48 12 135,46 1496,5 92338,06 18506,57 9889,8 4163,04 50388,42 2338,5 2338,5 831,87

Prix unitaire 35 23 400 20 23 23 35 23 23 23 23 23 23

Prix de l’élément 28 223,30 16 686,04 4 800,00 2 709,20 34 419,50 2 123 775,38 647 729,95 227 465,40 95 749,92 1 158 933,66 53 785,50 53 785,50 19 133,01

Prix total

6 193 044,37

tableau 47.  Prix de l’acier de la variante BP

IX.2.3.  Prix total de la variante Le prix total de la deuxième variante en Béton Précontraint est :

13 481 214,37 DHs Les résultats obtenus par le métré montrent que la variante la plus avantageuse en terme de coût est la deuxième variante calculée en béton précontraint avec une différence de 3 994 431,40 DHs.

Comparaison entre les deux variantes

102

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

Conclusion L’objectif de ce travail de fin d’études est le dimensionnement d’un silo circulaire de capacité 10 000 T, nous avons établi une étude de deux variantes : en béton armé et en béton précontraint. Au terme de ce travail, nous avons défini dans un premier temps la conception de la structure ainsi que les méthodes d’exécution et de réparation des silos. Deuxièment, après avoir défini toutes les hypothèses de calcul, nous avons effectué une série de calculs manuels des éléments constituant la structure, soit : la paroi, le cône, la poutre couronne, la couverture, le plancher circulaire et le dallage. Troisièment, nous avons modélisé la structure des deux variantes sur le logiciel Effel, d’une part pour confirmer la conception adoptée et d’autre part, compléter l’étude manuelle notamment pour le calcul de ferraillage de la paroi, le cône, la jupe inférieure et le radier. Finalement, La comparaison entre les deux variantes au niveau économique a montré que la variante en béton précontraint est la plus avantageuse. Nous pouvons affirmer que ce projet a la particularité de traiter un ouvrage de stockage spécial, qui constitue un élément important dans le processus de fabrication du ciment. Cette particularité a constitué pour nous une bonne expérience professionnelle, dans la mesure où elle nous a permis, non seulement de mobiliser toutes nos connaissances théoriques acquises durant notre formation, mais aussi d’apprendre plus de techniques, méthodes et règlements.

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

Bibliographie (Réglements ( : [1] Eurocode 1 Partie 4 : Actions dans les silos et réservoirs [2] Régles professionnelles de conception et de calcul des silos en béton armé ou précontraint (Juillet-Août 1986) de l’ITBTP [3] Eurocode 2 Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments [4] Règles BAEL 91 révisées 99 [5] Règles BPEL 91 [6] Règles NV 65

(Références ( : [7] Conception et calcul des structures en béton, Henry THONIER [8] Silos théorie et pratique, Marcel et André REIMBERT [9] Traité de béton armé, André GUERRIN et George DANIEL [10] Le béton précontraint aux états limites, Henry THONIER [11] La précontrainte, Presses de l’école nationale des ponts et chaussées [12] Cours Précontrainte des structures isostatiques, Mr AZIZI [13] Cours de Structures en béton, Mr GUISSI [14] Cours Théorie des plaques et coques, Mr CHERRABI [15] Techniques de l’ingénieur [16] Maîtrise de BAEL 91 et des DTU associés [17] Calcul des ouvrages en béton armé, M.BELAZOUGUI [18] Les documents de DAVIDOVICI [19] Cours Béton armé, Centre des hautes études de la construction

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

ANNEXES

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ANNEXE A : Plans de présentation du projet

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ANNEXE B : Détail de Calcul des poussées sur la paroi xx Actions au remplissage : ((Pression horizontale Phf: Nous avons : γ=16 KN/m3 ; K=Ksup= 0,648 ; μ= μinf= 0,477 ; A/U= rh=4 m Donc : z0= 12,94 m

et Pho= 13,42 T/m2

Ainsi : z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Yj 0,00 0,07 0,14 0,21 0,27 0,32 0,37 0,42 0,46 0,50 0,54 0,57 0,60 0,63 0,66 0,69 0,71 0,73 0,75 0,77 0,79 0,80 0,82 0,83 0,84 0,86 0,87 0,88 0,89 0,89 0,90 0,91 0,92 0,92 0,93

Phf (T/m2) 0,00 1,00 1,92 2,78 3,57 4,30 4,98 5,61 6,19 6,73 7,22 7,68 8,11 8,51 8,87 9,21 9,52 9,81 10,08 10,33 10,56 10,77 10,97 11,15 11,32 11,48 11,62 11,75 11,88 11,99 12,10 12,20 12,29 12,37 12,45

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

((Contrainte de frottement sur la paroi Pwf: Nous avons : γ=16 KN/m3 ; K=Ksup= 0,648 ; μ= μsup= 0,546; A/U= rh=4 m Donc : z0= 11,31m

et Pho= 11,72 T/m2

Ainsi : z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Yj 0,00 0,08 0,16 0,23 0,30 0,36 0,41 0,46 0,51 0,55 0,59 0,62 0,65 0,68 0,71 0,73 0,76 0,78 0,80 0,81 0,83 0,84 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,92 0,93 0,94 0,94 0,95 0,95

Pwf (T/m2) 0,00 0,54 1,04 1,49 1,91 2,29 2,64 2,95 3,25 3,51 3,76 3,98 4,19 4,37 4,54 4,70 4,84 4,98 5,10 5,21 5,31 5,40 5,48 5,56 5,63 5,70 5,76 5,81 5,86 5,91 5,95 5,99 6,02 6,05 6,08

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

((Pression verticale Pvf : Nous avons : γ=16 KN/m3 ; K=Kinf= 0,450 ; μ= μinf= 0,477; A/U= rh=4 m Donc : z0= 18,63m

et Pho= 13,42 T/m2

Ainsi : z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Yj 0,00 0,05 0,10 0,15 0,19 0,24 0,28 0,31 0,35 0,38 0,42 0,45 0,47 0,50 0,53 0,55 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,69 0,71 0,72 0,74 0,75 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

Pvf (T/m2) 0,00 1,56 3,03 4,43 5,76 7,02 8,21 9,34 10,41 11,42 12,38 13,30 14,16 14,98 15,75 16,49 17,18 17,85 18,47 19,06 19,63 20,16 20,66 21,14 21,60 22,03 22,43 22,82 23,18 23,53 23,86 24,17 24,47 24,75 25,01

110

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

xx Action à la vidange : ((Pression horizontale Phe: z

Phe (T/m2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0,00 1,15 2,21 3,19 4,10 4,95 5,73 6,45 7,12 7,73 8,31 8,84 9,33 9,78 10,20 10,59 10,95 11,28 11,59 11,88 12,14 12,39 12,61 12,82 13,02 13,20 13,36 13,52 13,66 13,79 13,91 14,03 14,13 14,23 14,32

111

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

((Contrainte de frottement sur la paroi Pwe: z

Pwe (T/m2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

0,00 0,60 1,14 1,64 2,10 2,52 2,90 3,25 3,57 3,86 4,13 4,38 4,60 4,81 5,00 5,17 5,33 5,47 5,61 5,73 5,84 5,94 6,03 6,12 6,20 6,27 6,33 6,39 6,45 6,50 6,54 6,59 6,62 6,66 6,69

112

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

xx Action à la vidange avec un grand excentrement : ((Pour k1=0,25 * Géométrie :

rc 1 = 0, 25 × 8 = 2 m ec 1 = 8 0, 64 (1 − 0, 25 ) + (1 − 0, 64 ) 1 − 0, 25  = 6,33 m cos θc 1 =

82 + 6,332 − 22 = 0,988 => θc 1 = 8,8° 2 × 8 × 6,33

U wc 1 = 2 ×

8,8 × π × 8 = 2, 46 m 180

8 sin 8,8°= 0, 612 => Ψ1 = 37, 7° 2 37, 7 × π   U sc 1 = 2 × 2  π −  = 9,93 m sin Ψ1 =



180



Ac 1 = (π − 0, 66 ) 2 + 0,15 × 82 − 8 × 2 × sin(0, 66 − 0,15) = 11,8 m 2 2

* Pression : On prend dans ce cas : K=Kinf=0,45 ; μ=μinf=0,477 et ∅i = ∅isup = 36, 6° Donc : z oc 1 =

1  11,8  = 3, 07 m  0, 45  2, 46 × 0, 477 + 9,93 × 0, 74 

Phco 1 =1, 6 × 0, 45 × 3, 07 = 2, 21T / m 2 Ainsi : z −   3,07 Phce 1 ( z ) = 2, 211 − e     Pwce 1 ( z ) = 0, 477 Phce 1 ( z )

113

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

Zone d'écoulement z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Phce1 0,00 0,61 1,06 1,38 1,61 1,78 1,90 1,98 2,05 2,09 2,12 2,15 2,17 2,18 2,19 2,19 2,20 2,20 2,20 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21 2,21

Pwce1 0,00 0,29 0,50 0,66 0,77 0,85 0,90 0,95 0,98 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,04 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05

zone statique hors zone d’écoulement Phse1 Pwse1 0,00 0,00 1,00 0,54 1,92 1,04 2,78 1,49 3,57 1,91 4,30 2,29 4,98 2,64 5,61 2,95 6,19 3,25 6,73 3,51 7,22 3,76 7,68 3,98 8,11 4,19 8,51 4,37 8,87 4,54 9,21 4,70 9,52 4,84 9,81 4,98 10,08 5,10 10,33 5,21 10,56 5,31 10,77 5,40 10,97 5,48 11,15 5,56 11,32 5,63 11,48 5,70 11,62 5,76 11,75 5,81 11,88 5,86 11,99 5,91 12,10 5,95 12,20 5,99 12,29 6,02 12,37 6,05 12,45 6,08

zone statique proche de la zone d’écoulement Phae1 Pwae1 0,00 0,00 1,38 0,66 2,79 1,33 4,18 1,99 5,53 2,64 6,83 3,26 8,06 3,85 9,23 4,40 10,33 4,93 11,36 5,42 12,32 5,88 13,22 6,31 14,06 6,70 14,83 7,08 15,56 7,42 16,23 7,74 16,85 8,04 17,42 8,31 17,96 8,57 18,45 8,80 18,91 9,02 19,34 9,22 19,73 9,41 20,09 9,58 20,43 9,75 20,74 9,89 21,03 10,03 21,30 10,16 21,55 10,28 21,78 10,39 21,99 10,49 22,18 10,58 22,37 10,67 22,53 10,75 22,69 10,82

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

((Pour k2=0,4 * Géométrie :

rc 2 = 0, 4 × 8 = 3, 2 m

ec 2 = 8 0, 64 (1 − 0, 4 ) + (1 − 0, 64 ) 1 − 0, 4  = 5,30 m 82 + 5,32 − 3, 22 cos θc 2 = = 0,965 => θc 2 = 15,16° 2 × 8 × 5,3

U wc 2 = 2 × sin Ψ 2 =

15,16 × π × 8 = 4, 23 m 180

8 sin15,16° = 0, 654 3, 2

=> Ψ 2 = 40,83°

40,83 × π   U sc 2 = 2 × 3, 2  π −  = 15,54 m 180   Ac 2 = (π − 0, 71) 3, 22 + 0, 26 × 82 − 8 × 3, 2 × sin(0, 71 − 0, 26) = 30, 45 m 2 * Pression : On prend dans ce cas : K=Kinf=0,45 ; μ=μinf=0,477 et Donc :

z oc 2 = Ainsi :

∅i = ∅isup = 36, 6°

1  30, 45  = 5, 00 m  0, 45  4, 23 × 0, 477 + 15,54 × 0, 74 

Phco 2 =1, 6 × 0, 45 × 5, 00 = 3, 6T / m 2 z −   5,00 Phce 2 ( z ) = 3, 6 1 − e     Pwce 2 ( z ) = 0, 477 Phce 1 ( z )

115

Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

Zone d'écoulement z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Phce2 0,00 0,65 1,19 1,62 1,98 2,28 2,52 2,71 2,87 3,00 3,11 3,20 3,27 3,33 3,38 3,42 3,45 3,48 3,50 3,52 3,53 3,55 3,56 3,56 3,57 3,58 3,58 3,58 3,59 3,59 3,59 3,59 3,59 3,60 3,60

Pwce2 0,00 0,31 0,57 0,77 0,95 1,09 1,20 1,29 1,37 1,43 1,48 1,53 1,56 1,59 1,61 1,63 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,69 1,70 1,70 1,70 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,72

zone statique hors zone d'écoulement Phse2 Pwse2 0,00 0,00 1,00 0,54 1,92 1,04 2,78 1,49 3,57 1,91 4,30 2,29 4,98 2,64 5,61 2,95 6,19 3,25 6,73 3,51 7,22 3,76 7,68 3,98 8,11 4,19 8,51 4,37 8,87 4,54 9,21 4,70 9,52 4,84 9,81 4,98 10,08 5,10 10,33 5,21 10,56 5,31 10,77 5,40 10,97 5,48 11,15 5,56 11,32 5,63 11,48 5,70 11,62 5,76 11,75 5,81 11,88 5,86 11,99 5,91 12,10 5,95 12,20 5,99 12,29 6,02 12,37 6,05 12,45 6,08

zone statique proche de la zone d'écoulement Phae2 Pwae2 0,00 0,00 1,34 0,64 2,66 1,27 3,93 1,87 5,15 2,46 6,33 3,02 7,44 3,55 8,50 4,06 9,50 4,53 10,45 4,98 11,33 5,41 12,17 5,80 12,95 6,18 13,68 6,52 14,36 6,85 15,00 7,15 15,59 7,44 16,14 7,70 16,66 7,95 17,14 8,17 17,58 8,39 18,00 8,58 18,38 8,77 18,74 8,94 19,07 9,10 19,38 9,24 19,66 9,38 19,92 9,50 20,17 9,62 20,40 9,73 20,61 9,83 20,80 9,92 20,98 10,01 21,15 10,09 21,30 10,16

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

((Pour k3=0,6 * Géométrie :

rc 3 = 0, 6 × 8 = 4,8 m ec 3 = 8 0, 64 (1 − 0, 6 ) + (1 − 0, 64 ) 1 − 0, 6  = 3,87 m

82 + 3,87 2 − 4,82 cos θc 3 = = 0,903 => θc 3 = 25, 40° 2 × 8 × 3,87 25, 40 × π U wc 3 = 2 × × 8 = 7,10 m 180 8 sin 25, 40° = 0, 716 => Ψ 3 = 45, 63° 4,8 45, 63 × π   = 2 × 4,8  π −  = 22,50 m 180  

sin Ψ 3 = U sc 3

Ac 3 = (π − 0,80 ) 4,82 + 0, 44 × 82 − 8 × 4,8 × sin(0,80 − 0, 44) = 68,83 m 2 * Pression : On prend dans ce cas : K=Kinf=0,45 ; μ=μinf=0,477 et Donc : z oc 3 =

∅i = ∅isup = 36, 6°

1  68,83  = 7, 63 m  0, 45  7,10 × 0, 477 + 22,50 × 0, 74 

Phco 3 =16 × 0, 45 × 7, 63 = 5, 49T / m 2 Ainsi : z −   7,63 Phce 3 ( z ) = 5, 49 1 − e     Pwce 3 ( z ) = 0, 477 Phce 1 ( z )

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

Zone d'écoulement z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Phce3 0,00 0,67 1,27 1,78 2,24 2,64 2,99 3,30 3,57 3,80 4,01 4,19 4,35 4,49 4,61 4,72 4,82 4,90 4,97 5,03 5,09 5,14 5,18 5,22 5,25 5,28 5,31 5,33 5,35 5,37 5,38 5,40 5,41 5,42 5,43

Pwce3 0,00 0,32 0,60 0,85 1,07 1,26 1,43 1,57 1,70 1,81 1,91 2,00 2,08 2,14 2,20 2,25 2,30 2,34 2,37 2,40 2,43 2,45 2,47 2,49 2,51 2,52 2,53 2,54 2,55 2,56 2,57 2,57 2,58 2,58 2,59

zone statique hors zone d'écoulement Phse3 Pwse3 0,00 0,00 1,00 0,54 1,92 1,04 2,78 1,49 3,57 1,91 4,30 2,29 4,98 2,64 5,61 2,95 6,19 3,25 6,73 3,51 7,22 3,76 7,68 3,98 8,11 4,19 8,51 4,37 8,87 4,54 9,21 4,70 9,52 4,84 9,81 4,98 10,08 5,10 10,33 5,21 10,56 5,31 10,77 5,40 10,97 5,48 11,15 5,56 11,32 5,63 11,48 5,70 11,62 5,76 11,75 5,81 11,88 5,86 11,99 5,91 12,10 5,95 12,20 5,99 12,29 6,02 12,37 6,05 12,45 6,08

zone statique proche de la zone d'écoulement Phae3 Pwae3 0,00 0,00 1,32 0,63 2,58 1,23 3,77 1,80 4,90 2,34 5,96 2,84 6,97 3,32 7,92 3,78 8,81 4,20 9,65 4,60 10,44 4,98 11,18 5,33 11,87 5,66 12,52 5,97 13,13 6,26 13,70 6,53 14,23 6,79 14,73 7,02 15,19 7,25 15,62 7,45 16,03 7,64 16,40 7,82 16,75 7,99 17,08 8,15 17,39 8,29 17,67 8,43 17,93 8,55 18,18 8,67 18,41 8,78 18,62 8,88 18,82 8,97 19,00 9,06 19,17 9,14 19,33 9,22 19,47 9,29

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

((Comparaison entre les 3 cas k1, k2 et k3 :

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

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Projet de Fin d’Études Juin 2013 Cacul et dimensionnement d’un silo

ANNEXE C : Résultats de la modélisation (( La jupe inférieure : * Variation des efforts Fx et Fy :

* Variation des moments Mx et My :

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(( Le cône central : * Variation des efforts Fx et Fy :

* Variation des moments Mx et My :

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