Proba Eval Sumativa Integrala Definita Aplicatii 2014 [PDF]

Zitiervorschau

Probă de evaluare sumativă la matematică Tema: Aplicaţii ale integralei definite Clasa a XII-a, profil real Varianta 1 Problema 1: Viteza unui corp se mişcă rectiliniu neuniform este determinată de ecuaţia v (t )  3t 2  4t  3 . Să se determine distanţa parcursă de acest corp în secunda a treiea. Problema 2: Să se calculeze aria suprafeţei mărginită de liniile: a) f ( x )  2 x  1, x  0, x  2, y  0 ; b) f ( x)   x 2  2 x  3 şi g ( x)  0 ; c) f ( x )   x 2  2 x  3 şi g ( x )   x  3 . Problema 3: Să se calculeze volumul corpului obţinut la rotirea în jurul axei Ox a figurii plane mărginită de liniile: a) f ( x)  2 x  1, x  0, x  2, y  0 ;   b) f : 0;   R, f ( x)  cos 2 x şi g ( x)  0 ;  4 c) f ( x )   x 2  2 x  3 şi g ( x )   x  3 .

Problema 4: Să se determine coordonatele centrului de greutate al unei plăci omogene, determinate de subgraficul  f al funcţiei:   a) f : [ 3; 1]  R, f ( x)   x 2  2 x  3 ; b) f : 0;   R, f ( x)  cos 2 x . 4



Problema 5: Să se calculeze integrala definită:



3

1

| 2 x  4 |dx .

Timp de lucru: 90 min Scor maxim: 100 puncte ____________________________________________________________________________________ Probă de evaluare sumativă la matematică Tema: Aplicaţii ale integralei definite Clasa a XII-a, profil real Varianta 2 Problema 1: Viteza unui corp se mişcă rectiliniu neuniform este determinată de ecuaţia v(t )  3t 2  2t  2 . Să se determine distanţa parcursă de acest corp în secunda a patra. Problema 2: Să se calculeze aria suprafeţei mărginită de liniile: a) f ( x)  5  2 x, x  1, x  2, y  0 ; b) f ( x)   x 2  4 x  5, g ( x )  0 ; c) f ( x)   x 2  4 x  5, g ( x)   x  5 . Problema 3: Să se calculeze volumul corpului obţinut la rotirea în jurul axei Ox a figurii plane mărginită de liniile: a) f ( x )  5  2 x, x  1, x  2, y  0 ;   b) f : 0;   R, f ( x)  cos 3 x şi g ( x)  0 ;  6 c) f ( x)   x 2  4 x  5, g ( x)   x  5 .

Problema 4: Să se determine coordonatele centrului de greutate al unei plăci omogene, determinate de subgraficul  f al funcţiei :   a) f : [5; 1]  R, f ( x)   x 2  4 x  5 ; b) f : 0;   R, f ( x)  cos 3 x . 6



Problema 5: Să se calculeze integrala definită: Timp de lucru: 90 min



2

0

| 4 x  4 |dx .

Scor maxim:100 puncte Probă de evaluare sumativă la matematică Tema: Aplicaţii ale integralei definite Clasa a XII-a , profil real

Varianta 3 Problema 1: Viteza unui corp se mişcă rectiliniu neuniform este determinată de ecuaţia v(t )  3t 2  2t  4 . Să se determine distanţa parcursă de acest corp în secunda a cincea. Problema 2: Să se calculeze aria suprafeţei mărginită de liniile: a) f ( x )  2 x  3, x  1, x  2, y  0 ; b) f ( x)   x 2  2 x  3, g ( x)  0 ; c) f ( x)   x 2  2 x  3, g ( x)   x  3 . Problema 3: Să se calculeze volumul corpului obţinut la rotirea în jurul axei Ox a figurii plane mărginită de liniile: a) f ( x)  2 x  3, x  1, x  2, y  0 ;   b) f :  0;   R, f ( x)  cos 4 x şi g ( x)  0 ; 8  c) f ( x)   x 2  2 x  3, g ( x)   x  3 .

Problema 4: Să se determine coordonatele centrului de greutate al unei plăci omogene, determinate de subgraficul  f al funcţiei:   a) f : [1; 3]  R, f ( x)   x 2  2 x  3 b) f :  0;   R, f ( x)  cos 4 x . 8



Problema 5: Să se calculeze integrala definită:

2



0

| 2 x  2 |dx .

Timp de lucru: 90 min Scor maxim: 100 puncte ___________________________________________________________________________________ Probă de evaluare sumativă la matematică Tema: Aplicaţii ale integralei definite Clasa a XII-a, profil real Varianta 4 Problema 1: Viteza unui corp se mişcă rectiliniu neuniform este determinată de ecuaţia v (t )  3t 2  4t  5 . Să se determine distanţa parcursă de acest corp în secunda a doua. Problema 2: Să se calculeze aria suprafeţei mărginită de liniile: a) f ( x)  6  2 x, x  1, x  2, y  0 ; b) f ( x)   x 2  4 x  5, g ( x)  0 ; c) f ( x)   x 2  4 x  5, g ( x)  x  5 ; Problema 3: Să se calculeze volumul corpului obţinut la rotirea în jurul axei Ox a figurii plane mărginită de liniile: a) f ( x)  6  2 x, x  1, x  2, y  0 ;    b) f : 0;   R, f ( x)  cos 5 x şi g ( x)  0 ;  10  c) f ( x)   x 2  4 x  5, g ( x)  x  5 .

Problema 4: Să se determine coordonatele centrului de greutate al unei plăci omogene, determinate de subgraficul  f al funcţiei:    a) f : [ 1; 5]  R, f ( x)   x 2  4 x  5 ; b) f : 0;   R, f ( x)  cos 5 x . 

Problema 5: Să se calculeze integrala definită: Timp de lucru: 90 min



3

1

10 

| 4 x  8 |dx .

Scor maxim: 100 puncte

1. Tabelul de apreciere a problemelor (punctaj acordat pentru sarcinile propuse): Nr. itemului Punctaj acordat

1

2a)

2b)

2c)

3a)

3b)

3c)

4a)

4b)

5

Total

5

5

8

12

10

12

10

15

15

8

100

2. Barem de verificare şi notare: Punctaj acumulat Nota

100-96

95-89

88-70

79-65

64-50

49-34

10

9

8

7

6

5

33-20 19-9 4

3

8-3

2-1

2

1

3. Matricea de specificaţii: Relaţia „Domenii cognitive _ Conţinuturi _ Obiective de evaluare Domenii cognitive Cunoaştere şi înţelegere

Aplicare

Conţinuturi Sensul fizic al integralei Aria subgraficului funcţiei Volumul corpului de rotaţie a subgraficului funcţiei în jurul axei Ox Coordonatele centrului de greutate al unei plăci omogene Calculul integralei definite de la funcţii ce conţin modul

10% 1 item 10% 1 item 10% 1 item

30% 3 itemi

Total

Rezolvări de probleme, rezolvări de situaţiiproblemă (integrare)

Total

10% 1 item 10% 1 item

10% 1 item 10% 1 item

10% 1 item 30% 3 itemi 30% 3 itemi

10% 1 item

10% 1 item

20% 2 itemi

30% 3 itemi

10% 1 item 40% 4 itemi

10% 1 item 100% 10 itemi

4. Obiectivele evaluării Elevul va fi capabil: O1: Să cunoască noţiunile studiate, simbolica şi notaţiile corespunzătoare; O2: Să cunoască formulele de calcul ale ariei figurii plane, volumului corpului de rotaţie, coordonatele centrului de greutate al unei plăci omogene; O3: Să cunoască formulele de calcul ale distanţei parcursă de un corp la mişcarea rectilinie neuniformă; O4: Să reprezinte prin desene figurile geometrice necesare pentru îndeplinirea sarcinilor 1-6; O5: Să aplice formulele de calcul ale ariei figurii plane, volumului corpului de rotaţie, coordonatele centrului de greutate al unei plăci omogene la rezolvarea problemelor; O6: Să aplice formulele de calcul ale distanţei parcursă de un corp la mişcarea rectilinie neuniformă la rezolvarea problemelor din fizică; O7: Să aplice noţiunile studiate în diverse situaţii reale; O8: Să efectuieze calcule algebrice cu numere reale.

5. Schema de analiză a rezultatelor la proba de evaluare Note Scor Nr. elevi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

% reuşitei _____________ % calităţii _____________ Nota medie ____________ Numele şi prenumele evaluatorului ______________________________________

Radion Blîndu, profesor de matematică, grad didactic superior, Liceul teoretic „Mihai Eminescu”, mun. Bălţi, Republica Moldova, 2014 Anexa 1 Suport teoretic 57.1 Sensul geometric al sumei Riemann. Aria figurii plane. 57.1.1 Noţiuni şi notaţii Definiţia 1: Mulţimea tuturor punctelor din planul de coordonate  f  ( x, y )  R  R a  x  b, 0  y  f ( x) se numeşte subgraficul funcţiei f : [a; b]  R, y  f ( x) (sau trapez curbiliniu). Definiţia 2: Figura plană (domeniul plan) mărginită de segmentul  a; b  al axei Ox, dreptele verticale x  a şi x  b şi graficul G f al funcţiei f : [a; b]  R, y  f ( x) se numeşte subgraficul funcţiei f sau trapez curbiliniu determinat de graficul funcţiei f . • Subgraficul funcţiei f : [a; b]  R, y  f ( x ) se notează:  f sau ( f ) . •  f se numeşte subgraficul funcţiei f : [a; b]  R sau trapez curbiliniu. (Vezi Fig. 57.1) • Aria subgraficului funcţiei f : [a; b]  R , y  f ( x) , unde funcţia f este continuă şi nenegativă pe intervalul [ a; b] se notează: A( f ) sau S ( f ) .

Fig. 57.1

Fig. 57.2

57.1.3 Cazuri pentru calcularea ariei subgraficului, trapezului curbiliniu sau figurii plane b

a) Dacă f ( x)  0 , x  [ a; b] , atunci A( f ) 

 f ( x)dx .

(Vezi Fig. 57.3).

a

Fig. 57. 3

Fig. 57.4

Fig. 57.3

Fig. 57.4

Fig. 57.5

b) Dacă f ( x )  0 , x  [ a; b] , atunci A( f ) 

b

a

a

b

 f ( x)dx    f ( x)dx .

(Vezi Fig. 57.4). c) Dacă c  [ a; b] şi f ( x)  0 pentru x  [ a; c ] , iar f ( x )  0 , x  [c; b] , atunci c

A( f ) 

 a

b

c

b

c

a

c

f ( x)dx   f ( x)dx sau A( f )    f ( x) dx   f ( x)dx

(Vezi Fig. 57.5). d) Aria figurii mărginite de graficele funcţiilor f : [a; b]  R şi  : [a; b]  R continui pe intervalul  a; b  se calculează conform formulei: b

A( f , ) 

 a

f ( x)   ( x) dx

(57.11)

e) Dacă funcţiile f : [a; b]  R şi  : [a; b]  R sunt continui şi nenegative pe intervalul  a; b  si f ( x )   ( x ) , x  [ a; c ] şi  ( x )  f ( x ) , x  [c; b] , atunci figura mărginită de graficele funcţiilor f şi  şi dreptele x  a şi x  b are arie şi ea se calculează conform formulei:

A( f , ) 

c

b

a

c

  f ( x)   ( x)dx    ( x)  f ( x)dx

Fig. 57.6a

Fig. 57.6b

(57.12)

Fig. 57.7

• Cazul e) în care se aplică formula (57.12) este reprezentat în Fig. 57.7.

57.1.4 Algoritmul de calculare a ariei figurii plane mărginite de graficele a două funcţii continui şi mărginite: (Vezi Fig. 57.6a şi Fig. 57.6b) Dacă trapezul curbiliniu (sau figura plană) e mărginit de graficele funcţiilor continui şi mărginite y  f (x ) şi y   (x ) , atunci pentru calcularea ariei procedăm astfel:

 y  f ( x) .  y   ( x)

1) Se află punctele de intersecţie ale graficelor funcţiilor date f şi  rezolvând sistemul de ecuaţii 

• Abscisele punctelor de intersecţie ale graficelor (de exemplu x1 şi x 2 , unde x1  x 2 ) sunt limitele de integrare: a  x1 şi b  x 2 . 2) Se construieşte în acelaşi sistem de coordonate graficele funcţiilor f şi  şi se determină figura plană mărginită de grafice, care se notează prin  f , . 3) Se calculează aria figurii plane obţinute, folosind formula: b

a) A( f , ) 

  f ( x)   ( x)dx , dacă

f ( x )   ( x ) , x   a, b 

(57.13)

a

b

b) A( f , ) 

  ( x)  f ( x)dx , dacă  ( x) 

f ( x ) , x   a, b 

(57.14)

a

• Cazul în care se aplică formula (57.13) este reprezentat în Fig. 57.6a, b.

57.2 Volumul corpului de rotaţie 57.2.1 Noţiuni şi notaţii 1) Corpul de rotaţie obţinut prin rotirea subgraficului funcţiei f în jurul axei Ox se notează prin: C f sau C ( f ) sau C Ox sau C Ox ( f ) ; 2) Volumul corpului de rotaţie obţinut prin rotirea subgraficului funcţiei f în jurul axei Ox se notează prin: V (C f ) sau Vol (C f ) sau VOx sau VOx ( f ) ; 3)  f este subgraficul funcţiei f : [a; b]  R .





Definiţie: Mulţimea C f  ( x; y; z ) ( x; y; z )  R 3 , x   a; b, y 2  z 2  f ( x) se numeşte corp de rotaţie obţinut (generat) prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficului funcţiei continui şi nenegative f : [a; b]  R (Vezi Fig. 57.8a, b).

Fig. 57.8a

Fig. 57.8b

Fig. 57.9

Fig. 57.10

57.2.3 Teoreme referitoare la calculul volumului corpului de rotaţie • Conform celor deduse mai sus are loc teorema: Teorema 35: Dacă funcţia f : [a; b]  R este continuă şi nenegativă pe intervalul [ a; b] , atunci corpul de rotaţie C f obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a subgraficului  f al funcţiei f are volumul V (C f ) şi el este egal cu V (C f )  VOx  

b

 a

b

f 2 ( x )dx sau VOx (C f )    f 2 ( x)dx

(57.20)

a

• Corpul de rotaţie C f în jurul axei Ox este reprezentat în Fig. 57.8a,b. Teorema 36: Dacă funcţia f : [a; b]  R este continuă şi nenegativă pe intervalul [ a; b] , atunci corpul de rotaţie C f obţinut prin rotirea subgraficului funcţiei f în jurul axei Oy are volumul V (C f ) şi el este egal cu b

VOy  2  x  f ( x)dx

(57.21)

a

Teorema 37: Dacă funcţia  : [c; d ]  R , x   ( y ) este continuă şi nenegativă pe intervalul [c; d ] , atunci corpul de rotaţie C obţinut (generat) prin rotirea subgraficului  al funcţiei x   ( y ) în jurul axei Oy are d

VOy     2 ( y )dy

volumul V (C ) şi el este egal cu

(57.22)

c

• Corpul de rotaţie C în jurul axei Oy este reprezentat în Fig. 57.12 şi Fig. 57.13. Teorema 38: Dacă funcţia f : [a; b]  [c; d ] este bijectivă (deci şi inversabilă) şi nenegativă, pe intervalul [ a; b] şi  : [c; d ]  [ a; b], x   ( y ) , este funcţia inversă a ei, continuă pe intervalul [c; d ] , atunci corpul de rotaţie obţinut prin rotaţia subgraficului funcţiei  în jurul axei Oy (Vezi Fig. 57.13) are volum şi el este egal cu d

VOy     2 ( y )dy

57.23)

c

Fig. 57.11 Fig. 57.12 Fig. 57.13 Teorema 39: Dacă funcţiile f : [a; b]  R  şi g : [ a; b]  R  sunt continui şi nenegative pe intervalul [ a; b] si f ( x)  g ( x) , pentru x  [ a; b] , atunci corpul de rotaţie obţinut (generat) prin rotaţia în jurul axei Ox a figurii mărginite de graficele funcţiilor f şi g şi dreptele x  a şi x  b are volum şi el este egal cu b





VOx (C f , g )    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx

(57.24)

a

• Corpul de rotaţie C f , în jurul axei Ox este reprezentat în Fig. 57.11. Teorema 40: Dacă funcţiile f : [a; b]  R  şi g : [ a; b]  R  sunt continui şi nenegative pe intervalul [ a; b] si f ( x)  g ( x) , x  [ a; c ] şi g ( x )  f ( x) , x  [c; b] , atunci corpul de rotaţie obţinut (generat) prin rotaţia în jurul axei Ox a figurii mărginite de graficele funcţiilor f şi g şi dreptele este egal cu

xa

şi x  b are volum şi el

c





b





VOx (C f , g )    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx    g 2 ( x)  f 2 ( x) dx a

(57.25)

c

Teorema 41: Dacă T este un corp, care are ariile secţiunilor perpendiculare pe axa Ox variabile, adică S  S (x ) , unde S este o funcţie continuă pe intervalul compact [a;b] , atunci volumul acestui corp este egal cu b

V (T ) 

 S ( x)dx

(57.26)

a

57.5 Sensul fizic al integralei definite I. Sensul fizic unu al integralei definite (Lucrul mecanic) Teorema 46: Lucrul mecanic A efectuat la deplasarea unui punct material din poziţia x  a până în poziţia x  b de forţa F : [ a; b]  R , F  F ( x ) , unde F este o funcţie continuă şi are direcţia forţei ce coincide cu direcţia b

axei Ox este egal cu A 

 F ( x)dx

(57.47)

a

II. Sensul fizic doi al integralei definite (mişcare rectilinie) Teorema 47: Dacă un punct material (un corp) se deplasează rectiliniu şi neuniform în intervalul de timp [t1 ; t 2 ] cu viteza v  v (t ) , unde v este o funcţie continuă pe intervalul de timp [t1 ; t 2 ] , atunci drumul S ([t1 ; t 2 ]) t2

parcurs de acest corp este egal cu S  S ([t1 ; t 2 ])   v(t ) dt

(57.48)

t1

Teorema 48: Dacă în intervalul de timp [t1 ; t 2 ] acceleraţia corpului este o funcţie de timp, adică a  a (t ) , t2

atunci viteza corpului în intervalul de timp [t1 ; t 2 ] este egală cu: v  v ([t1 ; t 2 ])   a (t ) dt t1

(57.49) III. Sensul fizic trei al integralei definite (elemente ale liniei materiale) Teorema 49: Dacă linia materială L reprezintă graficul funcţiei f : [a; b]  R , y  f (x ) derivabilă cu derivata continuă pe intervalul [ a; b] şi are densitatea liniară    (x) , unde  este o funcţie pozitivă şi continuă pe intervalul [ a; b] , atunci: a) Masa liniei materiale L se calculează cu ajutorul formulei b

M    ( x) 1   f ( x) dx

(57.50)

2

a

b) Momentele statice în raport cu axele de coordonate Ox şi Oy se calculează cu ajutorul formulelor: b

 f ( x)   ( x )

1   f ( x) dx 2

(57.51)

M Oy   x   ( x ) 1   f ( x ) 2 dx

(57.52)

M Ox 

a

b

a

c) Momentele de inerţie în raport cu axele de coordonate Ox şi Oy se calculează cu ajutorul formulelor: b

I Ox 

f

2

( x )   ( x) 1   f ( x) dx

(57.53)

  ( x) 1   f ( x) dx

(57.54)

2

a

b

I Oy 

x

2

2

a

d) Coordonatele centrului de greutate G ( x c ; y c ) se calculează cu ajutorul formulelor: xc 

M Oy M

,

M Ox (57.55) M e) Dacă funcţia f : [a; b]  R este continuă şi nenulă pe intervalul [ a; b] , atunci coordonatele centrului de greutate G ( xG ; y G ) al subgraficului  f al funcţiei f se calculează cu ajutorul formulelor: yc 

b

b

xG 

 xf ( x)dx a b

 f ( x)dx a

1 , yG   2

f a b

2

( x )dx

 f ( x)dx a

(57.56)