Precontraint Poutre Isostatique PDF [PDF]

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Rapport du Mini-Pojet Béton Précontraint Sous le thème :

Dimensionnement d’une poutre isosostatique et une poutre console en béton précontraint Réalisé Par :       

Encadré Par :

RAAIDI Soufiane MOUNASSIR Abdelhakim RADOUANE Abdelhadi HMDANI Ismail MOKHTARI Soufiane ELRHANDOURI Youssef MARDY Makram

Année universitaire 2016/2017

 Mr. A. DEMHATI

Mini-Projet Béton précontraint

Dimensionnement d’une poutre isosostatique et une poutre console en béton précontraint

Sommaire

Sommaire ...............................................................................................................................................................1 Introduction ..............................................................................................................................................................3 1

2

Dimensionnement poutre isostatique sur deux appuis : ...........................................................5 1.1

Définition du modèle de calcul ....................................................................................................5

1.2

Paramètre de calcul : .......................................................................................................................5

1.3

Calcul des sollicitations sous les diverses combinaisons ..................................................5

1.4

Calcul des limites de contraintes sur les fibres extrême ...................................................5

1.5

Calcul de h minimale de la section déterminante .................................................................7

1.6

détermination du caractère de la section ................................................................................7

1.6.1

caractéristiques de la section : ............................................................................................7

1.6.2

détermination du moment max MM et du moment min Mm .....................................8

1.6.3

Caractère de la section ...........................................................................................................8

1.7

Vérification des contraintes à x=𝑳𝟐 ...........................................................................................9

1.8

Fuseau de passage ......................................................................................................................... 10

Dimensionnement de la poutre console ........................................................................................ 11 2.1

Définition du modèle de calcul ................................................................................................. 11

2.2

Caractéristiques des matériaux ................................................................................................ 11

2.3

Notations et conventions de calcul ......................................................................................... 11

2.4

Calcul des sollicitations................................................................................................................ 13

2.4.1

Charges permanentes .......................................................................................................... 13

2.4.2

Charge variable ...................................................................................................................... 13

2.5

Limites de contraintes.................................................................................................................. 13

2.6

Équation de coffrage ..................................................................................................................... 15

1

Mini-Projet Béton précontraint

Et

Dimensionnement d’une poutre isosostatique et une poutre console en béton précontraint

𝜟𝝈𝒇 = 𝟏𝟓, 𝟕𝟓 𝑴𝑷𝒂

𝒆𝒕

𝛥𝜎𝑓′ = 21 𝑀𝑃𝑎 ................................................................. 16

2.7

Calcul de la précontrainte minimale ....................................................................................... 16

2.8

Vérification des contraintes ....................................................................................................... 18

2.9

Fuseau de passage ......................................................................................................................... 20

2.10

Vérification des contraintes................................................................................................... 20

Conclusion .......................................................................................................................................................... 21

2

Mini-Projet Béton précontraint

Dimensionnement d’une poutre isosostatique et une poutre console en béton précontraint

Introduction Les constructions industrielles ou les volumes de grandes dimensions sont très courants dans les bâtiments de parcs industriels, de loisirs

et de sports. Leurs

fonctionnalités ainsi que leur qualité architecturale sont influencées par de nombreux facteurs à savoir le plan d’implantation, la polyvalence et la qualité souhaitée pour le bâtiment. L’acier et la précontraintes offrent de nombreuses possibilités pour un usage fonctionnel à la fois agréable et flexible. L’idée du béton précontraint est presque aussi vieille que celle du béton armé. Son invention proprement dite remonte à 1928. C’est en effet à cette date qu’un ingénieur français, Eugène Freyssinet, dépose les brevets qui définissent à la fois le fonctionnement théorique du matériau ’’ béton précontraint’’ et surtout les dispositifs technologiques à mettre en œuvre. Depuis, le béton précontraint a pris sa place dans la plupart des constructions de génie civil. Dans les ponts routiers par exemple, si les petits ouvrages restent souvent l’apanage du béton armé, le béton précontraint est utilisé dès que les longueurs des travées dépassent une quinzaine de mètres. Du côté des grandes longueurs, grâce à des technologies et des structures mécaniques spécifiques telles que les ponts à haubans, des ouvrages dont les parties ont plusieurs centaines de mètres sont réalisés. Le béton précontraint se répand aussi dans le domaine du bâtiment (tours de grande hauteur, ou encore poutrelles de plancher) et dans les grands ouvrages de génie civil tel que les plates-formes offshore ou les centrales nucléaires. Fondamentalement, le béton précontraint peut être conçu comme une manière de pallier aux faiblesses du béton lui-même. Les qualités du matériau béton ayant un faible coût, la possibilité de le produire à peu près n’importe où, son aptitude à être coulé dans des coffrages de formes diverses permettant une certaine expression architecturale, soin esthétique (à condition d’y mettre le prix). Mécaniquement, c’est un matériau qui a une durée de vie d’une centaine d’années s’il est bien protégé des phénomènes agressifs extérieurs. Il présente une bonne résistance à la compression. Son défaut majeur est une faible résistance à la traction.

3

Mini-Projet Béton précontraint

Dimensionnement d’une poutre isosostatique et une poutre console en béton précontraint

Dans le béton armé, l’effort de traction qui devait passer par la section fissurée est remplacé par un effort repris en traction par des armatures métalliques ancrées par adhérence. Dans le béton précontraint, le béton tendu est évité. L’idée fondamentale est d’introduire artificiellement dans les structures un système de contraintes préalables qui, ajoutées aux effets des charges extérieures, permettent au béton de rester dans le domaine des compressions. Le principe initial de la précontrainte totale est aujourd’hui complété par celui de la précontrainte partielle en autorisant certains efforts de traction. La précontrainte du béton permet de concevoir et dessiner des structures beaucoup plus fines et légères qu’en béton armé. Il s’agit d’un avantage esthétique mais aussi d’un coût direct sur la quantité de matière consommée et indirecte par exemple au niveau des fondations.

4

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Dimensionnement d’une poutre isosostatique et une poutre console en béton précontraint

1 Dimensionnement poutre isostatique sur deux appuis : 1.1 Définition du modèle de calcul La figure ci-dessous représente la poutre à dimensionner :

1.2 Paramètre de calcul : 𝟐/𝟑

 Béton : C40/50 ; 𝒇𝒄𝒌 = 𝟒𝟎𝑴𝑷𝒂 ; 𝒇𝒄𝒕𝒎 = 𝟎, 𝟑𝟓 𝒇𝒄𝒌 = 𝟑, 𝟓 𝑴𝑷𝒂

1.3 Calcul des sollicitations sous les diverses combinaisons Les Actions appliquées sur la poutre sont : 

Permanantes 

Poids propre



Superstructures gs=0KN/m



g=ɣAc avec ɣ=25KN/m3

Variables 

Fréquentes

q=0



Caractéristiques 0≤q≤14KN/m

1.4 Calcul des limites de contraintes sur les fibres extrême Les figures ci-dessous représentent les limites de contraintes qui dépendent des combinaisons :

5

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

Combinaison quasi permanente



Combinaison caractéristique



Résumé des limites déterminantes

6

Dimensionnement d’une poutre isosostatique et une poutre console en béton précontraint

Mini-Projet Béton précontraint

On a donc les contraintes limites suivantes :  𝜎2′ = 0𝑀𝑃𝑎

=> 𝜎2′ = 0𝑀𝑃𝑎

 𝜎2 = 0.6𝒇𝒄𝒌

=> 𝜎2 = 0.6 ∗ 40 = 24𝑀𝑃𝑎

 𝜎1′ = 0.45𝒇𝒄𝒌 => 𝜎1′ = 0.45 ∗ 40 = 18𝑀𝑃𝑎  𝜎1 = 0𝑀𝑃𝑎

=> 𝜎1 = 0𝑀𝑃𝑎

1.5 Calcul de h minimale de la section déterminante On a : 𝛥𝑀 = 𝑀𝑚𝑎𝑥 − 𝑀𝑚𝑖𝑛 Puisque 𝑀𝑚𝑖𝑛 = 0 donc : 𝛥𝑀 = 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝐿

 𝛥𝑀=Mq*(2)  𝛥𝑀 =

𝑞𝐿²

 𝛥𝑀 =

14∗16²

8 8

 𝛥𝑀 = 0.448𝑀𝑁. 𝑚 Pour hmin est déterminée à partir de la condition du coffrage : 6 𝛥𝑀

6 𝛥𝑀

hmin = 𝑀𝑎𝑥 (√ 𝑏 𝛥𝜎 ; √𝑏 𝛥𝜎′) 6 𝛥𝑀

 hmin =√𝑏 𝛥𝜎′ 6∗0.448∗106

 hmin =√

1∗18∗106

 hmin =0.386m on prend dans la suite du calcul h=0.4m

1.6 détermination du caractère de la section

1.6.1 caractéristiques de la section : 

Ac=b.h =0.4m²



v=v’=2=0.2m



I= 12 =0.0053m4

ℎ

𝑏ℎ3

7

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

𝐼

0.0053

ρ=𝐴.𝑣.𝑣′=0.4∗0.22=0.33

1.6.2 détermination du moment max MM et du moment min Mm on a MM =Mg+Mq avec : 

Mq=0.448MN.m



Mg=

(𝐴𝑐∗𝑏∗ℎ)∗𝐿2 8 25∗0.4∗162

Mg=



8

 Mg=0.32MN.m Application numérique : MM =0.32+0.448=0.768MN.m Pour Mm=Mg=0.32MN.m

1.6.3 Caractère de la section  Pour le cas sous-critique 𝛥𝑀

On a : P1=𝑐+𝑐′ Avec : c=c’= ρv=0.33*0.2=0.066 Application numérique : P1=

(0.768−0.32)∗106 2∗0.066

 P1=3.39MN  Pour le cas surcritique 𝑀

On a : P2=𝑐+𝑣′𝑀−𝑑′ Avec : c=0.066 , v’=0.2m et d’=0.1m (0.768)∗106

Application numérique : P2=0.066+0.2−0.1  P2=4.6MN  Décision 𝑃 = 𝑃2 = 4.6𝑀𝑁 Puisque P2 > P1 donc la section est surcritique et on a {𝑒 = −(𝑣 ′ − 𝑑 ′ ) = −0.1𝑚 (𝑥 = 𝑙 ) 0 2

8

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Condition du coffrage dans le cas de section sur-critique 𝐼 𝛥𝑀 = 𝑣′ 𝛥𝜎′ 𝐼 ρ∗p∗H (2) = {𝑣 𝜎2

(2) => H=

6∗ρ∗P2

=> H=

𝐵𝜎2 6∗0.33∗4.6∗106 1∗24∗106

=> H=0.38𝑚 On est donc devant un problème ittératif et puisque on a H1=0.4m et H2=0.38m donc on est proche de la convergence.

1.7 Vérification des contraintes à x=

𝑳

𝟐

Soit 𝜎 La contrainte dans la section considérée 𝑃

𝑦

On 𝜎 = 𝐴 ± 𝐼 ∗ (𝑀 + 𝑃 ∗ 𝑒0 ) Cas 1 : M=MM ℎ

𝑃

ℎ

 Pour y=− 2 on a 𝜎 = 𝐴 − 2∗𝐼 ∗ (𝑀𝑀 + 𝑃 ∗ 𝑒0 ) 𝑏ℎ3

Avec I= 12 et A=bh Application numérique : 𝜎=

4.6 ∗ 106 − 0.4

0.4 ∗ (0.768 ∗ 106 + 4.6 ∗ 106 ∗ −0.1) 0.43 2 ∗ 12

 𝜎 = 0.11𝑀𝑃𝑎 > 0 = 𝜎2′ (a) ℎ

 Pour y=2 𝜎=

4.6 ∗ 106 + 0.4

0.4 ∗ (0.768 ∗ 106 + 4.6 ∗ 106 ∗ −0.1) 0.43 2 ∗ 12

 𝜎 = 23𝑀𝑃𝑎 < 24𝑀𝑃𝑎 = 𝜎2′ (b)

9

Dimensionnement d’une poutre isosostatique et une poutre console en béton précontraint

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 Cas 2 : M=Mm ℎ

𝑃

ℎ

 Pour y=− 2 on a 𝜎 = 𝐴 − 2∗𝐼 ∗ (𝑀𝑚 + 𝑃 ∗ 𝑒0 ) 𝑏ℎ3

Avec I= 12 et A=bh Application numérique : 4.6 ∗ 106 𝜎= − 0.4

0.4 ∗ (0.32 ∗ 106 + 4.6 ∗ 106 ∗ −0.1) 0.43 2 ∗ 12

 𝜎 = 17𝑀𝑃𝑎 < 18𝑀𝑃𝑎 = 𝜎1′ (c) ℎ

 Pour y=2 𝜎=

4.6 ∗ 106 + 0.4

0.4 ∗ (0.32 ∗ 106 + 4.6 ∗ 106 ∗ −0.1) 0.43 2 ∗ 12

 𝜎 = 6𝑀𝑃𝑎 > 0𝑀𝑃𝑎 = 𝜎1 (d) De (a), (b), (c), et (d) on constate que toutes les contraintes sont vérifiées

1.8 Fuseau de passage On a : 𝑀

16𝑥−𝑥 2



emax =ρv- 𝑃2𝑀 (4



emin =-ρv’- 𝑃2𝑚 ∗ 162 (16 − 𝑥 2 ) = −0.07 − 1.08 ∗ 10−3 (16 − 𝑥) ∗ 𝑥



e0=-(v’-d’)∗

𝑀

162

) = 0.07 − 2.6 ∗ 10−3 (16𝑥 − 𝑥 2 )

4

4𝑥(𝐿−𝑥) 𝐿²

4

= −0.1 ∗ 162 𝑥(16 − 𝑥)=-1.5625∗ 10−3 𝑥(16 − 𝑥)

fuseau de passage position en m

0.100 0.050 0.000 -0.050

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17

-0.100 -0.150

L=16m e min

e0

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2 Dimensionnement de la poutre console 2.1 Définition du modèle de calcul La figure ci-dessous représente la poutre à dimensionner :

2.2 Caractéristiques des matériaux Le tableau ci-dessous résume les caractéristiques des matériaux utilisés : le matériau

caractéristique

Résistance caractéristique du béton à 28j

35 MPa

Résistance de traction du béton

𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,35 𝑓𝑐𝑘 = 𝟑, 𝟐 𝑴𝑷𝒂

Armatures actives

12T15S Avec Pu=2,344 MN

Diamètre de la gaine

80 mm

2/3

2.3 Notations et conventions de calcul 

𝜎 ≥ 0 Pour les compressions.



𝑀 ≥ 0 Lorsque la fibre inférieure est tendue.

Les caractéristiques géométriques de la section et les notations sont définies dans la figure ci-dessous :

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2.4 Calcul des sollicitations

2.4.1 Charges permanentes Partie permanente de F : 𝐹𝑔 = 0,1 𝑀𝑃𝑎 

Pour la charge permanente 𝐅𝐠

Nous avons : {



𝑀𝑓𝑔 (𝑥) = −𝐹𝑔 (⋋ −𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤⋋ 𝑀𝑓𝑔 (𝑥) = 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

Pour le poids propre de la poutre 𝑀𝑔 (𝑥, ℎ) = −

𝑔(ℎ)(𝐿 − 𝑥)2 2

Avec 𝑔(ℎ) le poids propre de la poutre qui depend de h.

2.4.2 Charge variable Partie variable de F

0 ≤ 𝐹𝑞 ≤ 0,05 𝑀𝑃𝑎

Pour 𝐹𝑞 = 0,05 𝑀𝑃𝑎 Nous avons : {

𝑀𝑓𝑞 (𝑥) = −𝐹𝑞 (⋋ −𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤⋋ 𝑀𝑓𝑞 (𝑥) = 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

Ainsi 𝑀𝑓𝑞 (𝑚𝑎𝑥) = 0

et

𝑀𝑓𝑞 (𝑚𝑖𝑛) = −0,4 𝑀𝑁. 𝑚

2.5 Limites de contraintes Les figures ci-dessous représentent les limites de contraintes qui dépendent des combinaisons :

13

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

Combinaison fréquente :



Combinaison caractéristique :



Combinaison quasi-permanente :

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Pour déterminer les limites des contraintes, on combine la combinaison quasipermanente avec celle de la caractéristique et de la fréquente. Ainsi, les limites déterminantes sont :

Avec : 𝜎1𝑐 = −3,2 𝑀𝑃𝑎

𝜎1𝑓 = 0 𝑀𝑃𝑎

′ 𝜎1𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎

′ 𝜎1𝑓 = 21 𝑀𝑃𝑎

𝜎2𝑐 = 15,75 𝑀𝑃𝑎

𝜎2𝑓 = 15,75 𝑀𝑃𝑎 ′ 𝜎2𝑓

′ 𝜎2𝑐 = 0𝑀𝑃𝑎

= 0 𝑀𝑃𝑎

2.6 Équation de coffrage Nous avons la condition de coffrage sous critique est : 𝐼 𝛥𝑀 𝑏 ∗ ℎ2 = = 𝑣 𝛥𝜎 6 𝐼 𝐼 𝑏 ∗ ℎ2 {𝑣′ = 𝛥𝜎 ′ = 6

⇒

ℎ𝑚𝑖𝑛 = 𝑀𝑎𝑥 (√

6 𝛥𝑀 6 𝛥𝑀 ;√ ) 𝑏 𝛥𝜎 𝑏 𝛥𝜎′

Sous la combinaison issue de celle de la caractéristique, nous avons : 𝛥𝑀𝑐 = 𝑀𝑚𝑎𝑥 − 𝑀𝑚𝑖𝑛 = 𝑀𝐹𝑞 𝑚𝑎𝑥 − 𝑀𝐹𝑞 𝑚𝑖𝑛 = 0,4 𝑀𝑁. 𝑚 Et

𝛥𝜎𝑐′ = 21 𝑀𝑃𝑎 𝑀𝑃𝑎

Ainsi : Donc :

𝑒𝑡

𝛥𝜎𝑐 = 18,95 𝑀𝑃𝑎

ℎ1 = 𝑀𝑎𝑥(0,5; 0,47) 𝒉𝟏 = 𝟎, 𝟓 𝒎

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Sous la combinaison fréquente : 𝛥𝑀𝑓 = 𝜓 ∗ 𝛥𝑀 = 0,60 ∗ 0,4 = 0,24 𝑀𝑁. 𝑚 Et

𝜟𝝈𝒇 = 𝟏𝟓, 𝟕𝟓 𝑴𝑷𝒂

Ainsi :

ℎ2 = 𝑀𝑎𝑥(0,42; 0,37)

Donc :

𝒉𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟐 𝒎

𝒆𝒕

𝛥𝜎𝑓′ = 21 𝑀𝑃𝑎

 Conclusion : 

La hauteur à adopter est la maximum entre 𝒉𝟏 𝑒𝑡 𝒉𝟐 . Donc 𝒉 = 𝟎, 𝟒𝟐𝒎

Pour des raisons techniques on prend 𝒉 = 𝟎, 𝟓 𝒎. Ainsi les caractéristiques géométriques sont représentées dans le tableau suivant :

2.7 Calcul de la précontrainte minimale Nous avons : 

𝑀𝑚 = 𝑀𝑔 (0, ℎ) + 𝑀𝐹𝑔 (0) + 𝑀𝐹𝑔−𝑚𝑎𝑥 (0) = −0,612 − 0,8 − 0,4 = −1,81 MN.m 𝐼



′ 𝑀𝑚 = 𝑀𝑚 − 𝑣 𝜎1𝑐 = −1,75 𝑀𝑁. 𝑚



𝑀𝑀 = −1,41 𝑀𝑁. 𝑚



′ 𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 − 𝑣 𝜎2𝑐 = −1,41 𝑀𝑁. 𝑚

Et

𝐼

Alors 𝑃1 = 𝑃2 =

′ ′ 𝑀𝑀 − 𝑀𝑚 = 2,06 𝑀𝑁 𝜌×ℎ

′ 𝑀𝑀 = −6,68 𝑀𝑁 𝜌 × 𝑣 + 𝑣 ′ − 𝑑′

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𝑃2′ =

′ −𝑀𝑚 = 8,23 𝑀𝑁 𝜌 × 𝑣 + 𝑣 − 𝑑′

𝑃𝑚𝑖𝑛 = max(𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃2 ′) = 8,23 𝑀𝑁 Nous avons envisagé l’utilisation des câbles 12T15S dont la précontrainte utile est 𝑃𝑢 = 2,344 𝑀𝑁 . Donc le nombre des câbles nécessaires pour assurer la précontrainte de la 𝑃

poutre est : 𝑁 = 𝑃 = 3,51 . Donc nous prenons N=4 𝑐â𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑢

La nouvelle valeur de la précontrainte appliquée sur la poutre est : 𝑃 = 𝑁 ∗ 𝑃𝑢 = 9,376 𝑀𝑁



Calcul de l’excentrement : −3,125(14 − 𝑥)2 − 0,1(8 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 < 8𝑚 9,376 −3,125(14 − 𝑥)2 𝑒𝑚𝑎𝑥 (𝑥) = 0,0825 − 𝑠𝑖 𝑥 > 8𝑚 9,376

𝑒𝑚𝑎𝑥 (𝑥) = 0,0825 − { et

−3,125(14 − 𝑥)2 − 0,1(8 − 𝑥) − 0,05(8 − 𝑥) + 0,0667 𝑠𝑖 𝑥 < 8𝑚 9,376 −3,125(14 − 𝑥)2 + 0,0667 𝑒𝑚𝑖𝑛 (𝑥) = −0,0825 − 𝑠𝑖 𝑥 > 8𝑚 9,376

𝑒𝑚𝑖𝑛 (𝑥) = −0,0825 − {

𝑒0 = 𝑒𝑚𝑖𝑛 (𝑥) + 0,02𝑚

Fuseau de passage emax

emin

e0(x)

elim

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 0

2

4

6

8

10

12

14

16

-0.1

-0.15

17

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2.8 Vérification des contraintes Nous avons : 𝜎(𝑃, 𝑀𝑚 , 𝑒0 , 𝑦) =

𝑃 𝑀 + 𝑃𝑒0 + 𝑦 𝐵 𝐼

o 𝜎1 = −𝑓𝑐𝑡𝑚 = −3,2 𝑀𝑃𝑎

𝜎(𝑃, 𝑀𝑚 , 𝑒0 , 𝑣) = 4,627 𝑀𝑃𝑎

o 𝜎2 = 0,45𝑓𝑐𝑘 = 15,75 𝑀𝑃𝑎

𝜎(𝑃, 𝑀𝑀 , 𝑒0 , −𝑣) = 24,3 𝑀𝑃𝑎

o 𝜎1′ = 0,6𝑓𝑐𝑘 = 21 𝑀𝑃𝑎

𝜎(𝑃, 𝑀𝑚 , 𝑒0 , −𝑣) = 70,38 𝑀𝑃𝑎

o 𝜎2′ = 0 𝑀𝑃𝑎

𝜎(𝑃, 𝑀𝑀 , 𝑒0 , 𝑣) = 50,7 𝑀𝑃𝑎

On a un gros dépassement de contrainte dans la fibre inférieure, pour à peu près toutes les situations. Il faut donc redimensionner la section. Néanmoins cette première approche nous a permis de déterminer que la section était surcritique, et que c'était 1, moment minimum caractéristique qui dimensionnait la section et la précontrainte. On va donc essayer de trouver une section et une précontrainte qui vérifient : 𝜎(𝑃, 𝑀𝑀 , 𝑒0 , −𝑣) = 𝜎1′ { 𝜎(𝑃, 𝑀𝑚 , 𝑒0 , 𝑣) = 𝜎1

⇒

2𝑃 𝐵

= 𝜎1′ + 𝜎1

Avec 𝑃=

′ −𝑀𝑚 𝜌 × 𝑣′ + 𝑣 − 𝑑

Donc

𝜎1′ + 𝜎1 =

𝐼 −2 × (𝑀𝑔 (0, ℎ) + 𝑀𝐹𝑔 (0) + 𝑀𝐹𝑔−𝑚𝑎𝑥 (0) − 𝑣 𝜎1 ) 𝐵(𝜌 × 𝑣′ + 𝑣 − 𝑑)

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⇒ 𝑏ℎ2 −2 × (𝑀𝑔 (0, ℎ) + 𝑀𝐹𝑔 (0) + 𝑀𝐹𝑔−𝑚𝑎𝑥 (0) − 6 𝜎1 ) 𝜎1′ + 𝜎1 = 1 ℎ ℎ 𝑏ℎ(3 × 2 + 2 − 𝑑) ⇒ (𝜎1′

2𝑏ℎ2 25𝑏ℎ𝐿2 𝑏ℎ2 + 𝜎1 ) ( − 𝑑ℎ𝑏) = −2 × ( − 0,8 − 0,4 − 𝜎) 3 2 6 1

Nous avec une équation de deuxième degré Par la suite : ℎ = 0,72 𝑚 les caractéristiques géométriques sont représentées dans le tableau suivant :

𝑃𝑚𝑖𝑛

𝑏ℎ2 𝑀𝑔 (0, ℎ) + 𝑀𝐹𝑔 (0) + 𝑀𝐹𝑔−𝑚𝑎𝑥 (0) − 6 𝜎1 =− 𝜌 × 𝑣 ′ + 𝑣 − 𝑑′

Alors 𝑃𝑚𝑖𝑛 = 5,42 𝑀𝑁 Nous avons envisagé l’utilisation des câbles 12T15S dont la précontrainte utile est 𝑃𝑢 = 2,344 𝑀𝑁 . Donc le nombre des câbles nécessaires pour assurer la précontrainte de la 𝑃

poutre est : 𝑁 = 𝑃 = 2,31 . Donc nous prenons N=3 𝑐â𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑢

La nouvelle valeur de la précontrainte appliquée sur la poutre est : 𝑃 = 𝑁 ∗ 𝑃𝑢 = 7,032𝑀𝑁

19

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Dimensionnement d’une poutre isosostatique et une poutre console en béton précontraint

2.9 Fuseau de passage Fuseau de passage emax

emin

e0(x)

elim

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

-0.1 -0.2

2.10 Vérification des contraintes Nous avons : 𝜎(𝑃, 𝑀𝑚 , 𝑒0 , 𝑦) =

𝑃 𝑀 + 𝑃𝑒0 + 𝑦 𝐵 𝐼

o 𝜎1 = −3,2 𝑀𝑃𝑎

𝜎(𝑃, 𝑀𝑚 , 𝑒0 , 𝑣) = 10,4 𝑀𝑃𝑎

o 𝜎2 = 15,75 𝑀𝑃𝑎

𝜎(𝑃, 𝑀𝑀 , 𝑒0 , 𝑣) = 13,54 𝑀𝑃𝑎

o 𝜎1′ = 21 𝑀𝑃𝑎

𝜎(𝑃, 𝑀𝑚 , 𝑒0 , −𝑣) = 19,4 𝑀𝑃𝑎

o 𝜎2′ = 0 𝑀𝑃𝑎

𝜎(𝑃, 𝑀𝑀 , 𝑒0 , −𝑣) = 9,33 𝑀𝑃𝑎

Les contraintes sont bien vérifiées.

20

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Dimensionnement d’une poutre isosostatique et une poutre console en béton précontraint

Conclusion En terme de conclusion nous tenons à remercier Mr DEMEHATI qui nous a enseigné le module du béton précontraite et qui nous a demandé de traiter ces deux problèmes qui ont pour nous une occasion pour se falmilliariser plus avec le calcul du béton précontraint, et de mieux assimiler et connaire les avantages majeurs de ce dernier dans les travaux de constructions à donner comme titre d’exemple la réduction des sections du béton et aussi bien la possibilité de supporter plus de charge.

21