Equation Poutre PDF [PDF]

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Mise en équations des poutres

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Mise en équations des poutres en flexion plane Nous avons établi dans le chapitre précédent la loi de comportement généralisée du modèle poutre.

u ( M ) = u (G ) + θ Λ GM et θ = rot (u (G )) − y v, x    Soit en flexion plane θ = v , x zo d'où u ( M , t ) =  v  ==> ε xx = − y v , x 2  0   

H1 : modèle de Bernoulli

H2 : état de contrainte uni axial

σ xx = Eε xx

Le calcul du torseur des efforts de cohésion sur une section droite permet de définir le moment de flexion. M f = EI v , x 2 I est le moment quadratique de la section droite de la poutre.

Application du PFD Nous allons écrire les équations de Newton f = ma pour une tranche d’épaisseur dx de la poutre Le bilan des efforts extérieurs sur cet élément de matière (figure ci-contre) fait apparaitre le torseur des efforts de cohésion, l'effort tranchant est associé aux contraintes de cisaillement qui s'opposent au glissement des sections. Les équations de résultante et de moment dynamique sont : T + dT − T + fdx = ρ Svɺɺ dx  dx dx  (T + dT ) 2 + M f + dM f − M f + T 2 ≅ 0 Soit ∀x ∈ ]0, ℓ[ ρ Svɺɺ + M f , xx = f

f Mf + dMf

T

Mf dx

x T + dT

On néglige le moment dynamique de rotation des sections.

T = −M f ,x

Compte tenu de la loi de comportement intégrée, l'équation locale est : ∀x ∈ ]0, ℓ[

ρ Svɺɺ + EIv, x4 = f

Les conditions aux limites aux extrémités de la poutre peuvent être, en déplacement imposé : v = vd (t ) ou θ = θ d (t ) , ou en force imposée : T = Td (t ) ou Mf = Mf d (t ) . Ces 4 conditions permettent de fixer les quatre constantes d'intégration en x Pour déterminer la réponse dynamique en temps, il faudra se donner les deux conditions initiales: v( x, 0) = vo ( x)  Déformée et vitesse de déformation vɺ( x, 0) = vɺo ( x) initiales de la poutre

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Mise en équations des poutres

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Application du PTV Nous allons écrire le principe des travaux virtuels ∀δ u δ W = δ A pour une poutre chargée sur sa longueur et à ses extrémités.

y

f

Fo

Fℓ

Mo 0

ℓ

Mℓ

x ℓ

Le travail virtuel des quantités d’accélération est : δ A = ∫ ρ Svɺɺ δ v dx

On néglige le moment dynamique de rotation des sections.

o

Le travail virtuel des efforts se décompose en travail virtuel des efforts de cohésion et celui des efforts extérieurs soit : ℓ

Pour les efforts de cohésion δ Wint = − ∫ σ : δ ε dV = − ∫ ∫ σ xx δε xx dS dx 0S

D ℓ

δ Wint = − ∫ EIv, xx δ v, xx dx

Soit

ε xx = − yv, xx σ xx = Eε xx

o ℓ

δ Wext = ∫ f δ v dx + Foδ vo + Fℓδ vℓ + M oδθo + M ℓδθℓ

Pour les efforts extérieurs

o

Le PTV conduit à l’équation intégrale suivante : ℓ

∀δ v

ℓ

ℓ

∫ ρ Svɺɺ δ v dx = −∫ EIv,xx δ v,xx dx + ∫ f δ v dx + Foδ vo + Fℓδ vℓ + M oδθo + M ℓδθℓ o

o

o

C’est la forme variationnelle du problème. Les quatre derniers termes correspondent au travail virtuel des efforts appliqués aux extrémités du barreau. Dans le cas ou les conditions aux limites portent sur les déplacements, les efforts de liaison sont des inconnues du problème. Pour déterminer l'équation du mouvement il faudra tenir compte des conditions aux limites en déplacements. Restreindre le choix des déplacements virtuels à des champs virtuels admissibles, permet d'éliminer les efforts de liaison inconnus de la forme variationnelle. Si v = vd (t ) respectée alors δ v = 0 et le F δ v est éliminé de la Formulation Si θ = θ d (t ) respectée alors δθ = 0 et le M δθ est éliminé de la Formulation Le travail des efforts de cohésion δ Wint peut s'exprimer à partir de la variation de l'énergie de déformation de la barre δ Wint = −δ Ed ℓ

avec

( )

2 Ed = ∫ σ : ε dV = ∫ EI v, xx D

2

dx

o

Équivalence des principes Dans le chapitre sur la mise en équation des barres nous Partions du PFD pour retrouver le PTV. Nous allons ici faire la démarche inverse. Partons du PTV et transformons l’équation intégrale pour retrouver le PFD (équation locale) et les conditions aux limites du problème.

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Mise en équations des poutres

3/5 ℓ

Effectuons deux intégrations par partie du terme ∫ EIv,xx δ v,xx dx o ℓ

Fait apparaître les conditions aux limites en rotation et moment.

ℓ

ℓ

∫ EIv,xx δ v,xx dx = δ v, x EIv, x2  0 − ∫ δ v, x EI v, x3 dx o ℓ

0

ℓ

ℓ

ℓ

∫ EIv,xx δ v,xx dx = δ v, x EIv, x2  0 − δ v EIv,x3  0 + ∫ δ v EI v, x4 o

ℓ

Reportons dans : ∀δ v

0 ℓ

ℓ

∫ ρ Svɺɺ δ v dx = −∫ EIv,xx δ v,xx dx + ∫ f o

o

o

∫ δ v ( ρ Svɺɺ + EIv,x ℓ

En regroupant les termes : ∀δ v

dx

Fait apparaître les conditions aux limites en flèche et force.

4

−f

o

)

δ v dx + Foδ vo + Fℓδ vℓ + M oδθo + M ℓδθℓ

( (

δ v F − EI v  o , x3 dx =   δ vℓ F + EI v 3 ,x 

) + δθ ( M + EI v ) ) + δθ ( M − EI v ) o

o

, x2 o

ℓ

, x3 ℓ

ℓ

Le choix de δ v ≠ 0 sur ]0, ℓ[ nous donne l’équation locale : ρ Svɺɺ + EIv,x 4 − f = 0 Le choix de δ vo ≠ 0 et δ v = 0 sur ]0, ℓ ] , nous donne la condition aux limites en force en x=0

(

Fo − EI v

)

, x3 x =0

=0

De la même façon

Fo = −To

(

Pour (δ v, x ) ≠ 0

M o = − EI v

Pour δ vℓ ≠ 0

Fℓ = − EI v

Pour (δ v, x ) ≠ 0

M ℓ = EI v

o

ℓ

(

(

)

Cette condition tient compte de l’orientation de la normale extérieure au domaine

, x 2 x =0

) )

, x3 x =ℓ

, x 2 x =ℓ

= −M f o

= Tℓ = M fℓ

Vous devez être capable de faire la démonstration dans les deux sens PTV ⇔ PFD .

Bilan & exercice Le PFD donne un système d’équations aux dérivées partielles (EDP), c'est une formulation locale équation locale : ∀x ∈ ]0, ℓ[ ρ Svɺɺ + EIv, x 4 = f PFD  4 conditions aux limites : 2 en x = 0 et 2 en x = ℓ Il est utilisé pour rechercher la solution analytique d'un problème. Les conditions initiales ne servent que pour résoudre l'équation différentielle en temps Réponse dynamique d'une structure. Le PTV est la forme variationnelle du problème, c'est une formulation globale (notion d'énergie) ℓ

ℓ

ℓ

∀δ v ∫ ρ Svɺɺ δ v dx = − ∫ EIv,xx δ v,xx dx + ∫ f δ v dx + Foδ vo + Fℓδ vℓ + M oδθ o + M ℓδθ ℓ o

o

o

Sera utilisé pour rechercher les solutions numériques du problème. Solutions approchées

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Vous devez être capable d'écrire ces deux formulations pour un problème donné. Tous les exercices de cours sont corrigés sur le site, mais il faut chercher les réponses aux questions avant de consulter le corrigé.

Exercice 3 : Mise en équations d’une poutre en flexion plane Objectifs : Savoir écrire les conditions aux limites pour une poutre, Résoudre un problème simple en statique, Pouvoir écrire le PTV et savoir passer du PTV au PFD. Les hypothèses sont celles des poutres longues en petites déformations et petits mouvements. Le matériau est supposé homogène isotrope élastique 1- Écriture des conditions aux limites Exprimer les 4 conditions aux limites homogènes suivantes : extrémité libre

encastrée

appui glissant

appui simple

Exprimer les 3 conditions aux limites non homogènes suivantes : M, I F

k

2- Mise en équations par le PFD Donnez le système d’équations correspondant au problème ci-dessous M A

Pb de flexion

B

g

Déterminer la solution analytique en statique, pour M = 0 . Calculer la déformée de la poutre Déterminer le diagramme du moment de flexion 3- Application du PTV. Pour le problème représenté par la figure ci-dessous, donner l’expression du PTV correspondant à des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles.

yo

g

Γt

(ρ , E, I, S)

M xo Peut-on transformer le PTV pour retrouver l'équation locale et les conditions aux limites. Les exercices de cours sont corrigés sur le site, il faut chercher les réponses avant de consulter le corrigé. Pour assimiler le cours il faut aussi traiter des exercices non corrigés.

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Exercice 4 : Mise en équations poutre "encastrée-masse en bout" Objectifs : Écrire les Conditions aux limites et les EDP du problème, écrire la formulation variationnelle du problème, savoir passer de l'une à l'autre de ces deux formulations. ℓ Intéressons-nous aux vibrations dans son plan principal de la poutre M

droite de longueur ℓ représentée par la figure ci contre. La masse M en bout de poutre est supposée ponctuelle Mise en équations Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème. Écrivez la forme intégrale associée au PTV, pour un champ virtuel quelconque. Formulation variationnelle En partant du système d'EDP du problème retrouver la forme intégrale du PTV.

Exercice 5 : Mise en équations d'un arbre en torsion Objectifs : Écrire les Conditions aux limites et les EDP du problème, écrire la formulation variationnelle du problème, savoir passer de l'une à l'autre de ces deux formulations. Intéressons-nous aux vibrations en torsion de l'arbre de longueur ℓ auquel est appliqué un couple moteur via un engrenage d'inertie en rotation I. Le problème est représenté par la figure ci contre.

ΓM ℓ

Mise en équations Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème. Écrivez la forme intégrale associée au PTV, pour un champ virtuel quelconque. Retrouver les équations locales en partant du PTV.

Votre parcours pédagogique Les exercices sur la résolution analytique ou par les méthodes d'approximation nécessitent de faire la mise en équations. C'est la suite logique de ce chapitre. La solution analytique, d'un problème simple, sert de référence pour tester différentes méthodes de résolution approchées. L'utilisation des méthodes d'approximation pour résoudre des problèmes de l'ingénieur pour lesquels il n'existe pas de solution analytique reste bien l'objectif du cours. Le chapitre sur les solutions analytiques en dynamique peut donc être abordé en dehors du parcours pédagogique, vous pouvez passer directement aux méthodes d'approximation sur le modèle poutre, quitte à revenir plus tard sur la réponse dynamique des poutres si vous en avez besoin. Parcours possibles Recherche de la solution analytique de la réponse dynamique d'une poutre Recherche d'une solution approchée de la réponse d'une poutre Étude de la réponse statique d'un portique par la RDM Étude des portiques par la MEF Ces différents thèmes sont proposés dans le menu du site. A vous de choisir votre parcours pédagogique.

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