Praktisk elektroteknikk for ingeniørhøgskolen [PDF]

Zitiervorschau

Alf Alfredsson m fl

Praktisk elektroteknikk for ingeniørhøgskolen

™ Nasjonalbiblioteket ■ -Pctbiblioteket

ENK1 Forlaget

Originalens tittel: Elteknik for maskinare © 1985 Forfatterne og Esselte Studium

Norsk utgave: © NKI Forlaget 1989 1. utgave 1989

Utgiver: NKI Forlaget, Hans Burums vei 30 Postboks 111, 1341 Bekkestua Tlf.: Sentralbord (02) 12 29 50 Ordrekontor (02) 12 25 75 Printed in Norway by Tangen Trykk A/S

Det må ikke kopieres fra denne bok i strid med åndsverksloven og fotografiloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med KOP1NOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Innhold

1

Størrelser og symboler..............................................................................

1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.4

Innledning ................................................................................................ Størrelser og enheter................................................................................ Det greske alfabetet.................................................................................. SI-enheter................................................................................................. Symboler og begreper ............................................................................. Skjemasymboler....................................................................................... Noen betegnelser og begreper................................................................ PS ............................................................................................................... Øvingsoppgave.........................................................................................

2

Likestrøm og vekselstrøm........................................................................

2.1

Likestrøm .................................................................................................. Øvingsoppgaver ...................................................................................... Enfasevekselstrøm................................................................................... Allmenne definisjoner og forhold........................................................... Sinusformet vekselspenning ................................................................... Effekt ........................................................................................................ Øvingsoppgaver ...................................................................................... Trefasevekselstrøm .................................................................................. Systemoppbygning og koplinger ............................................................. Effekt ........................................................................................................ Trefasesystemet i praksis ........................................................................ PS ............................................................................................................... Øvingsoppgaver ......................................................................................

2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4

9 9 9 9 10 11 11 12 13 13 15 15 18 19 19 23 36 39 42 42 48 49 50 51

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 3.3

53 Personskader ....................................................................................... 53 Hvordan strøm oppstår og hvilke virkninger den har.......................... 53 Hvordan skal vi beskytte oss?.................................................................. 56 Ulykkestilfeller og forholdsregler ved ulykker...................................... 57 Elbranner .................................................................................................. 62 PS ............................................................................................................... 63 Øvingsoppgaver .......................,.............................................................. 63

4

Elektrisk måleteknikk ..............................................................................

4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5

Analog og digital måling .......................................................................... Elektriske måleinstrumenter .................................................................. Måleverdivisende instrumenter.............................................................. Instrumenter som viser kurveformen ..................................................... Registrerende instrumenter.................................................................... Unøyaktigheter i målingen ...................................................................... Kurveformens innvirkning på måleresultatet ....................................... Øvingsoppgaver ...................................................................................... Måling av elektriske størrelser................................................................ Spenning ................................................................................................... Strømstyrke.................... s......................................................................... Effekt og,energi............. ,.......................................................................... Resistans ................................................................................................... Frekvens.................................................................................................... Historikk ................................................................................................... Øvingsoppgaver ......................................................................................

3

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.4

Farer ved bruk av elektrisk strøm ...........................................................

65 65 67 67 70 73 75 76 77 78 78 79 80 83 85 86 86

5

Elektronikk ...............................................................................................

5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3

Innledning ................................................................................................ Strømforsyning ........................................................................................ Likeretting................................................................................................ Spenningsregulering................................................................................ Effektregulering....................................................................................... Øvingsoppgaver ...................................................................................... Analoge funksjonsblokker...................................................................... Forsterkere og impedanstransformatorer .............................................. Begrepet forsterkning.............................................................................. Øvingsoppgaver ...................................................................................... Digitale funksjonsblokker....................................................................... Generelt.................................................................................................... Svitsjer....................................................................................................... Logiske kretser.......................................................................................... Lagerkretser (hukommelser) .................................................................. Kretsfamilier og elektriske data.............................................................. Mikrodatamaskinen ................................................................................ Optronic.................................................................................................... PS ............................................................................................................... Øvingsoppgaver ......................................................................................

5.3 5.3.1 5.3.2 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.6 5.5 5.6

87 87 88 88 91 95 99 101 101 106 111 112 112 112 114 121 127 133 138 138 139

6

Elektriske maskiner................................................................................. 141

6.1 6.2 6.2.1

Oversikt og definisjoner ......................................................................... 141 Transformatorer og strømrettere ........................................................... 143 Teori ......................................................................................................... 143 Øvingsoppgaver ...................................................................................... 147 Strømrettere ................................................................................................. 147 Generatorer og motorer ......................................................................... 156 Teori ......................................................................................................... 157 Likestrømsmaskiner................................................................................ 158 Øvingsoppgaver ...................................................................................... 169 Vekselstrømsmaskiner............................................................................ 189 Noenspesialmotorer................................................................................ 192 Øvingsoppgaver ...................................................................................... 198 Motorens beskyttelsesformer, kjøleformer osv....................................... 206 Maskinsystemer .........................................................................................206 Utstyr for motorstyring............................................................................ 219 Øvingsoppgaver ......................................................................................

6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.4 6.4.1

7

Elektrisk måleteknikk II .......................................................................... 223

7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 7.1.6

Måling av ikke-elektriske størrelser ....................................................... Et generelt målesystem............................................................................ Tøyning..................................................................................................... Kraft........................................................................................................... Trykk......................................................................................................... Dreiemoment ........................................................................................... Masse ........................................................................................................ Øvingsoppgave ....................................................................................... Turtall........................................................................................................ Øvingsoppgaver ...................................................................................... Vibrasjon................................................................................................... Tid............................................................................................................. Hastighet og akselerasjon ....................................................................... Øvingsoppgave ....................................................................................... Posisjon...................................................................................................... Vinkelposisjoner ...................................................................................... Tykkelse.................................................................................................... Nivå ........................................................................................................... Øvingsoppgave ....................................................................................... Antall ........................................................................................................

7.1.7 7.1.8 7.1.9 7.1.10 7.1.11 7.1.12 7.1.13 7.1.14

7.1.15

6

223 223 224 227 230 231 232 233 233 234 234 236 236 237 237 239 239 240 241 241

7.1.16 7.1.17 7.1.18 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.3

Fluks .......................................................................................................... Temperatur............................................................................................... Andre metre.............................................................................................. Behandling av måleverdier...................................................................... Overføring ................................................................................................ Innsamling og analyse .............................................................................. Bruk av datamaskiner .............................................................................. PS ............................................................................................................... Øvingsoppgave ........................................................................................

8

Elektriske anlegg....................................................................................... 249

8.1 8.2 8.3 8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.4.5 8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.6 8.7 8.7.1 8.7.2 8.7.3 8.8 8.9 8.9.1 8.9.2 8.9.3 8.9.4 8.10 8.10.1 8.10.2 8.11

Forskrifter ................................................................................................ Definisjoner.............................................................................................. Oppbygning av fordelingsnett ................................................................. Elsikkerhet ............................................................................................... Systemjording........................................................................................... Beskyttelsesjording.................................................................................. Beskyttelsesjording i ikke direkte jordet system................................... Jordfeilbryter ............................................................................................ Autorisasjonskrav.................................................................................... Ledninger.................................................................................................. Tilkoplingsledninger................................................................................ Installasjonsledninger.............................................................................. Ledningsdimensjonering ......................................................................... Koplingsanleggoghovedfordelingssentraler........................................ Annet installasjonsmateriell ................................................................... Strømuttak................................................................................................ Strømbrytere ............................................................................................ Sikringer.................................................................................................... Boliginstallasjoner................................................................................... Industriinstallasjoner ............................................................................... Installasjoner for motordrift ................................................................... Installasjoner for arbeidsmaskiner ......................................................... Belysningsinstallasjoner .......................................................................... Annet elektrisk utstyr .............................................................................. Tegninger og dokumentasjon.................................................................. Tegningstyper........................................................................................... Kretsskjema.............................................................................................. PS ............................................................................................................... Øvingsoppgaver ......................................................................................

9

Produksjon og distribusjon av elektrisk energi ...................................... 285

9.1 9.1.1 9.1.2 9.2 9.3 9.4

Produksjon ............................................................................................... Effekt og energibehov.............................................................................. Kraftverkstyper......................................................................................... Overføring og distribusjon ...................................................................... Tariffer ..................................................................................................... PS ............................................................................................................... Øvingsoppgaver ......................................................................................

242 242 244 245 245 245 246 248 248

249 250 250 252 252 252 254 254 255 255 255 256 260 261 263 264 265 269 273 273 273 273 276 277 277 277 279 283 283

285 285 286 287 288 288 288 Stikkordregister ...................................................................................... 290

1 Størrelser og symboler

1.1 Innledning I elektroteknikken er det iblant tillatt å bruke forskjellige betegnelser og enheter for en og samme størrelse. Videre blir det ofte brukt flere forskjellige symboler for like prosesser. Dessuten kan vi i praktisk arbeid støte på enheter, symboler osv. som ikke er standard. De er ofte av eldre opprinnelse.

For ikke å skape unødig forvirring skal vi i denne boka fortrinnsvis holde oss til moderne standard, for eksempel SI-enheter. I enkelte tilfeller har vi likevel gjort unntak der den praktiske virkeligheten tilsier det. I dette kapitlet presenterer vi de vanlige størrelsene og symbolene. Utfyllende informasjon kan du ofte finne i det kapitlet der det aktuelle området blir behandlet.

1.2 Størrelser og enheter 1.2.1 Det greske alfabetet N v

A ot

alfa

3 fl

beta

r r A 1

Fotodiode

2^_

Fotomotstand

Fotocelle

II-x- “O- Lampe, vanlig symbol, resp, signallampe {K

Forsterker, vanlig symbol

Tabell 1.5

11

1.3.2 Noen betegnelser og begreper Spenning og strøm Figur 1.1 viser en strømkrets som består av en spenningskilde og et antall motstander. Flyter det strøm gjennom denne kretsen, kan vi snakke om elektrisk potensial i ulike punkter. Vi sier også at det oppstår elektriske spen­ ninger mellom ulike punkter i koplingen. Figur 1.1

Potensialet i et punkt, for eksempel A på figur 1.1, kaller vi VA. Punkt C på figuren er jordet. Det vi si at Vc = 0

Spenningen mellom to punkter, for eksempel A og B, kan vi kalle t/AB. Vi definerer spenningen som potensialforskjellen mellom punktene.

For koplingen på figuren har vi da t/AC= VA-VC = VA

^bc ~ Vb ~ VC = ^b ^AB= VA-VB

Figur 1.2

I et koplingsskjema kan en spenning angis og markeres på flere normerte måter. Figur 1.2 a-h viser noen alternativer vi kan støte på i fagbøker, og som alle har samme betydning. I denne boka bruker vi fortrinnsvis alternativ a.

I vekselstrømsteknikken framstiller vi ofte en spenning som en vektor. Den tegnes som en pil med åpen spiss, se figur 1.3. Potensialet er størst ved pilspissen (figur 1.2 f).

Figur 1.3

Spenning er en forutsetning for at det skal flyte strøm. Strømmen flyter fra spenningskildens positive pol til den negative, og markeres med en fylt pil slik figur 1.4 viser.

I skjemaer for vekselstrømskretser blir spenninger og strømmer vanligvis angitt som effektivverdier, det vil si med store bokstaver. I enkelte tilfeller kan det imidlertid være greit å markere størrelsene som momentanverdier (små bokstaver) eller som vektorer (store bokstaver med strek over). I samme skjema må det bare forekomme en slags betegnelse.

Figur 1.4

Magnetisk fluks Retningen til en magnetisk fluks vises med en lukket, ikke fylt pil rettet fra nordpolen til sydpolen på flukskilden. Se figur 1.5. 12

Figur 1.5

Turtall Etter SI-systemet skal betegnelsen turtall erstattes med rotasjonsfrekvens. I praksis bruker vi nesten utelukkende turtall, og derfor er denne betegnelsen brukt i boka. Sl-enheten er 1 s'1, men enheten 1 r/min er vanligere enn den anbefalte. I boka brukes begge disse enhetene.

Sambandet mellom vinkelfrekvensen a> og turtallet n er a> = 2 n n

1.4 PS Det målesystemet som brukes idag, SI-systemet, betraktes som nær fullkom­ ment. Det har hatt mange forløpere.

I 1881 ble CGS-systemet (centimeter-gram-sekundsystemet) innført. Det fikk raskt flere varianter, blant annet elektrostatisk CGS og elektromagnetisk CGS. Dessuten ble CGS-systemet komplettert med forskjellige tekniske målesystemer. Det var mange tvetydigheter. Uklarhetene når det gjaldt masse og tyngde skapte stor forvirring. Alt i 1901 ble det foreslått å innføre MKS-systemet (meter-kilogram-sekundsystemet). Det ble seinere komplettert med grunnenheten ampere og dannet MKSA-systemet. Dette systemet ble brukt helt inn i 1960-årene. Men fremde­ les var det ingen logikk i valget av masse- og kraftenheter, henholdsvis 1 kg og 1 kp, og visse energi- og effektenheter.

SI-systemet, som er norsk standard siden 1977, blir betraktet som entydig, allmenngyldig, samstemt og nøyaktig. Det er også lett å lage multipler av disse enhetene.

Øvingsoppgave 1.1 Kompletter tabellen nedenfor: Grunnenhet

Størrelse

Navn

Symbol

Effekt Elektrisk strøm

Energi Kapasitans

Magnetisk fluks

Magnetisk flukstetthet Resistans Spenning Tabell 1.7

13

2 Likestrøm og vekselstrøm

Mål Når du har lest dette kapitlet, skal du

- kjenne de formlene som gjelder for likstrømskretser, og kunne utføre beregninger med dem - kunne forklare forskjellen på pulserende likespenning og vekselspenning - kunne gjøre rede for ulike kurveformer av reine vekselspenninger og hvilke begreper som knytter seg til dem - kjenne de viktigste komponentene du møter i vekselstrømslæren og kunne forklare hvilken innvirkning de har på forholdene i en vekselstrømskrets - kunne beregne forholdene i enfasede og trefasede vekselstrømsnett

Denne boka forutsetter at grunnlaget i elektrisitetslæren er kjent. Avsnittet om likestrøm tar sikte på å repetere og understreke visse sentrale deler av læren om likestrøm. Avsnittet om vekselstrøm er mer omfattende og innehol­ der en del nytt stoff.

Elektromotorisk spenning

2.1 Likestrøm Elektromotorisk spenning Figur 2.1 viser en enkel likestrømskrets.

Spenningskilden til venstre representerer en ems (elektromotorisk spenning), E. En ems kan genereres på ulike måter, for eksempel kjemisk (batteri), mekanisk (generator) eller ved direkte omforming av lysenergi til elektrisk energi (solcelle). Spenningskildens indre resistans er Rt.

Den elektromotoriske spenningen E driver strømmen I gjennom en ytre belastning med resistans R. Over R ligger klemmespenningen U. Den kan måles utenfra, mellom spenningskildens klemmer, derfor navnet klemmespenning. Videre betrakter vi resistansene som ideelle, og da gjelder Ohms lov.

Figur 2.1

Ri + R ettersom R, og R er koplet i serie. Likningen kan skrives slik:

E = R'I + RI, det vil si E = Rj 1 + U

15

Denne formuleringen er et spesielt tilfelle av Kirchhoffs andre lov, som sier at «i en sluttet krets er summen av alle ems-er lik summen av alle spenningsfal­ lene».

Dersom vi skriver U= E-R.I

blir forholdet mellom U og l, når vi uttrykker det grafisk, en rett linje med negativ helling. Se figur 2.2. Linjens skjæringspunkt med //-aksen er den elektromotoriske spenningen E, mens skjæringspunktet med /-aksen gir den største strømmen som kan tas ut over spenningskilden. Denne strømmen er kortslutningsstrømmen /, der

Serieresistans

Figur 2.3

På figur 2.3 er R erstattet med to seriekoplede motstander med resistansene R{ og R2. Dersom de nye motstandene skal gi samme resistans som R alene, har vi

+ R2

R=

Spenningsdeling På figur 2.3 flyter samme strøm / gjennom begge motstandene.

R{

+ ^2

/=£*

Dette gir spenningsdelingsformelen direkte

Parallellresistans Dersom vi erstatter R med to parallellkoplede motstander (figur 2.4), må de oppfylle følgende betingelse for å gi samme belastning som R:

1J_ 1 R “ R? + r7 16

eller

R = -^ Rr + R2

Figur 2.4

Strømdeling Ifølge Kirchhoffs første lov blir strømmen / på figur 2.4 delt i greinstrømmene f og I2, slik at /=/i + /2

Ettersom TA og R2 er parallellkoplet, ligger den samme spenningen, U, over dem.

U = Rxf U = R2I2 = R2 (/-A) Disse likningene gir

^/^^(/-A)

Av dette får vi: A (R^R2) = R2I

Vi kommer da fram til strømdelingsformelen

R1+R2 Dette er et greit uttrykk å bruke for å bestemme en greinstrøm.

Effekt Beregning av effekt i likestrømskretser skjer ved hjelp av formelen

P= Ul Kombinerer vi denne likningen med Ohms lov, får vi

P = U1 = RII = RI2

U U2 p = ui = U • — = — R R På denne måten har vi fått to uttrykk til for å beregne effekten.

P = RI2

R Eksempel:

Beregn effekten i 30-ohmsmotstanden på figur 2.5.

17

Den totale strømmen i kretsen er I =----------------A =---------- A = 3,0 A 10 + 30//60 10 + 20

da 30 ohm//60 ohm = 20 ohm (// = parallellkoplet med). Gjennom 30ohmsmotstanden flyter det en strøm

og effekten blir da

P=

ri\

= (30 ■ 2,02) W = 0,12 kW

Alternativ løsning:

30 ohm//60 ohm = 20 ohm 1/= 90—2° --V = 60 V 20 + 10 Da spenningen er 60 V over begge motstandene, kan vi beregne effekten av U2 602 P = ^ = ^-W = 0’12kW

Øvingsoppgaver 2.1 En likestrøm på 2,0 A flyter gjennom en motstand. Spenningen over motstan­ den er 15,0 V. Hvor stor er resistansen i motstanden?

En motstand er koplet til en likespenning. Vi ønsker å måle strømmen og spenningen i kretsen. Tegn et skjema som viser hvordan instrumentene må koples inn, og motiver valget av kopling med hensyn til resistansen i instru­ mentene.

Et elektrisk badstuaggregat som har merkeeffekten 5,0 kW, er innkoplet 30 minutter per uke. Hva blir årskostnaden dersom energiprisen er 21 øre per kWh? 2.4 Figur 2.6 viser et elektrisk apparat som er tilkoplet ved hjelp av en kopperledning med to ledere. Resistansen i ledningen R = 0,050 ohm/leder. Hvor stort blir effekttapet i ledningen? /=7,0A U = 220 V

Figur 2.6

18

Fl = 0,005 Q Fl = 0,005 Q

Apparat

2.5 Beregn hvor lang ledningen i oppgave 2.4 er når ledertverrsnittet er 1,5 mm2 og kopper har resistiviteten 0,0175 /z ohmmeter. 2.6 Beregn spenningen over motstanden R på figur 2.7.

R =0,50 Q 0= 9,5 Q

E = 12,0 V

Figur 2.7

2.2 Enfasevekselstrøm 2.2.1 Allmenne definisjoner og forhold Vekselstrømslæren handler om strømmer og spenninger som endrer seg med tiden på en regelmessig måte. Se figur 2.8.

Perioden T angir hvor lang tid som går før forløpet blir gjentatt. Størrelsen som endrer seg med tiden, betegnes gjerne med små bokstaver. Varierende spenning blir da betegnet med u, strøm med i, tid med t osv. Ettersom en vekselstrøm er periodisk, betyr dette at for eksempel u(7) = u(t 4- T) En vekselspenning antar både positive og negative verdier. Eksempel:

Figur 2.9 viser en vekselspenning. Figur 2.10 viser en rein vekselspenning. Det karakteristiske ved den er at variasjonene er symmetrisk om tidsaksen. En streng definisjon av vekselspenning er gitt i avsnittet om «middelverdi».

ui i

Figur 2.9 Vekselspenning

Figur 2.10 Rein vekselspenning

Figur 2.11 Pulserende likespenning

19

Figur 2.11 viser en pulserende likespenning. Den varierer riktignok periodisk, men er likevel ingen vekselspenning, fordi den aldri skifter fortegn.

I elektroteknikken finnes noen vanlige, viktige, reine vekselspenninger med kurveformer som enkelt kan uttrykkes matematisk. Figurene 2.12-2.15 viser noen av dem.

Figur 2.13 Sinusspenning

Spenningens største verdi betegnes med u (uttales u-topp) og minimumsver­ dien med u (uttales u-minimum). For symmetrisk rein vekselspenning er u = u. Denne verdien kalles spenningens amplitude. Forskjellen mellom største og minste verdi, u - u, betegnes med wtt (topp-til-topp).

Dersom forløpet har perioden T, kan antallet perioder per sekund, det vil si frekvensen/, skrives slik:

Effektiwerdi Dersom vekselspenningen u(t) påtrykkes en motstand med resistansen R, blir det i løpet av en periode utviklet en energimengde W, der

Middelverdien P av effekten kan vi skrive slik W

1

f Effektivverdien U er definert av U2 ~R

20

Legg merke til at P og U ikke varierer med tiden. De betegnes med store bokstaver. Vi får T f

1

U2

2j

— u2dt TJ o

Gjennomsnittsverdi En vekselspennings gjennomsnittsverdi er definert som T

u—

udt

4,

T Figur 2.16

o

Dersom integralet er lik null, sier vi at vekselspenningen er rein, og det betyr at u - 0. Alle vekselspenninger som er symmetriske om tidsaksen, er reine. Spenningen på figur 2.17 er derfor også rein fordi arealet A er lik arealet B, det vil si at u = 0.

Middelverdi

Figur 2.17

Middelverdien \u\ er definert ved T

| u | dt 0

Formfaktor og målinger De tre størrelsene som er definert ovenfor, er av betydning fra et måleteknisk synspunkt. Et DC-koplet instrument (DC = direct current, likestrøm) føler og viser normalt middelverdien av målestørrelsen.

Et AC-koplet instrument (AC = alternating current, vekselstrøm) virker på en av disse to måtene:

- det føler vekselstørrelsens middelverdi, men viser effektivverdien (forutsatt at vekselstørrelsen er reint sinusformet) - det føler og viser effektivverdien (uavhengig av målestørrelsens kurveform) Ved måling av ikke sinusformede målestørrelser er det derfor viktig å kjenne til forholdet mellom effektivverdi og middelverdi. Dette forholdet kaller vi formfaktoren. Den blir betegnet med

Formfaktoren er alltid > 1. For firkantspenningen på figur 2.12 er den 1,00, mens den for sinusspenning er 1,11 og for trekantspenning 1,15.

Kurveformens innvirkning på måleresultatet skal vi behandle videre i avsnitt 3.2.5. Men vi skal straks nevne at et bløtjernsinstrument alltid føler og viser effektivverdien.

21

Resistans, induktans og kapasitans I vekselstrømslæren møter vi tre vanlige og viktige komponenter, nemlig motstand, spole og kondensator. Se figurene 2.18-2.20.

Figur 2.18 Motstand med

Figur 2.19 Spole med

resistans R

Figur 2.20 Kondensator

induktans L

med kapasitans C

For en motstand gjelder likningen

u = Ri For en spole gjelder likningen

r di u = L- — dt Her er L spolens induktans. Enheten for induktans er H (henry).

For en kondensator har vi q = Cu

Her er q kondensatorens ladning og C kapasitansen. Enheten for kapasitans er F (farad).

Da dq dt får vi generelt

du

Disse tre likningene gir oss mulighet til å studere spenninger og strømmer i en vilkårlig vekselstrømskrets.

Figur 2.21

Av figur 2.21 får vi

U = Uj + u2 + u3 u = Ri + L •

di

eller

1 +—

Kjenner vi i, kan vi beregne u, og omvendt. I det generelle tilfellet kan de matematiske vanskelighetene bli store.

22

2.2.2 Sinusformet vekselspenning Den viktigste vekselspenningen er den reine, symmetriske sinusspenningen, se figur 2.13. Heretter skal vi derfor fortrinnsvis beskjeftige oss med spenninger og strømmer av denne typen.

Generering Sinusformede spenninger blir framstilt i generatorer. Generelt blir spenningen generert ved at en ledende sløyfe roterer med konstant hastighet i et homogent og konstant magnetfelt, figur 2.22. Sløyfas rotasjonshastighet kan uttrykkes ved vinkelhastigheten den har, som males i rad/s eller s . Vinkelhastigheten betegnes med oj.

cd

= 2itf = 2if-

Spenningen e som vi får mellom sløyfas endepunkter, er bestemt av likningen e = Blv sin Figur 2.22

Her er B l v r

= magnetfeltets flukstetthet = sløyfas lengde = car, og og /3 = eat er definert i figurene 2.22 og 2.23.

I det øyeblikket sløyfa danner en rett vinkel med feltet, det vil si når /? = 0, blir det ikke generert noen spenning. Sløyfa skjærer da ingen kraftlinjer. Spenningen oppnår sin toppverdi é når

= 90°. Da er Figur 2.23

é = Blv Dersom trådsløyfa har N vindinger, blir spenningen Nganger større, det vil si

éN = N B l v = N B l æ r Ettersom 0 = ojt, kan uttrykket for spenningen skrives

e = éN sin cot Vanligvis beskriver vi den sinusformede vekselspenningen matematisk slik (se figur 2.24):

u = u sin CDt

Figur 2.24

23

Viktige størrelser For sinusformet vekselspenning skal vi nå beregne de viktige størrelsene som vi har definert i avsnitt 2.2.1.

Effektivverdien beregner vi slik: T

T

UI2 = — u2dt = — I u 2 sin2 a>tdt TJ TJ o

o

Ved å bruke likningen cos2a = 1 — 2sin2a,

. , 1 — cos2 a sm2a =----- -------,

som gir

og

T

2

1

f « 2

U = Tj T(1 ~cos2wfH =

U2

2T

o

Effektivverdien blir altså

Gjennomsnittsverdien av sinusspenningen er 1

T f

A

1 a . , u U = ~ \ u Sino)tdt = — 0

T r

. sinwtdt = 0

0

da integralet av sinusfunksjonen over en periode = 0.

Middelverdien av sinusspenningen blir (se figur 2.25):

Med wT = 2tt og cos । -i

ji

2u mT

= -1 får vi

2.u 2ti

2u

|u| = —; [-COS71 + 1] = -—-2 = ----

Sluttresultatet blir altså I -I 2 u l«l =------71

24

ti

T-0

2

Formfaktoren for sinusspenningen blir U |u|

U • 71

71

^2-2 u ~2j2

1,11

Uttrykkene for effektivverdi, gjennomsnittsverdi, middelverdi og formfaktor som vi har utledet for sinusformede spenninger, gjelder også for sinusformede strømmer.

Vi har for eksempel A

2 i 71

Vektordiagram En sinuskurve går ikke alltid gjennom origo. Vi kan for eksempel tenke oss at den er forskjøvet langs tidsaksen. Det er da to muligheter: 1 Figur 2.26 viseren spenning w, som ligger vinkelen a foran spenningen u0. Se figur 2.27.

Figur 2.26 u, =

sin (cut + a)

Figur 2.27 u0 = u0 sin æt

2 Spenningen u2, se figur 2.28, ligger vinkelen [3 etter u0. Spenningen u} ligger vinkelen a + (3 foran u2. Vi sier da at faseforskyvningen mellom og u2 er a + co. For lettere å anskueliggjøre disse forholdene framstiller vi gjerne vekselspenninger og vekselstrømmer ved hjelp av vektordiagrammer eller viserdia­ grammer.

Figur 2.28 u2 = u2 sin(cot - /3)

Vektordiagrammet er en symbolsk framstilling av kurvediagrammet. Det kan bare brukes for sinusspenninger og sinusstrømmer og betingelsen er at de har samme frekvens. Når det gjelder ikke-sinusformede vekselstørrelser, må vi bruke de elementære forholdene mellom spenning og strøm for ulike kompo­ nenter. Se slutten av avsnitt 2.2.1. Dersom vi lar en sirkelradius rotere i positiv retning med vinkelhastigheten co, beskriver y-koordinaten for radiens endepunkt en sinuskurve. En slik radius kaller vi en vektor eller en viser.

I et vektordiagram lar vi hver spenning (strøm) representeres av en vektor, og lengden av den angir spenningens (strømmens) størrelse.

La oss for eksempel la vektoren u0 på figur 2.29 representere spenningen u0 på figur 2.27. Vektoren har lengden u0. (Skill mellom vektoren u0, som angis med strek over og har både størrelse og retning, og toppverdien w0 som «bare» har en viss størrelse. Det er viktig i huske dette i matematisk sammenheng.) 25

Figur 2.30

På figur 2.30 innfører vi nå også vektoren som representerer spenningen u, ovenfor. Den har samme omdreiningshastighet og omdreiningssenter som Uo, men har lengden w,. Dessuten befinner den seg alltid vinkelen a foran u0. Figur 2.31 viser spenningene u0 og på et bestemt tidspunkt.

Figur 2.31

På andre tidspunkter kan vektorene ha de stillingene som figur 2.32 viser.

Ettersom toppverdier (amplituder) og effektivverdier er proporsjonale (u = VT • U), kan vi like godt representere spenninger og strømmer med vektorer der lengden er lik effektivverdien til de respektive størrelsene. I denne boka kommer vi hovedsakelig til å arbeide med effektivverdier, blant annet fordi det som regel er disse som blir angitt, for eksempel ved målinger. Poenget med å bruke vektordiagram er at vi kan velge en passende anledning der vi studerer spenningene og så å si «fryser» situasjonen i et bestemt øyeblikk. Vi skal beskrive den generelle metoden ved hjelp av u0, ux og u2.

Vi velger en av størrelsene som referanse, det vil si den spenningen som vi sammenlikner alle andre med. Som referanse velger vi vanligvis en spenning, eller strøm, som i likhet med u går gjennom origo, se figur 2.26. Denne referansen tegner vi som en vektor Uo rettet langs den positive x-aksen, se figur 2.33. Spenningen ux på figur 2.26 representeres av vektoren Lf, som danner vinke­ len a med referanseretningen. Se figur 2.34. På tilsvarende måte danner vektoren for u2 vinkelen [3 (negativ) med referanseretningen. På denne måten blir det tydelig vist at u{ ligger foran og u2 etter referansespenningen u0.

Vektordiagrammer gjør det lettere å beregne den resulterende spenningen når det foreligger to eller flere spenninger. Vi bruker samme teknikk som når vi arbeider med vektorstørrelser, for eksempel krefter og hastigheter. Eksempel:

To spenninger kan beskrives slik: = 10,0^2 sin(cot + 40,0°) V

u2 = 20,0^2 • sin (æt - 30,0°) V

Hva blir den resulterende spenningen u når spenningskildene koples i serie? Løsning: Den vektorlikningen vi må løse, blir med betegnelsene på figur 2.35: U = u x + u2

Vi deler opp de respektive vektorene i x- og y-ledd, og får Ux = (10,0 cos 40° + 20,0 cos 30°) V = 25,0 V 26

Figur 2.32

Referanse (x-aksen)

Figur 2.33

Uy = (10,0 sin 40° - 20,0 sin 30°) V = - 3,60 V Videre har vi

U = Ju2 + U2 = 25,3 V t

Uy

A

tany = —~ dvs. y = -8,2'

Spenningen u = u sin(cot + y) kan nå skrives u = 25,3^2-sin (cot - 8,2°) V Vi kan også løse problemet reint grafisk ved å sette av vinkler og lengder nøyaktig og deretter trekke resultanten. Begge disse metodene kan selvsagt generaliseres til flere spenninger.

Vektordiagram for grunnkomponentene Kretser er bygd opp av blant annet motstander, spoler og kondensatorer. Vi skal nå undersøke sammenhengen mellom sinusformet spenning og strøm for hver og en av disse komponentene. Motstanden:

Vi setter i = i sin cot. Ettersom Ohms lov gjelder til enhver tid, får vi u = Ri = Ri sincot = u sincot, der

u = Ri Av dette følger at

U = RI

Figur 2.36

I vektordiagrammet på figur 2.36 velger vi I som referanse. Men U ligger også langs referanseretningen. Vi sier da at spenning og strøm er i fase, eller at faseforskyvningen