Plaques Circulaires Sous Charge Symétrique [PDF]

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Plaque circulaire chargée symétriquement par rapport à son axe

On s’intéresse à une plaque circulaire chargée et appuyée symétriquement par rapport à son axe de révolution Z ou z. La géométrie de ce problème rend beaucoup plus naturel de travailler avec les coordonnées cylindriques r, θ, z ; r et θ étant les coordonnées polaires dans la surface moyenne de cette plaque.

Z

ez O

Y M

eθ r z m er θ

r

X

er, eθ, ez désignent respectivement les vecteurs unitaires de la direction radiale, circonférentielle et axiale ; m est le point de la surface moyenne repéré par les coordonnées polaires r et θ et M est le point de l’épaisseur de la plaque situé à la distance z de la surface moyenne. En raison de la symétrie de révolution autour de l’axe Z, toutes les grandeurs cinématiques et statiques ne varient pas avec θ, c’est à dire sont invariables par rotation autour de l’axe de révolution. Notations et terminologies Les sollicitations sont calculées dans la base des coordonnées polaires er et eθ et sont de ce fait désignées par les notations suivantes : Sollicitations de membrane Nr : effort normal radial Nθ : effort normal circonférentiel Nrθ : effort tangentiel Sollicitations de flexion Mr : moment de flexion relatif à la direction radiale Mθ : moment de flexion relatif à la direction circonférentielle Mrθ : moment de torsion Qr : effort tranchant relatif à la direction radiale Qθ : effort tranchant relatif à la direction circonférentielle

Cinématique de la plaque Le chargement appliqué étant un chargement de révolution de type méridien, c’est à dire n’a pas de composante selon la direction circonférentielle, les points de la plaque ne vont pas subir de déplacement selon la direction circonférentielle (v=0) et de ce fait résulte aussi que la normale en tout point m n’a pas de rotation autour de la direction radiale ; donc seule la rotation autour de eθ est possible et ne va dépendre que de r. L’hypothèse cinématique sur le mouvement rigide de la normale conduit aux relations suivantes : Déplacement radial du point M : u M ( r , z ) = u( r ) + α( r )z ; u(r) étant le déplacement radial du point m du plan moyen et α(r) est la rotation de la normale autour de eθ. Déplacement axial ou normal (la flèche) : wM=wm=w(r). De ce champ de déplacement résulte les composantes suivantes de la déformation : Déformation radiale en M : ε r =

∂u M du dα = +z ; dr dr ∂r

u u z Déformation circonférentielle en M : ε θ = M = + α ; cette déformation résulte du changement r

du périmètre du cercle de rayon r passant par M ; Glissement en M dans le plan méridien r-Z : γ rz =

r

r

∂u M ∂w dw + =α+ ∂r dr ∂z

On remarque que l’état de contrainte membranaire est caractérisé par le seul déplacement radial u alors que l’état flexionnel est caractérisé par la flèche w et la rotation α. Si maintenant on admet que l’épaisseur t de la plaque est mince (Kirchhoff) alors le glissement ꙋrz ou la déformation d’effort tranchant est admis nul et l’on a : α=-dw/dr. Champ de contrainte de la plaque L’hypothèse statique de la théorie des plaques consiste à poser σz=0 ; le champ de déformation, déterminé dans le cadre de l’hypothèse de la symétrie de révolution du chargement, implique que le champ de contrainte dans la base cylindrique possède les composantes suivantes :

 σr [σ] =  0 σ rz

0 σθ 0

σ rz  0  0 

Ce champ de contrainte implique que l’effort de membrane Nrθ est nul, l’effort tranchant Qθ est nul et le moment de torsion Mrθ est nul.

Schématisation des contraintes dans la base cylindrique

Z

σrz

dz

σrz

dθ r

σr

σθ

dr

Efforts résultants ou réduits Efforts de membrane

Nr = ∫

+t / 2

−t / 2

σ r dz ,

Nθ = ∫

+t / 2

σ dz −t / 2 θ

Efforts flexionnels

Mr = ∫

+t / 2

−t / 2

σ r zdz ,

M θ= ∫

+t / 2

−t / 2

σ θ zdz ,

Qr = V = ∫

+t / 2

σ dz − t / 2 rz

Relations contraintes déformations

du d 2w u 1 dw −z + ν( − z )) r r dr dr 2 1 − ν2 1 − ν 2 dr d 2w u 1 dw du E E )) ( −z ( ε θ + νε r ) = + ν( −z σθ = r dr dr dr 2 1 − ν2 r 1 − ν2

σr =

E

( ε r + νε θ ) =

E

(

Relations efforts réduits déformations généralisées Etat de membrane En remplaçant les contraintes dans les efforts réduits de membrane, on obtient après intégration dans l’épaisseur :

N r = C(

du u + ν ), dr r

N θ = C(

u du + ν ), r dr

C=

Et

1 − ν2

Etat flexionnel De la même manière en remplaçant les contraintes dans les efforts réduits flexionnels et après intégration dans l’épaisseur, on obtient les relations moments courbures suivantes :

M r = − D( χ r + νχ θ ) = − D(

d 2w

+ν

1 dw ) r dr

dr 2 1 dw d 2w M θ = − D( χ θ + νχ r ) = − D( ), +ν r dr dr 2

D=

Et 3

12( 1 − ν 2 )

Equations d’équilibre Etat de contrainte membranaire

Z

Nθdr dθ r

Nrrdθ

Nθdr

frdrdθ

(Nr+dNr)(r+dr)dθ

dr

En désignant par f la charge extérieure radiale par unité de surface agissant sur la plaque, l’équilibre des forces dans le sens radial, agissant sur l’élément de surface de la surface moyenne dessiné en coordonnées polaires, s’écrit :

( Nr +

dN r dθ dθ dr )( r + dr )dθ − N r rdθ − N θ dr − N θ dr + frdθdr = 0 dr 2 2

Soit après simplification par drdθ et suppression des termes du second ordre, on arrive à l’équation :

Nr + r

dN r − N θ + rf = 0 ou encore dr

d ( rN r ) − N θ + rf = 0 ; Presque souvent f=0 sauf s’il s’agit dr

du problème d’un disque en rotation, a la vitesse de rotation ω, autour de l’axe Z, dans ce cas f est la force centrifuge par unité de surface et vaut ρω2rt.

Etat de contrainte flexionnel

Z

Vrdθ qrdrdθ Mrrdθ

Mθdr

dθ r

dr

Mθdr

eθ er

(Mr+dMr)(r+dr)dθ

(V+dV)(r+dr)dθ

L’équilibre des forces verticales agissant sur l’élément de surface donne :

dV dr )( r + dr )dθ − Vrdθ − qrdrdθ = 0 ; d’où après simplification, on obtient : dr dV d − qr = 0 ou encore V +r ( rV ) − qr = 0 dr dr (V +

Cette équation différentielle qui permet de calculer l’effort tranchant V dans la plaque est rarement utilisée ; on préfère plutôt calculer V directement par l’équilibre des forces verticales agissant sur un disque de rayon r centré sur la plaque. La deuxième équation d’équilibre de l’état flexionnel est l’équilibre des moments autour de la direction circonférentielle eθ :

( Mr +

dM r dθ dθ )( r + dr )dθ − M r rdθ − M θ dr − M θ dr − Vrdθdr = 0 dr 2 2

Apres simplification, on obtient :

d ( rM r ) − M θ − Vr = 0 dr

Méthode de calcul d’une plaque circulaire en état de membrane L’inconnue principale de ce problème est le champ de déplacement radial u ; il vérifie l’équation différentielle suivante, obtenue en combinant les relations de comportement et d’équilibre, :

d 2u dr

2

+

1 du u f − = − ; cette équation différentielle se réduit à l’équation d’Euler lorsque f=0. Elle 2 r dr r C

admet comme solution générale dans ce dernier cas :

u = Ar +

B ; A et B deux constantes d’intégration déterminées par les conditions de bord ; ces r

dernières portent soit sur u, soit sur Nr.

Méthode de calcul d’une plaque circulaire en flexion En combinant l’équation d’équilibre des moments et les relations moments courbures :

d 3w dr 3

+

V 1 d 2 w 1 dw − = − ; où V=Qr est l’effort tranchant calculé de manière indépendante. Cette D r dr 2 r 2 dr

équation différentielle peut se mettre sous une forme facile à intégrer :

dw  − V d 1 d ) = (r  dr  r dr dr  D

On peut aussi remplacer V en fonction de la charge surfacique q en utilisant l’équation d’équilibre des forces selon Z ; et par quelques manipulations on arrive à l’équation différentielle du 4ème ordre :

1 d  d 1 d dw   − q (r ) = r  r dr  dr  r dr dr   D

Cette dernière forme est celle que l’on obtient en partant de l’équation bi harmonique de la flexion d’une plaque de forme générale :

∆( ∆w ) = −

q ; D

En effet il suffit pour cela, d’exprimer l’opérateur de Laplace Δ en coordonnées polaires :

∆≡

∂2

∂r 2

+

1 ∂2

r 2 ∂θ 2

+

d2 1 d 1 ∂ = + r ∂r dr 2 r dr

Conditions aux limites On se limite aux trois cas classiques suivants : 1- Contour ou pourtour appuyé w=0 et Mr=0 2- Pourtour encastré w=0 et dw/dr=0 3- Pourtour libre Mr=0 et V=0