Matematici Aplicate in Economie 1 - Analiza A [PDF]

Zitiervorschau

Matematici aplicate in economie 1 Analiza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi pentru următoarea funcţie: f ( x, y ) = x 2 + 2 xy − y 2

a.

f x/ ( x, y ) = 2( x + y) ; f y/ ( x, y ) = 2( x − y)

c.

f x/ ( x, y ) = 2( x + 2 y) ; f y/ ( x, y ) = 2( x − y)

b.

f x/ ( x, y ) = 2( x − 2 y) ; f y/ ( x, y ) = 2( x + y)

d. alt răspuns.

ANS: A 2. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi pentru următoarea funcţie: f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 ) 2

a.

f x/ ( x, y) = x( x2 + y2 ); fy/ ( x, y) = y( x2 + y2 )

c.

b.

f x/ ( x, y ) = 4 x( x2 + y2 ); fy/ ( x, y ) = 4 y ( x2 + y2 ) d. alt răspuns.

f x/ ( x, y) = 2 x( x2 + y2 ); fy / ( x, y) = y( x2 + y2 )

ANS: B 3. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul al doilea pentru următoarea funcţie:

f ( x, y ) = ln

x = ln x − ln( x + y ) x+ y

a.

c.

′′ ( x, y ) = f yx f y′′2 ( x, y ) =

b.

f x′′2 ( x, y ) = ′′ ( x, y ) = f yx

( x + y )2 1 ( x + y) x

2

−

2

f y′′2 ( x, y ) =

,

x

2

(x + y)

2

1

,

ANS: A 4. Să se găsească punctele staţionare ale funcţiei următoare:

f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2

c. M(-2,1)

+

1 ( x + y )2 1

( x + y) 2 −1

( x + y)2

d. alt răspuns.

1

( x + y )2 1 f y′′2 ( x, y ) = − ( x + y) 2

a. M(2,1)

1

′′ ( x, y ) = − f yx

1

1

f x′′2 ( x, y ) =

,

b. M(2,-1)

d. M(-1,2)

ANS: A 5. Să se găsească punctele de extrem ale funcţiei următoare:

f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) ∈ R2 a. M(2,1) punct de maxim

c. M(-2,1) punct de maxim

b.

d. M(-1,2) punct de maxim

M(2,1) punct de minim

ANS: B 6. Să se găsească punctele de extrem ale funcţiei următoare

f ( x , y) = a.

b.

1 1 + cu condiţia x+y=1 definit pe R2\{(0,0)} x y

punct de minim 1 1 1 P  ,  pentru λ = − 4 2 2

punct de maxim

c.

1  1 1 P  − , −  pentru λ = 2 2 4  

d.

1 1 1 d) P  , −  pentru λ = punct de 2

maxim ANS: A 7. Scrieţi diferenţiala de ordinul intai a funcţiei

f(x,y) = x+3y+2(x2+y2-5) a.

c.

b.

d.

ANS: A 8. Scrieţi diferenţiala de ordinul intai a funcţiei f ( x, y ) =

1 1 + + 2( x + y − 1) x y

a.

c.

b.

d.

ANS: A

2

4

punct de minim

2 2 9. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = x − xy + y − 3x + 3 y

Derivata parţială a lui f în raport cu x este: a. b.

c. d.

ANS: C 2 2 10. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = x − xy + y − 3x + 3 y

Derivata parţială a lui f în raport cu y este: a.

c.

b.

d.

ANS: A 2 2 11. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = x − xy + y − 3x + 3 y . f are punct stationar pe:

a.

M(1,-1)

c.

M(0,0)

b.

M(-1,1)

d.

M(3,0)

ANS: A 2 2 12. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = x − xy + y − 3x + 3 y .Derivata parţială de ordinul

al doilea a lui f în raport cu x este: a. b.

f //2 ( x, y ) = 2 x f //2 x

( x, y ) = −1

c. d.

f //2 ( x, y ) = 0 x f //2 x

( x, y ) = −2 x

ANS: A 2 2 13. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = x − xy + y − 3x + 3 y . Derivata parţială de ordinul

al doilea a lui f în raport cu y este: a.

f //2 ( x, y ) = −1

b.

f //2 y

y

( x, y ) = 2

c.

f //2 ( x, y ) = − y

d.

f //2 ( x, y ) = x

y y

ANS: B 2 2 14. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = x − xy + y − 3x + 3 y .Alege valoarea corectă

pentru f xy// ( x, y) a.

// f xy ( x, y) = 0

c.

// f xy ( x, y ) = xy

b.

// f xy ( x, y) nu există

d.

// f xy ( x, y ) = − 1

ANS: D 2 2 15. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = x − xy + y − 3x + 3 y . Estimând valoarea expresiei

(

)

2 // f //2 (1, −1) f //2 (1, −1) − f xy (1, −1) x

y

// şi ţinând cont de valoarea f x 2 (1, −1) , stabileşte natura punctului

critic M(1,-1): a. punct de minim local

c. nu se poate spune nimic despre natura

punctului M(1,-1) b. punct de maxim local

d. nu este punct de extrem local

ANS: A 2 2 16. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) + ( y + 6)

Derivata parţială a lui f în raport cu x este: a.

f x/ ( x, y ) = 2 x − 1

c.

f x/ ( x , y ) = 2x

b.

f x/ ( x , y ) = y + 6

d.

f x/ ( x , y ) = 2 ( x − 1 )

ANS: D 2 2 17. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) + ( y + 6) .

Derivata parţială a lui f în raport cu y este: a.

f y/ ( x, y ) = y + 6

c.

f y/ ( x, y ) = 2 y

b.

f y/ ( x, y ) = 2 ( y + 6)

d.

f y/ ( x, y) = x − 1

ANS: B 2 2 18. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) + ( y + 6) .

Funcţia

are punct stationar pe:

a. M(1,-6)

c. M(0,0)

b. M(-1,6)

d. M(1,0)

ANS: A 2 2 19. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) + ( y + 6) . Derivata parţială de ordinul al

doilea a lui f în raport cu x este: a.

f //2 ( x, y ) = 1 x

c.

f //2 ( x, y ) = 0 x

b.

f //2 ( x, y ) = 2

d.

x

f //2 ( x, y ) = 2 x x

ANS: B 2 2 20. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) + ( y + 6) . Derivata parţială de ordinul al

doilea a lui f în raport cu y este: a.

f //2 ( x, y ) = −1

b.

f //2 y

y

( x, y ) = 2

c.

f //2 ( x, y ) = − y

d.

f //2 ( x, y ) = x

y

y

ANS: B 2 2 21. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) + ( y + 6) . Alege valoarea corectă pentru

// f xy ( x, y)

a.

// f xy ( x, y) = 0

c.

// f xy ( x, y) = 2

b.

// f xy ( x, y) nu există

d.

// f xy ( x, y) = 1

ANS: A 2 2 22. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = ( x − 1) + ( y + 6) . Estimând valoarea expresiei

(

)

2 // f //2 (1, −6) f //2 (1, −6) − f xy (1, −6) x y

// şi ţinând cont de valoarea f x2 (1, −6) , stabileşte natura punctului

critic M(1,-6): a. punct de maxim local

c.

b. nu este punct de extrem local

d. nu se poate spune nimic despre natura

punct de minim local punctului (1,-6)

ANS: C 23. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = xy

Derivata parţială a lui f în raport cu x este: a.

f x/ ( x , y ) = 1

c.

f x/ ( x , y ) = y

b.

f x/ ( x , y ) = x

d.

f x/ ( x , y ) = 0

ANS: C 24. Sa se integreze ecuatia diferentiala : x 1 + y 2 dx + y 1 + x 2 dy = 0

a.

c.

2 1+ x2 = - 1+ y + c

b. ln ( 1 +x 2 ) = 1+ y2 + c

d.

1 2 1 + x 2 = -3 1 + y + c 2 alt raspuns

ANS: A 25.

Fie f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +

400 , x >0, y >0 . Derivatele partiale de ordin I sunt: xy

a.

c.

400  '  f x ( x, y ) = 10 + 2 y − x 2 y  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x − 2  xy b.  f ' ( x, y ) = 10 x + 4 y + 2  x  f ' ( x, y ) = 10 x + 2 y + 400  y x2 y2

400  '  f x ( x, y ) = 10 + 2 y + x 2 y 2  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x + 2 2  x y d.  ' 400  f x ( x, y ) = 10 + 2 y + xy 2  400  f y' ( x, y ) = 4 + 2 x + 2  xy

ANS: A 26.

Punctul stationar pentru functia: 400 f(x,y) = 10x + 4y + 2xy + cu x >0, y >0 este xy a. M(2, 5) b. M(2, 3)

c. M(-2, -5) d. nu exista

ANS: A 27. Functia f(x,y) = 10x + 4y + 2xy +

400 cu x >0, y >0 admite xy

a. punct de maxim local M(2, 5)

c. nu admite puncte de extreme local

b. punct de minim local M(2, 5)

d. punct de minim local M(2, 3)

ANS: B 28.

Sa se integreze ecuatia diferentiala: (1 + y 2 ) + xyy ' = 0

a.

x 1+ y2 = c

c.

b.

x + 1+ y2 = c

d.

x(1 + y ) = c -x 1 + y 2 = c

ANS: A

x2 + y2 29. Sa se integreze ecuatia diferentiala omogena: y = xy 2 2 a. c. y y + x2 x = ln + c = 2ln x +c 2x 2 2x 2 b. x 2 + y 2 d. alt raspuns = ln x + c 2 2x '

ANS: A 30. Fie a.

, rezolvand sistemul obtinut prin anularea derivatelor de ordin I se determina: c. punctele stationare

punctele de maxim local

b. punctele de minim local

d. matricea hessiana

ANS: C 31. Diferentiala de ordin I pentru functia f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 – xy + x - 2z,

(x, y, z) ∈ R 3 este

a. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y – x)dy c. d f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 )dx + (1-

+ (2z – 2)dz

b.

xy)dy + (x-2z)dz

d f(x, y, z) = (2x 2 - xy + x)dx + y 2 dy d. d f(x, y, z) = (2x- y +1)dx + (2y xy)dy+(2z - 2)dz + (z 2 -2z)dz

ANS: A 32. Functia f (x,y) = x 3 +

- 3xy definita pe

a. admite punct de minim local M(1, 1)

c. nu admite puncte de extrem

b. admite punct de maxim local M(-1, 1)

d. admite puncte de minim local pe

M(3, 2) si N(-1, 1) ANS: A 33. Functia f(x, y, z) =

- 2x – 4y – 6z definita pe R 3 are:

a. toate derivatele de ordin 2 nule

c. toate derivatele de ordin 2 egale cu 2

b. toate derivatele mixte de ordin 2 nule

d. toate derivatele de ordin 2 strict

pozitive ANS: B 34. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = xy

Derivata parţială a lui f în raport cu y este: a.

f y/ ( x, y ) = 1

c.

f y/ ( x, y) = y

b.

f y/ ( x, y ) = x

d.

f y/ ( x, y ) = 0

ANS: B 35. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = xy .

Diferenţiala de ordinul I a lui f este a. b.

df = dx + dy df = dx + xdy

c. d.

df = ydx + dy df = ydx + xdy

ANS: D 2 2 36. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = x + y

Derivata parţială a lui f în raport cu x este: a.

f x/ ( x , y ) = y 2

c.

f x/ ( x, y ) = 2 y

b.

f x/ ( x , y ) = 2x

d.

f x/ ( x , y ) = x 2

ANS: B 2 2 37. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = x + y

Derivata parţială a lui f în raport cu y este: a.

f y/ ( x, y) = x2

c.

f y/ ( x, y ) = 2 y

b.

f y/ ( x, y ) = 2 x

d.

f y/ ( x, y ) = y2

ANS: C 2 2 38. Se dă funcţia de două variabile f ( x, y ) = x + y

Diferenţiala de ordinul I a lui f este a.

df = x 2 dx + y 2 dy b. df = dx + dy ANS: D

df = 0 d. df = 2 xdx + 2 ydy c.

39. Fie ecuaţia diferenţială y ' = xy

Ecuaţia este a. cu variabile separabile

c. o ecuaţie cu derivate parţiale de

ordinul întâi b. liniară de ordinul întâi

d. liniară de ordinul al doilea

ANS: A 40. O formă echivalentă a ecuaţiei y ' = xy este c. d.

dy = xy dx = xy

c.

y=2

d.

y=x

a. liniară de ordinul intai

c.

ecuatie omogena

b. cu variabile separabile

d. ecuatie diferentiala de ordinul doi

a. b.

ydy = xdx dy = xdx y

ANS: B 41. Soluţia ecuaţiei y ' = xy este dată de

a. b.

y=

x2 +C 2

ANS: A 42. Fie ecuaţia diferenţială y ' = x + 1

Ecuaţia este

ANS: B 43. O formă echivalentă a ecuaţiei y ' = x + 1 este a. b.

dy = x + 1 dy = x +1 x

ANS: C 44. Soluţia ecuaţiei y ' = x + 1 este dată de

c. d.

dy = ( x + 1)dx dx = x + 1

a. b.

x2 2 y = x2 + x y=

c. d.

y=x

ANS: C 45. Scrieţi diferenţiala de ordinul intai a funcţiei

a.

c.

b.

d.

ANS: A 46. Consideram functia a.

. Atunci derivata partiala de ordin intai in raport cu x este

b. c. d. ANS: C 47. Consideram functia a.

. Atunci derivata partiala de ordin intai in raport cu y este

b. c. d. ANS: D 48. Consideram functia a. b. c. d.

. Atunci diferentiala de ordinul al doilea a lui f este

ANS: B 49. Se da functia de doua variabile a.

. Derivata partiala a lui f in raport cu x este

b. c. d. alt raspuns ANS: C 50. Se da functia de doua variabile a. b.

. Derivata partiala a lui f in raport cu y este

c. d. alt raspuns ANS: B 51. Se da functia de doua variabile a. b. c. d. alt raspuns

. Diferentiala de ordinul al doilea al lui f este

ANS: C 52. Derivata partiala a lui a. b.

in raport cu variabila x este egala cu c. d.

ANS: A 53. Derivata partiala la lui a. b.

in raport cu variabila x este egala cu c. d.

ANS: A 54. Derivata partiala la lui a. b.

in raport cu variabila y este egala cu c. d.

ANS: D 55. Derivata partiala a lui a. b.

in raport cu variabila y este egala cu c. d.

ANS: A 56. Se considera functia

. Atunci derivata mixta de ordin 2 data de

este egala cu a. b.

c. 1 d. 6y

ANS: C 57. Se considera functia este egala cu a. b.

. Atunci derivata mixta de ordin 2 data de c. 1 d. 2y

ANS: D 58. Se considera functia este egala cu a. b.

. Atunci derivata mixta de ordin 2 data de c. 1 d. 2y

ANS: D 59. Se considera functia este egala cu a. b.

. Atunci derivata mixta de ordin 2 data de c. 1 d. 2y

ANS: D 60. Se considera functia critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) b. (1,0),(0,1)

. Atunci punctele stationare(numite deasemenea puncte

c. (1,1,),(0,0) d. nu exista puncte stationare

ANS: A 61. Se considera functia deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) b. (1,2),(0,0)

. Atunci punctele stationare(numite

c. (1,2) d. nu exista puncte stationare

ANS: C 62. Se considera functia deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) b. (2,3),(0,0) ANS: C

. Atunci punctele stationare(numite

c. (2,3) d. nu exista puncte stationare

63. Se considera functia deasemenea puncte critice) ale lui f(x,y) sunt a. (0,0) b. (1,2),(0,0)

. Atunci punctele stationare(numite

c. (5,2) d. nu exista puncte stationare

ANS: C 64. Se considera functia punctul (0,0) este un punct a. de minim local pentru f(x,y) b. de maxim local pentru f(x,y)

. Atunci c. nu este punct de extrem local

ANS: A 65. Care din urmatoarele functii are exact 2 doua puncte stationare a. f(x,y)=x+y c. f(x,y)=x+2y b. d. ANS: B 66.

Care din urmatoarele ecuatii nu reprezinta o ecuatie diferentiala? a.

c.

b.

d.

ANS: C 67.

Care din urmatoarele ecuatii diferentiale este o ecuatie diferentiala cu variabile separabile? a.

c.

b.

d.

ANS: C 68.

Care este solutia generala a ecuatiei diferentiale

a.

, A este o constanta b.

, A este o constanta c.

A este o constanta

d.

, A este o constanta ANS: B 69. Fie a.

. Sa se calculeze c.

b.

d.

ANS: A 70. Fie a.

. Sa se calculeze c.

b.

d.

ANS: B 71. Fie

. Atunci

a.

c.

b.

d.

ANS: D 72. Fie

. Atunci

a.

c.

b.

d.

ANS: B 73. Fie a.

. Atunci c.

b.

d.

ANS: C 74. Fie

. Atunci

a.

c.

b.

d.

ANS: A 75. Fie a. b. ANS: B

. Atunci c. d.