Dedu S Serban F Matematici Aplicate in Economie 2009 [PDF]

Zitiervorschau

SILVIADEDU

FLORENTIN

~ERBAN

MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE.

SILVIADEDU

FLORENTIN SERBAN

Copyright © Teocora 2006 Toate drepturile asupra acestei lucrihi apartin Editurii T eocora. Reproduccrea In scopuri comerciale, adaptarea, distributia sau transmiterea uncia sau a mai multor parti din accasHi ca1te, in oricc scop ~i sub orice forma este interzisa rara acordul scris prealabil al editurii. Tehnoredactare: Andrei Stanila Coperta:

Descrierea CIP a Bibliotecii Nationale a Romanici ' DEDU, SILVIA Matematici aplicate in economic Silvia Dedu, Florentin $erban Editura TEOCORA, 2009 Bibliogr. ISBN 978-973-1934-50-1 I. $erban, Florentin 51-7:33(076)

" MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE

5

Metoda e/imimirii complete (Gauss-Jordan)

Prefata

Economi§tii, indiferent de domeniul In care lucreaza, au nevoie de cuno§tinfe so/ide de stricta specialitate, dar §i de tehnici specifice matematicii aplicate. lnforma{ia economica trebuie sa fie relevanta, credibila, inteligibila - calitafi care sunt asigurate numai atunci cand economistul care o construie§te, o prelucreaza §i o valorifica stapane§te deopotriva cuno§tin(e In domeniul respectiv, dar §i temeinice cuno§tinfe de matematici aplicate In economie. Lucrarea pe care o propunem celor interesa{i confine nofiuni teoretice, seturi de probleme rezolvate §i probleme propuse In vederea rezolvarii, din urmatoarele domenii ale matematicii economice: algebra liniara, analiza matematica, probabilita{i §i statistica matematica. Prin aceasta carte, autorii valorifica experien{a acumulata Ia catedra In decursul unui numar insemnat de ani universitari. Prezenta lucrare s-a elaborat In stransa concordan(a cu programa analitica a disciplinei "Matematici aplicate in economie" de Ia Academia de Studii Economice Bucure§ti, indiferent de profilul faculta(ii. Cartea se adreseaza in primul rand studen(ilor economi§li, dar §i studenfilor de Ia aile profile, carora viitoarea profesie le solicita §i cuno§tin{e de matematici aplicate in economie. Prin varietatea problemelor rezolvate sau propuse pentru a fi rezolvate, /ucrarea constituie un ghid important pentru pregtttirea examenelor Ia matematica de cafre studen(ii faculta{ilor cu profil economic din lnva{amantul de stat §i privat §i permite realizarea de acumulari In vederea practicarii In condi{ii de performan(a a muncii de economist. Nadajduim ca economi§tii practicieni sa gaseasca In cu/egerea noastra numeroase solu(ii pentru eficientizarea managementului Ia nivel micro §i macroeconomic. Suntem recunoscatori conducerii Catedrei de Matematica din cadrul Academiei de Studii Economice Bucure§ti, In cadrul careia ne desfa§uram activitatea, domnului profesor universitar doctor Gheorghe Cenu§a, din partea caruia noi, autorii, am primit un important sprijin §i pre{ioase sugestii §i lndrumari legate de structura §i organizarea materialu/ui. Nutrim speran(a ca cititorii sa gaseasca in aceasta lucrare un sprijin real pentru studiu §i cercetare §i sa ne transmit a orice fel de semnale cu caracter de sugestie pentru lmbunatafirea con(inutului sau Ia edi{iile viitoare. Autorii

lv/eroda elimill(irii complete (Gauss-Jordan)

7

CUPRINS

Parte a I. ALGEBRA LINIARA .................. ...................... .

9

Capitolul l. METODA ELIMINARII COMPLETE ...... .... ..... ......... .

9

Capitolul2. SPATH VECTORTALE .... ............. ... ......... .. ...... ......... .

13 13

2.1. Notiunea de spa~iu vectorial ......... . ... . ... . ....... ............................. . 2.2. Dependcnta ~i indcpendenta liniara a vectorilor ............ ................. . 2.3. Sistem de generatori ai unui spatiu liniar; baza a unui spatiu liniar; coordonatele unui vector intr-un reper dat. ........ . ..... ........... ............. . 2.4. Subspatii liniare ............ .............................. .............. . .......... . 2.5. Schimbarea coordonatelor unui vect~r Ia trecerea de Ia un reper Ia un alt reper ... . ... . .......... . ... .. .. . . ..... . ............ . . . .. . .. . ... ... .............. .

Capitolul3. OPERATORT LINIARI .... ............... .............. .... ....... . 3.1. Notiunea de operator liniar. Matricea asociata unui operator tiniar.. ... . 3.2. Nucleul ~i imaginea unui operator liniar. Injectivitatea, smjectivitatea ~i inversabilitatea unui operator liniar. .. .. ..... .. .... .... .... . 3.3. Vectori proprii ~i valori proprii .. .. ......................................... .. . .

Capitolul4. FUNCTIONALE LINIARE, BILINIARE, PATRATICE

15 22

31 34

39 39 44 46

49

4.1. functionale liniare ... ... ... ... .................... .. .. . ............ . ............. .. 4.2. Functionale biliniare ........ . ..... ....... . ..... . ................. .. . ............... . 4.3. Functionale piitratice ........... . .................... . . . .......... . ... ...... . .... .

51 54

Partea a 11-a. ANALIZA MATEMATICA .................... .

60

Capitolul 5. SERII ................. ....... ...... ............... ........ .................. . 5.1. Serii de numere real e . . ........ . ... .............. . . .......... . ... . ............ ..... . 5.2. Serii de puteri .................. . ........ . .. . ... . ........... . .... . ............. . .. . 5.3. Dezvo!Uiri In serie ............ . ... .. ............. .. .............. . .... . .......... .

Capitolul 6. FUNCTII DE MAl MULTE VARIABILE REALE ........ . 6.1. Limita. Continuitate. Derivate par(iale. Diferenfiabilitate. ........... . ... . 6.2. Extremele funqii lor de mai multe variabile ............ ............... ......... . 6.2.1. Extreme libere ... ... . ... . .... . .. . ..... .. ....... ... . . ..... ............... .. . 6.2.2. ·Extreme conditionate (cu legaturi) ..... . ... . .. ... .. .... . ............. ... 6.3. Metoda eel or mai mici patrate ................................ . ....... . ....... .... .

Capitolul 7. CALCUL INTEGRAL. ... ........... ........................ ... . 7.1. Integrate generalizate ........... .... . ........................ . ....... . ......... .... .. 7.1.1. Integrale cu limite infinite .............. . . ............ . ...... .. .. . ...... . 7.1.2. Tntegrale din fi.mqii nemarginite .... .. ..... .. . ................ .. .... . .. . 7.1.3. Integrale eulericne ................................ ................... .. .. . 7.2. Integrale duble .... . ... . ........... . ... . ............. . ........................ . . ....

Capitolul 8. ECUATII DTFERENTIALE ............ ............................. . 8.1. Ecuatii difercntialc de ordinullntai .................. . ........................... . 8.2. Ecuatii diferentiale liniare de ordin superior........... . ................... .... .

49

60 60 75 82

92 92 100 100 . 113

118 121 121

121 125 128

135 139 139 143

8

Matematici aplicate in economie- culegere de probleme

Partea I. ALGEBRA LINIARA

Partea a III-a. TEORIA PROBABILITA'fiLOR ........ . Capitolul9. CAMP DE PROBABILITATE ....................

oo . . . . oo . . . .

oo

9.1. Evenimente; operafii cu evenimente; camp de evenimente .................... .. 9.2. Probabilitate; camp de probabilitate; fonnule de calcul cu probabilitati ... 9.3. Scheme clasice de probabilitate .......... .... 00

...........

00

00

.

... .. .....

. . . . . . 00

00

.

0000

00

. . . . ..... ........ ..

. . . . . . . . 0000 . . . . . . . .

CapitolullO. VARIABILE ALEATOARE ............... ... ......... ... .....

oo.

10.1. Variabile aleatoare unidimensionale ..... .... 10.2. Repartitii clasice ........ .......... , .... ............................ .............. .. 10.3. Variabile aleatoare bidimensionale ...... oo

·

00 . . . . . .

.. .

...

. . . . . . . . 00

.

.

. . . . . oooo . . oo . . . . . .

00

. . . . . . . . . . . . . . . . . OOO oO o o o o o o o o

Capitolulll . LEGI ALE NUMERELOR MARl . TEOREME LIMITA. .................. .......

00

••

••••••••••

000

••••••

146

CAPITOLUL 1

146 146

METODA ELIMINARII COMPLETE (GAUSS-JORDAN)

150 165

Metoda climinarii complete se poate folosi, printre altele, pcntm: - rezolvarea unui sistem de ccua!ii liniarc; - calculul inversei unei matrice ncsingulare.

176 176 210 228

. . Etapele apl icarii acestei metode sunt: 1) Se aldltuie~te un tabel care con!ine matricca sistemului ce trcbuie rczolvat (notata A) sau matncea care trebUIC invcrsata (A).

252

Capitolul 12. ELEMENTE DE TEORIA SELECTIEI; SELECTII DIN POPULATII NORMALE ..

252

00

Capitolul13. ELEMENTE DE TEORIA ESTIMATJEI ......... .. .... .. 13.1. Estimarea parametrilor unei repartitii ........ ....... .............. ......... 13.2. Corela tie §i regresie ............ 00

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 . . . . . . . . . . . . .

.

00 .

000

3) Elementele din noua itcratie se detem1ina astfel: a) elet~Jentele de pe lit;ia pivotului se impart Ia pivot; b) coloaua pivowlui se completeaza cu zero; c) resrul clemcntelor se calculeaza dupa regula drcprunghiului: - se formeaza w1 dreptunghi, avand elcmenrul ce trebuic inlocuit §i pivotul ca viirti.tri; - din produsul clementclor de pc d iagonala pivorului se seadc produsul elemeutelor celcilalte diagonale, iar rezultatul se imparte Ia pivot.

243

Partea a IV-a. STATISTICA MATEMATICA ........... . oo . . . . . . . . . . . . . .

2) Sea lege un element nenul al matricei A, numit pivot.

261 261 273

Capitolul14. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE .......... oo.

275

Anexe ........... ... ...................... ... ........ .... .. .. ...... .... ............................. . BIBLIOGRAFIE ...................................................... ... ............... .

285 289

Schematic, regula drepmnghiului se prczintii astfcl: a ... ....

00 00 . . •

·

b = pivoml:

x

·

,_ hx- ac , unde: x = clcmentul cc trebuic inlocuit; x b x ·- valoarca clemenrului x in noua itera!ic.

!!Joo ........... ~

d) (facultativ) Dacli pe linia pivotului exista un clement ega! cu zero, atunci coloana .acclui c.len1ent s.: copiaza in itera1ia urmiitoare; ana log, dadi pc coloana pivotului cxistft m1 clement ega! cu zero, atunct hma acclm element se copi- R+* ~~. 'CJ 10\ : R x R* . teram Coust< + - >- R*+, x EB y = x · y, a & x = x", '(R:)2, defiuiteastfel : (x, ,x2)EB(y l> yz)= (xi · YJ> X2 'Y2), a®(xl>x2 )=(t1a , x 2a), '1/x, yeR:,\faeR. 2 Sa se sntdicze daca (R~ ) lmprcuna cu cclc doua opcra!ii este spatiu vectorial real.

5. Sa se aratc ca mul!imea

A={(; ; }a,b e c} (unde;; rcprcziuta conj ugatul numarului complex a) irnpreuna

cu opera!iile de adunare a matricelor ~ide inmul!ire a accstora cu scalari reali constituic un spatiu liniar rea l. 6. Sii se arate cilunnatoarele multimi sunt subspa!ii liniare ale spatiilor liniarc indicate: a) R,.,[X] c R[X]; b) d)

{(a,o,b)'Ja,be R}c R3 ; c) ~ax 5 +bX 2 ,a,b e R }c R[X];

{(x1,X2 ,xJ'ix1 E R, i = 1,3,x1 = 3x2 ,x1 + x2 = x3 }c R 3 •

lndicat!e. ~e. fo~osesc definitii le notiunilor de spa!iu ~i subspatiu liniar prccum ~i faptu l ca un subspatiu liniar are o slluclura

de spatm lm1ar 111 raport cu opcratiilc indusc. 7. Sa se aratc d\ mul1imea

v-- {(X 1,X2 , ...,xnA·\:;E 'I . R ,z· = -1,n, 3 x.

1-

2x =x, }, 1

vcctorilor din R" ~i lnmultirea accstora cu scalari cste spatiu vectorial real.

11

• • cuadunarca. e:JV,n 2: J,l111prcund

I. ScconsJdcravcetoni

Vt=[~}

1•2

=[-:}v3 =[_~J

di n spatiul liniar (M;,i{R), R).

a) Sa sc arate ca vcctorii v 1• v1 , v1 sunt liniar dependenti. b) Sa se determine o rcla!ie de dcpendcnti'lliniaril intrc v1, v 2 , 11J. c) Sa se prccizezc care dintre vee tori se poatc scrie ca o combina!ic liniara a cclorlalti.

Rezolvare: a) Conform definitici 2, trcbuic sa aratam ca cxista scalarii inlocuind v 1, v2, v3 in aceastii relatie, rezulta: a1

-.ll [2) [ 2 +a2 -t -1 1

[ 1)

+a3 4

- l

=

o.,, a1 . ClJ

E

R, nu toti nuli, astfel inciit a .v, + a1v1+ a;v;

[OJ~i sc ob(inc sistcmul liniar omogcn: ~- a 1 +

=

0.

2a2 a3=0 +

2a1 - a 2 + 4a3 = 0 -a1 +et2 -a3 = 0

0

0

Determinantul matricci sisternului cstc D. ;, 0, prin unnarc sistcmul admitc ~i solutii ncbanalc. deci exist[l scalarii a 1,a2,a;ER, nu toti nuli, astfel incat a 1v1 + a~v2 + a 3 1•3 = 0. Conf01m dcfinitici 2, rczulta d\ v1. v2, v3 sunt liniar dcpcndcn!i. b) 0 rclatie de dcpcndcnta liniara intre vcctorii v 1.v2,v3 cstc de forma: a, v,+ a2112+ a3v3 = 0, cu a ~,a2.a3eR, nu to!i nuli. Rczolvam sistcmulliniar omogen ob!inut Ia punctul a) . Considcrand ar, a 1 nccunoscutc principale ~i a3 =a. a e R, nccunoscuti'i secundara, se ob1ine: = -a. prin urmare solu!ia sistemului estc: a,=-3a, az=-2a, a3=a, a e R', 1+

{-a 2a2

2a1 - a 2 = -4a

iar o rclatic de dcpcndcntli liniara lntrc vectori cstc:- 3a111-2a v 2+aV,J = 0, a

E

R' , sau, simplificand, -3v,-2v2 + 113= 0.

c) Dcoarecc vcctorii sunt liniar dcpcndcnti. conform propozitiei I rczull11 di eel putin un vector sc poate scrie ca o combinatie liniara a cclorlal!i. Din rclatia de dcpcndcnta liniara gas ita Ia punctul b) rczulta ca oricarc dintrc vectori sc poatc scrie ca o combinatic liniara a celorlalti, astfcl: ~'t =-t v 2 +tv3 ; v 2 = -f v2 +1v3; v3 =3v1 +2v2 •

.16

Malemalici aplicare In economie • culegere de probleme

17

Spa{ii vecroriale

2. a) Sasearateca vectorii v1 = (4,-1 ,1 ), v1 = (- 1,2,3), v~ = ( 1,1,-1) din spatiul lin iar(R3, R)sunt liniarindcpcndenti. b) Sa se precizeze dacii vectorul Vz se poatc scrie ca o combinatic lin iara a cclorlalti vectori. Rezol vare: in baza definitiei 4, trebuie sa arl!tlim ca oricare ar fi scalarii o:~,a2,a3eR cu a1v1+azv1+a>v>=O, rezulta a 1=az=(l. =0. 3 Fie a~, a 2, a,e R astfcl incilt a 11'1+ (1.2V1 + a3v3= 0. lnlocuind v~, v2, v 3 in aceasta rclatie, sc obtine: al(4, -1, I) + a2(-l , 2, 3) + a3(l, 1, -1) = (0, 0, 0) (4a ~ - az + a>.- a 1 + 2a2+ a,, a.1 + 3al- a 3) = (0, 0, 0) ~: rezulta sistemu l liniar omogcn: {4a1 - a2 + a 3 = o · -a l +2a2 +a3 = 0 a1 + 3az - a 3 = 0 Detenninantulmatricei sistcmu lui este !:J. = -25 '¢ 0, deci sistcmul ad mite numai solutia banala: a 1 = Cl1 = a = 0. 3 in baza dcfinitiei 4 rezulta ca vectorii v~, v1, v3 sunt liniar indepcndenti. b) Observafie. Diu propozitia I rezulta: Daca o multime de vectori este liniar independent, atunci nici unu l dintre vee tori nu se poate scric ca o combinatie liniara a celorlalti.

n

b) fie a 1, a 2 e astfel incat a,b 1+ a.2 b2 = O; obtincm: a 1(3- 2i)+ a2(· 4 + i) = 0 ~i rezulta sistemul_liniar omogen. 3a1_ 2a2 = 0 , care admite numai solu[ia banala: 17.1= 17. 2 = 0. Conform dclinitiei, rezulta cii b, ,b1 sunt lmwr mdcpcndenp. {-2at +a2 = 0

c) fie a 1,a 2 e R astfel ca rt.tfi +a)/;= 0; din accasta egalitate de funqii rczultr1 a1sinx+ a~ cos.x = 0, 't1 xe[O.I]. · - '4 1·ez·· u lt'" Pentru x = 0 obpnem a1 = 0 , 1·ar pen!lu x - ·,u Con fo1m dcfinitiei 4, rczulta ca vectorii

J2 = 0 ' dcci a1 = cb- =0. a 1 · J2 + a2 · 2 2

Ji,f! sum liniar independenti .

A

d•1 Fie a.~, a 1, a 3 e R astfel incilt a 1 1+ a~2+ 0:3A3 = sc ob!ine s1.stemu11 .. nuar ornogen:

0,adica a (3 -I) ( I 2) (4 -1)=(0 0), deunde 5 2 + a2 -1 - 4 + aJ I I 0 0 1

!3a

1 + a 2 +4a3 = 0 - a 1 +2a 2 - a 3 = 0

sa, -a2 + a3 = 0

Deoarece v~, v1, v3 sum Jiniar independenti rezulta di v2 nu se poatc scrie ca o combinatie liniarr1 a vectorilor v ~ i v . 1 3

2a 1 -4a~+a3 = 0

.

Ran"u l matri-;ei este trei ~i egaI cu numaml de necunoscute, prin urmare sisten1ul este compatibi l d~te~ninat, dcci ~drmtc nun;i solu tia banala: a 1 = o.2 = a 3 = 0. Conform definitiei 4, rezulta ca vcctoru A~, A2, A3 sunt hmar mdcpendenp.

3. S1i se studicze natura urmatoarelor multimi de vectori din spa!iile liniare indicate: a) {v1 , vz, v3} din spatiul Jiniar (R2, R), uude v 1 = (-2,-1 ), v2 = (2,3), v3 = (I ,- 1); b) {v~, v2} din spatiul liniar (Rl, R), undc v1 = (3,-1, 1), v1 = (·1,2,4); c) {v~, v2, v3, v,} diu spa!ittlliniar (R', R), unde v1 = ( I,-1,1,0), v~ = (·1,0,2,3), ~·3 = (2,1 ,0,- l ), v, = (0,3,1,-1). Rezolvarc: a) Fie a~, az, a.3 e R astfel incitt a1v1 + a1v1 + a3v3 = 0. Rezulta: aJ(-2,- 1) + a~(2,3)+ a 3(1,-1) = (0,0) ~i se obtine sistcnml liniar omogen: { - 2a 1 + 2a 2 + a 3 = 0 . . . (- 2 > 1) ; matncea sJstcnmluJ cste A = - a1+3a2 -a3=0 -1 3 - 1

rang A= 2 < numaml de necunoscute, prin um1are sistemul cste compatibi lnedctcmJinat, deci ad mite §i soht!ii nebanale. Prin unnare, cx ista scalarii a.~, a1, a3 e R, nu loti nu li, astfel incfn (1.1v1+ a.1 v1 + a 3v3 = 0. Conform dcfiniliei 2, rezu ltii cii multi mea {vi> v2, v3) este liniar depcndenta.

!

:

b) Fie a1,a2eR astfcl iucat a 1vl + a1v2 = 0. Rczultii: al(3,-l ,I) + al(-1,2,4)

~:1 ~=~ ~; 1

+

matricea sistemului cste

A=(-~ -~]

a1 + 4a2 = 0

I

=(0,0,0)

c) Fie a~, a2, aJ, a.., e R astfel incat a 1v1+ a1v2+ a 3v3 + a.v, = 0

I

a,- a

1

5

+a3

-

-

I

I

-

0

0

[

3]' '[ 2] [ 5]

-I + a , -2

'

+a

..,

3

1

~

= 0

5 0

[o],deunde JczultasistcmullituaJomogenl3at + '2a2+ a3 : - a 1 - 2a?- + a3 - 0 0 2a1 + a 2 + 4a3 = 0 0

4 1 Deoarece :etcrminantu l matricci sistemului 1:!,

= O, rczulta ca sistcmul ad mite ~~ solu!ii ncbanalc, ;~dica cxista scalarii

"' ?·

.

= 0, cu

a 1, az, a 3 E R, nu to!i _nu li.

Rczulta sistcmul liniar omogcn: {3al + 2a2 + 5a3 = 0 ; u n minor principal al sistemului csle dz -a1 -2a 2 + a 3 = 0 2a1 +a 2 + 4a.l = 0

2

I

c) Metoda 1 (folosind dctini!ia). Fie o.,. a 2 e R astfclincat a 1v1+

a1 , a3 e

=1-31 ~~ = 8 ¢ 0, pnn

unnare alcgcm a~, o.2 nccunoscutc principa lc $i a~= ?.. e R nccunoscuta sccundarfL . . , · · ' a3 - ~~., 1 · u 11·11arc de dcpcndcnta lnuara mtrc Rczolvand sJstcmul, sc obtmc: a 1 = - 3-1, az = 2~~., cu "'' e R" . p nn ' , o rclatic ' . vcctori cstc: - 3..tv1+ 2.:l.v2+ A.v4 = 0, A. E R·, sau - 3vl + 2vz+ v, = 0 .

= o.

- 2al + 2a2 - 6a3 = 0

- 3a2+3a3 =0 Dctenninantul matricci sistcmului cstc nul, prin unnarc s istcmul admi tc ~ i solu!i i ncbanalc, adic.'\ cxista a , 1 toti nuli, astfcl ca a1g1 + azg2 + aJgJ = 0. Conform dcfinitici 2, rczulta ca g~, g,, g 3 sunt liniar dcpcndcnti.

=a

Cl,v•

0 relatic de dependen1a liniara intre vcctorii sistemului cste de forma: a1v, + azvl~ a3v,

·I) A = (- 1I -42) ' A =( 4I -1) in (M (R),R). 2 '

!

Fie a 1 a 2 a 3 e I? ast fellncat a, v, + a1v3+

b)

Conform defin itiei 2, rezul11i ca {v1, v3. v.,} estc mul!Jme hm;~r dependenla.

Fie a 1, a1, aJ e R as tfcllncat a1g1 + azg2+ a31:3 = 0 ~ a 1(1- 2X) + a 1(2X- 3X2) + a 3(2- 6X + 3X2) Dupi\ idcntilicarca cocficicntilor sc obtinc sistcmulliniar omogcn a1 + 2a3 =0. a)

3] [I ] [ ~]-[OJ

=0 - a, +2a, -2a 3 = 0 2r1 1 + a , + a , =0 Dcoarece dctem1inantulmatricei sistcmului 6 = - I # 0, rezulta dl sistcmul admite numai solu!i~ banala: _ . .. . _ a 1 = a1 = C => (- 3 a ,- 2 ~~ 2 + a 3)j, + (2a 1+a 2 - a J)Ji +(-a 1- 3 a 2 - 2a 3)f, = 0.

!

Deoarece vcctmi ifi>hJ3 sunt linjar indcpendenti, rczultii cii to{i coefic ientii accstora din relati~ de mai sus sunt nuli: 3al - ?a2 + a3 =0 ,· de' I em1Ular1 · tul ma tnce · 1 · SJStemu · 1til· obpnut · este: -3 - 2 1 , prin urmarc sistemul admi tc 2a1 +a 2 -a3 = 0 t!.= 2 1 -I =0 -a1 -3a2-2a3 =0 -1 -3 - 2

~ i solu!ii nebanale, dcci ex ista a., a2, aJ e R, m1 toti nuli, astfel ca a 1g1, a,g2, a 3g4 = 0. Rezultii eli vectorii {gJ, g2, g4} sunt liniar dcpendenJi.

b) (g l, g2, g3, g4} include mu ltimea liniar depcndcntii {gJ, g2, g 4},prin unnarci, confom1 propozi!ici 3, rezulta ca multimea {gJ. g2, g3, g4} este liniar dependenlii. c) Fie a, , a2, a, eRa.I. a,g2 + a.zg3 + => (- 2 a ,- a,+ ft J)/. +(a ,+ 3az - a3)ji+ (-3a ,- 2a 2 - 2a 3)f, = 0. Cum vectorii Ji, fl, jj SUJll hniar indcpcndent i, rczulta crt toti coclic JentiJ accstora dm Jel~tia de mai sus s.mt nuli: - 2a1 -a 2 + a 3 =0 . , . . _2 _1 1 , detcmltnantul m~lllCCJ SJstemu lut cste , plin um1aJc sistcrm.l admitc a,+3a, - a,=O 6= 1 3 -1 = 18>'0 -3a, -2a 2 - 2a,=O - 3 - 2- 2

!

numai solutia ban ala:

a, = a2 = a3 = 0. Rczultli ca vcctorii g2, g 3, g 4 sunt liniar independenti.

1. Sc cons ider~ vectorii 11, = (-2,-4,2), v1. = (I ,3,-2), v3 = (3,6,-3) din sp~tiul li ni ar (R3, R).

b) Sa sc determine o rclatie de depcndentft Jini~ra intre 111 11, "' po~tc scric c;t o c~J~bin.atie Jiniara a celorlalti. R: b)311 1 +2113 =0:c) 111 ~i 113: v -Ov 2v · 3 · · · 1- 2-3 3'113 = - :; 111 + 0 v 2 c) Sa se precizczc care di.ntre vectori se

2. a) Sa sea rate ca vectorii v , = (-2,-3,.1 ), 112 = (-2 ,5, I), ~'J = (2,-1, I) din spatiullini ar (Rl, R) sunt liniar indcpendenti. b) Sa se prec1zezc care dmtre vecton se poatc scrie ca o combinatie lini~ra a celorlalti. R: nici unul.

4. Sa sc s tudieze natura unnatoarclor sistemc de vectori din spatiile liniarc indicate: gl = 3-X+ X 2 , g 2 = 1+2X +3X 2 ,g3 =l-4X-5X2 din (R2[X],R); b) b, = I + 3i, b1 = 2 - i, b3 = 7- 4i din (C. R); c) f, = s im:, Ji =cos 2dn (F. R), undc F = 'J·: [0, I)-> R.fcontinua pc [0, 1]}; d) A =(2 I

1 2

- 3) A = ( 3 I ' l -2

I) A =( -1 J -4

5 '

7) in (1H2(R),R); 3

3 e) f, = e ', ji = e ·' in (F, R), undc F = (f: (0, 1]-> R.fcontinua pc [0, I]}; f) J, ':' cosx, Ji = cos 3x, jj = cos' x, in (F. R), F = {f :[0, 1) _. R.jcontinua pc [o, 1]}; R: a) l.1. ; b) J.d. ; c) l. i.; d) J.d.; e) l.i .;j) J.d.

v·:

=

d)

z 1 = 5 - 7i, =2 = I + i, in (C. R);

e)

AI=( 2 - 8)•A2 =( 10

6

0

2 )·

- 2 - 4

AJ =( 2 -G) in (M2(R),R). 8

2

R: a) l. i.; b) I.d.: 15 a 1 - a,+ 15 a 3 = 0: c) l.i.; d) l.i.: e) J.d.; A 1 + A 2 - A 3 = 0. 7. Fie spa!iul vectorial (V, K). S5 se demonstrcze dt: a) sistemu l de vcctori {x. y. O}c V es te liniar dependent; b) sistemu l de vcctori {x. y. x . z} c V cste lin iar dependent; ') sistcmu l de vectori {a+ c, b + c, a + b + 2c}c V cstc Jiniar dependent. R: a) sc arata ca sc poatc scric o rda!ie de dependen!ii liniara intre vectori (de cxcmplu, 0 · x + 0 · y +a· 0 = 0, cu a e K, a '* Ox); b) a· x + 0 · y- a· x + 0 ·::: = 0. cu a e K, a ;r.. Ox. 8. Discutati natura sistcmelor de vcctori din spatii lc liniar~ indicat~, in functie de va lorile paramctm lui rea l m: 3 a) Xt = (1,1,3),x: = (1, m, l ),x; = (3, 1, 1), in (R , R); 3 b) x 1 = (3,2,0), x2 = (2,0, m), x 3 =(I, m,O), In (R . R); 3 c) u, = (3,2, m), a2 = (2, m,3), 113 = (m,3,2), in (R , R); 4 d) x 1 = (4, - m, -1 ,2), Xz = (2,0, -I , m), X;= (m, -2, m,1), in (R . R). R: a) l.i. pcntru meR \ { 112}: l.d. pentru m e{ l /2}; b) l. i. pcntru meR\ {0,2/3}; J.d. pcntru m e{O, 213}; c) l.i. pentnt m e R \ {-5l ; J.d. pen1111 m e {-5}.

I 0. in spatiul vectorial ( V, R) sc considera vectorii liniar indcpendenti a. b. c. Sa sc dctcm1inc n~tura sistemclor de vectori: a) {-2a- c. b + c, 3a T2b - c}; b) {- a -2b, 4a + 2b+c, a +b -2c}. 3 11. In spati ulliniar (R. . R.) sc considcra vcctorii: v1 = (2. -I, 4), 1•2 = (3 . 2, 1), VJ =(I, 3, -2), IIJ = (5, 8, -2), r 5= (0, 0, 0), v6 = 411J - 2v•. Stabiliti natura unni\toarclor sistcmc de vcctori ~i at1mci c5nd cstc posibil, detcrminati o rclatic de dcpcndenta lini~ra intre vectori: a){t•,. v2• v3 }; b){''" v3 • v4 }; c){ v1 ,v3 }; d){v~o v1 , v3 , v4 }; e){v3, v4 , v6 }; j){v;, "•· v5 } R: a) l.i.; b) J.d.; c) l.i.; d) l.d.: e) J.d.; j) J.d ..

a) Sa se amte ca vcctom v,, v2, v3 sunt IJ111ar dcpcnden(i.

a)

6. Sa sc ccrcetczc natura urmi"itoarelor sistcme de vcctori din spatii le vectoriale indicate, iar in caz de dependenta liniara sa se scrie o rclatie de dependentii liniara intre vectori: a) v, =I, Vz = sinx, V} = sin 2x.ln (F. R), undc F= [O,IJ-> R,jcontinuapc[O, I]) ; b) a t = cos2x, a, = 15, a3 = sin 2 x. in (F.! R,fcont inua pc [0, I)}, 11 e N•

d) Jj = i', Ji = e~'. f, = ch,.. .. , j;, = e"' din (F, R), undc F = 'J·: [0,1]-> R,jcontinua pe [0,1)}, n e N•. R: a) l.i. dacii 111 E R \ {2- 2n. 2}; J.d. d:lctt me {2- 2n, 2}: b) l.i.; c) l.i.; d) l.i ..

:\1/atematici aplicate fn economie- culegere de probleme

22

2.3. SISTEM DE GENERATORI AI UNUI SPATIU LlNIAR. BAZA A UNUI SPATJU LINIAR. COORDONATELE UNUI VECTOR INTR-UN REPER DAT BREVIAR TEORETJC Ocfini(ia 1. Fie (V,!..') un spatiu liniar. 0 fam ilic de vee tori G= {••;};, 1 cV se nume~te sistem de generatori ai sprifiului liniar V daca orice vector din V se poate scrie ca o comb inatie liniara cu vectori dinG, adica: 'live V, 3(cr,);dc K astfel incfit v =La,, Propozifia l. Fie (V,!..') un spatiu liniar ~i familiile de vee tori G,li. astfe l incat GcH c V. Daca G este sistcm de generatori ai spa!iului liniar V. anmci H este sistem de genera tori ai spatiului liniar V. Propozi(ia 2. Fie (V,K) till spatiu liniar, familia de vectori GcV ~i ve G. Daca G este sistcm de generatori ai spa(iului liniar V §i vectorul v estc o combinatie liniara a veetorilor dinG, atunei G \ (v) estc sistem de gcneratori ai spafiului liniar V,

Spa[ii vectoriale

PROBLEME REZOLVATE 1. Se eonsideri'i vectorii g 1 = (1,3,-2), g~ = (-1, 1, 1), g 3 = (-2,2,- 1), g.= (1,?, 1) din spajiul liniar(R , R) ~i multimea G ={g, g;, g 3, g.}. Sa se ;uate eli G cste sistem de gencratori ai spa(iului liniar tR', R). 3

Rczolvan!: G estc sistem de gcner;~tori ai spa\ iului liniar (R 3, R) daea 'd v eR 3, 3 a,,a~.(-J)]T n!

(3)

Matematici aplicate In economie • cu/egere de probleme

26

6. Seconsideramultimeadevectori

G={ A,=(~:} =C ~} A2

A3

= (~ ~}

Spa{ii vectoriale

A4

=C

~)}

din spatiu l lin iar (M2(R), R). a) Sa sc arate ca G este reper al spatiului liniar (lvh(R), R).

b)

Sa se detennine coordonatele vectoru lui A=(: :) in repeaul G.

Rczolvare: a) Yom veri fica doua conditii: 1) Fie A= [[Aa]u [A~Ju [A>la [A.}r;} matricea avand pe coloane coordonatele vectorilor multimii B in repent! G. Avem: l

2

l

= dim/vh(R).

Diu I) §i 2) rezulta dr B este reper al spatiului liniar (M2(R), R).

h) Pcll!nt gasirca coordonatelor, vom detenni.na scalarii a., a~, a 3, a.; e R astfcl incat v= o. 1A 1 + o.:A 1 + ay1 3 + a.vl •. Sc obtinc: + + G< 1 +a, ; l a, + 2a, +a, + a, e l l ( l l l l ]' =>a, ; a 2 ;a 1 = a,=-=>[vJ. = - - - : a , + a, + 2a, +a, e l 5 5 5 ) 5 Ct 1 + u 1 + a J + 2a,. =I

!2a, rt,

,_ ;, ,,,..

Oeoarecc dim R 3 = 3, rezulta di numaru l maxim de baze ce se pot lonna cu vectori i din acest s istem este

c34

Notlim cu ~;,,., detcnninantul avfind pe coloane coordonatelc vectorilor ai, ak. a1 in rcpcrul canonic al spa1iului liniar (R 3, R). Avem Ll.tzl ;[g 2 ]F "" [4 0 - l gl=O·/,+(- I)·/2 + 0·/3 +(-6)-/4 ~(gJF = (0 -1

7

Of ; 0

- 6f;

g4 =l·J;+2·/2 +3·/3 + 0·f~~[g 4 ]F=[I 2 3 Of.Rezulta:

C/o',(; = [ (g,

t.

(gl )F (g3)F (g, ]f. )=r-: _

-5

~ i]·

-2/5 -4/5 3

-3 7

In concluzie, CF.E

[ - 1/5 2/5

=-

I

~i G

doua repere ale spatiului vectorial (R 3, R)

~i

[

0

A= - 1

-

2

= {fi = (1,0,-1), h

2

1

I

lmatricea de trecerc de Ia rcpeml F 3

0

I

= (-2,0, I ),jj = (I ,1,-1 )} , sa se detenninc vectorii repcmlui G.

Rezolvarc: Conform definitiei, prima coloana a matricei A reprezinta coordonatelc vcetomlui gt in repeml F:

l~ ''· , ), -n J~ , .

o·/, +(-t) · h

+ '· h

(-2)·/· • •. h

Rezulta ca repcml cste: G

= {g,

• [ _:] . ""'''' """'

· O·IJ

-r-n ,,,), ·[: J~ .....; .,.

h ••. h ·[-:

1

= (4,2,-3)', g2 = (-4,0,3)', g 3 = (-4,1,1)'}.

Sc eonsidcra mmatoarele multimi de vectoti din spatiulliniar (R 3, R): = (3,- l , l), jj = (1,1,- l)} ~ i G = {g, = (2,1,0), g2 = (0,- l , l),g3 = (1,1,0)}. a) Sfi se aratc ca F §i G sunt baze ale spatiului lin iar (R 3, R). b) Sa sc determine matricea de trecere de Ia repent! G Ia repeml F ~j matricca de trccere de Ia reperul F Ia reperul G. c) Fie x un vector din spatiul liniar (R 3, R) . $tiind ca xr = (4,-2,1), sa se dctenni ne xa. d) Sa se exprime vectorul y = -3g, +2g2- g3 d in spatiullin iar (R3 , R) in repent! F §i In reperul canonical spatiulu i li niar (R3, R). e) Sa se determine legatura intre coordonatele unui vector d in spa\iul liniar (R\ R) In reperele F ~i G. 4.

F=

Vi =(-2, 1,1), h

Rezolvare: a) Notam cu A matricea aviind pe coloane coordonate le vectorilor lui F in rcpeml canonical spatiu lui liniar (R\ R).

-:

- 2

dct A =

0 -6 0

2. Fie E = {e., e2 , e3 } ~i F ={fi./2,,13} doua repere :tie unui spa\iuliniar. $tiind ca jj = -2e1 + e3 , sa sc determine matricca de trecere de Ia repent! F Ia rcpcm l £.

-I

Ia rcpetul G. $tiind ci\ F

J1 = 3e, +2ez + eJ, h

= e, - e1 + 2e;

Rczo lvare: Obscrvfun ca pc baza informat iilor din cnunt se poatc dctcnnina foartc u~or matricca de trcccrc de Ia rcpcrul E Ia rcpcrul F, notata Cr..F Din J1 = 3e, +2e2 + e3 , conform defin i!ici matricci de trcccrc, rczulta ca (fi) £ = (3 2 I); [ 3 - ~ Analog sc obtinc: [h)li = [I -I 2); (h)r. = [-2 0 I] , dcci cf.,F= [(f,Je (f,Jc Udr.l= 2 - 1 2

l1

I

3 - I I

~i

I

I

0 0 - 1/5 -2/5 I

B ''A

2. Sa sc aratc ca 8 cste rcpcr al spat iului liniar (V, K) ~i sa se determine coordonatcle vcctotului v in repcrul B:

v

A

3

Formula de transformare a coordonatelor unui vector xeR" Ia trecerea de Ia reperul F Ia repeml G este: XG = B ·'A · XF Calculi'tm matricea 8'. 1A folosind metoda Gauss-Jordan. B A I

(V,K)=(M 2 (R),R);v =

Metoda Jl. Din formula de rcprczcnlare a unui vector intr-un reper dat, avem ca [v]8 = A'1 · v, unde v8 este matricea coordonatclor lui v in baza B, iar A este mahicea avand pe coloane vectorii bazei. Folosind metoda Gauss-Jordan, se obtine:

Rezolvare: Consideram un vector xe R2• Fie XF = (x~, x2) ~i xG = (y,, y 2) eoordonatele vectorului x in cele doua repcrc. Notlim cu A matricca de trccere de Ia reperul canonic Ia repeml F (matricca avilnd pe coloane vcctorii din repcrul F) B matricea de trecere de Ia repe1ul canonic Ia rcperul G.

I

(I121)},

2a,+a,-a, = 5

5. Sa se determine formulelc de transfonnarc a coordonatelor unui vector din spatiulliniar (R 2, R) Ia trccerca de Ia repent! F Ia repcml G, daca F = {fi = (1,-1), .h = (-3,1 )} ~i G = {g, = (2,1), g2 = (I,-!)}.

2

,A4 =

Prin unnare coordonatele vectoJ.Ului v in repeml B sunt: 3, I, 2. Matricea coordonatelor vectorului v in repen1 l B estc [ v]8 = [3 I 2],. sau

repere. Aplicand fonnula -"G = CF~G ·xF = Ca,F ·xF ob(inem: + 3a, + a3 a2 => P2 = al + a2 - ~3 a3 P3 = 6a1 - 3a2 - a3

,A =

-a, +a 2 +2a 3 = 2

-11- _\ 11]·

3

11

Detenuinam coordonatele vectomlui v in repent! B. Metoda I. Coordonatelc vcctontlui v in repe1ul B sunt scalarii a., a 2, a 3 E R Rezulta sistemul ( 3a ,- 2a,- 4a, =- I, cu solutia a1 = 3, a,= 1, aJ = 2.

29

Pen tnt a cxprima vcetorul y in repcrul canonic E, vom folosi fapn1l ca 2 deci )'E = ( 11, -6, 0) [ 3] [ I] [ - ] y= -3/. +2/l-h = -3 · : +2· = -: [

l=r-4 1][al l lp, =-4a,

(' 2) 3 ('21I)

cu nwuaml de vectori, deci Beste sistem de vectori liniar independent; 2) card 8 "' 3 = dim R3• Din 1) ~i 2) rezulta caB este reper al spatiului Jiniar (R 3 , R). Observa{ie. Se poate arata caB cstc reper folosind ~i delinitia 2.

d) y = -3gl +2g,- gJ :=) )'(; "' (-3,2,-J)'. PentJ.U a exprima vectontl y in repent! G vom folosi fonnula YG = CT.~G . y F

/31

,A2=

Rezolvare: a) Confo1m propozitiei .1, avem de verificat doua conditi i: I) 8 cste sistcm de vee tori lin iar independent; 2) mnnaml vectorilor din mul!imea 8 = dimensiunea spatiului din care fac parte vectorii. 1) Avem ca 3 - 2 - 4 , prin urmare rangulmatricci formate cu componentele vee tori lor este 3 ~i este ega!

(-21] I .

I

(2II1)

c) B = { A1=

- I

I -

0

37

-2

OJ I 0 I 0 0 I

-4 2

-I 2

-1

5

0 2

3

-3

3 3

2

0 2

0

r-31

0 I 0

0 0

5 -6

3 1 2

I

Prin urmarc, [v]8

= [3

I 2]T

cu

PROBLEME PROPUSE

l . in spatiul liniar al polinoamelor de grad eel mult 3 ~i cocficienti rcali (R3 (X],R) se consider reperele = l ,.h = X, h = X 2, j. =X3} ~i G = {g1 = 1-2X+X1-4X,g2 = 3X - X2 ,g_~ = 2 - X + 8X, g4 = 3 -2X+ X 2 }

F = {/i

R:S:.se r .G

:e[:~m~e :~lr!:la de trecere de Ia reperul I - l

-4

0

0

l

&

0

F Ia reperul G.

. 2. Fie E ={e1, e2, eJ} ~ i F ={fi,,h,.Ji} doua repere a le unui s patiu liniar. Stiind caji = -e1 -2e1 + 3eJ, ji = 3e. +2e• - e3 ~· fi = e2 + 4eJ, sa se dctem1ine: a) matricca de trccerc de Ia repent! E Ia rcperul F; b) matricca de trecere de Ia repent! F Ia repeml E.

Matematici aplicare fn economie- culegere de problcme

38

[-1 3 Ol;b)

R:a)

Cer ((/,)£ ([,)£([,),) • -: _:

;

[~

-~

CF,£ • (C£.F)_ , •

3. Fie F ~i G dou1i repereale spatiului liniar (R 3, R) ~i .

_ 1_

-;

il

~

=

-I I

0

I

3

I

BREVIAR T EORETIC

=

4. Se considera um1atoarele multimi de vectori din spa!iul liniar (Rl, R): F = {fi = (-3,2,1),./i = (1,-3,l),jj = (1,1,-1 )}, G = {g 1 = (- 1,2,0),g 2 = (0,-1 ,2),g3 = (2,9,-1 )}. a) Sa se arate cii F ~i G sum baze ale spatiului liniar (R', R). b) Sa se detem1ine matricele de trecere de Ia reperul F Ia reperul G ~i respectiv de Ia G Ia F. c) Fie x un vector din spa~ulliniar (R3, R). $tiind ca XG = (2,3 ,-4), sa se detenninc -"F· d) Sa se exprime vectorul y = 2/i- 3h + jj in reperu l G ~ i in reperul canonical spa1iului liniar (R 1, R). e) Sa se determine formulele de transfonnare a coordonatclor wmi vector din spatiu l liniar (R 3, R) Ia trecerea de Ia rcpcrul G Ia reperul F.

R: b) CF,G

l;

3

[-t

J; Ca.F = t -f4!4

0

t

= 2

l

3

2

-f4]. I

-(II ' 12' 12).' d''/ XF-

y (j = (-ll ll -.!1) . 7 ' 7 ' 7 '

14

_!

...L

.2..

7

14

14

2

'

c'-/

e) Fie xc = (a~, a,, a,) ~i xr = (/3~, /h, P,) '; atunci 1

a 1 + 3a2 p,- =1a + 3a2 + l a. 2 1 2 .) 1=

G doua repere ale spa!iului lin iar (R2[XJ,R) $i

repcml G. Stiind ca G = {g1

R: Ca,F={a, -_0

d. CCI

.

_

u(J,)=U

[

-1

I] =( 3

2

-I

)=a,g, +a,g,

0

0 Rezu lta ca

AF,G =

[

-7 -3

0

[OJ,e =[0]. 0

=1 0

2

I

deci rnatricea asociatil. operatorului liniar in bazele canonice este

0

()

u(J.)G- o

U(x)=A'x=( 3

-2

0 - 1 -1 -5

-

a,= - 7' deci U(h)a= (-

- a,=7

l

U(e2)G =(- 2,-t)', U(e3)G = (0,-5)',

[ 3

- 1 -1

-5

b) Folosind rezultatul obtinut Ia punctul precedent, obtinern

0

3] ) { { [~ =(-2)=a,g, +a,g, =a{ 2)+a,C => 2a, + a , =-2=> a, =12 7

uv,)=u

e1

deci matricea operatorului corespunzlitoare bazelor

Metoda I. Folosim defin i!ia 2 din brcviarul tcorctic. 0

[I}

=0

,

A= - 2 0 -I )=a,g, + a,g, = a1(

e1

4. Se considera spatiile liniare (R 3, R) ~i (R 2, R) ~i fie E = {e,, e 2, e1 ), G = {g1, g 2 ) bazele lor canonicc. Fie U operatorulliniar U: R3 -> R', detlnit prin: U (et) = 3g1 - g 2, U (e2) = -2g1 - g 2, U (e3) = - 5g2• Sa se dctennine: a) matricea asociata operatorului liniar mbazele canonice ale spaJiilor liniare (R 3, R) ~i (R2 , R); b) reprezentarea operatorului in bazele canon ice ale spatiilor liniare (R 3, R) ~i (R2 , R); c) matricea asociata operatorului in bazele F = {- e 1 + 2e2, e 2 - 3e3, 4e 1 + e 1} ~i G = {g1, g 2} d) matricea asociatii operatorului in bazele F = {-e1 + 2e 2, e2 - 3e1 , 4e1 + e3 ) ~i H = {3g1 - g 2, - g 1 + 2g2 }.

Rezolvare: 3 2 a) Fie A matricea operatontlui corespunzlitoare bazelor canonice ale spatiilor (R , R) ~i (R , R) Yom folosi fom1ula de reprezentare a operatorului In bazele canonice ale spatiilor R 1 ~i R2: U (x) =A' · x

I

3

-x, +x 2 +x1

(l,-2)',g2

-1 -2) ·

4]

U(g 1 )= -5 =4e 1 -Se2 +6e3 6

a) matricea operatorului corespunzatoare bazelor canonice ale spatiilor liniare (R 3, R) ~i (R 2 , R); b) rnatricea operatontlui corespunzatoare bazelor F = {fi = (1,-1,2)',./i = (3,0,1)',./i = (1,2,-1)'} ~i G = {g1 = = (0,1)') .

Cum U(x) = (3x1 - x2- 2x3) = ( 3 - x1 + x 2 + x3 -I

2 .g,

0

( ) U 0 R' = 3

R

X'] ·Sil. se determine matricea operatomlui

2 x, + 2x1 -3x, -3x1 +4x2

• -[-

)

U.R 2 ~R ,U(x)-

5CC{a,a , =_ 3' deci U(h)a =(-63) 2a, + a, - 0 -6

U(Jj)G = (-7,- 3Y, U(f2 )G = (- 2,14)I, U(j3)G = (12,- 9)'. in bazele F

~n

~i

G este:

[-

gJ =-7g 1 -3g 2 ~i analog

Prin unnare, rnatricea asociata operatorului liniar

7 -3]

B = -2

14

12

- 9

d) Fie C matricea asociata operatontlui liniar in bazelc F ~i H. Avern: U (fi) = -7g1 - 3g,, U (fi) = -2g1 + 14g2 , U (fj) .. 12g,- 9g,. Trebuie sa detenninam coordonatele vectorilor U (fi), U (fi), U (fj) in baza H.

Metoda II. Folosind formula de transfonnarc a rnatricei unui operator liniar Ia schimbarca baze lor in care se reprezint~

avem di: A~, G = D - l . At . C, unde C estc matricca dl! trecere de Ia baza canonica a spatiului liniar F, iar D cstc matricea de trecere de Ia baza canonica a spatiului liniar (R\ R) Ia baza G. Avem:

(

2

6

(

Pentru aceasta, vom aplica metoda eliminarii complete.

R) Ia baza

Baza

1 3 1) ~i

C = -1

-3) ~i rc21tlta

(R 3,

0

g, g, h,

2

I - 1

o

Af·.c= - 7

g,

IT!

"'

0 I

I 0

Prin urmarc,

C=

h,

L:,W 2 1 0

ht

-3

h, 3 -I -3

(

-¥2 3

ur r)

VI II

-!fl 8 -3

·U(f,) -7 -3 7 -17 -16/5 -17/5

U(fi) -2 14 2 10

U(fj) 12

8

-3 3

2

-9 -12 15

= (-.!1 _.!.2)' >U(f) = (2 >8)' >U(f) = (3 >-3)', de undc rczulta matricca S > S 2 If 3 If

Operatori liniari

J'v!atematici aplicate In economie - culegere de prob/eme

42

5. Considcram spa1iul vectorial (if, R) ~i fie E = {er, e2) baza canonica a acestui spaJiu. Notiim cu U operatomlliniar U: R2 -+ R3 , definit prin: U(er) = (-1,2,-3)' ,U(e2 ) = (2,-3,4)'. Sa se determine: a) matricea asociata operatorului liniar in bazele canon ice; 2 3 b) rcprezentarea operatonrlui in bazclc canonice ale spatiilor liniare (R , R) ~i (R , R). Rezolvare: 3 a) Daca notam cu G = {g~,g2, g 3) baza canonica a spaJiului (R , R), rezulta cil. U(er)o = (-' 1,2,-3)' ,U(e2 ) 0 = (2,-3,4)', de unde obJincm matricea operatorului in bazelc canonice:

A=( -12

2 -3

PROB LEME PROl' US E 1. Sa sc determine care din urmatoarclc apl icatii definc~tc un operator liniar:

a) U :R3 --7 R1 ,

b) Folosind rezultatul de Ia punctul precedent, obtincm: U(.~)

= A'x =

[-I

2 2 - 3 -3 4

J::~)~ U(x) =(

1

-x, + 2x ] . :x1 -3x, - ~x +4x1

gJ

bazelc canonice este:

0

2

2

-3 0

A= [ - 1

1

defi nc~tc

un operator liniar. 2 .

,

• - [

0

0

x3

7. Se consideril. opcratorii liniari

3.

2

hj

A

3

F ,G

Sc considcra opcratoml liniar

+3x2

U : RJ

~ R2 ,

2

+ X2.- 3xJ ) x.1 + 3x 2 -x3

3

a) (U+V)(x)=U(x) + V(x)=(x,_+ x

l lJ

2

_ )·

- x 1 +4x2) (2(-x1 +4x2)-(3x, - 5x2) ) ( -5x, + 3x2) = . ( 3x - 5x -(-x1 + 4x2) + 3(3xl - :>x2) l0xt-19x2 1 2 b) Me10dal. Folosind rezultatul ob1inut Ia punctul a), rczulta:

=

_

=G -~) ~i Au.v =C: _:~)~i

=

= {e., c2.), undc

~0

2 4. Se consider\\ spa!iilc liniarc (R , R) ~i (R • R) ~i fie E = {e 1• c 2, c 3}. G ={g., g2 ] bazclc lor canonice. Notam cu U opcratomllin iar U: R 3 ~ R' , dellnit prin: U(e 1) =- g 1 + 2g2, U(c 2) = 2g1 - 3g 2, U(e3) = 2gr. Sa se an e: a) matticca asociata opermorul ui lin iar In bazele cauonice; b) rcprczcntarca operatorulu i In bazele canonice ale spaJiilor liniarc (R3 , R) ~ i (R2 , R); c) matricca asociata opcratom lui liniar in bazelc F = {2e1 + 3e2, 3e 1 - 2e3, e 1 + e2} ~i G = {g., g 2 }; d) malricca asoc iati\ operatomlui liniarin bazelc F = {c1 - 3c 2, 2e 2 .- 3el. e 1 -2e>} ~i H = {gr- 2g2 , -2g1 + g,}. 2

- • R3, de!imt pnn: U(er)

2x, - 2x 2

Metoda II. Fara a calcula U + V

Ac,E

~i E

5. Fie Sl~a{iul vectoria l (RJ. R) ~i fie E = {er. ez. e, ) baza canon ic a a accstu i spa! iu. Notam cu U opcratoru ll iniar U: R' ~ - 3e, + ez, U(ez)- - e 1 + 2ez. U(e3) = e 1• Sa se determi ne: a) matricea asociata operatorului !in iar In bncle canonice; b) rcprezcntarca opera tom lui In baza canonidi a spatiu lui liniar (R~. R).

Rezolvare:

U;

- .t.·, + 2x~ = y, ; 3 x e R3 astfel inc:it U(x) = y daca ~i numai dadi sistcmul estc compatibil; dcteminantul 3x1 + x 3 = y,

[ Pentm a determ ina dirnKcrU, trebuie sa gasim un sistcm de genera tori ai spatiului dirnKerU, care sa fie liniar independent ~ - ~=~ . Avem: x e Ker U=>x = (O,a,a)' = a(O,I, I)'. - I 0 . 2 , dect U smjcctiv. Fie g 1 = (0, I ,!)'; {g1} este sistem de gencratori pentm spatiul KerU ~i sistcm de vectori liniar independent, deci fom1eaz.i sistemului 3 3 3 l ;t0=:>3xeR :U(x)=y,"tyeR =>ImU = R !!.= 3 0 o baz.'l a accstui spatiu, prin urmare dim KerU = I. -I b) lmaginca operatorului este multimea lmU = {y e R' I 3 x e R 3 a.l. U (x) = y}. 0 ImU= {(2x~,Or•1 -x3 ,- x 1 )'/.~ 1 , x2 -x 3 e R}={x 1(2,0,0,-l )'+(xz- XJ)(O,O, I ,O)'Ix" X2· XJ eR} = {a(2,0,0,-l )'+b(O,O, I ,O)'a,b eR ~ b) Deoarece U cstc injeetiv ~i smjectiv, rczulta di U este bijectiv, deci inversabil. Determinam Dcterminam dimlmU. Fie g 1 = (2,0,0,-1)' ~i g 2 = (0,0,1,0)'; {g1, g 1 } cste sistcm de vectori liniar independent ~i sistem ell genera tori pentru spatiul JmU, dcci formeaza o baza a accstui spa!iu; rczulta dimlmU = 2. = -y,+2~, +2y, - x , + 2x1 = Yl -7 I 7 2 7

{x,

2.

[-I

Fie A=

5 3 - 4

3lmatricea asociata unui operator liniar U: R1-+ RJ 2

-2 - 3 Sa se detc1mine: a) KerU; b) lmU; c) dimKerU; d) dimlmU. Rezolvarc:

a)

KerU = ~ e R' IU(x) =

ol U(x) = 0 => A'x =0 => ~- I 11 =

3 - ~ 5 - 4 I

3

5x1 - 4x2 + x,. =_0 3x1 + 2x, - 3.\ 3 - 0

-~-1

d >-

31 ~ 5-4

=0

; a legem minoml principal

2 -3

O~i rczulta solutia sistcmului: lxl = fio x2 =.2..o x3

II =a

'

aeR

¢::>

{

3x. + ~-.:.3_= y2 ~

Xz

= Jr,+~:+.vJ

X2 - x3 - Y 3

X3

=

Jy, +y, - 6 y' 7 .

PROBLEI\IE PROPUSE

~- x, + 3x2 - 2x3 = 0

. detem inantul matricei sistcmului cste

U(x) = y

, dec i Kf!l·U ={(2.lt 0 '

b) Daca x e Ker U, atunci x =(Sail I , 9all l, I)' =a (5111, 9111, I)', a E R Fie g 1 = (Sill, 9111, 1)'; {g1} este sistem de gcneratori pcntm spa1iul KerU ~i sistcm de vcctori liniar independent, dcci formcaza o baza a accstui spatiu; prin urmarc, dimKerU = I.

I. Fie operatorulliniar U: R3 -+ R3 . Sa se afle KerU, JmU, dimKerU, dimlmU daca: U(x) = (x,,xl+ XJ,Xt + x2 + x3)'; b) U(x) = ~t2. x,,x3)'; c) U(x) = (2x, - x2+x3,0,x1 +x2 -2x3)'. Ker U = {(0,-a,a)' I a e R}; dimKerU = I; lmU = {(a,[J. a+fJ)' I a, fJ e R}; dimfmU = 2;

a) R: a) b) c)

KerU = {0}; dimKer U = 0; lmU = R3: dimlmU = 3; Ker U = {(a l3,5a 13,a)' I a e R}; dimKerU = I; JmU = {(a,O,/])' I a , /} e R}; dimlmU = 2.

2. Se considcra operatorul liniar U: R3 -4 R3• Jn fiecare din cazurile a) , b), c) se cere:

I) sll sc studiczc injcctivitatca §i surjcctivitatea opcratorului U. 2) s!l sc studiczc daca operatorul cste inversabil ~i in caz afirmativ sa sc calculczc in versa. a) U (x) = (3x•+ 4x2+ XJ, x 1 - 2x2 + 2x3, x 1 + x 3 )'; b) U ~~) = (x 1+ 2r2+ X), x 1 + 3x2 + 2x 3,- x1 - 2x2)'; c) U (x) = (2x,- x2+ 2x3, - x 1 + 3x2 + 2\3, - x 1 + x 1)'. R : a) nu cstc injcctiv, nu cstc surjcctiv; b) cstc bijcctiv;

4xl -2x2 +x3]; c) estebijcctiv; -t l-xl 1(x) = (-2x1+ xz - x3 u (x)= -xt

_ U

XI

+X3

u·':

2 3 'x+ x+2x] ~ u-•cx) = txl + tx~ +txJ [ 3 6 7 .x·+ I 7' x2 --::; x 3

-4x3j

+x2 +x2 -3x3 t

Xt

- 2x2

+2x3 5

Matematici aplicate fn economie - culegere de probleme

46

Operatori liniari

3.3. VECTOR I PROPRII ~~ V ALORI PROPRII

Pentru 2 3 = 3 ob!incm [ 1

BREVIAR TEORETIC

~x3 =a, x2 =a, x1

Dcfini(ia 1. Fie (X. K) un spajiu vectorial ~i U: X--+ Y un operator liniar cu reprezentarca U(x) =A ·x. Vectorul x eX, x ;f 0 sc num~tc vectorpropriu al opcratorului U dadi cxista A. e K astfel incat U(x) = ..1x; in acest caz, ..t se nume~te valoare proprie a operatorului U ~i se spune ca x este vector propriu corespzmzcitor valorii proprii 2.

3 - 4_

Ix']

'

0

3 "''

0

[x'llx, + 3x,- 4_x, = 3:'•

x1 = 3· x,

0 - 2

47

:=>

- 2x, +)x, =.>x, =>

x,

3x, =3x,

=-%,aeR\{0}·

Prin umtare, mu lti mea vectorilor prop1ii corespunzatori valorii proprii

},3

=3

estc:

~ = {(-t ,a,a)' 1a E

R \ {0} } .

'v R} . . 2 ,a,a) 1ae

Subspatiul propriu corcspunzator valorii proprii este: X _ { ( a 3-

Definitia 2. Fie (X. K) un spa(iu vectorial, U: X-> Y un operator liniar ~i i1. o valoare proprie a operatorului U. Mul(imea X), = {x e X 1 U(x) = J.x} se nume§te subspafiul propriu asocial valorii proprii )..

3

2. Fie U: R

--+

-

R3 un operator liniar care are matricea corespunZx3

Ix

1

·'2

]

= - 2·

x3

=I

estc:

VI

v1 = ta,O,OYI a e R\ {o}}.

= ta,b,2b-a)' I a,b E R,a 2

13 -24 [ 10 =t? 6

- 2xz +5x3 = - 2x 2 => 3x3

x3

=0, x 2 =a, x 1 =-a, aeR\{0}.

Prin unnarc multimca vcctorilor proprii corcspunzatori valorii proprii Subspatiul propriu corcspunzator valorii proprii i1.2 = -2 cstc: X _ 2

~

0.

+ b2

"' o}.

=

t-

cstc:

Y

v_ 2 =

a, a,O I a e R}.

12

12 Ix' ] [x'lll3x,-24x1 + 12x3 =-x, ll4x1 - 24x2 +12x,=O 17x, -12x, +6x,=0 10 x1 = - 1· ~' ~ IO.x,- 1 9.x,+ l 0x3 ~-x2 ~ l0.~, =18.t:2 +10x3 :0=> 5x,. - 9.x, +5x,:O~ 7 x, x3 6x,-12.,,+ 7x3 --.tJ 6.\ 1 12.\ 1 + Sx,-0 3.t 1 -6x2 + 4.\ 3 -0

=>x, = 2a, x2 =fa, x3 = a; a E R \ {0} ·

=-2x3

,{~ =-2

X, = {(a, 1>,2h - aY1a, b E R}

Pcntru 2, = -I obtinern

x 1 =ta,O,O)' 1a e R}.

[x1 l l x1 + 3x2 -4x3 = - 2xl . R,f(P,Q)

0

a) Sa sc arate c5 f cste o functionala biliniarii simetrica. b) Sa se scric matricea funqionalei In baza canonic5 a spatiului liniar (RJ(X],R). c)

S~sescricmatriceafunc!ionaleiinbaza G=~t =1 -

4. Fie aplicatia (: Rz[X] x Rz[X]

Deoarece f este o func!ionala biliniara simetrica, rezullii ca malricca A cstc simctrica in raport cu diagonal< principala, 1

-1

3X,g2 = 2 - X+X 3 ,g3 =4X - X 2 ,g4 =1} I

a 22 -1· - 4· ' a 33-3

at~ =a2 t = f(e.,e~) = l'·x'dx=O; au =a31

4

E = ~ = (0,1,1) • e2 = (1,0,1) 1 ,e3 = (1,1,2/} ~i G =

R:b)

Matriccafunqionalei finbaza E este A = (aii)i,j=l,~'unde aij = f(ei,ej),i,j = 1,3.

0

a) b) c)

f este functionalii biliniarii.

1 I 3)Fic P ,Q eR2[X) .Avcmd\ ((P,Q)= JP'(x)Q'(x)d¥= JQ'(x)P'(x)dx=f(Q,P)• 0 0 prin urmare f este functionala biliniara simctrica. b) Baza canonica a spatiului Rz[XJ este E = {e, = I, e2 = X, e.1=X 2}.

J

0

c) Sil sc scric matticea functionalei in baza G =&I = (0,1,2) 1 ,g2 = (1,3,1i ,g3 = (3,1,2) 1 }

= a JP' (x)T ' (x)dx + fJ JQ' (x)T' (x)dx = af(P, T) + /Jf(Q, T).

prin unnare

-1

~]·[~

0

B

r:

I

1

C=H

-3

2. Fie aplica!ia R X R -4 R, f(x, y) = 3XiJ'2 + X3Y2 - 4X2Y3. a) Sa se arate di f este functionali\ biliniara. b) Sa se scrie matricea ftmctionalci in baza canonica a spatiului (R 3, R).

I

Avcm: a 11 = f(e1,e1) = f(l,l) = Jl'Td¥ = 0; ana1og,

~]~ =[~

2

0

3

J

0 0 Analog se arata 2) ~i in concluzie rezulta ca

transformarc a matricci funqionalei Ia schimbarea bazei in care se reprezinta: B = C 1 ·A· C. Avcm:

R: b)

I) Fica,[J E R . Avcm: ((aP+ f3Q,T) = (aP + f3Q)'(x)T'(x)cl¥ = I

-9

Metoda!/. Fie C matricea de trecere de Ia baza canonici\ a spatiului R![X] Ia baza G. Folosim fonnula de

1. Se considcra aplicatia

1 = 1- 3X, g 2 = 2 + x2 ,g3 = 4X - x 2 } a spatiului R~[A.l

2)

B=l-~

PROBLEi\JE PROP USE

a) Sa se arate ca f este o funqionala biliniara simetricii. b) Sa se scrie matricea functionalei in baza canonidt a spatiului R2[X].

c) Sa se scrie matricea fi.tnqionalei in baza G = ~

prin um1are

1

= 0; a23 = a32 = J1·2xd¥ = l •dcci 0

- >R,f(P,Q) = j P(x)Q'(x)d¥

0 a) Sa sc aratc eli f cstc funqionala biliniara. b) Sa sc scric matricea funct ionalci in baza canonicii a spa1iului liniar (R~[X],R). c)

Sa sc scric matricca functionalci in baza G = {3- 5X, 2 +X- 2X~, 4X - X 2 }

5. Ficaplica1ia f : R2 [ X]xR3[X]-4R, f(P,Q)=3P( I)Q(o).

- a) Sa sc aratc ell f cste o functionala biliniara. b) Sll sc scric matricca funqionalci In baza canonica a spa\iului liniar (Rz[X],R). c) Sa sc scric matricca func\ionalci in bazclc

G = {2-X 2 ,1+4X -X 2 ,3X-X 2 }~i

H={2+X, l -X+X3 , 4X-X 2 , 1}.

Matematici aplicate in economie - cufegere de probfeme

54

Func{ionafe finiare

4.3. FUNCTIONALE PATRATICE

v(x) =

Observa{ie. In cazulln care functional a patratica este degenerata, adica

BREVIAR TEOR£TlC

indit Definitia I. Fie (X, K) spatiu liniar, unde K = R sau K =C. Fief: Xx X-) K o functionala biliniara simetrica. Se nurnc~tc diagonala prudu.wfui cartezian X x X multimca diag (X x X) = { (Y,x)l x e X}. Restrictia functionalei f la diag (X x X) se nume~te jimcfiunahi ptitraticti.

011

~ 0 ~i sc folosesc transfonu11rilc xk = zk + z" x1=zk- z" x,

Astfel functionala devine ncdcgcncrata, adica 3i e 111 ctodele prezcntatc.

G asttcl incii.t

55

"

.. v." . ,

0 IJ"I"'j L., l ~i K. Functionala biliniara simetrica din care provine V se nume$te jimc{ionafa pulm·ti a lui V ~i se objine din Vastfel: PROBLEME REZOLVATE

f(x ,y) = .!.[v(x+ y)-V(x)-V(y)]

2

1 2

Repre:entarea unei fimCfionale piitratice imr-o bazii

t. Se considera fimqionala patratica V: R 3 --7 R, V(x) = 3:d-x~+2x~-2x x + Sx x

Fie G = {g~, g 2, ... , g.} o baz.'l a spatiului liniar (X K) ~i fie nmqionala patratica V a direi functiona lii polara este f: Xx X -) K. Consider.ind m = n ~i x = y in fonnula de reprezentare a funqionalci biliniare f obtincm ell forma genera fa afimcJionalei piitratice este

a) Sa se scrie matricea fuuqionalei in baza caoonica a spatiului (R1, R). b) Sa se detem1ine natma ftmqionalei.

V(x} =

i:~ayx,x1 = i:a,ix; + 2 f-1

i - 1 j -1

Matricea simetrica A

i:a!l.\·,x1

= a ,, x; + 2a12 x1 x2 + ... + 2a1.,x 1x.. + a 22 xi + 2onx 2x 3 + ... + 2a2, x 2x.,

+ ... + a,.,,x;

l$1 R o functionala piitratica. I) V se nume~te pozitiv defmita daca V(x) > 0, V x e X, x ;t 0. 2) V se nume$te semipozitiv deflnita daca V(x) 0 ~i V(l') < 0. A stabi!i natura uneifimc{ionale patratice revine Ia a lncadra funqiouala in una din categoriile I)- 5). De reJ,'1.1Ia se procedeaza in tmu l dinunnatoarele doua mod uri:

I. Se calculeaza·minotii principali A1, A2, A3 ai matricei A (unde A, cstc l(nmat din primele i linii ~i i coloanc ale matriciei A). Daca A; > 0, V i e {I ,2,..., 11} atm1ci functionala patratica este pozitiv dcfinita. Dad\ senmulminorilor A1 altemeaza, incepand cu senmul " -",at unci functiooala este negativ definita. Orice alta combina!ic de semne cu !!.., ;t 0 implica laptul ca functiona la cstc ncdcfinit{L Daca existii A; = 0, atunci se poate folosi o alta metoda:

Rezolvare: a) Companind expresia function a lei din enunt cu fonnula cc reprezintii fonna generala a tmei nmctionale palratice ob!iuem: au= 3, a22 = -I, O JJ = 2, 2a,z = -2 => a12 = -I, 2a,l = 0 => a 13 = 0, 2alJ = 5 => a23 = 5/2. Rezulta cii matricea funqionalei corcspunzatoare reperului canonical spa!iului (R 1, R) este

t. ,

=131 =3, .6.2 = 13- I

Metoda Jacobi:

Sc calculea7.a !!, 1, !!,2,. .. , 6. (unde !!.., cstc dctcnninant11l foomat din primclc i linii ~i coloane ale matricei asociata nmqionalci, A). Fie 6o = I. Daca A. ., o 'i i = !-;:;, atunci cxistll o baza a spatiului R'' in care nmqiona la sc scric: , 6 , 6 6 ' ' ' V(y) =_2_v·+.....!.t··+· ·+--"'.l.v' a,· 1 a: · : a.. · ... •

Metoda Gauss:

G

Sc cautll i e astfcl incat coclicicntullui x? sa fie ncnul ~i sc grupcaz.'\ toti tcrmcnii cc contin variabila x,; sc fom1caza un pat rat care sa cuprindi't toti tcrmcnii cc con tin \'ariabila x;. Sc rcpcta proccdcul anterior pana Ia obti ncrca fonnci canon icc.

- 1 -I

0 1

0

i

2

2

107 4

2. Sa se determine parametrul a e R astfcl inc:it 1\.tnc!ionala patratica: a) V: R 3 --7 R, V(x) = 2x~+3x;+m:; -2x 1 x2 + 2x2 x 3 sa lie pozitiv definita;

b) V: R 1

R, V(x)

--7

Rczulvarc: a)

=-2x~-x; +axi +2x, x2 + 2x2 x 3

OJ

ID.t : 2 ~

I a

a

sa fie negativ definita.

; V este pozitiv dcfinitrt daca

.6.2 =5

t.3 =Sa-2

~I ~]~~~~ :~2

b)

i: J

Aducerea unei fimcJionale patratice fa forma canonicli se poatc facc prin:

3

-I =-4, .6.3 = -I

Dcoarecc !!.., > 0, 6 2< 0, !!.1 < 0, rezulta ca functionala este nedefinita.

Sc spune ca ti.mctiona la p11tratic11 V: X-> R a fost ad usa Ia .formu canonica daca s-a dctctminat o baza G a spatiului X

In continuarc sc cxamincaza semnul cocficicntilor A, Dadl A,> 0, Vie {I ,2, ... , n} atunci fimqionala patratica cstc pozitiv dcfinitii. Dadi ,.\1 < 0, V ie {1,2, ... , n} atunci funqionala patratica estc negativ definita. Dad\ A1 0 ~i 3 )1 < 0 atunci funqionala pittraticli este ncdefinita.

-II

Calcullim minorii:

11. Se aduce func!ionala pa!ratica Ia fom1a canonica. pen tnt care V(x) = f,A.;yf , xc :: (;• 1,y2,...,y11 )'

2 3

V cstc negativ dcfinita daca

t. 3 =a+2

1.6.' < 0 .6.2 > 0 :::> a E (- c.o,- 2) 6J R,V(x) =x~+3x~-2x~+2XtX:?. - 6x1x3 + 4x2x3;

b) V: R --7 R, V(x) = 3x1-x~+5x~-4xlx2 + 2xlx3 + 8x2x3: 3

X=2 1 1- 22

Folosind transfonnarca:

c) V:R 3 -7R,V(x)=x1x1-4XtX3+5x2x3; 3 d) V : R -7 R.V(x) 2x1x2 - ?x1x3 + IOx2x3;

X2

=

= Zt + Z2

21

= x, +x,

)

::::> 22

2 x .. _ XI

=-·2-

.

obttncm:

1

Z3 = X3

X3 = Z3

e) V:R 3 -7R,V(x)=x21+4xz2 +25 x 32+4 x 1x 2 - 10X1X3+ 6X2X3•. f) V : R 3 --7 R,V(x) =x1+5x~+7x~-4XtX2 +6x1x3 -8x2x3; g) V: R --7 R,V(x) = 2x1+3x~-5x~+3xlx2 -4.-.:lx3 + 6x2x3 · 3

Rczolv:u-e: a)

Deoarece coeficientul variabilci x 12 cstc nenul, se grupcaza tcnncni i cc contin variabila x 1:

Se fom1eaza un patrat care sa cuprindii toti termenii In care apare variabila x 1

'

.

' . ,

V(x) = xj+2x1(x1 -3x3 )+(x2 -3x,)· - (x 2 -3x,)· +3x;- 2x;+4x2x 3

~i

se obJine:

=lx( +x, - 3x J - x;+>X x,- 9'3 x;+ ' 2 x 1

'

3

(i

2

Xi-

1 3+

4 x 1 x,

Rezulta ca func!ionala patratidi cste nedefiniHI.

11

d) V(x) = 2x 1x 2 - 7x 1x 3

Se repetii procedeul pentru variabila x2 §i se obtine:

+ 10x2x 3 ; folosind transfom1area

,

5

2

'-----v---' Yl

-

25 2 2 2 2 47 2 x3 -Jix,=y 1+2y 2- 2y 3 , 2

( {'\'2: 3 ) + 9 :;, 9 ,] ='2I [(2z )''+22z 4 4z; 1

.

, _

xl

~

1

1

ob!inem

3

= 22~1 -

2222+3z21 + 17 22 23 = lI(~ 4z 1+621Z 3 ) - 2 z 22+ I 7 z2 23 =

2 3 ) ' -Rz,9 , 2:,, + 17:,: 2z 2 + 17:,: 3 ='2I ( 2:,+2: 3 3

=~y;-~[(2z,)2 - 2(2z,f; z, )+C; 1

+ x1 - 3.\l ' h -

:::

x, =z,

.., '2y 47 2 , undc Rczultii ca foiTlla canonica a fi.mc!ionalei pfttraticc V estc V(x) =y 2+2y2_ J't - xi

1 1

V(x) = 22 21-2z 22-7z1z3 + 7 z~23 + I Oz123 +I Oz 22 3 =y;+2(x2 +'2x3 )

~:~: :

23

J-c;

z,

n

I -2I (4: -4: =2y 1 1

1 1

)

1 :,

)

9 , -g=,=

-~zi= ~y;-~(2z~- 1; :, )' +35zi= ~y;-~y;+35y; Funct

ionala patratica este nedefinita.

e) V(x) = x1 +4x2 + 25.~3 + 4x1x2 -l Ox1x3 + 6x1x3 =x~ +2x1 (2x1 - 5x3) + (2x1 - 5x3) 2 -

, _ . , prin mmare V este nede!inita.

2

+ 2 x,. ) ' - xJ

2

2

-(2x 2 -5x 3 ) +4xi+25xi+6x2 x 3 = (x1 +2x 2 -5x 3 f + 26x 2 x3 =y~+26x 2 x 3 2

:: :~, -z, ~~z~= ~.:' :,=·'2., 1

prin urrnare V(x) =y~+26(z ~-z~) =y~+26y~ -26y~, undc am notat

·:•

x,= =, +=,

I I 1 1 Rezult5 di fimctionala plitraticii estc nede!initii. v,=xa+ 2X:- 5.t .P y2 =zl=2x2 + 2xl,y,=z3= - 2x:+2xl .

5. Sfi se aduca Ia forma canonica urm!itoarca functional5 p5tratic5 folosind metoda lui Gauss ~i sa sc a fie baza In care C.Stc scrisa forma canonica: v: R3 4 R, V(x) = 2xf - 3x2 2 + 7x32 + 3x1x - 4x x - 9x x 2

1 3

2 3

llczolvarc: V(x) = 2x/

.. Rczulta ca func!ionala patratidl V cstc ncdclinita.

0

~~2x,)

i:[[

2

-3~

2

+ 7x,' + 3x,x,-4x,x3 -9x2 x3 = ~(4x,' + 6x,x2 - 8x,x,)- 3xi+7xi- 9x,x3 =

+ 2xl (3xz -4x3) + (3x 2 - 4x3 ) 2 - (3x2 -4x3/ ]-

2.! )]- Jxi +7X; - 9X ,x, < J:y:-%···: + J2> ,x, -&x; - Jxi +7.>; -9x,x, •

r

,\1/alematici aplicate in economie - culegere de prob/eme

58

Fzmcriona/e liniare

59

3. Sa se determine paramctml real a astfcllncat ftmctionala patratica

v: R3 ~ R, V(x) = a:d +x~+x~+2ax 1 x2 + x 1x3 + 4x2 x 3 sa fie nedefinita. R: a e R.

4. Sa se dete1m ine parameti'UI a e R astfel in cat funqionala patratica 1 -) R, V(x) =2ax;-sx;-zxi-2x,x - 2ax,x, +4x x sa fie negativ definita. 1 2 3

V: R

R: Ultimele trei re latii se ma i pot scrie sub forma:

[;~J =[~ -t -4~J r:~J ."J

0

I

0

-&- J./6 - 8+3,/6) {IE ( - -5-, --5-

(I)

XJ

5. Sa se gaseasdl fom1a canonica ~i natura functionalelor patratice folosind metoda Jacobi: a)

Notam cu E baza canonica ~i cu G = {g,g2,g3} baza In care este scrisa fonna canonicii a fimqiona lei.

b)

Coordonatele vectomlui x in baza E stmt x, x 2, x3, adicii

c)

X£

= (x, x2 • x3) ', iar coordonatele lui x in baza G sunt

y ,,y2,)'J, sau Xc; = U'l· Y2,J'J)'. Fie C matricea de trecere de Ia baza E Ia baza G.

Formula de transfonnare a coordonatelor vectorului x Ia trecerea de Ia baza E Ia baza G este: xc = c-1 ."E (2) Din (I) ~i

(2) rczulta cii

[2 3 -4.]

c-• = o

-~

1

0

I

0

IW ' 0 0

I 0 0 I 0

-3~2 I 3/2

-2 I

~ I 0

0 -I

I -2/3 .

otwl

0

0

I 0 0

0 0 I

I 0

I

0 I 0 0

0 0 I 0 0 I 0 0 I

0 0 1/2 0 I 0 0 1/2 I 0 -2/3

0

2/3

1/2 0 0

2

3/2

0 l

I 3/2

Ob!inem

[t

C= 0

2 0

0

!],

prin um1arc

2 .

baza In care cstc scrisa forma canonica cstc:

G

J, g2 =(2, 0, I, )', g3 =(~, J, ~J}

={gl =(~, 0, 0

c

PROBLEME PROJ>USE

l. Fie functionala pi"ltratica V: R 3 --) R, V(x) = 2x1-x~-3x 1 x2 + 2x1x3 +x2 x 3

Scrieti matricea func!ionalei in baza canonica a spatiului (R 3, R) §i stabili!i natura funqionalei R: [ 2 - 3/ 2 I ]; funqionala piitratica cstc ncdcfiniti\. il= - 3 / 2

I

-1 112

112 0

2. Sa sc dctcnninc a e R astfcllncat functionala patratica V: R3 ~ R,

V(x)

=2x~+xi+Sx;+2ax 1 x 2 + 2x x

R .. a e (- 3./s s • 3./s) 5

1 3

sa fie pozitiv dcfinit:'t.

3

II

6 •

t -t Yl; nedefinita v: R3 -) R, V(x) = -sx1-2x~ -2xJ-2x, x2 + 4x,x3 +2xzx3; R: v(x)= -t Yf -%A- A; negativ defiuita; V: R

3

-? R,

V(x) =x1+5x~+2xj+2x1 x2 + 4x2 x 3 R: d)

i

v(x)= yf + Y? + Yi; pozitiv definita

V: R - >R, V(x) =x1+2x~+5x3+2XJX2 + 4x2x3 ;

R: V(x)

C'

t

4

V: R - > R, V(x) =x~+2x1 x2 - 2x1x 3 +4x3x 4 ; R : v(x) = y~ _ 2y~ + y~

6. Sa sc aduca Ia fonna canonicii urmatoarele functionale patraticc prin metoda Gauss; sa se prccizeze natura functionalclor ~i sa se gaseasca baza in care cste scrisa forma canonica a)

Folosim metoda Gauss-Jordan pcntm a obtine matticea C, ale carei coloanc suz1t vectorii bazci G.

-4 I 0

d)

V: R 3 -? R, V(x) = 3x1 +5x~+xj+4x 1 x2 + 2x1x 3 ; R: v(x) = l y~ + l. Yi + ll v32; pozitiv definita

3

=y? + YI + Yt ,unde y, = x, + x2, )'2 = x1 + LYJ, YJ = XJ;

baza este G = {g, = (I,O,O)',g2 b) V: R

3

= (- l ,I ,O)',g3 = (2,-2,1)'};

~ R, V(x) =x1+4:d+x~-4x 1 x2 + 2x1x3;

R: V(x)= Yf +4yi -4y}.unde y, = baza este G = {g, = (1,0,0)', g2

x, - 2x2 +xJ, Y2 = t x2 +txJ, YJ = txz - txJ;

= (I, 1,0)', g3 = (3, I ,-1)'}

c) V: R 3 ~ R, V(x) = x 1x2 + 5xlx3 -3x2x3; R: y~ + 15yi, unde y, = f x, +tx2 +x.l , Y2 = - {x, + f x2 +4x3, J'l =x3; baza cste G = {g1 = (1,1,0)', g 2 = (-1,1 ,0)', gJ = (3,-5,1)'}

V(x)= Yf -

Serii

Partea a II-a. ANALIZA MATEMATIC'lo Inn

n= l

II~ I, anmci seri a

i:a

scrie cu tenncni pozitivi

Dadi 1< I, atuncr· sena · £..., ~a,. este convcrgcnta.

CAPlTOLUL S SERII

Fie

0

61

I..,a.

..

· 'VIa·., I cstc convcrgcnta. :r.

cstc absolut convergema dadi sen a L.J )1 =-1

Propozitia 2. Daca o scric cstc absolut convergent,\, " a1un. ci ·scria cstc convcrgcntii.

•

+ 1J" ) cste convergenta ~i

63

Serii

Matematici aplicate in economie - culegere de probleme

62

PROBLEME REZOLVATE

I

ao

L -,a E R

5.

(seria armonic{i generalizaui sau seria Riemann)

n==111a Pentru ticcare din semle unnatoare sa se stabilcascli natura ~i dacii este posibil sa sc calculeze suma acestora.

L..

l.

,Jn + a + Jn + a + I '

n=1 11

a>O

Rczolvarc: Consideram ~irul sumelor paqialc:

S

n "\' n = {;_lak

11

1

11

"\'

~k+a-.Jk+a+l - 1

"\' ·- - -------- - -

= f:1~k+a+~k+a+l = f-:.1-

S • ::::l+_l_+(_l_+_l_)+(-'-+_1_+_1_+_1_)+ ...+( I + I +... +- '-)> 2 2 3 4 5 6 7 8 211- 1 +I 211-l + 2 211

=

=--Jl:+a +~2+a - ~2+a +~3 +a - ... -~n+a +~n+a+l => S,, =-~l +a +~n+a+l => :::>Lim S,. = oo deci ~irul (S11 ) 11;:;1 este divergent. 11-)XJ

•

Confonu detini!ici, rczuha ca seria este divergenta. 2.

>I+ _I_+(-'-+-'-)+(-'-+ _I_+ _I_+-'-) +... +(--'--+__!__+ ... +--'--)= 11 11 11 2

8

8

8

8

2

2

n >1+-=> lim s2 .. 2 11~0")

.!_, "d 11 2: 1 ; n

1

"

1

I " (

~(~-.!. +.!.-.!. 2 1 3 3

1 1 + ..... + - - - - - ) => S 5 2n -I 2n ... l "

Rezultli ca ~iml (5'11 )

·

·

r

ectscnaestcctvergenta.

I:, .!_ cste divergenta,

dcoarece seria

11

I ~ cste divergenta.

11

;:;

1 I ) 2k - 1- 2k+l

Pentru a> I avem:

=

= ~(~ - - - ) => lim S = ~2 2 I 2n + I 1

n-> Z

"

1 estc convergent, deci seria este convcrgenta ~i are suma S

= 1/2.

< __1_ I l- -

Rczolvare:

,, 3k-l I:Ln- =ln2-ln5+ ln5 - ln8+ ... + ln(3n- l)-ln(3n+ 2) == ln2 -ln(3n+ 2) => li.mS, = - oo 3k + 2 ,_,~

k· l

prin um1S 1 :::: I+-+.. 2 2 2 2

Pentru a< I rezultii di _1_ 2:

i:-!n• l

I .!_. Avem:

Pentru 0: = l obtinem seria armonic:ii,

1

n=l

Rezolvarc:

f(/', ,

1

E R

, dcci ~iml (S11 ),,;:;1 estc marginit; liind ~i crcsciitor,

2a- 1

re"ll.llla c11 cste convergent, prin unnarc scria cste convergcnta.

I . . ge11era,.1=ata. ~ . armomcu sena L., _ _ es/c convergenla a

. ln coneIUZie,

>I.

n=111a

(seria geometrici1)

n=O

Rezolvarc: Avem

11

S "=

"' k L..IJ

=

~1q"+l --,

Pentm

E

(-1, 1) ~

~

1-q

.,

3" + 8"

t~l 311+1 +8"+1

s"(er

II+ I , q = 1

k; O

Penlm q

6.

q~1

lim S =

11~1>)

11

_1_ , deci scria cste convergenta ~i are suma 1-q

Rczolvarc:

_1_ 1-q

q E (!,co)~ lim S11=co• deci seria este divergenta. II

11 - }00

L

(l:r, _

+l

l+,

Confonn criteriului sulicicnt de divcrgen\5, rczulla crt seria estc divergent a

, deci seria este divergenU\.

• oo In concluzic, seria geomelricii ql1 este convergenta q E n =O

gn+l

8

JI-) :Q

Pentm q e ( -oo,- 1) , nu cxista lim S

.:~ ,, ·.:~::,

+ 1)

.

I

(- I, I) §i are stmlll S = _ _ 1- q

1.

E_ 1_ n =2 Inn

Rc-Lolvarc: Avcm:

~erin

r

I

1

_ 1_ cstc divcrgcntli.

n" l Inn

., scria ~ .!_ cstc divcrgcntl\, dcci , in baza cri tcriului I de comparatic, rczulta ca

!,;7t ~;; ''111;:; _;

L..

nd 11

;Ylatemarici aplicate In economie- culegere de probleme

64

Serii

8.

2" :L) ;t;

J2.

,,s;.J

( I)" ( I)"

n

a = _n__ . Avcm:

Rczolvare: Fie

n

n!e

I~

Seria

n

Rezolvarc: Yom folos i corolarul critcriului raportului. Fie a

an .. l I + II I + II - - = - - - > --"----'--..,... a, e ( I 1+ -

n

,,

_ 1_ = n+l =b"+l I+ I I b11 n n

)'1+1

/1

11 __

n-•:1)

al1

2"

n-x;

13.

I

3n +5

,

prin unnare seria estc divergenta.

-

(n + 1) 3

f~, a> 0 11!

n=l

9.

n-lotr..

-;?

cstc divcrgcnta.

n! · e"

n=l

2 11 3

Jim~= lim---=lim--- = 2>1

este divergenta; prin urmare, confonn criteriului 2 de compara!ic pcntru serii cu tenneni pozitivi, rezulta ca

L"' _ "

a,

Rezolvare: Yom folosi corolarul criteriului raportu lui. Fie

7

Rczolvarc: Se comparii cu seria amwnidi ~ ~ ; fie a ~

a"~ ~

3n + 5 2 -1

_

11 -

4n

n=t''

112 = lim 3 + 5 = ~ E (O, co); reznlta, confonn criteriului 3 de compara{ic, ca scriilc au /1~00 b/1 /l~IX> 411 2 -I 4 0n

I

seria

~

este divergenta, reznlta eli

~i seria

n=l 11

I

accca~i natura; cum

3n + 5 este divergcntfr.

11=1 411

2

n' oo - - - "' 5

co

Rczolvarc: Se compara cu seria "' ~

11=l

1

b,1=---:t;

n'

Jim

~ = Vi

n - >co b11

E

n

3 -

I

co

I

I

1

ln(l +

11 = 1

11

3

n

n=l

'

n=l

n'

lim ....!!... = lim 11-)W b/1 /1-)X> Oeoarece scria

I

11

I

II

=11I ( 1 + J_) ~i 3

b/1 =

11

•

JI ·'

r · · 1111.) · " de compara{re · rezu 1ta• ca• senr··1e au ; con.orm cntenu

= I e (O,co)

J_ cstc convcrgenta, reznlta ca ~i scria 3

{a;= lim (J,;+t- ,J;;)= lim _

~

""' · natura

aceea~1

I

ln(l + -;.) cstc convcrgcnta. 11

_l_ _

11-~l'. ,r;;+I +

lf-~11
I), rezuhir cii ~i seria din cnun! convergcnta. ~ 4/ l n=l n ll.

an

Rezolvare: Yom folosi corolarul criteriu lui raportului. Fie a _ 1· 4 · 7..... (3n -2). Avcm: 11 - 3·7 ·10.... (4n -l) 1· 4 · 7 · ... · (3n - 2)(311 + 1)

3 2 ?11 -211 + I

n=l

a (11 + 1)1 a lim_.!!!!.= lim - - - · = lim - "-tot'W)

14. ~ 1+7· ... ·(3n - 2) n=l 3·7·10· ... ·(4n -l)

-I

£: V211 5 -311 2 + l + n+2

10.

a". Avem

n!

11 =l4n- -I

lim

=~. Avcm: nJ

2"""1

(11 + 1) 3

a

n=l 11

scria

65

) "

,J;;

=0 < I• prin urmarc seria estc convergent?!.

, a> 0

= a. n·' -n + I J". Avern:

(

(.J;+T-.Jn}. Avem:

n

2

+n+ I

~

lim" a = lim a· n -)w

,

n-t"J'J

11

2

-n + l

n2 + n + 1

=a

Confonn corolarului criteriului radacinii n:zulta: • Dacll a< I, atunci seria cstc divergcnta. Dnca a> I, atunci seria cste divergcntil.. Dacll a= I, seria devine:

f-. ~

n=l (

11 - 11 + I · dcoarccc . n· - 11 + I 11m ( ,' 2 )" ' n2 + n + I , _,,. n· + n + I

tonfom, eritcriului suficient de d ivcrgcn{a, ca scria cstc divcrgcntrt.

J"=e

-2 ¢

0

rezulta

•

:t( •=•

17.

18

"'

( ) 3n- l

. ,1. ( 311- I I1111 !4a 11 = 11m - -

)n

3 ) 11 lim 1 - - (

2

lim-_2_·11 1 =e·-· 311+2 = - l

n=l

Rezolvare: Aplicam corolaml critcriului radacinii. Fie

lim ~=

n~oo

Rczolvarc: Aplicam corolaml critcriului raportului. Fie a _ [2 · 5 · 8 ..... (3n -1)] . Avem:

e

3·6·9 ....(3n)

n-

,

2 · 5 · 8..... (311 -1)(3n + 2)]. [( n + deci corolaml critcriului raponului este 2 3·6·9 .... (3n)(3n+3) 3 hm - - - = 1 , IH«> (Jn + 3) n~"' On n~ [2 ·5 ·8 .....(3n-1)]3 · 6 · 9 ....(3n) neconcludent. Folosind corolan•l critcriului Raabe-Duhamel obtinem: 2 . 11[(311 + 3) . 11 • 611 + 5 =. ( a 11 - IJ = 11111 2 I deci scria cstc divcrnenta. 1] = 11m Iun 11 - < • ., n-¥» On+l ~~~~ (3n+2) 2 n - >oo (3n+2) 2 3

)]2 ,

a +I . [ lim-'-'-= hm

~~1('fa' -1)}'.

·

3·6 ·9....(3n)

n=l

3n+2 ~~~~ n - >oo 3n + 2 "~"" Conform corolamlui criteriului radacinii rezulta ca scria cstc convergent!\. n

I [2·5·8.....(3n-1)] 2

20.

3n-l )"' 3n + 2

Rezolvarc: Fie a =

67

Serii

Matematici aplicate in economie- culegere de probleme

66

a (n(!.fc; -t)f. Avem: 11

::

lim 11(!.fc;-1)= lim a+- -l=lna 11~00 n~oo ! II

•

Dacli In a < I a< e, atunci seria estc convcrgcnta. Dacii In a> I a> e, a !Unci seria este divergentii.

•

Pentm

~ 21• £....,

r

a eseria devine: f (n (* _1) =

n=l

(2n+l)!

3" ·n !(n + 3)!

,.

·a a> 0 '

Rezolvarc: Aplidim corolaml Cliteriului raportului. Fie

n =. l

Incercam sii aplicam criteriul suficicnt de divcrgcnJli. Calculam:

~1(~ -l)f =

lim an = lim n->oo

n->oo

lim {1 +

n(~ -1)-lf = e~~'l!n(n(Ve-l)-i) = eL;

n->oo I

,. r ) e; -1- !. ex -I - ~: e·' - 1 1 L = lim n ( n(!\le-1)-l =lim "=lim , · = lim--=-• n - >oO n->O< _!_ ,, .... o x· _,...o 2x 2

n'

deci lim a

11

(211+3)!

---

·a

=

(211 + 1)! 3 11 ·n!(n+3)!

a (?n+2X?n+3) 4a - · ="~"" 3 (n+ 1Xn +4) 3

= lim

Dnca 4 a < 1 a < l , atunci lim 0 n+l < 1, deci scria cstc convcrgentli. 3 4 ~~~;n a,

f (n O

I

·a n

n

a 3 n+l.(n+l'(n+4)! lim .-!!±!. = lim ..:__--"'.,..---"' ..;_ ' _......!._ _ ~ a ~~~~ (2n+ 1) 1 11 11 ·a 11 11 3 ·n!(n + 3)1

=eL =ei * o; priu unnare, confom1 critt!riului sulicicnt de divergen\ii,

ll~ OO

rczulta ca seria

-

a 11

11! (11 + I)! . Folosind corolarul critcriului Raabe-Duhamel ob1inem: ll

n=l 4 · (2n + I)!

Xn

5 5 prin urmare scria estc convcrcnta. . ·. { a,, ] ) lin [ 4(n +I + 4) \1111 - - - 1 = 1 II - 1 = 1lffi 1 1 · - - - = - > 1' "' an+l n-}oo (2n + 2X2n+3) ~~~oo 2n + 3 2

n-t

Rezolvare: Aplicam corolaml critcriului r5d5cinii. Fie

an

= (an+ I 2n + a

)2n'+I. Avern:

lim n~oo

~=

2n'+l

lim (-a_n_+_l n~oo 2n + a

)-n-

=

(~)oo 2

Daca ~ < 1 a < 2, atunci lim t.{P; = 0 < 1 , prin urmarc seria cste convergen tii. 2 fl~OO • /1 Dacl\

!!. > 1 a > 2 , atunci lim

~ = 00 > 1 , dcci scria cste divergenta.

II~

2

2n 1 +1

Daca

a=

2, atunci lim

,,_.,

v;;:, = lim ( 2n +I)- . •-•oo 2n + 2

prin urmarc scria cste convergentoo a( a+ 2)(a + 4) ...(a + 2n) "~"" h + 2n + 3 (b + l)(b + 3)(b + s} ..(b + 2n + 1) AplicAm corolaml critcriului Raabe-Duhamel: limn(-a.- - 1) = 1.lnl /1 [b+ 2n+3 -1 ] • "' a. ,. . ..., a+ 2n + 2

. •..,.,

=UTili · 1

h- a + J =b - a+ - -I a + 2n + 2 2

Daca' -b-a+i < L b < a+ J, atune•. sen.a cste d'!Vcrgcnta. -

2 Dacll b-a+L

.

.

- . > 1 .:;:. b > a+ 1, attmc1 scna cstc convcrgcnta. 2

Scrii

Maremarici aplicare in economie - culegere de probleme

68

1 Daca b - a+ = 1 ~ b =a+ 1, arunci seria devine: 2

aceea~i natura cu seria

f

f n=l

a a+2n+2

~i, folosind c•iteriul 3 de comparatie, rezulta ca ar; Fie bn = _!_; avem:

lim 0 n = ~ E (0, co) , deci, conform criteriului 3 de comparatic, rezulta ca scriile au aceea~i n~a:;bll 2

natura. Prin um1are, seria module lor cstc divergentii, deci seria alternatii ~ (- I)" 3n ~I nu cste absolut convergenta.

_!_. dcci este divergenta.

11::1

n

69

n

2n-

n= l

2

23.

1n l

"

~ (-1) " -'-

27.

n::::l

Rezolvare: Aplic.'\m corolarul criteriului logaritmic. I In- I ? In; lim ~ = lim n= In 2 < 1, plin unnarc scria este divergentft. n~f:l:> In n n~«> In n

11·2"

11=1

Rezolvarc: Studiem absolut convcrgcn1a; pemru aceasta, vom considera scria modulclor: ~ _ I_ ; ap licand corolaru l criteriului rapo1tu lui, obtinem: lim ~ = lim n · 2" = _1 < 1, prin urrnare seria f.: n · 2" ,,_x a, n - )IX (n + 1) · 2 n+ l 2 1

rnodulelor cste conwrgentii, deci scria 24.

I:_....::....,..._ n=l

. In (In n)hw Jim ~ = ]1111 = lim In (Inn)= Cf'.J > 1, prin unnare seria este convergenta. ~~~ In n ~~~"' In n n-+""

28.

L~ ,.1

L"" -I-

I

a Ina'"" lim - - " = lim - - - =In a In n n -~ Inn

11_,.,...,_.

< I a 1 a > e, rezulta eft seria este convcrgenta.

Daca ln a = 1 a = e, scria devim:: ~ _ 1_, adica ~ _!_ ,care cstc divergentli. n = l e inn 11=l n

in concluzie, seria estc convergenta daca a> e ~i divergenta daca a :s; e. Sa se studieze convergcn!a ~i absolut convergenta seriilor:

26. ~ (- 1)'1 Jn - 1 2 11=1 2n

I " [

=2 ~

=_31_1_-_1; 2n2 ')

3n + 2 3n-l -3n- -n-1 " -~n=l

70. f

_ I_

.,. 1

R:l

73.f~ R:l 4 n•l 4n + I

76.

f. n + n- I R: 1/2 2

• =I

~

n(n+l)

(n + 2)!

79. t (-l)"+nR:I3175 ,..1 (-4)"

74.

11-ln 11

R:l /2

75. ~ an2 + bn + c . a b c e R R: e(2a+b+c)

sn+2

n=O

78.

200

n+2 R : l/2 , . 1 n!+(n + l)!+(n + 2)!

80.f

,

~

2

,;;,

lt~ l

125.

f ,.1

i:

3 J3

a"

II

,a>l

R: a(a+ l) ( )l a- 1

l/16 ...

122.

:t t? f

f-

m=l

~2n 3 + n-1

2:- ·(6)" -

137. ~ I

.., II

5

141. ~ 2 - .Jn L.Jn e

R: I7/9

+ 4n= +3n

--~--;:~R: I

••• (11 + l).J, + ,,r;;:;(

145. t(~)!•-1 .., 3n- 1

"' (- 1)"

107. 2:-.-

llt.f-ln(n'+ I) .,_1

115.

1r

3" " . a _a> 0

123. ~ , . 7r L-"- Sill ,. 1 3" 2n" + 5

.,

131.

135.

-2

, .,

~ ~(.::)" ,a > 0

f

e

1

n,J;;

lf CI •

i:(, n-1

146. ~ L-n : · (aJ - " ,a> O

1

L- arctg--

143. 147.

2"+5"

~ 2"+1+ 4. 5''•2

124+("+ L- - .· -')" ·u • ,u > O 11• l

II

I

I

'8 "' I + + ... + ~ 1-·I 2 n n=l

II

3"

n• l

139. ~

n

120.~

132. ~?"t L-- g .!!..., ae

n!

,_,&+I- ../211-1

11

116. ~-{~2:..:.. " :..:.. +:..!. !):_! • La ,a>O n-111!· (n + 2)!

5

I !!_ n- 1

138. I~ (I- eos-1)

n=l

w-1cos n

I:(' , .... .>11 + 7)"

~ .J1~1, + 8 L,

~n.

n:;l

142.

:t

Jl9. ~ 3n+2

'.1.[;;

~ ~

Vn

u::l

127. "

no.fa,r,;, a>O

n-1

Sn-1

3n'"'

n!(l + 2")

J

n=l

~(I + 2")"

126. f_1

i::

,=, n 2 + 1n + 4

••I

(-1)"

I

103.

2.r,

IILt(2"11+.7' )'

11

11.

,.. 1

81.

, ,,

t-1-

11=2

133. f,( n +a )" 134. L, --h ,a,b e R ~ n+

+5n + G 77. ~4n+J - (-1)"3"+1 R: 2057

f1; 0 n

n =l

" '"I

4n+7

IJO. f _ _ I_ 3 , 1 n +5 114.

I111n(l-~)

••I

I R:l /18 72. :t I R:1/ 12 n(n + l )(n + 2)(n+ 3) .,. 1 (2n - 1)(2n + 1)(211 + 3)

f

1.

129.

Alunci ciind este posibil, calcula!i suma urmilloarelor serii: 71. '

12

11

65.f{-l)"( 2n + 3)" n= l 2n - 1

67. f~

66.2.:: -

~ !!__

.L.

93 · L ., (Jn+ 2 - 2Jn + J+J;; )

11 + I

i: 3n- 2 n -1

II!

,.1

~ (- I)"-1_

106.

(n+ If

117. f(4n-3)" 7n+ 1 61.

:t. (_,_1 )r. • =I

IO L..

87.

1

95 "' (-3)"+3 + 22n+l "' L.. ~~--,-=-n=O 5"+-

3

11

n=l 3

2

52. ~ n! , ~~a ,

-1sin .!!E.

L... 2". , .,

92. f~ n= l

2n-1 3 , . , n +4n+ 3

84.

.)

L-- ".., c/1

1

R:7/48

2" + ~~ ~r·l R: st6

u=l

89. ~ n(n + I)

33. ~

73

sn

:t

86.

_,

:>

:t

40.~

:z::: - · -:-

43.

85. .., 2n 2 +3n+4 R:23/8

I

n=L

I

:t n + (- I)" lt• l

n=l(-2)"+1 + 3"+1

28.

32.-.z:::--

· I tn(l + - ) n= l J;;

I

23.

"'

n= l 5nJ

~

35.f

1.3.5..... (211 - 1)] 2.4.6....(2n)

27.

n

n =l

1)" 5n -

• •I

2

11

I 1·5·9· ..... ·(4n-3)

f[

n

11 = 1

Isin~

+;1 + I + 11 + 2 30. 6n - 2n+ l

"=' 2n + Sn + 7

38.

l:n sin-

22. :t{-

I

•· 1

2

3

I

::>.:L-In( -+2)

I

n= 1 ln(2n

29.

2- •

2 1. "

Serii

2n )"

f-(n'

n O 136. L- - +I)"' ,· a ,a>

.,.,

140.

~ (2 " +1)"

tr

f (~ - J;;+~t

t

.,,, (Vn + 3 - Vn + I 144. Y, 2 ·5·8· ... ·(3n-l)

.>n-1

~_3_n_"_+_ '-

(o, !!_)2

,; 13·7·11· ... · (411 -1) 148.

~(n L- - +-JJ" ·a , , a > 0 n=l

11

:t(nn~ 153. I _ 1_

149.

:t(311+2)!n'•l

150.

)"

n= l

3

:t.Jn! +I

151.

~(-' L.. " ~1 n

154.

1011

:t-311 '-n

158.

. ') sm-

(2n)!

. ,1

n=l I

r" - l

183.

n"

(j n

3n+5

,

L..- - · a ,o> 0 , .1 2n + 3

184. £2·7·12· ... ·(5n-3)

L:-'-·,-,a>O

nzl5 ·

4,

9 · 13 · ... · (

n.

n=l

f,,,(-I)"''(_!_)" .fi ~

n+l 187. • 1 1)"' I ~--==-~==(n+l)~- 1 ••• ~n(n + l)(f;;+~) 1

11

exista R, 0 :>: R :>: O'J, astfel inciit:

CXl

I

n->'»

2" + 5"

X

1) seria este absolm convergenta pe intcrvalul (·R. R); 2) seria estc divergcnta pc rnu l!imca (- oo, -R) v (R, c.o): 3) penh'\! orice r E (0, R), se1ia este uniform convcrgcnta pe intervalul [ -r, r]. Obscrvafie. R se nume$te ra;ii de CO/lvergenfcl.

Tcorcma 2 (Cauchy-Hadamard). Fie

nl.a"

11

n= l

t

"'

l:a

+ I)

11

o serie de puteri ~i R raza de convergenta a acesteia.

1:: :: ~ 0, w = ro

Obscrvofie. Sc poatc calcula cu

~i dupa f01mula:

Tcorcma 3. Fie seria de puteri

I, a 11 x 11

co

~i

.,.,. . IIa.l I

r 0199.

£... - -n=l n 2 +I

n=l

f-(

2·4·6· ... ·(2n)

3'+4" )'·a" a>O

L..; " "11+ n11 4 •••I ,)

'

n=lb(b+l)(h +2)...(b+n)

200. ~ (a+1)(2a+l) ... (na + 1). b R L- ~-~--''--'---....:.., a, E + n=l (b + 1)(2b + l) ...(nb + I)

I L:a,x"dx = L:I a,x"dr; =IS(x)dt

b

XI

a

n=l

"tJ

b

iJ

n= l a

PROBLEME REZOLVA TE

n=la(a +I)( a + 2) ...(a + n-1)

I. S3 se studiezc convergen(a seriei de putcri:

195. ~( 3"+4"

f Ia.,x"dr =I S(x)d\: ~i n=l

w:.l

·

I (-1)"_I_. xn, x n·5

n=l

E

R

11

Rewlvare: Calculam raza de convergen(a. Fie a = (_ 1)" _1_. A vcm: 11

n·5"

w- raI .•,l -

-~.-

llll -~ = 1111

...., Ia.I ....,

l (- 1t' ·-~---l (n+l)·5".,

I(-!)" _ 1 .J

-.-II

I l.deciR=-=5

•-·~ 5(n + I)

5

= hm--- = -

11·5 Confonn teorcmei lui Abel. rezulta ca: I) sc:ria cstc absolut convergcnta pc intcrvalul (-5, 5); ~) scria cstc_divergcnta pc multimca (· oo,- 5) v (5, O'J); ) pcntm once r E (0, 5), scria cstc uniform convergenta pc [ -r, r].

cv

in

1Hatematici aplicate i11economie- culegere de probleme

76

Studicm natura seriei pentru x

= ± 5: .•

"f)

n·5 11

n=i

· 1

ttJ

n

n= l

"' (-I )n -I L

1 cste descrcscator ~i are limita zero; din criteriului lui Lcibniz rezult~ di seria

u" = -

11

n= l

n=l n·S" In concluzie, seria de puteri este convergenta pc multimea (-5, 5].

2. Sa se detem1ine multimea de convergenFi a serici:

convergenta

II

I _!_, divcrgcnta (scria atmonica).

Pen tnt x = _ 5. scria de pmeri devine: I(- l)" _ 1_ . (-S)II, adidt

11=l

I (211 + ~)

n

11

•

(x _ 3) 11 , x E R

1 1 1 -. i a,+t l - . 1 n+l - .- n 13"+ +(-4)" + 1 - . n 1(-4)"+ 1 {- ~)"" + 1 = lun - - = 11111 = 1un - - - · = 1tm - - - · -=-.....:..--r----=.,;--rLJ = 4 n ->» ia.. •-•'< lr +;-4)" 1 ..... ~ (n + l) 3" +(-4)" "~"' (n + l) (-4)"(- ~)"+1

l

dcci R = 1/4. Confonn tcorcmci lui Abel, rezulta: I) scria cste absolut convergenta pentru y e (-l /4, l/4); 2) seria este divergcntii pennu y e (- CQ, -l /4) u (l /4, co); 3) pcntru orice r E (0, 1/4), seria cstc unitom1 convergcnta pc intervalul [- r r) Studicm natura serici pcntlu y = ± 1/4:

I, 3" +(-4)" (.!.) 11 , adicii

Pentru y= l/4, seria deputeri devine:

n=l

n= l 6n-:>

Rezolvare:

t (2n + ~)". y"

Notlim y = x- 3. Detcnninam multimea de convergenta a seriei

77

3"'1 +(-4)" +11

L (- 1)" _I ;

Pentm x = 5 seria de puteri devine: f(-l)" _ I_ . 5,, adtea ~·ru

Serii

11=1 6n-)

Calculam raza de convergentli. Fie a, = ( 2n +I)". Avem: 6n-5

I_!_.(2)

4

11

I:[.!.-(2) n=l 11

11

+

11

n

n=l 11

Pentru y

=- 1/4, scria de puteri devine: ~

3" + (-4)" (- .!.)",adica :f[(-l)" .!_ -(~)" + .!_]. Notiim 11

11= l

I (3)4 ,

11

.!.]

t ...!.. este convcrgenta (folosind

11

este convcrgcnta (folosind critetiul raportului) ~i seria ~ (- 1 4 n=l criteriullui Leibniz), prinunnarc seria obtinuta cstc convergenta.

Scria

(- IY' .

4

11

4

n= l

- ., r i - . (211+1) 1 1 , deci _ 1 _ w=lunl{!ia11 l =hm n - - =3 R- - - 3 11 ~«> n - ) «> 6n-5 w

b11

•

convcrgenta (lolosind ctiteriullui Leibniz). Daca prcsuptmcm eli seria ~

=(-1)11 -;;·

neN • c 11

4

11

n

= -;;• n e N• ~i dn =(- I)"~ -(%)" + ~,n eN * . Avem ca seria

00

Lhn cstc n=I

Conform teoremei lui Abel, avem: I) setia estc absolut convergenta pe intervalul (·3, 3); 2) scria este divcrgenta pe multimea (-

(611

11

•

311 , sau

11

Fie u - - -+3) •· avem: 1un . u -_ 1.un( 1+ __8_)" II 611 - 5 n->~ " n• >-< 611 - 5 divcrgcn!ii, seria este divcrgenta. Pcnlru y ~ - 3, scria devine:

(611 + 3)

L ~

( )"

2n + 1 n = l 6n-5

. (- 3)11, smt

LJC1II

11= l

I (6n + 3)"

Prin tum are seria

(

c v = -I

) 11

L d n este divergenta.

estc converg..:nta, contradiqic. 11

in concluzie, seria

n= l

~ 3" + (-4)" 11 este convcrgcntl't pentru L.--.:......-'-- · y n

,.,1

)' E

(

I I

- -

-

J

I

I

I

I

9

7

4

4

4

4

4

4

- - < y:> - = -- < x +2 :> - ~ --< x:> - -

4'4

~ 3" + ~-4)

Am obtinut cl\ nmltimca de convergenta a scrici

f"' (-l)u(6~3)"·

11 •

(x + 2)" este ( - ~, _ ~]

u-l

6n - 5

11

· deoarece nu cxista . rezultl't ca ~ i rul {v ) este divergent, dcci scria e>te divergend • hm v,' n n:1 -

n

,

11 ,-7

1 -.,---

__

ll~OO ((- J)/1+4)'

, _,

Rezolvare: •

a 11

I

=(

\11 , 11 ~ 0

\(- 1)11 + 4j

. I ; fie b 1 . deoarece lim b = .!. ~i = 11111 ,n~0 . 2n 5 11 = 11- >:o (-1)" + 4 (-1)" + 4 11 - ) CO

1 =max{.!. .!. }= .!., dcci R = _!_ =3 n~oo (- 1)" + 4 5' 3 3 (J)

lim b211 + l = l, rczultl't w = lim

n~CII)

3

• Confom1 tcorcmci lui Abel, avcm: I) se~a cstc absolut convcrgcnta pen tnt x e (-3,3); 2) sena cstc divcrgcnta pcntru x e (- co, -3) u (3, "')• Studicm natura scrici pcntru x = ± 3: Pcntru x -- 3 . scna · de putcn· dcvmc: · "' "'\' .L., n• O

3"

~(- () " + 4 Jn

; fie

_

3 11

b, - ·{~ J)II +4JII

.

' /] ~ 0

;

Serii

Matemolici ap/ica/1! fn economie - culegere de probleme

78

avemca b2 n+l =1, Vn:2:0,deci lim b 211 + l = I=> lim b11 :;CC

00 L

(- .)")11 · ; ftc c = 11

~

n= O (- I)

11

+ 4) 11

(- 3)"

.

- 1)" + 4) 11

((

avern ca c 2n+l = - 1, \in :2: 0 , dcci lim C n+ = _1=> lim c" 2 1 n_.,oo n ~oo

11

n==1 Rczolvare:

confo1m criteriului suficient de divcrgcnHi rezulta ci\ seria cste divcrgcntii.

Pentru x = -3, seria de puteri devine:

~ 2

L..n x

79

11 > '

00

0;

-

* 0 , prin unnarc, confonn criteriu1ui suficient de

P tru (- I 1) avcm: co 2 co 2 :x> . • 11 en XE ' l:n 2 x 11 = L(n +n -n)x11 = L(n +n)x"- l:nx ~tfo1osmdrezultatcledela n=l n=l !1=1 n=l problemelc 5 ~i 6. rezulta ~ 2 17 2x x sau "' 2 . L..n x =-.- - 3 - - --,, \txe (- 1,1) ' I:n1xn = x ,l;:fxe(-1,1) 11=l

(1 - x)

(1 -x) -

n= l

+.:

(1 - x)J

divergenta rczu1ta ca seria este divergenta. Rezulta ca mu1!imca de convergentii a seriei de puteri cstc (-3, 3).

8.

Sa sc detenninc mu1timea de convcrgentf• ~i suma unniitoarc1or serii de putcri:

s.

co Rezolvarc: Consideriim scria de putcri '\' _,.n -1 , avaud raza de convergcn1a- R = 1 ~~· suma S(x) = _ I _ L. ·• n=l 1-x co Prinurmarc, putem scrie ca L:xn-1 ifxe(-1,1)

., l:nx" n:=l , 3/2) -7 R, j(x) = In (3- 2Y).

n!

Rezolvare: Seria Taylor asociata fi.tnctiei fin punctul a = -2 cstc:

Folosim definitia restului Taylor de ordin 11: R.(x, 0) = j(x) - T,(x, 0).

:f: (-k!tY (-I J e-., - 2:-

r(-1.)r n (-l2 ' o)l =IRn (-l2 ' o)l e-t 2

==

k ::(J

1

lntentionam s!\ gasim o valoarc 11 pentru care

II

(-~I )"•I ·ecc E(- l O) 2 (n + l)!

'

(2)

f'(x) == 3=;x

'

=2(2x - 3)-1

=2 2 (-1)(2x - 3)-2

{"'(x) = 2 3 (- 1)(- 2)(2.x-3)- 3

) - ) R, fl.:>:) = In (I + x) ~i sa sc precizezc mul{imea pc care este valabih'i dezvoltarea gas ita. · ~ ( 1)n+l b) Sa se demonstrczc ca 2: = In 2

a)

:::0

R, (x,O) = 0

1

2

(2 ·)211 L (- 1)"-x - - , ' R, fi.x) = sin x. c) Sa se dezvo lte in scric Mac-Laurin funqia 1: R - > R, fi.x) = sinx2• d) Sa se dezvolte in serie Mac-Laurin functia .f: R ~ R , fi.x) = cos 2x. Rczolvare: a)

=I

= 0, Vx E

, .o (2n )!

n

x = I rezulta: In 2 =

b) Pentm

E

.211

00

Prin unnarc, cosx

l+c

11~ 00

n=l

11'"1

11+1

/l~CYJ

. "' (- 1)'1+1 Obtmem: 1n(l+x)= 2: - -·x", '«> Pcntru x E (- 1,0] folosim cxpresia restului Taylor sub fonna Cauchy:

R (x,O)= f

Folosim expresia restului Taylor sub forma Lagrange:

87

= R.

(2n)!

1 oo ( 2 )2" 2 cos x =- + I, (-1) 11 - x_· - , ',3

5

Sa se dezvo lte in scrie Mac-Laurin func!ia j': (-l,oo)-> R, f(x) =(I+ x)a, undc

a E R.

2::-·_ 1_(0) . x"

Re:rolvare:

2

(1

f R ,.f(x)- arctg x.

n,

f"(x) = a(l + xt-1

11 _

1-x

r(n)

Func!ia f este indefinit derivabila pc (-1. oo) ~i avem:

~ /(11)(0)

(I)

= _l_

"" L:x",

lnloeui nd pe x cu - x in rcla!ia (2) , rczu lta: 1-x

n• O

'i/x E ( -1,1)

Aplicam rclatia ( 1) de Ia problema precedenta pcmru a = -I ~ i rczulta·· (I + xf1 =I+ L. ~ (-I)(- ?) · - .... · (-n) . x", sau ,, .. 1 n! 1 11 2 - - = ~(-x) , Vx E (- 1.1) ( ) l+ x 11=0

Rezolvarc: .,

11

·X ,

Re-Lolvare: Functia f estc indclinit derivabi la pc R \ (- 1}.

Rczulta ell seria Taylor asociata functiei fin punctul a =- 2 estc:

LJ

11

1 f:R\{-1}-> R,j(x) = - - §i g : R \ {1}-> R,g(x) l+x

2"n• n' [

= ln (x 2 +2x+5). a = - 1

In scric Mac Lautin:

R\ {- 1}-> RJ(x) = _I_

15. g: R \

r :[-1, I]-+ R,f(x) = arccos X

{t} - >R, g(x) = _I_ l-3x

16·h:R .-+ R,h(x)=

18. (: R-+ R,f(x) = tn(Y+ ~)

21. f(x) = _ 1_ 22. f(x) (x+1)'

= ,

1 x·- 7x+l2

~

v l+ x 2

19. f(x) = ~ x · +2 23.j'(x) =

e-~

l5 e.

·3" · X,;b) 1n (I - X·) -- - L.. ~I- ·.\..., ...,vXE-, [ I l);c)21ni· 3

n ·4u

x-2

20. l(x) = _ 1_ x +2

c) f(x)=(ax+ bl,a >O;keQ\Z: d) f : (- ;,oo) -+RJ(x) =ln(a.\': +b),a>O

1

I(

R:a)

L -3 --3 )· ] (X+2)• 10 10

x- 1

S5 se dczvolte um1atoarele funqii in seric Taylor in juml punctelor indicate: 7. f: (· oo, 2) - >R, j(Y) = In (2- x), a = -3 8. /(x)=sin(2:(+ 1~a=0 I 10. f:R\ {- 1,-J } ~R. j(x) u. ,. R R f I ,a=-2

n=O n!

ll=l

4x-1 2 3x -7x+4

24. S~ se scrie urmatoarclc functii ca sumc ale unor serii de ptucri: a) f(x) = ln(V1-x2}b) f(x)=e 2x+3 :

3. a) Sa se scrie seria Taylor asociata functiei f : (- 1/3, oo) ~ R. fix)= In (3x + I) in punctul a= I b) Sa se dczvo ltc in scric Mac-Laurin functia /: (· oc, I) ~ R, j{x) =In (I - x) ~i sa sc prccizczc rmltimca pe el' estc valabita dczvoltarca gasita. c) Sa se calculeze sum a scriei - 2)"+1 1

2 x-1

17.

(·k- tr

c) Sasecalculezcsumaseriei:

u=O

3x-4

1+ 2x

b) Sa se calculczc valoarea numamlui '},(e cu trci zecimalc exacte.

'= .t... - - -.

x - 3 cos x .

f(x) = ~--3_;obtincmseriaTaylor ~ [( ! )" 13 (

14. (:

in punctul a = I. , C\1 c lntrc I ~i x 1

2. a) Sa se dczvolte in seric Mac-Laurin functiile {,g: R ~ R, j(x) = e1·"

'(O.O>

=I ·

I'

X,

lD1

(T.,.)·.. )-(0.0)

lim f(x,b) - .f(a,b) exista ~ i cstc finita. X- Q

Dadi exista ~i este fmita, valoarea accstc i limite se notcaza

(~ (a, b)

sau of(a' b)

ax

~i sc mune~te derivata par(ialci in

y~h

Dadi exista ~i estc finita, valoarca accstci limite sc notcaza

y-b

f;, (a, b) sau of(a, b) ~i se nume~te derivata parfialci in -

oy

~ (.r,,y.)-7(0,0) lim lx"31 + Xn 2

p(x,y)=~(x - a) +(y-b)

2

Propozitia 1. Daca f: A c R l - > R cstc diferentiabila in punctul (a. b)

t;.(a,b) in punctul (a,

b), iar A. = f;(a,b)~ip =

E

A, atunc i I ad mite derivate par,ialc

r~ (a,b)

1)1"51=0=:>

lim

prinummre, confom1 definitiei l, rczulta ca bl ~

lim

ln(l +xy)

+

Yn4

Vom arata ca nu existrt

.

avem:

xy

~i n4w lim (x'

n~oo

lim f(x 111 y 11 )

2·

=0

xy

xv ·

• * (:R x R -tR,f(x,y)= x2

,y'r,) =

;t:

(o,or (x

11

,y11 ) =

(1,n l11), (x'

I

2

n~oo 2

lim f(x' 11 ,y'n)= lim n' 11 ~ 00 11 ~CfJ _5

2

+ )'2

lim f(x' 11 , y '11 . I tm

),

b) ( : R 2

y '11 )

=(1, 1) 11 n

= ~;deoarece )

rczulta, conform definitiei I , ca nu exista

In(!+ AJ')

+ y2

2

a) f:R2~R f( )' x,y -

11 ,

112

n~oo

~ ~· 3x y (x,y) #-(0,0); vx· +yO,

Observafie. Toatc dcfinitiilc valabi lc pcntru fi.lllctii de doui"t variabilc f: A c R ~ R sc pot cxtindc pcntru cazul funCI' de n variabilc,f: A c R" ~ R , 11 eN, n ~ 3.

+ )'4

Sll sc studicze continuitatca unnato:+~dy](n) f(a,b) 1

Notiim

L= ~ ~i

(x,y)-+(0,0) x2

intr-o vceiniitate a punctului (a, b) e A, continue in (a,b), atunci fcste diferen!iabih\ in punctul (a. b).

11

n~

prin urrnare nu ex isla

cy

+ 1,5) ·

x2

ln(l+xy)

--

lim f(x 11 ,y11 ) = lim

f'ropozitia 3. Daca f : A c R 2 ~ R admite derivate partiale f~ (x, y) ~i f;(x, y)

ax

o

(x,y) - >(0,0)

lim

lim (x 1,y11 ) = (0,0) n-+oo

n->oo

Sc numc~tc diferenJiala de ordinu/n ajimcJiei f In punctul (a.b) functia:

fo(x3

0

Consideram ~imrilc {(x11 ,y11 )LeN c R* x R* ~ i {(x' 11 ,y'11 )}neN c R* x R*, astfel inc;it

Propozitia 2. Daca j: A c R 2 -> R cste diferentiabi la in punctul (a, b) eA. atunc i fcste continua In (a.b)

df(x,y; a, b)= //a,b)(x -a) + f;(a,b)(y-b) = /'l;(a,b)dx+ f~(a,b)dy ·

11

lim Xn3+Yn5 (x,y)-7(0,0) Xn 2 + Yn 4

Inn (x,y)-7(0,0)

lim

(x,y)~(O,O) x2 ;- y2

;;,(a,b)

Delinitia 5. Fie f: A c R 2 ~ R o functic difcren1iabila in punctul (a, b) interior lui A. Sc numc~tc diferen{iala de ordinul int6i ajimc{iei fin punctul (a b) func1ia liniara:

fJ

+ Yn ;

xn2

y

(x, ,y.)-7(0,0) )'114

raport cu y afimctieifln punctul (a.b).

1

= 1· (x.,)·.,)->(0,0) lim X 2 + )'

5

(x,y)-7(0,0) x2 + )'2

Definitia 4 . .Functia f: A c R 2 ~ R cstc diferen{iahihi in punctul (a.h) e int A daca cxisUi doua numere realc 2 ~i Jl ji functie co: A ~ R, continui"t ~i nula in (a,b) astfel inc:it: ((x, y) - f(a,b) = ..1 (x-a) + Jl (y-b) + cu(x, y)· p(x,y)

5

+ Yn ! 4 x., + Y. XII

(x..y~r-!(o,ot::: :~:::Is (x.,y~~>(O,ot,/: 41 + (x)\r:~(O,OJix, /: 41 ~

raport cu x afimcJieifin punctul (a, b).

Analog, functia f este derivabilii In raport cu y in punctul (a, b) e A dadt lim f(a,y)- f(a ,h) exista ~i este finiti

3

5)

s

J

yn

X-HI

d 11 f(x,y;a,b)

tg( 3 +

lim

3

Definitia 3. Fie f: A c R 2 ~ R ~i (a, b) eA. Functia f este derivabilii in raport cu x in punctul (o.b) e A dadi

unde

. A vern:

-4

+y

lun "' ~· ; c.•,.>·. >-•(0.0)

-3x-IYI - = 1.1111

J7

O _ f(O O), dcci func\ia 31y 1- ,

~· (x,y)~(O,O),

l

l:R1~R. l(x,y) = -yx2+i j

1

cste continua pe R2 \ {(0, 0)}, tiind rczultatul unor operatii algcbrice cu funqii clcmentare. Rillmine s:t studiem . 2;~y" I hm - . ( 2 )- , , \M)-tO.o) Xl + y' . continuitateainpunctui(O,O). lim f(x,y)= hm 1+ 2-\y x +y = e ' (x,y) - >(0,0) (x,y)~(O,O) lim

2 2 ~

(x,y)- >(0,0) x3

2k' - -;-

Pentru (x,y)

lim f(x 11 ,y11 )= lim /,'.

n~oo

n~O')

· · 1, ca- nu extsta · • defimte•

1 --i=-n

(t k) ·

· ' f 1e~m1 ' · 1 ( x,,y,. ) = -;;•-;;, avem·· nuex•st.t.

2k = --

* (0,0) avcm:

f x (x,y)

'

x3

fy(0,0)

cste continua ~i i n punctul (0, 0), prin unnare este continua pe R~. b,

f(x,O)- f(O,O) x -0

= lim

( ,(0,0) = lim f(O, y)- f(O,O) J y~O y-0

x~o

=

.

0-0 x

- - = 1un 0 = 0 x~O

lim 0 - 0 y

=

y~O

3

punctul {0, 0). J. folosind dcfinitia, sa se calculeze derivatcle paqiale de ordinul intiii in punctul (3, 2) ale funqici

(: (0, oo)xR ~ R,

f~(x,y) =~(x' ~ y2

; / , (x,y)

)" (x,y) • (0,0)

lim 0 = 0 · Re21llta: y~O

·!(,' ~: 2

, (x, y) = (0,0) 6. Folosind definitia, s~ sc arate di funqia

2 2) /(32) . x - 3 . ~ ( (3,2)= lim !( x, ' hm - - = hm(x+.>)=6 x x - >3 x-3 x~3 x - 3 x - >3 . 32 3~' -3 2 • 32 (3-"- 2 -1) . y-2 - 1 3 (3 2) =tim f( ,y) f(' ) =Jim - = lm1 = 9lim-= 91.n3 )' ' )'->~ y- 2 y->! y- 2 .v-> 2 y- 2 Y"' 2 y - 2 2

f

, (x, y ) = (0,0)

1:

R 2-> R, l(x. y)

Rezolvarc: Functia f este difercntiabita in punctul (I, -2) daca exista )._, p

4. Sa sc calculezc derivatele paf'liale de ordinul int5i ~i doi ale functiei

R, . f(x,y) = kxa yfl; k, a,

fJ E

R.

Rezolvarc: • (>:(x,y)

= kax a - 1y fJ ;

r

· ) = KX 1 a/3 f,.(x,y Y P-1

r~·, (x,y) = (r~(x,y) = ka(a -l)x(X- yfJ ~~ (x,y) = [J~(x,y)t = kaxa - 1py/3-1

r;, (x,y) = [r;cx,y)L = Observafie. Pcntm

p(x, y) =

sc numc~tcjimcJia de produc(ie Cobb-Douglas.

f: R 2

E

.J(x -1 ) 2 + (y + 2)2 . Conf01m propozitiei I diu brcviarul teoretic, avcm ca dadt 1 este ~i JL= j~ (1,-2) = -3 . Astfel, rclatia din dclini!ie devine:

2 2 4x -3y-IO = 8(x-l)-3(y + 2) +cv(x,y)· + (y+2) 2 2 Pentru(x.y)#( l,-2) rcZ\Jita ( ) 4x -8x+4 4(x-1) 2 , iarpentnt (x.y) (J) x, y = --;===~===:= 2 2 2 2 ~(x-1) +(y+2) ~(x-1) +(y +2)

)cx-1)

I.Ul1 =

J;~ (x,y)

kxa /3(/3-l)y/]

f3;;::. 0, funqia

3 y csre diferentiabila in pw1ctul {I, -2).

=

(l,-2) vom

considcra ru(:r, y)= 0 (penrm ca func!ia w sa se anuleze In punctul ( 1,-2)). Avem:

2

k > 0, a~ 0,

= 4x 2 -

R ~i o l'lmctic (O : R 2--. R, continua ~i uula in ( I. -2), astfel inciir: {(x,y)- f(l,-2) = A.(x -l) + ,u(y + 2) + cv(x,y) · p(x,y), undc diferentiabi lf!ln punctul (I, -2), atunci A.= j~ (1,-2) = 8

-7

)" (x,y) • (0,0)

f(x,y) = xY

Rczolvare:

(': R 2

95

-)

R, f(x, y) = kx"' yP

b.,l->(1,- 2)

2

( · )

. 11m

'

(x.yH(l.-2)

wx y =

• . 4(x-1) 4(x-1) 2 < lim = 0 = cv(l,-2) , pnn urmarc ~(x _ 1) 2 + (y+ 2)2 (x,y)->( 1,-2) ~(x - l) 2

r~nc1ia w cste continurt in punclul (I, -2). In concluzie, cx ista A = 8, Jl = -3 ~i funqia ro: R2--. R. 2 4 w(x ) 1 (x -l) , (x,y) (1,-2) , continua

-l

,y -

y(x- 1) 2 +(y+2) 2

~

~i nula in ( I, -2), astfcl lnc5t

(x,y) = (1,-2)

0,

f(.t,y)- /(1,-2) = J.(x -I)+ ,L0 x2 + y2 y~O

2

2;

/) lim X -)0

o)lim(x2 + y 2 )e·(.0 y ->0

y-'>0 R: a) pentru (xn' Yn) =

(-nl ' !n) ~ (0, 0),

k

;e

4-,dcci limita nu cxista· o)nuexistA· ' t)O; '

- 1. ob!incm ca I'un f(x ,y ) = 1-k dcpmdedealegerea . lui 11 11 n--)oo I+ k

d)O;

'' nu exista;

!JilClltru(xn, Yn ) "'

(I1n , -k) ~ (0, 0)• obpncm . c~

4 · k dcpindc de alcgcrca lu1· k, dcc1· II.mt'ta nu 11m f(x 11 ,y11 ) = - Qlstl· g) 112 . . ~~~"' k8 +I ' 0, h) nu CX!Sla; i) nu cxista; j) 0; k) 0; /) 0 ; m) oo; n) oo; o) 0. 11

Funcfii de mai multe variabile reale

Matematici aplicate In economie - culegere de probleme

98

2 _ Sa sc studiczc continuitatca um1atoarclor func1ii:

1-

~I+ x 2 + / 2

(x y) ., (O,O) ' '

,2

x +>

a)f(x,y)= \

b)f( )= x, Y

c)f(x,y) = 2x- + 3y 1.

2

, (x,y)

{

(o' o)

~ (0,0)

ye x' d)f(x, y) =

(x,y) = (0,0)

~(~: +y!)·sin...!..., xy

o,

2 ' y2 +e-x'

I

s.

,

(x, y) e {(-3a, a), a E R}

,.,

(:R -_.. R, j(x,y) = I

2

vl + x

2

.

= (3 y 2 -

· ·

•

• [1

. ·

f · Rz-+ R , .f(x· · y) = 3x - 5/este diferentiabila in.punctul (3, - 1).

s.

Sa sc smdiezc difercntiabilitatea unnatoarc1or functii in ptmctcle indicate:

a)

f: R2 ->t-R, f(x,y) =

~2(x+ 1)2 +3(y-2)4

in(- l , 2);

f(x,y)

b) f:R2 ->tR, f(x,y)={(l+xy)ar:tgy' (x,y)=F(3,0) in (3,0);

c)

r:R

2

._, R'

f

(x,y) = (3,0)

t l(34) (x, y) = (1 + X 2)sinv· • Ill punc u ~ ' .. .•'

R: a) f nu cstc difcrcntiabila in punctul (- 1, 2); b) f c) f cstc difcrcntiabila in punctul (·3, 4).

.J1;j. Sa sc studieze:

l

;~

2

. nu cstc chfcrcntmblla Ill punctul (3, 0),

6. Sa sc scrie difcrcntialclc de ordinul I ~i 2 in (-1. 1) ale functiilor de la problema 3.

2

(x,y)

2 xy ., ' (x,y) 2x + 4y-

=(0,0)

I,

~ (0,0).' b) f(x• y) = x vipy I· YI

(x,y) = (0,0)

R: a) Deoarece functia nu estc continua In punctul (0, 0), rezulta ca

b) doarece nu cxista

r; (o,

f nu estc diferentiabiH\ in acest punct;

0 ). rczulta ca f nu estc diferentiabilli in (0, 0).

II. Sa se scric difcrentialele de ordinul intai ~i doi ale funqii lor: 3 o) {:R - >R, f(x,y,z)=3xy 2 -2x 2yz 3 +4,-cr-5y3 +I 3

b) {:R ->tR, f(x,y,z)=sin(ax+by+cz) c) f:R 3 ->tR,

f(x,y,z)=~x 2 +2y 2 +3z 2

12. S3 se scrie diferentiala de ordinul n pcntru unnatoarele nmctii:

f:.R 2 ->tR, f(x,y)==eax+/]y; b) f:R 2 ->t R, f(x,y)=s in(ax+by);

o)

3

c) (: R - > R, f(x,y,z) == cos( ax+ by+ cz); d)

0,

(x, y) == (0,0)

Y , (x,y) ¢ (O,O). Sa se studieze: (:R -'> R, f(x,y) = x + y 2

1

=

e

20z 3 - 30z + 6/) esm' ; f~.(x,y,z) == J;~(x,y,z) == 30yesx+= ·'

4. Folosm.d definttla, s;1 se arate di unqta . .

~

- ) .5x+z· ) z

f~ (x, y, z ) = /.~(x,y,z) = 5(6/z -lOzl -5)e>n ='; .(~ (x,y,z) = /,.(x,y,z) = 12yz esx .. .

9. Se considera functia

al

(~ (x:y) = 6x +lOy; f~. (x,y) = .!;~ (x,y) = - 12yJ +lOx;.!;.', (x,y) = -36xy2; ' j) ·~:; (x,y,z) = s(3y2- 5z )esx~:> ; J;(x,y,z) = 6yes.,~z'; .( (x,y,z) = (6y2 z -1 Oz l- 5)esm· r;·, (x,y,z) = 25(3/- 5z} Sx+z' ; j~~' (x,y ,z) = 6e5x+z' ; z -

0,

10. Studiati difcrcntiabilitatea wmatoarelor functii in punctul (0, 0):

. )

R, f(x,y) ==

c) f nu este diferen!iabiHi in origine.

.

2

j(x,y, z ' 3 2 12. R:aJ/.(x,y)==3x 2 -3y 4 +iO.x:y; fy R, f(x,y) = (x2 + y2). e-(:c + y · jJ f: R _, R,

(, (x,y,z) = ( 12/z 2

(x,y)~(O,O).

a) continuitatea funqiei; b) existcnta dcrivatelor parjiale ale funqiei; c) difercntiabi litatea functiei . 2 R: a) f continua pe R ; b) f arc derivate paqiale pe R 2 ; c) fdiferentiabila pe R 2 \ {(0, 0)}

·, /1) f' ·· R 2 -> R • j'(x • y ) = (3x + 2y )sm(;x.y)'

I+ x- y

Se considera functia f: R 2

.

y) ,

f(x,y)=xy+~+~;x~O. y~ o ;

eJ((x,y)=e2x~~ +y2+ 2y}./)f(x,y) = xY , x>0; g)

:2y 2' +y

a) continuitatea funqiei; b) existen1a dcrivatelor parjialc ale functiei In puncllll (0, 0); c) diferentiabilitatea nmctiei in punctul (0, 0); R: a) f continua pe R2; b) fare derivate paqiale In originc;

(x, y) e R 2 \ {(- 3a, a), a E R}

3 . Sii se calculeze derivatcle pa:tia1e de ordinul intai ~i doi ale functiilor: 3 2 a) l: R2 _, R, f(x,y) =XJ -3:xJ: 4 + 5x 2 y-12y ; b) f(x,y)= x Y (6-x -

f(x,y)==ln(3+x 2 + 2i) ;tlj

X

f continu3 pe R2 \ {(0, 0)); b) f nu arc derivate paqiale In origine; c) f diferentiabila pc R 2 \ {(0, 0)}.

' • . f t' nua pc R~· daca a -" 1 anmci f continua pe Rl \ {(0, 0) }; c) f R: a) f continua pc R·; b) daca a= 1, atw1c1 con • . •, ! r ' . , ~ } . • R2 \{(O O)}. dljcontinua pe Rl\{(0 O)}; e) f contmua pc R ;.J).fcontmu,t peR 2 \ {(- Ja, a), a E R contmua pc , , 1 •·

c) f:R 2 ->t R,

)-l

y -

R: a)

(x,y) e {O}xR

x+2y \

X,

s~ se studiczc:

(x,y) E (R \ {O})x R

(x,y)eR'xR· f)f(x,y)= x +3y'

(x,y) e R x {o}v {o}x R

R j'( r ·R2 . -'t '

a) continuitatea funCiiei; b) existenta derivatelor paqiale in punctul (0, 0); c) diferentiabilitatea functiei.

0,

e)j(x,y)=

)-

(x,y -

a,

(X, y) = (0,0)

I -2,

;'0'

.

1. Se considera funqia

{(1 + :XJ')J:::./:r, (x, y) ~ (0, 0)

f:D->t-R, f(x,y,z)= ln(ax+by +cz),

D=~x,y,z)eR 3 1ax+by+cz>O}.

R:o) d f(x,y)= (adx + bdy)C11 )ea~+by ; b) d 11 J(x,y) = (adx + bdyin) sin(ax +by+ nf); 11

c) d"f(x,y,z) = (adt+ bdy + cdz )(n) cos(ax +by + cz + n f ).

99

Matematici aplicate in economie- culegere de probleme

100

Func{ii de mai multe variabile reale Discu(ie. Daca toti minorii t:., > 0, atunci P (at, a1 , . .•• a.,) este punct de minim local. D 0; (a,b)< 0 .

0; - punct de maxim local, daca (~· (a, b) < 0 ·

2.

PROBLEM£ REZOLVATE

Dacli t:. (a, b)> 0, atunci (a, b) cstc punct ~a.

Tcorcma 2. Fief: A c R" _, R. Prcsupunem ca a.e A estc pw1ct staJionar a! funcJici ordinul doi continue pc o vecinatatc V a punctulm a. Atunct: I} daca ctf(x; a)< O, pcntru orice x e V n A, atunci a estc pwtct de m~x.im local; 2) daca d](x; a)> 0, pentru orice x e V n A, atunci a este punct de mmtm loca l; 3) daca func!ionala rlj(x; a) este nedelinita, atunci a este punct ~a.

f

~if admitc derivate panialc de

I.

Sa se determine punctclc de ext rem local ale funqiei j: R 2- . R , j(x. y) = 2x1 +

l- (i xy + 1.

Rc7.olvarc: Etapa I. Detctminiim punctele stationarc, care sunt solutiilc sistcmuluilui j_l:~ (x, y) = 0 .Avem:

r;.(x,y)=3y 2 - 6x

J y (x,y) = O Algoritm de determinare a punctelor de extrem local ale fi.mctiei f: A c R"-+ R

Acest algoritm se apl icil pentm multimea punctelor in care functia ordinul doi continue intr-o vecinatate a punctclor respective.

.f cste difercnJiabila ~i admitc derivate raniale de

£tapa I. Dcterminam punctele staJionare, care sun! solutiile sistemului:

\

f~ (x,,x,, ...,X )=0 11

·:

.-

.

_

H(a1>a2, ...,a11 )

= [

J;,x, (a, ,..,a11 ) ·

/;;

••

•

0

••

•

••••

f;.x,(a, ,.. ,a")

• •• • •

(a~o ..,a11 ) • • • • •

=

•

•

••

•

••

•

0

•••••

•

••

f.~ (x1, .t 2 , ...,x,)=0

••••••

•

2x=O

lx =~: y1

- 3y =0

=

~i minorii accstcia ~t. t:.2 • .... t:.., undc t:.1 cstc minornl format din primclc i linii ~i i coloanc ale matricci II (a, b).

0, x 2= 9/2;

/ .(x,y )]. Avcm: •.ry

f •' (x,y)

r;·l (x,y)= [t:~.(x,y)]:. . = [4x -6y[. = 4; f~(x,y)= ~~(x,y)]> [4x-6y]> -6 = J~(x,y); r;.(x,y)= [r;(x,y)]>

•

l .x, (a, ,..,a,,)· · · · · · · · .f;; (a, ,.. ,a,)1

. [ / , (x,y) ll(x. y·) = ·'•

/ , (x,y)

f;,x, (a~o..,a,,) •

y·-

Din a doua ecuatie obtinem Yt 0, y 2 3 de undc, prin inlocuire in prima rclatie, rczulHi Xt = Am obtinut punctelc stationarc: P 1(0, 0), ? 2 (9/2, 3}

11(0,0)::(_: 0

- 6x=O

">

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staJionarc sunt punctc de cxtrem local.

1

• • • •

3y

{2x- 3y = 0

Scriem matricca hessiana:

f~,x. (a~o..,a")

•••

(iy = 0

2

·····································

Metoda 1. Pcntru ficcarc punct sta1ionar P (at. az . .... a,) calculiim matricca hcssiana:

f;,x, (a,,.. ,a11 )

{4x-

fx, (x~o .t2,...,.\" )- 0

£tapa 2. Stabilim c~re dintre punctelc stationarc sunt punctc de ext rem locai. Acest lucru se poate rcaliza in mai multe moduri:

f;:(a1,.. ,a,)

prin unnare rezu lta sistcrnul:

f~(x,y)=4x-6y ,

H(J.3)=(

4

-6

-

~) ~ ~,

[3y

=

2

4 > O,

-6xL= 6y ,

~ 2 = 1-4 - ~I = 6

H(x,y)

dcci

_

=( -6J· 4

-G

Avcm:

6y

1 36 < 0 , dcci P (O,Q} cstc punct

~a.

-6)~/', =4 > 0 ~ 2 = 1 4 -6 ,=36 > 0 ,dcciP2(9/2,3)cstcpunctdcminimlocal. 18

I

'

-6

18

Matematici nplicnte in economie - culegere de problemr!

102

sr1 sc dctcnninc punctclc de cxtrcm local ale functici

2.

Funcfii de mai multe variabile reale

R~-> J(, f{.:, y) - 6x~y + 2/ 45x · Sip 7.

f:

f : (R . )2 --' 20+50 ---, R, f( x,y ) =xy + -

3 Sa sc detcnninc punctclc de cxtrcm local ale functiei

.

x

Hczolva rc:

= 0. Avcm: fy (x, y) = 0

/ (x, y) = 12xy - 45

{

, deci ob!inem sistemul: 12xy - 45 = 0

/·'c Y x,y)=6x2+6v2-51 . .
t 2 - 4t+ 'i =O=> IJ =2, 12 =2· 3

X

x

= -~2 .

(32, 2s), P2 (s2, 23), p3 f_l _i)2 ' P,4 (-12 ' _l). \ 2' 2

f~ (x, y)=l=J,: (x,y) ;

1

1/(x,y)=[:

100]=>

/1(2, 5)

(,(x,y)=l OJO J y

=(~ ~J 5

)''

Avern 6 1 = 5 > 0, 62 = 3 > 0, deci P-(2,5) este punct de minim local.

£tapa 2. Stabilim care dintrc punctck sta!ionarc sunt punCh! de cxtrcm local.

4. Sa se detennine punetele de extrem local ale funqi ei Rezolvarc:

Metoda I. Scriem matricca hcssiana.

(x,y)= [r~ (x,y )]~ = 12y; t:;(x,y)= ~:~(x,y)L= 12x = J;;J,,y);

Avem: ( ,

1 .· fy, ' (x,y ) = [fy·'(x,y )]'y= 12y' cecl H(l i ) =

(

2' 2

30 .1 8

H (-5 -3)-(18 -

30

2' 2

18) 30

=> 6 1 = 30 > 0

,

H(x,y) = ( 12y 12x

!J..,

-

=

2'

2

30

30) = 301 =-576 < 0 O D. 2 =118 => .6.1 I 8 > , ,., IS 18 .) 0

30 -1 8) =>6t = -30< 0,!J., - 18 - 30 -

=>6 ) (-18-30) - 30 - 18

H(-.?. _l = 2' 2

18

1 = - 180 - 30

=

l

~-18 - 3~ -- - :>7676 . > 0 ,dcci p,l (l2' 1) punct de minim local. 2

_ (H{_l _~)= \

12x)· 12y

f: (0, col·-> R, f(x, y) = x2 + /+3.xy -

Rad~cina negativli nu con vine, deoarece x > 0 ~i y > 0, prin urmare f inlocuind y = 2 x in (1), rczulta x = ± I. Cum x > 0, rezulta ca singura valoare care se accepta este x = I, deci y Am obli nut Wl singur punct stationar: P(l , 2).

=.£ = .!. => y = 2x y

2

= 2.

Eta~ 2. Stabilim daca punctul stationar este punct de extrem local. Metoda 11. Calculiim exprcsia:

.6.(x, y) = [f,J'"(. x, y )]2- fr'"(X, Y )·J,.,"(·X, Y )-- 144(X 2_ Y 2) . Avcm:

A(l2 ' i)2 < 0 r"·x · (l2 ' 1)> 0, deci P,1(l\:2 ' 1) dC 111i11im local. 2 2 c,(12'2l)> 0, prin urmarc p?-2(1 '2l) cstc pw1ct ~a. ( 3 s) 0 . r" ( 3 s)6 2

~

1 • deci rnatricea hessiana este: y

3]·

.r;(x,y )]=[2+ ; , " 14 fy•(x,y) 3 2+Y, 1 =10>0, Az =

I' 3

Avcm:

0 II31= 46>0 , prin urmarc P( I,2) cstc punct de minim local.

2

Func{ii de mai multe variabile rea/e

Matematici aplicate In economie- culegere de probleme

104

s. Sa sc detcnninc punctclc de cxtrem local ale funetiei f: (R' )J ~ R, f(x,y,z) =.\)IZ +..!_+..!_ +..!_ X

y

Z

Rezolvare:

•

)

2z .

f,(x,y,z)=yz - -r • x de unde rezulta Ststcnml· .

I

=0 >r;: - ...!.. x2 , echivalent cu xz -_..!._= 0

f J (x,y,z) = xz - 2 y .

f'CJ'(x,y,z) = x

2

>'= = I (I)

JX)h: = l

lxyz' = I (3)

y'

H(x,y,z)

=

I

I

xy--=0 z' fmpartim ecuatiile doua c~tc doua: (I): (2) => x = y; (2): (3) => y = z. inlocuind x = y = z In (l) rezulta x' = l, deci x =I sau x = -I. {,(x,y,z) = xy - 2

z

)

. 2 . • 2 . 2 . r " (x y z) - z - r" (x y z) ; ( .t! (X' )'' z)=' ( (X )' z)=' l X, y,z =---; ' I ;ry ' ' - - J Y' ' ' X) i ., ' y3 = z

r·,(x,y,•)

J;.(x,y,z)

H(x,y,z) = j;:(x,y,z)

j",(x,y,z) )' .r,',.(x, y,z)

.f,.(x,y,z) 2

H(l,l,l)= [ I

I

f~(x,y,•)

l

t;: 0, 6

2

I

I 2 - 2 -I

-ll Avern ll

1

2

7

.f,, (x,y,z)

I

1

Avem

z

z

=

y

X

y

J:, (x, y, z)

.f~ (x,y,z)

f,(x,y,z)

r ;.(x,y,z)

f, , (x,y,z)

)xyzl

1

. , echtvalenl eu

-~+.!._=0 y2

y

4

, I 1 f:(x,y,z) = -- 2

z

z

4

= yz

3

z =y

y =2z => z 3 = 2z =:> z =±.fi,y=±2.fi,x = 2 ·

=-2z => z = O(nu convinc) sau z 2 = - 2=> z ~ R .

Am obtinut punctclc stationarc

I

8 I 4

2x

=

y'

4

P1(2,2../2, ../2)

0

l

1

2

0

7

0

.J2

0

J2 >0

x2

4

8

2

6, = 2_>0 A

'·64

=

•J

8

4

I

J2

8

8

0

--

0

4

J2 >O•deci !i(2,2../2,../2) punct dcminimlocal. 64

2

.fi Ll = - 3 >0, t. 1 =-- 0 ' deci p4 (0,- 2) este punct ~a.

Ll.(- 2,0) = 64 > 0 , deci

. . \ ' " dcci P. (-1 -1) este punct de mmnn local. Ll.(-1,-1)= -32 0, dcci Ps(0,2) estepuncqa.

( (x y z) = 4x + 4z

p3 (J2, 1,- 2.Ji) este punct de minim local.

2

~]·

'deci nu se poatc stabili natura punctului folosind matricea hessiana. 2 6(0,0) (0,0 )] (0,0 )· ;;, (0,0) 0, prin unnare nu se poate preciza natura

= [r~

~~·,

=

punctului nici prin accasta metoda.

2

r·11l utmarc nu sc poatc stab iii natura punctului

d

Pt (0, 1, 0)

matricca hcssiana. . . . d ordinul al do ilea a func\ici in punctul De accca vom studia scmnul dtfcrcnt•a1ct c ., , I 2 2d•2 + 8dxdz. Rczulta: • p (0, l,O). Avcm: d 2 J((x,y,z},(xo,Yo,zo))=12xo dx- + 6 Yo'!Y + 1

folosind

2

f((x, y ); (0, 0 )) = 2c1x 2 , care cstc o func!ionala scmipozitiv dcfinita, dcci nu sc poatc

dctcrmina natma punctului cu ajutotUI difcrcn1ialci. • Folosim dcfin itia punctt1lui de cxtrcm local. Avcm dl /(0, 0)=0. Fie V o vccinatatc a punctului (0, 0); rczu lta ca cxista

(a"a

{o, -1)e

{o, ~)e

E:

> 0 astfcl lncat (- &, & )x (- &, & ) c V ; fie

-f

2 )= V $i (b1,b2 ) = V; avern ca f(at ,a 2)= < o =f(o,opi f(bl>b 2 ) = c; > 0 = f(O,O)· Prin unnarc, am aratat cain oricc vcc inatatc a punctului (0, 0) functia ia atiit valori rnai mari ca /(0, 0), cat $i valori mai mici ca /(0, 0). Rczu lta, confom1 dcfini1ici, dl P (0, 0) cstc punct ~a.

Fzmcfii de mai multe variabile reale

· • Cll 1eget ·e de probleme JHatematici aplicate In econotme

108 . 1 de cxtrcm local ale funclici f: R2 ll. Sa sc detcm1lllC punctc c Avem· · Rezo\varc: £tapa 1. Determ:na~1 punc.te~c ~~1-~o~are; e·'-Y (~ + 1)

,

=> ) = y·e' > + xy e - y !, (x,y _. ·' -r _ _, __,, (2- y) {/ (x,y) =2xye·' xy c ·- ..\ye 2

~ R,j(x,y)

_2_) cste punct de maxim local. 2, 2) \ {0}, at unci p(...1.... _2 _) cste punct ~a. a+2'a+2

(-co, 2). atunci

dadi a

E

dadi a

E (-

Diny rima ccnalic rezulta eli x = -1 sau y =0: 'V e R P • = 0 => x e R => ( a,O) punct sta\lonar, a · _ => (-I -2) este punct sta!ionar. . ' • Daca y - l => = 0 (obtinut ~i Ia cazul precedent) sau y-- 2 • Daca x - Y 2 x- y ( 2) · " ) _ 2 x- y (x + 1) + y2 ex-Y y e· x+ ' fx'(x,y -Y e 2 x-y_ x-y( 2 -4y+2) ;

=

>

2

-xe

)

f.:V(x,y)==2yex-Y(x+1)-y ex-y(x+l ==)'

.

l2

y e x-y( x +2)

H(-l,-2)= ( 0

J

xex-y

0

-,

J;f,.l = a

62

ci -4y+ 2) ·

·

·•

.\. amra punctulm pnn accasta m =O=>nusepoatestab11n,

etoda

Cazu c) Daca a = - 2, atunci ecua1ia (I) devine: 0= - 8, deci f nu are puncte sta!ionare. Presupunem cii fare un punct de extrem local P (a. h). Ocoarecc f admitc derivate par!iale in orice punct, confonn propozitiei din breviarul teoretic ar rezu lta ca f;(a,b)= j;,(a,b) = 0 • deci p (a, b) ar fi punct SlaJionar, COntradicJie.

+oo_

2 + + ++ + ++ - - 0 ++ ++ ++ +++ ++ + + ++ - - - - - - - -0

-- - - - -. -- - - - ++++ ++ 0 - - . - . -

-

•

)

j,(x,y,z

= /,

4x

. . . , = 0 , StStem care nu are so1utte.

3~x- + y 2 + =-

'

4y

.

3Vx2 + y2 + z2 4;

fr (x,y,z)= J,(.Y,y,z) =

- O =0

3Vx2 + y2 + z 2

' '

-

101

X->0

•

/(0,0,0) _ . xl' _ - 11 0 1 - - 0 X- 0 X->0 X

.:

r.

'(o 0 0) --t·nn /(0, y,O) - f(O,O,O) -- 1·uny3 -- 0 7 , , y....o y-0 x ....o y

r'(O O) _ . f(O,O,z)- /(0,0,0) _ . z 3 _ '• ,0, - 11m - 1m1-- 0 =-•o z- 0 x->0 z Rezulta ca exista A.

a

0

l : R3 ~ R, f(x, y, z) = (x 2 + i + z2 ) ' 3

Rczolvare: Etopa 1. Determinam punctcle stationarc. Pcnlt'tl (x,y,z) 'i' (0,0,0) avem:

''(o0 O) _ 1. j(x,O,O) -

{ - ~

Yom studia semnul minorilor At ~i Az. -2 -00 a

13. Sa se determine punctele de extrem local ale fimqiei

'·

2 2a 4j-- H (_1_ _2_); c, 1 ==2a; 62 ==4a -16 +2 • a+2

=Jr·x (0' 0 ' 0) =0' ru = j'·'' (0' 0 ' 0) = 0 ' 17 = J~' (0' 0' 0) = 0 ~i o functie cu · R 3 -t R, continua ~i ' .

nula ln (0, 0, 0), astfcl lncat: l(x,y, z) - f(O, 0, 0) = ll.(x- 0) + J..i(Y -0) + 17(z- 0) + cu(x,y, z) · p(x,y,z) Rela[ia de mai sus cstc cchivalcnta cu

(x

2

+ y 2 + z2

t-' == cJ...x, y, z Xx

2

+ y 2 + z2 )" 2 , de undc

ru{x,y,z)::: (x 2 + y 2 + z 2 )"6 , care cstc continua ~i nula in (0, 0, 0). Rtlllltll ell f cstc difcrcntiabila in (0, 0, 0), dcci (0, 0, 0) cste punct stationar at func[ici Erapo 1. Stabilim natura punctului sta\ionar.

Din tabelul de mai sus rezulta:

I -a) estc punct de minim global

Pcntm a calcula derivatcle paJ1iale in punclul (0, 0, 0) vom folosi defini!ia.

f;(x,y)==2ax+4y-4 ==>{2ax+4y-4==0 ~: \ - 2a-4 (1) , 4 -4 2ay+4x-4==0 \a -4;x. { f/x, Y) = 2ay + x . ( 2 2 ) este punct s1a1ionar. · { } · 2 _ dect p - Cazul a)Daca aeR\ ±2 ,atunct x==~-Y· a+2'a+2

.

J((x,y},(a,l-a)) =4ctt 2 +4cry2 +8dxdy = 4(dx + cry)2, care este o funqional1i patratica semipozitiv defmita, deci

Prin unnare, pentru a =- 2 funqia nu arc puncte de extrcm local.

Rezolvare: . . Detenninam punctele stattonare. Avem.

At Az

= 0, deci nu sc poate preciza natura punctului cu matricea hcssianll.

al funcJiei f

. unctelc de ext rem local ale functiei: l2. sa se detenmne P ) R - { .2 2 + 4xy-4x-4y. unde a E · {:R2 -tR, f (x,y) -a\x +y

2a

H(x,y)=(: : )= H(a,l-a); At = 4, A~

In accst caz, vom aplica dcfiniria punctului de extrem. Avern f(a, 1-a) = -2; f(x,y)= 2x 2 + 2y 2 + 4.\y -4x - 4y = 2(x+ y-IY - 2;;:: - 2,'V(x,y) e R 2 , ptin urmarc (a,

0 _ae 1 1 Avemj(a 0)=0. J' (a,O) in accste condi!ii; vom folosi detini!ia p~nc~ului de !x~rc~:~~~ ~xisH\ o veci~litate V = (a-t, a+r.)x (-t, c) a punctu 'Jt • Pentru a> 0, tie t: > 0 astfelmcat a. c . 2 x- y > J(a 0) == 0 . • • . (. y) e v are Joe inega\itatea f(x,y) == xy e • astfel incat on care ar 1t x,_ . . . Rezu\11\, conform defmi\iei, ca (a,O) pun~t d_e m~um'.'.>,3) punc t de mmun

21. f(x,y) =x1+y z - 4x-4y+5, 2x+y = 3 22. ((x.y)=x2+y2+.\:v+x+.v+l, x-y=O

local condi!ionat.

24. f(x,y,z) =x2

«/ (d~:+~dy) %ciy

r:

27· f(x, y, z) = xy + :c: + yz, xyz = g

R: ( I , I) punct de minim local conui\ionat. 2 2 2. (: R 3 -> R, .f(x,y, z) = 2x+y-2z,CUCOndi!ia x + i +z = 9· R: (-2, -I , 2) punct de minim local conditional; (2, I, -2) p\mct de maxim local cond i!ionat.

l: R 2 ~ R,.f(x, y) = x 2 + y 2 + 6x- 2y + \. cu condi!ia

x +/

= 4;

1

4. f :R 3 ~ R, f(x,y,z)=xyz ,cuconditia xy+ yz+zx=ll· R: (2, 2 , 2) puncl de maxim local conditionat; (-2, -2, -2) punct de minim local conditionaL

x + y -1: z = 3 . R:

x + y + z = 5; xy + yz + zx = 8 R : (13 ' .i3 '

maxim local conditional; ( I ,2,2) , (2, I ,2), (2,2, I ) punctc de minim local conditional

10.

f(x,y,z) = -"C)'Z cuconditi ilc x+y-z=3;x-y-z=8·

f(x,y)=6 - 4x-3y

2

29.

30. /( x,y=x·+y, ) , ' 3 1.

cucondiliax + / = l ·

x ' +r'=l

. x+y, -x'I + -y'I = .2_. 1.(x,y)= a', x.:O,y;tO,a"'O r +-= 0, deci P2 (-2,-2,-2) cstc punct de minim d (x, y , z;2,2,2) = d.x2 + d'(dy + ==

R:

·

(i 3's -3s)- punct de maxml. loca l conditional; - -(-.:!3, - 3,8 3s) punct de nuntm .. loca l conditional.

d 2 (x, y, z;- 2,-2.-2) = - duly- dydz- dzdr (**)

2

x+y+z = 3

R: 3' 19.

- I

Pcntnt a stabili senuml aceslci functionale, diferenticm leg5tura: clg(x, y, z;- 2 ,- 2,-2) =

=> g:.,.(- 2 ,-2,-2) =g~(-2,-2,-2) =

cu condi1ia

14 ' f(x.y)=cos 2 x+cos 2 v cuconditia . . ' y-x=~ 4 15' ((x,y,z) =X - 2y + 2z cu conditia ,_.2 + 2 2 R: (I, -2., 2) 3punct de maxim loca l conditio at.' ( I. 2 )' + z = 9 , n ' - , '-2) punct de minim loca l conditional 16· f:R

:~> (x,y ,z) = : + 1; ·~(X, y,z) = )' + 1; ;~ (x,y, : ) ::: X+ 1

xy

12 · ((x, Y) = x + 2y cu conditia ~ ~ •( 2 X +I'" = 5 R. I, ) punct de maxim local cond·c l,tonal,. .(-2, -2) punct de minim loc·tl cond·t' ' 13. f( ) J l.lOnat. x,y = x- + y 2 cu condijia x v 1 2+3=

~i

(- 2,-2,-2) punct stationar conditional a\ funqiei f

1 :• (x,y,z) = .;,, (x,y, z) = tl)'~, (x,y,z) = 0:

11. f(x,y)

117

.:t), 3 l1 \3 ' l3 • .:!.), 3 1.:!. \3' .:!. 3 • 1) 3 punctc de

34· f(x,y,z) =x2 +2y' +3 2 ~ · .z +.>xy+.\Z+2yz.cuconditiilc 2. 35, (( ) . X + )' + ;; = 4 x , y, z = ,'}Z , cu condiliilc ,x ..L' .y - z = ), - X- y + Z = 2 '

X

+ 2 )' + z

=4

Func{ii de mai mulle mriabile reate

Malematici aplicate In economie- culegere de probleme

119

118 6.3. METODA CELOR MA l MJCI PATRATE

13REVIAR TEORETJC

Tipurile de ajustare frecvent utilizate sunt: Ajustarc liniara: y a.:'C + h 2 Ajustare parabolid\: v ax + bx + c Ajustare hipcrbolicf•: y a + Q: cu nota\ia

=

=

=

z =l

sc ajungc lao ajustare liniarli.

X

X

Ajustare dupa o lunqie cxponen!iaU\: y b. u ~. priu logaritmare se ob1ine: In y = In b + x In a sau z = A + B.>:

=

Consideram func!in de ~,justarc ( (x)=ax 2 +bx+c .

~i s.: :IJUng.: tot Ia o aJU~tare hmar~•-

Suma patratelor erorilor '·)x· ;rezulta•

7

Fc(a. b,c) = 2I~m} +hx· +c - v·)

5

Suma patrate lor erOlilor estc data de func!ia: F(a, b)=

Avcm: Fa' (a ' h)= (:

I

y·

=0

aL:x( +bL:xf

~ rczu lta sis tcmu l

i=J

Consideram fmtc!ia de ajustarc f(x) = ax+ b-

l 2 Y; }'f;

j: l

4, 1

3.9

3

-

a, , c)=2L:~ax;2 +bx;+c - y· .

2

0

-I 2,5

. I

7[

F' ( b h

I

'I

Fb ( a, I7,C) = 0

fcbtuarie 2 ,5

F~(a,b,c)=2f(axf + ht·+c

I

l=f

{F~, (a. b,c) =0 . Avem

lei, a fost inregistrat dupa cum um1eaza: Luna Consum(mil. lei) Sa se ajttstcze datcle dupft o dreapta ~i sa sc fadi o prog.noza pcntru luna iulie.

7 "[ L.... m:-1 + bx· .• rC -

-4,654x-+1,107x+76,761. ?

Pcntru progno~a lunii nnaloare vom cons idcra x "' 4 ~i rczulta /(4) = 6,725 milioane lei.

(*)

Matematici aplicate In eco11omie - culegere de probleme

CAPITOLUL7 CALCULINTEGRAL

120

PROBLEME PROP USE

7.1. INTEGRALE GENERALIZATE

1. Cifra de afaccri a unci fim1e In ultimii 5 ani, exprimata in miliardc lei, a fost:

7.1.1. INTEGRALE CU LIMITE INFINITE

Anii Cifra de afaceri (mid. lei) a) Sa se ajustezc datcle dupa o dreapta. b) Srt se realizcze o prognoza pcntm unnatorii doi ani.

BREVIAH. TEORETIC

Definitic. , o func(ie integrabila pe .· · · c ' Pie /"· [a• sl 0 lim fj( ) l "' IICC mterval compact (a c] c- >» x c r cxista este fin ita spune - ff( ·)d "' . , c >a. Daca limita , nl ca a .t '( este convcrgenta ~i f/ (x)dx ,. lim " . a .· f f(x)dx

~i

R: a) f(x) ::: 0,45x + 4,64: b) 5,99; 6,44. 2 . Valoarea profin1lui inrcgistrat de un agent economic In timp de 7 trimcme a lnrcgistrat unnatoarca cvolu\ie:

c~o::

Cntettu de convct·gcnta a . , . Fief·. [a, ct:)) -> R, a> 0 ~i /(r) · > 0 • ' 1 - _. "' · x) = L e R, atunci: rezu1ta ca mtegrala f f('r)dr x~:o 2) pentnt . a . . ,;ste convergcnta; C/. S I ''t L..;. r 0 r"zult~ a ca- ·tntegrala f·f( ~·)dx este dtvergcnta. . -

a) Sa se ajusteze datele dupft o parabolrt. b) Sa sc fadi o prognoza pentro unnatorul tritnc.stm. R: a) f(x) == -4,32x 2 + 1,18x + 79,42; b) 15,02.

a

PROBLEME REZOL VATE

3. Valoarea produselor ramase nevandute lntr-un magazin pc timp de 7 luni, cxprimata in milioane lei, estc data in

tabclul unnator: Luna Volumul vanzarilor Sa sc ajustczc datelc dupa o hiperbola ~i sa se fadi

1. Folosind defin itia'· ·sa se stud'tczc natura unnatoarelor integral··,·. acestora: ",t m caz de converge - a) J~ n!a sa se dctcnn inc valoarca

pro~noza pentru luna octombri.:.

1,

,

c:-hclr.k

E

R; b)!, = Io _ _J_

-

•~ 1

,--;--::dr: vx+2

; c)

Jl

·

I

d)

Ani i Prctul(mii lei) a) Sft se ajustezc datelc dupa o drcapta. b) Sit se realizeze o prognoza pentru unnatorul an. R: a) f'(x) = 2,5x+ 7; b) 14,5.

Studicm cxistenta limitct· L -lim - . Je-'-'dr: = limc - >oo " ,._," Pentr k 0 11 • > a vcm 1·101 e - kc = 0 => L _ I c-w.> -

b1

f(x) == 1,7x + 4,8; g(x) = 1,07 x + 1,7 x + 0,22 c) 14,9.

pcntm k .-

~ 0 rczult~

k - ka

, pnnumJarc I , estc converoenta si .J,

f(x) = -4,32x 2 + 1,18x + 79,42; b) 15,02.

' e-k'dx= -I e-ku

"'

j

·

C-+'0

C - >".

"

f : (-r.o,O] ~ R, .f(x) =

J ,'

0

'

0]

cste intcgrabila pe orice imcrval (-

, c > 0 Vom

c,

1

.

r

1I

urmarc mtegra la J,• cste convct.gcnta. ~ . cl F / unctia f.. R ~ R, /(x) = r

0

C->J

- J3 2 + 2 = ~ ,,3

. '

r~zu

~

r::: pr'111 In v2

c + vc· + 2

_,.,Jr +2 X

l

I ] c>O.Studicmlimit··· +6x+l2 cstc intcgrabila pc oricc intctval [-c.c,

.-r.

+ N'< 3 ta ca mtt,grala h cstc convcrgcnta si

"1 -

2

l• = lnJ2

I

11:)

. In lun , _,,.

1

•

L ::: lim I . ' 1 ..... ,. -ex+ ~ 6x+l2 dx=hmi I ,._,,. (:r+3)~ 3 dx = I'tmJJarctg -~x+3 -- I

('r

vcrgenta.

x· + 2

L=~~ .,I~, ~-dx=limlu(~+ .Jx-+2 •-•• · J;!;2)Jo + 2 _ = lnJ2-timlu(- c+~2)c + -In"r::: 2-

-I

k

"

I''

u

U

. . . 0

R: a)

' ,,.. ·

.·

studm lumta:

Sa sc ajustczc datclc dupa o drcapta ~i sa sc rcalizczc prognoza pcnllu unnMoarclc doua luni.

k ,._,,.

J c , c > a.

I, = eodx = s'.O d'l:; lin1 s'' d \' := hm . X = +«>. dcci integral a cste dt' ,

'/ Apltcam defini! ia. Fu nctia

6. Evolu\ia pretului de viinzare a unui produs timp de 5 trimestre este data In tabclulurmator:

a)j~x) = 2 x + 8,4; b) 14,4. 7 . Produc\ia unui bun de con sum timp de 5 luni a lnregistrat urmatoarca cvolu\ie:

r

emru k~~~~----------------------------------~:123 Dcoarccc lim xa . arctgx _ !L pcmru a 1

Matematici aplicate i11 economie- culegere de prob/eme 122 Func1ia

d)

f : [I, oo) ~ R,

Xa

l


L = lim ~ lim Inc =00 , prin umHtrc intcgrala cste divcrgentrL 1 X

e) Aplidim dcfinitia. Func1ia

studia cxistenta limitci

.f: (-W, 0)--> R. f(x) = x cos x

0

C

c.·-..-x::

: 2 2I ~ I X \X +

x"'

.2 .X

-

4

d1:, m X+

E

R

1

linl xa . ? x2 xm . l :::- · - 4 x+ 1 2

Cllinl (.(

"' 2 _

Ill

=2_

111

> 1 (::) < - 1

,

are proprietatea eft (( x )

, > 1' ~ntegra la estc convcrgenta . 1, mtegrala este divcrgenta.

Ill < 111 -

II

'f ::0 lim .f(x;,), cr::, prin unnarc nu exista lim J xcos xdr, deci ,,_.~

c~ »

]; estc divergcnta.

4. Sf1 sc determine paramctrul n e R pcntm care inteura1a

" "

-c

r:[-l ,oo) - > R, f(x) == - , --'- - cstc integr:~bila pc orice interval (-l,c), c > -1. J .' .

=

J

. In\x , - (~)", elY =hm -+21\' x+3

. < I hm ,....., _,(x+ {t

-I

II. .,f t 12. lx ~ ex,JlnJx ,.,· 1 + 1 ·

3. "' J sin xdx

_., ~x x +l I

9. s"' cos l xdx

fc-"xcosxdr,aeR

1

I

.,

2 -X+

I

i~

JX +4x + 3

0

14. "'

S. "'

10. -z J~•

~

_,-yx.· -I IS • "' · sarctgxll6.Jlnx x!+l . r ~x,a e R

R: I. divcroocnt a d nca .I I ·' a ::;; 0 ; convcrgcntft daca a > 0 ~i 1 = ;;r, 1 . 2. convcrgcn tii, 1 = J::.•v3 r::; . 3. divcrocnta· 9 ' a, 6 · d'1\Crgcnta . pcntm a< 1 ( )'·• 7 "' '· 4 · d 'Jvcrgcnta; 5. divergent"· divcrg -. . - ; convcrgenta pcntru a > 1 I - - I · cnta, 8. convcrgcnta dac;\ a e (0' 1) i 1 = -a· In a - I ; dJvcrgcnta . daca a> • I 0 .- dJvcrgcma; . a 11. ln 2 a - 1·, 9 . di vcrgcnta;

~

divcrgcnlll.

b) Funqia

daca ~i numai daca

Confolm cntenului de convergen\3 ' rczulta .. ' ca- 1 cs te convcrgenHi daca ~ i numai daca a= 46- n 70 11 - >l=>n l rCZ\tha, conform criteriului de convcrgcnta, dt integra1a este convcrgen1a. 2 .1111 0, '

Pentm o.

pcntru

a)

2

c.·~:t.J

-
>O

'

a -l c->"

Dac5 a< l ::0 L = oo, rezultft cr, integra!:I cstc divergentfL

•

2 > I rczuiHI, conform critcriului de convergent:\ . Ia cstc .•' c·'"mtcgra

2

c

(' I

Dad\

."2 •

convergenta. Va1oarea imcgralei cste:

Studicm existen\a ~i valoarca limitci: c->., I

x~oo

f(x) ::: _I_ cstc intcgrabiHi pc oricc interval compact Ll. c), c > l .

~i

~;

.

..

Cnlcu/ integml

· _ cu/egere de problem£' ,

125

.''vfatematici opllcote 111 econonue

124 convcrgcnta ~i 1 ,

7.1.2. INTEGRAL£ DIN FUNCTII NEMARGINITE

;r,fi . 14 divcr"cnta dadt a~ 0; _.· r.../3 1 ; 13. convcrgcntft ~ i I -- -· . " 2; 12. convergenta *' f =- - + ln2 9

3;r2 .

BREVfAR TEORETlC

.1 a · 15. convcrgentft ~i I== - - ' Co nverenta dadt a > 0 ~ I == ___,- ' 32 "' -+I a . I • u. < 1· converoenta dadt a> I ~ 1 { = - - 16. divergenta daca - , " (a - I)2

Octinitic. Fief: (a. b] ~ R o tunqic integrabila pe oricc interval compact [c, (~ c (a. b] ~i lim l/(x)l =co. Dadl X~a

. o ., H r unnatoare ~i, d;1Ca cstc pcosibil, . . . - - ive s't se stuc!ic·lc nantra mte,l '' ~ o .l'zimd criteriul de convergen\:1 pcntnl fttnC\11 pozll , , . Ut I I ·a sa se determine valoar~a aces tot . ,. R: divergcnta.

s

17.

arc.tgx - d. .\ X

v 1 ·'" .

__ _,

Q(

f

~i { -.!!... + l-lln 2 · R: convcn~enta - 12 6 6

arclgx d· X

R: convergentrt §i f - 4afj 27

c>O

I X 'ifi.t 5

Daca lim (x _ a)fl . f(x)

I)

·

24. uf.

x"'

f3 < 1, anmci I f(x)dx

cstc convergcnta

X~

Daca lim

dx,

R: convcrgent.t~ d aca,

I 11

< 1, divergentft dadi m;:: I . -

111 E

~

27. 15~~ dx·

0 9xb

+l

oo

3c-1

J x+x de ;/2x-J 2

este divergenta.

a

2 I b 1 cb:: b)/, = J , dr c) 13 = dt,p _,.J9-x2 - -lx· - 6x+& "x-a"

111 < -

3 convcrgentrt daca m > 3. '

J(

)

R

E

d) / 4


zolvarc: a)

dx, mEN, m;:: 2 R:

Fie/: (-3,0] -4 R, /(x) =

,, I 11 < 7 , divcrgcnta dad\ 1n ;:: 7 convergentn_ daca

.

I

. Cum lim

penuu cnrc urmato3rcle integrnle sunt convergcntc: Studicm existcnta limitei: lim Jo 0 t.>O - ;.._,.

--~--dx =lim arcsin ~~o Vr:::--:;-9 ':}- X-2

3 -3-·u:

c-.0 c>U

prin urmarc intc.grala cstc convcrgenta ~i arc valoarca

= +co '

b) Fie

r: [- 1,2)

-7

R, f(x) =

'

I

x· -6x+8

= lim(o - arcs in - 3 + ,-_,o 3 ,;;..U

£) =

!!_' 2

r, = J --~-, dt = ~ -lJ9- .c

R: b> 1113

R: c E 0

I

:~~~33 .J9-x2

.J9 - x2

rczulta ca fhnqia este ncmarginita inunu l din punctcle domeniului de integrare. Avcm ca f cste continua. deci intcgmbila pe orice interval compnct [c,O] c (-3,0] .

R:a < 29/2

X

dx.

R * pentru fJ?:. 1, anmci I .f(x)dt

R

(3x-2)'44.n 3

3~2 5

E

o I a) / 1 = J - --

IllER

R: divcrgcnta_ d· aca-

x dx, +3X+ I

Jxv2xv

(x _ a)/3 . f(x) =A

1. Folosind dcfini!ia, sa sc studiczc natura unnatoarclor integralt: ~i in eaz de convcrgenpi sii sc determine va loar~a accstora:

. nlultimea Sa se detcnmne , ' valorilor parametri lor a. b, c E R

29.

/(x) =co

PROBLEME REZOL VATE

R: convergent:\.

2

rfj

lim

h

pentru

x>a

R·. convcrgcn t 'a~··1 I =rr..[J -- -61 l11 -:t· 1~

x' +2x+4

zf.

28.

~i

a

x->,a

- 1'

I

(a,b]

h

2)

+3

Sa sc studicze natma intcgralclor:

26. "'J

=A E R

x~a

0, \:fx

x - >a

J

2

tt+t.'

Criteriu de convergcnta. Fie

R: divcrgcnta.

~ -2+4 I .).,

25.

. .... o

J f(x)dx

5x+ 13

~

23.

f(x)dx = lim

~--- tl
0 b

I

J 2x+3

18.

. lllll

h

. Cum

2

lim f(x) =+co· rezultii ca functia cstc neml'trginita in unul x-•2 XO c>O

c)

a l=f---dx '; ' I = J 3 d~; ~4-x2 ,x -3x+2

0

.< : = lim arcsin~

j

2 ()

&->0

.

pO

1

h

/, =J -

c ~(x - a)(b - x)

Avcmca lim

dx'

(x)=

1

.Ha

x>a

v-.::;;

2d; = lim 21,arccos Jt;; _

r-;- - Jr

.

arcsm ,,-;;:::

E-70

c>O

·'

(x-I )a m

2

I

~(x-a)(b-x)

=1

pentm a

. Scricm

2. J

dx

1

3. J ''

I d" -8x+ 15

n

I (b-xt dr,

IJI E

4.

R

t f' ---;:::Jll.\'

=+oo

•

I'

•

- • · ( 1vcrgenta.

olosmd ~ntcnul de convcrgentli pcntnl fuuct" .. sc deterrnmc valoarea acestora:. ·" pozltlvc sa sc stud iezc natura Utnlatoarelor in teo" . d· . . . 1 I "' ' 1 e ~· '''a estc pos1bll sa _ 4

J

:>.

1

O~l6-x2

1 =!!..

dr R: convcrgenta ~i

6.

2

I

1

J -2 x

I

b

J(

9.

l ie-

I

)

3

l!. 5

dr a< bR: divcrgcnta '

dr R: divcrgenta

-3x - 2

J

I

J~(x-3)(5 -x)

dr R: convcrgentfi ~i I=

1r

•

1

x'.JJ -In x dx

10

R: d1vcrgenta

. J-1

I

p --d-.:

.

R: convergenta

~i

I =

-In (3- 2/i)

Utili d . . _, X -I za~ cntenul de convergentii pentm ftmct'i . .. determine ,1 pozttlve sa se studicze natura iotc!!ralc loI'. ~·,. Ill • caz de convergenta. sii se 1 valoarea acestora: ~ A

II.

f

I

12

o(x+3}Fxdr

1

1 ., unde c $i dx = I,+l2 t 1 =J dx aJ t· 4

7.

2

2-t:

x> l

c). Fie

arccos

I Xu1

R, f(x) = ~

f'(x) > 0, "dx E (1,4] ~i li Cum

"+0 0 v4-x2

Fie (: (1,4] --7

"'o

_,

. Avcm lim

-2

c>O b)

;lt\X:OS (;i::. 1 . ' •·· dx = ltm J 1 (x-a)(b-x) ,_,o . 1 ·2(b - a)sintcostdt= , 2 • , ,o '"'s'" g "1/ ( b - a) s m - t . cos - t

Folosind definitia sa se stud' (notata 1 )· . ' lezc natura unnatoarelor intcgralc ~i In caz de co o . . nvcrgenta sii se dctcnnine valoarca acestora

1

• I I =J . dx, aO

. arcsin r:t> 0 v-;;:;

c (I, e]. Studiem existcnta limitei:

2. Folosind c1itcriul de convergent a pentru flmqii pozitivc sa se slllilicze nanua urmatoarelor integrate ~i dad\ es1c

a)

d - 2(b . => x-a)smtcostdt; obtinem:

r:-

= t Funqia

x-71

este continua, deci integ.rabi ta pe orice interval compact [ c, e]

f(x)>O, Vxe[c,b);

fn concluzie, integra Ia 1 == 1 + 1 •• ' I z cste convergent a. Pentm a calcula I

•

127

I - pentru a_ -_ - - -I < 1 • deci h cste convcrgenta. .Jb-a 2

( -a)(b-x)

pentru p > I avcm L

• •

f

~~ lim x->b){.x-a)(b -x) = +«> xO

.

1

x->b x d'< Folosirn schimbarca de vanabtla 2x = t :::::> x - 2

-~ I~ co()s : I / =f - dt=r;

:t)

!._ 0 2

e- 1 1 2

Xn

8 I~

_5 -2.T£l
x == t ! ::::::> dx = ~ ~-~ dt §i rczulta:

- d r, a> l

=r(i)= 1r(1)= 1~ ·

I -

1-l=>a= l.

2

f - 1 I -!d J - ! -td .j; = oo e -t ' t = -I ao t 'e t = -1 r(l) - = - 2 2 2 ? 2 0 0 -

I

0

2.

[

w

= Jt ' e

(integralu Euler-Poisson)

0

-I

Ob\incm: J

3

0

Rczolvar·e:

Rezolvare; _ . . . . :r + 1 ~ 1 => x ~ t- 1 => dx ~ dr. .. . Folosim sclumbarca de v,mabdll : I ' rczult:i din t;tbelul de matJOS. Jntcrvalul de inte rare sc modtfica x == e 1 :::::> d'< == e 1dt ~i obtinem:

Proprietii{i: I)

1•

T

Rczolvare:

0

fJ(a,b) =

2

0

fJ(a, b)= Jx n- l (1- Xt' dx;

'

3 r e-r 1,-1dt == 2

I= 2

I

3)

6

,+ :::::> dx. == lr-+ dt

: I

f ·; I~

r0) = 1

Intcgn1la beta:

•r

x e-x' dx

2

0

BREVIAR TEORETIC

Proprietii{i: I)

=

I

=ldt2

j

: I

Obtinern: ! = 1 e -at/ dt = 0

= t => x = e'

=> dr = e' dt

j,e-(a- l)t dt 0

Folosim o nou~ schimbarc de variabila: (a - I) 1 = y =>

5!

15.

lrs t e -r dt =r; r(6)-- 2 6 =-8 2 2 0

0 f±-t-1o~ - -_;_:_:-

'==r-)' a-I

1

= _ I_Y => dt = _l_ dy a-1

00

1

f ye->'dy=-( a-l )' r (2)=-( a-1 )'

0

1

a-1

- 3? d:.1'

Calcul integral

Matematici a= 2· a+ b - 6 b . . lntcglalel beta (proprictatea 2) obtin . em. } - ::::::> =4 . pnnurmare - ( ) r(z).r(4) ' I - fJ 2,4 = _ I

-1

x~l = l =:> x == ..fit -

a) I

b.

lx+l).

3

+:; ~ CfJ • dx=e'

-1

Folosim schimbarea de variabita:

I

x'

_.,~:~•

~i

2.)- 1

1(

f(.fi

\j • 3 - - · - .- . = - - · 6 smK 9 3

'f I= 0f (sin x )1,4 (cos x t0,6dY arc fom1~ k. {J(p • q) 'c,p,qE lo R; p,q>O.

Sa sc dctennine v:~ lorile paramenilor k. p.q. Rezolvare:

Sa sc calculeze um1atoarele integrate:

I ·; I~. .

Folosim schimbarca de variab·v· . 2

1 =J

8.

dr

o~x (1- x)

rt~2

J

a. lmx = I=:> 2si.n xcosxdr = dt.

2

Rczolvarc: Integra Ia se mai poatc scrie: I

= fX- ; (1- X

r; dr .

1• • • · Transfotmmn functia carc trcuuJc !!. • • mtcgrali\ astfel:

Prill identificare C\l formula de defini\ie a integ.ralci beta, Ob\incm:

t =:> a =t ; b- I =- t =:> b =% ,prin unnare, :wand In vedcre delini\ia ~i proprietatea 3 pent11.1intcg.rala beta, rezuiHi I = ,8~, 1)= ~ =2tr 3 3 0

a- 1 == -

sin ~

.J3

l '

.

1 =1t 2of (sirnf , \co sxf l6 . ·2sinxcos xcb.:=-J(sin 2 x)o. 2 (cos2x)·o.~.2 . . 2 11

Ob!inem: I I

I = -2 ()J t0,2(1 - t) - 0,8 dt = .!../J(I '). 0·-' ) ' deci k = 2 ' p-I~ 2 ,_, ,.!; q = 0,2

.!..

13. Sa sc l:alculcze integra Ia:

·i =fx 8 (1 -x3}tx

9

1=

0

Rezolvarc: Facem schimbarea de variabila x

X

~

\

3

I = lJt) (l-t~-1dt = l ft 2 (t-t}ft =lft(3 2)=.!_ · r( )r(l) 3

3

3

3

3

'

0

0

l(S)

lmcgrala sc poate scrie:

I=

E -~~ ~ -~

·;

==~ 12

: I

I~

1

.

1t- t dt

0

sJ

1

I

I

2

0

,

I

I

20

5

x+4)_!4(3- x)"'G dt

J) (

I

x+4- t~x = t-4=>dr = dt

~

Se obscrva ca, ·mten·a1ul de mtegrare devine (0 . de variabila -x +-4 -t ' ?). pnn urmare, pent1u 'a 'aiunge Ia ·mtcrvalul (0 I) v ' r 1 . 7 - =x = t-4=>dx=7dt · ' • om IOOS Jschimb:uca 7

) f. 11 1 t (2 nnurmare, 1 = f x' ~-x 2 1,5dx=- fr• (l-t)'('dt = - Jt-' (1-t)>dt ==- f3 -,·

P

x 2 == t => x :::: t ~ => d1; =

dr

-4 ~(x + 4)(3 _ x)5

lncercan1 sa.• f:accm schunbarca . -• de va riabi la 3

3

Rezolvare: Facctn schimbarea de variabiHI:

3

f

Rezolva rc:

= t ~ X = t 1 ~ d"(. = l3 t- ~ dt

I

:

Slll.Y COS xcb;

,

2

3 2

Calcul integral

Matematici aplicate in economie- culegere de probleme

\

132

14. Sa sc calculezc integra Ia:

I

Jx

:=

2

e- 1

o

dx

2

1

1

e- '1 dt ; cu schimbarea de variabila 12 , y ::::::> t = y"2 ::::::> dt ::: ~ y - 112d)'

I, h

=1 y ()

f e0

23.

x"

R:;r-fi

dt; n > 0

R:lr(l) 11

2

1

.,

33. 00

00

Jx6 e-3x dx

R: 80/243

,

f x 7 e-x· d...:

2.

R:3;

f~-x2

Jdx

R: l/2772

4

J

X

4.

0

+00

J~x-x2 dx

R: ;r/

8

e

-x

J e-x

6.

1

dX

2

dx

R: ~.,J; 4

32

7. fl ~(-x-1)5 ex+ldx R: rr

39.

Jx 2 (1 + x)3d"C

8·

d'C

R: -120

to.jxz - 3x + 2dx

-00

I

I

fx' (1-x Jdx 4

3

R: 1/6930

12.

0

13 ·Jx 2 ~4 -x 2 dx

R: rr

14

•)}, iar ftmqia x ~ f(x. y) cste intcgrabi lii pe [a (1•), j)(J•)].

3.

D ; {(x, y)e R 1 a !.y :0. b. a (y) $ x

0

b[P(y)

Atunci:

if f(x,y)duly = f

a a(y)

D 00

R: 16

Jx 3 e1-x· d"
0 Sa se detcnmne ' ·

= ro, I) X [-I, 0] ~i f: D ~ R.j(x. y) = 2x 2y- ->.:V} + I.

Sa se calculcze

·

JJ .f(x, y )dxdy D

Rezolvare:

R: k = J/32; a = l. J>

Se considcra D

I.

R.

l=J1(0 J(2x~y-x/ +1}1y)dr:=J' ~( xzy!- ± xy'+y)1' I -"] dr=J'(-x' + ±x+l)dt= (-·~l +~l +x)' I)

... ,

y--- 1

()

0

()

2. Sa sc calculczc I= Jf (x2 _ y ~rdy. unde D =ix,y)e R2 j O$x !.l;x-2 $ y!. x 2 +3x-t} , (, fJ ( .) , unde )4,8 JI x-',6 \1- x 3 dx = k p, q

k , p, q E R·, p , q· > 0. Sa sc ane

k. fl. q.

D

Rezolvarc:

Jex. Avcm: 3,prin unnarc '( ' • ) 3) 71 x2 - ypy =·:; x4 _ _.J_ 2x2+x+-; l=J -zx -x - 2x + x+Z dx=

Dcoarccc domcniul D cstc simplu in raport cu axa Oy, obtincm: I

0 I

sa sc calculczc

x2

PRO BLEME REZOL VATE

0

71. Integra Ia 1 =

Yt

ecuatia ccrcu lui cu ccntrul A (a, b) §i raza r cstc: (x- a)1 + (>:- hf

6

0 . Sa se determine valorilc paramctri lor k ~~ a.

70. Se $lie c~ 1

h E R.

Y

x

x,

F

12

69. Integra Ia 1 ==

a,

t R: k==2,a=8,b=-:;·

Sa sea fie valorile paramctrilor k, a. h.

tr

k.

D

ccuatia drcptei ce trccc p1in punctclc A (x1, y 1), B (x 1, y 1) cstc:

• 00

Aria(D) = Jf drdy

Formufe ce vorfi urifi=ate:

- O,n > 0

r+)x-1 (

f

:r-2

\.

l

-

(·''+sx 3

'(-' 1

)

I

-yc~

l

x- 2 2

-

(~

60

19

24

Matematici oplicate in economie - culegere de probleme 136

3. Sa sc calculczc 1 =

JJ dxdy, undc D = {(x,y) e

.

R I y ::; x- 2, y ~ .i - x- 2}.

?

D

Rezolvare: Considcram ji,ji: R ~ R.fi (~) = x2 - x- 2, ji(x) = x- 2. Punctde de interseqic ale graficelor ector douli funqii sunt solutiilc sistemului = x _ 2, prin urmare A (0,-2) ~i 8 (2,0). Domcniul D cstc dat de suprafata ha~uratft

{Y x2 _ y=x-2

J

[.[2;::-;> ) J Jxclx clv = J 2..1 2 1

I =

aport cu axa Ox. Cunota!iilc din brcviarul tcorcti ) ( )- 1( ) ~ J c,punctul2,avcm a = 2/5 b=2· , r--:; ' 2 2Y_ Y2 ·v::::>av · - -2-y 2 • ·x·+Y - 2 r=O= -.: = +vr;::----:, 1 ( b r y' >- Y flG,)= +v2y - y Rezult: = y l"=x-2 )•=. 0.

Forma implici ta a unci ecua!ii difercn!ialc de odinul I este: F (x, y , y') = 0, F: D c R3 ~ U, x e 1!; U, r c ia 1111 1 necunoscutii tiind y "" y (r). derivabila, cu derivara y ' = y'(x).

Rezolvare: . . . = x e R: / .l + yzsr:}. Avcm de calculat ana domenmlm D {( . y) domeniului D este egala cu Jf d~:dy Conform observa!iei din brevwml teoreuc, ana D

F I

S.

.r=pcosB . ' pe { •= psm8

n tree erea Ia coordonatelc polare:

oon

Forma cxplicita a unci ccuatii ditercnJia le de odinul I cste: y '

[o'oo"'f) e ro21r] ~ , '

) [ ] (x y) e D => x·'+, y· :0: r z => (x, Y )eD=>x2+yl:s;,.z:=>peO,r, _ ·' } i dxd 1 = pclpd8. Rczulta ca o• = tp,O) e R2 s P s r, 0 s;s 2;r ~l '" ~

Pentm o valoarc panicuJara a constantei C, fimqia y ; rp (x) sc n\llllC$te solufie parriculara a ecuaJici.

0 e [o,-? 1T] Prin unnarc

Rezolvarea problemei lui Cauchy pcntnl ecuaria F (x,y,y') "' 0 constii in detenninarea unci solutii particulare a ecuaJici, care veri fica conditia initiala y (xn) ; y 0, xne I, y .1 E R

/o

n =npd,£Xi0= ~ropdp fB= ~~ ·r dB= dxdy

n

v 8. Sa se calculcze 1 == JJ e

I. Ecua{ii difereu(iale cu variahile sepamhilc

JT/' 1

Fom1a gcnerala estc: y' ""f(x) · g(J!), unde .f: (a,

F+'7 d·r:ciy' tmdc D = ~x'-v) e R2 / I S x2 + y2 S 4, 0 S x::; y

}

Forma gcncrala cste: y'=

Rczolvarc:

, , < .- . => . ( ) 0 => 1 ::; x· + y · s 4, 0 _ x ~ >· -pcosO r. oo) ; 0 e [02 Folosim trec 0 rea Ia coordonatclc polare: x. , p e LO, . tr]' x,ye _ { y = psm 8 :r } ~i dx dy =Pdp dO. Rezulta: . . p E [1, 2]. 0 E 4'2 ' , ) ,, 12 , \ , !"" _ !!._.,: . y = zx, y ' = z' .x + z ~i se obtinc o ecuatie difcrcntiala cu \'ariabiic separabilc.

Ecua{ii tliferenfialc fiuiare tie ortlinull

Forma general~ cste: y'= P(x)y + Q(x),

P, Q: (a, h) -7 f< continue. Se rezolv;i In doi pa§i:

ij se dctermina solutia ccuatiei omogene ata~ate: y' =P (x)y, tare iij se ap lica metoda varia1ici constantclor. ·

~stc o ccuatie dilcrentiala cu vatiabilc separabile

IV. Ecutl(ii tlifereu(ia/e de tip Bcmoulli

Fonnagencralacste: y'== P(x)y+Q(x)y", aeR \ {0,1}, P,Q:(a,b)->R continue. Accasra ccuatie se rczolvii in doi pa$i: I) se impar1e ecuatia prin y " ~i rezulta I I P( ) O( ) ---zi y'+ -a:J X + _ X =: 0 )' y

PROBLEME PROPUSE Sii se calculcze:

I.

(

jj \sx3 Y -

r

f)

2.

n( x+~) dxdy , unde D = Kx,y 0

3.

5.

Jr

1-'

JJ --dxdv' x+ y+ 1

4 ·

·

jJ (2xy + x- 3)yclrdy

• lll\

eD

7.

D = tx,y)eR2 /J s x~4, 2x-1 S y::;x2+1} ~}

3

= z' ~i dupa inlocuirc sc obtinc o ccnatie diferentiala liniarii de ordinul/.

l. Se cere solutia gencrala a ccuatici difercn!iale y'==

R: 4115

Rezolvar·c: Observam ca aceasta cste o ccuatic difcrentia la cu

R: 229i9

Sc scpara variabilclc §i rczultii: .;[ _ _ .,_·_

~\Y

§i solutia particular5 cc lrccc prin punctu l (0.1).

x- + I

v y::; .~ =)[t-x,y) e 1'2' /l -