Carte Matematici Aplicate in Economie [PDF]

Zitiervorschau

Matematici aplicate în Economie (anul I)

CUPRINS

Capitolul I. Elemente de algebră liniară cu aplicaţii în Economie. ..................................................................................... pag. 1

1.1. Proprietăţi ale spaţiilor economice organizate ca spaţii vectoriale. ................................................................... pag. 1

1.2. Dependenţă şi independenţă liniară. Bază. ................................................. pag. 6

1.3. Vectori în plan. Mulţimi convexe. ...............................................................pag. 14

1.4. Forme liniare şi aplicaţii liniare. ................................................................ pag. 23

1.5. Forme pătratice. ........................................................................................... pag. 32

Bibliografie (Cap. I.) ........................................................................................... pag. 38

Capitolul II. Elemente de programare liniară cu aplicaţii în economie. .................................................................................... pag. 39

2.1. Situaţii economice reale modelate prin probleme de programare liniară. ....................................................... pag. 39

2.2. Forma standard a unei probleme de programare liniară. ................................................................................ pag. 55

2.3. Rezolvarea unei probleme de programare liniară cu metoda grafică. ............................................................ pag. 64

2.4. Rezolvarea unei probleme de programare liniară cu algoritmul simplex. ............................................................................ pag. 72

Bibliografie (Cap. II) ............................................................................................pag. 90

Capitolul III. Elemente de Analiză matematică cu aplicaţii în Economie. .................................................................................... pag. 91

3.1. Funcţii reale de mai multe variabile reale. ................................................ pag. 91

3.2. Derivate parţiale şi diferenţiale. ................................................................pag. 106

3.3. Extreme libere. ............................................................................................ pag. 125

3.4. Extreme condiţionate. ................................................................................ pag. 131

Bibliografie (Cap. III) ....................................................................................... pag. 141

1 Capitolul I

ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ CU APLICAŢII ÎN ECONOMIE

Algebra liniară se aplică în nenumărate modele economice. De exemplu, modelele liniare propuse de laureatul premiului Nobel pentru economie Wasilly Leontief (vezi sursele bibliografice). De asemenea, rezultatele din acest capitol stau la baza înţelegerii materialului prezentat în celelalte capitole ale cursului, cum ar fi optimizarea liniară şi optimizarea neliniară. Pentru înţelegerea acestui capitol sunt necesare cunoştinţe elementare de matrici, determinanţi şi sisteme de ecuaţii liniare. Acestea vor fi prezentate la seminar. La bibliografie am inclus cărţi de la mari universităţi din ţară şi străinătate cât şi materiale online. De asemenea am inclus linkuri către site-uri care vă oferă soft online gratuit cu care puteţi rezolva probleme practice care necesită calcule complicate (inclusiv cazurile în care spaţiul intrărilor şi spaţiul ieşirilor unei firme au dimensiuni diferite).

1.1. Proprietăţi ale spaţiilor economice organizate ca spaţii vectoriale.

Plan (sau program) de producţie. O firmă intenţionează să producă 300 de scaune, 120 de mese şi 50 de fotolii în primul semestru al anului 2012 şi 600 de scaune, 240 de mese şi 100 de fotolii în al doilea semestru al anului 2012. Planul de producţie al firmei, pe semestrul I, poate fi scris ca un grup ordonat de numere: X = (300, 120, 50). Respectiv pe al doilea semestru: Y = (600, 240, 100). Un astfel de grup ordonat de

2 numere reale se numeşte vector. Să observăm că în al doilea semestru producţia se dublează. Scriem: Y = 2X. Planul de producţie anual al firmei pe 2012 va fi de 900 de scaune, 360 de mese şi 150 de fotolii. Scriem: X + Y = (900, 360, 150). În al doilea semestru, firma va produce cu 300 de scaune, cu 120 de mese şi respectiv cu 50 de fotolii mai mult. Această idee o putem reprezenta prin: Y - X = (600, 240, 100) - (300, 120, 50) = (300, 120, 50).

Vector. În exemplul anterior am introdus intuitiv noţiunea de vector. Prin urmare, un vector este un grup ordonat de numere reale: X = (x1, x2, ..., xn). Vom nota vectorii cu litere mari, X, Y, Z, etc., iar componentele unui vector le vom nota cu litere mici, xi, yi, zi, i = 1, 2, 3, ..., n. Atenţie, componentele unui vector pot fi numere reale pozitive, 3 negative sau nule iar ordinea lor contează!! De exemplu, vectorul X = (1, 2, 0, ) 4 3 este diferit de vectorul Y = (0, 2,  1, ) . Scriem: X  Y . Doi vectori, X = (x1, x2, ..., 4

xn) şi Y = (y1, y2, ..., yn) sunt egali dacă au componentele respectiv egale, adică xi = yi pentru fiecare i = 1, 2, ...., n. Scriem: X = Y.

Convenţie. Pentru a nu complica notaţiile, vom scrie vectorii ca grup ordonat dar şi ca matrice linie sau ca matrice coloană. Adică, X = (x1, x2, ..., xn) sau X = (x1 x2 ... xn)

 x1    x sau X   2  reprezintă acelaşi vector X scris în trei feluri. Din context vom deduce în      xn 

3

1 2 3   care situaţie ne aflăm. De exemplu, dacă A   0 1 2  şi X = (7, -3, 9), atunci în  4 5 6    1 2 3  7   28       produsul AX vectorul X apare scris pe coloană: AX   0 1 2  3    15  . Deci  4 5 6  9   67       AX  Y  (28, 15, 67) .

Dar dacă scriem XA, atunci

1 2 3   XA   7 3 9   0 1 2    43 56 69  . Deci XA = (43, 56, 69). 4 5 6  

Operaţii cu vectori. Din exemplul referitor la firma de mai sus, observăm că vectorii se pot aduna după regula: X + Y = (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn). Vectorul Z = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) îl numim suma vectorilor X şi Y şi scriem Z = X + Y. De asemenea, am mai observat că vectorii se pot înmulţi cu un scalar (adică cu un număr real oarecare). Regula este:

 X   ( x1 , x2 , ..., xn )  ( x1 ,  x2 , ...,  xn ) . Adunarea vectorilor este asociativă şi comutativă, adică X  (Y  Z )  ( X  Y )  Z şi X  Y  Y  X , oricare ar fi vectorii X, Y şi Z având fiecare câte n componente reale.

Vectorul nul este vectorul cu toate cele n componente egale cu zero şi îl vom nota tot cu "0", urmând ca din context să deducem dacă "0" reprezintă numărul real zero sau vectorul nul. De exemplu, 0  (4, 2, 5)  (0  4, 0  2, 0  5)  (0, 0, 0)  0, ultimul zero fiind notaţia prescurtată pentru vectorul nul. Vectorul nul este element neutru la adunarea vectorilor, adică 0  X  X  0  X oricare ar fi vectorul X. Opusul

4 vectorului X  ( x1 , x2 , ..., xn ) este vectorul Y   X  ( x1 ,  x2 , ...,  xn ) . Evident că X  Y  X  ( X )  X  X  ( x1  x1 , x2  x2 , ..., xn  xn )  (0, 0, ..., 0)  0 .

Diferenţa X  Y a doi vectori X  ( x1 , x2 , ..., xn ) şi Y  ( y1 , y2 , ..., yn ) este de fapt adunarea dintre X şi opusul lui Y, adică X  Y  X  (Y )  ( x1  y1 , x2  y2 , ..., xn  yn ) . Înmulţirea cu scalari are câteva proprietăţi importante. Astfel, oricare ar fi scalarii

 şi  şi oricare ar fi vectorii X şi Y (având n componente fiecare), au loc relaţiile:  ( X  Y )   X   Y ; (   ) X   X   X ; ( ) X   (  X ) . De asemenea, 1  X  X , "1" fiind numărul real 1 şi 0  X  0  ( x1 , x2 , ..., xn )  (0, 0, ..., 0) , adică 0  X  0 , oricare ar fi vectorul X.

Atenţie. Nu putem aduna (sau scădea) vectori decât dacă au acelaşi număr de componente. De exemplu, este greşit să adunăm vectorul X  (1,  1, 0) cu vectorul Y  (3, 4,  6, 8) . Se pot aduna (scădea) numai vectori care aparţin aceluiaşi "spaţiu"

(vezi mai jos). De asemenea, la înmulţirea cu un scalar, vom scrie scalarul la stânga vectorului,   X şi nu X   . Semnul "  " se poate omite.

Spaţiul vectorial real n - dimensional  n . Este "spaţiul" în care se desfăşoară procesele economice, matematic vorbind. Vom nota cu  n mulţimea tuturor vectorilor





care au (fiecare) n componente, adică:  n = X X  ( x1 , x2 , ..., xn ), xi  , i  1, n . În acest spaţiu  n vectorii se pot aduna sau înmulţi cu scalari, ca mai sus. De exemplu, vectorul X  (1,  3) aparţine spaţiului  2 şi nu aparţine spaţiului 3 . Scriem: X   2

5 respectiv X   3 . Calculele în care apar mai mulţi vectori se pot face pe baza proprietăţilor operaţiilor cu vectori, de care am vorbit deja. De exemplu: 1 (4,  1, 0)  (0, 6, 0)  (3,  1, 0)  (4,  1, 0)  (0, 3, 0)  (3, 1, 0) 2  (4, 2, 0)  (3, 1, 0)  (1, 3, 0).

Spaţiul intrărilor (input) şi spaţiul ieşirilor (output) . Să considerăm un agent economic care îşi desfăşoară activitatea într-un spaţiu bine delimitat, respectând cadrul juridico - legislativ existent. Relaţiile sale cu mediul economico - social sunt date prin conexiunile de intrare şi respectiv de ieşire. Spaţiul intrărilor este format din totalitatea "intrărilor" în firmă, resursele utilizate. Acestea pot fi de natură materială (materii prime, materiale), energetică (combustibili, energie electrică), forţă de muncă, fluxuri băneşti, informaţii. Rezultatele activităţii agentului economic constituie spaţiul ieşirilor, adică produsele fabricate, serviciile prestate de firmă, etc. Fluxul intrărilor (într-o perioadă de timp fixată) se poate reprezenta printr-un vector Y  ( y1 , y2 , ..., ym ) din spaţiul vectorial  m , dacă firma utilizează m tipuri de resurse. Analog şi fluxul ieşirilor se reprezintă ca un vector din  n , X  ( x1 , x2 , ..., xn ) dacă firma produce n tipuri de produse. De exemplu, dacă firma produce scaune, mese şi fotolii, utilizând, ca resurse, lemn, lac, piele, burete, ore - maşină şi ore - muncitor, atunci spaţiul intrărilor este

o

submulţime

din

6 ,

o

"intrare"

fiind

un

vector

de

forma

Y  ( y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 ) , unde y j , j  1, 6 , reprezintă cantităţile utilizate din fiecare

resursă. O "ieşire" este un vector din 3 de forma X  ( x1 , x2 , x3 ) unde x1 reprezintă numărul de scaune fabricate, x2 este numărul de mese fabricate şi x3 este numărul de fotolii fabricate, într-o perioadă de timp (semestru, trimestru, an, etc.).

6

Combinaţie liniară şi combinaţie liniară convexă. Dacă de exemplu 1 X  (4,  1, 0) , Y  (0, 6, 0) , Z  (3,  1, 0) şi T  (1, 3, 0) , atunci T  X  Y  Z , vezi 2

exemplul de mai sus, unde calculul s-a făcut în detaliu. Spunem că vectorul T este o combinaţie liniară a vectorilor X, Y şi Z cu scalarii (coeficienţii) 1  1 ,  2 

1 şi 2

respectiv  3  1 . În general, dacă vectorii X 1 , X 2 , ..., X k aparţin fiecare aceluiaşi spaţiu  n , şi dacă 1 ,  2 , ...,  k sunt nişte numere reale date, atunci vectorul Y  1 X 1   2 X 2  ...   k X k se numeşte combinaţia liniară a vectorilor X 1 , X 2 , ..., X k

cu scalarii (coeficienţii) 1 ,  2 , ...,  k . Dacă în plus, 1   2  ...   k  1 şi  i  0 , i  1, k , atunci spunem că vectorul Y este o combinaţie liniară convexă a vectorilor

X 1 , X 2 , ..., X k . De exemplu,

1 3 (8, 16)  (0,  4)  (2, 1) , deci vectorul Y  (2, 1) este o 4 4

combinaţie liniară convexă (deoarece

1 3   1 ) a vectorilor 4 4

X 1  (8, 16)

şi

X 2  (0,  4) .

1.2. Dependenţă şi independenţă liniară. Bază.

Dependenţă şi independenţă liniară . Să considerăm vectorii X  (1, 0,  1) , Y  (0, 2, 1) , Z  (2, 1, 0) şi T  (4,  1, 0) . Căutăm scalarii 1 ,  2 ,  3 astfel încât să

aibă

loc

relaţia

T  1 X   2Y   3 Z ,

adică

(4,  1, 0)  1 (1, 0,  1)   2 (0, 2, 1)

7

1  2 3  4   3 (2, 1, 0) . Obţinem sistemul de ecuaţii liniare 2 2   3  1 care admite soluţia     0 2  1

1   2 

2 9 şi  3   . Deci vectorul T este o combinaţie liniară a vectorilor X, Y şi Z, 5 5

mai precis T 

2 2 9 X  Y  Z . O mulţime de vectori din spaţiul  n (se mai spune un 5 5 5

sistem de vectori) S   X 1 , X 2 , ..., X k  se numeşte sistem liniar dependent dacă cel puţin unul dintre vectorii sistemului este o combinaţie liniară a celorlalţi. În exemplul anterior, S   X , Y , Z , T  este un sistem liniar dependent de vectori. Se mai spune că vectorii X , Y , Z , T sunt vectori liniar dependenţi. Dacă într-un sistem de vectori

S   X 1 , X 2 , ..., X k  nici unul dintre vectorii X 1 , X 2 , ..., X k nu se poate scrie ca o combinaţie liniară a celorlalţi atunci spunem că sistemul S este liniar independent (sau putem spune că vectorii X 1 , X 2 , ..., X k sunt liniar independenţi). Ca metodă practică, dacă S   X 1 , X 2 , ..., X k  este un sistem de vectori dat, se construieşte o matrice A (numită matricea asociată sistemului S) formată din vectorii X 1 , X 2 , ..., X k scrişi pe coloană. Dacă rangul matricei A este mai mic decât k atunci

sistemul S este liniar dependent iar dacă rangul matricei A este egal cu k atunci sistemul S este liniar independent. Atenţie, matricea A are n linii şi k coloane. De exemplu, vectorii X  (1, 0, 0, 3) , Y  (0, 1, 0,  4) şi Z  (0, 0, 1, 2) sunt liniar independenţi 1 0  0 1 deoarece matricea asociată este A   0 0   3 4

0  0 şi ea are rangul egal cu 3 (un minor 1  2

8

1 0 0 principal

fiind

0 1 0  1  0 ).

Dar

vectorii

X  (2, 3, 1) ,

Y  (0, 1, 2)

şi

0 0 1 2 0 2    Z  (2, 2,  1) sunt liniar dependenţi, deoarece matricea A   3 1 2  are rangul  1 2 1   egal cu 2 < 3 ( det A  0 şi determinantul

2 0 3 1

 2  0 este un minor principal). Se

poate observa că Z  X  Y , deci Z este o combinaţie liniară a celorlalţi doi vectori (vezi definiţia liniar dependenţei mai sus). Doi vectori nenuli X şi Y din spaţiul  n se numesc coliniari (sau proporţionali) dacă există un scalar nenul  astfel încât Y   X . Dacă X  ( x1 , x2 , ..., xn ) şi Y  ( y1 , y2 , ..., yn ) sunt doi vectori coliniari cu toate componentele nenule atunci

acestea sunt direct proporţionale, adică

x x1 x2     n . Evident că sistemul y1 y2 yn

S   X , Y  format din doi vectori coliniari este liniar dependent. De exemplu, vectorii 1 3 1 X  (1, 2, 3) şi Y  ( ,  1,  ) sunt vectori coliniari, deoarece Y   X . 2 2 2

Bază a spaţiului vectorial  n . O bază în spaţiul vectorial  n este o mulţime (un sistem de vectori) formată din n vectori din  n liniar independenţi. Ţinând seama de cele

discutate

în

paragraful

anterior,

deducem

că

sistemul

de

vectori

B   X 1 , X 2 , ..., X n  este o bază în  n dacă determinantul matricii asociate sistemului de vectori este nenul. Matricea asociată sistemului de vectori B este formată din vectorii sistemului scrişi pe coloană (vezi şi paragraful anterior) şi o vom nota tot cu B.

9 Spaţiul  n admite o infinitate de baze diferite dar fiecare este formată din n vectori liniar independenţi. Spunem că spaţiul vectorial  n are dimensiunea egală cu n. Cel mai simplu exemplu de bază în spaţiul  n este baza canonică, Bc   E1 , E2 , ..., En  unde E1  (1, 0, 0, ..., 0) , E2  (0, 1, 0, ..., 0) , ..., En  (0, 0, 0, ..., 0, 1) . În spaţiul  2 , baza canonică este formată din vectorii E1  (1, 0) şi E2  (0, 1) iar în spaţiul 3 baza canonică este formată din vectorii E1  (1, 0, 0) , E2  (0, 1, 0) şi E3  (0, 0, 1) , etc. Dacă B   X 1 , X 2 , ..., X n  este o bază în spaţiul  n , deci det B  0 , atunci această bază "generează" spaţiul  n sau baza este un sistem de generatori ai spaţiului  n . Adică, orice vector X din spaţiul  n se poate scrie ca o combinaţie liniară a

vectorilor din bază, X  1 X 1   2 X 2  ...   n X n . Scalarii 1 ,  2 , ...,  n sunt unici şi trebuie găsiţi pentru fiecare vector X. Aceşti scalari se numesc coordonatele vectorului X în baza B. De exemplu, fie vectorii

X 1  (1, 0, 1) ,

X 2  (1, 0,  1) ,

X 3  (0, 1, 0)

şi

X  (2,  1, 3) . Sistemul de vectori B   X 1 , X 2 , X 3  este o bază în 3 deoarece

1 1 0   matricea asociată sistemului este B   0 0 1  şi are determinantul det B  2  0 .  1 1 0    Orice vector din spaţiul 3 se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor acestei baze, deci şi vectorul X. Pentru a afla coordonatele lui X în baza B, scriem X  1 X 1   2 X 2   3 X 3 şi înlocuind obţinem

10

1 (1, 0, 1)   2 (1, 0,  1)   3 (0, 1, 0)  (2,  1, 3) . Se obţine sistemul de ecuaţii liniare 1   2  2 5 1  care admite soluţia unică 1  ,  2   şi  3  1 .  3  1 2 2     3  1 2 În general, dacă B   X 1 , X 2 , ..., X n  este o bază în spaţiul  n şi dacă X este un vector oarecare din spaţiul  n , am văzut mai sus că are loc o relaţie de forma X  1 X 1   2 X 2  ...   n X n . Această relaţie o numim scrierea (sau exprimarea)

vectorului X în baza B. Vom nota cu X B vectorul care are drept componente coordonatele vectorului X în baza B, adică X B  (1 ,  2 , ...,  n ) . De obicei, X B este diferit de X. Revenind la exemplul numeric anterior, exprimarea vectorului X  (2,  1, 3) în baza respectivă B este X 

5 1 5 1 X 1  X 2  X 3 , deci X B  ( ,  ,  1) 2 2 2 2

şi X B  X . Dar în baza canonică dintr-un spaţiu vectorial  n , X B coincide cu X, oricare ar fi vectorul X. În exemplul de mai sus, X  (2,  1, 3)  2 E1  E2  3E3 , unde

Bc   E1 , E2 , E3  este baza canonică din 3 , deci X Bc  X  (2,  1, 3) . În general, dacă X  ( x1 , x2 , ..., xn ) este un vector oarecare dintr-un spaţiu  n , atunci X se scrie în baza

canonică X  x1 E1  x2 E2  ...  xn En , deci X Bc  X . Analizând exemplul numeric anterior, observăm că putem scrie sistemul de ecuaţii

 1 1 0  1   2       liniare ce apare acolo sub formă matricială:  0 0 1   2    1 . Cu notaţiile  1 1 0     3    3    introduse mai sus, ecuaţia matricială se scrie BX B  X . Înmulţim la stânga ambii membri ai ecuaţiei cu B 1 , inversa matricei B. Ţinând seama de relaţiile B 1 B  I 3 şi

11

1 0 0   I 3 X  X , unde I 3   0 1 0  este matricea unitate de ordinul trei, deducem: 0 0 1   B

B

X B  B 1 X . Această formulă se numeşte formula de schimbare a coordonatelor unui

vector (la schimbarea bazei) şi este adevărată şi într-un spaţiu oarecare  n , pentru orice bază din  n şi orice vector X din acel spaţiu  n . Revenind la exemplul nostru din

 1 0 1  2   5 / 2  1      spaţiul 3 , se obţine X B  B 1 X   1 0 1 1   1/ 2  , rezultat pe care-l 2      0 2 0  3   1  găsisem deja direct mai sus. Formula matricială este însă mult mai convenabilă fiind uşor

de

utilizat

pe

calculator,

cu

un

soft

matematic

oarecare

(vezi

http://www.bluebit.gr/matrix-calculator de exemplu ).

Subspaţiu vectorial în  n . O mulţime V   n se numeşte subspaţiu vectorial (sau liniar) în  n dacă pentru orice pereche de vectori X şi Y din V suma lor aparţine lui V şi dacă pentru orice vector X din V produsul  X aparţine mulţimii V, oricare ar fi scalarul real  . Dacă V este un subspaţiu vectorial, atunci o bază a lui V este o mulţime (un sistem) de vectori din V, B   X 1 , X 2 , ..., X k  , liniar independenţi şi care în plus formează un sistem de generatori ai lui V, adică orice vector X din V se scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor X 1 , X 2 , ..., X k (scrierea este unică). Toate bazele din V sunt formate din câte k vectori, fiecare. Numărul k se cheamă dimensiunea subspaţiului V şi este mai mic sau egal cu n. Dacă k  n atunci V coincide cu spaţiul  n . Un exemplu important de subspaţiu vectorial în  n este mulţimea soluţiilor unui sistem omogen cu m ecuaţii liniare şi n necunoscute. Pentru a înţelege mai bine,

12 vom studia următorul exemplu numeric (după care generalizarea se va face uşor):  x  2 y  z  4t  0 . Acesta este un sistem omogen cu m  2 ecuaţii liniare şi n  4  3 x  y  5 z  t  0

necunoscute. Reamintim (vezi seminar) că o soluţie a acestui sistem este un vector din  4 , X  ( x, y, z , t ) ale cărui componente verifică ambele ecuaţii ale sistemului.  1 2 1 4  Matricea asociată sistemului de ecuaţii este A    , rangul lui A este egal  3 1 5 1 

cu doi, şi un minor principal este determinantul

1 2 3

1

 7  0 . Prin urmare,

necunoscutele principale sunt x şi y iar necunoscutele secundare sunt z şi t. Exprimăm necunoscutele principale în funcţie de cele secundare şi obţinem că x  y

9 z  6t şi 7

8 z  11t , unde z şi t iau valori reale arbitrare. Mulţimea soluţiilor sistemului de 7

ecuaţii liniare este formată din toţi vectorii X din  4 care au forma generală X (

9 z  6t 8 z  11t , , z , t ) , z şi t 7 7

fiind numere reale arbitrare. Ideea anterioară o

 9 z  6t 8 z  11t  scriem (pe scurt): V   X   4 X  ( , , z , t ), z , t    . Dacă 7 7   X  ( x, y, z , t ) este o soluţie oarecare a sistemului de ecuaţii dat şi A este matricea

asociată sistemului (vezi mai sus), atunci mulţimea V se poate rescrie sub forma V   X   4 AX  0 . Această scriere este mai convenabilă pentru a demonstra că V

este subspaţiu vectorial în  4 . În adevăr, fie X şi X ' doi vectori oarecare din V, deci AX  AX '  0 .

Atunci

suma

lor

XX'

aparţine

tot

lui

V,

deoarece

A( X  X ')  AX  AX '  0  0  0 . La fel, dacă  este un scalar real şi dacă X este un

13 vector oarecare din V, atunci produsul  X

aparţine mulţimii V, deoarece

A( X )   ( AX )    0  0 . Prin urmare, cele două condiţii ale definiţiei date mai sus

sunt verificate, deci V este un subspaţiu vectorial în  4 . Revenind la forma generală a unei X (

soluţii

a

sistemului

de

ecuaţii

(vezi

prima

scriere

a

lui

V),

9 z  6t 8 z  11t 9 8 , , z , t ) , pentru z  1 şi t  0 obţinem X 1  ( , , 1, 0) iar pentru 7 7 7 7

6 11 z  0 şi t  1 obţinem X 2  ( , , 0, 1) . X 1 şi X 2 sunt două soluţii particulare ale 7 7

sistemului de ecuaţii, deci aparţin subspaţiului V. Sistemul de vectori B  { X 1 , X 2 } este  9 / 7 6 / 7    8 / 7 11/ 7   liniar independent deoarece matricea asociată sistemului, B  , are rangul  1 0    1   0

egal cu doi. În plus, B  { X 1 , X 2 } este un sistem de generatori pentru subspaţiul V, deoarece orice vector X din V, având forma generală găsită mai sus, adică X (

9 z  6t 8 z  11t , , z , t ) , se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor din B, 7 7

adică X  zX 1  tX 2 , z şi t   . Deci B  { X 1 , X 2 } este o bază a subspaţiului vectorial V (vezi definiţia mai sus) şi dimensiunea lui V este egală cu doi. În mod analog, pentru un sistem omogen cu m ecuaţii liniare şi n necunoscute, se poate arăta că mulţimea soluţiilor este un subspaţiu vectorial în  n , utilizând ideea cu scrierea matricială a sistemului ( AX  0 , vezi mai sus). În acest caz matricea A are m linii şi n coloane iar X   n este o soluţie oarecare a sistemului de ecuaţii liniare. În particular, pentru m  1 şi n  2 deducem că orice dreaptă care trece prin origine este un subspaţiu vectorial în  2 . Mai precis, mulţimea V   X  ( x, y )   2 ax  by  0

14 este un subspaţiu vectorial în  2 , a şi b fiind două numere reale fixate. Pentru a  b  0 obţinem imediat că V   2 . Revenind la cazul general, pentru a găsi o bază a subspaţiului soluţiilor sistemului de ecuaţii, se rezolvă sistemul, se găseşte soluţia generală şi apoi dăm pe rând valorile 1 şi 0 necunoscutelor secundare, ca în exemplul numeric anterior. (Dacă există o singură necunoscută secundară, îi dăm acesteia valoarea 1. Iar dacă sistemul de ecuaţii admite numai soluţia banală atunci subspaţiul V este format numai din vectorul nul).

1.3. Vectori în plan. Mulţimi convexe.

Vectori în plan. Fie X  (2, 4) un vector din  2 . Într-un sistem de coordonate xOy (concept cunoscut de la liceu), vectorului X îi corespunde un segment orientat, notat cu OA în figura de mai jos. Vectorului Y  (5, 1) îi corespunde segmentul orientat

OB . Vectorul Z  X  Y  (2, 4)  (5, 1)  (7, 5) se reprezintă prin segmentul orientat OC , obţinut prin regula paralelogramului, vezi figura de mai jos.

15

OACB este un paralelogram. Coordonatele vârfurilor sunt respectiv O (0, 0) , A(2, 4) , B (5, 1) şi C (7, 5) . Produsul  X , unde  este un scalar nenul, se reprezintă printr-un

segment orientat având aceeaşi direcţie şi acelaşi sens cu segmentul orientat OA (corespunzător vectorului X  (2, 4) ), dacă  este pozitiv şi sens opus dacă  este negativ. De exemplu, vectorul 2 X  (4,  8) se reprezintă prin segmentul orientat

OA ' şi vectorul

1 X  (1, 2) se reprezintă prin OA '' , vezi figura de mai jos. Lungimea 2

(se mai spune "norma") vectorului  X este egală cu lungimea segmentului OA înmulţită cu modulul scalarului  . Astfel, OA '  2OA şi OA '' 

OA . 2

16

În figura anterioară, coordonatele punctelor sunt A(2, 4) , A '(4,  8) şi A ''(1, 2) . În general, lungimea sau norma (euclidiană) a unui vector

X  ( x1 , x2 )

este

X  x12  x22 . Dacă de exemplu X  (2, 4) , aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul OAM, , vezi mai jos figura: OA2  OM 2  AM 2  22  42  4  16  20 , deci OA  20 , sau scriem X  20 .

17

Generalizând, norma unui vector X  ( x1 , x2 , ..., xn ) dintr-un spaţiu oarecare  n este

X  x12  x22  ...  xn2 . O proprietate importantă a normei, pentru orice vector X, este

 X   X , unde  este modulul obişnuit al numărului real  . De exemplu, în penultima figură de mai sus, OA '  2 X  2 X  2OA  2 20 . Se mai poate pune şi problema calculării distanţei (euclidiene) între extremităţile a doi vectori (segmente orientate), cum ar fi lungimea segmentului AB din prima figură de mai sus (diagonala mică a paralelogramului OACB). Formula distanţei (euclidiene) dintre doi vectori X  ( x1 , x2 , ..., xn ) şi Y  ( y1 , y2 , ..., yn ) din spaţiul  n este:

d ( X , Y )  ( x1  y1 ) 2  ( x2  y2 ) 2  ...  ( xn  yn ) 2 . Deci, AB  (2  5) 2  (4  1) 2 = 9  9  18 .

18 În sfârşit, ne propunem să calculăm măsura (  ) unghiului  AOB din aceeaşi figură. Pentru doi vectori oarecare (nenuli) dintr-un spaţiu  n , X  ( x1 , x2 , ..., xn ) şi Y  ( y1 , y2 , ..., yn ) , se defineşte unghiul dintre X şi Y ca fiind numărul  din intervalul [0,  ] care verifică relaţia cos  

cos  

x 1 y1  x2 y2  ...  xn yn . Revenind la exemplul nostru, X Y

2  5  4 1 şi  se poate găsi dintr-un tabel cu funcţii trigonometrice. Pentru doi 20  26

vectori oarecare din  n , expresia " x 1 y1  x2 y2  ...  xn yn " se numeşte produsul scalar (euclidian) al vectorilor şi îl vom nota cu X  Y . Dacă produsul scalar este nul, atunci din formula anterioară cu " cos  " se deduce cos   0 , deci  

 2

. Spunem în acest

caz că vectorii sunt perpendiculari (ortogonali). Dacă X şi Y sunt din  2 , atunci segmentele orientate corespunzătoare lor sunt perpendiculare, în sensul obişnuit. Dacă X şi Y sunt doi vectori nenuli din  n şi în plus sunt coliniari (proporţionali), vezi mai sus definiţia, atunci se poate arăta uşor că unghiul (  ) dintre ei este egal cu 0 sau

cu

.

În

adevăr,

să

Y  ( y1 , y 2 , ..., yn )   X   ( x1 , x2 , ..., xn )  ( x1 ,  x2 , ...,  xn ) .

X Y X  ( X )  X cos      X Y X  X  X

2 2



presupunem

că Atunci

 1, daca  >0  . Deci  este egal cu 0  -1, daca 